Support de cours Didactique des Mathématiques

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  • Karine Bcu-Robinault Matre de Confrences INRP

    Support de cours

    Didactique des Mathmatiques

    Licence Sciences de lducation

    3

  • Chapitre

    1 I N T R O D U C T I O N

    Introduction la didactique des mathmatiques Ce chapitre vise prsenter le cours, donner une dfinition de la didactique, dcrire les projets quelle se donne et ses objets dtude

    Plan gnral du cours Le but de ce cours est de permettre aux tudiants de se doter de quelques outils thoriques leur permettant de mieux comprendre les origines des erreurs des lves, les objectifs de lenseignement des mathmatiques, les difficults en lien avec lenseignement et lapprentissage de cette discipline.

    Quelques exemples de cadres thoriques de la didactique des mathmatiques seront prsents, avec des applications systmatiques.

    - les variables didactiques ; - le contrat didactique ; - la thorie des situations et les situations problmes ; - la rsolution de problmes en mathmatiques ; - la thorie des champs conceptuels ; - la transposition didactique.

    Ltudiant devra connatre ses diffrentes thories, mais aussi savoir les appliquer lanalyse dnoncs et de productions dlves. Les exemples prsents seront en lien avec les programmes de lcole primaire et du dbut du collge.

    Quest-ce que la didactique des mathmatiques ? On peut trouver lorigine historique de lutilisation du terme didactique dans la grande didactique de Comenius, publi en 1649. La didactique serait au dpart un synonyme savant de pdagogie.

    Initialement, ce terme dsigne ce qui vise instruire , qui concerne l'intention d'enseigner, d'expliciter mthodiquement les procds d'un art ou d'une science , qui concerne l'intention

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  • I N T R O D U C T I O N

    d'enseigner, d'expliciter mthodiquement les procds d'un art ou d'une science. (Trsor de la Langue Franaise). Actuellement, ce terme a une connotation pjorative dans la plupart des discours tenus dans la vie quotidienne : les cours de sciences seraient-ils trop didactiques?

    Les quelques dfinitions de la didactique avant 1980 donnent galement penser la didactique comme une mthode :

    R. LAFON (1963) : art d'enseigner exerc par un adulte

    H. PIERON (1963) : Science auxiliaire de la pdagogie relative aux mthodes les plus propres faire acqurir telle ou telle matire...

    G. MIALARET (1979) : Ensemble des mthodes, techniques et procds pour l'enseignement

    On retrouve travers ces dfinitions que la didactique serait un ensemble de recettes et dastuces pour mieux enseigner Lorsque lon interroge les tudiants, on retrouve frquemment acceptations suivantes : mthode denseignement, moyen technique, pdagogie spciale, art denseigner

    Or, la didactique est un champ de recherche, pas une mthode do limportance de lanalyse de contenus. Ainsi, la didactique serait une science autonome, sinspirant de la psychologie, de lpistmologie, des sciences du langage, des sciences cognitives

    Nous pourrons retenir comme correctes les deux dfinitions suivantes pour la didactique des mathmatiques :

    Douady (1984) : La didactique des mathmatiques est ltude de processus de transmission et dacquisition des diffrents contenus de cette science, et qui se propose de dcrire et dexpliquer les phnomnes relatifs aux rapports entre son enseignement et son apprentissage. Elle ne se rduit pas chercher une bonne manire denseigner une notion fixe .

    Brousseau (1991) : Science sintressant la production et la communication des connaissances mathmatiques dans ce que cette production et cette communication ont de spcifique de ces connaissances. La didactique des mathmatiques tudie la faon dont les connaissances sont cres, communiques et employes pour la satisfaction des besoins des hommes vivant en socit .

    Des objets dtude La didactique sest dote doutils lui permettant dtudier diffrents objets, tels que :

    Les oprations relatives la diffusion des connaissances (thorie des situations didactiques)

    Les conditions dexistence et de diffusion de ces connaissances (cologie des savoirs) Les transformations produites par cette diffusion Sur les connaissances (transposition didactique) Sur les utilisateurs (apprentissages, rapports au savoir) Les institutions et activits facilitant ces oprations.

    Ainsi, le projet de la didactique peut tre dcrit comme un moyen de thoriser les phnomnes denseignement (autant en ce qui concerne lenseignement que la formation) et dapprentissage (quil sagisse dapprentissages scolaires ou professionnels). Cette thorisation sous-entend une distinction fondamentale qui est celle de lenseignement et de lapprentissage.

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  • I N T R O D U C T I O N

    La didactique se donne galement le projet dagir sur le systme denseignement et de formation : cest ce que lon nomme lingnierie didactique. Cette ingnierie didactique peut tre mene au sein de projets de recherche-dveloppement. Un des points essentiels de la didactique est daider reprer les variables conditionnant les apprentissages et dtudier leur rle en fonction du contexte dans lequel elles sont mises en uvre.

    La distinction parfois difficile entre apprendre et enseigner , peut tre comprise lorsque lon tudie des expressions ambiges. Par exemple, lexpression japprends conduire peut signifier soit japprends conduire avec un moniteur soit japprends conduire mon fils . La premire expression renvoie une activit dapprentissage. Dun point de vue tymologique, cela signifie saisir, comprendre. Cest une activit qui se situe du cot de llve. La deuxime renvoie une activit denseignement. Dun point de vue tymologique, cela signifie placer un signe (laisser une marque). Cest une activit qui se situe du cot du matre.

    Les variables didactiques : dfinition du domaine des possibles

    Activit pralable (en petits groupes)

    1- Vous devez construire un cours - problme ou exercice dapplication de mathmatique pour des lves. Quels sont les diffrents lments que vous devez prendre en compte ?

    2- Essayez de regrouper ces lments en quelques catgories (spcifier si elles concernent lapprentissage ou lenseignement)

    Exemple

    Un crmier reoit sa commande dufs dans des cartons. Dans un carton, il y a 240 ufs. Ces ufs sont dans des botes de 6 et de 12. Une bote de 6 pse 20g vide. Un uf pse en moyenne 50g. Dans un carton, il y a 8 botes de 12. Le carton vide pse 300g. Plein, il pse 13,2 kg. Le crmier vend la bote de 6 ufs 1 et la bote de 12 ufs 1,90.

    Pour chacune des questions ci-dessous, prciser sil est possible de rpondre avec ces donnes. Si cest le cas, rpondre la question, sinon expliquer pourquoi il nest pas possible de rpondre.

    A) Quel est le nombre de botes de 6 ufs dans un carton ?

    240 8x12 = 144 ufs dans les boites de 6

    144 / 6 = 24 boites de 6 ufs

    B) Quel est le poids dune bote de 12 ufs vide ?

    Poids de toutes les botes de 12 : 13200 300 240x50 24x20 = 420 g

    Poids dune bote : 420/8 = 52,5 g

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  • I N T R O D U C T I O N

    C) Quel est le bnfice ralis par le crmier quand il a vendu un carton dufs ?

    On ne peut pas rpondre, car on ne connat pas le prix dachat

    Analyse

    A partir de la rflexion engage ci-dessus, on pointera quil est important, si lon veut concevoir un problme donner rsoudre des lves, de pouvoir connatre les rponses aux questions ci-dessous :

    Quelles sont les connaissances pralables des lves? (niveau scolaire, priode de lanne) ?

    Quels sont les outils quils peuvent utiliser ? Quel est le contrat entre llve et lenseignant? (rapports interpersonnels du point de

    vue du savoir) ? Quel est lobjectif du problme? Quelles sont les connaissances vises?

    Dfinition

    Une variable didactique est une variable dont la modification des valeurs provoque des adaptations, des rgulations, des apprentissages, et, dans le cas de la recherche de la solution d'un problme, des changements de stratgies. (Brousseau)

    Les variables sont les lments (interne et externe) dun problme qui, lorsquils sont modifis (consciemment ou pas) jouent un rle dans sa rsolution par les lves. Une variable didactique est un paramtre de la situation qui peut prendre plusieurs valeurs selon la dcision du matre. Cest un lment dont la variation est susceptible de modifier le processus de rsolution que les lves vont adopter (et donc lapprentissage).

    Un champ de problmes peut tre engendr partir dune situation par la modification de certaines variables qui, leur tour, font changer les caractristiques des stratgies de solution (cot, validit, complexit, etc.) [] Seules les modifications qui affectent la hirarchie des stratgies sont considrer variables pertinentes et parmi les variables pertinentes, celles que peut manipuler un professeur sont particulirement intressantes: ce sont les variables didactiques (Brousseau, 1982)

    Il existe diffrents types de variables, et lenseignant ne peut pas modifier nimporte quel type de ces variables.

    Les variables de contexte :

    aux objectifs denseignement. Ces objectifs dpendent des conceptions des enseignants, de leur rapport la discipline.

    llaboration des outils conceptuels. Cette laboration prend en compte la diversification des savoirs, les phnomnes de mode.

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  • I N T R O D U C T I O N

    A lorigine et lhistoire des lves, qui permettent de prendre en compte les apprentissages pralables, les critres sociologiques, ltat psychologique des lves.

    Lenseignant na pas vraiment de prise sur ces variables de contexte. Il doit faire avec, et ne peut les modifier.

    Par contre, il existe dautres variables qui sont disposition de lenseignant et quil peut donc modifier :

    Type de cours ou dactivit : lenseignant peut choisir de faire un cours magistr

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