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Symbolic Math Toolbox
◼ O Toolbox de Matemática Simbólicadisponibiliza uma coleção de diversas funçõesdo MATLAB utilizadas para calcular operaçõesbásicas, tais como: derivadas, limites, integrais,expansão da serie de Taylor, e outrasoperações. A manipulação simbólica noMATLAB pode ser vista como uma evolução domodo como você utiliza o MATLAB paraprocessar números.
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Symbolic Math Toolbox
◼ A grande vantagem de se utilizar talprocesso é que podemos obter resultadosmais exatos, eliminando-se assim aimprecisão introduzida pelos valoresnuméricos. Podemos resolver derivadas,integrais, equações diferenciais ealgébricas utilizando-se esta poderosaferramenta.
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Symbolic Math Toolbox
EXPRESSÕES SIMBÓLICAS
Deve-se entender por Expressão simbólica as
expressões que contêm objetos simbólicos que
podem representar números, funções e operações
e variáveis.
Dica: As variáveis simbólicas não precisam de um
valor numérico. Esta variável simbólica representa
apenas um símbolo de uma expressão simbólica.
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Symbolic Math Toolbox
EXPRESSÕES SIMBÓLICAS
Exemplos: 3x )5( 4xdx
dz =
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Symbolic Math Toolbox
O MATLAB disponibiliza várias funções quetrabalham com funções polinomiais e que podem serutilizadas para representar funções polinomiais.Dentre elas, encontram-se as seguintes funções:
collect
expand
factor
simplify
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Symbolic Math Toolbox
collect
Organiza os coeficientes
◼ Sintaxe
collect( f )
mostra um polinômio f em sua variável simbólica, seja x, e
organiza todos os coeficientes com a mesma potência de x.
Um segundo argumento pode especificar a variável que se deve
organizar se houver mais de uma variável simbólica possível.
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Symbolic Math Toolboxcollect(f)
1) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial
>> clear % Limpa a Janela de Comandos
>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”
>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)
>> collect(y); % Organiza os coeficientes
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
x3 + 3x2 + 3x + 1
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Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
Escreva a função y = (x + 1)(x + 2) na forma
polinomial.
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Symbolic Math Toolbox
◼ collect( f, nome da variável simbólica)
A função collect neste caso aceita um segundo argumento
que especifica que variável simbólica deve ser utilizada
para organizar o polinômio.
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Symbolic Math Toolboxcollect(f, nome da variável simbólica)
2) Escreva a função f(x,z) = (x + 1)^3 + z na forma polinomial.
>> x = sym('x'); % Define a variável simbólica x
>> z = sym(‘z’); % Define a variável simbólica z
>> y = (x +1)^3 + z; % Define a função y = f(x,z)
>> collect(y,x); % Organiza os coeficientes em x
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
x3 + 3 x2 + 3 x + 1 + z
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Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
Escreva a função y = (x + 1)^3 + (z + 1)^2
na forma polinomial, em termos de z.
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Symbolic Math Toolbox
◼ expand
realiza a distribuição de produtos para polinômios
e aplica outras identidades que envolvem funções
de somas, identidades trigonométricas, exponenciais
e logaritmos.
Sintaxe
◼ expand( f )
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Symbolic Math Toolboxexpand(f)
3) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial
>> clear % Limpa a Janela de Comandos
>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”
>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)
>> expand(y); % Realiza o produto polinomial
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
x3 + 3x2 + 3x + 1
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Symbolic Math Toolbox
expand X collect
Além de representar funções polinomiais a função ébastante útil na manipulação de expressões simbólicastrigonométricas, exponenciais, hiperbólicas, entre outrasfunções. Esta é uma das características marcantes quediferenciam a função expand da collect. A funçãoexpand é bem mais robusta, porque trabalha commuitos tipos de funções, enquanto a função collect érestrita apenas a funções polinomiais. Podemos, dizerque a função expand é uma evolução da função collect,agregando-se novas funcionalidades.
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Symbolic Math Toolboxexpand
4) Obtenha a forma expandida da funçãotrigonométrica cos(x + y).
x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.
y = sym(‘y’); % Cria a variável simbólica y.
expand(cos(x+y)) % Realiza a operação
ans = % Variável padrão do matlab
cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) % Resultado
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Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
Obtenha a forma expandida da função
exponencial exp(x + y).
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Symbolic Math ToolboxFactor
Fatoração
◼ Sintaxe
factor(X)
Esta função obtém a forma fatorada de um polinômio.Na sintaxe da função X, pode ser apenas a expressãosimbólica. Ou um array simbólico contendo váriosexpressões simbólicas. No caso de utilizar um array, afunção factor retorna um array com as expressõessimbólicas correspondentes.
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Symbolic Math Toolbox
◼ Uso da Função factor
Calcular os fatores primos de um número
inteiro.
Obter a forma polinomial fatorada.
Simplificar expressões simbólicas.
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Symbolic Math ToolboxFactor(x)
5) Calcule os fatores dos seguintes números 15 e 50.
>> factor(15)
ans =
3 5
>> factor(50)
ans =
2 5 5
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Symbolic Math Toolbox
Factor
◼ Observação:
O maior valor inteiro que a função factor
aceita é um numero inteiro de até 16 dígitos,
se o número tiver uma quantidade de dígitos
superior a 16. Devemos usar o sym para criar
um elemento.
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Symbolic Math ToolboxFactor(x)
5) Calcule os fatores do número
>> factor(15)
ans =
3 5
>> factor(50)
ans =
2 5 5
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Symbolic Math Toolbox
Factor(x)
5) Calcule os fatores do número 12345678901234567890
>> factor(sym('12345678901234567890'))
ans =
(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)
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Symbolic Math Toolbox
6) Obtenha a forma fatorada da equação
y = x^3 +3*x^2 + 3*x + 1
>> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x.
>> y = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 % Define a função y = f(x)
>> factor(y); % Fatoração
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
(x + 1)^3
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Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
Obtenha a forma fatorada da equação
y = x^2 + 3*x + 2
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Symbolic Math ToolboxSimplify
Simplificação simbólica.
◼ Sintaxe:
R = simplify(S)
A função simplify é uma ferramenta poderosa, que emgeral aplica várias identidades algébricas que envolvemsomas, potência inteira, raízes quadradas e potênciafracionária, como também vários identidades queenvolvem funções trigonométricas, exponencial e funçõesde Bessel, função gama, etc.
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Symbolic Math Toolbox
7) Simplifique a seguinte expressão:
>> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x.
>> y = (x^3 + 8)/(x^4 - 16); % Define a função y = f(x)
>> z = factor(y)
>> simplify(y); % Simplificação simbólica
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
x^2 - 2x + 4
-------------------
x^3 - 2x^2 + 4x - 8
16
84
3
−
+=
x
xy
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Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
Simplifique a seguinte expressão: 8
23 −
−=
x
xy
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Symbolic Math Toolbox
8) Simplifique a seguinte expressão
>> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.
>> y = cos(x)^2 + sin(x)^2; % Define a função y = f(x)
>> simplify(y); % Simplificação simbólica
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
1
)(sin)(cos 22 xxy +=
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Symbolic Math Toolbox
9) Simplifique a seguinte expressão:
>> syms x y positive % Cria as variáveis simbólicas
x e y, ambas positivas.
>> simplify(log(x*y)); % Simplificação simbólica
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
log(x) + log(y)
)*log( yx
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Symbolic Math Toolbox
Simple
Busca a forma mais simplificada para a expressão simbólica.
◼ Sintaxe:
r = simple( S )
[r,how] = simple( S )
A função simple(S) tenta várias simplificações algébricasdiferentes na expressão simbólica S, exibe a representação demenor comprimento para S. S é um sym. Se S for uma matriz, oresultado indica a representação mais curta da matriz inteiraque necessariamente não é a representação mais curta decada elemento individual.
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Symbolic Math Toolbox
10 ) Simplifique a expressão y = (x + 1)(x + 2)
>> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.
>> simple((x+1)(x+2)) % Simplificação
ans =
x^2+3*x+2
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Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
Simplifique a expressão )(sin)(cos2 22 xxy −=
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Symbolic Math Toolbox
pretty
Esta função imprime uma expressão simbólica.
◼ Pretty(expressão simbólica).
A grande vantagem do uso da função pretty quando trabalha-secom matemática simbólica é que a exibição da expressãosimbólica é a mais clara possível.
Dica: Ao trabalhar com matemática simbólica, sempre use afunção pretty, para tornar mais legível a expressão simbólicamostrada na tela.