Surekli Hal Hatalari

7/25/2019 Surekli Hal Hatalari

1/12

91

91

BLM 7

SREKLHAL HATALARI

Kontrol sistemlerinin analizinde ve dizaynnda zellie odaklanlr, bunlar ;1) stenilen bir geici hal cevabretmek. ( Ts, %OS, , n,)2) Kararl olmas. Ksaca kutuplarn dikey eksenin solunda yada en azndan

eksenin zerinde olmasistenmektedir.3) Srekli hal hatasnn kk olmas.4) Srekli hal hatasnksaca tanmlarsak belirli bir test girii iin tgirive

karasndaki farktr.

7.1Giri

Srekli hal hatalarnn deerlendirilmesinde kullanlan test dalga ekilleri:

Tablo 7.1

Basamak fonksiyonu sabit konum kontrol iin kullanlr, yrngesinde bulunan biruydu bu fonksiyon iin iyi bir rnektir. Rampa fonksiyonu sabit hzlgirilerin pozisyonkontrolnde kullanlr. Parabol fonksiyonu sabit ivmeli uygulamalarda kullanlr, bufonksiyonun uygulamalariin fzeler nemli rneklerdendir.

Dalga ekli Giri Fiziksel karlZamanfonksiyonu

LaplaceFormu

Basamak

Rampa

Parabol

Sabit Konum

Sabit hz

Sabit vme


2/12

92

92

Srekli Hal Hatasnn Belirlenmesi

ekil 7.1

ekil 7.1 incelendiinde eriler yardmyla srekli hal hatas ile ilgili yorumlaryaplabilir. ekil 7.1 (a) da giri ile k1 arasnda ess=0dr; k2 de ise tiken

giri ile arasndaki farktan dolaybir essoluur. 7.1 (b) de giri ile k1 arasnda ess olumaz; k2 de girile olan farktan dolaybir ess oluur ve bu ess ta giderkensabit bir saydr; k3 iin grafii incelediimizde yine bir essin olutuunu grrz

ve tolurken essolur.Son deer teoremi:

( )[ ] ( ) ( )0.).(0

0FssFdtetftfL

st

s==

&&

(7.1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0lim000

fssFffdttfs

==

&

(7.2)

Giri

k1

k 2

Zaman

(a)

Giri

k1

k2

Zaman(b)

k3


3/12

93

93

( ) ( )ssFfs 0lim

= (7.3)

( ) ( )tfft

= lim (7.4)

0lim ( ) lim ( )sst s

e e t sE s

= = (7.5)

ekil 7.2

Sistemde hata, girive karasndaki fark olduundan kapalevrimli bir sistem ke(t) olarak ekil 7.2 (a) daki gibi gsterilebilir. Burada stnde duracamz srekli halveya son durumdaki e(t) deeridir. Bu srekli hal hatasnncelikle ekil 7.2 (b)dekigibi bir birim geri beslemeli sistem iin inceleyeceiz. Daha sonra birim geri

beslemesiz,H(s) 1, sistemleri ele alacaz.

Srekli Hatasnn Oluma Nedenleri

Kontrol sistemlerinde srekli hal hatalarnn bir ou dililer arasndaki boluklar, amplidoymas veya motorlarn l blgesi gibi lineer olmayan kaynaklardan dolay oluur.Bizim stnde alacamz srekli hal hatalar ise sistemin kendi konfigrasyonu ve

uygulanan giriin tipine balolarak oluan hatalardr.

rnein ekil 7.3de ki sistemi inceleyelim, R(s) giriC(s) ise ktr ve bu durumdaE(s) = R(s) C(s) hata iaretidir .Giriin basamak fonksiyonu olduunu kabul edelim.Srekli halde eer c(t), r(t)ye eit olursa e(t) sfr olacaktr. Ancak saf kazanla, K, eerc(t) sfr deilse ve sonlu bir deerse hata, e(t), sfr olamaz. Bundan dolaybu (a)dakikonfigrasyon iin sistem sfr srekli hal hatas veremez. Sisteme bir integratreklenirse sfr srekli hal hataselde edilebilir.

ekil 7.3

Eer css sistemin knn srekli hal deeri ve ess sistemin srekli hal hatas ise budurumda;


4/12

94

94

css= Kess (7.6)

veya

cKe ssss

1= (7.7)

olur. Belirtildii gibi sistemden bir k alnmak isteniyorsa ess sfr olamaz. Kazanbydke hata klr.

7.2 Birim Geri Beslemeli Sistemlerde Srekli Hal Hatas

Birim geri beslemeli sistemlerde srekli hal hatas sistemin kapal evrim transferfonksiyonu olan T(s), veya ak evrim transfer fonksiyonu G(s) yardmylahesaplanabilir.

T(s)e BalOlarak essfadesinin Belirlenmesi

ekil 7.2 (a)da ki gibi bir sistemi dnelim, E(s)i bulmak iin ;

E(s) = R(s) C(s) (7.8)

C(s) = R(s)T(s) (7.9)

Denklemleri dzenlediimizde ve buradan E(s) i ektiimizde:

E(s) = R(s)[1-T(s)] (7.10)

Elde edilen denkleme son deer teoremini uygularsak;

)](1)[()(lim)(0

sTssRssEees

ss === (7.11)

elde edilir.

rnek:ekil 7.2 (a)da T(s)=107

52

++ ss olsun giri birim basamak olduuna gre

ess=?

zm:

2

1

107

57lim

107

51

1lim

2

2

020=

++

++=

++

ss

ss

ssss

ss

(7.12)

G(s) ye BalOlarak essfadesinin Belirlenmesi

ekil 7.2 (b)da ki gibi birim geri beslemeli bir sistemi dnelim, E(s)i bulmak iin ;


5/12

95

95

E(s) = R(s) C(s) (7.13)C(s) = E(s)G(s) (7.14)Denklemleri dzenlediimizde ve buradan E(s) i ektiimizde:

E(s) = R(s) E(s)G(s) (7.15)

E(s)[1 + G(s)] = R(s) (7.16)

E(s) =)(1

)(

sG

sR

+ (7.17)

Elde edilen denkleme son deer teoremini uygularsak;

)(1

)(lim)(lim)(

00

sG

sRsssEee

ssss

+

===

(7.18)

FarklTest Sinyalleri in Srekli Hal Hatalar

Basamak Fonksiyonuin essHesab

R(s) =s

1alndnda ve

)(1

)(lim

0 sG

sRs

s +te yerine konulduunda

)()(lim1

1

0

=+

=

esG

e basamak

s

ss

(7.19)

ebasamak()0 iin

)(lim0

sGs olmaldr

G.(s) = (7.20)

)(lim0

sGs

iin n 1 olmalki srekli hal hatas0 olsun.

n = 0 iin ise...

...)(

21

21

PP

ZZsG = , buradan grlecei gibi esssonlu bir deer oluyor.

Rampa Fonksiyonu in essHesab

R(s) =2

1

salndnda ve

)(1

)(lim

0 sG

sRs


=++

++

)...)((

)...)((

21

21

PsPss

ZsZsn


6/12

96

96

)(lim

1

)(1

1

lim)(

0

2

0 ssGsG

ss

e

s

srampa

=+

=

(7.21)elde ediliyor.erampa iin

)(lim0

ssGs

olmalbundan dolayn 2 olmaldr.

Parabolik Fonksiyonu in essHesab

R(s) =3

1

salndnda ve

)(1

)(lim

0 sG

sRs


)(lim

1

)(1

1

lim)(2

0

3

0 sGssG

ss

e

s

sparabol

=+

=

(7.22)

elde ediliyor. eparabol iin

)(lim 20

sGss

olmalbundan dolayn 3 olmaldr.

ntegratr Olmayan Sistemin Srekli Hal Hatas

ntegratr olmayan sistemin srek hal hatasnaadaki rneklerde inceleyelim.

rnek:5u(t), 5tu(t) ve 5t2u(t) deerindeki giriler iin ekil 7.4de ki sistemin sreklihal hatlarnbulunuz. u(t) birim basamak fonksiyonudur.

ekil 7.4(Nise,2000)

zm:lk olarak sistemin kararlolup olmadntespit etmek gerekir ancak bu rnekiin bu detaylara bu soruda yer vermeyeceiz.

Girie R(s) =s

5 basamak fonksiyonu uygulandnda;

215

2015

)(lim15

0

=+

=+

=

sGe

s

ss

(7.23)

Girie R(s) =s

2

5rampa fonksiyonu uygulandnda;


7/12

97

97

===

0

5

)(lim

5)(

0ssG

e

s

rampa

(7.24)

Girie R(s) = 10/s3parabol fonksiyonu uygulandnda;

eparabol = olur. (7.25)

Ayngirifonksiyonlarnekil 7.5 ya uygulayarak srekli hal hatalarnbulalm;

ekil 7.5

Girie R(s) =s

5basamak fonksiyonu uygulandnda;

01

5

)(lim1

5

0

=+

=+

=

sGe

s

ss

(7.26)

Girie R(s) =s

2

5rampa fonksiyonu uygulandnda;

05.0100

5

)(lim

5)(

0

===

ssGe

s

rampa

(7.27)

Girie R(s) =s

3

5parabol fonksiyonu uygulandnda;

eparabol = olur. (7.28)

7.3 Statik Hata Sabitleri Ve Sistem Tipi

7.3.1Statik Hata Sabitleri

Srekli hal hatasperformans zelliklerine statik hata sabitleri olarak adlandrlr. Busabitlerin nasl belirlendiini, nasl hesaplandninceleyeceiz.


8/12

98

98

Girie u(t) basamak fonksiyonu uygulandnda;

)(lim1

1)(

0sG

ee

s

basamak

+==

(7.29)

Girie tu(t) rampa fonksiyonu uygulandnda;

)(lim

1)()(

0ssG

ee

s

rampa

==

(7.30)

Girie2

1t2u(t) parabol fonksiyonu uygulandnda;

)(lim

1)()(

2

0sGs

ee

s

parabol

==

(7.31)

Paydada bulunan limitli terimler srekli hal hatasn belirler. Bu limitlere statik hatasabitleri denir.

Pozisyon sabit, Kp,

)(lim0

sGKs

p

= (7.32)

Hz sabiti, Kv,

)(lim0

ssGKs

v

=

(7.33)

vme sabiti, Ka,

)(lim 20

sGsKs

a

= (7.34)


9/12

99

99

rnek: ekil 7.6 deki her bir sistem iin statik hata sabitlerini ve beklenen hatalarstandart basamak, rampa ve parabolik girifonksiyonlariin bulunuz.

ekil 7.6

zm:Sistemlerin kararlolduu kabul ediliyor. ncelikle ekil 7.6 (a) iin statik hatasabitlerini belirleyelim.

208.512108

52500)(lim

0=

==

sGKs

p

(7.35)

0)(lim0

==

ssGKs

v (7.36)

0)(lim 20

==

sGsKs

a (7.37)

Bylece basamak girii iin;

161.01

1)( =+

=

Ke

p (7.38)

Rampa giriiin;

(7.39)==K

ev

1)(


10/12

100

100

Parabolik giriiin;1

( )a

e

K

= = (7.40)

ekil 7.6 (b) iin statik hata sabitlerini belirleyelim.

==

)(lim0

sGKs

p (7.41)

25.3112108

652500)(lim

0=

==

ssGKs

v

(7.42)

0)(lim 20

==

sGsKs

a

(7.43)


01

1)( =

+=

Ke

p (7.44)

Rampa giriiin;

(7.45)

Parabolik giriiin;

(7.46)

ekil 7.6 (c) iin statik hata sabitlerini belirleyelim.

==

)(lim0

sGKs

p (7.47)

== )(lim0 ssGK sv (7.48)

87512108

76542500)(lim 2

0=

==

sGsKs

a

(7.49)


032.025.31

11)( ===

Ke

a

==

Ke

a

1)(


11/12

101

101

01

1)( =

+=

Ke

p (7.50)

Rampa giriiin;

(7.51)

Parabolik giriiin;

(7.52)

7.3.2 Sistem Tipi

Statik hata sabitlerinin deerlerinin G(s), zelliklede saf integratr saysna baloldugunu grdk. ekil 7.8de verilen sistemde grlen fonksiyondaki n bize sistemintipini veriyor.

ekil 7.7(Nise,2000)

Tablo 7.2de srekli hal hatas, statik hata sabiti ve sistem tipi bir arada gsterilmitir.

Tablo 7.2

01)( ==K

ea

875

11)( ==

Ke

a

GiriSrekli-halhatasformlleri

Tip 0

Statik hataHata

Statik hata Statik hataHata Hata

Basamak

Rampa

Parabol

Sabit

Sabit

Sabit

Tip 1 Tip 2


12/12

102

102

7.4 Srekli Hal Hataszellikleri

Bir rnek zerinde aklayacak olursak; Kv=1000 olarak verildiinde, sabitin ait olduusisteme dair bazzellikler hakknda hemen yorum yapabiliriz.Kontrol sistemini kararldr.

Kontrol sisteminin tipi 1 dir.Kontrol sisteminin girisinyali rampa fonksiyonudur.

Kontrol sisteminin srekli hal hatasbirim eim banaKv

1=10-3 dr

rnek: Kp=1000 olarak statik hata sabiti verilen sistem ile ilgili hangi sonularaulaabiliriz.

zm:

Sistem kararldr.Sistemin tipi 1dir.

Sistemin giriine uygulanan test sinyali basamaktr.Sistemin srekli hal hatas

1001

1olarak bulunur.

Srekli Hal Hatasna gre Kazan Salayacak Sistem Dizayn

rnek:ekil 7.8 iin %10 srekli hal hatasverecek kazancbulunuz.

ekil 7.8

zm:Sistemin tipi 1 dolaysyla hataya uygu olarak girirampa fonksiyonu olmal,nk sadece rampa fonksiyonu tip 1 de (sfr dnda) sonlu bir hata verebilir.

1.01

)( ==K

ev (7.53)

672876

)(lim100

=

===

KssGKs

v

(7.54)

Documents

Surekli Hal Hatalari