SVEUČILIŠTE U RIJECI - oliver.efri.hroliver.efri.hr/zavrsni/911.B.pdf3.2.2. Simpleks metoda ... klasifikacije, metoda diskripcije, komparativna metoda, metoda kompilacije, matematička

SVEUČILIŠTE U RIJECI

EKONOMSKI FAKULTET

Vanja Podunavac

OPTIMIZACIJA PREHRANE RADNIKA

SISAČKE RAFINERIJE

DIPLOMSKI RAD

Rijeka 2015.

SVEUČILIŠTE U RIJECI

EKONOMSKI FAKULTET

OPTIMIZACIJA PREHRANE RADNIKA

SISAČKE RAFINERIJE

DIPLOMSKI RAD

Predmet: Teorija odlučivanja

Mentor: Prof. dr. sc. Alemka Šegota

Student: Vanja Podunavac

Studijski smjer: Gospodarstvo EU

JMBAG: 0081123163

Rijeka, srpanj 2015.

SADRŽAJ

1. UVOD.....................................................................................................................................1

1.1. Problem, predmet i objekt istraživanja............................................................................1

1.2. Radne i pomoćne hipoteze...............................................................................................2

1.3. Svrha i cilj istraživanja.....................................................................................................2

1.4. Znanstvene metode..........................................................................................................2

1.5. Struktura rada...................................................................................................................2

2. LINEARNO PROGRAMIRANJE..........................................................................................4

2.1. Teorija linearnog programiranja......................................................................................4

2.2. Osnovni teoremi linearnog programiranja.......................................................................5

3. PROBLEM LINEARNOG PROGRAMIRANJA I NJEGOVO RJEŠAVANJE...................9

3.1. Problem linearnog programiranja....................................................................................9

3.1.1. Standardni problem linearnog programiranja......................................................10

3.1.2. Opći problem linearnog programiranja................................................................12

3.1.3. Kanonski problem linearnog programiranja........................................................14

3.2. Rješavanje problema linearnog programiranja..............................................................17

3.2.1. Grafičko rješenje linearnog programiranja..........................................................17

3.2.2. Simpleks metoda..................................................................................................21

4. OPĆI PROBLEM PREHRANE I NJEGOVO RJEŠAVANJE............................................24

4.1. Opći problem prehrane...................................................................................................24

4.2. Standardni problem minimuma – Charnesova – M procedura......................................26

5. PRIMJENA PROBLEMA PREHRANE KOD RADNIKA SISAČKE RAFINERIJE........29

5.1. Definiranje problema.....................................................................................................29

5.2. Formuliranje problema...................................................................................................30

5.3. Rješavanje problema i interpretacija rezultata...............................................................38

6. ZAKLJUČAK.......................................................................................................................47

POPIS LITERATURE..............................................................................................................48

POPIS TABLICA.....................................................................................................................49

POPIS SLIKA...........................................................................................................................50

POPIS PRILOGA.....................................................................................................................51

1

1. UVOD

Linearno programiranje nastalo je razvojem operacijskog istraživanja. Prvi problem linearnog

programiranja pojavljuje se 1939. godine u knjizi ruskog matematičara L. V. Kantoroviča.

Ono je namjenjeno raspoređivanju oskudnih resursa s ciljem postizanja optimalnih rezultata.

Veliki broj ekonomskih problema se rješava linearnim programiranjem. Ti problemi se mogu

odnositi na proizvodnju, sirovine, radnu snagu, tržište, ponudu, potražnju, uvoz, izvoz, itd.

Ovaj rad će proučiti i istražiti problem smjese. Tim problemom će se na primjeru prehrane

prikazati koliki su minimalni troškovi koje jedna osoba treba izdvojiti da bi zadovoljila svoj

dnevni unos nutrijenata koji su potrebni za život.

Uvod diplomskog rada na temu 'Optimizacija prehrane radnika sisačke rafinerije' sastoji se od

5 poddjelova koji su međusobno povezani: 1) problem, predmet i objekt istraživanja, 2) radna

hipoteza i pomoćne hipoteze, 3) svrha i cilj istraživanja, 4) znanstvene metode, 5) struktura

rada.

1.1. Problem, predmet i objekt istraživanja

Problem istraživanja diplomskog rada je rješavanje problema smjese upotrebom linearnog

programiranja.

Kroz diplomski rad se istražuje i definira pojam i metode rješavanja problema linearnog

programiranja.

Iz problema i predmeta istraživanja definira se objekt istraživanja na kojemu se zasniva

diplomski rad, a to je primjena linearnog programiranja u modelu prehrane radnika INA

rafinerije Sisak.

2

1.2. Radna hipoteza i pomoćne hipoteze

Imajući na umu prethodno naveden problem istraživanja, predmet istraživanja i objekt

istraživanja moguće je postaviti temeljnu radnu hipotezu: Upotrebom linearnog programiranja

u problemu prehrane, minimiziraju se troškovi obroka uz zadovoljenje dnevnih nutritivnih

vrijednosti.

Postavljena radna hipoteza može se konkretizirati kroz tri pomoćne hipoteze (kr. P.H.):

P.H. 1) Dnevna preporučena količina nutrijenata za muške i ženske radnike utječe na

izbor jela

P.H. 2) Dnevna preporučena količina nutrijenata za muške i ženske radnike utječe na

trošak obroka

P.H. 3) Raznolikost unosa hrane tokom tjedna utječe na cijenu obroka

1.3. Svrha i cilj istraživanja

Svrha i cilj istraživanja rada je da se na jednostavnom primjeru pokaže da je matematičkom

formulacijom i matematičkim metodama moguće sastaviti optimalan tjedni jelovnik, koji će

uz minimalne troškove, pružiti dovoljan unos nutrijenata koji su potrebni za rad prosječnom

radniku u tvornici.

1.4. Znanstvene metode

Kroz rad su korištene sljedeće znanstvene metode: metoda analize i sinteze, metoda

klasifikacije, metoda diskripcije, komparativna metoda, metoda kompilacije, matematička

metoda, metoda modeliranja.

1.5. Struktura rada

Rezultati istraživanja predočeni su u pet međusobno povezanih dijelova.

3

U Uvodu su navedeni problem, predmet i objekt istraživanja, radna hipoteza i pomoćne

hipoteze, svrha i ciljevi istraživanja, znanstvene metode i obrazložena je struktura rada.

Naslov drugog dijela rada je Linearno programiranje. U tom dijelu rada je prezentiran razvoj

teorije linearnog programiranja te su dani teoremi koji su bitni za razvoj linearnog

programiranja.

Problem linearnog programiranja i njegovo rješavanje naslov je trećeg dijela rada. U tom

dijelu su analizirani standardni problem, opći problem i kanonski problem linearnog

programiranja te rješavanje problema grafičkim putem i pomoću simpleks metode.

U četvrtom dijelu rada s naslovomOpći problem prehrane i njegovo rješavanje objasniti će se

opći problem prehrane i prikazati jedan od načina rješavanja istoga, a to je Charnesova – M

procedura.

U petom dijelu diplomskoga rada sa naslovom Primjena problema prehrane kod radnika

sisačke rafinerije se postavlja i rješava problem prehrane kod radnika sisačke rafinerije.

U posljednjem dijelu, Zaključku, dana je sinteza rezultata istraživanja kojima je dokazivana

postavljena radna hipoteza.

4

2. LINEARNO PROGRAMIRANJE

Linearno programiranje je matematički postupak koji je primarno razvijen za potrebe

analitičke podrške u procesima odlučivanja. Ono predstavlja matematičku analizu problema u

kojoj se traži maksimalna, odnosno, minimalna vrijednost linearne funkcije pri zadanim

ograničavajućim uvjetima. Pri promatranju ekonomskih problema, linearni sustavi opisuju

uvjete u kojima se odvijaju ekonomski procesi, dok linearna funkcija opisuje određeni cilj

koji se želi postići pod tim uvjetima. To se postiže na način da se formiraju različiti

odgovarajući sustavi iz kojih se određenim metodama dolazi do optimalnih rješenja.

U ovome poglavlju diplomskoga rada preciznije će se definirati problem linearnog

programiranja, počevši od same teorije istoga pa do teorema koje obuhvaća.

2.1. Teorija linearnog programiranja

Široka je lepeza primjene linearnog programiranja, zbog čega ono zauzima zavidno mjesto u

ekonomiji. Tome je pridonijela činjenica da se veći broj ekonomskih problema pojavljuje sa

zahtjevom optimalnosti pri velikom broju ograničenja i sa velikom složenosti. Tako se

problemi tipa proizvodnje, realizacije, zaliha, sirovina, investicija, transporta, uvoza, izvoza,

itd. mogu uspješno rješavati korištenjem linarnog programiranja. Različita pitanja zahtijevaju

različite pristupe, pa tako linearno programiranje u pravilu sadrži skup metoda pod nazivom:

Teorija linearnog programiranja (Crnjac Milić; Martinović; 2012).

Prve fomulacije problema linearnog programiranja, kao i prve metode rješavanja istoga,

susreću se 1939. godine u knjizi ruskog matematičara L. V. Kantoroviča o organizaciji i

planiranju proizvodnje. On je polazio od praktičnih problema i potreba i na taj način nailazio

na prve rezultate linearnog programiranja. Njegov pristup uključivao je metodu rješavajućih

koeficijenata što u današnje vrijeme odgovara dualnosti.

Godina 1952. smatra se prekretnicom u razvitku linearnog programiranja, jer je tada prvi put

bio izrađen program za elektronsko rješavanje problema linearnog programiranja po simpleks

metodi. Primjena računala kod rješavanja problema linearnog programiranja dovela je do toga

5

da su poduzeća u praksi, koja moraju u obzir uzimati brojne okolnosti, mogla koristiti

linearno programiranje za rješavanje svojih problema.

Matematičku osnovu linearnog programiranja tvore teorija linearnih jednadžbi i nejednadžbi i

teorija konveksnih poliedara. U problemima koje si rješavaju metodama linearnog

programiranja obično je riječ o optimalnom korištenju ili alokaciji bilo kakvih sredstava koja

su raspoloživa samo u ograničenim količinama. Bitno je za linearno programiranja da je

funkcija cilja linearna i da su sve uvjetne jednadžbe ili nejednadžbe linearne (Vandal; 1972).

2.2. Osnovni teoremi linearnog programiranja

Kroz sljedeće teoreme će se prikazati veze između originalnog i dualnog problema koje

dovode do glavnih rezultata u teoriji linearnog programiranja.

Teorem 1 (Babić, 2010, str. 75): Ako su X i Y mogući vektori (moguća rješenja) para dualnih

problema (3) – (5) i (6) – (8), tada je .

Iz prvog teorema proizlazi da je vrijednost funkcije cilja problema maksimuma uvijek manja

ili jednaka vrijednosti funkcije cilja njegovog duanog problema minimuma. Pritom se može

spomenuti da je funkcija cilja za problem maksimuma omeđena odozgo, a funkcija cilja za

problem minimuma je omeđena odozdo.

Prvi teorem se može dokazati na način da se pomnoži nejednadžba, odnosno nejednadžbe

(ima ih n), (8) sa . Znak nejednakosti nije potrebno mjenjati jer vrijedi da je .

Ako se nejednadžbe (Babić; 2010; str. 75)

sumiraju po j slijedi, dobiva se: .

6

Budući da je , očito je kompletna suma s lijeve strane posljednje

nejednakosti jednaka , a suma s desne strane je skalarni produkt , te relacija u

matričnom obliku izgleda ovako (Babić; 2010; str. 75):

(i)

Slično tako, ako se množi nejednadžba (4) sa i sumira po i, dobiva se (Babić; 2010; str. 76)

sumirano po i slijedi: , odnosno

. (ii)

Kada se relacije (i) i (ii) spoje, dobiva se , tj. za bilo koji par mogućih

rješenja para dualnih problema vrijedi: , s čime se dokazuje postavljeni prvi

teorem.

Teorem 2 daje dovoljan uvjet optimalnosti te se zato najčešće i naziva kriterijem optimalnosti,

a glasi (Babić; 2010; str. 77): Ako su i moguća rješenja problema linearnog

programiranja (3) – (5) i njegovog duala takva da je

(1)

tada su i optimalna rješenja tog para dualnih problema.

Dokazuje se ako se za bilo koji par mogućih rješenja originala i duala ustanovi da su im

vrijednosti funkcije cilja jednake te se tada može zaključiti da su upravo to optimalna rješenja.

Neka je X bilo koje moguće rješenje problema maksimuma (3) – (5). Tada po teoremu 1

(budući da je neko moguće rješenje problema minimuma) vrijedi (Babić; 2010; str. 77):

7

(i)

po pretpostavci teorema 2 se dobiva:

(ii)

uvrsti li se (ii) u (i) slijedi , a to znači da je vrijednost funkcije cilja problema

maksimuma za bilo koje moguće rješenje manja nego što je vrijednost funkcije cilja

za rješenje , odnosno rješenje je najbolje (optimalno) rješenje problema

maksimuma (3) – (5).

Na sličan način se dokazuje i da je rješenje optimalno rješenje minimuma. Neka je Y bilo

koje moguće rješenje problema minimuma (6) – (8). Tada po teoremu 1 (budući da su i Y

par mogućih rješenja dualnih problema) vrijedi (Babić; 2010; str. 77):

(iii)

Iz uvjeta teorema 2. vrijedi (Babić; 2010; str. 78):

(iv)

Kada se uvrsti (iv) u (iii), dobiva se: , što znači da je najbolje (optimalno)

rješenje problema minimuma, jer je vrijednost funkcije cilja za to rješenje ( ) manja nego

vrijednost funkcije cilja za bilo koje drugo moguće rješenje ( ).

Vrijedi i obrat tog teorema, tj. uvjet (1) je ne samo dovoljan, već i nužan uvjet optimalnosti

mogućih rješenja, o čemu govori teorem fundamentalnih dualiteta.

Treći teorem, tzv. fundamentalni teorem dualiteta, kaže (Babić; 2010; str. 78): Ako su neki

problem linearnog programiranja i njegov dual mogući (imaju moguće rješenje), tada oba

imaju optimalno rješenje i optimalne vrijednosti funkcija cilja su im jednake. Ako jedan od ta

dva problema nije moguć, tada drugi nema optimalno rješenje.

8

Oslanjajući se na fundamentalni teorem dualiteta, može se zaključiti da postoje 4 moguća

slučaja koja se mogu pojaviti kod rješavanja problema linearnog programiranja. To su (Babić;

2010; str. 78):

a) oba problema imaju optimalno rješenje i optimalne vrijednosti funkcija cilja su jednake

b) originalni problem nema moguće rješenje, pa dualni nema optimalno

c) originalni problem ima moguće, ali nema optimalno rješenje iz čega slijedi da dual nema

moguće rješenje

d) ne postoji rješenje ni na jednoj strani jer su uvjeti nekonzistentni, tj. sistemi nejednadžbi su

u sebi kontradiktorni.

9

3. PROBLEM LINEARNOG PROGRAMIRANJA I NJEGOVO RJEŠAVANJE

Problem koji se želi rješiti putem linearnog programiranja sastoji se od cilja koji se želi postići

pod određenim ograničenjima. Cilj se izražava jednom funkcijom, koja je linearna i zove se

funkcija cilja. Ograničenja su izražena linearnim jednadžbama i nejednadžbama. Model

linearnog programiranja se razvija na temelju nekih pretpostavki, koje glase (Pavlović; 2005;

str. 138):

a) mora postojati jasan cilj koji se može kvantitativno izraziti

b) moraju postojati ograničeni izvori resursa i udjela na tržištu

c) moraju postojati alternativna rješenja

d) mora postojati uzajamna međuovisnot izražena linearno.

Linearno programiranje je model koji se sastoji od funkcije cilja i ograničenja. U tim

matematičkim relacijama nalaze se parametri i varijable. Ako se za primjer uzme jedan

konkretan linearni model, onda se dobiva da su parametri konstante (koje naravno mogu uzeti

bilo koju vrijednost), a za varijable se može reći da predstavljaju količine koje se trebaju

odrediti rješavanjem modela. Ovisno o obliku modela linearnog programiranja, postoje i

različiti načini rješavanja.

Na prethodnim pretpostavkama se zasniva problem linearnog istraživanja koji će se u ovom

poglavlju detaljno prikazati i objasniti. Uz pojašnjenja pojedinih problema linearnog

programiranja, koji mogu biti standardni problem, opći problem i kanonski problem, dati će

se načini rješavanja istih koji dovode do ostvarenja cilja.

3.1. Problem linearnog programiranja

Općenito se problem matematičkog programiranja može definirati kao:

(2)

10

Matematička formulacija prikazuje određivanje maksimuma (ili minimuma) neke funkcije od

n varijabli , gdje je X vektor iz prostora kojemu su te varijable

komponente, tj.

.

Pri tome je f funkcija cilja ili kriterija, a vektor X pripada nekom skupu S. Skup S definiran je

ograničenjima zadanog problema i općenito je S . Skup S naziva se skup mogućih

rješenja. Ukoliko je S = , radi se o optimalizaciji bez ograničenja, tj. vektor X može biti

bilo koji vektor iz prostora (Babić; 2010; str. 70).

Osim što je f funkcija cilja ili kriterija, ona je i numerička ili skalarna funkcija, uzevši u obzir

i to da ako je f vektorska funkcija, radi o tzv. vektorskoj optimizaciji ili višekriterijalnom

programiranju.

Ukoliko je linearna funkcija od n varijabli (dakle, u njoj su sve varijable na

pravu potenciju i nema umnožaka varijabli), a ograničenja koja definiraju skup S su također

linearna, tada je problem (2) problem linearnog programiranja (LP) (Babić, 2010, str. 70).

Problem linearnog programiranja općenito može biti ili problem maksimuma ili problem

minimuma.

3.1.1. Standardni problem linearnog programiranja

Kod standardnog problema maksimuma linearnog programiranja sva su ograničenja (osim

uvjeta nenegativnosti) tipa '≤', odnosno, u općenitom slučaju sa n varijabli on je oblika:

(3)

(4)

(5)

Postavljene gornje probleme se može prikazati i u matričnom obliku:

11

(3')

AX ≤ B (4')

X ≥ 0 (5')

gdje je

, , , .

Pri tome je X vektor varijabli tipa (n, 1), C vektor koeficijenata uz varijable u funkciji cilja

tipa (n, 1), A matrica sustava ograničenja tipa (m, n) i B vektor desne strane ograničenja tipa

(m, 1) (Babić; 2010; str. ).

Svakom problemu maksimuma pridružuju se i određeni problem minimuma koji se zove dual

originalnog problema. Obrnuto, ako se radi o problemu minimuma, tada je njegov dual

odgovarajući problem maksimuma.

Dual stvarnog problema maksimuma je standardni problem minimuma i on se javlja u

sljedećem obliku (Babić; 2010; str. 73):

(6)

(7)

(8)

ili u matričnom obliku:

(6')

(7')

(8')

pri čemu relacija (7') može doći i u transponiranom obliku, tj.

12

(7'').

Prema postavljenom obliku duala, može se vidjeti da se javlja samo jedan novi vektor, i to je

vektor varijabli Y, tipa (m, 1). To bi značilo da original ima m ograničenja i n varijabli, dok

dual ima n ograničenja i m varijabli, odnosno u originalu je vektor , a u dualu .

S obzirom na sve prethodno navedeno, može se definirati pojam mogućeg i optimalnog

rješenja problema linearnog programiranja.

Problem linearnog programiranja je moguć ako postoji barem jedan vektor X koji zadovoljava

uvjete (4) i (5). Takav vektor zove se mogući vektor ili moguće rješenje danog problema

linearnog programiranja. Skupsvih takvih vektora, tj. skup

(9)

naziva se skup mogućih rješenja danog problema linearnog programiranja (Babić; 2010; str.

72).

Mogući vektor je optimalan ako maksimizira linearnu funkciju (3), tj. je optimalan

(optimalno rješenje problema LP), ako vrijedi (Babić; 2010; str. 72):

(10)

3.1.2. Opći problem linearnog programiranja

U općem problemu linearnog programiranja, koji može biti problem maksimuma ili problm

minimuma, ograničenja mogu biti bilo kojeg tipa. Za razliku od standardnog problema, u

ovom slučaju mogu se u istom problemu javiti ograničenja tipa '≥', '≤', kao i jednadžbe. Pored

toga neke varijable mogu, a neke ne moraju imati ograničenja nenegativnosti.

Uobičajeno je da se opći problem maksimuma prevede u oblik gdje su sve nejednadžbe tipa

'≤', a u općem problemu minimuma sve nejednadžbe se prevode u '≥' (Babić; 2010; str. 108).

13

Dalje će se definirati skupovi indeksa (Babić; 2010; str. 109):

M = {1, 2, ..., m} -> skup indeksa za ograničenja

N = {1, 2, ..., n} -> skup indeksa svih nepoznanica.

Nadalje neka je S M podskup skupa M u kojem se nalaze indeksi svih ograničenja tipa '≤',

dok su u komplementu tog skupa indeksi onih ograničenja koja su jednadžbe, tj. ͨ S = M \ S.

Analogno neka je T N podskup skupa N u kojem se nalaze indeksi onih varijabli koje imaju

ograničenja nenegativnosti, dok su u komplementu tog skupa indeksi onih varijabli koje

nemaju ograničenje nenegativnosti, tj. ͨ T = N \ T (Babić; 2010; str. 109).

Neka je nadalje (Babić; 2010; str. 109):

->i – ti redak matrice A; i = 1, 2, ..., m, a

->j-ti stupac matrice A; j = 1, 2, ..., n.

Problem se tada može predstaviti u matričnom obliku na sljedeći način (Babić; 2010; str.

109):

(11)

(12)

(13)

(14)

Naravno, kada je S = M i T = N, opći problem postaje standardni problem. S druge strane,

kada je S = Ø, opći problem postaje kanonski (nema nejednadžbi, već su sve jednadžbe).

Dual općeg problema ima sljedeći oblik (Babić; 2010; str. 110):

(15)

(16)

(17)

(18)

14

Svakoj varijabli originalnog problema odgovara jedno ograničenje dualnog problema. Ako je

u originalu varijabla imala ograničenje nenegativnosti (j T), tada će j – to ograničenje u

dualu biti tipa '≥', a ako varijabla u originalu nije imala ograničenje nenegativnosti (j ),

tada je odgovarajuće ograničenje u dualu jednadžba. Na isti način, ako je ograničenje u

originalnom problemu tipa '≤', odgovarajuća varijabla u dualu ima ograničenje nenegativnosti,

a ako je neko ograničenje u originalu bila jednadžba, tada odgovarajuća varijabla u dualu

nema ograničenje nenegativnosti. Tako je npr. dual kanonskog problema maksimuma

problem minimuma, a varijable nemaju ograničenje nenegativnosti (Babić; 2010; str. 110).

Fundamentalni teorem dualiteta vrijedi i za opći problem linearnog programiranja, dok se

princip oslabljene komplementarnosti kod općeg problema ne može primijeniti, budući da

oslabljene varijable ne moraju ni postojati ako je ograničenje bila jednadžba, a pored toga

varijable ne moraju imati ograničenja nenegativnosti.

3.1.3. Kanonski problem linearnog programiranja

Kanonski problem linearnog programiranja razlikuje se od standardnog problema u tome što

su sva ograničenja (osim uvjeta nenegativnosti) u obliku jednadžbi. Ovakav problem naročito

je pogodan za primjenu različitih metoda rješavanja problema linearnog programiranja. Oblik

tog problema je (Babić; 2010; str. 88):

(19)

AX = B (20)

X ≥ 0 (21)

Nadalje će se pokazati da su standardni i kanonski problem ekvivalentni, što podrazumijeva

da se jedan uvijek može transformirati u drugi, što povlači da se rješavanjem jednog od tih

problema može dobiti i rješenje drugog problema. Drugim riječima bi to značilo da je svako

rješenje jednog od tih problema također i rješenje drugog problema.

Prvo će se pokazati kako se kanonski problem može transformirati u njemu ekvivalentni

standardni problem maksimuma.

15

Uvjet (20) AX = B se može zamijeniti sa dva ekvivalentna uvjeta u obliku nejednadžbi,

odnosno sa

AX ≤ B (21')

- AX ≤ - B

Očito je da ta dva uvjeta (AX ≤ B i AX ≥ B) daju početni uvjet AX = B te se umjesto

kanonskog dobio standardni problem, koji ima dvostruko više ograničenja, ali je potpuno

ekvivalentan početnom kanonskom problemu.

U slučaju da se standardni problem (3) – (5) želi pretvoriti u kanonski, potrebno je nastupiti

malo drugačije. U tom slučaju potrebno je nejednadžbu (4) AX ≤ B zamijeniti sa jednadžbom

AX + U = B, i dodatnim zahtjevom (22)

U ≥ 0 (23)

S obzirom da se nejednadžba (4) pretvorila u jednadžbu, na lijevoj strani te nejednadžbe

morala se dodati neka nenegativnu veličina, tj. vektor U ≥ 0. Vektor U , tipa (m, 1), je vektor

dodatnih ili oslabljenih varijabli, za razliku od komponenata vektora X, koji se zovu

strukturne varijable. Da se rješenje ne bi promijenilo, oslabljene varijable neće se pojaviti u

funkciji cilja (ili će u njoj biti s koeficijentom nula), te neće utjecati na određivanje

optimalnog rješenja.

U nastavku će se prikazati način na koji standardni problem minimuma transformirati u

kanonski problem.

(6')

(7')

Y ≥ 0 (8')

Radnja se odvija na sličan način. Međutim, budući da je kod ograničenja (7') problema

minimuma lijeva strana veća ili jednaka desnoj, morati će se oduzimati neka

nenegativnaveličina s lijeve strane da bi se dobila jednadžba, pa se umjesto relacije (7')

dobiva relacija (23) i dodatni uvjet (24) (Babić; 2010; str. 90):

16

(23)

(24)

Vektor oslabljenih varijabli V sada je tipa (n, 1) budući da u standardnom problemu

minimuma postoje n nejednadžbe. Komponente tog vektora se katkada zovu i varijable viška

budući da pokazuju koliko je lijeva strana ograničenja veća od desne.

S obzirom na to, postoji (Babić; 2010; str. 91):

Problem maksimuma

Standardni Kanonski

AX ≤ B AX + U = B

X ≥ 0 X, U ≥ 0

Problem minimuma

Standardni Kanonski

Y ≥ 0 Y, V ≥ 0

O vezama strukturnih i dopunskih (oslabljenih) varijabli govori sljedeći teorem, koji kaže

(Babić; 2010; str. 91): Neka je , gdje su i moguća rješenja

para dualnih problema. Rješenja i su optimalna ako i samo ako je .

Na temelju prethodnog teorema slijedi korolar koji je poznat pod nazivom princip oslabljene

komplementarnosti, iz kojeg proizlazi (Babić; 2010; str. 92): Barem jedna od dviju

korespondentnih komponenti od U i je jednaka nuli. Isto vrijedi za V i .

Budući da su sve komponente od , , U, V nenegativne, svaki član skalarnih produkata

i mora biti jednak nuli, a to znači da je barem jedna od dviju korespodentnih komponenti

17

od U i , odnosno V i jednaka nuli. Naime, u skalarnom produktu postoji umnožak

odgovarajućih komponenata, pa slijedi (Babić; 2010; str. 93):

, ili su obje jednake nuli

, ili su obje jednake nuli.

Taj korolar omogućava da se optimalno rješenje dualnog problema dobije bez rješavanja tog

problema, uzevši u obzir da se na neki način dobilo optimalno rješenje originala.

3.2. Rješavanje problema linearnog programiranja

Riješiti model linearnog programiranja znači odrediti vektor varijabli x koji zadovoljava

relacije ograničenja, a da funkcija cilja postigne maksimalnu (minimalnu) vrijednost.

Linearno programiranje je metoda optimizacije, a to znači da su svi odnosi determinirani i da

se pod tim uvjetima određuje optimalna vrijednost. Optimalno rješenje se ne može odrediti

odmah, nego se do njega dolazi određenom procedurom. U tijeku procedure se razmatraju

moguća rješenja, a to su vektori varijabli koji zadovoljavaju sustav ograničenja, od kojih se

izdvaja ono rješenje koje daje optimalnu vrijednost. Moguće rješenje je svaki vektor varijabli

x koji zadovoljava relacije ograničenja. (Pavlović; 2005; str. 143)

3.2.1. Grafičko rješenje linearnog programiranja

Grafička metoda se može primjeniti ukoliko problem linearnog programiranja ima dvije

varijable, ili tri varijable kada je barem jedno ograničenje u obliku jednadžbe iz koje se može

eliminirati jedna varijabla. U koordinatnom sustavu se na os apscisa unosi varijabla a na os

ordinata varijabla . Pomoću tih varijabla dalje se objašnjava odnos i karakteristika linearnog

programiranja, koji se bolje razumiju ako se prikažu grafički, što sljedi dalje u radu.

Da bi se došlo do rješenja, prvo se postavlja model linearnog programiranja (Pavlović; 2005;

str. 145):

18

(25)

(26)

(27)

Prvo ograničenje se piše u obliku jednakosti, što predstavlja jednadžbu pravca. Taj pravac

dijeli koordinatnu ravninu u dvije poluravnine. Jedna poluravnina skupa s pravcem odgovara

prvom ograničenju. Isto se dalje radi za sva sljedeća ograničenja. Presjek poluravnina, skuša s

ograničenjem (27), predstavlja skup mogućih rješenja. Kada se to sve prenese na koordinatni

sustav, odbije se sljedeća slika.

Slika 1. Skup mogućih rješenja u koordinatnom sustavu

Izvor: Pavlović; 2005; str. 146

Slika prikazuje pravce sa ograničenjima od do . Nacrtana su četiri pravca, i skupa sa

pozitivnm dijelovima koordinatnih osi dobiva se skup mogućih rješenja. Ako se uzmu bilo

koje točke iz skupa mogućih rješenja, npr. (A, B), čije se koordinate uvrste u funkciju cilja,

dobiva se jedna vrijednost funkcije cilja (Pavlović; 2005; str. 146): .

19

Kada se izjednači funkcija cilja sa tom vrijednošću, dobije se (Pavlović; 2005; str. 147):

, što predstavlja jedan pravac u koordinatnom sustavu. Ako se sada uzme

druga točka koja je udaljenija od koordinatnog početka i sve se ponovi, dobija se novi pravac

(Pavlović; 2005; str. 147): , koji će biti paralelan sa prethodnim pravcem, a

vrijednost funkcije cilja veća.

Ovako formirani pravci svi su međusobno paralelni i što je pravac udaljeniji od koordinatnog

početka ima veću vrijednost funkcije cilja. Ako se na prethodni koordinatni sustav ucrta jedna

funkcija cilja i ako se pomjera paralelno što dalje od koordinatnog početka (a da ne napusti

skup mogućih rješenja), zadnji položaj daje optimalno rješenje, što će se prikazati sljedećom

slikom.

Slika 2. Prikaz optimalnog rješenja u koordinatnom sustavu


Slika prikazuje optimalno rješenje promatranog modela linearnog programiranja, a to rješenje

se nalazi u ekstremnoj točki C. Ako bi se pravac funkcije cilja dalje paralelno udaljavao od

koordinatnog početka, došlo bi se izvan skupa mogućih rješenja.

20

Kada bi se radilo o minimumu, tada bi postupak bio potpuno isti, samo bi se pravac funkcije

cilja pomjerao što bliže koordinatnom početku. Naravno, koordinatni početak ne smije

pripadati skupu rješenja problema minimuma, pošto bi tada uvijek ta točka bila optimalno

rješenje bez računanja, ali i bez smisla.

Ako je skup mogućih rješenja neomeđen i proteže se do beskonačnosti, kao što prikazuje

sljedeća slika sa osjenčanim dio koordinatne ravnine, tada za problem minimuma postoji

optimalno rješenje, a za problem maksimuma postoji infinitna vrijednost funkcije cilja bez

optimalnog rješenja.

Slika 3. Neomeđeni skup mogućih rješenja u koordinatnom sustavu


Ukoliko je funkcija cilja paralelna s jednim pravcem u ekstremnoj točki optimalnog rješenja,

kao na slici koja sljedi, sa pravcem , tada postoji optimalno rješenje u dvije ekstremne

točke, B i C, ako je skup ograničen. Ako nije ograničen tada je to pravac s beskonačno mnogo

rješenja. U tom slučaju postoje alternativna optimalna rješenja, tj. različita rješenja s istom

optimalnom vrijednošću funkcije cilja. Ali u tom slučaju i sve točke pravca između točaka

B i C su optimalna rješenja, ali su to nebazična rješenja i ima ih beskonačno mnogo (Pavlović;

2005; str. 149).

21

Slika 4. Optimalno rješenje u dvije ekstremne točke sa ograničenim skupom


3.2.2. Simpleks metoda

Jedna od najpoznatijih metoda za rješavanje problema linearnog programiranja je simpleks

metoda. Autor simpleks metode je G. Dantzig, koji veliki dio zasluga za temeljne ideje sam

pripiruje J. von Neumanu. Iako je prve ideje razvio već 1947. godine, osnovni rad o toj

metodi objavio je tek 1951. godine u knjizi T. C. Koopmansa 'Activity analysis of production

and allocation'. Naziv simpleks potječe od toga što je jedan od prvih primjera riješen na

jediničnom trokutu, koji je konveksna ljuska skupa od tri točke iz prostora , a to je

dvodimenzionalni simpleks (Babić; 2010; str. 121).

Simpleks metoda je iterativna metoda, što znači da je to metoda kojom se iz koraka u korak

poboljšava rješenje. Može se reći da se algoritam simpleks metode sastoji od četiri koraka

(Babić; 2010; str. 121):

22

1. konstruira se neko inicijalno (početno) moguće rješenje

2. primjenjuje se test da se odredi je li to optimalno rješenje

3. ako rješenje nije optimalno, metoda daje uputu kako ići doboljeg rješenja

4. nakon konačno mnogo koraka dolazi se do optimalnog rješenja ili se utvrđuje da ono ne

postoji.

Bitno je za spomenuti da se simpleks metoda radi samo sa kanonskim problemom te da radi

samo s bazičnim rješenjima tog kanonskog problema.

Radi lakšeg računanja, simpleks metoda sa svim izračunavanjima se može smjestiti u jednu

tablicu koja se naziva simpleks tablica te je ista prikazana u nastavku.

Kao što je ranije spomenuto, započinje se s kanonskim modelom linearnog programiranja koji

se dobije od standardnog problema maksimuma. Tablica će se formirati prema sljedećem

modelu (Pavlović; 2005; str.153):

Nakon postavljenog modela linearnog programiranja, može se započeti sa izradom simpleks

tablice. U prvi stupac simpleks tablice unose se koeficijenti funkcije cilja koji odgovaraju

aktualnoj bazi. U drugom stupcu su vektori baze za svaku iteraciju. U trećem stupcu dobiva se

tekuće rješenje, rješenje svake iteracije i to samo komponente koje su različite od nule. Desno

od toga se nalaze svi vektori modela sa njihovim komponentama, i bazični i nebazični. Iznad

vektora upisuju se koeficijenti funkcije cilja koji odgovaraju komponentama rješenja, odnosno

vektorima.

23

Tablica 1. Početna simpleks tablica

B

0

0

0

0


U simpleks tablici se može primjetiti da ima puno elemenata koji će se nadalje objasniti. Pod

vektorima izravnavajućih varijabli nalazi se jedinična matrica. Vrijednost funkcije cilja se

dobiva kao skalarni umnožak elemenata stupca s odgovarajućim elementima stupca .

Vrijednost dobije se množenjem elemenata stupca s odgovarajućim elementima stupca

za svaki vektor. U početnoj simpleks tablici svi su jednaki nuli pa u kriterijalnom retku

, svi su negativni. Stupac svakog vektora su komponente tog vektora u tekućoj bazi,

pa tako npr. postoji (Pavlović; 2005; str. 170):

Svakom vektoru stupca B odgovara varijabla s istim indeksom pa se rješenje čita iz stupca B i

, npr. u tablici se vidi da je i tako do kraja stupca, a varijable za koje odgovaraju

nebazičnim vektorima jednake su nuli. U stupcu bazičnih vektora je jedinica u presjeku s

retkom tog vektora, a ostali elementi jednaki su nuli, dok su u kriterijalnom retku

pod bazičnim vektorima nule.

24

4. OPĆI PROBLEM PREHRANE I NJEGOVO RJEŠAVANJE

Čovjeku su za život potrebne određene količine nutrijenata, gdje se kao najvažniji mogu

spomenuti masnoća, bjelančevine, vitamini, ugljikohidrati, itd. Te sastojke čovjek dobiva kroz

hranjenje, unošenjem različitih namirnica u organizam kao što su meso, povrće, kruh, žitarice,

ulje, itd. Za svaku od tih namirnica je potrebno izdvojiti određenu količinu novčanih jedinica.

Za neke su troškovi viši, a za neke su troškovi manji. Tu se dolazi do problema – kako da

čovjek zadovolji svoju preporučenu dnevnu dozu nutrijenata a da pritom ne potroši puno, tj.

kako zadovoljiti svoju dnevnu fiziološku potrebu a da plati što manje. Taj problem će se

istražiti i riješiti kroz ovaj dio diplomskoga rada i to upotrebom linearnog programiranja u

problemu prehrane. Objasniti će se opći problem prehrane i prikazati jedan od načina

rješavanja istoga, a to je Charnesova – M procedura.

4.1. Opći problem prehrane

Cilj problema prehrane je sastaviti prehrambeni program tako da svaka hranjiva komponenta

bude zastupljena bar u minimalnoj količini a da pri tome prehrambeni program bude što

jeftiniji. Ovaj problem je prvi put postavio G. J. Stigler 1945. godine. Problem je obuhvaćao

77 namirnica i 9 hranjivih elemenata (Lovrić; 2008)

Prije nego se postavi matematički model problema prehrane, potrebno je uvesti oznake koje

će olakšati razumjevanje samog problema. Te oznake su (Lovrić; 2008):

– namirnica vrste j (j = 1, 2, ...n)

– hranjivi sastojak vrste i (i = 1, 2, ...m)

– jedinična cijena namirnice j (j = 1, 2, ...n)

– količina namirnice vrste j (j = 1, 2, ...n)

– količina hranjivog sastojka vrste i u jedinici namirnice vrste j (i = 1, 2, ...m; j = 1, 2, ...n)

– minimalna količina hranjivog sastojka vrste i (i = 1, 2, ...m) koji se zahtjeva u

prehrambenom programu

w – cijena prehrambenog programa.

25

Nakon upoznavanja sa oznakama koje se koriste u problemu prehrane, potrebno je dati opće

podatke za problem. Ti podaci su prikazani u sljedećoj tablici.

Tablica 2. Opći podaci za problem prehrane

Izvor: Lovrić; 2008; str. 20

Sljedi postavljanje modela, gdje se polazi od funkcije cilja koja minimizira troškove w

prehrambenog programa:

Potrebno je postaviti ograničenja koja pokazuju zastupljenost minimalnih količina hranjivih

stastojaka (Lovrić; 2008):

.......................................................

uz uvjet nenegativnosti: .

Namirnica

jed. cijena

Hanjivi

sastojak

...

Minimalna

količina

hranjivog

sastojka

...

...

... ... ... ... ... ...

...

26

Optimalan rezultat će dati odgovor od kojih namirnica će se sastojati obrok, koliki su

minimalni troškovi te kolika je zastupljenost pojedine vrste hranjivih elemenata (Lovrić).

4.2. Standardni problem minimuma – Charnesova – M procedura

Rješavanje problema minimuma linearnog programiranja simpleks metodom donekle se

razlikuje od rješavanja problema maksimuma i to uglavnom u fazi postavljanja početnog

bazičnog rješenja. Budući da je jedna od prvih ekonomskih primjena problema linearnog

programiranja bio tzv. problem ishrane, dati će se interpretacija tog problema (Babić; 2010;

str. 142).

Potrebno je sastaviti program ishrane neke grupe ljudi (radnika, studenata) ili neke farme

pilića ili krava s namjerom da izabrana hrana sadrži u dovoljnoj količini sve potrebne hranjive

elemente, kao što su kalorije, bjelančevine, masti, a da troškovi za pripremu tog obroka budu

minimalni (Babić; 2010; str. 142)

Neka se izbor hrane provodi između n artikala prehrane koji su raspoloživi na

danom tržištu. Tržišne cijene po jedinici j – tog artikla prehrane su . Hranjive elemente koji

se nalaze u tim artiklima prehrane označavaju se sa a neka je iznos i – tog

hranjivog elementa sadržanog u jedinici j – tog artikla prehrane. Pored toga, neka je

minimalni zahtjev za i – tim hranjivim elementom, tj. količina i – tog hranjivog elementa koja

mora biti sadržana u optimalnom obroku. Sa se označuje broj jedinica j – te vrste hrane.

Sve te elemente se može prikazati u tablici, pri čemu se matrica A, u kojoj se nalaze elementi

naziva nutriciona matrica (Babić; 2010; str. 143).

Zatim se formulira problem ishrane. Funkciju cilja predstavljaju ukupni troškovi ishrane koje

treba minimizirati (Babić; 2010; str. 143):

27

Budući da u jednoj jedinici j – te vrste hrane ima jedinica i – tog hranjivog sastojka

umnožak predstavlja količinu tog hranjivog sastojka u jedinica hrane , pa se

zahtjev da u obroku, koji se sastoji od svih vrsta hrane, bude barem jedinica hranjivog

sastojka , može prikazati sljedećim skupom ograničenja (Babić; 2010; str. 144):

Uvjeti nenegativnosti također postoje budući da u optimalnom obroku neke vrste hrane ima

( ) ili nema ( ).

Takav problem je tipičan problem minimuma linearnog programiranja, pri čemu moraju biti

zadovoljen neke pretpostavke (Babić; 2010; str. 144):

1. Funkcija troškova je linearna, tj. troškovi zavise samo o količini kupljenih namirnica,

odnosno po istoj cijeni se kupuje i velika i mala količina hrane.

2. Elementi nutricione matrice su konstantni.

Budući da simpleks metoda daje samo bazična rješenja, a ona imaju najviše m komponenti

koje su različite od nule, problem ishrane će biti realniji što je broj ograničenja (m) veći.

Naravno da će optimalni obrok biti i raznovrsniji ako je broj varijabli (vrsta hrane) veći

(Babić; 2010; str. 146).

Ako originalni problem minimuma ima bar jedno moguće rješenje, tada i prošireni problem

ima neko nenegativno rješenje. Ako ne postoji moguće rješenje originalnog problema tada će

rješenje proširenog problema sadržavati bar jednu pozitivnu artificijelnu varijablu , tj.

neće se moći 'izbaciti' iz baze sve artificijelne vektore. Takav način rješavanja problema

naziva se Charnesova dvofazna M procedura. U prvoj fazi se oslobađaju artificijelne

varijable. Tek kada se artificijelne vektore 'izbace' iz baze dobiva se početno bazično

rješenje originalnog problema i s njim se nastavlja simpleks procedurom. Kada je vektor

jednom izišao iz baze on se više u nju ne vraća te se u sljedećim tablicama ne moraju računati

njegove komponente (Babić; 2010; str. 146).

28

Vektor koji ulazi u novu bazu se bira po kriteriju za problem minimuma, tj. traži se

. Vrijednost funkcije cilja može se smanjivati dokle god postoji neka diferencija

koja je pozitivna, tj. optimalno rješenje se postiže u onoj tablici u kojoj je

. Kriterij za izbor vektora koji izlazi iz baze isti je kkao kod problema maksimuma

budući da on osigurava da bazično rješenje bude nenegativno (Babić; 2010; str. 147).

29

5. PRIMJENA PROBLEMA PREHRANE KOD RADNIKA SISAČKE RAFINERIJE

U ovom dijelu diplomskog rada prikazati će se primjer sastavljanja tjednog jelovnika za

radnike sisačke rafinerije primjenom linearnog programiranja uz pomoć računalnog programa

LINDO (eng. Linear Interactive and Discrete Optimizer). To je računalni programski paket

koji se koristi za rješavanje linearnog i nelinearnog programiranja te cjelobrojnog

programiranja. Razvijen je 1980. godine kada je i prilagođen Windows okruženju i grafički

orijentiranim programima. U LINDO se upisuje matematički model koji se zatim rješava

pomoću rješavača. U model se postavlja funkcija cilja koja započinje oznakama min ili max te

uz to dolaze ograničenja koja se u sustav unose pomoću oznaka subject to ili such that.

Svrha ovoga dijela diplomskoga rada je da se primjenom linearnog programiranja isplanira

tjedni jelovnik za muške i ženske radnike sisačke rafinerije, i to onakav jelovnik koji uz

minimalne troškove zadovoljava dnevnu potrebu za nutrijentima. Također je bitno da

prehrana radnika u jednom tjednu bude što više raznolika, jer raznoliki unos hrane utječe i na

zdravstveno stanje osobe.

5.1. Definiranje problema

Potrebno je sastaviti optimalan tjedni jelovnik za radnike sisačke rafinerije. Pri tome se

sastavljaju dva jelovnika, jedan za muške osobe i jedan za ženske osobe. Pojedini jelovnik

ovisi o tome što je u ponudi taj dan od strane kuhinje, a pod jednim jelovnikom se

podrazumijeva jedan obrok kojeg radnici konzumiraju za vrijeme svog radnog vremena. Taj

obrok obuhvaća predjelo, glavno jelo uz salatu i desert.

Pri sastavljanju jelovnika potrebno je voditi računa o cijenama pojedinog jela i dnevnim

nutritivnim potrebama određene skupine ljudi (muški i ženski), kako bi se u konačnici dobili

jelovnici koji uz minimalne troškove zadovoljavaju dnevne životne potrebe za nutrijentima, tj.

da zadovljavaju sva postavljena ograničenja. Cilj sastavljanja tjednih obroka je također i

različiti odabir jela svaki dan, što bi značilo da ono jelo koje je prethodno odabrano kao

optimalno, ne može sljedećih dana ulaziti u meni.

30

S obzirom na dobivene i prikupljene podatke iz kuhinje rafinerije Sisak, u radu će se obraditi

sljedeći nutrijenti: kalorije, masti, bjelančevine i ugljikohidrati. Osim tih dobivenih podataka,

biti će dani i preporučeni dnevni unosi hranjivih tvari prema RDA (Recommended Daily

Allowances) preporukama koji su preuzeti sa službene stranice medicinskog instituta.

Funkcija cilja je jednaka za muške i ženske radnike, dok su pojedina ograničenja, kao što je

količina unosa hranjivih elemenata različita.

5.2. Formuliranje problema

Da bi se jelovnik sastavio potrebno je uzeti u obzir jela koja kuhinja nudi i između kojih će se

vršiti izbor. S obzirom da svaki meni sadrži predjelo, glavno jelo uz salatu i desert, ta jela je

potrebno rasporediti u 4 osnovne skupine:

· Prva skupina – predjelo

· Druga skupina – glavno jelo

· Treća skupina – salata

· Četvrta skupina – desert.

Popis jela, kao i cijene istih, dani su u Prilogu 1. Cijene su dane za svako jelo zasebno u

vrijednostima u kojima se nude radnicima u sisačkoj rafineriji. Koristeći se podacima iz

priloga, mogu se definirati funkcije cilja za sastavljanje:

· Prvog jelovnika (jelovnik za muške odrasle osobe)

· Drugog jelovnika (jelovnik za ženske odrasle osobe).

Funkcija cilja F je cijena za jelovnik:

gdje je cijena i – te vrste jela, a su i – ta jela.

31

Iz tog se prema podacima iz Priloga 1. dobiva funkcija cilja:

Cilj je minimizirati F uz ograničenja za . Ograničenja za muške i ženske radnike

odnose se na preporučene dnevne unose nutrijenata prema RDA preporukama, a prikazani su

u sljedećoj tablici.

Tablica 3. Peporučeni dnevni unosi hranjivih sastojaka za mušku i žensku osobu

Hranjivi

sastojci

PREPORUČENI DNEVNI UNOS NUTRIJENATA

Ženske

osobe

Muške

osobe

Kalorije

(kcal)

1 978 2 204

Bjelančevine

(g)

46 56

Masti

(g)

20 – 35 20 – 35

Ugljikohidrati

(g)

130 130

Izvor: izrada studentice prema stranici Instituta za medicinu:

http://www.iom.edu/~/media/Files/Activity%20Files/Nutrition/DRIs/DRI_Macronutrients.pdf

Tablica prikazuje dnevni unos nutrijenata koji je dovoljan za život odrasloga čovjeka. Pri

tome:

32

· količina kalorija ne smije prelaziti preporučenu vrijednost

· količina bjelančevine mora biti manja ili jednaka preporučenoj vrijednosti

· količina ugljikohidrata je maksimalna i ne smije prelaziti granicu RDA preporuke

· količina masti nije točno definirana prema RDA preporukama s obzirom na njihovu

štetnost, pa je zato dan raspon od minimalne do maksimalne količine unosa koja nije

opasna za ljudsko zdravlje.

Osim ograničenja koja se odnose na dnevne unose nutrijenata, potrebno je postaviti

ograničenja koja dopuštaju da se iz svake skupine jela može izabrati samo jedno jelo. To

znači da se:

· od 11 predjela može se izabrati samo jedno predjelo

· od 12 glavnih jela se može izabrati samo jedno glavno jelo

· od 7 salata se može izabrati samo jedna salata

· od 10 deserata se može izabrati samo jedan desert.

Prema danim ograničenjima i prema podacima iz Priloga 2. koji prikazuju količinu hranjivih

sastojaka u pojedinom jelu, mogu se formulirati ograničenja za sastavljanje jelovnika za

ženske i muške radnike sisačke rafinerije:

1. Relacije ograničenja za ženske radnike sisačke rafinerije

· Preporučeni dnevni unos masti

33

· Preporučeni dnevni unos kalorija

· Preporučeni dnevni unos bjelančevina

· Preporučeni dnevni unos ugljikohidrata

· Od 11 ponuđenih predjela potrebno je izabrati samo jedno predjelo

· Od 12 ponuđenih glavnih jela potrebno je izabrati samo jedno glavno jelo

34

· Od 7 ponuđenih salata potrebno je izabrati samo jednu salatu

· Od 10 deserata potrebno je izabrati samo jedan desert

Nakon što su se formulirala ograničenja i funkcija cilja, ti se podaci unose u radni list

kompjuterskog programa LINDO na sljedeći način:

Slika 5. Unos podataka u radni list programa LINDO za ženske radnice

Izvor: Izrada studentice

Slika prikazuje radni list kompjuterskog programa LINDO u kojemu je unesena funkcija cilja

koju je potrebno minimizirati (min), nakon toga se upisuje naredba koja povezuje funkciju

cilja sa ograničenjima 'subject to'. Poslje unosa te naredbe sljedi unos ograničenja koja su

ranije definirana. Naredba sa kojom se obavezno mora završiti je naredba 'end'. Ukoliko se

zbog cjelobrojnosti varijabli žele uključiti naredbe 'int' ili 'gin', te se naredbe pišu iza naredbe

'end', kao što je i prikazano na slici. Uz naredbe se piše ime varijabli ili ukoliko sve varijable

35

iz linearnog problema mogu (ili moraju) biti cjelobrojne, zbroji se broj varijabli i upiše uz

naredbu. Ovaj problem rada ima četiri varijable: p, x, s i d, te se za cjelobrojnost može pisati

na jedan od sljedeća dva načina:

Pomoću varijabli Pomoću zbroja varijabli

ili

Int p x s d Int 4

U ovom slučaju, kako je vidljivo na slici, cjelobrojnost varijabli je napisana pomoću zbroja

varijabli, odnosno 'Int 4'. Također je kod unošenja podataka potrebno naglasiti da se

decimalni brojevi u program unose sa točkom, a ne sa zarezom, u protivnom program javlja

pogrešku u unošenju podataka.

Na isti način sljedi formuliranje ograničenja i unošenje istih u program za muške radnike

sisačke rafinerije.

2. Relacije ograničenja za muške radnike sisačke rafinerije

· Preporučeni dnevni unos masti

36

· Preporučeni dnevni unos kalorija

· Preporučeni dnevni unos bjelančevina

· Preporučeni dnevni unos ugljikohidrata

· Od 11 ponuđenih predjela potrebno je izabrati samo jedno predjelo

· Od 12 ponuđenih glavnih jela potrebno je izabrati samo jedno glavno jelo

· Od 7 ponuđenih salata potrebno je izabrati samo jednu salatu

37

· Od 10 deserata potrebno je izabrati samo jedan desert

Nakon matematičke formulacije, sljedi unos funkcije cilja i ograničenja u radni list programa

LINDO za muške radnike sisačke rafinerije.

Slika 6.Unos podataka u radni list programa LINDO za muške radnike


Kao što slika prikazuje, podaci za muške radnike se unose na isti način uz iste naredbe kao i

kod ženskih radnika, samo se postavljena ograničenja razlikuju.

Uz postavljena ograničenja, potrebno je postaviti i uvjet nenegativnosti koji vrijedi i za ženske

i za muške radnike:

38

Nakon što su se matematički formulirala ograničenja i funkcija cilja te je postavljen uvjet

nenegativnosti, podaci su uneseni u radni list računalnog programa LINDO kao što je

prethodno prikazano, sljedi rješavanje problema pomoću računala.

5.3. Rješavanje problema i interpretacija rezultata

Rješavanjem problema pomoću računalnog programa LINDO dobili su se optimalni tjedni

jelovnici koja ulaze u jedan obrok muškog radnika za vrijeme radnog vremena i jedan obrok

ženskog radnika za vrijeme radnog vremena. Odabir upravo toga obroka za radnike znači da

će najmanje troškova izdvojiti za njega, a pri tome će biti zadovoljene dnevne nutritivne

vrijednosti.

1. Optimalan obrok za ženske i muške radnike sisačke rafinerije za prvi dan u tjednu

Nakon unosa podataka, ograničenja i izračunavanja relacija, rješenje pokazuje da je prvi

optimalan jelovnik jednak za muške i ženske radnike sisačke rafinerije. Sljedeća tablica

prikazuje od kojih jela se sastoji optimalan obrok za prvi dan u tjednu, gdje su dane njegove

komponente i cijena.

Tablica 4. Optimalan dnevni obrok za pravi dan u tjednu za radnike sisačke rafinerije

Juha od

kukuruza

Jota

Grah salata

Kompot od

jabuka

UKUPNO

Cijena 3,50 kn 10 kn 3 kn 3,80 kn 20,30 kn

Bjelančevine 8 g 8 g 10 g 5 g 31 g

Ugljikohidrati 44 g 28 g 28 g 30 g 130 g

Masti 9 g 9 g 8 g 0 g 26 g

Kalorije 260 kcal 110 kcal 220 kcal 185 kcal 775 kcal

Izvor: Izrada studentice prema podacima dobivenim iz Priloga 3. i Priloga 4.

39

Cilj je pri sastavljanju obroka bio minimizirati troškove prehrane poštujući sva ograničenja

vezana za preporučene dnevne unose nutrijenata prema RDA preporukama. Ukupni troškovi

dobivenoga jelovnika za radnike sisačke rafinerije iznose 20.30 kuna, a meni se sastoji od:

· Predjelo – juha od kukuruza

· Glavno jelo – jota

· Salata – grah salata

· Desert - kompot od jabuka.

Ukupne nutritivne vrijednosti obroka su sljedeće:

· Kalorije: 775 kcal

· Mast: 26 g

· Bjelančevine: 31 g

· Ugljikohidrati: 130 g.

U Prilogu 3. i Prilogu 4. su dana izvješća o rješenju prvog optimalnog obroka gdje je također

vidljivo kako su svi zahtjevi prehrane za ženske i muške radnike ispunjeni u postavljenim

granicama. Unos kalorija kroz ovaj meni je duplo niža od dopuštene granice, količina masti se

nalazi na sredini relacije od minimalnog do maksimalnog dopuštenog unosa, bjelančevine su

također manje od dopuštenog unosa, dok su ugljikohidrati točno na granici dopuštenog

dnevnog unosa.

Nakon detaljnog objašnjenja o načinu dobivanja rješenja za prvi obrok u tjednu, na isti način

sljedi dobivanje optimalnih obroka za sljedeće dane u tjednu. Funkcija cilja i ograničenja

ostaju ista, dok će se ponuda jela za druge dane u tjednu razlikovati jer u ponudi neće biti ona

jela koja su prethodno odabrana kao optimalna. Cilj toga je unos raznolike hrane u organizam

radnika tokom tjedna. S obzirom na taj raznoliki unos hrane, moguće je dobivanje rješenja

koja neće u potpunosti zadovoljiti postavljena ograničenja.

40

2. Optimalan obrok za ženske i muške radnike sisačke rafinerije za drugi dan u tjednu

Podaci za ženske i muške radnike sisačke rafinerije, unose se u radni list programa LINDO za

drugi dan na način kako je prikazano u Prilogu 5. i Prilogu 6., iz čega se dobije optimalan

obrok za taj dan. Izvješće o dobivenom rješenju dano je u Prilogu 7. i Prilogu 8.. Sljedeća

tablica prikazuje koja jela ulaze u obrok drugoga dana u tjednu, kolika je njegova cijena i koje

su nutritivne vrijednosti obroka.

Tablica 5. Optimalan dnevni obrok za drugi dan u tjednu

Juha od

mrkve

Pečeni

šaran sa

krumpirom

Salata od

crvenog

kupusa

Voćna

salata

UKUPNO

Cijena 3,80 kn 15 kn 3,30 kn 6,25 kn 28,35 kn

Bjelančevine 5 8 6 4 23

Ugljikohidrati 30 34 8 68 140

Masti 9 4 19 1 33

Kalorije 220 200 230 274 924


Dobiveni obrok jednak je za ženske i muške radnike. Ukupna cijena ovog optimalnog obroka

za drugi dan u tjednu iznosi 28.35 kuna. Cijena ovog obroka je nešto veća od prvoga obroka

jer su cijene glavnog jela i deserta u ovom obroku veće nego u prvom. Odabir ovog obroka ne

zadovoljava postavljena ograničenja. Kao što je vidljivo u gornjoj tablici iznos ugljikohidrata

je veći za 10 grama nego što bi trebao biti prema RDA preporukama. Ostala ograničenja su u

granicama dopuštenoga.

41

3. Optimalan obrok za ženske i muške radnike sisačke rafinerije za treći dan u tjednu


treći dan na način kako je prikazano u Prilogu 9. i Prilogu 10., iz čega se dobije optimalan

obrok za taj dan. Izvješće o dobivenom rješenju dano je u Prilogu 11. i Prilogu 12.. Za razliku

od prva dva dana gdje su obroci za ženske i za muške osobe jednaki, u trećem danu obroci se

razlikuju i to u odabiru glavnog jela, što će se prikazati sljedećom tablicom.

Tablica 6. Optimalan obrok za treći dan u tjednu

Juha od

poriluka

MUŠKI

Punjeni

svinjski

file

ŽENE

Juneći

gulaš

Salata

od

graška

Kocke

od

maka

UKUPNO

MUŠKI

UKUPNO

ŽENE

Cijena 5 kn 14,40 kn 15 kn 3 kn 6,85 kn 29,25 kn 29,85 kn

Bjelančevine 4 50 29 11 4 69 48

Ugljikohidrati 10 46 68 35 38 129 151

Masti 5 19 9 10 6 40 30

Kalorije 105 580 450 265 220 1170 1040


Za treći dan obrok za ženske i muške radnike se razlikuje i to u glavnom jelu, što utječe i na

različitost u troškovima koje je potrebno izdvojiti. Obrok za ženske radnice je skuplji nego

obrok za muške radnike i to za 0,60 kuna. S obzirom na preporučeni dnevni unos, obrok ne

zadovoljava postavljena ograničenja. Preporučeni unos kalorija je zadovoljen i sa muške i sa

ženske strane. Količina unosa ugljikohidrata je zadovoljena za muške radnike, a količina

unosa masti za ženske radnice, dok ostala ograničenja nisu zadovoljena.

42

4. Optimalan obrok za ženske i muške radnike sisačke rafinerije za četvrti dan u tjednu


četvrti dan na način kako je prikazano u Prilogu 13. i Prilogu 14., iz čega se dobije optimalan

obrok za taj dan. Izvješće o dobivenom rješenju dano je u Prilogu 15. i Prilogu 16. Sljedećom

tablicom će se prikazati dobiveni optimalan obrok sa svojom cijenom i nutritivnim

vrijednostima za ovaj dan u tjednu.

Tablica 7. Optimalan obrok za četvrti dan u tjednu

Juha od

bundeve

MUŠKI

Juneći

gulaš

ŽENE

Punjeni

svinjski

file

Miješana

Salata

Limun

Kolač

UKUPNO

MUŠKI

UKUPNO

ŽENE

Cijena 4 kn 15 kn 14,40 kn 5 kn 7,50 kn 31,50 kn 30,90 kn

Bjelančevine 6 29 50 5 3 43 64

Ugljikohidrati 20 68 46 14 32 134 112

Masti 14 9 19 5 4 32 42

Kalorije 220 450 580 110 170 950 1080


Na tablici je vidljivo kako je muški obrok za ovaj dan skuplji od ženskog obroka. Obroci se

razlikuju u odabiru glavnog jela te zato postoji razlika. Odabir ovog obroka za muške radnike

znači da prelaze dopuštene ugljikohidrate, koji su za 4 grama veći od dopuštenog unosa prema

RDA preporukama, dok su ostala ograničenja zadovoljena. Ograničenja za ženske radnice

nisu zadovoljena kod bjelančevina koje su veće od dopuštene vrijednosti, isto kao i masti, dok

su ugljikohidrati i kalorije u dopuštenim granicama i zadovoljavaju ograničenja.

43

5. Optimalan obrok za ženske i muške radnike sisačke rafinerije za peti dan u tjednu


peti dan na način kako je prikazano u Prilogu 17. i Prilogu 18., iz čega se dobije optimalan

obrok za taj dan. Izvješće o dobivenom rješenju dano je u Prilogu 19. i Prilogu 20. Sljedećom

tablicom će se prikazati dobiveni optimalan obrok za ovaj dan u tjednu sa svojom cijenom i

nutritivnim vrijednostima.

Tablica 8. Optimalan obrok za peti dan

MUŠKI

RADNICI

Hladna

salata od

piletine

ŽENSKE

RADNICE

Juha od

kelja

Pileći file

sa keljom

Meksička

salata

Kolač

od

višanja

UKUPNO

MUŠKI

RADNICI

UKUPNO

ŽENSKE

RADNICE

Cijena 12 5 19,30 4,30 9,50 45,10 38,10

Bjelančevine 41 8 6 30 1 78 45

Ugljikohidrati 64 37 28 27 28 147 120

Masti 5 6 5 13 14 37 38

Kalorije 460 220 170 370 110 1110 870


Tablica prikazuje optimalan obrok za zadnji (peti) dan u tjednu. Cijena obroka je nešto viša,

na što je utjecao odabir raznolike hrane tokom tjedna i ne odabiranje onog jela koja su ranije

izračunata kao optimalna. Obrok za ženske radnice je nešto jeftiniji nego za muške radnike.

Kod ženskih radnica nije zadovoljeno ograničenje vezano za unos masti koja su veća za 3

grama od dopuštenog, dok su ostala ograničenja zadovoljena. Uz to što je za muške cijena

obroka veća, također i ograničenja nisu zadovoljena i prelaze postavljene granice. Nakon

formuliranja tjednog menija, dalje će se dati usporedba dobivenog menija u diplomskom radu

sa menijem kojeg nudi kuhinja Rafinerija Sisak. Sljedeća tablica prikazuje tjedni meni koji je

dobiven u ovom radu.

44

Tablica 9. Dobiveni tjedni meni

PONEDJELJAK

- juha od kukuruza

- jota

- grah salata

- kompot od jabuka

UTORAK

- juha od mrkve

- šaran sa krumpirom

- salata od

crvenogkupusa

- voćna salata

SRIJEDA

- juha od poriluka

- punjeni svinjski file (M)

juneći gulaš (Ž)

- salata od graška

- kocke od maka

MUŠKI

RADNICI

ŽENSKE

RADNICE

Ukupna cijena 20,30 kn 28,35 29,25 kn 28,85 kn

Kalorije 775 kcal 924 1170 kcal 1040 kcal

Masti 26 g 33 40 g 30 g

Bjelančevine 31 g 23 69 g 48 g

Ugljikohidrati 130 g 140 129 g 151 g

ČETVRTAK

- juha od bundeve

- juneći gulaš (M)

punjeni svinjski file (Ž)

- miješana salata

- limun kolač

PETAK

- hladna salata sa piletinom (M)

juha od kelja (Ž)

- pileći file sa keljom

- meksička salata

- kolač od višanja

MUŠKI

RADNICI

ŽENSKE

RADNICE

MUŠKI

RADNICI

ŽENSKE

RADNICE

Ukupna cijena 31,50 kn 30,90 kn 45,10 kn 38,10 kn

Kalorije 950 kcal 1080 kcal 1110 kcal 870 kcal

Masti 32 g 42 g 37 g 38 g

Bjelančevine 43 g 64 g 78 g 45 g

Ugljikohidrati 134 g 112 g 147 g 120 g


45

Gornja tablica sumira dobiveni tjedni meni u ovome radu. U njoj su kroz dane dana jela koja

minimalno koštaju, iako se vidi da ta cijena kroz dan raste, čemu je uzrok uzimanje raznolike

hrane tokom tjedna. Isto tako neki dani ne zadovoljavaju ograničenja prema RDA

preporukama te ih možemo okarakterizirati kao manje zdrava. Nakon prikaza dobivenog

tjednog menija, sljedi prikaz kroz tablicu menija kojeg nudi sisačka kuhinja. Bitno je

napomenuti da kuhinja nudi svaki dan tkz. 'Dnevnu ponudu' koja košta 19 kuna, što je jeftinije

od bilo kojega menija dobijenog u ovome radu. Međutim, u tu dnevnu ponudu u sisačkoj

kuhinji ne ulazi desert kao što se u radu računalo, pa u nju ulazi predjelo, glavno jelo uz

prilog, a desert se posebno plaća na dnevnu ponudu prema cijeniku koji je dan u Prilogu 1.

Isto tako, taj jedan meni vrijedi i za muške i za ženske radnice, pa tako nema razlike u unosu

nutrijenata.

Tablica 10. Dnevna ponuda sisačke kuhinje za svaki dan

PONEDJELJAK

- juha od mrkve

- pileći file sa keljom

- salata od rajčice

UTORAK

- juha od karfiola

- punjene pljeskavice sa krumpirom

- grah salata

Ukupna cijena 19 kn 19 kn

Kalorije 565 kcal 1800 kcal

Masti 31 g 85 g

Bjelančevine 15 g 144 g

Ugljikohidrati 86 g 120 g

SRIJEDA

- juha od rajčice

- punjena teletina s krupirom

- miješana salata

ČETVRTAK

- juha od poriluka

- kus kus sa povrćem

- meksička salata

PETAK

- juha od krumpira

- juneći gulaš

- salata od crvenog kupusa

Ukupna cijena 19 kn 19 kn 19 kn

Kalorije 1030 kcal 985 kcal 1260 kcal

Masti 30 g 31 g 56 g

Bjelančevine 60 g 51 g 91 g

Ugljikohidrati 75 g 120 g 101 g


46

U tablici je vidljivo da svaki meni košta jednako, tj. 19 kuna. Također, prema RDA

preporukama, najzdraviji meni je za ponedjeljak jer su sva ograničenja zadovoljena, isto tako i

meni za četvrtak. Ostala tri menija ne zadovoljavaju ograničenja unosa nutrijenata. Ako se

uzme u obzir da na ovu dnevnu ponudu sisačke kuhinje radnici uzimaju još i desert kojima je

cijena dana u Prilogu 1., tada cijena pojedinog menija raste za iznos uzetog deserta. Dobiveni

optimalni dnevni meni za prvi i drugi dan u radu je isplatljiviji za uzeti nego što je dnevna

ponuda u sisačkoj kuhinji, dok su ostali dani podjednaki u troškovima koje je potrebno

izdvojiti za njih.

47

5. ZAKLJUČAK

Linearno programiranje se pojavilo tijekom drugog svjetskog rata te se može reći da je ono

relativno mlada grana matematike. To je metoda koja je svojim razvojem uvelike pomogla u

rješavanju raznih ekonomskih problema i time omogućila poduzećima da posluju efikasnije.

Svoj vrhunac, linearno programiranje, je dosegnulo kada se programiralo i počelo rješavati

računalnim programima, što je omogućilo poduzećima da pomoću računala rješavaju svoje

kompleksne probleme zaliha, proizvodnje, uvoza, izvoza, itd.

Jedan od računalnih programa za rješavanje linearnog problema je program LINDO, koji se

koristio u ovome radu. Pomoću njega je riješen problem prehrane, čiji je cilj bio zadovoljiti

dnevni unos nutritivnih vrijednosti radnika sisačke rafinerije a da se pri tome troškovi svedu

na minimum, odnosno, cilj je bio zadovoljiti zadana ograničenja uz minimizaciju funkcije

cilja. Samo rješavanje i dolaženje do rezultata putem programa LINDO, detaljno je

objašnjeno u radu što može pomoći ostalim korisnicima da i sami svladaju i riješe zadani

problem.

Ovo istraživanje je pokazalo kako jedan radnik u današnjem užurbanom životu sa ne tako

velikim osobnim prihodima, može zadovoljiti svoje dnevne nutritivne potrebe kroz jedan

obrok, a da pri tome ne treba izdvojiti puno novčanih jedinica. Istraživanje je pokazalo da

ukoliko radnici kroz tjedan žele unositi različita jela, onda moraju i više novčanih jedinica

izdvojiti za ta jela. Također, ta različitost utječe i na različiti unos nutrijenata koji ponekad i

nije zadovoljavajući jer neki od menija sadržavaju više grama masti, bjelančevina i

ugljikohidrata nego što je to preporučeno prema RDA vrijednostima.

Brojne su prednosti upotrebe problema prehrane. Jedan od načina kako i zašto se može

koristiti je istražen kroz ovaj rad koji također pokazuje jednostavnost upotrebe i dokazuje da

se taj problem na vrlo jednostavan način može koristiti u poslovanju pojedinog poduzeća koja

obavljaju djelatnosti vezane za prehranu ljudi. Osim izračunavanja optimalne prehrane kod

radnika nekoga poduzeća (kao što je dan primjer u ovome radu), ovaj problem se može

koristiti i kod sastavljanja zdrave prehrane kod djece u vrtiću i školama. Njime se također

može poboljšati prehrana kod drugih skupina ljudi kao što su dijabetičari, vegetarijanci, itd.

48

POPIS LITERATURE

A) Knjige

1. Babić, Z., 2010, Linearno programiranje, Sveučilište u Splitu, Ekonomski fakultet, Split

2. Kreko, B., 1966, Linearno programiranje, Beograd

3. Pavlović, I., 2005, Kvantitativni modeli i metode u poslovnom odlučivanju, Ekonomski

fakultet Sveučilišta u Mostaru, Sveučilište u Dubrovniku, FRAM, Mostar

4. Vandal, A., 1972, Linearno programiranje, Informator ZG, Zagreb

B) Stručni članak

5. Crnjac Milić, D., Martinović M., 2012, Ekonomski vijesnik:Povijesni pregled

implementacije matematike i statistike u ekonomiji, Vol. XXv, No. 2, preuzeto 03. travnja

2015, <http://hrcak.srce.hr/file/139703>

C) Internet izvori

6. Institute of Medicine, n. d., Recommended Daily Allowances, preuzeto 08. svibnja 2015,

<http://www.iom.edu/Global/Search.aspx?q=Recommended+Daily+Allowances&output=

xml_no_dtd&client=iom_frontend&site=iom&proxyreload=1>

7. Lovrić, Lj., 2008, Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje, Ekonomski fakultet

Rijeka, preuzeto 03. travnja 2015, <http://oliver.efri.hr/~kvmet/KMBpredavanja.pdf>

8. Lovrić, Lj., 2008, Metode i modeli za donošenje optimalnih poslovnih odluka, Ekonomski

fakultet Rijeka, preuzeto 03. travnja 2015, http://oliver.efri.hr/~kvmet/UMpredavanja.pdf

9. Yumpu, n. d., Upute za rad sa LINDO programom, preuzeto 08. svibnja,

<https://www.yumpu.com/hr/document/view/25181513/upute-za-rad-sa-lindo-programom-

pbf>

49

POPIS TABLICA

Redni broj Naslov tablice Stranica

1. Početna simpleks tablica 23

2. Opći podaci za problem prehrane 25

3. Peporučeni dnevni unosi hranjivih sastojaka za 31

mušku i žensku osobu

4. Optimalan dnevni obrok za radnike sisačke rafinerije 38

5. Optimalan dnevni obrok za drugi dan u tjednu 40

6. Optimalan obrok za treći dan u tjednu 41

7. Optimalan obrok za četvrti dan u tjednu 42

8. Optimalan obrok za peti dan 43

9. Dobiveni tjedni meni 44

10. Dnevna ponuda sisačke kuhinje za svaki dan 45

50

POPIS SLIKA

Redni broj Naslov slika Stranica

1. Skup mogućih rješenja u koordinatnom sustavu 18

2. Prikaz optimalnog rješenja u koordinatnom sustavu 19

3. Neomeđeni skup mogućih rješenja u koordinatnom sustavu 20

4. Optimalno rješenje u dvije ekstremne točke sa ograničenim skupom 21

5. Unos podataka u radni list programa LINDO za ženske radnice 34

6. Unos podataka u radni list programa LINDO za muške radnike 37

51

Prilog 1. Popis jela po skupinama i njihove cijene

JELA

Cijena porcije jela

određene od strane

ponuđača

Prva skupina:

PREDJELO

Juha od rajčice 4,80 kn

Juha od kukuruza 3,50 kn

Juha od karfiola 4,50 kn

Juha od krumpira 3,50 kn

Juha od špinata 4,50 kn

Juha od poriluka 5 kn

Juha od kelja 5 kn

Juha od bundeve 4 kn

Juha od mrkve 3,80 kn

Hladna salata od morskih

plodova

15 kn

Hladna salata od piletine 12 kn

Druga skupina:

GLAVNO JELO

Pileći ražnjići 17,50 kn

Špagete u umaku od soma 16 kn

Jota 10 kn

Pileći file sa keljom 19,30 kn

Pečeni šaran 15 kn

Ražnjići sa piletinom i

kobasicama

18 kn

Punjene pljeskavice sa

krumpirom

19 kn

Punjeni svinjski file 14,40

Punjena teletina sa

krumpirom

20, 20 kn

Kus – kus sa povrćem 15,50

Ćevapi 18 kn

Juneći gulaš 15 kn

Salata od rajčice 3,80 kn

52

Treća skupina:

SALATE

Miješana salata 5 kn

Salata od crvenog kupusa 3,30 kn

Mediteranska salata 5,25 kn

Grah salata 3 kn

Salata od graška 3 kn

Meksička salata 4,30 kn

Četvrta skupina:

DESERT

Palačinke sa bananama 8 kn

Kesten torta 9 kn

Kolač od višanja 9,50 kn

Kompot od jabuka 3,80 kn

Kolač rigojanči 7,70 kn

Limun kolač 7,50 kn

Voćna salata 6,25 kn

Kocke od maka 6,85 kn

Maskarpone torta 10 kn

Doboš torta 7,50 kn

Izvor: Izrada studentice prema dobivenim podacima od kuhinje sisačke rafinerije

53

Prilog 2. Hranjivi sastojci u porciji pojedinog jela

JELA

HRANJIVI SASTOJCI U JEDNOJ PORCIJI JELA

Kalorije

(Kcal)

Masti

(g)

Bjelančevine

(g)

Ugljikohidrati

(g)

I.

Juha od rajčice 410 8 4 24

Juha od kukuruza 260 9 8 44

Juha od karfiola 670 26 52 62

Juha od krumpira 580 28 56 25

Juha od špinata 490 22 40 23

Juha od poriluka 105 5 4 10

Juha od kelja 220 6 8 37

Juha od bundeve 220 14 6 20

Juha od mrkve 220 9 5 30

Hladna salata od

morskih plodova

500 18 32 58

Hladna salata od

piletine

460 5 41 64

II.

Pileći ražnjići 490 13 37 61

Špagete u umaku od

soma

395 19 30 40

Jota 110 9 8 28

Pileći file sa keljom 170 5 6 28

Pečeni šaran sa

krumpirom

200 4 8 34

Ražnjići sa

piletinom i

kobasicama

170 6 6 27

Punjene pljeskavice

sa krumpirom

910 51 82 30

Punjeni svinjski file 580 19 50 46

Punjena teletina sa

krumpirom

510 17 51 37

54

Kus – kus sa

povrćem

510 13 17 83

Ćevapi 400 15 47 16

Juneći gulaš 450 9 29 68

III.

Salata od rajčice 175 17 4 28

Miješana salata 110 5 5 14

Salata od crvenog

kupusa

230 19 6 8

Mediteranska salata 380 18 33 78

Grah salata 220 8 10 28

Salata od graška 265 10 11 35

Meksička salata 370 13 30 27

IV.

Palačinke sa

bananama

335 6 8 64

Kesten torta 390 28 3 33

Kolač od višanja 110 14 1 28

Kompot od jabuka 185 0 5 30

Kolač rigojanči 175 17 1 4

Limun kolač 170 4 3 32

Voćna salata 274 1 4 68

Kocke od maka 220 6 4 38

Maskarpone torta 290 24 6 14

Doboš torta 335 19 6 37


55

Prilog 3. Izvješće o dobivenom rješenju problema u programu LINDO za ženske radnice


56

Prilog 4. Izvješće o dobivenom rješenju problema u programu LINDO za muške radnike


57

Prilog 5. Unos podataka u radni list programa LINDO za dobivanje optimalnog obroka

drugog dana u tjednu za ženske radnice



drugog dana u tjednu za muške radnike


58

Prilog 7. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za drugi dan optimalnog

obroka ženskih radnica


59

Prilog 8. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za drugi dan optimalnog

obroka muških radnika


60


trećeg dana u tjednu za ženske radnice



trećeg dana u tjednu za muške radnike


61

Prilog 11. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za treći dan optimalnog



62

Prilog 12. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za treći dan optimalnog



63


četvrtog dana u tjednu za ženske radnice



četvrtog dana u tjednu za muške radnike


64

Prilog 15. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za četvrti dan optimalnog



65

Prilog 16. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za četvrti dan optimalnog



66


petog dana u tjednu za ženske radnice



petog dana u tjednu za muške radnike


67

Prilog 19. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za peti dan optimalnog



68

Prilog 20. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za peti dan optimalnog



69

Documents

SVEUČILIŠTE U RIJECI - oliver.efri.hroliver.efri.hr/zavrsni/911.B.pdf3.2.2. Simpleks metoda ... klasifikacije, metoda diskripcije, komparativna metoda, metoda kompilacije, matematička