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Sur le problème de la stabilité de Sur le problème de la stabilité de Lyapunov des systèmes discrets non-Lyapunov des systèmes discrets non-
linéaires non-stationnaires dans le cadre linéaires non-stationnaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement des ensembles asymptotiquement
contractifs.contractifs.
Bouyekhf Rachid-Lyuboumir GruitchBouyekhf Rachid-Lyuboumir Gruitch
Laboratoire SeTLaboratoire SeT
UTBMUTBM
22
Plan de la présentationPlan de la présentation
Historique Position du problème Solution du problème Conclusion
33
Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles
asymptotiquement contractifs.
1960: Hahn
Etat de l'art
1962: Weiss 1964: Kalman et Bertram 1964: Halanay
NkRxkkxfkx n ,),),(()1(
Systèmes étudiésSystèmes étudiés
Limitation de la méthode de Lyapunov
Elle n'est pas applicable dans le cadre des ensembles dépendants du temps
44
)exp(]1)[()1( 22 kkkxkx ExempleExemple
Soit xxv )( une fonction de Lyapunov candidate pour le système
Critère de Lyapunov : S’il existe un voisinage connexe S de x=0 et une fonction
Sxkxvkxvxv ,0))(())1(()(),( xkv définie positive sur S tels que
Alors le point d’équilibre est stable
1)exp(1)( 2 kkxxxv
)exp()1(
1:)( si0)(
2 kkxRxkSxxv
ProblématiqueProblématique
Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles
asymptotiquement contractifs.
55
Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles
asymptotiquement contractifs.
Conclusion : Le point d'équilibre x=0 est stable.
ProblématiqueProblématique
QuestionQuestion
Pourquoi les critères de Lyapunov ne sont pas applicables dans ce cas?
66
Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles
asymptotiquement contractifs.
La cause
0
)exp()1(
1:)(
2 kkkxRxkS
L'ensemble S(k) dans lequel est asymptotiquement contractif
ProblématiqueProblématique
ConséquenceConséquenceL'ensemble S(k) n’est pas positivement invariant par rapport à c-à-d il n’existe aucun tel que xxv )(
kkSxvRxV )()(:
R
0v
77
0k
)( 0kS
1k
)( 1kS
2k
)( 2kS
)( 0kx)( 1kx )( 2kx
xxV ; V V V
)( 3kx
)()( si 0car ?0)()( 33 kSkxvvkSkx kVkxv )(0
)( 3kS
Interprétation géométriqueInterprétation géométrique
0kS
xxV ;
88
Problème posé
Indiquer si la méthode de Lyapunov résout réellement la question de la stabilité dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs.
Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles
asymptotiquement contractifs.
99
Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles
asymptotiquement contractifs.Réponse au problèmeRéponse au problème
Proposition de deux approches différentes
Approche 1: Méthode de LyapunovMéthode de Lyapunov
Deux critères
Critère 1: Utilisation de deux fonctions
définit la frontière de l'ensemble considéré
une fonction définie positive
),( xk
),( xkv
Critère 2
Si l’ensemble est invariant par rapport à seule cette fonction est nécessaire pour le test de la stabilité asymptotique
),( xkv
1010
Principe : Critère 1Principe : Critère 1
On choisit une fonction définie positive v(k,x) et on calcule Δv(k,x)
Si Δv(k,x) ≤ 0 dans un ensemble S(k) et si 0)(lim
kSk
On construit alors la fonction frontière ω(k,x) de S(k)
0k
)( 0kS
1k
)( 1kS
2k
)( 2kS
)( 0kx)( 1kx )( 2kx
Si Δω(k,x) ≤ 0 dans S(k) alors kkSkx )()(
Conclusion : Le point d’équilibre est asymptotiquement stable
1111
Principe : Critère 2Principe : Critère 2
On choisit une fonction définie positive v(k,x) et on calcule Δv(k,x)
Si Δv(k,x) ≤ 0 dans un ensemble S(k) et si 0)(lim
kSk
1k
)( 1kS
2k
)( 2kS)( 0kx
)( 1kx )( 2kx
)( 0kV )( 1kV
)( 2kV
kkSxkvxkV )(),(:)( On vérifie si
Conclusion : Le point d’équilibre est asymptotiquement stable
0k
)( 0kS
1212
Principe : Critère 2 , version 2Principe : Critère 2 , version 2
On choisit une fonction globalement définie positive v(k,x) et on calcule
Δv(k,x)
)( 0kx
)( 1kx )( 2kx
)( 0kV )( 1kV
)( 2kV
0),(:)(
kxkvxkV Si
S’il existe un ensemble A tel que et Δv(k,x) ≤ 0 dans AkAkV )(
0k 1k 2k
A
Conclusion : Le point d’équilibre est asymptotiquement stable Si la stabilité asymptotique est globalenRA
1313
Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles
asymptotiquement contractifs.
Approche 2 : Utilisation du concept des fonctionsUtilisation du concept des fonctions génératricesgénératrices
Ces fonctions définissent les frontières des ensembles non-stationnaires et jouent le même rôle que celui des fonctions de Lyapunov
Principe :
Avantage : La définition positive des fonctions génératrices n'est plus nécessaire.
1414
0k
)( 0kG
1k
)( 1kG
Principe: Principe: Approche 2Approche 2
On choisit une fonction quelconque g(k,x) et on construit l'ensemble qui lui est associé
),(:)( xkgxkG
)(,0),( kGxxkg L’attractivité de l’équilibre est assurée si
On vérifie ensuite l'asymptotique contractivité de sa fermeture 0)(lim
kGk
2k
)( 2kG)( 0kx
)( 1kx )( 2kx
kAkG )(La stabilité est assurée s’il existe un ensemble invariant A tel que
A
1515
Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles
asymptotiquement contractifs.
ExempleExemple
)exp(1)()1( 3 kkxkx
1)exp(1),( 2 kxxkg 1)0,( kgSoit g n’est pas définiepositive
)exp(1
1:1)exp(1:)(
1Pour
22
kxxkxxkG
0)(lim kG
k
1 avec : )( 2 xxAkGStabilité de x=0 :
)( 0),( kGxxkg 11
eSiAttractivité de x=0 :
Le pont d’équilibre x=0 est asymptotiquement stable et est une estimation de son domaine de la stabilité asymptotique
)( 0kG
1616
Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles
asymptotiquement contractifs.
Généralisation du concept des fonctions génératricesGénéralisation du concept des fonctions génératricesà des ensembles non-asymptotiquement contractifsà des ensembles non-asymptotiquement contractifs
RésultatsRésultats
-- Elaboration de nouveaux critères pour juger de la stabilité asymptotique des systèmes discrets non-linéaires
-- Détermination exacte du domaine de la stabilité asymptotique du point d'équilibre
Pourquoi?Pourquoi?
Construction d’une approche alternative pour l'étude de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires sans passer par les fonctions définies positives.
1717
0k
)( 0kG
1k
)( 1kG
Principe de la généralisation Principe de la généralisation
)( 0kx
)(,0),( kGxxkg et
kNkGN 21 )(La stabilité asymptotique est assurée s’il existe 2 ensembles invariants
21; NN tels que
2N
2k
)( 2kG
1N
On choisit une fonction quelconque g(k,x) et on construit l'ensemble qui lui est associé
),(:)( xkgxkG
Si )(/;0),( kGRxxkg n est le domaine exacte de la SA)( 0kG
1818
0k
SxkvxkV ),(:)(
)( 0kx
S
N
0k
)( 0kG
1k
)( 1kG)( 0kx
S
2k
)( 2kG
N
Fonction quelconque g(k,x)
),(:)( xkgxkG
kSkGN ,)(
Il existe 2 ensembles invariants
NS; tels que
)(,0),( kGxxkg
Méthode de LyapunovMéthode de Lyapunov18921892
Notre approcheNotre approche
v(k,x) définie positive et « décrescente »
sur un ensemble invariant S
Δv(k,x) < 0 sur S
)(),( xxkv )( 1kx
)( 2kx
1k
)( 1kV
2k
) ( 2kV
)( 0kV
1919
Merci pour votre attentionMerci pour votre attention
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