Supplément EXERCICES – ME2 – Dynamique du Point – Feuille

Appliquer le PFS Exercice 1 : Masse suspendue par deux ressorts ?

Un objet considéré comme ponctuel, de masse m est maintenu par deux ressorts identiques, liés à deux tiges verticales distantes d’une longueur L. Les deux ressorts sont à spires non jointives avec une constante de raideur k et une longueur libre l0. Les points de fixation O1 et O2 sont situés à la même hauteur, et la distance les séparant est L = O1O2 = 2l0. A l’équilibre, l’objet est descendu d’une hauteur h par rapport à la ligne horizontale O1O2.

1. Faire l’inventaire des forces appliquées sur l’objet, et les représenter sur un schéma.

2. Appliquer le PFS et trouver la relation liant les longueurs l1 et l2 des ressorts à l’équilibre.

3. Déterminer alors la longueur l des ressorts en fonction de l0 et de h. Faire l’application numérique.

4. Déterminer une expression donnant la raideur k des ressorts et calculer sa valeur.

Données : champ de pesanteur g0 = 9,81m.s-2, m = 190g, l0 = 10cm, h = 15cm.

Exercice 2 : Association série de ressorts

On relie 2 ressorts bout à bout, comme sur la figure ci-dessous : le premier (k1, l10) est relié à un mur fixe, le second (k2, l20) est relié à un point M de masse m que l’on écarte de la position de repos (on notera AM = l). Trouver le ressort (k0, l0) équivalent à cette association.

1. Définir le ressort idéal

2. Déterminer la constante de raideur k du ressort équivalent à cette association en fonction de k1 et de k2.

3. Qu’est-ce que cela deviendrait si on mettait les deux ressorts en “parallèle”, avec une même longueur à vide l0 ?

Appliquer le PFD – Coordonnées Cartésiennes Exercice 3 : Distraction Polaire

Le pingouin Titus se laisse glisser sans vitesse initiale du haut d’une pente verglacée de longueur d, inclinée d’un angle avec l’horizontale et dont l’extrémité inférieure se prolonge par un replat, verglacé lui aussi. Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre, et on ne tiendra compte d’aucune force de frottement.

1. Etablir l’équation horaire du mouvement du centre d’inertie G du pingouin dans la phase de descente. Quelle est la nature de ce mouvement

2. Quelle est la durée de la descente proprement dite ?

3. Quelle est la nature du mouvement de G sur le replat ?

Données : = 30°, d = 10m, g = 9,8m.s-2. Exercice 4 : Chute d’une goutte d’eau

On considère la chute verticale d’une goutte d’eau sphérique dans l’atmosphère.

1. Au cours de sa chute, la goutte est soumise à une force de frottement visqueux proportionnelle à sa vitesse v et de valeur 6f r v , avec r le rayon de la goutte et la viscosité dynamique de l’air. Etablir l’équation différentielle du mouvement de la goutte

2. Déterminer la vitesse limite vlim atteinte par la goutte.

3. La goutte étant initialement au repos, exprimer la vitesse v(t) à une date quelconque en fonction de vlim, t et

limvg

. Tracer l’allure de v = f(t). Que représente ?

Calculer sa valeur numérique.

4. Au bout de quelle durée la vitesse limite est-elle atteinte à 1% près ? Calculer la distance parcourue par la goutte au cours de cette durée.

Données ; masse volumique 31000 .eau kg m , 50r m , 6 218,5.10 . .N s m , pesanteur 29,8 .g m s

Exercice 5 : Robin des bois

Robin des bois est en mauvaise posture. Il tente de s’enfuir en empoignant d’une main la corde qui supporte un chandelier. De l’autre main, il sectionne la corde qui est attachée au plancher et le chandelier tombe, ce qui propulse Robin vers un balcon situé un peu plus haut. On néglige tous les frottements.

Déterminer l’accélération prise par Robin et la tension de la corde.

Données : - Masse de Robin m1=80kg - Masse du chandelier m2=250kg - Intensité de la pesanteur g = 9,8m.s-2.

Supplément EXERCICES – ME2 – Dynamique du Point – Feuille 1/2

L = 2l0

O2 O1 h

(k,l0) (k,l0)

A k1

l1

B

l2

k2

l10 l20

M

M0 B0

A0

0T

T

ze

xe

Exercice 6 : Oscillation d’un ressort horizontal

Le référentiel , , , ,G x y zO e e e t

est supposé

galiléen. Un point matériel M de masse m est lié à un ressort horizontal, l’autre extrémité du ressort étant fixe en A. Dans son domaine d’élasticité, le ressort non tendu est caractérisé par une constante de raideur k et une longueur à vide l0. Le point M glisse sans frottement le long de l’axe 0, xe à partir de sa

position d’équilibre située en O. Il est repéré sur cet axe par son

abscisse x OM .

1. Etablir l’équation différentielle du mouvement de M. En déduire la pulsation propre 0 des oscillations.

2. A l’instant t = 0, le point est abandonné sans vitesse initiale du point M0 d’abscisse x0. Déterminer l’équation horaire du mouvement x(t).

3. En déduire l’expression de la tension T du ressort.

Justifier son qualificatif de « force de rappel élastique ». Exercice 7 : Oscillation d’un point relié à deux ressorts

Le référentiel , , , ,G x y zO e e e t

est supposé

galiléen. Un point matériel M de masse m est attaché à 2 ressorts (1) et (2) horizontaux, de raideurs k1 et k2, et de longueurs à vide l01 et l02. reliés à deux points fixes A et B distants de (l01+l02). Le point M glisse sans frottement le long de l’axe 0, xe à partir de sa position d’équilibre située en O. Il

est repéré sur cet axe par son abscisse x OM .

1. Justifier la position d’équilibre en O du point M.

2. Etablir l’équation différentielle du mouvement de M. En déduire la période T des oscillations et la raideur k du ressort équivalent à cette association.

3. A l’instant t = 0, le point est abandonné sans vitesse initiale du point M0 d’abscisse x0. Déterminer l’équation horaire du mouvement x(t).

Exercice 8 : Etude d’une corde d’escalade

Au cours de l’escalade d’une paroi rocheuse un grimpeur effectue une chute libre sans frottement, sans vitesse initiale d’une hauteur de L = 8m, avant que la corde de sécurité (L est sa longueur au repos) fixée en A se tende. On donne g = 9,81 m.s-1.

Tout le mouvement sera supposé vertical pour simplifier les expressions.

1. Calculer la vitesse vL atteinte par ce grimpeur à l’instant où la corde commence à se tendre.

2. L’élasticité de la corde vaut E = 8% (sa longueur peut augmenter de 8%). Entre le moment où la corde commence à se tendre, et où elle atteint son maximum d’élasticité (arrêt complet du grimpeur pour t = tB), on suppose qu’elle le soumet à une tension constante. Son accélération totale a0 est donc constante. Exprimez-la et calculez-la.

3. La résistance à la rupture de cette corde vaut 25kN (2,5 tonnes). Cette valeur est-elle suffisante pour enrayer la chute ? La masse du grimpeur avec son équipement est m = 83kg. Une corde plus fine aurait-elle suffit ?

Exercice 9 : Le lob au tennis

Au tennis, un lob est réussi lorsque la balle passe au-dessus de l’adversaire et retombe avant la ligne de fond de court (12m du filet). Le joueur 1, situé à d1 = 2m du filet (de hauteur 1m), tape la balle à une hauteur z0 = 30cm et lui communique une vitesse

0v

contenue dans un plan vertical, de valeur

v0=36km.h-1, et formant un angle =60° avec l’horizontale. On négligera les forces de frottement. On prendra g = 9,8m.s-2.

1. Déterminer les équations horaires du centre d’inertie G de

la balle dans le repère , ,O i k

représenté sur la figure.

(la balle est frappée à la date t = 0).

2. En déduire l’équation de la trajectoire de la balle.

3. La balle passe-t-elle au dessus du filet ?

4. Le joueur 2 est de l’autre coté du filet. Il tend sa raquette verticalement pour essayer de toucher la balle : le tamis de sa raquette est alors situé à une hauteur h = 2,3m. A quelle distance du filet le joueur 2 doit-il se placer ?

5. Si le joueur 2 se trouve à une distance d2 = 4m du filet, peut-il intercepter la balle ? Le lob est-il réussi ?

6. Caractériser le vecteur vitesse v

de la balle lors de son impact sur le sol.

A = O

ze

xe

ze

xe

yeA k

l0

x

M

x O

g

ze

xe

yeA k2

l02

x

M

x O g

(2)

l01

k1 (1) B

k

i

Oz0

0vz

x

filet

d1 d2

Exercice 10 : Saut à ski Un skieur aborde successivement les différentes parties

d’une pente dont le profil est schématisé ci-contre.

1. Il remonte à vitesse constante la piste AB inclinée d’un angle = 30° par rapport à l’horizontale. Il est tracté par la perche d’un téléski qui exerce une force de traction ayant même direction que la perche. Elle forme un angle = 20° avec la pente. L’ensemble des forces de frottement exercées par la neige sur les skis et l’air sur le skieur est équivalent à une force unique

1F

de valeur 65N, opposée

au mouvement. Calculer la valeur de la force de traction exercée par la perche.

2. Arrivé au sommet de la pente en B, il lâche la perche avec une vitesse 3,2m.s-1. Il est alors sur une surface plane et horizontale. Quelle distance va-t-il parcourir avant de s’arrêter, en admettant que l’ensemble des forces de frottement est équivalent à une force de valeur F2=42N ?

3. Il aborde ensuite une pente CD inclinée d’un angle ’ = 35° par rapport au plan horizontal. LA valeur des forces de frottement ,e peut plus être considérée comme constante et on admettra qu’elle est proportionnelle au carré de la vitesse F3 = kv2, avec k = 0,56N.s-2.m-2. Quelle vitesse limite vlim le skieur peut-il atteindre ?

4. Il aborde un tremplin de saut EF incliné d’un angle =15° par rapport à l’horizontale. Pour simplifier l’étude, on ne prendra pas en compte les forces exercées par l’air. Par ailleurs, on considérera que sa vitesse en F vaut 25m.s-1. Calculer la longueur du saut s’il retombe sur une surface plane et horizontale située à 5m au dessous de F.

Données : masse du skieur m = 80kg, pesanteur g = 9,8m.s-2.

Exercice 11 : Plan incliné

Un point matériel M, de masse m est lancée à l’instant t = 0 de l’origine O d’un support plan (Oxy) incliné d’un angle par rapport à l’horizontal, et tel que l’axe (Ox) soit horizontal. Le vecteur vitesse initial

0v

contenu dans le plan (Oxy) forme un

angle avec l’axe (Ox). Les frottements sur le support plan et avec l’air sont négligés.

1. Ecrire le PFD appliqué à l’objet.

2. En déduire les équations horaires du mouvement en fonction de v0, g, et .

3. Déterminer l’équation de la trajectoire suivie et sa nature.

4. Examiner et commenter les cas limites = 0 et = /2

Appliquer le PFD – Coordonnées Polaires Exercice 12 : Anneau sur un guide circulaire

Un anneau ponctuel M de masse m est enfilé sur un cercle fixe de centre O et de rayon b placé horizontalement dans le plan (Oxy). A l’instant initial t = 0, une vitesse initiale

0v

tangente au cercle est communiquée à l’anneau

En sachant que l’anneau glisse sans frottement, déterminer les composantes de la réaction R

du guide.

Exercice 13 : Coulissement sur une tige en rotation

Une tige rectiligne horizontale (OX) tourne autour de l’axe (Oz) à la vitesse angulaire constante en restant dans le plan (Oxy). Un anneau M de masse m est enfilé sur cette tige et peut glisser sans frottement. On utilise les coordonnées polaires (r(t), (t)) pour décrire le mouvement de M.

A l’instant t = 0, l’anneau démarre sans vitesse initiale par rapport à la tige du point M0 repéré par les coordonnées polaires : (0) = 0 et r(0) = r0.

. La résistance au mouvement de l’air est négligeable et le champ de pesanteur uniforme :

zg g e

avec 0g g

.

1. Effectuer le bilan des forces appliquées au point M par le milieu extérieur

2. Ecrire le PFD dans le référentiel terrestre, projeté dans la base cylindrique.

3. En déduire l’équation de 2nd ordre vérifiée par r(t).

4. Etablir les équations horaires r(t). En déduire l’équation et l’allure de la trajectoire.

5. Déterminer la réaction de la tige sur l’anneau en fonction de t.

6. L’anneau est maintenant soumis à une force de rappel par l’intermédiaire d’un ressort de masse raideur k, de masse négligeable et de longueur à vide r0. Le ressort est enfilé sur la tige, une extrémité est fixée en O et l’autre est attachée au point mobile M. Etablir l’équation différentielle du mouvement de l’anneau lors de la rotation de la tige et discuter de la nature de celui-ci. Les CI sont inchangées.

x

y

z

O

C B

A D E

F

x

O

y 0v

x

y

z

O

M

re

e

X (tige)

yeze

xe

g

x

y

O

Mre

e

X (tige)

ye

ze

xe

g

Supplément EXERCICES – ME2 – Dynamique du Point – Feuille 2/2

Supplément EXERCICES – ME2

Exercice 1 : Masse suspendue par deux ressorts ?

1. Inventaire des forces : Poids 0 0 zP m g mg e

Tension Ressort 1 : 1 1 0 1T k l l e

Tension Ressort 2 : 2 2 0 2T k l l e

Avec 1e

et 2e

des vecteurs unitaires suivant les ressorts

2. PFS dans , , ,x zO e e t

galiléen appliqué à l’objet :

1 2 0P T T

1 0 2 0

0 1 0 2 0

cos cos00

sin sin

k l l k l lmg k l l k l l

1 2

0 02 sinl l lk l l mg

3. Th de Pythagore : 2 21 2 0 25l l l l h cm

4. Et d’après le PFS :

10 0

0 0

31 .2 sin 2

mg mg lk N ml l h l l

Exercice 2 : Association de ressorts

1. Ressort idéal : de masse négligeable et linéaire : par exemple

pour le ressort 1 ici, on aurait 1 1 10 x Ressort BT k l l e F

2. Au niveau du point B : on a les forces qui sont égales (Projection du PFS sur B dans R galiléen) :

1 2 1 1 10 2 2 200B B x xT T k l l e k l l e

Et la force en M est 2 2 2 20M xT k l l e

Elles sont toutes égales en norme : 1 2 2B B MT T T T

On peut alors remplacer cette association par un seul ressort

appliquant la force :

1 2 10 20

1 10 2 20

eq M eq x

eq x

T T k l l l l e

T k l l l l e

Et 1 2eq

T T Tk k k

1 2

1 1 1

eqk k k

3. Deux ressorts en parallèle de même l0 ?

1 2

0 1 10 2 20

eq M M M

eq eq

T T T

k l l k l l k l l

Cela donne 1 2eqk k k

Rmq : lois analogues à celle des condensateurs…

Exercice 3 : Distraction Polaire

Même problème que le plan incliné, on définit une base avec

xe

tangent à la descente, vers le bas, et ye

normal vers le

haut. Les expressions sont alors simplifiées

1. Réf d’étude , , , ,G x y zO e e e t

supposé galiléen.

Système : Pingouin de centre d’inertie G de masse m

Base de projection : 0, ,x yB e e ! " #$ %

Bilan des forces : Poids sincosz

B

mgP mg e

mg

Réaction Support : N TR R R

0

N BR

PFD dans RG galiléen : /P R m a M

D’où : sin 0cos 0NB B B

mg mxmg R

Ainsi : sin , sinx g x gt

Et 210 sin2

x t x gt

Mouvement rectiligne uniformément accéléré

2. Durée de la descente proprement dite : 2 2sindt s

g

3. Sur le replat, P

et NR

se compensent, le pingouin est un

système pseudo-isolé. D’après le principe d’inertie, son mouvement est donc rectiligne uniforme.

Exercice 4 : Chute d’une goutte d’eau

1. PFD dans , , ,x zO e e t

(avec z descendant) terrestre

supposé galiléen, sur la goutte soumise à : 34

36

z eau zP m g e r g e

f r v

,

Donc : 6 zdvm r v mg edt

! ##

%

Puisque le mvt est vertical : 6 6z z

mgm v vr r

2. Vitesse limite vlim quand la dérivée est nulle = solution particulière de l’équation avec second membre :

21

lim

20.29 .

6 9PART eau

zr gmgv v m s

r

3. On réécrit l’équation différentielle avec vlim :

limlimz z

v v v vg

ou encore limz zv v v avec limv

g .

On résout : lim 1t

zv t v e Allure exponentielle.

0,03s est la constante de temps de l’exponentielle (temps caractéristique du phénomène…),

SOLUTION des EXERCICES – ME2 – Feuille 1/2

L

O2 O1

1T

P2T

ze

xe

O

4. vlim atteinte à 1% près au bout de 5 = 0,15s. Distance parcourue par la goutte : On intègre l’expression

de la vitesse : lim lim00 0

tt

zz t z v t dt z v t v e &

Elle parcourt : 5lim lim5 3.5d v v e cm '

Exercice 5 : Robin des bois

PFD sur Robin dans R galiléen : 1 1 1 1P T m a

PFD sur le chandelier dans R galiléen : 2 2 2 2P T m a

La corde est inextensible sans frottement, donc 1 2

2 1

a aT T

Ainsi : 1 11 2

2 2

m g T m aT m a g m a g

m g T m a

Ce qui nous donne 22 1

2 1

5 .m ma g m sm m

Et la tension 1 2

2 1

21200

m mT g Nm m

Attention, il ne s’agit as tout à fait de la différence des forces appliquées par Robin et par le chandelier, car le mouvement de Robin « soulage » la corde… On n’est pas en statique ici.

Exercice 6 : Oscillation d’un ressort horizontal 1. Réf d’étude , , , ,G x y zO e e e t

supposé galiléen.

Système : Point M de masse m Base de projection : cartésienne (celle du réf) Bilan des forces : Poids

zP m g mg e


N zR e

Tension Ressort : 0 xT k l l e

PFD dans RG galiléen : /P T R m a M

D’où : 00 000 N

k l l mxmg R

Et 20 0 0kx l l x x

m , avec

0km

2. On résout l’équation :

0 0cos sin , ,x t A t B t A B (

Et avec les CI : 0

0 00

0cos

0 0

x x Ax t x t

x B

3. 0 0

0 0cos

0 0x x

T si xT kx e kx t e

T si x

) )

Il s’agit bien d’une force élastique : qui ramène le pt à sa position d’équilibre x = 0.

Exercice 7 : Oscillation d’un point relié à deux ressorts

1. Position d’équilibre : On peut le voir directement Si x = 0, alors les ressorts n’appliquent pas de tension, le point est immobile dans le référentiel galiléen… Ou on le démontre avec le PFS… un peu plus long…

2. Même méthode que dans l’exercice précédent :

Réf d’étude , , , ,G x y zO e e e t

supposé galiléen.

Système : Point M de masse m Base de projection : cartésienne (celle du réf) Bilan des forces : Poids

zP m g mg e


N zR e

Tensions Ressorts :

1 1 1 01

2 2 2 02

x

x

T k l l e

T k l l e

Mais 1 01 1 1

2 02 2 2

x

x

l l x T k x el l x T k x e

PFD dans RG galiléen : 1 2 /P T T R m a M

D’où : 1 20 000 N

k k x m xm g R

Et 1 2 20 0

k kx x x x

m

, avec 1 2

0

k km

3. Même résolution pour l’équation, mais avec le 0 différent :

0 0cos sin , ,x t A t B t A B (

Et avec les CI : 0

0 00

0cos

0 0

x x Ax t x t

x B

Exercice 8 : Etude d’une corde d’escalade

1. Méthode complète :

- Référentiel d’étude : , , ,x zO e e t

- Système étudié : le grimpeur - Base de projection : on reste en cartésienne - Bilan des Forces :

0 0 zP m g mg e

- PFD dans R galiléen : 0

0

0mxma mg

mz mg

Et on intègre : 0x t x

0

0

0

tx t dt

z t z

&

0

tz t dt gt

&

Et encore 0x t x

0

0

0

tx t dt

z t z

&

2

0

12

tz t dt gt

&

La corde commence à se tendre pour 212Lz t L gt

Donc pour 2L

Ltg

et 12 12.5 .L Lv gt gL m s

2. On veut que le grimpeur s’arrête à la limite d’élasticité de la corde. On calcule donc la vitesse avec la nouvelle accélération a0 (action conjuguée de la pesanteur et de la

corde de tension 0 zT T e

. Pour Lt t :

00 0 0

0 0mxma T mg

mz ma mg T

Et Lz t z t

0L

t

L Lt

L

z t dt v a t t

z t z t

&

20

12L

t

L L Ltz t dt L v t t a t t

&

En tB :

20

0

112

0

B L B L B L

B L B L

z t L E L v t t a t t

z t v a t t

Cela donne : 2

20

12

122.6 .2

L B L

L

LE v t t

va m sLE

3. On a 0 0 0 0 0 10,99T mg ma m g a kN * .

La corde va résister et arrêter la chute du grimpeur. On aurait d’ailleurs pu se satisfaire ici d’une corde un peu plus fine… 1,1 tonnes de résistance aurait suffit, mais il vaut toujours mieux avoir un peu de marge dans ces cas-là !!!

Exercice 9 : Le lob au tennis

1. La méthode est rigoureusement la même que pour l’exercice de ballistique. On a avec le PFD en réf galiléen :

00

xyz g

0

0

cos0

sin

x vyz gt v

0

20 0

cos01 sin2

x v ty

z gt v t z

2. Trajectoire : on élimine le temps :

202 2

0

tan2 cos

gz x x zv

3. Au niveau du fil, x = d1 = 2m z = 3m > 1m, la balle passe. 4. On trouve la distance x1 entre le joueur 1 et le joueur 2 en imposant h dans l’équation de la trajectoire : 2 solutions : x1’ = 1,4m ne convient pas, car dans le terrain du joueur 1 x1’’ = 7,5m convient, le joueur 2 doit donc se placer à 5,5m du filet 5. Si d2 = 4m, il est trop près du filet, le lob réussi si la balle atterri dans le court, donc si pour z = 0, x < 14m. On vérifie que cela fonctionne : x(z=0) = 7m

6. A l’impact : 1

0

10

0

cos 5 .

sin 9 .cos

x

z

v v m sgxv v m s

v

Norme de la vitesse : 2 2 110,3 .x zv v v m s

Angle avec le sol : tan 1,8 61z

x

vv

+ + ,

Exercice 10 : Saut à ski

Bien penser à faire l’inventaire des forces pour chacune des phases, et un PFD dans le référentiel terrestre qui peut être supposé galiléen… Solutions :

1. Tension de la perche 1 sin486

cosF mgT N

+

2. Distance parcourue 0 9, 8x x m

3. Vitesse limite 1lim

sin 28,3 .Pv m sk

4. Même problème que la balistique : on injecte y = -5m dans l’équation de la trajectoire : équation du second degré à résoudre, qui nous donne x1 = 46,3m.

Exercice 11 : Plan incliné Idem plan incliné mais avec une condition initiale

différente : PFD sur l’objet en réf galiléen…

D’où : 0 0

sin 0cos 0N

mxmg mymg R

++

Ainsi :

0

0

cos0sin sin sin

x t vxy g y t v gt

+ +

Et 0x t x

0 cosv t

y t y t

20

1sin sin2

v t gt +

Trajectoire : 02

2 20

cossintan

2 cos

xtv

gxy xv

+

Parabole

Cas limites = 0 : mouvement horizontal rectiligne uniforme

Et = /2 : mouvement vertical balistique

Exercice 12 : Anneau sur un guide circulaire

Référentiel d’étude terrestre : , , , ,x y zO e e e t

Base de projection : Polaire , ,POL r zB e e e

Toute réaction d’un support (surface ou ligne) se décompose en une composante normale à la surface ou à la ligne, modélisant le fait que l’objet ne peut pas pénétrer dans le support, et une composante tangentielle, modélisant les frottements (négligés

ici) : donc 0r

N T N

z POL

RR R R R

R

Bilan des forces : Poids : zP m g mg e

Réaction NR R

PFD sur M dans R supposé galiléen : /NP R m a M

.

On sait déjà que le point ne peut pas quitter le guide, donc r est constante et z aussi

On sait aussi en coordonnées polaires, dans notre cas,

que : /

P O L

rv M r r e

z

Donc 00 0

r

zPOL POL

rRm

mg R

2

2

r

r

rz

2

0POL

POL

mvb

dvmdt

Cela nous donne : 0

2z

r

v cstte vR m g

m vRb

2

0z r

mvR mg e eb

,

SOLUTION des EXERCICES – ME2 – Feuille 2/2

Exercice 13 : Coulissement sur une tige en rotation

Référentiel d’étude terrestre : , , , ,x y zO e e e t

1. Réf d’étude , , , ,G x y zO e e e t

supposé galiléen.

Système : Point M de masse m

Base de projection : cylindrique , ,CYL r zB e e e

Bilan des forces : Poids zP m g m g e


N zR e

2. PFD dans RG galiléen : /P R m a M

D’où :

2 20 00 2 2

0CYL CYL CYLCYL

N

NzB B BB

r r r rR m r r m r

mg R z

3. Equations : 2 0

2 N

r rmr R

, mais on ne peut rien faire avec

la seconde, car on ne connaît pas RN. 4. On en déduit l’expression de r(t) : (cas peu fréquent d’éq diff)

cosh sinh , ,r t A t B t A B (

Avec les cosinus et sinus hyperboliques, définis par

cosh sinh2 2

t t t te e e et et t

Et avec les CI : 0

0

0cosh

0 0

r r Ar t r t

r B

On trouve une solution divergente, qui ressemble à une

spirale logarithmique, avec

0 coshr t r tt t

5. Réaction de la tige : 202 2 sinhN

Nz

R mr mr tR mg

Plus le point s’éloigne et plus la tige doit fournir d’effort pour maintenir la rotation. Allure de la courbe :

6. On rajoute un ressort dans le PFD : 2

00 00 0 2

0 0CYL CYL CYL CYL

N

NzB B B B

r r r rR k m r

mg R

Ce qui nous donne la nouvelle équation différentielle :

20 0kr r r r

m

Ou encore 20

k kr r rm m

! " #$ %

Résolution : on voit 2 cas apparaître

Cas 1 : si 2km

, alors le ressort ramène le point autour

de la position en r = r0. On a des ondulations autour de cette position :

02 cos sin , ,kr t r A t B t A Bk m

(

…

Cas 2 : si 2km

) , alors le ressort ne suffit pas à ramener le

point autour d’une quelconque position d’équilibre, la solution reste en cosinus hyperbolique, et elle diverge de la même manière.

y

x

O

y

x

O

ME3ME3ME3ME3 –––– EnergétiqueEnergétiqueEnergétiqueEnergétique

Exercice Exercice Exercice Exercice 1111 : Frottements : Frottements : Frottements : Frottements

Une particule M de masse m, lâchée en A0, sans vitesse

initiale glisse sans frottements sur un plan incliné suivant A0A1.

Calculer la distance d’arrêt D = A1A2 sachant qu’à partir de

A1 interviennent des frottements de glissement de coefficient f

sur le plan horizontal.

ExerciceExerciceExerciceExercice 2222 : : : : Jeu de constructionJeu de constructionJeu de constructionJeu de construction

Quelle énergie minimale faut-il fournir pour empiler 10

cubes homogènes de coté a et de masse m initialement

éparpillés sur le sol ?

ExerciceExerciceExerciceExercice 3 3 3 3 : : : : DistanceDistanceDistanceDistance de freinage de freinage de freinage de freinage

Une voiture roulant à la vitesse v1 = 50km.h-1 sur une route

plane horizontale a une distance d’arrêt en freinage égale à

d1 = 40m.

En supposant que la force de freinage est constante en

intensité, déterminer la distance d2 de freinage pour une vitesse

initiale v2 = 100km.h-1.

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : : : : Circuit automobile pour enfantsCircuit automobile pour enfantsCircuit automobile pour enfantsCircuit automobile pour enfants

Un circuit comporte deux tronçons rectilignes AB et BC.

Le premier a pour hauteur h et le second se poursuit par un

looping CS de rayon R. La voiturette utilisée est assimilée à un

point matériel de masse m. Elle est lâchée sans vitesse initiale.

On note g l’intensité du champ de pesanteur et on néglige tous

les frottements.

1. Exprimer la vitesse vB de la vitesse au point B en fonction

de g et de h.

2. En supposant qu’il n’y ait aucune discontinuité de la valeur

de la vitesse au passage de B, quelle est la vitesse en C ?

3. Exprimer la valeur RN de la force normale exercée par la

piste au sommet S du looping en fonction de m, g, R, et vS

la vitesse au sommet.

4. Exprimer la vitesse vS en fonction de vC, g et R.

5. La voiture perd contact avec la piste en S lorsque RN

s’annule. Déterminer, en fonction de R, la valeur hmin de la

hauteur h pour laquelle la voiturette parvient au sommet

du looping.

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : Point lié à un ressort Point lié à un ressort Point lié à un ressort Point lié à un ressort (Calcul d’Ep)(Calcul d’Ep)(Calcul d’Ep)(Calcul d’Ep)

Un point matériel M de masse m est lié à un ressort

horizontal de constante de raideur k et de longueur à vide l0,

l’autre extrémité du ressort étant fixe en A. Le point M glisse

sans frottement le long de l’axe ( )0, xe

à partir de sa position

d’équilibre située en O.

1. Exprimer la force de rappel élastique T

exercée par le

ressort sur le point M.

2. Déterminer l’énergie potentielle élastique ElastPE dont

dérive cette force pour un allongement x du ressort à partir

de sa longueur à vide l0.

3. Par une analyse énergétique, établir l’équation

différentielle du mouvement de M. En déduire la pulsation

propre des oscillations.

ExerciceExerciceExerciceExercice 6666 : : : : Oscillation d’un système solideOscillation d’un système solideOscillation d’un système solideOscillation d’un système solide----ressortressortressortressort

Un solide ponctuel de masse m est attaché à un ressort

horizontal de raideur k dont l’autre extrémité est fixe. Le solide

oscille sans frottement entre deux positions extrêmes A et b

d’abscisse xA = -a et xB = +a, symétriques par rapport à la

position d’équilibre O prise pour origine du repère. On donne

k = 40 N.m-1, a = 2,0 cm, m = 100g.

Commentez les affirmations suivantes :

1. La valeur de la force de rappel F

du ressort est la même

en A et en B et vaut F = 0,80N.

2. Le travail entre A et O vaut ( ) 16A OW F m J→ = −

3. Le travail entre A et O vaut ( ) 16A OW F mJ→ = +

4. Le travail entre A et B vaut ( ) ( )2A B A OW F W F→ →=

5. La vitesse de passage du solide en O est v = 0,40m.s-1

ExerciceExerciceExerciceExercice 7777 : : : : Rebonds successifs d’une balleRebonds successifs d’une balleRebonds successifs d’une balleRebonds successifs d’une balle

Une balle de caoutchouc de masse m est lachée sans vitesse

initiale à une hauteur h0 du sol. On néglige les forces exercées

par l’air devant le poids de la balle.

1. Quelle est sa vitesse v0 à l’arrivée au sol ?

2. A chaque rebond, la balle perd 10% de son énergie

cinétique. Au bout de combien de rebonds la hauteur

atteinte au dessus du sol devient-elle inférieure au dixième

de la hauteur h0 ?

Données : h0 = 2,0m et g = 10m.s-2.

ExerciceExerciceExerciceExercice 8 8 8 8 : : : : Vivre dangereusementVivre dangereusementVivre dangereusementVivre dangereusement

Un alpiniste, de masse m pendule au bout d’une corde de

longueur L dans l’espoir d’atteindre une plate-forme voisine.

L’angle θ que fait la corde avec la verticale varie au cours du

temps et peut atteindre la valeur θ0 en bout de course. La corde,

déjà usée, ne supporte que des tensions inférieures à une valeur

Tlim. L’alpiniste peut-il espérer rejoindre la plate-forme

salvatrice ?

Données : m = 100kg, g = 10m.s-2, θ0 = 30°, Tlim = 4000N.

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– ME3ME3ME3ME3 / / / / ME4ME4ME4ME4 –––– Energétique / OscillateursEnergétique / OscillateursEnergétique / OscillateursEnergétique / Oscillateurs –––– Feuille 1/ Feuille 1/ Feuille 1/ Feuille 1/3333

A1 A2

A0

h

B C

A

h

S

R

ExerciceExerciceExerciceExercice 9999 : : : : L’esquimau et son igloo.L’esquimau et son igloo.L’esquimau et son igloo.L’esquimau et son igloo.

Un esquimau de masse m se laisse glisser depuis le haut

d’un igloo hémisphérique de rayon R. Sa position sur l’igloo est

repérée par l’angle θ avec la verticale.

1. Exprimer la force exercée par l’igloo sur l’esquimau en

fonction de m, g, R, θ, et de la vitesse v correspondant à

cet angle.

2. A l’aide du théorème de l’énergie cinétique, exprimer la

vitesse v en fonction de g, R et θ.

3. Quelle est la valeur de l’angle θ0 pour lequel l’esquimau

perd le contact avec l’igloo ?

ExerciceExerciceExerciceExercice 10101010 : : : : Pendule dont le fil cassePendule dont le fil cassePendule dont le fil cassePendule dont le fil casse

Un point matériel M de masse m, attaché à l’extrémité

d’un fil inextensible de longueur l dont l’autre extrémité est

attaché en un point fixe O, est lâché sans vitesse initiale depuis

la position A telle que le fil soit horizontal. Le pendule effectue

un quart d’oscillation, puis le fil se rompt alors que le pendule

forme un angle 2α π< avec la verticale descendante (Oz) et

que le point M est en B.

1. Exprimer la norme vB de la vitesse du point M en B, en

fonction de g, l et α.

2. On note S le sommet de la trajectoire parabolique décrite

par le point matériel à la suite de la rupture du fil.

Exprimer la norme vS de la vitesse de passage en S.

3. En déduire la différence H entre les altitudes des points A

et S, en fonction de l et de α.

ExerciceExerciceExerciceExercice 1 1 1 11111 : : : : Pendule sur un plan inclinéPendule sur un plan inclinéPendule sur un plan inclinéPendule sur un plan incliné

Sur un plan solide incliné d’un angle α par rapport ç

l’horizontale, on attache en un point fixe O du plan un fil de

longueur l, et on suspend à l’autre extrémité un point matériel

M de masse m. La position du pendule ainsi constitué est

repérée par l’angle θ(t) formée par le fil avec la ligne OO’ de

plus grande pente sur le plan incliné. On note H la projection

orthogonale du point M sur cette ligne. Les cotes des différents

points sont définies par rapport à l’axe vertical ascendant (Oz).

1. Exprimer les énergies cinétiques EC et potentielle EP du

point M en fonction de θ.

2. En déduire l’équation différentielle du second ordre

vérifiée par θ. Quelle est la nature des oscillations de

faible amplitude ?

ExerciceExerciceExerciceExercice 1 1 1 12222 : : : : Etat accessiblesEtat accessiblesEtat accessiblesEtat accessibles

Le graphe ci-dessous

représente l’énergie

potentielle EP(X) d’un point

matériel dont la position

est paramétrée par la

variable X telle que X ≥ 0.

1. Placer sur le graphe

les valeurs de X correspondantes à des positions

d’équilibre. Indiquer si elles sont stables ou instables.

2. A l’instant initial, on a X(t=0) = X0. Sachant que l’énergie

mécanique du point matériel vaut Em = 20J, indiquer sur

le graphique le domaine de variation de X possible.

ExerciceExerciceExerciceExercice 1 1 1 13333 : : : : L’inversion de la molécule d’amL’inversion de la molécule d’amL’inversion de la molécule d’amL’inversion de la molécule d’ammoniacmoniacmoniacmoniac

Dans un modèle simplifié de la molécule d’ammoniac NH3,

les trois atomes d’hydrogène H forment la base d’une pyramide

dont l’azote N de masse m occupe le sommet.

Les trois atomes d’hydrogène sont fixes dans le référentiel

du laboratoire supposé galiléen ( )0; , , ,G x y ze e e tℜ et

définissent le plan (Oxy).

L’atome d’azote est en mouvement suivant l’axe ( )0;

xe

perpendiculaire au plan des atomes d’hydrogène. Il peut passer

de part et d’autres de ce plan et sa cote est notée z.

Le champ de pesanteur est négligeable pour décrire cette

structure atomique et la résultante des forces

électromagnétiques qui s’exercent sur l’atome d’azote N supposé

ponctuel est : ( )2 2α= − − ⋅

zF z z a e . Les constantes α et a sont

positives.

1. L’origine de l’énergie potentielle est choisie en z = 0. De

quelle énergie potentielle EP la force F dérive-t-elle ?

Représenter graphiquement EP lorsque z varie de -∞ à

+∞.

2. Définir la condition générale de stabilité d’un équilibre et

déterminer les positions d’équilibres stables et instables

de l’atome d’azote.

3. Une énergie 41

4α∆ ≤E a est cédée au système au

moment où l’atome d’azote est dans une position

d’équilibre stable. Montrer graphiquement que l’atome

d’azote va osciller entre deux valeurs limites z1 et z2.

Déterminer la fréquence des petites oscillations.

4. Que se passe-t-il si l’énergie cédée 41

4α∆ >E a ?

θ

HHHH

NNNN

x

z y

HHHH

HHHH

ME4ME4ME4ME4 –––– Oscillateur Part 1Oscillateur Part 1Oscillateur Part 1Oscillateur Part 1

Exercice 14Exercice 14Exercice 14Exercice 14 : : : : ExpédExpédExpédExpédition à Cayenneition à Cayenneition à Cayenneition à Cayenne

Lors de l’expédition de l’Académie des Sciences en

Guyane en 1672, on s’aperçut que la longueur du pendule à

secondes utilisé à Cayenne devait être diminué de 2,8mm par

rapport à sa longueur à Paris, qui était de 993,9mm.

1. Montrer que ce résultat pouvait être interprété comme

une conséquence de l’aplatissement terrestre.

2. Calculer la valeur de l’intensité de la pesanteur à

Cayenne, sachant que sa valeur à Paris est de 9,81m.s-2.

Exercice 15Exercice 15Exercice 15Exercice 15 : : : : Oscillations verticales dues à un chocOscillations verticales dues à un chocOscillations verticales dues à un chocOscillations verticales dues à un choc

Une bille M de masse m = 200g est suspendue à un

ressort de longueur à vide l0 et de constante de raideur k. A

l’équilibre, le ressort est allongé de ∆leq = 5cm. Un choc vertical

orienté vers le haut communique alors à la bille une vitesse v0.

La bille remonte de h = 2cm et se met à osciller.

1. Exprimer puis calculer la constante de raideur k.

2. Déterminer en fonction de h et des données la vitesse

initiale v0 communiquée à la bille lors du choc. La

calculer.

3. Quel est l’allongement maximal ∆lmax du ressort au cours

des oscillations de la bille ?

Exercice 16Exercice 16Exercice 16Exercice 16 : : : : Système de deux ressortsSystème de deux ressortsSystème de deux ressortsSystème de deux ressorts

Un solide de masse m, relié à deux ressorts identiques R1

et R2 dont les autres extrémités sont fixes, peut se déplacer sans

frottements sur un rail horizontal. Chacun des ressorts, de

masse négligeable devant celle du solide, est caractérisé par un

raideur k et une longueur à vide L0. Celle-ci est inférieur à la

longueur a des ressorts à l’équilibre.

On déplace légèrement le solide vers la droite et on le

lâche sans vitesse initiale. La position du solide, assimilé à un

point matériel est repérée par son abscisse x, comptée depuis sa

position d’équilibre O.

1. Etablir l’équation différentielle en x du mouvement dans

le cas où il n’y a aucun frottement.

2. A quel système mécanique plus simple le système est-il

équivalent ?

3. En réalité, le solide subit de la part de l’air une force de

frottement fluide : f vα= −

opposée à son vecteur

vitesse. Etablir la nouvelle équation différentielle en x.

Exercice 17Exercice 17Exercice 17Exercice 17 : : : : oscillateur inclinéoscillateur inclinéoscillateur inclinéoscillateur incliné

Un point matériel M

de masse est relié à

l’extrémité d’un ressort de

constante de raideur k et de

longueur à vide l0, attaché à

un point fixe O. L’ensemble

est placé sur un plan incliné d’un angle α par rapport à

l’horizontale. Les frottements sont négligés.

1. Exprimer la longueur leq du ressort lorsque le point M

est à l’équilibre.

2. On pose x(t) = l(t) – leq, où l(t) est la longueur

instantanée du ressort. Déterminer l’équation

différentielle vérifiée par x lorsque la masse m est en

mouvement. Que remarque-t-on ?

Exercice 18Exercice 18Exercice 18Exercice 18 : : : : Mesure de la viscosité d’un milieuMesure de la viscosité d’un milieuMesure de la viscosité d’un milieuMesure de la viscosité d’un milieu

Une sphère de masse m et de rayon r, assimilée à un

point matériel, est attachée à l’extrémité d’un fil de longueur l.

Elle peut osciller dans un milieu liquide dans lequel elle subit

une force de frottement fluide 6f r vπη= − ⋅

, où v

est la

vitesse de la sphère et η la viscosité du milieu. La position de

la sphère est repérée par l’angle θ entre le fil et la verticale

descendante. On néglige la poussée d’Archimède devant les

autres forces mises en jeu et on suppose que le fil reste

constamment tendu.

1. Déterminer l’équation

différentielle du mouvement

par une méthode énergétique

2. Dans le cas d’oscillations de

faible amplitude, exprimer la

pseudo-pulsation.

3. En déduire l’expression de η en fonction de la pseudo-

période T, de la période propre T0 et des autres données.

En déduire une manière de mesurer cette viscosité.

4. Proposer une autre méthode de mesure de la viscosité et

écrire les équations correspondantes

Exercice 19Exercice 19Exercice 19Exercice 19 : : : : Oscillation autour d’un équilibreOscillation autour d’un équilibreOscillation autour d’un équilibreOscillation autour d’un équilibre

Un point matériel M de masse m glisse avec un

frottement fluide hv−

le long d’un plan incliné d’angle θ, sur

un axe x. Il est attaché à deux ressorts identiques (raideur k,

longueur au repos l0) dont les extrémités sont fixées aux point

A et B (AB = 2l0).

1. Déterminer l’abscisse xe du point d’équilibre

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– ME3ME3ME3ME3 / / / / ME4ME4ME4ME4 –––– Energétique / OscillateursEnergétique / OscillateursEnergétique / OscillateursEnergétique / Oscillateurs –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 2222////3333

A

B

θ

x

2. On place l’origine en ce point d’équilibre. Quelle est

l’équation du 2nd ordre satisfaite par l’abscisse x(t)

lorsqu’il n’y a pas de frottement ? (la déterminer par une

méthode énergétique)

3. Quelle est l’expression de x(t) si on place initialement le

point sur la position d’équilibre et si on lui communique

une vitesse initiale v0 vers le haut (toujours sans

frottement).

4. Et si on ne néglige plus le frottement fluide hv−

?

Modifier l’équation vérifiée par x et définir le facteur de

qualité Q

5. Déterminer l’expression de x(t) dans le cas d’un faible

amortissement.

ExerciExerciExerciExercice 20ce 20ce 20ce 20 : : : : Point d’équigravitéPoint d’équigravitéPoint d’équigravitéPoint d’équigravité

Un solide assimilé à un point matériel P de masse m est

situé sur l’axe Terre-Lune à la distance x du centre T de la

Terre. On note d = 3,84.105 km la distance TL (L centre de la

Lune). On note MT = 5,97.1024 kg et ML = MT/81 les masses de

la Terre et de la Lune. L’action gravitationnelle exercée par la

Terre (ou la Lune) sur le point matériel s’obtient en

concentrant toute la masse MT (ou ML) au centre.

1. Quelle est la force gravitationnelle résultante F(x) exercée

sur P ?

2. Déterminer la distance xe du point d’équigravité E où le

point matériel se trouve en équilibre

3. Cet équilibre est-il stable ?

4. Calculer les énergies potentielles desquelles dérivent

chacune de ces forces

5. Redémontrer par cette méthode énergétique la nature de

l’équilibre.

Exercice 21Exercice 21Exercice 21Exercice 21 : : : : Etude d’une énergie potentielleEtude d’une énergie potentielleEtude d’une énergie potentielleEtude d’une énergie potentielle

Un point matériel est en mouvement le long de l'axe

(Ox), il est soumis à une force F

conservative dont

l'expression de l'énergie potentielle est :

( ) ( )2 2 20

1

2pE x kx kl h x l= + − +

1. Représenter graphiquement la fonction Ep(x). Puis

déterminer graphiquement les positions d'équilibre.

2. Déterminer, par le calcul, les positions d'équilibre du

système.

3. Le rapport h/l0 influence-t-il le nombre de positions

d'équilibre ?

4. Parmi ces positions, quelles sont celles qui sont stables ou

instables ?

5. Retrouver l'expression de la force F

auquel est soumis le

point matériel.

6. Ce point matériel est de masse m. Donner l'équation

différentielle du mouvement.

Exercice 22Exercice 22Exercice 22Exercice 22 : : : : Frottement solideFrottement solideFrottement solideFrottement solide

Un solide parallélépipédique de masse m, assimilé à un

point matériel M, est attaché à l’extrémité d’un ressort de

longueur à vide l0 et de constante de raideur k. Cet objet peut

glisser sur un support plan horizontal. Lorsque la masse glisse,

la force de frottement engendrée est d’intensité constante F. A

l’instant t = 0, le ressort étant étiré d’une longueur d, on lâche

la masse m sans vitesse initiale. On suppose que celle-ci se met

alors en mouvement. La position de M est repérée par son

abscisse x(t) mesurée par rapport au point où le ressort est non

étiré. On pose 0 2π=T m k .

1. Déterminer la loi horaire x(t) du mobile pour 10 ≤ ≤t t ,

où t1 est la première date à laquelle sa vitesse s’annule

2. Déterminer l’expression de la date t1 en fonction de T0,

ainsi que l’abscisse x1 à cette date.

3. Sachant que pour que le solide se mette à glisser à partir

d’une vitesse nulle, il faut que la traction soit supérieure à

une valeur seuil (correspondant au cône de frottement),

dessiner l’allure de la courbe x(t) pour x > 0.

Exercice Exercice Exercice Exercice 22223333 : : : : Equilibre stable ou instableEquilibre stable ou instableEquilibre stable ou instableEquilibre stable ou instable ????

Le référentiel terrestre ( )0; , , ,G x y ze e e tℜ est supposé

galiléen. Une particule P, de masse m ne peut déplacer que

suivant l’axe horizontal (Ox), sans frottements. P est aussi

attaché à un ressort (R) de raideur k et de longueur au repos l0,

dont l’autre extrémité est fixée en O’ (OO’ = h).

1. Que peut-on dire de l’énergie potentielle de pesanteur de

P ?

2. Exprimer l’énergie potentielle Ep totale de P en fonction du

paramètre x et des données.

3. A partir du tableau de variation, en déduire le graphe

représentatif de la fonction EP(x). On distinguera les cas où

h > l0 et h < l0.

4. En déduire l’existence et la nature des points d’équilibre du

point P.

O

P

O’

h

x

(R)

l g

Lune L Terre T Satellite P x

Exercice Exercice Exercice Exercice 22224444 : : : : Tunnel terrestreTunnel terrestreTunnel terrestreTunnel terrestre

La Terre est supposée sphérique de centre C et de rayon

R = 6400km. Pour relier 2 villes A et B, un tunnel est foré au

travers du globe terrestre en ligne droite. Un point matériel M

de masse m part sans vitesse initiale du point A et glisse dans le

tunnel sans frottement suivant l’axe ( )0, xe

pour rejoindre le

point B. Lorsque ’il est situé à l’intérieur de la Terre à la

distance r = CM du centre C, la Terre exerce sur M une force

d’attraction dirigée vers C et de valeur 0 r

rf mg u

R= −

, avec

r

CMu

CM=

, et 20 10 .g m s−= le champ de pesanteur à la surface.

La distance CO

du tunnel au centre de la Terre est notée d.

1. Quelle est l’énergie

potentielle de

gravitation GRAVPE

associée au point M en

choisissant l’origine de

cette énergie en O. En

déduire la vitesse

maximale vmax du

mobile. Le point M

possède-t-il une

position d’équilibre

stable ?

2. Déterminer la nature et l’équation horaire x(t) du

mouvement de M. Retrouver l’expression de vmax.

3. Calculer numériquement le temps T nécessaire au mobile

pour revenir en A.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 25555 : : : : Décollement d’une masseDécollement d’une masseDécollement d’une masseDécollement d’une masse

Un point matériel M de masse m est posé sur un plateau

horizontal de masse m’, lui-même attaché à un ressort vertical

de longueur à vide l0 et de constante de raideur k. On suppose

que l’ensemble est astreint à se déplacer uniquement suivant

la verticale. A l’instant t = 0, l’ensemble étant à l’équilibre, on

appuie sur le plateau qui se déplace vers la bas d’une distance

d, et on le lâche sans vitesse initiale. On repère la position de

la masse et du plateau par la cote z(t) mesurée sur un axe

vertical ascendant (Oz) ayant pour origine la position à

l’équilibre.

1. Exprimer l’allongement algébrique ∆leq du ressort lorsque

l’ensemble est à l’équilibre.

2. En supposant le contact entre la masse et la plateau

maintenu, établir l’équation différentielle vérifiée par z.

En déduire la loi horaire z(t).

3. Exprimer alors la réaction R

exercée par le plateau sur la

masse m.

4. En déduire à quelle condition sur d la masse ne décollera

pas du plateau au cours du mouvement.

C

A B x

z

M

α

O

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– ME3ME3ME3ME3 / / / / ME4ME4ME4ME4 –––– Energétique / OscillateursEnergétique / OscillateursEnergétique / OscillateursEnergétique / Oscillateurs –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 3333////3333

ME3ME3ME3ME3 –––– EnergétiqueEnergétiqueEnergétiqueEnergétique

Exercice Exercice Exercice Exercice 1111 : : : : FrottementsFrottementsFrottementsFrottements

1ère étape : Entre A0 et A1 – Pas de frottement Conservation

de l’énergie mécanique

2

0 0 0 1 1

1

2m c p mE E E mgh E mv= + = = =

2ème étape : A partir de A1, l’énergie mécanique diminue jusqu’à

s’annuler en A2

TEC appliqué à la particule M dans Gℜ supposé galiléen

2 forces : zP mg e= − ⋅

Ne travaille pas

N T z xR R R mg e mfg e= + = + ⋅ − ⋅

Travaille

TEC : 21

10

2 TC R

E mv W mfgD∆ = − = = −

Donc : mgh mfgD= et ainsi h

Df

=

ExerciceExerciceExerciceExercice 2 2 2 2 : : : : Jeu de constructionJeu de constructionJeu de constructionJeu de construction

Travail à fournir pour compenser le travail du poids (mis sous

forme d’énergie potentielle). On compare ces énergies :

Tous les cubes éparpillés, leur centre de gravité étant tous à a/2 :

10 52

= =

P

mgaE mga

Tous les cubes empilés, le centre de gravité étant à 5a :

( ) ( )10 5 50= =PE m g a mga

Il faut fournir la différence 45∆ =PE mga …

ExerciceExerciceExerciceExercice 3 3 3 3 : : : : Distance de freinageDistance de freinageDistance de freinageDistance de freinage

22

1 1 12

2 1 12 1

2 2 2

1

2 4 1601

2

∆ = − = − ⇒ = = =

∆ = − = −

C

C

E mv Fdv

d d d mv

E mv Fd

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : : : : Circuit automobile pour enfantsCircuit automobile pour enfantsCircuit automobile pour enfantsCircuit automobile pour enfants

1. Conservation 21

2= =mE mgh mv 2⇒ =v gh

2. Pas de frottement / route plane Même vitesse en C qu’en B

3. PFD :

22θ

θ θ

− − + = = =

ɺ

ɺɺɺɺ

N

POLPOL

mvmR

P R m a RmR

mR

et au

sommet, tous est vers le bas : 22

= − = −

SN

vmvR mg m g

R R

4. TEM : 2 21 1

2 2= + = +m C C S SE mv mgz mv mgz

Et ( )2 22 4= + − = −S C C S Cv v g z z v gR

5. 2 2

_ min

50 5 2

2= ⇔ = ⇔ = = ⇔ =N S S C

RR v gR v gR gh h

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : Point lié à un ressort (Calcul d’Ep)Point lié à un ressort (Calcul d’Ep)Point lié à un ressort (Calcul d’Ep)Point lié à un ressort (Calcul d’Ep)

1. ( )0= − −

xT k x l e

2. On a en 1D : ( ) −=Elast

PdEF x

dx

Donc ( ) ( )2

0 0

1

2= − = = − +∫

Elast ElastP PE k x l dx E k x l C

3. Bilan d’énergie : ( )220

1 1

2 2= + = + −ɺm C PE E E mx k x l

Et on dérive ( )0 0δ= + − = =ɺɺɺ ɺm NCdE W

mxx k x l xdt dt

D’où : 0+ =ɺɺm x kx k l

ExerciceExerciceExerciceExercice 6 6 6 6 : : : : Oscillation d’un système solideOscillation d’un système solideOscillation d’un système solideOscillation d’un système solide----ressortressortressortressort

1. Vrai… faire la calcul ( )0= − −

xF k l l e .

2. et 3. ( ) 16A OW F m J→ = ±

Faux, car la force n’est pas

constante, le plus simple pour le calculer est de passer par l’EP :

( ) 2 21 18,0

2 2A O P A OW F E kx kx mJ→ = −∆ = − =

, et

attention au signe, force motrice, travail positif…

4. Faux, entre A et B : ( ) 0A B PW F E→ = −∆ =

5. Vrai : conservation de l’Em : 2 21 1

2 2= =mE ka mv

Ce qui donne 10, 40 . −= =kv a m s

m

ExerciceExerciceExerciceExercice 7 7 7 7 : : : : Rebonds successifs d’une balleRebonds successifs d’une balleRebonds successifs d’une balleRebonds successifs d’une balle

1. Conservation de l’énergie méca ... 102 6,3 . −= =v gh m s

2. Après le rebond n : ( ) 00,9 =n

nmgh mgh

On veut ( ) ( )( )

00

ln 0,10,9 21,85 22

10 ln 0,9= < ⇒ > = →n

n

hh h n

ExerciceExerciceExerciceExercice 8 8 8 8 : : : : VVVVivre dangereusementivre dangereusementivre dangereusementivre dangereusement

Besoin du PFD pour connaitre la tension du fil, on la projette

sur la direction radiale : 2

cos cosθ θ⇒ = + = +N

mvT mg ma mg

L

La tension est maximale en bas : A. Il faut connaître la vitesse

en bas correspondant à la position extrême θ0 notée B : TEM

210

2= + = +m A A BE mv mgz mgz

Donc ( ) ( )202 2 1 cosθ= − = −A B Av g z z gL

Ainsi :

( )2

max 02 1 cos 1300θ⇒ = + = + − =AmvT mg mg mg N

L

Ce qui est inférieur à la limite supportée, la corde résiste.

SOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXERCICES RCICES RCICES RCICES –––– ME3 / ME4 ME3 / ME4 ME3 / ME4 ME3 / ME4 –––– Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3

ExerciceExerciceExerciceExercice 9999 : : : : L’esquimau et son igloo.L’esquimau et son igloo.L’esquimau et son igloo.L’esquimau et son igloo.

1. PFD R galiléen (idem pendule) : 2

2cos

sin 0

θ θθ θ θ

− − − + = + = = =

ɺ

ɺɺɺɺ

NN

POL

mvRmg R

P R ma m Rmg R

mR

2

cosθ⇒ = −N

mvR mg

R

2. TEC :

210

2∆ = − = +

NC P R

E mv W W ( )1 cosθ= −∆ = −PE mgR

Ainsi, on obtient ( )2 2 1 cosθ= −v gR

3. Perte de contact : 2

0 cos 0θ= ⇔ − =N

mvR mg

R

Ou encore : ( )0 0cos 2 1 cos 0θ θ− − =mg mg

Cela donne 0 0

2 2cos cos 48

3 3θ θ = ⇒ = = °

Ar

ExerciceExerciceExerciceExercice 10101010 : : : : Pendule dont le fil cassePendule dont le fil cassePendule dont le fil cassePendule dont le fil casse

1. TEM … 2 cosα⇒ =Bv gl

2. Après la rupture du fil, la vitesse horizontale va se

conserver : cosαBv , alors que la vitesse verticale

sinαBv va être atténuée par le poids, s’annuler au

sommet, et devenir négative. Ainsi au sommet il ne reste

que la vitesse horizontale : cosα=S Bv v .

3. On a 2

2 2 2

10

21 1

cos2 2

α

+ = + + = +

A B B

S B B B

mgz mgz mv

mgz mv mgz mv

Donc 2 2

3coscos

2

α α= − = =BA S

vH z z R

g

ExerciceExerciceExerciceExercice 10 10 10 10 : : : : Pendule sur un plan inclinéPendule sur un plan inclinéPendule sur un plan inclinéPendule sur un plan incliné

1. Energies : 2 2 21 1

2 2θ= = ɺ

CE mv ml et cos sinθ α= −PE mgl .

2. ( ) 0= + =mC P

dE dE E

dt dt car pas de frottements

2 sin sin 0θ θ θ θ α⋅ + =ɺ ɺɺ ɺml mgl

On simplifie : 0

sin sinsin 0

α αθ θ ω+ ⋅ = =ɺɺ g g

l l

Pour de petites oscillations, on retrouve un oscillateur

harmonique non amorti Oscillations sinusoïdales

ExerciceExerciceExerciceExercice 12 12 12 12 : : : : Etat accessiblesEtat accessiblesEtat accessiblesEtat accessibles

1. Position d’équilibre : dérivée nulle tangente horizontale.

Ici, 3 positions d’équilibre : X1 et X3 stables, X2 stable

2. Position accessibles en dessous de 20J Etat lié.

ExerciceExerciceExerciceExercice 1 1 1 13333 : : : : L’inversion de la molécule d’ammoniacL’inversion de la molécule d’ammoniacL’inversion de la molécule d’ammoniacL’inversion de la molécule d’ammoniac

1. Force 1D : ( ) ( )2 2α−= = − −PdEF z z z a

dz

On intègre : ( ) ( )2

2 2 4 2 2 2 212

4 2 4

α αα α= − = − = −∫P

aE z z a dz z z z z a

Représentation… Fonction paire

2 2

: 0

: 04 4

: 0 0 0

α α−∞ → − → → → +∞

− −+∞ +∞

− − + − + +

ց ր ց րP

P

z a a

a aE

dE

dz

2. Position d’équilibre 00

= ±= ⇔ =

Pz adE

zdz

Stable : 2

20>Pd E

dz (en +a/-a) ou instable

2

20<Pd E

dz (en 0).

3. Si 41

4α∆ ≤E a , état lié, l’azote oscille autour de la position

d’équilibre. On met l’énergie sous une forme que l’on va

intégrer pour retrouver l’équation du mouvement.

(développement limité à l’ordre 2)

( ) = +

eq

PP P eq

z

dEE E z

dz( ) ( )2

2

2

2

...2

0 ( ) 2α

− − + +

= =eq

eqPeq

z

z zd Ez z

dz

équilibre a

On pose ( )= − ⇒ =ɺ ɺeqZ z z Z z

Energie méca : 2 2 20

1

2α= + = + +ɺ

m C P PE E E mZ E a Z

On dérive (pas de frottements) : 20 2α= = ⋅ + ⋅ɺ ɺɺ ɺmdEmZ Z a Z Z

dt

L’équation est : 22 0α+ =ɺɺmZ a Z de pulsation 2

0

2αω = a

m

4. Si 41

4α∆ >E a , l’azote peut passer la barrière en z = 0, mais

elle est bloquée dans un double puits de potentiel. Elle subit

à chaque passage un renversement en « parapluie »

MEMEMEME4444 –––– Oscillateurs Part 1 Oscillateurs Part 1 Oscillateurs Part 1 Oscillateurs Part 1

Exercice 14Exercice 14Exercice 14Exercice 14 : : : : Expédition à CayenneExpédition à CayenneExpédition à CayenneExpédition à Cayenne

1. Période propre oscillateur 0

0

22

lT

g

π πω

= = . Si l’on doit

diminuer L, cela signifie que g est plus faible donc que

Cayenne est plus loin du centre de la Terre que Paris

2. Après raccourcissement, les période sont les mêmes, donc

C P

C P

L L

g g= et ainsi 29,78 .C

C P

P

Lg g m s

L−= × =

Exercice 15Exercice 15Exercice 15Exercice 15 : : : : Oscillations verticales dues à un chocOscillations verticales dues à un chocOscillations verticales dues à un chocOscillations verticales dues à un choc

1. PFS… 139,2 .eq

mgk N m

l−= =

∆

2. Conservation Em : ( ) ( )2 22

0

1 1 1

2 2 2eq eqk l h mgh k l mv∆ − + = ∆ +

Donc : ( ) ( )2 21

02 28 .eq eq

kv l h l gh cm s

m− = ∆ − − ∆ + =

3. Allongement maximal max

7eql l h cm∆ = ∆ + =

Exercice 16Exercice 16Exercice 16Exercice 16 : : : : Système de deux ressortsSystème de deux ressortsSystème de deux ressortsSystème de deux ressorts

1. Deux tensions : ( )( )

1 1 0

2 2 0

= − + −

= + − −

x

x

T k a x L e

T k a x L e

PFD : 1 2+ + + = = ⋅

ɺɺN xP R T T ma mx e

Eq diff : 1 2 1 200 ω+ ++ ⋅ = ⇒ =ɺɺ

k k k kx x

m m

2. Equivalent à un ressort unique de raideur k1 + k2

3. On rajoute la force f : 1 2+ + + + = ⋅

ɺɺN xP R T T f mx e, ce

qui donne : 1 2 0α ++ + ⋅ =ɺɺ ɺ

k kx x x

m m

Exercice 17Exercice 17Exercice 17Exercice 17 : : : : oscillateur inclinéoscillateur inclinéoscillateur inclinéoscillateur incliné

1. PFS … 0

sineq

mgl l

k

α= +

2. PFD … 0+ =ɺɺk

x xm

Idem sans le plan incliné

Exercice 18Exercice 18Exercice 18Exercice 18 : : : : Mesure de la viscosité d’un milieuMesure de la viscosité d’un milieuMesure de la viscosité d’un milieuMesure de la viscosité d’un milieu

1. PFD ou énergie … 6

sin 0πηθ θ θ+ + =ɺɺ ɺr g

m l

2. Pulsation 20

20

0

31

6

2

ωπηω ω σ

πησω

=

⇒ = − = −

=

P

gg rll mr

m

3. On retourne : 2 2

0

2 1 1

3η = −m

r T T

4. On mesure m et r de la sphère / T dans le liquide / T0 dans

l’air On en déduit la viscosité du liquide

Exercice 19Exercice 19Exercice 19Exercice 19 : : : : Oscillation autour d’un équilibreOscillation autour d’un équilibreOscillation autour d’un équilibreOscillation autour d’un équilibre

1. PFS : α+ −

NP R v 1 2 0+ + = T T

Projeté sur x : ( ) ( )0 0sin 0α − − + − =mg k AM l k MB l

Et avec 0 0

sin2

2

α= − ⇒ = = +eq

mgMB l AM AM l l

k

2. PFD : ( ) ( )0 0sin 0α − + − + − − =eq eqmg k l x l k l l x

(projeté sur x). On injecte alors la position d’équilibre :

2 0+ =ɺɺmx kx

Ou méthode énergétique : Avec un bilan d’énergie

( )2 20

1 12 sin

2 2α= × + − − + ɺm eqE k l x l mgx mx

( )02 sin 0α= + − ⋅ − ⋅ + ⋅ = =ɺ ɺ ɺɺ ɺmeq NC

dEk x l l x mg x mx x P

dt

Ainsi, on retrouve 2 0+ =ɺɺmx kx

3. On pose 0ω = k m , alors :

( ) ( ) ( )0 0cos sin , ,ω ω= + ∈ℝx t A t B t A B

CI : ( )( ) ( ) ( )0

000 0

0 0sin

0ω

ωω= = −

⇒ == − = ɺ

x A vx t t

x v B

4. PFD : avec frottement : 2 0α+ + =ɺɺ ɺmx x kx

Ou méthode énergétique : 2α= = − ɺmNC

dEP x

dt

Sous forme canonique avec Q : 0 20

ω+ + =ɺɺ ɺk

x x xQ m

Donc 0 0 2ω ωαα α

= ⇒ = =m kmQ

Q m

5. On pose 0

02

ωσ α ω =

=

k m

m, si a priori σ < 1, on est en

régime pseudo-périodique, avec 20 1ω ω σ= −P

:

( ) ( ) ( )( )0 cos sin , ,σω ω ω−= + ∈ℝtP Px t e A t B t A B

( )( ) ( ) ( )00

0 0

0 0sin

0σω ω

ωσω ω−

= = −⇒ =

= − = − + ɺt

PPP

x A vx t e t

x v A B

Exercice 20Exercice 20Exercice 20Exercice 20 : : : : Point d’équiPoint d’équiPoint d’équiPoint d’équigravitégravitégravitégravité

1. Force sur P : ( )( )2 2

T LT L

GM m GM mF x F F

x TL x

−= + = +

−

2. Point d’équigravité : ( )( )2 2

0 T LM MF x

x TL x= ⇔ =

−

2

1

L L

T T L

T

M MTL x TL x TLx

x M x M M

M

− − = ⇔ = ± ⇔ = ±

2 position d’équilibre : 1 entre T et L, une autre absurde après

L, absurde car l’expression que l’on a donnée pour la force de

L n’est valable que pour xP < xL (P à gauche de L)

Ainsi : La position d’éq 53,46.10

1 L

T

dx km

M

M

= =

+


3. Du point de vue des forces : si Px ց , alors FT augmente

et FL diminue, donc le point est encore plus attiré par la

Terre L’équilibre est INSTABLE (idem

dans l’autre sens

4. On a ( )2

TT TT P T T

GM m GM mF E F x dx C

xx

− −= ⇒ = − = +∫

( ) ( )2

LL TL P L

GM m GM mF E C

x TLTL x= ⇒ = +

−−

5. Stabilité ? ( )( )( )

2

2 3 3

2P T Ld E GM m GM mdF x

dxdx x x TL

−= − = +

−

On cherche son signe :

( )2

2 3 3

20P T Ld E GM m GM m

dx x x TL= − − <

−

L’équilibre est INSTABLE (méthode énergétique)

Exercice 21Exercice 21Exercice 21Exercice 21 : : : : Etude d’une éneEtude d’une éneEtude d’une éneEtude d’une énergie potentiellergie potentiellergie potentiellergie potentielle

1. Petits calculs préliminaires :

( ) ( )2 2 20

00 2 2 2 2

1

2

21

2

= + − + = − = − + +

p

p

E x kx kl h x h

dE lxkx kl kx

dx x h x h

Et 2 2 2

0

00

== ⇔ = −

p xdE

dx x l h

Cas 0 >l h : 3 positions d’équilibre possibles

Cas 0 <l h : 1 seule position d’équilibre possible

2. Positions d'équilibre du système (voir ci-dessus).

3. Oui : 3 positions si h/l0 < 1, et 1 seule si h/l0 > 1.

4. Voir tableau de variations (on peut calculer d2EP/dX2)

5. Force correspondante : 0

2 21

− = = − −

+

p

x

dE lF kx e

dx x h.

6. PFD : ( ) 0

2 21 0

− + ⋅ = + − = +

ɺɺx

lF ma e mx kx

x h

Exercice 22Exercice 22Exercice 22Exercice 22 : : : : Frottement solideFrottement solideFrottement solideFrottement solide

1. Méthode complète d’étude :

Référentiel ( )0; , ,ℜ G x ze e t supposé galiléen

Système étudié : Point M de masse m

Bilan des forces : Poids zP mg e= − ⋅

Tension ressort ( ) ( )0 0= − − = − − ⋅

x xT k l l e k x l e

Réaction support = ⋅ + ⋅

N z T xR R e R e

(Et avec glissement = − ⋅T NR f R )

PFD, ℜ G galiléen :

( )( )0

/0

00ℜ

−− − + + = = + + = −

ɺɺNM

N

fRk x l xP T R ma m

mg R

Ainsi : ( )2 20 0 0ω ω + ⋅ = ⋅ −

=

ɺɺ

N

x x l fg

R mg, avec

0ω = k

m

Et ( ) ( ) ( )( )( )

0 0 0

0

0

cos sin

0 0

0 0

ω ω

ω

= − + +

= = − + = = ɺ

x t l fg A t B t

x l fg A

x B

( ) ( ) ( )( )0 01 cos ω⇒ = − −x t l fg t

2. Date t1 :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 0 0 0 1 0 1

1 0 0

0 sin 0

1 cos 2

ω ω ω π

π

= ⇔ − = ⇔ =

= − − = −

ɺx t l fg t t

x t l fg l fg

3. Allure (on s’arrête quand on rentre dans le cône de

frottement, on ne dépasse pas le seuil…)

Exercice Exercice Exercice Exercice 22223333 : : : : EquilibrEquilibrEquilibrEquilibre stable ou instablee stable ou instablee stable ou instablee stable ou instable ????

1. =PESPE Constante N’influera pas les calculs

On peut l’imposer nulle pour z = 0 0PESPE =

2. Energie potentielle totale :

( )2

0

1

2= + = = − +TOTALE ELAST PES ELAST

P P P PE E E E k l l Cstte

Mais 2 2 2l x h= + ( )2

2 20

1

2TOTALE

PE k x h l= + −

3. Variation : ( ) ( )

( )

2 2 2 20

2 2

2 2 2 2

12

2

1 2

2

PdE dk x h l x h

dx dx

d x xet x h

dx x h x h

= + − +

+ = ⋅ =+ +

Donc : ( )2 2 00 2 2 2 2

1P ldE kxx h l kx

dx x h x h

= + − = −

+ +

+∞ -∞ x

PdE

dx

0 - +

PE

+

0

0

2 20x l h= −

0 -

2 20x l h= − −

Eq stable Eq stable Eq instable

0 +∞ -∞ x

PdE

dx 0 - +

PE

Equilibre stable

t

l0

l0-fg

l0+fg

x(t)

Centré sur

l0 + fg

Centré sur

l0 – fg

Centré sur

l0 – fg

Suite Exercice 23Suite Exercice 23Suite Exercice 23Suite Exercice 23 ::::

Et

2 2 22 200

0 0

0

= = = ⇔ ⇔ = −+ =

P

x xdE

ou oudx

x l hx h l

Cas 1 : h > l0, ie 2 2 20 0x l h= − <

Une seule position d’équilibre : 0 0= ⇔ =PdEx

dx

Et on a 2 2 00 2 2

, 1 0l

l x h doncx h

< + − >

+

Tableau de variation :

Cas 2 : h < l0, ie

2 202 2 2

02 2

0

0 = −= − > ⇔

= − −

x l hx l h

x l h

Trois positions d’équilibre (2 positions stables)

Exercice Exercice Exercice Exercice 22224444 : : : : Tunnel terrestreTunnel terrestreTunnel terrestreTunnel terrestre

1. Force gravitationnelle : 0 r

rf mg u

R= −

Attention – 1D en x : 2 2 2r x d= + ,

0 0

0

sinθ= − ⋅ = ⋅ =

⇒ = ⋅

GRAV

P r x

GRAVP

r rdE f dl mg u dxu mg dx

R Rmg

dE x dxR

On intègre : 20

2= +GRAV

P

mgE x C

R ( )( )0= =GRAV

PE O C

Conservation de l’énergie mécanique (pas de frottements)

2 22 20

max max 0

10

2 2

−= + = ⇒ =

m

mg R dE x mv v g

R R

Position d’équilibre : 00 0= = ⇔ =P mgdEx x

dx R

Position stable ? 2

02

0 ,= > ⇒P mgd EOUI STABLE

dx R

2. On dérive le bilan d’énergie : 0 0= ⋅ + ⋅ =ɺ ɺ ɺɺmdE mgx x mx x

dt R

Cela donne 0 0+ =ɺɺg

x xR

Oscillateur harmonique

Pulsation propre : 00ω = g

R

Equation horaire : ( ) ( ) ( )0 0cos sinω ω= +x t A t B t , avec les

CI : ( )( )

( ) ( )2 2

2 20

0

cos0

ωω

= − = ⇒ = −

= = ɺ

x t R d Ax t R d t

x t B

Vitesse maximale : ( )2 2

2 20 0max ω −= − =

ɺ

R dx R d g

R

3. Période du mouvement pour revenir à son point de

départ : 0

0 0

22 5026, 5 1 24

π πω

= = = =RT s h

g

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 25555 : : : : Décollement d’une masseDécollement d’une masseDécollement d’une masseDécollement d’une masse

1. PFS … ( )'

eq

m m gl

k

− +∆ =

2. PFD … ( ) 0

'

kz z

m m+ =

+ɺɺ , on pose

0 'ω =

+k

m m,

cela donne ( ) ( )0cos ω= −z t d t

3. D’après le PFD, ( )2

0 0cosR mz mg md t mgω ω= + = +ɺɺ .

4. Le plateau décolle si la tension s’annule (plus besoin du

support pour que le point ne s’écrase pas Il décolle).

Ainsi : 0R = est impossible si 2

0d gω <

Il ne faut pas bouger le plateau trop rapidement…

0 +∞ -∞ x

PdE

dx 0 - +

PE

+∞ -∞ x

PdE

dx 0 - +

PE

+

0

0

2 20x l h= −

0 -

2 20x l h= − −

Eq stable Eq stable Eq instable

Equilibre stable


Loi de KéplerLoi de KéplerLoi de KéplerLoi de Képler –––– Mouvement à Force Centrale Mouvement à Force Centrale Mouvement à Force Centrale Mouvement à Force Centrale

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : La masse de Jupiter: La masse de Jupiter: La masse de Jupiter: La masse de Jupiter

La masse M de la planète Jupiter peut se déterminer à partir

des données issues de l’observation de ses satellites. Les périodes

T des mouvements des satellites sont en effet reliées aux rayons r

de leurs orbite (supposées circulaires) par la relation : 2 2

3

4π=T

r GM, avec G = 6,67.10-11 SI.

1. Que représente G ? Exprimer l’unité de G avec les unités de

base du système international.

2. Le tableau qui sui donne les valeurs de T e r relatives à

quelques satellites de Jupiter. Tracer la courbe donnant r3 en

fonction de T2 et exploiter celle-ci pour déterminer M

Satellites Io Europe Ganymède Callisto

T (jours) 1,768 3,551 7,155 16,69

r (km) 4,220.105 6,710.105 10,70.105 18,80.105

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 : L’atome de Bohr: L’atome de Bohr: L’atome de Bohr: L’atome de Bohr

L’atome d’hydrogène est constitué d’un proton et d’un

électron. Dans le modèle de Bohr (1913) qui est un modèle

planétaire, l’électron est en mouvement circulaire uniforme de

rayon r autour du noyau. On néglige la force gravitationnelle

devant la force électrique.

Déterminer la vitesse v de l’électron dans le référentiel du

noyau, supposé immobile.

Données : Constante électrique 1/4πε0 = 9.109 uSI, charge

élémentaire e = 1,6.10-19 C, rayon de l’atome r = 54 pm,

masse de l’électron m = 9,0.10-31 kg.

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3 : Couverture des satellites géostationnaires: Couverture des satellites géostationnaires: Couverture des satellites géostationnaires: Couverture des satellites géostationnaires

1. Définir ce que l’on appelle satellite géostationnaire et

montrer que l’orbite d’un tel satellite est nécessairement

contenue dans le plan de l’équateur terrestre.

2. Calculer l’altitude d’un satellite géostationnaire.

3. Montrer qu’il n’est pas possible d’observer la totalité du

globe depuis des satellites géostationnaires, et que la zone

observable est située entre les latitudes 81,3°Sud et 81,3°N

Données : MT = 6.1024kg la masse de ma Terre, Constante

gravitationnelle uniforme 2.1030 kg masse du soleil, G =

6,67.10-11 N.m2.kg-2 constante universelle de gravitation,

période (jour sidéral) de rotation de la Terre sur elle-même

T = 23h56min.

Exercice 4Exercice 4Exercice 4Exercice 4 : Toujou: Toujou: Toujou: Toujours plus hautrs plus hautrs plus hautrs plus haut

A la surface de la Terre, de masse MT et de rayon RT, on

lance un objet verticalement et vers le haut, avec une vitesse

initiale v0. On ne tient pas compte des frottements.

1. Exprimer l’altitude maximale H atteinte par le projectile, en

fonction de RT, v0 et 1

2 T

T

GMv

R= .

2. Que se passe-t-il pour v0 = v1 ?

Exercice 5Exercice 5Exercice 5Exercice 5 : : : : Satellites terrestres Satellites terrestres Satellites terrestres Satellites terrestres –––– Vitesse de libération Vitesse de libération Vitesse de libération Vitesse de libération

On s’intéresse dans cet exercice à quelques aspects de la

satellisation de satellites terrestres. En l’absence de précision

explicite, on négligera tout frottement du à l’atmosphère sur le

satellite. On s’intéresse à un satellite de masse m, en orbite

circulaire de rayon R autour de la Terre. On donne la masse de la

Terre MT = 5,98.1024 kg, le rayon de la Terre RT = 6370 km ainsi

que la constante universelle de gravitation G = 6,67.1011 usi.

1. Montrer que le mouvement du satellite autour de la Terre

est uniforme, et exprimer littéralement sa vitesse v0 en

fonction de G, MT et R.

2. Faire l’application numérique pour une orbite rasante, c'est-

à-dire r = RT, une orbite proche pour un satellite

d’observation, par exemple h = 832km pour SPOT, et pour

un satellite géostationnaire, c'est-à-dire h = 36000km.

Comparer ces vitesses à la vitesse du sol du à la rotation de

la Terre (on l’exprimera en fonction de la latitude λ et on la

calculer à l’équateur).

3. Dans le cas d’une orbite circulaire du satellite autour de la

Terre, montrer que l’énergie mécanique Em du satellite est

liée à son énergie cinétique par Em = -EC. Si l’on tient

compte de la force de frottement de l’atmosphère sur le

satellite, quel est l’effet de cette force de frottement sur la

vitesse du satellite.

4. Pour un satellite de masse m en mouvement (quelconque)

autour de la Terre, et soumis uniquement à la force

gravitationnelle terrestre, l’énergie mécanique peut s’écrire

de la même façon que celle d’un point matériel en

mouvement rectiligne placé dans un potentiel effectif :

Ueff(r) dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

On écrit alors ( )21

2= +ɺ effE mr U r , où r représente la

distance du satellite au centre de la Terre.

Après avoir justifié que l’énergie mécanique Em du satellite

est une constante du mouvement, préciser pour chacune des

valeurs de E, notées de (1) à (5) la nature de la trajectoire du

satellite et celle de son état (libre ou lié).

5. La vitesse de libération vL d’un satellite est la plus petite

vitesse qu’il faut communiquer à la surface de la Terre pour

qu’il aille à l’infini (en se « libérant » de l’attraction

terrestre). Exprimer vL en fonction de G, MT et RT et

calculer sa valeur.

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 –––– TMC TMC TMC TMC –––– RNG RNG RNG RNG –––– Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3

r

(1)

effU

(2)

(5)

(4)

(3)

Exercice Exercice Exercice Exercice 6666 : Etude d’un astéroïde: Etude d’un astéroïde: Etude d’un astéroïde: Etude d’un astéroïde

Un astéroïde est repéré dans le système solaire. Au moment

de sa découverte, il est à la distance r0 = 108 km du centre du

Soleil et a pour vitesse v0 = 51 km.s-1.

Données : MS = 2.1030 kg masse du soleil, G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2

constante universelle de gravitation, α = 80°.

1. A quelle catégorie de conique la trajectoire de l’astéroïde

appartient-elle ? Justifier.

2. En supposant que l’on puisse étendre la relation

2S

m

GM mE

r

−= à la trajectoire elliptique en remplaçant le

rayon r de la trajectoire circulaire par le demi-grand axe a

de l’ellipse Déterminer la valeur numérique de ce demi-

grand axe a de sa trajectoire.

3. En déduire la période T de

l’astéroïde. La calculer en

années terrestres.

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : Comète de 1843: Comète de 1843: Comète de 1843: Comète de 1843

En 1843, une comète est passée extrêmement près du soleil,

de masse MS : sa distance au périhélie était d = 6,1.10-3 × a0, où a0

est le rayon de l’orbite terrestre. Des mesures précises ont montré

que l’excentricité de la comète était e = 1-x avec x = 9,4.10-5.

Donnée : u = 30km.s-1 est la vitesse de révolution de la Terre

autour du soleil.

1. Exprimer le produit GMS en fonction de u et a0.

2. En considérant que la trajectoire de la comète est quasi-

parabolique, calculer sa vitesse de passage vP au périhélie.

3. Exprimer le demi-grand axe a de la trajectoire de la comète,

en fonction de d et x. Calculer a en fonction de a0.

4. En déduire la vitesse vA de passage à l’aphélie en fonction de

vP et x. Faire l’application numérique.

5. En quelle année cette comète reviendra-t-elle dans le

système solaire ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 8888 : Apport de vitesse: Apport de vitesse: Apport de vitesse: Apport de vitesse

Un satellite est en rotation circulaire autour de la Terre à

une altitude h = 400km. Pendant un laps de temps très court, on

met en marche le réacteur qui communique au satellite un

supplément de vitesse, dans le sens du mouvement, de Wv =

1km.s-1. On donne : G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2, MT = 6.1024 kg, RT =

6400 km

1. Calculer la vitesse v et la période

T du satellite sur son orbite

circulaire de départ.

2. Montrer que suite à l’allumage du réacteur, le satellite

décrit une trajectoire elliptique. Calculer son demi-grand

axe a (on étendra la relation 2

Sm

GM mE

a

−= ).

3. En déduire les valeurs numériques de altitudes hP et hA du

périgée et de l’apogée, de la nouvelle période de rotation T’

du satellite et de l’excentricité e de la trajectoire elliptique

suivie.

Exercice Exercice Exercice Exercice 9999 : Orbite de transfert vers Mars: Orbite de transfert vers Mars: Orbite de transfert vers Mars: Orbite de transfert vers Mars

Dans tout le problème, on négligera les dimensions propres

des astres devant les distances qui les séparent et on se placera

dans le référentiel héliocentrique, sauf précision contraire.

1. La terre sur son orbite : calculer la vitesse vT de la Terre en

mouvement circulaire uniforme autour du soleil, ainsi que

celle de Mars vM.

2. Lancement d’un vaisseau vers Mars :

La manière la plus économique d’envoyer un vaisseau

spatial sur Mars consiste à le placer avec une vitesse v1 sur

une orbite elliptique où il se déplace moteurs coupés sous

l’effet de l’attraction solaire, en obéissant aux lois de Képler.

2.a) Déterminer (en UA) la valeur du demi-grand axe de

l’ellipse décrite par le centre d’inertie de l’engin.

2.b) A l’aide de la troisième loi de Képler, déterminer la

durée du voyage en années terrestres.

2.c) Dans le référentiel héliocentrique, la vitesse de

lancement a pour valeur v1 = 24 km.s-1. Sans tenir

compte de l’attraction martienne, la vitesse v2 à

l’approche de Mars sera-t-elle supérieure, égale, ou

inférieure à cette valeur ?

2.d) Pourquoi le lancement doit-il respecter certaines

« fenêtres » ?

2.e) Pour réaliser ce transfert d’orbite, on a donc besoin de 2

poussées en P : WvP et en A : WvA (l’ellipse de transfert est

tangente aux deux orbites circulaires). Déterminer

l’expression des vitesses vP et vA du satellite sur l’ellipse

de transfert respectivement aux points P (juste après

l’extinction des moteurs) et A (juste avant le rallumage

des moteurs). Les calculer.

2.f) En déduire les accroissements de vitesse orthoradiale WvP

et WvA.

2.g) A quelle vitesse faut-il lancer le satellite si on le lance

directement depuis la Terre, tangentiellement à l’orbite

de la Terre ? Dans quel sens ? Comparer cette vitesse à la

vitesse de libération vL (voir exo 5) de la Terre. Un tel

lancement est-il possible tel quel ?

Données :

Distance moyenne de la Terre au soleil : dT = 1,5.108 km,

Distance moyenne de Mars au soleil : dM = 2,3.108 km.

Unité astronomique 1 UA = 1,5.108 km.

Période de révolution de la planète Terre : 365,25 jours.

Période de révolution de la planète Mars : 687 jours.

Soleil

Orbite terrestre

Terre au

départ

Mars

au départ

Mars à

l’arrivée

1V

Orbite de Mars

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 11111 : Orbite de transfert (de Hohman): Orbite de transfert (de Hohman): Orbite de transfert (de Hohman): Orbite de transfert (de Hohman)

On désire réaliser le transfert d’un satellite terrestre en

attente sur une orbite circulaire « basse » de rayon r1 = 6700km

vers une orbite circulaire « haute » de rayon r2 = 42000km

(géostationnaire), de la même manière qu’à l’exercice précédent,

en passant par une orbite de transfert, dite de Hohman, tangente

aux deux orbites circulaires. On donne G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2, et

MT = 6.1024 kg.

1. Exprimer en fonction de r1

et r2 le demi grand axe de

l’ellipse de transfert.

2. Exprimer et calculer les

vitesses v1 et v2 du satellite

sur les orbites circulaires de

rayons respectifs r1 et r2.

3. Déterminer l’expression des vitesses vP et vA du satellite sur

l’ellipse de transfert respectivement aux points P (juste

après l’extinction des moteurs) et A (juste avant le

rallumage des moteurs). Les calculer.

4. En déduire les accroissements de vitesse orthoradiale WvP et

WvA.

Exercice Exercice Exercice Exercice 11112222 : : : : Mouvement orbital de la TerreMouvement orbital de la TerreMouvement orbital de la TerreMouvement orbital de la Terre

La Terre T décrit autour du

soleil S une orbite elliptique

d’excentricité e = 0,0167, de

demi-grand axe a = 1,50.1011 m

et de période T = 365,25 jours

solaires.

1. Exprimer en fonction des données puis calculer le périhélie

SP et l’aphélie SA de la trajectoire terrestre.

2. En supposant que la trajectoire soit circulaire, exprimer la

vitesse c de révolution, en fonction du rayon a et de la

période T. Calculer v.

Exercice Exercice Exercice Exercice 11113333 : : : : Satellite terrestre artiSatellite terrestre artiSatellite terrestre artiSatellite terrestre artificielficielficielficiel

Un satellite terrestre S est à son périgée à l’altitude h =

350km. Sa période de révolution est T = 5843 s. Données : RT =

6400km le rayon terrestre, G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 la constante

universelle de gravitation. MT = 6.1024 kg la masse de la Terre.

1. Exprimer puis calculer le

demi-grand axe a de la

trajectoire du satellite.

2. Exprimer en fonction de

RT, h et a l’excentricité e

de la trajectoire du

satellite. La calculer.

3. Déterminer l’altitude H du satellite à son apogée.

RNGRNGRNGRNG –––– Réf Réf Réf Référentiel en translationérentiel en translationérentiel en translationérentiel en translation

Exercice 14Exercice 14Exercice 14Exercice 14 : : : : Oscillateur dans un ascenseurOscillateur dans un ascenseurOscillateur dans un ascenseurOscillateur dans un ascenseur

Un point matériel M, de masse m, est

suspendu à l’extrémité d’un ressort de

constante de raideur k et de longueur à

vide l0, dont l’extrémité supérieure est

fixée au plafond d’un ascenseur, ayant

un mouvement vertical ascendant

d’accélération constante 0a

.

1. Exprimer l’allongement Wleq du ressort lorsque le point M

est à l’équilibre par rapport à l’ascenseur.

2. En prenant pour origine de mesure des déplacements z(t) la

position à l’équilibre, déterminer l’équation différentielle

vérifiée par z lorsque le point M est mis en mouvement.

Que remarque-t-on ?

Exercice 15Exercice 15Exercice 15Exercice 15 : Glissement sur un plan incliné: Glissement sur un plan incliné: Glissement sur un plan incliné: Glissement sur un plan incliné

Un point matériel M, de masse

m, peut glisser sans frottement sur

un support plan incliné d’un angle α

par rapport au plan horizontal. Ce

plan est en mouvement de

translation uniformément accélérée,

d’accélération 0a

orientée comme indiqué sur le dessin. On

étudie le mouvement du point M suivant la ligne de plus grande

pente (OX).

1. Etablir l’expression de l’accélération Xɺɺ du point M

relativement au plan incliné.

2. A la date t = 0, le point M est abandonné sans vitesse initiale

par rapport au plan. A quelle condition sur l’angle α le point

M remonte-t-il la pente ?

Exercice 16Exercice 16Exercice 16Exercice 16 : Poids apparent: Poids apparent: Poids apparent: Poids apparent

Une personne de masse m = 60kg se tient immobile sur un

pèse-personne, dans un ascenseur animé d’un mouvement

vertical ascendant d’accélération constante a0 = 1m.s-1 au début

de son mouvement.

1. Montrer que tout se passe comme si la personne se pesait

sur Terre, à condition de remplacer son poids P mg=

par

un poids apparent P mg′ ′=

. Exprimer le champ de

pesanteur apparent en fonction des données.

2. Quelle est la masse mapp affichée par le pèse-personne ? On

prendra g ≈ 10m.s-2.

A P

T

S

A P

S

Terre

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 –––– TMC TMC TMC TMC –––– RNG RNG RNG RNG –––– Feui Feui Feui Feuille 2/3lle 2/3lle 2/3lle 2/3

Exercice 17 : Tapis roulantExercice 17 : Tapis roulantExercice 17 : Tapis roulantExercice 17 : Tapis roulant

Un enfant se tient immobile sur

un tapis roulant horizontal. Il lâche

une bille B d’une hauteur H = 1m par

rapport au tapis, sans vitesse initiale

par rapport à lui-même, à l’aplomb du

point B0 sur le tapis. On ne tient pas compte dans l’exercice des

frottements exercés par l’air sur la bille.

1. Le tapis roulant avance à la vitesse uniforme v = 4,5km.h-1.

Déterminer la position du point d’impact I de la bille sur le

tapis par rapport à B0.

2. Le tapis roulant est maintenant uniformément freiné, à

l’instant même où l’enfant lâche la bille ; il s’arrête au bout

d’une durée Wt = 1s. Déterminer en fonction des données la

position du point d’impact I de la bille sur le tapis, par

rapport à B0.

3. Calculer la distance entre I et B0. On prendra g ≈ 9,8m.s-2.

Exercice 18 : Tir sur une cible tombanteExercice 18 : Tir sur une cible tombanteExercice 18 : Tir sur une cible tombanteExercice 18 : Tir sur une cible tombante

Un projectile assimilable à un

point matériel M est tiré depuis

l’origine O d’un référentiel

galiléen R, dans le champ de

pesanteur g

, avec un vecteur

vitesse initiale 0v

. Exactement au

même moment, une cible C

commence à tomber en chute libre, sans vitesse initiale. On

définit le référentiel R’ lié à la cible, supposée en translation par

rapport au sol. Les frottements ne sont pas pris en compte.

1. Faire le bilan des forces appliquées au point M dans le

référentiel R’.

2. Quelle est la nature du mouvement du point M par rapport

à la cible ?

3. Comment doit-on diriger le tir du point M par rapport à la

cible de manière à l’atteindre au cours de sa chute ?

Exercice 19 : Plateau vibrantExercice 19 : Plateau vibrantExercice 19 : Plateau vibrantExercice 19 : Plateau vibrant

Un objet rigide de forme cubique est posé sur un plateau P

horizontal animé par rapport au sol d’un mouvement vibratoire

sinusoïdal. La côte zP de P obéit à l’équation horaire :

zP(t) = z0 + H cos ωt

1. Vous effectuerez votre raisonnement par rapport au

référentiel du plateau : A quelle condition doit satisfaire la

pulsation ω des oscillations verticales pour que le cube reste

à tout instant en contact avec le plateau.

2. Déterminer la fréquence critique à partir de laquelle le

contact est rompu. Effectuer l’application numérique.

Données : g = 9,8m.s-2, H = 1mm.

RNG RNG RNG RNG –––– Référentiel en rotation Référentiel en rotation Référentiel en rotation Référentiel en rotation

Exercice Exercice Exercice Exercice 20202020 : : : : Décollement d’un support en rotationDécollement d’un support en rotationDécollement d’un support en rotationDécollement d’un support en rotation

Un support plan incliné d’un angle α

par rapport à la verticale est en rotation

uniforme autour de l’axe vertical W, à la

vitesse angulaire ω. Un point matériel M,

de masse m, est attaché à l’extrémité d’un

fil de longueur l dont l’autre extrémité est

fixée en un point A de l’axe de rotation. Le

point M repose sur le plan incliné.

1. Déterminer l’expression de l’intensité de l’action de contact

N

exercée par le support plan sur le point M.

2. En déduire à partir de quelle valeur limite ωlim de la vitesse

angulaire de rotation le point M décolle du support.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 21111 : Tige inclinée en rotation : Tige inclinée en rotation : Tige inclinée en rotation : Tige inclinée en rotation

Un point matériel M de masse

m peut coulisser sans frottement

sur une tige T, d’extrémité O et

formant un angle α avec la

verticale ascendante (Oz). Cette

tige est mise en rotation autour de

l’axe (Oz) à la vitesse angulaire

constante ω. La position du point

M sur la tige est repérée par son

abscisse X mesurée par rapport à O.

1. Faire le bilan des forces exercées sur le point M dans le

référentiel lié à la tige.

2. Déterminer la position d’équilibre Xeq du point M sur la

tige, en fonction de ω, g et α. On pose X(t) = Xeq + x(t).

3. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par x(t). En

déduire la forme générale de x(t).

4. La position d’équilibre Xeq est-elle stable ? Justifier.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 22222 : Tige en ro : Tige en ro : Tige en ro : Tige en rotationtationtationtation


m peut coulisser sans frottement sur

une tige horizontale T, d’extrémité

O, contenue dans le plan (Oxy) et

tournant à la vitesse angulaire

constante ω autour de l’axe vertical

(Oz). La position du point M sur la

tige est repérée par son abscisse X

mesurée par rapport à O.



2. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par X(t).

3. En déduire la forme générale de la loi horaire X(t)

4. A la date t = 0, on abandonne le point M à une distance a de

l’axe (Oz), sans vitesse initiale par rapport à la tige.

Exprimer X(t) en fonction des données.

M P

x

zP

g

z y

O’

O

t

z0

H

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 23333 : Oscillations dans un réf en rotation : Oscillations dans un réf en rotation : Oscillations dans un réf en rotation : Oscillations dans un réf en rotation


m peut coulisser sans frottement sur

une tige horizontale T, d’extrémité

O, contenu dans la plan (Oxy) et

tournant autour de l’axe vertical

(Oz) à la vitesse angulaire constante

ω. De plus, le point M est attaché à

l’extrémité d’un ressort de longueur

à vide l0 et de constante de raideur

k, enfilé sur la tige T, dont l’autre extrémité est fixée en O. La

position du point M est repérée par son abscisse X(t) mesurée sur

la tige par rapport au point O. On pose 0 k mω = .



2. Montrer qu’il existe une position d’équilibre Xeq du point M

sur la tige, sous réserve d’une condition portant sur ω à

expliciter.

3. En posant X(t) = Xeq + x(t), déterminer l’équation

différentielle vérifiée par x(t).

4. En déduire la pulsation ω’ des oscillations du point M

autour de sa position d’équilibre. Que peut-on dire de la

période des oscillations par rapport au cas où la tige est

immobile ?

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 24444 : Attraction foraine : Attraction foraine : Attraction foraine : Attraction foraine

Un manège est constitué d’un

grand cylindre creux d’axe vertical

(Oz) et de rayon intérieur R. Des

personnes prennent place dans le

cylindre, dos plaqué contre la face

interne du cylindre et l’ensemble est

mis en rotation à la vitesse angulaire

ω. Lorsque la vitesse de rotation est

suffisante, la plancher est retiré et les

personnes restent « collées » à la paroi.

1. Faire le bilan des forces exercées sur une personne à

l’équilibre dans le manège. Quelle hypothèse sur les forces

mises en jeu est nécessaire à la possibilité d’un équilibre ?

2. On appelle μ le coefficient de frottement sur la paroi du

cylindre. La personne est alors immobile tant que l’inégalité

fT < μfN est respectée, où Tf

et Nf

sont les composantes

respectivement tangentielle et normale de la force de

frottement exercée par la paroi. Déterminer en fonction de

μ et des données la vitesse minimale ωmin de rotation du

manège pour que le plancher puisse être retiré.

Exercice 25 : Machine à laverExercice 25 : Machine à laverExercice 25 : Machine à laverExercice 25 : Machine à laver

Le tambour d’une machine à laver tourne autour d’un axe

horizontal. Quelle doit être la vitesse minimale de rotation du

tambour pour que le linge reste collé aux parois pendant

l’essorage ? Le diamètre du tambour est d = 50cm et g = 10m.s-2.

Exercice 26Exercice 26Exercice 26Exercice 26 : Cuvette parabolique en rotati : Cuvette parabolique en rotati : Cuvette parabolique en rotati : Cuvette parabolique en rotationononon

On considère une cuvette

engendrée par la rotation de l’axe

vertical ascendant (Oz) d’une

parabole d’équation z = kx2, où k

est une constante positive. Cette

cuvette est en rotation autour de

l’axe (Oz) à la vitesse angulaire

constante ω. Dans cette cuvette,

une bille ponctuelle M de masse m peut glisser sans frottement.

On se limite à un mouvement du point M dans un plan méridien,

c'est-à-dire un plan vertical contenant l’axe de rotation et lié à la

cuvette. La position du point M est repérée par son abscisse X

dans le plan méridien.


référentiel lié à la cuvette.

2. En notant α l’angle formé par la tangente à la cuvette avec

l’axe horizontal, exprimer tan α en fonction des données.

3. Montrer que pour une certaine valeur de la vitesse

angulaire de rotation ω, le point M est à l’équilibre par

rapport à la cuvette.

Exercice 27 : Entrainement à l’impesanteurExercice 27 : Entrainement à l’impesanteurExercice 27 : Entrainement à l’impesanteurExercice 27 : Entrainement à l’impesanteur

Dans le référentiel terrestre ( ), , ,G x y zO e e eℜ =

supposé

galiléen, un avion, en translation par rapport au référentiel

terrestre, décrit dans le plan vertical Oxz une trajectoire

particulière AB afin d’entraîner les astronautes à l’impesanteur.

Le champ de pesanteur est uniforme d’intensité g = 10m.s-2. Les

phénomènes de frottement sont négligés.

A l’instant t = 0, l’avion est en A, il modifie sa trajectoire

avec une vitesse initiale située dans le plan Oxz et faisant un

angle α > 0 avec l’horizontale. Sa position est alors :

A x A zOA x e z e= ⋅ + ⋅

1. Quelle doit-être la nature de la trajectoire AB de l’avion

pour l’astronaute soit en impesanteur (l’astronaute n’est

alors plus en contact avec l’avion). Déterminer l’équation de

cette trajectoire par rapport au référentiel terrestre RG.

2. Les possibilités de l’avion limitant la hauteur h de son

ascension à 9000m, quelle est la durée maximale tmax

pendant laquelle on peut réaliser l’impesanteur par ce

procédé ?

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 –––– TMC TMC TMC TMC –––– RNG RNG RNG RNG –––– Feuille 3/3 Feuille 3/3 Feuille 3/3 Feuille 3/3

x

g

A B

S

h α

0v

z

Poids et Champ de PesanteurPoids et Champ de PesanteurPoids et Champ de PesanteurPoids et Champ de Pesanteur

Exo Exo Exo Exo 28282828 : Calcul du champ de pesanteur en un point: Calcul du champ de pesanteur en un point: Calcul du champ de pesanteur en un point: Calcul du champ de pesanteur en un point

On considère que la Terre est une sphère de rayon RT =

6400km et de masse MT = 6.1024kg en rotation autour de l’axe

avec la période T0 = 23h56min4s dans le référentiel géocentrique.

Donnée : G = 6,67.10-11 uSI la constante de gravitation universelle.

1. Exprimer le champ de gravitation TG

en un point du

globe. Calculer son intensité.

2. Exprimer le champ de pesanteur g

en un point M du

globe situé à la latitude λ, en fonction de TG

, λ, RT et T0.

3. Calculer l’intensité g0 du champ de pesanteur en un point

situé à la latitude λ = 45°.

Exo Exo Exo Exo 29292929 : Si la Terre tournait plus vite: Si la Terre tournait plus vite: Si la Terre tournait plus vite: Si la Terre tournait plus vite

On assimile la Terre à un astre sphérique de centre O, de

rayon RT = 6400km et de masse MT = 6.1024kg, en rotation

uniforme autour de l’axe polaire avec une période sidérale T0.

Donnée : G = 6,67.10-11 uSI la constante de gravitation universelle.

1. Rappeler l’expression du champ gravitationnel TG

crée

par la Terre en un point M à sa surface.

2. Définir le champ de pesanteur g

en un point à la surface

de la Terre. Exprimer sa norme g en un point situé à

l’équateur.

3. Quelle devrait être la période T de rotation de la Terre sur

elle-même pour que le champ de pesanteur soit nul en tout

point de l’équateur ? Calculer la durée du jour

correspondante.

Force de CoriolisForce de CoriolisForce de CoriolisForce de Coriolis

Exo 3Exo 3Exo 3Exo 30000 : Force d’inertie sur un wagon allant vers le sud: Force d’inertie sur un wagon allant vers le sud: Force d’inertie sur un wagon allant vers le sud: Force d’inertie sur un wagon allant vers le sud

On considère un wagon de masse

m = 20t, assimilé à un point matériel

M, circulant du nord vers le sud à la

vitesse v = 200km.h-1, en un lieu de

latitude λ = 60° à la surface de la

Terre.

Données : T = 86164s durée du

jour sidéral terrestre, g = 9,8m.s-2,

champ de pesanteur terrestre.

1. Dans quel sens la force d’inertie de Coriolis exercée sur le

train est-elle orientée ? Calculer son intensité.

2. Pour minimiser les efforts latéraux subis par les rails, on les

incline de manière à ce que la réaction exercée par ceux-ci

soit normale au plan des rails. De quel angle α faut-il les

incliner et dans quel sens ?

Exo 3Exo 3Exo 3Exo 31111 : Force d’inertie sur un wagon allant à l: Force d’inertie sur un wagon allant à l: Force d’inertie sur un wagon allant à l: Force d’inertie sur un wagon allant à l’est’est’est’est

On considère un wagon de masse

m = 20t, assimilé à un point matériel

M, circulant vers l’est à la vitesse v =

200km.h-1, en un lieu de latitude λ =

60° à la surface de la Terre.

Données : T = 86164s durée du

jour sidéral terrestre, g = 9,8m.s-2,

champ de pesanteur terrestre.

1. Dessiner la force d’inertie de Coriolis exercée sur le train.

2. Calculer la composante de cette force dans le plan

horizontal.

Exo 3Exo 3Exo 3Exo 32222 : Lancement vertical d’un projectile: Lancement vertical d’un projectile: Lancement vertical d’un projectile: Lancement vertical d’un projectile

On lance depuis un point A situé à la surface de la Terre, en

un lieu de latitude λ, un projectile assimilé à un point matériel M

de masse m, verticalement vers le haut, avec une vitesse initiale

v0. On ne tient pas compte des frottements exercés par l’air

ambiant. On utilise le repère local (Axyz) tel que (Az) soit

suivant la verticale ascendante et (Ax) vers le sud. On note Ω la

vitesse de rotation de la Terre sur elle-même.

1. Donner une forme approchée pour la force d’inertie de

Coriolis exercée sur le projectile au cours de son

mouvement, en utilisant le fait que sa vitesse v

est très

proche de celle dans le référentiel terrestre considéré

comme galiléen.

2. En déduire les équations horaires approchées x(t), y(t) et

z(t) du projectile.

3. Déterminer les expressions des coordonnées approchées du

point de retombée du projectile au sol.

Exo 3Exo 3Exo 3Exo 33333 : Déviation d’un palet: Déviation d’un palet: Déviation d’un palet: Déviation d’un palet

Un hockeyeur se trouve en un point A à la surface de la

Terre situé à la latitude λ = 51°, sur une surface plane horizontale

gelée. A l’aide de sa crosse, il propulse un palet, assimilé à un

point matériel M de masse m = 300g, vers le sud et avec une

vitesse initiale v = 10m.s-1, en direction d’un mur situé à une

distance D = 500m. On note Ω la vitesse de rotation de la Terre

sur elle-même. On ne tient pas compte de l’effet des frottements

sur le mouvement du palet. On donne T = 86164s la durée du

jour sidéral terrestre.

1. En supposant que le vecteur vitesse v

du palet est bien

approché par celui du mouvement dans un référentiel

galiléen, exprimer la force d’inertie de Coriolis exercée sur

le palet. Comment est orientée cette force ?

2. Déterminer les équations horaires approchées x(t) et y(t) du

palet, le repère (Axyz) étant tel que l’axe (Ax) est vers le sud

et l’axe (Ay) vers l’est.

3. En déduire la déviation Wy subie par le palet lorsqu’il frappe

le mur. Faire l’application numérique.

4. On considère le cas où le tir est effectué depuis le pôle nord.

Retrouver l’expression littérale de la déviation Wy en

analysant le mouvement du palet dans le référentiel

géocentrique.

Loi de Képler Loi de Képler Loi de Képler Loi de Képler –––– Mouvement à Force Centrale Mouvement à Force Centrale Mouvement à Force Centrale Mouvement à Force Centrale

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : La masse de Jupiter: La masse de Jupiter: La masse de Jupiter: La masse de Jupiter

1. G = constante universelle de gravitation, 2 3

2

4π= rG

MT, donc

[ ] 3 1 2. .− −=G L M T , donc en 3 1 2. .− −m kg s .

2. Courbe r3 = f(T2) = droite de coef dir 152

3,2.104π

= =GMK si ,

ce qui donne M = 1,9.1027 kg.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 : L’atome de Bohr: L’atome de Bohr: L’atome de Bohr: L’atome de Bohr

PFD : ( )

2

04

0

0

POL

e err

F m a m

πε − = = ⋅ = ⋅

ɺɺ

2

2

r

r

θ

θ

− ɺ

ɺɺ r

z

θ+ ɺɺ

ɺɺ

2

0POL

POL

mv

rmrθ

−

=

ɺɺ

Ainsi : 6 1

0

12, 2.10 .

4v e m s

m rπε−= =

⋅

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3 : Couverture des satellites géostationnaires: Couverture des satellites géostationnaires: Couverture des satellites géostationnaires: Couverture des satellites géostationnaires

1. Satellite géostationnaire = immobile par rapport à un

observateur terrestre. Doit accompagner la Terre dans

son mouvement de rotation

Orbite inclinée : impossible car le satellite ne serait pas

immobile par rapport à l’observateur

Orbite parallèle à l’équateur : impossible car ne contient pas

le centre de force O (la conservation du moment cinétique

impose que M appartienne au même plan fixe contenant O)

2. PFD : 2

0

0

POL

GMmr

rF m a m

−

= = ⋅ = ⋅

ɺɺ

2

2

r

r

θ

θ

− ɺ

ɺɺ r

z

θ+ ɺɺ

ɺɺ

2

0POL

POL

mv

rmrθ

−

=

ɺɺ

, ce

qui donne GMv

r= , mais 2 r

vT

π= , ainsi 2

324

géo

GMTr

π=

et on obtient l’altitude 2

32

360004

géo T

GMTh R km

π= − ≈ .

3. Zone observable

1 1cos cos 81,3T T

géo T géo

R R

r R hλ − −

= = = °

+

Exercice 4Exercice 4Exercice 4Exercice 4 : Toujours plus haut: Toujours plus haut: Toujours plus haut: Toujours plus haut

1. Conservation de l’énergie mécanique : (pas de frottements)

( )2 2 2

_ 0 0 1 _

1 1

2 2T T

m ini m fin

T T

GM m GM mE mv m v v E

R R H= − + = − = = −

+

Et

( ) ( )2 2

1 1

2 2 2 2

0 1 1 0

1TT

T

mv R H vH R

Rm v v v v

+ = − ⇒ = − − −

2. Si v0 = v1, alors H +∞, il s’agit de la vitesse de libération,

la vitesse nécessaire à ce que le projectile soit libéré de

l’attraction terrestre, il s’en va à l’infini.

Exercice 5Exercice 5Exercice 5Exercice 5 : Satellites terrestres : Satellites terrestres : Satellites terrestres : Satellites terrestres –––– Vitesse de libération Vitesse de libération Vitesse de libération Vitesse de libération

1. PFD : 2

0

0

POL

GMmr

rF m a m

−

= = ⋅ = ⋅

ɺɺ

2

2

r

r

θ

θ

− ɺ

ɺɺ r

z

θ+ ɺɺ

ɺɺ

2

0POL

POL

mv

rmrθ

−

=

ɺɺ

Ainsi : 2

002

0

T TmvGM m GM

vrr r

constante mvt uniformeθ θ

−= =

⇒ = = → ɺɺ ɺ

2. AN :

Satellite Rasant SPOT Géostationnaire

r RT RT+832km RT+36000km

v 7,91 km.s-1 7,44 km.s-1 3,07 km.s-1

A comparer avec la vitesse au niveau du sol :

= ɺrv ( ) 1

0

2cos 467 .

πθ λθ

− ⇒ = = ⋅ =

ɺ ≪ɺ T satellite

POL

v r R m s vTr

3. D’après la 1, 2

0

1 1

2 2 2

2

TC P

T Tm C P C

mGME mv E

rmGM GM m

E E E Er r

−= = = − = + = + = −

Avec frottement, m CE E v mais r⇒ ⇒ց ր ր ց

4. Pas de frottement Em = constante du mouvement (car la

force gravitationnelle est conservative, donc dEm=δWNC=0).

(1) : ne correspond à aucune trajectoire possible, le satellite

tombe sur la Terre, il n’a pas une vitesse suffisante pour

rester en l’air

(2) : Valeur unique pour r : trajectoire circulaire (état lié)

(3) : Trajectoire elliptique, oscillation entre une valeur max

et min du rayon autour du centre le Terre (au foyer, état lié)

(4) : E = 0, Premier état libre, le satellite peut s’extraire de la

gravitation terrestre et partir à l’infini. Cela donne une

trajectoire parabolique

(5) : Etat libre, trajectoire hyperbolique

5. Premier état libre : Em = 0, trajectoire parabolique, ce qui

donne : 2 1210 11,2 .

2T T

m L L

GM m GME mv v km s

r r−= = − ⇒ = =

Exercice 6Exercice 6Exercice 6Exercice 6 : Etude d’un astéroïde: Etude d’un astéroïde: Etude d’un astéroïde: Etude d’un astéroïde

1. Catégorie de conique ? On calcule l’énergie mécanique :

2

0

0

10

2S

m

GM mE mv

r= − <

, donc trajectoire elliptique.

2. On étend la relation au cas elliptique : 2

Sm

mGME

a

−=

Et l’Em est constante, donc 2

0

0

1

2 2S S

m

GM m mGME mv

r a

−= − =

,

Ainsi : 290

0

2.102 2

S SGM GM va km

r

= − =

3. Et d’après la loi de Képler : 2 34

48,5S

aT ans

GM

π= =

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 –––– TMC TMC TMC TMC –––– RNG RNG RNG RNG –––– Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3

RT rgéo

Exercice 7Exercice 7Exercice 7Exercice 7 : Comète de 1843: Comète de 1843: Comète de 1843: Comète de 1843

1. PFD sur la Terre… 2

0

0

SS

GMu ou GM a u

a⇒ = =

2. Trajectoire parabolique = cas limite avec Em = 0 :

2 2 102 210 543 .

2S S

m P P P

GM m GM aE mv v v u km s

d d d−= = − ⇒ = ⇒ = =

3. Petit rappel sur l’ellipse :

Donc : d a e a+ ⋅ =

Et 064,9

1

d da a

e x⇒ = = = ⋅

−

4. Conservation du moment cinétique (à l’aphélie et au

périhélie, vitesse et position sont perpendiculaires) :

( ) 12 25,5 .2 2

PA A P P A P A P

x vxr v r v a d v dv v v m s

x−⋅

= ⇒ − = ⇒ = ≈ =−

5. Si on note T0 la période le Terre, et T celle de la comète : 3

2 22 30

0 03 3 300 0

522,8T T a d

cstte T T T annéesxaa a a

= = ⇒ = = =

La comète reviendra en 2365…

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Apport de vitesse: Apport de vitesse: Apport de vitesse: Apport de vitesse

1. PFD…

( )

1

32

7,7 .

45570

T

T

T

T

GMv km s

R h

R hT s

GM

π

−

= =+

⇒ +

= =

2. Le mouvement ne peut plus être circulaire, on vérifie qu’il

reste lié : 210

2T

m

T

GM mE mv

R h= − <

+, OK, car Em <0. Il est

donc elliptique. Le point où l’on envoie le supplément de

vitesse sera alors le périgée (plus proche de la Terre)

On utilise ensuite l’énergie mécanique constante : 1

221

95252 2 2 2

T T T Tm

T T

GM m GM m GM GM vE mv a km

a R h R h

−

= − = − ⇒ = − = + +

3. On en déduit : hP = h = 400km et hA = 2a–2RT–h = 5850km,

et 3

2

9234T

aT T s

R

′ = =

, 1 0,29TR he

a

+= − =

Exercice Exercice Exercice Exercice 9999 : Orbite de transfert vers Mars: Orbite de transfert vers Mars: Orbite de transfert vers Mars: Orbite de transfert vers Mars

1. On a directement 1229,9 .T

T

dv km s

T

π −= = et 124,3 .Mv km s−=

2. Lancement d’un vaisseau vers Mars :

2.a) Demi-grand axe : 1,32

T Md da UA

+= =

2.b) Loi de Kepler : 3

31,5 18T

T

aT T années mois

d= = = , donc

le voyage dure la moitié : 9 mois.

2.c) D’après la loi des aires, le satellite va moins vite lorsqu’il

est plus loin du centre de force, donc v2 < v1.

2.d) Le lancement doit respecter certaines « fenêtres » car au

moment où il va croiser l’orbite de Mars, il faut que la

planète y soit !!! Il faut donc synchroniser les lancements

2.e) On utilise la conservation des énergies mécaniques :

2 2

1 1 1

1 1

2 121

1 1 2

1

2 2

2132,9 .

2 2

T Tm T

T Tm P P

GM m GM mE mv GM rv

r r

GM m GM m rE mv v v km s

a r r r−

= − = − ⇒ = = − = − ⇒ = = +

Et de même 12 12 2

1 2

22 19,0 .A

r rv v v km s

a r r−⇒ = − = =

+

2.f) Accroissements : WvP = 3,0km.s-1, et WvA = 5,34 km.s-1.

2.g) Si on lance le satellite directement depuis la Terre, il faut

le lancer dans le sens de rotation autour du soleil, donc

on profite des 30 km.s-1 de l’orbite terrestre, il suffit de

lui donner la différence : WvP = 3km.s-1, ce qui est somme

toute très peu. Mais ce n’est pas possible tel quel, car le

satellite ne va pas sortir de l’attraction terrestre, puisque

WvP < vL = 11,2 km.s-1. On n’a pas tenu compte de la force

gravitationnelle de la Terre dans les calculs. Il faudra en

fait d’abord passer par une orbite circulaire intermédiaire

autour de la Terre avant de l’envoyer dans l’espace et de

s’affranchir de l’attraction terrestre.

Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Orbite de transfert (de Hohman): Orbite de transfert (de Hohman): Orbite de transfert (de Hohman): Orbite de transfert (de Hohman)

1. Demi grand axe : 1 2 487002

r ra km

+= =

2. Vitesses : PFD… 1

1

1

7,7 .TGMv km s

r−= = et 1

2 3,1 .v km s −=

3. Vitesses :

121

1 2

112

1 2

210,1 .

21,6 .

P

A

rv v km s

r r

rv v km s

r r

−

−

= =

+ = = +

4. Accroissements : WvP = +3,4km.s-1, et WvA = +1,5km.s-1. Il

s’agit bien de deux poussées.

Exercice 12Exercice 12Exercice 12Exercice 12 : Mouvement orbital de la Terre: Mouvement orbital de la Terre: Mouvement orbital de la Terre: Mouvement orbital de la Terre

1. Périhélie SP = a(1-e) = 1,47.1011m, et l’aphélie SA = a(1+e) =

1,53.1011m Très faible excentricité – presque circulaire.

2. Si trajectoire circulaire : 1229,9 .

ac km s

T

π −= =

Exercice 13Exercice 13Exercice 13Exercice 13 : Satellite terrestre artificiel: Satellite terrestre artificiel: Satellite terrestre artificiel: Satellite terrestre artificiel

1. Loi de Képler :

2

32 3

70214

TGM Ta km

aπ= =

2. Excentricité : 1 0,04TR he

a

+= − =

3. Altitude de l’apogée : H = a(1+e) – RT = 900km

a

ae d

RNG RNG RNG RNG –––– Référentiel en translation Référentiel en translation Référentiel en translation Référentiel en translation

Exercice 14Exercice 14Exercice 14Exercice 14 : Oscillateur dans un ascenseur: Oscillateur dans un ascenseur: Oscillateur dans un ascenseur: Oscillateur dans un ascenseur

1. PFS dans R’ lié à l’ascenseur non galiléen en mouvement %

au réf RT galiléen terrestre :

( ) ( ) ( )( )

0/ 0

/00

T

T

absO R ent

corR R

a a O a a M a

a M

′

′

′= = = ⇒

=Ω =

Donc ( ) ( )/

0rel ie icM Rm a m a M P T F F′⋅ = ⋅ = = + + +

Ainsi : ( )0

00 eq eq

m g amg k l ma l

k

+= − + ∆ − ⇒ ∆ =

2. PFD dans R’ Non Galiléen :

( ) ( )/ rel z ie icM R

m a m a M mz e P T F F′⋅ = ⋅ = ⋅ = + + +

ɺɺ

Ainsi : ( ) ( )

( )0 0

00

eq

eq

eq

mz m g a k l l avec l l z

k l k kz l z l z z

m m m

= − + + − = −− ∆

⇒ = + − − ⇒ + =

ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

On remarque que la position d’équilibre est différente, mais

l’équation différentielle est la même que dans l’ascenseur

immobile (même pulsation)

Exercice 15Exercice 15Exercice 15Exercice 15 : Glissement sur un plan incliné: Glissement sur un plan incliné: Glissement sur un plan incliné: Glissement sur un plan incliné

1. PFD dans R’ lié au plan incliné non galiléen en mouvement

% au réf RT galiléen terrestre :

( ) ( ) ( )( )

0/ 0

/00

T

T

absO R ent

corR R

a a O a a M a

a M

′

′

′= = = ⇒

=Ω =

Donc ( ) ( ) 0/ rel N ie icM R

m a m a M a P R F F′⋅ = ⋅ = = + + +

Ainsi : 0

0

0

sin 0 cos

cos sin

cos sin

N

mx mg ma

mz mg R ma

x a g

α αα α

α α

− + = + + − −

⇒ = −

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺ

2. M remonte la pente si 00 tana

xg

α> ⇒ <ɺɺ

Exercice 16Exercice 16Exercice 16Exercice 16 : Poids apparent: Poids apparent: Poids apparent: Poids apparent

1. PFD dans R’ lié à l’ascenseur non galiléen en mouvement %

au réf RT galiléen terrestre :

( ) ( ) ( )( )

0/ 0

/00

T

T

absO R ent

corR R

a a O a a M a

a M

′

′

′= = = ⇒

=Ω =

Donc ( ) ( ) 0/ rel N ie icM R

m a m a M a P R F F′⋅ = ⋅ = = + + +

Poids apparent : ( )0 0app ie zP P F m g a e g g a′= + = − + ⋅ = +

2. Tout se passe comme si la personne pesait m’ dans le champ

de pesanteur g : 66mg

m g mg m g kgg

′′ ′ ′= ⇒ = =

Exercice 17 : Tapis roulantExercice 17 : Tapis roulantExercice 17 : Tapis roulantExercice 17 : Tapis roulant

1. PFD dans R’ non galiléen en mvt % RT galiléen :

( ) ( ) ( )( )

/

/

0 0

00

T

T

absO R ent

corR R

a a O a M

a M

′

′

′= = = ⇒

=Ω =

( ) ( )/ rel ieM R

xm a m a M m P F

z′

⋅ = ⋅ = = +

ɺɺ

ɺɺ icF+

, ce qui

nous donne 0x =ɺɺ , la bille tombe exactement en B0, sur la

verticale apparente, qui bouge avec le tapis.

2. Tapis uniformément freiné : nouveau mouvement :

( ) ( ) ( )( )

0/ 0

/00

T

T

abs xO R ent x

corR R

a a O a e a M a e

a M

′

′

′= = − ⋅ = − ⋅ ⇒

=Ω =

On calcule la valeur de a0 en intégrant : 200

1,25 .v

a mst

−= =∆

( ) ( ) ( )( )( )0 0 0 000abs x abs t

v O a t v e et v O a t v=

′ ′= − + ⋅ = = − +

PFD : ( ) ( )/ rel ieM R

xm a m a M m P F

z′

⋅ = ⋅ = = +

ɺɺ

ɺɺ

Ainsi : 2

00

2

10 2

0 1

2

x a tx mam

z mgz gt h

= = + ⇒ − − = +

ɺɺ

ɺɺ

Temps de chute : 2 00

2x x

haht B I x e e

g g⇒ = ⇒ = ∆ ⋅ = ⋅

3. Distance entre I et B0 : 13x cm∆ =

Exercice 18 : Tir sur une cible tombanteExercice 18 : Tir sur une cible tombanteExercice 18 : Tir sur une cible tombanteExercice 18 : Tir sur une cible tombante

1. Forces : Poids P m g=

/ ( )/ Tie C R

F ma m g= − = −

/ 0icF =

,

car / 0

TR R′Ω =

et C soumis à son poids ( )/ TC CC R

m a m g⋅ =

…

2. PFD sur M dans R’ : ( )/ ' ie icM R

ma P F F= + +

0=

, le

projectile est donc en mouvement rectiligne uniforme dans

le référentiel de la cible.

3. Il faut diriger le tir vers la cible,

ainsi, la cible va tomber en chute

libre, mais le projectile également,

avec la même accélération… les

deux vont se rejoindre

Exercice 19 : Plateau vibrantExercice 19 : Plateau vibrantExercice 19 : Plateau vibrantExercice 19 : Plateau vibrant

1. PFS dans R’ lié au plateau non galiléen en mouvement % au

réf RT galiléen terrestre :

( ) ( ) ( )( )

/

/00

T

T

abs P zO R ent P z

corR R

a a O z e a M z e

a M

′

′

′= = ⋅ = ⋅ ⇒

=Ω =

ɺɺ ɺɺ

Donc ( ) ( )/

0rel N ie icM Rm a m a M P R F F′⋅ = ⋅ = = + + +

Ainsi : ( )20 cosN Pmg R mz R m g H tω ω= − + − ⇒ = −ɺɺ

R ne doit jamais s’annuler pour que le contact soit conservé

Il faut donc : 2g H g Hω ω≥ ⇒ ≤

2. Fréquence critique : 115,7

2 2C

C

gf Hz

H

ωπ π

= = =

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 –––– TMC TMC TMC TMC –––– RNG RNG RNG RNG –––– Feuille 2/3 Feuille 2/3 Feuille 2/3 Feuille 2/3

Impact

Ini

0v

Position

RNG RNG RNG RNG –––– Référentiel en rotation Référentiel en rotation Référentiel en rotation Référentiel en rotation

Exercice 20 : Décollement d’un support en rExercice 20 : Décollement d’un support en rExercice 20 : Décollement d’un support en rExercice 20 : Décollement d’un support en rotationotationotationotation

1. PFS dans R’ cylindrique lié au plan incliné tournant non

galiléen en mouvement % au réf RT galiléen terrestre :

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

/

//

sin0

2

T

TT

ent rabsO R

cor R R relR R

a M l ea a O

a M v Me

ω α

ω′

′′ ∆

= − ⋅′= =⇒

= Ω ∧Ω = ⋅

Donc ( ) ( )/

0rel N ie icM Rm a m a M P R T F F′⋅ = ⋅ = = + + + +

On projette sur une base ,x ye planvers le haut e plan⊥ ,

Ainsi :

2 2

2

sin0 cos 0

0 sin 0 sin cos

0 0 0 0 0N

mlmg T

mg R ml

ω ααα ω α α

−− = − + + +

Et 2sin sin cosNR N mg mrα ω α α= = −

2. Le point décolle du support si la réaction s’annule :

lim0

cosN

gR

lω

α= ⇔ =

Exercice 21 : Tige inclinée en rotationExercice 21 : Tige inclinée en rotationExercice 21 : Tige inclinée en rotationExercice 21 : Tige inclinée en rotation

1. PFS dans R’ cylindrique lié au plan incliné tournant non


( ) ( ) ( )( ) ( )

2

/

//

sin0

2

T

TT

ent rabsO R

cor R R relR R z

a M r ea a O

a M v Me

ω α

ω′

′′

= − ⋅′= =⇒

= Ω ∧Ω = ⋅

Donc ( ) ( )/

0rel N ie icM Rm a m a M P R F F′⋅ = ⋅ = = + + +

On projette sur une base ' , 'x ye tige vers le haut e tige⊥ ,

Ainsi : 2 2

2

0 cos 0 sin

0 sin sin cosN

mg mr

mg R mr

α ω αα ω α α

− = + + − −

2. On obtient alors : Et 2 2

cos

sineq

gX

αω α

=

3. Equation diff : on applique un PFD : Attention Fic non nulle 2 2

2

'

sincos 0 0

0 sin sin cos 0

0 0 0N

Z ic

mXmx mg

mg R mX

R F

ω ααα ω α α

− = − + + − +

ɺɺ

Ainsi : ( )( ) 2 2cos sineqmx mg m X x tα ω α= − + +ɺɺ

Et en simplifiant : 2 2sin 0x x ω α− ⋅ =ɺɺ

Forme générale en ( ) sin sint tx t Ae Beω α ω α−= +

4. Solution en cos hyperbolique, donc la position

d’équilibre est instable…

Exercice 22 : Tige en rotationExercice 22 : Tige en rotationExercice 22 : Tige en rotationExercice 22 : Tige en rotation

1/2. PFD dans R’ cylindrique lié à la tige tournante non


( ) ( ) ( )( )

2/

/

0

2

T

T

absO R ent r

corR R z

a a O a M r e

a M r ee θ

ω

ωω′

′

′= = = − ⋅ ⇒

= ⋅Ω = ⋅

ɺ

Donc ( ) ( )/ rel N ie icM R

m a m a M P R F F′⋅ = ⋅ = + + +

Ainsi :

2

2

0 0 0

0 0 0 2 0

0 0 0z

mr mr

R r r r

mg Rθ

ωω ω

= + + + ⇒ − = −

ɺɺ

ɺ ɺɺ

3. Forme général en cosinus hyperbolique : la bille s’écarte de

plus en plus du centre… ( ) t tr t Ae Beω ω−= +

4. Avec les CI : ( )( )0

20 0

r a A B aA B

r A Bω ω

= = +⇒ = =

= = − ɺ

Ce qui donne ( ) ( ) ( ) ( )cosh2

t tar t X t e e a tω ω ω−= = + =

Exercice 23 : Oscillations dans un réf en rotationExercice 23 : Oscillations dans un réf en rotationExercice 23 : Oscillations dans un réf en rotationExercice 23 : Oscillations dans un réf en rotation

1. PFS dans R’ cylindrique lié à la tige tournante non galiléen

en mouvement % au réf RT galiléen terrestre :

( ) ( ) ( )( )

2/

/

0

2

T

T

absO R ent r

corR R z

a a O a M r e

a M r ee θ

ω

ωω′

′

′= = = − ⋅ ⇒

= ⋅Ω = ⋅

ɺ

Donc ( ) ( )/

0rel N ie icM Rm a m a M P R T F F′⋅ = ⋅ = = + + + +

2. Position d’équilibre :

Ainsi : ( ) 2

00 0 0 0

0 0 0 0 2

0 0 0 0z

k r l mr

R r

mg Rθ

ωω

− − = + + + + −

ɺ

Possible si 0 0

02 2

0

0

1

eq

kl l kr

mk mω ω

ω ωω

= = > ⇔ < =−

−

Sinon le mouvement part en cosinus hyperbolique, force

centrifuge trop importante, le ressort n’arrive pas à retenir.

3. Equa diff : PFD

( ) 200 0 0

0 0 0 0 2

0 0 0 0z

k r lmr mr

R r

mg Rθ

ωω

− − = + + + + −

ɺɺ

ɺ

Cela donne : ( ) ( ) 2

0 0eq eqmx k X x l m X x ω+ + − − + =ɺɺ

On simplifie ( )2 2

0 0x xω ω+ − =ɺɺ

4. Pulsation des oscillations : 2 2

0'ω ω ω= − , et on retrouve la

pulsation propre dans le cas où la tige est immobile.

Exercice 24 : AttExercice 24 : AttExercice 24 : AttExercice 24 : Attraction foraineraction foraineraction foraineraction foraine

1. PFS dans R’ cylindrique lié au cylindre tournant non


( ) ( ) ( )( ) ( )

2

/

//

0

2

T

TT

ent rabsO R

cor R R relR R z

a M r ea a O

a M v Me

ω

ω′

′′

= − ⋅′= =⇒

= Ω ∧Ω = ⋅

Donc ( ) ( )/

0rel ie icM Rm a m a M P R F F′⋅ = ⋅ = = + + +

Ainsi :

20 0

0 0 0 0

0 0

N

T

f mR

mg f

ω − = + + −

Il faut absolument

qu’il y ait un frottement solide pour pouvoir compenser P

.

2. Equilibre possible : 2

minT N

gf f mg mR

Rµ µ ω ω

µ≤ ⋅ ⇔ ≤ ⇔ =

Exercice 25 : Machine à laverExercice 25 : Machine à laverExercice 25 : Machine à laverExercice 25 : Machine à laver

Même démarche que pour les exos précédents

PFS dans R’ cylindrique lié au cylindre tournant non galiléen en

mouvement % au réf RT galiléen terrestre :

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

/

//

0

2

T

TT

ent rabsO R

cor R R relR R z

a M r ea a O

a M v Me

ω

ω′

′′

= − ⋅′= =⇒

= Ω ∧Ω = ⋅

Donc ( ) ( )/


On se place dans la situation la plus défavorable pour que le

linge puisse tomber : lorsqu’il est en haut Poids vertical

Ainsi : ( )2

2

0 0 0 0

0 0 0 0

0N

N

R m R g

mg R mR

ωω

= + + ⇒ = − − −

Le linge ne tombe pas si la réaction ne s’annule pas : g

Rω ≥

On calcule la vitesse : 1

lim

26060 .min

2

gtours

dπ−Ω = =

Exercice 26 : Cuvette parabolique en rotationExercice 26 : Cuvette parabolique en rotationExercice 26 : Cuvette parabolique en rotationExercice 26 : Cuvette parabolique en rotation

1. PFS dans R’ cylindrique lié au cylindre tournant non


( ) ( ) ( )( ) ( )

2

/

//

0

2

T

TT

ent rabsO R

cor R R relR R z

a M r ea a O

a M v Me

ω

ω′

′′

= − ⋅′= =⇒

= Ω ∧Ω = ⋅

Donc ( ) ( )/


Ainsi :

20 0 sin

0 0 0 0

0 cos 0

N

N

R mR

mg R

α ω

α

− = + + −

.

2. On a tan 2dz

kxdx

α α≈ = =

3. On exploite le PFS : 2

2cos sinN

mg mXR kg

ω ωα α

= = ⇒ =

Exercice 27 : Entrainement à l’impesanteurExercice 27 : Entrainement à l’impesanteurExercice 27 : Entrainement à l’impesanteurExercice 27 : Entrainement à l’impesanteur

1. Système astronaute étudié dans le réf de l’avion, en

mouvement % réf terrestre galiléen :

( ) ( ) ( ) ( )

( )//

/ 0 0

TT

T

entabs O RO R

R R cor

a M aa a O

a M

′′

′

′ == ⇒

Ω = =

On applique un PFD : ( )/ ie icM R

m a P F F′⋅ = + +

En impesanteur si ( ) ( )/ /

0TieM R O R

m a P F mg ma′ ′⋅ = = + = −

L’avion est donc en chute libre ( )

( )

( ) ( ) ( )

/

0

2

0 0

1

2

TO R

t

a g

v gt v

r gt v t r

′

=

= + = + +

Position :

( )

( )

( )

0 0

2

0 0

cos

0

1sin

2

t

x v t x

OM y

z gt v t z

α

α

= +

= = = − + +

Trajectoire : ( )( )( )( ) ( )

2

0

0 02 2

0

tan2 cos

g x xz x x z

vα

α

− −= + − +

Le trajectoire de l’avion est parabolique.

2. Point culminant : S ( ) 0sin

0 S

vz S t

g

α= ⇒ =ɺ

L’avion est monté de ( )

2 2

00

sin

2S

vh z z

g

α= − =

Cela donne 0

sin 2v ghα =

Et puisque la parabole est symétrique :

02 sin 2

2 2 84,85 1min 25S

v hT t s s

g g

α= = = = =

Poids et Champ de PesanteurPoids et Champ de PesanteurPoids et Champ de PesanteurPoids et Champ de Pesanteur

Exo Exo Exo Exo 28282828 : Calcul du champ de pesanteur en un point: Calcul du champ de pesanteur en un point: Calcul du champ de pesanteur en un point: Calcul du champ de pesanteur en un point

1. Champ de gravitation 2

TT r

T

GMG e

R

−= ⋅

, GT = 9,77 m.s-2.

2. Champ de pesanteur = somme du champ gravitationnel à la

surface + force d’inertie d’entrainement (centrifuge) due à la

rotation de la Terre sur elle-même : (voir TD17)

2 2

2cosT

T r T x

T

GMg G HM e R e

Rω ω λ−

= + = ⋅ + ⋅

(Avec r

OMe

OM=

vecteur radial unitaire des coordonnées

sphériques, et x

HMe

HM=

avec H le projeté orthogonal de

M sur l’axe de rotation ze

).

3. Pour λ = 45°, on obtient g = 9,75 m.s-2, avec le calcul :

( ) ( )2 22 2 2

4 2

2 2 2 2

cos 2 cos

2 2cos 2 cos

T T T T r x

T T T T

g g G R G R e e

G R G RT T

ω λ ω λ

π πλ λ

= = + − ⋅ ⋅

= + −

Exo Exo Exo Exo 29292929 : Si la Terre tournait plus vite: Si la Terre tournait plus vite: Si la Terre tournait plus vite: Si la Terre tournait plus vite

1. Champ gravitationnel 2

TT r

T

GMG e

R

−= ⋅

2. Pseanteur 2 2

2cosT

T r T x

T

GMg G HM e R e

Rω ω λ−

= + = ⋅ + ⋅

(voir exo préc. et TD17), Norme à l’équateur g = GT-ω2RT.

3. champ nul Il faudrait 3

2 1 25minT

T

RT h

GMπ= =

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 ME6 / ME7 –––– TMC TMC TMC TMC –––– RNG RNG RNG RNG –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 3333/3/3/3/3

Force de CoriolisForce de CoriolisForce de CoriolisForce de Coriolis

Exo 3Exo 3Exo 3Exo 30000 : Force d’inertie sur un wagon allant vers le sud: Force d’inertie sur un wagon allant vers le sud: Force d’inertie sur un wagon allant vers le sud: Force d’inertie sur un wagon allant vers le sud

1. On prend un réf : ( ), , ,ℜ =

T N W zO e e e , avec les vecteurs

unitaires respectivement orientés vers le nord, vers l’ouest

et verticalement vers le haut. Ainsi, /ℜ = − ⋅

TM Nv v e .

La force de Coriolis est : / /2 ℜ= − Ω ∧

T G Tic R R MF m v , ce qui

donne cos 1

2 0 0 2 sin

sin 0

λω ω λ

λ

− = − ⋅ ∧ = = ⋅

ic ic WF m v F m v e

Elle orientée vers l’Ouest, et de norme Fic = 140N.

( Force très faible par rapport au poids P = mg = 2.105 N)

2. Faire le schéma correspondant : arctan 0,04α = = °

icF

mg

Il faut donc incliner les rails de 0,04° vers l’Est.

Exo 3Exo 3Exo 3Exo 31111 : Force d’inertie sur un wagon allant à l: Force d’inertie sur un wagon allant à l: Force d’inertie sur un wagon allant à l: Force d’inertie sur un wagon allant à l’est’est’est’est

1. On prend le même réf : ( ), , ,ℜ =

T N W zO e e e , avec les

vecteurs orientés vers le nord, l’ouest et vers le haut.

Ainsi, /ℜ = − ⋅

TM Wv v e .

La force de Coriolis est : / /2 ℜ= − Ω ∧

T G Tic R R MF m v , ce qui

donne cos 0 sin

2 0 1 2 0

sin 0 cos

λ λω ω

λ λ

= − ⋅ ∧ − = − ⋅ −

icF m v m v

2 composantes, une partie vers le haut, l’autre vers le sud.

2. Composante dans le plan horizontal : vers le sud,

2 sin 140ω λ⋅ = − = −

ic NF e m v N

Exo 3Exo 3Exo 3Exo 32222 : Lancement vertical d’un projectile: Lancement vertical d’un projectile: Lancement vertical d’un projectile: Lancement vertical d’un projectile

1. De manière approchée : ( ) ( )0 0 ztv v g t v gt e= − ⋅ = − ⋅

Ce qui donne :

( )0

0

cos 0

2 0 0 2 cos

sin

λω ω λ

λ

− = − ⋅ ∧ = − ⋅ −

ic yF m m gt v e

v gt

2. PFD sur le projectile :

( )0

00

0 2 cos

0

ω λ = + = + − −

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺic

mx

my P F m gt v

mz mg

Ainsi :

( ) ( )0= ɺx t x ( )0⋅ +t x

( ) ( )3 2

0 0

1cos

3λ = Ω − +

ɺy t gt v t y ( )0⋅ +t y

( ) ( )20

10

2

−= + +z t gt v t z

3. Coordonnées approchées du point de retombée :

0

30

2

2

4 cos

3

λ

=

− Ω =

sol

sol

vt

g

vy

g

Déviation vers l’ouest

Exo 3Exo 3Exo 3Exo 33333 : Déviation d’un palet: Déviation d’un palet: Déviation d’un palet: Déviation d’un palet

1. On prend le réf : ( ) ( ), , , , , ,ℜ = =

T S E z x y zO e e e O e e e , avec

les vecteurs orientés vers le Sud, l’Est et vers le haut.

Ainsi : / 0ℜ = ⋅

TM Sv v e , la vitesse sera quasi constante (si on

se place dans le réf galiléen, sans frottement)

Force de Coriolis : Vers l’OUEST

0 0

cos 1

2 0 0 2 sin

sin 0

λλ

λ

− = − Ω ⋅ ∧ = = − Ω ⋅

ic ic EF m v F m v e

2. Equations horaires : PFD sur le projectile dans RT non

galiléen (force d’entrainement déjà incluse dans le poids) :

0

0 0 0

0 0 2 sin

0

λ = + + = + + − Ω −

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺN ic

N

mx

my P R F m v

mz mg R

Ainsi :

( )( )( )

0

20 sin

0

λ

=

= − Ω =

x t v t

y t v t

z t

3. Déviation

( )0

2

0 0

2 sin1, 42

π λ

= −∆ = = =

mur

mur

dt v

dy y t m

T v

4. On peut faire un calcul approché au pôle nord, en

approximant la Terre par un plan horizontal qui tourne à la

vitesse angulaire Ω. Ainsi, en tmur = d / v0 = 50s, le plan a

tourné d’un angle 20, 2089

πα ⋅= = °murt

T, de qui

correspond à une déviation sur le mur d’environ

tan 1,823α∆ = ⋅ ≈y d m . On retrouve environ la valeur

exprimée précédemment pour λ = 90° : 2

0 0

2 sin1,823

π λ−∆ = =dy m

T v

On voit que cette valeur est loin d’être négligeable, le

caractère galiléen du référentiel terrestre peut être très

rapidement mis en défaut… En réalité, les frottements

atténuent cet effet, puisqu’ils ont tendance à faire tourner le

palet et tout objet avec la Terre.

OG1 – Lois de la Réflexion

Exercice 1 : Observer son propre reflet

Un homme est debout devant un miroir plan

rectangulaire, fixé sur un mur vertical. Son œil est à l = 1,70 m

du sol. La base du miroir est à une hauteur h au dessus du sol.

1. Déterminer la hauteur h maximale

pour que l’homme voie ses pieds.

2. Comment varie cette hauteur en

fonction de la distance d de l’œil au

miroir ?

3. Quelle est la hauteur minimale du

miroir nécessaire pour que

l’homme puisse se voir se voir

entièrement, de la tête (1,80m) au

pied ?

Exercice 2 : Réflexion sur deux miroirs

Un système optique est constitué

de deux miroirs plans, formant entre eux

un angle α, tel qu’un rayon lumineux

incident parallèle à l’un des deux miroirs

repart en sens inverse (même support)

après avoir subi trois réflexions.

1. Que vaut l’angle d’incidence sur le 1er miroir ?

2. En déduire la valeur de l’angle α.

Exercice 3 : Rotation d’un miroir plan

Un rayon lumineux issu d’une source fixe frappe un

miroir plan sous incidence normale. On tourne le miroir d’un

angle α et on observe une déviation angulaire β du rayon

réfléchi.

1. Que vaut l’angle d’incidence i final ?

2. En déduire β en fonction de α.

Exercice 4 : Ensemble de 3 miroirs plan

Un rayon lumineux R se propage

dans l’air en se réfléchissant

successivement sur 3 miroirs plans M1,

M2, M3, perpendiculaires à un plan

choisi comme plan de la figure. Les

angles d’incidence en I1 sur M1 et en I2

sur M2 valent tous deux 60° et le rayon

I1I2 est dans le plan de la figure.

1. Que valent les 2 premières

déviations angulaires du rayon ?

2. Quelle doit être l’orientation de M3 pour que, après les 3

réflexions, le rayon réfléchi définitif ait la même direction

et le même sens que le rayon incident R ?

Exercice 5 : Mesure de la distance Terre – Lune

Pour mesurer avec précision la distance de la Terre à la

Lune, on émet une impulsion laser depuis la surface de la Terre

en direction d’un réflecteur catadioptrique (miroirs) posé sur la

Lune, qui renvoie vers la Terre la lumière qu’il reçoit. La mesure

du temps écoulé entre l’émission et la réception du signal permet

de déterminer la distance Terre – Lune.

1. Le réflecteur posé sur la Lune est un coin de cube,

ensemble de trois miroirs plan identiques A, B et C

formant les trois faces d’un trièdre rectangle. (Ix, Iy, Iz).

Montrer qu’un rayon lumineux émis de la Terre et

arrivant sur le coin de cube est renvoyé après trois

réflexions respectivement sur les miroirs A, B et C dans la

direction exactement opposée, quelle que soit

l’orientation du trièdre.

2. Les différents rayons lumineux issus de l’émetteur sont

émis uniformément dans un cône de demi-angle au

sommet α = 2,0.10-5 rad. D’autre part, le faisceau de

retour présente une divergence due à la diffraction qui a

lieu lors de la réflexion sur le coin du cube. On peut

estimer que le demi-angle au sommet du cône de retour

est donné par α’ = λ/l’, où l’ = 1,0cm est une longueur

caractéristique des miroirs du réflecteur.

Données :

- Surface apparente du coin de cube : S = 1,0cm2,

- Surface du récepteur sur la Terre : S’ = 1,8cm2,

- Longueur d’onde du laser utilisé : λ = 0,53μm

- Dimension caractéristique des miroirs : l’ = 1,0cm

- Distance moyenne Terre – Lune : d = 3,84.105km

2.a) Si n0 est le nombre de photons émis lors d’une

impulsion laser, quel est le nombre de photons reçus

par le catadioptre ?

2.b) Quel est le nombre n’ de photons reçus en retour par

le récepteur sur Terre ?

2.c) En déduire l’ordre de grandeur de la fraction de la

puissance lumineuse émise depuis la Terre qui est

recueillie à son retour dans le récepteur (on néglige

dans ces calculs les effets liés à l’atmosphère et les

pertes à la réflexion).

2.d) L’énergie d’un photon de longueur d’onde λ est W=hc/

λ, où h=6,62.10-34J.s est la constante de Planck et

c=3.108m.s-1 est le vitesse de la lumière. Le laser émet à

chaque impulsion une énergie lumineuse E = 0,3J.

Quel est le nombre moyen de photons revenant à

chaque impulsion sur la Terre ? Conclure.

α

α

β Rotation

x

y

z Miroir C

Miroir A

Miroir B

OG1 – Lois de la Réfraction

Exercice 6 : Hémicylindre

On considère un bloc de verre (indice n = 1,5), de centre

O et de rayon R, placé dans l’air d’indice considéré égal à celui

du vide. Déterminer les trajets des deux rayons indiqués sur la

figure ci-dessous jusqu’à leur sortie du bloc.

Rmq : On pourra faire de

même en exercice pour

n’importe quel rayon

arrivant sur le cylindre.

Exercice 7 : Observation d’un poisson

Un pêcheur, dont les yeux

sont à 1,60 m au dessus de l’eau,

regarde un petit poisson situé à

0,60 m au dessous de l’eau (d’indice

n2 = 1,33) ; les rayons arrivant à ses

yeux avec un angle de 15°.

1. A quelle distance le pêcheur voit-il le poisson ?

2. A quelle distance le poisson voit-il le pêcheur ?

3. Et si les rayons parvenant à l’œil du pêcheur sont inclinés

de 30° ? De 45° ? De 60° ? Et vertical ? Commenter.

Exercice 8 : Pierre au fond d’une piscine

Un observateur mesurant Y=1,8m est situé à X=4m du

bord d’une piscine, de profondeur H=2,5m, et de largeur d=4m.

Un caillou est placé au fond de la piscine (voir figure ci-

dessous). Calculer la hauteur d’eau minimale pour que

l’observateur puisse voir le caillou. L’indice de l’eau est n=1,33.

Exercice 9 : Le poisson double

Un chat se place au coin d’un aquarium, pour y observer

un poisson. On suppose que l’angle entre les deux faces de

l’aquarium est un angle droit, et que le chat ainsi que le poisson

se trouvent sur la bissectrice de cet angle. Le chat observe alors

deux fois le même poisson !!!

Le chat est à une distance D=50cm du coin de l’aquarium,

et le poisson à une distance d de ce coin. L’indice de l’air est

nair = 1,00, et celui de l’eau est neau = 1,33. Le chat voit les deux

images du poisson symétriquement par rapport à la bissectrice,

sous un angle α = 6°.

1. Représenter le trajet des ayons lumineux issus du poisson

qui atteignent l’œil du chat.

2. Déterminer, en fonction de α, l’angle que font les rayons

atteignant l’œil du chat avec les normales aux faces de

l’aquarium.

3. Déterminer l’angle que font les rayons issus du poisson

par rapport à la bissectrice.

4. Calculer la distance d.

Exercice 10 : Réfractomètre à angle limite

Soit un cube de verre d’indice N, sur lequel on place un

échantillon d’indice n < N. En un point I de l’interface entre

l’échantillon et le cube, on fait arriver un faisceau incident

pouvant prendre toutes les directions possibles. Les rayons

lumineux pénètrent dans le cube et on considère ceux qui

sortent par la face BC, on les observe à l’aide d’une lunette.

1. A quelle condition obtient-on un rayon émergent par la

face BC ?

2. Les conditions précédentes étant réalisées, on observe

avec la lunette une limite nette entre une plage sombre

et une plage éclairée. Donner l’angle α que fait l’axe de la

lunette avec l’horizontale lorsque la lunette pointe cette

limite.

3. Montrer que la mesure de l’angle α permet de calculer

l’indice n lorsque l’indice N est connu. Pour un cube

d’indice N donné, quelles sont les valeurs de n que l’on

peut mesurer ?

Exercice 11 : Rayon lumineux traversant une vitre

Un rayon lumineux traverse une

vitre d’épaisseur e et d’indice n (l’indice

de l’air est pris égal à 1,00), avec un angle

d’incidence i.

1. Montrer que le rayon ressort de la

vitre en conservant la même

direction.

2. Pour un angle d’incidence i « petit », exprimer en

fonction de n, e et i la déviation latérale d subie par le

rayon incident lors de la traversée de la vitre.

.

H

h

d

X

Y

Eau

d

Eau

Air D

N

A

Lunette

D

B

C

n

i

e

C R2

R1 A 30°

B

Exercice 12 : Etude d’un dioptre semi-cylindrique

On considère un demi-

cylindre en verre de rayon

R=5cm et d'indice n=1.50

plongé dans l'air d'indice 1.00.

Un rayon lumineux écarté d'une

distance d par rapport à l'axe

optique arrive sous incidence

normale sur la face plane.

1. Exprimer en fonction de i , r er R la distance CA’.

2. En déduire la limite CF’ de CA’ lorsqu'on se trouve dans

les cond. de Gauss (d<<R). que représente le point F’ ?

3. Exprimer la valeur max d0 telle que le rayon émerge du

cylindre sans subir de réflexion totale en I. Calculer d0.

Exercice 13 : Formules du prisme

Un rayon incident

arrivant sur un prisme

d’indice n et d’angle A

est dévié en sortie, d’un

angle D. Tous les angles

sont choisis positifs.

1. Ecrire les lois de la réfraction.

2. Ecrire la relation entre r, r’ et A (Attention aux signes)

3. Montrer que D i r i r i r i r .

4. En déduire l’expression de D en fonction de n et A, dans

le cas de petits angles.

Exercice 14 : Dioptre Plan

Un dioptre plan sépare deux MHTI - milieux homogènes

(propriétés physiques identiques en tout point), transparents

(absence d’absorption), isotropes (propriétés identiques dans

toutes les directions de l’espace) – d’indices n1 et n2 < n1. Un

objet A se trouve dans le milieu d’indice n1.

1. Tracer 2 rayons afin de

trouver qualitativement

la position de l’image A’

de A à travers le dioptre

(un des rayons sera choisi

orthogonal au dioptre).

2. On note H le projeté de A sur le dioptre. Montrer que

1

2

tan'

tan

iHA HA

i (notations habituelles).

3. La position de A’ dépend-elle de l’inclinaison i1 du second

rayon incident ? Conclure qu’il n’existe pas de

stigmatisme rigoureux dans le cas d’un dioptre plan.

4. Montrer en revanche qu’il y a stigmatisme approché dans

les conditions de Gauss puisqu’on a alors la relation de

conjugaison (reliant A et A’) : 2

1

'n

HA HAn

5. L’objet est maintenant étendu et transversal (parallèle au

dioptre), il est noté AB. Montrer que l’image A’B’ de AB

est de même taille que AB. Que vaut alors le

grandissement transversal : ' 'A B

AB ?

OG1 – Réflexion et Réfraction

Exercice 15 : Mesure de l’indice d’un liquide

Deux fils parallèles, distants de a, sont maintenus à la

surface d’un liquide d’indice n. Le liquide est placé dans une

cuve dont le fond est argenté, sur une hauteur h. On observe

l’un des fils sous une incidence i0 donnée et on règle h de

manière à ce que l’image de l’autre fil coïncide avec le fil

observé.

1. Représenter le trajet du

rayon lumineux observé

issu de l’autre fil.

2. En déduire l’expression

de n en fonction de i0, a

et h.

Exercice 16 : Double Reflet

Une source lumineuse ponctuelle S est située à une

distance x = 1 m de la couche de verre d’indice n = 1,50 et

d’épaisseur e = 5 mm protégeant un miroir plan. Un rayon

lumineux issu de S arrivant sur la couche de verre avec une

incidence i est partiellement réfléchi à la traversée du dioptre

air → verre et l’autre partie est réfractée.

1. Justifier le fait que

l’observateur qui regarde dans

le miroir sous une incidence i

voit 2 images S’ et S’’. Placer

ces sources S’ et S’’ sur la

figure.

2. Exprimer dans les conditions

de Gauss la distance S’S’’ entre

les 2 images, en fonction de e

et n. Calculer S’S’’

OG1 – Réflexion totale

Exercice 17 : Prisme à réflexion totale

On souhaite que le trajet des

rayons lumineux soit le suivant dans

un prisme à 45°. Le milieu

environnant est l’air d’indice 1,00.

1. Que vaut l’angle d’incidence sur

l’hypoténuse ?

2. A quelle condition sur l’indice n du prisme la réflexion

totale est-elle possible ?

d A’

I r

i

C

r' i'

i

r

A D

Supplément EXERCICES – OG1 / OG2 – Optique Géométrique – Feuille 2/5

Exercice 18 : Clou planté dans un bouchon

On dispose sur un plan d’eau

une rondelle de liège de rayon R et

d’épaisseur négligeable au centre de

laquelle on a planté un clou de

longueur, perpendiculairement à la

rondelle. On note n l’indice de

réfraction de l’eau, celui de l’air est

pris égal à 1,00.

1. Déterminer à partir de quelle longueur limite Llim du clou

le rayon issu de la tête du clou et passant par l’extrémité I

de la rondelle est totalement réfléchi.

2. Que peut-on alors dire des autres rayons qui arrivent sur le

dioptre eau→air ? Que voit l’observateur qui regarde depuis

l’air au dessous de la rondelle ?

Exercice 19 : Effet de Gouffre lumineux

Les plongeurs, lorsqu’ils relèvent la tête vers la surface de

l’eau, ont l’impression de voir un « gouffre lumineux », c’est-à-

dire un disque lumineux entouré d’obscurité. On donne l’indice

de l’air égal à 1,00 et l’indice de l’eau n = 1,33.

1. Expliquer qualitativement le phénomène grâce à un

dessin.

2. Exprimer puis calculer le diamètre angulaire apparent α

de ce cône de lumière. Dépend-il de la profondeur à

laquelle se trouve le plongeur ?

Exercice 20 : Fibre à saut d’indice

On appelle O.N. = sin θmax l’ouverture numérique de la

fibre, où θmax désigne l’angle d’incidence maximal du rayon

lumineux (dans l’air) compatible avec le confinement du rayon

lumineux à l’intérieur de la fibre.

1. Tracé l’allure du trajet du rayon

lumineux, en supposant qu’il reste

confiné à l’intérieur du cœur.

2. Quelle est l’ouverture numérique

de la fibre à saut d’indice

représentée ci-contre ?

OG1 – Quelques Phénomènes

Exercice 21 : Les mirages

On s’intéresse au phénomène de mirage. L’indice de

réfraction d’un milieu est une fonction décroissante de la

température (à une pression donnée). L’été, dans le désert par

exemple, le sol est extrêmement chaud, et chauffe ainsi l’air à

son contact. (Se produit aussi sur les routes),

Expliquer le phénomène de mirage inférieur observé.

Préciser à quelle saison on peut observer en mer des

mirages supérieurs.

Et en quelle saison peut-on voir le plus loin ?

Exercice 22 : Ciel bleu et coucher de soleil rouge

Un objet est visible car il émet ou réfléchit de la lumière qui

parvient jusqu’à notre œil. Mais ce phénomène dépend en

général de la longueur d’onde de la lumière considérée, d’où les

différences de couleur (un objet absorbant toute la lumière nous

apparaît noir, alors qu’un objet réfléchissant tout nous apparaît

blanc, avec tous les intermédiaires possibles constituant toutes

les couleurs visibles).

La journée, le ciel est bleu. Pourquoi ? On cherchera à

expliquer le comportement des molécules de l’air vis-à-

vis de la couleur du soleil.

La nuit, le ciel est noir. Pourquoi ?

Lorsque le soleil se couche, sa lumière nous apparaît plus

rouge que dans la journée. Expliquez.

Exercice 23 : Soleil Vert

Lorsque l’horizon est bien dégagé et les conditions

climatiques favorables, on peut apercevoir, au coucher du soleil,

une lumière verte intense, observée juste au moment où le soleil

passe sous l’horizon (définie par la tangente à la Terre passant

par les yeux de l’observateur). On parle de rayon vert.

Pouvez-vous expliquer ce phénomène ?

Exercice 24 : Effets chromatiques (CCP)

Lors de l’impact de la lumière sur un objet quelconque, on

peut considérer globalement qu’une unité de puissance du

rayonnement incident se divise en quatre fractions dépendant en

général de la longueur d’onde λ :

R(λ) par réflexion spéculaire (comme sur un miroir)

D(λ) par réflexion diffuse (diffusion ds toutes les directions)

A(λ) par absorption dans le matériau

T(λ) par transmission (après réfraction)

De telle sorte que R(λ) + D(λ) + A(λ) + T(λ) = 1.

La partie absorbée est en général convertie sous une forme

d’énergie non visible : thermique, électrique, chimique,

biologique (chez les végétaux, elle actionne le processus de

photosynthèse).

1. Une bonne réflexion spéculaire nécessite un bon poli

optique. En estimant que pour réaliser un tel poli, les

aspérités superficielles doivent être, pour le moins,

inférieures au dixième de la longueur d’onde la plus courte,

quelle doit être – pour le visible – la dimension maximale de

ces aspérités ?

2. Quel est l’aspect visuel d’un objet parfaitement absorbant

pour toutes les longueurs d’onde ? Une plante verte utilise-

t-elle l’intégralité des radiations vertes dans son

développement ?

3. Un tissu bleu est examiné à la lumière d’un néon ne

contenant pas de radiations bleues. Décrire son apparence

visuelle. Justifier la réponse.

4. Le modèle de l’électron élastiquement lié, excité par une

onde lumineuse plane, progressive, harmonique, appliqué

aux particules présentes dans l’atmosphère terrestre, permet

de montrer que le flux lumineux diffusé est proportionnel à

la puissance 4 de la fréquence de l’onde. Expliquer alors la

couleur bleue du ciel et la couleur rouge du soleil couchant.

Exercice 25 : Arc en Ciel (CCP)

Partie A : Questions préliminaires

1. Rappeler la loi de Snell-Descartes pour la réfraction,

lorsqu’un rayon passe de l’air (d’indice unité) à un milieu

d’indice n, en notant i l’angle d’incidence et r l’angle de

réfraction.

2. Exprimer la dérivée dr

di exclusivement en fonction de

l’indice n, et du sinus de l’angle d’incidence i (sin i).

3. Exprimer, en fonction de i et de r, la valeur de la déviation

du rayon lumineux, déviation définie par l’angle entre la

direction incidente et la direction émergente, orientées

dans le sens de propagation.

4. Exprimer aussi, à l’appui d’un schéma, la déviation d’un

rayon lumineux dans le cas d’une réflexion.

Partie B : Etude de l’arc-en-ciel

Lorsque le soleil illumine un rideau de pluie, on peut

admettre que chaque goutte d’eau se comporte comme une

sphère réceptionnant un faisceau de rayons parallèles entre eux.

Cela revient à considérer le soleil comme un objet ponctuel à

l’infini. Une goutte d’eau quelconque, représentée par une

sphère de centre O et de rayon R, est atteinte par la lumière

solaire sous des incidences variables, comprises entre 0° et 90°.

Son indice, pour une radiation donnée, sera noté n, tandis que

celui de l’air sera pris égal à 1.

1. On recherche, dans un premier temps, les conditions pour

que la lumière émergente, issue d’une goutte d’eau, se

présente sous forme d’un faisceau de lumière parallèle.

Pour cela, on fait intervenir l’angle de déviation D de la

lumière à travers la goutte d’eau, mesuré entre le rayon

émergent et le rayon incident. Cet angle de déviation D est

une fonction de l’angle d’incidence i. Exprimer la condition

de parallélisme des rayons émergents en la traduisant

mathématiquement au moyen de la dérivée dD

di.

2. On considère les trois cas suivants, représentés sur la figure

ci-dessous : lumière directement transmise (I), transmise

après une réflexion partielle à l’intérieur de la goutte (II),

transmise après deux réflexions partielles à l’intérieur de la

goutte (III).

Cas I :

Cas II :

Cas III :

2.a) Donner les expressions, en fonction de i ou de r, des

angles α, β, γ, δ, Ф, et ξ.

2.b) En déduire, en fonction de i et de r, les angles de

déviation D1, D2 et D3.

2.c) Rechercher ensuite, si elle existe, une condition

d’émergence d’un faisceau parallèle, exprimée par une

relation entre le sinus (sin i) et l’indice n de l’eau.

3. Le soleil étant supposé très bas sur l’horizon, normal au dos

de l’observateur, montrer que celui-ci ne pourra observer la

lumière transmise que si la goutte d’eau se trouve sur deux

cônes d’axes confondus avec la direction solaire et de demi-

angles au sommet θ2 = π – D2 (justification de l’arc

primaire) et θ3 = D3 - π (justification de l’arc secondaire).

4. Les angles θ2 et θ3 dépendent de l’indice de l’eau, on

observe un phénomène d’irisation dû au fait que cet indice

évolue en fonction de la longueur d’onde. Calculer ces

angles pour le rouge et le violet, sachant que pour le rouge

l’indice vaut 1,3317, tandis que pour le violet il est égal à

1,3448. En admettant que l’observateur se trouve face à un

rideau de pluie, dessiner la figure qui apparaît dans son

plan d’observation en notant la position respective des

rouges et des violets.


i

O

r α

ξ

I

J

D2

β

γ

K

i

O

r α ξ

I

J

D1

i

O

r α

ξ

I

J

D3 β γ

K

δ Ф

L

OG2 – Miroirs et Lentilles

Exercice 26 : Translation d’un miroir plan

Un miroir plan est translaté d’une

distance d suivant le dessin ci-contre. De

quelle distance l’image d’un objet se

déplace-t-elle alors ?

Exercice 27 : Construction des images par une lentille

Placer une lentille convergente ou divergente

Placer un objet réel ou virtuel (on le choisira successivement

à l’infini, avant le foyer, dessus, après ou virtuel… tous les

cas vus dans l’interrogation technique…)

Construire l’image à l’aide des trois rayons fondamentaux

Redémontrer les relations de conjugaison au sommet

(relation de Descartes) et aux foyers (relation de Newton)

Exercice 28 : Lentille plan-convexe

Trouver l’expression de la

vergence d’une lentille plan-

convexe en fonction de

l’indice n de la lentille et du

rayon géométrique R de la

surface de sortie.

Exercice 29 : Diamètre apparent d’un astre

Une étoile est vue d’une lentille convergente de vergence

V = 1 δ sous un diamètre apparent de 1 minute d’angle.

Déterminer la taille de son image.

Exercice 30 : Distance Objet réel / Image réelle

Rechercher la distance minimale objet réel - image réelle à

l’aide d’une lentille mince convergente.

Exercice 31 : A la recherche des foyers

On suppose que l’image de l’objet AB se forme sur l’écran.

Déterminer graphiquement, dans le cadre de l'approximation

de Gauss, les positions des foyers image, F' et objet de la

lentille sur la figure ci-dessous :

Retrouver le résultat par le calcul (en mesurant la distance

OA, en déduire les distances focales de cette lentille…)

Exercice 32 : Loupe

Le système optique à étudier est une lentille mince

convergente L de distance focale ' ' 4 cmf OF . Dans un

premier temps l'objet est situé à 10 cmOA de la lentille.

1. Redessiner le schéma à l'échelle et construire l'image A'B'.

2. Utiliser la relation de conjugaison pour retrouver la valeur

de 'OA , distance entre l'image A'B' et la lentille.

La lentille va être utilisée pour réaliser une loupe et pour cela,

l'objet va être placé à 3 cmOA de la lentille.

3. Redessiner le schéma à l'échelle et construire l'image A'B'.

L'image A'B' est-elle réelle ou virtuelle ? La lentille joue-t-

elle le rôle de « loupe » ?

4. Utiliser la relation de conjugaison pour retrouver la valeur

de 'OA , distance entre l'image A'B' et la lentille.

Exercice 33 : Quelques petits problèmes de Lentilles

1. Est-il possible d'obtenir une image virtuelle en utilisant

une lentille convergente ? Représenter la situation.

2. Une chandelle de 10 cm de hauteur, incluant la flamme,

est située à 37,5 cm d'une lentille convergente dont la

longueur focale est de 26,5 cm. À quelle distance de la

lentille se formera l'image ?

3. Un objet de 2 m de hauteur est situé à 2,2 m d'une lentille

divergente dont la longueur focale est de 4 m. Quelle sera

la hauteur, en centimètres, de l'image formée ?

4. Un objet de 9 cm de hauteur est situé à 22 cm d'une

lentille convergente dont la longueur focale est de 5 cm.

À quelle distance du foyer principal image, en

centimètres, se situera l'image ?

5. Un objet (bougie) situé à 63 cm d'une lentille divergente

possède une hauteur de 30 cm. Sachant que l'image

formée a une hauteur de 9,1 cm et est située à 19,1 cm de

la lentille, à quelle distance, en centimètres, se trouve-t-

elle du foyer principal image ?

6. À quelle distance d'une lentille convergente, dont la

longueur focale est de 1,5 cm, doit-on placer un objet

pour obtenir une image trois fois plus grande ?

7. On place une source lumineuse à mi-chemin entre le

foyer principal et le centre d'une lentille divergente dont

la longueur focale est de 5 cm. De quel foyer s’agit-il ? À

quelle distance de ce foyer principal, en centimètres, se

trouve l'image ?

8. La longueur focale d'une lentille convergente est de

93 cm. Sachant que la hauteur de l'image est de 7,4 cm

plus grande que celle de l'objet, qui est situé à 39,5 cm de

la lentille, quelle est la hauteur de l'objet en centimètres ?

A

B

d

C2 S2 S1

(n)

Exercice 34 : Autocollimation d’une lentille convergente

AB est un objet, L une lentille mince convergente et M un

miroir plan dont la normale est parallèle à l’axe optique de L.

La distance focale de L est égale à deux unités de longueur du

quadrillage. Soit B1 l’image donnée par la lentille L du point B,

puis B2, l’image donnée par le miroir du point B1 et enfin B’

l’image finale que donne L de B2.

Cas a)

Cas b)

Cas c)

1. Pour chaque cas de la figure ci-dessus, tracer le trajet des

deux rayons partant du point B, pour construire ses

images successives.

2. Retrouver dans le cas de figure (a), par le calcul, les

positions de ces images : on prendra le centre optique de

la lentille comme origine : le point B est donc en (-3,1).

3. Donner un argument simple permettant de déterminer le

grandissement transversal du système sans faire de calculs

dans les trois cas de figure. On donnera la valeur

algébrique de ce grandissement.

4. Dans la configuration (b), l’image et l’objet sont dans le

même plan. Que se passerait-il si l’on déplaçait le miroir,

en conservant son plan perpendiculaire à l’axe optique de

la lentille ?

5. Toujours dans la configuration (b), que se passerait-il si

l’on inclinait le miroir (c'est-à-dire si l’on écartait sa

normale de l’axe optique de la lentille) ?

6. Conclusion : Pourquoi dit-on que l’ensemble des deux

éléments (objet AB et lentille L dans la configuration b)

constitue un collimateur ?

7. Comment procéder pratiquement pour déterminer la

distance focale d’une lentille mince convergente avec

cette méthode ?

Exercice 35 : Modélisation d’un photocopieur

Un photocopieur permet la reproduction d’un document

original, avec un grandissement réglable. Le système optique,

qui comprend plusieurs lentilles dont on peut modifier les

positions respectives, forme une image de l’original sur un

tambour photosensible. La distance entre le document et ce

tambour est fixe, de valeur d = 384mm.

Le système optique est en fait équivalent à une unique

lentille mince convergente L, de centre O, dont on peut ainsi

régler la position et la distance focale f’. On se propose de

déterminer, pour un grandissement γ voulu, la position et la

distance focale f’ nécessaires.

L’image d’une portion AB du document sera désignée par

A’B’. Le point A est sur l’axe optique.

1. Exprimer les distances AO et f’ en fonction de d et de γ

2. Effectuer l’application numérique dans les 3 cas suivants :

- A4 reproduit en A4 (grandeur nature)

- A4 reproduit au format A3 (surface double)

- A4 reproduit au format A5 (surface moitié)

Exercice 36 : Focométrie – Quelques méthodes

La focométrie est tout simplement la mesure de distance focale

A. Méthode de Bessel

A.1. On place un objet réel AB (A sur l’axe optique) devant une

lentille convergente de distance focale f ’, et on cherche à

obtenir une image réelle A’B’. En étudiant différentes

positions de cet objet, trouver la distance AA’ minimale à

laquelle l’image peut se trouver ? Quel est le cas limite ?

A.2. On fixe maintenant l’objet AB par rapport à l’écran à une

distance D. Montrer que si D > 4f ’, il existe deux positions

O1 et O2 de la lentille pour lesquelles on observe une

image nette sur l’écran. (On utilisera la relation de

conjugaison qui donne une équation du second degré)

A.3. Montrer qu’on a alors l’expression 2 2

'4

D df

D

, (d=O1O2).

A.4. Il s’agit en fait d’une méthode pour mesurer la distance

focale d’une lentille. On mesure l’écart entre les deux

positions où l’image est nette et on en déduit f ’.

AN : D = 40cm et d = 10cm. Calculer f ’.

B. Méthode de Silbermann

En agissant simultanément sur les positions de l’écran (D

n’est plus invariable) et de la lentille, on peut réaliser une image

A’B’ égale en grandeur, mais inversée par rapport à l’objet AB.

B.1. Déterminer dans ce cas f ‘ en fonction de D.

B.2. Commenter dans les deux cas l’aspect expérimental. A la

vue de la question A.1, comment peut-on être sur que l’on

est bien à la position demandée ?

F A

B

L M

F A

B

L M

F A

B

L M


L Récepteur

photosensible O

Document

d

OG2 – Modèles de l’oeil

Exercice 37 : Quelques caractéristiques de l’oeil

L’œil normal :

L’œil normal, ou emmétrope observe sans accommoder des

objets situés à l’infini. En accommodant, il peut voir des objets

plus proches, jusqu’à son punctum proximum (noté PP).

1. Le pouvoir séparateur angulaire d’un œil normal est de l’ordre

de Δα = 5.10-4 rad. En déduire un ordre de grandeur de la

taille caractéristique h d’une cellule rétinienne, en

assimilant le cristallin à une lentille convergente de focale

f ’ = 1,5 cm.

2. Quelle est la taille maximale d’un objet que l’œil peut

distinguer à 1m (on distingue l’objet si son image couvre au

moins une cellule rétinienne) ?

3. Soit un objet A situé à une distance d > PP de cet œil. Si R est

le rayon de la pupille, qui joue le rôle d’un diaphragme,

déterminer le rayon r de la tache image associée à l’objet A

si l’œil n’accommode pas.

4. On considère que l’objet A ponctuel est vu de façon nette si

r < h. Justifier ce critère.

Si R = 1mm, calculer la distance minimale d’un objet qui est

vu net en même temps qu’un autre objet à l’infini. Conclure

sur la profondeur de netteté de l’œil.

5. Quelle est la distance focale du cristallin correspondant à la

valeur communément admise pour le PP : 25cm ?

Comparer à la valeur au repos : f ’ = 1,5 cm.

6. On place un objet plus près que le PP. Faire la construction et

justifier que l’on voit une image floue (le cristallin étant

comprimé au maximum valeur de la question 5).

Myopie :

Un œil myope est un œil dont le cristallin est trop

convergent. Son punctum proximum (PP) et son punctum

remotum (PR) sont plus proches de l’œil que pour un œil

emmétrope.

7. Que voit-il s’il observe un objet placé à l’infini ? Pourquoi

n’arrive-t-il pas à accommoder ?

8. En supposant que la rétine se trouve à 1,5cm et que le

cristallin myope peut être assimilé à une lentille

convergente de focale f ‘ = 1,48cm, calculer le nouveau PR.

9. Si son PP = 12cm, quelle est la distance focale

correspondante ? Commenter.

10. On souhaite corriger cet œil afin que ses limites de vision

distinctes soient celles d’un œil normal. A l’aide de la

relation de conjugaison au sommet, démontrer que deux

lentilles minces L1 et L2 accolées en O, de même axe

optique principal, de distances focales respectives f1’ et f2’,

sont équivalentes à une seule lentille mince de centre

optique O et de distance focale feq’ telle que :

1 2

1 2

1 1 1eq

eq

V V Vf f f

11. On utilise des verres de contact (des « lentilles »).

Déterminer la distance focale image des verres de contact

utilisés en supposant que le système verre de contact-

cristallin est accolé. Préciser la nature des verres.

Commenter la valeur obtenue.

Presbytie :

Avec l’âge, le champ de vision d’un œil emmétrope ou

myope est réduit par la presbytie, qui caractérise la diminution

de la capacité du cristallin à se déformer pour permettre

l’accommodation. On modélise le cristallin par une lentille de

focale f0’ constante pour l’œil presbyte, et la rétine par un écran

situé à la distance d0 = 15mm du cristallin.

12. Un œil normal presbyte voit net un objet situé à l’infini.

Quelle est la relation entre f0’ et d0 ?

13. Une personne presbyte lit un journal placé à 25cm de ses

yeux. Le rayon r0 de la pupille de l’œil est de 1,0mm.

Calculer le diamètre de la tache image, sur la rétine, d’un

point du journal. Conclure.

14. Comment corriger la vision de cet œil ? Est-il possible

d’avoir une correction pour tout le champ de vision ?

15. Et lorsqu’un un œil myope vieillit, que pensez-vous de la

tache correspondante au journal à 25cm ? Commenter.

Hypermétropie :

Un œil hypermétrope est un œil dont le cristallin n’est pas

assez convergent, ce qui a comme conséquence de repousser son

punctum proximum par rapport à un œil normal. Considérons

un œil hypermétrope dont le PP est à 50cm. En accommodant, il

fait varier sa vergence ΔV = 4δ.

16. Quelle doit être la vergence d’un verre de contact (supposé

accolé au cristallin) pour que le PR de l’ensemble soit à

l’infini ?

17. Où est alors situé le PP de l’œil corrigé ?

18. Comment ces résultats sont modifiés si l’on utilise un verre

correcteur placé à 1,0 cm du cristallin ?

OG2 – Systèmes Optiques

Exercice 38 : Lunette astronomique

Le système optique à étudier est une lunette astronomique

"bas de gamme" constituée de deux lentilles L1 et L2

convergentes. Cette lunette va être utilisée pour une observation

terrestre. Les caractéristiques du système sont :

1 1' 20 cmO F (Distance focale lentille L1)

2 2' 4 cmO F (Distance focale lentille L2)

1 2 25 cmOO (Distance entre les deux lentilles)

1 2 mO A (Distance entre l'objet observé et la L1)

10 cmAB (Taille de l’objet)

Les caractéristiques géométriques sont résumées sur le schéma

ci-dessous (les échelles ne sont pas respectées) :

1. Déterminer, par le calcul, la position 1 'O A et la taille

(algébrique) ' 'A B de l’image formée par la lentille L1.

L’image est-elle réelle ou virtuelle ?

2. Dessiner A’B’ et la lentille L2.

3. Déterminer, par le calcul, la position 2 ''O A et la taille

(algébrique) '' ''A B de l’image formée par la lentille L2 à

partir de l’objet A’B’. L’image est-elle réelle ou virtuelle ?

4. Placer A’’B’’ sur le schéma.

5. L'œil de l'observateur est placé au point F’2. Déterminer

alors le grossissement G de la lunette en utilisant les

indications ci-dessous :

G

Exercice 39 : Microscope

A- Observation d'un objet AB à l'œil nu :

On place l'œil à 20 cm de l'objet

(AB=10-5m) soit au punctum remotum

(distance minimale permettant la vision

nette). Le pouvoir séparateur de l'œil (le

plus petit angle que l'on puisse visualiser)

est égal à 3 10-4 rad.

1. Peut-on séparer les deux points A et B à

l'œil nu ? Justifier par un calcul.

B- Observation avec une loupe :

Une loupe est une lentille mince

convergente de distance focale f'= 5

cm. Pour une observation confortable,

on place la loupe telle que son foyer

objet F soit confondu avec A.

2. Sous quel angle visualise-t-on AB

à travers la loupe ? L'utilisation de

la loupe permet-elle de séparer A

et B ?

C- Observation avec microscope :

L'objet AB est placé devant la

première lentille L1 (objectif) d'un

microscope de telle sorte que l'image

A1 de A à travers L1, soit confondue

avec F, foyer objet de la deuxième

lentille (oculaire) du microscope. La

distance focale de l'oculaire vaut

f' = 3 cm.

3. Déterminer la grandeur algébrique

1 1A B de l’image donnée par la

lentille L1 sachant que

1 1,2 AO cm et 1 1 14,4 O A cm .

4. Sous quel angle visualise-t-on A1B1

à travers l'oculaire ? Faire une

figure correspondante.

5. L'utilisation du microscope permet-elle de séparer A et B ?

Exercice 40 : Réglage d’un viseur

Le viseur est un instrument intermédiaire entre le

microscope, qui sert à examiner des objets très rapprochés, et la

lunette, qui sert à observer des objets très éloignés. Il comporte :

- Deux lentilles convergentes L1 (objectif) et L2 (oculaire), de

centres optiques O1 et O2 et de distances focales f1’ = 3,0cm

et f2’ = 2,0cm.

- Un réticule (ensemble de deux fils très fins disposés en croix

de centre O dans un plan perpendiculaire à l’axe optique).

Les distances O1O = d1 et OO2 = d2 sont réglables de manière

à ce que l’œil placé en E à une distance d = 2,0cm de l’oculaire

puisse voir nettes simultanément l’image du réticule et celle

d’un objet repéré par la distance AO = x (x > 0).

1. Réglage de la distance réticule – oculaire

Un œil normal peut voir nets des objets situés à une

distance supérieure à dm = 25cm, appelée distance minimale

de vision distincte (punctum proximum).

1.a) Quelle est la valeur de d2 permettant d’obtenir une image

nette du réticule à travers l’oculaire dans le cas où l’œil

observe à la distance minimale de vision distincte ?

1.b) Quelle est la valeur de d2 dans le cas où l’œil observe à

l’infini ? Quel est l’intérêt de cette situation ?

L2 Oeil

O2 A

d E

Plan du

réticule

d2 d1

L1

O1

x


2. Réglage de la distance objectif – réticule

On conserve le réglage précédent où l’œil observe à

l’infini. On vise ensuite un objet situé à la distance x = 4f1’ du

réticule, c'est-à-dire que l’on règle d1 de manière à voir

nettement à la fois l’image du réticule et celle de l’objet.

Vérifier que cette condition de netteté est réalisée si d1 = 2f1’.

Exercice 41 : Doublet optique de Huygens

On considère un doublet de lentilles minces définissant un

doublet optique, caractérisé par la donnée de trois nombres : f1’,

1 2e O O , et f2’. Un doublet de Huygens est du type f1’ = 3a,

2e a , et f2’ = a.

On prendra pour les applications numériques a = 2,0cm et on

notera 1 2 F F

1. Placer sur l’axe optique, en effectuant une construction à

l’échelle, les foyers de (L1) et (L2) et déterminer par

construction géométrique les foyers objet et image du

doublet, notés respectivement F et F’.

2. Vérifier ces résultats en déterminant algébriquement 1F F

et 2 F F (Avec la relation de conjugaison au foyer).

Exercice 42 : Grossissement standard d’un microscope

L’objectif L1 et l’oculaire L2 ont respectivement pour

distances focales f1’ et f2’. L’intervalle optique, distance entre les

foyers image F1’ de L1 et objet F2 de L2, est noté Δ. Dans tout

l’exercice, les angles seront supposés suffisamment petits pour

que l’on puisse effectuer les approximations d’usage.

1. Construction des images

1.a) Quelle position l’image intermédiaire A1B1 de l’objet AB

doit-elle occuper par rapport à l’oculaire pour que l’image

finale A’B’ soit rejetée à l’infini ?

1.b) Quel est l’intérêt de cette configuration pour l’œil ?

1.c) Donner le schéma de principe d’un tel microscope en

faisant apparaître la construction des images A1B1 et A’B’

(on ne demande pas de respecter une échelle précise).

2. Grossissement standard du microscope

Le grossissement d’un microscope dépend des conditions

d’observation. La définition du grossissement standard

suppose que l’œil observe une image A’B’ rejetée à l’infini.

2.a) Exprimer le grandissement γ1 de l’objectif en fonction de

1 1A B et de AB . En déduire la relation : 1

1

f.

2.b) Le grossissement standard de l’oculaire G2 est le rapport

de l’angle α’ sous lequel est vue l’image finale A’B’ à

l’angle α1 sous lequel serait vue l’image intermédiaire

A1B1, à l’œil nu, à la distance minimale de vision distincte

dm = 25cm. Montrer qu’on a la relation : 2

2

mdG

f

2.c) On montre que le grossissement standard du microscope

est le produit du grandissement de l’objectif par le

grossissement de l’oculaire (1 2 G G en valeur

arithmétique).

Calculer le grossissement de l’appareil étudié.

Données : f1’ = 2,0mm ; f2’ = 2,5cm ; Δ = 18cm.

Exercice 43 : Tracé de Rayons

On étudie un doublet comportant deux lentilles L1 et L2, de

centres respectifs O1 et O2 représenté sur la figure ci-après. Sur

la gauche un rayon incident pénètre dans le système et émerge

sur la droite, comme indiqué. Un carreau correspond à 1cm.

1. Ce système est-il globalement convergent ou divergent ?

(Justifier rapidement)

2. Compléter le trajet du rayon lumineux.

3. En déduire la nature de chacune des deux lentilles

(convergente ou divergente ?).

4. Soient F1 et F1’ les foyers objet et image de la lentille L1, F2

et F2’, les foyers objet et image de la lentille L2. Trouver

graphiquement la position de ces foyers. Evaluer les valeurs

algébriques 1 1 'O F et

2 2 'O F .

5. Qu’appellent-on foyer objet F, foyer image F’ d’un système

optique ? Trouver graphiquement la position de ces foyers.

Préciser les valeurs algébriques 1O F et

1O F .

6. Si 1 1 'O F = 4cm,

2 2 'O F =-2cm et 1 2O O = 7cm, déterminer

par le calcul les valeurs algébriques 1O F et

1O F .

O1 O2

L1 L2

OG1 – Lois de la Réflexion

Exercice 1 : Observer son propre reflet

1. h max = l/2 = 85cm.

2. Cette hauteur ne dépend pas de la distance œil – miroir.

3. Hauteur min du miroir : 85cm en dessous de l’œil, 5cm au

dessus 90cm (la moitié de sa taille complète

Exercice 2 : Réflexion sur deux miroirs

1. Angle d’incidence 1 2

i

(par rapport à la normale)

2. Le rayon doit être normal au 2nd miroir pour repasser par

le même point d’incidence, donc l’angle entre -i1 et r1

(réfléchi sur le 1er miroir) doit être de pi/2 :

1 1, 22 2

i r

, ce qui donne 4

Exercice 3 : Rotation d’un miroir plan

1. On a un angle d’incidence i = - α

2. Donc β = -2i = 2α Pratique pour faire des mesures…

Exercice 4 : Ensemble de 3 miroirs plan

1. Deux premières

déviations angulaires :

60° (angle entre i et r, en

prenant bien i dans le

sens du parcours)

2. Il faut M3 // I1I2

(voir figure)

Exercice 5 : Mesure de la distance Terre – Lune

1. On peut utiliser directement la formulation vectorielle de la

loi de Descartes pour la réflexion : on définit les vecteurs

normal et tangentiel à la surface, N et T . Ainsi, le vecteur

directeur du rayon incident peut s’écrire

,

NN T

T N T

ii i N i T

i

, et celui du réfléchi

,

N

T N T

ir

i

.

Il y a inversion de la composante suivant la normale :

Il est alors plus simple d’interpréter les réflexions sur les 3

miroirs normaux : 1

x

i y

z

, 1

x

r y

z

, 2

x

r y

z

et 3

x

r y

z

Très bon système permettant de s’affranchir des problèmes

d’orientation du miroir !!! On a toujours un rayon revenant en

direction parfaitement opposée (aux défauts de construction du

triplet de miroirs près).

Rmq : L’ordre des réflexions n’intervient pas…

2.a) Rayon du faisceau à la distance d : tanr d d

Surface du faisceau à la distance d : 2

0S d

Si on suppose que les photons se répartissent de manière

égale dans ce cône, on fait une règle de trois :

00 2 2

0

n SSn n

S d

2.b) Ces photons sont réémis dans un cône de demi angle α’,

donc il en arrive : 2

02 2 2 2 2 2

n S S l Sn n

d d d

2.c) La fraction reçue en retour est très faible : 2

22

2 2 2 20

7,5.10n S l S

n d d

2.d) Il y a dans le faisceau initial 170 8.10totale

photon

E En

E hc

photons émis par le laser, et 40 6.10n n reviennent,

ce qui est vraiment faible. En réalité, le panneau déployé

sur la Lune (sur la mer de la tranquillité) est constitué

d’une centaine de réflecteurs, et on récupère en moyenne

un photon tous les cent tirs !!! Le capteur sur Terre doit

être d’excellente qualité pour pouvoir analyser le signal.

OG1 – Lois de la Réfraction

Exercice 6 : Hémicylindre

Rayon 2 : Arrive sur la sphère avec l’angle i2 tq 2

2 1sin

2

Ri

R ,

ce qui donne i2 = 30° < ilim, il y a réfraction, le rayon de sortie

formant avec la normale l’angle 2 2

3

1

sinsin 48,6

n ii Arc

n

Exercice 7 : Observation d’un poisson

Schéma accentué :

1. On a :

1 2

tan

tan

sin sin

perçu

réel

di

P

dr

P

n i n r

Donc :

tan sin cos

tan tan sin cosréel réel

perçu

P r P r idP

i i i r

On simplifie :

1 1

2 2 2 22 2 1

cos cos

1 sin sin

réel réelperçu

P n i P n iP

n r n n i

Pour i = 15°, cela donne Pperçu = 44,4 cm.

SOLUTION des EXERCICES – OG1 / OG2 – Feuille 1/5

30°

I1

I2

I3

-120°

60°

i r N

T

Rayon 1 : Réflexion totale car

angle supérieur à l’angle

limite 1

2

sin 41,8n

Arcn

C

R2

R1

A

30°

B

i

r

n1=1

n2=1,33

Préel

H

Pperçu

d

2. Le poisson voit le pêcheur plus loin, on retourne la

formule :

2 2 22 1

1

sin2,16

cos

réelle

perçue

H n n iH m

n i

3. Différentes valeurs en fonction de l’angle :

Angle 0° 15° 30° 45° 60°

Préel (cm) 60 60 60 60 60

Pperçu (cm) 45,1 44,4 42,2 37,7 29,7

On voit que le dioptre plan-eau n’est pas stigmatique,

puisque tous les rayons émergeant de l’eau ne se croisent

pas en une unique image, mais en une zone image

(intersection dépendant de l’angle d’émergence).

Exercice 8 : Pierre au fond d’une piscine

Un peu de géométrie…

2 2

1,2

sin2

1

cos2

min

YdH

Xh m

i

n i

Exercice 9 : Le poisson double

1. Trajet des rayons :

2. Dans le Tri COI :

2 4i ,

donc 51

4i .

3. Même relation : 9 15

4r

(Avec r donné par la loi de Descartes : sin(i) = n sin(r).

4. Pour calculer la distance d, on introduit le point K. Le

triangle KOI est rectangle avec un angle de π/4, donc il est

isocèle : KO = KI.

Dans le tri KIP, on a :

1tan 1

tan

KId KI

d KI,

Dans le tri KIC, on a :

1tan 1

tan

KID KI

D KI

Ainsi, en simplifiant :

11

tan42

11

tan

d D cm

Exercice 10 : Réfractomètre à angle limite

1. Premier rayon incident noté i : on l’appelle i1, qui se réfracte

au point I pour donner le rayon d’incidence i2 tel que

1 2sin sinn i N i , puis devient l’angle incident i3 sur la

face latérale du cube : 3 22

i i . Si il sort du cube, l’angle

d’incidence est noté i4, tel que 3 4sin 1 sinN i i .

Le rayon passe forcément dans le milieu N, puisque N>n,

mais il se peut qu’il ne ressorte pas du cube, puisque N>1. Il

faut donc 3 3,lim

1sin sini i

N, ainsi

2

2 3,lim 3,lim 3,lim 2

1sin sin cos 1 sin 1

2i i i i

N.

Et, 21 2 2

1sin sin 1 1n i N i N N

N.

Pour que tous les rayons sortent, puisque 1sin 1i , il faut

que 2 1n N .

2. Limite nette entre une plage sombre et une plage éclairée à

cause de la réfraction limite au point I, pour 1 2

i , donc

2 sin

Ni Arc

n, donc

4 2sin sin sin

2i N i ,

et 2 2 22 2sin cos 1 sin sinN i N i N n .

On remarque qu’un tel angle existe, car d’après la condition

d’émergence du cube 2 2 1N n

3. Il est clair que si l’on connaît N, et que l’on peut mesurer α,

alors on peut en déduire la valeur de n. Cependant, la valeur

de n doit appartenir à une fourchette pour que les conditions

de l’exercice soient respectées : 2 1N n N .

Exercice 11 : Rayon lumineux traversant une vitre

1. On a sur la face d’entrée : 1 2sin sini n i , puis 3 2i i ,

et enfin 4 3 1sin sin sini n i i : les angles en entrée

et en sortie sont identiques, rayons non déviés.

2. Un peu de géométrie… on simplifie dans le cas où les

angles sont faibles, en notant l la longueur du rayon dans la

lame, i l’angle incident (égal à l’angle de sortie), et r l’angle

réfracté dans la lame (égal des 2 côtés). Cela donne :

cos 1

1sin 1

er l e

ld

i r i r il n

(Faire le schéma…)

Ainsi :

sin 11

cos

e i rd e i

r n

Rmq : De manière rigoureuse, on aurait

coscos

cossin sin cos cos sin sin cos

e er l

l r

d ii r i r i r i r

l n

Et ainsi :

2 2

cos... sin 1

sin

id e i

n i

Exercice 12 : Etude d’un dioptre semi-cylindrique

1. On a :

cos

sin

CH R i

d HI R i

Donc sin

' costan

R iCA R i

r i

.

i Eau

Air

r

α I

C O

K β

P

d A’

I r

i

C H

r

2. Conditions de Gauss : Angle faible, on peut simplifier les

sin et les cos : ' 'R i

CA CF Rr i

, et avec le loi de

Descartes : ' 11

i nRCF R

ni i n

. Cette position est

indépendante due l’angle i Stigmatisme approché de la

lentille, F’ est le foyer image.

3. A la limite de la réflexion totale, on a sin(r)=n.sin(i)=1, or

d = Rsin(i), donc 3,3 cmR

dn

Exercice 13 : Formules du prisme

Attention aux sens

des angles dans le prisme,

les signes + et – sont

facilement inversés !!! On

a i>0, r>0, mais r’ et i’ sont

négatifs. On prend aussi A

positif.

1. Réfraction :

sin sin

sin sin

i n r

i n r

2. Dans le tri de sommet A :

2 2A r r

Ce qui donne : 0A r r

3. On peut décomposer la déviation totale en 2 déviations,

d’abord sur le premier puis sur le second dioptre, égale à

i r , puis à i r . En intégrant les signes, cela nous

donne l’expression voulue : D i r i r .

4. Dans le cas de petits angles, on peut simplifier les sinus,

donc 1 1D i i r r n r r D n A

On remarque que l’angle D est négatif ici, c’est bien ce

que l’on a sur la figure. On trouvera souvent l’expression

donnée avec tous les angles positifs : 1 0D n A

Exercice 14 : Dioptre Plan

1. voir TP e schéma donné dans l’énoncé…

2. Un peu de géométrie… comme en TD : 1

2

tan'

tan

iHA HA

i

3. OUI, la position de A’ dépend de i1 Pas de stigmatisme

rigoureux, puisque l’image ne sera au même emplacement

pour tous les rayons émergents du système.

4. Par contre, pour des petits angles, on peut simplifier les

tan, ce qui donne 1 2

2 1

'i n

HA HA HAi n

, il y a

stigmatisme approché, puisque tous les rayons émergents

se croisent maintenant au même point.

5. Avec un objet AB étendu transversal. Par symétrie plane,

A et B jouent le même rôle ' 'A B AB et 1 ,

mais on le voit plus proche, donc on a l’impression qu’il est

plus gros. On peut faire la construction pour s’en

convaincre… Fonctionne bien dans les cond de Gauss.

OG1 – Réflexion et Réfraction

Exercice 15 : Mesure de l’indice d’un liquide

1. Trajet du rayon su le schéma ci-contre :

2. 2

0 2sin 1 4

hn i

a

Exercice 16 : Double Reflet

1. 2 images : La 1ère est donnée par réflexion directe sur la face

du dessus (intensité plus faible), la 2nde est obtenue après 2

réfractions et une réflexion sur la face du dessous. Faire la

construction… Les deux sont un peu décalées

2. On appelle H le projeté de S sur le dioptre, on a alors

directement HS = HS’ = x, mais on doit décomposer pour S’’ :

On a alors 1

tan

tan

iHS x

r , puis

2

tan2

tan

iHS x e

r , et

2

tan''

tan

rHS HS

i , donc

tanS' '' 2 .

tan

rS e

i

Dans les conditions de Gauss, tan sin 1

tan sin

r r

i i n

Ainsi : 2

S' '' 6,7e

S mmn

OG1 – Réflexion totale

Exercice 17 : Prisme à réflexion totale

1. Angle d’incidence : i = 45°

2. Réflexion totale si lim

145 sini i Arc

n

, donc il faut

que n respecte la relation 2 12 1,41

2n

n

Exercice 18 : Clou planté dans un bouchon

1. Réflexion totale si : 1

sin in

, soit en injectant et

simplifiant : 2lim1 0,877L R n L R

2. Tous les autres rayons arrivent sur l’eau avec des

incidences plus importantes, donc il y a aussi réflexion

totale, l’observateur ne voit pas le clou sous la rondelle…

r' i'

i

r

A D


(dioptre

) (miroir)

S S1 S2 S’’ (dioptre

)

Exercice 19 : Effet de Gouffre lumineux

1. Les rayons arrivant à l’œil du plongeur et qui sont très

inclinés ont en fait subi une réflexion totale sur la surface

(faire le schéma), et ils sont plutôt sombres… La lumière de

l’extérieur ne nous parvient que dans un cercle qui est la

base du cône de demi-angle au sommet :

lim

1sin 48,8i Arc

n

2. Diamètre angulaire apparent lim

12 2 sin 97,5i Arc

n

.

Il ne dépend pas de la profondeur à laquelle on se trouve.

Exercice 20 : Fibre à saut d’indice

1. Tracé et Calculs : Voir DM-Noël…

2. Ouverture numérique : 2 2max 1 2sinON n n

OG1 – Quelques Phénomènes

Exercice 21 : Les mirages

Mirage inférieur dans le désert en été : Le sol est plus chaud,

il surchauffe l’air à basse hauteur, donc l’indice en bas est

inférieur. Mais on sait que les rayons sont déviés, ils s’écartent de

la normale en descendant. Si les variations de température sont

importantes, on peut donc voir une partie du ciel au niveau du

sable (voir le schéma ci-contre), on a alors l’impression de voir un

lac (le bleu du ciel) dans le sable… ou plus couramment, on voit

le reflet d’une voiture sur le béton (qui n’est pas réfléchissant…)

Mirage supérieur : il faut que

l’indice des basses couches d’air soit

supérieur, donc plus froid. Cela peut

être le cas en hiver lorsque le sol est

plus froid que l’air, ou encore sur la

mer, puisque l’eau met plus de temps

à se réchauffer que l’air. On pourra

avoir l’impression de voir apparaître

un bateau dans le ciel…

Par le même principe en hiver, on pourra voir plus loin, les

rayons étant déviés vers le bas, comme le montre le schéma ci-

dessous :

Exercice 22 : Ciel bleu et coucher de soleil rouge

Ciel bleu : les molécules de l’air absorbent puis réémettent

dans toutes les directions la lumière bleue, on dit

qu’elles diffusent la lumière bleue, alors qu’elles laissent

passer la lumière rouge. C’est pourquoi le ciel nous

apparaît bleu.

La nuit, sans lumière extérieur, les molécules de l’air n’ont

pas de lumière à diffuser, elles nous apparaissent noires.

Lorsque le soleil se couche, il nous apparaît plutôt rouge, car

il doit traverser plus d’atmosphère, donc plus de bleu a

été diffusé par les molécules de l’air, il reste plus de

lumière rouge qui a traversé.

Remarque : Si il n’y avait pas d‘atmosphère, la lumière du

soleil serait complètement blanche, mais elle est un peu

« jaunie » par la couche d’atmosphère qu’elle traverse.

Exercice 23 : Soleil Vert

Rayon vert : L’indice de l’air pour les différentes

longueurs d’onde n’a pas tout à fait la même valeur, donc on

pourrait décomposer le soleil en plusieurs images de soleils

monochromatiques qui se couchent à des instants un peu décalés

(à cause de la déviation des rayons dans l’atmosphère, comme lors

des mirages supérieurs). Le dernier à se coucher (et le premier à

se lever) est le soleil vert. On parle de rayon vert, qui apparaît

pendant quelques secondes à peine, lorsque l’horizon est bien

dégagé (devant un océan par exemple).

Exercice 24 : Effets chromatiques (CCP)

1. Dimension maximale des aspérités : 40nm.

2. Objet absorbant pour toutes les longueurs d’onde : noir.

Une plante verte n’utilise pas l’intégralité des radiations

vertes puisqu’elle les réémet. Elle utilise en fait le

complémentaire qui est le magenta (rouge + bleu-violet).

3. Si un tissu est bleu, c’est qu’il absorbe toutes les longeurs

d’onde sauf le bleu. Avec le néon, il va donc apparaître noir,

car il n’aura plus rien à réémettre.

4. Justification ciel bleu / rouge Voir exos précédents.

Exercice 25 : Arc en Ciel (CCP)

Partie A : Questions préliminaires

1. Snell-Descartes pour la réfraction : sin sini n r

2. On commence par différencier : cos cosi di n r dr

2 2

2 2 2

1 sin 1 sincos

cos 1 sin sin

i iidr dr

di n r din r n i

3. Déviation du rayon lumineux : Prenons tous les angles

positifs pour simplifier les expressions, cela donne D i r

(faire le dessin pour s’en convaincre). Attention, ds le cas où

on respecte l’orientation des angles (signes + ou -), on aurait

plutôt D r i … (toujours le préciser dans la copie)

4. Réflexion : Avec tous les angles pris positifs, 2D i .

(Attention à bien travailler avec les directions des rayons, on

cherche les angles entre les vecteurs directeurs des rayons)

Partie B : Etude de l’arc-en-ciel

1. Parallélisme des rayons émergents si 0dD

di (l’angle de

déviation ne change pas en fonction de l’incidence…

Ces incidences vont correspondre à des maxima

d’intensité lumineuse, car pour des incidences voisines, la

déviation sera la même, donc la lumière va se concentrer,

alors que pour les autres directions, le faisceau sera

divergent, donc d’intensité diminuant avec la distance

d’observation… On ne verra rien de spécial.

n inférieur

n supérieur

Image du ciel

Impression d’un lac

2.a) Angles : r

i

, car tous ont été pris

positifs pour simplifier, et on voit que tous les triangles de

sommet O sont isocèles, donc les angles sur la base sont égaux.

2.b) D’où :

1

2 1

3 1

2 2 réfractions

2 2 réfractions + 1 réflexion

2 2 2 réfractions + 2 réflexions

D i r

D D r

D D r

2.c) Condition d’émergence d’un rayon parallèle :

On commence par différencier pour obtenir dD/di = 0 :

11

22

33

2 2 2 1 0 1 1

12 4 2 1 2 0 2

2

12 6 2 1 3 0 3

3

dD dr drdD di dr

di di di

dD dr drdD di dr

di di di

dD dr drdD di dr

di di di

Ainsi :

2

2 2

2 22

22 2

2 22

32 2

1 sin1 1 1

sin

1 sin 1 42 sin

2 3sin

1 sin 1 93 sin

3 8sin

idrn

di n i

idr ni

di n i

idr ni

di n i

Conclusion :

Le premier cas est impossible, il n’y aura pas de faisceau

émergent parallèle sans réflexion dans la goutte d’eau.

Le second cas nous montre qu’il existe une direction

particulière (i2) pour laquelle le faisceau émergent est

parallèle, c’est dans cette direction que l’on va observer un

phénomène amplifié : les couleurs de l’arc-en-ciel…

Le troisième cas nous dit qu’il y a également une

possibilité après 2 réflexions à l’intérieur de la goutte.

3. L’observateur regarde vers l’horizon, dans la direction du

rideau de pluie qui provoque le phénomène de déviation de

la lumière incidente du soleil. Il observe des maximas

d’intensité lumineuse pour les deux configurations

calculées à la question précédente. Toutes les gouttes

susceptibles de donner l’angle d’observation adéquat sont

situées sur un cône de sommet l’œil de l’observateur, d’axe

la direction incidente du soleil (il s’agit d’un axe de

révolution pour le problème), et d’angle θ2 ou θ3, comme

représenté sur la figure ci-dessous : (Attention, on flèche les

angles D2 et D3 du coté vers lequel les rayons sont vraiment

déviés).

4. On a

2 22 2

2 3

2 2 3 3

2 2 2 3 3 3

2 2 3 3

4 9sin sin

3 8

sin sin sin sin

2 4 2 2 6

n ni i

i n r i n r

D i r D i r

D D

,

On donne tous les résultats dans le tableau suivant :

Angles (°) i2 r2 D2 θ2 i3 r3 D3 θ3

Violet 58,7 39,5 139,6 40,4 71,5 44,8 123,9 53,9

Rouge 59,5 40,3 137,7 42,3 71,9 45,5 230,5 50,5

Un observateur situé face au rideau de pluie verra ici 2

arcs-en-ciel, l’arc primaire allant du violet à l’intérieur au rouge

à l’extérieur, et l’arc secondaire, plus grand, moins intense

(puisqu’une partie de la lumière a déjà été dispersée dans la

formation de l’arc primaire) allant du rouge au violet (ordre

inversé !!!), voir figure ci-dessous


Lumière du Soleil D3

D2

Observateur

θ3=D3-π

θ2=π-D2

Arc primaire Arc secondaire

Arc primaire

Arc secondaire

Bande sombre d’Alexandre

V R R V V R R V Violet Rouge

OG2 – Miroirs et Lentilles

Exercice 26 : Translation d’un miroir

Déplacement de l’image de 2d

Exercice 27 : Construction des images

Voir correction des exercices techniques - Série 5 - Optique

Exercice 28 : Lentille plan-convexe

Dans les conditions de Gauss,

On a .n i r , et 2

'

HIi

C H

HIr i

HF

Donc

2 2

1 1

'

n

C H C H HF

Et ainsi 1 1

V 0'

n

f R

Exercice 29 : Diamètre apparent d’un astre

L’image de l’étoile se forme dans le plan focal image de la lentille.

On a ' ' ' 'tan

2 2 ''

F B F B

fOF

et ' 'F A (aplanétisme).

Taille de l’image : 2 ' 291 m

B C A B fV

.

Attention, α à convertir en radians :

_ rad

60 180

minute angle

rad

(Il y a 60 minutes d’angles dans 1 degré)

Exercice 30 : Distance Objet réel / Image réelle

D’après la relation de conjugaison au centre optique (formule

de Descartes) : 1 1 1

' 'p p f avec

' '

p OA

p OA.

''

'

pfp

p f

Etudions le sens de variation de la distance 'p p :

2

0

' ' 2 '0

'

d p p d p p p fp

dp dp p f

si 2 'p f

p -2f’

p' - p La distance entre objet réel et image réelle est minimale lorsque

2 'p OA f . Alors ' 2 'p f (méthode de Silbermann)

Exercice 31 : A la recherche des foyers

On construit directement les rayons fondamentaux…

Et on retrouve le résultat avec la relation de conjugaison…

Exercice 32 : Loupe

1. Construction :

2. D’après la formule de Descartes (conjugaison, origine au

centre optique) : 1 1 1

' 'p p f avec

' '

p OA

p OA

.

' ' 6,7 cmp OA

3. Construction C’est bien le principe de la loupe

(Image virtuelle agrandie par rapport à l’objet)

4. Même formule de Descartes… ' ' 12 p OA cm

Exercice 33 : Quelques petits problèmes de Lentilles

1. Oui, l'objet doit être réel, placé entre le foyer et la lentille.

S’il est virtuel, l’image sera réelle.

2. Conjugaison au sommet : 1 1 1

' 'p p f avec

' '

p OA

p OA

.

' ' 90,34 cmp OA

3. 1 1 1

' 'p p f et 'p

p taille : 129 cm

4. 2. ' ' 'FA F A f ' ' 1,47 cmF A

5. ' ' 19,1 cmp OA car l’img est forcément virtuelle.

1 1 1

' 'p p f ' 27,41 cmf ' ' 8,31 cmF A

6. 1 1 1

' 'p p f et 'p

p 2 cmOA

7. Foyer image car l’objet est réel. 2. ' ' 'FA F A f

' ' 3,33 cmF A

8. 1,738 0 7,4AB

AB

10,0 cmAB

x

O F F’

B’

plan focal image

2

A’

B

C

A C’

I

C2 S2 S1

(n)

F’

H

i

r

r - i

Exercice 34 : Autocollimation d’une lentille convergente

1. Constructions : (Qu’avec l’image finale pour ne pas surcharger)

Cas a)

Cas b)

Cas c)

2. 1ère lentille : 1

1

1 1 11

61 1 1

0'

62

2

OAfOA OA

A B OAOB

AB OA

Miroir : Symétrique de plan x = 2 2

2

2

0

2

2

OA

OB

2ème lentille : Attention, on l’utilise de droite à gauche, donc

l’axe optique est inversé, et le foyer image est maintenant

F’inv = F au lieu de F’, ainsi, f’inv = -f’. La conjugaison devient

2

2 2 2

11 1 1 1

0' '

11

12

inv

inv

OAf fOA OA

A B OAOB

A B OA

3. On a forcément 1 , car la taille de l’image globale est

définie par le premier rayon (celui qui part de B parallèle à

l’axe optique ressort de la lentille également parallèle à l’axe,

d’équation y = -1). On a donc forcément y(B’)=-1.

4. La position du miroir ne change rien à l’image, puisque

toutes les images intermédiaires sont à l’infini… Elle y

restent si le plan du miroir reste perpendiculaire à l’axe. Il

vaudra mieux rapprocher le miroir de la lentille pour

conserver le plus de rayons possible (plus lumineux).

5. Miroir incliné ? Les images intermédiaires sont toujours à

l’infini, donc l’image finale se forme toujours dans le plan

focal, mais en un autre endroit… Le grandissement et la

position de l’image vont donc être modifiés.

6. Un collimateur est un dispositif optique qui permet de

simuler un objet à l’infini Faisceau de lumière parallèle.

C’est bien ce que l’on obtient ici (système AB+L).

7. On règle la distance source lentille pour que l’image en

retour soit nette cette distance est alors égale à la distance

focale que l’on mesure directement.

Exercice 35 : Modélisation d’un photocopieur

1. On a

2

1'

11 1 1

'

AO OA AA dd

OAOAd

fOA

fOA OA

2. AN : γ = -1 OA=192mm / f’=96mm

2 OA=159mm / f’=93,2mm

12

OA=225mm / f’=93,2mm (symétrique)

(Attention aux coefficients, surface double ou moitié

Chaque dimension est multipliée par 2 ou l’inverse)

Exercice 36 : Focométrie – Quelques méthodes

A. Méthode de Bessel

A.1. Distance minimale : 4 AA f

On peut le voir en dessinant ou bien le démontrer

Démo : Conjugaison 1 1 1

' fOA OA

'

'

OA fOA

OA f

Et 2

2'1

'' '

f OA xAA AO OA AO

x fOA f OA f

,

Ainsi :

20 2 ' 0

2 0

0 2

d AAx x f x

dx

x x f

x ou x f

Dans le 2nd cas, on a bien 24

2

OA fAA f

OA f

A.2. On fixe AA’ = D, on utilise la même relation : 2

'

xAA D

x f, avec x OA , donc 2 0 x Dx Df .

Il y a bien 2 solution pour x si 2 4 0 D Df , c’est-à-

dire si on a 4 D f : 1

1 2

2

2

2

Dx

d x xD

x

A.3. Alors : 2 2

2 2 44

D dd D Df f

D

A.4. AN : D = 40cm et d = 10cm. f ’ = 9,38cm.

B. Méthode de Silbermann

B.1. Conjugaison : 1 1 1

' fOA OA

avec 1

OA

OA

, cela donne

1 1 11

'

fOA et 2 OA f , donc D = 4f ’.

On est dans le cas limite de la méthode de Bessel.

B.2. On peut être sur qu’on est bien à la position demandée, car

on doit être exactement au milieu entre A et A’. Il n’y a

qu’une seule image possible, il n’y a pas 2 positions

complémentaires (x et x) qui donnent une image nette.

F A

B

L M

A’

B’

A=A’

B

L M

Img dans le plan focal

Objet à A2B2 l’∞

B’

F A

B

L M

B’

A’


OG2 – Modèles de l’oeil

Exercice 37 : Quelques caractéristiques de l’oeil

L’œil normal :

1. Modèle : On zoome sur une cellule de la rétine

tan2 2 2

h

f

67,5.10 7,6h f m m , c’est cohérent…

2. A d = 1 mètre, cela correspond à un objet de taille 0,5AB d mm

3. Construction

Conjugaison : 1 1 1

'

d fOA

f d fOA OA

Thalès : 1R r f R f

r R rdOA OA f OA

4. Objet net si r < h sinon il s’étale sur plusieurs cellules de la

rétine et crée un flou.

min 2,0R f R f

r h d d md h

L’œil peut donc voir simultanément, de façon nette, tout

objet compris entre 2m et l’infini. Il n’accommode que pour

observer des objets plus proches.

5. PP = 25 cm image sur la rétine fixe à d = 15mm, on utilise

la relation de conjugaison :

251 1 11,41

' ' 1,5

OA cm OA OAavec f cm

fOA OA OA OAOA d cm

Cristallin un peu comprimé, il est plus convergent…

6. Objet plus près que le PP :

Myopie :

7. Objet à l’infini Image avant la rétine Flou sur la rétine.

Il n’arrive pas à accommoder car les muscles ne peuvent

tordre le cristallin que dans un sens (rendre plus

convergent)

8. Avec la relation de conjugaison : (et le PR pris positif)

1 1 11,11

'

rétine

rétine rétine

d fPR m

d PR f d f Très myope.

9. De même, avec PP=12cm : ' 1,33

rétinePP

rétine

d PPf cm

d PP. On

voit donc que les valeurs de la distance focale du cristallin

varient entre 1,33cm et 1,48cm (au lieu de 1,41cm

1,5cm), ce qui fait que l’œil est déjà très myope…

10. Avec 2 lentilles accolées, on utilise les 2 relations de

conjugaison (même sommet O) : 1 2

1 'L LA A A

11

1 21 1

21

1 1 1

' 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 ' ' '

'

eq

fOA OA

f f fOA OA OA OA OA OA

fOA OA

Ce qui est équivalent à 1 2eqV V V

11. Correction par des verres de contact accolés : on doit avoir

' '1 1 1' 1,11

' ' ' ' '

0,9

MYOPE NORMALVERRE

NORMAL MYOPE VERRE MYOPE NORMAL

NORMAL MYOPE VERRE VERRE NORMAL MYOPE

f ff m

f f f f f

V V V V V V

C’est la deuxième grandeur que les opticien utilise pour

caractériser le défaut d’un œil. La myopie n’est pas si

importante !!! Le verre de contact est peu divergent

(distance focale très élevée, donc lentille très mince)

Presbytie :

12. Pour l’œil normal f0’ = d0

13. Journal à 25cm Le schéma est le même que celui de la

question 3, tout se passe comme si l’œil n’accommodait

plus… 50 00 06,0.10

R f R dr m r h

d d

L’image est floue sur la rétine

14. Correction par un verre double foyer, car seule la vision de

près a besoin d’être corrigée (verre convergent pour la

vision de près, rien pour la vision de loin), et la lentille ne

peut pas corriger pour toute la profondeur du champ de

vision… verre progressifs ? (convergence variable selon la

position sur le verre)

15. Vieillissement d’un œil myope La tâche sera moins grosse

pour un journal à 25cm, mais certainement toujours

illisible. Il faudra un verre plus compliqué, avec divergent à

l’infini, convergent à courte distance

Hypermétropie :

16. Sans accommodation : Vergence V0 PR,

Avec accommodation : Vergence V1=V0+ΔV PP = 50cm

D’où 0

1

64,71 168,7 2

66,67

VERRE

NORMALrétine

VV V

et Vd PP

Il s’agit bien d’un verre de contact convergent.

17. Le PP corrigé alors : 25cm On se ramène à l’œil normal

18. On cherche déjà le PR :

0

501

rétineR

rétine

dOP cm

V d

(virtuel)

La lunette doit envoyer les objets à l’infini sur le PR, donc ce PR

doit correspondre à la distance focale de la lunette, qui est

situé 1cm avant l’œil 51 LUN LUN R LUN Rf O P O O OP cm ,

ce qui nous donne une vergence de 1,96 LUNV

Une cellule

Rétine Cristallin

Δα/2 f’

R A

f ’ B

A’

B’

r F’

d

O

R A

f’min B

A’

B’ r

F’

PP

O

Rétine

Objet au PP

Img sur la rétine

Objet après PP

Img après la rétine

C

D

C’

D’

D’ flou sur la rétine

Rétine Objet à l’infini Cristallin Lunette

O OLUN

PR

OG2 – Systèmes Optiques

Exercice 38 : Lunette astronomique

1. D’après la formule de Descartes (relation de conjugaison,

origine au centre optique) :

11 1

1 1 1

'' fO A O A

1 ' 22,22 cmO A (Image réelle)

Et 1

1

'O A

O A ' ' 1,11 cmA B

2. Construction :

3. 2 ' 2,78 cmO A

2 '' 9,09 cm O A (Image virtuelle)

Et '' '' 3,64 cmA B .

4. 2

2

'' '''' arctan 15,52

' '' G 6,21

arctan 2,50 '

A B

F A

AB

F A

Exercice 39 : Microscope

1. Diamètre apparent de AB :

5

510tan 5.10 _

0,2

ABrad Pouvoir Séparateur

PP

L’œil ne distingue pas A et B, il les voit confondus…

2. Construction avec la loupe :

5

410tan 2.10

0,05

ABrad

f

On a encore : _ Pouvoir Séparateur

L’œil ne distingue pas non

plus A et B, encore confondus…

3. Grandissement : '12

p

p

5

1 1 12 . 10 A B cm

Exercice 40 : Réglage d’un viseur

1. Réglage de la distance réticule – oculaire

1.a) Relation de conjugaison… 2 22

2 2

'1,8

'

O O fd cm

O O f

1.b) A l’infini dans le plan focal : 2 2 ' 2,0 d f cm

2. Réglage de la distance objectif – réticule

Relation de conjugaison… La valeur donnée vérifie bien la

relation de conjugaison

11 1

1 1 1

'

fO O O A.

Exercice 41 : Doublet optique de Huygens

1. Schéma pour le foyer image :

Rmq :

Le rayon arrive parallèlement à l’axe optique, il ressort donc

en passant par F1’. (sans problèmes)

Mais comment connaître sa direction après passage de L2 ?

ATTENTION : Difficile car son incidence est quelconque !!!

On trace alors l’axe passant par le centre O2 de L2, // au rayon

(on cherche l’img de l’objet venant de la même direction à l’∞)

Ce rayon passant par O2 coupe le plan focal au foyer 2ndaire Ф2’

(Ф2’ est l’img de cet objet venant de l’∞ ds la même direction)

Le rayon cherché sort de L2 en passant par Ф2’

F’ est l’intersection du rayon émergent et de l’axe optique

On fait la même chose pour le foyer objet dans l’autre sens

Il faut transposer le principe d’utilisation d’un foyer secondaire

image en un foyer secondaire objet Ф1… (Voir schéma)

Nouvelle valeur : 4

31 1 1,2.104.10

0,03

A B

radf

_ Pouvoir Séparateur

L’œil peut cette fois distinguer

les points A et B !!!

Le microscope rend l’objet

« visible » par l’oeil

F ’

Ф2’


2. Relation de conjugaison au foyer pour un objet A, image A’

et une distance focale f’ : 2 FA F A f

On la transpose pour notre cas présent :

Foyer image : 1 2

1

L LA F F , donc 2

2 1 2 2 F F F F f ,

avec 2 1 F F , cela donne

2 2

22 1

2

f aF F cm

a

Puisque 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 F F FO OO O F f e f a

Foyer objet : 1 2

2

L LF F A , donc 2

1 1 2 1 F F F F f ,

avec 1 2 F F , cela donne

2 2

11

99

2

f aF F cm

a

Exercice 42 : Grossissement standard d’un microscope

1. Construction des images

1.a et b) A1B1 dans le plan focal de L2 L’œil reste au repos

1.c) Schéma de principe :

2. Grossissement standard du microscope

2.a) Grandissement : 1 11

1

...

A B

fAB

(triangles…)

2.b) Grossissement :

1 1

2

2 2

1 11 21 1

tan

tan

m

m

A B

f dG G

A B f

d

2.c) Grossissement complet : 1 2

1 2

900

mdG G

f f

Exercice 43 : Tracé de Rayons

1. Système globalement CONVERGENT (rayon en sortie est

plus convergent que celui en entrée).

2. Rayon lumineux On relie les points.

3. 1ère lentille : Convergente / 2nde : divergente

4. Pour trouver le foyer, on trace un rayon parallèle (2) à

celui que l’on a déjà (1), mais qui passe par le centre

(comme si les 2 venaient d’un objet à l’infini) Se croisent

après la lentille dans le plan focal, ce qui nous indique le

foyer principal image F1’ (par aplanétisme). On trouve

l’autre foyer par symétrie par rapport au centre optique.

On fait de même en sortie avec le rayon (3) F2 objet

On évalue 1 1 'O F = 4cm et

2 2 'O F = -2cm

5. Foyer image F’ = image d’un objet à l’infini sur l’axe, ce que

l’on peut représenter par la chaîne : 1 2

1

L LA F F

Foyer objet F = Point dont l’image est à l’infini sur l’axe, se

schématise par 1 2

2

L LF F A

Il nous faut en fait trouver l’image de F1’ par L2 (c’est F’), et

l’objet dont l’image par L1 est F2 (c’est F).

Ou bien on trace directement l’image d’un rayon à l’infini

Ainsi : 1O F =5,8cm et de même (non tracé)

1O F =-7,2cm

6. On utilise les relations de conjugaison au sommet ou au

foyer, le foyer étant plus rapide : d’où 2

22

2 1

1 1 2 2

4

5

5,8

fF F cm

F F

O F O F F F cm

2

11

1 2

1 1 1 1

16

5

7,2

fF F cm

F F

O F O F F F cm

F Ф1

O1 F2

L1 L2

F1’

O1

F2

F1’ F2’

F’

H

Etang gelé : l = 20m

h

1,8m

d = 2m

Objet Réel

Correction 1 : Champ de vision 1. Tracé du Champ de vision :

Rmq : L’homme ne peut pas voir sa propre image

2. Dans les bon triangles, et en utilisant l’égalité des angles

incidence/réflexion avec la loi de Descartes, on obtient :

maxtanH h

l d , d’où max 18

hlH m

d

Correction 2.1 : L’ours polaire 1. Champ angulaire visible par l’ours (si il bouge la tête au max)

Un poisson peut donc s’approcher du trou sans être vu par

l’ours si il longe la glace, dans la partie non visible depuis

l’extérieur (hors du cône d’angle au sommet 2α)

2. Profondeur apparente du poisson : on définit toutes les

grandeurs sur le schéma ci-contre (échelle non respectée) :

On a :

tan

tan

sin sin

perçu

réel

a e

di

P

dr

P

n i n r

Donc :

tan sin cos

tan tan sin cosréel réel

perçu

P r P r idP

i i i r

On simplifie :

2 2 2 2

cos cos

1 sin sin

réel a réel aperçu

e e a

P n i P n iP

n r n n i

Pour i = 45°, cela donne Pperçu = 12,55 cm.

L’ours a l’impression que le poisson est plus proche.

3. Angle visible depuis la mer : 2α’ = 180°, le poisson peut tout

voir, l’ours ne peut pas se cacher.

4. Si le poisson s’approche du trou en longeant la glace, il verra

bien évidemment la glace juste au dessus de lui, mais il ne

verra pas ce qui se trouve au dessus du trou, car les rayons lui

provenant du trou sont trop inclinés, et ont en fait subit une

réflexion totale. Il s’agit des rayons provenant du fond de la

mer et non de l’extérieur (faire le schéma…)

Complément : On peut calculer en fonction de l’angle

d’inclinaison des rayons la profondeur apparente du poisson

vu de l’extérieur

Angle 0° 15° 30° 45° 60°

Préel (cm) 60 60 60 60 60

Pperçu (cm) 15,0 14,8 14,0 12,5 9,9

On voit que le dioptre plan-eau n’est pas stigmatique,

puisque tous les rayons émergeant de l’eau ne se croisent

pas en une unique image, mais en une zone image

(intersection dépendant de l’angle d’émergence).

Correction 2.2 : Construction de Descartes 1. Construction simple :

Méthode :

Prolongation du rayon

Intersection A1 avec (C1)

Projeté orth H de A1

Intersection A2 de (C2)

avec la // à la normale

passant par H et A1.

Le rayon passe par A2

Démonstration :

Dans

1 0

1 2

0

2 0

sin

sin sin

sin

di

n r dn i n r

d rr

n r

2. Réflexion totale :

Si n1 > n2, c’est le cercle

(C1) qui est plus grand, il

peut ne plus y avoir

d’intersection entre le

cercle (C2) et la // à la

normale passant par A1.

(comme sur la 2ème figure)

Correction 2.3 : Lame à faces parallèles Voir correction de l’exercice supplémentaire 11 (la vitre)

Correction 2.4 : Déviation par un prisme 1. On respecte l’orientation des angles dans le sens

trigonométrique, ce qui nous donne :

- Réfraction :

sin sin

sin sin

i n r

i n r

- Dans le tri de sommet A :

2 2A r r ,

d’où 0A r r 0A r r

SOLUTION du TD OG1 – Lois de l’Optique Géométrique – Feuille 1/1

h

1,8m

Image Virtuelle

α

Positions possibles

pour la tête de l’ours

Espace visible dans l’eau

2α

Angle de réfraction

limite dans l’eau

lim

1sin 48,8i Arc

n

lim2 97,5i

i

r

na=1

ne=1,33

Préel

H

Pperçu

d

i n1

n2

r0.n1 r0.n2 I

A1

A2 Cercle (C2)

(C1)

r

H

d

i n1 >n2

n2

r0.n2 r0.n1 I

A1

(C1)

(C2)

H

- Déviation D : on la décompose en 2 déviations, sur le 1er puis

le 2nd dioptre : D i r i r i r i r

(Attention encore une fois au sens des angles… si on prend

tous les angles positifs, on obtient D i r i r )

2. Il se peut que le rayon n’émerge pas en sortie si il y a

réflexion totale sur la seconde face (il n’y a jamais

réflexion totale sur la première face car l’indice de l’air est

inférieur à l’indice du verre).

Il faut donc que lim

1sin 41,8r A r i Arc

n

En fonction de i : 1

sin sin sini n A Arcn

Ou encore : 1sin sin sini Arc n A Arc

n

Le rayon doit être très incliné pour sortir. Par exemple

pour A = 60° (triangle équilatéral), cela donne 27,9°.

3. Dans le cas de petits angles, on simplifie les sin : i n r

i n r

Donc 1 1D i i r r n r r D n A

On remarque que l’angle D est négatif ici, c’est bien ce que

l’on a sur la figure. On trouvera souvent l’expression

donnée avec tous les angles positifs : 1 0D n A

D augmente avec n et A (fonction croissant de n et A)

Remarque : l’hypothèse de petits angles est un peu abusive

ici, car on ne peut pas avoir en même temps tous les angles

faibles (d’après la configuration du prisme). Cela nous

donne une valeur de D fixe, la déviation ne dépendrait pas

de l’angle d’incidence ? En fait si, la vraie déviation

change, mais cette déviation nous en donne une idée…

4. Lorsque n et A sont fixés, D ne dépend plus que de

l’incidence. On cherche l’extremum de D = f(i), en

calculant la dérivée (on différencie les expressions

d’abord) :

0 (A constant)

cos cos

cos cos

dD di dr di dr

dA dr dr dr dr

i di n r dr

i di n r dr

Ainsi : dD di di et

cos cos1 1

cos cos

i rdD di

di di i r

Et donc : 0 cos cos cos cosdD

i r i rdi

Une solution évidente est :

min min

min min

2

Ar r

i i

(symétrie)

On admet qu’il s’agit d’un minimum, que l’on définit positif :

min min2D i A

En ce minimum, on a : minsin sin2

Ai n

Ainsi : minsin

2

sin2

D A

nA

Correction 2.5 : Dispersion par un prisme

1. L’indice décroissant avec la longueur d’onde, la déviation,

comme i’, est une fonction décroissante de λ. La lumière va

être décomposée en sortie du prisme, comme pour un arc en

ciel. Déterminons les valeurs extrêmes, par exemple pour une

incidence rasante 2

i

, avec un prisme d’angle A = 60° :

λ

(nm) n

1sinr Arc

n

sin sini Arc n A r

400 1,5242 41,0° 29,7°

800 1,5043 41,7° 28,2°

2. La largeur angulaire du spectre est donc la différence des

incidences des 2 lumières : 1,5D i

3. Au minimum de déviation pour λ1, on a n1 = 1,5095 et

m1 1sin sin2

Ai n

, donc m1 49,0i . La

déviation vaut alors min m12 38,0D i A

Correction 3.1 : Le chemin le plus court

1. Le chemin le plus court n’est pas la ligne droite, il faut faire

un compromis entre temps perdu à rallonger la distance totale

et temps perdu dans le milieu où l’on se déplace le moins vite.

2. Durée du trajet :

2 22 2

0 0

E BS Asable eau

sable eau

n L x ln x ld dt

v v v v

3. et 4. Durée du trajet minimale :

2 2 2 2

221 10 0

2 2

0

sin sin

ES

A B

ES

sable eau

S sable E eau

n x Ln xdt

dx x l L x l

n L xn x

d d

n n

On reconnaît la loi de Snell-Descartes,

En fait la lumière passe le chemin qui correspond au temps de

parcours minimal !!! (Principe de Fermat)

Correction 3.2 : Réflexion 1. Même chose qu’à l’exercice précédent… chemin 2…

2. Distance entre AI + IA’ : 22 2 2d AIA x L L x l

(Rigoureusement le chemin optique est tanL n dis ce )

3. Chemin minimal :

2 2 2 2

( )0

sin sin

dd x L x

dx x L L x l

i r

Chemin le plus rapide pour i = -r (loi de Descartes)

r' i'

i

r

A

D D1

D2

Correction 1 : Périscope

1. Image par un miroir : symétrique de l’objet par rapport au

plan du miroir construction : 1 symétrie pour chq miroir.

2. De manière vectorielle : on utilise une propriété bien

particulière pour exprimer l’image par une symétrie axiale

d’axe la première bissectrice (y = x)

On applique cette astuce en changeant d’origine :

1

2

1 1 1

2 2 1 2 2

MA A

A A

MA A A

A A A

x y hO A O A

y h x

x y h x hO A O A O A

y x h y h

Cela revient à faire une translation de vecteur h

Xh

3. Construction :

Le périscope ne modifie pas l’objet, il en donne une image

identique, mais déplacée (translatée du vecteur X ) dans le

champ de vision direct de l’œil. On retrouve notamment ce

genre de dispositif dans les sous-marin…

Correction 2 : Deux miroirs en coin

1. et 2. Images par les miroirs : symétriques…

3. On remarque que OA A sym A = symétrique de A par

rapport au point O

4. Image d’un vecteur : idem, même constr : OA B sym AB

5. Différents cas : (Jamais plus de 2 réflexions)

6. Un individu debout voit 3 images :

Une image directe dans chaque miroir, inversée (si il

lève la main droite, il verra l’image lever la main gauche)

L’image après 2 réflexions, symétrique par rapport au

point O, non inversée (l’image lève la même main)

Correction 3 : Champ de vision d’un rétroviseur

Miroir Plan :

1. Image : symétrique…

2. Champ de vision : figure

3/4. 2 tan 22,62

2

LArc

D

Miroir Sphérique :

5. Image : On prend 2 rayons

Axe Optique (non dévié)

Rayon extrême

(Appliquer Descartes / Réflexion)

6. Champ de vision : rayons extrêmes

Mais il faut trouver la position de A…

On a : tan 11,312

2

tan 32

C

C C

C A C C

LArc

Ri

LArc Et i

D

7/8. Nouveau champ de vision : 6 tan 67,86

2

LArc

D

Comparaison :

9. Champ de vision 3 fois plus grand !!! (mais taille image ?)

10. Voir feuille annexe, construction + calcul des angles vus

par l’œil de l’automobiliste. Le miroir sphérique donne un

champ de vision plus étendu, mais une image plus petite, ce

qui peut donner l’impression que l’objet est plus loin que ce

que l’on pense (puisque l’œil est habitué au miroir plan, il

peut avoir du mal à bien analyser l’image reçue)

11. Angles morts

Pensez à tourner la tête avec de tourner ou de déboiter !!!

Correction 4 : La petite cuillère

1. Image nette Stigmatisme approché (seul le miroir plan est

parfaitement stigmatique)

2. Dans le creux de la cuillère : Inversé et rapetissé

3. Sur le dos de la cuillère : à l’endroit et rapetissé

Pour s’en convaincre, faire des schémas avec un miroir

sphérique et les 2 rayons les plus simples (celui qui passe par

le centre n’est pas dévié car perpendiculaire à la surface, et

celui qui passe par le sommet ressort avec un angle opposé…)

SOLUTION du TD – OG2 – Miroirs et Lentilles – Feuille 1/1

La symétrie inverse les

coordonnées, mais attention à

prendre la bonne origine (on doit

changer d’origine à chaque fois)

A(xA,yA)

A’(yA,xA) y = x

x

y

x

y

O2

O1

h

A

M2

M1

A1 B1

B

A’

B’ h

Xh

y

O

A M2

M1

Deux

réflexions

(M1 et M2) Aucune

réflexion

Une Seule

réflexion (M2)

Une Seule

réflexion (M1)

A’

D

A

D α

A’

D = R

C i = 2θC

i

A

Rayon extrême

Angle θC

θ’

Angle θA = 3θC

Angle mort

Partie Visible

Pas très utile !!!

Angle mort

Partie Visible

Cas plus réaliste !!!

Vue

directe

Correction 5 : Appareil photo 24×36

1. Mise au point à l’infini : plaque sur le plan focal image, l’objet

s’approche, donc il faut éloigner la plaque, calculons avec la

relation de conjugaison : 1 1 1

fOA OA

5,05OA f

OA cmOA f

(Attention au signe, OA<0)

2. On impose un éloignement de 5mm 5,5OA cm , donc

on peut calculer 55OA f

OA cmf OA

3. Objet à 5m : Grandissement 5,051,01%

500

A B OA

AB OA

Dimensions de l’objet : 24 362,38 3,56m m

On définit parfois le grandissement

angulaire 199

OAg

OA

4. Eléments constitutifs :

- Objectif : Crée une image nette de l’objet sur la pellicule,

c’est une lentille convergente qui se déplace (mise au pt)

- Pellicule : film photosensible (sels d’argent) qui va

« mémoriser » la lumière par réaction photochimique pour

être plus tard développée sur du papier

- Diaphragme : élimine les rayons extrêmes qui ne respectent

pas les conditions de Gauss, et diminue la luminosité si il y

en a trop (notamment la journée en extérieur)

- Obturateur : La pellicule n’a besoin que d’un court instant

(selon sa sensibilité – ISO/ASA…) pour « mémoriser » la

scène. On règle son temps d’ouverture (tps d’exposition)

Correction 6 : Appareil photo jetable (Centrale TSI)

1. Conditions de Gauss : Travail avec des rayons paraxiaux

(faiblement inclinés et proches de l’axe optique).

Avantage : stigmatisme et aplanétisme approché des

systèmes optiques habituels (essentiellement des lentilles)

Inconvénient : Il faut nécessairement diaphragmer,

donc on perd en luminosité des images

2. Objet à l’infini Image sur le plan focal : d = f’

3. On a _

tan tan2 2

Rayon Image

f

4_ 2,6.10 0,26Diamètre Image f m mm .

4. Avec la relation de conjugaison 1 1 1

fOA OA

, cela

donne : 1 1 1 A

A A

d fOA

f d d fOA

Et avec Thalès : 1L A

A L

A L

A

D D fD D

OA OA f OA

fD D

d

5. Il nous faut 3A A L

fD d D m

6. Objet à l’infini tâche de diamètre ε

Schéma

Thalès : 1 3,03L

L

Dd f cm

f d f D

On cherche le nouveau point le plus proche donnant

une image nette. On a toujours A

A

d fOA

d f

, et on

adapte le Thalès de la question 4 : L AD D

OA OA d

.

Ainsi, 1 1 A

A L L

A

d d fdD D D

d fOA

Condition : 1 1 A

AL A L

d fD

D d D

1 1 1

21 1 1,5

2

A L

L L A L A

L LA

A L

d f D f

D D d D d

D Df fd m

d D

On a nettement amélioré la plage d’utilisation de l’appareil

photo jetable, qui donne une image nette entre 1,5m et l’∞ !

Correction 7 : Faisceau dans un système optique (CCP)

1. Image = intersection des rayons émergents…

2. Faisceau JK-MN divergent

3. Après traversée, le faisceau peut être convergent ou divergent.

En effet, la lentille rend le faisceau émergent plus convergent

que le faisceau incident, mais il peut rester divergent selon la

position de l’objet par rapport au foyer.

4. Etudions les différents cas :

- Si A’ est avant le foyer, alors l’image sera réelle sur Ox

- Si A’ est sur le foyer, alors l’image est à l’infini, virtuelle

- Si A’ est entre le foyer et le centre, alors l’image est

virtuelle, mais elle se forme nécessairement avant A’ donc

sur x’A’, car le faisceau est moins divergent après la lentille.

Dans aucun cas on ne retrouvera l’image sur A’O.

Correction 8 : Système afocal

1. On fait la construction, les deux foyers sont rejetés à l’infini

Système AFOCAL (rayon incident // axe sortant aussi)

Attention : La construction est difficile, il y a plusieurs solutions.

La 1ère est de trouver l’image B1 par la 1ère lentille L1 (se trouve

derrière la lentille L2 Objet virtuel pour L2), puis on

cherche l’image B’ de B1 par la lentille divergente (rayons 1 et

3, avec les méthodes classiques)

La 2nde nous donne le rayon 2 : on suppose qu’il vient de l’infini,

donc il focalise après L1 en Ф1 dans le plan focal de L1, qui est

aussi dans le plan focal de L2. Il est donc envoyé à l’infini

avec la même direction que le rayon passant par le centre O2.

2. Grandissement 2

1

0,25fA B

AB f

Ne dépend pas de la pos de A (propriété des systèmes afocaux)

3. Idem, grossissement 1

2

4f

Gf

(avec les tangentes)

F’ ε

A’ A O α α'

F1’=F2 A O1

α

α'

Ф1

B

A’

B’

B1

A1

BasesBasesBasesBases de la Thermo de la Thermo de la Thermo de la Thermo : Gaz Parfaits: Gaz Parfaits: Gaz Parfaits: Gaz Parfaits

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : : : : Pression d’un pneuPression d’un pneuPression d’un pneuPression d’un pneu

Une chambre à air d’un pneu d’automobile est gonflée à la

pression P1 = 2,0bar, l’air étant à la température t1 = 27°C. L’air

est assimilé à un gaz parfait et on suppose que le volume intérieur

à la chambre à air reste à peu près constant.

1. L’automobiliste ayant roulé sur autoroute, la température

dans la chambre à air atteint la valeur t2 = 57°C. Exprimer

puis calculer la pression P2 de l’air dans le pneu.

2. A ce moment, le conducteur vérifie la pression des pneus et,

la trouvant excessive, la ramène à P1 = 2,0bar, sans que l’air

ait eu le temps de refroidir. Quelle sera la pression P1’ des

pneus quand la température sera revenue à t1 = 27°C ?

3. Si la pression maximale admissible dans le pneu est Pmax =

6,0bar, à quelle température tmax risque-t-il d’exploser ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 2222 : : : : Dissociation du Brome à haute TDissociation du Brome à haute TDissociation du Brome à haute TDissociation du Brome à haute T

Le brome Br2 est à température ambiante un gaz, supposé

parfait. Données : M(Br) = 80 g.mol-1, R = 8,314 J.K-1.mol-1.

1. Calculer en litre le volume V0 théoriquement occupé par

une masse m = 1g de brome à la température t0 = 1600°C et

sous la pression atmosphérique P0 = 1atm.

La mesure expérimentale de ce volume est V0’ = 1,195L. La

différence entre la mesure expérimentale et la valeur théorique

est due à la dissociation d’une partie des molécules de brome,

suivant l’équation bilan Br2 2Br.

2. Expliquer pourquoi cette dissociation permet d’expliquer

qualitativement la différence entre la mesure expérimentale

et la valeur théorique.

3. Déterminer l’expression puis la valeur du coefficient de

dissociation α, défini comme le rapport entre la quantité de

brome dissocié et la quantité initiale de brome.

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : : : : Vidange d’un réservoir d’air compriméVidange d’un réservoir d’air compriméVidange d’un réservoir d’air compriméVidange d’un réservoir d’air comprimé

Un réservoir de volume V = 100L

contient de l’air comprimé sous la

pression P0 = 10bar et à la température

ambiante t0 = 20°C. Ce réservoir est

fermé par un robinet R. Sur l’embout

de ce robinet, on fixe un récipient de

volume v = 10L contenant de l’air

ambiant, à la température t0 et à la pression p = 1bar. Ce récipient

est muni d’un soupape S initialement fermée.

1. On ouvre le robinet. Que se passe-t-il ? Exprimer puis

calculer la pression P1 obtenue dans le réservoir.

2. Le robinet est ensuite refermé, puis la soupape ouverte et

enfin on referme la soupape. On ouvre à nouveau le

robinet. Exprimer puis calculer la pression P2 obtenue dans

le réservoir.

3. La suite des manipulations précédentes est à nouveau

effectuée. Exprimer la relation entre les pressions Pn+1 et Pn.

En déduire la pression limite P∞ atteinte dans le réservoir.

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : Ouverture d’une bouteille d’air comprimé: Ouverture d’une bouteille d’air comprimé: Ouverture d’une bouteille d’air comprimé: Ouverture d’une bouteille d’air comprimé

L’air est assimilé à un gaz parfait. Une bouteille d’acier,

munie d’un détendeur, contient un volume V1 = 60L d’air

comprimé sous P1 = 15bar et T1 = 298K.

On donne R = 3,814 J.K-1.mol-1, et Mair = 29 g.mol-1.

1. Calculer la quantité d’air contenue dans cette bouteille,

molaire et massique.

2. Quelle est la masse volumique de l’air comprimé dans ces

conditions ? Sa densité ?

3. Sachant que l’air peut être assimilé au mélange (en mol)

21% O2 (M(O) = 16g.mol-1), 78% N2 (M(N) = 14g.mol-1), et

1% de gaz nobles (Ar), calculer la masse de dioxygène

contenue dans cette bouteille.

4. On ouvre le détendeur à l’air atmosphérique (P2 = 1bar,

T2 = 298K). Quel volume d’air comprimé s’échappe de la

bouteille à température constante ?

Exercice 5Exercice 5Exercice 5Exercice 5 : Pompe à vide: Pompe à vide: Pompe à vide: Pompe à vide

Pour faire le vide dans une enceinte, contenant de l’air et de

volume V, on utilise une pompe à vide. Elle est composée d’un

cylindre à l’intérieur duquel se déplace, sans frottement, un

piston. Le volume maximum d’air admissible dans le corps de

pompe est V0, lorsque le piston est tiré complètement vers la

droite. Lorsqu’il est poussé complètement à gauche, le piston

peut atteindre le fond du cylindre. Deux soupapes, S1 et S2

permettent l’admission de l’air venant de l’enceinte et son

refoulement vers l’atmosphère extérieure dont la pression est P0.

Un moteur électrique déplace le piston qui fait un aller et un

retour quand le moteur a fait un tour. On assimilera l’air à un gaz

parfait dont la température T reste constante lors du

fonctionnement de la pompe. Au départ, la pression dans

l’enceinte est P0 = 1bar. On néglige le volume du tuyau reliant la

pompe à l’enceinte.

1. On étudie le premier aller-retour du piston. Au départ, la

pression dans l’enceinte est P0, le piston est poussé vers la

gauche. Puis, S2 étant ouverte et S1 fermée, il est tiré

complètement vers la droite. Lors du retour du piston, S1 est

ouverte et S2 fermée, l’air contenu dans le cylindre est

refoulé vers l’extérieur. Déterminer la pression P1 à la fin de

cette opération.

2. En reprenant le raisonnement précédent, déterminer la

pression P2, dans l’enceinte, après le deuxième aller-retour.

3. En déduire la pression PN à l’intérieur de l’enceinte au bout

de N aller-retours.

4. La fréquence de rotation du moteur est de 300 tours.min-1.

Déterminer le temps t pour obtenir une pression de 0,001

bar. On donne V = 10,0L et V0 = 50,0cm3.

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH1 / TH2 TH1 / TH2 TH1 / TH2 TH1 / TH2 –––– Bases de la Thermo Bases de la Thermo Bases de la Thermo Bases de la Thermo –––– Statique Statique Statique Statique –––– Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3

S1

S2

V0

V, T

Exercice Exercice Exercice Exercice 6666 : Thermomètre différentiel: Thermomètre différentiel: Thermomètre différentiel: Thermomètre différentiel

Deux réservoirs, notés respectivement (1) et (2) sont séparés

par un tube horizontal de faible section S comportant un index

de mercure de dimension négligeable, supposé incompressible, et

susceptible de se déplacer. Les deux compartiments contiennent

n0 moles d’un gaz parfait. A l’instant initial, t = 0, les enceintes

sont de même volume V0, les gaz à la température T0 et l’index au

centre O du tube. Le gaz (1) est porté et maintenu à la

température T1 (T1 > T0) alors que le gaz (2) est maintenu

constant à la température T0. L’index de mercure est ainsi déplacé

d’une longueur x.

1. Montrer qu’un tel dispositif peut faire office de

thermomètre différentiel en établissant la relation :

T1 - T0 = a.x, et exprimer a en fonction de S, V0 et T0.

2. A quel différentiel de température correspond un

déplacement de 5cm.

Données : T0 = 293K, S = 20mm2, V0 = 586mL.

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : Oscillations d’un piston: Oscillations d’un piston: Oscillations d’un piston: Oscillations d’un piston

Un tube cylindrique horizontal de section S et de longueur

2×L, est séparé en deux compartiments par un piston de masse m,

mobile sans frottement dans le tube. L’épaisseur de ce piston est

négligeable par rapport à la longueur du tube. Chaque

compartiment ainsi délimité contient la même quantité d’un gaz

parfait, à la température T0 et sous pression initiale P0. La

position du piston dans le tube est repérée par son abscisse x(t)

mesurée par rapport au milieu du tube. Lorsque le système est à

l’équilibre, le piston est donc en x = 0.

A la date t = 0, on écarte le piston d’une distante x(0) = d et

on le lâche sans vitesse initiale. Le piston est assimilé à un point

matériel. Le tube est fixe dans un référentiel d’étude supposé

galiléen. De plus, on fait l’hypothèse que le gaz est maintenu à

une température T0 constante dans le temps.

1. Faire le bilan des forces exercées sur le piston.

2. Etablir l’équation différentielle vérifiée par x(t).

3. On considère le cas de petits déplacements du piston :

x(t) << L. Quelle est alors la nature du mouvement du

piston ? Déterminer l’expression de la pulsation ω0 des

oscillations du piston.

FFFFluides Réels et luides Réels et luides Réels et luides Réels et Coefficients ThermoélastiquesCoefficients ThermoélastiquesCoefficients ThermoélastiquesCoefficients Thermoélastiques

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Gaz de Van Der Waals: Gaz de Van Der Waals: Gaz de Van Der Waals: Gaz de Van Der Waals

Lorsque la densité moléculaire augmente et que la distance

intermoléculaire diminue, il est impossible de négliger les

interactions entre les molécules : le modèle du gaz parfait est

inadapté.

Pour expliquer les propriétés des fluides réels, il est donc

essentiel de tenir compte des forces intermoléculaires : le

physicien hollandais J. Van Der Waals, prix Nobel de Physique

en 1910, a établi en 1873 leur origine électromagnétique. Ces

forces dérivent d’une énergie potentielle bien représentée, en

particulier dans le cas des gaz rares, par le potentiel de Lennard-

Jones : ( )12 6

0 004P

r rE r E

r r

= −

1. Interpréter l’allure de la fonction ( )PE r en distinguant les

termes de cette énergie potentielle. Dégager la signification

physique des termes correctifs de l’équation d’état d’un gaz

réel de Van Der Waals par rapport au modèle du gaz

parfait : ( )2 m

m

aP V b RT

V

+ − =

2. La portée de l’interaction ne dépasse pas le nanomètre.

Jusqu’à quelle pression est-il légitime de considérer le

comportement de l’argon comme celui d’un gaz parfait à

293K ? (On donne 23 11,38.10 .Bk J K− −= )

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : Gaz parfait et gaz réel de Dieterici: Gaz parfait et gaz réel de Dieterici: Gaz parfait et gaz réel de Dieterici: Gaz parfait et gaz réel de Dieterici

Une mole d’hélium occupe un volume V = 2,00L à T = 1000K.

1. Dans un premier temps, on suppose le gaz parfait. Quelle est

la pression de l’hélium ? (on rappelle que R = 3,814 uSI).

On suppose maintenant que l’hélium vérifie l’équation d’état du

modèle de Dieterici : ( ) expm

aP V b RT

RTV

− = −

.

(Avec 3 3 13, 4.10 . .a J m mol− −= et 5 32, 3.10b m−= )

2. Pour des basses pressions, on peut utiliser la simplification :

( ) 1

− = −

mm

AP V b RT

V

2.a) Retrouver l’équation d’état du gaz parfait si V → +∞

2.b) Déterminer A par un développement limité DL au

premier ordre en 1/V. (DL : pour x << 1, ex ≈ 1 + x)

2.c) Déterminer le sens physique de a et de b

3. Calculer dans ce nouveau modèle la pression de l’hélium

4. Exprimer l’écart relatif ( ) ( )( )m m GP

m GP

PV PV

PV

− et le calculer ici.

(2)

O x(t)

T0 Indice

(1)

T1

V2 V1

z

y

x(t) 2×L

g

Pour l’argon : 0

0

0,01

0,34

E eV

r nm

= =

( )191 1,6.10eV J−=

r r0 σ 0

( )PE r

0E−

Exercice Exercice Exercice Exercice 10101010 : Coef: Coef: Coef: Coefssss thermoélastiques d’un gaz réel thermoélastiques d’un gaz réel thermoélastiques d’un gaz réel thermoélastiques d’un gaz réel

Pour de faibles pressions, une mole d’un gaz obéit à

l’équation d’état simplifiée : PV = RT + bP, où R est la constante

des gaz parfaits et b une constante positive (le covolume).

1. que représente ce coefficient b ?

2. Exprimer les coefficients de dilatation isobare α et de

compressibilité isotherme χT de ce gaz.

Exercice Exercice Exercice Exercice 11111111 : Dilatation du mercure: Dilatation du mercure: Dilatation du mercure: Dilatation du mercure

Le mercure est, dans les conditions standards de température

et de pression, un liquide de coefficient de dilatation isobare α =

0,182.10-3 K-1. On chauffe un volume V0 = 1L de mercure, de la

température T0 = 20°C à la température T1 = 80°C, de manière

isobare. Le coefficient α est supposé constant dans ce domaine.

1. En supposant que le volume reste quasiment identique,

estimer la variation de volume δV subie par le mercure.

Quel est son volume final V1 ?

2. En utilisant la définition du coefficient α, établir la relation

générale donnant le volume V en fonction de la

température T, de T0 et de V0 (P constante). En déduire le

volume final V1’ dans ce cas.

3. En déduire pourquoi, dans un thermomètre, on a besoin d’un

petit réservoir de mercure pour alimenter la colonne (qui

est très fine).

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 12222 :::: Compression du mercureCompression du mercureCompression du mercureCompression du mercure

Le mercure est, dans les conditions standards de température

et de pression, un liquide de coefficient de compressibilité

isotherme χT = 38.10-12 Pa-1. On comprime un volume V0 = 1L de

mercure, de la pression P0 = 1bar à la pression P1 = 1000bar, de

manière isotherme. Le coefficient χT est supposé constant dans ce

domaine.

1. En supposant que le volume reste quasiment identique,

estimer la variation de volume δV subie par le mercure.

Quel est son volume final V1 ?

2. En utilisant la définition du coefficient χT, établir la relation

générale donnant le volume V en fonction de la pression P,

de P0 et de V0. En déduire le volume final V1’ dans ce cas.

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 13333 : Compression d’un volume d’eau: Compression d’un volume d’eau: Compression d’un volume d’eau: Compression d’un volume d’eau

A des pressions inférieures à 20 bar et des températures

entre 273K et 283K, le volume massique de l’eau liquide est

donné par l’équation d’état : ( ) ( ) ( )2

0 0 01v v a T T k bT P P = + − − − −

,

où 3 1

01 .v cm g −= ,

0 277T K= , et 0 1P bar= .

1. Quelles sont les unités dans le SI de a, b et k ?

Dans ce système : a = 8,25.10-6, b = 7,0.10-13, k = 6,94.10-10.

2. Montrer qu’à P constante, v passe par un minimum pour

une valeur Tm de la température. Calculer Tm pour P = P0.

3. Définir et calculer les coefficients thermoélastiques de l’eau

à P = 1bar et T = 283K

4. On prend désormais pour l’eau au voisinage de 277K et 1bar

un modèle incompressible et indilatable. Quelle est la

nouvelle équation d’état ?

Exercice 14Exercice 14Exercice 14Exercice 14 : Thermomètre à alcool: Thermomètre à alcool: Thermomètre à alcool: Thermomètre à alcool

Un thermomètre à alcool est porté à une température

maximale telle que son réservoir et sa colonne verticale sont

complètement remplis de liquide d’équation d’état V = f(P,T). On

donne les coefficients thermoélastiques supposés constants : 3 111,2.10 Kα − −= et 5 13,4.10T barχ − −= .

1. Montrer qu’une simple augmentation de température de

0,5°C suffit à créer une surpression considérable. Que se

passe-t-il ?

2. Etablir l’équation d’état de ce liquide. On pose V = V0 pour

P = P0 et T = T0.

3. Calculer l’écart relatif de volume 0

0

V V

V

− pour une

variation de 10K à pression fixée, ou pour une variation de

10bar à température fixée.

4. Conclure sur le modèle usuel choisi pour les états

condensés.

Exercice 15Exercice 15Exercice 15Exercice 15 : Thermomètre à gaz: Thermomètre à gaz: Thermomètre à gaz: Thermomètre à gaz

On utilise du dihydrogène sous pression fixée (faible de

manière à pouvoir l’assimiler à un gaz parfait). On étudie la

variation de son volume avec la température t (en °C) dans un

thermomètre entre 0°C et 30°C.

On trouve une loi expérimentale du type :

( )01V V tα= + ⋅ avec 11

2 7 3 ,1 5Cα −= ° .

1. Peut-on assimiler le α au coefficient de dilatation isobare

d’un gaz parfait ?

2. Retrouver pour H2 la proportionnalité du volume V avec la

température T(K). Quel est le coefficient de dilatation

isobare de ce gaz ?

3. De combien de pourcent varie le volume du gaz entre 0°C et

30°C. Que dire de la précision du thermomètre ?


Statique des FluidesStatique des FluidesStatique des FluidesStatique des Fluides –––– Fluide IncompressibleFluide IncompressibleFluide IncompressibleFluide Incompressible

Exercice 16Exercice 16Exercice 16Exercice 16 : Influence de la forme: Influence de la forme: Influence de la forme: Influence de la forme

Pour une même hauteur d’eau et à surface de fond identique,

comparer les forces de pression exercées sur les fonds des

récipients A et B.

Exercice 17 Exercice 17 Exercice 17 Exercice 17 :::: Remontée d’un cubeRemontée d’un cubeRemontée d’un cubeRemontée d’un cube

Un cube de masse volumique cubeρ est posé au fond de l’eau

de masse volumique eauρ . Pour qu’il puisse remonter à la surface

sous l’action de la poussée d’Archimède :

Il faut que cube airρ ρ< .

Il faut que cube airρ ρ> .

Il ne peut pas remonter à la surface.

ExerciceExerciceExerciceExercice 18 18 18 18 : : : : Equilibre de la feuilleEquilibre de la feuilleEquilibre de la feuilleEquilibre de la feuille ????

Un verre de diamètre supérieur d = 10cm et de volume V =

0,25L est rempli d’eau à ras bord. Une feuille de papier débordant

largement est posée sur le verre. Vous appliquez votre main sur

l’ensemble et retournez le tout. Lorsque vous enlevez votre main,

que se passe-t-il ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 11119999 :::: DensimètreDensimètreDensimètreDensimètre

Un densimètre, servant à mesurer la densité d’un liquide par

rapport à l’eau, est constitué d’un ballon sphérique de rayon R =

12mm, lesté et surmonté d’un tube cylindrique de rayon r =

2mm portant des graduations régulièrement espacées d’une

distance l. La masse totale du densimètre est notée M. Plongé

dans l’eau pure de masse volumique ρ0, le densimètre affleure à

l’équilibre la graduation n = 0 située à la base du tube. Plongé

dans du dissolvant de masse volumique ρ1, il affleure la

graduation n1 = 80. On note V le volume du ballon sphérique et v

le volume du tube délimité par deux graduations consécutives.

Données : ρ0 = 1 g.cm-3, ρ1 = 0,72 g.cm-3

1. En traduisant l’équilibre

du densimètre, déterminer

la relation entre ρ0, ρ1, V, v

et n1.

2. En déduire la valeur

numérique de v. En

déduire la distance l.

3. Le densimètre est maintenant plongé dans du benzène. Il

affleure à la graduation n2 = 28. En déduire d du benzène

par rapport à de l’eau.

Exercice Exercice Exercice Exercice 20202020 : Débordera: Débordera: Débordera: Débordera ? Débordera pas? Débordera pas? Débordera pas? Débordera pas ????

Un verre contenant un glaçon, de volume V et de masse

volumique μ est rempli à ras bord d’eau liquide de masse

volumique μ0.

1. Exprimer en fonction des données le volume vim du glaçon

immergé dans l’eau ainsi que le volume v du glaçon lorsqu’il

aura fondu.

2. Faire l’application numérique du pourcentage immergé

pour μ0 = 1g.cm-3 et μ = 0,92g.cm-3

3. Faut-il prévoir une éponge pour essuyer la table ? Que se

passe-t-il si à la place de l’eau il y a du whisky ? (densité de

l’alcool inférieur à celle de l’eau)

ExerciceExerciceExerciceExercice 21212121 : : : : Equilibre d’un bécherEquilibre d’un bécherEquilibre d’un bécherEquilibre d’un bécher

Le champ de pesanteur est

uniforme et d’intensité g. Le

milieu extérieur est l’atmosphère,

de pression et de température

constantes P0 et T0.

Un bécher cylindrique a les

caractéristiques suivantes :

Surface de base de rayon R = 3,5cm,

Hauteur H = 9cm

Masse à vide m = 98g.

Il contient un volume VA=100mL d’acide sulfurique concentré

H2SO4 de densité d=1,84. Il est placé dans un cristallisoir dans

lequel on verse progressivement de l’eau.

En faisant l’hypothèse qu’il existe toujours entre le fond du

cristallisoir et la base du bécher une fine pellicule d’eau, à

partir de quelle hauteur critique hC d’eau versée le bécher

risque-t-il de se mettre à flotter et de se renverser ?

Exercice 22Exercice 22Exercice 22Exercice 22 : Remplissage d’une citerne: Remplissage d’une citerne: Remplissage d’une citerne: Remplissage d’une citerne

Une citerne, destinée au transport d’un liquide de masse

volumique ρ = 2.103 kg.m-3, est divisée en compartiments

identiques communiquant entre eux par la partie inférieure (ceci

afin de imiter le mouvement du liquide lors du transport). Le

remplissage et la vidange

s’effectuent par le bas. Les

clapets situés à la partie

supérieure de chaque

compartiment sont ouverts

pendant le remplissage et la

vidange, et fermés pendant le

transport.

1. Le remplissage est effectué sous la pression

atmosphérique P0 = 1,0 bar et à une température t0 = 20°C. Au

cours du transport, la température s’élève à t1 = 70°C. Exprimer et

calculer la pression P1 atteinte par l’air qui surmonte le liquide

contenu dans la citerne.

2. Au cours du remplissage, l’un des clapets a été fermé

prématurément et il existe une dénivellation d = 2m entre le

niveau du liquide dans le compartiment correspondant et le

niveau général de la cuve. Exprimer puis calculer la pression

P2 dans le compartiment où s’est produit l’incident.

Eau

H2SO4

Cristallisoir

Eau

g

Eau g

h h g

Eau

d

g

Eau

????

ExerciceExerciceExerciceExercice 23232323 : : : : Oscillations d’un bouchon lestéOscillations d’un bouchon lestéOscillations d’un bouchon lestéOscillations d’un bouchon lesté

Un bouchon homogène,

de masse volumique μ, de

forme cylindrique de hauteur

H et de section S, est lesté par

une pastille de masse m fixée

sur sa base inférieure. A

l’équilibre dans l’eau de masse

volumique μ0, la hauteur du bouchon enfoncé dans l’eau est h.

1. Déterminer la relation liant h et les données de l’énoncé.

2. On enfonce le bouchon dans l’eau et on le lâche. Il se met à

osciller. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la

côte z(t) mesurant le déplacement vers le bas du bouchon

par rapport à l’équilibre.

3. Identifier la période T des oscillations en fonction des

données.

Exercice 24 Exercice 24 Exercice 24 Exercice 24 : : : : Cloche renverséeCloche renverséeCloche renverséeCloche renversée

On renverse une cloche cylindrique de section s, de hauteur

h et de masse m, et on la laisse descendre verticalement dans une

cuve d’eau. La cloche s’enfonce dans l’eau en emprisonnant l’air

qu’elle contenait et occupant initialement son volume intérieur.

A l’équilibre, la cloche flotte, la pression atmosphérique vaut P0

et la masse volumique de l’eau est ρ. L’épaisseur des parois de la

cloche est supposée négligeable.

1. Faire un bilan des forces s’exerçant sur la cloche, et éliminer

celles qui s’annulent deux à deux. En déduire une condition

d’équilibre pour la cloche.

2. Déterminer les hauteurs x et y repérant les surfaces libres de

l’eau par rapport aux bords de la cloche.

3. A quelle condition sur le

volume V0 = hS de la cloche

celle-ci peut-elle flotter ?

4. Qu’y a-t-il de changé si on

tient compte de l’épaisseur

des parois ?

ExerciceExerciceExerciceExercice 2 2 2 25555 : : : : Fluide en rotation uniformeFluide en rotation uniformeFluide en rotation uniformeFluide en rotation uniforme

Une cuve cylindrique de rayon R contient une hauteur h

d’eau, fluide incompressible et homogène, de masse volumique ρ.

Elle est mise en rotation à une vitesse angulaire ω constante

autour de son axe de symétrie Oz et, au bout de quelques

instants, un état d’équilibre relatif est atteint dans le référentiel

tournant (R’) de la cuve. Le PFS appliqué en coordonnées

cylindriques (r,θ,z) lié au référentiel R’ donne l’équation pour la

force volumique :

, , ,

1r z V

z r z r

P P Pe e e f

r r zθθ θθ

∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂

1. Expliquer pourquoi le fluide tourne avec la cuve et est

immobile dans R’ à l’équilibre ?

2. Quelles sont les forces volumiques exercées sur la particule.

3. Résoudre les équations différentielles et trouver l’équation

de la surface libre.

Statique des Fluides Statique des Fluides Statique des Fluides Statique des Fluides –––– Fluide Compressible Fluide Compressible Fluide Compressible Fluide Compressible

ExerciceExerciceExerciceExercice 26 26 26 26 : : : : Modèle Modèle Modèle Modèle idéal idéal idéal idéal de l’atmosphère isothermede l’atmosphère isothermede l’atmosphère isothermede l’atmosphère isotherme

1. En supposant l’atmosphère isotherme (sur quelques

centaines de mètres), redémontrer l’évolution de la pression

en fonction de z.

2. Calculer la valeur de P pour z = 250m, z = 500m et z =

1000m, et tracer son évolution entre la surface et 1000m

d’altitude. On donne P0 = 1bar, T0 = 293K (valeurs de T et P

au sol), g = 9,8m.s-2, Mair = 29g.mol-1, et R = 8,314 uSI.

ExerciceExerciceExerciceExercice 27 27 27 27 : : : : Modèle Modèle Modèle Modèle plus réaliste plus réaliste plus réaliste plus réaliste pour la troposphèrepour la troposphèrepour la troposphèrepour la troposphère

Selon le modèle de l’Atmosphère Standard Internationale

(ISA), on admet que dans la troposphère (entre 0 et 11km

d’altitude), la température T varie avec l’altitude z selon une loi

de la forme : 0

T T A z= + ⋅ , où 0

T est la température au sol

et A une constante. L’air est assimilé à un GP (M = 29g.mol-1).

Données : 0

15T C= ° , 0

101325P Pa= , 29,80 .g m s −= ,

16,5 .dT

K kmdz

−= − et 8,314 SIR u=

1. Etablir la loi de variation de P(z)

2. AN : Calculer T1 et P1 à 11km d’altitude

ExerciceExerciceExerciceExercice 2 2 2 28888 : : : : Double vitrageDouble vitrageDouble vitrageDouble vitrage

Un double vitrage est constitué de deux vitres séparées par

de l’air emprisonné à la pression atmosphérique du lieu de

fabrication, qui se trouve au niveau de la mer : P0 = 1,013bar. Il

ne peut pas résister à un écart relatif entre la pression intérieure

et la pression extérieure supérieur à 10%.

En supposant que l’air atmosphérique suit la loi de

l’équilibre de l’atmosphère isotherme, jusqu’à quelle

altitude maximale hmax peut-il être transporté sans risque ?

ExerciceExerciceExerciceExercice 29 29 29 29 : : : : Atmosphère dAtmosphère dAtmosphère dAtmosphère de température variablee température variablee température variablee température variable

L’atmosphère terrestre est assimilée à un gaz parfait placé

dans le champ de pesanteur uniforme et constant (g0 = 9,81m.s-2)

1. Soit dP la variation de pression lorsque l’on se déplace

verticalement de dz à partir du point M(z). L’axe Oz est

ascendant et l’origine est au niveau de la mer. Démontrer la

relation ( ) 0dP z g dzρ= −

2. La température de l’air varie en fonction de l’altitude selon

la loi ( ) 0

0

AzT z

z z=

+, où A et z0 sont des constantes

positives. Préciser leurs unités, et donner la signification

physique de A.

3. La température baisse de 7,5K lorsque l’on s’élève de 1 km à

partir du niveau de la mer où T = T0 = 273K, et

P = P0 = 105Pa. Calculer A et z0.

4. Déterminer la pression à l’altitude z.

5. Application numérique sur l’Everest : z = 8847m,

R = 8,314 uSI, Mair = 29g.mol-1.


Eau h

y

x

Air, P

Air P0 S

ExerciceExerciceExerciceExercice 30 30 30 30 : : : : Altitude plafond d’unAltitude plafond d’unAltitude plafond d’unAltitude plafond d’un ballon sonde ballon sonde ballon sonde ballon sonde

On considère le modèle de l’atmosphère isotherme à la

température t0 = 20°C, pour lequel la pression P à l’altitude z est

donnée par la relation P(z) = P0 exp(-z/H), où P0 = 1,00bar est la

pression au niveau du sol et H = 8,6km. Un ballon sonde est

constitué d’une enveloppe en aluminium, de volume fixe V = 3L,

de masse m = 2,00g, gonflée avec de l’hélium à la pression PHe =

1bar. Données : Mair = 29g.mol-1 et MHe = 4g.mol-1

1. Calculer la masse d’hélium mHe contenu dans le ballon.

2. Déterminer l’expression puis calculer la pression P1 de l’air à

l’altitude à laquelle le ballon-sonde va se stabiliser.

3. En déduire l’altitude plafond z1 atteinte par le ballon-sonde.

Statique des Fluides Statique des Fluides Statique des Fluides Statique des Fluides –––– Calcul Forces de Pression Calcul Forces de Pression Calcul Forces de Pression Calcul Forces de Pression

ExerciceExerciceExerciceExercice 31 31 31 31 : : : : Etude d’un corps flottantEtude d’un corps flottantEtude d’un corps flottantEtude d’un corps flottant

Soit un verre ABCD de forme cylindrique, de masse m à

vide, de hauteur intérieure H et de sections intérieure s et

extérieure S. On remplit complètement ce verre avec de l’eau,

puis on ferme avec la main la surface libre AD pour le retourner

sur une cuve à eau en l’enfonçant d’une hauteur h.

Quelle est la force appliquée par l’opérateur pour le maintenir à

l’équilibre ?

Faire le calcul par un bilan des forces pressantes

Faire le calcul avec le théorème d’Archimède

ExerciceExerciceExerciceExercice 32 32 32 32 : Pression sur la paroi d’une piscine: Pression sur la paroi d’une piscine: Pression sur la paroi d’une piscine: Pression sur la paroi d’une piscine

La paroi d’une piscine (en kit, hors sol), est schématisée ci-

contre. L’angle α vaut 30°. La hauteur d’eau est de h = 2m. La

pression atmosphérique locale est P0 = 1bar. On donne 11 .eau kg Lρ −= et 29,80 .g m s −= .

Calculer la résultante des

forces de pression

s’exerçant sur cette

paroi, de longueur L =

5m.

ExerciceExerciceExerciceExercice 33 33 33 33 : : : : Pression sur une demi boulePression sur une demi boulePression sur une demi boulePression sur une demi boule

a) Calcul directa) Calcul directa) Calcul directa) Calcul direct

Soit une demi boule

métallique de rayon R = 1m,

posée sur un sol plat et baignant

dans l’air.

Calculer la force pressante résultante de l’air atmosphérique

sur cette demi-boule, après avoir précisé sa direction et son sens.

bbbb) ) ) ) Par le théorème d’ArchimèdePar le théorème d’ArchimèdePar le théorème d’ArchimèdePar le théorème d’Archimède

La même demi boule est

maintenant immergée au fond

d’une piscine, toujours sur un

sol plat.

1. Peut-on utiliser un calcul direct pour obtenir la résultante

des forces de pressions ? Et est-ce commode ?

2. Pourquoi, pour appliquer le théorème d’Archimède, faut-il

supposer qu’il existe un filet d’eau entre la demi-boule et le

fond ?

3. Quelle est la poussée d’Archimède exercée sur la demi-

boule ? En déduire la force pressante résultante sur la paroi

demi-sphérique.

ExerciceExerciceExerciceExercice 34 34 34 34 : : : : Force sur un barrageForce sur un barrageForce sur un barrageForce sur un barrage

Un barrage droit permet de réaliser une retenue d’eau sur

une profondeur H et une largeur L. La pression de l’air est P0, et

la masse volumique de l’eau est constante et vaut ρ0.

1. Exprimer la loi donnant la pression P qui règne dans l’eau

selon la hauteur z.

2. Déterminer la résultante

eauF

des efforts de

pression qu’exerce l’eau

sur le barrage en

fonction de ρ, g, L et H

et P0.

3. Déterminer le centre de poussée C

4. Le profil du barrage est modifié. Il correspond à une courbe

C d’équation z = f(x). La hauteur d’eau demeure H et la

largeur L. On notera x0 l’abscisse du point le plus haut de la

courbe C atteint par l’eau. Donner la nouvelle expression

des composantes de eauF

par un calcul direct.

5. Application à un profil

parabolique 2x

zh

= .

6. Commenter les valeurs

obtenues pour la

composante suivant x de

eauF

dans les deux cas.

7. Ne voyez-vous pas une méthode rapide pour calculer la

valeur de la composante suivant x de la force de pression

avec un profil quelconque inconnu ? (pensez à isoler une

partie de fluide adaptée)

R

Air (P0)

Métal

z

R

Eau

Métal

z

h

Eau

z

H

P0 g

x O

Eau

z

H

P0

g

x O

A

Courbe C

Eau

H

A

h

Air, P0

B C

D s

S

B’ C’

A’ D’

h

Air

α

Air Eau

e

BasBasBasBases de la Thermoes de la Thermoes de la Thermoes de la Thermo : Gaz Parfaits: Gaz Parfaits: Gaz Parfaits: Gaz Parfaits

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : Pression d’un pneu: Pression d’un pneu: Pression d’un pneu: Pression d’un pneu

1. Chauffage à t2 = 57°C 22 1

1

2,2T

P P barT

⇒ = ⋅ = .

2. Il ramène à P1 = 2,0bar, 11 1

2

1,8T

P P barT

′⇒ = ⋅ =

3. Pmax = 6bar maxmax 1

1

900P

T T KP

⇒ = ⋅ = / max

627t C= °

ExerExerExerExercice 2cice 2cice 2cice 2 : Dissociation du Brome à haute T: Dissociation du Brome à haute T: Dissociation du Brome à haute T: Dissociation du Brome à haute T

1. Volume 00

0

0,9612

mRTV L

MP⇒ = =

2. Dissociation plus de molécule de gaz. On sait que le

comportement d’un gaz parfait est le même pour tous les

gaz (à faible pression), le Br2 entièrement dissocié prendrait

2 fois plus de place (car les atomes Br seraient seuls).

3. Dissociation partielle : Si x molécules de Br2 se dissocient,

alors il se forme 2x molécules de Br et il reste n0-x

molécules de Br2. Ainsi : ( )0 02gaz

PVn n x x n x

RT= − + = + = .

Coef de dissociation : 0 0

0 0 0

1 0,24gazn n Vx

n n Vα

′−= = = − =

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3 : Vidange d’un réservoir d’air comprimé: Vidange d’un réservoir d’air comprimé: Vidange d’un réservoir d’air comprimé: Vidange d’un réservoir d’air comprimé

1. Equilibrage des pressions : 01 9,2

PV pvP bar

V v

+= =

+

2. Nouvelle pression : 11 8,5

PV pvP bar

V v

+= =

+

3. Récurrence : 1

nn

P V pvP

V v+

+=

+ Pression limite P∞ = p.

Exercice 4Exercice 4Exercice 4Exercice 4 : Ouverture d’une bouteille d’air comprimé: Ouverture d’une bouteille d’air comprimé: Ouverture d’une bouteille d’air comprimé: Ouverture d’une bouteille d’air comprimé

1. Quantité d’air : 1 1

1

36,3 1,05PV

n mol m nM kgRT

= = = =

2. Masse volumique : 31

1 1

17,6 .MPm

kg mV RT

ρ −= = =

Attention, la densité pour un gaz est la comparaison de sa masse

volumique par rapport à celle de l’air dans les mêmes conditions.

Ici, on a donc d = 1 !!! (Question piège)

En règle générale, on aura 129 .air air

M Md

M g mol

ρρ −= = =

3. Bouteille, 2 2 20 0 0

0,21 0,21 0,24n n m n M kg= ⇒ = ⋅ =

4. Volume : 1 1 2 2 2

900nRT PV PV V L= = ⇒ =

Exercice 5Exercice 5Exercice 5Exercice 5 : : : : Pompe à videPompe à videPompe à videPompe à vide

1. Même méthode que dans le TD – conservation de la

quantité : 1 0

0

VP P

V V⇒ = ⋅

+

2. De même :

2

2 1 1

0 0

V VP P P

V V V V

⇒ = ⋅ = ⋅ + +

3. N aller-retours : 1

0

N

N

VP P

V V

⇒ = ⋅ +

4. On a 1

0

ln

1385

ln

NP

PN

V

V V

= =

+

,

ExerciceExerciceExerciceExercice 6 6 6 6 : Thermomètre différentiel: Thermomètre différentiel: Thermomètre différentiel: Thermomètre différentiel

1. Deux lois des GP : ( )( )

0 0 1

0 0 0

f

f

P V Sx n RT

P V Sx n RT

+ =

− =

, les gaz étant à

l’équilibre mécanique (pression égale au milieu pour avoir

l’équilibre de l’indice de mercure), mais pas à l’équilibre

thermique, qui est plus lent.

Ainsi : ( )( )

011 0

0 0 0 0

1 1V SxT Sx Sx

T TT V Sx V V

+ = ⇒ − = + −

D’où : ( ) ( )1 0 1 0 1 0 0

0 0 0

2Sx Sx Sx

T T T T T T TV V V

− = + = − +

Et ( )1 0

0

1Sx

T TV

− − 0 1 0 0

0 0

2 2Sx S

T T T T xV V

= ⇒ − =

On a bien 1 0

T T ax− = , avec 10

0

20,2 .

T Sa C cm

V−= = °

2. Pour x = 5cm, on a bien 3

0

1,7.10 1Sx

V−= ≪ et bT = 1°C.

Ce type de thermomètre est donc très précis, pour mettre en

évidence de petites différences de températures.

Exercice 7Exercice 7Exercice 7Exercice 7 : Oscillations d’un piston: Oscillations d’un piston: Oscillations d’un piston: Oscillations d’un piston

1. Forces … Poids compensé par la réaction du support

(vertical), Pression à droite et à gauche du piston.

Ainsi :

( )0 0 0 0

1

1

n RT n RTP

V S L x= =

+ et

( )0 0 0 0

2

2

n RT n RTP

V S L x= =

−

2. PFD : 0 0 0 01 2

n RT n RTP S P S mx

L x L x− = = −

+ −ɺɺ

Ainsi : 0 0

1 1mx PV

L x L x

= − + − ɺɺ

3. Petits déplacements, on utilise un développement limité :

11

1α

α≈ −

+ et 1

11

αα

≈ +−

, d’où

0 0 0 0 0 0

2

21 11 1

1 1

P V P V xP Vx xmx

x xL L L L LL L

= − = − − − = − + −

ɺɺ

Et ainsi, oscillateur harmonique 0 0

2

20

PVx x

mL+ =ɺɺ , 0 0

0 2

2PV

mLω =

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH1 / TH2 TH1 / TH2 TH1 / TH2 TH1 / TH2 –––– Bases de la Thermo Bases de la Thermo Bases de la Thermo Bases de la Thermo –––– Statique Statique Statique Statique –––– Feuille 1/ Feuille 1/ Feuille 1/ Feuille 1/2222

277 4,62 min300

Nt s⇒ = = =

Fluides Réels et Coefficients ThermoélastiquesFluides Réels et Coefficients ThermoélastiquesFluides Réels et Coefficients ThermoélastiquesFluides Réels et Coefficients Thermoélastiques

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Gaz de Van Der Waals: Gaz de Van Der Waals: Gaz de Van Der Waals: Gaz de Van Der Waals

1. Terme en 1/r12 répulsif à faible distance

Terme en 1/r6 attractif à moyenne distance

Dérivée nulle pour r = σ = 3,8.10-10m (dériver l’Ep…)

1er Terme correctif : covolume b = volume minimal d’une

molécule, du à la force répulsive à faible distance.

2nd Terme correctif : pression moléculaire 2

2m

n aP

V

−= , qui

atténue la pression cinétique (du GP) à moyenne distance

en raison de la force d’attraction entre les molélcules.

2. Limite de validité pour l’argon :

On a BPV Nk T= , pour 1 molécule de volume sphérique

de rayon r = 1nm, cela donne max

3

min

94

3

Bk TP bar

rπ= =

(En réalité, on peut aller largement plus haut…)

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : Gaz parfait et gaz réel de Dieterici: Gaz parfait et gaz réel de Dieterici: Gaz parfait et gaz réel de Dieterici: Gaz parfait et gaz réel de Dieterici

1. GP : 41, 6= =nRTP bar

V.

2. Simplification : ( ) ( )1− = −m mP V b RT A V

2.a) Si V → +∞ , on retrouve PV = nRT.

2.b) DL : ( ) exp 1m

a aP V b RT RT

RTV RTV

− = − ≈ −

Donc aA

nRT=

2.c) b : covolume, -a/Vm2 : Pression moléculaire (voir cours)

3. Avec ce modèle P = 42bar (expression simplifiée ou non)

4. Ecart relatif ( ) ( )( )

1,13%

− − = =m m GP

m GP

an b

PV PV RTPV V

Exercice 10Exercice 10Exercice 10Exercice 10 : Coefs thermoélastiques d’un gaz réel: Coefs thermoélastiques d’un gaz réel: Coefs thermoélastiques d’un gaz réel: Coefs thermoélastiques d’un gaz réel

1. b : Volume minimal d’une molécule (voir cours).

2. Dilatation isobare 1 1α ∂ = = ⋅ = ∂ + P

V R R

V T V P RT Pb

Compressibilité isotherme 2

1 1χ ∂ − = − = ⋅ = ∂ + T

T

V RT V b

V P V P RT Pb

Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Dilatation du mercure: Dilatation du mercure: Dilatation du mercure: Dilatation du mercure

1. Volume quasi constant,

1

10,9

1,011

δ α≈ ⋅ ∆ = =

V V T mL

V L.

2. Avec 1α α∂ = ⇒ = ⋅ ∂ P

V dVdT

V T V

On intègre : ( )( )0

0

00 1

ln1,011

α

α− = ⋅ = − ⇒ ′ =

T TV V eVT T

V V L

Cela donne exactement le même résultat (bonne approx)

3. Besoin d’un réservoir car même si le mercure a une forte

dilatation (par rapport aux autre liquides), elle reste faible

(1%) et il faut un grand V de mercure pour la percevoir.

Exercice 12Exercice 12Exercice 12Exercice 12 : Compression du mercure: Compression du mercure: Compression du mercure: Compression du mercure

1. Volume quasi constant,

1

3,8

996, 2

δ χ≈ − ⋅ ∆ = − =

TV V P mL

V mL.

2. Avec 1χ χ∂ = − ⇒ = − ⋅ ∂ T T

T

V dVdP

V P V

On intègre : ( )( )0

0

00 1

ln996,2

χ

χ− − = ⋅ = − − ⇒

′ =

T P P

T

V V eVP P

V V mL

Egalement une bonne approximation

Exercice 13Exercice 13Exercice 13Exercice 13 : Compression d’un volume d’eau: Compression d’un volume d’eau: Compression d’un volume d’eau: Compression d’un volume d’eau

1. a = 8,25.10-6 K-2, k = 6,94.10-10 Pa-1 et b = 7,0.10-13 Pa-1.K-1.

2. On dérive : ( ) ( )0 0 02 0P

VV a T T b P P

T

∂ = − + − = ∂

Cela donne : ( )0 02m

bT T P P

a= − − , il s’agit bien d’un

minimum, car la dérivée seconde est positive = 2aV0.

Pour P = P0, on a Tm = T0 = 277K = 4°C.

3. Coefficients thermoélastiques : 1 1

1 1

P P

T

T T

V v

V T v T

V v

V P v P

α

χ

∂ ∂ = = ∂ ∂

∂ ∂ = − = − ∂ ∂

D’où : ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

0 0 0

2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

2 2

1 1

1 1

P P

T T P P

a T T b P P a T T

a T T k bT P P a T T

k bT k bT

a T T k bT P P a T T

α α

χ χ

=

=

− + − −= = =

+ − − − − + −

− − = = = + − − − − + −

AN : α = 9,9.10-5 K-1, et χT = 4,96.10-10 Pa-1.

4. Valeurs faibles des coefs v = v0 = constante

EEEExercice 14xercice 14xercice 14xercice 14 : Thermomètre à alcool: Thermomètre à alcool: Thermomètre à alcool: Thermomètre à alcool

1. Equation d’état à partir des coefficients thermoélastiques, V

étant une fonction de 2 variables : (voir cours de maths…)

T

P T

V VdV dT dP VdT VdP

T Pα χ∂ ∂ = + = − ∂ ∂

Réservoir plein : 0 165

T

TdV P bar

αχ∆= ⇒ ∆ = =

C’est énorme, le réservoir va exploser, il faut laisser de l’air.

2. Equation d’état : On sépare les variables pour intégrer

( ) ( )0 0

0

lnT T

dV VdT dP T T P P

V Vα χ α χ

= − ⇒ = − − −

3. Ecart relatif : ( ) ( )0

0 0

0

exp 1T

V Ve T T P P

Vα χ

− = = − − − −

Variation de 10K à pression fixée : e = 11,8%

Variation de 10bar à température fixée : e = 0,08%.

4. Le modèle incompressible est validé, mais l’indilatable est

plus douteux…

Exercice 15Exercice 15Exercice 15Exercice 15 : Thermom: Thermom: Thermom: Thermomètre à gazètre à gazètre à gazètre à gaz

1. Pour un GP : 1 1α α∂ = = ≠ ∂ P

V

V T T Notion différente

2. Mais ( )0 01V V t V Tα α

α= ⋅ + = ⋅ Proportionnalité.

Dilatation isobare 0

0

1ααα

⋅= =⋅

V

TV T

On retrouve le GP.

3. De 0°C à 30°C, variation de 10% Forte variation / précis

Statique des FluidesStatique des FluidesStatique des FluidesStatique des Fluides –––– Fluide Incompressible Fluide Incompressible Fluide Incompressible Fluide Incompressible

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 16666 : : : : Influence de la formeInfluence de la formeInfluence de la formeInfluence de la forme

La pression ne dépend QUE de la hauteur d’eau dans le

récipient, donc la pression de l’eau sur le fond est la même dans

les deux cas. Et puisque la surface est la même, la force de

pression (F = P × S) est la même.

Exercice 17 Exercice 17 Exercice 17 Exercice 17 : : : : Remontée d’un cubeRemontée d’un cubeRemontée d’un cubeRemontée d’un cube

Le cube NE PEUT PAS remonter à la surface, puisque il n’est

pas immergé dans le fluide, donc ne subit pas de poussée

d’Archimède. Le fluide ne fait qu’exercer son poids sur le cube, il

est comme « aspiré » par le fond.

Cependant, dans la réalité, c’est quasiment impossible. Il

suffit d’un filet d’eau passant sous le cube pour qu’il remonte

dans le cas où il est plus léger que l’eau. S’il est plus lourd, dans

tous les cas il restera au fond.

ExerciceExerciceExerciceExercice 18 18 18 18 : : : : Equilibre de la feuilleEquilibre de la feuilleEquilibre de la feuilleEquilibre de la feuille ????

Prenons le cas où le verre est retourné à la verticale pour

simplifier les explications. La feuille est soumise à son poids

(négligeable), à la force exercée par l’eau sur elle, égale au poids

de l’eau Peau = mg = 2,5N, et finalement à la pression de l’air

extérieur (Fair = P0S = P0 × π × (d/2)^2 = 785N.

On remarque que la pression de l’air est supérieure à la force

de l’eau sur la feuille, donc le fluide reste en haut !!! Une fois de

plus, cette situation ne se retrouve presque jamais dans la réalité.

Exercice 19Exercice 19Exercice 19Exercice 19 : Densimètre: Densimètre: Densimètre: Densimètre

1. ( )0 1 1ρ ρ= +V V n v .

2. 30

1 1

1 35,2ρρ

= − =

Vv mm

n, d’où l = 2,8mm.

3. Benzène :

2

0,88= =+V

dV n v

Exercice 20Exercice 20Exercice 20Exercice 20 : Débordera: Débordera: Débordera: Débordera ? Débordera pas? Débordera pas? Débordera pas? Débordera pas ????

1./2.

0

92%µµ

= = ⋅imv V V . Fondu, le glaçon occupera le

volume V (équivalent au volume du fluide déplacé qui

compense parfaitement le poids du glaçon).

3. Pas la peine d’avoir une éponge… cela ne va pas déborder.

Dans le whisky, qui est moins dense que l’eau, le fluide

déplacé aura un volume plus grand pour compenser le poids

duglaçon. Quand le glaçon redevient liquide, le niveau va

donc baisser.

Exercice 21Exercice 21Exercice 21Exercice 21 : : : : Equilibre d’un bécherEquilibre d’un bécherEquilibre d’un bécherEquilibre d’un bécher

La poussée d’Archimède eauhS gρΠ = − ⋅

(le fluide est bien

immergé grâce au filet d’eau sous le bécher) doit être supérieure

au poids de l’ensemble A eauP m g V d gρ= ⋅ + ⋅

Ainsi : 2

7,33A eauC

eau

m V dh h cm

R

ρρ π+

> = =

Exercice 22Exercice 22Exercice 22Exercice 22 : Remplissage d’une citerne: Remplissage d’une citerne: Remplissage d’une citerne: Remplissage d’une citerne

1. 11 0

0

1,2T

P P barT

= =

2. La pression dans le fluide ne dépend que de la hauteur, donc

2 01,4P P gd barµ= + = (Le gaz absorbe bien les

variations de pression)

ExerciceExerciceExerciceExercice 23 23 23 23 : : : : Oscillations d’un bouchon lestéOscillations d’un bouchon lestéOscillations d’un bouchon lestéOscillations d’un bouchon lesté

1. PFS… 0

hS m HSµ µ= +

2. PFD… 0hz gz+ =ɺɺ 3. 2 hTg

π=

Exercice 24 Exercice 24 Exercice 24 Exercice 24 : : : : Cloche renverséeCloche renverséeCloche renverséeCloche renversée

1. Forces : Toutes les forces horizontales s’annulent 2 à 2

(pression de l’air extérieur, de l’air intérieur, de l’eau). Il

reste 3 forces verticales : Poids : zP mg e= − ⋅

Pression de l’air extérieur : 0ext zF P S e= − ⋅

Pression de l’air intérieur : int zF PS e= + ⋅

Equilibre : PFS ( )int 00ext zP F F mg P S PS e+ + = = − − + ⋅

Il faut donc 0

mgP P

S= +

2. Le gaz à l’intérieur est celui qui occupe tout le volume de la

cloche à l’air ambiant (P0) : ( ) 0P h y S nRT P hS− = = ,

cela donne 0

1

1

y hP S

m g

=+

et on a dans le fluide :

( )0P P g x yρ= + − , donc 0

01ρ ρ−= + = +

+

P P h mx y

PSg gmg

.

3. Il faut x < h, ce qui donne 0

0

1C C

mgmV V avec V

P Sρ

> = +

4. Si on tient compte de l’épaisseur des parois, on a une force

verticale vers le haut sur les parois, et les surfaces sur

lesquelles s’exercent l’air en haut sont différentes.

ExerciceExerciceExerciceExercice 25 25 25 25 : : : : Fluide en rotation uniformeFluide en rotation uniformeFluide en rotation uniformeFluide en rotation uniforme

1. Le fluide tourne également car il adhère par l’intermédiaire

de la viscosité aux parois. Il y aura un régime transitoire au

moment de la mise en rotation, avant qu’il s’immobilise

dans le référentiel tournant…

2. Forces volumiques : poids vP zf g eρ= − ⋅

et inertie

d’entrainement (centrifuge) 2

vC rf r eρω= + ⋅

.

PFS : 2

, , ,

1θ

θ θ

ρω ρθ

∂ ∂ ∂ + + = + = ⋅ − ⋅ ∂ ∂ ∂

r z vP vC r zz r z r

P P Pe e e f f r e g e

r r z

3.

2

0 P ne dépend pas de

ρωθ θ

ρ

∂ ∂ =∂ ∂ = ⇒∂ ∂ = −

P r r

P

P z g

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH1 / TH2 TH1 / TH2 TH1 / TH2 TH1 / TH2 –––– Bases de la Thermo Bases de la Thermo Bases de la Thermo Bases de la Thermo –––– Statique Statique Statique Statique –––– Feuille 2/ Feuille 2/ Feuille 2/ Feuille 2/2222

Pour une fonction de plusieurs variables : (voir cours de math)

2ρω ρ∂ ∂ = + = ⋅ − ⋅ ∂ ∂ z z

P PdP dr dz r dr g dz

r z

Cette expression s’écrit : 2 21

2ρω ρ = −

dP d r gz et s’intègre :

( ) 2 21,

2ρω ρ= − +P r z r gz Cstte

Ainsi, sur la surface libre : ( ) 2 20

1,

2ρω ρ= = − +P r z P r gz Cstte

Et la constante : 2 20 0 min

1

2ρω ρ ρ= − + = +Cstte P r gz P gz

Ainsi : ( )2 2

min,2

ωθ∀ = +rz r z

g Paraboloïde de révolution

Statique des Fluides Statique des Fluides Statique des Fluides Statique des Fluides –––– Fluide Compressible Fluide Compressible Fluide Compressible Fluide Compressible

Exercice 26 Exercice 26 Exercice 26 Exercice 26 : : : : Modèle idéal de l’atmosphère isothermeModèle idéal de l’atmosphère isothermeModèle idéal de l’atmosphère isothermeModèle idéal de l’atmosphère isotherme

1. Voir TD : ( ) ( )

0

dP z MPz g g

dz RTρ= − =− et 0

0

−= ⋅

Mgz

RTP P e

2. AN : ( )

( )

( )

250

500

250

0,97

0,94

0,89

=

=

=

= = =

z m

z m

z m

P bar

P bar

P bar

Exercice 27 Exercice 27 Exercice 27 Exercice 27 : : : : Modèle plus réaliste pour la troposphèreModèle plus réaliste pour la troposphèreModèle plus réaliste pour la troposphèreModèle plus réaliste pour la troposphère

1. On a ( ) = −dP z MP

gdz RT

( )

0

⇒ ⋅ =−+

dP zR dz

Mg P T Az

On intègre : 0

0

1

Mg

ARAP P z

T

−

= +

2. AN : A z=11km, 1 0,226=P bar et 1 216 57T K C= = − °

Exercice 28 Exercice 28 Exercice 28 Exercice 28 : : : : Double vitrageDouble vitrageDouble vitrageDouble vitrage

Atmosphère isotherme 00

−= ⋅

Mgz

RTP P e hmax = 843m.

Exercice 29 Exercice 29 Exercice 29 Exercice 29 : : : : Atmosphère de température variableAtmosphère de température variableAtmosphère de température variableAtmosphère de température variable

1. Démonstration de ( ) 0dP z g dzρ= − … Voir Cours…

2. A en K, est la température T0 au sol (z = 0), et z0 en m.

3. On donne A = T0 = 273K et dT/dz = -A/z0 z0 = 36,4km.

4. Pression ( )2

00

0 0

exp2

Mg zP z P z

RT z

= − +

5. AN sur l’Everest : P = 0,29bar.

ExerciceExerciceExerciceExercice 30 30 30 30 : : : : Altitude Altitude Altitude Altitude plafond d’un ballon sondeplafond d’un ballon sondeplafond d’un ballon sondeplafond d’un ballon sonde

1. Masse d’hélium : mHe = 0,5g.

2. Stabilisation : 01

0,70He

air

RT m mP bar

M V

+ = =

3. Plafond : z1 = 3km

Statique des Fluides Statique des Fluides Statique des Fluides Statique des Fluides –––– Calcul Forces de Pression Calcul Forces de Pression Calcul Forces de Pression Calcul Forces de Pression

ExerciceExerciceExerciceExercice 31 31 31 31 : : : : Etude d’un corps flottantEtude d’un corps flottantEtude d’un corps flottantEtude d’un corps flottant

Bilan des forces : les F horizontales s’annulent, et à la verticale :

( )( ) ( )( )0 0 0 0ρ ρ− − + − + + − − − =opF Mg PS S s P gh s P g H h e

( )( )ρ = + − − ⋅

op zF Mg g s H e Sh e

Avec Archimède : ρΠ = + ⋅

zShg e , mais attention au solide qui

déplace l’eau (on doit isoler le verre plus l’eau qu’il contient),

donc le poids du système est ( )( )ρ= − + − ⋅

zP M s H e g e

PFS… ( )( )ρ = + − − ⋅

op zF Mg g s H e Sh e

Remarque : La pression de l’air a été supposée constante, ce qui

équivaut à dire que la poussée d’Archimède due à l’air est nulle.

Exercice 32Exercice 32Exercice 32Exercice 32 : Pression sur la paroi d’une piscine: Pression sur la paroi d’une piscine: Pression sur la paroi d’une piscine: Pression sur la paroi d’une piscine On découpe la paroi en surface élémentaire dS horizontale :

cosα= ⋅ = ⋅ dz

dS L dl L et on intègre pour z variant de 0 à h.

Chaque surface est soumise à la pression de l’air P0 et à celle de

l’eau P0 + ρgz en sens opposé. Ainsi :

( )0 0ρ= + − ⋅

dF P gz P dS (dS orienté de l’eau vers l’extérieur)

Ainsi : 2

5

0 01,1.10

cos 2cos

ρρ ρα α

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =∫ ∫ l l dz gLhF gz dS gz L n n N

ExerciceExerciceExerciceExercice 33 33 33 33 : : : : Pression sur une demi boulePression sur une demi boulePression sur une demi boulePression sur une demi boule

a) Calcul directa) Calcul directa) Calcul directa) Calcul direct

Pression de l’air : verticale vers le bas,

on intègre seulement sur cette direction :

( )0 0 sinθ= − ⋅ ⋅ = − ⋅∫∫ ∫∫

z r z

S S

F P dS e e P dS

Et en projection : 20 0 0' π= − = − Σ ⇒ = − − ⋅∫∫

z z

S

F P dS P F P R e

Où Σ est la surface de la boule au sol, car on remarque que

dS.sinθ est la projection dS’ de dS sur le sol. AN : 53,1.10= −zF N

bbbb) ) ) ) Par le théorème d’ArchimèdePar le théorème d’ArchimèdePar le théorème d’ArchimèdePar le théorème d’Archimède

1. Calcul direct tout à fait possible, mais plus complexe.

2. Pour le théorème d’Archimède, le solide doit être immergé.

3. La poussée d’Archimède 32

3ρ π Π = + ⋅

zg R e traduit le

bilan de toutes les forces pressantes : F1 sur la partie

sphérique, et F2 (facile à obtenir) sur le plat : 1 2Π = +

F F .

Ainsi, ( ) ( )3 2 51 2 0

23,6.10

3ρ π ρ π = Π− = − + ⋅ = −

zF F g R P gh R e N

ExerciceExerciceExerciceExercice 34 34 34 34 : : : : Force sur un barrageForce sur un barrageForce sur un barrageForce sur un barrage

2. ( )0

0 0 2ea u x x

z H

HF P gz L dz e L H P g eρ ρ

= −

= − ⋅ = + ⋅ ∫

3. On identifie les moments, qui doit s’appliquer en C :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0

0

0

0

...

32 2 2

2

ρ

ρρ

ρ

= = ∧ = − − ⋅ = + = ∧ =− ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ < +

∫∫ ∫∫ ∫∫

MO O yF FS S S

O C y CF

M dM OM dF z P gz Ldz e

HP gH H H

M OC F z LH P g e zH

P g

4. Profil du barrage modifié… même composante suivant x.

7. Possibilité d’isoler partie de fluide avec un bord droit à

gauche, et la paroi du barrage à droite Calcul simplifié.

P

z

1000m

500m

250m

0m 1bar 0,88bar

Métal

z

dS

re

θ

dS’

Premier Premier Premier Premier PrincipePrincipePrincipePrincipe : : : : TransfoTransfoTransfoTransformationrmationrmationrmation du GP du GP du GP du GP

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : : : : Influence du chemin de transformationInfluence du chemin de transformationInfluence du chemin de transformationInfluence du chemin de transformation

Une mole de dioxygène, assimilé à un gaz parfait de

coefficient γ = 1,4, passe d’un volume V1 = 10L à la température

t1 = 25°C à un volume V2 = 20L à la température t2 = 100°C.

1. Calculer la capacité thermique à volume constant cvmol du

dioxygène. On donne R = 8,314 J.K-1.mol-1.

2. La détente s’effectue par un chauffage isochore suivi d’une

détente isotherme.

2.1. Représenter ce chemin dans le diagramme de Clapeyron.

2.2. Calculer le transfert thermique Q et le travail W

échangés par le gaz avec l’extérieur.

3. La détente s’effectue maintenant par une détente isotherme

suivie d’un chauffage isochore.

3.1. Représenter ce chemin dans le diagramme de Clapeyron.

3.2. Calculer le transfert thermique Q’ et le travail W’

échangés par le gaz avec l’extérieur.

4. Que remarque-t-on concernant les sommes W+Q et

W’+Q’ ? Interpréter.

Exercice Exercice Exercice Exercice 2222 : : : : Transformation cyclique d’un GPTransformation cyclique d’un GPTransformation cyclique d’un GPTransformation cyclique d’un GP

Une mole de gaz parfait diatomique (γ = 7/5) subit la

transformation cyclique constituée des étapes suivantes :

- A partir des conditions normales P0 = 1 bar, et t0 = 0°C, un

échauffement isobare fait tripler son volume, sa

température atteint alors t1 ;

- Une compression isotherme lui fait retrouver son volume

initial, sa pression est alors P1 ;

- Un refroidissement isochore le ramène à l’état initial.

1. Représenter le cycle suivi dans le diagramme de Clapeyron.

2. Calculer pour chaque étape, avec trois chiffres significatifs,

le transfert thermique Q et le travail W échangé ainsi que

les variations BU d’énergie interne et BH d’enthalpie.

3. Calculer Wtotal et Qtotal sur le cycle complet, ainsi que BUtotal

et BHtotal sur ce cycle.

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : : : : Chauffage d’un GPChauffage d’un GPChauffage d’un GPChauffage d’un GP

On enferme n = 0,1 mol

d’azote, de coefficient γ = 1,4 dans

un cylindre thermostaté à t0 = 27°C,

fermé par un piston mobile sans

frottement de section S = 100 cm2.

La pression atmosphérique est P0 = 1 bar. On néglige la force

pressante due au poids du piston devant la force pressante

atmosphérique.

1. Calculer la hauteur h0 occupé par le gaz dans le cylindre.

2. Le piston étant bloqué, on élève la température du

thermostat à t1 = 50°C. Calculer le travail W et le transfert

thermique Q échangés par le gaz.

3. En repartant de l’état initial, on élève à nouveau la

température jusqu’à t1, mais en laissant libre le piston.

Calculer les nouveaux W’ et Q’ échangés par le gaz.

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : : : : Compressions isotherme et monothermeCompressions isotherme et monothermeCompressions isotherme et monothermeCompressions isotherme et monotherme

Un GP est contenu dans un cylindre clos par un piston. La

température initiale du gaz est égale à la température extérieure

T1 = 293K, sa pression est P1 = 1 atm et son volume est V1 = 5L.

On néglige le poids du cylindre devant la force pressante due à

l’atmosphère. Les parois du cylindre et le piston sont de « bons »

conducteurs de la chaleur.

1. On appuie lentement sur le piston, de manière à assurer à

chaque instant l’équilibre thermique entre le gaz et

l’extérieur, jusqu’à ce que le gaz atteigne la pression P2 = 10

atm. Calculer le volume final V2 occupé par le gaz, sa

variation d’énergie interne BU2 ainsi que le travail W2 et le

transfert thermique Q échangés.

2. On applique d’un seul coup une surpression extérieure, par

exemple en posant une masse sur le piston, de telle sorte

que la pression extérieure passe brusquement de la valeur P1

à la valeur P2. On attend qu’un état d’équilibre thermique se

réinstaure avec l’extérieur. Calculer le volume final V’2

occupé par le gaz, sa variation d’énergie interne B’U2 ainsi

que le travail W’2 et le transfert thermique Q’ échangés.

ExerciExerciExerciExercice 5ce 5ce 5ce 5 : : : : Compression suivie d’une détenteCompression suivie d’une détenteCompression suivie d’une détenteCompression suivie d’une détente

Une mole de GP diatomique est initialement dans les

conditions P0 = 1,00 bar et t0 = 20°C. On réalise une compression

adiabatique réversible de ce gaz, qui diminue son volume de

moitié. On note (P1, t1) la pression et la température dans cet état.

Puis on détend de manière quasi-statique et isotherme le gaz, de

manière à lui faire retrouver son volume initial.

1. Représenter les chemins suivis lors des transformations dans

le diagramme de Clapeyron.

2. Calculer P1 et t1.

3. Calculer la pression finale P2 à la fin de la détente.

4. Exprimer puis calculer les travaux et les transferts

thermiques échangés par le gaz lors des 2 transformations.

Exercice Exercice Exercice Exercice 6666 : : : : Détente brutale d’un GPDétente brutale d’un GPDétente brutale d’un GPDétente brutale d’un GP

Un gaz parfait, de coefficient γ, est

contenu dans un cylindre muni d’un

piston, l’ensemble étant calorifugé. La

pression extérieure est P0. Dans l’état

initial, le piston est bloqué et le gaz est

comprimé sous la pression P1 > P0, occupant le volume V1 à la

température T1. On libère le piston et on laisse le système

atteindre un nouvel état d’équilibre. On pose x = P0/P1.

1. Exprimer la température T2 du gaz à l’équilibre, en fonction

de γ, x et T1.

2. Comparer T2 à T1.

3. Exprimer le volume V2 du gaz à l’équilibre, en fonction de

γ, x et V1.

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 –––– Premier et Second P Premier et Second P Premier et Second P Premier et Second Principes rincipes rincipes rincipes –––– Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : : : : Travail fourni par un opérateurTravail fourni par un opérateurTravail fourni par un opérateurTravail fourni par un opérateur

On considère un cylindre horizontal muni d’un piston et

contenant un gaz, supposé parfait, de volume V1 = 5L et de

pression P1 = 1 bar. Un opérateur, en agissant sur le piston, réalise

une détente quasi-statique isotherme du gaz, et double ainsi son

volume.

1. Exprimer le travail Watm de la force pressante due à

l’atmosphère.

2. En déduire l’expression puis la valeur du travail Wop fourni

par l’opérateur.

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : : : : Divers modes de compressionDivers modes de compressionDivers modes de compressionDivers modes de compression

On souhaite comprimer une mole d’un GP diatomique

initialement dans les conditions P0 = 1 bar et t0 = 20°C, de

manière à réduire son volume d’un facteur 2. On envisage pour

cela différentes méthodes : (qui donnent toutes le même point

d’arrivée)

Méthode 1 : Une compression isotherme quasi-statique

Méthode 2 : Un chauffage isochore suivi d’un

refroidissement isobare quasi-statique

Méthode 3 : Un mode de transformation représenté dans le

diagramme de Clapeyron par un segment de droite.

1. Représenter chacune de ces transformations dans le

diagramme de Clapeyron.

2. Pour chacune des méthodes, exprimer puis calculer W et le

transfert thermique Q échangés par le gaz.

Exercice Exercice Exercice Exercice 9999 : Cylindre à deux compartiments: Cylindre à deux compartiments: Cylindre à deux compartiments: Cylindre à deux compartiments

Un piston sépare le volume d’un cylindre en deux

compartiments A et B. Les parois du cylindre et le piston sont

parfaitement calorifugés. Les deux compartiments contiennent la

même quantité de n moles d’un gaz parfait monoatomique (γ =

5/3). Le volume total du cylindre est V = 5,0 L. Dans l’état initial,

le piston est bloqué de telle sorte que le compartiment B a un

volume quatre fois plus grand que le compartiment A. La

température est initialement la même dans tout le cylindre et

égale à T0 = 288K. La pression initiale dans le compartiment A est

PA = 24,0 bar. On débloque le piston, qui coulisse sans frottement

jusqu’à ce que les deux compartiments soient à la même pression

Pf. On mesure alors une différence de température BT = TB – TA =

130K entre les deux compartiments.

1. Calculer la pression initiale PB

dans le compartiment B.

2. Justifier la relation BUA + BUB = 0,

où BUA et BUB sont les variations d’énergie interne dans

chacun des compartiments.

3. En déduire les températures finales TA et TB dans les deux

compartiments.

4. Calculer les volumes finaux VA et VB ainsi que la pression

finale Pf dans les compartiments.

Exercice Exercice Exercice Exercice 11110000 : D: D: D: Détente dans le vide d’un GPétente dans le vide d’un GPétente dans le vide d’un GPétente dans le vide d’un GP

Deux récipients de

même volume V sont

reliés par un mince

tube sur lequel est

monté un robinet.

L’ensemble est calorifugé. Le robinet étant fermé, le récipient (1)

contient 1 mol d’un GP de coefficient γ = 1.4, à la température t0

= 0°C, sous la pression P0 = 1 bar, et le récipient (2) est vide. Le

robinet est alors très largement ouvert, ce qui permet un

écoulement gazeux « lent » du récipient (1) vers le récipient (2).

Le robinet est fermé dès que les pressions dans les deux récipients

deviennent identiques. On note P cette pression commune, t1 la

température du gaz restant dans le récipient (1) et t2 la

température du gaz transvasé dans le récipient (2). On note x la

quantité de matière restant dans le récipient (1).

1. Déterminer une relation entre les températures t0, t1, t2 et la

valeur x.

2. Calculer la pression P.

3. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz

restant dans le récipient (1) ? En déduire la valeur de x.

4. Calculer les températures t1 et t2.

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 11111 :::: Remplissage d’une Remplissage d’une Remplissage d’une Remplissage d’une bouteille videbouteille videbouteille videbouteille vide

Une bouteille préalablement vide et de volume V0 est

fermée. Elle baigne dans l’atmosphère terrestre à la température

T0 = 300K et sous la pression atmosphérique P0 = 1 bar. L’air est

assimilé à un gaz parfait diatomique de coefficient caractéristique

γ = 1,4.

La bouteille est ouverte pendant un bref instant afin que l’air

ambiant qui l’entoure y pénètre. L’air dans le récipient est à la

température T1 au moment où sa pression est égale à la pression

extérieure P0.

1. Quel est le système fermé et déformable à adopter pour

traiter le problème ?

2. Comparer les temps de relaxation de l’équilibre mécanique

et de l’équilibre thermique. Dire pourquoi la transformation

que le gaz subit peut être considérés comme adiabatique.

3. La loi de Laplace est-elle applicable pour ce gaz parfait ?

4. Exprimer le travail reçu par le système pour que l’air entre

dans la bouteille.

5.. Déterminer puis calculer la température T1 de l’air.

6. Quel est l’état d’équilibre final du système ?

vide air

Ouverture brève

CalorimétriCalorimétriCalorimétriCalorimétrieeee

Exercice 12Exercice 12Exercice 12Exercice 12 : Calorimétrie: Calorimétrie: Calorimétrie: Calorimétrie

Un calorimètre et ses accessoires (agitateur, thermomètre,…)

possède une capacité calorifique C. Donnée : ceau = 4,18 J.g-1.K-1.

1. Le calorimètre contenant une masse d’eau M = 95g d’eau à

la température t1 = 20°C, on lui ajoute une masse m = 71g

d’eau à la température t2 = 50,0°C. Après quelques instants,

la température d’équilibre observée est tf = 31,3°C. En

déduire la valeur de la capacité thermique C du calorimètre.

Calculer la masse en eau μ équivalente au calorimètre.

2. Le même calorimètre contient maintenant M’ = 100g d’eau

à t1’ = 15°C. On y plonge un échantillon métallique de masse

m’ = 25g qui sort d’une étuve à t2’ = 95°C. La température

d’équilibre est tf’ = 16,7°C. Calculer la capacité calorifique

massique moyenne c du métal dans ce domaine de

température.

Exercice 13Exercice 13Exercice 13Exercice 13 : Méthode électrique: Méthode électrique: Méthode électrique: Méthode électrique

On désire mesurer la capacité thermique totale C d’un

calorimètre et de son contenu (eau et accessoires). On plonge

pour cela une résistance chauffante R = 250Ω dans l’eau du

calorimètre (valeur supposée indépendante de la température).

On fait circuler un courant électrique d’intensité I = 0,5A

pendant Bt = 13 min, tout en homogénéisant. On constante que

la température de l’ensemble passe de t0 = 14°C à t1 = 16°C.

En déduire l’expression puis la valeur de C.

ExExExExo 14o 14o 14o 14 : : : : Ventilation et climatisation d’un localVentilation et climatisation d’un localVentilation et climatisation d’un localVentilation et climatisation d’un local

On souhaite maintenir une température t1 = 20°C en pleine

canicule dans un local, de volume V0 = 300m3, l’air extérieur

étant à t2 = 40°C. En même temps, il faut renouveler l’air de la

pièce pour maintenir l’air respirable. On utilise un système de

ventilation dont on fixe le taux de renouvellement à 1, c'est-à-

dire que la totalité de l’air de la pièce est renouvelé en 1 heure.

La pression de l’air est la même à l’intérieur et à l’extérieur du

local.

1. Calculer la masse d’air renouvelée en 1h. On supposera que

l’air est un GP de masse molaire Mair = 29 g.mol-1, et on

rappelle que R = 8,314 J.K-1.mol-1.

2. Calculer le transfert thermique Q reçu par cette masse d’air

pour passer de t2 à t1. On donne la capacité thermique

massique de l’air à pression constante cP = 1000 J.K-1.kg-1.

3. En l’absence de ventilation et de climatisation, la

température du local passe à t3 = 21°C en 10min. Par un

calcul simple, donner un ordre de grandeur de la puissance

thermique correspondant aux fuites thermiques, puis de la

puissance thermique nécessaire du système de climatisation.

Systèmes quelconquesSystèmes quelconquesSystèmes quelconquesSystèmes quelconques

Exercice 15Exercice 15Exercice 15Exercice 15 : Elévation de T de freins à disque: Elévation de T de freins à disque: Elévation de T de freins à disque: Elévation de T de freins à disque

Une automobile de masse M = 836 kg roulant à la vitesse

v = 72 km.h-1 s’arrête brusquement à l’aide de ses quatre freins à

disques. En assimilant ces derniers à des cylindres de rayon r = 10

cm et d’épaisseur h = 1 cm, de masse volumique μ = 8 g.cm-3 et de

capacité thermique massique c = 0,42 J.g-1.K-1, calculer leur

élévation de température Bθ, en supposant que toute la chaleur

est absorbée par les disques.

Exo 16Exo 16Exo 16Exo 16 : Compression isotherme d’un gaz de VDW: Compression isotherme d’un gaz de VDW: Compression isotherme d’un gaz de VDW: Compression isotherme d’un gaz de VDW

On considère une mole d’azote, obéissant à l’équation d’état,

( )2 m

m

aP V b RT

V

+ − =

avec a = 0,13 SI et b = 3,8.10-5 SI.

Son énergie interne a pour expression V mU C T a V= − . Le gaz

occupe initialement le volume V1 = 25L à la température T1 =

300K et on le comprime de manière isotherme quasi-statique

jusqu’au volume V2 = 12,5L.

1. Calculer les pressions initiale Pi et finale Pf du gaz.

2. Calculer le travail W et la quantité de chaleur Q échangés

par le gaz avec l’extérieur au cours de la compression.

Exercice 17Exercice 17Exercice 17Exercice 17 : Température d’un conducteur ohmique: Température d’un conducteur ohmique: Température d’un conducteur ohmique: Température d’un conducteur ohmique

Une résistance électrique R, de capacité thermique C, est

placée dans l’air de température T0. Lorsque la température de la

résistance est T > T0, on admet que la quantité de chaleur δQ

perdue pendant une durée dt est donnée par la loi de Newton :

δQ = aC( T-T 0 ) d t , où a est une constante positive. A la date t

= 0, la résistance étant à la température T0, on fait passer dans la

résistance électrique un courant d’intensité I constante.

1. Quelle est la dimension de la constante a ?

2. En faisant un bilan énergétique sur une durée dt, établir

l’équation différentielle vérifiée par T(t).

3. Identifier la constante de temps τ du phénomène ainsi que

la température T∞ atteinte au bout d’une durée t >> τ.

Exercice Exercice Exercice Exercice 18181818 : Chauffage d’un bâtiment: Chauffage d’un bâtiment: Chauffage d’un bâtiment: Chauffage d’un bâtiment

Un bâtiment, de capacité thermique C = 7,6.107 J.K-1, est

chauffé à la température uniforme T1 = 293K par un chauffage

central de puissance P = 210 kW constante, la température

extérieure étant égale à T0 = 263K. On suppose que la quantité de

chaleur δQ perdue par le bâtiment de température T pendant la

durée dt s’écrit : δQ = aC ( T-T 0 ) d t , où a = 7,9.10-5 s-1.

1. A la date t = 0, le chauffage est arrêté. En raisonnant sur un

intervalle de temps dt, établir l’équation différentielle

vérifiée par T(t).

2. En déduire la température T2 du bâtiment après Bt = 3h.

3. La température du bâtiment étant T2, on remet le chauffage

en marche. Exprimer puis calculer la température T∞

théoriquement atteinte au bout d’une durée « très grande ».

4. Calculer la durée Bt’ au bout de laquelle le bâtiment aura

retrouvé sa température initiale T1.

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 –––– Premier et Second Principes Premier et Second Principes Premier et Second Principes Premier et Second Principes –––– Feuille 2/3 Feuille 2/3 Feuille 2/3 Feuille 2/3

Méthodes de mesure de gamma Méthodes de mesure de gamma Méthodes de mesure de gamma Méthodes de mesure de gamma γγγγ

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 19999 : : : : Mesure de γ Mesure de γ Mesure de γ Mesure de γ –––– Méthode de Rückhard Méthode de Rückhard Méthode de Rückhard Méthode de Rückhard

Le champ de la pesanteur est

uniforme et d’intensité g. Un gaz

parfait diatomique occupe le volume

V0 d’un récipient surmonté d’un tube

de verre vertical de faible section S. A

l’instant t = 0, une bille d’acier de

masse m est lâchée sans vitesse

initiale dans le tube et effectue des

oscillations de grande amplitude

autour d’une position d’équilibre. La

bille métallique de diamètre très

voisin de celui du tube se comporte comme un piston étanche.

Les frottements fluides et solides sont négligeables.

Au cours des oscillations, les valeurs à l’instant t de la

température T et de la pression P du gaz sont réparties

uniformément. La position de la bille est repérée par sa cote z sur

l’axe vertical descendant d’origine O à la partie supérieure du

tube. A l’instant t = 0, le gaz parfait occupe le volume initial V0

de l’ensemble constitué par le récipient et le tube dans sa totalité

(z = 0), sa pression initiale est la pression atmosphérique P0 et sa

température initiale T0.

L’intensité de la force de pression exercée sur une demi-

sphère de rayon r par un milieu de pression uniforme P0 est : 2

0 0PF P r P Sπ= ⋅ = ⋅

La transformation subie par le gaz enfermé dans l’enceinte

adiabatique (le volume du récipient est grand pour rendre

négligeables les échanges de chaleur avec l’extérieur) et quasi-

statique. Le rapport des capacités thermiques est supposé

constant P VC Cγ = . Les écarts suivants sont infiniment

faibles : 0 0 0 0

P P P et V V V− −≪ ≪

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique,

établir l’équation du mouvement de la bille supposée

ponctuelle en fonction de P, P0, m, g S et de dérivées

successives de z par rapport au temps. En déduire la

pression à l’équilibre Peq dans le récipient en fonction de P0,

m, g et S.

2. Enoncer la loi de Laplace relative au couple (P, V) et

rappeler les conditions de validité de cette loi. Ecrire la

relation traduisant la loi de Laplace sous sa forme

différentielle.

3. En déduire l’expression du différentiel de pression P-P0 en

fonction de P0, V0, S, γ et z.

4. Montrer que l’équation différentielle du mouvement

vertical de la bille est : 2

2

02

d zz g

dtω+ =

Exprimer 0ω en fonction de γ, P0, m, S et V0.

En déduire la position d’équilibre zeq de la bille et la période

propre θ0 de ses oscillations par rapport à cette position

d’équilibre. Exprimer littéralement le coefficient γ en

fonction de θ0, m, V0, P0, et S puis calculer sa valeur.

Données : T0 = 293K, P0 = 1,0.105Pa, V0 = 10L, θ0 = 1,10s,

S = 2,0.10-4 m2, m = 1,6.10-2kg, g = 9,80m.s-2.

Exercice Exercice Exercice Exercice 20202020 : Méthode de Clément et Désormes: Méthode de Clément et Désormes: Méthode de Clément et Désormes: Méthode de Clément et Désormes

Un ballon de volume V0

communique par l’intermédiaire d’un

robinet avec l’atmosphère extérieure

où la température est T0 et la pression

P0. Un capteur de pression

différentiel permet de suivre la

pression à l’intérieur de l’enceinte : la

tension lue est proportionnelle à la

différence de pression entre le gaz et

le milieu extérieur.

A l’instant initial t = 0, le ballon

contient n moles d’un gaz diatomique

supposé parfait de coefficient γ constant. Ce gaz à la température

T1 = T0 est à une pression initiale P1 légèrement supérieure à la

pression atmosphérique :

1 0 1 1 0P P P avec P P= + ∆ ∆ ≪

Dans l’état initial (1), le capteur indique 3,50V.

On ouvre le robinet pendant une durée très courte : Bn

moles de gaz s’échappent du ballon, la pression dans le ballon

passe rapidement à la valeur P2 = P0 imposée par l’atmosphère

extérieure et sa température prend la valeur :

2 1 2 2 1T T T avec T T= + ∆ ∆ ≪

Au cours de ce bref processus (1) (2), le transfert

thermique avec l’extérieur est quasi-nul et l’évolution est

mécaniquement réversible car la surpression est faible à

l’intérieur du ballon.

A l’issue de la phase (2) (3) qui dure quelques minutes

après la fermeture du robinet, le gaz contenu dans le ballon est

revenu à l’équilibre thermique avec l’atmosphère extérieure T3 =

T0 et la pression P3 du gaz vaut :

3 0 3 3 0

P P P avec P P= + ∆ ∆ ≪

Dans l’état final (3), le capteur indique 0,90V. Les variations

de pression et de température sont faibles devant P0 et T0.

1. En choisissant pour système le gaz qui reste dans le ballon,

représenter en exagérant les variations de volume et de

pression des états (1), (2) et (3) dans le diagramme de

Clapeyron.

2. Enoncer la loi de Laplace relative au couple (T, P) et

rappeler les conditions de validité de cette loi. Ecrire la

relation traduisant la loi de Laplace sous sa forme

différentielle. En déduire la relation 2 1

0 0

1T P

T P

γγ

∆ ∆ −= −

3. Par exploitation de l’équation d’état au cours du processus

(2) (3), établir une relation entre BP3, P0, T0 et BT2. En

déduire l’expression de γ en fonction des différences de

pression BP1 et BP3. Calculer γ.

4. Montrer que l’exploitation de la formule de Reech :

T

Q

χγχ

= (avec 1

T

T

V

V Pχ − ∂ = ∂

et

0

1Q

Q

V

V Pχ

=

− ∂ = ∂ les

coefficients de compressibilité) permet d’exprimer

directement par lecture du diagramme de Clapeyron

l’expression de γ en fonction de BP1 et BP3.

O

z M(m)

bille métallique

capteur de pression

Air 0

0

P

T

Robinet

capteur de pression

Second principeSecond principeSecond principeSecond principe

ExerciceExerciceExerciceExercice 21 21 21 21 : : : : Contact thermique de deux solidesContact thermique de deux solidesContact thermique de deux solidesContact thermique de deux solides

Deux solides S1 et S2, de capacités thermiques respectives C1

et C2, sont initialement aux températures uniformes respectives

T1 et T2. Ils sont mis en contact dans un calorimètre de capacité

thermique négligeable par rapport à celles des solides.

1. Déterminer la température d’équilibre Teq du système

constitué par le calorimètre et les deux solides.

2. Exprimer la variation d’entropie BS de ce même système.

3. Déterminer le signe de BS dans le cas particulier où C1 = C2

= C. Commenter.

ExerciceExerciceExerciceExercice 2 2 2 22222 : : : : Contact d’un gaz avec un thermostatContact d’un gaz avec un thermostatContact d’un gaz avec un thermostatContact d’un gaz avec un thermostat

Une mole d’hélium, assimilé à un gaz parfait, est contenue

dans un récipient indilatable aux parois diathermanes (laissent

passer la chaleur), à la température initiale T0 = 300K. Le

récipient est alors plongé dans un thermostat de température T1 =

273K.

Déterminer puis calculer la variation d’entropie BS du gaz

entre l’état initial et l’état d’équilibre thermodynamique

final, ainsi que l’entropie échangée Se et l’entropie créée Sc.

ExerciceExerciceExerciceExercice 23232323 : : : : Calorimétrie solide + eauCalorimétrie solide + eauCalorimétrie solide + eauCalorimétrie solide + eau

Des petites billes de verre de masse totale m1 = 50g sont

placées dans un four maintenu à une température t1 = 80°C. Elles

sont ensuite plongé dans un calorimètre contenant une masse m2

= 100g d’eau à la température t2 = 20°C. Les transferts thermiques

s’effectuent à l’intérieur de l’enceinte adiabatique constituant le

calorimètre sous la pression atmosphérique.

1. Calculer la température d’équilibre finale Tf.

2. Déterminer la variation d’entropie du verre et l’entropie

créée dans le calorimètre.

Données : On donne les capacités thermiques concernées

Eau (massique) : 1 14,18 . .eauc J K g− −=

Verre (massique) : 2 1 18,7.10 . .verrec J K kg− −=

Calorimètre : 1150 .C J K −=

Exercice 24Exercice 24Exercice 24Exercice 24 : Effet Joule et création d’entropie: Effet Joule et création d’entropie: Effet Joule et création d’entropie: Effet Joule et création d’entropie

Un conducteur ohmique de résistance électrique R

indépendante de la température est placé dans l’air ambiant à la

température T0 supposée constante, et est traversé par un courant

électrique d’intensité I. En régime permanent, les fonctions d’état

relatives au conducteur ohmique sont indépendantes du temps.

1. Appliquer le 1er Principe de la thermodynamique au

conducteur ohmique. En déduire la chaleur reçue par le

conducteur avec le milieu extérieur en fonction de la durée

dt de l’échange, de R et de I.

2. Appliquer le second principe. En déduire l’expression de la

production d’entropie par unit de temps dans le conducteur

ohmique.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 25555 : Transformatio: Transformatio: Transformatio: Transformation isotherme d’un GPn isotherme d’un GPn isotherme d’un GPn isotherme d’un GP

Une mole de gaz parfait est placée dans un cylindre vertical

de section S et de grande hauteur, fermé par un piston mobile

sans frottement. Le cylindre aux parois diathermes (qui laisse

passer la chaleur) est plongé dans un thermostat de température

uniforme et constante T0. A l’instant initial, le gaz est en

équilibre thermodynamique avec le milieu extérieur, sa pression

est notée P0. On ajoute très progressivement des masselottes sur

le piston, jusqu’à ce que la masse finale déposée soit égale à M.

On fait alors l’hypothèse que la transformation subie par le gaz

est isotherme.

1. Déterminer la pression P1 du gaz dans son état d’équilibre

final.

2. Exprimer la variation d’énergie interne, le travail W et le

flux thermique Q lors de cette transformation, en fonction

de T0, P0 et P1.

3. Exprimer la variation d’entropie du gaz, l’entropie échangée

puis l’entropie créée lors de cette transformation.

Commenter. Est-ce conforme à la réversibilité ?

4. A partir du même état initial, l’intégralité de la masse M est

ajoutée brutalement ; la pression extérieure exercée sur le

piston est supposée suivre une fonction échelon (P0 avant t

= 0, et P1 après), puis la température s’équilibre avec

l’extérieur. Exprimer la variation d’énergie interne, le

travail W et le flux thermique Q lors de cette

transformation, en fonction de T0, P0 et P1.

5. Exprimer la variation d’entropie du gaz, l’entropie échangée

puis l’entropie créée lors de cette transformation. Tracer la

courbe de ces fonctions. Commenter.

ExercExercExercExerciceiceiceice 26 26 26 26 : : : : Chauffage «Chauffage «Chauffage «Chauffage « plus ou moins réversibleplus ou moins réversibleplus ou moins réversibleplus ou moins réversible »»»»

Une masse m = 1kg d’eau, à la température initiale θ0 = 20°C

est mise en contact avec un thermostat à la température θf =

80°C. Donnée : c0 = 4180 J.kg-1.K-1 la capacité thermique de l’eau.

1. Calculer l’entropie créée Sc pour l’eau lors de son

réchauffage.

2. On recommence l’expérience en utilisant un thermostat

intermédiaire à la température θ1 = 50°C. Calculer à

nouveau l’entropie Sc pour l’eau.

3. Est-il possible de réchauffer réversiblement de l’eau ? Si oui,

comment faut-il s’y prendre ?

ExerciceExerciceExerciceExercice 27 27 27 27 : : : : Bilan entropiqueBilan entropiqueBilan entropiqueBilan entropique

Un GP de coefficient γ = 1,4 est initialement dans les

conditions P0 = 1bar, V0 = 1L, et t0 = 20°C. On réalise une

transformation qui amène ce gaz à la température t1 = 50°C et le

laisse au volume V1 = V0 = 1L.

1. Exprimer puis calculer la variation d’entropie BS de ce gaz

au cours de la transformation.

2. Sachant que la transformation est isochore et qu’elle a lieu

par mise en contact avec un thermostat à la température t1

= 50°C, calculer l’entropie échangée S, et l’entropie créée Sc.

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 –––– Premier et Second Principes Premier et Second Principes Premier et Second Principes Premier et Second Principes –––– Feuille 3/3 Feuille 3/3 Feuille 3/3 Feuille 3/3

Exercice 28Exercice 28Exercice 28Exercice 28 : Détente de Joule : Détente de Joule : Détente de Joule : Détente de Joule –––– Gay Lussac Gay Lussac Gay Lussac Gay Lussac

Un récipient de volume constant V, à parois adiabatiques et

rigides, est divisé en deux compartiments de volumes respectifs

V1 et V2 égaux (1L) séparés par une vanne. A l’état initial, le

compartiment de gauche dont le volume est V1 contient n moles

d’un gaz en équilibre interne à la température T1 et l’autre

compartiment est vide. La vanne est actionnée à distance par

l’intermédiaire d’un électroaimant de façon à faire communiquer

les deux compartiments : le gaz atteint alors un nouvel état

d’équilibre thermodynamique interne à la température TF. Une

telle détente peut servir à mettre en évidence le caractère parfait

d’un gaz, ou de mesurer des coefficients caractéristiques.

1. En considérant que l’énergie interne des parois ne varie pas

au cours de cette détente, montrer que la transformation du

gaz est isoénergétique : elle s’effectue à énergie interne

constante quelle que soit la nature du gaz.

2. Montrer que la variation d’entropie du gaz s’identifie à

l’entropie créée Scréée au cours de la transformation.

3. Le gaz est supposé parfait et monoatomique.

3.a) Rappeler les propriétés d’un GP, l’expression de son

énergie interne molaire Um et de sa capacité thermique

isochore molaire CVm.

3.b) Un gaz parfait obéit-il à la première loi de Joule ?

3.c) Quelle est la température finale Tf dans les deux

compartiments ?

3.d) Montrer que le gaz occupe tout le volume qui lui est

accessible. Quelle est la variation BSGP du gaz parfait au

cours de cette transformation ? Faire une AN pour une

mole du gaz parfait. Ce résultat est-il conforme au

second principe de la thermodynamique ?

4. Le gaz subissant la détente est maintenant un gaz de Van

Der Waals ayant pour équation d’état :

( ) + − =

2 m

m

aP V b RT

V

L’énergie interne d’un tel gaz s’écrit = − +2

0Vm

n aU nC T U

V,

avec 0U et − −= 1 112,4 . .VmC J K mol des constantes.

4.a) Ce gaz obéit-il à la première loi de Joule ? Que

représentent chacun des termes de l’expression de U ?

4.b) Calculer le coefficient de Joule – Gay Lussac

µ ∂ = ∂ GL

U

T

V dans le cas d’un gaz de VDW, puis dans

le cas d’un GP. Quel est son sens physique ? Que

constate-t-on ?

4.c) Montrer que la mesure de la variation de température

permet d’accéder à la valeur du coefficient a de

l’équation de Van Der Waals. Calculer a en considérant

le refroidissement d’une mole de gaz

∆ = − = −2 1 5,4T T T K

4.d) Quelle est la variation d’entropie ∆ VDWS du gaz au

cours de cette transfo ?

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 29999 : Détente de Joule: Détente de Joule: Détente de Joule: Détente de Joule----ThomsonThomsonThomsonThomson

Un fluide s’écoule dans une canalisation calorifugée en

présence d’un étranglement (ou d’une paroi poreuse) qui a pour

rôle de réduire la pression en aval (par frottements). On

considère qu’un régime permanent est atteint. On note P1 et T1

les température et pression en amont, et P2 (< P1) et T2 en aval.

L’écoulement est suffisamment lent pour que l’on puisse négliger

la vitesse d’ensemble du fluide en tout point de l’écoulement.

Questions 1 / 2 / 3 : Voir TD…

4. La chaleur δQrév échangée avec l’extérieur par une mole

d’un fluide homogène quelconque au cours d’une

transformation élémentaire réversible s’exprime, en

fonction des variables indépendantes T et P, à l’aide des

coefficients calorimétriques molaires CPm et km, tels que :

δQrév = CPm dT + km dP

En déduire le coefficient de Joule-Thomson µ ∂ = ∂ JT

H

T

P en

fonction du volume molaire Vm et des coefficients

calorimétriques molaires CPm et km. Quel est l’intérêt

d’introduire un tel coefficient ?

5. La détente est subie par une mole d’un gaz réel de VDW

(même équation que dans l’exercice 28). Les constantes a et

b sont des caractéristiques du fluide. Elles figurent sur le

tableau suivant avec les températures de liquéfaction, de

solidification, et d’inversion.

Coefficients Tinversion Tliquéfaction Tsolidification Gaz

103a 105b K °C K °C K °C

N2 130 3,91 621 347,8 77,3 -195,8 63,3 -209,7

H2 24,8 2,66 195 -78,1 20,4 -252,7 14 -259

3He 3,44 2,37 23,6 -249,5 4,2 -268,9 Superfluide à

2,6mK

L’énergie interne molaire de ce gaz s’écrit = − + 0

3

2m m

m

aU RT U

V

5.a) Montrer que le produit PVm peut se mettre sous la forme

approchée : m mPV RT a V bP= − +

5.b) En déduire l’expression approchée de l’enthalpie molaire

du gaz : ( ) 05 2 2m mH RT P b a RT U= + − +

5.c) Déterminer les grandeurs molaires CPm et (km + Vm) en

fonction de a, b, R, P et T.

5.d) Exprimer le coefficient de Joule-Thomson μJT d’un gaz de

VDW en fonction de R, a, b, CPm et T, puis déterminer la

température d’inversion, Ti de l’effet Joule-Thomson

pour laquelle μJT = 0. Calculer sa valeur pour les 3 gaz

cités plus haut et comparer les résultats aux données

expérimentales (Données à la pression atmosphérique).

5.e) Dans quelles conditions la détente de Joule-Thomson

permet-elle de refroidir le fluide ? Quel est le gaz que

l’on peut refroidir à des températures usuelles ? Proposer

une méthode permettant d’obtenir successivement les

liquides cryogéniques pour aboutir à l’hélium liquide (T

= 4K). C’est grâce à une méthode de ce type que

Kamerlingh et Onnes ont réussi pour la première fois en

1908 à atteindre la liquéfaction de l’hélium à 4,2K.

FLUIDE

T1, P1

Paroi Poreuse

FLUIDE

T2, P2

GAZGAZGAZGAZ

TTTT1111, V, V, V, V1111

VideVideVideVide

VVVV2222

GAZGAZGAZGAZ

1111erererer Principe Principe Principe Principe : Transfo du GP: Transfo du GP: Transfo du GP: Transfo du GP

ExExExExercice 1ercice 1ercice 1ercice 1 : Influence du chemin de transformation: Influence du chemin de transformation: Influence du chemin de transformation: Influence du chemin de transformation

1. D’après Mayer 1 120,8 . .1

VVm

C RC J K mol

n γ− −= = =

−

2. Chauffage isochore + Détente isotherme.

2.1. Diag PV : isochore verticale / isotherme en P = cstte/V.

2.2. Transfo isochore AB : 1559AB AB VmQ U nC T J= ∆ = ∆ =

Transfo isotherme BC : 0BC BC BCU Q W∆ = ⇒ = −

Ainsi : ( )2 2 1ln 2150BC extQ P dV PdV nRT V V J= = = =∫ ∫

(La transfo doit être supposé mécaniquement réversible)

Et 22

1

ln 3708AB BC Vm

VQ Q Q nC T nRT J

V

= + = ∆ + =

Travail ABW W= 2

2

1

ln 2150BC

VW nRT J

V

+ = − = −

3. Détente isotherme + Chauffage isochore.

3.1. Diag PV : descend en cstte/V puis remonte vertical.

3.2. On adapte les variables :

( )1 2 1ln 3276AD DB VmQ Q Q nRT V V nC T J′ = + = + ∆ =

Travail AD DCW W W′ = + ( )1 2 1ln 1717nRT V V J= − = −

4. On remarque que W+Q = W’+Q’ = BU, ce qui est normal

car U est une fonction d’état (décrit l’état d’un système),

donc sa variation ne dépend donc pas du chemin suivi, mais

seulement des points initiaux et finaux BU = Ufin – Uini.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 : Transformation cyclique d’un GP: Transformation cyclique d’un GP: Transformation cyclique d’un GP: Transformation cyclique d’un GP

1. Diag PV : horizontal vers la droite cstte/V vers le

haut/gauche vertical descendant revenant en (P0,V0).

2. Isobare :

( )

( )

1 1 0

1 0 0 0 0

1 0

2 15,91

2 2 4,5

2 11,31

P

V

nRQ H C T T kJ

W P V P V nRT kJ

nRU C T T kJ

γγ

γ

= ∆ = ∆ = = − = − ∆ = − = − = −∆ = ∆ = =

−

Isotherme :

( )2 2 2 2

2 1 1 2

0

ln 7,5ext

U H Q W

W P dV nRT V V kJ

∆ = ∆ = ⇒ = − = − = − = ∫

Isochore :

( )

( )

2 2 0

2

2 0

2 11,31

0

2 15,91

V V

P

nRU Q C T T kJ

W

nRH C T T kJ

γ

γγ

∆ = = ∆ = − = − − =∆ = ∆ = − = −

−

3. Cycle complet :

( )

1 2 3

1 2 3

3

3

0

W W W W kJ

Q Q Q Q kJ

U H cycle

= + + =

= + + = −∆ = ∆ =

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3 : Chauffage d’un GP: Chauffage d’un GP: Chauffage d’un GP: Chauffage d’un GP

1. On a 0 00

0 0

25nRT nRT

V hS h cmP SP

= = ⇒ = = .

2. Piston bloqué Isochore : 0

47,81

V

W

nRQ U C T T J

γ

= =∆ = ∆ = ∆ = −

.

3. Piston libre Isobare : 66,91

19,1

P

nRQ C T T J

W U Q U Q J

γγ

′ = ∆ = ∆ = − ′ ′ ′ ′= ∆ − = ∆ − = −

(Car l’énergie U finale est la même dans les 2 cas, ne dépend

que de la température pour un GP – loi de Joule)

ExercExercExercExercice 4ice 4ice 4ice 4 : Compressions isotherme et monotherme: Compressions isotherme et monotherme: Compressions isotherme et monotherme: Compressions isotherme et monotherme

1. Evolution du GP isotherme : 2 1 1 2

0,5V PV P L= = , BU =

0, ( )1 2 1ln 1166extW P dV PdV nRT V V J= − = − = − =∫ ∫

(On rappelle que 1atm = 1,013bar = 1013 hPa) et Q = -W.

2. Evolution monobare et monotherme du GP, mais après

équilibre, on a même n, même T, et même P, donc V2’ = V2

= 0,5L, BU = 0 (ne dépend que de T) et

2 4558extW P dV P V J′ = − = − ∆ =∫ et encore Q’ = -W’

Exercice 5Exercice 5Exercice 5Exercice 5 : Compression suivie d’une détente: Compression suivie d’une détente: Compression suivie d’une détente: Compression suivie d’une détente

1. Diag PV : adiabatique réversible en cstte/Vγ, puis isotherme

en cstte/V (moins pentu, Pfinal > Pinitial).

2. GP en adiab. rév : ( )1 0 0 1 02PV cstte P P V V P

γγ γ= ⇒ = =

Ainsi 1

2,63P bar= et 11 1 1 11 0 0

0 0

2 385PV PV

T T T KnR PV

γ −= = = =

(ou 1 1 273 112t T C= − = ° )

3. Après isotherme : 11 12 0 0

0 0

2 1,32nRT T

P P P barV T

γ −= = = =

4. Transfo adiab réversible : Q1 = 0, et puisque la transfo est

méca réversible 0 01 ext

PVW P dV PdV dV

V

γ

γ= − = − = −∫ ∫ ∫ .

Et : 1

0 01 01 1

1 0

1 1 2 11945

1 1

PVW nRT J

V V

γ γ

γ γγ γ

−

− −

−= ⋅ − = ⋅ = − −

Tranfo isotherme : ( )1 0 1lnextW P dV PdV nRT V V=− =− =−∫ ∫

Ce qui donne ( )1

02 ln 2 2227W nRT J Qγ −= − = − = −

Exercice 6Exercice 6Exercice 6Exercice 6 : Détente brutale : Détente brutale : Détente brutale : Détente brutale d’un GPd’un GPd’un GPd’un GP

1. Transfo monobare : W = -P0BV = - P0(V2-V1), et 1er

principe : U W Q∆ = + ( )2 11V

nRC T T T

γ= ∆ = −

−

Ainsi : ( ) ( ) ( )0 2 1 2 1 2 11

nRP V V nR T xT T T

γ− − = − − = −

−

Et : ( )

2 1

1 1xT T

γγ

+ −= 2.

2 1T T⇒ >

3. Volume ( )

22 1

0

1 1xnRTV T

P x

γγ

+ −= =

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 –––– Premier et Second Principes Premier et Second Principes Premier et Second Principes Premier et Second Principes –––– Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3

ExercicExercicExercicExercice 7e 7e 7e 7 : Travail fourni par un opérateur: Travail fourni par un opérateur: Travail fourni par un opérateur: Travail fourni par un opérateur

1. Travail : ( )1 2 1 1 1500atmW P V V PV J= − − = − =

2. Et on a BU = 0 (isotherme / GP / loi de Joule…) et la transfo

peut être supposé mécaniquement réversible (très lente),

d’où ( ) ( )1 2 1 1ln ln 2total extW P dV PdV nRT V V nRT=− =− =− =−∫ ∫

Et ( )( )1 11 ln 2 153op total atmW W W PV J= − = − =

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Divers modes de compression: Divers modes de compression: Divers modes de compression: Divers modes de compression

Méthode 1Méthode 1Méthode 1Méthode 1 :::: Compression isotherme, courbe en cstte/V, on a

( ) ( )0 0ln ln 2ext f iW P dV PdV nRT V V nRT=− =− =− =∫ ∫

Et ( )0ln 2 1688Q W nRT J= − = − = − car 0U∆ =

Cela nous donne à l’EF une pression P = 2P0.

Méthode 2Méthode 2Méthode 2Méthode 2 :::: Chauffage isochore (vertical) + Refroidissement

isobare (horizontal) isoVW W= ( )isoP f f iW P V V+ = − −

Et 0 0 0

2435W PV nRT J= = = .

Sur l’ensemble, on a 0U∆ = , donc 2435Q W J= − = −

Méthode 3Méthode 3Méthode 3Méthode 3 :::: Segment de droite On prend l’aire sous la

courbe : 0 0 0 0

1

2f f fW P V V V V P P= + − + − − .

On calcule 0 0 0

3 31826

4 4W PV nRT J= = = et Q = -W

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : Cylindre à deux compartiments: Cylindre à deux compartiments: Cylindre à deux compartiments: Cylindre à deux compartiments

1. On a 2 GP en évolution adiabatique non réversible. A l’état

initial : 0

0

0

64

41

5

AB

A Ai B Bi

ABi Ai

PP bar

nRT P V P V

P VV V n molRT

= == = ⇒ = = =

2. Système des deux GP isolé BUtotal = BUA + BUB = 0.

3/4. EF : ( )( ) ( )

( ) ( )0 0 0

5

2

A B

A B fB f Bf

A f Af B A f Bf Af

VA A VB B A B

V V V L

nR T T PVnRT PV

nRT PV nR T T P V V

C T T C T T T T T

= + =

+ == ⇒ = − = −

− =− − ⇒ + =

Ainsi : ( )

02

9,57A B

f

nR T T nRTP bar

V V

+= = = , et :

( ) ( )0

5

22

Af Bf

B A B ABf Af Bf

f

V V V L

nR T T V T TV V V V

P T

= + = − − − = − = =

Et ( )

0

1 1,942 2

3,04

B A

Bf

Af Bf

T TVV L

T

V V V L

−= − =

= − =

Finalement : 350

223A f Af

B f Bf

T P V nR K

T P V nR K

= = = =

Exercice 10Exercice 10Exercice 10Exercice 10 : Détente dans le vide d’un: Détente dans le vide d’un: Détente dans le vide d’un: Détente dans le vide d’un GP GP GP GP

1. Bilan d’énergie sur le système total isolé :

( ) ( ) ( )1 2 1 0 2 0

1

1 1total

x RxRU U U T T T T

γ γ−

∆ = ∆ +∆ = − + −− −

Ainsi : ( )1 2 01xT x T T+ − =

2. Pression PV=nRT 0

2 0,5P P bar= =

3. Transfo adiabatique réversible (si l’évolution est vraiment

très lente), et puisque l’on peut considérer le volume initial

comme étant xV (le gaz occupe une portion x du volume),

cela donne : ( )1

00

10,61

2 2

PPV P xV V x

γγγ γ = = ⋅ ⇒ = =

.

4. On a aussi Laplace pout la température : ( ) 1 1

0 1T xV T V

γ γ− −= ⋅

ce qui donne 1 0 01 0 1

4922

T TT T x C

xγ

γ γ−

−= ⋅ = = = − °⋅

et ainsi ( ) ( )0 1 0

2 771 2 1

T xT TT C

x x

−= = = °

− −

On remarque que d’un coté la T baisse (coté détente), de

l’autre elle monte (coté compression), alors que la détente

devrait isoénergétique donc à T constante. C’est ce vers quoi

va tendre le système après un temps de relaxation, Tf = T0.

Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Remplissage d’une bouteille vide: Remplissage d’une bouteille vide: Remplissage d’une bouteille vide: Remplissage d’une bouteille vide

1. Système = air qui va entrer dans la

bouteille + vide déjà contenu dans la

bouteille : volume initial V = V0 + V1,

volume final V = V0.

2. Temps de relaxation mécanique plus

faible que celui thermique. La

transformation sera brutale (détente

dans le vide), les transferts thermiques

n’ont pas le temps de se faire

transfo adiabatique.

3. Loi de Laplace non applicable car transfo irréversible

4. Travail : 0 0 1 0W P dV PV nRT= − = =∫

5.. Appliquons le 1er principe sur le système air + vide :

total air videU U U∆ =∆ + ∆ W Q= + ( )1 0 01

nRT T nRT

γ= − =

−

Ainsi : 1 0

420T T Kγ= =

6. Etat d’équilibre final : après les transferts thermiques qui

vont s’établir à travers la paroi du verre : TF = T0 = 300K, Le

bouteille est fermée directement, donc la quantité qu’elle

contient reste constante : 0 0 1 0

0 0F F

PV nRT nR T

P V nRT nRT

γ= = = =

, ce

qui donne 0 0,7F

PP barγ= =

Air / V1

Vide

V0

Pression P0

CalorimétrieCalorimétrieCalorimétrieCalorimétrie

Exercice 12Exercice 12Exercice 12Exercice 12 : Calorimétrie: Calorimétrie: Calorimétrie: Calorimétrie

1. Bilan d’enthalpie à pression constante sur le système eau +

calorimètre isolé : 0total M m C PH H H H Q∆ = ∆ +∆ +∆ = =

Donc : ( ) ( ) ( )2 1 0eau f eau fm c t t M c t tµ⋅ − + + − =

Et : ( )( )

2

1

22,5f

f

t tm M g

t tµ

−= − − =

−, 194 .eauC c J Kµ −= =

2. Même bilan enthalpique à pression constante :

0total M C solide PH H H H Q′∆ = ∆ +∆ +∆ = =

Ainsi : ( ) ( ) ( )1 2 0eau f solide fM c t t m c t tµ ′ ′ ′ ′′ ′+ − + ⋅ − = . On a

pris une capacité du métal constante

( ) ( )( )

1 1 1

2

' ' '445 . .

' ' '

eau fsolide

f

M c t tc c J K kg

m t t

µ − −+ −⇒ = = − =

−

Exercice 13Exercice 13Exercice 13Exercice 13 : Méthode électrique: Méthode électrique: Méthode électrique: Méthode électrique

Bilan enthalpique à P constante = P0 (pression ambiante) :

total eau Cal PfuiteH H H Q∆ = ∆ + ∆ = 2

PJouleQ RI t+ = ∆

Ainsi : 2C T RI t∆ = ∆ et 2

124,4 .RI t

C kJ KT

−∆= =∆

ExExExExo 14o 14o 14o 14 : : : : Ventilation et climatisation d’un localVentilation et climatisation d’un localVentilation et climatisation d’un localVentilation et climatisation d’un local

1. En 1 heure, il faut renouveler l’air de toute la pièce :

0 0

1

357PV

m M kgRT

= =

2. Chaleur reçue à P constante 7,14pQ mc T MJ= ∆ =

3. Fuites thermiques : on fait un bilan dans le cas où la clim est

éteinte, il ne reste que les fuites :

0,6Ptotal P Pfuite fuite fuite

mc TH mc T Q P t P kW

t

∆∆ = ∆ = = ∆ ⇒ = =

∆

La climatisation devra donc compenser le renouvellement de

l’air et les pertes thermiques :

1,98 0,6 2,6CLIM fuite

QP P kW kW kW

t= + = + ≈

∆

SystèSystèSystèSystèmes quelconquesmes quelconquesmes quelconquesmes quelconques

Exercice 15Exercice 15Exercice 15Exercice 15 : Elévation de T de freins à disque: Elévation de T de freins à disque: Elévation de T de freins à disque: Elévation de T de freins à disque

Bilan d’énergie : L’énergie cinétique de la voiture EC =

0,5.Mv2 se transforme intégralement en chaleur dans les disques : 2H C r h cθ π µ θ∆ = ⋅∆ = ⋅ ⋅∆

Elévation de température : 2

2158 158

2

MvK C

r h cθ

π µ∆ = = = °

Attention au dimensionnement des disques !!!

Exo 16Exo 16Exo 16Exo 16 : Compression isotherme d’un gaz de VDW: Compression isotherme d’un gaz de VDW: Compression isotherme d’un gaz de VDW: Compression isotherme d’un gaz de VDW

1. Pression initiale : 501 2

1 1

10 1m m

RT aP Pa bar

V b V= − = =

−

Pression finale : 502 2

2 2

2.10 2m m

RT aP Pa bar

V b V= − = =

−

2. Travail : 2

0

2ext

nRT n aW P dV PdV dV

V nb V

=− =− =− − − ∫ ∫ ∫

On intègre : ( )2

1

2

0ln

V

V

n aW nRT V nb

V

= − − +

Ainsi : 220

1 1 2

1 1ln 1727

V nbW nRT n a J

V nb V V

−=− + − = −

Et 20

1

ln 1737m

V nbaQ U W W nRT J

V V nb

−=∆ − =∆ − − = =− −

Exercice 17Exercice 17Exercice 17Exercice 17 : Température d’un conducteur ohmique: Température d’un conducteur ohmique: Température d’un conducteur ohmique: Température d’un conducteur ohmique

1. Dimension : [a] = T-1 (en secondes, car C en J.K-1)

2. Bilan énergétique : (Premier principe à P constant)

( ) 2

0R P PJouledH Q Q aC T T dt RI dt CdTδ δ= + = − − + = .

Ainsi : 2

0

dT RIaT aT

dt C+ = +

3. Constante de temps τ = 1/a et 2

0

RIT T

aC∞ = +

Exercice 18Exercice 18Exercice 18Exercice 18 : Chauffage d’un bâtiment: Chauffage d’un bâtiment: Chauffage d’un bâtiment: Chauffage d’un bâtiment

1. Premier principe sur le bâtiment à P constante :

total PchauffdH Qδ= ( )0PfuiteQ aC T T dt CdTδ+ = − − =

Ainsi : ( )0 0 1 0

atdTaT aT T T T T e

dt−+ = ⇒ = + −

2. Après 3h, on aura ( )2 0 1 0 273a tT T T T e K− ∆= + − = .

3. Nouveau bilan : ( )0totaldH Pdt aC T T dt CdT= − − =

Ainsi : 0 0

298dT P P

aT aT T T Kdt C aC∞+ = + ⇒ = + =

4. Durée au bout de laquelle le bâtiment aura retrouvé sa

température initiale T1 : On a 0

atPT T e

aCλ −= + +

CI : ( ) 2 0 20P

T t T T T TaC

λ λ ∞= = = + + ⇒ = −

Et ( ) 22

1

1ln 5at T T

T T T T e t ha T T

− ∞∞ ∞

∞

−′= + − ⇒∆ = ⋅ = −

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 –––– Premier et Second Principes Premier et Second Principes Premier et Second Principes Premier et Second Principes –––– Feuille 2/3 Feuille 2/3 Feuille 2/3 Feuille 2/3

Méthodes de mesure de gamma Méthodes de mesure de gamma Méthodes de mesure de gamma Méthodes de mesure de gamma γγγγ

Exercice 12Exercice 12Exercice 12Exercice 12 : Mesure de γ : Mesure de γ : Mesure de γ : Mesure de γ –––– Méthode de Rückhard Méthode de Rückhard Méthode de Rückhard Méthode de Rückhard

1. Forces : Poids : zP mg e= ⋅

Réactions s’annulent : 0R dR= =∫

Pression extérieure : 0Pext zF P S e= − ⋅

Pression intérieure : intP zF PS e= + ⋅

PFD : ( )0mz mg P P z S = + − ɺɺ

A l’équilibre : PFS ( ) 0eq eq

mgP P z P

S= = +

2. Loi de Laplace pour un GP en transfo adiabatique

réversible : PV cstteγ =

Forme différentielle : on différencie le ln (plus simple car

sépare les variables) 0dP dV

P Vγ+ =

3. Les variations sont faibles : P ≈ P0 et V ≈ V0, et dV = -Sdz.

Ainsi :

0 0

dP Sdz

P Vγ= et

0

0

SzP P cstte

Vγ= + .

Et : ( ) 00 0

0

0P S

P z P cstte P P zV

γ= = = ⇒ − = ⋅

4. Eq diff : 2 2

0 00

0 0

P S P Sz z g

mV mV

γ γω+ ⋅ = ⇒ =ɺɺ

Equilibre ( )2002 2

0 0

0eq eq

mgV gz z z z

P Sω

γ ω= = ⇒ + − =ɺɺ

Période propre : 00

0 0

2 2 mV

S P

π πθω γ

= =

On en déduit le coefficient 2 0

2 2

0 0

4 1,3mV

P Sγ π

θ= =

Exercice 13Exercice 13Exercice 13Exercice 13 : Méthode de Clément et Désormes: Méthode de Clément et Désormes: Méthode de Clément et Désormes: Méthode de Clément et Désormes

1. (1)(2) : Adiabatique réversible,

(2)(3) : isochore

Et les états (1) et (3) appartiennent à

la même isotherme T0.

2. Loi de Laplace pour un GP en transfo adiabatique

réversible : 1T P cstteγ γ− =

Forme différentielle : on différencie le ln (plus simple car

sépare les variables) ( )1 0dT dP

T Pγ γ+ − =

Les variations étant faibles, P ≈ P0 et V ≈ V0 et on peut

intégrer : ( ) 2 1

0 0 0 0

11 0

T PT P

T P T P

γγ γγ

∆ ∆ ∆ ∆ −+ − = ⇒ = −

3. On a ( ) ( )( ) ( )

0 0 2 0 2

0 3 0 0

2

3

PV nRT nR T T

P P V nRT

= = + ∆

+ ∆ =

.

On divise : 3 0 2

0 0 2 2 0 0

11 1

1

P T T

P T T T T T

∆ ∆+ = = ≈ −

+ ∆ + ∆

(avec un DL, 2 0 2 0 1T T T T∆ ⇒ ∆≪ ≪ )

D’où : 32 1

0 0 0

1 PT P

T P P

γγ

∆∆ ∆ −= − ≈ −

Et 1

1 3

P

P Pγ ∆

=∆ −∆

Puisque la tension est proportionnelle à la pression, on

obtient directement 1

1 3

3,51,35

3,5 0,9

P

P Pγ ∆

= = =∆ −∆ −

4. Formule de Reech : T

Q

χγχ

= avec 1

T

T

V

V Pχ − ∂ = ∂

le coef

de compressibilité isotherme et

0

1Q

Q

V

V Pχ

=

− ∂ = ∂ le coef

de compressibilité adiabatique réversible. Ainsi :

0

0

_

_

QT T

Q

Q T

PVVP pente adiabatique

V P pente isotherme

P V

χγχ

=

=

∂ ∂ ∂∂ = = = =

∂ ∂ ∂ ∂

On calcule ce rapport de pente au point commun (1), de

manière approchée : (méthode beaucoup plus rapide…)

( )( ) ( )

0 0 1 1

0 3 0 1 1 3

T

Q

P P P P

P P P P P P

χγχ

− +∆ ∆= = =

+ ∆ − + ∆ ∆ −∆

isoV

isoT

isoS

(1)

(2)

(3)

V

P

Second principeSecond principeSecond principeSecond principe

ExerExerExerExercicecicecicecice 21 21 21 21 : : : : Contact thermique de deux solidesContact thermique de deux solidesContact thermique de deux solidesContact thermique de deux solides

1. Bilan d’enthalpie à P constant : (calorimètre négligeable)

1 2total PH H H Q∆ = ∆ + ∆ = 1 1 2 2C T C T= ∆ + ∆

Et : 1 1 2 2

1 2

eq

C T C TT

C C

+=

+

2. Identité thermodynamique : dU p dV

dST

= + CdT

T T=

(Car solide incompressible/indéformable et C ≈ CV ≈ CP)

Donne 1 2

1 2

ln lneq eqT T

S C CT T

∆ = +

3. Si C1 = C2 = C, alors 2

1 2

ln 0eqT

S CTT

∆ = >

Irréversible.

ExerciceExerciceExerciceExercice 2 2 2 22222 : : : : Contact d’un gaz avec un thermostatContact d’un gaz avec un thermostatContact d’un gaz avec un thermostatContact d’un gaz avec un thermostat

Pour un GP, on a : ln lnf fV

i i

T VS C nR

T V

∆ = +

Donc ici 1ln ln 1,18 .1

f fV

i i

T TnRS C J K

T Tγ−

∆ = = = − −

Echangée : 10

0 1

1 1,23 .1

ech Ve

ext

Q C T TnRS J K

T T Tγ− ∆

= = = − = − −

Et créée : 10,05 .c eS S S J K −= ∆ − = Irréversible

ExerciceExerciceExerciceExercice 23 23 23 23 : : : : Calorimétrie solide + eauCalorimétrie solide + eauCalorimétrie solide + eauCalorimétrie solide + eau

1. Bilan d’enthalpie…

( ) ( )+ +≈ ≈ °

+ +1 1 2 2

1 2

297,2 24,2verre eau

f

verre eau

m c T m c C TT K C

m c m c C

2. Phase condensée : dU p dV

dST

= + CdT

T T=

− ∆ ≈ = −

1

1

1

ln 7,5 .fverre verre

TS m c J K

T

De même : ( ) −+

∆ ≈ + ⋅ =

1

2

2

ln 8,1 .feau cal eau

TS m c C J K

T

Ensemble isolé, donc : créée

totale eau cal verreS S S S+∆ = = ∆ +∆

( ) 1

2 1

2 1

ln ln 0,6 .f ftotale eau verre

T TS m c C mc J K

T T−

∆ = + ⋅ + =

Exercice 24Exercice 24Exercice 24Exercice 24 : Effet Joule et création d’entropie: Effet Joule et création d’entropie: Effet Joule et création d’entropie: Effet Joule et création d’entropie

1. 1er principe en régime permanent, donc H est constante, la

température est constante : 20 0ech Joule echdH Q Q Q RI dtδ δ δ= = + = + =

2. Bilan de S :

0

0 0ech

ech créée crééeQdS S S S

T

δδ δ δ= = + = + =

Ainsi : La production d’entropie δ = >2

0

0créée RIS dt

T

Exercice 25Exercice 25Exercice 25Exercice 25 : Transformation isotherme d’un GP: Transformation isotherme d’un GP: Transformation isotherme d’un GP: Transformation isotherme d’un GP

1. Equilibre mécanique final : = +1 0

MgP P

S

2. Transfo isotherme : ∆U = W + Q = 0, donc Q = -W,

Et le travail 0ext

dVW P dV PdV nRT

Vδ = − = − = − ,

car il y a à tout instant équilibre mécanique avec l’extérieur

(transfo méca réversible) : = − =

1 10 0

0 0

ln lnV P

W nRT nRTV P

,

3. Entropies :

0

ech créée créée crééeech ech

ext

Q QS S S S S

T T∆ = + = + = +

Avec l’identité thermo : = + = =0 0 0

dU PdV PdV nRdVdS

T T T V

Et ainsi, on a bien ∆ = ⋅ = − ⋅

=

1 1

0 0 0

ln lnS nRP

PnR

V Q

V T

TRANSFO REVERSIBLE car 0créée echS S S= ∆ − =

4. Si la transformation est brutale : MONOBARE P = cstte = P1

Alors ( ) 11 1 1 0 0

0

1P

W P V P V V W nRTP

= − ∆ = − − = = −

U est encore constante (car ne dépend que de T, identique

à l’EI et l’EF), donc Q = -W.

5. Entropie : S = fonction d’état Ne dépend pas de la

transformation envisagée, on a donc la même variation

∆ = − ⋅

1

0

lnP

PS nR , mais on n’a plus la réversibilité.

On vérifie : 1

0 0

0 1

1 0

1

ln 1 0

ech

créée ech

PQS nR

T P

P PS S S nR

P P

= = −

= ∆ − = − − >

Création d’entropie : Tracer pour voir l’écart à la réversible…

ExerciceExerciceExerciceExercice 26 26 26 26 : : : : Chauffage «Chauffage «Chauffage «Chauffage « plus ou moins réversibleplus ou moins réversibleplus ou moins réversibleplus ou moins réversible »»»»

1. Entropie créée 1

0

ln 68,2 .fc e

f

CS S S C J K

θ θθ θ

−∆= ∆ − = − =

2. 1 01 11 2

0 1 1

ln ln f fc c c

f

S S S C C C Cθ θθ θ θ θ

θ θ θ θ − −

= + = − + −

D’où 135,2 .cS J K −= Plus proche de la réversibilité

3. Pour garder la réversibilité, il faudrait avoir équilibre

thermique à tout instant avec l’extérieur, donc un

thermostat dont T évoluerait en même temps que la

température du système…

ExerciceExerciceExerciceExercice 27 27 27 27 : : : : Bilan entropiqueBilan entropiqueBilan entropiqueBilan entropique

1. 1 1

0 0

ln ln1

T VnRS nR

T Vγ

∆ = + −

10,083 .J K −=

2. Et

( )

11 0

1 1

11

0 1

0,079 .1

ln 0,004 . 01

ech

créée ech

T TQ nRS J K

T T

TnR TS S S J K

T T

γ

γ

−

−

−= = ⋅ = −

∆ =∆ − = − = > −

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 TH3 / TH4 –––– Premier et Second Principes Premier et Second Principes Premier et Second Principes Premier et Second Principes –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 3333/3/3/3/3

Exercice 28Exercice 28Exercice 28Exercice 28 : Détente de Joule : Détente de Joule : Détente de Joule : Détente de Joule –––– Gay Lussac Gay Lussac Gay Lussac Gay Lussac

1. Système (gaz + vide) thermiquement isolé et de volume

constant : ∆ = + = 0U W Q isoénergétique

2. Variation d’entropie :

ext

QS

T∆ = créée crééeS S+ =

3. Le gaz est supposé parfait et monoatomique.

3.a) Energie molaire = 3

2mU RT , 3

2m

Vm

V

UC R

T

∂ ⇒ = = ∂

3.b) 1ère loi de Joule valable pour GP : U ne dépend que de T

3.c) T finale = T initiale, car pas de changement d’énergie

3.d) Entropie : (à partir de l’identité thermodynamique)

− ∆ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ = >

1

0 0 0

ln ln ln ln2 5,7 . 0V

T V VS C nR nR nR J K

T V V

Entropie maximale (état le plus stable) si le volume

est maximal, donc le gaz va occuper TOUT le volume

L’entropie augmente : Conforme au 2nd Principe

4. Avec le Gaz de VDW

4.a) 1ère loi de Joule ? NON, car ne dépend pas que de T.

Termes : = VmU nC T = agitation thermique habituelle

−2n a

V : correspond à la pression moléculaire, donc à

l’interaction à distance entre les molécules. Il s’agit de

l’énergie potentielle d’interaction (V diminue, E

augmente, plus d’interaction)

0U : L’énergie est toujours définie à une constante

additive près.

4.b) Coef de Joule – Gay Lussac :

Puisque = + −

2

0

1

Vm

n aT U U

nC V

Alors µ ∂ − = = < ∂ _ 2

0GL VDW

U Vm

T na

V C V

Et on retrouve bien µ =_ 0GL GP

Sens physique : permet d’évaluer la variation de

température du gaz qui subit la détente isoénergétique.

On constate que le coef est négatif le gaz se refroidit.

En fait, T diminue pour compenser la perte d’énergie

d’interaction due à la détente = − +2

0Vm

n aU nC T U

V

(puisque U est constant

et V augmente…)

4.c) A U constante (toujours le cas) :

− ⋅=2

Vm

na dVdT

C V et

−∆ = − = + 1 2 1 1

1 1

2Vm Vm

na naT

C V V V C V :

D’où = − ∆12 VmC Va T

n. AN : −= 3 20,134 . .a J m mol

4.d) Variation d’entropie ∆ VDWS : avec l’identité thermo

= + +

= +

2

2

2

2

1Vm

Vm

n anC

V

n aU nC dT dV

dTdS P dV

T T

V

D’où (avec l’eq de VDW) :

( )( )

( )⋅ −⋅= + = +

− −m

Vm VmnC nnR d V nbdT R dV dT

dST V b T V

Cnb

( )( )

12 2

11

lnlnVm

d VTnC

nbV V nbS nR

V nb V bT n

− + −∆ = +

⋅ − −

Exo 29Exo 29Exo 29Exo 29 : Détente de Joule : Détente de Joule : Détente de Joule : Détente de Joule ---- Thompson (ou Kelvin) Thompson (ou Kelvin) Thompson (ou Kelvin) Thompson (ou Kelvin)

1. ∆ = +U W Q = −1 ' 2 'AA BBP V P V ,

( )∆ = ∆ + = ∆ + − =2 ' 1 ' 0BB AAH U PV U P V PV

2. Détente : Adiabatique / Irréversible (frottements qui

ralentissent le gaz dans l’étranglement) / Isenthalpique

3. Le gaz supposé parfait et monoatomique.

3.a) = 3

2U nRT , = + = 5

2H U PV nRT , ∂ = = ∂

5

2m

Pm

P

HC R

T

3.b) 2nde loi de Joule : H ne dépend que de T : = PdH C dT ,

ce qui nous donne tout simplement BT = 0.

Travail des forces pressantes : On a aussi ∆ = 0U (car

U ne dépend que T également),

Donc : ∆ = = − =1 ' 2 '

0P AA BBU W PV PV .

Travail de transvasement est aussi nul ds cette détente.

3.c) Identité thermodynamique : ⋅= − =−dH VdP nR dP

dST T P

.

Ainsi

∆ = − = + >

2 1

1 2

ln ln 0GP

P PS nR nR

P P

Création d’entropie COMPRESSION de Joule-

Thomson impossible car diminution d’entropie….

4. Puisque dH = 0, on peut écrire d’après l’identité thermo …

dHm = δQrév + VmdP= CPm dT + (km + Vm) dP

Et ( )m m

JT

H Pm

k VT

P Cµ

− +∂ = = ∂

Si μJT > 0, alors T est une fonction croissante de P, la détente

s’accompagne d’un refroidissement du gaz

Si μJT < 0, alors T est une fonction décroissante de P, la

détente s’accompagne d’un échauffement du gaz

5. …

2

5 20

2

2

1 2 20

mPm

P

mm m

T

JT JT i

H Pm

H apC R

T RT

H ak V b

P RT

T a ab T

P C RT Rbµ µ

∂ = = + > ∂ ∂ + = = − ∂ ∂ = = − = ⇔ = ∂

Annulation de μJT : N2 / 799,8K, H2 / 224K, He / 34,9K, proche

des valeurs expérimentales Modèle VDW assez proche

Pour refroidir un gaz avec cette détente (seulement pour un

gaz), il faut déjà l’amener en dessous de sa température

d’inversion. On ne pourra pas refroidir directement

l’hélium. On va commencer par refroidir l’air ambiant pour

obtenir du diazote liquide à 77K, qui va refroidir par contact

le H2 que l’on pourra ensuite détendre pour atteindre 20K et

refroidir le He par contact, que l’on détendra jusqu’à 4K.

r

Ep

A A’ B B’

Σ(t) Σ(t+dt) Paroi

Principe d’un moteur Principe d’un moteur Principe d’un moteur Principe d’un moteur essenceessenceessenceessence

Le principe des moteurs a déjà été analysé en détail en cours, en

TD, en DM et en fiche complémentaire (rendement). Cet

exercice résume le fonctionnement d’un moteur à essence

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : Moteur automobile: Moteur automobile: Moteur automobile: Moteur automobile (essence) (essence) (essence) (essence)

Les moteurs sont classés en deux catégories suivant la

technique d’inflammation du mélange air carburant : les moteurs

à allumage commandé (moteurs à essence) et les moteurs à

allumage par compression (auto-inflammation du mélange,

moteurs Diesel). Ce sont tous deux des moteurs à combustion

interne car la combustion s’effectue à l’intérieur du moteur. Dans

le cas des moteurs à allumage commandé, un mélange

convenable air essence obtenu à l’aide d’un carburateur est admis

dans la chambre de combustion du cylindre. L’allumage y est

provoqué par une étincelle éclatant entre les deux électrodes

d’une bougie.

Le moteur comporte en général plusieurs cylindres. Dans

chaque cylindre, le piston entraîné par le vilebrequin permet de

recevoir le travail mécanique des forces pressantes lors de la

dilatation des gaz chauds produits par la combustion de l’essence.

Il coulisse entre le point mort haut (PMH) où le volume Vmin de

la chambre de combustion est minimal et le point mort bas

(PMB) où le volume Vmax de la chambre de combustion est

maximal. Le volume ainsi balayé est appelé la cylindrée, il est

noté CY = Vmax – Vmin = 2000 cm3 = 2L. Le mélange détonant air

essence est introduit dans le cylindre par l’intermédiaire d’une

valve : la soupape d’admission. Les gaz de combustion sont

évacués par une autre valve : la soupape d’échappement.

L’ouverture et la fermeture des valves sont commandées par

l’arbre à cames et les culbuteurs.

Le fonctionnement du moteur est cyclique. Il se décompose

en 4 temps successifs décrit comme suit :

- 1er temps : l’admission. La soupape d’admission s’ouvre ; le

piston descend et aspire le mélange gazeux air essence

venant du carburateur.

- 2ème temps : la compression. Les soupapes d’admission et

d’échappement sont fermées ; le piston, en remontant,

comprime le mélange.

- 3ème temps : la combustion et la détente. Les soupapes sont

encore fermées : une étincelle jaillissant de la bougie

provoque la combustion du mélange. La pression augmente

brutalement, le piston est repoussé : ce temps est moteur.

- 4ème temps : l’échappement. Le piston remonte, la soupape

d’échappement s’ouvre. Les gaz brulés sont éjectés.

A la fin du quatrième temps, le piston et les soupapes sont

revenus dans leur position initiale.

Le fonctionnement du moteur est schématisé sur un

diagramme de Watt (P,V) où P est la pression du gaz contenu

dans le volume V de la chambre du cylindre. Les étapes

successives du cycle sont décrites comme suit :

- IA : admission du mélange gazeux air essence dans la

chambre de combustion à la température ambiante TA =

300K et sous la pression atmosphérique PA = 1 bar ;

- AB : compression adiabatique réversible du mélange air

essence (les frottements du piston sur le cylindre sont

négligés) ;

- BC : en B, l’étincelle provoque l’explosion du mélange suivie

d’une compression isochore ;

- CD : en C, fin de la combustion suivie d’une détente

adiabatique réversible du gaz brulé ;

- DA : l’ouverture de la soupape d’échappement ramène le gaz

brulé à la pression atmosphérique ;

- AI : la remontée du piston évacue le gaz brulé vers l’extérieur

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH5 TH5 TH5 TH5 –––– Machines Thermiques Machines Thermiques Machines Thermiques Machines Thermiques –––– Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3

Le système fermé constitué du fluide gazeux décrit

indéfiniment le cycle ABCDA appelé cycle Beau de Rochas

(brevet d’invention déposé en 1862, première mise en application

sur monocylindre en 1876 par Otto). Dans cette approche

idéalisée, le mélange initial air essence et les gaz brulés

d’échappement sont assimilés à un même gaz de coefficient

γ = CPm / CVm = 1,35 constant et le nombre n de moles de gaz

admis dans le cylindre (à l’état A) est supposé inchangé par la

combustion interne.

1. Etude du cycle

1.1. Justifier le caractère adiabatique de la compression AB,

de la détente CD et le caractère isochore de la

combustion BC et du refroidissement DA. Pourquoi

ne prend-t-on pas en compte les étapes IA et AI au

cours desquelles le système constitué par le gaz contenu

dans le cylindre est un système ouvert ?

1.2. Exprimer le transfert thermique QBC mis en jeu dans

l’étape BC, en fonction de R, n, γ, TB et TC. Dans quel

sens le transfert thermique QBC s’effectue-t-il ?

1.3. Exprimer le transfert thermique QDA dans l’étape DA,

en fonction de R, n, γ, TD et TA. Dans quel sens le

transfert thermique QDA s’effectue-t-il ?

1.4. Exprimer le travail échangé W au cours du cycle ABCD,

en fonction de QBC et QDA.

2. Rendement thermique

2.1. Définir puis exprimer le rendement thermique ηth (celui

habituellement étudié) en fonction de QBC et QDA, puis

en fonction de TA, TB, TC et TD.

2.2. Le rapport volumétrique a, encore appelé taux de

compression est défini par a = Vmax / Vmin. Exprimer le

rendement thermique ηth en fonction de γ et de a

uniquement. Comment ηth varie-t-il en fonction de a ?

Calculer sa valeur pour un rapport volumétrique a = 9

(cette valeur sera conservée dans la suite du problème).

2.3. Le rendement global η du moteur dépend du rendement

thermique ηth mais aussi du rendement mécanique ηméca

caractérisant le transfert d’énergie du piston vers le

vilebrequin. Le rendement mécanique n’excède pas 85%

et peut descendre en dessous de 60% pour un moteur

usagé. Calculer le rendement global η du moteur pour un

rendement mécanique ηméca = 75% et en déduire le

volume d’essence produisant effectivement du travail sur

10L d’essence consommés.

3. Influence de la combustion

La réaction qui a lieu au sein de la chambre est une réaction

de combustion entre le carburant (dans le problème,

l’octane C8H18, de masse volumique μoct = 720 kg.m-3, sera

choisi) et le comburant, l’air. Ceux-ci sont injectés dans

des proportions stœchiométriques.

3.1. Exprimer puis calculer le nombre de moles du mélange

gazeux aspiré par le cylindre au cours de la phase

d’admission IA, en fonction de PA, TA, R et CY.

3.2. Au point B du cycle, exprimer la température TB et la

pression PB qui règnent dans la chambre de combustion

au moment de l’explosion, en fonction de TA, PA, a et γ.

Effectuer les applications numériques.

3.3 Une anomalie de combustion est l’auto-allumage qui

limite l’augmentation a priori recherchée du rapport

volumétrique : le mélange air essence s’enflamme

spontanément dans certaines conditions de confinement

avant le déclanchement de l’étincelle. Ce phénomène est

reconnaissable aux cliquetis métalliques émis par le

moteur. La température d’auto-allumage étant de 430°C,

calculer le rapport volumétrique maximal amax

permettant d’éviter l’auto-allumage au cours de la phase

AB. en déduire le rendement thermique maximal du

moteur dans ces conditions.

3.4. Ecrire l’équation de la combustion. En déduire la masse

m d’octane injectée pour la combustion, sachant que la

composition de l’air (en pourcentages molaires) est

20,9% en O2 et 79,1% en N2.

3.5. Expliquer pourquoi le mélange initial air essence et les

gaz d’échappement peuvent être assimilés en première

approximation à un même gaz parfait. Justifier

qualitativement pourquoi le meilleur fonctionnement du

moteur est obtenu lorsque carburant et comburant

constituent un mélange stœchiométrique.

3.6. Le Pouvoir Calorifique Inférieur (noté PCI) est la

quantité de chaleur libérée par kilogramme de carburant.

Dans le cas de l’octane et dans ces conditions de

confinement, il est de 44700 kJ.kg-1. Calculer la

température TC et la pression PC qui règnent dans la

chambre en fin de combustion. Comment expliquez-

vous ces valeurs anormalement élevées ?

3.7. L’automobile se déplace sur une autoroute à la vitesse

constante de 110 km.h-1, le vilebrequin effectuant 3500

tours par minute. En supposant que le moteur

fonctionne exactement selon le cycle Beau de Rochas, un

cycle correspondant à 2 tours du vilebrequin, calculer la

consommation en carburant C pour 100km parcourus et

la puissance P développée par le véhicule en chevaux (un

cheval-vapeur est équivalent à une puissance de 736W).

Commenter ce résultat.

Cycles MoteursCycles MoteursCycles MoteursCycles Moteurs :::: Calcul de RendementCalcul de RendementCalcul de RendementCalcul de Rendement

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 : : : : RRRRendement du cycle de Stirlingendement du cycle de Stirlingendement du cycle de Stirlingendement du cycle de Stirling

Voir Exercice 1.1 du TD22 et Fiche Rendement des Moteurs

Calculer le rendement η d’un cycle de Stirling (2 isothermes

/ 2 isochores) effectué par un gaz parfait de coefficient

caractéristique γ entre une source chaude de température TC et

une source froide de température TF. On définit le taux de

compression α = Vmax/Vmin. Montrer que :

( )

1

1

1 ln

StirlingCT

T

η

γ α

=+

− ∆

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3 : Rendement du cycle Beau de Rochas: Rendement du cycle Beau de Rochas: Rendement du cycle Beau de Rochas: Rendement du cycle Beau de Rochas

Voir Exercice 1.2 du TD22 et Fiche Rendement des Moteurs

Calculer le rendement η d’un cycle Beau de Rochas

(moteurs essence 2 temps et 4 temps, 2 adiabatiques réversibles

/ 2 isochores) effectué par un gaz parfait de coefficient

caractéristique γ. On définit le taux de compression α =

Vmax/Vmin. Montrer que :

11BeaudeRochasγη α −= −

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : Rendement du cycle Diesel: Rendement du cycle Diesel: Rendement du cycle Diesel: Rendement du cycle Diesel

Voir Fiche Rendement des Moteurs

Le moteur de Rudolf Diesel est un moteur à combustion

interne. Il fonctionne par auto-allumage du gazole que l’on

injecte dans l’air préalablement comprimé sous pression élevée.

Cette forte compression porte le fluide à une température

supérieure à son point d’inflammabilité, et il n’y a alors pas

besoin de bougie. On peut ainsi atteindre des taux de

compression plus important, ce qui augmente les rendements des

moteurs. Le cycle du moteur Diesel comporte toujours 4 temps :

1er temps : admission de l’air seul A0A1.

2ème temps : compression isentropique A1A2.

3ème temps : introduction du combustible après la

compression de l’air seul et échauffement isobare A2A3

suivi d’une détente isentropique A3A4.

4ème temps : refroidissement isochore A4A1 puis

échappement A1A0.

1. Quelle est la différence avec le cycle Beau de Rochas ?

Quel en est le but ?

2. Déterminer le rendement η

du cycle Diesel en fonction de

γ et des taux de compression

1

2

V

Vα = et 1

3

V

Vβ = , le fluide

étant assimilé à un GP.

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : Rendement d’un cycle de Joule (Brayton)Rendement d’un cycle de Joule (Brayton)Rendement d’un cycle de Joule (Brayton)Rendement d’un cycle de Joule (Brayton)

Une mole de GP décrit une suite cyclique (ABCD) de

transformations constituées de deux adiabatiques réversibles

(AB) et (CD), et de deux isobares (BC) et (DA).

Données : γ = 1,4, A (P0=1bar, T0=280K), B(P1=10bar, T1),

C(P1=10bar, T2=1000K), D(P0,T3), On note a = P1/P0 le

rapport de compression.

1. Exprimer les températures T1 et T3 en fonction de a, T0 et

T2. Les calculer.

2. Représenter le cycle suivi dans le diagramme de Clapeyron.

Quelle est la nature de la machine thermique envisagée ?

3. Exprimer le rendement η de cette machine en fonction des

températures du cycle, puis en fonction de a et de γ

uniquement. Le calculer.

4. En considérant qu’il s’agit d’une machine ditherme, quel

serait le rendement ηc du moteur de Carnot qui

fonctionnerait entre les mêmes sources chaude et froide ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 6666 : Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle

Une mole de gaz parfait

monoatomique décrit un cycle dont

la représentation dans le diagramme

de Clapeyron est le triangle dessiné.

Calculer le rendement η du cycle

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle

Une mole de gaz parfait

diatomique de coefficient γ = 1,4

décrit le cycle représenté. La

transformation A B est adiabatique

réversible. On note T0 la température

dans l’état (P0,V0) au point A.

1. Exprimer le rendement η de cette machine thermique en

fonction des températures TA, TB et TC.

2. Exprimer η en fonction de γ uniquement. Calculer η.

3. Quel serait le rendement η’ d’une machine ditherme

réversible qui fonctionnerait entre les mêmes sources

chaude et froide que la machine considérée ? Calculer η’.

ExercicExercicExercicExercice e e e 8888 : Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle

Un système constitué par n

moles d’un gaz parfait de coefficient γ

= 1,4 suit le cycle représenté sur le

diagramme de Clapeyron ci-contre.

La phase C A est une détente

adiabatique réversible. On note T0 la

température dans l’état A.

1. Exprimer les températures TB et TC en fonction de T0.

2. Quelle est la nature de cette machine thermique ? Exprimer

son rendement η en fonction de γ et de TA, TB et TC, puis

uniquement en fonction de γ. Le calculer.

3. Calculer le rendement ηmax de la machine de Carnot entre

les mêmes sources chaude et froide.

Cycles RécepteursCycles RécepteursCycles RécepteursCycles Récepteurs

Exercice Exercice Exercice Exercice 9999 : Cycle de Carnot / diagramme entropique: Cycle de Carnot / diagramme entropique: Cycle de Carnot / diagramme entropique: Cycle de Carnot / diagramme entropique

Le cycle de Carnot est un cycle réversible dont les étapes

successives sont les suivantes :

[AB] : détente isotherme à la température TF.

[BC] : adiabatique de TF à TC (avec TF < TC).

[CD] : compression isotherme à la température TC.

[DA] : adiabatique de TC à TF.

1. Comparer qualitativement les pentes des courbes de

l’adiabatique et de l’isotherme en un point où elles se

croisent. En déduire la représentation du cycle dans le

diagramme de Clapeyron (P, V). Représenter également le

cycle dans un diagramme entropique (T, S).

PPPP

V

A2 A3

A4

A1 A0

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH5 TH5 TH5 TH5 –––– Machines Thermiques Machines Thermiques Machines Thermiques Machines Thermiques –––– Feuille 2/3 Feuille 2/3 Feuille 2/3 Feuille 2/3

2. Comment peut-on, sans calculs, savoir si le cycle proposé

est celui d’un moteur ou d’un système mécaniquement

récepteur ? S’agit-t-il d’un cycle de type moteur thermique

ou réfrigérateur ? Comparer les aires des deux cycles.

3. Définir l’efficacité du système. L’exprimer en fonction de TC

et TF par une méthode graphique. Dépend-elle de la nature

du fluide considéré ?

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 10000 : Exemple de cycle d’une pompe à chaleur: Exemple de cycle d’une pompe à chaleur: Exemple de cycle d’une pompe à chaleur: Exemple de cycle d’une pompe à chaleur

Une mole d’air, assimilée à un GP de rapport des capacités

thermiques γ constant décrit un cycle thermodynamique

réversible dans le sens trigonométrique. Les étapes successives du

cycle décrit par l’air sont les suivantes :

A B C isoTréversibleisoS isoP

A B C

A B C

P P P

A V B V C V A

T T T

→ → →

1. Représenter le cycle en coordonnées de Clapeyron (P, V)

2. Exprimer PA, TB, PB, TC, VC et PC en fonction de TA, VA, VB

et γ.

3. Déterminer pour chacune des trois branches du cycle le

travail et la chaleur reçus par le gaz. Préciser le signe de ces

6 grandeurs.

4. Le système fonctionne en pompe à chaleur. Sur quelle

branche du cycle pompe-t-il de la chaleur ? Sur quelle

branche en cède-t-il ?

5. Définir l’efficacité thermodynamique de cette machine

epompe. L’exprimer en fonction de TA et de TB.

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 11111 : Couplage moteur : Couplage moteur : Couplage moteur : Couplage moteur / / / / climaticlimaticlimaticlimatiseseseseuuuurrrr

On souhaite réguler la température d’un bungalow à la

valeur t2 = 20°C, celui-ci étant situé dans l’atmosphère à la

température t1 = 37°C. Le bungalow est situé à proximité d’un lac

dont l’eau est à la température t3 = 12°C. Un climatiseur va pour

cela fonctionner entre le bungalow et l’air extérieur, et il va être

alimenté en énergie par un moteur fonctionnant avec pour

sources l’air extérieur et l’eau du lac.

On suppose que le climatiseur et le moteur sont tous deux

réversibles.

1. Compléter le dessin en indiquant les différents types d’énergie

échangés ainsi que le sens réel de ces échanges.

2. En considérant que seule la source chaude (chaleur absorbée

par le moteur uniquement) est onéreuse, exprimer

l’efficacité thermique eT du dispositif en fonction des

températures des sources. Calculer eT.

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 12222 : Pertes thermiques: Pertes thermiques: Pertes thermiques: Pertes thermiques

On désire maintenir dans un appartement une température

constante égale à T1 = 290K, grâce à une pompe à chaleur

utilisant comme source froide un lac de température T0 = 280K.

L’air extérieur a pour température constante T0. On suppose que

les pertes thermiques subies par l’appartement ont une puissance

donnée par la loi : ( )0thP aC T T= − où C = 107 J.K-1 est la

capacité thermique de l’appartement, T sa température et a une

constante.

1. Dans le but d’évaluer les pertes thermiques, on arrête la

pompe à chaleur alors que l’appartement est à la

température T1. Au bout d’une durée ]t = 2h, la

température a chuté à T2 = 285K.

1.a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par T(t), en

prenant pour origine des dates l’instant d’arrêt du

chauffage.

1.b) En déduire la valeur numérique de a.

2. Sachant que le coefficient d’efficacité thermique réel eT de

la pompe à chaleur ne représente que 40% de l’efficacité

maximale théorique, exprimer puis calculer eT.

3. Quelle doit être la puissance P de la pompe à chaleur pour

maintenir constante la température dans l’appartement ?

Une curiositéUne curiositéUne curiositéUne curiosité : Machine tritherme: Machine tritherme: Machine tritherme: Machine tritherme

Exercice 13Exercice 13Exercice 13Exercice 13 : Machine frigorifique à absorption: Machine frigorifique à absorption: Machine frigorifique à absorption: Machine frigorifique à absorption

Vous avez sans doute un jour constaté qu’un liquide volatile

comme l’éther (ou dans une moindre mesure l’alcool ou l’eau)

posé sur votre peau provoque une sensation de froid : les liquides

absorbent de la chaleur en se vaporisant, et inversement, les gaz

cèdent de la chaleur en se liquéfiant.

Un réfrigérateur à absorption est une machine frigorifique

tritherme qui n’échange pas de travail avec le milieu extérieur.

Le cycle de l’ammoniac d’un réfrigérateur à absorption est

représenté sur le schéma suivant. Une source chaude à la

température T1 produit dans le bouilleur la vaporisation d’une

solution d’ammoniac. L’ammoniac se rassemble dans une

enceinte de faible volume : le condenseur. Dans le condenseur,

l’ammoniac est comprimé et se liquéfie en cédant de la chaleur à

l’atmosphère à la température T2. L’ammoniac liquide est ensuite

détendu dans un évaporateur à l’intérieur du réfrigérateur à la

température T3 puis est renvoyé dans le bouilleur. Le système ne

reçoit pas de travail.

1. Déterminer le signe des quantités de chaleur Q1, Q2 et Q3

reçues par l’ammoniac (en justifiant avec les principes)

2. Calculer l’efficacité du réfrigérateur, et sa valeur maximale.

Clim

Moteur

Bungalow Soleil

Lac

EVAPORATEUR TTTT3333

Réfrigérateur

CONDENSEUR BOUILLEUR

Source Froide

NH3 NH3

NH3 TTTT1111

Source

chaude

Source tiède

(atmosphère)

TTTT2222

T1 = 373K

T2 = 293K

T3 = 268K

Cycles avec pseudoCycles avec pseudoCycles avec pseudoCycles avec pseudo----sourcessourcessourcessources

Une pseudo-source est une source dont la température est

variable. Il faut en tenir compte dans les bilans, le cycle évolue

avec le temps. Par exemple lorsqu’on souhaite extraire de

l’énergie d’une source chaude = réservoir d’eau chaude de taille

limitée, celui-ci se refroidit au fur et à mesure, limitant le travail

total extractible. Lorsqu’on chauffe un système, sa température

évolue également…

Exercice Exercice Exercice Exercice 14141414 : Extraction d’énergie de pseudo: Extraction d’énergie de pseudo: Extraction d’énergie de pseudo: Extraction d’énergie de pseudo----sourcessourcessourcessources

Soit un moteur thermique réversible fonctionnant entre

deux sources thermiques de même capacité thermique

C = 4.105 J.K-1, dont les températures initiales respectives sont

t20 = 10°C et t10 = 100°C. Ces deux sources peuvent être constituées

par exemple d’une même masse d’eau liquide contenue dans des

citernes, l’une sur le toit chauffée au soleil, l’autre au sous-sol. On

pose T = 273+t, avec T en K. Les températures des deux sources,

supposées isolées du milieu extérieur, vont évoluer par suite des

échanges avec l’agent thermique circulant dans ce moteur (c’est

pour cela que l’on parle de pseudo-sources). On note dT1 et dT2

ces variations au cours d’un cycle, les températures des sources

sont définissables et égales à T1 et T2.

1. Fonctionnement du moteur sur un cycle élémentaire (sur

un intervalle de temps [t, t+dt])

1.a) Donner le schéma de principe de ce moteur en indiquant

le sens des échanges énergétiques.

1.b) Montrer que les températures des sources vérifient

l’équation différentielle : 1 2

1 2

0dT dT

T T+ =

1.b) Quelle est la température Tf des deux sources quand le

moteur s’arrête de fonctionner réversiblement ?

2. Travail récupérable et rendement global

2.a) Calculer le travail maximal fourni par ce moteur jusqu’à

son arrêt. Interpréter son signe.

2.b) Calculer le rendement global. Comparer avec le

rendement théorique maximal que l’on pourrait obtenir

si les températures initiales des deux sources restaient

constantes (sources idéales de chaleur).

Exercice Exercice Exercice Exercice 15151515 :::: Chauffage par pompe à chaleur Chauffage par pompe à chaleur Chauffage par pompe à chaleur Chauffage par pompe à chaleur

On veut échauffer une masse d’eau liquide m = 1000kg

contenue dans une citerne de 10°C à 40°C sous la pression

atmosphérique (on rappelle la capacité thermique massique de

l’eau 3 1 14,18.10 . .Pc J K kg− −= ). A cet effet, on utilise une

pompe à chaleur fonctionnant réversiblement entre cette masse

d’eau et un lac à une température constante, égale à T0 = 10°C.

1. Définir l’efficacité thermique « vraie » ou « instantanée », en

considérant un cycle élémentaire au cours duquel la source

chaude (la masse m d’eau) voit sa température évoluer de T

à T+dT.

2. Calculer l’énergie à fournir au cours de cette opération.

3. En déduire l’efficacité thermique apparente, associée au

bilan énergétique.

Exercice Exercice Exercice Exercice 16161616 : Moteur thermique entre 2 masses d’eau: Moteur thermique entre 2 masses d’eau: Moteur thermique entre 2 masses d’eau: Moteur thermique entre 2 masses d’eau

Un moteur thermique fonctionne réversiblement entre deux

masses d’eau : m1 de température initiale T01, et m2 de

température initiale T02.

1. Quand le moteur cesse-t-il de fonctionner ? Calculer la

température finale TF atteinte alors par les masses d’eau.

2. Déterminer le travail fourni par le moteur pendant toute la

durée du fonctionnement.

3. Effectuer les applications numériques pour m1 = 600kg,

m2 = 1000kg, T01 = 360K et T02 = 300K.

Données : Capacité thermique de l’eau - 1 14,18 . .Pc kJ K kg− −=

Exercice Exercice Exercice Exercice 17171717 : Pompe à chaleur: Pompe à chaleur: Pompe à chaleur: Pompe à chaleur

Une pompe à chaleur (PAC) fonctionne réversiblement

entre une source de température variable au cours du temps et

une source idéale de température constante :

1 tonne d’eau de capacité thermique massique 3 1 14,18.10 . .Pc J K kg− −= dont la température TC(t)

varie ; elle est contenue dans une citerne et sa

température initiale est T0C = TF = 283K.

L’atmosphère de température constante TF = 283K.

1. Déterminer le travail fourni par le milieu extérieur quand

l’eau de la citerne a atteint la température Tf = 320K.

2. Calculer l’efficacité thermodynamique ePAC de la PAC.

3. Quelle aurait été l’élévation de température si la même

énergie avait été fournie à l’eau directement par une

résistance chauffante ? Commenter.

Exercice Exercice Exercice Exercice 18181818 : Climatiseur: Climatiseur: Climatiseur: Climatiseur

Un local de capacité thermique totale μ = 4000 kJ.K-1 est

initialement à la température t0 = 32°C de l’air extérieur. Un

climatiseur fonctionnant de manière ditherme réversible entre

l’air extérieur à température constante e le local de température

variable ramène la température de celui-ci à t1 = 20°C en une

durée ]t = 1h. On note δQ1 et δQ2 les échanges thermiques entre

le fluide thermique et respectivement le local et l’air extérieur,

au cours d’un cycle élémentaire où la température du local varie

de T(t) à T(t)+dT.

1. Schématiser le fonctionnement du dispositif au cours d’un

cycle élémentaire. Indiquer le sens réel des échanges de

chaleur.

2. Exprimer les quantités de chaleur totales Q1 et Q2 échangées

durant le refroidissement du local de la température t0 à t1.

3. En déduire le travail total W fourni au climatiseur. Faire

l’application numérique.

4. Quelle est la puissance moyenne P fournie au climatiseur ?

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH5 TH5 TH5 TH5 –––– Machines Thermiques Machines Thermiques Machines Thermiques Machines Thermiques –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 3333/3/3/3/3

PrincipePrincipePrincipePrincipe du moteur essence du moteur essence du moteur essence du moteur essence

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : : : : Moteur automobile (essence)Moteur automobile (essence)Moteur automobile (essence)Moteur automobile (essence)

1.1. Transfo adiabatique ? Les transferts thermiques lors de la

compression et de la détente sont lents par rapport à la

durée des évolutions

Transfo isochore ? La combustion et le refroidissement sont

trop rapides pour que le piston ait le temps de se déplacer.

Prise en compte des étapes IA et AI : Non nécessaire

car les travaux et chaleurs se compensent sur l’ensemble.

1.2. Etape BC : ( ) ( )1BC V C B C B

nRQ U C T T T T

γ= ∆ = − = −

−

On a QBC>0 Chaleur reçue par le gaz lors de combustion.

1.3. Etape DA : ( ) ( )1DA V A D A D

nRQ U C T T T T

γ= ∆ = − = −

−

On a QDA<0 Chaleur fournie par le gaz.

1.4. Premier principe : W + QBC + QDA = 0 . W = -QBC -QDA

2.1. Rendement ( )( )1 A DBC DA

th

BC BC BC C B

T TQ QW W

Q Q Q T Tη

−+−= = = = +−

2.2. On a la loi de Laplace TVγ-1 lors des évolutions adiabatiques

réversibles AB et CD : 1 1 1

max min

1 1 1

max min

A B A B

D C D C

T V T V T a T

T V T V T a T

γ γ γ

γ γ γ

− − −

− − −

= = ⇒

= =

Ainsi, on obtient : 11th a γη −= −

Si on dérive : ( ) 11 0thd

ada a

γγ

η γγ − −= − − = >

Le rendement est une fonction croissante de a, il faut

augmenter le taux de compression pour augmenter ηth.

AN : Pour a = 9, ηth = 0,54 = 54%

2.3. Rendement global η = ηth × ηméca = 0,40 = 40%

Sur 10L d’essence, seuls 4L produisent du travail.

3.1. Gaz absorbé : 80,2A Y

A

P Cn mmol

RT= = (il en reste toujours

un peu, correspondant à Vmin, on absorbe la différence CY).

3.2. Point B :

11max

1

min

max

min

647,3

19,4

AB A

AB A

T VT T a K

V

P VP P a bar

V

γγ

γ

γγ

γ

−−

−

= = ⋅ =

= = ⋅ =

3.3 Si Tauto = 430°C = 703K, alors 1max 11, 4auto

A

Ta

Tγ −= = ,

Et le rendement max : 1

_ max

max _ max

1 57,3%

43,0%

th

th méca

a γηη η η

− = − = = ⋅ =

3.4. Combustion : 8 18 2 2 2

98 8 9

2C H O CO H O

+ + → +

Il y a donc 1 mole d’octane pour 25/2 = 12,5 moles d’O2, et

donc pour 12,5/0,209 = 59,8 moles d’air. A chaque injection,

de n moles de gaz, noct = n/(60,8) = 1,32mmol, d’où une

masse injectée : m = noct × M(C8H18) = 0,15g

(Remarque : cela fait un pourcentage molaire de 1,64%)

(Remarque : cela fait un pourcentage massique de 6,15%)

3.5. Les mélanges peuvent être assimilés en première

approximation à un même gaz parfait car il y a en majorité

du N2 dans les deux, à une pression qui reste faible (<50

bar). Le meilleur fonctionnement (rendement) du moteur

est obtenu lorsque carburant et comburant constituent un

mélange stœchiométrique car alors, tout le carburant est

utilisé pour générer de l’énergie.

Remarque : la combustion incomplète pollue, notamment à

l’origine de la production de CO (manque d’O2…) qui est

toxique, et d’autres polluants (suie, cendres, goudron, autres

oxydes d’azotes ou d’hydrocarbures, …).

3.6. On brûle à chaque explosion 0,15g, ce qui génère une

chaleur ( )67051BC C B

nRQ J T T

γ= = −

− (on approxime la

quantité totale de gaz par n), et

14167

124,9

C B BC

CC B

B

T T Q KnR

TP P bar

T

γ − = + = = ⋅ =

Valeur anormalement élevée due au caractère idéal de ce

qui a été considéré ici, combustion totale, octane pur, pas de

pertes de chaleur, valeur calculées pour des molécules

diatomiques, alors que beaucoup sont plus complexes…

3.7. 3500 tours/min 1750 injections/min = 262,5g/min =

364,6mL/min = 21,9L/h = 19,9 L/100km

Puissance développée : on sait que le rendement est de

40%, donc sur les 6,08mL/s consommés, 2,43mL/s

produisent un travail, c'est-à-dire 1,75g/s, c'est-à-dire

d’après le PCI, P = 78,2kJ/s = 78,2kW = 106,28 cv

On obtient des valeurs d’un bon ordre de grandeur, mais

un peu surévaluées, du fait que l’on suppose que le moteur

est parfait et que l’on prend pas en compte tous les

paramètres… De plus, 3500 tours/min pour aller à 110km/h

avec un moteur de 2L signifie qu’il doit avoir une forte

charge à tirer, d’où la valeur importante de la

consommation en essence.

Exercice 2/3/4/5Exercice 2/3/4/5Exercice 2/3/4/5Exercice 2/3/4/5 : : : : Calculs de rendementsCalculs de rendementsCalculs de rendementsCalculs de rendements

Voir la correction sur la fiche distribuée

(Cycles de Carnot, Stirling, Beau de Rochas, Diesel, Brayton)

Remarque sur le moteur DieselRemarque sur le moteur DieselRemarque sur le moteur DieselRemarque sur le moteur Diesel

Différence par rapport au moteur essence : Dans un moteur

Diesel simple, la combustion du mélange air-combustible n’est

pas provoquée par une étincelle (bougie), mais par auto-

inflammation. Au dessus d’une certaine pression (et donc

température), le mélange brûle spontanément. Il faut donc un

taux de compression plus élevé. Dans un Diesel plus évolué, on

comprime l’air seul, puis on ajoute par un injecteur du

combustible au moment où l’air commence à se détendre (A2A3),

donc combustion quasi-isobare. Le moteur Diesel est plus efficace

que le moteur essence, et évite le phénomène d’auto-allumage

qui handicape les moteurs essence (explosion du mélange avant

la fin de la compression, d’où un cognement du moteur).

SOLUTION des EXERCSOLUTION des EXERCSOLUTION des EXERCSOLUTION des EXERCICES ICES ICES ICES –––– TH5 TH5 TH5 TH5 –––– Machines ThermiquesMachines ThermiquesMachines ThermiquesMachines Thermiques –––– Feuille 1/ Feuille 1/ Feuille 1/ Feuille 1/2222

Exercice 6Exercice 6Exercice 6Exercice 6 : Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle: Rendement d’un cycle

On calculer les chaleurs :

- QAB = CP]T = -CPT0 < 0 fournie

- QBC = CV]T = CVT0 > 0 reçue

- W = - P0V0/2 (- aire cycle) < 0 fourni

- Et avec le premier principe :

0 00 02CA AB BC V P

PVQ W Q Q C T C T

+= − − − = − +

Ainsi : 0 0 0 0 0 03

02 1 1 2CA

PV nRT nRT PVQ

γγ γ

+= − + = >

− − (chaleur reçue)

On a donc la chaleur reçue totale : QC = QBC+QCA = CVT0 + 3P0V0/2

Donc :

( )0 0

0 0 0

1 116,7%

2 3 2 3 1 3 1C V

PVW

Q C T PV

γ γηγ γ

− − −= = = = =+ + − −

Exercice 7Exercice 7Exercice 7Exercice 7 : Rendem: Rendem: Rendem: Rendemeeeent d’un cyclent d’un cyclent d’un cyclent d’un cycle

1. Chaleurs ( )( )

0AB

BC P C B

CA V A C

Q

Q C T T

Q C T T

=

= − = −

, et

( )

1

1

C F CA

C C BC

A C

C B

Q Q QW

Q Q Q

T T

T Tγ

η

η

+−= = = +

=−−

+

2. Mais on a (Laplace) : ( )

( )

110

1

0

0

0

2 1,322

22

AB A A

AB A

T VT T T

V

P VP P

V

γγ

γ

γγ

γ

−−

−

= = ⋅ = ⋅

= = ⋅

Et sur BC : T/V = cstte 0

0

2 2 2,642C B B A A

VT T T T T

Vγ⇒ = = = =

Ainsi : 1

21 11,3%

2

1 γ

γηγ −= + =−

⋅

3. Rendement de Carnot : 1 1 1 2 62%F A

C C

T T

T Tγη −′ = − = − = − =

(On prend les températures extrêmes TA et TC)

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Rendem: Rendem: Rendem: Rendement d’un cycleent d’un cycleent d’un cycleent d’un cycle

1. Températures

TA = T0 donc TB = T0/2

TC = 2γ-1T0 (loi de Laplace)

2. Machine motrice (sens horaire)

On calcule les chaleurs

QAB = CP]T = - CPT0/2 < 0 fournie

QBC = CV]T = CVT0 (2γ-1)/2 > reçue

QCA = 0 (adiabatique réversible)

Rendement : 1A B BC A B

C B C BC B C

Q Q QW W

Q Q Q Qη +− −= = = = +

Donc :

( ) ( )1 1 14,6%2 1 2 1

P

V

C

C γ γ

γη = − = − =− −

3. Rendement de Carnot : 1 1 1 2 62%F B

C C

T T

T Tγη −′ = − = − = − =

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : Cycle de Carnot / diagramme entropique: Cycle de Carnot / diagramme entropique: Cycle de Carnot / diagramme entropique: Cycle de Carnot / diagramme entropique

1. Adiabatique plus pentue (démo - voir DM).

2. Cycle moteur : parcouru dans le sens horaire, cycle

récepteur : parcouru dans le sens antihoraire. Il s’agit ici

d’un réfrigérateur. Les deux cycles ont la même aire

(diagramme de Clapeyron, Aire = -W, et diag entropique :

Aire = Q, mais W + Q = 0, l’aire est donc la même).

3. Efficacité : Ne dépend pas du fluide considéré :

( ) ( )( )

_1

_ _

C F B A F

C C B A C

T T S T TAire CycleW

Q Aire Courbe Haute T S T Tη η

− −−= = = = = −−

ExExExExerciceerciceerciceercice 10101010 : Cycle d’une pompe à chaleur: Cycle d’une pompe à chaleur: Cycle d’une pompe à chaleur: Cycle d’une pompe à chaleur

1. Diagramme de Clapeyron (P, V)…

2. On a AA

A

nRTP

V= ,

1

AB A

B

VT T

V

γ −

=

, 1

B AB A

B B B

nRT VnRP T

V V V

γ −

= =

,

C AT T= , 1

C BC

C A

nRT VV

P V

γ

γ−= = .

3. 1

0

1 01

AB

A AAB

B

Q

nRT VW

V

γ

γ

−

= = − < −

,

1

1

1 01

1 0

A ABC

B

ABC A

B

nRT VQ

V

VW nRT

V

γ

γ

γγ

−

−

= − > −

= − <

, 0

ln 0

CA CA

BCA A

A

Q W

VW nRT

Vγ

= − <

= >

4. Pompage de la chaleur : sur BC, en cède sur CA

5. Efficacité thermo : ln

1 ln

A

BCA Cpompe

reçu C FB A

A B

T

TQ Te

W T TT T

T T

− = = <

− − +

Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Couplage moteur / climatiseur: Couplage moteur / climatiseur: Couplage moteur / climatiseur: Couplage moteur / climatiseur

1. On complète le schéma :

2. On a

2 2 2

22 22 2

1

1 2

2 2 1 1

1 1 1

31 11 1

1

1 3

0

0

00

0

C F

F CC F

C F C FC F

F CC F

Q Q WT

Q QQ QT

T TQ Q Q Q

Q Q WT

Q QQ QT

T T

+ + = = − + =

⇒ + + + = + + = = −

+ =

On injecte tout dans la 2nde équation :

( )( )

2 1322 1 1 2

1 1 3 1

11 1 0

1C C C C

T TTTQ Q Q Q

T T T T

− − − + − = ⇒ = −

Si on considère que seule la chaleur absorbée par le moteur est

onéreuse :

( )( )

322

12 1

2 11 12

23 1

1

1, 391

11

CF

T T

CC

TTQ

TQ Te e

T TQ TQ

TT T

− −− = = = = =

− − − −

T0 2T0

2T0

A B

C

T0 T0/2

P

V

IsoT

IsoT

IsoS

IsoS

BBBB AAAA

DDDD

CCCC T

S

IsoT

IsoT

IsoS IsoS

BBBB AAAA

DDDD CCCC

Clim

Moteur

Bungalow Soleil

Lac

QC1>0 QF1<0

QC2<0

QF2>0 W1=-W2

T3

T1 T2

Exercice 12Exercice 12Exercice 12Exercice 12 : Pertes thermiques: Pertes thermiques: Pertes thermiques: Pertes thermiques

1. Evaluation des pertes :

1.a) Bilan thermique à P constante :

( )0 0th

dTdH CdT P aC T T aT aT

dt= = − = − − ⇒ + =

1.b) On en déduit ( )( )

0

0

d T Tadt

T T

−= −

− et 2 0

1 0

lnT T

a tT T

−= − ∆ −

Ce qui nous donne 5 12 0

1 0

1ln 9,6.10

T Ta s

t T T− − −−= = ∆ −

2. Efficacité maximale (Carnot) : 29CC

Te

T= =

∆, donc notre

pompe fonctionne à 0.4 11,6CTe

T

T= ⋅ =

∆

3. Pour que la chaleur soit constante, il faut que

CdT ( )00T PAC th T PAC the P dt P dt e P P aC T T= − = ⇒ = = −

La PAC doit compenser directement les pertes :

( )1 0 826thPAC

T T

aC T TPP W

e e

−⇒ = = =

Exercice 13Exercice 13Exercice 13Exercice 13 : Machine frigorifique à absorption: Machine frigorifique à absorption: Machine frigorifique à absorption: Machine frigorifique à absorption

1. Etude des chaleurs

Système étudié : l’ammoniac NH3 = fluide caloporteur

L’évaporation absorbe de la chaleur : Q3 < 0.

2 principes : 1 2 3

31 2

1 2 3

0

0irr

rév

Q Q Q

QQ Q

T T T

+ + = + + ≤

Pour étudier le signe de Q1, on élimine Q2 dans l’inégalité :

1 3 1

1 2 3 2

0 0

1 1 1 10 0

irr

révQ Q Q

T T T T

< >

− + − ≤ ⇒ >

Pour étudier le signe de Q2, on élimine Q1 dans l’inégalité :

1 3 2

2 1 3 1

0 0

1 1 1 10 0

irr

révQ Q Q

T T T T

> >

− + − ≤ ⇒ <

2. Efficacité : ( )( )

3 1 23

1 1 2 3

2,3irr

rév

T T TQe

Q T T T

−= ≤ =

−

Exercice Exercice Exercice Exercice 14141414 : Extraction d’énergie : Extraction d’énergie : Extraction d’énergie : Extraction d’énergie de pseudode pseudode pseudode pseudo----sourcessourcessourcessources

1. Fonctionnement du moteur sur un cycle élémentaire (entre τ

et τ+dτ). On peut supposer les T constantes sur ce cycle.

1.a) Schéma classique d’un moteur thermique…

Attention aux signes reçus pour le moteur

Mais fourni par les sources

δQ1 reçu par le moteur,

Donc δQ1 = -CdT pour la source

1.b) Sur un cycle élémentaire :

1 2

1 2

1 Principe : 0

2 Principe : 0

ercycle C F

èmecycle

dU W Q Q

Q QdS

T T

δ δ δδ δ

= = + +

= = +

.

Le second principe donne directement :

1 2

1 2

0CdT CdT

T T

− −= +

1.c) T1 et T2 vont évoluer jusqu’à ce qu’elles s’équilibrent à la

valeur Tf, telle que (en intégrant) :

1 2

0 ln lnf fT T

T T

= +

,

Ainsi : 1 2 325 52fT T T K C= = = °

2. Travail récupérable et rendement global

2.a) Calcul du travail avec le 1er principe :

0 C F C FU W Q Q W Q Q∆ = = + + ⇒ = − − ,

( ) 6

1 2 1 22 2,48.10fW CdT CdT C T T T J= + = − − = −∫ ∫

2.b) Rendement global : ( )( )

1 2

1 1

212,9%f

f

C T T TW

Q C T Tη

− −= = =

−

Rendement faible par rapport au cycle de Carnot effectué de

manière réversible entre 2 sources de température fixe :

2

1

1 24,1%Carnot

T

Tη = − =

Exercice 15Exercice 15Exercice 15Exercice 15 : Chauffage par pompe à chaleur: Chauffage par pompe à chaleur: Chauffage par pompe à chaleur: Chauffage par pompe à chaleur

1. Cycle élémentaire :

_

_

0

1 Principe : 0

2 Principe : 0

ercycle élémentaire C F

ème C Fcycle élémentaire

dU W Q Q

Q QdS

T T

δ δ δδ δ

= = + +

= = +

Efficacité thermique « vraie » ou « instantanée » :

0

C Cpompe

C F

Q Q Te

W Q Q T T

δ δδ δ δ

−= = =

+ −

2. Energie à fournir :

( )01 211 1

pompe

TQ TW Q mc dT

e T T

δδ δ− = = − − = −

(Attention aux signes, comme dans l’exercice 14, la chaleur

reçue par le moteur est fournie par la source dH=-mcdT)

Et ( ) 6maxmax 0 0

0

ln 6,21.10T

W mc T T T JT

= − − =

3. Efficacité thermique apparente :

( )

( )

( )

( )max 0

maxmax 0 0

0

20,2

ln

C totale

pompe

total

Q mc T Te

W Tmc T T T

T

− −= = =

− −

T1

T2

W<0

ΣΣΣΣ

δQ2<0

δQ1>0

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH5 TH5 TH5 TH5 –––– Machines Thermiques Machines Thermiques Machines Thermiques Machines Thermiques –––– Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2

EVAPORATEUR TTTT3333

Réfrigérateur

CONDENSEUR BOUILLEUR

Source Froide

NH3 NH3

NH3 TTTT1111

Source

chaude

Source tiède

(atmosphère)

TTTT2222

T1 = 373K

T2 = 293K

T3 = 268K

Q1 Q2

Q3

Exercice 16Exercice 16Exercice 16Exercice 16 : Moteur thermique entre 2 masses d’eau: Moteur thermique entre 2 masses d’eau: Moteur thermique entre 2 masses d’eau: Moteur thermique entre 2 masses d’eau

1. On applique la même méthode que dans les exercices

précédents, on fait un bilan sur un cycle élémentaire :

( ) ( )

_

_

1 Principe : 0

2 Principe : 0

ercycle élémentaire C F

ème C Fcycle élémentaire

C F

dU W Q Q

Q QdS

T t T t

δ δ δδ δ

= + + = = + =

Et pour chacune des sources, on a :

( )( )

1 1

2 2

1 :

2 :

ère echC V C C

ème echF V F F

Source dU Q m cdT Q reçue

Source dU Q m cdT Q reçue

δ δδ δ

= = = −

= = = −

Ce qui donne, avec le second principe :

( ) ( )1 2

_0C F

cycle élémentaire

C F

m dT m dTdS c

T t T t

= − + =

Et 1 2

1 2 1 2

1 2 01 02

01 02

ln ln 0

m m

m m m mf ff

T Tm m T T T

T T+ +

+ = ⇒ = ⋅

(moyenne géométrique des températures initiales)

2. Travail fourni : Bilan global

( ) ( ) 6

2 02 1 01 8,5.10C F f fW Q Q m c T T mc T T J= − − = − + − = −

3. AN : 321,2fT K=

Exercice 17Exercice 17Exercice 17Exercice 17 : Pompe à chaleur: Pompe à chaleur: Pompe à chaleur: Pompe à chaleur

Une pompe à chaleur (PAC) fonctionne réversiblement

entre une source de température variable au cours du temps et

une source idéale de température constante :

1 tonne d’eau de capacité thermique massique 3 1 14,18.10 . .Pc J K kg− −= dont la température TC(t)

varie ; elle est contenue dans une citerne et sa

température initiale est T0C = TF = 283K.

L’atmosphère de température constante TF = 283K.

1. On applique les principes sur un cycle élémentaire :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

_0CF

cycle élémentaire

F C

CF C C F

C

dTQdS mc

T t T t

dTW Q Q mc dT T t

T t

δ

δ δ δ

= − + = = − + = −

On intègre la seconde relation :

( ) 6ln 9,3.10ff F F

F

TW mc T T T J

T

= − − =

2. Efficacité : ( )

( )

( )

( )16,6

ln

C totale f F

PAC

total ff F F

F

Q mc T Te

W Tmc T T T

T

− −= = =

− −

3. Si la même énergie avait été fournie à l’eau directement par

une résistance chauffante, l’élévation de température aurait

été 16,6 fois moins grande, car l’efficacité d’une résistance

chauffante n’est que de 1 (énergie électrique convertie

directement en énergie thermique par effet Joule). On a ici

]T= 37K, on aurait eu seulement 2,3K.

Exercice 18Exercice 18Exercice 18Exercice 18 : Climatiseur: Climatiseur: Climatiseur: Climatiseur

1. Schéma habituel d’un réfrigérateur…

2. Chaleurs totales :

( )( )

1 2

0

1 1 1 0

12 0 2 0

0

2 Principe : 0

ln

ème Q Q

T T

Q dT Q T T

dT TQ T Q T

T T

δ δ

δ µ µµ

δ µ

+ =

= − ⇒ = − − − = − ⇒ =

3. Travail (1er principe) : 1 2

970W Q Q kJ= − − =

4. Puissance fournie (1h = 3600s) P = W/]t = 269W

TC

TF

W > 0 ΣΣΣΣ

Equilibre Equilibre Equilibre Equilibre Solide Solide Solide Solide ---- LiquideLiquideLiquideLiquide

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : : : : Fusion de la glaceFusion de la glaceFusion de la glaceFusion de la glace

Une masse MS = 1,00kg de glace, initialement à la

température t1 = -20°C, est placée au contact d’un thermostat de

température t0 = 0°C. En fin de transformation, la masse MS est

entièrement liquide.

Données : Chaleur latente massique de fusion de la glace :

lfus(P0=1bar, t0) = 334 kJ.kg-1, capacité thermique de la glace

(supposé constante) : cg = 2,09 kJ.kg-1.K-1.

Calculer la variation d’enthalpie 5H de la masse MS au cours

de cette évolution.

Exercice Exercice Exercice Exercice 2222 : : : : Equilibre EauEquilibre EauEquilibre EauEquilibre Eau----GlaceGlaceGlaceGlace

Un calorimètre thermiquement isolé et de capacité

thermique négligeable contient une masse ML = 1,00kg d’eau

liquide, initialement à la température t2 > t0 = 0°C. Une masse

MS = 1,00kg de glace, initialement à la température t1 = -20°C, est

ajoutée dans le calorimètre.

Données : Chaleur latente massique de fusion de la glace :

lfus(P0=1bar, t0) = 334 kJ.kg-1, capacité thermique de la glace

et de l’eau (supposées constantes) : cg = 2,09 kJ.kg-1.K-1, et

ceau = 4,18 kJ.kg-1.K-1.

Déterminer et calculer la température minimale t2min de la

masse ML d’eau liquide pour laquelle, à l’équilibre, toute l’eau est

sous forme liquide.

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : : : : Formation de glaceFormation de glaceFormation de glaceFormation de glace

Un cylindre aux parois diathermanes (laisse passer la

chaleur) est plongé dans un bain eau-glace à la température t1 =

0°C. Ce cylindre contient n = 1 mol d’un gaz parfait diatomique,

initialement à la pression P1 = 3 bar. On réalise une détente

réversible du gaz jusqu’à ce que sa pression soit P2 = 1 bar.

Données : Chaleur latente massique de fusion de la glace sous la

pression atmosphérique lfus = 334 kJ.kg-1.

1. Exprimer le transfert thermique Q échangé par le gaz avec le

bain eau-glace au cours de la détente. Le calculer.

2. En déduire la masse mg de glace formée dans le bain eau-

glace.

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 :::: Mesure de chaleur latente de fusionMesure de chaleur latente de fusionMesure de chaleur latente de fusionMesure de chaleur latente de fusion

Un calorimètre, de capacité thermique C = 84 J.K-1, contient

une masse m1 = 530g d’eau liquide à la température t1 = 25°C. On

y introduit une masse m2 = 49g de glace à la température t2 = 0°C.

La température d’équilibre mesurée et tf = 16,5°C.

Données : Capacité thermique de l’eau (liq) ceau = 4,18 kJ.kg-1.K-1.

Exprimer puis calculer la chaleur latente de fusion lfus de

l’eau, sous la pression atmosphérique.

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : Cessation de surfusionCessation de surfusionCessation de surfusionCessation de surfusion

On parle d’un état surfondu de la matière lorsque celle-ci

reste à l’état liquide alors que sa température est descendue sous

son point de solidification. Il s’agit d’un état métastable : une

simple perturbation (vibration, poussière, …) suffit à déclencher

la solidification du liquide. Une masse m d’eau se trouve ainsi

dans un état surfondu à la température t1 = -5°C, sous la pression

atmosphérique. L’introduction d’un germe de glace fait cesser la

surfusion, une masse m’ de glace se forme alors.


pression atmosphérique lfus = 334 kJ.kg-1, Capacité

thermique de l’eau liquide ceau = 4,18 kJ.kg-1.K-1.

1. Ecrire la variation d’enthalpie 5H de l’eau au cours de la

transformation. On considèrera un état intermédiaire où

l’eau est liquide, à la température t0 = 0°C.

2. En supposant la transformation suffisamment rapide pour

être adiabatique, en déduire l’expression puis la valeur

numérique du rapport m’/m.

3. Exprimer la variation d’entropie 5S de l’eau au cours de la

transformation. Quel est son signe ? Interpréter.

Exercice Exercice Exercice Exercice 6666 : : : : Fusion de glace dans un calorimètreFusion de glace dans un calorimètreFusion de glace dans un calorimètreFusion de glace dans un calorimètre

On place dans un calorimètre une masse M = 1kg d’eau

liquide à la température t1 = 20°C ainsi qu’un bloc de glace de

masse m à la température t2 = 0°C. La capacité thermique du

calorimètre est négligeable devant celle de l’eau et de la glace

introduites.


pression atmosphérique lfus = 334 kJ.kg-1, Capacité

thermique de l’eau liquide ceau = 4,18 kJ.kg-1.K-1.

1. En supposant que dans l’état final l’eau est entièrement sous

forme liquide, déterminer en fonction des données la

température finale tf.

2. Calculer la masse m de glace pour laquelle on obtient de

l’eau liquide à 0°C dans l’état final.

3. On prend m = 0,5kg. Déterminer la température finale tf

ainsi que la composition du système à l’équilibre.

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : : : : Machine à glaçonsMachine à glaçonsMachine à glaçonsMachine à glaçons

Une machine frigorifique fonctionne réversiblement entre

une source froide, constituée par une grande masse d’eau sous

forme liquide à la température t0 = 0°C, et une source chaude

constituée par l’air extérieur à la température t1 = 20°C. La

puissance de la machine est P = 1kW.


pression atmosphérique lfus = 334 J.g-1, Capacité thermique

de l’eau liquide ceau = 4,18 kJ.kg-1.K-1.

1. Exprimer et calculer le transfert thermique Qf échangé sur

une durée 5t = 5 min par la machine avec la source froide,

en supposant que sa température reste égale à t0 = 0°C.

2. En déduire la masse mg de glace formée en 5t = 5 min par la

machine.

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH6 TH6 TH6 TH6 –––– Changement d’Etat du Corps Pur Changement d’Etat du Corps Pur Changement d’Etat du Corps Pur Changement d’Etat du Corps Pur –––– Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2

Equilibre Liquide Equilibre Liquide Equilibre Liquide Equilibre Liquide ---- Vapeur Vapeur Vapeur Vapeur

Exercice Exercice Exercice Exercice 8888 : : : : Transformations d’un système diTransformations d’un système diTransformations d’un système diTransformations d’un système diphaséphaséphaséphasé

On donne le tableau de données thermodynamiques suivant,

relatif à l’eau :

t = 80°C t = 115°C

PSAT (103 Pa) 47,39 169,1

vliq (m3.kg-1) 1,029.10-3 1,056.10-3

vvap (m3.kg-1) 3,407 1,037

hliq (kJ.kg-1) 334,9 482,5

hvap (kJ.kg-1) 2644 2699

sliq (kJ.kg-1.K-1) 1,075 1,473

svap (kJ.kg-1.K-1) 7,612 7,183

Un récipient indilatable de volume V = 1,00 m3 contient une

masse m = 1kg d’eau à la température t1 = 80°C. Le volume vvap

fourni correspond au volume de la vapeur saturante.

1. Justifier le fait que le système est diphasé

2. Calculer les masses de phase liquide mliq et vapeur mvap.

On met le récipient en contact avec un thermostat à la

température t2 = 115°C.

3. Quel est l’état final du système ? Calculer les nouvelles masses

m’liq et m’vap.

4. Calculer le transfert thermique Q reçu par le système

5. Calculer l’entropie créée Scréée.

Exercice Exercice Exercice Exercice 9999 : : : : Vaporisation d’une masse d’eauVaporisation d’une masse d’eauVaporisation d’une masse d’eauVaporisation d’une masse d’eau

Une masse m = 1g d’eau est contenue sous forme liquide dans un

cylindre thermostaté à la température t1 = 100°C, sous la pression

P0 = 1 atm. Par un déplacement très lent du piston jusqu’au

volume V1, on réalise la vaporisation totale de l’eau.

Données : Lvap(100°C) = 2,25.103 kJ.kg-1, M = 18 g.mol-1.

1. En assimilant la vapeur d’eau à un gaz parfait, déterminer et

calculer le volume V1.

2. Exprimer puis calculer le transfert thermique Q et le travail

échangés par l’eau.

3. Exprimer puis calculer la variation d’entropie 5S de l’eau,

l’entropie échangée Sech et l’entropie créée Sc.

On place maintenant directement la même masse m = 1g d’eau

dans un récipient de volume V1 initialement vide, thermostaté

à la température t1 = 100°C.

4. Exprimer puis calculer de nouveau Q’, W’, 5S’, S’ech et S’c.

Exercice Exercice Exercice Exercice 10101010 : : : : Vapeur sèche, vapeur saturanteVapeur sèche, vapeur saturanteVapeur sèche, vapeur saturanteVapeur sèche, vapeur saturante

On introduit une masse m = 4g d’eau (M = 18 g.mol-1) dans un

récipient de volume V = 10L initialement vide et on le porte à la

température t1 = 80°C.

Données : PSAT(80°C) = 0,466 bar, PSAT(100°C) = 1 bar.

1. Montrer que la vapeur d’eau est saturante. Quelle est la

pression P1 dans le récipient ?

2. On porte le récipient à la température t2 = 100°C. Quelle est la

nature du nouvel état d’équilibre ? Quelle est la pression

P2 ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 11111111 : : : : VapVapVapVaporisation sur une cuve à mercureorisation sur une cuve à mercureorisation sur une cuve à mercureorisation sur une cuve à mercure

Un tube cylindrique dont l’une des extrémités est fermée est

retourné sur une cuve à mercure. La longueur de tube émergée

est L = 1m, sa section s = 1 cm2. La pression atmosphérique

ambiante est P0 = 1,013.105 Pa et la température est t0 = 20°C. On

introduit une masse m = 74mg d’éther, de masse molaire

M = 74 g.mol-1, à l’intérieur du tube.

1. En supposant que l’éther est sous forme vapeur, assimilable

à un gaz parfait, déterminer l’équation du second degré

vérifiée par la hauteur h de mercure dans le tube.

2. Calculer h et vérifier que la vapeur est bien sèche.

3. On incline le tube en conservant une longueur émergée

égale à L. Calculer la hauteur h’ à partir de laquelle la

première goutte d’éther apparaît. En déduire l’angle α

correspondant.

Exercice Exercice Exercice Exercice 12121212 : : : : Isotherme d’AndrewsIsotherme d’AndrewsIsotherme d’AndrewsIsotherme d’Andrews

La figure suivante représente un ensemble de courbes

expérimentales, appelées isothermes d’Andrews, représentant la

pression P d’une mole d’un fluide en fonction du volume V

occupé, pour différentes températures. (Tracé dans le diagramme

de Clapeyron)

1. Déterminer les coordonnées (PC, VC) du point critique C.

2. Préciser l’état physique du fluide et calculer les titres

molaires xv, et xl de la vapeur et du liquide pour :

2.a) V = 0,6L et t = 110°C.

2.b) P = 110bar et t = 200°C

2.c) V = 0,2L et t = 125°C

3. Que vaut le volume molaire de la vapeur saturante sèche à

la pression de 40 bar ?

éther


ExExExExoooo 1 1 1 13333 : : : : Mesure de cMesure de cMesure de cMesure de chaleur latentehaleur latentehaleur latentehaleur latente de vaporisation 1 de vaporisation 1 de vaporisation 1 de vaporisation 1

Un récipient calorifugé, de type bouteille isolante, contenant

une masse d’eau distillée, est placé sur une balance électronique.

Un thermoplongeur (résistance chauffante), supporté par une

potence, plonge dans l’eau (sans toucher le récipient). Il est

alimenté par un générateur de tension continue. Un voltmètre et

un ampèremètre permettant la mesure de l’intensité I du courant

qui traverse le thermoplongeur et de la tension U à ses bornes.

On alimente le thermoplongeur et on attend l’ébullition de

l’eau. On règle alors U pour avoir une ébullition régulière et

lente. On pose alors une masse m = 3g sur le plateau de la

balance, à coté du récipient ; on déclenche le chronomètre et on

note l’indication de la balance : m’ = 220,12g. On arrêtte le

chronomètre quand la balance indique m’ – 3g, soit ici 217,12g. Il

s’est alors écoulé une durée t.

1. Avec U1 = 6,00V et I1 = 2,083A, on mesure t1 = 10,0 min.

1.a) Quelle est l’expression de la

puissance P dissipée par effet

Joule dans le thermoplongeur ?

En déduire la valeur du

transfert thermique Q1 fourni

par la résistance à l’eau.

1.b) Calculer la chaleur latente molaire Lm de vaporisation de

l’eau dans les conditions de l’expérience (1bar).

2. La valeur tabulée étant voisine de 40kJ.mol-1, on décide de

tenir compte des pertes thermiques inévitables. Pour cela,

on réalise une seconde expérience : avec U2 = 9,00V et

I1 = 2,000A, on mesure t2 = 6min44s (toujours pour m = 3g).

2.a) En faisant l’hypothèse que la puissance thermique P’

perdue par l’appareil à cause des fuites est constante,

établir le système des deux équations linéaires vérifiées

par les inconnues Lm et P’.

2.b) Calculer Lm en fonction de U1, I1, t1, U2, I2, T2, m, et M.

Exo 1Exo 1Exo 1Exo 14444 : Mesure de chaleur latente de vaporisation : Mesure de chaleur latente de vaporisation : Mesure de chaleur latente de vaporisation : Mesure de chaleur latente de vaporisation 2222

La mesure de la chaleur latente de vaporisation peut

également se faire par la méthode des mélanges. On envoie de la

vapeur dans le calorimètre depuis une « chaudière » (à gauche).

L’eau initialement vaporisée vient alors se liquéfier et réchauffer

l’eau du calorimètre

On mesure une masse initiale d’eau dans le calorimètre m1 =

200g à la température t1 = 20°C, la masse équivalente en eau du

calorimètre étant évaluée à μ = 30g. A la fin de la manipulation,

on mesure une masse de vapeur liquéfiée m2 = 20g, arrivant de la

chaudière à la température t2 = 100°C. On donne la capacité

thermique de l’eau ceau = 4,18 kJ.kg-1.K-1.

1. Faire un bilan d’enthalpie sur l’eau dans le calorimètre, et en

déduire la relation entre la chaleur latente de vaporisation

lvap(100°C) et les masses et températures du problème.

2. On mesure Tf = 65°C En déduire la valeur de la chaleur

latente de vaporisation. Comparer à la valeur théorique

(exercice précédent). D’où peuvent provenir les erreurs ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 15151515 : : : : Chaleurs latentes de changement d’étatChaleurs latentes de changement d’étatChaleurs latentes de changement d’étatChaleurs latentes de changement d’état

On dispose d’un calorimètre, parfaitement isolé, rempli d’un

mélange eau-glace en équilibre thermique à 0°C. Il comporte un

thermomètre, un agitateur et une résistance chauffante immergés

dans le mélange. La capacité calorifique totale du calorimètre et

de ses accessoires est μce, avec ce la capacité thermique massique

de l’eau liquide (μ représente la valeur en eau du calorimètre). A

l’instant initial t0, la masse de glace est mg, la masse totale

eau+glace étant M. La résistance chauffante est alors alimentée

avec une puissance constante P. Le thermomètre indique une T

constante jusqu’à l’instant t1 qui correspond à la fin de la fusion

de la glace. Ensuite, la température augmente jusqu’à la T

d’ébullition de l’eau 100°C qui se produit à l’instant t2.

Données : ce = 4,18 kJ.kg-1.K-1, μ = 200g, mg = 100g, M/mg = 10,

t1 – t0 = 2 min, t2 – t1 = 30 min, t3 – t2 = 67min30s

1. Soit lf la chaleur latente massique de fusion de la glace.

Exprimer lf en fonction de M, μ, mg, ce, t0, t1, t2. Faire l’AN.

2. Une fois la température d’ébullition atteinte (à l’instant t2),

la puissance de chauffage restant constante (égale à P), on

suit l’évolution de la masse du calorimètre et de son

contenu. On mesure l’instant t3 qui correspond à une perte

de masse M/2. Exprimer la chaleur latente massique de

vaporisation lvap de l’eau, en fonction de M, μ, ce, t1, t2, t3.

Calculer lvap.

Phénomènes Phénomènes Phénomènes Phénomènes météorologiquesmétéorologiquesmétéorologiquesmétéorologiques

Exo 16Exo 16Exo 16Exo 16 : L’air humide: L’air humide: L’air humide: L’air humide : Climatisation et brouillards: Climatisation et brouillards: Climatisation et brouillards: Climatisation et brouillards

L’air qui nous entoure est humide : c’est un mélange d’air sec

et de vapeur d’eau. Les caractéristiques de l’air humide sont liées

aux proportions de chacun des deux constituants. Sauf indication

particulière, on considère, dans tout le problème, de l’air humide

à la pression atmosphérique P = 1,013.105 Pa. On supposera dans

tout le problème que l’air sec et la vapeur d’eau se comportent

comme des gaz parfaits.

I. Grandeurs caractéristiques et propriétés de l’air humideI. Grandeurs caractéristiques et propriétés de l’air humideI. Grandeurs caractéristiques et propriétés de l’air humideI. Grandeurs caractéristiques et propriétés de l’air humide

Soient Ma et Mv, les masses molaires de l’air sec et de l’eau

pure. Soient Pa la pression partielle de l’air sec contenu dans un

volume V d’air humide à la température T et Pv la pression

partielle de la vapeur d’eau du même volume à la même T.

I.1.I.1.I.1.I.1. Justifier que P = Pa + Pv

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH6 TH6 TH6 TH6 –––– Changement d’Etat du Corps Pur Changement d’Etat du Corps Pur Changement d’Etat du Corps Pur Changement d’Etat du Corps Pur –––– Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2

TTTT

I.2.I.2.I.2.I.2. Soit ma la masse d’air sec contenue dans le volume V d’air

humide à T. On peut alors écrire : Pa V = ma Ra T

Exprimer Ra en fonction de R et Ma. Faire l’AN.

Soit mv la masse de vapeur d’eau contenue dans le volume V d’air humide à T. On peut alors écrire : Pv V = mv Rv T

Exprimer Rv en fonction de R et Mv. Faire l’AN.

I.3.I.3.I.3.I.3. L’humidité spécifique ω de l’air humide, à la température T,

est le rapport de la masse de vapeur d’eau contenue dans un

volume V d’air humide à la masse d’air sec contenue dans ce

même volume. Elle est donnée en kg d’eau par kg d’air sec.

Montrer que l’humidité spécifique s’exprime sous la forme :

v

v

PA

P Pω =

−. En déduire l’expression de la constante A et

la calculer numériquement.

I.4. I.4. I.4. I.4. La sensation d’un individu de se trouver dans un air plus ou

moins humide est directement liée à l’humidité relative ou

degré hygrométrique ε = Pv/Pvsat, avec Pvsat la pression de

vapeur saturante de l’eau à la température T de l’air humide.

Soit 1 m3 d’air humide, à θ = 15°C, dont le degré

hygrométrique est égal à 0,85. Calculer numériquement les

masses ma d’air sec et mv de vapeur d’eau du mélange.

I.5. I.5. I.5. I.5. Un air humide tel que ε = 1, ne peut plus accepter d’eau sous

forme vapeur. L’eau supplémentaire renfermée dans l’air

humide se présente alors sous forme de gouttelettes d’eau

suffisamment fines pour rester en suspension et formant

ainsi un brouillard.

Tracer, de façon précise sur papier millimétré, la courbe

représentative de l’air humide saturé dans le graphe ω =

f(θ), appelé diagramme de Carrier. Y indiquer, en le

justifiant où se trouve la zone de brouillard.

I.6. I.6. I.6. I.6. La température de rosée Tr est la température de l’air

humide saturé en humidité. Elle peut être mesurée par un

hygromètre à condensation : on place dans l’air humide une

petite surface dont on fait varier la température jusqu’à

apparition sur celle-ci, de condensat (rosée ou buée) : la

température de la surface est alors celle du point de rosée.

Calculer le degré hygrométrique d’un air humide à θ = 30°C

dont la température de rosée est égale à 10°C.

I.7. I.7. I.7. I.7. L’enthalpie de l’air humide tient compte de l’enthalpie de ses

constituants définie sur la base des conventions suivantes :

- l’origine de l’enthalpie de l’air sec est prise à 0°C ;

- pour l’eau, l’enthalpie de référence est celle de l’eau

liquide à 0°C.

Soient cpa et cpv les capacités thermiques massiques

respectives de l’air sec et de la vapeur d’eau.

Soit l la chaleur latente massique de vaporisation de l’eau.

Donner, en fonction de ma, mv, cpa, cpv, l et θ la température

en degrés Celsius de l’air humide, l’expression de l’enthalpie

massique h de l’air humide.

Donner, en fonction de ω, cpa, cpv, l et θ, l’expression de

l’enthalpie spécifique H* de l’air humide contenant un

kilogramme d’air sec.

II. ConditiII. ConditiII. ConditiII. Conditionnement d’air onnement d’air onnement d’air onnement d’air –––– formation formation formation formation des nuages des nuages des nuages des nuages

Les techniques de climatisation et de conditionnement d’air

ont pour objet l’amélioration des conditions de confort. Elles

reposent sur des opérations telles que mélange, échauffement,

refroidissement ou humidification de l’air humide. Les opérations

de mélange d’airs humides sont également à l’origine de

phénomènes météorologiques. En bord de mer, la rencontre de

l’air frais et sec provenant de l’intérieur des terres avec de l’air

marin fortement humide, produit les brouillards côtiers. D'autre

part, l’air humide étant plus léger que l’air sec, il entre, dans son

mouvement ascendant, en contact avec de l’air plus froid en

altitude : c’est ainsi que se forment les nuages.

II.1. II.1. II.1. II.1. Un réchauffeur apporte, par transfert thermique à pression

constante, une quantité d’énergie Q à un kilogramme d’air

humide, à la température initiale θ, d’humidité spécifique

initiale ω, contenant une masse ma d’air sec.

Exprimer analytiquement (en fonction des paramètres du

problème) ωq l’humidité spécifique et θq la température de

l’air humide obtenu.

Décrire qualitativement mais en le justifiant comment

évolue, au cours de l’opération de chauffage, le degré

hygrométrique de l’air humide.

II.2. II.2. II.2. II.2. Une installation de climatisation industrielle assure le

réchauffage isobare d'un débit massique de 12.103 kg.h-1

d’un air humide entrant à θ = 15°C avec un degré

hygrométrique ε = 0,85. La température de sortie de l’air est

égale à 45°C. Quelle est la puissance du réchauffeur ?

II.3. II.3. II.3. II.3. On mélange deux airs humides de température θ1 et θ2

d’humidités spécifiques ω1 et ω2 contenant respectivement

les masses d’air sec ma1 et ma2.

Etablir, en les justifiant, les relations permettant de calculer,

en fonction de ω1, ω2, ma1, ma2 et des enthalpies spécifiques

H1* et H2* des constituants, l’humidité spécifique ω3 et

l’enthalpie spécifique H3* du mélange.

II.4. II.4. II.4. II.4. On mélange un kilogramme d’air humide dans l’état 1 (θ1 =

35°C, ω1 = 0,035 kg d’eau/kg d’air sec), à un kilogramme

d’air humide dans l’état 2 (θ2 = 25°C, ω1 = 0,0039 kg d’eau/kg

d’air sec). Calculer numériquement l’humidité spécifique ω3

et la température θ3 du mélange.

II.5. II.5. II.5. II.5. On mélange maintenant une quantité d’air humide dans

l’état 4 (θ4 = 40°C, ε4 = 1) à une quantité d’air humide dans

l’état 5 (θ5 = 5°C, ε5 = 0,2) contenant également toutes les

deux, un kilogramme d’air sec. Calculer numériquement

l’humidité spécifique ω6 et la température θ6 du mélange.

Placer le point obtenu sur le graphe ω = f(θ) tracé en I.5.

Conclusion.

II.6. II.6. II.6. II.6. Un thermomètre placé dans le mélange obtenu à la question

II.5. indique une température supérieure de 3°C à celle

déterminée en II.5. Quelle est la raison de cet écart entre la

température calculée et la température mesurée ?

A l’aide du graphe ω = f(θ) tracé en I.5, en déduire la masse

me d’eau liquide présente dans le mélange.

DonnéesDonnéesDonnéesDonnées : : : :

Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.mol-1.K-1.

Masse molaire de l’air sec : Ma = 29 g.mol-1.

Masse molaire de l’eau pure : Mv = 18 g.mol-1.

Capacité thermique de l’air sec : cpa = 1006 J.K-1.kg-1.

Capacité thermique de la vapeur d’eau (valeur supposée

indépendante de la température) : cpv = 1923 J.K-1.kg-1.

Chaleur latente de vaporisation de l’eau : l = 2500 kJ.kg-1.

Pression de vapeur saturante de l’eau en fonction de sa T :

θ(°C) 0 5 10 15 20

PvSAT(Pa) 610 880 1227 1706 2337

θ(°C) 25 30 35 40 45

PvSAT(Pa) 3173 4247 5727 7377 9715

Equilibre Solide Equilibre Solide Equilibre Solide Equilibre Solide ---- Liquide Liquide Liquide Liquide

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : Fusion de la glace: Fusion de la glace: Fusion de la glace: Fusion de la glace

Bilan d’enthalpie 5H = MS.cg.(t0 – t1) + MS.lfus = 374,6 kJ.

ExercicExercicExercicExercice e e e 2222 : : : : Equilibre EauEquilibre EauEquilibre EauEquilibre Eau----GlaceGlaceGlaceGlace

On se place dans le cas limite où l’eau suffit tout juste à faire

fondre la glace, l’ensemble étant à 0°C à la fin.

Bilan d’enthalpie global :

5H = QP = 0 = 5H1 + 5H2 + 5H3

Donc : ML ceau (tf-t2) + MS cg (0-t1) + MS.lfus

Ainsi : 12 90S fus S g

L eau

M l M c tt C

M c

−= = °

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : : : : Formation de glaceFormation de glaceFormation de glaceFormation de glace

1. On étudie le GP placé dans le cylindre, en transformation

isotherme mécaniquement réversible : ∆U = CV ∆T = 0, et

20 0

1

lnVdV

Q W PdV nRT nRTV V

= − = = =

∫ ∫

Ainsi : 2 10 0

1 2

ln ln 2492V P

Q nRT nRT JV P

= = =

2. Cette chaleur est absorbée, donc le bain eau+glace doit lui

fournir cette énergie : une partie de l’eau (masse mg) repasse

sous forme de glace, mais l’ensemble va rester à température

constante (pour un mélange diphasé, donc T = 0°C). On

effectue un bilan sur cette eau :

2492 7, 5g fus gfus

QQ m L J m g

L= = ⇒ = =

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 :::: Mesure de chaleur latente de fusionMesure de chaleur latente de fusionMesure de chaleur latente de fusionMesure de chaleur latente de fusion

Bilan d’enthalpie à pression constante, comme illustré sur le

schéma ci-contre :

5H = QP = 0 = 5H1 + 5Hfus + 5H2

(m1 ceau + C) (tf-t1) + m2 lfus + m2 ceau (tf-t2) = 0

Et : ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1

2

330 .eau f eau f

fus

m c C t t m c t tl J g

m−

− + − − −= =

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : Cessation de surfusionCessation de surfusionCessation de surfusionCessation de surfusion

1. Pour l’eau : 5Heau = 5H1 + 5H2 = mceau(t0-t1)-m’lfus = QP.

2. Transfo rapide : adiabatique QP = 0 :

( )0 1'6,3%eau

fus

t t cm

m l

−= =

3. Variation d’entropie, avec l’identité thermo : dH=TdS+VdP.

D’où

0

' fuseaueau solidification

m lmc dTdS dS dS

T T

−= + = +

Ainsi : 10

1 0

'273ln 0,8 .

273 273fus

eau

m ltS mc mJ K

t t− +∆ = − = + +

Son signe est positif, pour un système isolé, cela signifie

que la transformation est IRREVERSIBLE ! On ne pourra

pas revenir à un état de surfusion…

Exercice Exercice Exercice Exercice 6666 : : : : Fusion de glace dans un calorimètreFusion de glace dans un calorimètreFusion de glace dans un calorimètreFusion de glace dans un calorimètre

1. Bilan d’enthalpie à P constante : 5H1+5Hfus+5H2 = QP = 0

Ainsi : M ceau (tf-t1) + m lfus + m ceau (tf-t2) = 0

Et : 1 2eau eau fusf

eau eau

Mc t mc t mlt

Mc mc

+ −=

+

2. Pour avoir tout à l’état liquide à la fin : tf = 0°C

1

2

0, 25eau

eau fus

Mc tm kg

c t l= =

−

3. Avec m = 0,5kg, l’eau ne suffit pas à tout réchauffer, on

reste à 0ft C= ° , et meau = 1,25kg, mglace = 0,25kg.

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : : : : Machine à glaçonsMachine à glaçonsMachine à glaçonsMachine à glaçons

1. Machine réversible : 0

0

C F

C CFC F

C F F

W Q Q et W P t

Q TQQ Q

T T T

+ + = = ∆ + = ⇒ = −

Ainsi : 34,1.10FF

C F

P tTQ kJ

T T

∆= =−

2. Bilan sur l’eau : eau g fus FH m l Q∆ = − = − (reçu par l’eau)

( )12, 3F

gfus C F

P tTm kg

l T T

∆⇒ = =

−

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH6TH6TH6TH6 –––– Changement d’Etat du Corps PurChangement d’Etat du Corps PurChangement d’Etat du Corps PurChangement d’Etat du Corps Pur –––– Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2

5H2=QP

=MS cg (0-t1)

Glace

t1=-20°C

Glace

0°C

Eau

t2 > 0°C

5H3=MS.lfus

Mélange

tf = 0°C

5H1=ML ceau (tf-t2)

Evolutions

T

5H2=QP

=MS cg (t0-t1)

Glace

t1=-20°C

Glace

0°C

5H3=MS.lfus

Eau

tf = 0°C

Evolutions

T

5Hfus = QP

= m2 lfus

Glace

t2=0°C

Eau

t2=0°C

Eau + Cal

t2 > 0°C

5H2 = m2 ceau (tf-t2)

Mélange

tf = 16,5°C

5H1= (m1 ceau + C) (tf-t1)

Evolutions

T

Glace

t2=0°C Eau surfondue

t1=-5°C

5H1

5H2

Evolutions

T

Eau

t0=0°C

5Hfus=QP = m lfus

Glace

t2=0°C

Eau

t2=0°C

Eau

t1 = 20°C

5H2=mceau(tf-t2)

Mélange

tf

5H1=M ceau (tf-t1)

Evolutions

T

(1er et 2nd Principes)

Equilibre Liquide Equilibre Liquide Equilibre Liquide Equilibre Liquide ---- Vapeur Vapeur Vapeur Vapeur

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Transformations d’un système disphasé: Transformations d’un système disphasé: Transformations d’un système disphasé: Transformations d’un système disphasé

1. Supposons que le système soit monophasé :

S’il est complètement liquide, alors son volume serait de

1,029 L = 1,029.10-3 m3. Une partie au moins va s’évaporer…

Supposons alors qu’il se soit complètement évaporé, il

occuperait au minimum, dans le cas de la vapeur saturante,

à t1 = 80°C, un volume 3,407 m3, un volume non disponible,

une partie au moins va se liquéfier…

Conclusion : Le mélange sera diphasé.

2. Négligeons le volume occupé par le liquide (erreur de l’ordre

du millième…). La vapeur est saturante, à PSAT, on connaît

son volume massique, d’où 294

1 706

vapvap

liq vap

Vm g

v

m m g

= = = − =

3. A t = 115°C, 964

1 36

vapvap

liq vap

Vm g

v

m m g

′ = = ′ ′ ′= − =

.

4. Transfert thermique : il a fallu chauffer l’eau, la vapeur, et

effectuer les changements de phase

( )( ) ( ) ( ) ( )

294 55 670 2364,1 36 147,6

vap vap vap vap chgt liq liq

v v v v v v l l l l

J J Jg g g

H m h m m h m h

H m h h m m h h m h h

H g g g

′ ′∆ = ⋅ ∆ + − ⋅ ∆ + ⋅ ∆

′ ′ ′ ′ ′∆ = ⋅ − + − ⋅ − + ⋅ −

∆ = ⋅ + ⋅ + ⋅

Et on retrouve la chaleur reçue à volume constant :

( ) 1484VQ U H PV H V P kJ= ∆ = ∆ − ∆ = ∆ − ∆ =

5. De la même manière, on calcule 13980,6 .S J K−∆ = , alors

que l’entropie échangée est 13824,8 .echextS Q T J K−= =

Ainsi, 1155,8 .créée ech

ext

QS S S S J K

T−= ∆ − = ∆ − =

Exercice Exercice Exercice Exercice 9999 : : : : Vaporisation d’une masse d’eauVaporisation d’une masse d’eauVaporisation d’une masse d’eauVaporisation d’une masse d’eau

1. Modèle du GP : 1 11

0 0

1,70nRT mRT

V LP MP

= = =

2. On suppose qu’à tout instant, il y a équilibre à la pression de

vapeur saturante P0 = 1 bar, l’évolution est isobare.

Ainsi : 0 172

2,25 2,25

ext

vap P

W P dV P V W J

H m L kJ Q kJ

= − = − ∆ = = −

∆ = ⋅ = = =

∫

3. On a directement : 16,03 . echPQHS J K S

T T−∆∆ = = = = ,

ainsi, l’évolution est REVERSIBLEREVERSIBLEREVERSIBLEREVERSIBLE, Sc = 0.

4. L’évolution se fait maintenant à V constant (système vide +

eau), ainsi : 0W U Q W′ ′ ′ ′= ⇒∆ = +

2,25 2,08vap

H V P

H m L kJ Q kJ

′= ∆ − ∆ ′ ′∆ = ⋅ = ⇒ =

Et : 5S’ = 5S (fct d’état), et 1

1

5,57 .

0,46 . 0

ech

c ech

QS J K

T

S S S J K

−

−

′ ′ = = ′ ′= ∆ − = >

L’évolution est cette fois-ci IRREVERSIBLEIRREVERSIBLEIRREVERSIBLEIRREVERSIBLE !

Exercice Exercice Exercice Exercice 10101010 : : : : Vapeur sèche, vapeur saturanteVapeur sèche, vapeur saturanteVapeur sèche, vapeur saturanteVapeur sèche, vapeur saturante

1. Si tout était vaporisé, alors avec le modèle du GP, on aurait

une pression P = nRT/V = mRT/MV = 0,65 bar > PSAT, donc

la vapeur est saturée, et une partie se liquéfie. La pression

est en réalité à la valeur P1 = PSAT = 0,466 bar.

2. On monte maintenant à t2 = 100°C, si tout est vaporisé, alors la

pression est P = nRT/V = mRT/MV = 0,689 bar < PSAT. Ainsi,

tout peut rester sous forme vapeur à P2 = 0,689 bar.

Exercice Exercice Exercice Exercice 11111111 : : : : Vaporisation sur une cuve à mercureVaporisation sur une cuve à mercureVaporisation sur une cuve à mercureVaporisation sur une cuve à mercure

1. Bilan sur le mercure : 0Pair H g PétherF P F+ + =

( )

( )

00

2 00 0

0

' 0

étheréther

nRTP S Shg S et V S L h

V

mRTD où gh P gL h P L

MS

µ

µ µ

− − = = −

− + + − =

2. On calcule h = 43,6cm, d’où une pression

P1 = 0,432 bar < PSAT, et la vapeur est bien sèche.

3. On a 0 32, 0SATP Ph cm

gµ−′ = = , d’où α = 56,8°

Exercice Exercice Exercice Exercice 12121212 : : : : Isotherme d’AndrewsIsotherme d’AndrewsIsotherme d’AndrewsIsotherme d’Andrews

1. On met en évidence les états du fluide sur le graphique ci-

dessous. Le point critique est le point au sommet de la

courbe, reliant la courbe de rosée (à partir de laquelle la

vapeur pure devient saturante et commence à se

transformer en liquide) et la courbe d’ébullition (à partir de

laquelle le liquide pur commence à s’évaporer).

On lit environ PC = 75 bar et VC = 0,1L.

2. Etat physique du fluide :

2.a) Pour V = 0,6L et t = 110°C, forme gazeuse non saturé,

avec xv = 1 et xl = 0.

2.b) Pour P = 110bar et t = 200°C, forme critique, les titres en

vapeur et en liquide ne sont pas définis.

2.c) Pour V = 0,2L et t = 125°C, mélange liquide + vapeur,

avec xv = 0,6 et xl = 0,4.

3. Vapeur saturante sèche = sur la courbe de rosée. A la

pression de 40 bar, on lit V = 0,39L.

V

P

Courbe de Rosée

LIQUIDE

GAZ

CRITIQUE

GAZ +

LIQUIDE Courbe

d’ébullition


Exo 13Exo 13Exo 13Exo 13 : Mesure de chaleur latente de vaporisation 1: Mesure de chaleur latente de vaporisation 1: Mesure de chaleur latente de vaporisation 1: Mesure de chaleur latente de vaporisation 1

1. Avec U1 = 6,00V et I1 = 2,083A, on mesure t1 = 10,0 min.

1.a) Effet Joule : PJ = U1I1 = 12,50W, et Q1 = PJoule × t1 = 7500 J

1.b) Bilan d’enthalpie à P constante sur l’eau qui s’est

evaporée, tout étant déjà à la température 100°C :

11

1

11 1

2500 .

45,0 .

vapm

vapm

QL kJ kgH m L Q m

H n L Q MQL kJ mol

m

−

−

= =∆ = ⋅ = ⇒ ∆ = ⋅ = = =

2. Prise en compte des pertes, seconde mesure :

2.a) On inclut l’énergie perdue dans le bilan des 2 cas :

Système d’équations : 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

vap

vap

mH L U I t P t

Mm

H L U I t P tM

′∆ = = − ⋅ ′∆ = = − ⋅

2.b) Ainsi :

( )

1 1 2 21 2

11 22 2 1 1

1 2

40,8 .

vap vap

vap

m mP U I L U I L

Mt Mt

t tML U I U I kJ mol

m t t−

′ = − = −

⇒ = − =−

Exo 1Exo 1Exo 1Exo 14444 : Mesure de chaleur latente de vaporisation : Mesure de chaleur latente de vaporisation : Mesure de chaleur latente de vaporisation : Mesure de chaleur latente de vaporisation 2222

1. Bilan d’enthalpie à P constante (ambiante) :

0total eau vapH H H∆ = = ∆ + ∆

Ainsi : ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0eau f v eau fm c T T ml m c T Tµ+ − − + − =

Et ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1

2

2017 .eau f eau f

vap

m c T T m c T Tl J g

m

µ−

+ − + −= =

2. Comparaison à la valeur théorique : lvap = 2267 kJ.kg-1

L’ordre de grandeur est bon, mais on a récupéré moins de

chaleur que ce à quoi on pouvait s’attendre.

En effet, tous les effets annexes ont été modélisé par la masse

équivalente en eau du calorimètre, qui n’est pas forcément

très précise, il y a par exemple une partie de l’eau qui s’est

liquéfiée sur les parois du tube et a ensuite glissé…

Exercice Exercice Exercice Exercice 15151515 : : : : Chaleurs latentes de changement d’étatChaleurs latentes de changement d’étatChaleurs latentes de changement d’étatChaleurs latentes de changement d’état

1. Bilan d’enthalpie à P constant (P ambiante) lors de la fonte :

total eauH H∆ = ∆ ( )1 0glace g f JouleH m l Q P t t+∆ = ⋅ = = −

Et lorsque l’on chauffe jusqu’à ébullition :

( ) ( ) ( )100 0 2 1eau e JouleH M c T T Q P t tµ∆ = + ⋅ ⋅ − = = −

Ainsi : ( )( ) ( )1 0 1

100 02 1

334,4 .f eg

t t Ml c T T kJ kg

t t m

µ − − += ⋅ ⋅ − = −

2. De même, on fait un bilan lors de l’évaporation :

total eauH H∆ = ∆ ( )3 2vap vap v JouleH m l Q P t t+∆ = ⋅ = = −

Et : ( )( )

( ) ( )3 2 1100 0

2 1

2257,2 .2v e

t t Ml c T T kJ kg

t t M

µ −− += ⋅ ⋅ − =

−

Phénomènes météorologiquesPhénomènes météorologiquesPhénomènes météorologiquesPhénomènes météorologiques

Exo 16Exo 16Exo 16Exo 16 : L’air humide: L’air humide: L’air humide: L’air humide : Climatisation et brouillards: Climatisation et brouillards: Climatisation et brouillards: Climatisation et brouillards

I. Grandeurs caractérisI. Grandeurs caractérisI. Grandeurs caractérisI. Grandeurs caractéristiques et propriétés de l’air humidetiques et propriétés de l’air humidetiques et propriétés de l’air humidetiques et propriétés de l’air humide

I.1.I.1.I.1.I.1. Evident, la pression partielle est la pression d’un composé si

il était seul dans le même volume :

( )a va v a v

n RT n RT RTP P n n P

V V V+ = + = + =

I.2.I.2.I.2.I.2. aa a a a

a

mP V n RT RT m R T

M= = = avec

aa

RR

M=

AN : 1 1

1 11

8,314 . .287 . .

29 .aa

R J K molR J K kg

M g mol

− −− −

−= = =

De même, 1 1

1 11

8,314 . .462 . .

18 .vv

R J K molR J K kg

M g mol

− −− −

−= = =

I.3.I.3.I.3.I.3. Humidité ω = = ⋅ =−

v v a v

a v a v

m P R PA

m R P P P, avec = = 0,62a

v

RA

R

I.4. I.4. I.4. I.4. Nous lisons que PVSAT = 1706 Pa pour un air à 15°C

Ainsi, il y a une pression PV = ε PVSAT = 1450 Pa, avec ε = 0,85,

ce qui donne les masses

( )

10, 9

1210

vv

v

va

a

P Vm g

R T

P P Vm g

R T

= = − = =

I.5. I.5. I.5. I.5. Lorsque le degré hygrométrique atteint la valeur 1, l’eau est

sous forme de vapeur saturante ω =−

VSATSAT

VSAT

PA

P P

On complète le tableau, à l’aide des données de la pression

de vapeur saturante :

θ (°C) 0 5 10 15 20

PVSAT (Pa) 610 880 1227 1706 2337

103 ωSAT 3,8 5,4 7,6 10,6 14,6

θ (°C) 20 25 30 40 45

PVSAT (Pa) 2337 3173 4247 7377 9715

103 ωSAT 14,6 20,0 27,1 48,7 65,8

Diagramme de Carrier :

I.6. I.6. I.6. I.6. Aller chercher le point de rosée revient à suivre une

évolution horizontale (à P constante) dans le diagramme

PT, jusqu’à atteindre la pression de vapeur saturante.

On lit : PSAT(10°C) = 1227 Pa. Il s’agit de la pression partielle

de l’eau actuellement présente dans l’air humide. Ainsi :

( )1227

0,2930 4247V

VSAT

P

P Cε = = =

°

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH6 TH6 TH6 TH6 –––– Change Change Change Changement d’Etat du Corps Pur ment d’Etat du Corps Pur ment d’Etat du Corps Pur ment d’Etat du Corps Pur –––– Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2

103 ω

θ (°C)

Brouillard

I.7. I.7. I.7. I.7. D’après la seconde loi de Joule pour un GP :

P PdH mc dT mc dθ= = , car 273T Kθ= +

Avec la convention de l’énoncé, on a pour l’air sec :

air air P airH m c θ=

Mais pour la vapeur, il faut d’abord changer de phase :

vap vap vap P vapH m l m c θ= +

L’enthalpie étant conservative :

( )air vap air P air PvapH H H m c l cθ ω θ = + = + +

Et par unité de masse d’air humide :

( ) ( )1

air Pair Pvap Pair Pvap

air vap

m c l c c l ch

m m

θ ω θ θ ω θω

+ + + + = =+ +

Pour une masse d’air humide contenant mair = 1kg d’air sec,

H est appelée l’enthalpie spécifique et est notée :

( )P air P vapH c l cθ ω θ∗ = + +

Ainsi, h et H* sont liés par la relation : 1

Hh

ω

∗

=+

II. II. II. II. Conditionnement d’air Conditionnement d’air Conditionnement d’air Conditionnement d’air –––– formation des nuages formation des nuages formation des nuages formation des nuages

II.1.II.1.II.1.II.1. L’humidité spécifique ω ne varie pas tant qu’il ne se produit

pas de liquéfaction ou de condensation de l’eau, c'est-à-dire

tant que l’air humide reste sous la courbe de saturation.

Ainsi, Vq

V

PA

P Pω ω= =

− est constante et PV aussi.

Il s’agit d’un échauffement isobare :

( )* 1a aQ m H m hω= ∆ = + ∆

D’après l’expression de H*, il vient :

( ) ( )a P air q P vap qQ m c cθ θ ω θ θ = − + −

La température de l’air humide est donc :

( )q q

a P air P vap

Q

m c cθ θ θ θ

ω= + ⇒ >

+

Comme θ s’élève, PVSAT, qui est une fonction croissante de θ

augmente aussi, et le degré hygrométrique V VSATP Pε =

diminue (l’air chaud peut absorber plus d’eau…)

II.2.II.2.II.2.II.2. On peut calculer l’humidité spécifique à 15°C, puis la placer

directement sur la figure :

( ) 315 1450 9, 0.10V VSATP P C Paε ω −= ° = ⇒ =

On vérifie que ω se trouve sous la courbe de saturation (pas

de brouillard possible dans ce cas…)

Le réchauffage isobare de θ à θq = 45°C apporte :

( )a p a ir p vapQ m c cω θ= + ∆

La masse d’air humide chauffée par seconde est D/3600, ce

qui correspond à une masse d’air sec D/((3600*(1+ω)), d’où

la puissance du réchauffeur :

( ) ( ) 1013600 1 p air p vap

Q DP c c kWω θ

τ ω= = + ∆ =

+

II.3. II.3. II.3. II.3. Sous pression atmosphérique, le mélange est isobare. Si l’on

suppose le système des deux masses d’air isolé, le mélange

est adiabatique :

( )* * *1 1 2 2 1 2 30 a a a aH m H m H m m H∆ = ⇒ + = +

Et il n’y a pas de perte de matière en l’absence de

condensation, ce qui donne :

1 2 1 21 2 3

1 2 1 2

,v v v v

a a a a

m m m m

m m m mω ω ω += = ⇒ =

+

Et ainsi : 1 1 2 23

1 2

a a

a a

m m

m m

ω ωω +=+

II.4. II.4. II.4. II.4. Les masses d’air sec étant liées à la masse totale par

( )1a v am m m m ω= + = + , il vient

1 21 2

1 10,966 0,996

1 1a am kg m kgω ω

= = = =+ +

D’où l’humidité spécifique 3 0,019

kg eau

kg air secω

=

Et on passe par l’enthalpie pour obtenir la température :

( )( )

* 11 1 1 1

* 12 2 2 2

125 .

35,1 .

P a P v

P a P v

H c l c kJ kg

H c l c kJ kg

θ ω θ

θ ω θ

−

−

= + + =

= + + =

D’où ( )* 13 3 3 379, 4 . P a P vH kJ kg c l cθ ω θ−= = + +

Et ainsi : *3 3

33

30,1P a P v

H lC

c c

ωθω

−= = °+

Ce point est bien sous la courbe de saturation…

II.5.II.5.II.5.II.5. Nouveau mélange : l’état 4 correspond à la saturation

(ε4 = 1), donc ( )( )ω

°= =

− °4

400, 049

40

VSAT

VSAT

P CA

P P C

L’état 5 est tel que ( )ε= ° =5

5 176V VSATP P C Pa

Et ω = =−5

0, 0011V

V

PA

P P

La formule barycentrique donne désormais (ma4 = ma5 = 1kg)

ω ωω += =4 5

60, 025

2

Par les mêmes calculs qu’au II.4, nous obtenons : * 1 * *4 * 14 5

6* 15

166 .86,9 .

27,79 .

H kJ kg H HH kJ kg

H kJ kg

−−

−

= + ⇒ = =

=

D’où *6 6

66

23, 3P a P v

H lC

c c

ωθω

−= = °+

On constante désormais que ( ) ( )ω θ ω θ>6 6 6SAT

, ce qui

correspond à la formation de brouillard. Le calcul n’est plus

valable puisqu’une partie de l’eau vapeur s’est transformée

en eau liquide, il faudrait rajouter la chaleur latente de

liquéfaction dans les équations…

II.6.II.6.II.6.II.6. On place un thermomètre dans le mélange (II.5.) et on

mesure θ6’ = θ6 + 3 = 26,3°C, température pour laquelle on

lit : ( )ω ω θ= =6 6' ' 0, 022SAT

. La température a donc

arrêté de chuter, et on reste sur la courbe de saturation avec

un mélange diphasé eau + vapeur d’eau.

La masse d’eau présente sous forme liquide dans le mélange

est donc la différence entre la masse initiale de vapeur d’eau

et la masse restante de vapeur d’eau après liquéfaction :

( )ω= +6 1 2v a am m m et ( )ω= +

6 1 2' 'v a am m m

Ainsi : ( )( )ω ω= − = − + =6 6 1 2

' ' 6liq v v a am m m m m g

Enthalpie de FormationEnthalpie de FormationEnthalpie de FormationEnthalpie de Formation

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : : : : FFFFormation de l’acide benzoïqueormation de l’acide benzoïqueormation de l’acide benzoïqueormation de l’acide benzoïque

1. Connaissant la formule de l’acide benzoïque C6H5COOH(s),

écrire l’équation de sa combustion dans le dioxygène de l’air.

2. Calculer son enthalpie standard de formation à 298K, sachant

qu’il est solide dans les conditions standards.

Données à T = 298K : ∆combH0(C6H5COOH(s)) = -3227,8 kJ.

∆fH0(CO2(g)) = -393,1 kJ.mol-1, ∆fH0(H2O(l)) = -285,5 kJ.mol-1

Exercice Exercice Exercice Exercice 2222 : : : : Formation de la vapeur d’eauFormation de la vapeur d’eauFormation de la vapeur d’eauFormation de la vapeur d’eau

1. Calculer l’enthalpie standard de formation de l’eau à l’état

gazeux ∆fH0(H2O(g)).

2. En déduire la valeur de cette enthalpie de formation à 600K.

Données à 298K : ∆fH0(H2O(l)) = -285,5 kJ.mol-1,

Lvap(H20) = 44,0 kJ.mol-1, CP(H2O(g)) = 30,1 J.mol.K-1,

CP(H2(g)) = 29,3 J.mol.K-1, CP(O2(g)) = 25,5 J.mol.K-1.

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : : : : Conversion de l’éthanolConversion de l’éthanolConversion de l’éthanolConversion de l’éthanol

On cherche à déterminer l’enthalpie standard ∆rH0 de la

réaction de conversion de l’éthanol CH3CH2OH en acide

éthanoïque CH3COOH, connaissant l’enthalpie de combustion

de l’acide éthanoïque ∆rH01 = -875 kJ.mol-1, et de l’éthanol ∆rH02

= -1368 kJ.mol-1.

1. Sachant que lors d’une réaction de combustion, le carbone se

retrouve sous forme de CO2 gazeux et l’hydrogène sous

forme d’eau liquide, écrire les équations des réactions de

combustion mises en jeu. Le nombre stœchiométrique de

l’espèce considérée aura pour valeur 1 (en valeur absolue).

2. Ecrire l’équation traduisant l’oxydation de l’éthanol en acide

éthanoïque et en déduire la valeur de ∆rH0.

3. Retrouver cette valeur à partir des enthalpies standard de

formation suivantes : ( )( )( )( )

( )( )

0 13

0 12

0 13 2

484,5 .

285,8 .

277,7 .

f l

f l

f l

H CH COOH kJ mol

H H O kJ mol

H CH CH OH kJ mol

−

−

−

∆ = −∆ = −∆ = −

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : : : : Oxydation du diazoteOxydation du diazoteOxydation du diazoteOxydation du diazote

On étudie l’oxydation du diazote N2 en monoxyde d’azote

NO, se produisant à haute température dans les chambres de

combustion des moteurs à explosion. L’enthalpie standard de

réaction associée à l’équation ( ) ( ) ( )

1 12 22 2g g gN O NO+ = vaut

( )0 1298 90 .f H K kJ mol−∆ = .

1. Quel nom porte la grandeur 0f H∆ ? Quelles sont les

conditions thermodynamiques qui doivent être réunies pour

que 0f H∆ corresponde à une quantité de chaleur

échangée ? Préciser alors si la réaction est exothermique ou

endothermique, et rappeler la signification de ces 2 termes.

2. Justifier à l’aide de la loi de Kirchhoff le fait que 0f H∆ ne

dépende que très faiblement de la température (variation

inférieure à 1J.mol.K-1 à 298K).

On considèrera les capacités thermiques molaires à pression

constante des gaz diatomiques voisines de 0 7, 2P mC R= .

3. Le monoxyde d’azote s’oxyde rapidement dans l’air en

dioxyde d’azote, gaz toxique à l’origine des pluies acides et de

la destruction de la couche d’ozone. L’enthalpie standard de

formation du dioxyde d’azote NO2(g) étant de 34 kJ.mol-1,

calculer l’enthalpie standard ∆rH° de la réaction d’oxydation

du monoxyde d’azote en dioxyde d’azote :

( ) ( ) ( )1

2 22g g gNO O NO+ =

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : Réaction exothermique ou endothermiqueRéaction exothermique ou endothermiqueRéaction exothermique ou endothermiqueRéaction exothermique ou endothermique

Déterminer l’enthalpie standard de la réaction associée à

chacune des équations suivantes, à 298K. En déduire si la

réaction est endothermique ou exothermique. Indiquer selon le

cas d’où provient l’énergie ou quelle utilisation peut être faite de

l’énergie produite.

1. La combustion du méthane fournit du dioxyde de carbone et

de l’eau selon : ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 22 2g g g lCH O CO H O+ → +

2. La photosynthèse se déroule dans les plantes et permet de

convertir dioxyde de carbone et eau en sucre et dioxygène

selon : ( ) ( ) ( ) ( )2 2 6 12 6 26 6 6g l l gCO H O C H O O+ → +

Données :

CH4(g) O2(g) CO2(g) H2O(l) C6H12O6(l)

∆fH°(298K)

en kJ.mol-1 -74,87 0 -393,5 -285,8 -1268

Exercice Exercice Exercice Exercice 6666 : : : : A propos du méthanolA propos du méthanolA propos du méthanolA propos du méthanol

On étudie la préparation industrielle du méthanol en

présence d’un catalyseur selon l’équation (1)

( ) ( ) ( )2 32g g gCO H CH OH+ = . Les réactifs sont introduits

dans les proportions stœchiométriques et on suppose de plus la

réaction totale.

1. Calculer l’enthalpie standard de la réaction à 298K et 523K

2. La température de vaporisation du méthanol est de 337K.

Proposer un cycle thermodynamique, faisant intervenir

l’enthalpie de vaporisation du méthanol

( )0 1337 37, 4 .vapH K kJ mol−∆ = , permettant de

déterminer l’enthalpie standard de la réaction d’équation (2)

( ) ( ) ( )2 32g g lCO H CH OH+ = à 298K. Faire l’AN.

3. En déduire l’enthalpie standard de formation du méthanol

liquide à 298K

4. Le méthanol peut être utilisé comme carburant, il se produit

alors la réaction de combustion d’équation (3) :

( ) ( ) ( ) ( )3

3 2 2 22 2l g g lCH OH O CO H O+ = + . Quelle est

l’énergie libérée par la combustion d’une mole de méthanol

liquide à 298K ?

Données : ∆fH°(CO2(g), 298K) = -393,5 kJ.mol-1.

CO(g) H2(g) H2O(l) CH3OH(g) CH3OH(l)

∆fH°(298K) en kJ.mol-1

-110,5 0 -285,8 -201,2

0,P mC en

J.mol-1.K-1 28,6 27,8 8,4 81,1

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH7 TH7 TH7 TH7 –––– Thermochimie Thermochimie Thermochimie Thermochimie –––– Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2

Combustion et Combustion et Combustion et Combustion et Température de FlammeTempérature de FlammeTempérature de FlammeTempérature de Flamme

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : Combustion d’un gaz naturel: Combustion d’un gaz naturel: Combustion d’un gaz naturel: Combustion d’un gaz naturel

On s’intéresse à la combustion du gaz naturel, assimilé à du

méthane dans le dioxygène :

( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 22 2g g g lCH O CO H O+ → +

On donne les enthalpies standards de formation à 298K, en

kJ.mol-1 :

Espèces CH4(g) O2(g) CO2(g) H2O(l)

∆fH0 -74,4 0 -393,5 -285,8

1. Justifier précisément le fait que l’enthalpie standard de

formation du dioxygène gazeux à 298K soit nulle.

2. En déduire la valeur de l’enthalpie standard de la réaction de

combustion du méthane, notée ∆rH10.

On considère une enceinte de volume V = 1,00 m3 de gaz

naturel, assimilé à du méthane pur, gaz parfait pris à 298K sous

une pression P0 =1,00 bar.

3. Calculer la quantité n de méthane contenue dans cette

enceinte.

4. Calculer l’énergie libérée par la combustion totale de cette

quantité n de méthane à T = 298K fixée et à P0 = 1 bar fixée.

5. Combustion dans l’air : rappeler les trois principaux

(proportions molaires) constituants de l’air atmosphérique

sec, par ordre décroissant de quantité.

6. Calculer le volume d’air (mélange de GP contenant 20% de

dioxygène) nécessaire à la combustion de cette quantité de

méthane.

On appelle TEP (tonne équivalent pétrole) l’unité correspondant

à l’énergie libérée par la combustion d’une tonne de pétrole à

T = 298K sous la pression P0. On donne 1 TEP = 42.109 J.

7. Calculer la masse de méthane dont la combustion, dans les

mêmes conditions peut libérer une énergie de 1 TEP.

8. A masse égale, le méthane est-il un combustible plus ou

moins efficace que le pétrole ?

On considère maintenant que la réaction se déroule dans une

enceinte adiabatique, et on considère la réaction de combustion

du méthane, l’eau étant à présent obtenue à l’état gazeux.

L’enthalpie standard de réaction associée vaut :

∆rH1 = -805,8 kJ.mol-1.

9. Déterminer la température finale atteinte par le mélange

gazeux, les réactifs étant introduits dans les proportions

stoechiométriques à la température initiale de 298K, si

l’oxydation se fait uniquement avec du dioxygène pur.

10. Même question si l’oxydation se fait avec de l’air.

La combustion du méthane peut également s’effectuer suivant la

réaction de combustion incomplète traduite par l’équation :

( ) ( ) ( ) ( )4 2 21,5 2g g g lCH O CO H O+ → +

de constante réaction ∆rH20 = -533,3 kJ.mol-1 à 298K

11. Citer deux gros inconvénients de cette réaction par rapport à

la première combustion (= combustion complète).

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Oxydation du monoxyde de carbone: Oxydation du monoxyde de carbone: Oxydation du monoxyde de carbone: Oxydation du monoxyde de carbone

On étudie la réaction en phase gazeuse d’équation :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2g g g gCO H O CO H+ → +

1. Rappeler la définition de l’enthalpie standard de réaction et

de l’enthalpie standard de formation. Pourquoi l’enthalpie

standard de formation du dihydrogène gazeux est-elle nulle ?

2. Déterminer l’enthalpie standard de la réaction à la

température Ti = 500K.

3. Déterminer la température de flamme atteinte par le

mélange réactionnel en fin de réaction, sachant que les

réactifs sont introduits dans les proportions

stœchiométriques (n moles engagées) à la température

initiale Ti = 500K dans une enceinte adiabatique maintenue à

la pression standard P°, et que la réaction est rapide et totale.

Données :

CO(g) H2(g) H2O(g) CO2(g)


-110,5 0 -241,8 -393,5

0,P mC en

J.mol-1.K-1 28,9 27,8 33,6 46,7

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : Combustion du Zinc: Combustion du Zinc: Combustion du Zinc: Combustion du Zinc

On étudie la réaction du Zinc avec le dioxygène de l’air, dans les

proportions stœchiométriques (n moles de Zn engagées).Il s’agit

d’une combustion (réaction d’oxydoréduction exothermique) :

( ) ( ) ( )1

22s g sZn O ZnO+ →

1. De quel type de réaction s’agit-il ? Calculer l’enthalpie

standard de la réaction à 298K.

2. La transformation est isobare, et la réaction étant de plus

totale et rapide, déterminer la température finale atteinte par

le système.

3. Quelle quantité de matière de diazote doit-on introduire

pour atteindre une température finale de 330K ? On prendra

n = 1,00 mol.

Données :

Zn(s) O2(g) ZnO(s) N2(g)


0 0 -348,1 0

0,P mC en

J.mol-1.K-1 25,4 29,4 40,3 29,3

Exercice 10Exercice 10Exercice 10Exercice 10 : Obtention d’un ciment: Obtention d’un ciment: Obtention d’un ciment: Obtention d’un ciment

Le ciment Portland (catégorie la plus utilisée) est élaborée par

réaction, dans un four chauffé à 1700K, d’un mélange de calcaire

(CaCO3) et d’argile (constitué d’oxyde de silicium SiO2 et

d’oxyde d’aluminium Al2O3). Le constituant principal de ce

ciment non hydraté est le silicate de calcium Ca3SiO5 formé

selon la réaction totale d’équation (1) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 5 23 3 1s s s gCaCO SiO Ca SiO CO+ → +

1. Calculer l’enthalpie standard ∆rH1° de la réaction (1) à 298K.

2. Quelle relation doivent vérifier les capacités thermiques (ou

calorifiques) molaires standard à pression constante CP° des

réactifs et des produits de la réaction pour que ∆rH1° soit

indépendante de la température ?

On considère cette condition vérifiée par la suite.

3. On souhaite évaluer le transfert thermique (quantité de

chaleur) QP à fournir pour transformer une tonne de

CaCO3(s) selon la réaction (1) effectuée à 1700K sous la

pression P° = 1 bar. Ecrire la relation entre QP et ∆rH1°, puis

calculer la valeur numérique de QP.

4. Cette énergie peut être apportée par la réaction totale de

combustion du méthane d’équation :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 22 2 2g g g gCH O CO H O+ → +

L’enthalpie standard de cette réaction vaut ∆rH2° = -830 kJ.mol-1

à la température T = 298K.

4.a) On étudie la combustion sous P° = 1 bar, d’une mole de

CH4(g) avec la quantité stœchiométrique d’air (2 moles d’O2, 8

moles de N2) initialement à 298K. Quels sont les constituants

présents en fin de réaction et leurs quantités respectives ?

4.b) Effectuer une estimation de la valeur de la température

TF atteinte par ces constituants en fin de réaction en

considérant les hypothèses suivantes :

- la chaleur libérée par la réaction (2) n’a pas le temps de

s’évacuer vers le milieu extérieur.

- les capacités thermiques molaires isobares standard CP° sont

indépendantes de la température.

4.c) On veut utiliser pour effectuer la réaction (1) la quantité

de chaleur fournie à pression constante par le retour à 1700K

des constituants obtenus à l’issue de la réaction (2). Quelle

masse de méthane CH4(g) faut-il brûler par la réaction (2)

pour transformer une tonne de CaCO3(s) ?

Données :

Masses molaires (g.mol-1) : H : 1, C : 12, O : 16, Ca : 40.

Enthalpies standard de formation ∆fH° à 298K :

CaCO3(s) SiO2(s) Ca3SiO5(s) CO2(g)

∆fH° (kJ/mol) -1206 -910 -2930 -393

Capacités calorifiques molaires standard à pression constante

considérées indépendantes de la température :

CH4(g) O2(g) N2(g) CO2(g) H2O(g)

CP° (J.K-1.mol-1) 35,3 29,4 29,1 37,1 33,6


Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Oxyde de Magnésium: Oxyde de Magnésium: Oxyde de Magnésium: Oxyde de Magnésium

On cherche à déterminer l’enthalpie standard de combustion

du magnésium ∆combH° à l’aide d’un calorimètre.

1. Rappeler ce qu’est un calorimètre et quel est le type de

transformation envisagée. Quelle est la variation d’enthalpie

du système calorimètre + mélange réactionnel ?

2. Quelle est l’équation de la réaction de combustion du

magnésium solide, sachant qu’il se forme de l’oxyde de

magnésium MgO(s) ?

3. Afin de déterminer l’enthalpie standard de combustion du

magnésium, on réalise successivement les deux réactions

suivantes dans le calorimètre :

(1) Mg(s) + 2H+(aq) = Mg2+(aq) + H2(g) associée à l’enthalpie

standard de réaction ∆rH°1(T)

(2) MgO(s) + 2H+(aq) = Mg2+(aq) + H2O(l) d’enthalpie standard de

réaction ∆rH°2(T).

Les réactifs sont introduits dans les proportions

stœchiométriques, on note n1 et n2 les quantités de matières

initiales respectives de magnésium et d’oxyde de magnésium.

3.a) Proposer une méthode de détermination expérimentale

des enthalpies standard de réaction ∆rH°1(Ti) et ∆rH°2(Ti),

avec Ti = 298K. On suppose que la capacité calorifique

molaire de la solution aqueuse est la même que la capacité

calorifique molaire de l’eau, notée Ceau.

3.b) Des mesures donnent ∆rH°1(Ti) = -435 kJ.mol-1 et

∆rH°2(Ti) = -88,3 kJ.mol-1. En déduire à l’aide d’un cycle

thermodynamique, l’expression de l’enthalpie standard de

combustion du magnésium, connaissant l’enthalpie standard

de formation de l’eau liquide ∆fH°(H2O(l), Ti) = -285 kJ.mol-1.

Faire l’AN. Que représente également cette grandeur ?

ExExExExercice ercice ercice ercice 12121212 :::: Décomposition de l’eau oxygénéeDécomposition de l’eau oxygénéeDécomposition de l’eau oxygénéeDécomposition de l’eau oxygénée

Cette réaction très lente est catalysée par les ions Fe3+. Dans

un calorimètre de capacité thermique C’ = 5,00 J.K-1, on place

V = 50,0 mL d’une solution d’eau oxygénée à la concentration

C0 = 0,921 mol.L-1 dont la température est relevée pendant 4 min

sous agitation douce. A t = 5 min, on ajoute V1 = 10,0 mL d’une

solution de nitrate de fer (III) à 0,50 mol.L-1. La température est à

nouveau relevée pendant 15 min. Le tableau suivant rassemble

les résultats.

t (min) 0 1 2 3 4 6

T (°C) 22,20 22,14 22,08 22,02 21,96 29,00

7 8 9 10 11 12 13

35,75 36,87 37,10 36,65 36,20 35,75 35,30

14 15 16 17 18 19 20

34,85 34,40 34,00 33,50 33,05 32,55 32,15

1. Indiquer comment la méthode des mélanges permet de

déterminer la capacité thermique du calorimètre. Poser

l’expression littérale permettant de faire le calcul.

2. Tracer T = f(t). Interpréter.

L’enthalpie de réaction est déterminée en prenant pour

température initiale T1 = 21,9° et pour T finale T2 = 38,9°.

3. Justifier le choix de ces valeurs de température initiale et

finale pour l’étude.

4. En considérant que le mélange réactionnel a une masse

volumique ρ = 1,00 g.mL-1, et une capacité thermique

massique c = 4,18 J.g-1.K-1, calculer la valeur expérimentale

(supposée indépendante de la température) de l’enthalpie

standard de décomposition de l’eau oxygénée.

5. Correspond-elle à la valeur théorique calculée avec les

données suivantes ?

Données : Enthalpies standard de formation

∆fH0(H2O2(l)) = -191,2 kJ.mol-1 et ∆fH0(H2O(l)) = -285,8 kJ.mol-1

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– TH7 TH7 TH7 TH7 –––– Thermochimie Thermochimie Thermochimie Thermochimie –––– Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2

Exercice Exercice Exercice Exercice 13131313 : Calorimètre de Bunsen: Calorimètre de Bunsen: Calorimètre de Bunsen: Calorimètre de Bunsen

On introduit dans ce calorimètre de l’eau à 0°C, dans laquelle

plonge un tube où va être réalisée la réaction dont on désire

déterminer la chaleur de réaction Q. Ce tube est recouvert d’un

manchon de glace à 0°C.

Lorsque la réaction a lieu, la chaleur dégagée sert

intégralement à faire fondre la glace entourant le tube,

entraînant une diminution de volume de l’ensemble. Cette

diminution de volume est repérée par la variation de la hauteur

d’eau dans un tube dont une des extrémités plonge dans le

calorimètre, et l’autre se situe à l’extérieur. Par une simple

lecture de la variation de hauteur de l’eau dans ce tube, on en

déduit la chaleur de la réaction qui a lieu.

On introduit dans le tube V1 = 5,0mL d’une solution d’acide

chlorhydrique à 0°C à une concentration C1 = 2,0 mol.L-1. On y

ajoute V2 = 5,0mL d’une solution d’hydroxyde de sodium à 0°C à

une concentration C2 = 2,0 mol.L-1. La variation de la hauteur h

de liquide dans le tube est de 3,90 cm, pour section S du tube de

4,00 mm2.

1. Montrer simplement, d’après les données, que la fonte de la

glace se traduit bien par une diminution de volume.

2. Déterminer la chaleur de la réaction qui s’est déroulée dans

ce calorimètre en J et en J.mol-1.

Données :

Chaleur latente de fusion de la glace : Lf = 334 J.g-1

Masse volumique de l’eau (liquide) : ρeau = 1,00 g.mL-1

Masse volumique de la glace (solide) : ρglace = 0,918 g.mL-1

Energies de Liaison et Energie RéticulaireEnergies de Liaison et Energie RéticulaireEnergies de Liaison et Energie RéticulaireEnergies de Liaison et Energie Réticulaire

Exercice Exercice Exercice Exercice 14141414 : : : : Thermochimie de la SiliceThermochimie de la SiliceThermochimie de la SiliceThermochimie de la Silice

1. Pourquoi les enthalpies standard de formation du silicium et

du dioxygène sont-elles nulles ?

On définit l’énergie d’une liaison A-B comme l’enthalpie

standard de réaction associée à la rupture de la liaison en phase

gazeuse selon l’équation : A-B(g) = A(g) + B(g). Les énergies de

liaison respectives pour Si=O et O=O valent ESi=O = 796 kJ.mol-1,

et EO=O = 498 kJ.mol-1. On donne l’enthalpie standard de

sublimation du silicium à 298K : ∆subH°(Si) = 399 kJ.mol-1.

2. Etablir un cycle thermodynamique et donner l’expression

littérale et la valeur numérique de l’enthalpie standard de

sublimation de la silice SiO2(s).

Données :

Si(s) SiO2(s) O2(g)

∆fH°(298K) en kJ.mol-1 0 -911 0

Exercice Exercice Exercice Exercice 15151515 : Energie de liaison: Energie de liaison: Energie de liaison: Energie de liaison

On définit l’énergie d’une liaison A-B comme l’enthalpie

standard de réaction associée à la rupture de la liaison en phase

gazeuse selon l’équation : A-B(g) = A(g) + B(g). On cherche à

calculer l’énergie de la liaison C-H à partir des valeurs des

enthalpies standard de combustion du méthane, du dihydrogène

et du carbone graphite déterminées expérimentalement à 298K :

( )( ) 14 890, 4 .co m b gH C H kJ m o l−∆ ° = −

( )( )( )( )

12

1,

285, 8 .

3 93, 3 .

com b g

com b s g r

H H kJ m o l

H C kJ m o l

−

−

∆ ° = −

∆ ° = −

1. Ecrire l’équation des différentes réactions de combustion

mises en jeu.

2. On définit l’enthalpie standard d’atomisation d’une molécule

∆atomH° comme l’enthalpie standard de réaction associée à la

dissociation totale de la molécule en ses atomes constitutifs

en phase gazeuse.

2.a) Ecrire l’équation de la réaction d’atomisation du méthane

2.b) Quelle est le lien entre ∆atomH° et l’énergie de liaison C-H ?

3. On donne également l’enthalpie standard de formation du

carbone gazeux ∆fH°(C(g)) = 718,4 kJ/mol et l’enthalpie

standard d’atomisation du dihydrogène gazeux ∆atomH°(H2(g))

= 436,0 kJ/mol. Ecrire les réactions relatives à ces réactions.

4. Etablir un cycle thermodynamique faisant intervenir ces

réactions et permettant de calculer l’énergie de liaison C-H.

Exercice Exercice Exercice Exercice 16161616 : Energie : Energie : Energie : Energie réticulaireréticulaireréticulaireréticulaire

L’énergie réticulaire Eret est définie comme l’enthalpie

standard de réaction associée à la dissociation d’une mole de

cristal en ses ions constitutifs à l’état gazeux, selon l’équation :

AB(s) = A+(g) + B-(g). On le calcule usuellement à l’aide d’un cycle

thermodynamique faisant intervenir les grandeurs

thermodynamiques définies ci-dessous. Etablir un cycle

permettant de déterminer l’énergie réticulaire du chlorure de

sodium NaCl à 298K à l’aide des données. Faire l’AN.

Réaction Enthalpie standard de

réaction associée à 298K

( ) ( )− −+ →

g gCl e Cl

( )( ) −∆ = −0 1348 .att gH Cl kJ mol

( ) ( )+ −→ +

g gNa Na e

( )( ) −∆ =0 1495 .ion gH Na kJ mol

( ) ( )→2 2g g

Cl Cl ( )( ) −∆ =0 1

2240 .diss g

H Cl kJ mol

( ) ( )→s g

Na Na ( )( ) −∆ =0 1107 .sub g

H Na kJ mol

? ( )( ) −∆ = −0 1411 .f sH NaCl kJ mol

Exercice Exercice Exercice Exercice 17171717 : Energie d: Energie d: Energie d: Energie de liaison Oe liaison Oe liaison Oe liaison O----O dans HO dans HO dans HO dans H2222OOOO2222

((((D’après D’après D’après D’après Oral Centrale)Oral Centrale)Oral Centrale)Oral Centrale)

A l’aide d’un cycle, calculer l’énergie de liaison O-O dans la

molécule H2O2.

Données thermodynamiques à 298K :

- Enthalpies standard de formation :

Corps Pur ( )2 2 gH O

( )2 lH O

0

f H∆ en 1.kJ mol − 136, 4− 285,8−

- Energie de liaison :

Corps Pur 2O

2H

E en 1.kJ mol − 493, 6 432, 0

- Chaleur latente de vaporisation de l’eau H2O : 0 140,7 .vap vapH L kJ mol −∆ = =

Réactions simples d’oxydoréductionRéactions simples d’oxydoréductionRéactions simples d’oxydoréductionRéactions simples d’oxydoréduction

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : Formation de l’acide benzoïque: Formation de l’acide benzoïque: Formation de l’acide benzoïque: Formation de l’acide benzoïque

1. Combustion : 2C6H5COOH(s) + 15O2(g) 14CO2(g) + 6H20(l)

2. L’enthalpie standard de formation correspond à la réaction :

7C(s) + O2(g) + 3H2(g) C6H5COOH(s)

On rajoute ce qu’il faut pour faire une boucle :

Ainsi :

∆fH0 = 7 ∆fH0(CO2(g)) + 3 ∆fH0(H2O(l)) - ∆combH0 = -380,4 kJ

Exercice Exercice Exercice Exercice 2222 : : : : Formation de la vapeur d’eauFormation de la vapeur d’eauFormation de la vapeur d’eauFormation de la vapeur d’eau

1. L’enthalpie de formation de l’eau est associée à la réaction

suivante : ( ) ( )( )( )

( )∆

+ →0

212 2 22

f gH H O

g g gH O H O

Mais qui peut se décomposer en passant par l’eau liquide :

( ) ( ) ( ) ( )∆+ → →

01

2 2 2 22VAPf LH

g g l gH O H O H O

Ainsi :

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) −

∆ = ∆ +

∆ = − + = −

0 0

2 2 2

0 1

2 285, 6 44, 0 241, 6 .

f f VAPg l

f g

H H O H H O L H O

H H O kJ m ol

2. Il faut tout transposer à 600K :

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

∆

∆

+ →

↓ ∆ ↑ ∆

+ →

0

0

60012 2 22

1 2

29812 2 22

f

f

H K

g g g

H K

g g g

H O H O

H H

H O H O

Détaillons chacune des étapes :

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

−

−

∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ = + − = −

∆ = − =

2 2

2

0 0

1 2

111 2

1

2

600 298

298 600 12,8 .

600 298 9,09 .

f f

P H P O

P H O

H K H H K H

H C C kJ mol

H C kJ mol

AN : ( ) −∆ = −0 1600 244 , 5 .f H K kJ m ol

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : : : : Conversion de l’éthanolConversion de l’éthanolConversion de l’éthanolConversion de l’éthanol

1. Réaction de combustion de l’éthanol :

3 2 ( ) 2( ) 2( ) 2 ( )3 2 3l g g lCH CH OH O CO H O+ = +

Et réaction de combustion de l’acide éthanoïque :

3 ( ) 2( ) 2( ) 2 ( )2 2 2l g g lCH COOH O CO H O+ = +

2. Réaction d’oxydation de l’éthanol en acide éthanoïque :

3 2 ( ) 2( ) 3 ( ) 2 ( )l g l lCH CH OH O CH COOH H O+ = +

D’où le cycle thermodynamique :

3 2 ( ) 2( ) 2( ) 2 ( )

0 0 02 1

3 ( ) 2 ( ) 2( )

3 2 3

2

l g g l

r r r

l l g

CH CH OH O CO H O

H H H

CH COOH H O O

+ → +

∆ ∆ ∆+ +

ց ր

Et ainsi : 0 0 0 0 12 2 493 .r r r rH H H H kJ mol−∆ = ∆ + ∆ ⇒ ∆ = −

3. On retrouve cette valeur en appliquant la loi de Hess :

3 2 3 2

0 0 0 0( ) ( ) ( )r f CH COOH l f H O l f CH CH OH lH H H H∆ = ∆ + ∆ − ∆

(L’enthalpie de formation de l’oxygène est nulle,

car il est déjà dans son état standard de référence)

On obtient 0 1492,6 .r H kJ mol−∆ = − , ce qui est cohérent

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : : : : Oxydation du diazoteOxydation du diazoteOxydation du diazoteOxydation du diazote

1. 0f H∆ = enthalpie standard de formation du monoxyde

d’azote. En effet, c’est bien la réaction de formation puisque

tous les éléments sont pris dans leur état de référence.

Conditions pour que 0f H∆ soit la chaleur échangée :

transformation isobare et avancement ξ = 1mol : ainsi, on

peut écrire 0P fQ H Hξ= ∆ = ∆ .

Ici, 0 0f H∆ > , donc la réaction est ENDOTHERMIQUE,

c'est-à-dire qu’elle absorbe de la chaleur, au contraire d’une

réaction exothermique qui en dégage.

2. La loi de Kirchhoff donne l’influence de la température sur la

réaction : ( ) ( ) ( )2 2

00 0 0 01 1

2 2f

r P Pm NO Pm N Pm O

d HC C C C

dT

∆= ∆ = − −

Et en prenant 0 7, 2P mC R= , alors 0 0r PC∆ =

Ainsi, ∆fH0 = cstte, ne varie donc pas avec la température

(ou varie assez peu pour des gaz rééls)

3. On écrit la loi de Hess :

( )( ) ( )( )0 0 0 12 56 .r f fg gH H NO H NO kJ mol−∆ = ∆ − ∆ = −

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : Réaction exothermique ou endothermiqueRéaction exothermique ou endothermiqueRéaction exothermique ou endothermiqueRéaction exothermique ou endothermique

1. Loi de Hess : (sachant que ( )( )02 0f gH O∆ = )

( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 022 42r f f fg l gH H CO H H O H CH∆ = ∆ + ∆ − ∆

AN : 0 1890,2 .r H kJ mol−∆ = − , -> EXOTHERMIQUE

Elle libère de l’énergie vers l’extérieur, ce qui peut notamment

être utilisé dans les chaudières, les turbines à gaz, …

2. Loi de Hess :

( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 06 12 26 26 6r f f fl l gH H C H O H H O H CO∆ = ∆ − ∆ − ∆

AN : 0 12807,8 .r H kJ mol−∆ = , -> ENDOTHERMIQUE

L’énergie est fournie par une source lumineuse (le soleil par

exemple). Par contre, la réaction inverse est fortement

exothermique, ce qui explique l’utilisation du glucose comme

source d’énergie dans le corps humain ou les biocarburants.

Exercice Exercice Exercice Exercice 6666 : : : : A propos du méthanolA propos du méthanolA propos du méthanolA propos du méthanol

1. Loi de Hess à 298K :

( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 03 22r f f fg g gH H CH OH H H H CO∆ = ∆ − ∆ − ∆

AN : ( )0 1298 90,7 .r H K kJ mol−∆ = − -> EXOTHERMIQUE

On utilise la relation de Kirchhoff pour transposer à 523K :

( )( ) ( )( ) ( )( )0

0 0 0 03 22r

r P Pm Pm Pmg g g

d HC C CH OH C H C CO

dT

∆ = ∆ = − −

Cela donne : 0 1 175,8 . .r PC J K mol− −∆ = −

Et ( ) ( ) ( )0 0 0 10 0523 107,8 .r r r PH K H T C T T kJ mol−∆ = ∆ +∆ ⋅ − = −

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH7 TH7 TH7 TH7 –––– Thermochimie Thermochimie Thermochimie Thermochimie –––– Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3

7C(s) + (1+15/2) O2(g) + 3H2(g) C6H5COOH + 15/2 O2(g) ∆fH0

7CO2(g) + 3H20(l)

∆combH0 3 ∆fH0(H2O(l)) 7 ∆fH0(CO2(g))

2. Cycle thermodynamique :

( ) ( ) [ ] ( ) [ ]

( ) ( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( )

2 2 3 2

2 1 3

.3 1 3

2 , 523 , 523

2 , 298 , 337

'

, 298 , 337

Hg g g

vapg g g

Echaufvapl l

CO H T K CH OH T K

Refroidissement Echauffement

CO H T K CH OH T K

Réaction Chgt d état

CH OH T K CH OH T K

∆+ = → =

+ = =

= → =

ց ր

ց ր

Et on compose toutes ces enthalpies :

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

01

0 01 2( ) ( ) 1 2

02 2

03 3 ( ) 1

04

05 3 ( ) 2

523

2

298

377

r

Pm g Pm g

r

Pm l VAP

VAP

Pm g VAP

H H K

H C H C CO T T

H H K

H C CH OH T T

H H K

H C CH OH T T

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

∆ = ⋅∆

∆ = ⋅ + ⋅ − ∆ = ⋅∆

∆ = ⋅ ⋅ −

∆ = ⋅∆∆ = ⋅ ⋅ −

Application Numérique : ( )0 12 298 130,9 .r H K kJ mol−∆ = −

3. La loi de Hess à 298K nous donne :

( )( ) ( )( )0 0 02 3 22r f fl gH H CH OH H H∆ = ∆ − ∆ ( )( )0

f gH CO− ∆

Ce qui donne :

( )( ) ( )( )0 0 0 1

3 2 241,4 .f r fl gH CH OH H H CO kJ mol−∆ = ∆ + ∆ = −

Remarque : différence par rapport à la valeur tabulée de

-238,3 kJ.mol-1, soit une erreur de 1,3%, qui peut s’expliquer

par le fait que la capacité thermique des constituants a été

négligée (approximation d’Ellingham).

4. De nouveau avec la loi de Hess :

( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 03 2 2 32r f f fl g lH H H O H CO H CH OH∆ = ∆ + ∆ − ∆

AN : 0 13 723,7 .r H kJ mol−∆ = −

Il s’agit de l’énergie dégagée par la combustion de 1 mol de

méthanol à pression constante.

Combustion et Température de FlammeCombustion et Température de FlammeCombustion et Température de FlammeCombustion et Température de Flamme

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : Combustion d’un gaz naturel: Combustion d’un gaz naturel: Combustion d’un gaz naturel: Combustion d’un gaz naturel

1. Par définition, l’enthalpie de formation d’un corps pur

simple pris dans son état standard est nulle ; or le corps pur

simple contenant de l’oxygène est le gaz dioxygène.

2. On applique la loi de Hess (1er principe de la thermo) :

−

∆ = ∆ + ∆ − ∆ − ∆

∆ = − + × − − − = −2 2 2 4

0 0 0 0 0

1

0 1

1

2 2

393,5 2 ( 285,8) ( 74,4) 891 .

r f CO f H O f O f CH

r

H H H H H

H kJ mol

3. Loi des GP : 0 40,4PV

n molRT

= =

4. Energie libérée : = ⋅ ∆ = ⋅0 4

13,60 10rE n H kJ

5. L’air est constitué de 78% de diazote (N2), de 21% de

dioxygène (O2), et de 1% de gaz rares (essentiellement de

l’argon Ar, et un tout petit peu de CO2, ≈ 300 ppm).

6. Pour bruler 40,4 mol de gaz, il faut 80,8 mol de O2, soit un

volume 2,00 m3. Si l’on considère de l’air avec 20% de O2,

cela fait un volume 10,0 m3 d’air nécessaire.

7. Il faut déterminer la masse de méthane délivrant 1 TEP,

connaissant la masse molaire : ( ) 14 16 .M CH g mol−= , et

que chaque mole délivre une énergie de ∆rH°1 = 891 KJ.mol-1.

Massiquement :

( )− −−∆

= =0

1 9 11

4

55,7 . 55,7.10 .r HkJ g J t

M CH

Et pour dégager 1 TEP, il faut =9

9

42.10750

55,7.10kg

8. Le méthane est donc un meilleur combustible que le pétrole.

9. En décomposant la transformation en 2 étapes :

- Réaction chimique à T0 : ( )00réaction rH n H T∆ = ⋅ ∆

- Echauffement des produits : 2 2produits CO H OH H H∆ = ∆ + ∆

La réaction étant adiabatique, à P constant :

total réaction produits PH H H Q∆ = ∆ + ∆ = 0=

( ) ( ) ( ) ( )0 00 2 2 02 0r Pm Pm fn H T nC CO nC H O T T ∆ + + − =

Ainsi : ( )

( ) ( )0

00 0 0

2 2

73732

rf

Pm Pm

H TT T K

C CO C H O

∆= − =

+

10. Si l’oxydation se fait avec de l’air normal, il faut aussi

chauffer le diazote (8n), d’où une température moins forte :

( )( ) ( ) ( )

00

0 0 0 02 2 2

26122 8

rf

Pm Pm Pm

H TT T K

C CO C H O C N

∆= − =

+ +

11. Inconvénients de la combustion incomplète :

- Energie dégagée beaucoup moins importante

- Libération de monoxyde de carbone, gaz mortel pour

l’homme, très dangereux car inodore et asphyxiant (attention

à bien aérer les centrales à gaz dans les cuisines ou les SDB)

Ainsi, pour une combustion réalisée dans de bonnes

conditions, il faut une bonne oxygénation (aération, vent, …)

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Oxydation du monoxyde de carbone: Oxydation du monoxyde de carbone: Oxydation du monoxyde de carbone: Oxydation du monoxyde de carbone

1. Enthalpie standard de réaction : valeur de l’enthalpie de

réaction lorsque les constituants sont dans leur état standard.

Enthalpie standard de formation : enthalpie de la réaction de

formation du corps dans son état standard à partir des

éléments qui le constituent pris dans leur état standard de

référence à la température T cherchée.

Le dihydrogène gazeux est l’état standard de référence de

l’élément hydrogène, car c’est la forme la plus stable sous

laquelle on trouve l’hydrogène à T et P ambiant. Son

enthalpie de formation est donc nulle.

2. On détermine dans un premier temps l’enthalpie à T0 = 298K

avec la loi de Hess :

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0

0 0 0 0 02 2 2r T f f f fg g g gH H CO H H H H O H CO∆ = ∆ +∆ −∆ −∆

AN : ( ) 10 41, 2 .r H T kJ mol−∆ = −

Puis on transpose la température avec la loi de Kirchhoff : 0

0 1 112,0 . .fr P

d HC J K mol cstte

dT− −∆

= ∆ = = car

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

0 0 0 0 0

g g g gr P Pm CO Pm H Pm H O Pm COC C C C C∆ = + − −

A près intégration : ( ) 138,8 .r iH T kJ mol−∆ = −

3. Pour la température de flamme, on décompose en 2 étapes :

- Réaction chimique à Ti : ( )réaction r iH n H T∆ = ⋅ ∆

- Echauffement des produits : 2 2produits CO HH H H∆ = ∆ + ∆

La réaction étant adiabatique, à P constant :


( ) ( ) ( ) ( )0 02 2 0r i Pm Pm f in H T nC CO nC H T T ∆ + + − =

Ainsi : ( )

( ) ( )0

0 02 2

1020r if i

Pm Pm

n H TT T K

nC CO nC H

∆= − =

+

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : Combustion du Zinc: Combustion du Zinc: Combustion du Zinc: Combustion du Zinc

1. Il s’agit d’une oxydation : le zinc est oxydé en oxyde de zinc.

Il s’agit également de la réaction de formation de l’oxyde de

zinc solide :

( ) ( )( )0 0 1

( )298 298348,1 .r f sK K

H H ZnO kJ mol−∆ = ∆ = −

2. La réaction peut être supposée adiabatique (car rapide), donc

la chaleur dégagée par la réaction ne sert qu’à chauffer les

produits (et l’azote de l’air), ce que l’on modélise en 2 étapes :

- Réaction chimique à Ti : ( )0réaction rH n H T∆ = ⋅ ∆

- Echauffement des produits : 2produits ZnO NH H H∆ = ∆ + ∆

Ainsi : total réaction produits PH H H Q∆ = ∆ + ∆ = 0=

( ) ( ) ( ) ( )0 00 2 02 0r Pm Pm fn H T nC ZnO nC N T T ∆ + + − =

(il y a 2 mol de N2, correspondant aux ½ de O2 en réactif)

Ainsi : ( )

( ) ( )0

0 0 02

2983818

2r

fPm Pm

H KT T K

C ZnO C N

∆= − =

+

3. On souhaite faire baisser la température en rajoutant une

quantité x de diazote N2. Le bilan devient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 2 02 0r Pm Pm fn H T nC ZnO n x C N T T′ ∆ + + + − =

Et : ( )( ) ( )

( )( )

00

0020 2

2 368r Pm

Pmf Pm

n H T nC ZnOx n mol

C NT T C N

− ∆= − − =

′ −

Exercice 10Exercice 10Exercice 10Exercice 10 : Obtention d’un ciment: Obtention d’un ciment: Obtention d’un ciment: Obtention d’un ciment

1. Loi de Hess pour trouver l’enthalpie standard de réaction :

3 5 2 3 2

0 0 0 0 01 3 3r f Ca SiO f CO f CaCO f SiOH H H H H∆ = ∆ + ∆ − ∆ − ∆

0 11 419 .r H kJ m ol−⇒ ∆ =

2. D’après la loi de Kirchoff 0

01rr P

d HC

dT

∆ = ∆ , ∆rH1° est

indépendant de la température si ∆rCP° = 0, c'est-à-dire :

( ) ( ) ( ) ( )2 23 5 3

0 0 0 0 03 3 0r P P CO P SiOP Ca SiO P CaCOC C C C C∆ = + − − =

3. Pour une réaction réalisée à P et T constante, on a 0

1P rQ Hξ= ⋅ ∆ , où ξ est l’avancement de la réaction.

On veut transformer ( )

4

3

10m

n m olM C aC O

= =

Après réaction, on trouve que ξ = n/3,

Cela donne : 0 3 11 1397.10 .

3P r

nQ H kJ m ol−= ∆ =

4. Combustion : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 22 2 2g g g gCH O CO H O+ → +

4.a) Tableau d’avancement de la combustion :

CH4 O2 CO2 H2O N2

EI (mol) 1 2 0 0 8

EF (mol) 1-ξ = 0 2-2ξ = 0 ξ = 1 2ξ = 2 8

4.b) On suppose la transformation adiabatique à P constant,

donc la chaleur dégagée sert directement à chauffer les

produits, on fait un bilan d’enthalpie :


( ) ( )1

0 02 1 0

fT

r PTH T C syst dTξ ∆ + ⋅ =∫ , ce qui donne :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2

0 0 0 02 1 12 8 0r fPm CO Pm H O Pm NH T C C C T Tξ ξ ξ∆ + + + ⋅ − =

Et : ( )

( ) ( ) ( )2 2 2

02 1

1 0 0 02760

2 8r

f

Pm CO Pm H O Pm N

H TT T K

C C C

ξξ ξ

∆= − =

+ +

4.c) On fait brûler x moles de méthane. En supposant que les

produits sortent du four à TF’ = 1700K, cela signifie que l’on

utilise la différence de température, qui libère une énergie :

( ) ( )0' 'P F FsystQ x C T T= ⋅ −

Or pour transformer 1 tonne de CaCO3 selon la réaction (1),

il faut apporter la quantité de chaleur QP calculée à la

question 3. Ainsi, x doit vérifier la relation :

( ) ( )0' 'P F F PsystQ x C T T Q= ⋅ − = , d’où :

( ) ( ) ( )( )( )2 2 2

0 0 03910

2 8 'P

F FPm CO Pm H O Pm N

Qx mol

C C C T T= =

+ + −

Ce qui correspond à une masse m = 62,6 kg


Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Oxyde de Magnésium: Oxyde de Magnésium: Oxyde de Magnésium: Oxyde de Magnésium

1. Un calorimètre est un réacteur particulier, possédant des

parois athermanes qui ne permettent pas au système

d’effectuer des transferts thermiques vers l’extérieur. On

effectue donc une transformation adiabatique isobare. La

variation d’enthalpie du système est nulle.

2. Combustion du Mg(s) : ( ) ( ) ( )1

22s g sM g O M gO⇒ + =

3. Pour déterminer expérimentalement ∆rH°1(Ti), on introduit

dans un calorimètre les réactifs Mg(s) et H+(aq) dans les

proportions stœchiométriques après avoir mesuré la

température initiale Ti. On laisse évoluer le système jusqu’à

l’équilibre thermique et on mesure la température atteinte

par le mélange réactionnel à la fin de la réaction Tf. Le bilan

de matière donne :

( ) ( ) ( ) ( )

222 2s aq aq gM g H M g H+ ++ = +

EI n1 2n1 0 0

EF 0 0 n1 n1

Bilan enthalpique : comme le calcul des températures de

flamme : total réaction produits PH H H Q∆ = ∆ + ∆ = 0=

Ainsi : ( ) ( ) ( )0 01 1 1 2( ) 0r i eau Pm g f in H T n C C H T T ∆ + + − =

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH7 TH7 TH7 TH7 –––– Thermochimie Thermochimie Thermochimie Thermochimie –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 2222/3/3/3/3

Et on obtient l’enthalpie de la réaction :

( ) ( ) ( )0 01 2( )r i eau Pm g i fH T C C H T T ∆ = + −

3.b) Cycle Thermodynamiques :

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

+ +

+

∆

∆+

→

↓ ∆ ↑ −∆

+ + +

+ +→+

0

02

122

2 212 22

0 0

1 2

,

2

2 2comb i

f il

H T

r i r i

H H O T

s g aq s aq

aq g g aq l

Mg O H MgO

H T H T

H

Mg H O Mg H O

On en déduit :

( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 01 2 2 ,comb i r i r i f ilH T H T H T H H O T∆ = ∆ − ∆ + ∆

AN : ( )0 1632 .comb iH T kJ mol−∆ = −

Il s’agit également de l’enthalpie standard de formation de

MgO(s), Mg(s) et O2(g) étant les états standards de référence du

magnésium et de l’oxygène à la température considérée.

Exercice Exercice Exercice Exercice 12121212 : Décomposition de l’eau oxygénée: Décomposition de l’eau oxygénée: Décomposition de l’eau oxygénée: Décomposition de l’eau oxygénée

1. Dans le calorimètre de capacité thermique C’, contenant déjà

de l’eau froide (m1, T1), on ajoute de l’eau chaude (m2, T2), et

on mesure la température finale Tf. Par un bilan d’enthalpie à

P constant, le système pouvant être considéré isolé, on

obtient : 1 2 0Total CALH H H H∆ = ∆ + ∆ + ∆ =

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2' 0f f fC T T m c T T m c T T− + − + − =

( ) ( )( )

1 1 2 2

1

'eau f eau f

f

m c T T m c T TC

T T

− + −=

−

2. Tracé de la température :

3. Les 2 valeurs de température choisies correspondent aux

limites de température pour lesquelles la variation a été la

plus forte, dans la zone où le fer a pleinement joué son rôle

de catalyseur.

4. La chaleur dégagée permet de chauffer le calorimètre (et ses

accessoires) et le mélange réactionnel :

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 1 2 1

32 1 1 2 2 1

'

' 4,35.10

mélangeQ C T T m c T T

Q C T T V V c T T Jρ

= − + −

= − + + − =

On en déduit l’enthalpie standard de décomposition : 3

0 1exp 2

0

4,35.1094, 4 .

4,61.10

Q Q JH kJ mol

n C V mol−

−∆ = = = =

5. Valeur théorique pour la réaction : 12 2( ) 2 ( ) 2( )2l l gH O H O O= +

On applique la loi de Hess :

2 2

0 1( ) ( )2th f H O l f O gH H H∆ = ∆ + ∆

2 2

1( )2

0 194, 6 .

f H O l

th

H

H kJ mol−

− ∆

∆ = −

Ecart de 0,2% seulement, la manip est très satisfaisante, les

deux valeurs se correspondent bien.

Exercice Exercice Exercice Exercice 13131313 : Calorimètre de Bunsen: Calorimètre de Bunsen: Calorimètre de Bunsen: Calorimètre de Bunsen

1. La masse volumique de la glace est inférieure à celle de l’eau

liquide ; la glace occupe donc un volume plus important pour

une même masse d’eau liquide. Lors de sa fonte, la même

masse de glace transformée en eau liquide occupe donc un

volume plus faible.

2. La chaleur dégagée sert intégralement à faire fondre la glace :

fusQ m L= où m est la masse de glace fondue.

D’où la variation du volume d’eau :

2 2

2 2

( ) ( )( ) ( )

1 1H O l H O s

H O l H O s

V S h V V mρ ρ

∆ = = − = −

Ainsi :

2 2

2

( ) ( )

5,83.101 1

fus

H O l H O s

S hQ m L J

ρ ρ

= = = −

−

D’où une chaleur de réaction : 2

12

1 1

5,83.1058 .

1,0.10r

Q Q JH kJ mol

n C V−

−

−∆ = = = = −

Energies de Liaison et Energie RéticulaireEnergies de Liaison et Energie RéticulaireEnergies de Liaison et Energie RéticulaireEnergies de Liaison et Energie Réticulaire

Exercice Exercice Exercice Exercice 14141414 : : : : Thermochimie de la SiliceThermochimie de la SiliceThermochimie de la SiliceThermochimie de la Silice

1. L’enthalpie standard de formation d’un corps étant déjà dans

son état de référence est par définition nulle…

2. Cycle thermodynamique :

( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

=

∆

=

−

→

∆ + −∆

+

+ →

ց ր

02

22

0 0

2

2

22

f s

Si O

H SiO

s

sub O O su

s

b

gg g

E

gSiO

H Si E

Si O

H SiO

Si iOS O

( ) ( ) ( )( )= =∆ =∆ + − −∆0 0 0

2 22sub sub O O Si O f s

H SiO H Si E E H SiO

AN : ( ) −∆ =0 1

2216 .sub H SiO kJ mol

Exercice Exercice Exercice Exercice 15151515 : Energie de liaison: Energie de liaison: Energie de liaison: Energie de liaison

1. Différentes combustions :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 2 2 2

12 2 22

2 2,

2 2g g g l

g g l

s g r g g

C H O C O H O

H O H O

C O C O

+ = + + = + =

2.a) Atomisation du méthane : ( ) ( ) ( )4 4g g gCH C H= +

2.b) Energie de liaison associée à : ( ) ( ) ( )g g gC H C H− = +

Ainsi : ( )04 4atom C HH CH E −∆ = ⋅

3. Formation du carbone gazeux : ( ) ( ),s gr gC C=

Atomisation du dihydrogène gazeux : ( ) ( )2 2g gH H=

4. Cycle thermodynamique faisant intervenir ces réactions et

permettant de calculer l’énergie de liaison C-H :

T(°C)

20

30

40

0 10 20

t(min)

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

∆

−

−∆

→

↓ ↑ ∆

↓ − ∆ ↑∆

+ +

+ + + +

+ + → + +

0

0

4

4 2 2 2

2

2 2 2 2

,

2 2 2 2

0

0 0

2

,

2 2

4 2 2 2

2 2 2 2

4 2

2

comb

f

g

g

CH

g g g l

g

g g g g g g

g s gr

g

H

C H comb

atom c

g g s gr g

b

C

g

om

H

CH O CO H O

H

C H O CO H

E H

H H H

O

C

C H O C H O

Ainsi :

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) −

∆ = ∆ + ∆

−∆ − ∆ +

0 0 0

0 0

4 2,

2

2

2 4

comb comb comb

f atom C H

g s gr g

gg

H H H

H C H

CH

H E

C H

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )−

∆ −∆ +∆ = − ∆ + ∆

0 0 0

0 0

4 ,

2 2

1

4 2 2

comb comb f g

C H

comb atom

g s gr

g g

H H H C

H HHE

H

CH C

AN : 1416, 2 .C HE kJ mol−− =

Remarque : La valeur tabulée est de 413,4 kJ.mol-1 et correspond

à une énergie de liaison « moyenne » calculée à partir de

plusieurs hydrocarbures.

Exercice Exercice Exercice Exercice 16161616 : Energie : Energie : Energie : Energie réticulaireréticulaireréticulaireréticulaire

On construit le cycle suivant :

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )( )

( )

+ −

∆

∆

→

↓ −∆ ↑ ↑ ∆

↓ ∆ ↑ ↑

→ ↑

+ → +

+

0

02

0 0

0

1

22

1

2

ret

sub

diss g

E

f att

ion

H N

s g g

s

s g

g

H

g

a

Cl

NaCl Cl

NaCl Cl

Na

H H

H Na

Na Na

Cl Cl

On en déduit :

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) −

= −∆ + ∆ + ∆

∆ + ∆ =

0 0 0

2

0 0 1

1

2

785 .

ret f sub diss g

ion a

s

tt

NaCl

Na C

E H H Na H Cl

H H kJ moll

Exercice Exercice Exercice Exercice 17171717 : Energie d: Energie d: Energie d: Energie de liaison Oe liaison Oe liaison Oe liaison O----O dans HO dans HO dans HO dans H2222OOOO2222

((((D’après D’après D’après D’après Oral Centrale)Oral Centrale)Oral Centrale)Oral Centrale)

Molécule étudiée de H2O2 :

On commence par préciser à quelles réactions correspondent les

enthalpies de formation qui sont données :

- ( )( )2 2

0

1g

f H OH C∆ = ( ) ( ) ( )⇒ + →

2 2 2 2g g gH O H O

- ( )( )2

0

2l

f H OH C∆ = ( ) ( ) ( )⇒ + →1

2 2 22g g lH O H O

- ( ) ( )0

3liais H H H HH E C− −∆ = = ( ) ( )⇒ − → 2

g gH H H

- ( ) ( )0

4liais O O O OH E C= =∆ = = ( ) ( )⇒ = → 2

g gO O O

- 0

7vap vapH L C∆ = = − ( ) ( )⇒ →2 2l g

H O H O

Puis on compose les réactions :

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

1

2 2 2 2

3 4 5

2 2

g g g

g g

H O H O

H O

+ →

+ց ց ր

Et

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

+ →

↑

+ →

ց ց

212 2 22

12

6

2

3 4 7

2

g g l

g g g

H O H O

H O H O

On additionne les enthalpies : ( )( ) = + +

= + + +

1 3 4 5

12 3 4 6 72

1

2

C C C C

C C C C C

( )

( ) ( )( ) ( )

−

− −− −

= −⇒ = − − = − = − −

6

5 6 5

5

22

2

O H

O O O H

O H O O

C EE E C C C

C E E

On a un système d’équations, avec 7 variables, 5 données, et 2

inconnues… On ne résout que ce qui nous intéresse, à savoir le

6 5C C− :

( )( ) ( )−

⇒ − = + − − − + +

⇒ = − = + + −

16 5 2 3 4 1 3 42

16 5 2 4 12

1

2

vap

vapO O

C C C L C C C C C

E C C C L C C

Ainsi :

( )−

− = − = + + − = 116 5 2 4 12

138,1 .vapO OE C C C L C C kJ mol

O O H H

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– TH7 TH7 TH7 TH7 –––– Thermochimie Thermochimie Thermochimie Thermochimie –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 3333////3333

CMCMCMCM4444 –––– Intro / Quantités / AvancementIntro / Quantités / AvancementIntro / Quantités / AvancementIntro / Quantités / Avancement

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : Paracétamol: Paracétamol: Paracétamol: Paracétamol

Le paracétamol, principe actif de certains médicaments tels

que le Doliprane® est obtenu à partir d’anhydride éthanoïque (CH3CO)2O et de 4-aminophénol H2N-C6H4-OH en solution dans

l’acide éthanoïque.

1. Au cours d’une séance de travaux pratiques, on utilise une masse m1 = 3,10 g de 4-aminophénol et un volume V2 =

4,2mL d’anhydride éthanoïque de masse volumique μ2 = 1,08 g.mL-1. Calculer les quantités de réactifs.

2. Après purification du mélange et séchage, on obtient une masse m3 = 2,41g de paracétamol HO-C6H4-NH-CO-CH3.

Calculer la quantité de paracétamol obtenu.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 : Préparation d’un solution d’ammoniac: Préparation d’un solution d’ammoniac: Préparation d’un solution d’ammoniac: Préparation d’un solution d’ammoniac

L’étiquette d’un flacon commercial contenant une solution

d’ammoniac NH3 comporte les indications suivantes : densité d=0,90, et pourcentage en masse P = 28%.

1. Quel est la concentration molaire du soluté apporté dans cette solution ?

2. Indiquer le mode opératoire pour préparer à partir de la solution commerciale une solution S1 de volume V1 =

200,0mL de concentration molaire C1 = 0,50 mol.L-1.

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3 : Sel de Mohr: Sel de Mohr: Sel de Mohr: Sel de Mohr

On prépare une solution S1 de volume V = 200,0mL en

dissolvant une masse m = 2,00g de sel de Mohr : un cristal composé de FeSO4, (NH4)2SO4, 6H2O dans la quantité d’eau

suffisante.

1. Ecrire l’équation de la dissolution du sel de Mohr dans l’eau.

2. Calculer la concentration molaire C de soluté apporté. En déduire les concentrations molaires de tous les ions présents

dans la solution.

3. On prélève un volume V1 = 10,0mL de cette solution. Quelles sont les quantités de matière de toutes les espèces chimiques présentes dans ce prélèvement ?

Exercice 4Exercice 4Exercice 4Exercice 4 : Utilisation du titre massique: Utilisation du titre massique: Utilisation du titre massique: Utilisation du titre massique

On prépare une solution S d’iodure de potassium (K+ + I-) de

concentration massique t = 8,40 g.L-1 (aussi appelé titre massique)

1. Décrire le mode opératoire pour préparer un volume V = 250,0mL de cette solution.

2. Quelle est la concentration molaire C de cette solution.

3. A l’aide de S, on souhaite préparer un volume V’ = 100,0mL d’une solution d’iodure de potassium de concentration

molaire C’ = 1,0.10-3 mol.L-1. Décrire le mode opératoire de cette préparation.

4. Quelle masse m’ aurait-il fallu dissoudre pour préparer directement cette solution à partir d’iodure de potassium

solide ? Conclure.

Exercice 5Exercice 5Exercice 5Exercice 5 : Transformation chimique: Transformation chimique: Transformation chimique: Transformation chimique

A la température θ = 25°C, et sous une pression p = 1,01.105

Pa, conditions supposées constantes, on mélange une volume V1

= 10,0mL de solution d’iodure de potassium (K+ + I-), de

concentration molaire C1 = 8,0.10-2 mol.L-1 et une volume V2 = 10,0mL de solution de nitrate de plomb (Pb2+ + 2NO3-), de

concentration molaire C2 = 5,0.10-2 mol.L-1.

1. Décrire l’état initial du système.

2. Lors du mélange, on observe l’apparition d’un précipité jaune d’iodure de plomb.

2.a) Y a-t-il eu transformation chimique ? Si oui, quelles sont les espèces chimiques affectées par cette transformation.

2.b) Ecrire l’équation bilan de la réaction.

3. Déterminer, à l’aide d’un tableau, l’avancement maximal et le réactif limitant.

4. La transformation étant totale, décrire l’EF du système.

Exercice 6Exercice 6Exercice 6Exercice 6 : Avancement et nombre stoechiométrique: Avancement et nombre stoechiométrique: Avancement et nombre stoechiométrique: Avancement et nombre stoechiométrique

On réalise la combustion complète de l’éthane C2H6 dans le

dioxygène. Le mélange initial renferme 0,50mol d’éthane et 1,40 mol de dioxygène.

1. Ecrire l’équation bilan de la réaction en utilisant des nombres stoechiométriques entiers les plus petits possibles.

2. Déterminer, à l’aide d’un tableau d’avancement, l’avancement maximal et le réactif limitant.

3. En déduire la composition du système dans l’état final en supposant l’avancement maximal atteint.

4. Répondre aux mêmes questions après avoir écrit l’équation bilan avec le nombre stoechiométrique 1 pour l’éthane.

5. L’avancement dépend-il des nombres stoechiométriques ? Et l’état final du système ?

Exercice 7Exercice 7Exercice 7Exercice 7 : Mélange stoechiométrique: Mélange stoechiométrique: Mélange stoechiométrique: Mélange stoechiométrique

1. Une solution S0 incolore d’acide oxalique H2C2O4 de volume

V0 = 200,0mL est obtenue en dissolvant dans la quantité

suffisante d’eau une masse m0 = 1,50g de cristaux de formule

H2C2O4, 2H2O. Calculer la concentration molaire C0 de la

solution S0.

2. On dilue 10 fois la solution S0 pour obtenir une solution S1. Quelle est la concentration molaire C1 de la solution S1.

3. On prélève un volume V1 = 10,0mL de solution S1. On y ajoute quelques gouttes d’acide sulfurique concentré, puis à

l’aide d’une burette, un volume V2 d’une solution violette

de permanganate de potassium (K+ + MnO4-), de

concentration C2 = 4,00.10-3 mol.L-1. L’ion permanganate réagit avec l’acide oxalique selon l’équation :

2MnO4-(aq) + 5H2C2O4(aq) + 6H+(aq) = 2Mn2+(aq) + 10CO2(aq) + 8H2O

3.a) Déterminer le volume V2 à ajouter pour que le mélange initial soit stoechiométrique. On suppose que les ions H+

ont été introduits en excès.

3.b) La transformation étant totale, décrire l’état du système final correspondant. Sachant que les ions Mn2+ sont incolores, quelle est la couleur du mélange dans l’EF ?

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– CM4CM4CM4CM4 / / / / CM5CM5CM5CM5 –––– Intro Réactions / Réactions AcidoIntro Réactions / Réactions AcidoIntro Réactions / Réactions AcidoIntro Réactions / Réactions Acido----basiquesbasiquesbasiquesbasiques –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 1111////4444

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Zinc et S: Zinc et S: Zinc et S: Zinc et Sulfate de Cuivreulfate de Cuivreulfate de Cuivreulfate de Cuivre

A la température de 20°C et sous une pression de 1013 hPa,

conditions supposées constantes, on introduit dans un bécher un

volume V1 = 100,0mL de solution bleue de sulfate de cuivre (II),

de concentration molaire C1 = 0,10 mol.L-1. On ajoute ensuite une

masse m2 = 1,00g de grenaille de zinc (poudre) et on maintient une agitation.

1. Décrire l’état initial du système.

2. Après plusieurs instants, on observe la décoloration de la solution et l’apparition d’un dépôt rouge sur le zinc.

2.a) L’état du système est-il modifié ?

2.b) Quelle est l’espèce chimique responsable du dépôt rouge ? Pourquoi la solution se décolore-t-elle ?

2.c) Sachant que quelques gouttes d’une solution de soude ajoutées à un prélèvement du mélange final provoquent

la formation d’un précipité blanc, quelles sont les espèces

chimiques affectées par la transformation chimique ayant eu lieu dans le bécher ?

2.d) Ecrire l’équation de la réaction

3. Déterminer, à l’aide d’un tableau, l’avancement maximal et le réactif limitant.

4. Décrire l’état final du système.

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : Calcaire et acide chlorhydrique: Calcaire et acide chlorhydrique: Calcaire et acide chlorhydrique: Calcaire et acide chlorhydrique

Le calcaire, principalement constitué de carbonate de

calcium CaCO3, réagit avec une solution d’acide chlorhydrique

selon l’équation :

CaCO3(s) + 2H+(aq) = Ca2+(aq) + CO2(g) + H2O On introduit dans un flacon de capacité 1,1L, maintenu à 25°C,

un volume V1 = 100,0mL de solution d’acide chlorhydrique de

concentration molaire C1 = 0,10 mol.L-1. On ajoute rapidement

une masse m2 = 0,31g de calcaire et on relie le flacon à un capteur de pression.

1. Etablir un tableau d’avancement et déterminer le réactif limitant.

2. La pression initiale indiquée par le capteur de pression est égale à la pression atmosphérique p0 = 1080 hPa. Au cours

de la réaction, la pression augmente à cause de la

production de gaz. Le capteur indique alors p = p0 + p(CO2), où p(CO2) est la pression due au dioxyde de carbone

occupant tout le volume offert (pression partielle).

2.a) Exprimer p(CO2) en fonction de l’avancement ξ de la réaction.

2.b) Déterminer la pression finale indiquée par le capteur sachant que l’avancement maximal est alors atteint.

On donne la relation entre la pression, le volume, la quantité de matière et la température pour un gaz parfait : PV = nRT, où R =

8,314 J.K-1.mol-1 est une constante.

Exercice 10Exercice 10Exercice 10Exercice 10 : Combustion complète: Combustion complète: Combustion complète: Combustion complète

La combustion complète d’un volume V = 1,2L d’un

hydrocarbure gazeux CaHb dans du dioxygène en excès conduit à

la formation de 4,8L de dioxyde de carbone et de 4,5g d’eau. Les

volumes sont mesurés dans des conditions où le volume molaire

vaut Vm = 24 L.mol-1.

1. Ecrire l’équation de la réaction.

2. Déterminer dans l’état initial la quantité d’hydrocarbure

ni(CaHb).

3. Déterminer dans l’état final les quantités de dioxyde de carbone nf(CO2) et d’eau nf(H2O).

4. En supposant la transformation totale, rechercher la relation entre ni(CaHb) et nf(CO2) et la relation entre

ni(CaHb) et nf(H2O). En déduire la formule brute de

l’hydrocarbure utilisé.

5. Ecrire les formules semi-développées possibles pour cet hydrocarbure et nommer les espèces correspondantes.

Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Propane et Butane: Propane et Butane: Propane et Butane: Propane et Butane

Dans les conditions de l’expérience, le volume molaire

gazeux vaut 24,0 L.mol-1. Un mélange gazeux de volume V0 =

6mL contient n1 mol de propane C3H8 et n2 mol de butane C4H10.

1. Etablir une relation entre n1 et n2.

2. On réalise la combustion complète de ce mélange dans un excès de dioxygène. Le système dans son état final contient

entre autre un volume V(CO2) = 21,6mL.

2.a) Ecrire l’équation de combustion du propane, puis celle

du butane.

2.b) Etablir une relation entre n(CO2), n1 et n2.

3. Calculer n1 et n2.

Exercice 12Exercice 12Exercice 12Exercice 12 : Avancement volumique: Avancement volumique: Avancement volumique: Avancement volumique

On verse dans un bécher un volume V1 = 20,0mL d’une solution d’iodure de potassium (K+ + I-) de concentration C1 =

0,20mol.L-1. On ajoute quelques gouttes d’acide sulfurique

concentré, puis un volume V2 = 30,0mL d’eau oxygénée H2O2 de

concentration C2 = 0,050 mol.L-1. La solution jaunit, puis brunit. En effet, du diiode se forme selon l’équation :

H2O2(aq) + 2I-(aq) + 2H+(aq) = I2(aq) + 2H2O

1. Calculer les concentrations des différentes espèces dans le mélange initial, autres que celles des ions H+(aq) supposés

introduits en excès avec l’acide sulfurique.

2. Etablir un tableau d’avancement volumique de la réaction (avancement volumique ξV = ξ / V)

3. La transformation étant totale, déduire de l’étude du tableau

la nature du réactif limitant et les concentrations des différentes espèces dans l’état final.

CM4CM4CM4CM4 –––– Equilibre de RéactionsEquilibre de RéactionsEquilibre de RéactionsEquilibre de Réactions

ExExExExerciceerciceerciceercice 1 1 1 13333 :::: Ecriture du quotient de réactionEcriture du quotient de réactionEcriture du quotient de réactionEcriture du quotient de réaction

Donner pour chacune des équations suivantes l’expression

du quotient de réaction.

1. ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4aq aq aq aqHCO H NH HCO NH− ++ = +

2. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 3 3aq l aq aqCH NH H O CH NH HO+ −+ = +

3. ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 3 4 62 2aq aq aq aq

I S O I S O− − −+ = +

4. ( ) ( ) ( ) ( )22 2

aq s s aqAg Cu Ag Cu+ ++ = +

5. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2s l aq aq

Ag O H O Ag HO+ −+ = +

ExExExExerciceerciceerciceercice 14141414 : : : : Expressions du quotient de réactionExpressions du quotient de réactionExpressions du quotient de réactionExpressions du quotient de réaction

1. Donner l’expression du quotient de réaction correspondant à

chacune des équations de réaction données ci-dessous. Les

comparer et conclure.

1.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 22 2

aq s aq aqFe Cu Fe Cu+ + ++ = +

1.b) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 21 1

2 2aq s aq aqFe Cu Fe Cu+ + ++ = +

2. Déduire de l’expression du quotient de réaction en solution aqueuse, l’équation de la réaction qui lui est associée :

2.a) a

ClO HCNQ

HClO CN

−

−

=

2.b)2 2

4bQ Ag SO+ − =

2.c) 3

c

BrO H OQ

HBrO

− + =

ExExExExerciceerciceerciceercice 15151515 : So: So: So: Solution aqueuse d’acide hypochloreuxlution aqueuse d’acide hypochloreuxlution aqueuse d’acide hypochloreuxlution aqueuse d’acide hypochloreux

Une solution aqueuse, de volume V = 250mL a été préparée

en dissolvant une quantité n0 = 1,5mmol d’acide hypochloreux HClO dans le volume d’eau distillée nécessaire. L’acide

hypochloreux réagit avec l’eau selon la réaction d’équation :

( ) ( ) ( )2 3aq aq aqHClO H O ClO H O− ++ = +

1. Donner l’expression du quotient de réaction correspondant

2. Quelle est la valeur du quotient de réaction dans l’état

initial du système ? 3. Lorsque le système n’évolue plus, la concentration en ion

hypochlorite ClO- vaut 1,4.10-5 mol.L-1. Déterminer la

valeur correspondante du quotient de réaction

4. Quelle est la valeur de la constante d’équilibre associée à

cette équation ?

ExExExExerciceerciceerciceercice 16161616 : Constante d’équilibre: Constante d’équilibre: Constante d’équilibre: Constante d’équilibre

Les ions cadmium Cd2+ réagissent avec le fer métallique pour

donner du cadmium métallique et des ions fer (II) Fe2+ selon

l’équation : ( ) ( ) ( ) ( )2 2

aq s s aqCd Fe Cd Fe+ ++ = +

On ajoute de la poudre de fer en excès à une solution de chlorure

de cadmium ( )2 2Cd Cl+ −+ , de concentration 10-2 mol.L-1.

Lorsque le système n’évolue plus, la concentration en ions fer (II) est égale à 9,6.10-3 mol.L-1.

1. Donner l’expression de la constante d’équilibre, puis déterminer sa valeur

2. On mélange V1 = 20mL de la solution de chlorure de cadmium à C1 = 10-2 mol.L-1 et V2 = 20mL d’une solution de

chlorure de fer (II), (Fe2+ + 2Cl-) à C2 = 2.10-2 mol.L-1 et on y

introduit de la poudre de fer et de la grenaille de cadmium

(qui sont donc des solides). a) Quelle est la valeur du quotient de réaction dans l’état

initial ?

b) Quelle sera sa valeur lorsqu’il n’évoluera plus ?

c) Déterminer la valeur de l’avancement de réaction dans l’état final.

ExExExExerciceerciceerciceercice 17171717 : Evolutions: Evolutions: Evolutions: Evolutions

L’acide tyocyanique HSCN peut réagir avec les ions

periodate IO4- pour donner des ions thiocyanate SCN- et de

l’acide periodique HIO4.

1. Ecrire l’équation de la réaction correspondante

2. En déduire l’expression de la constante d’équilibre K qui lui est associée

3. Soit un système S1 tel que [SCN-]0 = 0,02 mol.L-1, [HSCN]0 =

0,01 mol.L-1, [IO4-]0 = 0,01 mol.L-1 et [HIO4]0 = 0,04 mol.L-1. Sa composition reste inchangée au cours du temps. Que

peut-on en déduire ?

4. Et si [SCN-]0 = 0,001 mol.L-1, [HSCN]0 = 0,05 mol.L-1, [IO4-]0 = 0,01 mol.L-1 et [HIO4]0 = 0,04 mol.L-1, Comment va évoluer

spontanément le système ?

ExExExExerciceerciceerciceercice 18181818 : : : : Taux d’avancement finalTaux d’avancement finalTaux d’avancement finalTaux d’avancement final

L’acide chloroacétique peut réagir avec l’eau selon la réaction d’équation :

( ) ( ) ( )2 2 2 3aq aq aqClCH COOH H O ClCH COO H O− ++ = +

1. Donner l’expression de la constante d’équilibre

2. Lorsqu’on introduit n0 = 0,01 mol d’acide chloroacétique dans

de l’eau distillée de façon à obtenir V0 = 100mL de solution, l’avancement final de la réaction vaut ξ1f = 1,06 mmol.

2.a) Donner la composition finale du système

2.b) En déduire la valeur de la constante d’équilibre associée à l’équation

2.c) Déterminer le taux d’avancement final de la réaction.

3. On dilue dix fois, avec de l’eau distillée la solution précédemment obtenue. La concentration en ions

chloroacétate vaut alors [ClCH2COO-] = 2,97.10-3 mol.L-1 à

l’équilibre.

3.a) Quel est le volume V de la solution ainsi préparée ?

3.b) En déduire, pour ce système, l’avancement final de la réaction de l’acide chloroacétique avec l’eau.

3.c) Quel est le taux d’avancement final correspondant

3.d) Que peut-on en conclure ?

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– CM4CM4CM4CM4 / / / / CM5CM5CM5CM5 –––– Intro Réactions / Réactions AcidoIntro Réactions / Réactions AcidoIntro Réactions / Réactions AcidoIntro Réactions / Réactions Acido----basiques basiques basiques basiques –––– Feuille 2 Feuille 2 Feuille 2 Feuille 2////4444

ExExExExerciceerciceerciceercice 19191919 :::: Evolution d’un système Evolution d’un système Evolution d’un système Evolution d’un système

Les ions cobalt (II) peuvent réagir avec le nickel pour donner

du cobalt et des ions nickel (II) selon la réaction :

( ) ( ) ( ) ( )2 2

aq s s aqCo Ni CO Ni+ ++ = + , de constante d’équilibre

K = 0,12 à 25°C.

1. Un système obtenu en introduisant du nickel dans V0 = 100mL de solution de chlorure de cobalt (II) à C0 = 0,01

mol.L-1 va-t-il évoluer à 25°C ? Déterminer la composition

finale de la solution. (Etablir un tableau d’avancement).

2. Comment évolue, à 25°C, un système obtenu en mélangeant V1 = 100mL de la solution de chlorure de cobalt (II) à C1 = 0,02 mol.L-1 avec V2 = 10mL d’une solution de chlorure de

Nickel (II) à C2 = 0,01 mol.L-1 et en introduisant du nickel et

du cobalt dans la solution ainsi obtenue ? Déterminer la

composition finale de la solution.

3. Et pour le système obtenu en mélangeant, à 25°C, V3 = 50mL de la solution de chlorure de cobalt (II) à C1 = 0,01 mol.L-1 avec V4 = 50mL d’une solution de chlorure de Nickel (II) à

C4 = 0,04 mol.L-1 et en introduisant du nickel et du cobalt

dans la solution ainsi obtenue ?

3.a) Comment évolue le système ?

3.b) Etablir un tableau d’avancement volumique en tenant compte du sens de l’évolution spontanée prévue.

3.c) Déterminer la composition finale de la solution.

ExExExExerciceerciceerciceercice 20202020 :::: Le mercure et ses ions Le mercure et ses ions Le mercure et ses ions Le mercure et ses ions

Les ions mercure (II) Hg2+ peuvent réagir avec le mercure Hg

pour donner des ions mercure (I) selon la réaction d’équation :

( ) ( ) ( )2 2

2aq l aqHg Hg Hg+ ++ = , de constante d’équilibre K = 91 à 25°C.

Le mercure, seul métal liquide à 25°C, n’est pas soluble dans l’eau.

1. Donner l’expression du quotient de réaction associé à cette équation.

2. Comment évolue, à 25°C, un système obtenu en introduisant

du mercure dans le mélange de V1 = 10mL de la solution de chlorure de mercure (II) (Hg2+ + 2Cl-), à C1 = 0,002 mol.L-1

avec V2 = 40mL d’une solution de chlorure de mercure (I)

(Hg22+ + Cl-) à C2 = 0,001 mol.L-1. Déterminer la composition

finale de la solution.

3. Comment évolue, à 25°C, un système obtenu en introduisant

du mercure dans le mélange de V3 = 1mL de la solution de chlorure de mercure (II) à C1 = 0,002 mol.L-1 avec V4 =

100mL d’une solution de chlorure de mercure (I) à C4 = 0,01

mol.L-1. Déterminer la composition finale de la solution.

ExExExExerciceerciceerciceercice 21212121 : Cinétique d’une r: Cinétique d’une r: Cinétique d’une r: Cinétique d’une réaction d’isomérisationéaction d’isomérisationéaction d’isomérisationéaction d’isomérisation

En solution aqueuse, la propanone peut se transformer en propèn-2-ol selon l’équation :

( ) ( ) ( )3 3 3 2aq aqCH CO CH CH C OH CH− − − =

A l’instant initial, on introduit la seule propanone dans de l’eau

distillée de façon à ce que sa concentration initiale soit égale à C0 = 0,05 mol.L-1. On suit l’avancement de la réaction au cours du

déroulement de la transformation et on obtient les résultats

donnés ci-dessous. On note C2(t) la concentration en propèn-2-ol

qui évolue au cours du temps.

C2 (mmol.L-1) 0 16 28 34 36 38 39 39 39

t (min) 0 2 5 8 10 15 20 25 30

1. Quel est l’avancement volumique maximal de cette réaction ?

2. Donner l’expression du quotient de réaction de cette réaction

3. Déterminer sa valeur pour t = 5min, puis pour t = 10min

4. Que remarque-t-on pour l’avancement à t ≥ 20min ? Que peut-on alors dire du système ?

5. Quel est l’avancement final de cette transformation ? En déduire le taux d’avancement final de la transformation.

6. Quel est la constante d’équilibre associée à l’équation de la réaction ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 22222222 :::: Evolution d’un système Evolution d’un système Evolution d’un système Evolution d’un système

L’ammoniac NH3 réagit avec le phénol C6H5OH pour donner

des ions ammonium NH4+ et phénolate C6H5O, selon l’équation :

( ) ( ) ( ) ( )3 6 5 4 6 5aq aq aq aqNH C H OH NH C H O+ −+ = + ,

de constante d’équilibre K = 0,16 à 25°C.

1. A cette température, on mélange V1 = 20mL d’une solution d’ammoniac à C1 = 0,04 mol.L-1 avec V2 = 30mL d’une

solution de phénol à C2 = 0,05 mol.L-1.

1.a) Comment évolue ce système ?

1.b) Quelle est la valeur de l’avancement volumique à l’équilibre ?

1.c) En déduire la composition finale du système

2. Comment évoluent les deux systèmes chimiques obtenus en mélangeant V = 10mL de chacune des solutions suivantes :

2.a) Ammoniac à C1 = 0,04 mol.L-1, phénol à C2 = 0,04 mol.L-1,

chlorure d’ammonium (NH4+ + Cl-) à C3 = 0,01 mol.L-1 et phénolate de sodium (C6H5O- + Na+) à C4 = 0,01 mol.L-1.

2.b) Ammoniac à C1 = 0,04mol.L-1, phénol à C2 = 0,04 mol.L-1, chlorure d’ammonium (NH4+ + Cl-) à C3 = 0,10 mol.L-1 et

phénolate de sodium (C6H5O- + Na+) à C4‘ = 0,10 mol.L-1.

ExExExExercice ercice ercice ercice 23232323 :::: Influence de la dilution sur un équilibre Influence de la dilution sur un équilibre Influence de la dilution sur un équilibre Influence de la dilution sur un équilibre

On étudie la dissociation de deux acides faibles dans l’eau :

l’acide acétique CH3COOH, et l’acide chloroacétique ClCH2COOH, de constante d’équilibre respectives KA1 = 1,8.10-5

et KA2 = 1,4.10-3. On souhaite comparer le coefficient de

dissociation α de ces deux acides faibles. On rappelle que le

coefficient de dissociation est égal au rapport de la quantité de matière d’acide dissocié sur la quantité de matière d’acide initial.

1. Ecrire les réactions de dissociation de ces deux acides faibles dans l’eau.

2. Calculer le coefficient de dissociation α des deux acides pris à une concentration initiale égale à C0 = 10-2 mol.L-1.

3. Calculer α pour l’acide acétique pour C0 = 10-5 mol.L-1

4. En déduire les réponses aux questions suivantes :

4.a) Quelle précaution faut-il prendre lorsqu’on souhaite comparer la dissociation de 2 acides dans l’eau en tenant

compte uniquement de la valeur de la constante pKA ?

4.b) Quelle est l’influence de la dilution sur la dissociation d’un acide faible dans l’eau ?

CMCMCMCM5555 –––– Réactions AcidoRéactions AcidoRéactions AcidoRéactions Acido----basiquesbasiquesbasiquesbasiques

ExExExExerciceerciceerciceercice 24242424 : : : : Couples acideCouples acideCouples acideCouples acide----basebasebasebase

On considère les réactions d’équations suivantes. Rappeler ce

qu’est une réaction acido-basique. Pour chacune de ces

équations, dites s’il s’agit bien d’une réaction acido-basique, et si

oui, identifier l’espèce acide et l’espèce basique de chaque couple

acide-base mis en jeu :

a) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 4aq aq aq aqCH COOH NH CH COO NH− ++ = +

b) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 3 3aq aq aq aqHNO CH NH NO CH NH− ++ = +

c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

s aq aq sFe Cu Fe Cu+ ++ = +

d) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 5 3 2 2 5aq aq aq aqCH CO C H HO CH CO C H OH− −+ = +

e) ( ) ( ) ( ) 2aq aq aqHCOOH HO HCOO H O− −+ = +

f) ( ) ( ) ( ) ( )2

3 2 22 2s aq aq g

Zn H O Zn H H O+ ++ = + +

g) ( ) ( ) ( )2 3 2 2aq aq aqBO H O HBO H O− ++ = +

h) ( ) ( ) ( )3 3 2 22aq aq aq

HCO H O CO H O− ++ = +

Exercice Exercice Exercice Exercice 25252525 : Rappel des définitions: Rappel des définitions: Rappel des définitions: Rappel des définitions

1. Donner la définition d’une solution aqueuse d’acide fort et d’une solution aqueuse de base forte. Citer quelques

exemples dans chacun des cas.

2. Quel est le pH d’une solution d’acide chlorhydrique HCl à 10-2 mol.L-1 ? Et le pH d’une solution d’acide sulfurique H2SO4

(acide fort également) à 10-2 mol.L-1 ?

3. Quel est le PH d’une solution de soude NaOH à 10-2 mol.L-1 ?

2. Quelle est l’espèce chimique considérée généralement comme étant l’acide le plus fort pouvant exister dans une solution

aqueuse ? Même question pour l’espèce basique la plus forte ?

3. Définir le pKA d’un couple acido-basique en solution aqueuse.

4. Montrer que l’on peut classer les couples acido-basiques à l’aide de ces pKA

ExerciceExerciceExerciceExercice 26262626 : Diméthylamine : Diméthylamine : Diméthylamine : Diméthylamine

1. A 25°C, le pH d’une solution S1 de diméthylamine

(CH3)2NH de concentration C1=0,01mol.L-1 vaut pH1 = 11,4.

1.a) Quel est l’acide conjugué de la diméthylamine ?

1.b) Ecrire l’équation de la réaction acido-basique avec l’eau

1.c) Calculer le taux d’avancement final de cette réaction. La transformation est-elle totale ?

2. A la même température, le pH d’une solution S2 de dyméthylamine de concentration C2 = 10-5 mol.L-1 vaut pH2

= 9. Calculer le taux d’avancement final τ2 de la réaction avec l’eau. La transformation est-elle totale ?

3. A l’aide des résultats des deux premières questions, préciser le sens dans lequel évolue le taux d’avancement final

lorsque la solution de la concentration diminue.

ExExExExerciceerciceerciceercice 27272727 : Acide nitreux : Acide nitreux : Acide nitreux : Acide nitreux

On considère trois solutions d’acide nitreux HNO2, de

concentration molaire respectives C1 = 10-1 mol.L-1, C2 = 10-2

mol.L-1, C3 = 10-5 mol.L-1.

1. Ecrire l’équation de la réaction entre l’acide nitreux et l’eau

2. La mesure du pH de ces trois solutions conduit aux valeurs suivantes ; pH1 = 2,1, pH2 = 2,7 et pH3 = 5,0. Calculer dans les trois cas le taux d’avancement final de la transformation.

3. Ce taux final dépend-t-il des conditions initiales ? Dans quel cas cette transformation peut-elle être considérée comme

totale ?

ExExExExerciceerciceerciceercice 28282828 : Comportement de 2 acides : Comportement de 2 acides : Comportement de 2 acides : Comportement de 2 acides

1. Deux solutions S1 et S2 de même concentration C1 = C2 = 10-

2 mol.L-1 d’acides HA1 et HA2 ont pour pH respectifs pH1 = 2,9 et pH2 = 3,44.

1.a) Lequel des acides est le plus dissocié en solution aqueuse ?

1.b) Déterminer le taux d’avancement final de ces réactions. Ce résultat est-il en accord avec celui de la question

précédente ?

1.c) Identifier ces acides sachant que l’un est l’acide

méthanoïque ( )( )1 2 2/ 3.75A ApK pK HCO H HCO −= =

alors que l’autre est l’acide propanoïque

( )( )2 2 5 2 2 5 2/ 4.87A ApK pK C H CO H C H CO −= =

2. Diagrammes de prédominance

2.a) Tracer sur un même axe les diagrammes de

prédominance des espèces acides et basiques des deux couples.

2.b) L’acide propanoïque et l’ion méthanoate peuvent-ils être simultanément les espèces prédominantes de leur

couple ?

3. On mélange un volume V1 = 10mL de solution d’acide propanoïque de concentration C1 = 0,01 mol.L-1 avec un

volume V2 = V1 de solution de méthanoate de sodium de même concentration C2 = C1.

3.a) Calculer la constante d’équilibre de la réaction entre l’acide propanoïque et l’ion méthanoate.

3.b) La transformation est-elle totale ?

3.c) A quel pH peut-on s’attendre ?

3.d) Calculer l’avancement volumique à l’équilibre, calculer le pH de la solution et vérifier la valeur attendue

ExerciceExerciceExerciceExercice 29292929 : Calcul de pH : Calcul de pH : Calcul de pH : Calcul de pH

On considère une solution d’acide propanoïque C2H5COOH

de concentration C = 10-2 mol.L-1 et de pKA = 4,87.

1. Exprimer l’avancement volumique final de sa réaction avec de l’eau, ainsi que le taux de dissociation.

2. En déduire le pH de cette solution.


ExExExExerciceerciceerciceercice 30303030 : Diagramme de prédominance : Diagramme de prédominance : Diagramme de prédominance : Diagramme de prédominance

1. Tracer sur un même axe les diagrammes de prédominance

des espèces acides et basiques des couples :

acide nitreux HNO2 / ion nitrite NO2-, pKA1 = 3,3 ion méthylammonium CH3NH3+

/ méthylamine CH3NH2, pKA2 = 10,7

2. On mélange un volume V1 = 50mL de solution d’acide nitreux de concentration C1 = 0,01 mol.L-1 avec un volume

V2 = V1 de solution de méthylamine de même concentration

C2 = C1.

2.a) Les espèces chimiques mises en présence peuvent-elles être simultanément prédominantes ?

2.b) Ecrire l’équation de la réaction acido-basique associée à la transformation de ce système.

2.c) Calculer la constante d’équilibre associée à cette réaction.

3. Etablir un tableau d’avancement volumique, puis calculer la valeur de l’avancement volumique dans l’état final. La transformation est-elle totale ?

ExExExExerciceerciceerciceercice 31313131 : : : : Phosphate d’ammoniumPhosphate d’ammoniumPhosphate d’ammoniumPhosphate d’ammonium

Un volume V de solution de phosphate d’ammonium est

préparé en dissolvant 10-2 mol de phosphate d’ammonium solide

(NH4)3PO4 dans la quantité d’eau nécessaire. On donne

( )1 4 3/ 9,2+= =A ApK pK NH NH et ( )2 32 4 4/ 12,4− −= =A ApK pK HPO PO .

1. Tracer sur le même axe les diagrammes de prédominance des espèces acides et basiques des couples mis en jeu. Les

ions ammonium et phosphate peuvent-il être

simultanément les espèces prédominantes de leur couple ?

2. Déterminer la constante d’équilibre associée à la réaction entre l’ion ammonium et l’ion phosphate.

3. Etablir un tableau d’avancement et déterminer la composition du système à l’état final.

4. En déduire la valeur du pH de cette solution.

Exercice Exercice Exercice Exercice 32323232 : Détermination de K: Détermination de K: Détermination de K: Détermination de KAAAA

Le pH d’une solution d’acide éthanoïque de concentration 5.10-3 mol.L-1 est de 3,5. Calculer la constante d’acidité KA de cet

acide.

ExerciceExerciceExerciceExercice 33333333 : Détermination de pK : Détermination de pK : Détermination de pK : Détermination de pKAAAA

On prépare une solution d’acide gluconique à 0,1 mol.L-1

et on constate que son pH est égal à 2,5. Quel est le pKA de l’acide

gluconique déduit de cette observation ? (on pourra noter HGlu l’acide gluconique et Glu l’ion gluconate)

Exercice Exercice Exercice Exercice 34343434 : Couples du Soufre: Couples du Soufre: Couples du Soufre: Couples du Soufre

En solution aqueuse, les couples H2SO3/HSO3- et HSO3-/SO32-

ont respectivement pour constante d’acidité 1,91 10K −= et

72 10K −= . Calculer le pH d’une solution à 0,1mol.L-1 de dioxyde

de Soufre dissous dans l’eau.

ExExExExerciceerciceerciceercice 35353535 : Critère d’évolution : Critère d’évolution : Critère d’évolution : Critère d’évolution

On considère un système chimique obtenu en

mélangeant un volume V1 = 15mL de solution d’acide borique

H3BO3 de concentration C1 = 1,1.10-2 mol.L-1, un volume V2 = 15mL de solution de borate de sodium (Na+ + H2BO3-), de

concentration C2 = 1,2.10-2 mol.L-1, un volume V3 = 10mL de

solution de méthylamine CH3NH2 de concentration C3 = 2.10-2

mol.L-1 et un volume V4 = 10mL de solution de chlorure de

méthylammonium (CH3NH3+ + Cl-), de concentration C4 = 1,5.10-2 mol.L-1. On donne pKA1 = pKA(H3BO3/ H2BO3-) = 9,2.

pKA2 = pKA(CH3NH3+/ CH3NH2) = 10,7.

1. Ecrire la réaction acido-basique entre l’acide borique et la méthylamine

2. Déterminer la valeur du quotient de réaction associée à cette réaction dans l’état initial

3. Déterminer la constante d’équilibre associée à cette réaction

4. Dans quel sens le système initial va-t-il évoluer spontanément

5. Déterminer la composition, en concentration, du système dans l’état d’équilibre.

6. En déduire le pH de la solution.

Exercice Exercice Exercice Exercice 36363636 : Solution de Chlorure d’ammonium: Solution de Chlorure d’ammonium: Solution de Chlorure d’ammonium: Solution de Chlorure d’ammonium

On mélange 200mL d’une solution de chlorure d’ammonium (NH4+ + Cl-) à 0,01mol.L-1 avec de la soude à 1 mol.L-1. Donner en

justifiant brièvement la réponse, le pH de la solution lors de

l’ajout de 0, 1, 2, 3mL de soude. On donne le pKA du couple

NH4+/NH3 : pKA = 9,2.

Exercice Exercice Exercice Exercice 37373737 : pH de l’eau selon la température: pH de l’eau selon la température: pH de l’eau selon la température: pH de l’eau selon la température

Le produit ionique de l’eau vaut pKe1 = 14,534 à t1 = 10°C et

pKe1 = 13,833 à t2 = 30°C. Le pH de l’eau varie avec la

température T selon une relation du type A

pH BT

= + , A et B

étant des constantes, et T en Kelvin. On rappelle la relation

( ) ( ) 273,15T K t C= ° + .

1. Calculer le pH de l’eau pure à 50°C.

2. Une solution aqueuse de volume V = 50mL contient 2.10-4 mol d’ions hydroxyde. Quel est son pH à 25°C, et à 50°C

3. Le pH d’une solution aqueuse est de 5,2 à 50°C. Quelles sont les concentrations en ions oxonium et hydroxyde dans cette

solution ?

ExExExExerciceerciceerciceercice 38383838 : Dia: Dia: Dia: Diagramme de prédominancegramme de prédominancegramme de prédominancegramme de prédominance

On considère l’acide phosphorique de formule H3PO4 et de pKA successifs : 2.1, 7.2, 12.4. Si l’on dispose d’une concentration

initiale C0 = 1 mol.L-1. Dans une solution tamponnée à pH=7,

préciser les diverses formes phosphatées.

CM5 CM5 CM5 CM5 ---- Dosage, pHDosage, pHDosage, pHDosage, pH----métrie et métrie et métrie et métrie et ConductimétrieConductimétrieConductimétrieConductimétrie

Exercice Exercice Exercice Exercice 39393939 : : : : Utilisation de mesures conductimétriquesUtilisation de mesures conductimétriquesUtilisation de mesures conductimétriquesUtilisation de mesures conductimétriques

La conductivité σ0 d’une solution S0 d’acide éthanoïque de

concentration molaire C0 = 1,00 mmol.L-1 vaut 46 μS.cm-1.

1. Ecrire l’équation de la réaction entre l’acide éthanoïque et l’eau.

2. Calculer les concentrations molaires effectives des ions éthanoate et oxonium.

3. Calculer le taux d’avancement final.

4. Déterminer les valeurs de la constante d’acidité et du pKA du couple CH3COOH/CH3COO-

5. On dilue la solution 10 fois pour obtenir un volume V1 = 100mL de solution S1 de concentration C1.

5.a) Déterminer la nouvelle valeur du taux d’avancement final de la réaction.

5.b) Quelle est la valeur de la conductivité σ1 de cette

solution

Données : conductivités molaires ioniques λ(H3O+) = 35,0 mS.m2.mol-1, λ(CH3COO-) = 4,1 mS.m2.mol-1

ExExExExoooo 40404040 : Titrage colorimétrique et conductimétrique: Titrage colorimétrique et conductimétrique: Titrage colorimétrique et conductimétrique: Titrage colorimétrique et conductimétrique

L’hydroxyde de sodium solide est hygroscopique, c'est-à-dire

qu’il fixe facilement la vapeur d’eau présente dans l’air. Toute

solution préparée par dissolution de NaOH solide doit donc être

étalonnée, puis ajustée, si nécessaire, à la concentration voulue.

I) On mesure la masse m = 1,08g de dix pastilles de soude,

puis on prépare un volume V = 100,0mL d’une solution-mère S0

en dissolvant ces pastilles dans le volume d’eau nécessaire. On

détermine la concentration de la solution S0 à l’aide du dosage d’un volume V0 = 10,0mL de S0 par une solution d’acide

chlorhydrique (H3O++Cl-), de concentration CA = 0,200mol.L-1 en

présence de quelques gouttes de bleu de bromothymol (BBT). Le

changement de teinte de la solution indiquant le passage par le point d’équivalence a lieu pour un volume VE de solution d’acide

chlorhydrique versé égal à 11,4mL.

I.a) Ecrire l’équation de la réaction, supposée totale, utilisée lors de ce dosage

I.b) Déterminer la concentration C0 de la solution S0

I.c) Quel est le pourcentage massique de soude dans les dix pastilles de soude ?

II) La solution précédente est diluée de façon à obtenir un

volume V1 = 1,00L d’une solution S1 de C1 = 5,0.10-3 mol.L-1.

II.a) Quel est le volume de solution S0 nécessaire pour effectuer cette dilution

II.b) Afin de vérifier la concentration molaire de la solution S1, on réalise le titrage conductimétrique d’un volume V1’ =

100,0mL de solution S1 par une solution d’acide

chlorhydrique de concentration C2 = 4,00.10-2 mol.L-1. Les

résultats expérimentaux permettent d’obtenir le graphe ci-contre. Comment peut-on interpréter l’évolution de la

conductivité avant, puis après l’équivalence ?

II.c) Comment peut-on repérer le point équivalent ? Déterminer le volume équivalent V2E. En déduire la concentration de la

solution S1. Cette valeur est-elle en accord avec le résultat

de la question I.b) ?

DonnéesDonnéesDonnéesDonnées :::: conductivités molaires ioniques en mS.m2.mol-1 :

λ(H3O+) = 35.0, λ(Na+) = 5.09, λ(Cl-) = 7.63, λ(HO-) = 19,9. Masse molaires en g.mol-1 : M(O)=16, M(H)=1, M(Na)=23.

Exercice Exercice Exercice Exercice 41414141 : Etude du couple NH: Etude du couple NH: Etude du couple NH: Etude du couple NH4444++++/NH/NH/NH/NH3333

1. Etude conductimétrique

Données : - produit ionique de l’eau à 25°C : Ke = 10-14

- conductivités molaires limites λ° en S.m2.mol-1 :

H3O+ HO- NH4+

350.10-4 198.10-4 74.10-4

1.a) Calculer la conductivité de l’eau pure

1.b) On étudie une solution d’ammoniac de concentration C1 = 8.10-4 mol.L-1, sa conductivité vaut 2,87.10-3 S.m-1. En

déduire le coefficient d’ionisation α de NH3 dans cette

solution, le pH de cette solution et le pKA du couple

NH4+/NH3.

2. Titrage

On titre une solution d’acide chlorhydrique de

concentration CA par une solution d’ammoniac de concentration

CB = 0,1 mol.L-1. On néglige les effets de la dilution dans les calculs (volume ajouté négligeable devant le volume dosé). On

verse 50mL de solution d’acide dans un bécher puis on ajoute

250mL d’eau distillée. On verse progressivement la solution

d’ammoniac dans celle d’acide et on suit l’évolution de la conductivité de la solution en fonction du volume versé. La

courbe obtenue a l’allure suivante :

2.a) Commenter l’allure de la courbe sans faire de calculs.

2.b) Le volume équivalent étant de 21,5mL, en déduire CA et la valeur du pH de la solution à l’équivalence.


0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24

0,28 0,26

σσσσ

0 5 10 15 20 25

VVVV2222 (mL)

VVVV Veq

σσσσ

Exercice Exercice Exercice Exercice 42424242 : : : : Méthode de GranMéthode de GranMéthode de GranMéthode de Gran

On réalise le titrage d’un acide faible AH de concentration

CA par de la soude de concentration CB. On verse VmL de soude

pour VA mL de solution d’acide. On ne néglige pas la dilution (V

n’est pas négligeable devant VA). On se limite à la partie du dosage avant l’équivalence.

1. Etablir, en précisant l’approximation faite, la relation hV=KA(Veq-V), où h = [H3O+] et où Veq est le volume V à

l’équivalence.

2. Proposer une représentation graphique permettant de déterminer Veq et KA.

3. On dose 50 mL d’acide éthanoïque par de la soude concentration CB = 10-2 mol.L-1. et on obtient les résultats suivants :

V(mL) 3 9 11 15 19 23 27

pH 3,9 4,5 4,6 4,9 5,3 5,9 10,2

3.a) Déterminer graphiquement Veq (méthode des tangentes)

3.b) En déduire CA de l’acide éthanoïque

3.c) Calculer la constante d’acidité KA de cet acide

Exo Exo Exo Exo 43434343 : Dosage colorimétrique de l’acide sulfurique: Dosage colorimétrique de l’acide sulfurique: Dosage colorimétrique de l’acide sulfurique: Dosage colorimétrique de l’acide sulfurique

L’acide sulfurique, H2SO4, est un acide pouvant libérer deux protons H+. On considérera que les deux acidités sont dosées

simultanément par une solution d’hydroxyde de sodium. On

verse dans un bécher VA = 10,0mL de la solution d’acide

sulfurique de concentration CA à déterminer. On dose cette solution par de la soude de concentration CB = 2,0.10-2 mol.L-1.

L’équivalence est repérée par le changement de couleur du BBT

pour un volume VBE = 12,0mL.

1. Ecrire l’équation de la réaction de dosage

2. Définir l’équivalence et déterminer la concentration CA de la solution d’acide sulfurique.

3. Le BBT est une solution d’acide/base noté HIn/In-. La figure ci-dessus donne les courbes de distribution des deux formes

en fonction du pH. Déterminer le pKA du couple HIn/In-. Donner un ordre de grandeur du pH à l’équivalence pour

que l’indicateur soit approprié.

Exercice Exercice Exercice Exercice 44444444 : : : : Titrage de Titrage de Titrage de Titrage de la vitamine Cla vitamine Cla vitamine Cla vitamine C

La vitamine C, ou acide ascorbique contient, comme son nom l’indique, une fonction acide carboxylique. On peut donc

utiliser la réactivité de cette fonction acide pour titrer une

solution de vitamine C. La formule brute de l’acide ascorbique est

C6H8O6. Pour simplifier, on notera dans la suite le couple acide-base AH/A-.

1. Ecrire la réaction entre l’acide ascorbique HA et l’hydroxyde de sodium (on ne tiendra compte que des ions hydroxyde

HO-)

2. On fait réagir VB = 5,0mL de soude à CB = 1,0.10-2 mol.L-1 avec VA = 10,0mL d’une solution de vitamine C à CA =

2,0.10-2 mol.L-1. Le pH de la solution obtenue est de 3,6.

2.a) Déterminer la concentration en ions oxonium H3O+ de la

solution obtenue. En déduire la concentration en ions hydroxyde HO-.

2.b) Grâce à un tableau d’avancement, déterminer l’avancement final et le taux d’avancement de la

réaction.

2.c) La réaction considérée peut-elle être utilisée pour titrer la solution d’acide ascorbique ?

3. On dissout un comprimé de vitamine C dans de l’eau distillée afin de former V1 = 200mL de solution appelée (S). On prélève 10,0mL de (S) que l’on dose avec une solution

d’hydroxyde de sodium de concentration CB = 1,0.10-2

mol.L-1. Le dosage est suivi par pH-métrie, on obtient la

courbe suivante :

3.a) Définir l’équivalence. Comment la repérer sur la courbe

de pH ?

3.b) Déterminer la concentration de la solution (S) en acide ascorbique

3.c) En déduire la masse contenue dans un comprimé de vitamine C. Comparer à l’indication « 500mg » indiquée

sur la boîte.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

[HIn] et [In[HIn] et [In[HIn] et [In[HIn] et [In----]]]] (×10 (×10 (×10 (×10----5555 mol.L mol.L mol.L mol.L----1111))))

4 5 7 8 10

pHpHpHpH

6 9

[HIn[HIn[HIn[HIn]]]]eqeqeqeq [[[[InInInIn----]]]]eqeqeqeq

3 4 5 6

8 9

10

pHpHpHpH

0 2

VVVV(mL)

6

7

11

4 8 10 12 14 16 18 20 22 24

12

CMCMCMCM4444 –––– Intro / Quantités / AvancementIntro / Quantités / AvancementIntro / Quantités / AvancementIntro / Quantités / Avancement

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : Paracétamol: Paracétamol: Paracétamol: Paracétamol

1. n(H2N-C6H4-OH) = m1 / M(H2N-C6H4-OH) = 28,4mmol

Car M(H2N-C6H4-OH) = 7M(H) + M(N) + 6M(C) + M(O)…

n((CH3CO)2O) = m2 / M((CH3CO)2O) = μ2V2/M = 44mmol

2. n(paracétamol) = m3 / M(paracétamol) = 16,0mmol

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 : Solution d’ammoniac: Solution d’ammoniac: Solution d’ammoniac: Solution d’ammoniac

1. msol = μsol×V = d×μeau×V avec les masses volumiques

la densité de la solution

"sol" désigne la solution...

d

µ

Et la masse de NH3 : m(NH3) = P × msol = P×d×μeau×V

Concentration : C = n(NH3)/V = m(NH3)/ (M(NH3) × V)

Ainsi : C = P×d×μeau / M(NH3) = 15 mol.L-1.

2. Facteur de dilution entre S0 et S1 : F = C/C1 = 30, mais on a aussi F = Vtotal / Và prélever = donc Và prélever = Vtotal / F = 6,7mL.

On doit donc prélever 6,7mL à l’aide d’une pipette graduée, pour compléter à 200,0mL dans une fiole jaugée.

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3 : Sel de Mohr: Sel de Mohr: Sel de Mohr: Sel de Mohr

1. Dissolution : tous les ions se dispersent

FeSO4, (NH4)2SO4, 6H2O Fe2+ + 2SO42- + 2NH4+ + 6H2O

2. C = n/V = m/(M×V) avec M = ΣM = 392 g.mol-1 Donc C = 2,55.10-2 mol.L-1

Ainsi : [Fe2+] = C, et [SO42-] = [NH4+] = 2C Et toujours dans l’eau [H3O+] = [HO-] = 10-7 mol.L-1.

Avec un volume 10mL, c'est-à-dire 1/100 de L

n(Fe2+) = 2,55.10-4 mol, n(SO42-) = n(NH4+) = 5,10.10-4 mol

Exercice 4Exercice 4Exercice 4Exercice 4 : Titre massique: Titre massique: Titre massique: Titre massique

1. Titre massique t = m/Vsolution, m = t × Vsolution = 2,10g. Pour réaliser cette solution, on prend une fiole jaugée de

250mL, on la remplit au ¾ d’eau distillée, on y dissous 2,10g

pesés précisément d’iodure de potassium (KI) et on

complète jusqu’au trait de jauge à 250,0mL exactement. n((CH3CO)2O) = m2 / M((CH3CO)2O) = μ2V2/M = 44mmol

2. Concentration molaire : C en mol.L-1, On a t = C × M(KI), ce qui donne C = 5,00.10-2 mol.L-1.

3. On veut une solution diluée d’un facteur F = C/C’ = 50 = V’/V, donc il faut prélever 2,0mL de la solution S, et compléter à

100mL dans une fiole jaugée avec de l’eau distillée.

4. Il aurait fallut une quantité n’ = C’ × V’ = 1,0.10-4 mol, ce qui correspond à une masse M’ = n’ × M(KI) = 1,7.10-2 g. Il faut

disposer d’une balance pesant les milligrammes…

Exercice 5Exercice 5Exercice 5Exercice 5 : Transformation chimique: Transformation chimique: Transformation chimique: Transformation chimique

1. Etat initial : ( ) ( )( )( )

1 1

3 2 2

22 2

0, 80

2 1, 0

0, 5

n I n K C V mmol

n NO C V mmol

n Pb C V mmol

− +

−

+

= = ⋅ = = ⋅ =

= ⋅ =

2. Précipité jaune d’iodure de plomb : (Pb2+ + 2I-).

2.a) Oui, il y a transformation chimique, car une espèce nouvelle est apparue (le précipité = solide). Espèces

affectées : Pb2+ et I-.

2.b) Equation bilan : Pb2+(aq) + 2I-(aq) PbI2(s)

3. Tab d’avancement : Pb2+(aq) + 2I-(aq) PbI2(s)

EI(mmol) 0,50 0,80 0 à t(mmol) 0,50-ξ 0,80-2222ξ ξ

EF(mmol) 0,50-ξf 0,80-2222ξf ξ

Si Pb2+ est le réactif limitant, alors ξf = n0/α = 0,50mmol

Si I- est le réactif limitant, alors ξf = n0/α = 0,40mmol C’est donc le I- qui est limitant… et ξmax = 0,40mmol

4. Transfo totale :

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

3 3

2

2

0

0, 80

1, 0

0,10

0, 40

f

f i

f i

f

f

n I

n K n K m m ol

n N O n N O m m ol

n P b m m ol

n P bI m m ol

−

+ +

− −

+

= = = = =

=

=

Exercice 6Exercice 6Exercice 6Exercice 6 : Avancement et nombre stoechiométrique: Avancement et nombre stoechiométrique: Avancement et nombre stoechiométrique: Avancement et nombre stoechiométrique

1. Equation : 2C2H6 + 7O2 4CO2 + 6H2O 2. EI(mmol) 0,50 1,40 0 0

à t(mmol) 0,50-2ξ 1,40-7ξ 4ξ 6ξ

EF(mmol) 0,50-2ξf 1,40-7ξf 4ξ 6ξ

Avancement maximal : Si C2H6 limitant, alors ξf = n0/α = 0,50/2 = 0,25 mol

Si O2 limitant, alors ξf = n0/α = 1,40/7 = 0,20 mol

Avancement max : ξmax = 0,20 mol, O2 limitant

3. Composition finale :

( )( )( )( )

2 6

2

2

2

0,10

0

0,8

1, 2

f

f

f

f

n C H mol

n O

n CO mol

n H O mol

=

=

= =

4. Equation : C2H6 + 7/2O2 2CO2 + 3H2O

EI(mmol) 0,50 1,40 0 0

à t(mmol) 0,50-ξ 1,40-7/2ξ 2ξ 3ξ Si C2H6 limitant, alors ξf = n0/α = 0,50/1 = 0,50 mol

Si O2 limitant, alors ξf = n0/α = 1,40/3,5 = 0,40 mol

Avancement max : ξmax = 0,40 mol, O2 limitant

Même composition finale :

( )( )( )( )

2 6

2

2

2

0,10

0

0,8

1, 2

f

f

f

f

n C H mol

n O

n CO mol

n H O mol

=

=

= =

5. L’avancement DEPEND des nombres stoechiométriques ?

Mais l’état final N’EN DEPEND PAS

ExExExExercice 7ercice 7ercice 7ercice 7 : Mélange stoechiométrique: Mélange stoechiométrique: Mélange stoechiométrique: Mélange stoechiométrique

1. Concentration C0 = m / (M × V) = 6,0.10-2 mol.L-1.

2. Dilution 10 fois C1 = C0 / 10 = 6,0.10-3 mol.L-1.

3. Proportions stoechiométriques : ( ) ( )4 2 2 4

2 5

i in MnO n H C O

−

=

3.a) Ainsi : 2 2 1 1 1 12

2

26,0

2 5 5

C V C V C VV mL

C= ⇒ = =

3.b) Tab d’avancement … Attention aux coefficients

stoechiométriques dans les expressions…

SOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXERCICES RCICES RCICES RCICES –––– CM4 / CM5 CM4 / CM5 CM4 / CM5 CM4 / CM5 –––– Feuille 1/4 Feuille 1/4 Feuille 1/4 Feuille 1/4

EF :

( ) ( )

( )( )

4 2 2 4

max

2

2

0

0,012

0,024

0,12

f f

f

f

n MnO n H C O

mol

n Mn mmol

n CO mmol

ξ

−

+

= =

=

= =

L’eau et le H+ sont tous les deux en excès.

Couleur finale : INCOLORE, car aucuns ions colorés présents.

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Zinc et Sulfat: Zinc et Sulfat: Zinc et Sulfat: Zinc et Sulfate de Cuivree de Cuivree de Cuivree de Cuivre

1. EI : ( ) ( )

( )( ) ( )

2 24 1 1

2

10

15,3

i i

i s

n Cu n SO C V mmol

mn Zn mmol

M Zn

+ − = = ⋅ =

= =

2. Réaction

2.a) Oui, état modifié, car décoloration et dépôt.

2.b) Dépôt rouge Cuivre qui se solidifie, donc disparaît de la solution qui se décolore. (Cu(s) solide rouge, alors

que le Cu(aq) hydraté est bleu)

2.c) On observe une réaction avec le HO-, qui est un anion,

(Na+ toujours spectateur), ce qui signifie qu’il y a forcément un cation dans la solution, cela ne peut pas

être le Cu2+ qui a disparu, ni le SO42-, qui est négatif

(anion), donc il y a forcément du Zn2+. Le précipité est

donc du Zn(OH)2 = Hydroxyde de Zinc.

2.d) Réaction : Cu2+(aq) + Zn(s) Zn2+(aq) + Cu(s) Il s’agit d’une réaction d’oxydoréduction (voir CM6)

3. Tableau d’avancement : Réaction : Cu2+(aq) + Zn(s) Zn2+(aq) + Cu(s)

EI(mmol) 10 15,3 0 0

Etat final 10 - ξf 15,3 - ξf ξf ξf Transfo totale : Avancement max = ξmax = ξf = 10mmol.

Réactif limitant = Cu2+, qui a entièrement disparu…

4. EF :

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

2

2 24 4

2max

max

0

10

10

5,3

f

i f

f f

f is s

n Cu mmol

n SO n SO mmol

n Zn n Cu mmol

n Zn n Zn mmol

ξ

ξ

+

− −

+

= = = = = =

= − =

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : Calcaire et acide chlorhydrique: Calcaire et acide chlorhydrique: Calcaire et acide chlorhydrique: Calcaire et acide chlorhydrique

1. Tableau d’avancement :

Réaction : CaCO3(s) + 2H3O+(aq) Ca2+(aq) + CO2(g) + H2O

EI(mmol) 3,1 10 0 0 excès Etat final 3,1 - ξf 10 - 2ξf ξf ξf excès

Si CaCO3(s) limitant, alors ξmax = 3,1 mmol

Si H3O+(aq) limitant, alors ξmax = 5 mmol

Réactif vraiment limitant = CaCO3(s) 2. La pression initiale indiquée par le capteur de pression est

égale à la pression atmosphérique p0 = 1080 hPa. Au cours

de la réaction, la pression augmente à cause de la

production de gaz. Le capteur indique alors p = p0 + p(CO2), où p(CO2) est la pression due au dioxyde de carbone

occupant tout le volume offert (pression partielle).

2.a) Exprimer p(CO2) = ξ.R.T / Vgaz, avec Vgaz = 1L.

2.b) Pression finale : pf(CO2) = ξmax.R.T / Vgaz = 7,7.10-3 Pa Le capteur indique alors pf = p0 + pf (CO2) = 1157 hPa.

Exercice 10Exercice 10Exercice 10Exercice 10 : Combustion complète: Combustion complète: Combustion complète: Combustion complète

1. Réaction : CaHb(g) + (a+b/2).O2(g) = a.CO2(g) + b/2.H2O(g)

2. Etat initial : ni(CaHb) = V(CaHb) / Vm = 0,050mol.

3. Etat final : nf(CO2) = V(CO2) / Vm = 0,20mol.

Eau : nf(H2O) = m(H2O) / M(H2O) = 0,25mol.

4. Transfo totale : nf(CO2) = a × ni(CaHb) et nf(H2O) = b/2 × ni(CaHb),

Ainsi, on obtient a = 4 et b = 10 Hydrocarbure : C4H10.

5. 2 formules possibles : CH3-CH2-CH2-CH3 : butane

Ou alors le méthyl-propane : CH3 – CH – CH3 |

CH3

Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Propane et Butane: Propane et Butane: Propane et Butane: Propane et Butane

1. On a ntotal = n1 + n2 = V0 / Vm = 0,25 mol.

2. Etat final : V(CO2) = 21,6mL. 2.a) Equations : Propane C3H8 + 5O2 3CO2 + 4H2O

Butane : C4H10 + 13/2O2 4CO2 + 5H2O

2.b) On obtient n(CO2) = V(CO2) / Vm = 0,90 mmol

Mais n(CO2) = n1(CO2) + n2(CO2) = 3n1 + 4n2.

3. On a le système : ( )

1 2

2 1 2

0,25

3 4 0,90totaln n n mmol

n CO n n mmol

= + = = + =

Ce qui donne n1 = 0,10mmol et n2 = 0,15mmol.

Exercice 12Exercice 12Exercice 12Exercice 12 : Avancement volumique: Avancement volumique: Avancement volumique: Avancement volumique

On verse dans un bécher un volume V1 = 20,0mL d’une

solution d’iodure de potassium (K+ + I-) de concentration C1 = 0,20mol.L-1. On ajoute quelques gouttes d’acide sulfurique

concentré, puis un volume V2 = 30,0mL d’eau oxygénée H2O2 de

concentration C2 = 0,050 mol.L-1. La solution jaunit, puis brunit.

En effet, du diiode se forme selon l’équation : H2O2(aq) + 2I-(aq) + 2H+(aq) = I2(aq) + 2H2O

1. EI : ( )

( )

11 1

1 2

2 2 12 22 2

1 2

80 .

30 .

i

i isolution

i

isolution

n I C VI K mmol L

V V V

n H O C VH O mmol L

V V V

−− + −

−

= = = = + = = = +

2. Tab d’avancement volumique : Réaction : H2O2(aq) + 2I-(aq) + 2H+(aq) = I2(aq) + 2H2O

EI (mmol.L-1) 30 80 excès 0 excès à t (mmol.L-1) 30-ξV 80-2ξV excès ξV excès

EF (mmol.L-1) 30-ξVf 80-2ξVf excès ξVf excès

3. Transfo totale : Si H2O2 limitant, alors ξVf = 30 mmol.L-1. Limitant

Si I- limitant, alors ξVf = 40 mmol.L-1,

EF :

1

1max

12 max

2 2

80 .

2 20 .

30 .

0

f i

f i

f

f

K K mmol L

I I mmol L

I mmol L

H O

ξ

ξ

+ + −

− − −

−

= = = − =

= =

=

CM4CM4CM4CM4 –––– EEEEquilibre de rquilibre de rquilibre de rquilibre de réactionéactionéactionéaction

ExExExExerciceerciceerciceercice 1 1 1 13333 : : : : Ecriture du quotient de réactionEcriture du quotient de réactionEcriture du quotient de réactionEcriture du quotient de réaction

1. 2 4

2 3

HCO NHQ

HCO H NH

− + =

2. 3 3

3 2

CH NH HOQ

CH NH

+ − =

3.

22

4 6

22

2 3 2

S O IQ

S O I

− −

−

=

4. 2

2

CuQ

A g

+

+

=

5. 2 2

Q A g H O+ − =

ExExExExerciceerciceerciceercice 14141414 : : : : Expressions du quotient de réacExpressions du quotient de réacExpressions du quotient de réacExpressions du quotient de réactiontiontiontion

1. Quotients de réaction Dépend de l’écriture choisie 22 2

23

a

C u FeQ

Fe

+ +

+

=

, et b aQ Q= , mais c’est

normal car les quantité interviennent en se multipliant

dans le quotient de réaction. 2 fois plus de quantité

Quotient au carré…

2. On assure l’équilibre avec de l’eau ou du solide (tous les deux d’activité 1)

2.a) HClO CN ClO HCN− −+ = +

2.b) ( ) ( ) ( )2

2 4 42s aq aq

Ag SO Ag SO+ −= +

2.c) ( ) ( ) ( ) ( )2 3aq l aq aqHBrO H O BrO H O− ++ = +

ExExExExerciceerciceerciceercice 15151515 : Solution aqueuse d’acide hypochloreux: Solution aqueuse d’acide hypochloreux: Solution aqueuse d’acide hypochloreux: Solution aqueuse d’acide hypochloreux

1. Quotient de réaction : 3H O ClOQ

HClO

+ − =

2. Valeur initiale : ( )0 0Q t = =

3. On a : ( )7

0

10V V

V

QC

ξ ξξ

−+=

−, avec 3 10

0 6.10 .n

C mol LV

− −= = .

Vu les quantités finales proposées, on peut négliger :

l’autoprotolyse de l’eau : 7 110 .V eK mol Lξ − −>> =

La dissociation de l’acide : 3 10 6.10 .V C mol Lξ − −<< =

Ainsi, cela simplifie : ( )2

528

30

1,4.103,3.10

6.10V

eqQC

ξ −−

−= = =

Rmq : un calcul sans approximation donnera le même

résultat à 3 chiffres significatifs.

4. Constante d’équilibre = valeur de Q à l’équilibre…

ExExExExerciceerciceerciceercice 16161616 : Constante d’équilibre: Constante d’équilibre: Constante d’équilibre: Constante d’équilibre

1.

2 3

2 32

9,6.1024

10 9,6.10eq

FeK Q

Cd

+ −

− −+

= = = =−

2.a) EI : 2

20 2

1

2 2.102

2 10t

CQ

C

−

= −= = =

2.b) Q tend vers K à l’équilibre : 0 2 24t eqt

Q Q= →+∞= → =

2.c) A l’équilibre : 2

1

224

2Vf

eqVf

CQ K

C

ξξ

+= = =

−, ce qui donne

( )2

3 11 2 22.104,4.10 .

2 1 50Vf

KC Cmol L

Kξ

−− −−

= = =+

, ou en

mol : 3 2 44,4.10 4.10 1,76.10f Vf V molξ ξ − − −= × = × = .

ExExExExerciceerciceerciceercice 17171717 : Evolutions: Evolutions: Evolutions: Evolutions

1. Equation : ( ) ( ) ( ) ( )4 4aq aq aq aqHSCN IO SCN HIO− −+ = +

2. Constante d’équilibre 4

4

eq

HIO SCNK Q

HSCN IO

−

−

= =

3. Système déjà à l’équilibre : 0,8eqQ Q K= = =

4. 2 3

2 2

4.10 100,08

5.10 10Q Q K

− −

− −

×= = = <×

Evolution dans le

sens direct (Gauche vers la Droite)

ExExExExerciceerciceerciceercice 18181818 : : : : Taux d’avancement finalTaux d’avancement finalTaux d’avancement finalTaux d’avancement final

1. Constante d’équilibre : 2 3

2

eq

ClCH COO H OK Q

ClCH COOH

− + = =

2. Premier mélange : 2.a) Composition finale : Tableau d’avancement …

2

2 3

3 2 10 1

3 2 11

8,94.10 8,94.10 .

1,06.10 1,06.10 .

ClCH COOH f

fClCH COO H O

n n mol mol L

n n mol mol L

ξ

ξ− +

− − −

− − −

= − = → = = = = → =

2.b) Cela donne ( )2

2

3

2

1,06.101,26.10

8,94.10eqK Q−

−−= = =

2.c) Taux d’avancement : 3

12

max

1,06.100,106 10,6%

10fξτ

ξ

−

−= = = =

3. Second mélange : Dilution 10 fois.

3.a) V2 = 10 × V1 = 1L

3.b) Avancement final : 32 2,97.10f molξ −= (car V = 1L)

3.c) Taux d’avancement : 3

22

max

2,97.100,297 29,7%

10fξτ

ξ

−

−= = = =

3.d) La dilution déplace l’équilibre vers la droite (voir

exercice suivant : loi de dilution d’Ostwald)


1. Q(t=0) = 0 < K Evolution dans le sens (Gauche Droite).

Tableau d’avancement : 0

0 1Vf

VfVf

KCK

C K

ξ ξξ

= → =− +

.

Donc [Ni2+] = ξVf = 1,07.10-3 mol.L-1,

[Co2+] = C0 - ξVf = 8,93.10-3 mol.L-1.

2. Q(t=0) = 0,05 < K Evolution dans le sens (Gauche Droite) Tableau d’avancement : (Attention aux dilutions)

SOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXERCICES RCICES RCICES RCICES –––– CM4 / CM5 CM4 / CM5 CM4 / CM5 CM4 / CM5 –––– Feuille 2/4 Feuille 2/4 Feuille 2/4 Feuille 2/4

( )2

3 11 2

1

11011 1,14 10 .

10 11 111

Vf

Vf

Vf

C KC CK mol L

KC

ξξ

ξ

− −+ −

= → = = ⋅+−

[Ni2+] = C2/11+ξVf = 0,91.10-3+1,14.10-3 = 2,04.10-3 mol.L-1,

[Co2+]=10C1/11-ξVf = 1,82.10-2-1,14.10-3= 1,71.10-2mol.L-1.

3. Q(t=0) = 4 > K Evolution dans le sens (Droite Gauche) Tableau d’avancement : (Attention aux dilutions et au ξ)

( )4

2 14 1

1

2 1,73 10 .2 1

2

Vf

Vf

Vf

CC KC

K mol LC K

ξξ

ξ− −

− −= → = = ⋅

++

[Ni2+] = C4/2-ξVf = 2.10-2-1,73.10-2 = 2,7.10-3 mol.L-1,

[Co2+]= C1/2+ξVf = 0,5.10-2+1,73.10-2= 2,23.10-2mol.L-1.

ExExExExerciceerciceerciceercice 20202020 :::: Le mercure et ses ions Le mercure et ses ions Le mercure et ses ions Le mercure et ses ions

1. Quotient de réaction : 2

2

2

HgQ

Hg

+

+

=

2. 2 4 11

1 10

1 2

2 4 122 2 20

1 2

4.10 .

2

8.10 .

VHg C C mol L

V VQ K

VHg C C mol L

V V

+ − −

+ − −

= ⋅ = = +

⇒ = < = ⋅ = = +

Le système va évoluer dans le sens Gauche Droite.

Tableau d’avancement … 2

220

210

eq Vf

Vfeq

Hg CK

CHg

ξξ

+

+

+ = =−

2 4 12

4 110 20

2 4 1

11,87.10 .3,87.10 .

1 0,13.10 .

eq

Vf

eq

Hg mol LKC Cmol L

K Hg mol Lξ

+ − −

− −+ − −

= − = = ⇒+ =

3. 2 5 13

1 30

3 4

2 3 142 4 40

3 4

1,98.10 .

500

9,90.10 .

VHg C C mol L

V VQ K

VHg C C mol L

V V

+ − −

+ − −

= ⋅ = = +

⇒ = > = ⋅ = = +

Le système va évoluer dans le sens Droite Gauche.

Tableau d’avancement … 2

240

230

eq Vf

Vfeq

Hg CK

CHg

ξξ

+

+

− = =+

2 3 12

5 140 30

2 4 1

9,81.10 .8,80.10 .

1 1,08.10 .

eq

Vf

eq

Hg mol LC KCmol L

K Hg mol Lξ

+ − −

− −+ − −

= − = = ⇒+ =

ExExExExerciceerciceerciceercice 21212121 : Cinétique d’une r: Cinétique d’une r: Cinétique d’une r: Cinétique d’une réaction d’isomérisationéaction d’isomérisationéaction d’isomérisationéaction d’isomérisation

1. Avancement volumique max : Tout réagit ξmax = 0,05mol.L-1.

2. Quotient de réaction : ( )3 2

3 3

CH C OH CHQ

CH CO CH

− = =− −

3. Q(t=5min) = 1,3, Q(t=10min) = 2,6

4. Pour t ≥ 20min, on est déjà à l’équilibre : ξ constante

5. Avancement final : ξf = 0,039 mol.L-1. Taux final τf = 0,78.

6. Constante d’équilibre : K = 3,5.


1. Premier mélange :

1.a) 4 6 5

3 6 5

0NH C H O

Q KNH C H OH

+ − = = <

, donc

évolution dans le sens direct (Gauche – Droite)

1.b) Tableau d’avancement…

Avec 2 11 1

3 10

1 2

2 12 26 5 20

1 2

1, 6.10 .

3, 0.10 .

ini

ini

V CNH C mol L

V V

V CC H OH C mol L

V V

− −

− −

= = = + = = = +

( )( )2

10 20

Vf

Vf Vf

KC C

ξξ ξ

⇒ =− −

Equation du 2nd ordre à résoudre :

( ) ( )220 10 10 201 0Vf VfK K C C KC Cξ ξ− − + + =

( )( ) ( )2 420 10 10 204 1 3,12.10K C C K KC C −∆ = + − − =

Ainsi ( )( )

2 220 10 0,736.10 1,77.10

2 1 1,68Vf

K C C

Kξ

− −+ ± ∆ ±= =− −

Une solution satisfaisante (>0) : 3 1

4 6 56,15.10 .Vf mol L NH C H Oξ − − + − = = =

Et 3 1 2 13 6 59,9.10 . 2,4.10 .NH mol L C H OH mol L− − − −= =

2.a) Q = 0,0625 < K - évolution dans le sens direct Gauche Droite 2.b) Q = 6,25 > K – évolution dans le sens inverse Droite Gauche

Exercice Exercice Exercice Exercice 23232323 :::: Influence de la dilution sur un équilibre Influence de la dilution sur un équilibre Influence de la dilution sur un équilibre Influence de la dilution sur un équilibre

On étudie la dissociation de deux acides faibles dans l’eau :

l’acide acétique CH3COOH, et l’acide chloroacétique

ClCH2COOH, de constante d’équilibre respectives KA1 = 1,8.10-5

et KA2 = 1,4.10-3. On souhaite comparer le coefficient de dissociation α de ces deux acides faibles. On rappelle que le

coefficient de dissociation est égal au rapport de la quantité de

matière d’acide dissocié sur la quantité de matière d’acide initial.

1. CH3COOH(aq) + H20(l) = CH3COO-(aq) + H3O+(aq) ClCH2COOH(aq) + H20(l) = ClCH2COO-(aq) + H3O+(aq).

2. Tab d’avancement en négligeant l’autoprotolyse… 2

0

VA

V

KC

ξξ

=−

et

0

V

C

ξα = , donc 2

0

1A

CK

αα

=−

Equation du 2nd degré 20 0A AC K Kα α+ − =

Pour CH3COOH : on trouve α = 0,041

Pour ClCH2COOH : on trouve α = 0,31 (tjrs entre 0 et 1…)

3. Acide acétique, pour C0 = 10-5 mol.L-1 α = 0,71

4. Questions

4.a) pKA plus petit KA plus grand Dissociation plus importante à condition que les concentrations soient les

mêmes !!!

4.b) Plus l’acide faible est dilué, plus il se dissocie dans l’eau Loi de dilution d’Ostwald, on pourra même

considérer un acide faible comme fort si il est très

dilué… (jusqu’à infiniment dilué)

CM5CM5CM5CM5 –––– Réactions acidoRéactions acidoRéactions acidoRéactions acido----babababasiquessiquessiquessiques

ExExExExerciceerciceerciceercice 24242424 : Couples acide : Couples acide : Couples acide : Couples acide----basebasebasebase

Réaction acido-basique : Avec transfert de proton H+

On écrit toujours les couples Acide / Base (pour les identifier)

a) OUI : 3 3 4 3/ /CH COOH CH COO et NH NH− +

b) OUI : 2 2 3 3 3 2/ /HNO NO et CH NH CH NH− +

c) NON : Pas de transfert de proton, mais d’électron (réaction

d’oxydo-réduction… voir Chapitre CM6) d) NON : Pas de transfert de proton, on casse une molécule

e) OUI : 2/ /HCOOH HCOO et H O HO− −

f) NON : Transfert d’électron Oxydo-réduction

g) OUI : 2 2 3 2/ /HBO BO et H O H O− +

h) OUI : 3 2 2 2 3/ , /H O H O et CO H O HCO+ −

ExExExExerciceerciceerciceercice 25252525 : Rappel des définitions: Rappel des définitions: Rappel des définitions: Rappel des définitions

1. Acide fort : qui se dissocie totalement dans l’eau, exemple :

- Acide chlorhydrique HCl, - Acide sulfurique H2SO4,

- Acide nitrique HNO3, - Acide iodhydrique IH, - Acide bromhydrique BrH - Acide perchlorique HClO4

Base forte : Idem – qui se dissocie entièrement dans l’eau : - Soude (hydroxyde de sodium) NaOH

- Potasse (hydroxyde de potassium) KOH

- (Di)hydroxyde de calcium (Ca)2OH - Ion Amidure NH2- - Ethanol C2H5OH - Ion oxyde O2-

2. HCl à 10-2 mol.L-1 Entièrement dissocié pH = 2, et du H2SO4, on a 2 fois plus de H3O+ pH = -log(2.10-2)= 1,7

3. Soude à 10-2 mol.L-1 Entièrement dissocié Na+ + HO-, pH = - log [H3O+] = - log Ke/[HO-] = pKe + log[HO-] = 12

4. Acide le plus fort dans l’eau : H3O+, base la plus forte : HO-

5. KA = Constante d’acidité = constante de la réaction de dissociation de l’acide dans l’eau : AH + H2O = A- + H3O+

Et ainsi, pKA = -log(KA)

6. Pour un acide fort, KA +∞. Plus l’acide est faible, plus la valeur de KA diminue, c'est-à-dire que la valeur de pKA

augmente… donne une bonne classification de la force d’un acide. (et inversement d’une base)

ExExExExerciceerciceerciceercice 27272727 : Acide nitreux : Acide nitreux : Acide nitreux : Acide nitreux

1. Réaction : ( ) ( ) ( )2 2 2 3aq aq aqHNO H O NO H O− ++ = +

2. En négligeant l’autoprotolyse, on a directement ξV = [H3O+]

= 10-pH. Ainsi,

1

2

3

2,1 3 11

2,7 3 12

5,0 5 13

10 10 7,94.10 .

10 10 2,00.10 .

10 10 10 .

pHVf

pHVf

pHVf

mol L

mol L

mol L

ξξξ

− − − −

− − − −

− − − −

= = =

= = = = = =

Taux de dissociation : 1 1 1

2 2 2

3 3 3

0,079

0,2

1

Vf

VVf

Vf

C

CC

C

α ξξα α ξ

α ξ

= == ⇒ = = = =

3. Oui, le taux final dépend des conditions initiales, la

transformation peut être considérée totale à forte dilution :

Plus la solution est diluée, plus la réaction est déplacée vers la droite Voir loi de dilution d’Ostwald (exo 11), un acide

faible peut même être considéré comme fort à forte dilution

ExExExExerciceerciceerciceercice 26262626 : Diméthylamine : Diméthylamine : Diméthylamine : Diméthylamine

1. Solution S1 de (CH3)2NH C1=0,01mol.L-1, pH1 = 11,4.

1.a) Acide conjugué : (CH3)2NH2+ (Avec un proton en plus)

1.b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 22 2aq aq aqCH NH H O CH NH HO+ −+ = +

1.c) Si pH = 11,4, 14

2,6 1

11,4

3

1010 .

10eK

HO mol LH O

−− − −

−+ = = =

On peut alors négliger l’autoprotolyse (les 10-7), et ainsi,

( ) 2,6 13 22

10 .VCH NH HO mol Lξ+ − − − = = =

Taux d’avancement final :

( )0,6

3 2

10 0,25Vf

iniCH NH

ξτ −= = =

La réaction ne peut pas être considérée comme totale.

2. Calcul analogue… τ = 1, réaction totale car acide faible très dilué peut être considéré comme fort (Dilution d’Ostwald)

3. τ augmente lorsqu’on dilue plus

ExExExExerciceerciceerciceercice 28282828 : Comportement de 2 acides : Comportement de 2 acides : Comportement de 2 acides : Comportement de 2 acides

1. Comparaison des deux solutions

1.a/b) Réaction : HA1 + H2O = A1- + H3O+. ξV=[H3O+]=10-pH, Donc ξV1 = 1,26.10-3mol.L-1, et ainsi τ1 = ξV1/C1 = 0,126 (taux) Et ξV2 = 3,63.10-4mol.L-1, et ainsi τ2 = ξV2/C2 = 0,036 (taux)

Le plus dissocié est HA1 (Attention à bien comparer les taux

de dissociation qui sont des proportions d’acide dissocié)

1.c) Le plus dissocié Le plus fort pKA le plus petit, donc

HA1 est l’acide méthanoïque, HA2 le propanoïque.

2. Diagrammes de prédominance

2.a)

2.b) Oui, l’acide propanoïque C2H5COOH et l’ion méthanoate HCOO- peuvent être simultanément prédominants, pour

un pH compris entre 3,75 et 4,87. 3. Mélange d’acide propanoïque avec du méthanoate.

3.a) Réaction dans le sens inverse du gamma sur une échelle

de pKA, donc 1,12 210 10 7,59.10ApKK −∆ − −= = = .

3.b) Transformation très faible, mais ne peut pas être

considérée complètement nulle, car > 10 - 4 3.c) Les espèces vont rester prédominantes, car la réaction va

déplacer très légèrement l’équilibre, on peut s’attendre à

un pH entre 3,75 et 4,87un pH entre 3,75 et 4,87un pH entre 3,75 et 4,87un pH entre 3,75 et 4,87.

3.d) Avancement volumique à l’équilibre, obtenu avec un

tableau d’avancement :

( )2

1,12

2

1

102

V

V

KC

ξξ

−= =−

Donc

( )2,56

3 11 101,1.10 .

2, 552 1V

C Kmol L

Kξ

−− −⇒ = = =

+

Et 11

2log log 4,30V

A AV

base CpH pK pK

acide

ξξ

− = + = + =

On obtient bien ce qui était attendu

SOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXERCICES RCICES RCICES RCICES –––– CM4 / CM5 CM4 / CM5 CM4 / CM5 CM4 / CM5 –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 3333////4444

HCOO-

3,75 4,87 pH

HCOOH

C2H5COO- C2H5COOH

ExExExExerciceerciceerciceercice 29292929 : Calcul de pH : Calcul de pH : Calcul de pH : Calcul de pH

1. Réaction : C2H5COOH + H2O = C2H5COO- + H3O+

Tableau d’avancement… 710V V

AKξ ξ −+

=( )

VC ξ−4,8710−=

Avec les 2 hypothèses habituelles : 7 110 .VC mol Lξ − −≫ ≫

(acide faiblement dissocié et autoprotolyse négligeable)

Ainsi : 6,87 4 1310 3,63.10 .V AK C mol L H Oξ − − − + ≈ = = =

Taux de dissociation : 0,036V

C

ξα = = (faiblement dissocié)

2. On en déduit le pH de la solution pH = 3,44 Vérification des hypothèses

On a pH << 7 7 110 .V mol Lξ − −≫ (autoprotolyse)

On a pH << pKA VC ξ≫ (acide faiblement dissocié)

ExExExExerciceerciceerciceercice 30303030 : Diagramme de prédominance : Diagramme de prédominance : Diagramme de prédominance : Diagramme de prédominance

1. Diagramme :

2. Mélange : 2.a) Non, les espèces chimiques ne peuvent pas être

simultanément prédominantes. 2.b) Réaction : échelle de pKA…

HNO2(aq) + CH3NH2(aq) = NO2-(aq) + CH3NH3+(aq)

2.c) Réaction favorisée : 7,4 710 10 2,5.10ApKK +∆= = =

3. Tableau d’avancement volumique en ξV…

A l’état final :

( )2

7,4

2

1

102

V

V

KC

ξξ

= =−

Et :

( )3 11 5.10 .

2 1V

C Kmol L

Kξ − −⇒ = =

+ Quasi-totale

ExExExExerciceerciceerciceercice 31313131 : : : : Phosphate d’ammoniumPhosphate d’ammoniumPhosphate d’ammoniumPhosphate d’ammonium

1. Diagramme de prédominance :

Impossible d’avoir l’ammonium NH4+ avec le phosphate PO43-

2. Réaction : NH4+ + PO43- = NH3 + HPO42-, favorisée car dans

le sens du gamma : 3,210 10ApKK +∆= = .

3. Tableau d’avancement… attention aux concentrations

initiales : 2

0 10 1 4 0

23 02

0 2 4 0

3 10

10

nC N H

V Vn

C P OV V

−+

−−

× = = =

= = =

Ainsi : ( )( ) ( )( )

2 23,2

01 02 01 02

10 V

V V

KC C n n

ξ ξξ ξ ξ ξ

= = =− − − −

Equation du 2nd degré… 21,00.10f molξ −=

Et finalement : ( )( ) ( )( )

24 01

2 23 4

34 02

2 10

10

0

f f

f f f

f f

n NH n mol

n NH mol n HPO

n PO n mol

ξ

ξ

ξ

+ −

− −

−

= − = × = = =

= − ≈

4. On en déduit : log 8,9A

basepH pK

acide

= + =

(Fonctionne avec les deux couples, mais il nous manque l’information sur la quantité précise de PO43-, que l’on

pourrait d’ailleurs obtenir avec la valeur du pH…)

Exercice Exercice Exercice Exercice 32323232 : Détermination de K: Détermination de K: Détermination de K: Détermination de KAAAA

Réaction : AH+H2O=A-+H3O+ ( )73

0

10V V

AV

A H OK

AH C

ξ ξξ

−− + + = =−

Avec les 2 hypothèses habituelles : 7 10 10 .VC m ol Lξ − −≫ ≫

(Acide faiblement dissocié et autoprotolyse négligeable)

710V V

AKξ ξ −+

⇒ =( )

0 VC ξ−( )

2

3

0

0

110,1

2 A

H OpH pK pC

C

+ = ⇒ = + =

Ou dans l’autre sens : 02 log 4,7ApK pH C⇒ = + =

Vérification des hypothèses :

On a pH << 7 7 110 .V mol Lξ − −≫ (autoprotolyse)

On a pH << pKA VC ξ≫ (acide faiblement dissocié)

ExerciceExerciceExerciceExercice 33333333 : Détermination de pK : Détermination de pK : Détermination de pK : Détermination de pKAAAA

Idem … Réaction : HGlu+H2O=Glu-+H3O+

Avec les 2 hypothèses habituelles : 7 10 10 .VC m ol Lξ − −≫ ≫

On a : 02 log 4ApK pH C⇒ = + =

Vérification des hypothèses : On a pH << 7 et pH << pKA

Exercice Exercice Exercice Exercice 34343434 : Couples du Soufre: Couples du Soufre: Couples du Soufre: Couples du Soufre

Dioxyde de soufre dans l’eau : ( ) ( ) ( )2 2 2 3g l aqSO H O H SO+ =

Mais le soufre ne reste pas sous la forme acide, il se dissocie selon la réaction

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 3aq l aq aqH SO H O HSO H O− ++ = + .

Ainsi, ( )0

11,45

2 ApH pK pC= + = (voir exo 21)

ExExExExerciercierciercicececece 35353535 : Critère d’évolution : Critère d’évolution : Critère d’évolution : Critère d’évolution

1. Réaction : ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 3 3 3aq aq aq aq

H BO CH NH H BO CH NH− ++ = +

2. Quotient de réaction ( )

2 3 3 30 00

3 3 3 20 0

0,818t

H BO CH NHQ

H BO CH NH

− +

=

= =

3. Constante d’équilibre : 1,510 10 31,6ApKK +∆= = =

4. Evolution spontanée dans le sens direct (Gauche Droite)

5. Tab d’avancement …

13 3

13 2

12 3

13 3

0 , 75 .

1, 45 .

6 ,15 .

5, 55 .

H B O m m o l L

C H N H m m o l L

H B O m m o l L

C H N H m m o l L

−

−

− −

+ −

=

= =

=

6. On en déduit le pH : log 10,1A

basepH pK

acide

= + =

(Fonctionne bien évidemment avec les 2 couples en présence)

NO2-

3,3 10,7 pH

HNO2

CH3NH2 CH3NH3+

pKA

NH3

9,2 12,4 pH

NH4+

PO43- HPO42-

Exercice Exercice Exercice Exercice 36363636 : Solution de Chlorure d’ammonium: Solution de Chlorure d’ammonium: Solution de Chlorure d’ammonium: Solution de Chlorure d’ammonium

Ajout de NaOH :

Réaction NH4++HO-NH3+H2O

4,810 10ApKK +∆= = totale

Fait disparaître le NH4+

Relation dépendant du cas

V 0mL 1mL 2mL 3mL

n(NH4+) 2.10-3 1.10-3 ≈ 0 ≈ 0

n(NH3) ≈ 0 1.10-3 2.10-3 2.10-3

n(HO-) ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 1.10-3

pH 5,5 9,2 10,6 11,7

Cas a b c d

Cas aCas aCas aCas a : Dissociation d’un : Dissociation d’un : Dissociation d’un : Dissociation d’un acide faibleacide faibleacide faibleacide faible

710V V

AKξ ξ −+

⇒ =( )

0 VC ξ−( )

2

3

0

0

15,45

2 A

H OpH pK pC

C

+ = ⇒ = + =

Cas bCas bCas bCas b : Deux espèces d’un couple en présence: Deux espèces d’un couple en présence: Deux espèces d’un couple en présence: Deux espèces d’un couple en présence

3log 9,2A A

A H O AK pH pK

AH AH

− + − ⇒ = ⇒ = + =

Cas cCas cCas cCas c : Dissociation d’une base faible: Dissociation d’une base faible: Dissociation d’une base faible: Dissociation d’une base faible

7

2

10V Ve

A

AH HO KA H O AH HO K

KA

ξ ξ −−− −

−

+ + = + ⇒ = = =

( )0 VC ξ−

Ainsi :

2

3

0 0

e Ae e

A

HO K KK KH O

K C HO C

−+

−

= ⇒ = =

Et ( )0

1log 10,6

2 e ApH pK pK C= + + =

Cas Cas Cas Cas dddd : : : : De la soude dans l’eauDe la soude dans l’eauDe la soude dans l’eauDe la soude dans l’eau

3log log log 11,7ee

KpH H O pK HO

HO+ −

− = − = − = + =

Exercice Exercice Exercice Exercice 37373737 : pH de l’eau selon la température: pH de l’eau selon la température: pH de l’eau selon la température: pH de l’eau selon la température

1. A 10°C, pour l’eau pure : 14,534

1 3

14,5343

10

10

eK H O HO

H O HO

− + −

+ − −

= = = =

,

donc pH10°C = -log[H3O+] = 7,267. de même pH30°C = 6,917.

On identifie A et B 283,15

303,15

7, 267283,15

6,917303,15

= = + = = +

K

K

ApH B

ApH B

Ainsi : 1504

1,955

= =

A

B Et 50

25

6,61

7,00°

°

= =

C

C

pH

pH, OK

On retrouve bien la valeur attendue de pH = 7 pour l’eau

neutre à 25°C. Remarque, en salle de TP, à environ 20°C,

cela nous donne une valeur plus proche de 7,1.

2. On a [HO-] = 4.10-3 mol.L-1,

Donc pH25°C = -log(Ke/[HO-]) = pKe+log[HO-] = pH25°C = 11,6 A 50°C, cela donne pH50°C = 10,82

3. Par déf : [H3O+] = 10-pH = 6,3.10-6 mol.L-1, et avec le Ke, cela donne [HO-] = Ke/[H3O+] 8,7.10-9 mol.L-1

ExExExExercice 38ercice 38ercice 38ercice 38 : Diagramme de prédominance: Diagramme de prédominance: Diagramme de prédominance: Diagramme de prédominance

Tamponnée à pH = 7 : Le pH de la solution est stable autour de 7,

en général à l’aide d’autres couples acide-base de pKA proche de 7

Diagramme de prédominance :

Il y aura essentiellement du H2PO4- et du HPO42-

Mais on a : 0 3 4C H PO=

2 32 4 4 4H PO HPO PO− − − + + +

Et 2 2

4 4

22 4 0 4

log 7 7,2 logA

HPO HPOpH pK

H PO C HPO

− −

− −

= + = = + −

D’où : 2

0 4 0,2

24

10C HPO

HPO

−

−

− =

et 2 10

4 0,2

12 4

0,39 .1 10

0,61 .

CHPO mol L

H PO mol L

− −

− −

= = + =

CM5 CM5 CM5 CM5 ---- Dosage, pH Dosage, pH Dosage, pH Dosage, pH----métrie et Conductimétriemétrie et Conductimétriemétrie et Conductimétriemétrie et Conductimétrie

ExExExExercice 39ercice 39ercice 39ercice 39 : : : : MMMMesures conductimétriquesesures conductimétriquesesures conductimétriquesesures conductimétriques

La conductivité σ0 d’une solution S0 d’acide éthanoïque de

concentration molaire C0 = 1,00 mmol.L-1 vaut 46 μS.cm-1. 1. Réaction : CH3COOH(aq) + H2O(l) = CH3COO-(aq) + H3O+(aq).

2. On a [CH3COO-] = [H3O+], les autres composés ne conduisent

pas l’électricité (CH3COOH et H2O).

Ainsi : σ0 = λ(H3O+) × [H3O+] + λ(CH3COO-) × [CH3COO-]

( ) ( )4 10

3 3

3 3

1,2.10 .CH COO H O mol LH O CH COO

σλ λ

− + − −+ −

= = = +

(On a négligé l’autoprotolyse, ce qui est bien vérifié 10-4>>10-7)

3. Taux d’avancement final : 3

max 0

0,12f ff

CH COO

C

ξτξ

− = = =

4. On a 3 3 3 3 5

3 0 3

1,6.10A

CH COO H O CH COO H OK

CH COOH C CH COO

− + − +−

−

= = = −

Donc 4,8ApK =

5. Dilution 10 fois : C1 = C0 / 10.

5.a) On a de la même manière 3 31 11

1 0

10H O H O

C Cτ

+ + = = ,

Mais 2

3 3 3

1 3 1 3

A

CH COO H O H OK

C CH COO C H O

− + +

− +

= = − −

Equation du 2nd degré… 5 13 3,3.10 .H O mol L+ − − =

et 1 0,33τ =

Lors d’une dilution, le taux d’avancement augmente (Ostwald)

5.b) Conductivité : Même formule σ1 = λ(H3O+) × [H3O+] + λ(CH3COO-) × [CH3COO-]

Donc σ1 = 13 μS.cm-1.

NH3

14

pKA

NH4+ 9,2

0 H3O+

H2O

H2O

HO-

2,1 12,4 pH

H3PO4 PO43- HPO42-

7,2

H2PO4-

pH = 7pH = 7pH = 7pH = 7

SOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXERCICES RCICES RCICES RCICES –––– CM4 / CM5 CM4 / CM5 CM4 / CM5 CM4 / CM5 –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 4444////4444

Exo Exo Exo Exo 40404040 : Titrage colorimétrique et conductimétrique: Titrage colorimétrique et conductimétrique: Titrage colorimétrique et conductimétrique: Titrage colorimétrique et conductimétrique

I) Premier dosage (colorimétrique)

I.a) Equation : H3O+(aq) + HO-(aq) 2H2O(l)

I.b) Equivalence : 3H O ajouté HO initial

n n+ −=

Ainsi : 10 0 0

0

0,228 .A EA E

C VC V C V C mol L

V−= ⇒ = =

I.c) Le volume V de S0 contient n = C0V = 2,28.10-2 mol, donc

une masse m = n × M(NaOH) = 0,912g

Ainsi le pourcentage massique est P = 0,912/1,08 = 84,4%

II) Seconde dosage conductimétrique

II.a) Facteur de dilution : 0 1 1 10

1 0 0

21,9SS

S S

C V CVF V mL

C V C= = ⇒ = =

II.b) Equivalence = changement de réactif limitant.

Avant l’équivalence, c’est le H3O+ qui est limitant, les ions HO-

présents initialement sont progressivement remplacés par

des ions Cl-, de conductivité inférieure σ diminue Après l’équivalente, c’est le HO- qui est limitant, la solution

contient de plus en plus d’ions oxonium et chlorure, qui

conduisent plus que les ions HO- σ augmente avec une

pente supérieure

II.c) Equivalence = intersection des deux droites (σ min)

Ainsi : 3 12 22 1

1

12,5 5,0.10 .'E

E

C VV mL C mol L

V− −= ⇒ = =

La solution S1 a bien la concentration souhaitée

Exercice Exercice Exercice Exercice 41414141 : Etude du couple NH: Etude du couple NH: Etude du couple NH: Etude du couple NH4444++++/NH/NH/NH/NH3333

1. Etude conductimétrique :

1.a) Eau pure : [H3O+] = [HO-] = 10-7 mol.L-1 = 10-4 mol.m-3 σ = λ(H3O+) × [H3O+] + λ(HO-) × [HO-] = 548.10-8 S.m-1.

1.b) Dissociation de l’ammoniac (ou ionisation) : NH3 + H2O = NH4+ + HO-. De constante K, et on néglige

l’autoprotolyse, et seuls les ions [NH4+] = [HO-] conduisent.

Ainsi : σ = λ(HO-) × [HO-] + λ(NH4+) × [NH4+]

( ) ( )4 1

4 1

4

1,04.10 .NH HO C mol LHO NH

σ αλ λ

+ − − −− +

= = = ⋅ = +

Ainsi 4

1

0,13eqNH

Cα

+ = = et 10epH pK p HO− = − =

(On a négligé l’autoprotolyse on ne compte pas les ions

H3O+, ni les 10-7 HO-, ce qui est bien vérifié 10-4>>10-7)

Finalement, le KA est la cstte de : NH4+ + H2O = NH3 + H3O+

( )1410

21

10 16,43.10e

A

KK

K C

αα

−−−

⇒ = = =⋅

et 9,2ApK⇒ =

2. Titrage : réaction NH3 + H3O+ = NH4+ + H2O, de cstte KA-1 >> 1

2.a) Les ions H3O+ dans le bécher sont consommés par les ions NH3 dans la burette, donc la conductivité diminue (avant l’équivalence). Après l’équivalence, il n’y a plus d’ions

H3O+, et l’ajout du NH3 ne fait pas augmenter la

conductivité, car ce n’est pas un ion, et puisque la

dilution n’est as prise en compte, la conductivité reste

constante (sinon elle devrait diminuer légèrement, mais le phénomène est compensé par la légère dissociation du

NH3 en NH4+…)

2.b) VE=21,5mL 3 3

NH ajouté B E A AH O initialn C V n C V+= = = ,

Donc 10, 043 .B EA

A

C VC m ol L

V−= =

pH à l’équivalence ? Il n’y a plus d’ions H3O+ ni NH3, il ne reste

plus que le NH4+ de concentration 3 17.10 .A

A

C VC mol L

V V− −= =

+,

qui se dissocie selon la réaction : NH4+ + H2O = NH3 + H3O+

Tableau d’avancement… 2

VA

V

KC

ξξ

⇒ =−

2

3H O

C

+ =

Ainsi : ( )15,7

2 ApH pK pC= + =

(Hypothèses faites : acide peu dissocié pH << pKA)

ExercicExercicExercicExercice e e e 42424242 : Méthode de Gran: Méthode de Gran: Méthode de Gran: Méthode de Gran

1. Réaction : AH + HO- A- + H2O. EI CAVA CBV - excès

à t CAVA-CBV ≈ 0 CBV excès

Mais à l’équivalence CAVA = CBVeq donc à tout instant :

( ) ( )3 BA A eq

B eq

A H O h C VK hV K V V

AH C V V

− + ⋅ = = ⇒ = − −

(Hypothèse réaction totale, et réaction du AH avec l’eau négligée)

2. Représentation graphique : on trace h.V = V.10-pH en fonction de V : on obtient une droite de pente –KA et

d’ordonnée à l’origine KAVeq.

3. Dosage 3.a) Veq = 24,5mL

3.b) CA = 4,9.10-3 mol.L-1

3.c) KA = 1,85.10-5 ou pKA = 4,7.

Exo Exo Exo Exo 43434343 : Dosage colorimétrique de l’acide sulfurique: Dosage colorimétrique de l’acide sulfurique: Dosage colorimétrique de l’acide sulfurique: Dosage colorimétrique de l’acide sulfurique

1. Réaction : H2SO4 + 2H2O = SO42- + 2H3O+

2. Equivalence : 3

2B BE A AHO ajouté H O initialn C V n C V− += = =

Donc 2 11, 2.10 .2B BE

AA

C VC m ol L

V− −= =

3. On a logA

basepH pK

acide

= +

base acide=

pour 7,1ApH pK= = (croisement des courbes à 1/2)

L’indicateur est adapté si le changement de couleur se fait sur le

saut de pH, donc ici autour de 7. Il est bien adapté…

Exercice 44Exercice 44Exercice 44Exercice 44 : Titrage de la vitamine C: Titrage de la vitamine C: Titrage de la vitamine C: Titrage de la vitamine C

1. Réaction : HA + HO- A- + H2O 2.a) [H3O+]=10-pH=2,5.10-4mol.L-1, [HO-]=Ke/[H3O+]=4.10-11mol.L-1

2.b) Tab d’avancement … CAVA-ξ CBVB-ξ ξ ξ

Ainsi n(HO-)f = CBVB-ξf ξf = CBVB-(VA+VB)[HO-]f = 5.10-5 mol

Taux d’avancement : τ = ξf / ξmax = 1, car ξmax est obtenue en considérant la réaction totale, donc avec la soude limitante.

2.c) Réaction totale elle peut être utilisée pour le dosage

3.a) Equivalence : B BE AH initial S SHO ajouté

n C V n C V− = = = .

Repérage : saut de pH Méthode des tangentes, ou lorsque

dpH/dV est maximal (pente maximale) VE = 14,1mL

3.b) On obtient CS = CBVBE/VS = 1,41.10-2 mol.L-1.

3.c) M(C6H8O6) = 176g.mol-1. m = CAV1M = 496 mg, ce qui

correspond à l’indication 500mg de l’emballage à 0,8% près.

Composition de l’atome Exercice 1 : Configuration électronique

Choisissez un numéro atomique Z au hasard de 1 à 100.

Donner la configuration électronique fondamentale de l’atome dont Z est le numéro atomique.

Préciser quels sont les électrons de cœur, ainsi que les électrons de la couche de valence.

Préciser le remplissage de la dernière sous-couche (en précisant les nbs quantiques orbitaux mL et de spin mS)

Exemple :

Donner la configuration électronique du phosphore 15P, avec toutes les précisions demandées ci-dessus.

Quel élément de la famille du P appartient à la deuxième période de la classification ? le 15P : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p3

Exercice 2 : Composition de l’atome

Donner le nombre de protons, de neutrons et d’électrons de l’ion Cr3+, de numéro atomique Z = 24 et de masse molaire M = 52g.mol-1.

Compléter la notation des espèces suivantes et déterminer leur composition : 11B, 32S2-, 27Al3+, 28Si, 29Si4+, 22Ne, 37Cl-… Préciser leur structure électronique fondamentale.

Exercice 3 : Exceptions à la règle

1. Cuivre (Cu) / Or (Au) / Argent (Ag) :

1.a) Donner la configuration électronique fondamentale du cuivre (Z=29) prévue par la règle de Klechlowski.

1.b) Le cuivre ne respecte la règle. Expliquer pourquoi et donner la configuration la plus stable.

1.c) Faire de même pour l’argent (Ag, Z=47) et l’or (Au, Z=79), qui suivent la même exception.

1.d) On a une situation similaire dans les cas où une demi couche d (5 spins parallèles) peut se remplir au détriment d’une sous-couche s d’énergie inférieure. Donner la configuration du Chrome (Cr, Z=24) et du Molybdène (Mo, Z=42).

2. Cations monoatomique (Fe3+) / (Co2+ ou Co4+) / :

La majorité des cations monoatomiques qui ont une couche d non remplie (à partir de la 4ème période) vide la couche s d’énergie inférieure avant de vider cette couche d, surtout lorsque l’on peut arriver à des configurations présentant une stabilité particulière comme des sous-couche remplies ou à moitié remplies. Mais il y a beaucoup d’exceptions, et il nous faut toujours des informations supplémentaires pour résoudre les problèmes.

2.a) Le Fer forme un ion Fe3+. Donner sa configuration électronique fondamentale.

2.b) Le Cobalt forme couramment 2 ions, le Co2+ et le Co4+. Proposer la configuration électronique qui vous semble la plus stable.

Exercice 4 : Isotopes de l’Uranium Les centrales nucléaires utilisent de l’uranium comme

combustible. L’uranium (de numéro atomique Z = 92) existe sous

forme de deux isotopes, l’isotope 235U et le 238U . Seul 235U est fissible, c'est-à-dire qu’il peut se casser en deux noyaux plus petits sous l’action d’un neutron, en dégageant de la chaleur, source d’énergie des centrales nucléaires. Or l’uranium naturel est formé à 99,3% d’uranium 238. Il est nécessaire de l’enrichir pour atteindre un pourcentage de 3% en uranium 235 afin de l’utiliser comme combustible dans les centrales nucléaires.

1. Qu’appelle-t-on des isotopes ?

2. Donner la composition des atomes d’ 235U et d’ 238U .

3. Peut-on enrichir l’uranium en utilisant des réactions chimiques ?

4. Déterminer la masse molaire de l’uranium naturel et celle de l’uranium enrichi à 3%.

5. Donner la configuration électronique fondamentale des deux isotopes de l’uranium, et préciser ses couches de cœur et de valence.

Exercice 5 : L’élément oxygène

L’oxygène est le huitième élément du tableau périodique. Il représente près de la moitié de la masse des éléments sur Terre. Son nombre de masse le plus courant est A = 16.

1. Quel est le numéro atomique de l’oxygène ?

2. Donner la composition du noyau d’un atome d’hydrogène.

3. Donner la structure électronique de l’oxygène.

4. Combien d’électrons l’oxygène doit-il gagner pour vérifier la règle de l’octet ?

5. Les deux molécules les plus courantes contenant de l’oxygène sont le dioxygène O2 et l’eau H2O. Représenter une formule de Lewis de chacune de ces molécules et vérifier dans chaque cas que l’oxygène est stable.

Exercice 6 : Famille des halogènes

Chaque colonne du tableau périodique est aussi appelée famille. Les éléments d’une même famille ont les mêmes propriétés chimiques. La 17è ou avant-dernière colonne du tableau périodique représente la famille des halogènes. De haut en bas, on trouve successivement dans cette colonne le Fluor (F), le Chlore (Cl), et le Brome (Br).

1. Donner le numéro atomique et la structure électronique de chacun de ces éléments.

2. Que constate-t-on pour la couche la plus externe.

3. Grâce à la structure de la couche externe, déterminer la formule du corps simple (corps constitué uniquement du même élément) le plus stable pour chaque halogène.

4. Quel ion de chaque halogène peut se former le plus facilement ?

5. Les éléments d’une même famille ont des réactivités similaires. Par exemple, les ions des halogènes forment tous un précipité avec le cation Ag+. Ecrire pour chaque ion issu d’un halogène la réaction de précipitation.

Supplément EXERCICES – CM1 / CM2 / CM3 – Architecture de la Matière – Feuille 1/3

Exercice 7 : Elément et isotope Dans la classification périodique à dix-huit colonnes, chaque

élément peut être repéré par son abscisse (numéro de colonne) et son ordonnée (numéro de période). On considère un élément Y, à identifier, dont les coordonnées sont (1,4).

1. Déterminer, grâce à la classification, son nom, son symbole et son numéro atomique.

2. A quelle famille appartient-il ? 3. Etablir sa structure électronique (directement à partir de sa

place dans la classification). 4. Quels sont les ions qu’il peut donner ? Pourquoi ? 5. Y possède trois isotopes naturels, notés 39Y, 40Y et 41Y.

Rappeler le nom et la signification du nombre figurant dans la notation. Préciser la composition du noyau.

6. Rappeler la définition des isotopes. Ceux-ci ont-ils même réactivité chimique ? Et mêmes propriétés nucléaires ?

Evolution des propriétés dans la table

Exercice 8 : Evolution de l’électronégativité

En utilisant la classification périodique, ranger par ordre d’électronégativité croissante les atomes suivants :

a) Bore B / Chlore Cl / Fluor F / Carbone C b) Soufre S / Oxygène O / Etain Sn / Silicium Si

Exercice 9 : Evolution de l’énergie d’ionisation

Lorsque l’on passe de Be (Z=4) à B (Z=5), ou de N (Z=7) à O (Z=8), l’énergie d’ionisation diminue légèrement.

a) Donner la définition de l’énergie de première ionisation et l’équation de la réaction associée.

b) Comment évolue-t-elle de façon générale de gauche à droite sur une même période. Interpréter qualitativement cette évolution générale.

c) Essayer d’expliquer ce qui se passe lors des passages de Be à B et de N à O.

Exercice 10 : Formation d’oxydes basiques

1. Citer trois représentants de la famille des alcalins 2. Le sodium métallique Na(s) (s pour solide) réagit sur l’eau

pour former l’ion Na+ selon la réaction d’équation :

( ) ( )2 212s gN a H O N a H O H+ −+ = + +

Ecrire l’équation de la réaction du lithium métallique sur l’eau 3. Ecrire l’équation de réaction du magnésium métallique Mg(s)

sur l’eau, en sachant que le magnésium est l’élément suivant le sodium dans la classification périodique. Comment s’appelle la famille à laquelle appartient le magnésium ?

Exercice 11 : Comparaison de propriétés

La comparaison de certaines grandeurs physiques du silicium Si et d’un autre élément de sa colonne dans la classification périodique se traduit par :

Rayon (nm) Electronégativité Silicium 0,12 1,9

Autre élément 0,08 2,6

1. Définir chacune de ces grandeurs physiques

2. Attribuer ces valeurs à un des éléments de la colonne du Si Exercice 12 : L’éka-aluminium

Lors de la construction de la classification périodique par Mendeleïev en 1869, celui-ci a été amené à laisser des cases vides dans son tableau périodique. La 1ère de ces cases vides se situe juste en dessous de l’aluminium et l’élément à découvrir est baptisé éla-aluminium par Mendeleïev, qui prédit les propriétés de élément (formation de l’oxyde, point de fusion bas, découverte par une méthode spectroscopique, densité du solide proche de 6,0 g.cm-3).

1. L’oxyde d’aluminium, ou alumine, a pour formule Al2O3. Donner la formule de l’oxyde d’éka-aluminium.

2. L’aluminium appartient à la 13e colonne de la classification périodique et forme des ions Al3+. Indiquer l’ion avec l’éka-aluminium.

3. L’éka-aluminium, découvert par Lecoq et Bois-baudran en 1875, est le premier des éléments dont l’existence et les propriétés ont été prédites par Mendeleïev et a permis de prouver l’intérêt de sa classification périodique. Il es appelé aujourd’hui Gallium et est utilisé en électronique en remplacement d’un autre élément de propriétés similaires. Sachant que cet autre élément est plus léger que l’aluminium et à l’aide de la classification périodique, indiquer le nom de cet élément.

4. Un isotope radioactif du Gallium, 67Ga, est également utilisé en imagerie médicale sous sa forme ionique en raison de son comportement proche d’un ion du fer. Donner la définition de l’isotopie. Calculer la proportion de chacun des deux isotopes stables (non radioactifs) du Gallium, 69Ga et 71Ga sachant que la masse molaire du gallium est égale à 69,7g.mol-1. L’ion Ga3+ s’accumule, comme l’ion fer Fe3+, dans les zones d’inflammation ou de division cellulaire rapide et permet l’étude de ces zones.

Spectroscopie atomique Exercice 13 : Etude de l’hydrogène atomique

1. On a relevé les quatre longueurs d’onde les plus élevées des séries de Balmer pour l’hydrogène 1H et son isotope naturel, le deutérium D (2H). Rappeler la formule de Rydberg-Ritz permettant le calcul des longueurs d’onde des spectres atomiques.

λH (nm) 656,11 486,01 433,94 410,07 λD (nm) 655,93 485,88 433,82 409,96

2. La série de Balmer correspond à la désexcitation de l’atome vers un niveau En déterminé avec n = 2. Réécrire dans ce cas la formule de Rydberg. Déterminer à cinq chiffres significatifs les constantes de Rydberg RH et RD relatives aux atomes d’hydrogène et de deutérium.

Exercice 14 : Spectre d’émission de l’Helium

L’ion Hélium He+ présente un spectre d’émission discontinu constitué de raies fines correspondant à la transition entre deux différents niveaux d’énergie E(n=j) et E(n=i) avec j > i. Pour les ions de ce type, l’énergie d’un électron de nombre quantique principal

n est donné par la relation 2nEE

n−

= .

1. Combien d’électrons l’ion He+ possède-t-il ? On appelle ces ions des ions hydrogénoïdes. Justifier pourquoi.

2. Sachant que la désexcitation du niveau E2 au niveau E1 s’accompagne pour l’ion He+ de l’émission d’une radiation de longueur d’onde λ = 30,378nm, donner la valeur de E, en J, en kJ.mol-1, et en eV.

3. Comparer cette valeur à celle correspondant à l’atome d’hydrogène : 13,6eV.

Données : Constante de Planck 346.64 10 .h J s−= × , célérité

de la lumière dans le vide 8 13.10 .c m s −= , charge élémentaire 191,6.10e C−= , nombre d’Avogadro 23 16.02 10AN mol −= × .

Exercice 15 : Lampe à vapeur de Sodium

On analyse au moyen d’un spectroscope la lumière émise par une lampe à vapeur de sodium. Le spectre observé est constitué de raies fines correspondant à des longueurs d’onde bien déterminées.

1. Interpréter le caractère discontinu du spectre.

2. La raie la plus intense a pour longueur d’onde λ = 589nm. Indiquer la couleur de la lumière de la lampe au sodium. Calculer l’énergie correspondant à cette transition en eV. On donne 346.64 10 .h J s−= × , 8 13.10 .c m s −= et

191,6.10e C−= .

3. A partir du diagramme d’énergie du sodium ci-dessous, déterminer entre quels niveaux d’énergie s’effectue la transition électronique responsable de l’émission de cette raie.

Les lampes au sodium sont utilisées entre autres sur les autoroutes, car elles sont économiques, et près des observatoires, car leur lumière est facile à filtrer.

4. Calculer la longueur d’onde λ2-f des transitions entre le 2e niveau excité et le niveau fondamental et λ2-1 celle entre le 2e et le 1er niveau excité. Ces transitions appartiennent-elles au domaine du visible ?

5. Pourquoi est-il inutile de s’intéresser aux transitions à partir des niveaux les plus excités ?

6. Donner la configuration électronique fondamentale de l’atome de sodium (Z=11) et attribuer à chaque case quantique la valeur de l’énergie de l’électron qui l’occupe.

Composition de la molécule

Exercice 16 : Cristal ionique

Plutôt que de partager des électrons en formant des liaisons covalentes, certains atomes vont perdre ou gagner un électron pour former un ion. Donnons deux exemples :

1. Le sel de cuisine, ou chlorure de sodium NaCl

Il s’agit de la réunion de deux ions, un cation Na+ et un anion Cl-. Le numéro atomique du sodium est Z = 11 et celui du Chlore est Z = 17.

1.a. Donner la structure électronique de l’ion Na+.

1.b. Donner la structure électronique de l’ion Cl-.

1.c. Justifier la stabilité de ces structures ioniques.

2. Fluorure de Calcium

2.a. Le calcium Ca, a pour numéro atomique Z = 20. Donner sa structure électronique et en déduire quel est l’ion stable issu du calcium.

2.b. De même, le fluor F a pour numéro atomique Z = 9. Donner sa structure électronique et en déduire quel est l’ion stable issu du fluor.

2.c. En déduire la formule du fluorure de calcium, solide ionique formé d’ions fluorure et d’ions calcium.

Exercice 17 : Géométrie de quelques molécules

Après avoir représenté la formule de Lewis d’une molécule, il est possible d’avoir une idée de sa géométrie grâce à la répulsion des doublets (théorie de Gillespie).

1. Représenter la structure de Lewis des molécules suivantes : H2O, CO2. Ces molécules sont-elles linéaires ou coudées ?

2. Représenter la structure de Lewis des molécules suivantes : NH3, AlCl3, BH3. Quelles sont les molécules planes ?

Données : Z(N) = 7, Z(Al) = 13, Z(B) = 5, Z(Cl) = 17. Exercice 18 : Eau de Javel

L’eau de Javel est une solution basique contenant l’ion hypochlorite ClO-, base conjuguée de l’acide hypochloreux HClO.

1. Donner le nombre de doublets liants et non liants pour la molécule HClO et pour l’ion ClO-. En déduire la formule de Lewis de ces deux composés et indiquer les charges formelles portées par les atomes de ces composés.

2. Quelle est la géométrie de la molécule HClO ? Donner le nom d’une autre molécule ayant cette géométrie.

3. L’eau de Javel ne doit pas être associée à d’autres produits d’entretien (détartrants par exemple) sous peine de produire un gaz toxique, le dichlore. Donner la structure de Lewis de ce gaz.


E(eV) 0

-1,51-1,93-3,03

-5,14

Exercice 19 : Structure et géométrie de la valine

La valine est un acide aminé entrant dans la composition de protéines, de formule CH3-CH(NH2)-COOH. La molécule est formée d’une chaîne carbonée de trois carbones, un groupement NH2 est fixé sur le carbone central.

1. L’azote (N) a pour numéro atomique Z = 7 et l’oxygène (O), Z = 8. Donner la structure électronique de l’azote et de l’oxygène.

2. Représenter la formule de Lewis de la valine.

3. Quelle est la géométrie autour de chacun des atomes de carbone ?

Exercice 20 : Synthèse de l’urée / Cyanure

La synthèse de l’urée, de formule CO(NH2)2, réalisée en 1928 par F. Wölher, marque le début de la chimie organique et met fin à la théorie selon laquelle les composés organiques possèdent une force vitale les différenciant des composés inorganiques. Cette synthèse fait suite à celle de l’acide cyanique HO-CN.

1. Compter le nombre de doublets présents dans l’urée et dans l’acide cyanique

2. En déduire la formule de Lewis de ces deux composés.

3. Déterminer les géométries de l’atome de carbone dans l’urée et dans l’acide cyanique.

L’ion cyanure a pour formule CN-. L’acidification d’une solution d’ions cyanure conduit à l’acide cyanhydrique HCN, composé volatil, mortel par inhalation.

4. Donner la structure de Lewis de l’ion cyanure et de l’acide cyanhydrique.

5. Donner la géométrie autour de l’atome de carbone de l’acide cyanhydrique.

Exercice 21 : Composés azotés

Les végétaux ont besoin d’azote pour grandir, mais l’azote atmosphérique se rencontre sous forme de diazote et n’est pas directement assimilable par la majorité de ces végétaux. On leur apporte donc de l’azote principalement sous forme de nitrate d’ammonium (NH4+, NO3-).

1. Donner la structure de Lewis du diazote, de l’ion ammonium, et de sa forme basique, l’ammoniac NH3. Bien indiquer les charges formelles.

2. Donner une structure de Lewis de l’ion nitrate en indiquant les charges formelles.

3. Donner la géométrie autour de l’azote dans l’ion ammonium, dans l’ion nitrate et dans l’ammoniac.

Exercice 22 : Oxoanions manganate et permanganate

1. Donner la configuration électronique fondamentale de l’atome d’oxygène (O, Z=8) et de l’atome de manganèse (Mn, Z=25). Quels sont les ions les plus stables a priori du Mn ?

2. Donner une structure de Lewis des ions manganate MnO42- et permanganate MnO4- et la géométrie de l’ion permanganate (on rappelle que l’atome de manganèse peut être hypervalent et former plus de 4 liaisons avec les atomes qui lui sont liés.

Exercice 23 : Fabrication du ciment Portland (CCP)

Le ciment (le plus utilisé) est élaboré par réaction, dans un four chauffé à 1700K, d’un mélange de calcaire (CaCO3) et d’argile (constitué de sable (silice) SiO2 et d’alumine Al2O3), Le constituant principal de ce ciment non hydraté est le silicate de calcium Ca3SiO5. La réaction entre CaCO3 et l’argile libère également du dioxyde de carbone.

1. Le carbonate de calcium utilisé dans la synthèse des ciments est un composé ionique constitué du cation calcium Ca2+ et de l’anion carbonate CO32-.

1.a) Ecrire la configuration électronique du calcium (Z=20). Dans la classification périodique, l’élément Strontium Sr est situé dans la même colonne et juste en dessous du calcium Ca. En déduire la configuration électronique de l’atome de Strontium et son numéro atomique.

1.b) Calculer le nombre de doublets à répartir dans l’anion carbonate CO32- et en déduire une de ses représentations de Lewis.

2. Donner la structure de Lewis du dioxyde de Carbone CO2 crée lors de la synthèse du ciment Portland. Quelle est la géométrie autour du carbone dans cette molécule ?

3. Une autre voie de synthèse du ciment utilise un mélange de gypse (sulfate de calcium CaSO4) et de sable (silice SiO2). Donner la structure de Lewis de l’anion sulfate SO42-.

4. Etude de la silice SiO2 (le sable)

4.a) Quel est le nombre d’électrons de valence de l’atome de silicium (Z = 14) ? Donner une autre élément qui possède le même nombre d’électrons de valence.

4.b) Dans la silice, chaque atome de silicium est entouré de quatre atomes d’oxygène, chaque oxygène étant lié à deux atomes de silicium, d’où la formule statistique SiO2. Indiquer la multiplicité de la liaison silicium-oxygène et déterminer la géométrie autour de chaque atome de silicium.

Exercice 24 : Production des NOx (CCP)

Les NOx sont des oxydes d’azote produits lors de la combustion de l’essence des moteurs à explosion dans les cylindres dans lesquels la température et la pression sont élevées.

1. Le monoxyde d’azote NO est formé par réaction entre le diazote de l’air et le dioxygène de l’air

1.a) Ecrire l’équation de cette réaction

1.b) Donner les formules de Lewis des trois molécules gazeuses impliquées N2, O2 et NO. Le monoxyde d’azote possède plusieurs formules de Lewis, lesquelles, et laquelle est la plus probable ?

2. Au refroidissement, le monoxyde d’azote s’oxyde spontanément en dioxyde d’azote NO2. Ce dernier peut former de l’acide nitrique HNO3, à l’origine des certaines pluies acides sur Terre.

2.a) Donner une structure de Lewis de l’acide nitrique

2.b) Décrire la molécule de NO2 en utilisant le modèle de Lewis. On écrira des schémas dans lesquels l’électron célibataire est porté soit par un oxygène, soit par l’azote.

Exercice 25 : Epuration biologique des eaux (CCP)

En milieu anaérobie (absence d’oxygène), de nombreuses bactéries ont la capacité d’utiliser les ions nitrates du milieu comme oxydants de la matière organique présente. Ces ions sont alors réduits en ions nitrite puis en diazote, ce qui permet la dénitrification de l’effluent.

1. Ecrire la structure électronique des quatre atomes suivants : 1H, 6C, 7N et 8O.

2. Ecrire une formule de Lewis - de la molécule d’eau H20 - de la molécule de dioxyde de carbone CO2 - de l’ion nitrite NO2- - de l’ion nitrate NO3-

3. Trouver la géométrie de chacune de ces molécules, et les représenter

Exercice 26 : Comparaison azote-phosphore

1. Préciser la structure électronique de l’azote (N, Z=7)

2. Ecrire les structure de Lewis de l’ammoniac NH3, de l’hydroxylamine NH2OH, du chlorure de nitrosyle ClNO et de l’acide nitrique HNO3. Dans tous ces édifices, ‘azote est l’atome central. Vérifier la présence de charges formelles.

3. Prévoir la géométrie de toutes ces molécules.

4. Le phosphore appartient à la même colonne que l’azote et peut conduire à l’ion PF6-. Décrire sa structure et sa géométrie

5. L’analogue peut-il exister avec l’azote ? Pourquoi ?

Données : O : Z=8, N : Z=7, P : Z=15, Cl : Z=17.

Cristallographie

Exercice 27 : Cristal métallique – CFC Structure Cristalline du Cuivre : Cubique Faces Centrées.

Représenter une maille. Quelle est sa multiplicité ?

Quelles sont les sphères en contact ? En déduire la relation entre le paramètre de maille a et le rayon des sphères R.

Quelle est la compacité de cette structure ?

En sachant que sa densité est 8,78 et que sa masse molaire est 63,54 g.mol-1, calculer a et R. Commenter la valeur de R.

Exercice 28 : Cristal métallique – Cubique Simple Structure Cristalline du Polonium : Cubique Simple.




En sachant que sa densité est 9,19 et que sa masse molaire est 210 g.mol-1, calculer a et R. Commenter la valeur de R.

Exercice 29 : Cristal métallique – Cubique Centré Structure Cristalline du Titane pour T>1155K : Cubique Centré.




En sachant que la densité du Titane est 4.5, et que M(Ti) = 47.8g.mol-1, calculer la masse volumique du Ti.

Préciser les valeurs de a et R. Commenter la valeur de R.

Pourquoi précise-t-on 1155K ? Que se passe-t-il à votre avis en dessous ?

Exercice 30 : Cristal métallique – Iridium L’iridium a une structure cubique face centrées. Sa masse

volumique est de 22,4 g.cm-3, sa masse molaire est de 192,2g.mol-1.

Calculer le rayon de l’atome d’iridium assimilé à une sphère dure indéformable.

Exercice 31 : Cristal métallique – Fer α Le fer α cristallise dans une structure cubique centrée. Sa densité

est de 7,93, et sa masse molaire est de 55,8g.mol-1.

Calculer le rayon de l’atome de fer assimilé à une sphère dure indéformable.

Exercice 32 : Cristal ionique – NaCl La maille de Chlorure de Sodium NaCl est constituée de deux

mailles CFC (une pour le Na, l’autre de Cl) imbriquée. La densité est de 2,16.Que vaut l’arête du cube ?

On donne M(Na)=23g.mol-1 et M(Cl)=35,5g.mol-1.


Exercice 33 : Cristal ionique – La perovskyte La maille de la perovskyte de formule CaxTiyOz est

cubique. Tous les sommets du cube sont occupés par des ions calcium, le centre du cube par un cation Titane et tous les milieux des arêtes par des anions d’oxygène

1. Quelle est la formule de la perovskyte ?

2. Quel est le degré d’oxydation de tous les ions ? 3. Aurait-on la même formule avec O2- au centre des faces ?

Exercice 34 : L’alliage Or-Cuivre Au-Cu : L’alliage CuxAuy est décrit par la maille suivante : les atomes

de cuivre se situent aux sommets d’un parallélépipède rectangle et au centre de deux des faces opposées et les atomes d’Or sont au centre des autres faces.

1. Quelle est la formule de cet alliage ?

2. Exprimer la fraction massique de l’or en carat. On précise que 1 carat = 1/24è de la masse totale, M(Cu) = 63.6g.mol-1 et M(Au) = 197g.mol-1.

3. Quelle est la masse volumique et la densité de cet alliage sachant que les arêtes de la maille valent a = b = 360pm et c = 390pm.

Exercice 35 : Le Borure de Zirconium : Dans le borure de Zirconium, les atomes sont organisés

suivant une alternance de plans compacts d’atomes de Zirconium où la figure de base est un triangle équilatéral (fig1) et de plans d’atomes de Bore où les atomes en contact avec trois autres atomes forment des hexagones réguliers (fig2). Les atomes sont assimilés à des sphères dures indéformables. Les rayons des atomes de Zirconium et de bore que l’on notera RZr et RB permettent l’empilement représenté figure 3 où chaque atome de bore se trouve au contact de trois atomes de Zirconium du plan inférieur et trois atome de Zr du plan supérieur, et tangent à trois atomes de Bore de son plan.

Fig 1 Fig 2 Fig 3

On donne M(Zr) = 91,2g.mol-1 et M(B) = 10,8g.mol-1

1. Représenter la maille de borure de Zr (base = losange de coté a, hauteur = c) ?

2. Déterminer la formule du Borure de Zirconium.

3. Quelle relation existe-t-il entre RZr et RB ? En déduire une relation entre a et c.

4. La masse volumique de ce solide vaut ρ = 5,6.103kg.mol-1, calculer la valeur de a.

5. Déterminer la compacité de cette structure.

Exercice 36 : Alliage lithium aluminium Le lithium, de masse molaire MLi = 6,94 g.mol-1 a, à

température ambiante, une structure cubique centrée. Le paramètre de maille est a = 350pm.

1. Calculer la masse volumique du lithium. En déduire une utilisation possible de ce métal.

2. Déterminer la masse d’aluminium qu’il conviendrait de remplacer par du lithium dans un alliage constituant la coque d’un avion pour permettre, à volume constant, le transport d’un voyageur supplémentaire et de ses bagages, soit 100kg au total.

Données : masse volumique ρAl = 2700kg.m-3.

Composition de l’atome

Exercice 1 : Configuration électronique On remplit les couches dans l’ordre en suivant la règle de

Klechkowsi : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 … Phosphore : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p3 = [Ne] 3s2 3p3, le cœur étant la

structure du Néon : 1s2 2s2 2p6, et la valence la couche externe 3s2 3p3.

Remplissage de la dernière sous-couche : (nbs quantiques (mL, mS) = (-1,1/2), (0,1/2) et (1,1/2)

Même famille : on enlève une couche, et on garde la même couche de valence : 1s2 2s2 2p3 Z=7, c’est l’azote N

Exercice 2 : Composition de l’atome

Cr3+ : Z = 24 protons, 3+ il a perdu 3 e-, donc il en reste Z-3 = 21 électrons, et M = 52g.mol-1 = A g.mol-1, donc il y a A-Z = 52-24 = 28 neutrons

115B , 5 protons, 6 neutrons et 5 électrons répartis : 1s2 2s2 2p1

32 216S − : 16p, 16n, 18 e- : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 = [Ar] stable

27 313 Al + : 13p, 14n, 10 e- : 1s2 2s2 2p6 = [Ne] stable.

Et ainsi de suite… Exercice 3 : Exceptions à la règle 1.a) D’après les règles : Cu : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d9. 1.b) Le cuivre ne respecte la règle remplissage du 3d avant de

finir la 4s, c’est plus stable : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1 3d10. 1.c) Argent : idem 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s1 4d10

Et Or 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6 6s1 5d10 On remarquera que tous sont des bons conducteurs…

1.d) Chrome : demi sous-couche pleine : Cr : [Ar] 4s1 3d5, au lieu de [Ar] 4s2 3d4 Et Mo : [Kr] 5s1 4d5, au lieu de [Kr] 5s2 4d4

2.a) Fe : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Fe3+ : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s0 3d5 (On vide la couche 4s, et on garde une sous-couche 3d à moitié remplie, tous les spins parallèle stable)

Co : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d7 Co2+ 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s0 3d7 (Et Co4+ a priori plus stable) Co4+ 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s0 3d5

Exercice 4 : Isotopes de l’Uranium 1. Isotopes = atome ayant même Z (numéro atomique) = nombre

de protons dans le noyau. 2. Compo : 235U Z=92 protons, Z=92 e- et A-Z=143 neutrons

238U Z=92 protons, Z=92 e- et A-Z=146 neutrons 3. Réactions chimiques Font intervenir les couches externes

des atomes (seulement les électrons), les deux isotopes ont la même réactivité chimique, mais aucune réaction chimique ne va enrichir l’uranium ( noyau). On utilise leur masse différente pour cela, en éliminant les plus lourds.

4. Masse molaire d’un élément pur : M235=235g.mol-1, et M238=238g.mol-1, donc on a : Elément naturel : Mn = 0,993M238 + 0,007M235 = 237,98 g.mol-1, Elément enrichi : Me = 0,97M238 + 0,03M235 = 237,91 g.mol-1,

5. Config : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6 6s2 4f14 5d10 6p6 7s2 5f4 = [Ra] 7s2 5f4 Valence 6

Exercice 5 : L’élément oxygène

1. Oxygène : Z = 8

2. Composition du noyau : Z=8 protons et A-Z=8 neutrons

3. Structure : 8 électrons (neutralité) K2L6 1s2 2s2 2p4

4. Règle de l’octet : Doit gagner 2 électrons K2L8.

5. H : 1 proton / 1 électron

O2 : H2O :

L’oxygène est stable dans ces deux molécules, car il partage des électrons avec les autres atomes tel que sa dernière couche soit pleine règle de l’octet respectée.

Exercice 6 : Famille des halogènes

Chaque colonne du tableau périodique est aussi appelée famille. Les éléments d’une même famille ont les mêmes propriétés chimiques. La 17è ou avant-dernière colonne du tableau périodique représente la famille des halogènes. De haut en bas, on trouve successivement dans cette colonne le Fluor (F), le Chlore (Cl), et le Brome (Br).

1. Fluor : Avant dernier 7 e- sur la dernière couche K2L7. Par conséquent, Z(F) = 9, plus précisément : 1s2 2s2 2p5

Chlore : 7 e- sur la dernière K2L8M7, Z(Cl) = 17 Plus précisément : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p5

Brome : 7 e- sur la denière K2L8M18 N7, Z(Br) = 35 Plus précisément : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p5

2. La couche externe des éléments d’une même colonne a toujours le même nombre d’électrons, c’est ce qui explique les similitudes de réactivité des éléments de la famille.

3. Corps stable si chaque atome respecte la règle de l’octet chaque atome va en partager un avec son voisin.

F2 : Cl2 : Br2 :

4. Ion : ils doivent en gagner un électron pour compléter la dernière couche : F-, Cl- et Br-.

5. Réaction de précipitation = formation d’un solide à partir des deux ions : Ag+ + F- = AgF(s), Ag+ + Cl- = AgCl(s), et Ag+ + Br- = AgBr(s)

Exercice 7 : Elément et isotope

1. Potassium K, numéro atomique Z = 19, 2. Famille des alcalins (type de métal). 3. Structure : [Ar] 4s1 = 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1 4. Ion K+ Il se stabilise avec la dernière couche plein =

structure du gaz noble le plus proche = Argon 5. Nombre de masse = nombre de nucléons dans le noyau

39Y 19p / 20n ; 40Y 19p, 21n ; 41Y 19p, 22n. 6. Isotopes : atomes ayant même Z, ils ont même réactivité

chimique, mais des propriétés nucléaires différentes.

SOLUTION des EXERCICES – CM1 / CM2 / CM3 – Feuille 1/3

O

H HO O

F F Cl Cl Br Br

Evolution des propriétés dans la table Exercice 8 : Evolution de l’électronégativité a) B < C < F (χ croit de gauche à droite) et Cl < F (χ croit de bas en haut). On ne peut pas être sûr entre Cl et C… En regardant les valeurs, on voit en fait que B < C < Cl < F b) Avec les mêmes arguments : bas haut, Si > Sn et O > S, et de gauche à droite S > Si, ce qui nous donne O > S > Si > Sn. Exercice 9 : Evolution de l’énergie d’ionisation

a) Energie de Première ionisation = énergie nécessaire à arracher un électron d’un atome : X X e+ −→ + (la réaction se fait sous phase gazeuse)

b) En général, il est plus facile d’arracher un électron à gauche de la classification, donc Ei est plus faible à gauche, et croît de gauche à droite. Les éléments de droite ont plutôt tendance à gagner des électrons. Le passage de Be à B et de N à O constitue donc une exception,

c) De Be à B, on commence à remplir la couche 2s, il est donc plus simple d’arracher l’électron seul 2p1, plutôt que celui sui remplit la sous-couche 2s2. De N à O, on constate que le N a la couche 2p à moitié remplie, donc avec tous les spins parallèles, ce qui est un peu plus stable que le O avec 4 électrons, dont un couple de spin opposé. Il est donc plus simple d’arracher cet électron antiparallèle 3p4, plutôt que l’un des trois parallèle du N : 3p3. Exercice 10 : Formation d’oxydes basiques

1. Premiers Alcalins : Li, Na, K 2. Lithium : même réaction

( ) ( )2 212s gLi H O Li HO H+ −+ = + + ,

car il a la même couche de valence même ion Li+ 3. Mg(s) dans la colonne suivante = famille des alcalino-terreux,

un e- de plus sur la couche de valence, donc l’ion formé est le Mg2+. Réaction :

( ) ( )2

2 22 2s gMg H O Li HO H+ −+ = + + .

Exercice 11 : Comparaison de propriétés 1. Rayon : décrit la taille de l’atome, en fait on le déduit plutôt de

l’espace entre 2 noyaux. Le rayon (appelé covalent) est donc la moitié de la distance inter atomique (dans une liaison de covalence).

Electronégativité : capacité d’un atome à attirer à lui les électrons d’une liaison covalente formée avec un autre atome.

2. Rayon : augmente de haut en bas et de droite à gauche Electronégativité : évolue de manière inverse

Elément recherché est au dessus dans la classification, il s’agit du Carbone C de numéro atomique Z = 6

Exercice 12 : L’éka-aluminium 1. Même couche de valence même molécule : Ea2O3. 2. Idem : Ea3+. 3. Colonne : B / Al / Ga Il s’agit du Bore B. 4. Isotope : deux atomes ayant même Z (numéro atomique = nb de protons) mais un nombre de masse différent (A = nb de nucléons). Masse molaire = moyenne des masses molaires de chacun pondérées leur proportion (M(69Ga)=69g.mol-1)…

Cela donne 65% de 69Ga et 35% de 71Ga.

Spectroscopie atomique Exercice 13 : Etude de l’hydrogène atomique

1. Formule de Rydberg-Ritz : 2 2

1 1 1HR

m nλ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2. Ici, 2 2

1 1 12HR

nλ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, et m = 3, 4, 5 et 6 (série de Balmer)

On en déduit RH = 1,0974.107 m-1, et RD = 1,0977.107 m-1. (Obtenu par régression linéaire, on pourait aussi calculer pour chaque valeur de m, et ensuite en faire la moyenne)

Exercice 14 : Spectre d’émission de l’Helium

1. He+ 1 électron, appelé hydrogénoïde car il a la même structure électronique que l’atome d’hydrogène (pas d’écran réalisé par d’éventuels autres électrons)

2. On a 182 2

36,55.1042 1

hc E E EE Jλ

− − −Δ = = − = − = , donc

on trouve 188,73.10E J−= , et en convertissant :

16 1 1

.5,25.10 . 5255 .AJ mol

E N E J mol kJ mol−− −= ⋅ = = ,

54, 6eVEE eVe

= = (2 échelles plus adaptées ici).

3. On trouve une valeur 4 fois plus élevée que pour l’atome d’hydrogène, du au fait qu’il y a plus de protons attirant les électrons Plus forte énergie. Ce Z intervient d’ailleurs au carré, on pourrait établir une formule plus générale

pour les ions hydrogénoïdes : 2

2

13,6n

ZEn

− ⋅=

Exercice 15 : Lampe à vapeur de Sodium

1. Le caractère discontinu du spectre montre que l’énergie de l’atome est quantifiée : seul un petit nombre de valeurs d’énergie est permis, donc les transitions entre niveaux d’énergie sont elles aussi quantifiées, donc discontinues (l’émission de lumière provient des transitions ΔE=hν).

2. Raie : λ = 589nm Couleur jaune-orangée (typique des autoroutes la nuit). Energie correspondante à cette lumière :

193,38.10 2,11hcE J eVλ

−Δ = = = ,

3. Transition correspondante : on cherche 2 niveaux d’énergie séparés de 2,11eV 1er état excité vers le fondamental.

4. On calcule λ2-f = 387nm et λ2-1 = 1130nm, qui n’appartiennent pas au domaine du visible.

5. Il est inutile de s’intéresser aux autres transitions parce qu’elles sont largement moins peuplées (niveau d’énergie supérieurs), donc elle il y aura très peu de transitions donnant une forte intensité, et ce n’est d’ailleurs pas sûr que leur longueur d’onde soit dans le visible…

6. Na : 1s2 2s2 2p6 3s1, donc 1s -5,14eV le plus bas, puis 2s -3,03eV, puis 2p -1,93eV et ainsi de suite…

Composition de la molécule Exercice 16 : Cristal ionique

1. Sel de cuisine = NaCl = chlorure de sodium

1.a. Ion Na+ : a perdu un e- 10e- : 1s2 2s2 2p6 (octet stable)

1.b. Ion Cl- : a gagné un e- 18e- : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 (octet)

1.c. Stabilité : les deux atomes ont une dernière couche saturée à huit électrons, donc sont stables.

2. Fluorure de Calcium

2.a. Ca : 20 e- 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 (K2L8M8N2)

Ion stable : vider la dernière couche Ca2+

2.b. F : 9 e- 1s2 2s2 2p5 (K2L7)

Ion stable : remplir la dernière couche F-

2.c. Un solide est neutre, donc le solide formé à partir de F- et Ca2+ doit contenir 2 fois plus de F-. Fluorure de calcium : F2Ca.

Exercice 17 : Géométrie de quelques molécules

1. Molécules : H2O

CO2 :

2. NH3 : AlCl3 : BH3 :

Exercice 18 : Eau de Javel

1. HClO et ClO- : pareil 14 électrons de valence 7 doublets 2. Géométrie : tétraédrique (avec les doublets) Cl et H coudé, comme c’est le cas pour la molécule d’eau H2O

3. Gaz toxique : Dichlore Cl2

Exercice 19 : Structure et géométrie de la valine

1. Azote N : Z = 7 K2L5 ou 1s2 2s2 3s3 Oxygène O : Z = 8 K2L6 ou 1s2 2s2 3s4

2. Formule de Lewis de la valine :

3. Géométrie autour des C :

Exercice 20 : Synthèse de l’urée / Cyanure

1. Urée CO(NH2)2 : électrons 4+6+2×(5+2)=24 12 doublets Acide cyanique HO-CN : électrons 1+6+4+5=16 = 8 doublets

2. Formule de Lewis : (géométrie non respectée…)

3. Géométrie : C triangulaire dans l’urée, linéaire dans l’acide.

L’ion cyanure a pour formule CN-. L’acidification d’une solution d’ions cyanure conduit à l’acide cyanhydrique HCN, composé volatil, mortel par inhalation.

4. Ion cyanure et acide cyanhydrique.

5. C dans cyanhydrique : linéaire.

Exercice 21 : Composés azotés

1. Diazote : Ion ammonium :

Ammoniac NH3 :

2. Ion nitrate : NO3- (plusieurs solutions)

3. Géométrie : N tétraédrique dans l’ion ammonium, pyramidal dans l’ammoniac, et triangulaire dans l’ion nitrate.

Exercice 22 : Oxoanions manganate et permanganate

1. O : 1s2 2s2 2p4 O2-. Mn : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 4p5. Attention, pour un cation monoatomique, on vide d’abord la couche 4s

Mn2+ : couche 4s vide, et 3d à ½ pleine : [Ar] 4s0 4p5 Mn7+ : toute la couche de valence vide, plus difficile…

2. Ion MnO4- Ion MnO42- Un e- reste seul

Evidemment, plusieurs formes mésomères sont possibles Géométrie : forme tétraédrique pour les deux

Exercice 23 : Fabrication du ciment Portland (CCP)

1.a) Calcium : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 = [Ar] 4s2 Strontium : on rajoute une ligne (attention à la 3d) : Sr : [Ar] 4s2 3d10 4p6 5s2 Z = 38

1.b) Carbonate : 4(C)+3×6(O)+2(2-) = 24 électrons = 12 doublets

2. CO2 : géométrie linéaire

3. Anion sulfate SO42- : Attention : hypervalence

4.a) Si : 1s2 2s2 2p6 (3s2 3p2) valence 4

O

H H

Molécule coudée, car 4 liaisons ou doublets simples

Forme tétraédrique

O C O Molécule linéaire, car 2 doubles liaisons

N

H

H H B

H

HH

Al

Cl

Cl Cl

Forme tetraédrique, car 4 liaisons ou doublets simples Forme plane, car 3 liaisons simples

C

N H

H

C

H

H

H

H

C

OH

O

Tétraèdrique Plan

NCOH N

H

H C

N HH

O

N CNCH

NN

H

H N

H

H

N

H

H H

N

H

OO

O

O Mn

O

O

O

O Mn

O

O

C

O

OO

OC O O

O S

O

O


O Cl H O Cl

Cl Cl

Comme le Carbone Z=6 : 1s2 (2s2 2p2)

4.b) Multiplicité = 4 Géométrie tétraédrique (voir cours cristallographie)

Exercice 24 : Production des NOx (CCP)

1. Monoxyde d’azote NO

1.a) Réaction : ( ) ( ) ( )2 2 2g g gN O NO+ →

1.b) Structures de Lewis :

Pour le NO :

Première solution : Le N ne complète pas sa dernière couche, mais c’est tout à fait possible, cette molécule ne sera pas stable telle quelle, elle aura tendance à se regrouper par deux : O=N-N=O, ou à s’oxyder, comme dans la question 2.

Deuxième solution : Encore moins stable, car apparition de charges formelles en plus de la dernière couche non complète du O.

2. Dioxyde d’azote NO2.

2.a) Acide nitrique :

2.b) NO2 :

Une fois de plus, molécule instable, qui aura vite tendance à se grouper 2 par 2, ou à se transformer en acide.

Exercice 25 : Epuration biologique des eaux (CCP)

1. H : 1s1, C : 1s2 2s2 2p2, N : 1s2 2s2 2p3, O : 1s2 2s2 2p4.

2. Formule de Lewis :

3. CO2 : linéaire / H2O et NO2- : coudées / NO3- : Triangle plan

Exercice 26 : Comparaison azote-phosphore

1. Azote : N : 1s2 2s2 2p3

2. NH3 : pyramidal NH2OH : pyramidal

ClNO : triangle plan

HNO3 : triangle plan

4. PF6-.

P est hypervalent (> 3e période) 5. Impossible avec l’azote, car il n’est pas hypervalent, il n’y a pas de place pour mettre plus d’électrons que l’octet

Cristallographie

Exercice 27 : Cristal métallique – CFC Cuivre : Cubique Faces Centrées.

Multiplicité : N = 8*1/8+6*1/2 = 4

Sphères en contact sur les faces 2 4a R= .

Compacité :

3

3

44 23 74%6

RC

a

π π×= = =

Densité = 8,78, donc 3 38,78.10 .Cu kg mρ −= , chaque

maille pèse 3 Cumaille maille Cu Cu

A

N Mm V aN

ρ ρ×

= × = = ,

Ainsi, 103 3,63.10Cu

A Cu

N Ma mN ρ

−×= =

×

et 102 1,28.10 1,284 2 2

a aR m Angström−= = = = ,

Ordre de grandeur connu pour les rayon atomiques.

Exercice 28 : Cristal métallique – Cubique Simple Polonium : Cubique Simple.

Multiplicité : N = 8*1/8 = 1 Sphères en contact sur les arêtes du cube

Donc a = 2R.

Compacité :

3

3

413 52%

6

RC

a

π π×= = =

En sachant que sa densité est 9,19, calculer a et R. Commenter la valeur de R.

Densité = 9,19, donc 3 39,19.10 .Po kg mρ −= , chaque maille

pèse 3 Pomaille maille Po Po

A

N Mm V aN

ρ ρ×

= × = = ,

Ainsi, 103 3,36.10Po

A Po

N Ma mN ρ

−×= =

×

et 101,68.10 1,682aR m Angström−= = = ,


Exercice 29 : Cristal métallique – Cubique Centré Titane pour T>1155K : Cubique Centré.

Multiplicité : N = 8*1/8 + 1 = 2 Sphères au contact sur la grande diagonale

Donc 3 4a R= .

Compacité :

3

3

42 33 68%8

RC

a

π π×= = =

Densité = 4,5, donc 3 34,5.10 .Ti kg mρ −= ,

Chaque maille pèse 3 Timaille maille Ti Ti

A

N Mm V aN

ρ ρ×

= × = = ,

N N O O ON

ON

N

O

OO H

N OO N OO

O

H HO C O

N

O

OO

N O O

N

H

H H N

H

OH H

N Cl O

N

O

OO H

P

F

F

F F

F

F

Ainsi, 103 3,28.10Ti

A Ti

N Ma mN ρ

−×= =

×

et 103 1,42.10 1,424

aR m Angström−= = = ,

Ordre de grandeur connu pour les rayon atomiques. On précise que T > 1155K, car il doit certainement exister

différentes variétés allotropiques pour le Titane… Vérifions … oui, il prend une structure hexagonale pseudo-compacte (hors programme…)

Exercice 30 : Cristal métallique – Iridium Iridium : CFC Même calculs que l’exo 27, on a contact sur les

faces du cube : 2 4a R= , multiplicité N = 4.

Un maille pèse 3 Irmaille maille Ir Ir

A

N Mm V aN

ρ ρ×

= × = = , Ainsi,

103 3,85.10Cu

A Cu

N Ma mN ρ

−×= =

×

et 102 1,36.10 1,364

aR m Angström−= = = ,


Exercice 31 : Cristal métallique – Fer α Structure cubique centrée : tangence des sphères sur la grande

diagonale du cube : 4 3R a= Densité 7,93 masse volumique 3 37,93.10 .Fer kg mρ −= ,

Masse 1 maille : 3maille maille Fer Ferm V aρ ρ= × =

Qui contient N = 2 sphères : Fermaille

A

N MmN×

=

Ainsi : 103 2,86.10Fer

A Fer

N Ma mN ρ

−×= =

× et 124R pm= , de

l’ordre de l’Angström.

Exercice 32 : Cristal ionique – NaCl Multiplicité Cl = Multiplicité Na = 4.

On obtient 3 34

565NaCl NaCl

A NaCl A eau

N M Ma pmN N dρ ρ

× ×= = =

× ×

Exercice 33 : Cristal ionique – La perovskyte 1. Formule : CaTiO3. 2. O2-, Ca2+, Ti4+. 3. Oui, même formule avec O2-.

Exercice 34 : L’alliage Or-Cuivre Au-Cu : 1. Formule AuCu (multiplicité 2 pour chacun des deux) 2. Fraction : 2

0,756 75,6% 182 2

Au

Au Cu

M caratsM M

ω = = = =+

3. Volume de la maille : Vmaille = abc, donc la masse

volumique est 3 32 217,1.10 .maille Au Cu

maille A

m M M kg mV abc N

ρ −+= = =

×,

ce qui donne une densité de 17,1.

Exercice 35 : Le Borure de Zirconium : 1. maille de borure de Zr : 2. Formule ZrB2 (Multiplicité Zr 1, B 2) 3. On a a=2RZr, (contact sur la base)

Et sur un plan de hauteur c/2 : 1 1 33 3 2 2 3B

aR h a= = =

3Zr BR R=

Et ( )2 2

2 2 33 2 2B B

cR R a⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

On obtient : 23

c a=

4. Volume du prisme : 332

V a= ⋅

Ce qui nous donne un paramètre a = 330pm 165pm pour l’atome de Zr… bon ordre de grandeur.

5. Compacité : 3 3

3

4 41 23 3 77,9%

32

Zr BR RC

a

π π× + ×= =

⋅

On a une structure ici très compacte !!! (supérieure à 74% car les sphères ne sont pas identiques).

Exercice 36 : Alliage lithium aluminium 1. Multiplicité : 2 atomes par maille, donc la masse volumique

est 33

2538 .maille Li

maille A

m M kg mV a N

ρ −= = =×

. Ce métal est très

léger, donc pourrait être utilisé dans l’industrie aéronautique et spatiale, mais il peut réagir violemment avec l’air (oxydation), donc il ne peut as être utilisé pur.

2. L’aluminium est 5 fois plus lourd, la variation de masse lors d’un remplacement d’Al par du Li est

( ) 1 1Li LiAl Li Al Li Al

Al Al

m m m V V mρ ρρ ρ ρ

ρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Δ = − = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

Ainsi, 1251 Li

Al

mm kgρρ

Δ= =⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

h/3

2h/3

c/2RB+RZr


TD CM1 – Structure de l’Atome

Correction 1.1 : Config électronique Attention à l’exception de l’ion du fer (cation monoatomique d’un métal de transition) vide la couche 4s avant la 3d :

Fe : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Donne Fe3+ : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s0 3d5

Avec phénomène de résonance : demi couche pleine 3d

Correction 2.1 : Propriétés atomiques 1. Ions isoéléctroniques : S2-, Cl-, Ar, K+, Ca2+, Sc3+ 2. Même nb d’électrons, donc plus Z augmente, plus ils sont attirés Sc plus petit que S… 3. Na facile, Na+ très difficile E(Na+) > E(Na)

E(Mg) > E(Na), car Na plus proche de la 1ère colonne E(Na+) > E(Mg+) car Na+ correspond au Néon, très stable.

4. Ordre d’électronégativité : Al>O>F, et Mg>Ca>Sr>Ba

Correction 2.2 : Spectre de l’atome d’Hydrogène 1. Z=12 1s2 2s2 2p6 3s2 3ème période / 2ème colonne 2. Mg2+ 1s2 2s2 2p6 stable car dernière couche pleine 3.a) r augmente, électron plus loin, plus facile à arracher 3.b) Même rayon, mais écran différent, dans le cas de l’EI1, 11 électrons peuvent atténuer l’attraction du noyau, seulement 10 dans le cas de l’EI2. 3.c) Electronégativité = capacité à attirer le doublet d’une liaison covalente. Ici ce sont les éléments en haut qui le sont plus. 3.d) Par contre, c’est le moins électronégatif qui va céder plus facilement un électron le plus réducteur.

Correction 3 : Spectre de l’atome d’Hydrogène

1. 5 premiers niveaux d’énergie : 2

13,6n

eVEn

−=

n 1 2 3 4 5 En (eV) -13,6 -3,4 -1,51 -0,85 -0,54

2. On a hcE hδ υλ

= = , 34

8 1

l'énergie en Joules (J) la longueur d'onde en mètre (m)

6.64 10 . (Cstte de Planck)3.10 . (vitesse de la lumière)

E

h J sc m s

δλ

−

−

⎧⎪⎪⎨ = ×⎪⎪ =⎩

On convertir les unités : ( ) ( )( ) ( ) 910

E J e E eVm nm

δ δ

λ λ −

⎧ = ⋅⎪⎨

= ⋅⎪⎩

Donc ( ) ( )( ) ( ) ( )9

124510

E J hc hcE eVe e m nme nm

δδ

λ λλ−= = = =⋅ ⋅ ⋅

3. L’électron passe d’un niveau n d’énergie 2

13,6n

eVEn

−= au

niveau m d’énergie 2

13,6m

eVEm

−= (m < n)

( ) ( )2 2

1 1 124513,6n mE eV E E eVnmn m

δλ

⎛ ⎞= − =− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ainsi : ( ) 2 2 2 2 2 2

1 13,6 1 1 1 1 1 1 11245 91,5 HR

nm m n m n m nλ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

On retrouve la constante de Rydberg : 3 1 7 11 10,9.10 1,09.10

91,5HR nm m− − −= = =

4 On en déduit les longueurs d’onde des transitions :

n m 2 1 3 2 4 2 5 2 6 2 5 3 λ (nm) 122 659 488 435 412 1287

4 raies visibles au milieu… 5. Si l’énergie transmise augmente, alors hc Eλ = diminue,

l’onde est de plus en plus rapide. 6. Energie de première ionisation : énergie nécessaire à arracher

un électron à l’atome X sous forme gazeuse X X e+ −→ + On voit que cela correspond à l’énergie du 1er niveau d’énergie (état fondamental), car lors de l’ionisation, celui-ci passe de cet état fondamental à l’infini, et E∞ = 0.

TD CM2 – Structure de la Molécule

Correction 1 : Quelques molécules

1. Dans l’atmosphère : 1.a) O2 1.b) N2 1.c) CO2 : linéaire 1.d) H20 : coudée

2. Les gaz naturels : 2.a) CH4 : tétraédrique 2.b) C2H6 : 2 tétraèdres 2.c) Propane C3H8

3. Quelques alcools : 3.a) CH4O : C tétraédrique / O coudé 3.b) C2H6O : 2 C tétraédrique / 1 O coudé, peu importe où se trouve le groupe OH (alcool), vu que tous les H sont symétriques (rotation possible de la liaison simple C-C)

4. Autres gaz ou solvant : 4.a) H2 4.b) CO : 4.c) NO : 4.d) CN : 4.e) Benzène : C6H6 4.f) Acétone : CH3COCH3 (C3H6O)

2 C sur les cotés tétraédriques Le C du milieu triangulaire plan

OO N N OCOO

H H

C

H

H

H H

C

H

H

H HC

H

HC

H

H

H C

H

H

H C

H

H

Et ainsi de suite, des tétraèdres qui s’enchaînent

C

H

H

H O

H

C

H

H

O

H

C

H

H

H

H H OC

ON OC

C

H

H C

H

H

H

H C C

C C

C

H

H

H C C

H

H

H

O

SOLUTION des TDs – CM1 / CM2 / CM3 – Feuille 1/3

5. Quelques acides : 5.a) HCOOH : C plan triangle / O coudé 5.b) CH3COOH :

C tétra / C triangle / O coudé 5.c) HCl 5.d) HCONH2

6. Alcènes et Alcynes : 6.a) C2H4 : plan 6.b) C3H6 : plan / tétraédrique 6.c) C2H2 : linéaire 6.d) Propyne : C3H4

7. Autres molécules : 7.a) COCl2 : triangle plan 7.b) C2H3Cl : triangle plan 7.c) CH3F : tétraèdre 7.d) CH3NH2 : tétraèdre / pyramide

8. Quelques ions : 8.a) NH4+ : tétraèdre 8.b) Cyanure : CN- 8.c) ClO- 8.d) ClO2- : coudée

Correction 2.1 : Atomes Hypervalents 1.a) PCl5 1.b) H2SO4 : 1.c) SF6 : 1.d) SO2Cl2 2.a) SO42- 2.b) MnO42-

2.c) MnO4- 2.d) PO43-

Correction 2.2 : Lacunes électroniques a) BeH2 b) BF3 c) AlCl3 A tendance à se regrouper avec par exemple NH3 :

Correction 3 : Mésomérie 1. Ozone : plusieurs solutions

Solution réelle = moyenne de ces 2 là, les plus probables, car pas de lacunes électroniques

2.a) NO2 : Celle de droite a priori plus stable car pas de charge formelle, mais puisque O est plus électronégatif… on ne peut pas conclure 2.b) NO2- : cette fois-ci plus de charge formelle Solution finale = moyenne, donc en fait le doublet qui peut se déplacer est localisé plutôt au milieu… 2.c) NO3- : 3 solutions selon le O choisi 2.d) CO32- : 3 solutions également 2.e) SO42- : 6 solutions

3. Forme mésomère favorisée : celle qui Minimise les charges formelles Place les charges formelles en accord avec l’electronégativité

H C O

HO

H Cl

H C N

HO

H

C H

H C H

H C H

H CCH3

H

C C H H

C C CH3 H

C Cl

O

Cl

ClC

H

H C H

C

H

H

H F C

H

H

H N

H

H

H

H N

H

H CN

O Cl OCl O

O O O O O O O O O

N O O N OO

N OO N OO

N

O

OO

C

O

OO O

O S

O

O

P

Cl

Cl

ClCl

Cl

S OH H

O

O

O

S

F

F

F F

F

F As Cl

O

O

S O

O

O

O

- - O

O Mn

O

O

O

O Mn

O

O

C

H

H C O

HO

P O

O

O

O

BeH H F B F

F

ClAlCl

Cl

N

H

HH


TD CM3 – Cristallographie

Correction 1 : Variétés allotropiques du Fer Fer alpha : CC 1. Représentation 2. Sphères au contact sur la grande diagonale

3. Donc 3 4a R= 4 2913Ra pm= =

4. Multiplicité : N = 8*1/8 + 1 = 2

Compacité :

3

3

42 33 68%8

RC

a

π π×= = =

5. Masse d’une maille : 3 Femaille maille Fe Fe

A

N Mm V aN

ρ ρ×

= × = =

Donc la masse volumique : 3 33 7,52.10 .Fe

FeA

N M kg mN a

ρ −×= =

×

Fer beta : CFC 6. Représentation 7. Sphères au contact sur les faces 8. 2 4a R= 4 356

2Ra pm= =

9. Multiplicité : N = 8*1/8+6*1/2 = 4.

Compacité :

3

3

44 23 74%6

RC

a

π π×= = =

10. Masse d’une maille : 3 Femaille maille Fe Fe

A

N Mm V aN

ρ ρ×

= × = =

Donc la masse volumique : 3 33 8,22.10 .Fe

FeA

N M kg mN a

ρ −×= =

×

Plus lourd car plus dense, c’est logique Correction 2 : Exemples de cristaux ioniques 1. Contribution : A l’intérieur : 1, sur une face : ½,

Sur une arête : ¼ et sur un coin : 1/8 2. CsCl 1 de chaque Blende ZnS 4 de chaque aussi Chlorure de Sodium NaCl 4 de chaque aussi Thorine ThO2 4 des bords (Th), 8 du centre (O)

Correction 3 : La cuprite 1. Représentation CC : Oxygène Cu2+ : 4 des 8 demi diag (Comme dans la blende ZnS pour les diagonales) 2 Contenu : Multiplicité 2 pour l’O Multiplicité 4 pour le Cu

Formule Cu2O Densité : 6

2

3 36.10 .Cu O kg mρ −=

Chaque maille pèse : 3 2maille

A

Mm V aN

ρ ρ ×= × = =

Donc 103

2 4,29.10A

Ma mN ρ

−×= =

×



Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : : : : Couples oxydantCouples oxydantCouples oxydantCouples oxydant----réducteurréducteurréducteurréducteur

Reconnaître les couples oxydants / réducteurs que l’on peut

former avec les espèces ci-dessous (préciser les oxydants et les

réducteurs dans chacun des cas) :

Cu2+(aq) ; Ag(s) ; H2(g) ; Cl-(aq) ; I-(aq) ; H+(aq) ; Zn(s) ; Fe2+(aq) ;

Fe(s) ; Fe3+(aq) ; I2(aq) ; Cl2(aq) ; Ag+(aq) ; Zn2+(aq) ; Cu(s).

Exercice Exercice Exercice Exercice 2222 : : : : Nombre d’oxydationNombre d’oxydationNombre d’oxydationNombre d’oxydation

Préciser les nombres d’oxydation de chacun des éléments dans :

PbO43- / P2O5 / ClO4- / H2O2 / LiH / SO42- / N2O5

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : : : : DemiDemiDemiDemi----équations d’oxydoréductionéquations d’oxydoréductionéquations d’oxydoréductionéquations d’oxydoréduction

Etablir les demi-équations d’oxydoréduction des couples

suivants, et préciser leur potentiel en fonction des concentrations

des différentes espèces :

a. ClO-(aq) / Cl2(aq)

b. NO3-(aq) / NO(g)

c. Cr2O72-(aq) / Cr3+(aq)

d. HCOOH(aq) / CH3OH(aq)

e. CH3CHO(aq) / CH3CH2OH(aq)

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : : : : Equations d’oxydoréductionEquations d’oxydoréductionEquations d’oxydoréductionEquations d’oxydoréduction

Ecrire l’équation de la réaction qui se produit en milieu acide

entre :

a. L’aluminium et le proton hydraté H+(aq)

b. L’ion thiosulfate S2O32- et le diiode I2

c. L’ion permanganate MnO4- et l’eau oxygénée H2O2

d. Le permanganate MnO4- et le propan-2-ol CH3-CH(OH)CH3

Données : Couples oxydant-réducteur : Al3+(aq)/Al(s) ;

H+(aq)/H2(g) ; S4O62-(aq)/S2O32-(aq) ; MnO4-(aq)/ Mn2+(aq) ;

O2(g)/H2O2(aq) ; CH3COCH3(aq) / CH3CH(OH)CH3(aq).

Piles électrochimiquesPiles électrochimiquesPiles électrochimiquesPiles électrochimiques

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : Piles avec électrodes de 1Piles avec électrodes de 1Piles avec électrodes de 1Piles avec électrodes de 1èreèreèreère espèce espèce espèce espèce

1. Schématiser la pile : Zn/Zn(NO3)2//AgNO3/Ag. Préciser le

sens du courant, des électrons, des ions. Donner les

équations aux électrodes puis l’équation-bilan.

2. Calculer la fém de cette pile à t = 0 pour deux solutions

Zn(NO3)2 et AgNO3 à 0,10 mol.L-1 sachant que E°Ag+/Ag =

0,80V et E°Zn2+/Zn = -0,76V.

3. Calculer les concentrations à l’état final lorsque la pile ne

débite plus. Quelle quantité d’électrons totale a été débitée ?

(On prend 2 demi-piles de 1L chacune)

ExExExExerciceerciceerciceercice 6 6 6 6 : Pile : Pile : Pile : Pile FerFerFerFer----NickelNickelNickelNickel

On construit la pile suivante (en milieu acide) :

- Demi-pile 1 : couple Fe2+/Fe avec [Fe2+] = 0,10 mol.L-1

- Demi-pile 2 : couple Ni2+/Ni avec [Ni2+] = 0,10 mol.L-1

On mesure la fém : e = 0,21V et on constate que l’électrode de

Nickel est le pôle +. On donne ( )( )0 2 0,44s

E Fe Fe V+ = − .

1. Représenter la pile, et préciser le sens du courant, des e-,

des ions.

2. Donner les équations aux électrodes puis l’équation bilan

3. Déterminer le potentiel standard ( )( )0 2

sE Ni Ni+

4. Calculer les concentrations à l’état final lorsque la pile ne

débite plus.

5. Quelle quantité d’électricité totale a été débitée ? Pendant

combien de temps si I = 1A ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : Fonctionnement d’une pile: Fonctionnement d’une pile: Fonctionnement d’une pile: Fonctionnement d’une pile

Soit une pile mettant en jeu les couples Ag+/Ag et Pb2+/Pb.

Initialement, les concentrations des solutions de nitrate de

cations métalliques, Ag+ + NO3- et Pb2+ + 2NO3-, sont égales à

0,10 mol.L-1. Lorsque cette pile est utilisée comme générateur

dans un circuit comportant un buzzer, elle fait circuler un

courant qui la traverse en allant de l’électrode de plomb vers

l’électrode d’argent.

1. Faire un schéma légendé du montage.

2. Quelle est la polarité de cette pile ?

3. Quels sont les porteurs de charge dans le buzzer ?

4. Quels sont les porteurs de charge dans la pile ? Préciser le

sens de leur déplacement.

5. Quelles sont les réactions qui se produisent à la surface des

électrodes de la pile ? En déduire l’équation de

fonctionnement de la pile (l’écrire dans le sens de la

transformation qui se produit spontanément).

6. Donner l’expression du quotient de réaction relatif au

système constituant la pile. Déterminer sa valeur à l’instant

initial. Que peut-on dire de la constante d’équilibre

correspondant à l’équation de la réaction de

fonctionnement écrite en 4.

Exercice Exercice Exercice Exercice 8888 : : : : Fém d’une pileFém d’une pileFém d’une pileFém d’une pile

Soit une pile constituée en reliant par une bande de papier

imbibée de solution concentrée de nitrate d’ammonium, NH4+ +

NO3-, deux demi-piles constituées en introduisant dans deux

béchers, pour l’une 100mL de solution de sulfate de Zinc (II),

Zn2+ + SO42-, à 0,10 mol.L-1 et une lame de Zinc fraichement

décapée, et pour l’autre 100mL de solution de sulfate de cuivre

(II), Cu2+ + SO42-, à 0,10 mol.L-1 et une lame de cuivre. On

branche un voltmètre électronique aux bornes de cette pile en

reliant l’électrode de zinc à la borne COM du voltmètre et on lit

U = 1,1V.

1. Faire un schéma légendé de la pile ainsi constituée.

2. Quel est le rôle de la bande de papier-filtre ? Comment la

nomme-t-on ?

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– CM6 CM6 CM6 CM6 –––– Oxydoréduction Oxydoréduction Oxydoréduction Oxydoréduction –––– Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2

3.a) Pourquoi utilise-t-on un voltmètre électronique ?

b) Quelle est la fém de cette pile ?

c) Quelle est la polarité des électrodes ?

d) Donner le schéma conventionnel de cette pile.

4. En déduire la nature des réactions qui se produisent à la

surface des électrodes lorsque la pile débite un courant.

Donner leur équation.

5. Quelle est l’équation de fonctionnement de cette pile ?

Ecrire cette équation dans le sens de la transformation qui

se produit spontanément.

Exercice Exercice Exercice Exercice 9999 : Capacité d’une pile: Capacité d’une pile: Capacité d’une pile: Capacité d’une pile

On associe par un pont salin une demi-pile obtenue en

introduisant une plaque de zinc fraîchement décapée dans V =

100mL d’une solution de sulfate de zinc (II), Zn2+ + SO42-, de

concentration C = 0,10 mol.L-1 ; et une demi-pile obtenue en

introduisant une tige d’argent dans V’ = 100 mL d’une solution de

nitrate d’argent, Ag+ + NO3-, de concentration C’ = 5,0.10-2 mol.L-

1. Lors du fonctionnement de cette pile, la masse de l’électrode

d’argent augmente alors que celle de l’électrode de zinc diminue.

Cette pile fonctionne pendant 5,0 heures en débitant un courant

d’intensité considérée comme constante I = 15mA.

1. Ecrire l’équation de fonctionnement de cette pile en

précisant le sens d’évolution de ce système ?

2. Quelle est la quantité d’électricité alors mise en jeu ?

3. Quelle est la variation de la masse de l’électrode d’argent

pendant cette expérience ?

4. Quelle est la variation correspondante de la concentration

des ions zinc (II) dans l’autre demi-pile ? Déterminer la

concentration finale en ions zinc (II).

5. Déterminer la capacité de cette pile.

Donnée : Faraday F = 96500 C.mol-1. M(Ag) = 107,9 g.mol-1

Exercice Exercice Exercice Exercice 10101010 : : : : Accumulateur au plombAccumulateur au plombAccumulateur au plombAccumulateur au plomb

L’accumulateur au plomb, plus couramment appelé

« batterie », est utilisé dans les automobiles comme source

d’énergie électrique. Lorsque celle-ci a besoin d’électricité,

l’accumulateur fonctionne comme une pile ordinaire. Puis, il se

recharge grâce à l’énergie cinétique de l’automobile. C’est le

fonctionnement en pile que nous allons étudier. On peut

symboliser l’accumulateur au plomb par le schéma suivant :

Pb(s)/PbSO4(s)/H2SO4(aq)/PbSO4(s)/PbO2(s)/Pb(s)

La solution d’acide sulfurique H2SO4(aq) est très concentrée : C0 =

1,7 mol.L-1, la concentration en ions H3O+ sera donc élevée. On

cherche à déterminer les polarités de la pile.

1. Etude de l’électrode de gauche : en appliquant la formule de

Nernst au couple Pb2+/Pb, exprimer le potentiel E1 de

l’électrode. Le calculer.

2. Etude de l’électrode de droite : le plomb n’est pour cette

électrode qu’un conducteur électrique. Le couple à

considérer est PbO2/Pb2+. Exprimer alors le potentiel E2 de

cette électrode et le calculer.

3. Déduire des questions précédentes la polarité de la pile et

calculer alors la différence de potentiel à ses bornes.

4. En déduire le nombre de piles identiques à monter en série

pour obtenir une tension de 12V (C’est ce qui est utilisé).

Données : KS(PbSO4(s)) = 1,58.10-8, E°(Pb2+/Pb) = E01= -0,13V et

E°(PbO2/Pb2+) = E02= 1,69V.

ElectrolyseElectrolyseElectrolyseElectrolysessss

ExExExExercice 1ercice 1ercice 1ercice 11111 : : : : Obtention du dioxyde de manganèse par Obtention du dioxyde de manganèse par Obtention du dioxyde de manganèse par Obtention du dioxyde de manganèse par

électrolyseélectrolyseélectrolyseélectrolyse

Le dioxyde de manganèse est fabriqué industriellement par

électrolyse d’une solution aqueuse de sulfate de manganèse (II),

Mn2+ + SO42-(aq), et d’acide sulfurique, 2H+(aq) + SO42-, entre des

électrodes de graphite (Carbone)

1. Quelles sont les réactions susceptibles de se produire à

l’anode ? Ecrire leur équation.

2. Quelles sont les réactions susceptibles de se produire à la

cathode ? Ecrire leur équation.

3. En pratique, les ions sulfate n’interviennent pas, on obtient

un dégagement gazeux à l’une des électrodes et un dépôt de

dioxyde de manganèse à l’autre. En déduire l’équation de la

réaction d’électrolyse.

Données : couples oxydant-réducteur : MnO2(s)/Mn2+(aq) ;

Mn2+(aq)/Mn(s) ; S2O82-(aq)/SO42-(aq) ; H+(aq)/H2(g) ;

CO2(g)/C(s) ; O2(g)/H2O.

Exo 1Exo 1Exo 1Exo 12222 : Electrolyse d’une solution de chlorure de fer: Electrolyse d’une solution de chlorure de fer: Electrolyse d’une solution de chlorure de fer: Electrolyse d’une solution de chlorure de fer

On réalise l’électrolyse de 250 mL d’une solution de chlorure

de fer (III), Fe3+ + 3Cl-, de concentration C = 2,0.10-2 mol.L-1 dans

un tube en U avec des électrodes de graphite. On obtient un

dégagement de dichlore à une électrode et des ions fer (II) Fe2+ à

l’autre. L’électrolyse dure 15 minutes, l’intensité du courant

électrique qui traverse l’électrolyseur est maintenue constante et

égale à 420 mA. La température est égale à 20°C et la pression

vaut p = 1,0.105 Pa.

1. Ecrire l’équation de la réaction d’électrolyse en précisant le

sens d’évolution du système considéré.

2. Quelle est la quantité d’électricité alors mise en jeu ?

3. Quelle est la concentration finale des ions fer (III) ?

4. Quel est le volume de dichlore qui s’est dégagé ?

5. Quelle est la concentration finale des ions chlorure ?

Données : R = 8,314 J.K-1.mol-1 ; F = 96500 C.mol-1.

ExExExExerciceerciceerciceercice 1 1 1 13333 : : : : Boîte de conserve en “fer blanc”Boîte de conserve en “fer blanc”Boîte de conserve en “fer blanc”Boîte de conserve en “fer blanc”

Le fer blanc désigne une tôle d’acier recouverte des deux

cotés d’une épaisseur très fine d’étain. On l’utilise pour réaliser

les boîtes de conserve, les canettes et certains emballages

métalliques… On parle d’étamage du fer.

Le procédé moderne d’étamage (recouvrir de fer) se fait par

électrolyse : La boîte de fer, de surface S = 300 cm2 constitue la

cathode (où a lieu la réduction) et est placée dans un électrolyte

(solution acidifiée de sulfate d’étain Sn2+ + SO42-, à t = 50 g.L-1).

L’anode est en étain, de manière à alimenter l’électrolyte en ions

Sn2+.

Lors de l’électrolyse, l’intensité du courant est maintenue

constante et égale à I = 2,40A sous l’action d’un générateur

externe, qui impose le fonctionnement de la cellule

électrochimique en récepteur (à l’inverse du fonctionnement en

pile).

1. Faire un schéma légendé de cette électrolyse en précisant le

sens de branchement du générateur, et le sens de

déplacement des différents porteurs de charge.

2. Ecrire les équations des réactions susceptibles de se produire

aux électrodes.

3. En fait, les ions sulfate ne donnent aucune réaction aux

électrodes et on peut considérer qu’il n’y a pas de formation

de gaz aux électrodes. Ecrire la réaction globale de cette

électrolyse.

4. Déterminer la durée minimale de l’électrolyse pour réaliser

un dépôt d’épaisseur e = 1,0 μm sur toute la surface S de la

boîte (on suppose le dépôt uniforme).

5. En réalité, on constate que la durée nécessaire pour réaliser

ce dépôt est supérieure. Proposer une explication.

Données : Masse volumique de l’étain ρ = 7,3 g.cm-3.

M(Sn) = 118,7 g.mol-1

Couples oxydant/réducteur : Sn2+(aq)/ Sn(s), S2O82-(aq)/ SO42-(aq),

SO42-(aq)/ SO2(g), H+(aq)/ H2(g), O2(g)/ H20

Dosage Dosage Dosage Dosage et réactions spontanéeset réactions spontanéeset réactions spontanéeset réactions spontanées

Exercice Exercice Exercice Exercice 11114444 : : : : Dosage de l’eau oxygénéeDosage de l’eau oxygénéeDosage de l’eau oxygénéeDosage de l’eau oxygénée

Les lentilles de contact doivent être décontaminées et

nettoyées après usage. Une solution d’eau oxygénée (peroxyde

d’hydrogène H2O2) peut être utilisée à cet effet. Une de ces

solutions annonce un titre massique en peroxyde d’hydrogène

H2O2 : t = 30 g.L-1. Pour contrôler cette indication, on peut doser,

après acidification, le peroxyde d’hydrogène contenu dans V =

10,0 mL de cette solution par une solution de permanganate de

potassium de concentration C’ = 0,20 mol.L-1. Les ions MnO4-

sont violets, les autres espèces incolores.

1. Etablir l’équation de la réaction de dosage

2. Décrire le protocole à suivre : dispositif expérimental,

verrerie utilisée, électrodes nécessaires, repérage de

l’équivalence.

3. Le volume V’E versé à l’équivalence vaut 17,6 mL.

Déterminer la quantité d’ions permanganate introduits à

l’équivalence et en déduire la concentration de la solution

en peroxyde d’hydrogène. Le résultat est-il en accord avec

la valeur annoncée ?

Données : Couples oxydant/réducteur : MnO4-(aq)/ Mn2+(aq),

O2(g)/ H2O2(aq), M(H) = 1g.mol-1, M(O) = 16 g.mol-1.

Exercice Exercice Exercice Exercice 15151515 : : : : Dosage de l’eau de JavelDosage de l’eau de JavelDosage de l’eau de JavelDosage de l’eau de Javel

L’eau de Javel est un désinfectant énergique constitué d’un

mélange équimolaire d’ions chlorure Cl- et hypochlorite ClO-.

On désire vérifier l’indication portée sur une bouteille d’eau de

Javel : 12°chl (12 degrés chlorométriques). Le degré

chlorométrique est égal au volume (exprimé en litre et mesuré à

0°C sous 1,013 bar) de dichlore Cl2 que peut libérer un litre d’eau

de Javel sous l’action d’un acide selon l’équation :

ClO-(aq) + Cl-(aq) + 2 H+(aq) = Cl2(g) + H2O

Une mesure directe du volume de dichlore ainsi libérée est

délicate. On utilise donc un dosage en deux étapes.

On fait agir un excès d’iodure de potassium, K+ + I-, sur une prise

d’essai d’eau de Javel : le diiode ainsi formé est dosé par une

solution de thiosulfate de potassium de concentration connue.

L’eau de Javel étant concentrée, on doit la diluer 10 fois.

1. On introduit, dans un erlenmeyer, dans l’ordre donné ci-

après, V0 = 10 mL de solution d’eau de Javel diluée, 20 mL

de solution d’iodure de potassium à 100 g.L-1 et 15 gouttes

d’acide acétique pur. Ecrire l’équation de la réaction entre

les ions hypochlorite et iodure, sachant que les ions

hypochlorite sont réduits en ions chlorure. Le taux

d’avancement final de la réaction est égal à 1.

2. On dose le diiode formé par une solution de thiosulfate de

sodium, 2Na+ + S2O32-, à la concentration C’ = 0,10 mol.L-1.

Le volume versé à l’équivalence vaut VE’ = 10,6 mL.

2.a) Ecrire l’équation de la réaction entre le diiode et les ions

thiosulfate sachant qu’il se forme des ions iodure et

tétrathionate S4O62-.

2.b) Comment évolue la teinte de la solution contenue dans

l’erlenmeyer au cours du dosage ? Comment a-t-on repéré

l’équivalence ? Comment peut-on améliorer la précision de

ce repérage ?

2.c) A-t-on réalisé un dosage direct ou indirect des ions

hypochlorite ?

2.d) Déterminer la concentration des ions hypochlorite dans la

solution diluée, puis dans la solution commerciale d’eau de

Javel.

2.e) Ce résultat est-il en accord avec l’indication portée par

l’étiquette de ce produit ?

Donnée : R = 8,314 J.K-1.mol-1.

ExExExExercice 16ercice 16ercice 16ercice 16 : Titrage : Titrage : Titrage : Titrage du Fer par du dichrdu Fer par du dichrdu Fer par du dichrdu Fer par du dichroooomatematematemate

On rappelle qu’un titrage a pour objectif de déterminer la

quantité d’un ion présent dans la solution. Le pH sera maintenu

constamment à 0, pour éviter que n’interviennent d’autres types

de réactions non étudiées dans cet exercice.

Données : Couples oxydant-réducteur

- 2 3

2 7Cr O Cr− + ,

2 32 7

0 1,33Cr O Cr

E V− + = (à pH = 0)

- 3 2Cr Cr+ + , 3 2

0 0, 41Cr Cr

E V+ + = − (à pH = 0)

- 3 2Fe Fe+ + , 3 2

0 0, 77Fe Fe

E V+ + = (à pH = 0)

- 2Fe Fe+ , 2

0 0, 44Fe Fe

E V+ = − (à pH = 0)

- 2

4MnO Mn− + , 2

4

0 1, 51MnO Mn

E V− + = (à pH = 0)

- Potentiel de l’électrode au calomel saturé : 0,25V

- ( ) 139 .M K g mol −= , ( ) 152 .M Cr g mol −= , ( ) 116 .M O g mol −=

- On prendra ( )ln 100,06

RTV

F= pour ( )298 25T K C= °

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– CM6 CM6 CM6 CM6 –––– Oxydoréduction Oxydoréduction Oxydoréduction Oxydoréduction –––– Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2

Etude la réaction de titrageEtude la réaction de titrageEtude la réaction de titrageEtude la réaction de titrage ::::

1. Quels sont les couples redox qui interviennent lors de cette

réaction d’oxydoréduction, les réactifs étant le dichromate

de potassium et le sulfate ferreux ? (Faire une échelle)

2. Va-t-on obtenir du fer solide à la fin de cette réaction ?

3. Ecrire les demi équations de chaque couple redox

4. En déduire la réaction de la réaction de titrage

5. Considérant qu’il s’agit d’un équilibre, définir et calculer la

constante d’équilibre. Interpréter ce résultat.

Titrage potentiométriqueTitrage potentiométriqueTitrage potentiométriqueTitrage potentiométrique ::::

On prend 10 cm3 d’une solution de chlorure de fer (II) de

concentration 0,1 mol.L-1, en milieu acide sulfurique, et on ajoute

90cm3 d’eau. On verse en suite un volume V d’une solution de

dichromate de potassium, de concentration C, contenue dans une

burette.

Le titrage redox est suivi expérimentalement de la manière

suivante : on mesure la fém e entre une électrode de platine

plongeant dans la solution et une électrode au calomel saturé. On

en déduit le potentiel E de l’électrode de platine.

6. Faire un schéma du montage précédent, sur lequel on

précisera la polarité des électrodes.

7. Soit Veq = 10 cm3 le volume de la solution de dichromate de

potassium nécessaire pour obtenir le point d’équivalence.

Calculer la concentration de la solution de dichromate de

potassium

8. Donner l’allure de la courbe E = f(v) (sans calculs).

Exercice Exercice Exercice Exercice 17171717 : : : : Transformations d’un systèmeTransformations d’un systèmeTransformations d’un systèmeTransformations d’un système

1. Ecrire l’équation de la réaction d’oxydoréduction qui peut

se produire en solution entre les ions bromure Br- et les ions

cuivre (II) Cu2+ avec un nombre stœchiométrique égal à 1

pour les ions cuivre (II). La constante d’équilibre associée K

est égale à 8,2.10-26.

2. Comment évolue spontanément un système obtenu en

ajoutant de la tournure de cuivre à 20,0 mL de la solution S,

obtenue en mélangeant des volumes V1 = 20,0 mL de

solution de bromure de cuivre (II), Cu2+ + 2Br-, à

C1 = 0,04 mol.L-1 et V2 = 30,0mL de solution de dibrome Br2

à C2 = 2,0 mol.L-1 ?

3. On introduit dans un tube en U contenant une électrode de

graphite dans l’une de ses branches et une électrode de

cuivre dans l’autre branche, un peu de la solution S utilisée

au 2. On branche un ampèremètre entre les deux électrodes

de façon à ce que sa borne COM soit reliée à l’électrode de

graphite et on lit I = -4 mA.

3.a) Le système évolue-t-il spontanément ?

3.b) Quel est le sens de déplacement des électrons dans

l’ampèremètre ?

3.c) Quelles sont les réactions qui se produisent aux

électrodes ? Ecrire leur équation.

3.d) Le sens du courant observé est-il en accord avec le sens

d’évolution spontanée prévue en 2 ?

4. On intercale dans le circuit précédent un générateur de

tension continue délivrant environ 1,5V ; on le branche de

façon à ce que sa borne négative soit reliée à l’électrode de

cuivre. On lit alors I = 51mA. On observe un jaunissement

marqué de la solution au voisinage de l’électrode de

graphite.

4.a) Faire un schéma de ce montage en y précisant le sens du

courant.

4.b) Quelles sont les réactions qui se produisent aux

électrodes ? Ni le solvant, ni le graphite n’interviennent.

4.c) Le système considéré évolue-t-il spontanément ?

Pourquoi le système évolue-t-il ?

Données : couples oxydant-réducteur : Cu2+(aq)/Cu(s) ;

Br2(aq)/Br-(aq).

ExExExExeeeercice 18rcice 18rcice 18rcice 18 : : : : Détermination du pKe de l’eau par Détermination du pKe de l’eau par Détermination du pKe de l’eau par Détermination du pKe de l’eau par

potentiométriepotentiométriepotentiométriepotentiométrie

1. Mesure conductimétrique1. Mesure conductimétrique1. Mesure conductimétrique1. Mesure conductimétrique

Données : 2 120 . .HO

mS m molλ −−= et

3

2 135 . .H O

mS m molλ +−=

1.a) Quelle est, à 25°C, la conductivité théorique de l’eau

pure ? Commenter.

1.b) A 25°C, une série de mesure de conductivité d’eau

distillée a conduit à la valeur moyenne suivante : 1150 .S mσ µ −= . Peut-on en déduire la valeur du pKe de

l’eau ? Commenter.

2. Mesure potentiométrique2. Mesure potentiométrique2. Mesure potentiométrique2. Mesure potentiométrique

Afin de mesurer différemment la valeur du pKe de l’eau, on

construit deux piles :

Pile 1 : ( ) ( ) ( ) ( )2 3g aq s sPt H H O Cl AgCl Ag+ −+ , dans

laquelle la pression du H2 est 1 bar, et la concentration d’acide

chlorhydrique vaut 3 1

0 10 .C mol L− −= .

Pile 2 : ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 g s saq aq

Pt H K Cl K HO AgCl Ag+ − + −+ + + ,

dans laquelle la pression du H2 est 1 bar, et la concentration des

espèces ioniques vaut 3 1

0 10 .C mol L− −= .

Données : ( ) ( )

0 0,22s sAgCl AgE V= ,

2

0 0,00H H

E V+ = , ( )ln 100,059

RTV

F=

Le chlorure d’argent est très peu soluble dans la solution avec

laquelle il est en contact.

2.a) Quand la pile 1 débite, quelles sont les réactions qui ont

lieu aux électrodes de Platine (Pt) et d’argent ?

2.b) Quelle est la force électromotrice E1 de la pile 1 ? Quel

est son pôle positif ?

2.c) Quand la pile 2 débite, quelles sont les réactions qui ont

lieu aux électrodes de platine et d’argent ?

2.d) Déterminer le potentiel de l’électrode E2 de platine de la

pile 2 en fonction de la concentration en ions hydroxyde

et de la constante Ke. Déterminer le potentiel de

l’électrode d’argent. Quel est le pôle positif de cette pile ?

Quelle est sa fém ?

2.e) Les piles sont reliées par leurs électrodes d’argent, la

mesure de la fém de la pile double conduit à 0,48V à

25°C. Quelle est la valeur du pKe de l’eau ? Conclusion ?


Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : Couples oxydant: Couples oxydant: Couples oxydant: Couples oxydant----réducteurréducteurréducteurréducteur

Couples avec oxydants en premier, réducteurs en second

Cu2+(aq) / Ag+(aq) / Ag(s)

Fe2+(aq) / Fe(s) Zn2+(aq) / Zn(s)

Fe3+(aq) / Fe2+(aq) H+(aq) / H2(g)

Cl2(aq) / Cl-(aq) I2(aq) / I-(aq)

Exercice Exercice Exercice Exercice 2222 : : : : Nombre d’oxydationNombre d’oxydationNombre d’oxydationNombre d’oxydation

Nombres d’oxydation n.o. :

PbO43- : +V, -II / P2O5 : +V, -II / ClO4- : +VII, -II / H2O2 : +I, -I /

LiH : +I, -I / SO42- : +VI, -II / N2O5 : +V, -II.

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : : : : DemiDemiDemiDemi----équations d’oxydoréductiéquations d’oxydoréductiéquations d’oxydoréductiéquations d’oxydoréductionononon

Demi-équations et potentiels :

a.

2

2 2

2 4

0

2

2 4 2 2

0,06log

2ClO Cl

ClO H e Cl H O

ClO HE E

Cl−

− + −

− +

+ + → + = +

b.

3

3 2

4

30

4 3 2

0,06log

3NO NONO

NO H e NO H O

NO HE E

P−

− + −

− +

+ + → + = +

c.

2 32 7

2 3

2 7 2

142

2 70

23

14 6 2 7

0,06log

6Cr O Cr

Cr O H e Cr H O

Cr O HE E

Cr− +

− + − +

− +

+

+ + → + = +

d.

3

3 2

4

0

3

4 4

0,06log

4HCOOH CH OH

HCOOH H e CH OH H O

HCOOH HE E

CH OH

+ −

+

+ + → + = +

e.

3 3 2

3 3 2

2

30

3 2

2 2

0,06log

2CH CHO CH CH OH

CH CHO H e CH CH OH

CH CHO HE E

CH CH OH

+ −

+

+ + → = +

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : : : : Equations d’oxydoréductionEquations d’oxydoréductionEquations d’oxydoréductionEquations d’oxydoréduction

Equations complètes (on passe par les ½ équations)

a. 3

22 6 2 3Al H Al H+ ++ = +

b. 2 2

2 3 2 4 62 2S O I S O I− − −+ = +

c. 2

4 2 2 2 22 6 5 2 5 8MnO H H O Mn O H O− + ++ + = + +

d. ( )4 3 3

2

3 3 2

2 6 5

2 5 8

MnO H CH CH OH CH

Mn CH COCH H O

− +

+

+ +

= + +

Piles électrochimiquesPiles électrochimiquesPiles électrochimiquesPiles électrochimiques

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : Piles avec électrodes de 1Piles avec électrodes de 1Piles avec électrodes de 1Piles avec électrodes de 1èreèreèreère espèce espèce espèce espèce

1. Schéma :

2. Formules de Nernst : ( )( )2 2

0

0 2

0,06log

10,06

log2

Ag Ag Ag Ag

Zn Zn Zn Zn

E E Ag

E E Zn

+ +

+ +

+

+

= +

= +

Fém :

( ) ( )2

2

0 0 2

1,53

0,06 0,06log log

1 2

pile Ag Ag Zn Zn

Ag Ag Zn Zn

e E E V

E E Ag Zn

+ +

+ ++ +

= − =

− + −

3. Tableau d’avancement – réaction totale

2Ag+ + Zn Zn2+ + Ag

EI C0 excès C0 excès

à t C0 - 2ξ excès C0 + ξ excès

EF 0 excès 3C0/2 excès

Quantité d’électrons totale a été débitée : chaque atome d’argent

a libéré 1 électron, donc 0,1 mole d’électron a été débité, ce

qui correspond à une charge de F/10 = 9650C (F =

Faraday = charge d’une mole d’électrons = NA × e) ?

ExExExExerciceerciceerciceercice 6 6 6 6 : Pile : Pile : Pile : Pile FerFerFerFer----NickelNickelNickelNickel

1. Idem exo 5, Ni = borne +, Fe = borne -, les électrons vont du

– vers le + à l’extérieur du générateur, et à l’intérieur, les

anions (–) vont du + vers le – alors que les cations (+) vont

de la borne – vers la borne +.

2. Equations : Fe Fe2+ + 2e- et Ni2+ + 2e- Ni qui donnent

Fe + Ni2+ Fe2+ + Ni.

3. Potentiel

( ) ( )2 2

0 0 2 2

0,21

0,06 0,06log log

2 2

pile Ni Ni Fe Fe

Ni Fe

e E E V

E E Ni Fe

+ +

+ +

= − =

− + −

,

on en déduit ( )( )0 2 0,23s

E Ni Ni V+ = −

4. Concentrations finales : tableau d’avancement, la réaction

est totale… Ni2+ : 0 restant (limitant) et Fe2+ : 2C0.

5. Quantité débitée : chaque atome de Fer a libéré 2 électrons,

donc Q = 0,2F (pour 1L de chaque demi-pile) = 19300C.

Cela correspond à une courant de I = 1A pendant 19300s =

5h36min.

SOLUTIOSOLUTIOSOLUTIOSOLUTION des EXERCICES N des EXERCICES N des EXERCICES N des EXERCICES –––– CM6 CM6 CM6 CM6 –––– Oxydoréduction Oxydoréduction Oxydoréduction Oxydoréduction –––– Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2

Zn

2Zn +

Pont salin

Ag

Ag +

VVVV ---- ++++ e −

Solution Ag+ + NO3- Solution Zn2+ + 2NO3-

Anode

Oxydation

ZnZn2++2e-

Cathode

Réduction

Ag++e-Ag

Equation bilan complète : 2Ag+ + Zn Zn2+ + 2Ag

2Zn + Ag +

3NO −

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : Fonctionnement d’une pile: Fonctionnement d’une pile: Fonctionnement d’une pile: Fonctionnement d’une pile

1/2. Schéma :

3. Porteurs de charge dans le buzzer : les électrons

4. Porteurs de charge dans la pile : les ions (voir schéma)

5. Equations (voir schéma)

6. Quotient de réaction : ( )

2

0210

t

PbQ Q

Ag

+

=+

= ⇒ =

A l’équilibre : ( ) ( )( ) ( )

2

20 0 2

0 0

0

0,06 0,06log log

2 20,06 0,06

log log2 2

pile Ag Ag Pb Pb

Ag Pb eq eq

eq

e E E V

E E Ag Pb

E Q E K

+ +

+ +

= − =

= − + −

=∆ − =∆ −

Ainsi, on obtient

02

0,0610E

K⋅∆

= . Si on veut que la pile débite,

il va falloir une valeur de K très grande (réaction totale,

donc K >> 104, c'est-à-dire 0 4 0,060,12

2E V

⋅∆ =≫

On peut vérifier avec les tables : 0 0,93E V∆ =

Exercice Exercice Exercice Exercice 8888 : : : : Fém d’une pileFém d’une pileFém d’une pileFém d’une pile

1. Schéma : identique en remplaçant les ions…

2. Papier-filtre = jonction électrolytique ou pont salin, pour

fermer le circuit de la pile et faire circuler les ions.

3.a) Voltmètre électronique : très grande résistance d’entrée et

permet donc de mesurer la tension à vide (I = 0).

b) C’est bien la fém que l’on mesure e = 1,1V.

c) Zinc = borne – (COM) et Cuivre : borne +

d) Schéma conventionnel : - Zn/Zn2+//Cu2+/Cu +

4. Oxydation à l’anode : Zn Zn2+ + 2e-

Réduction à la cathode : Cu2+ + 2e- Cu

5. Fonctionnement global : Zn + Cu2+ Zn2+ + Cu.

Exercice Exercice Exercice Exercice 9999 : Capacité d’une pile: Capacité d’une pile: Capacité d’une pile: Capacité d’une pile

1. Equation : Zn + 2Ag+ Zn2+ + 2Ag (formation d’Ag,

disparition de Zn, le sens est respecté).

2. I=15mA pendant bt=5h=18000s Q=Ibt=270C

3. Cela correspond à une quantité n = Q / F= 2,80.10-3 mol

d’argent, donc une masse bm = n × M(Ag) = 0,3g

4. Il arrive n/2 ions de Zn2+ (chaque atome libère 2 e-), cela

modifie la concentration : 1

0 0,114 .2

nC C mol L

V−= + = .

5. Capacité de la pile : Les solides sont a priori en excès, donc

le réactif limitant sera l’argent, dont la quantité initiale est

n0 = C’.V’ = 5.10-3 mol.L-1. Ainsi Qmax = n0.F = 480C. La

pile aurait pu débiter pendant 8h52min au même courant.

Exercice Exercice Exercice Exercice 10101010 : : : : Accumulateur au plombAccumulateur au plombAccumulateur au plombAccumulateur au plomb

1. Electrode de Gauche :

( )( )

2 2

2 0 2

1

2 2 2 2

4 44

0,062 log

2Pb Pb Pb Pb

Ss

Pb e Pb E E E Pb

PbSO Pb SO K Pb SO

+ ++ − +

+ − + −

+ = = = +

= + ⇒ =

Ainsi : 2

0

1 2

4

0,06log 0,37

2S

Pb Pb

KE E V

SO+ −

= + = −

(Car l’acide est supposé fort : 2

4 3 0SO H O C− + = = )

2. Electrode de droite :

( )

( )

22

2

2 22

2 2 2 2

4 44

4 2 2s PbO Pb

Ss

PbO H e Pb H O E E

PbSO Pb SO K Pb SO

++ − +

+ − + −

+ + = + ⇒ =

= + ⇒ =

Ainsi : 4

50 0 0

2 2 22

160,06 0,06log log 1,75

2 2 S

H CE E E V

KPb

+

+

= + = + =

3. Polarité : + PbO2/Pb2+ (droite), borne - : Pb2+/Pb (gauche)

Fém : e = 2,12V

4. Il faut donc 6 piles identiques à monter en série pour

obtenir une tension de 12V (C’est ce qui est utilisé). Pour

maintenir la tension, il faudra faire attention à garder

l’acide bien concentré (le C0 intervient).

Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Obtention du dioxyde de Mn par électrolyse: Obtention du dioxyde de Mn par électrolyse: Obtention du dioxyde de Mn par électrolyse: Obtention du dioxyde de Mn par électrolyse

1. Plusieurs oxydations peuvent se produire à l’anode :

(1) Mn2+(aq) + 2 H2O = MnO2(s) + 4 H+(aq) + 2 e-

(2) 2SO42- (aq) = S2O82- + 2 e-

(3) C(s) + 2 H2O = CO2(g) + 4 H+(aq) + 4 e-

(4) 2 H2O = O2(g) + 4 H+(aq) + 4 e-

2. Plusieurs réductions peuvent se produire à l’anode :

(5) Mn2+(aq) + 2 e- = Mn(s)

(6) 2 H+(aq) + 2 e- = H2(g)

(7) SO42- (aq) + 4 H+(aq) + 2 e- = SO2(g) + 2 H2O

3. D’après les infos données, on choisit les équations (1) et (6) :

Mn2+(aq) + 2 H2O = MnO2(s) + 2 H+(aq) + H2(g)

Exo 12Exo 12Exo 12Exo 12 : Electrolyse d’une solution de chlorure de fer: Electrolyse d’une solution de chlorure de fer: Electrolyse d’une solution de chlorure de fer: Electrolyse d’une solution de chlorure de fer

1. Equation : 2 Fe3+(aq) + 2 Cl-(aq) 2 Fe2+(aq) + Cl2(g)

2. Quantité d’électricité : Q = Ibt = 380C

3. Quantité initiale : n0(Fe3+) = CV = 5.10-3 mol.

Disparaissent y = Q/F = 3.9.10-3 mol de Fe3+ (autant de Fe2+

apparait), donc [Fe3+]fin = (n0(Fe3+)-y)/V = 4,4.10-3 mol.L-1.

Et [Fe2+]fin = y/V = 1,56.10-2 mol.L-1.

4. Quantité de Cl2 dégagé n(Cl2) = y/2 = 1.97.10-3 mol

Ce qui donne un volume : V(Cl2) = nRT/P = 48 mL

5. Quantité initiale : n0(Cl-) = CV = 1,5.10-2 mol,

C finale : [Cl-]fin = (n0(Cl-)-y)/V = 4,4.10-2 mol.L-1.

ExExExExerciceerciceerciceercice 13 13 13 13 : Boîte de conserve en “fer blanc”: Boîte de conserve en “fer blanc”: Boîte de conserve en “fer blanc”: Boîte de conserve en “fer blanc”

1. Schéma légendé : Voir page suivante

2. Coté Cathode : Plusieurs réductions possibles

(1) Sn2+(aq) + 2 e- Sn(s),

(2) 2 H+(aq) + 2 e- H2(g)

(3) SO42-(aq) + 4 H+(aq) + 2 e- SO2(g) + 2 H2O(l)

Coté Anode : Plusieurs oxydations possibles

(4) Sn(s) Sn2+(aq) + 2 e-

(5) 2 SO42-(aq) S2O82-(aq) + 2 e-

(6) 2 H20(l) + O2(g) + 4 H+(aq) + 4 e-

Pb

2Pb +

Pont salin

Ag

Ag +

BuzzerBuzzerBuzzerBuzzer

---- ++++ e −

Solution Ag+ + NO3- Solution Pb2+ + 2NO3-

Anode

Oxydation

PbPb2++2e-

Cathode

Réduction

Ag++e-Ag

Equation bilan complète : 2Ag+ + Pb Pb2+ + 2Ag

2Pb + Ag +

3NO −

Suite Suite Suite Suite ExExExExerciceerciceerciceercice 13 13 13 13 : Boîte de conserve en “fer blanc”: Boîte de conserve en “fer blanc”: Boîte de conserve en “fer blanc”: Boîte de conserve en “fer blanc”

3. Puisque les ions sulfate ne donnent aucune réaction et qu’il

n’y a pas de formation de gaz aux électrodes, on ne garde

que les réactions (1) et (4), c'est-à-dire les plus importantes

pour nous. La réaction globale est :

Sn2+(aq) + Sn(s) Sn(s) + Sn2+(aq)

4. On veut un dépôt d’épaisseur e = 1,0 μm, ce qui signifie un

volume total V = e × S = 3.10-8 m3 = 0,03 cm3 d’étain, c'est-à-

dire une quantité d’atomes d’étain :

( )3 3

3

1

7,3 . 0,031,85.10

118,7 .Sn

g cm cmVn mol

M Sn g mol

ρ −−

−

×⋅= = =

Il faut 2 fois plus d’électrons :

( )32

2 3, 69.10e Sn

Vn n m ol

M Sn

ρ −− = = =

Et donc un temps :

( )2

148 2min 28en FQ VFt t s s

I I I M Sn

ρ− ⋅∆ = = = = ∆ = =

⋅

5. S’il faut plus de temps, une partie des électrons sont

détournés par des réactions parasites aux électrodes (gaz…),

avec les 4 autres réactions écrites précédemment, ou

éventuellement d’autres

impuretés présentes dans

la solution…

Schéma de l’électrolyse :

Exercice Exercice Exercice Exercice 14141414 : : : : Dosage de l’eau oxygénéeDosage de l’eau oxygénéeDosage de l’eau oxygénéeDosage de l’eau oxygénée

1. On commence avec les ½ équations électroniques :

H2O2(aq) O2(g) + 2 H+(aq) + 2 e-

MnO4-(aq) + 8 H+(aq) + 5 e- Mn2+(aq) + 4 H2O(l)

Ce qui donne (Ions sont sous forme aqueuse non précisé)

2 MnO4- + 6 H+ + 5 H2O2(aq) 2 Mn2+ + 8 H2O(l) + 5 O2(g)

2. Protocole : On prélève 10,0 mL de H2O2 avec une pipette

jaugée, et on le verse dans un bécher, avec agitateur

magnétique. On verse ensuite progressivement avec une

burette graduée le MnO4-. Au cours du dosage on relève le

potentiel de la solution avec un fil de platine (électrode de

3ème espèce) par rapport à une électrode de référence (2ème

espèce, par exemple au calomel saturé). On repère

l’équivalence soit sur la courbe au moment du saut de

potentiel, soit directement avec le changement de couleur

de la solution (incolore avant quand tout le MnO4- réagit

instantanément donc disparaît, et violet après quand ils

restent en solution).

3. Attention à l’équivalence aux coef stœchiométriques :

4 2 2

2 5

MnO ajouté H O initialn n−

=

La concentration en H2O2 est donc :

2 2 4 1

2 2

5 50,88 .

2 2

H O initial MnO ajouté Enn C V

H O mol LV V V

− −⋅ ′ ′⋅ ⋅

= = = = ⋅ ⋅

Et le titre massique :

( ) 1

2 2 2 230 .t H O M H O g L−= × = ,

(correspond à la valeur annoncée).

Exercice Exercice Exercice Exercice 15151515 : : : : Dosage de l’eau de JavelDosage de l’eau de JavelDosage de l’eau de JavelDosage de l’eau de Javel

1. demi-équations : ClO-(aq) + 2 H+(aq) + 2 e- = Cl-(aq) + H2O

2I-(aq) = I2(aq) + 2 e-

Réaction : ClO- + 2H+(aq) + 2I-(aq) = Cl-(aq) + H2O + I2(aq)

Tout réagit (réaction totale, taux d’avancement = 1)

2.a) Réaction : I2(aq) + 2S2O32-(aq) = 2I-(aq) + S4O62-(aq)

2.b) Après la première réaction (question 1), la solution est de

couleur marron (éléments diiode). Au cours du dosage, la

solution se décolore progressivement, au fur et à mesure

que le diiode disparaît. On repère l’équivalence au moment

où la solution est totalement décolorée. On peut

éventuellement améliorer le contraste en rajoutant de

l’empois d’amidon, qui va colorer la solution en bleu-noir

en présence du diiode, et redevient brusquement incolore.

2.c) La concentration des ions hypochlorite n’est pas déterminée

directement Dosage indirect

2.d) A l’équivalence du dosage du diiode, les réactifs (I2 et S2O32-)

sont dosés dans les proportions stoechiométriques :

( ) ( )2

2 3

2 2 2

eq En S O C V

n I

− ′′ ⋅= =

Et le diiode a été formé par réaction avec l’hypochlorite,

dans laquelle les ions iodure étaient en excès :

( ) ( )2 2E

final final

C Vn I n ClO −

′′ ⋅= =

Ainsi : 2 1

0

5, 3.10 .2

E

dosé

C VClO m ol L

V− − −

′′ ⋅ = = ⋅

Et dans la solution commerciale, dix fois plus concentrée : 10, 53 .

com m ercialClO m ol L− − =

2.e) Cohérence avec l’indication de l’étiquette :

Il faut calculer combien de Cl2 pourrait être produit par 1L

ClO-(aq) + Cl-(aq) + 2 H+(aq) = Cl2(g) + H2O

On a donc n(Cl2) = n(ClO-) = [ClO-].Vtest (Vtest = 1L)

Ainsi : ( ) ( )2

212

testcomClO V RTn Cl RT

V Cl LP P

− ⋅ ⋅ = = =

L’indication portée par la bouteille est donc correcte.

ExExExExercice 16ercice 16ercice 16ercice 16 : Titrage : Titrage : Titrage : Titrage du Fer du Fer du Fer du Fer par du dichrpar du dichrpar du dichrpar du dichroooomatematematemate

Etude la réaction de titrageEtude la réaction de titrageEtude la réaction de titrageEtude la réaction de titrage ::::

1. Couples redox intervenant :

2. Non, pas de fer solide, il

faudrait un couple plus

réducteur (en dessous)

3. ½ équations :

2 3

2 7 2

2 3

14 6 2 7Cr O H e Cr H O

Fe Fe e

− + − +

+ + −

+ + → +

→ +

4. Réaction de titrage : 2 2 3 3

2 7 214 6 2 7 6Cr O H Fe Cr H O Fe− + + + ++ + → + +

5. A l’équilibre, égalité des potentiels : 0 6 0.56

560 ,06 0 ,0610 10 10n E

K×∆ ×

= = = , réaction totale.

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– CM6 CM6 CM6 CM6 –––– Oxydoréduction Oxydoréduction Oxydoréduction Oxydoréduction –––– Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2

Barreau Sn

Boîte Fer

E

e-

e-

Sn2+

E

2Fe +

3Fe +

Fe

2Fe +

3Cr + 2Cr +

2

2 7Cr O − 3Cr +

TitrageTitrageTitrageTitrage potentiométrique potentiométrique potentiométrique potentiométrique ::::

6. Schéma :

7. A l’équivalence : ( ) ( )2 2

2 7

6 1

eq eqn Fe n Cr O+ −

=

D’où 10 0 1.

6 60eq

C VC m ol L

V−= =

8. Allure de la courbe E = f(v) : comme un dosage acido-

basique, suivi par pH-métrie

Exercice Exercice Exercice Exercice 17171717 : : : : Transformations d’un systèmeTransformations d’un systèmeTransformations d’un systèmeTransformations d’un système

1. Réaction : Cu2+(aq) + 2Br-(aq) = Cu(s) + Br2(aq) K=8,2.10-26.

2. Quotient de réaction : 2

22

7,3Br

Q KBr Cu− +

= = >

La réaction va évoluer vers la gauche (sens inverse)

3. Tube en U…

3.a) Le système va évoluer spontanément, puisqu’on le laisse

évoluer sans contraintes extérieures.

3.b) Intensité négative les e- vont du mA vers le COM,

c'est-à-dire de l’électrode de Cuivre vers le graphite.

3.c) Réactions : Br2(aq) + 2 e- 2 Br-(aq)

Et Cu(s) Cu2+(aq) + 2 e-

3.d) Oui, le sens du courant observé en accord avec le sens

d’évolution spontanée prévue en 2.

4. Avec un générateur

4.a) Le courant est inversé cette fois, car on l’impose avec le

générateur extérieur.

4.b) Réactions inverses : C’est la formation de dibrome qui

explique le jaunissement. 2 Br-(aq) Br2(aq) + 2 e- et

Cu2+(aq) + 2 e- Cu(s).

4.c) Le système n’évolue de manière spontanée, mais dans le

sens inverse, puisque le générateur impose une

circulation en sens inverse du courant.

ExExExExeeeercice 18rcice 18rcice 18rcice 18 : : : : Détermination du pKe de l’eau par Détermination du pKe de l’eau par Détermination du pKe de l’eau par Détermination du pKe de l’eau par

potentiompotentiompotentiompotentioméééétrietrietrietrie

1. Mesure conductimétrique1. Mesure conductimétrique1. Mesure conductimétrique1. Mesure conductimétrique

1.a) A 25°C, La conductivité de l’eau est :

( )3

2 1 7 1

3 5 . . 105 .H O HO

H O mS m mol mol Lλ λσ + −+ − − −+ ×= =

Attention aux unités : 1.5,5 S mµσ −= , valeurs très faible.

L’eau pure est isolante

1.b) On mesure 1150 .S mσ µ −= ,

( )3

1

1

6 1

3 2

150 .2,7.10

5.

5 . .H O HO

H O mol LmS m m l

S m

oλ λσ µ

+ −

−+

−− − = = = +

Donne un produit ionique ( )2

3log 11,13e H OpK + = − = .

Mais la valeur n’est pas très précise car il peut y avoir des ions

parasites, comme par exemple le HCO3- provenant de la

dissolution CO2 de l’air dans l’eau.

2222. Mesure . Mesure . Mesure . Mesure potentiométriquepotentiométriquepotentiométriquepotentiométrique

2.a) Réactions dans la pile 1 :

Electrode Pt : 2 H+(aq) + 2 e- H2(g)

Electrode Ag : AgCl(s) + e- Ag(s) + Cl-(aq)

2.b) Potentiels d’électrode avec la formule de Nernst :

2

0 2

0

0

0,06log 0 0,06 177

20,06 1

log 0,22 0,059 3991

Pt H H

Ag AgCl Ag

E E h pH mV

E E pC mVCl

+

−

= + = − = −

= + = + =

Et la fém de la pile 1 est E1 = 0,576V

Le pôle + de la pile est l’électrode d’argent

2.c) Pile 2 : La solution est basique, donc on va équilibrer la

réaction avec des ions HO- plutôt que H+

Electrode Pt : ( ) ( )

( ) ( )

2 32

3 2

2 2 2

2 2 4

g aq

aq aq

H H O H O e

H O HO H O

+ −

+ −

+ → +

+ →

Ce qui donne ( ) ( )2 22 2 2g aq

H HO H O e− −⇒ + → +

2.d) Potentiel de l’électrode de Pt :

2

0 2

0

0,06log 0 0,06log 0,177 0,059

2e

Pt eH H

KE E h pK

C+= + = + = − ,

Les équations sont les mêmes du coté de l’argent

Fém de la pile : 2 0,222 0,059Ag Pt eE E E pK= − = +

Pôle positif = toujours l’argent

2.e) Deux piles en opposition :

2 10,472 0,222 0,059 0,576eE V E E pK= = − = + −

Cela donne : 0,48 0,22 0,5814

0,06epK

− += =

Conclusion: La mesure est beaucoup plus précise, les

impuretés présentes dans l’eau n’influent pas sur cette

mesure de potentiels !!!

Cr2O72-

+ 2K+

à C

Fe2+ + 2Cl- (10mL)

à C0 = 0,1 mol.L-1

+ Eau (90mL)

Réf Pt

VVVV Remarques :

- Le platine Pt assure

la conduction mais

est inerte, ne réagit

pas avec les couples,

il mesure EFe3+/Fe2+

- L’ECS = Electrode de

référence au calomel

saturé fixe un potentiel,

on a EECS = 0,25V

V(mL)

E(V)

Veq

0

Etude de Circuits avec les lois de Kirchhoff Exercice 1 : Loi des noeuds

Déterminer la valeur de I4 sur tous les schémas suivants : Exercice 2 : Loi des mailles

Calculer les valeurs des tensions U2 : Exercice 3 : Etude de quelques circuits

a) Déterminer I et I1 b) Déterminer I et U

c) Déterminer les expressions de I, U, I1 et I2

d) Déterminer U2 et U3 en fonction de E1, E2, R1, R2, R3 et R4 (Attention, peut-on utiliser le pont diviseur de tension ?)

Ponts diviseurs de tension et de courant Exercice 4 : Ponts Diviseurs de Tension

Exprimer U1 et U2 en fonction de e et des résistances : Exercice 5 : Montage potentiométrique

Exprimer la valeur de Us sur le montage à vide en fonction de E, R et de α, la position du potentiomètre

Tracer la courbe de Us en fonction de α. Que dire ? Faire de même sur le montage en charge (avec RS en plus) Tracer la nouvelle courbe de Us en fonction de α. Qu’est-ce

qui a changé ?

Montage à vide Montage en charge Exercice 6 : Pont de Wheatstone

Déterminer la tension U en fonction de E, R1, R2, R3 et R4 En déduire une condition sur R1, R2, R3 et R4 pour que U = 0

Supplément EXERCICES – EC1 – Circuit Electrique en Régime Stationnaire – Part1

I4

I1 = 2A

I3 = 4A

I2 = 1A B

I4

I1 = 2A

I3 = 2A

I2 = 1A C

I4

I1 = 3A

I3 = 4A

I2 = -1A D

I4

I1 = 2A

I2 = 1A A

I4

I1 = 2A

I3 = 4A

I2=-3A

F

E

I0 = 5A

D2 U3 = -1V

U2

U1 = 7V

D1 D3

U4 = 2V

D4

D4

U2

U4 = 2V

U5 = 1V D5 D2

U1 = 3V

D1

D3

U3 = -2V

D2

U2

U1 = 7V

D1

D3

U3=4V

R1 U

E

R2

R4 R3

R

Us E

R

UsE

RS

R1

eR2

U1

U2

R1

e

r

R2

U1

U2

R1

e

r

R2

U1

U2

R

R1

e R2

U1

U2

R

R3

E

I1 R1

R2 I

R3

E

R1

R2 I

U

E

R 20R

I1 U4R

I 2R I2

12R

E2

R4

E1

R1

R2 U2 R3U3

Exercice 7 : Pont diviseur de Courant Exprimer d’abord I1 et I2 en fonction de I et des résistances,

puis en fonction de e et des résistances :

Résistances équivalentes Exercice 8 : Résistances équivalentes

Trouver les expressions des résistances équivalentes Exercice 9 : Résistances équivalentes

On dispose de 6 résistances identiques de 200Ω. Comment faut-il les brancher pour obtenir une résistance équivalente :

1,2kΩ 300Ω 150Ω

Caractéristiques de Résistances Exercice 10 : Caractéristiques de résistance

On mesure la caractéristique d’un résistor de résistance R inconnue (tension U et intensité I) :

U (en V) 0 5 10 15 20 25 30 I (en mA) 0.0 2.2 4.5 7.0 9.0 11.4 13.7

Représenter la caractéristique U=f(I) de la résistance Calculer la valeur de R à partir de la courbe tracée

Exercice 11 : Caractéristiques de résistance On mesure la caractéristique d’un résistor de résistance R inconnue (tension U et intensité I) :

U (en V) 0 3,24 4,09 5,35 5,97 7,19 9,46 I (en mA) 0 0,5 0,7 1 1,1 1,4 1,8

Représenter la caractéristique U=f(I) de la résistance Calculer la valeur de R à partir de la courbe tracée

Exercice 12 : Caractéristiques d’un générateur

On mesure la caractéristique d’un générateur :

I (en mA) 0 5 10 15 20 25 30 U (en V) 24 23,5 23 22.5 22 21.5 21

Représenter la caractéristique U=f(I) du générateur Trouver l’équation du générateur et le modéliser

Exercice 13 : Caractéristiques de résistances

On dispose d’une résistance R1 de 1kΩ et d’une résistance R2 de 2kΩ, que l’on peut disposer en série ou en parallèle.

Tracer la caractéristique de ces deux résistances (pour U variant entre 0 et 10V)

Comment obtient-on graphiquement la caractéristique de l’association en série R1+ R2 ? Vérifier la pente de la courbe.

Comment obtient-on graphiquement la caractéristique de l’association parallèle R1//R2 ? Vérifier la pente de la courbe.

Petites questions de bon sens Exercice 14 : Luminosité de lampes

Dans les montages suivants, composés de lampes identiques, comparez leur luminosité à l’intérieur de chacun des circuits. Indications :

la luminosité d’une lampe est d’autant plus importante que l’intensité du courant qui la traverse est grande

On pourra considérer en première approximation que les lampes se comportent comme des résistances.

e R1

I1

R2

I2 I

e

r

R1

I1

R2

I2 I

e R1

I1

R2

I2 I

R3

e

r

R1

I1

R2

I2 I

R3

R1 R2 R1

R2

R

R R1 R1 R3

R2 R4 R4

R2

R1

R2 R1 R3

R4 R4

A1

E

A2

R

A2

A1

E1 E2

A1E

A2

A1E

A2 A3

A5

A1

E

A2

A3

A4

R R

R

R 10Ω

15Ω 6Ω

12Ω

4Ω

TD EC1 – Régime Permanent

Exercice 1.1 : Loi des Nœuds

Loi des nœuds : 0 1 2

4 2 5

5 1 3

I I II I II I I

= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩

, 2

5

3

312

I AI AI A

=⎧⎪⇒ = −⎨⎪ = −⎩

et 6 0

7 5

8 1

I II II I

=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩

L’indication 4 2I A= signifie qu’à chaque seconde, il y a

19419

2 1 1,25.101,6.10

I TQNe e

+−

⋅ ×= = = = électrons qui traversent D4.

Exercice 1.2 : Loi des Mailles

Loi des mailles : 1 2 5

3 4 5

2 4 6

U U UU U UU U U

+ =⎧⎪ + =⎨⎪ = +⎩

, 4

5

1

615

U VU VU V

= −⎧⎪⇒ = −⎨⎪ = −⎩

L’indication 6 10U V= signifie qu’il y a une différence de

potentiel de 10V entre les deux bornes du dipôle.

Exercice 1.3 : Etude de Circuits

a) ( )

( )

1 23 1 23

1 2

2 21

1 2 3 1 2 1 2

(Req à l'ensemble)/ /

(Diviseur de Courant)

E EI R RR R R RR R

R RI I ER R R R R R R

⎧ = =⎪ +⎪ +⎪ +⎨⎪

= =⎪+ + +⎪⎩

b) Avec un double pont diviseur de tension : ( )

( )( )3 2 13

3 2 3 2 1 4

/ // /

r r rrU Er r r r r r

+= ×

+ + +

c) Lois de Kirchhoff : 1 1 2

2 3 2

1 3 2

2 22 2

E RI RIE RI RII I I

− =⎧⎪ − =⎨⎪ + =⎩

(3 éq, 3 inconnues)

1 2 1 22 1

26 6

E E E EI et IR R+ −

⇒ = =

Exercice 2 : Ponts Diviseurs

a) Diviseurs de tension en n’oubliant pas r :1

11 2

22

1 2

RU ER R r

RU ER R r

⎧=⎪ + +⎪

⎨⎪ =⎪ + +⎩

b) Avec 1 2'I I I= + , Diviseurs de courant : 2

11 2

12

1 2

'(1)

'(2)

RI IR R

RI IR R

⎧=⎪ +⎪

⎨⎪ =⎪ +⎩

On divise (1)(2)

, ce qui donne 21 2

1

RI IR

=

On aurait pu directement trouver 1 21 1 2 2 R RR I R I U U= = = …

Soit ( )

32 21

1 2 1 2 3 1 2

'/ /

RR RI I IR R R R R R R

= = ×+ + +

(2 ponts diviseurs)

Soit directement ( )( )2 3

11 2 3

/ // /

R RI I

R R R=

+, ce qui revient au même

Exercice 3.1 : Caractéristique d’une résistance

Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points Ordonnée à l’origine ≈ 0 et Coef directeur R ≈ 2,2kΩ

Exercice 3.2 : Caractéristique d’un générateur linéaire

Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points Ordonnée à l’origine =12V=fém du générateur Coefficient directeur r ≈ 200Ω

Supplément EXERCICES – EC1

Exercice 1 : Loi des Nœuds

Toutes les lois des nœuds :

( )

4 2 1

4 1 2 3

4 1 2 3

4 1 3 2

4 3 2 1 0

115

84

I I I AI I I I AI I I I AI I I I AI I I I I A

⎧ = − =−⎪

= + − =−⎪⎪ =− − − =−⎨⎪ = + − =⎪⎪ = − + − =⎩

Exercice 2 : Loi des Mailles

Toutes les lois des mailles : 2 1 3

2 1 3 4

2 1 3 4 5

114

2

U U U VU U U U VU U U U U V

=− − =−⎧⎪ = + − =⎨⎪ = + + − =⎩

Exercice 3 : Etude de quelques circuits

a) ( )

( )

1 23 1 23

1 2

2 21

1 2 3 1 2 1 2


(Diviseur de Courant)

E EI R RR R R RR R

R RI I ER R R R R R R

⎧ = =⎪ +⎪ +⎪ +⎨⎪

= =⎪+ + +⎪⎩

b) ( ) ( )

( )2 1 32 1 3

2 1 3

3

1 3


(Diviseur de Tension - R2 n'influe pas)

E EIR R RR R R

R R RRU E

R R

⎧ = =⎪ ++⎪⎪ + +⎨⎪⎪ =

+⎪⎩

c)

( )( )( )

1

2

(Req à l'ensemble)520 / / 2 4 / /12

20 / / 2 4 / /12 4 / /122 4 / /1220 / / 2 4 / /12

4 3 12 0,48 (Double Diviseur)5 5 25

1 12 3 0,124 4 25 25

1 1212 12 25 25

E EIRR R R R R

R R R R R RU ER R RR R R R R

R RU E E ER R

U E EI ER R R RU EI E

R R

= =⎡ ⎤+ +⎣ ⎦⎡ ⎤+⎣ ⎦= ×

+⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

⇒ = × = =

= = × = =

= = × =0,04E

R R

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =⎪⎪⎩

SOLUTION des EXERCICES – EC1

d) On note I le courant dans la branche du milieu. On a nécessairement I = 0 d’après la loi des nœuds, puisque le courant qui sort est égal au courant qui rentre dans chacun des générateurs. Les deux circuits sont donc indépendants et on peut appliquer le pont diviseur de tension (comme si les résistances étaient en série…)

Ainsi : 22 1

1 2

RU ER R

=+

et 33 2

3 4

RU ER R

=+

Exercice 4 : Ponts diviseurs de tension

a) 1

11 2

22

1 2

RU eR R

RU eR R

⎧=⎪ +⎪

⎨⎪ =⎪ +⎩

b) 1

11 2

22

1 2

R ne modifie pas la valeur de la tension e aux bornes de l'association R1+R2

RU eR R

RU eR R

⎛ ⎞⎧= ⎜ ⎟⎪ +⎪ ⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟⎪ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ +⎩ ⎝ ⎠

c) 1

11 2

22

1 2

RU eR R r

RU eR R r

⎧=⎪ + +⎪

⎨⎪ =⎪ + +⎩

d) 1

11 2

22

1 2

RU eR R r

RU eR R r

⎧=⎪ + +⎪

⎨⎪ =⎪ + +⎩

, idem…

Exercice 5 : Montage Potentiométrique A vide :

( )1SRU E E

R Rα α

α α= × =

+ − Courbe linéaire

En charge, la relation n’est plus linéaire (à tracer pt par pt) : ( )

( ) ( ) 2

/ /...

/ / 11

SS

S

S S

R R EU ER R R R R

R R

α αα α α α

= × = =+ − ⎛ ⎞

+ − ⎜ ⎟⎝ ⎠

Exercice 6 : Pont de Wheatstone Additivité :

2 3

32

1 2 3 4R R

RRU U U E ER R R R

= − = −+ +

Condition : 322 4 1 3

1 2 3 4

0RRU R R R R

R R R R= ⇔ = ⇔ =

+ +

Exercice 7 : Ponts diviseurs de courant

a) 2

11 2

12

1 2

RI IR R

RI IR R

⎧=⎪ +⎪

⎨⎪ =⎪ +⎩

b) ( )( )

( )( )

2 31

1 2 3

1 32

2 1 3

/ // /

/ // /

R RI I

R R RR R

I IR R R

⎧=⎪

+⎪⎨⎪ =⎪ +⎩

(Attention)

c) et d) L’ajout de r ne change pas les expressions, mais juste la valeur de I, qui n’intervient pas ici…

Exercice 8 : Résistances équivalentes

a) 1 2eqR R R= + b) 1 2

1 21 2

/ /eqR RR R R

R R= =

+ c)

2eqRR =

d) 1 313

1 3

/ /2 2eq

R RRR RR R

= =+

e) ( )( )

( )1 4 2 3 4

2 3 41 4

2 3 4

/ /eqR R R R R R

R R RR R

R R R

= + + +

+= + +

+ +

g) 22 / /12 522

eqR RR R R= = =

+

h) 10eqR = Ω

Exercice 9 : Résistances équivalentes

a) 1,2eqR k= Ω 6 résistances de 200Ω en série

b) 300eqR = Ω (3×200Ω) // (3×200Ω)

ou encore 200Ω + (200Ω // 200Ω)… c) 150eqR = Ω (200Ω + (200Ω // 200Ω)) // idem

Exercice 10 : Caractéristiques de Résistances




Exercice 12 : Caractéristique d’un générateur

Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points Ordonnée à l’origine =24V=fém du générateur Coefficient directeur r ≈ 100Ω


R est la pente des courbes U = RI Par exemple pour U=10V, R=1kΩ, on a I=10mA

Association série : on a U=U1+U2, donc on additionne les droites point par point suivant les ordonnées (U). Par exemple pour I = 5mA, U=U1+U2=5V+10V=15V et ainsi de suite, La droite obtenue est plus pentue, ce qui correspond à un coefficient directeur R=R1+R2= Req. C’est logique !!!

Association parallèle : on a I=I1+I2, donc on additionne les droites point par point suivant les abscisses (I). Par exemple pour U = 5V, I=I1+I2=5mA+2,5mA=7,5mA et ainsi de suite, La droite obtenue est moins pentue, ce qui correspond à un

coefficient directeur 1 21 2

1 2

2/ /3eq

R RR R RR R

= = = Ω+

. C’est

encore tout à fait logique !!!

Exercice 14 : Luminosité de lampes a) I égal dans la branche b) Idem, même courant

Même luminosité Même luminosité c) Même tension. Si les lampes

sont identiques, il y aura le même I dans les deux.

Même luminosité d) U1=U2+U3, donc L1 éclaire plus

mais la tension se répartie de manière égale dans L2 et L3

1 2 3L L L> =

f) 4

1 2

2 41

42

2 / /2

22

eqRR R R

R RRRR

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ++

e) Dans la branche, on a même courant, qui se divise ensuite en 3 :

1 5 2 3 4I I I I I= = + +

Donc puisque les lampes sont identiques :

1 5 2 3 4L L L L L= > = =

Puissance et EnergiePuissance et EnergiePuissance et EnergiePuissance et Energie

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : : : : Bilan de puissanceBilan de puissanceBilan de puissanceBilan de puissance

Faire un bilan de puissance pour le circuit ci-dessous

Données (Premier schéma) : E = 20V, r = 5Ω et R = 15Ω.

Données (Second schéma) : I0 = 0,2A ; R1 = 50Ω ; R2 = 2Ω.

ExerciceExerciceExerciceExercice 2 2 2 2 : : : : AlimeAlimeAlimeAlimentation d’un moteurntation d’un moteurntation d’un moteurntation d’un moteur

Deux générateurs linéaires identiques de fém E=9V et de

résistance interne r=2Ω alimentent un moteur M de fcém

E’=5V (force contre-électromotrice, modélisant l’énergie

réellement transformé en énergie mécanique, de sens opposé

au courant reçu) et de résistance interne r’=1Ω.

Déterminer le courant I’ qui traverse le moteur

Calculer la puissance électrique reçue par le moteur et le

rendement de celui-ci

Déterminer la puissance électrique fournie par chaque

générateur et le rendement associé

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : : : : Adaptation d’impédanceAdaptation d’impédanceAdaptation d’impédanceAdaptation d’impédance

On considère un générateur

de fém E et de résistance interne

r qui alimente un radiateur

électrique modélisable par un

dipôle résistif de résistance R.

1. Quel est l’effet qui transforme le courant en chaleur ?

2. Exprimer la puissance PR reçue par le radiateur en fonction

de E, R et r.

3. Quelle est la valeur de la puissance quand R = 0Ω ? Quelle

est la valeur de la puissance quand R est très grande ? Que

peut-on en déduire ?

4. Déterminer la valeur R0 de R pour laquelle la puissance

dissipée PR dans le radiateur est maximale. Représenter

l’allure de la courbe donnant PR en fonction de R.

5. Dans le cas où le radiateur a la résistance R0, exprimer la

puissance thermique PR0 dissipée dans le radiateur, et la

puissance thermique Pr0 dissipée dans le générateur en

fonction de E et de R0. Faire un bilan de puissance.

6. Pour quelle valeur de r le rendement est-il maximal ? En

déduire le type de générateur qu’il faut utiliser pour

alimenter un radiateur électrique.

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : : : : Bilan de Puissance Bilan de Puissance Bilan de Puissance Bilan de Puissance –––– Plusieurs Sources Plusieurs Sources Plusieurs Sources Plusieurs Sources

1. Calculer les intensités I et I’ et les tensions U et U0 dans les

circuits ci-dessous

2. Faire un bilan de puissance

Données : I0 4A ; E = 10V ; R = 20Ω

Point de FonctionnementPoint de FonctionnementPoint de FonctionnementPoint de Fonctionnement

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : ElectrolyseurElectrolyseurElectrolyseurElectrolyseur

Un électrolyseur est constitué de deux électrodes en nickel

plongeant dans une solution aqueuse de soude. Il s’agit d’un

dipôle symétrique pour lequel on relève expérimentalement en

régime permanent les couples tension-courant suivant :

U (V) 0,00 1,00 2,00 2,25 2,50 3,00 4,00 5,00

I (A) 0,00 0,00 0,00 0,05 0,20 0,50 1,10 1,70

Tracer la caractéristique u=f(i). Ce dipôle est-il linéaire ?

Sachant que la puissance maximale admissible pour

l’électrolyseur est PM=10W. Quel domaine de la

caractéristique est interdit ?

En déduire les valeurs maximales admissibles pour I et U.

(D’abord graphiquement, puis avec un MET équivalent)

On branche à ses bornes une pile qui impose une tension

u=E-rI avec E=4V et r=5Ω. Déterminer (U,I) lorsque la

pile est branchée (méthode graphique puis algébrique).

ExerciceExerciceExerciceExercice 6 6 6 6 : : : : Modélisation d’une diodeModélisation d’une diodeModélisation d’une diodeModélisation d’une diode

Soit UD la tension aux bornes d’une

diode à jonction et I l’intensité du courant

qui la traverse selon les conventions de la

figure ci-contre. En unités légales :

0I = si 0,6D seuilU V V< = (diode dite “bloquante”)

10D seuilU I V= + si 0I > (diode dite “passante”)

Son domaine d’utilisation est min

3D DU U V> =− et max

10I I mA< =

1. Montrer que selon les valeurs de la tension UD, la diode est

équivalente à un interrupteur ouvert, ou à un résistor en

série avec un générateur idéal de tension)

2. Tracer la caractéristique I = f(U)

3. La diode est insérée dans le circuit

ci-dessous. Quand on ajuste la fém

du générateur à E=10V, on

constate qu’un courant traverse le

circuit. Calculer I, UD et UG.

4. Calculer la valeur Emin en deçà de laquelle la diode est

bloquante. Exprimer alors la relation entre UD et UG.

5. Tracer la courbe UD=f(UG).

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– EC2 EC2 EC2 EC2 –––– Circuit Electrique en Régime Stationnaire Circuit Electrique en Régime Stationnaire Circuit Electrique en Régime Stationnaire Circuit Electrique en Régime Stationnaire –––– Part2 Part2 Part2 Part2

I0

R2 R1

I0

R E

I I’

I0 R

E

I

U

U0

E’, r’ M

E, r E, r

U

I

R r

E

U

I

R r

E

UD

I

R

I UD

UG

E, r

Appareils de MesureAppareils de MesureAppareils de MesureAppareils de Mesure

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : : : : Que mesurent les appareilsQue mesurent les appareilsQue mesurent les appareilsQue mesurent les appareils ????

Dans un premier temps, on suppose les appareils idéaux.

Que mesurent les appareils sur chacun des schémas suivants :

On ne considère plus les appareils comme idéaux. Donner

leurs schémas équivalents avec un ordre de grandeur des

composants mis en jeu, et dire ce que cela change.

Exercice Exercice Exercice Exercice 8888 : : : : Montage Longue ou Courte DérivationMontage Longue ou Courte DérivationMontage Longue ou Courte DérivationMontage Longue ou Courte Dérivation

La mise en place d’un appareil de mesure perturbe un

circuit. Lors de la détermination de la résistance R d’un

conducteur ohmique par mesure de l’intensité qui le traverse et

de la tension à ses bornes, deux montages sont possibles, selon

que le voltmètre englobe l’ampèremètre ou non. On note

mes

UR

I= la résistance mesurée.

Exprimer dans chacun des montages la résistance mesurée

Rmes en fonction de R, RA ou RV.

Déterminer l’expression de l’écart relatif entre la valeur

expérimentale et la valeur réelle de la résistance

Quelle est la résistance d’un voltmètre idéal ? Et celle d’un

ampèremètre idéal ?

Dans le cas où RV=10MΩ et RA=1Ω, calculer les écarts

relatifs pour R1=10Ω, R2=10kΩ, puis pour R3=1MΩ.

Conclure quant à l’utilisation de ces deux montages

ExerciceExerciceExerciceExercice 9 9 9 9 : : : : Caractéristique d’une pileCaractéristique d’une pileCaractéristique d’une pileCaractéristique d’une pile

On branche aux bornes d’un générateur continu,

assimilable à une pile de fém e et de résistance interne r, un

voltmètre idéal. En circuit ouvert, le voltmètre indique la

valeur U1=240V. Lorsque l’on branche aux bornes de la pile un

résistor de résistance R=42Ω, le même voltmètre indique la

valeur U2=210V.

Représenter les deux schémas réalisés

En déduire les expressions ainsi que les valeurs de e et de r

Y a-t-il une troisième mesure que l’on peut réaliser,

expliquez, représentez le schéma du montage ainsi que ce

que l’on peut en déduire. Cette mesure est-elle toujours

réalisable ?

Modélisation par des MET/MENModélisation par des MET/MENModélisation par des MET/MENModélisation par des MET/MEN

Exercice Exercice Exercice Exercice 10101010 : : : : Attention aux conventionsAttention aux conventionsAttention aux conventionsAttention aux conventions

Exprimer U en fonction de I, E et r du MET dans tous les cas

Exprimer I en fonction de U, I0 et r du MEN dans tous les cas

Exercice Exercice Exercice Exercice 11111111 : : : : Equivalence MET/MENEquivalence MET/MENEquivalence MET/MENEquivalence MET/MEN

Voir Feuille d’Exos Techniques n°1

Etude de cEtude de cEtude de cEtude de circuits en régime stationnaireircuits en régime stationnaireircuits en régime stationnaireircuits en régime stationnaire

Exercice Exercice Exercice Exercice 12121212 : : : : Calcul dCalcul dCalcul dCalcul de tension et d’intensitése tension et d’intensitése tension et d’intensitése tension et d’intensités (Appliquer au moins 2 méthodes pour chaque)(Appliquer au moins 2 méthodes pour chaque)(Appliquer au moins 2 méthodes pour chaque)(Appliquer au moins 2 méthodes pour chaque)

Exprimer U uniquement Exprimer U en fonction des

en fonction de E données du schéma

Exprimer U en fonction

des données du schéma Exprimer I en fonction des

données et de la position α

du curseur du potentiomètre

Exercice Exercice Exercice Exercice 13131313 : : : : Calcul d’intensitésCalcul d’intensitésCalcul d’intensitésCalcul d’intensités

Trouver les expressions des Redémontrer le

courants i1, i2, i3 et i4. théorème de Millman

Dipôle V I

A

U

Dipôle

V A

I

U

E r

I U

r

I U

I0

V

A I

U

R

Montage 1 : montage amont,

ou longue dérivation

V

A I

U

R

Montage 2 : montage aval,

ou courte dérivation

E1 R1

i1

E2 R2

i2

i3

R3

E3

R4 i4

R

R E U

R

R

E r

I U

E r

I U

E r

I U

r

I U

I0

r

I U

I0

r

I U

I0

E

I1

r

R1 R2

I0

I2

I

U

E r1

U

r2

r3

r4

I0

E2

αR

r

R

E1

I

(1-α)R

R1

R3

R2

V2 VN

N

V1

V3

TD ECTD ECTD ECTD EC2222 –––– Régime Permanent Régime Permanent Régime Permanent Régime Permanent Part2 Part2 Part2 Part2

Exercice 1.1Exercice 1.1Exercice 1.1Exercice 1.1 : : : : Bilan de PuissanceBilan de PuissanceBilan de PuissanceBilan de Puissance

1. 5R

U E VR r

= =+

et 1E

I AR r

= =+

2.

( )2

2

25R

REP UI RI W

R r= = = =

+

et

( )2

2

25r

rEP rI W

R r= = =

+

3. Bilan et P du générateur : ( )10géné r RP P P W EI= + = =

5. 2nd circuit : 0 0,5

rI I A

R r= =

+,

015

rRU RI I V

R r= = =

+

( )2

2 2

027,5R

RrP RI I W

R r= = =

+ et

( )2 2

2

0222,5r

U rRP I W

r R r= = =

+

Bilan et P du générateur : ( )030géné r RP P P W UI= + = =

Exercice 1.2Exercice 1.2Exercice 1.2Exercice 1.2 : : : : Energie contenue dans une batterieEnergie contenue dans une batterieEnergie contenue dans une batterieEnergie contenue dans une batterie

1. 24

191.6 10

70 36001.57.10

Q Cn

e C−××= = = électrons

2. Puissance : 12 70 840P UI V A W= = × =

3. Energie : 6840 3600 3,024.10 840W P t W s J Wh= ×∆ = × = =

Exercice Exercice Exercice Exercice 2.22.22.22.2 : : : : Point de FonctionnementPoint de FonctionnementPoint de FonctionnementPoint de Fonctionnement On trace le graphique – Lampe en convention récepteur, et le

générateur en convention générateur.

Pt de Fonctionnement : Environ ( ) ( )=, 1.40 ; 9.20I U A V

Avec la résistance : Environ ( ) ( )=, 1,2 , 9.6I U A V

Exercice Exercice Exercice Exercice 2.32.32.32.3 : : : : Méthode numériqueMéthode numériqueMéthode numériqueMéthode numérique

Système d’équation : 9, 6

1, 2

RU E VU E rI R r

U RI EI A

R r

= == − +⇒ = = = +

Exercice Exercice Exercice Exercice 3.3.3.3.1111 : : : : Méthode graphique et LinéarisationMéthode graphique et LinéarisationMéthode graphique et LinéarisationMéthode graphique et Linéarisation 1. Courbe linéaire pour : 0 10mA I mA≤ ≤

2. MET : E=9V, r=200Ω, MEN : IN=45mA, r=200Ω.

3. Pt de fct : ( ) ( ), 8,25 ; 37,5U I V mA=

4. Rlim= 700Ω

Exercice Exercice Exercice Exercice 3.23.23.23.2 : : : : Théorème de ThéveninThéorème de ThéveninThéorème de ThéveninThéorème de Thévenin

1. 2

1 2

th

RE E

R R=

+ et ( )3 2 1

/ /thR R R R= +

2. Superposition: 2 1 1 2

1 2

th

R E R EE

R R

+=

+ et

2 1/ /thR R R=

Exercice 3.Exercice 3.Exercice 3.Exercice 3.3333 : : : : Par équivalencePar équivalencePar équivalencePar équivalence Deuxième flèche :

MET suivant :

Même chose avec ces cas un peu moins évidents :

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444....1111 : C: C: C: Comparaison de différentes méthodesomparaison de différentes méthodesomparaison de différentes méthodesomparaison de différentes méthodes

2 0

1 2

E R II

R R

+=

+ (Plus simple = tout sauf Kirchhoff…)

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444....2222 : : : : Autre comparaisonAutre comparaisonAutre comparaisonAutre comparaison

1 2 01

2

6

E E RII

R

− −= et 1 2 0

2

2

6

E E RII

R

+ −= (Tout sauf Kirchhoff)

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444....3333 : : : : Th de MillmanTh de MillmanTh de MillmanTh de Millman

( )

1 2

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

1 2

01

1 1 1r

gauche

E E

V R R R E R EI

r r R R r R Rr R R

+ ++

= = × =+ ++ +

31 2

1 2 3

1 2 3

01

...1 1 1 1

rdroite

EE E

R R RVI

r rr R R R

+ + += = × =

+ + +

(rapide, mais compliqué)

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444....4444 : : : : UtilisationUtilisationUtilisationUtilisation du MEN d’un générateur du MEN d’un générateur du MEN d’un générateur du MEN d’un générateur

A gauche : 0

0

0

0R

K

U rI

I

U

U U rI

= = = = =

, et à droite : 0

0

0R

K

r RU I

r Rr

I Ir R

U U

U

= + = +

= =

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– EC EC EC EC2222

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : : : : Bilan de PuissanceBilan de PuissanceBilan de PuissanceBilan de Puissance

3 puissances :

( )

( )

22

2

22

2

10

5

5

géné

R géné r R

r

P EI W

REP RI W P P P

R r

rEP rI W

R r

= = = = = ⇒ = +

+ = = = +

3 puissances : ( )

( )

( )

2

0 1 2 0

2 22 1 2 0

1 1 1 22

1 2

2 22 2 1 0

2 2 2

1 2

/ / 76,9

2,96

74,0

géné

R géné R R

R

P U I R R I mW

R R IP RI mW P P P

R R

R R IP R I W

R R

= × = × = = = = ⇒ = +

+ = = = +

Exercice Exercice Exercice Exercice 2222 : : : : Alimentation d’un moteurAlimentation d’un moteurAlimentation d’un moteurAlimentation d’un moteur 2 géné en // = équivalent 1MET de Eth=9V et rth=1Ω, ce qui a

pour effet de fournir la même tension, mais 2× plus de courant.

Donc ' 4' 2

' 2th

th

E E VI A

r r

−= = =

+ Ω

2

_ '' ' ' ' ' ' 4 10 14M reçue rP P E I r I E I W W W= + = + = + =

Et le rendement :

_

' ' 1071%

14utile

reçue M reçue

P E I

P Pη = = = =

Chaque géné fournit I=1A : 2

_7géné fournieP UI EI rI W= = − =

Ce qui fait un rendement : 778%

9utile sortie

fourni sortie pertes

P P

P P Pη = = = =

+

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– EC2EC2EC2EC2

R0

A

B

E0+RI0

00

0

EI

R+

A

B

r0//R0

00

0

EI

R+

A

B

R0

2,5A

20Ω

A

B

I0 A

B

A

B

E0

A

B

E0

I0 A

B

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : : : : Adaptation d’impédanceAdaptation d’impédanceAdaptation d’impédanceAdaptation d’impédance

1. et 2. Effet Joule :

( )2

2

2R

R EP R I

R r= =

+

3. On a :

( )

0

2

2

0

lim 0

R

R R

P W

REP W

R r

= Ω

→+∞ →+∞

= = = +

Il faut trouver

un juste milieu pour avoir un transfert de puissance.

4. On dérive : ( ) ( )( )

22 2

2

20R

E R r RE R rdP

dR R r

× + − × += =

+

2 0R r R R r⇔ + − = ⇔ =

Allure : 2

max

0

0

0 04

0

R

EW P W

R

R R r R R

=

= Ω − = = − → +∞

ր ց

5. Puissances thermiques :0 0

22 2

0 0

04R r

EP R I r I P

R= = = = .

Bilan de puissance : 0 0

2

02g é n é R r

EP P P

R= + = . Toute

la puissance fournie par le générateur est dissipée par effet

Joule, pour moitié dans sa propre résistance interne.

6. Rendement : ( )( )( )

22

R

géné

RE R rP R

P R rE E R rη

+= = =

+× +. C’est une

fonction décroissante de r Max pour r=0Ω. Il faut donc

un générateur avec faible résistance interne…

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : : : : Bilan de Puissance Bilan de Puissance Bilan de Puissance Bilan de Puissance –––– Pl Pl Pl Plusieurs Sourcesusieurs Sourcesusieurs Sourcesusieurs Sources

Gauche :

0

10

0, 5

' 3, 5

R

R

U E V

UI A

RI I I A

= = = =

= − = −

, Droite : 0

0

4

80

70R

R

I I A

U RI V

U U E V

= = = = = − =

Bilan gauche : 0_ _

0'

3 5 4 0 5

( ) ( ) ( )

fo u r n ie E fo u r n ie I RP P P

E I U I U I

W W W

r e ç u e f o u r n ie r e ç u e

+ =

↓ + ↓ = ↓ × + × = × − + =

+ =

Bilan droite : 0_ _

0 0

4 0 2 8 0 3 2 0

( ) ( ) ( )

fo u r n ie E fo u rn ie I RP P P

E I U I U I

W W W

fo u r n ie fo u rn ie r e ç u e

+ =

↓ + ↓ = ↓ × + × = × + + =

+ =

Exercice 6Exercice 6Exercice 6Exercice 6 : : : : Modélisation d’une diodeModélisation d’une diodeModélisation d’une diodeModélisation d’une diode 1. I=0 Interrupteur ouvert, 10D seuil th thU I V R I E= + = + , avec

10 , 0,6th th seuilR E V V= Ω = =

3. Courant traversant le circuit Diode passante Utilisation du

MET :

( )

( )

0, 31

8, 43

3, 73

seuil

th

th seuil

G

th

seuil th

D seuil th

th

E VI A

r R R

R R E r VU E rI V

r R R

r R V R EU V R I V

r R R

−= = + +

+ + ⋅ = − = = + + + + ⋅ = + = =

+ +

4. La diode n’est plus passante si 0seuil

th

E VI

r R R

−= =

+ +

seuilE V< .

On a alors UD = UG = E.

5. Si seuilE V> , alors

D G th thU U RI E R I= − = + . On exprime UD

en fonction de UG et des constantes (Eth, Rth, et R). On ne

peut pas l’exprimer en fonction de E qui varie…

Donc G D D th

th

U U U EI

R R

− −= = et th G th

D

th

R U REU

R R

+=

+

Et on trace la courbe pour min

3D DU U V> =− et max 10I I mA< =

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : : : : Que mesurent les appareilsQue mesurent les appareilsQue mesurent les appareilsQue mesurent les appareils ????

Appareils idéaux : - Voltmètre circuit ouvert

- Ampèremètre court-circuit

A gauche : IA=0A, UV=U A droite : IA=I, UV=0V

Appareils réels : - Voltmètre résistance RV≈10MΩ

- Ampèremètre Résistance RA≈1Ω

A gauche : IA mesure IV = courant de fuite dans la RV du

voltmètre : IV≈U/RV en général négligeable

Le voltmètre mesure U-UA=U- UAIV ≈U

A droite : Le voltmètre mesure la tension aux bornes de

l’ampèremètre UA=RA×(I-IV)≈RAI en général négligeable

L’ampèremètre mesure (I-IV)≈I

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : : : : Caractéristique d’une pileCaractéristique d’une pileCaractéristique d’une pileCaractéristique d’une pile

e = U1 = 240V, et on a

12 1 1 1

U RU U rI U r U

r R r R= − = − × =

+ +,

donc 1

2

1 6U

r RU

= − = Ω

3ème mesure : court-circuit

On peut en déduire le courant de

court-circuit du MEN du générateur,

et on le relie à la tension à vide par la

relation : th th NE R I= ×

A priori réalisable avec un générateur idéal, mais pas

toujours réalisable si le générateur ne supporte pas le court-

circuit (en général il sera protégé par un fusible de protection,

car ce courant peut être très important pour des générateurs

de bonne qualité avec une résistance interne faible…)

Mais la majorité des générateurs ne sont plus linéaires

lorsque l’on dépasse un certain courant… ce n’est même pas

la peine d’essayer d’arriver au courant de court-circuit, il ne

sera plus sur la droite à modéliser.

Exercice Exercice Exercice Exercice 10101010 : : : : Attention aux conventionsAttention aux conventionsAttention aux conventionsAttention aux conventions

U E rI= − , U E rI= + , U E rI= − + , U E rI= − −

0

UI I

r= − ,

0

UI I

r= + ,

0

UI I

r= − + ,

0

UI I

r= − −

Exercice Exercice Exercice Exercice 11111111 : : : : Equivalence MET/MENEquivalence MET/MENEquivalence MET/MENEquivalence MET/MEN

Voir Feuille d’Exos Techniques n°1

Exercice Exercice Exercice Exercice 12121212 : : : : Calcul de tension et d’intensitésCalcul de tension et d’intensitésCalcul de tension et d’intensitésCalcul de tension et d’intensités

1er Schéma: 5

EU = 2nd schéma : ___ voir DM

(Th Thévenin ou Equivalences)

3ème schéma :

( ) ( )( ) ( )( )1 33 2 1 4 0

1 4 2 3 1 4 1

// ////

rr EU r r r r I

r r r r r r r R

× = − + + + + +

(Superposition ou équivalence MET/MEN)

ExerciceExerciceExerciceExercice 13131313 : : : : Calcul d’intensitésCalcul d’intensitésCalcul d’intensitésCalcul d’intensités

( )2 3 1 2 3 3 2

1

1 2 1 3 2 3

2

3

4

...

...

0

R R E R E R Ei

R R R R R R

i

i

i

+ − −= + +

= = =

tous ont un rôle symétrique

Démo du Théorème de Millman : voir cours

V U1 Géné

V U2 Géné

R

A

IN

Géné

Echauffement Exercice 1 : Conventions

Trouver la relation entre i, q1, q2 et u sur les schémas suivants: Exercice 2 : Unicité d’une équation différentielle

Dans chacun des cas représentés, exprimer i et u et montrer que, quelle que soit l’orientation des flèches de courant et de tension, la charge q vérifie la même équation

différentielle : 2

2 0d q qLCdt

+ =

1er Ordre Exercice 3 : Circuit RC – Cas général

Un condensateur est chargé d’une tension uC = E1, c'est-à-dire la valeur délivrée par le générateur pour t < t0. A t = t0, le générateur bascule à une valeur e(t) = E2.

Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la tension uC aux bornes du condensateur pour t > t0.

La résoudre, et déterminer l’évolution de la tension en fonction de E1, de δE = E2-E1, de t0, et de τ = RC.

Déterminer l’évolution de i(t) pour t > t0.

Exercice 4 : Fonctionnement d’une minuterie On étudie le principe de fonctionnement d’une minuterie

permettant d’éteindre une lampe automatiquement au bout d’une durée t0 réglable.

Dans le montage suivant, on représente un composant M (à base d’AO en mode comparateur) qui permet l’allumage de la lampe L tant que la tension du condensateur est inférieure à une tension limite, notée Ulim, que l’on fixera à 20V. Le composant M possède une alimentation électrique propre (non représentée) qui lui fournit l’énergie nécessaire à l’allumage de la lampe. On admettra qu’il ne perturbe pas le fonctionnement du circuit RC.

A l’instant initial, le condensateur est déchargé. On ferme l’interrupteur K, le bouton poussoir P est relâché.

1. Etablir l’équation différentielle donnant les variations de uC(t) aux bornes du condensateur en fonction du temps.

2. Quelle est la valeur UC de uC(t) en régime permanent (bouton poussoir relâché) ?

3. Résoudre l’équation différentielle précédente. On définira une constante de temps τ de cette équation.

4. Tracer le graphique de uC(t) en faisant apparaître la tension E, et la constante de temps τ.

5. Calculer la valeur de τ pour R = 100kΩ et C = 200μF.

6. Donner l’expression littérale de la date t0 à laquelle la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur limite Ulim, en fonction de Ulim, E et τ.

7. Calculer la valeur de t0 et vérifier la validité du résultat à l’aide du graphe uC(t) tracé.

8. On a fixé Ulim = 20V pour obtenir une durée d’allumage t0 voisine de τ. Pour quelle raison choisir t0 très supérieure à τ n’aurait-il pas été judicieux pour un tel montage ?

9. Quel paramètre du montage peut-on modifier sans changer le générateur afin d’augmenter la durée d’allumage de la lampe ? Quel est le plus simple ?

Exercice 5 : Résistance de fuite d’un condensateur

Le diélectrique d’un condensateur n’est pas un isolant parfait, et il existe de ce fait un courant de fuite. Un condensateur réel peut être modélisé par un condensateur idéal, en parallèle avec un résistor. On se propose ici d’étudier la charge d’un condensateur de capacité C et de résistance de fuite R2, à travers un résistor R1.

Supplément EXERCICES – EC3 – Régime Transitoire – 1/2

u(t)

e) i(t)

L u(t)

a) q1(t)

i(t)

q2(t) C u(t)

b) i(t)

q2(t)

q1(t)

C

u(t)

c) i(t)

q2(t)

q1(t)

C u(t)

d) i(t)

q2(t)

q1(t)

C u(t)

f) i(t)

L

a)

u(t)

q(t)

i(t) C

L

b)

u(t)

q(t)

i(t) C

L c)

u(t)

q(t)

i(t) C

L

d)

u(t)

q(t)

i(t) C

L

K

R

E =30V

C

A

B

D

PL

MuC(t)

uC(t)i(t) R

e(t)

A t = 0, le condensateur est déchargé. Déterminer les

expressions de la tenson u(t) aux bornes du condensateur et de l’intensité i(t) qui le traverse. La charge s’effectue à l’aide d’un générateur de tension continue de fém E.

Exercice 6 : Association L // R Le circuit étudié comporte un générateur de tension

continue E, un interrupteur K, une bobine d’inductance L et deux résistors de résistance R1 et R2. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K.

Etablir l’expression de l’intensité traversant la bobine.

Exercice 7 : Diode à diode dite de « Roue Libre »

On considère le montage ci-dessous. On donne E = 12V, L = 15mH, R = 100Ω. Le dipôle D est une diode idéale dont la caractéristique courant-tension est donnée également. Il s’agit d’un composant qui ne laisse passer le courant que dans un sens (celui de la flèche).

A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K.

1. Montrer que la diode est bloquée (ou bloquante), c'est-à-dire qu’elle ne laisse pas passer le courant.

2. Exprimer le courant i(t) qui traverse la bobine.

3. Quelles sont les valeurs UP et IP des tensions et courants en régime permanent ? Dans quel état est la diode ?

4. Quelle est l’énergie WL emmagasinée pendant le régime transitoire ?

5. On ouvre l’interrupteur à la date t = θ = 10τ. Peut-on considérer que le régime permanent est atteint à cette date ?

6. Montrer que la diode devient passante (c'est-à-dire qu’elle laisse passer un courant).

7. Exprimer l’intensité i(t) qui traverse l’enroulement à partir de θ.

8. Comment l’énergie stockée dans la bobine est-elle dissipée ?

9. Tracer la courbe donnant l’évolution de l’intensité de 0 à 3 ms

10. Que se passerait-il en l’absence de diode ? L’interrupteur pourrait-il encore être considéré comme idéal ? Pour quelle raison ?

11. Dans quels types de montages retrouve-t-on des diodes de roue libre ?

2nd Ordre non amorti Exercice 8 : Circuit LC

On considère le circuit suivant, Il comprend un générateur idéal de tension E = 1V, un interrupteur K, une bobine idéale d’inductance L = 0,25H, et un condensateur de capacité C = 1μF initialement déchargé. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K.

1. Quelles sont les valeurs de u(0+) et de i(0+).

2. Calculer la pulsation propre ω0 et la période T0 du circuit LC.

3. Etablir l’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur.

4. Résoudre l’équation différentielle pour obtenir les expressions de u(t) et de i(t).

5. Représenter ces évolutions temporelles.

6. Quand atteint-on le régime permanent ? Est-ce réaliste ?

2nd Ordre amorti Exercice 9 : Résistance critique

Le montage schématisé permet de charger un condensateur de capacité C par l’intermédiaire d’un générateur de tension continue de fém E (interrupteur en position 1) puis de le décharger à travers une bobine d’inductance L et de résistance r, montée en série avec une résistance variable K et une résistance R dont on cherche à déterminer la valeur (interrupteur en position 2). Un système de suivi informatique donne l’évolution de la tension aux bornes du condensateur. Selon la valeur de la résistance variable, la décharge s’effectue avec ou sans oscillations, les oscillations disparaissant lorsque K atteint la valeur K0. Données : L = 400mH, r = 20Ω, C = 2,2μF, K0 = 189Ω.

1. La résistance critique du montage est 2CLRC

= .

Vérifier que cette expression est bien homogène à une résistance.

2. Déterminer la valeur de la résistance R 3. Un fois le régime critique atteint, on introduit n noyau de

fer doux dans la bobine et on recommence l’opération de charge-décharge. Qu’observe-t-on lors de la décharge du condensateur ? Justifier la réponse.

K

R2

R1 E

u(t) C

K

R2

R1

E

i(t)

L

K

1

R

EC

2

(L,r)

u(t)

R

i(t) K

D E L

uD

iD uD

iD

K

EC

Li(t)

u(t)

Exercice 10 : Conditions aux limites

Le circuit représentée, alimenté par un générateur de tension continue E, a été maintenu dans la configuration où l’interrupteur K est fermé pendant un temps suffisamment long pour que l’on puisse considérer le régime permanent comme établi. A la date t = 0, on ouvre l’interrupteur.

1. En justifiant chaque réponse, compléter le tableau suivant qui,

pour différentes grandeurs, vise à décrire comment s’effectue la transition à l’instant initial, et la valeur en régime établi.

i(t) v(t) x(t) t = 0- t = 0+

t →+∞

2. Etablir l’équation différentielle vérifiée par v(t) après fermeture de l’interrupteur. En déduire l’équation différentielle vérifiée par i(t). Comparer les solutions particulières de ces équations et les valeurs en régime permanent prises par v et i.

Exercice 11 : Résolution en régime pseudo-périodique

On étudie le même circuit que dans l’exercice précédent, en considérant que le cas où R1 = R2 = R

1. Dans le cas particulier où R = 0Ω, montrer que la tension v aux bornes du condensateur évolue de manière sinusoïdale, exprimer la pulsation ω0 des oscillations en fonction des données ainsi que l’expression complète de v(t).

2. Déterminer en fonction de L et de C la résistance R = RC pour laquelle v(t) évolue suivant un régime critique.

On pose dans toute la suite R = ½RC.

3. Simplifier l’équation différentielle vérifiée par v pout t ≥ 0 en l’écrivant uniquement en fonction de v, de E, et de ω0.

4. Montrer que la tension v s’écrit pour t ≥ 0 :

( ) ( ) ( )1 2exp cosv t U t t Uα β ϕ= + + ,

en précisant la valeur de tous les coefficients de cette expression : α, β, φ, et des tension U1 et U2.

5. Tracer l’allure de la courbe v(t) pour t ≥ 0 pour ω0 = 1 rad.s-1 et pour E = 10V (tracer d’abord séparément l’enveloppe exponentielle du cosinus).

6. Aspect énergétique : Quelles sont les énergies stockées dans le circuit à t = 0 ? Et à t = +∞ ?

Exercice 12 : Décharge d’un C dans un circuit RLC

Dans le montage suivant, on ferme l’interrupteur à l’instant t = 0. Le condensateur, de capacité C est initialement chargé sous une tension u0 (charge q0), tandis que le condensateur de capacité C1 est initialement déchargé.

a) Quelle est l’équation différentielle satisfaite par l’intensité i(t) circulant dans le circuit ?

b) Déterminer l’expression de C1 en fonction de R, L et C correspondant au régime critique de décharge, puis calculer C1 (Application numérique).

Données numériques : L=0,1H, C=100nF, R=4 kΩ, u0=10V.

c) Trouver l’expression du courant i(t) et représenter le graphe de |i(t)|.

Exercice 13 : Circuit RC série-parallèle

Dans le circuit ci-dessous, les condensateurs sont identiques et ont une capacité C = 10μF, les résistors sont identiques et ont une résistance R = 10kΩ. Les condensateurs sont initialement déchargés. E = 10V.

1. Calculer la constante de temps du circuit.

2. Déterminer toutes les valeurs des tensions et des intensités à la date t = 0+., ainsi qu’en régime permanent (faire des schémas équivalents si nécessaires).

3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension u.

4. Résoudre cette équation pour trouver l’expression de u.

5. Tracer la courbe u(t).

K

R2

E C

(L,r)

R1 i(t)

v(t) x(t)

C

R

R

E u(t)C

K

K

R

C1

L

u(t) C

i(t)

Supplément EXERCICES – EC3 – Régime Transitoire – 2/2

Autres Régimes Exercice 14 : Entretien des oscillations d’un RLC

Un circuit RLC classique est branché sur un dipôle AM appelé « résistance négative » et entouré en pointillés sur le schéma. Ce dipôle est conçu à partir de trois résistors et d’un AO, schématisé par un rectangle. On suppose l’AO idéal, donc i+=i-=0, et on voit qu’il fonctionne en mode linéaire (rétroaction négative), donc les tensions de ces entrées sont égales e+ = e-. 1. Montrer que la tension u=uAM a pour expression uAM=-R0.i.

Le dipôle AM est-il récepteur ou générateur ? Justifier.

2. Etablir l’équation différentielle en q du circuit RLC branché sur le dipôle AM. Quelle valeur doit-on donner à R0 pour obtenir des oscillations sinusoïdales ? Préciser alors le rôle du dispositif à résistance négative.

Exercice 15 : Régime transitoire d’un circuit RC soumis à une tension créneau

On considère un circuit RC soumis à une tension créneau e(t) périodique telle que : e(t) = E pour

≤ ≤ +2TnT t nT et e(t) = 0

pour ( )+ ≤ ≤ +12TnT t n T .

Données : E = 1V, R = 1kΩ, C = 1μF et T = 2ms

A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K. Le condensateur est initialement déchargé. On étudie le régime transitoire.

1. Calculer la constante de temps τ du circuit RC

2. Exprimer la tension u(t) de la tension aux bornes du condensateur en fonction des seuls paramètres t et τ pour 0 2t T< ≤ .

3. Exprimer la tension U11 à la date t = T/2 en fonction de E

et de τα −= 2

Te . Calculer U11.

4. On pose t’ = t-T/2. Exprimer la tension u(t’) en fonction des seuls paramètres t’ et τ pour 0 2t T′< ≤

5. Calculer U12 à la date t’ = T/2.

6. On pose t’’ = t-T. Exprimer la tension u(t’’) en fonction des seuls paramètres t’’ et τ pour 0 2t T′′< ≤

7. Calculer la tension U21 à la date t’’ = T/2.

8. On pose t’’’ = t-3T/2. Exprimer la tension u(t’’’) en fonction des seuls paramètres t’’’ et τ pour 0 2t T′′′< ≤

9. Calculer la tension U22 à la date t’’’ = T/2.

10. Tracer dans le même système d’axes les tensions u et e sur les deux premières périodes.

Exercice 16 : Circuit RC en régime périodique forcé

On considère le même circuit RC qu’à l’exercice précédent, soumis à la même tension e(t), mais on l’étudie cette fois en régime permanent forcé.

Le motif décrit par la tension u(t) se répète à l’identique sur deux périodes consécutives.

Données : E = 1V, R = 1kΩ, C = 1μF et T = 2ms

1. On choisit le début d’une période quelconque comme origine des dates. On note Um = u(t=0+). Exprimer la tension u(t) aux bornes de C en fonction du temps t, et des paramètres E, Um et de la constante de temps τ du circuit RC pour 0 2t T< ≤ .

2. Exprimer la tension UM à la date t = T/2. En déduire une

première relation entre UM, Um, E et τα −= 2

Te .

3. Exprimer la tension u(t) pour 2T t T≤ ≤ en fonction

de E, UM et τ.

4. Exprimer une seconde relation entre Um et UM. En déduire les expressions de Um et de UM en fonction de E et de α.

5. Quelle est la moyenne de la tension u(t) ? Montrer que ces deux tensions sont symétriques par rapport à la tension E/2.

6. Calculer Um et UM, et tracer l’évolution de la tension u(t) sur une période.

u(t)

i(t)

L

C

R

q

-+

i-

i+

R0

M

R3

AO

R1

B

A

S

Avec R3 = R1

e(t)

t

+2

TnTnT ( )+1n T

0

E

e(t)

t

+2

TnTnT ( )+1n T

0

E

Supplément EXERCICES – EC3

Exercice 1 : Conventions

a) 1 2Cu q q= = − , et ( ) 1 2dq dq dui t Cdt dt dt

= = − =

b) 1 2Cu q q= = − , et ( ) 1 2dq dq dui t Cdt dt dt

= − = + = −

c) 1 2Cu q q= − = , et ( ) 1 2dq dq dui t Cdt dt dt

= − = + = +

d) 1 2Cu q q= − = , et ( ) 1 2dq dq dui t Cdt dt dt

= = − = −

e) ( ) ( )di tu t L

dt= f) ( ) ( )di t

u t Ldt

= −

Exercice 2 : Unicité d’une équation différentielle

Dans tous les cas on va retrouver la même équation : les signes changent dans les équations séparées, mais se compensent les uns les autres lorsqu l’on regroupe tout…

a) Cu q= − , dq dui Cdt dt

= = − , et 2

2

q di d qu L LC dt dt−

= = + =

b) Cu q= , dq dui Cdt dt

= = , et 2

2

q di d qu L LC dt dt

= = − = −

c) Cu q= − , dq dui Cdt dt−

= = , et 2

2

q di d qu L LC dt dt−

= = − =

d) Cu q= , dq dui Cdt dt−

= =− , et 2

2

q di d qu L LC dt dt

= = = −

Exercice 3 : Circuit RC – Cas Général Pour t > t0 : ,du duRC u E u E RC

dt dtτ τ+ = ⇒ + = = .

Résolution : ( )

( )0

2

0 2 1

,

:

t

Ct

C

u t e E

CI u t e E E

τ

τ

λ λ

λ

−

−

⎧ = + ∈⎪⎨⎪ = + =⎩

(continuité de la tension aux bornes du condensateur)

Donc : ( ) ( )( ) ( )0 0

1 2 2 1 1t t t t

Cu t E E e E E E eτ τδ− − − −⎛ ⎞

= − + = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Evolution pour t > t0 de ( ) ( ) ( )0t tdu t Ei t C edt R

τδ − −

= = ⋅

Exercice 4 : Fonctionnement d’une minuterie 1. Equa diff : ,du duRC u E u E RC

dt dtτ τ+ = ⇒ + = =

2. Régime permanent : u E→

3. Résolution … ( ) ( )1t

Cu t E e τ−= −

4. Tracé habituel… E = valeur finale (asymptote horizontale), et au bout de t = τ, la tangente à l’origine croise l’asymptote, et la tension uC atteint 63% de la valeur finale E.

5. Pour R = 100kΩ et C = 200μF, on a τ = 20s.

6. Expression littérale de 0

lim

ln EtE U

τ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

7. Calcul, t0 = 22s On est proche de τ = 63% de la valeur finale

8. Ulim = 20V t0 voisin de τ Plus précis car la pente de la

courbe est plus franche. Si on se plaçait beaucoup plus loin, les variations seraient très faible et la lampe pourrait s’allumer ou s’éteindre pour n’importe quelle perturbation…

9. Pour modifier la durée d’allumage, il faut modifier τ, le plus simple étant de placer une résistance variable (potentiomètre), qui ne coûte pas cher du tout.

Exercice 5 : Résistance de fuite d’un condensateur

On définit les courants dans les différentes branches : i dans C, i1 dans R1 et i2 dans R2, tous orientés vers le bas… On a donc : (loi des nœuds et lois des mailles)

( )1 2 1 2

1 11 1

2 2 2

i i i E u R i iu R i E du uE u R C RR i u dt R

= + ⎧⎧ = + +⎪ ⎪+ = ⇒⎨ ⎨ = + +⎪ ⎪=⎩ ⎩

Sous forme canonique : 2 1 2

2 1 2 1

R E R R C duuR R R R dt

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

On pose ( )1 21 2

2 1

/ /R R C R R CR R

τ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

Résolution : ( ) ( )2

2 1

1tR Eu t e

R Rτ

−= −

+

Et ( ) ( ) 2

2 1 1

1 t tdu t CR E Ei t C e edt R R R

τ τ

τ− −

= = ⋅ =+

Rmq : On reconnaît un diviseur de tension pour la tension finale, lorsque plus aucun courant ne circule…

Exercice 6 : Association L // R

Même démarche qu’à l’exercice précédent (C avec R de fuite), on définit les courants, on écrit les lois de Kirchhoff (on suppose qu’on est dans l’ARQS), et on trouve l’équa diff : ( )2 1

1 2 1

L R R di EiR R dt R

++ = ( )2 1

1 2 1 2/ /L R R L

R R R Rτ

+⇒ = =

Et ( ) ( )1

1tEi t e

Rτ

−= −

Exercice 7 : Diode à diode dite de « Roue Libre » 1. Pt de fctt : uD = -E <0, donc i = 0 diode bloquante

2. Courant Circuit RL… ( ) ( )1 , 0.15tE Li t e ms

R Rτ τ

−= − = =

3. Diode bloquante interrupteur ouvert en permanent UP=0, IP=E/R=120mA

4. Energie emmagasinée Stockée 21 0.112L PW LI mJ= =

5. Régime permanent atteint au bout de 5τ… 6. K ouvert Plus de géné Le courant dans la bobine est

continu et reste dans le sens de la flèche, qui correspond au sens passant de la diode Tension nulle aux bornes de D.

7. Régime libre : Résolution … ( )( )t

Pi t I eθτ

− −

=

8. Energie stockée dans L Dissipé par effet Joule dans R 9. Courbe classique (voir TD RL)

10. Sans diode, le courant devrait s’annuler instantanément, ce qui est impossible Etincelle, (arc électrique), l’interrupteur ne peut plus être considéré comme idéal car il laisserait passer cet arc… Attention, très dangereux pour les composants électriques

SOLUTIONS des EXERCICES – EC3 – Régime Transitoire – 1/2

Exercice 8 : Circuit LC 1. u(0+) = i(0+) = 0 car la tension est continue dans C, et

l’intensité est continue dans L.

2. Pulsation 3 10

1 2.10 .rad sLC

ω −= = ,

Période 30

0 0

1 2 2 3,1.10T LC sf

π πω

−= = = = .

3. Equa diff : 2 2

2 20 02 2

d u u E d u u ELC LCdt dt

ω ω+ = ⇒ + =

4. Résolution … ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

0 0

0

cos sin

1: 0 0

2 : 0 0 0

u t A t B t ECI u A ECI u i C B

ω ω

ω

⎧ = + +⎪

= = +⎨⎪ = = =⎩

Donc ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

0

0 0

1 cos

sin

u t E t

du ti t C CE t

dt

ω

ω ω

⎧ = −⎪⎨

= =⎪⎩

5. Evolution de la tension : un cosinus non amorti, qui part de 0, et qui oscille entre 0 et E (sa valeur max) à l’infini !!!

6. Il n’y a pas d’amortissement Pas de régime permanent. Ce n’est bien entendu pas réaliste.

Exercice 9 : Résistance Critique

1. Dimension : On a u Td iu L L

d t Id u I Ti C Cd t u

⎧ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦= ⇒ =⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎪⎨ ⋅⎪ = ⇒ =⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎩

Ainsi : 2CR =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦L u T u uC I I T I

⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⋅ = = Ω⎡ ⎤⎣ ⎦⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

2. Résistance critique : 0 2C

LR R K rC

= + + =

Donc 02 664LR K r

C= − − = Ω

3. Noyau de fer dans la bobine L augmente et donc RC aussi. La résistance du montage est alors inférieure à la résistance critique, il y a moins d’amortissement, et les oscillations réapparaissent. On retrouve l régime pseudo-périodique.

Exercice 10 : Conditions aux limites

1. Justifications : On fait les schémas équivalents juste avant ouverture et juste après ouverture de l’interrupteur

Aussi: i continue dans L, v continu dans C.

i(t) v(t) x(t) t = 0-

2

ER r+

0 0

t = 0+

2

ER r+

0 ( ) 11

2

0R ER i

R r+ =

+

t →+∞ 0 E E

2. Equa diff vérifiée par v(t) après fermeture de l’interrupteur : ( ) ( )2

2 12

R R r dv td v v EL dt LC LCdt

+ ++ ⋅ + =

Pour i(t). ( ) ( )dv ti t C

dt= ⋅ , on obtient :

( ) ( )22 1

2 0R R r dv td i v

L dt LCdt+ +

+ ⋅ + =

Solutions en régime permanent = Solution part de l’équa diff. Exercice 11 : Résolution en régime pseudo-périodique

1. Equation : ( ) ( ) ( )2

2 2d v t dv t

E LC RC v tdtdt

= + +

R = 0Ω Circuit LC, ( ) ( )2

2

d v tE LC v t

dt= +

Forme canonique ( ) ( )2

2 20 02

d v tv t E

dtω ω+ = avec

01LC

ω =

Résolution … ( ) ( )( ) ( )0 00 2

1 cos sinEu t E t tR C

ω ωω

= − +

2. Régime critique : σ=1, C

LRC

=

3. Simplification : R= RC/2 0.52CR C

Lσ = = et :

( ) ( ) ( )2

2 20 0 02

d v t dv tv t E

dtdtω ω ω+ + =

4. Résolution … ( )0

202 cos 3 4

3

tv t e E t E

ω πω− ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

5. Allure de la courbe :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18Trace de la tension u(t)

Temps en secondes (s)

Tens

ion en

Volts (V

)

6. A t = 0, Dans le bobine :2

22

2

12 2L

LEW LIR

= =

Dans le condensateur : 0CW = (pas de tension)

A t = +∞ Dans le bobine : 0LW = (plus de courant)

Dans le condensateur : 2 21 12 2CW CU CE= =

Exercice 12 : Décharge d’un C dans un circuit RLC

a) Equa diff : 2

21

1 1 1 0d i R di iL dt L C Cdt

⎛ ⎞+ ⋅ + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2nd ordre avec 0

01

2 2

1 1 1 1

eq

eq

CR RL L

L C C LC

σω

ω

⎧⎪ = =⎪⎨

⎛ ⎞⎪ = + =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

avec 1

1 1 1

eqC C C⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Régime critique : 12

eqCRL

σ = = , donc 2

1

1 1 14eq

RC L C C

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ce qui donne 1 2

4 334

LCC nFR C L

= =−

c) Résolution … . ( ) 00 tui t t eL

ω−−= ⋅ (Tracé habituel critique…)

Exercice 13 : Circuit RC série-parallèle 1. τ=RC=0.1s 2. Initialement, u = v = 0 (car tension continue aux bornes

de C, et les C sont initialement déchargés), et uR = E. Ainsi, i = E/R, et puisque iR = u/R = 0, iC = i. En régime permanent, Toutes les tensions et courants sont nuls, sauf v = E (faire un schéma…).

3. Mailles et noeuds : R

C R

u v u E u v Ridv du ui i i C Cdt dt R

+ + = = + +⎧⎪⎨

= + = = +⎪⎩

Donc en injectant : 2 d uE u v R Cd t

d v d uR C R C ud t d t

⎧ = + +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩

On dérive : 2

2

22

2

2

2

dv du d udt dt dt

dv du d u du udt dt dtdt

τ

τ τ τ τ

⎧= − −⎪⎪

⎨⎪ = − − = +⎪⎩

Donc : 2

2 2

3 0d u du udtdt τ τ

+ + =

4. Eq du 2nd ordre : 0 13 2

ω τσ

=⎧⎨ =⎩

Régime apériodique

( ) 1 21 2 1 2, ,r t r tu t Ae A e A A⇒ = + ∈

Eq caractéristique : 2

2

2 2 2

3 1 0

9 4 5

X Xτ τ

τ τ τ

⎧ + + =⎪⎪⎨⎪Δ = − =⎪⎩

1/23 52

rτ

− ±⇒ =

CI : ( )

( ) ( )1 2

1 2

1 1 2 2

0

050 C

u A AEA Ai Eu A r A r

C τ

⎧ = +⎪ ⇒ = − =⎨

= = = +⎪⎩

Donc : ( )3 5 3 52 2

5

t tEu t e eτ τ− + − −⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

5. Tracé de courbe apériodique (voir courbes du cours…), sans oscillations, u croit rapidement, puis chute lentement (exponentiellement)

Exercice 14 : Entretien des oscillations d’un RLC 1. Arguments : i- = 0, donc iR1 = i

e+=e-, donc uAS=uBS et iR3=iR1 = i i+ = 0, donc iR0 = i (vers le haut)

Ainsi, uBM = -R0.i = uAM u.i = -R0.i2 < 0 en convention récepteur, donc le dipôle est générateur.

2. Avec la loi des mailles : ( )20

2 0R Rd q dq q

dt L LCdt−

+ + =

Les oscillations sont sinusoïdales si pas d’amortissement, donc si le terme en dérivée première dq/dt s’annule. Il faut R = R0. Dans ce cas, le dispositif à résistance négative a pour rôle de compenser les pertes par effet Joule dans R

Exercice 15 : Transitoire RC soumis à un créneau 1. Constante de temps τ = RC = 1ms. 2. Circuit RC soumis à E, CI u(0)=0… ( ) ( )1

tu t E e τ

−= −

3. A t = T/2 : ( ) ( )11 2 1 0.63U u T E Vα= = − =

4. Régime libre avec CI différente : ( ) 11

tu t U e τ

′−=

5. A t’ = T/2 : ( ) ( )12 112 1 0.23U u t T U E Vα α α′= = = = − =

6. Idem 2) avec CI différente : ( ) ( )12

tu t E U E e τ

−′′ = + −

7. A t’’ = T/2 : ( ) ( )21 122 0.72U u t T E U E Vα′′= = = + − =

8. Idem 4) avec CI différente ( ) 21

tu t U e τ

′′′−=

9. A t’’’ = T/2 : ( )22 212 0.26U u t T U Vα′′′= = = =

10. Tracé :

Exercice 16 : Circuit RC en régime périodique forcé

1. Pour 0 2t T≤ ≤ , on a ( ) ( )C Cu t u t Eτ ⋅ + =

Argument essentiel : Continuité de la tension dans le C

( ) ( ) τ−

⇒ = − −t

C mu t E E U e

2. En t = T/2 : ( ) τ−

= − − 2T

M mU E E U e

donc ( )α α= − +1M mU E U avec τα −= 2

Te

3. Pour 2T t T≤ ≤ , on a ( ) ( )τ ⋅ + = 0C Cu t u t


( ) τ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ = ⋅2

Tt

C Mu t U e

4. En t = T : τ α−

= ⋅ =2T

m M MU U e U

On a ( ) ( ) ( )

( )

αα ααα

α

⎧ =⎪⎧ +− = −⎪ ⎪⇒⎨ ⎨=⎪ ⎪⎩ =

⎪ +⎩

2 11 1

1

MM

m Mm

EUU E

EU U U

5. Moyenne : ( )( )

αα

+ += = =

+2 2 1 2M mU U E E Eu t

Et aussi ( )( )( )

( )( )( )

αα α

ααα α

⎧ − −− = − =⎪

+ +⎪⎨

− ⎛ ⎞⎪ − = − = = − −⎜ ⎟⎪ + + ⎝ ⎠⎩

12 2 1 2 1

12 2 1 2 1 2

M

m M

EE E EU

EE E E EU U

On est bien symétrique par rapport à E/2

6. Application numérique : UM=0,73V, Um=0,27V

Puisque τ <T , le condensateur n’a pas le temps de se charger et de se décharger complètement

Il se place au milieu (ex du hacheur en Terminale…)

R RE u(t)C

K v

iR iC

i

uR

t0 T/2 T

e(t)

uc(t)

2E

2T

t t0 t0+T/2 t0+T

Um

UM

e(t)

uc(t)

2E

SOLUTIONS des EXERCICES – EC3 – Régime Transitoire – 2/2

Exercice 1 : Régime Permanents

⎧ =⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎩

1

2 0P

P

P

EI RIU E

,

⎧ = +⎪ ′ +⎪⎪ =⎨ ′ +⎪⎪ =⎪ ′ +⎩

1

2

P

P

P

E EIR R r

EIR r

rU ER r

⎧ =⎪ ′+ +⎪⎪ =⎨ ′+ +⎪⎪ =⎪ ′+ +⎩

1

1

2

P

P

P

EIR R r

rU ER R r

RU ER R r

Exercice 2.1 : Régime libre Circuit RC 1. Armature inférieure : qinf = -qsup = -Q0 = -10μC 2. Tension aux bornes du condensateur U0=Q0/C = 10V

3. Energie stockée : μ= =21 502CW CU J

4. Tension continue aux bornes d’un C u(t=0+)=U0=10V. On

applique la loi d’Ohm : ( ) ( )++=

= = = =00

0 1u t Ui t mA

R R.

5. Régime permanent : UP=0 et IP=0

6. Eq diff : τ+ = ⇒ + =0 0du duRC u udt dt

7. Constante de temps τ : τ = =10RC ms

8. Résolution : ( ) τ−= 0

tu t U e et ( ) τ−

= = ⋅0tUui t e

R R

9. Courbes habituelles… (voir TP circuit RC) 10. u(θ) = 1% de U0 pour θ = 5τ utilité de τ : avoir un résultat

transposable à n’importe quel problème, quelles que soient les valeurs de R et de C… on calcule τ

Exercice 2.2 : Courant dans un circuit RL (voir DM) 1. Schémas équivalents : voir corrigé DM

2. Pour 00,t t∈⎡ ⎤⎣ ⎦ , ( ) ( )τ= +21 2

di tE i tr dt

, avec 1

Lr

τ = .

( ) ( )( )12 1

tEi t er

τ−

= −

3. Pour 0t t≥ : ( ) ( )τ= +22 20di t i t

dt avec

2L

r Rτ =

+

( )( )0

22

t tEi t er

τ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠=

4. Tension : ( ) ( ) ( )= +22L

di tu t L ri tdt

( )( ) ( )

τ τ

τ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 0

2 2

2

t t t t

LLE ERu t E e er r

Si R>r, on pourra avoir une tension supérieure à E, et même de beaucoup si R>>r, ce qui est fréquent. Ca peut être gênant car peut apparaître alors une tension à laquelle on ne s’attend pas, qui pourrait éventuellement griller les circuits.

Exercice 2.3 : Décharge d’un C dans un autre 1. Evolution des charges : Pour t<0 Quand K se ferme, les charges vont se répartir

2. Continuité des tensions dans les C: u(t=0+)=U0, et u’(t=0+)=0

Pour i, loi d’Ohm : ( ) ( )+ +′−= = = = 00 0

Uu ui t tR R

3. Eq diff : ′ ′− − = ⇔ + − =0 0duu u Ri u RC udt

Attention au sens de i : ′= − = +

du dui C Cdt dt

Et on voit que les armatures sont isolées deux à deux, donc on

peut éliminer u’ : ′+ = = ⇒ + = =00 0A B

Qq q cstte Q u u UC

Ainsi : ′+ − = ⇔ + = 002 2

Udu RC duu RC u udt dt

Attention : constante de temps τ/2

4. Résolution : ( ) ( )τ−= +

20 1

2tUu t e et ( ) ( )τ−′ = −

20 1

2tUu t e

Tracé :

5. Bilan énergétique : = +

⎛ ⎞⇒ = × + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

22 20

0 01 1 122 2 2 4

initial final pertes

R R

W W W

UCU C W CU W

Donc on a perdu dans la R : = 20

14RW CU

Exercice 3 : Circuit LC

1. Equation : = = ⇒ − =2 2

2 2

1 0di d u d uu L LC udt LCdt dt

2. ω⇒ − =2

202 0d u u

dt avec ω =0

1LC

et σ=0 Pas d’amortissement

3. u continue dans C u(0+) = U0 = 20V et i continue dans L i(0+) = 0

4. Résolution : ( )( ) ( ) ( )ω ω

⎧ =⎪⎨

= + ∈⎪⎩ 0 0

0

cos sin , ,

PARTu tu t A t B t A B

CI : ( )

( ) ( )ω

⎧ = =⎪⎨

= = =⎪⎩

0

0

0

00 0

u U Aidu B

dt C

donc ( ) ( )( ) ( )

ω

ω ω

⎧ =⎪⎨

=−⎪⎩

0 0

0 0 0

cos

sin

u t U ti t CU t

5. Evolution : 2 sinusoïdes déphasées de Pi/2 (non amorties)

6. Energie totale : ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ω ω

= + = +

= + =

2 2

2 2 2 22 20 0 0

0 02

1 12 2

cos sin2 22

C LW t W W Cu t Li t

CU LC U CUW t t tLC

Enérgie constante : pas de perte d’énergie (pas de R)

Exercice 4.1 : Circuit RLC parallèle 1. Continuité de la tension dans le C : u(0+) = u(0-) = Q0/C=U0=20V

Continuité du courant dans L : iL(0+) = i(0-) = 0 Loi d’Ohm dans R : iR(0+) = U0/R = 20mA = i(0+)

2. Régime permanent : Tout est égal à 0 (pas de sources…) 3. Loi des Nœuds :

SOLUTIONS du TD – EC3 – Régime Transitoire – 1/1

u(t)

qA=Q0

R

i(t) =0

-Q0

qB=0 0

Aq

i(t) >0

− Aq

u(t)

Bq − Bq

U0/2U0

t

u(t)

u’(t) 0

= + = − ⇔ + + =

⇔ + + =

2

2

2

2

1 0

1 1 0

L Rdu d u u dui i i C Cdt L R dtdt

d u du uRC dt LCdt

D’où : ω −= = 10

1 3162 .rad sLC

et σω

= = =0

1 1 0.162 2

LRC R C

Nature du régime: pseudo-périodique

4. Résolution : la même que dans le TP et dans les exos techniques… tracé également, d’où une fois de plus l’utilité de définir des grandeurs générales ω0 et σ

5. Par contre si on augmente R, l’effet est inverse par rapport au RLC série, puisque cela aura pour effet ici de diminuer l’amortissement, moins de courant va passer dans la branche de R et les oscillations vont donc durer plus longtemps.

6. Fin du régime transitoire : il faut étudier pour cela l’enveloppe

exponentielle de la solution : ( ) 0Re tr t te e eσω τ−−= = avec

τσω

= ≈0

1 2ms la constante de temps de cette enveloppe. On

pourra donc considérer que le régime transitoire est terminé au bout de 3τ = 6ms.

Exercice 4.2 : Circuit RLC série

1. L’équation devient + + =2

2

1 0d u R du uL dt LCdt

(voir TP),

2. Donc ω =01LC

est le même, par contre σω

= =02 2

R R CL L

est bien différent. Ainsi, le fait d’augmenter R ici augmente le coefficient d’amortissement et diminue le nombre d’oscillation, car tout le courant est obligé de passer R…

Exercice 5 : Régime permanent périodique

1. Pour ≤ ≤02

Tt , on a ( ) ( )C Cu t u t Eτ ⋅ + =


( ) ( ) τ−

⇒ = − −t

C mu t E E U e

2. En t = T/2 : ( ) τ−

= − − 2T

M mU E E U e

donc ( )α α= − +1M mU E U avec τα −= 2

Te

3. Pour ≤ ≤2T t T , on a ( ) ( )τ ⋅ + = 0C Cu t u t


( ) τ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ = ⋅2Tt

C Mu t U e

4. En t = T : τ α−

= ⋅ =2T

m M MU U e U

On a ( ) ( ) ( )

( )

αα αααα

⎧ =⎪⎧ +− = −⎪ ⎪⇒⎨ ⎨=⎪ ⎪⎩ =

⎪ +⎩

2 11 1

1

MM

m Mm

EUU E

EU U U

5. Moyenne : ( )( )

αα

+ += = =

+2 2 1 2M mU U E E Eu t

Et aussi ( )( )( )

( )( )( )

αα α

ααα α

⎧ − −− = − =⎪

+ +⎪⎨

− ⎛ ⎞⎪ − = − = = − −⎜ ⎟⎪ + + ⎝ ⎠⎩

12 2 1 2 1

12 2 1 2 1 2

M

m M

EE E EU

EE E E EU U

On est bien symétrique par rapport à E/2

6. Application numérique : UM=0,73V, Um=0,27V

Puisque τ <T , le condensateur n’a pas le temps de se charger et de se décharger complètement

Il se place au milieu (ex du hacheur en Terminale…)

t t0 t0+T/2 t0+T

Um

UM

e(t)

uc(t)

2E

Cadre de la Cadre de la Cadre de la Cadre de la Méthode ComplexeMéthode ComplexeMéthode ComplexeMéthode Complexe

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : : : : Circuit RC en Sinus ForcéCircuit RC en Sinus ForcéCircuit RC en Sinus ForcéCircuit RC en Sinus Forcé

Soit le circuit RC série suivant :

1. 1. 1. 1. Etude temporelle en Etude temporelle en Etude temporelle en Etude temporelle en régime régime régime régime continucontinucontinucontinu ::::

On soumet le circuit à une source de tension E constante

1.1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par uC(t)

1.2. Résoudre l’équation dans le cas où uC(0+) = 0 et e(t) = E

1.3. A quoi correspond la solution SSM de l’équation ?

1.4. A quoi correspond la solution PART de l’équation ?

1.5. Faire de même pour uC(0+) = E et e(t) = 0. Commenter.

2. 2. 2. 2. Etude temEtude temEtude temEtude temporelle en sinus forcéporelle en sinus forcéporelle en sinus forcéporelle en sinus forcé

L’équation vérifiée par uC(t) est inchangée, mais c’est l’excitation e(t) qui est maintenant sinusoïdale e(t) = Ecos(ωt)

2.1. Est-il simple de résoudre directement l’équation ? Essayez de la résoudre…

2.2. On utilise pour simplifier la méthode complexe. Préciser

dans quel contexte on peut utiliser cette méthode.

2.3. Première méthode pour obtenir l’équation complexe vérifiée par uC(t) : Rappeler l’équation différentielle

temporelle vérifiée par uC(t), puis passer cette équation

en complexe.

2.4. Seconde méthode pour obtenir l’équation complexe : Trouver directement l’équation à partir des impédances

complexes des R, L et C.

2.5. Résoudre cette équation complexe. A quoi correspond

cette solution ?

2.6. Redonner la solution temporelle (expression de uC(t)) correspondant à cette solution complexe.

2.7. Y-a-t-il encore un régime transitoire ? Et un régime permanent ?

2.8. Est-il en général utile de connaître le régime transitoire ?

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 : Circuit RL en Sinus Forcé: Circuit RL en Sinus Forcé: Circuit RL en Sinus Forcé: Circuit RL en Sinus Forcé

On fait exactement le même travail avec un circuit RL série :

1. Etude temporelle en 1. Etude temporelle en 1. Etude temporelle en 1. Etude temporelle en régime continurégime continurégime continurégime continu ::::


1.1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par i(t)

1.2. Résoudre l’équation dans le cas où i(0+) = 0 et e(t) = E

1.3. A quoi correspond la solution SSM de l’équation ?

1.4. A quoi correspond la solution PART de l’équation ?

1.5. Faire de même pour i(0+) = E/R et e(t) = 0. Commenter.

2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé


2.1. Est-il simple de résoudre directement l’équation ? Essayez de la résoudre…

2.2. On utilise pour simplifier la méthode complexe. Préciser

dans quel contexte on peut utiliser cette méthode.

2.3. Première méthode pour obtenir l’équation complexe vérifiée par uC(t) : Rappeler l’équation différentielle

temporelle vérifiée par uC(t), puis passer cette équation

en complexe.

2.4. Seconde méthode pour obtenir l’équation complexe : Trouver directement l’équation à partir des impédances

complexes des R, L et C.

2.5. Résoudre cette équation complexe. A quoi correspond cette solution ?


2.7. Y-a-t-il encore un régime transitoire ? Et un régime permanent ?

2.8. Est-il en général utile de connaître le régime transitoire ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : Circuit RLC en Sinus Forcé: Circuit RLC en Sinus Forcé: Circuit RLC en Sinus Forcé: Circuit RLC en Sinus Forcé

On fait exactement le même travail avec un circuit RLC série :

1. Etude temporelle en 1. Etude temporelle en 1. Etude temporelle en 1. Etude temporelle en régime continurégime continurégime continurégime continu ::::


1.1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par uC(t)

1.2. Résoudre l’équation dans le cas où uC(0+) = 0 et e(t) = E, à quoi correspondent les solutions SSM et PART ?

1.3. Faire de même pour uC(0+) = E et e(t) = 0. Commenter.

2. Etude temporelle e2. Etude temporelle e2. Etude temporelle e2. Etude temporelle en sinus forcén sinus forcén sinus forcén sinus forcé


2.1. Pourquoi et dans quel contexte peut-on utiliser la

méthode complexe ?

2.2. Etablir l’équation complexe vérifiée par uC(t) par les deux méthodes déjà vues, la résoudre et dire exactement

à quoi correspond cette solution.


2.4. Y-a-t-il encore un régime transitoire ? Et un régime permanent ? Commenter.

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 –––– Régim Régim Régim Régime Sinusoïdal Forcé e Sinusoïdal Forcé e Sinusoïdal Forcé e Sinusoïdal Forcé –––– Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3

R

C

e(t)

i(t)

uC(t)

R

L

e(t)

i(t)

R

C

e(t) i(t)

uC(t)

L

CaCaCaCalcullcullcullcul d d d d’impédance’impédance’impédance’impédance

Exercice 4Exercice 4Exercice 4Exercice 4 : Impédance caractéristique: Impédance caractéristique: Impédance caractéristique: Impédance caractéristique

Calculer les impédances complexes équivalentes aux dipôles

proposés ci-dessous :

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : Impédance caractéristiq: Impédance caractéristiq: Impédance caractéristiq: Impédance caractéristiqueueueue

Soit ZAB l’impédance du dipôle AB représenté

1. Déterminer l’expression de l’impédance Z telle que ZAB = Z.

2. Pour quelles valeurs de la pulsation ω cette impédance est-

elle modélisable par un résistor ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 6666 : : : : Dipôles RCDipôles RCDipôles RCDipôles RC équivalents équivalents équivalents équivalents

Les dipôles AB et A’B’ représentés sont placés dans un circuit

en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω.

Exprimer R’ et C’ en fonction de R, C et ω pour que les deux

dipôles soient équivalents.

Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 : Dipôles RL équivalents: Dipôles RL équivalents: Dipôles RL équivalents: Dipôles RL équivalents

Les dipôles AB et A’B’ représentés sont placés dans un circuit

en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω.

Exprimer R’ et L’ en fonction de R, L et ω pour que les deux dipôles soient équivalents.

Calcul de tensions et de courantsCalcul de tensions et de courantsCalcul de tensions et de courantsCalcul de tensions et de courants

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : : : : CircuCircuCircuCircuit RLC sérieit RLC sérieit RLC sérieit RLC série

Le circuit suivant est alimenté par un générateur de

fréquence f = 50Hz et d’amplitude E = 311V. La phase à l’origine

de la tension e(t) délivrée par le générateur est prise égale à zéro.

Données : R = 40Ω, L = 0,2H, C = 5μF.

1. Exprimer l’amplitude complexe I du courant i(t). En déduire

l’amplitude I et la phase à l’origine φi de l’intensité i(t).

2. Exprimer les amplitudes complexes UR, UL et UC des tensions aux bornes de chacun des dipôles. En déduire les

amplitudes et les phases à l’origine de ces tensions.

3. Calculer la valeur du facteur de qualité 1 LQ

R C= et

commenter cette valeur.

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : Intensité dans une association de dipôles: Intensité dans une association de dipôles: Intensité dans une association de dipôles: Intensité dans une association de dipôles

On applique une tension e(t)

sinusoïdale de fréquence f = 50Hz,

d’amplitude E = 100V et de phase à l’origine nulle à l’association

parallèle d’un condensateur de

capacité C = 20μF et d’une bobine

réelle d’inductance L = 0,3H et de résistance interne r = 10Ω.

1. Exprimer puis calculer le module Z de l’impédance complexe du dipôle constitué par l’association du

condensateur et de la bobine.

2. En déduire la valeur de l’amplitude I de l’intensité i(t).

3. Exprimer les amplitudes complexes I1 et I2 des intensitées i1(t) et i2(t).

4. Représenter I1 et I2 dans le plan complexe et retrouver graphiquement la valeur de l’amplitude I.

Exercice 10Exercice 10Exercice 10Exercice 10 : Courant indépendant du dipôle: Courant indépendant du dipôle: Courant indépendant du dipôle: Courant indépendant du dipôle

On considère le circuit suivant :

1. Exprimer l’amplitude

complexe I de l’intensité i(t) du courant qui

parcourt le résistor.

2. A quelle condition l’intensité i(t) est-elle

indépendante de la valeur de R?

A’ B’

R’ C’ A B

R

C

A

B

ZZZZ C

L L

A B R

L

A’ B’

R’ L’

A B

R C

A B

R

A B R

C

A B R

L

L

A B

R C

L A B

R

C

L

R C L

e(t)

uC(t) uR(t) uL(t)

i(t)

C

e(t)

i(t)

i1(t) i2(t)

(L, r)

C

e(t) i(t)

L R

Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Ca: Ca: Ca: Callllculs d’intensitésculs d’intensitésculs d’intensitésculs d’intensités

Le circuit suivant est

alimenté par un générateur de

tension e(t) = Ecos(2πft), de fréquence f = 50Hz et

d’amplitude E = 311V. On a R =

600Ω, L = 0,3H, et C = 5μF.

1. Exprimer les amplitudes complexes I1 et I2 des intensités i2(t) et i2(t).

2. Représenter dans le plan complexe les amplitudes I1 et I2.

3. En déduire l’amplitude I de l’intensité i(t) et le déphasage φi

e de l’intensité i par rapport à la tension e

(graphiquement). Vérifier par le calcul complexe.

Exercice 12Exercice 12Exercice 12Exercice 12 : Ca: Ca: Ca: Callllculs d’intensitésculs d’intensitésculs d’intensitésculs d’intensités

On alimente un dipôle AD

par une source de tension

sinusoïdale d’amplitude E et de

pulsation ω.

Données : E = 155V, R = 100Ω, ω = 400rad.s-1, et C = 33μF.

1. Exprimer l’inductance L en fonction de R, C et ω pour que le dipôle AD soit équivalent à une résistance pure Req.

Calculer L ainsi que Req.

2. Exprimer puis calculer alors l’amplitude I de l’intensité i(t).

3. Exprimer puis calculer les amplitudes UAB et UBD des tensions uAB(t) et uBD(t).

4. Exprimer puis calculer les amplitudes I1 et I2 des intensités i2(t) et i2(t).

Exercice 13Exercice 13Exercice 13Exercice 13 : S: S: S: Sonde d’oscilloscopeonde d’oscilloscopeonde d’oscilloscopeonde d’oscilloscope

Lorsque les tensions à appliquer à l’entrée de

l’oscilloscope, on utilise une sonde

atténuatrice, dont le but est de

réduire l’amplitude d’un facteur k identique quelle que soit la

fréquence de la tension appliquée.

1. Etablir l’expression de l’amplitude Us de la tension us en fonction de Ue, R, C, R’ et C’.

2. Déterminer la relation entre R, C, R’ et C’ pour que la sonde remplisse les conditions requises. Exprimer le facteur

d’atténuation k.

Exercice 14Exercice 14Exercice 14Exercice 14 : Résonance en tension: Résonance en tension: Résonance en tension: Résonance en tension

On considère le circuit suivant, alimenté par une source de

tension sinusoïdale :

1. Exprimer l’amplitude complexe U de la tension u(t).

2. Montrer que pour une certaine valeur de pulsation ω0

à déterminer, l’amplitude de

la tension u(t) est maximale.

Calcul de Calcul de Calcul de Calcul de déphasagesdéphasagesdéphasagesdéphasages

Exercice Exercice Exercice Exercice 15151515 : C: C: C: Courant et tension en phaseourant et tension en phaseourant et tension en phaseourant et tension en phase


1. Exprimer l’admittance complexe Y de l’association

de dipôles alimentée par la source de tension ci-contre.

2. Montrer que, sous réserve de conditions à préciser, il existe une pulsation ω0 telle que l’intensité i(t) et la tension e(t)

délivrées par la source soient en phase.

Exercice 16Exercice 16Exercice 16Exercice 16 : Déphasage entre deux branches: Déphasage entre deux branches: Déphasage entre deux branches: Déphasage entre deux branches


1. Montrer que les intensités i1(t) et i2(t) des deux

branches sont en quadrature

de phase à condition que :

1 2 2Arg Z Arg Z

π− =

Où Z1 et Z2 sont les impédances des branches correspondanres

2. En utilisant le plan complexe, en déduire l’expression de C telle que cette condition soit réalisée.

Exercice 17Exercice 17Exercice 17Exercice 17 : Caractéristiques d’une bobine réelle: Caractéristiques d’une bobine réelle: Caractéristiques d’une bobine réelle: Caractéristiques d’une bobine réelle

Pour mesurer l’inductance L et la résistance interne r d’une bobine réelle, on l’insère en série avec un circuit RC, et on

alimente le tout par une source de tension sinusoïdale. A l’aide

d’un oscilloscope, on visualise l’écran représenté.

Données : R = 50Ω et C = 1μF

Réglages : voie X et Y : 1V/div, base de temps 0,1ms/div

1. Attribuer les voies X et Y aux deux courbes dessinées.

2. En utilisant le déphasage entre les deux voies, établir la

relation : 1

R r LC

ωω

+ = −

3. En utilisant les amplitudes, en déduire l’expression puis la valeur numérique de r.

4. Calculer L.

R

C

L

e(t) i(t)

i1(t)

i2(t)

R

C

L

e(t) i(t)

i1(t)

i2(t)

A B D

R

C

ue C’

R’

us

C

e(t) u(t)

L

R

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 –––– Régim Régim Régim Régime Sinusoïdal Forcé e Sinusoïdal Forcé e Sinusoïdal Forcé e Sinusoïdal Forcé –––– Feuille 2/3 Feuille 2/3 Feuille 2/3 Feuille 2/3

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 18888 : Mesure d’une inductance: Mesure d’une inductance: Mesure d’une inductance: Mesure d’une inductance

On réalise le montage

représenté et on constate sur

l’oscilloscope que pour une fréquence f0 = 180Hz, les

signaux recueillis sur les voies

X et Y sont en phase.

Données : R = 100Ω, C = 10μF.

En déduire l’expression puis la valeur de l’inductance L de l’inductance L de la bobine

Puissance en Régime Sinusoïdal ForcéPuissance en Régime Sinusoïdal ForcéPuissance en Régime Sinusoïdal ForcéPuissance en Régime Sinusoïdal Forcé

Exercice 19Exercice 19Exercice 19Exercice 19 : : : : Association de dipôlesAssociation de dipôlesAssociation de dipôlesAssociation de dipôles

On considère l’association de dipôles suivante, soumise à une

tension sinusoïdale u(t) et parcourue par une intensité i(t).

1. Exprimer l’impédance complexe Z de l’association.

2. En déduire la puissance moyenne P consommée par

l’association, en fonction de r, R, C et ω, et de l’intensité efficace Ie.

Exercice 20Exercice 20Exercice 20Exercice 20 : Puissance: Puissance: Puissance: Puissance équivalente dans 2 branches équivalente dans 2 branches équivalente dans 2 branches équivalente dans 2 branches

L’association paralèle des deux branches est soumise à une

tension sinusoïdale u(t);

1. Exprimer en fonction de la tension efficace Ue les puissances moyennes consommées par chacune des branches.

2. A quelle condition les deux branches consomment-elles la même puissance?

Exercice 21Exercice 21Exercice 21Exercice 21 : Circuit RLC parallèle: Circuit RLC parallèle: Circuit RLC parallèle: Circuit RLC parallèle

Le circuit suivant est alimenté par une source de

courant sinusoïdal i(t) d’intensité efficace Ie.

1. Exprimer l’impédance complexe Z de l’association R, L et C.

En déduire l’expression de la puissance moyenne P

consommée par le circuit.

2. Retrouver P en sommant les puissances consommées par chacun des dipôles.

Exercice 22Exercice 22Exercice 22Exercice 22 : Calcul d’intensité efficace: Calcul d’intensité efficace: Calcul d’intensité efficace: Calcul d’intensité efficace

Dans le circuit suivant, les composants

sont tels que R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, et 1/Cω =

4Ω. La puissance moyenne consommée par l’association est P = 500W.

1. Calculer numériquement l’impédance complexe Z de

l’association.

2. En déduire la valeur de l’intensité efficace Ie du courant i(t) qui traverse l’association.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 23333 : Etude énergétique d’un circuit: Etude énergétique d’un circuit: Etude énergétique d’un circuit: Etude énergétique d’un circuit

Le circuit suivant est alimenté par la tension du secteur de valeur efficace

Ue = 220V et de fréquence f = 50Hz.

1. Exprimer en fonction de R, L et f

la puissance moyenne P consommée par le circuit.

2. Pour quelle valeur de résistance Ropt la puissance reçue est-elle maximale? Sachant que Ropt = 12Ω, calculer L.

3. On fixe R = Ropt. Le facteur de puissance du circuit étant de plus égal à 1, exprimer puis calculer la capacité C.

Exercice 24Exercice 24Exercice 24Exercice 24 : Circuit RLC série alimenté par un: Circuit RLC série alimenté par un: Circuit RLC série alimenté par un: Circuit RLC série alimenté par un GBFGBFGBFGBF

Le circuit RLC série est alimenté par un GBF de résistance interne Rg,

qui délivre une tension à vide de valeur

efficace Ue.

1. Exprimer en fonction des données la puissance moyenne P

consommée par l’association RLC.

2. Pour quelle valeur de pulsation ωopt cette puissance est-elle maximale?

3. En prenant ω = ωopt, pour quelle valeur de R la puissance dissipée est-elle maximale?

Exo Exo Exo Exo 25252525 : : : : Etude d’un transfert de puissance électriqueEtude d’un transfert de puissance électriqueEtude d’un transfert de puissance électriqueEtude d’un transfert de puissance électrique

Un générateur de fém sinusoïdale de fréquence 50Hz, de pulsation ω,

maintient entre ses bornes une différence

de potentiel v1. Par une ligne de transport de l’électricité, d’impédance

totale Z = R + jX = Z0.exp(jα) (avec R =

50Ω et X = 87Ω), il alimente un appareil,

appelé la charge, d’impédance ZC.

La charge consomme, en fonctionnement normal la puissance moyenne PC = 400kW lorsqu’elle est alimentée sous

tension v2, de valeur efficace V2 = 22kV. On utilisera la notation

complexe et on choisira v2 comme origine des phases en posant

( ) ( )2 2 2 cosv t V tω= . Notons 2 j t ji I e ω ψ+= et

1 1 2 j t jv V e ω θ+= . En fonctionnement normal, on a 60ψ = − ° .

1. Déterminer α et Z0.

2. Calculer la valeur efficace I du courant i qui doit parcourir

la charge.

3. Déterminer les caractéristiques V1 et θ que doit fournir le

générateur

4. Déterminer la puissance PG fournie par le géné, la puissance

PC consommée par la charge, la puissance P1 perdue par la

ligne et le rendement η=PC/PG du transfert de puissance.

i(t) R

C

(L, r)

R

C L

C’

R

R C

L ~ i(t)

R2

C

i(t)

R1

R C

L

~

R

C

L

~

Rg

u(t)

GBF

v1 ~

i

CZ

v2

Z

Facteur de PuissanceFacteur de PuissanceFacteur de PuissanceFacteur de Puissance

Exercice Exercice Exercice Exercice 26262626 : : : : Puissance d’un moteurPuissance d’un moteurPuissance d’un moteurPuissance d’un moteur

Du point de vue électrique, un moteur peut être modélisé

par un dipôle RL série. Alimenté par une tension sinusoïdale u(t)

de fréquence f = 50Hz et de valeur efficace Ue = 220V, le moteur

consomme une puissance moyenne P = 1kW pour une intensité efficace Ie = 7A.

1. Calculer les valeurs de R et de L

2. Calculer le facteur de puissance cos φ du moteur

On ajoute un condensateur de capacité C en parallèle avec le

moteur.

3. Calculer C pour que le facteur de puissance de l’ensemble (moteur + condensateur) soit égal à 1.

4. Quel est l’intérêt de ramener le facteur de puissance à 1?

Exercice 27Exercice 27Exercice 27Exercice 27 : : : : Relèvement d’un factRelèvement d’un factRelèvement d’un factRelèvement d’un facteur de puissanceeur de puissanceeur de puissanceeur de puissance

Un moteur M est modélisé par une bobine réelle d’inductance L et de résistance r. Il est alimenté en courant

alternatif de fréquence f = 50Hz et de tension efficace Ue = 220V.

La puissance moyenne consommée par le moteur est P = 4,4kW

et son facteur de puissance est égal à 0,6.

1. Calculer l’intensité efficace Ie du courant qui circule dans le moteur.

2. Exprimer puis calculer r. En déduire L.

3. Justifier le fait que le facteur de puissance peut augmenter

gràace à l’ajout d’un

condensateur en parallèle avec

le moteur. Cet ajout engendre-t-il un surcoût de

consommation ?

On suppose que le facteur de puissance est relevé à la valeur 1.

4. Calculer la nouvelle valeur Ie’ de l’intensité efficace du courant qui alimente l’association. Quel est l’intérêt du

relèvement du facteur de puissance ?

5. Calculer la valeur de la capacité C du condensateur à ajouter.

Exercice 28Exercice 28Exercice 28Exercice 28 : Méthode des 3 ampèremètres: Méthode des 3 ampèremètres: Méthode des 3 ampèremètres: Méthode des 3 ampèremètres

Un abonné EDF branche sur le secteur une lampe, modélisée

par un conducteur ohmique de résistance R, et un moteur, modélisé par une bobine réelle d’inductance L et de résistance r.

Trois ampèremètres, placés tel qu’il est indiqué sur le schéma,

mesurent les intensités efficaces suivantes : Ie1 = 40A, Ie2 = 12A et

Ie3 = 30A.

1. En posant que la phase à l’origine de la tension du secteur est nulle, représenter approximativement dans le plan

complexe les amplitudes complexes I2 et I3.

2. En déduire géométriquement, puis par le calcul la valeur du facteur de puissance cos φ de l’installation complète en

fonction des trois intensités efficaces.

ExExExExercice 29ercice 29ercice 29ercice 29 : : : : Facteur de puissance d’une installationFacteur de puissance d’une installationFacteur de puissance d’une installationFacteur de puissance d’une installation

Une bobine, d’inductance L et de résistance R, est alimentée par

une source libre de tension

( ) ( )2 cose t E tω= . On donne

R = 100Ω, E = 30V, fréquence

f = 40kHz et L = 0,24mH.

1. Calculer le facteur de puissance FP du dipôle RL entre A et B.

2. En abaissant l’interrupteur K, on branche le condensateur aux bornes du dipôle RL. Déterminer la valeur de la capacité C qui permet d’obtenir un facteur de puissance égal à 0,98, le

courant principal i’(t) étant en retard de phase par rapport à

la tension e(t).

Phénomène de RésonancePhénomène de RésonancePhénomène de RésonancePhénomène de Résonance

Exercice 30Exercice 30Exercice 30Exercice 30 : Résonance d’un RLC série: Résonance d’un RLC série: Résonance d’un RLC série: Résonance d’un RLC série

On étudie un circuit

RLC série, alimenté par une source de tension

sinusoïdale de pulsation ω

et d’amplitude Em, tel que

représenté ci-contre :

1. 1. 1. 1. Résonance en tensionRésonance en tensionRésonance en tensionRésonance en tension ::::

1.1. Exprimer l’amplitude complexe UCm de la tension uC(t) en fonction des données et de l’amplitude E de e(t). On

introduira le facteur de qualité Q ainsi que la pulsation

propre ω0 du circuit.

1.2. Donner alors l’amplitude UCm réelle de la tension uC(t).

1.3. Rechercher le maximum de UCm. Peut-il y avoir plusieurs maxima locaux ? Sous quelle condition ?

Préciser pour quelles pulsations ils sont atteints, et leur expression.

2222. . . . Résonance en Résonance en Résonance en Résonance en courantcourantcourantcourant ::::

2.1. Exprimer de la même manière l’amplitude complexe Im du courant i(t) en fonction des données et de E.

2.2. Donner alors l’amplitude Im réelle du courant i(t).

2.3. Rechercher le maximum de Im. Peut-il y avoir plusieurs maxima locaux ? Préciser pour quelle pulsation il est

atteint, ainsi que son expression.

2.4. Comparer les deux résonances.

e(t)

R

i

C ~

A

B

K

L

’

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 –––– Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé –––– Feuille 3/3 Feuille 3/3 Feuille 3/3 Feuille 3/3

R

C

e(t) i(t)

uC(t)

L

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 31111 : Résonance en tension d’un circuit RLC: Résonance en tension d’un circuit RLC: Résonance en tension d’un circuit RLC: Résonance en tension d’un circuit RLC

Un circuit RLC série est

alimenté par une tension

d’entrée ( ) ( )cose emu t U tω= .

Sinusoïdale, et on note

( ) ( )coss smu t U tω ϕ= +

la tension aux bornes du

condensateur de capacité C.

1. Quelle est, sans calculs, la nature du filtre ?

2. On pose 0

1

LCω = ,

0

xωω

= et 0LQ

R

ω= . Que

représentent 0ω et Q ?

3. Exprimer la fonction de transfert ( ) S

E

uH x

u= de ce filtre

en fonction de Q et x.

4. Montrer que le Gain G passe par un maximum à condition que

lQ Q> et préciser la valeur de lQ . Quelle est alors la

valeur de Gmax en fonction de Q.

5. Tracer le diagramme de Bode de ce filtre pour Q1 = 5 et Q2 = 0,5.

Régime Sinus Forcé en MécaniqueRégime Sinus Forcé en MécaniqueRégime Sinus Forcé en MécaniqueRégime Sinus Forcé en Mécanique

ExExExExoooo 32323232 : : : : Réponse d’un oscillateur à une excitation sRéponse d’un oscillateur à une excitation sRéponse d’un oscillateur à une excitation sRéponse d’un oscillateur à une excitation sinusinusinusinus

Un point matériel M, de masse m, peut se déplacer sur un

axe horizontal. Il est accroché à l’extrémité d’un ressort de

constante de raideur k et de longueur à vide l0, dont l’autre extrémité, notée A est soumise à un mouvement rectiligne

sinusoïdal du type :

( ) ( )cosA Ax t X tω=

On note x(t) le déplacement du point M par rapport à sa position

d’équilibre.

1. Exprimer l’allongement `l(t) du ressort à la date t, en fonction de x(t) et de xA(t).

2. Déterminer l’équation différentielle du second ordre vérifiée par x(t), en négligeant les frottements et en

introduisant la pulsation 0 k mω =

On suppose que le régime forcé est atteint. On pose donc :

( ) ( )cosx t X tω ϕ= +

3. Exprimer l’amplitude complexe X du déplacement x(t).

4. Exprimer l’amplitude X des oscillations du point M en

fonction de la pulsation ω et tracer l’allure du graphe X(ω). Que se passe-t-il à la pulsation ω = ω0 ?

Exo Exo Exo Exo 33333333 : Oscillations forcées dans un milieu liquide: Oscillations forcées dans un milieu liquide: Oscillations forcées dans un milieu liquide: Oscillations forcées dans un milieu liquide

Une bille B, assimiliée à un point matériel de masse m, est

suspendue à l’extrémité inférieure d’un ressort vertical, de

longueur à vide l0 et de constante de raideur k. La bille plonge de

plus dans un liquide, lui communiquant du fait des forces

pressantes une poussée d’Archimède : M gΠ = − ⋅

, où M esr la

masse de liquide déplacée par la bille et g

le champ de

pesanteur. Les frottements exercés par le liquide sur la bille sont

modélisés par une force f h v= − ⋅

, où v

est la vitesse

instantanée de la bille. On impose à l’extrémité

supérieure du ressort, notée

A, un déplacement vertical

( ) ( )cosA Ax t X tω= , tel

que xA = 0 lorsque le système

est à l’équilibre. Les cotes de A et B sont mesurées par

rapport à l’axe vertical

descendant (Ox).

1. En étudiant le système à l’équilibre (le point A étant à l’équilibre), déterminer l’expression de la longueur leq du ressort.

Dans toute la suite, on se place en régime sinusoïdal forcé et on

pose ( ) ( )cosx t X tω ϕ= + , le déplacement de la bille

B par rapport à sa position d’équilibre.

2. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par x(t), en fonction de m, h, k et xA(t).

3. Exprimer l’amplitude complexe X des oscillations, en déduire l’amplitude X.

4. Déterminer à quelle condition l’amplitude des oscillations peut devenir supérieure à celle de l’excitation.

ExerciceExerciceExerciceExercice 34343434 : Système élastique de deux masses: Système élastique de deux masses: Système élastique de deux masses: Système élastique de deux masses

Deux points matériels A et M, de même masse m, sont reliés

par un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l0. Ces deux points peuvent coulisser sans frottement suivant un axe

horizontal (Ox). On soumet le point A à une force sinusoïdale :

( ) ( )0 cosA xF t F t uω= ⋅

. On note xA(t) et x(t) les déplacements

respectifs de A et M par rapport à leur position au repos.

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique aux points A et M, déterminer l’équation différentielle vérifiée

par S(t) = x(t) + xA(t). Exprimer la solution S(t) en fonction des données.

2. En déduire l’équation différentielle vérifiée par x(t), en

fonction de F0, m, ω et 0 k mω = .

3. Exprimer l’amplitude X(ω) des oscillations de M. Tracer l’allure de la courbe X(ω).

( )eu t

L

i

R

C ( )su t

Cadre de la Méthode ComplexeCadre de la Méthode ComplexeCadre de la Méthode ComplexeCadre de la Méthode Complexe

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : Circuit RC en Sinus Forcé: Circuit RC en Sinus Forcé: Circuit RC en Sinus Forcé: Circuit RC en Sinus Forcé

1. Etude temporel1. Etude temporel1. Etude temporel1. Etude temporelle en régime continule en régime continule en régime continule en régime continu ::::

1.1. Equa diff : ( ) ( ) ,CC

du tRC u t E RC

dtτ+ = =

1.2. Résolution : ( ) ( )1t

Cu t E e τ−

⇒ = −

1.3. Solution SSM : Solo transitoire, disparaît au bout de 3τ

1.4. Solution PART : Solution en régime permanent (=

régime établi) quand t +∞ (valeur finale)

1.5. Changement de CI : ( ) t

Cu t E e τ−

⇒ = , on a que la

solution transitoire, puisqu’en régime permanent, u=0.

2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé 2.1. Equation possible à résoudre, mais un peu dur…

( ) ( ) ( )cosCC

du tRC u t E t

dtω+ = .

2.2. Méthode complexe utilisable en régime sinus forcé,

c'est-à-dire avec une excitation purement sinusoïdale, et en régime établi (après le régime transitoire).

2.3. Première méthode :

( )cos j t

dj

dtE t E e ω

ω

ω

↔ × ↔ ⋅

On obtient : j tC CRC j u u E e ωω⋅ ⋅ + = ⋅

Ou en amplitude complexe : Cm CmjRC U U Eω ⋅ + =

2.4. Seconde méthode :

1

1 1

j tj t

C

jC E eu E e

jRCRjC

ωωω

ωω

⋅= ⋅ =++

2.5. On résout : 1

j t

C

E eu

jRC

ω

ω⋅=

+ ou

1Cm

EU

jRC ω=

+, c’est

la solution qui correspond au régime établi (permanent)

2.6. Solution temporelle :

( ) ( )2 2 21

tan

Cm Cm

C Cm

EU U

R C

Arg U Arc RC

ωϕ ω

= =+

= = −

,

ainsi : ( ) ( )cosC Cm Cu t U tω ϕ= +

2.7. Oui, il y a encore un régime transitoire, que l’on a pas

calculé, et un régime permanent, dont la solution est

celle qui est obtenue à partir de la solution complexe.

2.8. Utilité du régime transitoire ? La majorité du temps, la solution en permanent suffit (application aux filtres…)

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 : Circuit RL en Sinus Forcé: Circuit RL en Sinus Forcé: Circuit RL en Sinus Forcé: Circuit RL en Sinus Forcé

1. Etude temporelle en régime continu1. Etude temporelle en régime continu1. Etude temporelle en régime continu1. Etude temporelle en régime continu ::::

1.1. Equa diff : ( ) ( ) ,di tL E L

i tR dt R R

τ⋅ + = =

1.2. Résolution : ( ) ( )1tE

i t eR

τ−

⇒ = −

1.3. Solution SSM : Solo transitoire, disparaît au bout de 3τ

1.4. Solution PART : Solution en régime permanent (=

régime établi) quand t +∞ (valeur finale)

1.5. Changement de CI : ( ) tEi t e

Rτ

−⇒ = , on a que la

solution transitoire, puisqu’en régime permanent, i=0.

2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé

2.1. Equation possible à résoudre, mais un peu dur…

( ) ( ) ( )cosdi tL E

i t tR dt R

ω⋅ + = ⋅ .

2.2. Méthode complexe utilisable en régime sinus forcé, c'est-à-dire avec une excitation purement sinusoïdale, et

en régime établi (après le régime transitoire).

2.3. Première méthode :

( )cos j t

dj

dtE t E e ω

ω

ω

↔ × ↔ ⋅

On obtient : j tL Ej i i e

R Rωω⋅ ⋅ + = ⋅

Ou en amplitude complexe : m m

L Ej I I

R Rω ⋅ + =

2.4. Seconde méthode : j t

Ru E ei

R R jL

ω

ω⋅= =+

2.5. On résout : j tE e

iR jL

ω

ω⋅=+

ou m

EI

R jLω=

+, c’est la

solution qui correspond au régime établi (permanent)

2.6. Solution temporelle :

( ) ( )2 2 2

tan

m m

i m

EI I

R LLArg I Arc

R

ωϕ

= = + = = −

,

ainsi : ( ) ( )cosm ii t I tω ϕ= +

2.7. Oui, il y a encore un régime transitoire, que l’on n’a pas calculé, et un régime permanent, dont la solution est

celle qui est obtenue à partir de la solution complexe.

2.8. Utilité du régime transitoire ? La majorité du temps, la

solution en permanent suffit (application aux filtres…)

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3 : Circuit RLC en Sinus Forcé: Circuit RLC en Sinus Forcé: Circuit RLC en Sinus Forcé: Circuit RLC en Sinus Forcé

1. Etude temporelle en régime continu1. Etude temporelle en régime continu1. Etude temporelle en régime continu1. Etude temporelle en régime continu ::::

1.1. Equa diff : ( ) ( ) ( )2

2

C CC

d u t du tLC RC u t E

dtdt+ + =

1.2. Résolution… Voir ExoTech n4… SSM solution transitoire, PART solution permanente (établie)

1.3. Résolution… . Voir ExoTech n4… 3 régimes possibles en

fonction de l’amortissement… valeur finale nulle.

2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé2. Etude temporelle en sinus forcé 2.1. Méthode complexe pour simplifier en régime établi pour

une excitation purement sinusoïdale.

2.2. Equation complexe : ( )2 1 j tCLC jRC u E e ωω ω− + + = ⋅

2.3. Solution temporelle : ( ) ( )

( )

2 22

2

1

tan1

Cm Cm

C Cm

EU U

LC RC

RCArg U Arc

LC

ω ω

ωϕω

= = − + = = − −

,

ainsi : ( ) ( )cosC Cm Cu t U tω ϕ= +

2.4. Oui, régime transitoire non calculé (inutile), la solution

complexe est la solution du régime établi.

SOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXESOLUTION des EXERCICES RCICES RCICES RCICES –––– EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 –––– Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3 Feuille 1/3

CCCCalculs d’impédancesalculs d’impédancesalculs d’impédancesalculs d’impédances


RC série : 11

eq

jRCZ R

jC jC

ωω ω

+= + =

RL série : eqZ R jLω= +

RC parallèle : 1

1 1eq

RZ

jRCjCR

ωω= =

++

RL parallèle : 1

1 1eq

jRLZ

R jLR jL

ωω

ω

= =++

RLC série : 211

eq

jRC LCZ R jL

jC jC

ω ωωω ω

+ −= + + =

RLC parallèle : 2

1

1 1eq

jRLZ

R jL RLCjCR jL

ωω ωω

ω

= =+ −+ +


1. On a 2

1

1 1AB

jL ZZ jL jL

LC jC ZjCjL Z

ωω ωω ωω

ω

+= + = +− ++

+

Et ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1ABZ Z Z LC jC Z jL LC LC Zω ω ω ω ω= ⇔ − + = − + −

Il faut donc : ( )2 2 222

L LZ LC L

C Cω ω= − = −

2. Résistor si Z réelle, donc si 2 22 2LL

C LCω ω> ⇔ <

Exercice 6Exercice 6Exercice 6Exercice 6 : Dipôles RC équivalents: Dipôles RC équivalents: Dipôles RC équivalents: Dipôles RC équivalents

2 dipôles équivalents : 1

1série

jR C RZ Z

jC jRC

ωω ω′ ′+= = =′ +

Donc : ( ) ( )21 0RCR C j R C RC RCω ω′ ′ ′ ′ ′− + + − =

Et ( )

( )

22

2

( ) 11

1 0

0

( ) 1

partie réelleC C

RCR C RC

R C RC RC RR

partie imaginaire RC

ω ω

ω

′ = + ′ ′− = ⇔ ′ ′ ′+ − = ′ = +

Exercice 7Exercice 7Exercice 7Exercice 7 : Dipôles RL équivalents: Dipôles RL équivalents: Dipôles RL équivalents: Dipôles RL équivalents

Idem… série

jRLZ R jL Z

R jL

ωωω

′ ′= + = =+

Donc 2 2 2

2 2 21 1

L RR R et L L

R L

ωω

′ ′= + = +

Calcul de tensions et de courantsCalcul de tensions et de courantsCalcul de tensions et de courantsCalcul de tensions et de courants

Exercice 8Exercice 8Exercice 8Exercice 8 : Circuit RLC série: Circuit RLC série: Circuit RLC série: Circuit RLC série

1. On a 1eqZ R jL

jCω

ω= + + , donc

1eq

E EI

Z R jLjC

ωω

= =+ +

Et:

( ) ( )

2

2

0,541 1

i

E EI I A

R j L R LC C

Arg I Arg E

ω ωω ω

ϕ

= = = = + − + −

= = ( ) 1 1tan 86eqArg Z Arc L

R Cω

ω

− = − = °

2. On a : ( )

( )

( )

...

1 ... 86

...

1 ... 4

...

1 ... 176

R R

R

R R

C C

C

C C

L L

L

L L

U UR EU

Arg UR jLjC

U UE jCU

Arg UR jLjC

U UjL EU

Arg UR jLjC

ϕωω

ωϕω

ωω

ϕωω

= =⋅ = = = = °+ + = = = ⇒

= = = − ° + +

= = ⋅ = = = = °+ +

3. Facteur de qualité 14

LQ

R C= = Il y aura un

phénomène de surtension aux bornes du condensateur.

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 : Intensité dans une association de dipôles: Intensité dans une association de dipôles: Intensité dans une association de dipôles: Intensité dans une association de dipôles

1. 2

1

1 1eq

r jLZ

jrC LCjCr jL

ωω ωω

ω

+= =+ −+

+

Donc : ( )( ) ( )

22

2 22

234

1eq

r LZ Z

LC rC

ω

ω ω

+= = = Ω

− +

2. Ainsi: 0 , 4 4

e q

E EI I A

Z Z= = = = .

3. 1

2

C

L

EI jC E

Z

E EI

Z r jL

ω

ω

= = ⋅ = = +

4. On a

( )

1 1

2 2 22 2

0, 628

1, 06

tan 84

I I C E A

I I E r L A

LArg r jL Arc

r

ω

ω

ωω

= = = = = + =

+ = = °

Exercice 10Exercice 10Exercice 10Exercice 10 : Courant indépendant du dipôle: Courant indépendant du dipôle: Courant indépendant du dipôle: Courant indépendant du dipôle

1. 2

21

L R

RC L R

jRLZ R jL RLC

U E E EjRLZ Z R jL RLC

jC R jL

ωω ω

ω ω ωω ω

+ −= ⋅ = ⋅ = ⋅+ + −+

+

Ainsi :

( )2

21

RU LCI E

R R LC jL

ωω ω

−= = ⋅− +

2. i(t) indépendant de R si 1

LCω = ?

E

I1

I = I1 + I2

I2

Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : Caculs d’intensités: Caculs d’intensités: Caculs d’intensités: Caculs d’intensités

1. 1

1I E

R jLω= ⋅

+ et

2I jC Eω= ⋅ . (I2=0,488A)

2. Calcul :

( )

1 1 2 2 2

1 1

0,512

tan 9

EI I A

R LL

Arg I ArcR

ωωϕ

= = = +

= = − = − °

3. Graphiquement...

On vérifie :

( )

( ) ( )

2

2 22

2 2 2

2

1

1 1

10,62

0 tan tan 391

eq

i

R jLZ

LC jRCjCR jL

E LC RCI I A

R LL RC

Arc ArcR LC

ωω ωω

ω

ω ω

ωω ωϕ

ω

+= =− ++

+ − + = = =

+⇒ = − + = ° −

Exercice 12Exercice 12Exercice 12Exercice 12 : Calculs d’intensités: Calculs d’intensités: Calculs d’intensités: Calculs d’intensités

1. On a 1

1 1eq

RZ jL jL

jR CjCR

ω ωωω

= + = +++

ou ( ) 2

2 2 2 2 2 2

1

1 1eq eq

R jRC R CZ jL R j L

R C R C

ω ωω ωω ω

− = + = + − + +

Ainsi: 2

2 2 2 2 2 236,4 0,12

1 1eq

R R CR et L H

R C R Cω ω= = Ω = =

+ +

(Partie imaginaire nulle, il reste la partie réelle = Req)

2. Alors: I = E / Req = 4,3A.

3. Tensions

2 2 2

206

2601

AB AB AB

BD BD R C

U U jL I L I U V

RIU U Z I V

R C

ω ω

ω

= = = = =

= = ⋅ = =+

4. Intensités : I1 = UBD / R = 2,6A et I2 = |I2| = |jCωUBD| = 3,4A.

Exercice 13Exercice 13Exercice 13Exercice 13 : Sonde d’oscilloscope: Sonde d’oscilloscope: Sonde d’oscilloscope: Sonde d’oscilloscope

1. Relation: 1

11

1

S EU UjRCR

R jR C

ωω

= ⋅′++ ⋅′ ′+

Rk

R R

′→ =

′+

2. Il faut R’C = RC’ (ne dépend plus de la fréquence)

Exercice 14Exercice 14Exercice 14Exercice 14 : Résonance en tension: Résonance en tension: Résonance en tension: Résonance en tension

1. 2

2

111

11

L C

L C

jLZ

LCU E E EjLR Z R jR CLC L

ωωω ω

ω ω

−= ⋅ = ⋅ = ⋅+ + + − −

2. Amplitude: 2

2 11

EU U

R CL

ωω

= = + −

On dérive: 2

2

32 2

2

1 12

10 0

21

1

R C CdU L Ld

R CL

ωω ω

ωω

ω

− + = ⇔ =

+ −

On retrouve la pulsation de coupure: 0

1

L Cω ω= =

Calcul de déphasagesCalcul de déphasagesCalcul de déphasagesCalcul de déphasages

Exercice 15Exercice 15Exercice 15Exercice 15 : Courant et tension en phase: Courant et tension en phase: Courant et tension en phase: Courant et tension en phase

1.

( ) ( )( ) ( )

2

2

1 1 1

1 1

1

eq

eq

jCY

r jL jR C r jLRjC

LC j r R CY

r R LC j L rR C

ωω ω ω

ωω ω

ω ω

= + = ++ + ++

− + +=

− + +

2. On a eq equ Z i ou i Y u= ⋅ = ⋅ , donc u et i sont en

phase si ( ) 0eqArg Y =

C’est à dire: ( ) ( )2 2

tan tan1

r R C L rRCArc Arc

LC r RLC

ω ωω ω

+ += − −

( ) ( ) 2

2 2 2

1

1

r R C L rRC L r C

LC r RLC L R CLCω

ω ω+ + −

⇒ = ⇒ =− − −

Exercice 16Exercice 16Exercice 16Exercice 16 : Déphasage entre deux branches: Déphasage entre deux branches: Déphasage entre deux branches: Déphasage entre deux branches

1. On a 1 1 2 2e Z i Z i= ⋅ = ⋅ ou en amplitude complexe:

1 1 2 2m m mE Z I Z I= ⋅ = ⋅

Et i1(t) et i2(t) en quadrature ( ) ( )1 1 2m mArg I Arg Iπ− =

Or ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2m mArg Z Arg I Arg Z Arg I+ = +

Donc on a également :

1 2 2Arg Z Arg Z

π− =

2. Angle droit entre Z1 et Z2

SSI Pythagore est respectée: 2

2 21 2

1Z Z

C ω = +

( )2 2

2 2 2 21 1r L r L

C Cω ω

ω ω = + + + −

Ainsi: 2 2 2

LC

r L ω=

+

Exercice 17Exercice 17Exercice 17Exercice 17 : Caractéristiques d’une bobine réelle: Caractéristiques d’une bobine réelle: Caractéristiques d’une bobine réelle: Caractéristiques d’une bobine réelle

1. Y est nécessairement d’amplitude plus faible que X, car le

circuit est passif, et il d’agit de la tension aux bornes d’une

R. Attention, une surtension ne peut apparaître qu’aux

bornes d’un C ou d’une L (qui stockent l’énergie).

2. On a

1Y X

RU U

R r j LC

ωω

= ⋅ + + −

et on lit sur

la courbe un déphasage de π/4, donc :

11tan

4

L CArg R r j L Arc

C R r

ω ωπωω

− + + − = = +

Ainsi : 1R r L

Cω

ω+ = −

3. On lit un gain 1

2 1

Y

X

U RG

UR r j L

Cω

ω

= = = + + −

E

I1

I = I1+I2 I2

r

jLω

1

jC ω

Z1 = r+jLω

2

1Z r jL

jCω

ω= + +

jLω 1

C ω

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 –––– Feuille 2 Feuille 2 Feuille 2 Feuille 2/3/3/3/3

Donc :

( ) ( )2 22

1

2 1 2

R R

R rR r L

Cω

ω

= =+ + + −

Et : ( ) ( )2 22 4 2 2 1 21R r R R r R r R+ = ⇒ + =± ⇒ = − = Ω

4. On en déduit : 1 125L R r mH

Cω ω = + + =

Exercice 18Exercice 18Exercice 18Exercice 18 : Mesure d’une inductance: Mesure d’une inductance: Mesure d’une inductance: Mesure d’une inductance

On a

1

Y X

RU U

RR r jL

jR Cω

ω

= ⋅+ + +

+

en phase

01

Y

X

U RA rg A rg R r jL

U jR Cω

ω

⇒ = = − + + + +

D’où : ... 2

2 2 244

1

R CL m H

R C ω= =

+

Puissance en Régime Sinusoïdal ForcéPuissance en Régime Sinusoïdal ForcéPuissance en Régime Sinusoïdal ForcéPuissance en Régime Sinusoïdal Forcé

Exercice 19Exercice 19Exercice 19Exercice 19 : Association de dipôles: Association de dipôles: Association de dipôles: Association de dipôles

1. Impédance : 1

RZ r jL

jR Cω

ω= + +

+

2. P active : ( ) 2 2

2 2 2Re

1e e

RP Z I r I

R C ω = × = + × +

Exercice 20Exercice 20Exercice 20Exercice 20 : Puissance équivale: Puissance équivale: Puissance équivale: Puissance équivalente dans 2 branchesnte dans 2 branchesnte dans 2 branchesnte dans 2 branches

1. Dans les deux branches: P et P’

( )

( )

2 22

2 22

2 22

2 22

1

1

e ee

e ee

U UP R I R R

Z R LC

U UP R I R R

Z RC

ω ω

ω

= × = × = ×

+ − ′′ = × = × = × ′ + ′

2. Même puissance si : ( ) ( )2 21 1L

C Cω ω ω− = ′

Exercice 21Exercice 21Exercice 21Exercice 21 : Circuit RLC parallèle: Circuit RLC parallèle: Circuit RLC parallèle: Circuit RLC parallèle

1. 1 1

1 1 1 1Z

jC j CR jL R L

ω ωω ω

= = + + + −

, on en déduit :

( )2 2

2

2 2

2

2

1Re

1 1 11

e ee

I R IRP Z I

C R CL LR

ω ωω ω

× ×= × = =

+ − + −

.

2. PC = PL = 0, et PR = RIR2, avec

//

//

1

11

L C

RL C

ZI I I

R ZR jC

jLω

ω

= ⋅ = ⋅+

+ +

et //

//

L C

R eL C

ZI I

R Z= ⋅

+.

Exercice 22Exercice 22Exercice 22Exercice 22 : Calcul d’intensité efficace: Calcul d’intensité efficace: Calcul d’intensité efficace: Calcul d’intensité efficace

1. Impédance:

1 2 1 2

1 12,7 1,0

1 1 1

1 1

Z jjC

R R jC R jR Cω

ω ω

= = = −+ +

+ +

2. On en déduit:

( ) 13,6Ree

PI A

Z= =

Exercice 23Exercice 23Exercice 23Exercice 23 : Etude énergétiqu: Etude énergétiqu: Etude énergétiqu: Etude énergétique d’un circuite d’un circuite d’un circuite d’un circuit

1. R

R UU

R jLω⋅=

+

( ) ( )2 2 2 2Re

2 2 2 2 2 2 2

1

4ff e eU R U R U

PR R R L R L fω π

⋅ ⋅⇒ = = ⋅ =

+ +

2.

( ) ( )( )

2 2

22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

20 0

4 4

4 2

2 38

e e

e e

opt

U R R UdP

dR R L f R L f

U R L f R U

R R L f L mH

π π

ππ

− ⋅ ⋅= ⇔ + =

+ +

⇔ + =

⇔ = = ⇒ =

3. 2

1133

2C F

Lµ

ω= =

Exercice 24Exercice 24Exercice 24Exercice 24 : Circuit RLC série alimenté par un: Circuit RLC série alimenté par un: Circuit RLC série alimenté par un: Circuit RLC série alimenté par un GBFGBFGBFGBF

1. Puissance consommée

( ) ( )

2 2

22Re 1

e e

g

U R UP

ZR R L

Cω

ω

×= =

+ + −

2. 10 ... opt

dP

d LCω ω

ω= ⇔ ⇔ = =

3. R = Rg.

Exo 25Exo 25Exo 25Exo 25 : : : : Etude d’un transfert de puissance électriqueEtude d’un transfert de puissance électriqueEtude d’un transfert de puissance électriqueEtude d’un transfert de puissance électrique

1. 2 2

0

0

10050 87

tan 60

j

Z R XZ R jX j Z e X

ArcR

α

α

= + = Ω= + = Ω+ ⋅ Ω = ⋅ ⇒ = = °

2. On a PC = V2 I cos(Ψ)

( )2

36, 4cos

CPI A

V⇒ = =

⋅ Ψ

3. On a 1 2v v Z i= + ⋅ , d’où :

1 2 0 2 0j j jV e V Z e I e V Z Iθ α ψ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ,

et ainsi : 1 2 0 25, 6

0

V V Z I kV

θ= + =

=

4. Puissances : PG = V1 I cos(Ψ) = 466kW, PC = 400kW, et

PL = R I2 = 66kW, on retrouve le bilan de puissance

PG = PC + PL, et le rendement : η = PC/PG = 86%.

Facteur de PuissanceFacteur de PuissanceFacteur de PuissanceFacteur de Puissance

Exercice 26Exercice 26Exercice 26Exercice 26 : Puissance d’un moteur: Puissance d’un moteur: Puissance d’un moteur: Puissance d’un moteur

1. 2

20, 4e

PR

I= = Ω et 2 2 231,4e

e

UZ R L

Iω= = Ω = + , donc

2 2123,9L Z Rω

ω= − = Ω et 2 21

76L Z R mHω

= − =

2. FP = P / S = cos φ (en sinus) = P / (UeIe) = 0,65

3. Il faut sinsin 77e

C e ee

II C U I C F

U

ϕω ϕ µω

= = ⇒ = =

4. Intérêt : Moins faire chauffer les lignes EDF... donc moins

de pertes inutiles à puissance active égale.

Exercice 27Exercice 27Exercice 27Exercice 27 : Relèvement d’un facteur de puissance: Relèvement d’un facteur de puissance: Relèvement d’un facteur de puissance: Relèvement d’un facteur de puissance

1. Courant dans le moteur :

( ) 33, 3cose

e

PI A

U ϕ= =

⋅

2. On a 2

3, 97e

Pr

I= = Ω et tan

17r

L m Hϕ

ω= = .

3. Déjà vu en TD... voir schéma...

on peut remettre U et I en

phase en compensant la partie

complexe de l’impédance,

pour tendre vers P = S (FP = 1).

Aucun surcoût de conso, car le

condensateur ne consomme

pas de Puissance active, il ne

fait que relever le FP.

4. Si FP = 1, nouveau courant :

( ) 20cos 0e

e

PI A

U′ = =

⋅. On a

baissé la valeur efficace du courant absorbé, donc les pertes

par effet Joule dans la ligne, c’est le C qui fournit le surplus

de courant déphasé demandé par le moteur, plus le réseau.

5. Il faut IC = Ie sin(φ) = 26,6A = Cω Ue,

donc C = Ie sin(φ)/ωUe = 386 μF.

Exercice 28Exercice 28Exercice 28Exercice 28 : Méthode des 3 ampèremètres: Méthode des 3 ampèremètres: Méthode des 3 ampèremètres: Méthode des 3 ampèremètres

1. Représentation :

2. On mesure sur le schéma,

ou on peut calculer :

2

2 2 23 1 2 3 3 3 3 1 2 1 22 cosI I I I I I I I I I I ϕ= − ⇒ = = ⋅ = + −

et 2 2 2

1 2 3

1 2

cos 0,88 28, 52

I I I

I Iϕ ϕ+ −

= = ⇒ = °

Exercice 29Exercice 29Exercice 29Exercice 29 : : : : Facteur de puissance d’une installationFacteur de puissance d’une installationFacteur de puissance d’une installationFacteur de puissance d’une installation

1. On a ( ) ( )2 ω

ϕω

= ⋅⇒ = = −

= +

j t

m

ee E ei Arg E Arg Z

ZZ R jL

D’où 2tan 31,1

πϕ = − = − °

L fArc

R

et cos 0,86ϕ= =PF

2. Tracé : On a 2 2 2

0,26ω

= =+E

I AR L

Donc : ( )2 2sin sin 1 cos 1 cos 80,0ϕ ϕ ϕ ϕ′ ′= − = − − − =CI I I I mA

Et ( )sin sin10,6e

Ce

II C E C nF

U

ϕ ϕω

ω′−

= ⇒ = =

Phénomène de RésonancePhénomène de RésonancePhénomène de RésonancePhénomène de Résonance

Exercice 30Exercice 30Exercice 30Exercice 30 : Résonance d’un RLC série: Résonance d’un RLC série: Résonance d’un RLC série: Résonance d’un RLC série

1. 1. 1. 1. Résonance en tensionRésonance en tensionRésonance en tensionRésonance en tension ::::

1.1.On a 2 2

20 0

1 11

m mCm

E EU

jRC LCj

Qω ω ω ω

ω ω

= =+ − + −

,

en posant 0

0

1 1 1 Let Q

RC R CLCω

ω= = =

On peut aussi définir la pulsation réduite 0

x ωω= …

1.2. Ainsi :

( )2 2221

mCm Cm

EU U

xxQ

= =− +

1.3. Maximum de UCm minimum du dénominateur D2 :

( )( )

( )

22

2

2

2

20 2 1 2 0

12 2 1 0

dD xx xQdx

x xQ

= ⇔ − − + =

⇔ − − =

2 solutions :

2

0

1 11

2 2

x toujours possible

x possible si QQ

= = − >

2 maxima possibles : 2

0 02

0

11 1 2

2Q

ω

ω ω ω σ

= = − = −

Valeurs :

( )( )

2

0

11

4

Cm m

mCm r

U E

Q EU

Q

ω

ω ω

= =

⋅ = = −

2222. . . . Résonance en Résonance en Résonance en Résonance en courantcourantcourantcourant ::::

2.1. Intensité complexe : 1

1

Rm m

m

U EI

RjQ x

x

= = + −

2.2. Intensité réelle :

2

2 11

m mm

E EI

RDR Q x

x

= =′

+ −

2.3. Maximum pour le dénominateur D’ minimum :

222 2

2 2

0

1 1 10 2 1 2 1 0

0 0

1

dDQ x Q x

dx xx x

x

x

ωω ω

′ = ⇔ + − = − =

= = ⇔ ⇔ = =

Expressions :

( )0

0

0

( )

m

mm

I

EI constante

R

ω

ω ω

→→

= =

2.4. Résonance en tensionRésonance en tensionRésonance en tensionRésonance en tension :::: pas toujours possible (il faut un

faible amortissement), peut atteindre des valeurs

supérieures à Em (surtension), la pulsation de résonance

et la valeur du maximum dépendent du facteur de

qualité Q (selon l’amortissement).

Résonance en courantRésonance en courantRésonance en courantRésonance en courant :::: toujours possible, mais la valeur

atteinte est constante, toujours la même quel que soit le

facteur de qualité, il s’agit de Em/R, il n’y a donc pas de

surintensité dans un RLC série. La pulsation de

résonance ne dépend pas non plus de Q

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 EC5 / ME5 –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 3333/3/3/3/3

U

I

IC

φ

I2 (12A)

I3 (30A) I1 (40A)

U

I

IC

φ

φ'

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 31111 : Résonance en tension d’un circuit RLC: Résonance en tension d’un circuit RLC: Résonance en tension d’un circuit RLC: Résonance en tension d’un circuit RLC

1. Sans calculs : on considère les cas limites : ω 0 : C équivalent à un circuit ouvert, donc uS = ue.

ω +∞ : C équivalent à un court-circuit, donc uS = 0.

Par conséquent le filtre est passe-bas.

2. 0

1

LCω = = pulsation de coupure du filtre et 0L

QR

ω= le

facteur de qualité, augmente quand l’amortissement

diminue (meilleur qualité plus d’oscillation)

3. Transfert : ( ) 2

1...

1= = = =

+ + − +S C

E C L

u ZH x

u R Z Z x jx Q

4. Gain : ( )( ) ( )2 2 2

1

1= =

− +G H x

xx Q

, idem exo 31

Maximum ? Si le dénominateur est minimuim :

( )( )

( )

22

2

2

2

20 2 1 2 0

12 2 1 0

dD xx xQdx

x xQ

= ⇔ − − + =

⇔ − − =

2 solutions :

lim2

0

1 11

2 2

x toujours possible

x possible si Q QQ

= = − > =

Valeurs max du gain : max

2

11

4

QG

Q

=−

5. Bode ? Gain + phase

( )2ta n

1

xA r c

Q xϕ

= − −

Tracer le diagramme de Bode de ce filtre pour Q1 = 5 et Q2 = 0,5.

Exercice 32Exercice 32Exercice 32Exercice 32 : Oscillateur avec excitation sinus: Oscillateur avec excitation sinus: Oscillateur avec excitation sinus: Oscillateur avec excitation sinus

1. Allongement `l(t) = x(t) – xA(t).

2. Equation : ( ) ( ) ( )2 20 0 Ax t x t x tω ω+ =ɺɺ

3/4. En cplx : 2

02 2 2

0

0

1

AA

XX X X

ωω ω ω

ω

= ⋅ ⇒ =−

−

Exercice 33Exercice 33Exercice 33Exercice 33 : Oscillations forcées dans un liquide: Oscillations forcées dans un liquide: Oscillations forcées dans un liquide: Oscillations forcées dans un liquide

1. Equilibre : PFS … 0eq

m Ml l g

k

−= + .

2. Equation : Amx hx kx kx+ + =ɺɺ ɺ

3. Résonance : 2h km>

Exercice 34Exercice 34Exercice 34Exercice 34 : Système élastique de deux masses: Système élastique de deux masses: Système élastique de deux masses: Système élastique de deux masses

1. ( ) ( ) ( )02

, cosA

FmS F t S t t

mω

ω−

= =ɺɺ

2. Equation : ( ) ( ) ( )2

2 0 002 cos

Fx t x t t

m

ωω ωω

− + =

ɺɺ

3. Solution :

2

0 0

2 20

1

2

FX

m

ωω ω ω

= − +

log x

GdB

-20

-40

-60

1 2 -2 -1

log x

φ (°)

-90°

-180°

1 2 -2 -1

14

Q2 = 0,5

Q2 = 0,5 Q1 = 5

Q1 = 5

Mouvement 1DMouvement 1DMouvement 1DMouvement 1D

ExerciceExerciceExerciceExercice 1 1 1 1 : Distance de sécurité: Distance de sécurité: Distance de sécurité: Distance de sécurité ????

On étudie le mouvement de deux voitures, considérées

comme ponctuelles, sur un axe (Ox), qui se suivent à une

distance d, les deux à la vitesse constante v0. A t = 0s, la première

voiture freine avec une décélération a. La seconde ne commence

à freiner qu'au bout d'un temps tr = 0.6s avec une décélération b.

1. Quelle condition doit satisfaire d pour que la 2nde voiture

s'arrête derrière la 1ère ?

2. AN avec v0 = 108km/h, a = 7.5m.s-2 et b = 6 m.s-2.

3. Comparer la valeur de cette distance d avec la distance

d’arrêt de chacune des voitures prises séparément.

4. Et dans le cas où les deux voitures ont même décélération ?

ExerciceExerciceExerciceExercice 2 2 2 2 : D: D: D: De l’utilité de la ceinture de sécuritée l’utilité de la ceinture de sécuritée l’utilité de la ceinture de sécuritée l’utilité de la ceinture de sécurité ????

Un véhicule de masse m, en translation rectiligne uniforme

de vitesse v0 subit un choc violent. Entre le début et la fin de

celui-ci, le centre d’inertie du véhicule s’est déplacé d’une

distance d = 1m.

1. Dans l’hypothèse d’une vitesse

décroissant linéairement, calculer

la valeur de l’accélération subie

lors du choc.

2. AN : v0 = 14m.s-1 et d = 1m. Qu’en

pensez-vous ?

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : Mouvements rectiligne: Mouvements rectiligne: Mouvements rectiligne: Mouvements rectiligne exponentiel exponentiel exponentiel exponentiel

Un point mobile M se déplace le long de l’axe Ox. Son

abscisse x est fonction du temps : ( ) 1 expt

x t aτ

− = −

.

1. Quelles sont les dimensions des paramètres a et τ ?

2. Quelle est la valeur finale de x, au bout d’un temps très long ?

3. Calculer la vitesse moyenne entre les dates t1=0,400τ et

t2=0,600τ. On l’exprimera en fonction du rapport a/τ et

d’un coefficient numérique que l’on calculera.

4. Un capteur mesure les dates de passages ti en différents

points d’abscisses xi. Les résultats sont reportés sur le

tableau suivant :

ti (s) 0 0,45 1,02 1,83 3,22 300

xi (cm) 0 20 40 60 80 100

4.a) D’après la loi exponentielle de x en fonction du temps,

comment exprime-t-on t en fonction de x ?

4.b) Vérifier que les valeurs mesurées vérifient bien une telle

loi. Par identification, calculer les valeurs de a et de τ

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : Mouvements rectilignes simultanés: Mouvements rectilignes simultanés: Mouvements rectilignes simultanés: Mouvements rectilignes simultanés

Soit une voiture de largeur L en mouvement le long d’un

trottoir rectiligne xx’. Un piéton décide de traverser la route au

moment où la voiture se trouve à une distance D. Le mouvement

du piéton est rectiligne, uniforme, de vitesse v

, inclinée d’un

angle φ par rapport à l’axe Oy.

1. La voiture se déplace à xV V e= ⋅

constante. Dans le cas où φ

= 0 (il marche perpendiculairement au trottoir), quelle doit la

vitesse v0 du piéton pour que la collision soit évitée ?

2. Dans le cas d’un angle φ quelconque, exprimer la vitesse v1 du

piéton, les équations horaire de son mouvement, et en

déduire la condition sur L, D, v1, V et l’angle φ pour que la

collision soit évitée.

3. En déduire la vitesse minimale vmin à laquelle peut marcher le

piéton, avec l’angle φmin correspondant. Exprimer vmin en

fonction de L, D et V.

Mouvement 2D Mouvement 2D Mouvement 2D Mouvement 2D –––– Coordonnées Cartésiennes Coordonnées Cartésiennes Coordonnées Cartésiennes Coordonnées Cartésiennes

ExerciceExerciceExerciceExercice 5 5 5 5 : : : : Equations Horaires (2D et 3D)Equations Horaires (2D et 3D)Equations Horaires (2D et 3D)Equations Horaires (2D et 3D)

Un point M décrit l’espace avec les coordonnées cartésiennes

suivantes :

a) ( )( )( )

5

2

15

x t t

y t

z t t

=

= =

b) ( )( )( )

2

0

4

0

x t

y t t

z t

= = − =

c) ( )( )( )

2

2

2

0

10

x t t

y t

z t t

= = = −

d) ( )( )( ) 2

2

0

4 8

x t

y t

z t t t

=

= = −

e) ( )( )( )

2

4

4

2

x t

y t t

tz t

= = −

=

f) ( )( )( )

4 sin

3

0

x t t

y t

z t

ω =

= =

g) ( )( )( )

4sin

0

x t t

y t t

z t

ω =

= =

h) ( )( )( )

2

4 sin

0

x t t

y t t

z t

ω = = =

i) ( )( )( )

2sin

0

x t t

y t t

z t

ω = = =

j) ( )( )( )

cos

sin

3

x t R t

y t R t

z t

ωω

=

= =

k) ( )( )( )

cos

sin

2

x t R t

y t R t

z t t

ωω

=

= =

l) ( )( )( )

cos

sin

sin10

x t R t

y t R t

z t h t

ωω

ω

=

= =

Tracer la trajectoire du point M et trouver son équation

Déterminez les expressions du vecteur vitesse v

et du

vecteur accélération a

.

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– ME1 ME1 ME1 ME1 –––– Cinématique du Point Cinématique du Point Cinématique du Point Cinématique du Point –––– Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2 Feuille 1/2

x

L

O xe

y

v

φ

Voiture

D

dddd xxxx

1m1m1m1m

(Après l’accident)

ExerciceExerciceExerciceExercice 6 6 6 6 : Tir balistique dans un champ de pesanteur: Tir balistique dans un champ de pesanteur: Tir balistique dans un champ de pesanteur: Tir balistique dans un champ de pesanteur

A l’instant t = 0, une particule ponctuelle M est lancée du

point O avec une vitesse initiale 0

v

située dans le plan (Oxz) et

faisant avec l’horizontale un angle 0α > susceptible d’être ajusté.

Le mouvement de ce point, étudié dans le référentiel

terrestre ( )0 ; , , ,x y ze e e tℜ , est tel que son accélération est

constante : ( )/ za M a g eℜ = = − ⋅

avec 0g g= >

1. Exprimer les composantes du vecteur vitesse ( )/v M ℜ à

l’instant t puis les équations horaires du mouvement.

2. En déduire l’équation de la trajectoire de M et préciser la

nature de celle-ci.

3. A quel instant tS le sommet S de cette trajectoire est-il

atteint ? Quelle sont ses coordonnées xS et zS ?

4. Quelle est la portée OP du projectile, c'est-à-dire le point P

où la trajectoire coupe l’axe (Ox). A quel instant tP ce point

est-il atteint ? Quelle est la norme du vecteur vitesse en P ?

5. A v0 fixé, quelle est la portée maximale ? De quoi dépend-elle ?

6. Calculer pour chaque angle 15 ,30 ,45 ,60 ,75 ,90α ∈ ° ° ° ° ° ° ,

avec un même v0, le sommet et la portée de la trajectoire

(faire un tableau). Représenter toutes ces trajectoires.

7. Montrer qu’il existe deux valeurs de α pour lesquelles ces

trajectoires issues de l’origine O atteignent une même cible C

dans le plan (Oxy).

8. Rechercher dans l’ensemble des points du plan (Oxy)

accessibles au projectile lancé de O avec une vitesse initiale

0v

de norme constante mais de direction quelconque. Vous

déterminerez pour cela l’équation de la « parabole de sureté »

séparant les points du plan pouvant être atteint par le

projectile de ceux qui ne le seront jamais.

Données : ( )2

2

s i n 2 2 s i n c o s

11 t a n

c o s

α α α

αα

=

= +

Mouvement 2D Mouvement 2D Mouvement 2D Mouvement 2D –––– Coordonnées Polaires Coordonnées Polaires Coordonnées Polaires Coordonnées Polaires

ExerciceExerciceExerciceExercice 7777 : : : : Echelle DoubleEchelle DoubleEchelle DoubleEchelle Double

Une échelle double est posée sur

le sol. Un de ses points d’appui reste

constamment en contact avec le coin

O d’un mur. La position de l’échelle

à l’instant t est repérée par l’angle

α(t) formé par la portion OA de

l’échelle avec le mur. L’extrémité B

de l’échelle glisse sur le sol. L’échelle

est telle que OA = AB = l.

1. Exprimer les vecteurs vitesse Av

et accélération Aa

du

point A dans la base polaire en fonction de l, , ,α α αɺ ɺɺ .

2. Exprimer dans la base cartésienne les composantes des

vecteurs vitesse Bv

et Ba

du point B.

ExerciceExerciceExerciceExercice 8888 : La ronde : La ronde : La ronde : La ronde d’un poisson rouged’un poisson rouged’un poisson rouged’un poisson rouge

Un poisson rouge se promène dans son bocal. Le

mouvement de son centre d’inertie M dans un repère

orthonormal ( ), , ,O i j k

est décrit par les équations

paramétriques suivantes :

( ) ( )( ) ( )( )

cos

sin

0

x t R t

y t R t

z t

ωω

=

= =

(ω et R désignent deux

constantes positives)

1. Etablir l’équation paramétrique de la trajectoire du centre

d’inertie du poisson et préciser sa nature.

2. Déterminer le vecteur vitesse correspondant (cartésienne).

Calculer sa norme. Quelle caractéristique le mouvement

présente-t-il et que représente la constante ω ?

3. Etablir une relation simple entre les vecteurs position

OM

et accélération a

(toujours en cartésienne)

4. Refaire tous ces calculs en coordonnées polaires : trouver

les expressions de r et de θ, puis de v

et de a

et la

relation entre OM

et a

.

5. Las d’effectuer toujours le même trajet, le poisson décide

d’ajouter une petite composante verticale ( ) 0z t v t= au

mouvement précédent (v0 est une constante positive).

Quelle est alors la nature du mouvement du centre

d’inertie du poisson ?

6. Et si il rajoute une composante ( ) ( )0 cos zz t z tω= ?

Quelle est la nature du mouvement ?

y

x

O

A

B

α l

O x

z

ze

α

0v

xe

zC

xC

ye

g

C

ExerciceExerciceExerciceExercice 9999 : : : : CentrifugeuseCentrifugeuseCentrifugeuseCentrifugeuse

Pour entraîner les astronautes aux fortes accélérations

subies lors du décollage et lors de la rentrée dans l’atmosphère,

on les place dans un siège situé à l’extrémité d’un bras en

rotation. Un point M du sujet (par exemple son œil gauche)

décrit dans le référentiel lié au sol un cercle de rayon R = 5,0m

à la vitesse angulaire ω.

1. Pourquoi l’énoncé précise-t-il « un point du sujet », et non

pas simplement « le sujet » ?

2. Quelle est la valeur de la vitesse angulaire ω = ω0 (en

tour/seconde) pour laquelle l’accélération du point M dans

le référentiel lié au sol est égale à 30 m.s-2 ?

3. Quelle est alors la vitesse du point M dans le référentiel lié

au sol ? (Donner la valeur en m/s et en km/h)

4. Quelle est alors l’accélération du point M dans le

référentiel lié au siège ?

5. Partant de la vitesse nulle, la valeur ω0 est atteinte au bout

de 10s, et on suppose que entre t = 0 et t = 10s, la vitesse

angulaire est une fonction linéaire du temps. Déterminer

le vecteur accélération à la date t1 = 5s.

Exercice 10Exercice 10Exercice 10Exercice 10 : : : : Rotation d’un tourneRotation d’un tourneRotation d’un tourneRotation d’un tourne----disquedisquedisquedisque

Un tourne-disque, posé sur une table fixe (choix du

référentiel du laboratoire R) comporte un plateau de centre O,

de rayon R = 16cm tournant à la vitesse de 33 tours.min-1

supposée constante.

1. Quel est le mouvement d’un point M du plateau tel que

OM=r=10cm dans R ?

2. Quelle est la vitesse angulaire ω0 de rotation du point M en

rad.s-1 ou en °.s-1 dans R ?

3. Quelle est la vitesse instantanée du point M et celle d’un

point P de la périphérie du plateau dans R ?

4. Quelle est la distance parcourue par le point M en

t1=2min30s dans R ? Quelle est la valeur de l’angle

balayé par le rayon OM pendant ces 2min30s ?

5. Quel est le vecteur accélération du point M à la date t1

dans R ?

6. A l’instant t1, une phase de freinage débute et le plateau

s’immobilise à t2=2min40s. Dans cette phase, ω est

donné par α-βt. Déterminer les paramètres de freinage

α et β. Quels sont la vitesse instantanée du point M et le

vecteur accélération à la date t dans R ?

7. Faire l’AN à t3 = 2min35s pour aM.

ExerciceExerciceExerciceExercice 11 11 11 11 : Spirale d’Archimède: Spirale d’Archimède: Spirale d’Archimède: Spirale d’Archimède

Un disque D de centre O tourne dans le plan (Oxy) à vitesse

angulaire constante ω0 autour de l’axe (Oz). Un mobile ponctuel

M part de O à l’instant t = 0 et se déplace à vitesse constante le

long d’un rayon du disque : ( ) 0 0/ rv M D v v e= = (avec

00v > ).

L’étude du mouvement guidé de M peut s’effectuer dans

deux référentiels : le référentiel terrestre ( )0; , ,x y ze e eℜ ou

le référentiel du disque ( )0; , ,r zD e e eθ

.

Un exemple de spirale. Ressemble-t-elle à la nôtre ?

1. Représenter le disque et tous les vecteurs des bases définies

ci-dessus (on placera le point M entre le centre et le

bord du disque pour la clarté du schéma)

2. Considérons le mouvement de M par rapport au réf ℜ .

Redémontrer les expressions générales des vecteurs

position, vitesse et accélération du point M en fonction

de r, θ et de leurs dérivées temporelles successives :

dans la base cartésienne ( ), ,x y ze e e

dans la base cylindro-polaire ( ), ,r ze e eθ

Ces expressions sont-elles équivalentes ? Quelle est la base

la mieux adaptée pour résoudre ce problème ?

3. Donner, en coordonnées polaires, les équations horaires de

M : r(t) et θ(t). Vous les exprimerez en fonction de v0,

ω0 et t, en tenant compte du caractère guidé de M sur

un rayon du disque à la vitesse 0

v

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– ME1 ME1 ME1 ME1 –––– Cinématique du Point Cinématique du Point Cinématique du Point Cinématique du Point –––– Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2 Feuille 2/2

Rotation

Siège en

Rotation Bâti

Axe

Trajectoire

Circulaire

OOOO MMMM

Tourne-disque

PPPP

33 tours/min

Diamant

4. En déduire l’équation et tracer l’allure de la trajectoire dans

le référentiel terrestre ( )0; , ,x y ze e eℜ . Montrer que

r est incrémenté d’une longueur constante d à chaque

tour du disque.

5. Exprimer les vecteurs OM

, ( )/v M ℜ et ( )/a M ℜ

en

coordonnées polaires dans la base ( ), ,r ze e eθ

, en

fonction de v0, ω0 et t.

6. Quelle est la trajectoire et l’accélération ( )/a M D

dans le

référentiel du disque ?

MoMoMoMouvement 3D uvement 3D uvement 3D uvement 3D –––– Bases Quelconques Bases Quelconques Bases Quelconques Bases Quelconques

ExerciceExerciceExerciceExercice 12 12 12 12 : : : : Mouvement Mouvement Mouvement Mouvement sursursursur un cône un cône un cône un cône

PrPrPrPrésentation du problèmeésentation du problèmeésentation du problèmeésentation du problème ::::

On étudie le mouvement d’un point M dans le référentiel

( )0, , , ,X Y Ze e e tℜ =

. M se déplace sur un cône comme

représenté sur la figure ci-contre. On utilisera les coordonnées

cylindriques (r, θ, z). On connaît l’équation horaire donnant

l’angle ( ) ( ) ( )0

0

zt t t t

z tθ ω ω= = , ainsi que la hauteur initiale

z(0)=z0 et l’angle du cône α.

Première partiePremière partiePremière partiePremière partie : le point reste à : le point reste à : le point reste à : le point reste à z = zz = zz = zz = z0000 constante constante constante constante

1. Reproduire la figure et représenter pour le point M les

vecteurs de la base cylindrique ( ), ,r ze e eθ

, en laissant les

traits de constructions permettant de tout définir clairement.

2. Si le point M reste au contact du cône, donner la relation liant

r(t), z(t), et l’angle α.

3. Supposons un instant que le point reste à la même hauteur z0

et donc au même rayon r0 correspondant, Exprimer les

coordonnées du vecteur vitesse ( )/v M ℜ en fonction de r

et de θ. En déduire l’expression de la vitesse orthoradiale vθ

correspondante. Combien de temps met-il pour faire un tour

complet ?

4. Et si il est la hauteur z0/2 ? Donner vθ correspondante.

Combien de temps met-il ? Interpréter.

Seconde Seconde Seconde Seconde partiepartiepartiepartie : le point : le point : le point : le point chutechutechutechute à à à à vz = vzvz = vzvz = vzvz = vz0000 constante constante constante constante

On suppose maintenant que le point tombe de la hauteur

initiale z(0)=z0 avec une vitesse verticale constante vZ0<0.

5. Exprimer l’équation horaire de z(t), puis en déduire toutes les

autres équations horaires.

6. Représenter l’allure de ces coordonnées en fonction du temps,

ainsi que l’allure de ω(t). On note tf l’instant où le point

atteint le fond. Le calculer.

7. Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse ( )/v M ℜ tout

d’abord en fonction de (r, θ, z), puis en fonction de z0, vZ0,

ω0, α et t.

8. Exprimer les coordonnées du vecteur accélération

( )/a M ℜ

tout d’abord en fonction de (r, θ, z), puis en

fonction de z0, vZ0, ω0, α et t.

9. Représenter pour le point M les vecteurs ( )/v M ℜ et

( )/a M ℜ

sur 2 schémas différents (faire un zoom et

représenter chacune des composantes), ainsi que la

trajectoire (sur le même schéma que la vitesse).

10. Interpréter chacune des composantes de ces vitesse et

accélération (sens et direction).

ye

xe

ze

x

y

z

O

M α

TD TD TD TD ME1ME1ME1ME1 –––– Cinématique du PointCinématique du PointCinématique du PointCinématique du Point

Correction 1.1Correction 1.1Correction 1.1Correction 1.1 : Mouv: Mouv: Mouv: Mouvement 1D d’un pointement 1D d’un pointement 1D d’un pointement 1D d’un point

1. x α= , 0dx

vdt

= = , 2

20

dv d xa

dt dt= = =

2. x t bα= + , dx

vdt

α= = , 2

20

dv d xa

dt dt= = =

3. 2x tα= , 2

dxv t

dtα= = ,

2

22

dv d xa

dt dtα= = =

4. ( )cosx tα ω= , ( )

( )2

2

2

sin

cos

dxv t

dt

dv d xa t

dt dt

αω ω

αω ω

= = − = = = −

5. v α= , 0dv

adt

= = , ( ) ( ) ( ) 000

t

x t x v t dt x tα= + ⋅ = +∫

6. v t bα= + , dv

adt

α= = , ( ) ( ) ( ) 2

000

2

t

x t x v t dt x t btα= + ⋅ = + +∫

7. a α= , ( ) ( )

( ) ( ) ( )00

2

0 00

0

02

t

t

v t v dt v t

x t x v t dt x v t t

α α

α

= + ⋅ = + = + ⋅ = + +

∫

∫

8. a t bα= + , ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

00

2 3

0 00

02

02 6

t

t

v t v t b dt v t bt

bx t x v t dt x v t t t

αα

α

= + + ⋅ = + + = + ⋅ = + + +

∫

∫

Correction 1.2Correction 1.2Correction 1.2Correction 1.2 : Mouvement rectiligne : Mouvement rectiligne : Mouvement rectiligne : Mouvement rectiligne d’une d’une d’une d’une voiturevoiturevoiturevoiture

1. ( )( ) ( )

1

1

0

0 , , 0

a t a

t v t vτ

= >

∀ ∈ =

( ) ( )1 10

0

t

a d t a t

x t x

+ ⋅ =

=

∫21

10 2

t aa t d t t

+ ⋅ = ∫

( )

( )

τ τττ

− = = =

⇒ = = =

1

1 1 1 1

2

1 11 1

10 .

502

v v a m s

ax x m

2. ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1

1 1 2

2

1 2 1 2 1

221 1 1 1 1

, ,

0

2

t

t

t

a t a

v t v a dt v a t

ax t x v t dt x v t t

τ

τ

τ τ τ

τ τ

τ τ τ

∀ ∈ +

= < = + ⋅ = + − = + ⋅ = + − + −

∫

∫

( )

( )

τ τ τ ττ τ ττ τ τ τ τ

− = + = + = =

⇒ = + = + + = + +

ր1

2 1 2 1 1 2 2 2

2 2 2

2 2 1 1 2 22 1 2 1 1 2 1 1 2

9 . 240

2 2 2

v v a a m s x m

a a ax x x v a

3. ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

1 2 1 2 3

3

1 2 3 2 3 1 2

231 2 2 2 1 2 1 2

, ,

0

2

t

t

t

a t a

v t v a dt v a t

ax t x v t dt x v t t

τ τ

τ τ

τ τ τ τ τ

τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ

+

+

∀ ∈ + + +

= < = + + ⋅ = + − − = + + ⋅ = + − − + − +

∫

∫

( )

( ) ( )

τ ττ τ τ τ τ ττ

τ ττ ττ τ τ τ τ τ τ ττ

−+ = + + = + + = = =− − = + + = + + = = + + + + + =

21 1 2 23 1 2 3 1 1 2 2 3 3 3

3

2 22 2

3 3 3 31 1 2 23 1 2 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 3

0 1.8 .

2632 2 2 2

a av v a a a a ms

a aa ax x x v d a a m

Correction 1.3Correction 1.3Correction 1.3Correction 1.3 : Distance d’arrêt: Distance d’arrêt: Distance d’arrêt: Distance d’arrêt

On a ( )

( ) 2

0

0, , 0

, , 7.5 . 0

réaction

réaction arrêt

t t a t

t t t a t a m s −

∀ ∈ = ∀ ∈ = − = − <

Donc ( ) ( )

00, , 0 0

réactiont

réactiont t v t v dt∀ ∈ = + ⋅ ∫

( ) ( ) ( )0

0 0 0, ,réaction

t

réaction arrêt réaction réactiont

v

t t t v t v t a dt v a t t

=∀ ∈ = + − ⋅ = − − ∫

Et Puisque ( ) ( ) 00 0

0

0 4,6arrêt arrêt réaction arrêt réaction

vv t v a t t t t s

a= = − − ⇒ = + =

Ainsi : ( ) ( ) ( )( )0 0 000

réaction arrêt

réaction

t t

arrêt réactiontd x t x v dt v a t t dt= = + ⋅ + − − ⋅∫ ∫

Ce qui donne ( )2

20 00 0

0

782 2arrêt arrêt réaction réaction

a vd v t t t d v t m

a= − − = = + =

Correction 1.4Correction 1.4Correction 1.4Correction 1.4 : Parachutiste: Parachutiste: Parachutiste: Parachutiste

Le parachute s’ouvre à topen, alors

( )( )( )

0

1

lim

min

, , 0

200 .

open sol

open

open

t t t a t a

v t v m s

x t z

−

∀ ∈ = + > = = −

=

Et : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 lim 0

20

min lim

, ,

, ,2

open

open

t

open sol open opent

t

open sol open open opent

t t t v t v t a dt v a t t

at t t z t z t v t dt z v t t t t

∀ ∈ = + ⋅ = + − ∀ ∈ = + ⋅ = + − + −

∫

∫

Il nous faut ( ) ( )1

_max lim 05 .sol sol sol openv t v m s v a t t−= = − = + −

Ce qui correspond à un temps de freinage

( ) _max lim

min

0

6.5solsol open

v vt t t s

a

−∆ = − = =

Et ainsi 20min lim min min

6662

az v t t m= − ⋅ ∆ − ⋅ ∆ = ,

Correction 1.5Correction 1.5Correction 1.5Correction 1.5 : Mouvement rectiligne particulier: Mouvement rectiligne particulier: Mouvement rectiligne particulier: Mouvement rectiligne particulier

1. dOM dOAv

dt dtℜ ℜ

= =

( )fixe

d AM d AM

dt dtℜ ℜ

+ =

2. On intègre : ( ) 0t

dva a u v at u v

dtℜ

= = − ⋅ ⇒ = − ⋅ +

Et ( ) ( )

2

0 00

2t

dAM atv at v u AM v t u

dtℜ

−= = − + ⇒ = + +

3. On cherche le max de ( )

2

02t

atAM v t

−= +

en dérivant

( )0

0dAM

v t at vdt

= =− + = , atteint en 0v

ta

= .

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– ME1 ME1 ME1 ME1 –––– Feuille 1/ Feuille 1/ Feuille 1/ Feuille 1/3333

On a alors 2 2

0 0 0max 0

2 2

v v vaAM v

a a a

− = + =

Il faut donc 2

0max 2

2

vAM AB D

a= ≥ = 2

02 2v aD≥

Correction 2.1Correction 2.1Correction 2.1Correction 2.1 : Description de mouvements: Description de mouvements: Description de mouvements: Description de mouvements

a) ( )( )( )

1

3

0

x t t

y t t

z t

= +

= =

( )( )( )

1

1

1 .

3 .

0

x

y

z

v t m s

v t m s

v t

−

−

=

⇒ = =

( )( )( )

0

0

0

x

y

z

a t

a t

a t

=

⇒ = =

Mouvement Linéaire

b) ( )( )( )

2

2

4

0

x t t

y t t

z t

= = =

( )( )( )

12 .

8

0

x

y

z

v t m s

v t t

v t

− =

⇒ = =

( )( )( )

2

0

8 .

0

x

y

z

a t

a t m s

a t

−

=

⇒ = =

Mouvement Parabolique

c) ( ) ( )( ) ( )( )

sin

1 cos

0

x t R t t

y t R t

z t

ω ωω

= −

= − =

( ) ( )( )( )

1 cos

sin

0

x

y

z

v t R t

v t R t

v t

ω ωω ω

= − = =

( )( )( )

2

2

sin

cos

0

x

y

z

a t R t

a t R t

a t

ω ωω ω

= = =

Cycloïde = mouvement d’un point fixé à un cercle qui

roule sans glisser sur une droite (par exemple un point sur le

pneu d’une roue de vélo qui avance)

Correction 2.2Correction 2.2Correction 2.2Correction 2.2 : Trajectoire d’un ballon: Trajectoire d’un ballon: Trajectoire d’un ballon: Trajectoire d’un ballon----sondesondesondesonde

1. Vecteur

0

x

zCART

zv xv

v z vτ

= = =

ɺ

ɺ, 2 équations :

0

zx

z vτ

=

=

ɺ

ɺ

2. On intègre : ( ) ( )0x t x=

( ) ( )

2

0 0

0 2

0

t v t v tdt

z t z

τ τ + ⋅ =

=

∫

0 00

t

v dt v t

+ ⋅ = ∫

3. Cela donne une trajectoire d’équation 2

02

zx

v τ=

Parabole passant par l’origine

4. On a

2

0

0

2

CART

v tx

rz

v tτ

= =

,

0

0 CART

v tx

vz

vτ

= =

ɺ

ɺ et

0

0CART

vx

az

τ

= =

ɺɺ

ɺɺ

Correction 3.1Correction 3.1Correction 3.1Correction 3.1 : Mouvement circulaire: Mouvement circulaire: Mouvement circulaire: Mouvement circulaire

Méthode complète d’étude :

1. Syst étudié : Point C

2. Référentiel : ( )0; , ,x ye e tℜ

3. Syst de coordonnées adapté : Ici, les coordonnées POLAIRES

( ),r θ , car pour un mouvement circulaire, les équations

seront plus simples

4. Résolution

Position :

( ) ( ) ( )/ rr C OC t Re tℜ = =

Vitesse :

( ) ( )/

d OC tv C R e

dt θθℜ

ℜ = =

ɺ

Accélération : ( ) 2/ r

d va C R e

dtθ

ℜ

ℜ = = −

ɺ

Accélération Toujours ⊥ à la vitesse

Question 3 : Pour accélérer, il faut 0a v⋅ >

, pour ralentir

0a v⋅ <

. Ici, 0a v⋅ =

, donc la norme de la vitesse reste

constante au cours du mouvement (circulaire uniforme)

Correction 3.2Correction 3.2Correction 3.2Correction 3.2 : Spirale logarithmique: Spirale logarithmique: Spirale logarithmique: Spirale logarithmique

On a ( ) ( ) ( ) ( )0 0/ t

r r rr M Re t r e e t r e e tθ ωℜ = = ⋅ = ⋅

Donc ( ) 0

0

/t

r

t

POL POL POL

rv r ev M

v r r e

ω

ωθ

ωθ ω

⋅ ℜ = = = ⋅

ɺ

ɺ

Puisque rv vθ= , alors l’angle entre ( )/r M ℜ

et

( )/v M ℜ

est 454

radπ = °

Et ( )2

2

0

0/

22

r

t

POL POLPOL

a r ra M

a r er r ωθ

θωθ θ

− ℜ = = = +

ɺ ɺɺ

ɺ ɺɺɺ

Correction 4.1Correction 4.1Correction 4.1Correction 4.1 : Mouvement hélicoïdal: Mouvement hélicoïdal: Mouvement hélicoïdal: Mouvement hélicoïdal

1. On a ( ) ( )( ) ( )( )

cos

sin

x t R t

y t R t

z t k t

ωω

=

= = ⋅

, donc

( )

( )

( )

2 2

tan ,

r t x y R

yt Arc t

x

z t k t

θ ω

= + = = =

= ⋅

r = constante : le pt reste sur le cylindre d’axe Oz et de rayon R

Mouvement = superposition d’un mouvement circulaire dans le

plan (r,θ), et d’un mouvement linéaire suivant l’axe Oz.

2. Vitesse : ( )

0

/

CY LCY L

r

v M r R

z k

θ ω ℜ = =

ɺ

ɺ

ɺ

Norme ( ) 2 2 2/v M R kωℜ = +

Accélération : ( )2 2

/ 2 0

0CYLCYL

r r R

a M r r

z

θ ωθ θ

− − ℜ = + =

ɺɺɺ

ɺ ɺɺɺ

ɺɺ

3. Trajectoire :

4. Angle 2 2

tan r

z

v vArc

vθα

+ =

Donc tanR

Arc csttek

ωα = =

O

C

x xe

y

ye

R

θ re

eθ

Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES Supplément EXERCICES –––– ME1ME1ME1ME1

ExerciceExerciceExerciceExercice 1 1 1 1 : Distance de sécurité: Distance de sécurité: Distance de sécurité: Distance de sécurité ????

1. Avant l’arrêt, on a pour la première voiture :

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

00

2

00

7.5 . 0

0

02

t

t

a t a m s

v t v a dt v at

ax t x v t dt d v t t

−= − = − <

= + − ⋅ = − = + ⋅ = + −

∫

∫

Et pour la 2nde :

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

2

0 0

, 6 . 0

2

r

r

r

t

r rt

t

r r r rt

t t a t b m s

v t v t b dt v b t t

bx t x t v t dt v t v t t t t

−∀ > = − = − < = + − ⋅ = − − = + ⋅ = + − − −

∫

∫

La 1ère s’arrête au bout de ( ) 01

0v

v t ta

= ⇔ = , ce qui

correspond à une distance ( )2

01

2

vx t d

a= +

La 2nde s’arrêt au bout de ( ) 02

0 r

vv t t t

b= ⇔ = + , ce qui

correspond à une distance ( )2

02 0

2r

vx t v t

b= +

Il n’y a pas collision si ( ) ( )2 2

0 01 2 0

2 2r

v vx t x t d v t

b a> ⇔ > + −

2. AN : 33d m= : c’est très faible

3. En comparaison aux distances d’arrêt de chacune des voitures

prises séparément : ( )2

01 1 60

2

vd x t d m

a= − = = , et

( )2

02 2 0

752

r

vd x t v t m

b= − = = (2 valeurs calculées sans temps

de réaction, qui nous rajoute 0 18r rd v t m= = ) Le freinage de la

première voiture laisse de la place à la seconde…

4. Si les deux ont même décélération, il suffit de se placer à

distance d correspondant à la distance parcourue pendant le

temps de réaction de la 2nde voiture : 0 18r rd d v t m= = = , ce

qui serait vraiment juste dans la pratique…

ExerciceExerciceExerciceExercice 2 2 2 2 : D: D: D: De l’utilité de la ceinture de sécuritée l’utilité de la ceinture de sécuritée l’utilité de la ceinture de sécuritée l’utilité de la ceinture de sécurité ????

On note a l’accélération constante (vitesse décroissant linéairement).

En intégrant, 0

v v a t= + ⋅ , donc au bout de l’impact de durée τ, v(τ)=0

Et 0v

aτ

−= , donc 0

0

vx v v t

τ= = − ⋅ɺ et 20

02

vx v t t

τ= − ⋅ (CI nulle)

Ainsi, 0

2

vd

τ= et l’accélération :

220 0 98 .

2

v va m s

dτ−− −

= = = −

C’est une valeur très importante, on a intérêt à être bien

accroché. La ceinture retient de manière très forte les personnes

à l’intérieur de la voiture, c’est d’ailleurs pour cela que les

accidentés sortent d’un accident avec une brûlure au niveau de

la ceinture (plus au niveau de l’épaule en général).

ExerciceExerciceExerciceExercice 3 3 3 3 : : : : Mouvement rectiligne exponentielMouvement rectiligne exponentielMouvement rectiligne exponentielMouvement rectiligne exponentiel

1. Dimensions : [a] = L (en m) et [τ] = T (en s)

2. Au bout d’un temps très long, x tend vers a

3. Vitesse moyenne :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 1

2 1 2 1 2 1

exp 0,4 exp 0,6 0,608

t

tv t dt x t x t a a

vt t t t t t τ

⋅ − = = = − − − = − − −

∫

4. ln 1x

ta

τ = − −

, on en déduit avec la courbe a = 100cm

On peut tracer t en fonction de ln 1x

a

−

, qui doit être une fonction

linéaire, et on peut en déduire que τ = 2s.

Exercice Exercice Exercice Exercice 4444 : Mouvements rectilignes simultanés: Mouvements rectilignes simultanés: Mouvements rectilignes simultanés: Mouvements rectilignes simultanés

1. Vitesse Piéton :

0

0v

vℜ

=

, Position :

0

0

0r

v tℜ

= +

. Il n’y a

pas collision si le piéton passe le pt (x,y)=(0,L) avant la voiture :

_ _ _ _ 0

0

L passage L piéton passage L voiture

L D LVt t t v

v V D= = ≤ = ⇒ ≥

2. Vitesse Piéton : 1

1

sin

cos

vv

v

ϕϕ

ℜ

⋅ = ⋅

, donc 1

1

sin 0

cos 0

v tr

v t

ϕϕ

ℜ

⋅ + = ⋅ +

.

Donc pour le piéton : _

1cos

L piéton

Lt

v ϕ=

Et pour la voiture : _ _

1

tan

cosL voiture L piéton

D L Lt t

V v

ϕϕ

+= ≥ =

Cela donne la condition : ( )1cos sin

LVv f

D Lϕ

ϕ ϕ≥ =

+

3. On cherche le min de v en fonction de φ on cherche donc le

max du dénominateur ( ) cos sing D Lϕ ϕ ϕ= + on dérive :

( )min

sin cos 0 tandg L

D Ld D

ϕϕ ϕ ϕ

ϕ= − + = ⇒ = ,

et min 2 2 2

min

1cos

1 tan

D

D Lϕ

ϕ= =

+ +

Donc :

( )min 2 2cos tan

LV LVv

D L D Lϕ ϕ= =

+ +

Exercice Exercice Exercice Exercice 5555 : : : : Equations horaires (2D et 3D)Equations horaires (2D et 3D)Equations horaires (2D et 3D)Equations horaires (2D et 3D)

Rmq : En 3D, il faut 2 équations pour définir une droite…

a) Mouvement rectiligne uniforme (droite z=3x, y=2)

b) Mouvement rectiligne uniformément décéléré (droite x=z=0)

c) Mvt rectiligne uniformément accéléré (droite y=0, x=-5x)

d) Mvt rectiligne uniformément accéléré (droite y=0, x=2)

e) Mvt parabolique uniformément accéléré (x=4, y=-16z2)

f) Mvt rectiligne sinusoïdal (droite y=3, z=0, autour de x=0)

g) Mvt plan sinusoïdal (z=0, x=4sin(ωy))

h) Mvt plan… faire un schema…

i) Mvt plan sinusoïdal (z=0, x=sin2(ωy)=1-cos(2ωy))

j) Mvt circulaire dans le plan z=0, rayon R, centre (x,y)=(0,0))

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– ME1 ME1 ME1 ME1 –––– Feuille 2/ Feuille 2/ Feuille 2/ Feuille 2/3333

k) Mvt hélicoïdal (voir exercice 4.1 du TD) = composition d’un

mvt circulaire dans le plan xy et d’un mvt linéaire suivant z

l) Composition d’un mvt circulaire dans le plan xy et d’un mvt

sinusoïdal suivant l’axe des z… Faire le schéma pour mieux le

visualiser…

Exercice 6Exercice 6Exercice 6Exercice 6 : Tir balistique dans un champ de pesanteur: Tir balistique dans un champ de pesanteur: Tir balistique dans un champ de pesanteur: Tir balistique dans un champ de pesanteur

1. ( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

00

00

0/

0 cos/

sin0

0/

x

zCART CART

t

x x x

tz CARTCARTz z

CART

aa M

g a

v a dt v t vv M

v gtv tv a dt

xr M

αα

ℜ = = −

+ ⋅ ℜ = = = − + ⋅

ℜ =

∫

∫

( )0

0

t

xv dt

z

+ ⋅∫ ( )( )

0

2

00

cos

sin2

t

CARTz CARTCART

v tx t

gv t tz tv dt

α

α

= = − + ⋅

∫

2. Trajectoire : on élimine le temps :

( )

0

2

2 2

0

cos

tan2 cos

x tt

v

gz x x

v

α

αα

=

= −

Parabole

3. Sommet pour 0sin

0z S

vdzv t

dt g

α= = ⇔ =

( )( )

2 2

0 0

2 2 2 2 2 2

0 0 0

sin cos sin2

2

sin sin sin

2 2

SS

S S

v v

x tx g g

z z t v v v

g g g

α α α

α α αℜ ℜ

ℜ ℜ

⇒ = = = −

4. Portée : La trajectoire recoupe l’axe Ox pour :

( ) 2

0 0

0

0 sin 2 sin22

P

P P PP S

tg

z t v t t vt t

g

α α=

= = − ⇔ = =

.

Alors ( )

( )

2

00

22 2 2

0 0

sin2cos

cos sin 2sin

P P

x z

vOP x t v t

g

v v v v v

αα

α α α

= = =

=

+ = +

− =

On retrouve la norme initiale en P… mais v

vers le bas.

5. On fixe v0, g est aussi fixé car il s’agit de la pesanteur. La

portée est maximale pour 454

πα = = ° . Il vaut donc mieux

tirer à 45° pour aller le plus loin possible !!!

6. Pour atteindre une cible (xC, zC), ses coordonnées doivent

vérifier l’équation de la trajectoire, l’inconnue étant alors α :

2

2 2

0

tan2 cos

C C C

gz x x

vα

α= − , que l’on peut

transformer ( )2

2

2

0

tan 1 tan2

CC C

gxz x

vα α= − + et ainsi :

2 22 0 0

2

2 2tan tan 1 0C

C C

v v z

gx gxα α

− + + =

Il s’agit d’une équation du 2nd ordre en tan α, que l’on peut

résoudre si ∆>0 :

22 2

0 0

2

2

0ta

24 1

n

2

2

C

C C

C

v v z

gx gx

v

gxα

− +

∆ =

∆

= ±

Il existe bien 2 valeurs possibles : la première

correspond au tir direct (touche la cible en montant), la

seconde au tir indirect (touche la cible en redescendant)

7. Par contre un point n’est pas accessible si ∆<0 :

2 220 _0

2

2 2

0_ 2

02

02

1

2

C inaccessible

C C

CC inaccessible

v zv

gx gx

v gxz

g v

< +

> −

∆ < ⇔

⇔

On est sur la parabole de sureté à la limite ∆=0 :

2 2

0_ 2

02

02

CC inaccessible

v gxz

g v∆ = −= ⇔

Cette courbe est une parabole d’axe Oz, et de sommet A, avec 2

0

2A

vz

g= , qui enveloppe toutes les trajectoires que permet de

réaliser le vecteur 0

v

de norme constante et de direction

ajustable. La parabole de sureté coupe l’axe en 2

0max

vx

g=

ExerciceExerciceExerciceExercice 7 7 7 7 : : : : Echelle DoubleEchelle DoubleEchelle DoubleEchelle Double

1. On a sin cos

cos sinA

l ldOA dv

l ldt dt

α α αα α αℜ ℜ ℜℜ

= = = −

ɺ

ɺ

Et 2

2

cos cos sin

sin sin cos

AA

l l ldv da

ldt dt l l

α α α α α αα α α α α αℜ ℜ ℜℜ

− = = = − − −

ɺ ɺɺ ɺ

ɺ ɺɺ ɺ.

2. Pour B : 2 sin 2 cos

0 0B

l ldOB dv

dt dt

α α αℜ ℜ ℜℜ

= = =

ɺ

Et 22 cos 2 cos 2 sin

0 0B

B

l l ldv da

dt dt

α α α α α αℜ ℜ ℜℜ

−= = =

ɺ ɺɺ ɺ

Exercice Exercice Exercice Exercice 8888 : : : : La ronde d’un poisson rougeLa ronde d’un poisson rougeLa ronde d’un poisson rougeLa ronde d’un poisson rouge

1. On élimine t : 2 2x y R+ = Cercle de rayon R, centre O.

2. Vitesse ( ) sin/

cosCART CART

x R tv M

y R t

ω ωω ω−

ℜ = =

ɺ

ɺ

x

z Parabole

de sureté

O

2

0max

vx

g=

g

2

0

2A

vz

g=A

Norme : ( ) 2 2/ x yv M v v Rωℜ = + =

Mvt Uniforme

Ω représente la vitesse angulaire de rotation

3. Accélération ( )2

2

2

cos/

sinCART CART

x R ta M OM

y R t

ω ωω

ω ω −

ℜ = = =− −

ɺɺ

ɺɺ

4. En polaire ( ) 0/

POLPOL

rr Rv M

t Rrθ ω ωθ =

⇒ ℜ = = =

ɺ

ɺ

Et ( )2 2

2/02

POLPOL

r r Ra M OM

r r

θ ω ωθ θ

− −ℜ = = = −

+

ɺ ɺɺ

ɺ ɺɺɺ

5. Avec une composante linéaire suivant z, il fait un mouvement

hélicoïdal (voir exercice 4.1 du TD)

6. Avec une composante alternative, il faut la représenter : une

sinusoïde enroulée sur un cylindre.

Exercice Exercice Exercice Exercice 9999 : : : : CentrifugeuseCentrifugeuseCentrifugeuseCentrifugeuse

1. Un point du sujet : R différent v et a différents

2. Pour un mouvement circulaire uniforme, en coordonnées

polaires, on a ( )2 2

0/02

SOL

POLPOL

r r Ra M

r r

θ ωθ θ

− −ℜ = =

+

ɺ ɺɺ

ɺ ɺɺɺ

Donc 1 1

02,45 . 0,39 .

arad s tour s

Rω − −= = =

3. Vitesse en coord polaires : ( )0

0/

POLPOL

rv M

Rr ωθ

ℜ = =

ɺ

ɺ,

Donc 1 112,2 . 44 .v m s km h− −= =

4. Le pt M est immobile dans le réf du siège : ( )/ 0SIEGEa M ℜ =

5. On a tω α= ⋅ avec 20,245 .rad sα −=

L’accélération est : ( )2 2 2

/ SOL

POL POL

R t Ra M

R R

α ωα α

− −ℜ = =

Pour t = t1 = 5s, ω=2,4rad.s-1, ( )2

2

7,5 ./

1,2 .SOL

POL

msa M

ms

−

−

−ℜ =

Exercice 10Exercice 10Exercice 10Exercice 10 : : : : Rotation d’un tourneRotation d’un tourneRotation d’un tourneRotation d’un tourne----disquedisquedisquedisque

Un tourne-disque, posé sur une table fixe (choix du

référentiel du laboratoire R) comporte un plateau de centre O,

de rayon R = 16cm tournant à la vitesse de 33 tours.min-1

supposée constante.

1. Mvt de M : circulaire uniforme

2. ω0 = 33 tours/min = 3,46rad.s-1, 198°.s-1.

3. Vitesse de M : ( ) 10

00/

0,346 .POLPOL POL

rv M

Rr msωθ −

ℜ = = =

ɺ

ɺ

Point P à la périphérie ( ) 1

0/ 0,553 .Pv P R e msθω −ℜ = =

4. En 2min30s, si M reste au même rayon, il parcourt

d=vt1=51,8m, et balaye un angle 1 0 1 518 29700t radθ ω= = = °

5. Accélération du point M :

( )2 2 2

01,19 .

/0 02

POL POLPOL

r r R msa M

r r

θ ωθ θ

− − − −ℜ = = =

+

ɺ ɺɺ

ɺ ɺɺɺ

6. A t1 : 1 1 0

tω α β ω= − = , et à t2 : 2 2

0tω α β= − = ,

Donc 20

2 1

0,346 .rad st t

ωβ −= =−

et 1

255.3 .t rad sα β −= = .

On a ( ) ( )0

/POLPOL

rv M

R tr ωθ

ℜ = =

ɺ

ɺ

Et ( )2 2

/2

POLPOL

r r Ra M

Rr r

θ ωβθ θ

− −ℜ = = −+

ɺ ɺɺ

ɺ ɺɺɺ

L’accélération tangentielle reste constante pendant le

freinage (uniformément décéléré), alors que l’accélération

normale varie avec ω.

7. AN à t3 = 2min35s :

( )22

3 2 2

0,299 ./

3,46.10 .POL POL

msRa M

R ms

ωβ

−

− −

−−ℜ = = − −

.

Exercice 11Exercice 11Exercice 11Exercice 11 : : : : Spirale logarithmiqueSpirale logarithmiqueSpirale logarithmiqueSpirale logarithmique

2. Expressions générales des position, v et a en cartésienne :

( )

( )2

cos

sin

cos sin/

sin cos

cos 2 sin sin cos/

sin 2 cos

CART CART

CART CART

x rOM

y r

x r rdOMv M

ydt r r

r r r ra M

r r r

θθ

θ θ θθ θ θ

θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ

ℜ

= =

− ℜ = = =

+

− − −ℜ =

+ −

ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ

ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ

ɺ ɺɺɺɺ ɺ 2cos sinCART

rθ θ θ

−

ɺ

Et en coordonnées polaires : Expression beaucoup plus adapté,

mais complètement équivalent :

( )

( ) ( ) 2

0

/

//

2

rr

POL

r

POL

POL

r d eOM r e puisque e

dt

r d ed OMv M e

dt dtr

r rdv Ma M

dt r r

θ

θ

θ

θθ

θθ θ

ℜ

ℜ ℜ

ℜ

= = ⋅ → =

ℜ = = → = −

−ℜ ℜ = = +

ɺ

ɺ

ɺɺ

ɺɺɺ

ɺ ɺɺɺ

3. On a ( ) 0 0/ r rv M D v v e r e= = = ⋅ ɺ , donc en intégrant

l’expression : ( ) ( )0r t r= ( ) ( )00

t

r t dt r t v t+ ⋅ = =∫ ɺ

Et la vitesse angulaire du disque est constante : 0

d

dt

θω θ= = ɺ ,

donc en intégrant, ( ) ( )0tθ θ⇒ = ( )0 00

t

dt t tω θ ω+ ⋅ = =∫

SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES SOLUTION des EXERCICES –––– ME1 ME1 ME1 ME1 –––– Feuille Feuille Feuille Feuille 3333/3/3/3/3

4. Trajectoire : On élimine le temps 0

0

vr θ

ω= , cela nous fait

une spirale d’espacement constant entre deux passages

successifs : ( ) ( )0 0

0 0

22

v vr r d

πθ π θ θω ω

+ = + = + avec 0

0

2 vd

πω

= .

A chaque tour, le rayon est incrémenté de d…

5. Expression des vecteurs en base polaire :

( )

( ) ( )

0

0

0 0

0 0

0 0

2

0

/

//

2

POL

POL

POL

OM

d OMv M

dt

dv Ma M

v t

v

v t

v

t

t

vd

ω

ωω

ℜ

ℜ

=

ℜ = =

ℜ

⋅

− ⋅ ℜ = =

6. Dans le référentiel du disque :

( )

( ) ( )

0

0

0

/0

//

0

0

disque

disque

POL

POL

POL

OM

dOMv M

dt

d

v

v M

v

adt

t

M

ℜ

ℜ

=

ℜ = =

ℜ ℜ = =

Attention: Dans le référentiel du disque, les vecteurs er et eθ

sont fixes, on n’a plus les mêmes expressions… On obtient

une accélération nulle Pour un observateur fixe par rapport

au disque, la trajectoire de M est une droite

ExerciceExerciceExerciceExercice 12 12 12 12 : : : : Mouvement sur un côneMouvement sur un côneMouvement sur un côneMouvement sur un cône

2. On a r(t) = z(t) tan α

3. Point à même hauteur z0, même rayon r0 :

( ) 0 0

0 0

0 0

/

C Y L C Y L C Y L

r

r r r

z

v M θ θ ω = =

ℜ

=ɺ

ɺ ɺ

ɺ

0 0rv rθ θ ω== ɺ , il fait un tour en

0

2T

πω

=

4. A z = z0/2 = cstte, rayon r(t) = r0/2 et 02θ ω=ɺ

0 0v rθ ω=

est la même qu’a la question précédente, par contre on fait un

tour en

02

TT

ωπ′ = = , c’est 2 fois plus petit car on parcourt un

périmètre 2 fois plus faible à la même vitesse.

On suppose maintenant que le point tombe de la hauteur initiale

z(0)=z0 avec une vitesse verticale constante vZ0<0.

5. Vitesse verticale constante : on intègre

( ) ( ) ( )0 000

0t

z zz t z v dt z t z v t= = ++ ⋅ =∫

On en déduit : ( )

( )0

0

0

0

0

0

tan tanz

z

r t z v t

tz v t

tzωθ

α α = + ⋅

=+

6. Temps au fond : ( ) 0

0

0f f

z

zz t t

v

−= ⇔ =

7. Après calculs, ( ) 0

0

2

0

0 0

0

tan

tan/

z

CYL

z

z CYL

zv M

z

v

zv

r

rt

v

ααθ ω

ℜ =

= +

ɺ

ɺ

ɺ

8. Après calculs, ( )

( )

( )( )

( )

2 4

0

3

02

2

00 0

00

0

0

2

tan

tan2

2

0

/

z

z

CY

CYL

zL

z

zr r

r r

v t

v za M

z v tz

α

θ

ω

αθ θ ω

−

+ − + = +

ℜ =

ɺɺɺ

ɺ ɺɺɺ

ɺ

ɺ

9. Interprétation :

vr < 0 : le rayon diminue

vθ > 0 : tourne dans le sens positif

vz < 0 : le point descend

ar < 0 : fait tourner vers le centre du cône

aθ < 0 : la vitesse orthoradiale diminue

az = 0 : vitesse verticale constante

Documents

Supplément EXERCICES – ME2 – Dynamique du Point – Feuille