Math. Z. 110, 206-210 (1969)

Sur les produits tensoriels ordonn6s NICOLAE POPA

On montre que l'espace des applications bilin6aires continues sur le pro, duit d'un treillis de Fr6chet nucl6aire avec un treillis de Fr6chet qui admet un syst6me fondamental d'ensembles relativement compacts solides, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les produits de compacts, est un treillis localement-convexe, complet au sens de l'ordre.

Si E est un treillis de Fr6chet nucl6aire et F est un treillis de Fr6chet qui admet un syst6me fondamental d'ensembles relativement compacts solides, alors on montre que E @ F est un treillis de Fr6chet.

Soit E, F, G des espaces lin6aires ordonn6s localement-convexes.

Nous rappelons que un treillis localement-convexe est un treillis qui admet un syst6me fondamental de voisinages solides de 0. Une application lin6aire (bilin6aire) qui s'6crit f = f l - f 2 , oiJ f l et f2 sont des applications lin6aires (bilin6aires) positives, est appel6e rdguli~re. Une application f est appel6e continu-rOguli&e si f l et f2 sont en outre continues. L'espace des applications lin6aires et continues de E dans F (respectivement l'espace des applications bilin6aires de E x F dans G) est not6 par L(E, F)(B(E, F; G)).

L'espace des fonctionnelles lin6aires (bilin6aires) r6guli6res est not6 par Lr(E,F)(Br(E,F)) et l'espace des fonctionnelles continu-r6guti6res est not6 par Let(E, F)(Bcr(E, F)).

L'espace B (E, F), muni de la topologie de la convergence uniforme sur les produits de compacts (born6s) de E et F, est not6 par Bc • (E, F) (B b • b (E, F)).

E est appel6 dirig~ si le c6ne C des 616ments positifs engendre l'espace. Si A c E, alors l'enveloppe pleine de A est l'ensemble [A] = (A + C) c~ (A - C).

Soit o- une famille de parties born6es de E. Alors C est un a-edne strict si les ensembles F(B c~ C), B~a forment une sous.famille fondamentale de ~r.

Quand o- coi~ncide avec la famille des parties born6es de E, alors C est appel~ ~-cdne strict [7-1.

Th~or~me 1. Si E est un treillis de FrOchet nucl&ire et F est un treiltis de Frdchet qui admet un systOme fondamental d'ensembles relativement compacts solides, alors B~• muni de l'ordre naturel, est un treillis localement- convexe, complet au sens de l'ordre.

Ddmonstration. Puisque E est nucl6aire, en vertu du th6or6me des noyaux, il r6sulte que tout u e B (E, F) s'6crit

u= ~ ;~i f / | g~, i=1

Sur les produits tensoriels ordonn6s 207

off {Jl} est une suite 6quieontinue de E', {g~} est une suite 6quicontinue de F' et {2t} est un 616merit de ) .

Alors ils existent {x~,l}, {x'.z } des suites 6quieontinues et positives de E', {Y'~I}, {Y'~2} des suites ~quicontinues et positives de U et {2.1 }, {2~2 } deux 616ments positifs de ? , tels que:

f(x,y)-, - ~ ),,,,lx.l(x)y.l(y)-' " ' ~ ,~,,zx.2(x)y.z(y),~ ' ' n = t n = l

Done B(E, F)=B~(E, F). R+ciproquement, soit une application bilin6aire et positive. Alors de [ t ] , il r6sulte que ueB(E, F).

Done B(E, F)= B~(E, F), qui est un treillis complet au sens de Fordre.

Montrons qu'il est un treillis localement-convexe.

Mais Bc• E'~) aIg6briquement et topologiquement et t'iso- morphisme est ordinal, en vertu du th6or~me 6.1.13, chap. V, [2].

Done L~(F, E~,) est un treillis vec~orieL t2videmment le c6ne de L~(F, E~,) est non~aal. E'~ est un treillis nucl6aire topologiquement complet et en vertu du th6orOme 4, [4], E'~ =A(P), A(P) 6tant un espace de suites, nucl6aire. Alors te th6or~me 6.1.3, [5] nous montre que la topotogie de E~ est donn6e par les s6minormes q({~})= sup j~ij Pi avec p~P.

Done dans E'~, existe un syst+me fondamental de voisinages sotides V~ qui a ta propri6t6 que pour tout ensemble B c V, off Best major6 darts E~, sup BE V. Ce syst6me est form6 par tes boules associ6es aux s6minormes q. Puisque F a un systbme fondamental d'ensembles relativement compacts solides, U(C, V) = { u ( C ) c V}, off C est un ensemble relativement compact solide de F et V est un voisinage darts E'~, forment un syst6me fondamental de voisinages darts L~ (F, E'~).

Soit W un voisinage de 0 du syst~me de plus haut tel que W + W c V.

Si us U(C, V) alors

u+(x) = u + ( x + ) - u+(x )

=sup {u(x)lO_x _x+}

-sup{u(x')lO<_x'<<_x } ~ W - W c V .

Done L~ (F, E'~) est un treillis toealement-convexe. Q.E.D.

Remarque. D'une manibre analogue on montre que, si E est un treillis de Fr6chet nucl6aire et F est un treitlis de Fr6chet, alors B b ~ ~(E, F) est un treillis localement-convexe.

Exemptes des treillis de Fr6chet ayant un syst~me fondamental d'en- sembles relativement compacts solides sont t ~, co, tes treitlis de Fr6chet- MonteL

D~finition 1. Nous appelons un ffl-espace rdticutO de type ddnombrable un triplet (E, N, z) off E est un espace dirig6 de type (D), [7], YJ une famille de

208 N. Popa:

parties de E, nomm6es bornOs et zes t une correspondence associant h chaque ensemble B e N une topologie z (B) ayant les propri6t6s suivantes:

a) Nes t un recouvrement h6r6ditaire de E, ferm6 pour la prise de ia r6union finie, de l'enveloppe convexe et de l'homoth+tique.

b) Le seul sous-espace lin6aire bornd de E est l'espace nul.

c) Si B x et B 2 sont born~s, l 'application (bl, b2)--+ b 1 + b 2 de B 1 x B 2 sur B l + B 2 est continue pour les topologies z(B1), z(B2), v(B1 +B2) .

d) Si B c B', z (B) est la topologie induite par z (B') sur B.

e) Si B est un bornO compact, convexe, 6quilibr6, tel que [ B n C] c B, alors l'origine a un syst6me fondamental de voisinages V convexes, 6quilibr6s, tels que [ V n C ] c V ~ V n C - V n C. C est un N-c6ne strict et B c~ C est ferm6 pour z (B).

f) Existe un syst6me fondamental d6nombrable pour ~ , form6 par des born6s tels que ces du point e).

Dbfinition 2. Soit (E, ~ , z) un ffl-espace r6ticul6 de type d6nombrable. Alors nous appelons le ffl-dual de E, l'espace F des fonctionnelles lin6aires f sur E, tels que f /B est z (B)-continue pour tout B e N.

Sur l'espace F nous consid6rons la topologie de la ~-convergence et la relation d'ordre donn6e par le c6ne K des fonctionnelles positives sur E.

Lemme. Le ffl-dual F d'un espace ffl-r~ticul~ de type d~nombrabie (E, Y3, z) est un treillis de Fr~chet.

D~monstration. En vertu de [8], il r6sulte que F est un espace de Fr6chet.

Montrons que F est un treillis vectoriel.

Soit f ~ F e t f+(x)= sup f (x ' ) - sup f (x") ,x=xl-x2 ,xDx2>O. 0 "( 9r ~ 3C1 O ~ X t t ~ X 2

Alors f+ est lin6aire et positive en vertu de (1.4), chap. V, [7]. Elle est m@me la partie positive de f dans l'espace des formes r6guli6res L,(E, R).

Montrons que f+/B est continue pour z. I1 est suffisant de montrer qu'elle est continue dans 0.

Puisque f iB est continue pour z, il r6sulte que pour tout e>0, existe V un voisinage de 0 pour z, ayant les propri6t6s du point e) de la d6finition 1, tel que si xeV, alors If(x)[<�89 Si x~V, alors x = x l - x 2 a v e c x1, x2~Vu'l C et

sup f(x')<�89 sup f (x")<2ie , O<_x'<_xt O<_x"<_x2

puisque [ V n C] c V~ Vn C - Vn C.

Donc If+(x)L <e, c'est4t-dire f+/B est continue pour ~.

I~videmment le c6ne de F est ferm6.

En outre il est normal puisque le c6ne C de F est ~-strict. Alors, en vertu du corollaire 2, (7.3), chap. V, [7], il r6sulte que F est un treitlis de Fr6chet. Q.E.D.

Sur tes~preduits tcnsoriels ordorm6s 2 ~

Pour d6montrer le th6or~me pfincipaI de cette note nous avons besoin de la d~finition d'uae relation d'ordre naturelle sur E Q F.

Soit E et E deux espaces locatement-convexes s6par6s et ordonn6s, ayant los c6nes A, B'normaux et ferm6s,

Alors. il existe une relation d'ordre unique sur E | F, not6e par 7z qui a la propri6t6 suivante:

Pour tout l'espace G, ayant los memos propri6t~s comme E et F, l'iso- morphisrne canonique entre l'espace B(E, F; G) et L(E | F, G) induit un iso- morphisme d'espaces vectorieltes ordonn6s entre B~(E, F; G) et .L~ (E | F; G).

Le c6ne des 616meats positifs pour la relation d'ordre ~ est le c6ne engendr~ par A | B.

D~finifion 3 [6-]. En prenant ta fermeture de ce c6ne dans te compeer6 E ~ F nous obtenons m~e relation d'ordre appel~e la relation d'ordre pro- jr sur EQF, de c6ne C.

Th~or~me 2, Si E est un treitlis de Frdchet nucldaire, F est un treittis de Frdchet ayant un sys&me fondamenmt d' ensembtes retati~emem compacts solides, ators E ~ F, avec Fordre project~ est un treilIis de Frdchet.

D~mo~k~trc~tion. En vertu du th6or~me i, B ~ ( E , F ) admet un syst~me fcmdamentat de voisinages sotides-~C

Puisque E ~ F est un espace de Fr~chet, doric rennetS, iI r~sulte que los ensembles ~quico~tinus de B(E, F) coincident avec tes ensembles born6s de (E(~ F); et en vertu du corollaire l, prop. 12, chap. I, [3], nous obtenons que les ensembles ~quicontinus de B(E, F) sont mame los ensembles born6s de

La remarque nous montre que B(E, F) admet un syst6me fondamental d~,nombrabte No d'ensembles 6quicontinus et solides et donc te c6ne de B (E, F) est ~o-strict.

Mais, en vertu du corollaire 2, th6or6me 1, [3J, it r$sulte quetes ensembles 6quicontinus de B(E, F) sont relativement compacts darts B~ ~(E, F) = (E (~ F)~,

Le triplet (El, ~ , ~:) est un ~(f/-espa.ce r6ticul6 de type d6nombrabte, ofi Ei=B(E,F ), ~"~ est :~a ~hraitIe des ensembles 6quicontinus de B(E, F) et ~(B) est ia restrictkm A B e ~ de ta topNogie de B,• F).

Alors de |emme, I'espace ~ , te ~s de E~, est un treiliis de Fr~ehet.

Mais Ie th~or~me de eompt~tion de Grothendieck nous montre que F i est isomorphe atg~briquement et topotogiquement avec E @ F, I'isomorpNsme ~tant donn6 par l'application u-~ v avec ueF l, v e E Q F et u(f)=f(v) pour tout f e B (E, F).

Montrons qne cet isomorphisme es't ordinal.

En effet ~me cons6quence du th~or6me de Hahn-Banach montre q~e, sl E est un espace lin6aire ordonn6 locatement-convexe a b ~ t un c6ne form6 A, ators x e A siet seutement si x'(x)>O, off x ~ est une fonctionnelle lin~aire, con~ tinue et po~tive sur Eo t5 M.~th, Z. :Bd, I,~

210 N. Popa: Sur les produits tensoriels ordonn6s

En appliquant cette remarque pour l'espace E(~ F et le c6ne C, donn6 par la d6finition 3, il r6sulte que v~ C si et seulement si f(v)>= 0 pour toute f_>_ 0 dans B(E, F), c'est-~t-dire si et seulement si u(f)>O, f>=O dans B(E, F), cequi est 6quivalent avec la r6tation uEK.

Donc E (~ F avec le c6ne C coincide alg6briquement, topologiquement et ordinal avec F 1 muni du c6ne K.

Donc E Q F, ordonn6 projecfif est un treitlis de Fr6chet. Q.E.D.

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(Refute 1 Fdvrier 1969)