SYST0002 – Introduction aux signaux et systèmes

Examen

9 janvier 2020

Consignes

• Durée : 4h.

• Une nouvelle feuille pour chacune des 4 questions.

• Indiquez votre nom, prénom et matricule sur chaque feuille.

• Déposez vos réponses aux différentes questions sur les piles respectives.

• Appareils électroniques (calculatrice, GSM, etc.) non admis.

Justifiez toujours vos réponses.

Question 1 La dynamique de la synthèse d’une protéine à partir de son gène peut

être étudiée par modélisation mathématique d’un système entrée-sortie

où l’entrée est la concentration en gène actif g et la sortie la concentration

en protéine p (Figure 1). Ce processus se déroule en 2 étapes. Le gène est

d’abord transcrit en ARN messager (mRNA, de concentration m) selon un

taux de transcription k1. Le mRNA est alors soit dégradé avec un taux de

dégradation d1, soit traduit en protéine avec un taux de traduction k2. La

protéine peut ensuite elle-même être dégradée/utilisée avec un taux de

dégradation d2.

Gene (g) mRNA (m) Protein (p)k

1

Transcription Traduction

k2

De

gra

da

tion

De

gra

da

tion

d1

d2

f(p) = Pn/(Kn + Pn)

FIGURE 1 – Schéma équivalent de l’expression de gènes avec autoactivation.

Nous considérons par ailleurs le cas où la synthèse des protéines est régulée

par un mécanisme appelé autoactivation : la protéine synthétisée stimule la

transcription de son gène spécifique. Cela peut être modélisé par un taux de

transcription qui dépend de la concentration en protéine p via une fonction

f (p) = pn/(K n +pn), où K et n sont des paramètres régulant la dynamique

de l’autoactivation.

1

En utilisant la loi d’action des masses, le schéma proposé à la Figure 1 peut

être transcrit en un système d’équations différentielles ordinaires :

m = g k1pn

K n +pn −d1m (1)

p = k2m −d2p, (2)

où g k1pn/(K n +pn) modélise la dynamique de la transcription avec autoacti-

vation, d1m modélise la dégradation du mRNA, k2m modélise la dynamique

de la traduction, et d2p modélise la dégradation de la protéine. Dans cet

exercice, nous considérerons les valeurs suivantes pour les différents para-

mètres : k1 = k2 = d1 = d2 = n = 1, K = 0.5.

(i) Identifiez les entrées, sorties et états du système, ainsi que leurs

domaines et images respectifs.

(ii) Le système est-il linéaire? Temps-invariant?

(iii) Tracez un plan de phase qualitatif du système comprenant les isoclines

et identifiez le(s) point(s) d’équilibre du système graphiquement. Pla-

cez un vecteur associé au champ de vecteurs et de longueur qualitative

dans les différents quadrants délimités par les isoclines. Pour faciliter

la construction du plan de phase, utilisez g = 1 et travaillez uniquement

dans la région physiologique (cf point (i)).

(iv) Calculez analytiquement le(s) point(s) d’équilibre du système en fonc-

tion de g .

(v) Déterminez analytiquement des critères de stabilité pour chaque point

fixe en fonction de g .

(vi) Identifiez le comportement du système global en fonction de ces cri-

tères (en terme d’évolution temporelle et de convergence de la quan-

tité de protéines synthétisées pour différentes valeurs de g ).

(vii) Prouvez analytiquement que la convergence vers le(s) point(s) d’équi-

libre stable(s) sera toujours monotone.

(i)

• entrée : g=concentration en gène : R+ →R+

• sortie : p= concentration de protéines R+ →R+

• variables d’état : m=concentration en ARN-m R+ →R+, p=concentration

en protéines R+ →R+

(ii)•Le système est non linéaire car g p est un produit du signal d’entrée et

de sortie + présence du terme non-linéaire : p/(1/2+p).

•Le système est temps-invariant car aucun des coefficients devant g ou p

de dépend du temps. Les paramètres sont bien constants.

(iii)• p-nullcline : m=p

• m-nullcline : g p0.5+p −m = 0

Pour g = 1 : point d’équilibre : (m*, p*) = (0,0). Ensuite, on dessine le champs

de vecteurs dans les différents quadrants délimités par les nullclines. Par

exemple en (1,0) ↖ - (0,1) ↘- (2,1) ↙ - (0.1, 0.15) ↗.

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(iv) Calcul des points d’équilibre : PF1 : (g-1/2, g-1/2) - PF2 :(0,0).

(v) Calcul du jacobien :

(−1 g /2

(0.5+p)2

1 −1

)

• Pour le PF1, le jacobien s’écrit :

(−1 1/2g

1 −1

)Calcul des valeurs propres : s2 +2s + (1−1/2g ) = 0

Calcul du déterminant ... Le PF1 sera stable lorsque les valeurs propres sont

négatives → g > 1/2.

• Pour le PF2, le jacobien s’écrit :

(−1 2g

1 −1

)Calcul des valeurs propres : s2 +2s + (1−2g ) = 0

Calcul du déterminant ... Le PF2 sera stable lorsque les valeurs propres sont

négatives → g < 1/2. (vi) Si g<1/2, le système converge vers le point fixe

(0,0). Aucune protéine ne sera produite. Si g > 1/2, le système converge

vers le point fixe (g-1/2, g-1/2). La protéine sera produite durablement.

(vii) Il suffit de regarder les déterminants dans le calcul des valeurs. Celui

doit être positif pour garantir des valeurs propres positives. C’est toujours

le cas car g > 0.

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Question 2 La sortie y(t ) d’un système LTI causal est liée à l’entrée u(t ) par l’équation

suivante :

y(t )+5y(t ) =∫ ∞

−∞u(τ)z(t −τ)dτ−2u(t )

où z(t ) est la réponse impulsionnelle d’un sous-système.

(i) Dessinez le bloc-diagramme du système défini ci-dessus en utilisant

un seul bloc intégrateur et un bloc pour le sous-système de réponse

impulsionnelle z(t ).

(ii) Déterminez la fonction de transfert H(s) du système.

Astuce : Z (s) peut être présent dans l’expression de H(s).

L’équation caractérisant le système peut s’écrire dans le domaine de

Laplace en utilisant les propriétés de linéarité et en remarquant que :∫ ∞

−∞u(τ)z(t −τ) = u(t )∗ z(t )

Un produit de convolution dans le domaine temporel devient un simple

produit dans le domaine fréquentiel.

sY (s)+5Y (s) =U (s)Z (s)−2U (s)

La fonction de transfert est définie par : H(s) = Y (s)U (s) et donc

H(s) = Z (s)−2

s +5

(iii) Pour z(t ) = e−2t I(t )+δ(t ), calculez Z (s).

On utilise les formules des fonctions élementaires I(t) et δ(t) et la

propriété de linéarité.

Z (s) = 1

s +2+1 = s +3

s +2

(iv) Utilisez l’expression de Z (s), obtenue au point (iii), pour simplifier la

réponse de la fonction de transfert H(s), obtenue au point (ii).

Il suffit d’injecter Z (s) dans H(s) :

H(s) = −(s +1)

(s +5)(s +2)

(v) Déterminez les zéros, les pôles et la région de convergence associée

au système. Est-ce que le système est stable? Justifiez votre réponse.

• zéro : s =−1

• pôles : s =−5,−2

• ROC = {s ∈C :σ>−2}

• le système est stable car l’axe imaginaire est bien compris dans la

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région de convergence.

(vi) Le système a été défini à l’aide d’une équation intégro-différentielle

donnée dans l’énoncé. Utilisez les résultats précédemment obtenus

pour déduire une équation différentielle entrée-sortie caractérisant

tout votre système.

En repartant de l’expression de H(s) = Y (s)/U (s), on obtient :

Y (s)(s +2)(s +5) = (−1)(s +1)U (s)

L’équation entrée-sortie caractérisant le système est donnée par :

d 2 y

d t 2 +7d y

d t+10y =−du

d t−u

(vii) Dessinez le bloc diagramme associé au système sans faire intervenir

z.

(viii) Calculez la réponse impulsionnelle associée au système. Sur base de

l’expression obtenue pour la réponse impulsionnelle, confirmez votre

discussion concernant la stabilité de votre système faite au point (v).

Il suffit de décomposer H (s) en fractions simples et ensuite d’utiliser la

transformée de Laplace inverse de I(t ) → 1/s et la propriété de linéarité

et de décalage fréquentiel :

h(t ) = 1

3e−2t I(t )− 4

3e−5t I(t )

Les deux termes de l’expression contiennent bien des exponentielles

décroissantes (coefficients négatifs) garantissant la stabilité du sys-

tème.

(ix) Dessinez le bode diagramme en amplitude et en phase (version clas-

sique et non la version simplifée) associée à la fonction transfert du

système. Attention aux soins que vous portez à vos graphiques ; in-

diquez les labels, les unités et des valeurs indicatives rendant vos

diagrammes clairs et sans confusion.

• zéro en −1

• pôles en −2 et −5

• gain statique : H(0) =−1/10

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Question 3 Le bloc diagramme suivant illustre la relation entrée-sortie dans le domaine

de Laplace (c-à-d la relation entre U(s) et Y(s)).

K1 K21

𝑠 − 301

𝑠 + 3U(s) Y(s)

H(s)

K1 et K2 sont des gains à déterminer de manière à rencontrer les contraintes

imposéees sur la fonction de transfert H = Y /U telles que son diagramme

de Bode en amplitude est donné à la figure suivante :

(i) En détaillant votre raisonnement, que valent K1 et K2 ?

Rappel : Le diagramme entrée-sortie est établi dans le domaine de La-

place. Les signaux sont donc les transformées de Laplace de l’entrée et

sortie associées au domaine temporel. Les triangles représentent des

gains, ie. des constantes qui multiplient les signaux et les blocs carrés

contenant des expressions rationnelles en fonction de s représentent

des fonctions de transfert. Lorsque le bloc-diagramme fait intervenir un

feedback, il suffit d’exprimer le signal correspondant à l’entrée moins

la sortie.

Afin d’utiliser les informations données dans le diagramme de bode de

H , il faut tout d’abord trouver son expression analytique dépendante

de K1 et K2.

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On calcule la fonction de transfert associée à la boucle interne :

H1(s) = K2

s −30+K2

ce qui nous donne un nouveau bloc diagramme simplifié : La fonction

de transfert associée au système total se déduit facilement :

H(s) = Y (s)/U (s) = K1K2

(s −30+K2)(s +3)+K1K2

Le diagramme de Bode nous donne plusieurs informations comme :

• la valeur du gain statique (en ω= 0r ad/s) :

|H( j 0)| = K1K2

−90+3K2 +K1K2= 1

• il s’agit d’un filtre de second ordre du type :

H(s) = g ai n

s2 +2ζωs +ω2

On déduit que le terme indépendant −90+3K2 +K1K2 = 100 • Ou bien

en ω= 100r ad/s (cad à hautes fréquences),

|H( j 100)| = 10−2 = K1K2

ω2

Il suffit ensuite de résoudre le système et on obtient :

K1 = 10/3 et K2 = 30

(ii) Dessinez le diagramme de Bode en phase associé à la fonction de

transfert obtenue H = Y /U et dont le diagramme en amplitude est

donnée dans l’énoncé.

(iii) Le système reçoit un signal d’entrée u(t) qui peut se décomposer en

deux entrées u1(t ) et u2(t ) comme illustré à la figure ci-dessous :

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FIGURE 2 – [top] signal primaire u1(t ) entre 0 et 9s, [centre] signal secondaire u2(t ) entre0 et 2s, [bas] signal d’entrée total u(t ) entre 0 et 9s

On peut donc écrire l’entrée u(t ) à l’aide de l’expression mathématique

suivante :

u(t ) = u1(t )+u2(t ) = A1 cos(2π f1t +φ1)+ A2 cos(2π f2t +φ2)

On donne ω2 = 36 rad/s et φ2 = 0rad.

Sur base de la Figure 2 illustrant les signaux temporels, dessinez le

spectre en amplitude et en phase du signal d’entrée. Expliquez votre

raisonnement. Vous pouvez approximer 2π par 6.

(iv) Sur base de la fonction de transfert du système H (s), de son diagramme

de Bode, du signal d’entrée u(t ) et de son spectre, dessinez le spectre

en amplitude et en phase du signal de sortie. Justifiez votre réponse.

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Astuce : Vous pouvez vous aider du schéma ci-dessous pour struc-

turer vos réponses aux questions (iii) et (iv).

𝜔[rad/s]

Spectre en amplitude de u(t)

𝜔[rad/s]

Spectre en phase de u(t)

[-] o

u[d

B]

[rad

]

H(s)𝜔[rad/s]

Spectre en amplitude de y(t)

𝜔[rad/s]

Spectre en phase de y(t)

[-] o

u[d

B]

[rad

]

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Question 4 La figure suivante montre les représentations d’un signal sonore dans le

domaine temporel (bas) et dans le domaine fréquentiel (haut).

(i) Comment s’appelle la représentation utilisée sur la figure ci-dessus

pour le domaine fréquentiel ? Quelles informations apporte-t-elle sur

le signal sonore?

(ii) Expliquez schématiquement comment construire cette représentation

dans le domaine fréquentiel obtenue à partir du signal dans le domaine

temporel. Il n’est pas nécessaire d’utiliser d’équations.

(iii) Le calcul du signal dans le domaine fréquentiel fait intervenir un fenê-

trage temporel. Quels sont les compromis à considérer dans le choix

de la taille de la fenêtre?

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