Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2011/2012.

Sadržaj sveske iz predmeta Matematika 2Odsjeci: Inžinjerski dizajn proizvoda, Inžinjerska ekologija, Menadžment proizvodnim

tehnologijama, Održavanje

Sedmica broj 1 i 2 (Odre eni integrali)

• Tablica integrala. 3 • Izra unavanje odre enih integrala pomo u neodre enih. 4 • Osobine odre enih integrala. 5 • Zamjena promjenjivih u odre enom integralu. 6• Nepravi (nesvojstveni) integral. 13• Primjena odre enog integrala: I Izra unavanje površine ravne figure. 14

• II Zapremina rotacionog tijela. 27• III Dužina luka krive. 29 • IV Izra unavanje površine dijelova zakrivljenih ploha (Komplanacija obrtne pov.). 31

Sedmica broj 3 i 4 (Funkcije dvije promjenjive)

• Funkcije dvije promjenjive. Definiciono podru je f-je dvije promjenjive. 33 • Tablica izvoda. 37 • Parcijalni izvodi. 38 • Totalni i parcijalni diferencijal. 40 • Parcijalni izvodi i diferencijl višeg reda. 42 • Parcijalni izvodi i diferencijl složenih funkcija. 45 • Parcijalni izvodi višeg reda složenih funkcija. 51 • Ekstremi funkcija dvije promjenjive 55

• Uslovni ekstremi funkcija dvije promjenjive 67• Jedna ina tangentne ravni i jedna ina normale na površ 75

Sedmica broj 5, 6 i 7 (Višestruki integrali)

• Dvojni (dvostruki) integrali 83• Smjena promjenjivih u dvojnim integralima 107

• Trojni (trostruki) integrali 131• Ra unanje trostrukih integrala uvo enjem cilindri nihi sfernih koordinata 141

• Primjena dvojnog integrala 151• Primjena trostrukog integrala 167

1

Sedmica broj 8, 9 i 10(Krivoliniski integrali)

• Krivoliniski integrali prve vrste (po luku) 187• Primjena krivoliniski integrali prve vrste: Ra unanje površine cilindri ne površi 197

• Krivoliniski integrali druge vrste (po koordinatama) 201• Green-Gausova formula 215

• Primjena krivoliniski integrali druge vrste: Ra unanje površine ravne figure 225 • Nezavisnost krivoliniskog integrala od vrste konture. Odre ivanje primitivnih f-ja. 235

Sedmica broj 11 i 12 (Površinski integrali)

• Površinski integrali I vrste 247• Površinski integrali II vrste 263

• Primjena površinskog integrala 275• Stoksova formula 279• Formula Gaus-Ostrogradskog 287

Sedmica broj 13 (Integrali ovisni o parametru)

• Diferenciranje svojstvenog integrala ovisnog o parametru 293• Diferenciranje nesvojstvenog integrala ovisnog o parametru 297

Sedmica broj 14 i 15 (Vektorska teorija polja)

• Skalarno polje. Gradijent skalarnog polja. Vektorsko polje. Rotor i divergencija vektorskog polja. 303

• Cirkulacija i fluks vektorskog polja. 319

Dodatak(Ispitni rokovi)

• Svi ispitni rokovi iz 2011 godine 331

Zbirke zadataka za dodatno usavršavanje i napredovanje:• Berman: Zbirka zadataka iz Matemati ke analize, Nau na knjiga, 1978 • Peri , Tomi , Kara i : Zbirka riješenih zadataka iz Matematike II, Svjetlost, 1987 • Uš umli , Mili i : Zbirka zadataka iz Matematike II, Nau na knjiga,• Ferenci, Ungar, omi , Cvijetanovi , Uzelac: Zbirka zadataka iz Matematike za studente Tehni kih fakulteta, Nau na knjiga, 1983 • Ze i , Huskanovi , Alajbegovi : Matematika 1 za tehni ke fakultete, MF, 2009

(sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov Za sve uo ene greške pisati na infoarrt@gmail.com)

2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24

25 26

27 28

29 30

31 32

33 34

35 36

37 38

39 40

41 42

43 44

45 46

47 48

49 50

51 52

53 54

55 56

57 58

59 60

61 62

63 64

65 66

67 68

69 70

71 72

73

(Zadaci su skinuti sa stranice: \pf.unze.ba\nabokovZa uocene greske pisati na infoarrt@gmail.com)

74

75 76

77 78

79 80

81 82

83 84

85 86

87 88

89 90

91 92

93 94

95 96

97 98

99 100

101 102

103 104

105 106

107 108

109 110

111 112

113 114

115 116

117 118

119 120

121 122

123 124

125 126

127 128

129 130

71131 132

133 134

1. Izra unaj trostruki integral . 2

0

11

1

)4(2

dzzdydxIx

Rješenje:

340

3410)

322(10)

3(10)1(10

10)28(2

4)4(

1

1

31

1

1

1

2

11

1

1 1

1

2

0

2

0

1

1

22

0

111

1 2222

xxdxx

dxydydxdyzzdxdzzdydxIxxxx

2. Izra unaj trostruki integralG yxdxdydz

1, gdje je G ograni ena ravnima :

a) x+y+z=1, x=0, y=0, z=0;

b) x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.

Rješenja:

a)G yxdxdydz

1 x=0, y=0, z=0

Skicirajmo oblast G (vidi sliku desno).

x+y+z=1 1111zyx

x= 0 je yOz ravan y= 0 je xOz ravan z= 0 je xOy ravan

Odredimo projekciju oblasti na xOy ravan: Nacrtati sliku (uputa: pogledati xoy ravan sa slike desno).

x+y+z=1z= 0

135

x+y=1z= 1-x-y

yxzxy

x

101010

Sa slike projekcije odredimo granice:

21

211

2

)1())1(1

1(

11

11

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

xx

dxxdxydydxdyyxyx

dx

dyzyx

dxdzyx

dydxyx

dxdydz

xxx

yx xyx

x

G

b)G yxdxdydz

1 x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.

Skicirajmo oblast G (vidi sliku).

dxxdxx

dxxxttdtdx

xtyxty

dtdytyx

yxdydx

yxdyzdxdz

yxdydx

x

x

x

x1

0

1

0

1

0

4

1

1

0

1

0

4

1

1

0

5

2

4

2

1

0

5

2

4

2

1

0

5

2

1ln24ln2

1ln4ln2ln22

4512

1

12

11

136

11ln

1

1ln1ln

44ln

4

4ln4ln

xxdxxx

xvxdxdu

dvdxxudxx

xxdxxx

xvxdxdu

dvdxxudxx

54ln10

45ln

45ln2

45

225

ln2

2ln245ln8

25ln21ln24ln8

25ln2

122

44222ln5ln2

121ln2

424ln2

1054

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

xx

xdxdx

xdxdx

xxdxxx

xxdxxx

137 138

139 140

141 142

143 144

145 146

147 148

149 150

68151 152

153 154

155 156

157 158

159 160

161 162

163 164

165 166

167 168