SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

Ivana Frančić

Einsteinov princip ekvivalencije

Diplomski rad

Osijek, 2011.

i

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

Ivana Frančić

Einsteinov princip ekvivalencije

Diplomski rad

predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja profesora fizike i tehničke kulture s informatikom

Osijek, 2011.

ii

Ovaj diplomski rad izrađen je u Osijeku pod vodstvom doc. dr. sc. Josipa Brane,

prof. u sklopu Sveučilišnog diplomskog studija fizike i tehničke kulture s

informatikom na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku.

iii

Sadržaj

Sažetak............................................................................................................................................iv Abstract............................................................................................................................................v

1. Uvod.............................................................................................................................................1

2. Usporedni prijevod V. poglavlja „Princip relativnosti i gravitacija" iz Einsteinovog rada

"Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen

Folgerungen"....................................................................................................................................2

§17. Ubrzani sustav motrenja i gravitacijsko polje.......................................................3

§18. Prostor i vrijeme u jednoliko ubrzanom sustavnu motrenja.................................4

§19. Utjecaj gravitacijskog polja na satove.....................................................................7

§20. Utjecaj gravitacije na elektromagnetske pojave.....................................................8

3. Dodatak 1. Njemački original prvog izdanja iz 1907.godine "Über das Relativitätsprinzip und

die aus demselben gezogenen Folgerungen".................................................................................13

4. Dodatak 2. Engleski prijevod "On the relativity principle and the conclusions drawn from it,"

iz kolekcije Einsteinovih radova iz vremena od 1900. – 1909.godine………………………..…23

5. Galileijev slabi princip ekvivalencije - troma i teška masa.......................................................35

6. Einsteinov jaki princip ekvivalencije u općoj teoriji relativnosti..............................................37

7. Eksperimentalni testovi principa ekvivalencije.........................................................................40

8. Zaključak...................................................................................................................................48

9. Literatura....................................................................................................................................50

10. Životopis..................................................................................................................................51

iv

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Diplomski rad

Odjel za fiziku

Einsteinov princip ekvivalencije

Ivana Frančić

Sažetak

Razmotren je Einsteinov princip ekvivalencije. Prevedeno je V. poglavlje izvornog teksta

Einsteinovog rada “Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen

Folgerungen“, uz paralelno korištenje engleskog prijevoda "On the relativity principle and the

conclusions drawn from it", iz kolekcije Einsteinovih radova iz vremena od 1900. – 1909.

godine. Razmotreni su slabi i jaki princip ekvivalencije te njihove eksperimentalne potvrde.

(51 stranica, 6 slika, 1 tablica, 14 literaturnih navoda)

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: jaki / slabi princip ekvivalencije

Mentor: doc. dr. sc. Josip Brana

Ocjenjivači: doc. dr. sc. Zvonko Glumac, predsjednik

mr. sc. Slavko Petrinšak, član

Rad prihvaćen: 28.06.2011

v

J. J. Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis

Department of Physics

The Einstein equivalence principle

Ivana Frančić

Abstract

In this paper we will discusses the Einstein equivalence principle. The 5th chapter of the original

text of Einstein's work " Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen

Folgerungen Über das" has been translated and compared to the English translation " On the

relativity principle and the conclusions drawn from it", from the collection of Einstein' s works

from 1900-1909. The weak and the strong equivalence principle and their experimental prooves

have been discussed.

(51 pages, 6 figures, 1 tables, 14 references)

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: strong / weak equivalence principle

Supervisor: doc. dr. sc. Josip Brana

Reviewers: : doc. dr. sc. Zvonko Glumac, chairman

mr. sc. Slavko Petrinšak, member

Thesis accepted: 28.06.2011

1

1. Uvod

U općoj teoriji relativnosti princip ekvivalencije igra temeljnu i sveodređujuću ulogu. On

utvrđuje da je gravitacijsko polje relativne naravi i da se lokalno može ukloniti izborom

slobodno padajućeg sustava motrenja.

Princip ekvivalencije Einstein naziva „najsretnijom zamisli svoga života“ (tj. „The most

Fortunate Trought of My Life“) i formulira ga u obliku: Postojanje gravitacijskog polja tek je

relativno. Naime, za slobodno padajućeg motritelja s vrha neke zgrade npr., ne postoji

gravitacijsko polje tijekom njegova pada, barem u njegovoj najbližoj okolini.1 On ga je uobličio

1907. godine i u to doba ga naziva principom relativnosti. U radu “Über das Relativitätsprinzip

und die aus demselben gezogenen Folgerungen“ pod nazivom principa relativnosti on formulira

ono što danas nazivamo principom ekvivalencije. U tom radu zahtjeva invarijantnost zakona

mehanike i elektrodinamike u jednoliko ubrzanom sustavu motrenja s tim da je prisutno

gravitacijsko polje.

Ovdije smo preveli iz njemačkog originala „Über das Relativitätsprinzip und die aus

demselben gezogenen Folgerungen“ i engleskog prijevoda "On the relativity principle and the

conclusions drawn from it" one dijelove koji se odnose na taj „Relativitätsprinzip“ tj. princip

ekvivalencije.

U daljnjem tekstu razmotren je Galileijev „slabi princip ekvivalencije“, kao i Einsteinov

„jaki princip ekvivalencije“ u općoj teoriji relativnosti u suvremenom obliku. Na kraju su

navedeni i eksperimentalni testovi ekvivalencije.

1 Brana J., Opća teorija relativnosti - Einsteinova teorija gravitacije. Prvi dio - Prvo izdanje. Osijek: Odjel za fiziku Sveučilišta Josipa Jurija Strossmayera u Osijeku, 2011.

2

2. Usporedni prijevod V. poglavlja „Princip

relativnosti i gravitacija" iz Einsteinovog rada

"Über das Relativitätsprinzip und die aus

demselben gezogenen Folgerungen"

3

§17. Ubrzani sustav motrenja i gravitacijsko polje

Dosad smo primjenjivali princip relativnosti, odnosno pretpostavku da su zakoni fizike

neovisni od stanja gibanja sustava motrenja, samo na neubrzane usustave motrenja. Je li moguće

da princip relativnosti vrijedi i za sustave koji se međusobno relativno ubrzavaju?

Iako ovo nije mjesto za detaljnu raspravu o ovom pitanju, ono će pasti na um svakome

tko prati primjene principa relativnosti. Stoga se neću ustručavati ovdje zauzeti stajalište o tom

pitanju.

Razmatramo dva sustava motrenja Σ1 i Σ2 koji se kreću. Neka Σ1 ubrzava u smjeru svoje

osi X, a γ neka je (vremenski konstantna) veličina tog ubrzanja. Sustav Σ2 miruje, ali se nalazi u

homogenom gravitacijskom polju koje ubrzava sve predmete ubrzanjem -γ u smjeru osi X.

Koliko nam je poznato, zakoni fizike u odnosu na Σ1 ne razlikuju se od onih koji se

odnose na sustav Σ2; ovo se zasniva na činjenici da se sva tijela u gravitacijskom polju jednako

ubrzavaju. Prema našem postojećem iskustvu, nemamo razloga pretpostaviti da se sustavi Σ1 i Σ2

razlikuju u bilo kojem pogledu, pa u razmatranju koje slijedi ćemo stoga pretpostaviti potpunu

fizikalnu istoznačnost sustava s gravitacijskim poljem i odgovarajućeg ubrzanog sustava

motrenja.

Ova pretpostavka proširuje princip relativnosti na slučaj ravnomjerno ubrzanog

translacijskog kretanja sustava motrenja. Heuristička vrijednost ove pretpostavke zasniva se na

činjenici da ona dopušta zamjenu homogenog gravitacijskog polja jednoliko ubrzanim

sustavnom motrenja, pri čemu je posljednji slučaj u određenoj mjeri dostupan za teoretsku

obradu.

4

§18. Prostor i vrijeme u jednoliko ubrzanom sustavnu

motrenja.

Prvo razmotrimo tijelo čije pojedinačne materijalne točke u određenom vremenu t

neubrzanog sustava motrenja S nemaju brzinu u odnosu na S, već određeno ubrzanje. Kakav je

utjecaj ovog ubrzanja γ na oblik tijela u odnosu na S?

Ako je taj utjecaj prisutan, sastojat će se od širenja s konstantnim omjerom u smjeru

ubrzanja te moguće u dva smjera okomito na njega, budući da drukčiji učinak nije moguć iz

razloga simetrije. Širenja uzrokovana ubrzanjem (ako takva uopće postoje) moraju biti parne

funkcije γ, dakle, moguće ih je zanemariti ako se ograničimo na slučaj u kojem je ubrzanje γ tako

maleno da članovi druge ili viših potencija u γ mogu biti zanemareni. Budući da ćemo se

ograničiti na taj slučaj, ne moramo pretpostaviti da ubrzanje ima ikakav utjecaj na oblik tijela.

Sada promotrimo sustav motrenja Σ koji se jednoliko ubrzava u odnosu na neubrzani

sustav S u smjeru osi X istoga. Satovi i metri u sustavu Σ, promatrani u mirovanju, jednaki su kao

i satovi i metri sustava S. Koordinatno ishodište sustava Σ kreće se duž osi X sustava S, a osi

sustava Σ su neprekidno paralelne u odnosu na osi sustava S. U bilo kojem trenutku postoji

neubrzani sustav motrenja S' čije se koordinatne osi podudaraju s koordinatnim osima Σ u datom

trenutku (u nekom trenutku t' sustava S'). Ako su koordinate točke događaja koji se zbiva u

trenutku t' ξ, η, ζ u odnosu na Σ, dobit ćemo

,

budući da u skladu s onim što smo prethodno rekli ne smijemo pretpostaviti da ubrzanje utječe

na oblik mjernih instrumenata korištenih za mjerenje ξ, η, ζ. Zamislimo uz to da su satovi sustava

Σ namješteni na vrijeme t' sustava S' tako da su njihova očitanja u tom trenutku jednaka t'. Što je

s "hodom" satova u sljedećem vremenskom trenutku τ?

Prije svega, moramo imati na umu da se specifični učinak u b rz an ja na "hod" satova

sustava Σ ne treba uzimati u obzir, budući da bi trebao biti reda γ2. Nadalje, budući da je učinak

brzine postignute tijekom vremena τ na "hod" satova zanemariv, kao i udaljenosti koje satovi

prijeđu tijekom vremena τ u odnosu na one koji putuju u sustavu S' su također reda veličine τ2 ,

5

odnosno zanemarive, pokazivanje satova sustava Σ mogu se potpuno zamijeniti pokazivanjem

satova iz sustava S' za vremenski element τ.

Iz prethodnog slijedi da se u odnosu na Σ, svjetlost u vakuumu širi tijekom vremenskog

intervala τ univerzalnom brzinom c ako definiramo istodobnost u sustavu S' koji trenutno miruje

u odnosu na Σ, te ako su satovi i metri koje koristimo za mjerenje vremena i dužine identični

onima koje koristimo za mjerenje vremena i prostora u neubrzanim sustavima. Tako se načelo

konstantnosti brzine svjetlosti može primijeniti i ovdje kako bi se definirala istodobnost ukoliko

se ograničimo na vrlo kratke putove svjetlosti.

Zamislimo sada da su satovi sustava Σ namješteni, na opisani način, na vrijeme t=0

sustava S pri čemu Σ trenutno miruje u odnosu na S. Ukupnost očitanja ovako podešenih satova

sustava Σ naziva se „lokalno vrijeme“ σ sustava Σ. Odmah je vidljivo da je fizičko značenje

lokalnog vremena σ sljedeće. Ako se lokalno vrijeme σ koristi za vremensku procjenu procesa

koji se odvijaju u pojedinačnim prostornim elementima Σ, onda zakoni koje ovi procesi slijede

ne mogu ovisiti o položaju ovih prostornih elemenata, odnosno, o njihovim koordinatama, ako su

ne samo satovi, već i drugi mjerni alati korišteni u raznim dijelovima prostora identični.

Međutim, ne smijemo jednostavno gledati na lokalno vrijeme σ kao „vrijeme“ Σ, budući

da prema gore danoj definiciji, dva događaja koji se odvijaju u različitim točkama Σ nisu

istodobna ako su njihova lokalna vremena σ jednaka. Jer, ako su u trenutku t=0 dva sata sustava

Σ sinkrona u odnosu na S te podvrgnuta istim kretanjima, onda oni ostaju zauvijek sinkroni u

odnosu na S. Međutim, iz tog razloga, u skladu s §4, oni ne rade sinkrono u odnosu na referentni

sustav S' koji trenutno miruje u odnosu na Σ ali se kreće u odnosu na S, te tako prema našoj

definiciji ne rade istodobno ni u odnosu na Σ.

Sada definiramo „vrijeme“ τ sustava Σ kao ukupnost onih mjerenja sata koji se nalazi u

koordinatnom ishodištu sustava Σ koja su, prema gornjoj definiciji, istodobna s događajima koji

će se vremenski procjenjivati.2

Sada ćemo odrediti odnos između vremena τ i lokalnog vremena σ nekog događaja u

nekoj točki. Iz prve od jednadžbi (1) slijedi da su dva događaja istodobna u odnosu na S' pa tako

i u odnosu na Σ, ako je

- = - ,

gdje se donji indeksi odnose na jedan ili drugi događaj u nekoj točki, sljedstveno. Ograničit ćemo

se na promatranje vremena koja su tako kratka3 da se svi članovi koji sadrže drugu ili višu

potenciju τ ili v mogu zanemariti; uzimajući u obzir (1) i (29) moramo staviti 2 Znak „τ“ ovdje se koristi u drukčijem smislu od onog ranijeg.

6

- = - = -

= =

tako da iz gornje jednadžbe dobijemo

- = ( - ).

Ako smjestimo prvi događaj u koordinatno ishodište, tako da je σ1 = τ, a ξ1 =0, dobivamo,

odbacujući donji indeks za drugi događaj,

. (30)

Ova jednadžba vrijedi prije svega ako se τ i ξ nalaze ispod određenih granica. Očito je da

vrijedi za proizvoljno veliku vrijednost τ ako je ubrzanje γ konstantno u odnosu na Σ, budući da

onda odnos između σ i τ mora biti linearan. Jednadžba (30) ne vrijedi za proizvoljno veliku

vrijednost ξ. Iz činjenice da izbor koordinatnog ishodišta ne smije utjecati na odnos mora se

zaključiti da, strogo govoreći, jednadžba (30) treba biti zamijenjena jednadžbom

Bez obzira na to, zadržat ćemo formulu (30).

Prema poglavlju §17„Ubrzani sustav motrenja i gravitacijsko polje“, jednadžba (30)

primjenjiva je i na koordinatni sustav u kojem djeluje homogeno gravitacijsko polje. U tom

slučaju moramo unijeti Φ= γξ, gdje je Φ gravitacijski potencijal, tako da dobivamo

(30a)

Definirali smo dvije vrste vremena za Σ. Koju od dvije definicije trebamo koristiti u

različitim slučajevima? Pretpostavimo da na dva različita mjesta različitih gravitacijskih

potencijala (γξ) postoji po jedan fizikalni sustav u svakom i želimo usporediti njihove fizikalne

veličine. Za tu svrhu, najprirodniji postupak mogao bi biti sljedeći: prvo odnesemo naše mjerne

alate u prvi fizikalni sustav te u njemu izvršimo mjerenja; zatim odnesemo naše mjerne alate u

drugi sustav kako bi izvršili ista mjerenja tamo. Ako dvije serije mjerenja daju iste rezultate,

označit ćemo dva fizikalna sustava kao „jednaka“. Mjerni alati uključuju i sat kojim ćemo mjeriti

3 U skladu s (1), pri tome također pretpostavljamo određeno ograničenje s obzirom na vrijednosti ξ = x'.

7

lokalna vremena σ. Iz ovoga proizlazi da je u svrhu definiranja fizikalnih veličina na jednom

mjestu gravitacijskog polja prirodno koristiti vrijeme σ.

Međutim, ako se bavimo pojavom u kojoj se predmeti smješteni na položajima s

različitim gravitacijskim potencijalima moraju promatrati istodobno, moramo koristiti vrijeme τ

u onim situacijama u kojima se vrijeme pojavljuje eksplicitno (tj. ne samo u definiranju

fizikalnih veličina), jer inače istodobnost događaja ne bi mogla biti izražena jednakošću vremena

dvaju događaja. Budući da se u definiranju vremena τ koristi sat na proizvoljno odabranoj

poziciji, ali ne u proizvoljno odabranom trenutku, pri korištenju vremena τ zakoni prirode mogu

varirati s položajem, ali ne i s vremenom.

§19. Utjecaj gravitacijskog polja na satove

Ako se sat koji pokazuje lokalno vrijeme nalazi u točki P gravitacijskog potencijala Φ,

onda će, prema (30a), njegovo očitanje biti puta veće od vremena τ, tj. sat će ići

puta brže od identičnog sata koji se nalazi u koordinatnom ishodištu. Recimo da

promatrač koji se nalazi negdje u prostoru prima ono što pokazuju dva sata na određeni način,

primjerice optički. Kako je vrijeme ∆τ koje protječe između trenutka u kojem sat pokaže

mjerenje i u kojem promatrač opazi taj prikaz neovisno od τ, a promatrača koji se nalazi negdje u

prostoru sat u točki P ide puta brže od sata u koordinatnom ishodištu. U tom smislu

možemo reći da se proces koji se događa u satu, (ili općenitije, bilo koji fizikalni proces), odvija

brže što je veći gravitacijski potencijal na mjestu u kojem se proces odvija.

Postoje „satovi“ koji su prisutni na položajima različitih potencijala i čije se brzine mogu

kontrolirati vrlo precizno; to su „izvori“ spektralnih linija. Iz prethodnog4 se može zaključiti da

4 Pretpostavljajući da jednadžba (30a) vrijedi i za nehomogeno gravitacijsko polje.

8

je valna duljina svjetlosti koja dolazi s površine Sunca, tj. dolazi od takvog jednog izvora, veća

za otprilike jedan dvomilijunti dio valne duljine svjetlosti koju ista tvar proizvodi na Zemlji.

§20. Utjecaj gravitacije na elektromagnetske pojave

Ako promatramo elektromagnetski proces u nekom trenutku u odnosu na neubrzani sustav

motrenja S' koji trenutno miruje u odnosu na sustav motrenja Σ koji se ubrzava kako je gore

navedeno, vrijedit će sljedeće jednadžbe prema (5) i (6) :

(5)

(6)

i

9

U skladu s gore navedenim, možemo slobodno izjednačiti veličine ρ', u', X', L', z', itd., koje se

odnose na S' s odgovarajućim veličinama ρ, u, X, L, ξ, itd., koje se odnose na Σ ako se

ograničimo na beskonačno kratko razdoblje,5 koje je beskonačno blisko vremenu relativnog

mirovanja sustava S' i Σ. Nadalje, moramo zamijeniti t' lokalnim vremenom σ. Međutim, ne

možemo jednostavno unijeti

budući točka koja miruje u odnosu na Σ, i na koju se odnose jednadžbe transformirane u Σ

mijenja svoju brzinu u odnosu na S' tijekom vremenskog elementa dt'=dσ, a kojoj promjeni,

prema jednadžbama (7a) i (7b), odgovara vremenska promjena komponente polja koja se odnosi

na Σ. Stoga, moramo staviti da je

Dakle, jednadžbe elektromagnetskog polja u sustavu motrenja Σ su:

5 Ovo ograničenje ne utječe na opseg valjanosti naših rezultata budući da se podrazumijeva da izvedeni zakoni ne

mogu ovisiti o vremenu.

10

Pomnožimo ove jednadžbe s te uvedemo u svrhu sažimanja,

Zanemarujući članove drugih potencija u γ, dobivamo jednadžbe

Ove jednadžbe prije svega pokazuju kako gravitacijsko polje utječe na statička i stacionarna

polja. Isti zakoni vrijede kao i u polju bez gravitacije, osim što se komponente polja X itd.,

zamjenjuju s , itd., a se zamjenjuje s .

Nadalje, kako bi pratili razvoj nestacionarnih stanja, upotrijebimo vrijeme τ u uvjetima

koji se razlikuju s obzirom na vrijeme kao i u definiciji brzine elektriciteta, odnosno, prema

(30), stavimo

,

11

i

= .

Tako dobivamo

i

I ove jednadžbe imaju isti oblik kao i odgovarajuće jednadžbe u neubrzanom sustavu ili

prostoru bez gravitacije; međutim, c se ovdje zamjenjuje vrijednošću

.

Iz ovog slijedi da gravitacijsko polje savija one zrake svjetlosti koje se ne šire duž osi ξ; može se

lako vidjeti da promjena smjera iznosi po cm putanje svjetlosti, pri čemu φ označava kut

između smjera sile teže i smjera zrake svjetlosti.

Uz pomoć ovih jednadžbi i jednadžbi koje povezuju jačinu polja i električnu struju

točkastog naboja, koje su poznate iz optike tijela u mirovanju, možemo izračunati utjecaj

gravitacijskog polja na optičke pojave u tijelima koja miruju. Treba imati na umu, međutim, da

gore navedene jednadžbe iz optike tijela u mirovanju vrijede za lokalno vrijeme σ. Nažalost,

utjecaj gravitacijskog polja Zemlje je toliko mali prema našoj teoriji (uslijed male vrijednost )

da nema izgleda za usporedbu rezultata teorije s iskustvom.

Ako uzastopce pomnožimo jednadžbe (31a) i (32a) s te integriramo preko

beskonačnog prostora, dobivamo, koristeći ranije bilješke

je energija ησ koju tvar dobiva po jedinici obujma i jedinici

lokalnog vremena σ ako se ta energija mjeri mjernim uređajima koji se nalaze na određenom

mjestu. Dakle, prema (30), je (slično izmjerena) energija koju tvar dobiva po

jedinici obujma i jedinici lokalnog vremena τ; je elektromagnetska

12

energija ε po jedinici obujma, izmjerena na isti način. Ako uzmemo u obzir da prema (30)

moramo staviti dobivamo 6

Ova jednadžba izražava načelo očuvanja energije i sadrži vrlo značajan rezultat. Energija,

ili unos energije elektromagnetskog polja, koji lokalno mjeren ima sljedom vrijednosti E=ε dω

ili E=η dω dτ, doprinosi integralu energije pored vrijednosti E koja dolazi od njenog izvora,

također i dodatak γξ = koji dolaze od njenog položaja. Na ovaj način, za svaku energiju E

u gravitacijskom polju postoji odgovarajuća energija položaja koja je jednaka potencijalnoj

energiji „teške“ mase veličine .

Tako prijedlog izveden u §11 “O ovisnosti mase o energiji“, da količini energije E

odgovara masa veličine vrijedi ne samo za inerci jsku, već i za gravi taci jsku tešku masu

ukoliko je pretpostavka iznesena u §17 „Ubrzani sustav motrenja i gravitacijsko polje„ točna.

(Primljeno 4. prosinca 1907.)

6 Ako zanemarujemo članove višeg reda od

13

Dodatak 1.

Njemački original prvog izdanja iz 1907.godine

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Dodatak 2.

Engleski prijevod iz kolekcije Einsteinovih radova iz vremena od 1900. – 1909. godine

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

5. Galileijev slabi princip ekvivalencije - troma i teška masa

„Galilei ja pokazao da tijelo, koje se giba stalnom brzinom, tj. jednoliko, ne treba silu da

ga „gura“, kao što je to tvrdio Aristotel. Primjerice, kuglice koje se kotrljaju određenom brzinom

po horizontalnoj podlozi bez trenja nastavit će se gibati tom brzinom. (U stvranosti će sila trenja

naposljetku zaustaviti tijelo.) Također je pokazao da brzina tijela koje slobodno pada ne ovisi o

masi tog tijela. Tako su topovske kugle različitih masa koje je Galileo navodno zajedno bacao s

kosog tornja u Pisi pale na zemlju istovremeno (a ne u različitim trenucima – kako je to

predviđao Aristotel). „Čisto logičko razmatranje nama ne može dati znanje o empiričkom

svijetu; sve znanje o stvarnosti počinje i završava iskustvom. Prijedlozi teorija načinjenih

isključivo logičkim sredstvima nemaju ništa sa stvarnošću“, zapisao je Einstein tri stoljeća

kasnije. „Zato što je Galilei to uočio, a posebice zato što je to razglasio u svijetu znanosti, on je

otac moderne fizike – u stvari, ukupne moderne znanosti.“ 7

Galileijev slabi princip ekvivalencije kaže da sva tijela u gravitacijskom polju

podjednako padaju. Izvor razlika u padanju je zrak i različiti početni uvjeti. Kad ne bi bilo zraka i

kada bi tijela imala iste početne uvijete padala bi na isti način.

7 Robinson A., Einstein – sto godina relativnosti. Zagreb: Školska knjiga, 2005.

36

Slika1: Slabi princip ekvivalencije8

Newton je u mehaniku uveo pojmove trome i teške mase.

Troma masa je mjera tromosti - inercije tijela i određujemo je mjerenjem akceleracije koju

tijelo dobije djelovanjem sile .

Teška masa je mjera gravitacijske sile, a uzrokuje ju gravitacijsko polje.

Ovo su dvije različite fizikalne pojave (tromost i gravitacija), te iz samih definicija ovih veličina

nikako ne slijedi da su ove mase nužno jednake. Do danas je načinjen veliki broj eksperimenata

koji uspoređuju tromu i tešku masu i nikad nije pronađena razlika između te dvije mase, stoga se

smatra da su ove dvije mase jednake. U razvoju opće teorije relativnosti, Albert Einstein je

iskoristio ovaj princip ekvivalencije kao jednu od polaznih postavki.

Osobito su poznata mjerenja uspoređivanja trome i teške mase koje je izvodio Mađarski fizičar

Rolánd Eötvös krajem 19. stoljeća. Do danas je ekvivalentnost teške i trome mase određena do

10 − 12.

8 Brana J., Opća teorija relativnosti - Einsteinova teorija gravitacije. Prvi dio - Prvo izdanje. Osijek: Odjel za fiziku

Sveučilišta Josipa Jurija Strossmayera u Osijeku, 2011

37

6. Einsteinov jaki princip ekvivalencije u općoj

teoriji relativnosti9

Einstein 1920. za princip ekvivalencije kaže12 da je "najsretnija zamisao njegova života"

(tj., "The Most Fortunate Thought of My Life") i formulira ga u obliku: Postojanje gravitacijskog

polja tek je relativno. Naime, za slobodno padajućeg motritelja s vrha neke zgrade npr., ne

postoji gravitacijsko polje tijekom njegova pada, barem u njegovoj najbližoj okolini.

U Einsteinovoj općoj teoriji relativnosti srž je teorije gravitacije u principu ekvivalencije.

Taj princip možemo formulirati i kao: slobodno padajući sustav motrenja npr. Einsteinov lift koji

slobodno pada jednoliko ubrzano u homogenom gravitacijskom polju (npr. pri površini Zemlje),

potpuno eliminira sve gravitacijske učinke i ekvivalentan je nekom inercijalnom sustavu

motrenja u Svemiru daleko od velikih masa.

U jednoliko ubrzanom svemirskom brodu daleko od velikih masa pojavljuju se (lokalno)

svi učinci homogenog gravitacijskog polja velike mase, koja kao da je smještena ispod poda

rakete i djeluje na fizikalne objekte unutar broda. Ubrzanje tijela prema podu broda (Crtež 2.8.)

suprotnog je smjera od ubrzanja broda.

Kraće rečeno, jednoliko ubrzani sustav motrenja daleko od velikih masa ekvivalentan je

mirnom – inercijalnom sustavu motrenja u homogenom gravitacijskom polju (npr. u blizini

Zemljine površine).

Ovako formuliran tzv. jaki princip ekvivalencije odnosi se na sve fizikalne zakone, kako

na gibanja tijela (mehanika), tako i na gibanje svjetlosti (elektromagnetizam)10.

9 Brana J., Opća teorija relativnosti - Einsteinova teorija gravitacije. Prvi dio - Prvo izdanje. Osijek: Odjel za fiziku

Sveučilišta Josipa Jurija Strossmayera u Osijeku, 2011

10

U doba Einsteinove formulacije principa ekvivalencije 1907. god. tek se naslućivalo postojanje nuklearnih (jakih i slabih) sila. Meñutim, vremena (polu)raspada čestica uzrokovana ovim silama, prema ovom principu, trebala bi biti

38

Za motritelja u brodu mehanički učinci bili bi da sva tijela u brodu padaju s istim

ubrzanjem g pa prema principu ekvivalencije i u homogenom gravitacijskom polju sva tijela

padaju s istim ubrzanjem, što su potvrdila još Galileieva opažanja.

Slika2: Ilustracija principa ekvivalencije

a) Inercijalni – mirni sustav motrenja, a gledano iz ubrzanog broda "slobodno padajući",

b) Neinercijalni – jednoliko ubrzani sustav motrenja,

c) Mirni – inercijalni sustav motrenja u gravitacijskom polju.

Učinci gravitacije na tijek vremena

Zbog dilatacije vremena 1.16) satovi učvršćeni za ubrzani brod idu sporije nego slobodno

padajući satovi, tj. satovi u mirnom brodu (na Crtežu 2.8. a) i b) pri vrhu brodova). Tada prema

principu ekvivalencije zaključujemo da u gravitacijskom polju satovi idu sporije nego u

svemiru daleko od velikih masa (ili pak u slobodno padajućem sustavu motrenja).

jednaka u homogenom gravitacijskom polju na površini Zemlje i u ubrzanom svemirskom brodu stalnog ubrzanja g , daleko od velikih masa.

39

Dva slučaja učinaka gravitacije na gibanje svjetlosti

1. Zraka svjetlosti okomita na pravac ubrzanja broda skreće prema podu broda (Crtež 2.8.b)

pa, prema principu ekvivalencije, zraka svjetlosti mora skretati i u gravitacijskom

polju prema objektu koji generira gravitacijsko polje – Zemlji (Crtež 2.8.c).

2. Zraka svjetlosti izračena s dna broda, a paralelna s pravcem ubrzanja broda, zbog

Dopplerova učinka biva od detektora na njegovu vrhu opažena s većom valnom duljinom

nego u brodu a) tj. u "slobodno padajućem sustavu". Prema principu ekvivalencije to

znači da će mirni motritelj u gravitacijskom polju, na nekoj visini od površine

Zemlje, opažati svjetlost izračenu sa zemaljske površine s valnim duljinama

pomaknutim prema crvenom – tzv. gravitacijski crveni pomak (gravitational

redshift) na desnoj strani Crteža 2.8. b) i c). I obrnuto, zbog Dopplerova učinka, detektor

na dnu broda registrira valne duljine svjetlosti izračene s vrha broda pomaknute prema

plavom pa, prema principu ekvivalencije, i motritelj na zemaljskoj površini opažat će

valne duljine svjetlosti izračene s nekog tornja pomaknute prema plavom dijelu spektra,

tzv. plavi gravitacijski pomak (gravitational blueshift), na lijevoj strani Crteža 2.8. b) i

c)."11

11 Brana J., Opća teorija relativnosti - Einsteinova teorija gravitacije. Prvi dio - Prvo izdanje. Osijek: Odjel za fiziku Sveučilišta Josipa Jurija Strossmayera u Osijeku, 2011.

40

7. Eksperimentalni testovi principa ekvivalencije

Eksperimentalni testovi se provode radi provjere teorija ili u svrhu verificiranja teorijskih

očekivanja. To je posebno teško u slučaju testiranja gravitacije budući da je ona najslabija od

četiri poznate temeljne sile (ostale tri sile su elektromagnetska, jaka i slaba nuklearna). Radi

toga su rezultati mnogih eksperimenata popračeni velikim pogreškama, a novi eksperimenti

zahtjevaju veliki trud. Do sad ne postoji niti jedan jedini eksperiment koji je u suprotnosti s

Einsteinovom općom teorijom relativnosti, ali postoje saznanja koja predviđaju moguće

korekture. Prema tome vrlo je bitno da se u što većem broju eksperimenata što više aspekata

opće teorije relativnosti testira kako bi se područje njezina djelovanja točnije preciziralo i kako

bi se pronašla moguća odstupanja.

Osim primitivnih metoda kao što je puštanje različitih predmeta s tornjeva koristila su se i njihala

s različitim utezima. Ako na vagi namjestimo da dva tijela imaju istu težinu tada im je jednaka i

njihova teška masa. Ako ta dva tijela pustimo da se istovremeno njišu moramo pričekati da

vidimo njišu li se u fazi. Ako rezultati nisu u okviru mjerne točnosti tada je princip ekvivalencije

narušen jer im se trome mase razlikuju.

U sljedećoj tabeli su navedeni neki povijesni rezultati mjerenja principa ekvivalencije:

41

Znanstvenik Točnost Metoda mjerenja

Philiponus, 500 (?) "mala" Toranj

Galileo, 1590 (?) ~10-2 Toranj

Newton, 1686 ~10-3 Njihalo

Bessel, 1832 ~10-5 Njihalo

Potter, 1932 ~10-6 Njihalo

Eötvös, 1922 ~10-8 Torziona vaga

Dicke et al., 1964 ~10-11 Torziona vaga

Panov et al., 1972 ~10-12 Torziona vaga

Shapiro et al., 1976 ~10-2 Lunar Laser Ranging

Keiser et al., 1981 ~10-10 Fluid Support

Niebauer et al., 1987 ~10-10 Toranj

Adelberger, 1990 ~10-12 Torziona vaga

STEP ~ 2003 ~10-18 Zemljina orbita

Tablica1: povijesni rezultati mjerenja principa ekvivalencije

42

Slika3:Tijek točnosti pri ispitivanju principa ekvivalencije

Nadalje su opisana tri pokusa:

Eötvösov pokus

Eksperiment mađarskog barona Rolanda von Eötvösa u osnovi je identičan s pokusom na

principu torzijske vage. Na tankom koncu koji je prebačen preko horizontalne šipke ovješena

su dva utega, jedan od olova, a drugi od bakra. Na šipci je postavljeno malo ogledalo koje se

promatra kroz dalekozor kako bi se ustanovilo poravnanje vage. Između dalekozora i

ogledala postavljen je tanki konac čija se slika refleksije može usporediti sa skalom u

okularu. Pokus je postavljen u staklenoj cijevi u kojoj je vakuum.

43

Slika3: Shematska građa torzione vage prema Eötvösu

Provjera principa ekvivalencije obavlja se pomoću dva mjerenja: prvo se vaga postavi u

smijeru istok-zapad. Tada pomoću dalekozora gledamo u pravcu sjevera (lijeva slika). Na

svaki od utega djeluju po dvije sile. Gravitacijska sila je proporcionalna teškoj masi.

Ako oba utega imaju istu težinu onda im je jednaka i teška masa.

Centrifugalna sila je proporcionalna tromoj masi.

Ako je povrijeđen princip ekvivalencije vaga će biti lagano pomaknuta u smijeru sjevera ili

juga jer će na jedan od utega zbog veće trome mase djelovati veća centrifugalna sila. Na skali

u okularu može se točno očitati položaj torzione vage (u mirovanju). Nakon zakretanja

uređaja za 180 promatramo vagu kroz dalekozor usmjerenu na jug i promatramo da li se

imalo pomaknula. Ako bi princip ekvivalencije bio narušen tada bi kod drugog mjerenja

došlo do pomaka u drugom smijeru. Promatra se razlika između oba poravnanja, ako se

ustanovi da postoji razlika poravnanja tada je narušen princip ekvivalencije.

Točnost ovog eksperimenta je do 10-8.

44

Gravitacijski crveni pomak i Pound-Rebka-Sniderov

pokus12

Crveni pomak je porast valne duljine elektromagnetskog zračenja uzrokovan ili

Dopplerovim učinkom, kada se izvor zračenja udaljava ili prisustvom vrlo jakog gravitacijskog

polja. Izražava se omjerom promjene valne duljine i same valne duljine.

Slika4: Gravitacijski crveni pomak

Nakon dugogodišnjih bezuspješnih pokušaja da se gravitacijski crveni pomak opazi kod

svjetlosti koja dolazi sa zvijezda, nizom pokusa provedenih od Pounda, Rebke i Snidera13 u

razdoblju 1959.-1965. godine, prvi put je potvrđen gravitacijski crveni pomak, ali na Zemlji,

zbog djelovanja njezina gravitacijskog polja. Tim pokusom se izravno potvrđuje ispravnost

principa ekvivalencije.

12

Brana J., Opća teorija relativnosti - Einsteinova teorija gravitacije. Prvi dio - Prvo izdanje. Osijek: Odjel za fiziku

Sveučilišta Josipa Jurija Strossmayera u Osijeku, 2011.

45

Slika5: Gravitacijski crveni pomak 13

Zahvaljujući otkriću Mössbauerova učinka, kojim se eliminira širenje spektralnih crta zbog

uzmaka atoma pri emisiji fotona, bila je moguća vrlo fina primjena Kirchoffova

spektroskopskog zakona da atomi (i jezgre) apsorbirju svjetlost samo valnih duljina koje

sami emitiraju.

Pound, Rebka i Snider su u pokusu koristili kao izvor pobuđene jezgre željeza Fe*, koje pri

prijelazu Fe*

Fe + γ u osnovno stanje zrače gama kvante usmjerene prema vrhu tornja

visine 22,5 m (to se zbivalo na Odjelu za fiziku Sveučilišta u Harvardu). U detektoru na vrhu

nije opažena nikakva apsorpcija γ kvanata. No, kada su detektor gibali brzinom

na dolje prema izvoru, eliminirali su učinak gravitacijskog

crvenog pomaka ekvivalentnim učinkom gibajućeg sustava motrenja i rezonantna se

apsorpcija γ kvanta pojavila, a relativna razlika frekvencija iznosila je (0.9990 0.0076)

množena s predviđenom vrijednošću:

.

13

Brana J., Opća teorija relativnosti - Einsteinova teorija gravitacije. Prvi dio - Prvo izdanje. Osijek: Odjel za fiziku

Sveučilišta Josipa Jurija Strossmayera u Osijeku, 2011.

46

STEP pokus (Satellite Testing of the Equivalence

Principle)

U ovom se eksperimentu želi ispitati ispravnost principa ekvivalencije pomoću

specijalno konstruiranog satelita. Kombinacijm moderne tehnike za mjerenje i

eksperimentalnih prednosti koje ima orbita koja se nalazi u blizini Zemlje omoćuje nam puno

točnije mjerenje principa ekvivalencije nego što je to do sada bilo moguće.

Slika 6: Princip STEP pokusa14

Tehnika mjerenja koja se ovdije primjenjuje slična je onoj kojom se služio i Galileo pri

pokusima bacanja tijela s kosog tornja u Pisi.

Nakon starta satelit će biti postavljen na jednu stabilnu orbitu oko Zemlje na kojoj se on može

(bez utjecaja sila) kretati više godina. U unutrašnjosti satelita nalaze se dva različita materijala,

tako smještena da im se težišta preklapaju. Oni se nalaze u vakuumu i nisu spojeni međusobno

niti sa satelitom. Oni se kreću zajedno u slobodnom padu oko Zemlje. Kao i u Eötvösovom

eksperimentu na svaki od materijala djeluje sila teže Zemlje i centrifugalna sila . Ako bi

ispravnost principa ekvivalencije bila narušena onda bi se težišta materijala lagano razdvojila.

14 http://www.pi5.uni-stuttgart.de/lehre/hauptseminar2001/Gravitationskonstante/Gravitation_2ndversion.htm

47

Za očekivanu točnost eksperimenta postoji više razloga:

- U svemiru je manje efekata smetnje (polja smetnje, vibracije, itd.) „prazni“ prostor

omogućava mirna mjerenja.

- Omogućeno je jako dugo vrijeme mjerenja. Za jedno jedino mjerenje planirano je više

mjeseci do dvije godine.

- Kako se materijali u odnosu na satelit uopće ili vrlo malo gibaju signal se može primiti s

vrlo velikom točnošću.

Očekivana točnost ovog eksperimenta je do 10-18.

48

8. Zaključak

Tema ovog diplomskog rada bila je „Einsteinov princip ekvivalencije“. U radu je

razmotren princip ekvivalencije uz prevođenje originalnog Einsteinovog rada iz 1907. godine

„Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen“. Razmotreni su

Galileijev slabi princip ekvivalencije, pojmovi trome i teške mase, Einsteinov jaki princip

ekvivalencije te njihove eksperimentalne potvrde.

Einstein je već 1907. godine u pokušaju da prilagodi Newtonovu gravitaciju specijalnoj

teoriji relativnosti, primijetio da je postojanje gravitacije relativno jer ovisi o tome da li je

promatrač u slobodnom padu ili ne. Tada mu se nametnulo pitanje zašto bi samo inercijski

susatavi trebali biti privilegirani u prikazu prirodnih zakona ako su sva gibanja u prirodi

ravnopravna i tako se rodila ideja opće teorije relativnosti, prema kojoj bi svi prirodni zakoni i

zakoni fizike trebali imati isti oblik za sve promatrače i sustave motrenja, bez obzira na njihovo

stanje gibanja.

Uključivanjem ubrzanih sustava motrenja u opću relativnost značilo je pozabaviti se s

Newtonovom teorijom gravitacije koja se nikako nije uklapala u specijalnu teoriju relativnosti. Iz

klasične mehanike je poznato, da se u ubrzanim sustavima motrenja Newtonovi zakoni gibanja

moraju nadopuniti prividnim inercijskim silama istog kao što su centrifugalna i coriolisova sila.

Newtonov univerzalni zakon gravitacije uvodi i pojam teške (gravitacijske) mase

za razliku od trome (inercijske) mase. Iz II. Newtonovog zakona gibanja je:

gdje označava jakost gravitacijskog polja. Mjerenja jednakosti (ekvivalencije) tih dviju masa

počinju s Galileijem (Pisa), Newtonom (njihalo) i Eötvösom (torziona vaga) a traju i danas

potvrđujući njihovu jednakost do na (mg/mi) – 1 ≈ 10-13.

Einstein ovu jednakost postulira i daje joj status principa ekvivalencije koji omogućava lokalnu

ekvivalentnost gravitacijskog polja stvorenog masama s „umjetnim“ gravitacijskim poljem

49

nastalim u lokalnim ubrzanim sustavima motrenja te mogućnost lokalnog poništavanja

gravitacije slobodnim padom u gravitacijskom polju.

Dva principa čine temelj Einsteinove opće teorije relativnosti :

1. Princip opće relativnosti

Fizikalni zakoni imaju isti oblik u svim sustavima motrenja bez obzira na njihovo stanje gibanja.

2. Princip ekvivalencije

Gravitacijsko polje stvoreno masama i „umjetno“ gravitacijsko polje izazvano ubrzanim

sustavom motrenja su lokalno potpuno ekvivalentni.

Neposredne posljedice principa ekvivalencije su: dilatacija vremena u gravitacijskom

polju tj. gravitacijski crveni pomak, savijanje zrake svjetlosti u gravitacijskom polju, što je sve

eksperimentalno i potvrđeno.

Prije Einsteina ljudi su živjeli u uvjerenju da su prostor i vrijeme ravni i apsolutni. Nije

bilo mjerljivih pojava ni potreba da se klasična relativnost Galileija i Newtona zamijeni s nekom

drugom. Danas, međutim, mi imamo potvrđeno saznanje da živimo u zakrivljenom prostor-

vremenu, pa je potreba uključivanja teorije relativnosti u svakodnevnicu postala nužnost kao na

primjeru rada GPS uređaja, koji koriste milijuni ljudi u raznim prilikama od zabave do tvrde

znanosti.

50

9. Literatura

Brana J., Opća teorija relativnosti - Einsteinova teorija gravitacije. Prvi dio - Prvo izdanje.

Osijek: Odjel za fiziku Sveučilišta Josipa Jurija Strossmayera u Osijeku, 2011.

Einstein, A., Jahrbuch der Radioaktivitaet und Elektronik. Band 4. Leipzig 1907 Über das

Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogene Folgerungen.

Einstein, A., "On the relativity principle and the conclusions drawn from it," in The collected

papers of Albert Einstein. Vol. 2 : The Swiss years: writings, 1900–1909 (Princeton University

Press, Princeton, NJ, 1989), Anna Beck translator

Robinson A., Einstein – sto godina relativnosti. Zagreb: Školska knjiga, 2005.

Engel M., Die Gravitation im Test – Gravitationskonstante und Äquivalenzprinzip,

Seminarvortrag, "Präzisionsmessungen". 2002.

URL:http://www.pi5.unistuttgart.de/lehre/hauptseminar2001/Gravitationskonstante/Gravitation_

2ndversion.htm

URL:http://www.fer.hr/_download/repository/Predavanja07B-2011.pdf

URL:http://eskola.hfd.hr/susreti/Zasto_nam_danas_treba_teorija_relativnosti_M_Martinis.pdf

51

10. Životopis

Rođena sam u Osijeku 1977.g., osnovnu školu sam završila u Bilju, srednju školu

(gimnaziju) u Njemačkoj, na Tehničkom univerzitetu Beč završila prvi stupanj studija tehničke

fizike. Od 2003.g. sam student Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, Odjela za

fiziku- studij fizike i tehničke kulture s informatikom.