SYSTÈMES ASSERVIS CORRECTION

11/11/07

SYSTÈMES ASSERVIS CORRECTION

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SYSTÈMES ASSERVIS – CORRECTION 1) Introduction............................................................................................... 3

1.1) Les différents systèmes de commande ................................................................... 3

1.2) Performances des systèmes asservis....................................................................... 4 1.3) Fonction de transfert en boucle fermée relative à l'entrée principale....................... 5

1.4) Fonction de transfert en boucle fermée relative à une perturbation ......................... 6 1.5) Interprétation géométrique..................................................................................... 7

2) Stabilité des systèmes asservis .................................................................. 9

2.1) Condition de stabilité............................................................................................. 9

2.2) Critères de stabilité d'un système asservi.............................................................. 12 2.3) Causes d'instabilités............................................................................................. 24

2.4) Stabilité pratique : Marges de gain et de Phase..................................................... 24 2.5) Réglage du gain................................................................................................... 27

3) Précision des systèmes asservis............................................................... 28

3.1) Présentation du problème – Définitions................................................................ 28 3.2) Précision statique................................................................................................. 29

3.3) Précision dynamique............................................................................................ 33 4) Correction des systèmes asservis ............................................................ 39

4.1) Buts et objectifs de la correction .......................................................................... 39 4.2) Principe de la correction des systèmes asservis .................................................... 40

4.3) Correction par anticipation................................................................................... 42 4.4) Correction par correcteurs classiques en série ...................................................... 43

4.5) Correcteur placé en parallèle ou en cascade ......................................................... 62 4.6) Réalisations des correcteurs ................................................................................. 64

4.7) Exemple de correction d'un système asservi......................................................... 67

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1) Introduction Dans une première partie du cours, plusieurs exemples de systèmes asservis ont cité, par exemple :

• la température d'une pièce peut être commandée par l'ouverture du robinet réglant l'arrivée de l'eau chaude ;

• le système de commande de direction d'un véhicule. • On pourrait compléter ces deux premiers exemples par de nombreux autres exemples. • Dans les systèmes de commande, nous avons déjà distingué deux types de systèmes : • les systèmes non bouclés on emploie alors les expressions de commande en chaîne directe ” ou de

“ commande en boucle ouverte ” ; • les systèmes bouclés qui se désignent souvent par les termes de systèmes à commande asservis ou

asservissements.

1.1) Les différents systèmes de commande

1.1.1) Système à commande en boucle ouverte Exemple : Commande par un moteur à courant continu Le moteur à courant continu peut être considéré comme un système qui transforme une tension d'entrée en une fréquence de rotation. Il peut être représenté par le schéma bloc ci-dessous.

Moteur à

Courant Continu

e(t) = v(t) s(t) = w(t)

43–20b

C =

C1

C =

C2

C =

C3

!1

!2

!3

Vs1

Vs2

Vs3

Vcom

V en volts

! e

n r

d/s

43–20c

On montre que pour un moteur à courant continu à commande d'induit (type AXEM) la relation entre la tension de commande V(t) et la fréquence de rotation ω(t) est, pour un couple constant, de la forme :

V(t) = A ω + B dωdt + C

d2ωdt2 où ω est une fonction du temps

Par conséquent en régime permanent c'est-à-dire à vitesse stabilisée, les dérivées sont nulles et l’on a la relation :

ω = Cte ⇒ dωdt =

d2ωdt2 = 0 donc V(t) = A ω

Cette dernière relation est représentée sur la figure ci-dessus. Si le couple résistant sur l'arbre moteur est nul, au démarrage seul le couple de frottement sec s'oppose à la mise en rotation du rotor, tant que la tension d'alimentation V(t) est inférieure à la valeur Vs1, le moteur est immobile et dès que cette limite est dépassée la caractéristique tension/fréquence est linéaire. Si la tension d'alimentation est égale à Vcom dans ce cas, la fréquence de rotation stabilisée dépendra de la valeur du couple sur l'arbre de sortie. Par conséquent si pendant le fonctionnement, le couple de sortie varie de manière sensible cela aura une influence importante sur la fréquence de rotation de sortie. Ce problème est identique à celui d'un conducteur qui aborderait une cote en ne modifiant pas la position de son pied sur l'accélérateur, le véhicule décélérerait. En conclusion, un système à commande en boucle ouverte est caractérisé par les faits suivants :

• le système de commande émet des ordres “ en aveugle ”, ceux-ci ne dépendent que des consignes reçues sur les entrées ;

• si la valeur souhaitée n'est pas atteinte ou est dépassée le système ne peut se corriger ; • si une perturbation extérieure survient, il lui sera impossible de se recaler sur la valeur de consigne.

Systèmes Asservis page 4

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1.1.2) Système à commande en boucle fermée ou asservissement Un système à commande en boucle fermée peut être défini par les trois propositions suivantes :

Proposition 1 C'est un système à retour, c'est-à-dire que le système de commande va prendre en compte les valeurs obtenues en sortie pour élaborer les nouvelles consignes à injecter en entrée du système.

e(t) = v(t) s(t) = !(t)

43–20d

Moteur à

Courant Continu

Retour Proposition 2 C'est un système générateur d'écart : l'image de la variable de sortie est comparée à celle de la grandeur d'entrée par élaboration d'une différence ou écart. Le but de l'asservissement est de tendre vers l'annulation en permanence de cet écart de manière que la sortie “ suive ” l'entrée.

e(t) = v(t) s(t) = !(t)

43–20e

+

–

Moteur à

Courant Continuécart

Capteur

Remarques • Le signal de retour doit être de même nature et de même niveau que le signal d'entrée si l'on veut que la

comparaison ait un sens ; • Il est préférable d'employer le terme “ écart ” que le terme “ erreur ”, car un système asservi, par son

fonctionnement, génère toujours un écart par rapport à la consigne.

Proposition 3 C'est un système amplificateur, en effet l'écart est une grandeur d'autant plus faible que l'on s'approche de la valeur de consigne, elle devient alors insuffisante pour maintenir un signal de puissance en sortie. L'écart doit donc être amplifié.

e(t) = v(t) s(t) = !(t)

43–20fCapteur

Ampli+

–

Moteur à

Courant Continuécart commande

1.2) Performances des systèmes asservis Suivant que l'on s'intéresse à l'étude du régime transitoire ou à celle du régime permanent, on peut définir pour chacune de ces deux études deux critères permettant de caractériser les performances d'un système asservi.

1.2.1) En régime transitoire Les deux critères retenus sont la rapidité et l'amortissement.

La rapidité Elle est mesurée par le temps mis par le système pour que la sortie reste dans une plage de variation centrée sur la valeur de consigne. Ce temps de réponse dépend de la capacité de réactivité du système, il est donc fortement influencé par son “ inertie"

L'amortissement Il est caractérisé par le rapport entre les amplitudes successives des oscillations de sortie.

1.2.2) En régime permanent Les deux critères retenus sont la stabilité et la précision.

La stabilité Plusieurs définitions de la stabilité peuvent être donnée.


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Définition intuitive Un système est dit stable par rapport à une consigne de sortie, si lorsqu'il subit une faible perturbation, il tend à revenir vers la consigne de sortie.

Deuxième définition Un système est dit stable si et seulement si à une entrée bornée e(t) correspond une sortie bornée s(t). Cette définition permet de qualifier la stabilité des systèmes forcés.

La précision Pour un système bouclé, on dit qu'il est d'autant plus précis que l'écart entre la valeur réelle de la sortie s(t) et la valeur désirée sd(t) est réduite. La précision peut donc se chiffrer par la différence εs(t) = sd(t) – s(t).

1.3) Fonction de transfert en boucle fermée relative à l'entrée principale Considérons le système bouclé représenté par le diagramme ci-dessous.

S(p)

43–21a

+

–

G(p)

H(p)

E(p) !(p)

R(p)

G(p) représente la fonction de transfert de la chaîne directe et H(p) la fonction de transfert de la chaîne de retour. Suivant la nature de la fonction de transfert H(p) de la chaîne de retour, on emploie les expressions : de retour unitaire si H(p) = 1, de retour réel si H(p) = Cte et de retour complexe dans les autres cas. Le retour unitaire correspond au cas particulier d'un processus dont la dynamique est lente (processus thermique par exemple) et dont la chaîne de retour est constituée d'un capteur. Dans ce cas, le temps de réponse du capteur peut être négligé devant celui du processus.

1.3.1) Fonction de transfert en boucle ouverte La fonction de transfert (ou transmittance) en boucle ouverte est obtenue par le produit des transmittances de tous les éléments présents dans la boucle. On peut donc écrire :

R(p)ε(p) = G(p) H(p)

On utilise souvent la mnémonique FTBO, pour désigner cette transmittance.

Remarque On appelle bande passante (en boucle ouverte) du système asservi l'intervalle de pulsations où le module de la FTBO est supérieur à 1

1.3.2) Fonction de transfert en boucle fermée

On appelle fonction de transfert (ou transmittance) en boucle fermée le rapport F(p) = S(p)E(p) qui se détermine de la

manière suivante :

ε(p) = E(p) - R(p)

R(p) = H(p) S(p)S(p) = G(p) ε(p)

⇒ S(p) = G(p) [E(p) – H(p) S(p)]

On en déduit immédiatement le rapport cherché : F(p) = S(p)E(p) =

G(p)1 + H(p) G(p)

On utilise souvent la mnémonique FTBF pour désigner cette transmittance.

Des trois relations ci-dessus, on établit rapidement la relation : ε(p)E(p) =

11 + H(p) G(p)


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1.3.3) Fonction de transfert en boucle fermée à retour unitaire S(p)

43–21a

+

–

G(p)

H(p)

E(p) !(p)

R(p)

Dans le cas d'un retour unitaire, c'est-à-dire H(p) = 1, la fonction de transfert en boucle fermée s'écrit :

F(p) = S(p)E(p) =

G(p)1 + G(p)

Remarque Dans un prochain chapitre, nous verrons comment certains abaques permettent d'étudier le comportement des systèmes asservis à partir de la connaissance de la fonction de transfert en boucle ouverte. L'utilisation de ces abaques nécessite que le système asservi soit à retour unitaire.

S(p)

43–21c

+

–

G(p) H(p)E(p) !(p)

R(p)

1/H(p)S1(p)

Un système asservi à retour complexe (H(p) ≠ 1) peut toujours se mettre sous la forme d'un système asservi à retour unitaire en effectuant la transformation donnée sur le schéma ci-contre.

1.4) Fonction de transfert en boucle fermée relative à une perturbation

P(p)

S(p)M(p)E(p)

L'une des nécessités de réaliser des systèmes asservis provient de la présence de perturbations extérieures au système isolé. Considérons un système de fonction de transfert M(p) subissant une perturbation de transformée de LAPLACE P(p). On pose :

M(p) = G(p)

1 + H(p) G(p)

Pour connaître l'influence des perturbations sur le système, on détermine la fonction de transfert F(p) = S(p)/P(p). Un problème se pose immédiatement c'est celui de trouver le point d'application de la perturbation, celle-ci ne s'ajoute pas nécessairement à l'entrée ou à la sortie du système. Généralement cette détermination passe par la reprise des équations traduisant le comportement du système en y faisant apparaître l'influence de la perturbation. Le point d'application de la perturbation étant déterminé, on trace le schéma bloc représenté ci-dessous.

S(p)

43–21e

+

–

H(p)

E(p) !(p)

R(p)

P(p)

G2(p)C(p)

+

+G1(p)

• G1(p) et G2(p) représentent respectivement les fonctions de transfert situées en amont et en aval de la

perturbation ; • C(p) est la transformation de LAPLACE de la grandeur physique à laquelle s'ajoute ou se retranche la

perturbation.

Remarque Il faut faire attention au signe du comparateur utilisé pour introduire la perturbation.


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1ère méthode Pour déterminer la fonction de transfert relative à une perturbation, il suffit de tracer le schéma bloc en considérant l'entrée principale nulle comme cela est représenté sur la figure ci-dessous

S(p)

43–21f

+

+

–R(p)

P(p)G2 (p)

C(p)

P(p) + C (p)

H(p)

E(p) = 0

G1(p)

+

!(p)

–

La fonction de transfert F(p) = S(p)/P(p) s'obtient de la même manière que pour la FTBF :

F(p) = S(p)P(p) =

G2(p)1 + H(p) G1(p) G2(p)

Dans le cas d'une boucle à retour unitaire on obtient le schéma bloc suivant :

S(p)

43–21g

+

–

P(p) G1(p) G2(p) H(p)C(p)P(p) – C(p) 1

G1(p) H (p)

La fonction de transfert s'écrit alors sous la forme : F(p) = S(p)P(p) =

H(p) G1(p) G2(p)1 + H(p) G1(p) G2(p)

2ème méthode À partir de la figure 43-21e on peut écrire :

S(p) = [P(p) + C(p)] G2(p)

ε(p) = E(p) – H(p) S(p) C(p) = ε(p) G1(p)

on obtient S(p) = P(p) G2(p) + ε(p) G1(p) G2(p) S(p) = P(p) G2(p) + (E(p) – H(p) S(p)) G1(p)G2(p)

On en déduit le résultat suivant : S(p) = G1(p) G2(p)

1 + H(p) G1(p) G2(p) E(p) + G2(p)

1 + H(p) G1(p) G2(p) P(p)

1.5) Interprétation géométrique Nous avons vu que la fonction de transfert H(jω) d'un asservissement linéaire à retour unitaire est donnée à partir

de sa fonction de transfert en boucle ouverte G(jω) par la relation : H(jω) = G(jω)

1 + G(jω)

La fonction G(jω) étant complexe, déterminer H(jω) revient à réaliser la transformation qui à la variable

complexe z fait correspondre la fonction complexe z

1 + z.

Posons λ0 = |G(jω)| et argument[G(jω)] = ϕ0, nous pouvons écrire G(jω)) = |G(jω)| ejϕ0.

On obtient : H(jω) = |H(jω)| ejϕF = λ0 e

jϕ0

1 + λ0 ejϕ0

Cherchons, le module et l'argument de cette nouvelle expression :

|H(jω)| = λ0

1 + 2 λ0 cosϕ0 + λ02

et tan ϕF = sinϕ0

λ0 + cosϕ0

Nous obtenons deux réseaux de courbes orthogonaux :

• le premier, représente les courbes isomodules, c'est-à-dire |H(jω)| en fonction de ϕF lorsque l'on fait varier ϕ0 et que λ0 reste constant ;


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• le second, représente les courbes isophases, c'est-à-dire |H(jω)| en fonction de ϕF lorsque l'on fait varier λ0 et que ϕ0 reste constant.

L'abaque de BLACK comporte deux systèmes de coordonnées : • des coordonnées rectangulaires : argument en degrés pour les abscisses et gain en dB pour les ordonnées,

qui correspondent aux valeurs de la fonction de transfert en boucle ouverte ; • des coordonnées curvilignes qui correspondent, aux valeurs de la fonction de transfert en boucle fermée

associée. Un exemple d’abaque de BLACK (vierge) est représenté ci-dessous.

Abaque de BLACK

–20 dB

–16 dB

–12 dB

– 8 dB

– 6 dB

– 5 dB

– 4 dB

– 3 dB

– 2 dB

– 1

dB

– 0.

5 dB0

dB

0.5 dB

1 dB

1,4 dB

2 dB

2,3 dB

3 dB

4 dB

5 dB

6 dB

8 dB

10 dB

12 dB

–190

°

–170

°

–150

°

–130

°

–110

°

–90°

–70°

–50°

–30°

– 10°

– 8°

–6°

–4°

– 2°

– 1°

Phase de la fonction de transfert en boucle ouverte (en degrés)

Gai

n de

la fo

nctio

n de

tran

sfer

t en

bouc

le o

uver

te

(en

dB)

43–3

2

– 10

°


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2) Stabilité des systèmes asservis

2.1) Condition de stabilité

2.1.1) Écriture de la fonction de transfert F(p) Nous avons vu que la fonction de transfert F(p) d'un système s'écrit sous la forme du quotient de deux polynômes B(p) et A(p). On désigne par zi les racines du numérateur B(p) et par pi celles du dénominateur A(p). Les racines, zi et pi, sont appelées respectivement zéros et pôles de la fonction de transfert F(p). Nous pouvons donc écrire :

F(p) =

k ∏j=1

j=m

(p – zj)

∏i=1

i=n

(p – pi)

Posons K =

(–1)m–n k ∏j=1

j=m

zj

∏i=1

i=n

pi

La fonction de transfert s'écrit : F(p) =

K ∏j=1

j=m

(1 –

pzj

)

∏i=1

i=n

(1 –

ppi

) avec pi ≠ 0 et zi ≠ 0

Si la fonction de transfert comporte a zéros nuls et b pôles nuls on l'écrit alors sous la forme :

F(p) =

K pa ∏j=1

j=m–a

(1 –

pzj

)

pb ∏i=1

i=n–b

(1 –

ppi

) avec pi ≠ 0 et zi ≠ 0

Les pôles pi et les racines zj peuvent être nuls, réels ou imaginaires conjugués, chacun d'eux d'un ordre de multiplicité quelconque. Le numérateur et le dénominateur de la fonction de transfert peuvent donc s'écrire sous la forme de produits de termes tels que :

• pα ⇒ racine de la forme p = 0

• (1 + τi p)β ⇒ racine de la forme p = – 1τi

• [(p + ai)2 + bi

2]γ ⇒ racine de la forme p = – ai ± j bi La fraction rationnelle représentant la fonction de transfert peut se décomposer en éléments simples. On obtient donc l'écriture suivante :

F(p) = ∑i=1

i=n0

Aipi + ∑

i=1

n1

∑

j=1

m1(i)

Bij(1 + τi p)j +∑

i=1

n2

∑

j=1

m2(i)

Cij p + Dij[(p + ai)

2 + bi2]j

La réponse temporelle globale f(t) est la somme des réponses partielles qui correspondent à chacun des pôles. Ces différentes contributions s'appellent les modes du système, leurs influences relatives dépendent de la valeur respective des pôles.


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2.1.2) Réponses partielles suivant la nature des pôles Pôles situés à l'origine

Pôle d'ordre 1

La réponse partielle est égale à f(t) = Ai = Cte ⇒ stabilité impropre, on dit aussi système stable non asymptotiquement.

Pôle d'ordre supérieur à 1 Quel que soit l'ordre la réponse partielle est instable. En effet, la transformée inverse de LAPLACE d'un terme

de la forme 1p2 : L-1(1/p2) = t, terme qui tend vers l'infini.

Pôles réels simples

La transformée inverse de LAPLACE d'un terme de la forme 1

(1 + τi p) donne comme résultat l'expression :

f(t) = L-1(Bij

1 + τi p) = Bij e

–t/τi

donc si τi > 0 la réponse partielle est stable, par contre si τi < 0 la réponse partielle est instable.

Pôles complexes simples

On écrit la transformée de LAPLACE sous la forme : Cij (p + a) + (Dij – a Cij)

(p + a)2 + b2 .

Posons : Cij = cosφ et Dij – a Cij = – sinφ.

Cette expression est la transformée de LAPLACE de fonction f(t) = e–a t cos(ω t + φ).

Si la partie réelle du pôle («a») est

positive

négative

nulle Alors la réponse partielle est respectivement

stable

instable

quasi instable

Remarque • On montre de même que si les pôles réels et complexes sont d'ordre multiple et si leur partie réelle est

positive alors le système est stable ; • Représentation graphique des positions des pôles sur la page suivante

2.1.3) Condition de stabilité d'un système asservi Un système bouclé est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée ont leur partie réelle négative

2.1.4) Remarques pratiques Intégrateur dans une boucle ouverte Le cas d'un intégrateur placé dans une boucle ouverte a déjà été traité. Nous avons caractérisé ce système comme ayant une stabilité impropre.

E(p) S(p)1

p43–22a

Intégrateur dans une boucle fermée à retour unitaire E(p) S(p)

+–

43–22b

1

p

Dans ce cas, la fonction de transfert s'écrit sous la forme suivante : 1

1 + p


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Le pôle de cette fonction de transfert est égal à –1, le système est donc stable.

Système du deuxième ordre en boucle ouverte

E(p) S(p)

43–22c1 + (2 ! / " ) p + (p / " )

n 2

n

K

Nous avons vu précédemment que dans ce cas, nous avions en fonction de la valeur de ξ trois possibilités, si :

• ξ > 1 : les pôles de la fonction de transfert sont réels et négatifs ; • 0 < ξ < 1 : les pôles sont complexes et conjugués, leur partie réelle est négative ; • ξ = 1 : le pôle est double, réel et négatif.

Donc un système du deuxième ordre, qui respecte ces conditions, est toujours stable.

Système du deuxième ordre en boucle fermée

E(p) S(p)

43–22d

+–

1 + (2 ! / " ) p + (p / " )n 2n

K

La fonction de transfert d'un système du deuxième ordre en boucle fermée à retour unitaire s'écrit :

F(p) = K

1 + K + 2 ξωn

p + p2

ωn2

Les deux pôles de cette fonction de transfert sont tels que leur somme est égale à –2ξ/ωn et leur produit égal à (1 + K), ils sont donc tous les deux réels négatifs ou complexes conjugués à partie réelle négative.

Conclusions • Un système du deuxième ordre, qui vérifie ξ > 0, est toujours stable ; • Un système instable bouclé comportant plusieurs intégrateurs peut être rendu stable en plaçant une boucle

sur l'un des intégrateurs.


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2.1.5) Représentation de la position des pôles et stabilité

2.2) Critères de stabilité d'un système asservi

S(p)

43–22e

+

–

G(p)

H(p)

E(p)

Soit le système asservi représenté par le schéma bloc ci-contre. Sa fonction de transfert s'écrit :

F(p) = G(p)

1 + H(p) G(p)

Ce système sera stable si et seulement si les racines de l'équation caractéristique sont à partie réelle négative.

Pour vérifier cette condition, on dispose de deux types de critères, les critères algébriques et les critères graphiques. Les critères algébriques sont basés sur les règles qui permettent de savoir si les racines d'une équation algébrique de la forme : a0 + a1 p + a2 p2 + …………+ an–1 pn–1 + an pn = 0 ont leur partie réelle négative et cela sans résoudre explicitement l'équation. Ces règles sont appliquées à l'équation caractéristique du système, c'est-à-dire au dénominateur de sa fonction de transfert que l'on égale à zéro.


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2.2.1) Critère algébrique de ROUTH (ou ROUTH–HURWITZ) Ce critère de ROUTH se compose deux conditions.

Énoncé du critère

1ère condition : Une condition nécessaire pour qu'un système soit stable est que tous les coefficients ai, du polynôme caractéristique, soient de même signe (conséquence immédiate aucun de ces coeffi-cients ne doit être nul).

2ème condition : Si la condition nécessaire précédente est vérifiée, une condition nécessaire et suffisante est traduite par la règle de ROUTH, résultat de l'analyse du tableau construit de la manière suivante.

Supposons les coefficients ai > 0.

Construction du tableau de ROUTH

On pose ⇒ pn

pn–1

an

an–1 an–2 an–4 …

an–3 an–5 … -----------------------------------------------------------------

On détermine ⇒

pn–2

pn–3

pn–4

… … … p2

p1

p0

A1

B1C1………M1N1O1

A2 A3 …

B2 B3 …C2 C3 …… … …… … …M2 M3 …N2 N3 …O2 O3 …

1ère étape

On écrit sur deux premières lignes les coefficients ai de l'équation caractéristique de la manière suivante :

ligne 1 : coefficients des termes en pn–2i

ligne 2 : coefficients des termes en pn–2i–1 avec i ∈ N

2ème étape

On calcule de la manière suivante les coefficients A1, A2, A3, …,B1, B2,…, …, …,O1, O2, …

A1 = an–1 an–2 – an an–3

an–1 A2 =

an–1 an–4 – an an–5an–1

A3 = an–1 an–6 – an an–7

an–1

B1 = A1 an–3 – A2 an–1

A1 B2 =

A1 an–5 – A3 an–1A1

Si le tableau complet des coefficients, est noté M et un terme quelconque par M[i, j], on peut généraliser ces calculs de la manière suivante :

• Si n est le degré du polynôme caractéristique, on pose k = Partie entière(n/2). On remplit ensuite un tableau de (n+1) lignes et de k colonnes.

• Sur la première ligne, on reporte les coefficients des termes de degré pn–2i, la deuxième ligne correspond elle aux coefficients des termes en pn–2i–1.

• Un terme quelconque M[i, j] du tableau pour i ∈ [3, n] et j ∈ [1, n–i+1] est obtenu par le déterminant suivant :

M[i, j] = –1

M[i–1,1]

M[i–2,1] M[i–2,j+1]

M[i–1,1] M[i–1,j+1]


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ROUTH a établi qu'une condition nécessaire et suffisante de stabilité s'écrit :

La première règle étant vérifiée, tous les coefficients de la première colonne du tableau de ROUTH doivent être de même signe

Remarque La première colonne correspond aux coefficients M[i, 1] avec i ∈ [1, n+1]

Exemples

Exemple 1

Soit la fonction de transfert définie par l'équation F(p) = K

1 + 6 p – 3 p2 + 3 p3 + p4.

Le système admettant cette fonction de transfert est instable tous les coefficients du dénominateur n'ont pas le même signe (1ère condition de ROUTH), il est donc inutile de poursuivre le calcul.

Exemple 2

Soit la fonction de transfert définie par l'équation F(p) = K

1 + 6 p + 3 p2 + 3 p3 + p4.

La 1ère condition de ROUTH est vérifiée, déterminons le tableau de ROUTH.

p4 1 3 1p3 3 6 0p2 … … …p1 … … …p0 … … …

Le tableau initial se présente sous la forme ci-contre

Calculons les différents coefficients de ce tableau de ROUTH

p4 1 3 1

p3 3 6 0p2 (3x3 – 1x6)/3 = 1 (3x1 – 1x0)/3 = 1 0p1 (1x6 – 3x1)/1 = 3 (1x0 – 3x0)/1 = 0 0p0 (3x1 – 1x0)/3 = 1 0 0

=

1 3 1

3 6 01 1 03 0 01 0 0

Tous les termes de la première colonne ont le même signe, le système est donc stable.

Cas particulier des racines imaginaires pures Soit l'équation caractéristique suivante : D(p) = p4 + p3 + 5 p2 + 4 p + 4

Remarque Si le polynôme admet des racines imaginaires pures, dans la détermination des coefficients du tableau, il apparaît une ligne de zéros. Dans l'exemple proposé, la détermination du tableau de ROUTH fait apparaître cette situation pour le coefficient de p1.

p4 1 5 4

p3 1 4 0 p2 1 4 0p1 0 0 0p0 0 0 0

Pour continuer la détermination des coefficients du tableau, on remplace la ligne de zéros par les coefficients du polynôme dérivé par rapport à p d'un polynôme auxiliaire A(p) dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non nulle. Les racines à partie réelle nulle sont les pôles du polynôme auxiliaire. La théorie de ROUTH indique que les racines du polynôme auxiliaire A(p) sont aussi les racines de l'équation caractéristique initiale. En effet on peut poser : D(p) = A(p) D1(p)


Version 2007

Pour savoir si les autres racines de D(p), c'est-à-dire de D1(p), sont stables on continue le tableau en remplaçant la ligne faisant apparaître les zéros par une ligne dont les coefficients sont égaux aux coefficients du polynôme dérivé, par rapport à p, de A(p). Appliquons cette procédure au cas précédent. On obtient :

p4 1 5 4p3 1 4 0p2 1 4 0 polynôme auxiliaire : p2+4p1 2 0 0 dérivée du polynôme auxiliaire : 2 pp0 4 0 0

Conclusion La première colonne du tableau de ROUTH, associé au système dont la fonction de transfert est donnée ci-dessus, ne comporte que des termes positifs donc toutes les racines de D1(p) sont stables. Mais le système, dont le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée est D(p), reste lui instable. Pour l’exemple proposé, D(p) peut s’écrire sous la forme du produit de deux fonctions, l’une admettant des racines imaginaires pures donnant une sortie oscillante et l’autre ne comportant que des racines à partie réelle négative correspondant à un système stable. Mais dès que la partie “ stabilisante ” est éteinte le système continue à osciller. Pour l’exemple proposé, on obtient une entrée en échelon unité, un signal de sortie vérifiant l’équation :

y(t) = 14 –

413 e–0.5 t cos

3 t2 –

2 339 e–0.5 t sin

3 t2 +

352 cos 2 t –

126 sin 2 t

Conclusions sur le critère de ROUTH • le critère algébrique de ROUTH permet de savoir rapidement si un système a, ou n'a pas, des pôles

instables ; • si une fonction de transfert dépend de paramètres, ce critère permet de déterminer facilement les conditions

à respecter pour que le système soit stable.

2.2.2) Critère stabilité de NYQUIST Théorème

Im

Re

!

43–23a

Im

Re

"

domaine de la variable p

domaine de F(p)

Soit une fonction complexe de la variable complexe p, notée F(p). Si le point d'affixe p décrit une courbe fermée (γ) du plan complexe, dans le sens horaire, le point d'affixe F(p) décrit un lieu Γ (image de γ par F) de forme plus ou moins compliquée. Les lieux de (γ) et de (Γ) se correspondent point par point.

On note P le nombre de pôles et Z le nombre de zéros, comptés avec leur ordre de multiplicité, situés à l'intérieur de la courbe γ. Quand un point M parcourt le contour γ dans le sens anti-trigonométrique, la variation totale de phase ΔΦ de F(p) comptée positivement dans le sens trigonométrique est égale à : ΔΦ = 2π (P - Z) Le nombre de tours T effectué par le lieu Γ de F(p) autour de l'origine est donc égal à P – Z

Cas d'une fraction rationnelle F(p) Soit F(p) une fonction rationnelle de la variable complexe p tel que degré de numérateur soit inférieur au degré

du dénominateur, on peut l'écrire sous la forme : F(p) = (p – z1)(p – z2)(p – z3)……(p – p1)(p – p2)(p – p3)……

On note respectivement zi et pi, les zéros et les pôles de F(p).


Version 2007

On considère un point M décrivant le contour (γ) dans le sens anti-trigonométrique (sens horaire).

Cas des zéros du numérateur Zéros situés à l'extérieur du contour (γ)

Z1

M

O43–23b

x

La variation de l'argument Δ[(O, x→), Z1M→

] est nulle

Zéros situés à l'intérieur du contour (γ)

Z 2

M

O 43–23c

x

La variation de l'argument Δ[(O, x→), Z2M→

] est égale à –2π

Cas des pôles du dénominateur Pôles situés à l'extérieur du contour (γ)

P1

M

O43–23d

x

La variation de l'argument Δ[(O, x→), P1M→

] est nulle

Pôles situés à l'intérieur du contour (γ)

P2

M

O 43–23e

x

La variation de l'argument Δ[(O, x→), P2M→

] est égale à –2π

Si Z et P sont comptés avec leur ordre de multiplicité, lorsque le point M décrit le contour γ dans le sens anti-trigonométrique la phase Φ de la fonction F(p) varie de la quantité : ΔΦ = 2π (P – Z). Application aux systèmes asservis On fait décrire au nombre complexe p le contour γ, dénommé contour de BROMWICH. Ce contour enferme la totalité du demi-plan complexe situé à droite de l'axe des imaginaires (on fait tendre le rayon vers l'infini) et il évite les pôles imaginaires purs.Quand p décrit le contour γ, F(p) décrit un lieu Γ image de γ dénommé contour de NYQUIST de F(p).

Im

Re

!

43–25a

Im

Re

pi

zi

p

"

#

i

i

$

Théorème Si la fonction F(p) n'a ni pôles ni zéros à l'intérieur du contour γ , son lieu de NYQUIST n'entoure pas l'origine. En effet : arg(F(p)) = arg(p–z1) + arg(p–z2) +……+ arg(p–zn) – arg(p–p1) – arg(p–p2) –……– arg(p–pm)

= (θ1 + θ2 +……+ θn) – (ϕ1 + ϕ2 + ……+ ϕm)

Lorsque la variable p décrit le contour γ, les variations des angles ϕi ou θi sont nulles si les pôles pi et les zéros zi sont situés à l'extérieur de γ. La variation d'argument de F(p) est nulle après avoir décrit le contour Γ, donc ce lieu n'entoure pas l'origine.


Version 2007

Application à la stabilité d'un système bouclé Le critère de NYQUIST résulte du théorème précédent. Il utilise une représentation graphique de la réponse fréquentielle et permet de prévoir le comportement d'un système bouclé à partir du tracé de sa fonction de transfert en boucle ouverte.

S(p)

43–21a

+

–

G(p)

H(p)

E(p) !(p)

R(p)

La figure ci-dessus représente un système bouclé pour lequel le retour s'effectue avec une fonction de transfert H(p) qui est le cas général. Ce retour pourrait être unitaire.

D'après le §1.3.2, la fonction de transfert du système bouclé s'écrit : F(p) = S(p)E(p) =

G(p)1 + H(p) G(p)

Les pôles de F(p) conditionnent la stabilité du système, mais ces pôles sont les zéros du dénominateur D(p) = 1 + H(p) G(p). Pour que F(p) soit stable il faut que D(p) n'ait aucun zéro à partie réelle positive. D'après le théorème précédent, le lieu de NYQUIST de D(p) ne doit pas entourer l'origine, si D(p) n'a pas de pôle instable, ou ce qui est équivalent que la fonction H(p) G(p), c'est-à-dire la fonction de transfert en boucle ouverte, n'entoure pas le point {–1, 0}. Ce point est souvent appelé point critique.

Règle de NYQUIST (si la fonction de transfert n’a pas pôle à partie réelle positive)

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un système asservi, dont la FTBO ne comporte pas de pôle à partie réelle positive, soit stable est que : Son lieu de transfert en boucle ouverte n’entoure pas le point critique (–1, 0).

Règle de NYQUIST (si la fonction de transfert à des pôles à partie réelle positive)

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un système asservi soit stable est que : Son lieu de transfert, en boucle ouverte parcouru de ω = –∞ à ω = +∞, entoure dans le sens trigonométrique le point critique (–1, 0) un nombre de fois égal au nombre de pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte (pôles à partie réelle positive).

2.2.3) Applications Exemple 1 On considère un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est représentée par la fonction

H(p) = 10

p (p + 2). En passant dans le domaine fréquentiel on obtient :

H(j ω) = – 10 j

ω (j ω + 2) = – 10

4 + ω2 + – 20 j

ω (4 + ω2) et Arg(H(jω)) = arctan(2ω)

Sachant que arctan(1τ ω) = –

π2 – arctan(τ ω), on obtient : Arg(H(jω)) = –

π2 – arctan(

ω2)

Sur le segment [a, b], lorsque ω tend :

vers 0

limω→0

– 104 + ω2 = – 5/2

limω→0

– 20ω (4 + ω2) = – ∞

avec un argument égal à –π/2

vers l’∞

limω→∞

– 104 + ω2 = 0

limω→∞

– 20ω (4 + ω2) = 0, avec un argument égal à –π


Version 2007

Sur le segment [e, d], on obtient un résultat symétrique par rapport à l’axe des réels.

Sur les arcs de cercles (b, c, d) et (a, f, e), on pose p = ρ ejϕ.

Sur l’arc de cercle (b, c, d), lorsque ρ→∞, limρ→∞ H(ρ ejϕ) = 0. On en déduit que les points b’ et d’, images

respectives des points b et d du contour γ, sont confondus avec l’origine du plan complexe.

Sur l’arc de cercle (a, f, e), lorsque ρ→0, limρ→0 H(ρ ejϕ) = ∞ avec un argument égal à e–jϕ. On en déduit que

lorsque le point p décrit l’arc de cercle (a, f, e) du contour γ (rotation d’angle π) dans le sens horaire, l’affixe de H(ρ ejϕ) décrit sur le contour Γ un cercle de rayon ρ→∞ avec une rotation d’angle π dans le sens trigonométrique).

d

a

b

e

cf

Contour γ (de BROMWICH), affixe de la

variable complexe p. a'

b'

d'

e'

Contour Γ, affixe de H(jω) ou contour d’exclusion de NYQUIST

En appliquant le critère de NYQUIST, on peut conclure de la manière suivante : La fonction de transfert H(p) n’admet aucun pôle à partie réelle positive et comme le contour d’exclusion de NYQUIST n’entoure pas le point critique (–1, 0), cette fonction transfert correspond à un système stable en boucle fermée.

Exemple 2 On considère un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est représentée par la fonction

H(p) = 8 (p + 1)

p (p – 1) (p + 3).

On constate que cette fonction de transfert comporte un pôle à partie réelle positive (p = 1). En passant dans le domaine fréquentiel on obtient :

H(j ω) = – 8 j (1 + j ω)

ω (j ω – 1) (j ω + 3) = – 8 (5 + ω2)

(1 + ω2) (9 + ω2) + – 8 j (– 3 + ω2)

ω (1 + ω2) (9 + ω2)

et Arg(H(jω) = arctan(ω2 – 3

ω (ω2 + 5))


Version 2007

Sur le segment [a, b], lorsque ω tend :

vers 0

limω→0

– 8 (5 + ω2)(1 + ω2) (9 + ω2) = – 40/9

limω→0

– 8 (ω2 – 3)ω (1 + ω2) (9 + ω2) = ∞

avec un argument égal à π/2

vers l’∞

limω→∞

– 8 (5 + ω2)(1 + ω2) (9 + ω2) = 0

limω→∞

– 8 (ω2 – 3)ω (1 + ω2) (9 + ω2) = 0

avec un argument égal à – π

d

a

b

e

cf

Contour γ (de BROMWICH), affixe de la

variable complexe p.

-40/9

M

a'

b'

e'

d'

44–01c Contour Γ, affixe de H(jω) ou contour

d’exclusion de NYQUIST Sur le segment [e, d], on obtient un résultat symétrique par rapport à l’axe des réels.

De plus on constate que la partie imaginaire s’annule pour ω = ± 3 , et pour cette pulsation la partie réelle est

égale à – 43 (point M sur la représentation ci-dessus).

Sur les arcs de cercles (b, c, d) et (a, f, e), on pose p = ρ ejϕ.

Sur l’arc de cercle (b, c, d) : lim H(ρ ejϕ)ρ→∞ = 0.

On en déduit que les points b’ et d’, images respectives des points b et d du contour γ, sont confondus avec l’origine du plan complexe.

Sur l’arc de cercle (a, f, e) : lim H(ρ ejϕ)ρ→0 = ∞, avec un argument égal à e–jϕ. On en déduit que lorsque le point p

décrit l’arc de cercle (a,f,e) du contour γ (rotation d’angle π) dans le sens horaire, l’affixe de H(ρejϕ) décrit sur le contour Γ un cercle de rayon ρ →∞ avec une rotation d’angle π dans le sens trigonométrique. En appliquant le critère de NYQUIST, on peut conclure de la manière suivante : La fonction de transfert en boucle ouverte H(p) admet un pôle à partie réelle positive (1,0). Le contour d’exclusion de NYQUIST, parcouru de ω = – ∞ à ω = + ∞, entoure une fois le point critique (–1,0), donc cette fonction transfert correspond à un système stable en boucle fermée.


Version 2007

Remarque

Si le gain pur K de H(p), égal à 8 dans l’application précédente, devient égal à K1 (avec K1 < 6), la partie imaginaire s’annule toujours pour ω = ± 3 , mais pour cette pulsation la valeur de la partie réelle est supérieure à –1. Dans cette configuration, le contour d’exclusion de NYQUIST n’entoure pas une fois le point critique dans le sens trigonométrique et la fonction de transfert est celle d’un système instable en boucle fermée.

2.2.4) Interprétation physique On considère le système asservi représenté ci-dessous.

S(p)

43–21a

+

–

G(p)

H(p)

E(p) !(p)

R(p)

On suppose que :

• la consigne d'entrée e(t) s'écrit sous la forme e(t) = E0 ;

• le signal de retour est déphasé de π par rapport à la consigne.

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4

e(t)

E0

t

!(t)

! = E 01

!2 !

4

t

s(t)

s = –K !23

s = K !2 1

t

s = K !4 3

!3

44–02

Pour la phase 1 : ε1 = E0

Pour la phase 2 : ε2 = – E0 – S2 = – E0 – K ε1 = – E0 (1 + K)

Pour la phase 3 : ε3 = E0 – S3 = E0 – K ε2 = E0 + E0 (1 + K) K = E0 (1 + K + K2)

Pour la phase 4 : ε4 = – E0 – S4 = – E0 – K ε3 = – E0 – E0 (1 + K + K2) K = –E0 (1 + K + K2 + K3)

On constate que l’écart tend en valeur absolue vers : E0 (1 + K + K2 + K3 + K4 +…)

On obtient une série de la forme : 1 + x + x2 + x3 +…+ xn + …, dont la somme est égale à 1 – xn+1

1 – x .

Cette somme converge vers 1

1 – x si x < 1 ou diverge si x > 1 lorsque n → ∞


Version 2007

En fonction du gain de la fonction de transfert en boucle ouverte, on obtient donc les résultats suivants, si : • le gain est supérieur à 1, le signal est amplifié et la sortie diverge ; • le gain est inférieur à 1, le signal s'atténue.

Cette illustration s'applique parfaitement pour le point critique de coordonnées {–180°, 0 dB} dans la représentation de BLACK ou le point {–1,0} dans la représentation de NYQUIST.

2.2.5) Critère du revers Ce critère est une version simplifiée du critère de NYQUIST.

ATTENTION Ce critère NE S’APPLIQUE PAS si la fonction de transfert en boucle ouverte

comporte des PÔLES À PARTIE RÉELLE POSITIVE.

Critère du revers dans le plan de NYQUIST Il se représente graphiquement dans le plan de NYQUIST par les figures ci-dessous.


Si on laisse, en décrivant le lieu de transfert (associé au système) en boucle ouverte dans le sens des fréquences croissantes : • le point critique (–1, 0) à gauche, le système est stable ; • le point critique (–1, 0) à droite, le système est instable.


Version 2007

Exemple : On considère deux systèmes asservis dont les fonctions de transfert en boucle ouverte s'écrivent respectivement

sous la forme : H1(p) = 2.7

(0.9 + 0.45 p + p2) (1 + 8 p) H2(p) = 3

(1 + 0.3 p + p2) (1 + 5 p)

Le point A appartient au lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte d'un système stable en boucle fermée de module inférieur à 1 et d'argument égal à –180°. Le point B appartient au lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte d'un système stable en boucle fermée de module égal à 1 et d'argument égal à –91°. Le point C appartient au lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte d'un système instable en boucle fermée de module égal à 1 et d'argument égal ϕC supérieur à –180°.

Conclusions • la courbe (a) représente un système

stable ; • la courbe (b) représente un système

instable.

Critère du revers dans la représentation de BLACK Les coordonnées du point critique dans la représentation de BLACK sont (–180°, 0 dB). Un système sera stable en boucle fermée si le lieu de BLACK de sa fonction de transfert en boucle ouverte est tel qu'il contient le point de coordonnées (ϕ, 0 dB) avec ϕ supérieur à –180° ou le point de coordonnées (–180°, X) avec X inférieur à 0 dB. Pour l'exemple proposé, on obtient :

• Le point C dont les coordonnées sont (ϕC, 0dB) avec ϕC supérieur à –180°, correspond à un système stable.

• Le point D dont les coordonnées sont (ϕD, 0dB) avec ϕD inférieur à –180°, correspond à un système instable.


Si on laisse, en décrivant le lieu de transfert (associé au système) en boucle ouverte dans le sens des fréquences croissantes : • le point critique (–180, 0) à droite, le système est stable ; • le point critique (–180, 0) à gauche, le système est instable.


Version 2007

Critère du revers dans la représentation de BODE Dans la représentation de BODE, le point critique a pour module 0 dB et pour argument –180°. Un système est stable en boucle fermée si le lieu de BODE de sa fonction de transfert en boucle ouverte contient un point de module 0 dB et d'argument supérieur à –180°. Sur la représentation page suivante, on distingue sur la courbe de gain les points A, C, D et E qui correspondent aux situations suivantes.

• Pour le point A de coordonnées respectives (ωA, 0 dB) on fait correspondre le point Q de coordonnées (ωA, ϕQ), ϕQ > –180°, le système est donc stable en boucle fermée ;

• Pour le point D de coordonnées respectives (ωD, 0 dB) on fait correspondre le point T de coordonnées (ωD, ϕT), ϕT < –180°, le système est donc instable en boucle fermée

Sur la représentation page suivante, on distingue sur la courbe de phase le point R qui donne les situations suivantes :

• Pour le point R de coordonnées respectives (ωR, –180°) on fait correspondre le point B pour lequel gainH2(jωR)dB < 0, le système modélisé par la fonction de transfert en boucle ouverte H1 est donc stable en boucle fermée.

• Pour le point R de coordonnées respectives (ωR, –180°) on fait correspondre le point C pour lequel gainH2(jωR)dB > 0, le système modélisé par la fonction de transfert en boucle ouverte H2 est donc instable en boucle fermée


Un système est stable en boucle fermée si :

• pour la pulsation ω0 définie par argument[H(jω0)]) = –180°, le gain de la fonction de transfert en boucle ouverte H(jω0)dB < 0dB.

• pour la pulsation ω1 définie par H(jω1)dB = 0dB le déphasage de la fonction de transfert en boucle ouverte, est supérieur en module à 180° (argument[H(jω1)]) < –180°).

Le système est instable si :

• le gain de la fonction de transfert en boucle ouverte H(jω1)dB > 0 dB. • le déphasage de la fonction de transfert en boucle ouverte, est inférieur à –180°.


Version 2007

2.3) Causes d'instabilités Les causes d’instabilités sont nombreuses et elles proviennent le plus souvent des simplifications qui ont été effectuées dans le cadre de la modélisation du processus. On peut citer les causes suivantes : les retards purs, les constantes de temps, le gain de la boucle ouverte,…

2.3.1) Les retards purs Ils peuvent être caractérisés par une fonction de transfert de la forme G(p) = e–p τ (module égal à 1 et déphasage égal à – τ ω).

2.3.2) Les constantes de temps

Le modèle associé est celui d'un premier ordre à gain unitaire de la forme 1

1 + τ p.

Elles provoquent un déphasage (retard de phase) égal à arctan(–τ ω). Leurs effets sont similaires à ceux des

retards purs, en effet si τ est suffisamment petit e–τ p ≈ 1

1 + τ p (approximation de PADÉ).

2.3.3) Le gain en boucle ouverte Une augmentation du gain provoque un déplacement vers le point critique (–1, 0). Pour les systèmes d'ordre supérieur à deux, il peut même le dépasser à partir de la valeur critique du gain pour laquelle le lieu de la fonction de transfert passe par le point critique.

2.4) Stabilité pratique : Marges de gain et de Phase La stabilité, est pour pratiquement tous les systèmes (systèmes de mesure, de commande), une notion importante, ces systèmes doivent être stables. Telle qu'elle a été définie ci-dessus, par les divers critères, la stabilité reste une notion mathématique : ce n'est pas parce que l'on vérifie les critères de stabilité que les performances du système analysé seront satisfaisantes. En effet, un système peut :

• n'avoir que des pôles à partie réelle négative, mais pour certain une valeur absolue trop faible et le système se stabilise trop lentement ;

• avoir un coefficient d'amortissement trop faible et le système oscille avant de se stabiliser. En quelque sorte, on peut dire qu'une application stricte d'un critère (position de la courbe représentative d'une fonction de transfert en boucle ouverte par rapport au point critique) assure une stabilité au sens mathématique mais pas forcément “ une bonne stabilité ” au sens pratique. On conçoit aisément qu'une “ bonne stabilité ” d'un point de vue pratique peut se définir très simplement par le fait que la courbe représentative d'une fonction de transfert en boucle ouverte passe à une “ distance minimale ” du point critique. Pour quantifier cette distance on utilise les notions de marge de gain et de marge de phase.

2.4.1) Définitions des marges de gain et de phase Le degré de stabilité d'un système se caractérise par ses marges de phase et de gain.

Marge de phase La marge de phase s'interprète comme le déphasage supplémentaire qui dans la zone de résonance fait passer la courbe représentative d'une fonction de transfert en boucle ouverte au-delà du point critique

Marge de gain La marge de gain est l'augmentation maximale du gain en boucle ouverte que l'on peut s'autoriser sans provoquer l'instabilité du processus. Cette augmentation est exprimée en dB pour les représentations de BODE, BLACK et NYQUIST.


Version 2007

Représentation dans le plan de BODE

La marge de gain, exprimée en dB, est représentée par le segment BC, c’est-à-dire par l’expression :

Mg = abs(|H(j ωR)|dB) avec la pulsation ωR définie par : argument(H(j ωR)) = –180° La marge de phase, exprimée en °, est représentée par le segment PQ, c’est-à-dire par l’expression :

Mϕ = |–180 – argument(H(j ωA)| avec la pulsation ωA définie par : |H(j ωA)|dB = 0 dB

Représentation dans le plan de BLACK

La marge de gain, exprimée en dB, est représentée par le segment BC, c’est-à-dire par l’expression :

Mg = abs(|H(j ωB)|dB) avec la pulsation ωB définie par : argument(H(j ωB)) = –180° La marge de phase, exprimée en °, est représentée par le segment AC, c’est-à-dire par l’expression :

Mϕ = |–180 – argument(H(j ωA)| avec la pulsation ωA définie par |H(j ωA)|dB = 0 dB


Version 2007

Représentation dans le plan de NYQUIST

D’après le critère du Revers, on peut intuitivement affirmer qu’un système sera d’autant plus stable si la courbe passe « loin » du point critique {–1, 0}. Une des possibilités, pour chiffrer cet éloignement, consiste à évaluer la distance entre le point critique C et le point B (intersection de la courbe avec l’axe des réels). Plus la distance CB est importante, plus le système est stable. On pourrait définir la marge de stabilité par cette distance, mais en général on préfère utiliser la distance OB qui correspond aux coordonnées {– H(jωB), 0} où ωB est définie par argument(H(jωB)) = –180°. On écrit donc Mg = –20log10OB = –20log10|H(jωB)| La marge de phase, exprimée en degrés, est représentée par l’arc AC (angle Δϕ), c’est-à-dire par l’expression :

Mϕ = |–180 – argument(H(jωA)| avec ωA tel que |H(jωA)| = 1 USI

2.4.2) Significations physiques des marges de gain et de phase Les marges de gain et de phase pour un système asservi ont une double signification. Elles réalisent un coefficient de sécurité vis-à-vis d'une bonne stabilité et elles constituent un critère de performance pour le régime transitoire du système.

Marges de stabilité en tant que coefficient de sécurité La marge de gain assure que, quelles que soient les variations de gain en boucle ouverte, le système conservera sa stabilité. La marge de phase est quant à elle une garantie de stabilité contre les déphasages éventuels dus à des retards parasites qui n'auraient pas été pris en compte par le modèle d'étude.

Marges de stabilité en tant que critères de performances

!G

!"

43–27c

Contour de BLACK correspondant

à un module de 2,3 dB

Plus la courbe représentative d'une fonction de transfert en boucle ouverte passe à proximité du point critique, plus le phénomène de résonance sera amplifié et l'amortissement du système défaillant. Une marge de stabilité importante garantit que l'on ait suffisamment éloigné du point critique pour avoir un amortissement suffisant pour la période transitoire du système. Pour les systèmes asservis à retour unitaire on utilise souvent le critère suivant : L'amortissement du système sera suffisant si la courbe représentative de sa fonction de transfert en boucle ouverte passe à une distance supérieure à 2,3 dB du point critique dans la représentation de BLACK.


Version 2007

2.5) Réglage du gain

2.5.1) Réglage dans le plan de NYQUIST

Courbe pour K = 1

|H(! )|0

43–35a

mG

|H(! )|0

A

Soit H(jω) = K G(jω) F(jω), la fonction de trans-fert en boucle ouverte d’un système. On trace la courbe représentative du lieu de H(jω) pour K = 1, l'intersection avec l'axe des réels donne la valeur de la pulsation critique ω0 correspondant à un déphasage de –180°. À la pulsation critique, le gain |H(jω0)| est donné par la relation : |H(jω0)| = |G(jω0) F(jω0)| La stabilité se traduit par le fait que cette dernière quantité est inférieure à 1. La détermination du gain KR s'effectue en situant le point A de manière à obtenir la marge de gain nécessaire au système

en utilisant la relation suivante KR = mG

|H(jω0)| où

mG est la marge de gain souhaitée exprimée en unité SI et |H(jω0)| le gain en unité SI du système pour K = 1 et un déphasage de π.

2.5.2) Réglage dans le plan de BLACK

43–35b

20

lo

g

(K

)10

2,3 dB

Courbe correspondant

à |H(! )| optimal 0

Courbe correspondant

à |H(! )| initial 0

Dans la représentation de BLACK, la détermination du réglage s'effectue en recherchant par translation la courbe H(jω) tangente à la courbe isomodule égale à 2,3 dB. On peut également déterminer sur ce diagramme les marges de gain et de phase obtenues pour ce réglage.


Version 2007

3) Précision des systèmes asservis Dans toute cette étude, on suppose que les systèmes étudiés sont stables.

3.1) Présentation du problème – Définitions

3.1.1) Position du problème La précision est une propriété fondamentale pour un système asservi. En effet, un système qui se révèle précis à tout instant et en toutes circonstances présentera en matière de stabilité, d’amortissement et de rapidité toutes les qualités souhaitées.

On peut quantifier la précision d'un système par l'écart vrai ec(t) existant entre la sortie réalisée s(t) et la sortie désirée sd(t). Pour un système asservi à retour non unitaire, on peut construire le schéma bloc ci-dessous permettant de visualiser cet écart vrai.

S(p)

44–03a

+

–

H(p)

Yc(p)

R(p)

++

!(p)

P(p)

H(p)Sd(p)

+ –

Ec(p)

G1(p) G2(p)

L’écart vrai s’exprime par la relation suivante : ec(t) = sd(t) – s(t). La traduction de cette relation dans le domaine de LAPLACE permet d’obtenir la relation suivante :

Ec(p) = 1

1 + G1(p) G2(p) H(p) Sd(p) – G2(p)

1 + G1(p) G2(p) H(p) P(p)

Précision vis-à-vis de l'entrée principale Pour le système asservi représenté par le schéma bloc ci-dessus, on suppose que P(p) = 0. L’écart vrai Ec(p)

s’écrit avec cette hypothèse, sous la forme : E(1)c (p) =

11 + G1(p) G2(p) H(p) Sd(p)

L’écart vrai Ec(p) n’est généralement pas accessible, par contre l’écart de l’asservissement ε(p) peut être mesuré. L’écriture des différentes relations liant les fonctions S(p), Yc(p), R(p) et ε(p) permet d’obtenir la relation :

ε(1)(p) = 1

1 + G1(p) G2(p) H(p) Yc(p) ⇒ ε(1)(p) = H(p) E(1)c (p)

Précision vis-à-vis d'une perturbation Pour le système asservi représenté par le schéma bloc ci-dessus, on suppose que Sd(p) = 0. L’écart vrai Ec(p)

s’écrit avec cette hypothèse, sous la forme : E(2)c (p) =

– G2(p)1 + G1(p) G2(p) H(p) P(p)

L’écriture des différentes relations liant les fonctions S(p), P(p), R(p) et ε(p) permet d’obtenir la relation :

ε(2)(p) = – G2(p) H(p)

1 + G1(p) G2(p) H(p) P(p) ⇒ ε(2)(p) = H(p) E(2)c (p)

Le système est d'autant plus précis que la grandeur de sortie s(t) reste voisine de zéro lorsque la perturbation est appliquée au système.

Conséquence Si la fonction de transfert de la boucle de retour H(p) est indépendante de la fréquence, c’est-à-dire équivalente à

une constante dans la plage d’utilisation, l’écart de l’asservissement ε(i)(p) est représentatif de l’écart vrai E(i)c (p).


Version 2007

Remarque Dans cette étude, on a supposé que l’on pouvait négliger l’existence de bruit sur le signal de retour.

3.1.2) Définitions Précision statique La précision statique d'un système asservi est définie par l'écart constaté lorsque t→∞, c’est-à-dire qu’on s'intéresse plus particulièrement au comportement asymptotique. Pour la précision statique, la nature de la fonction de transfert de la chaîne de retour n'a pas d'influence, elle est toujours définie par la différence : ε(t) = yc(t) – r(t).

Précision dynamique La précision dynamique concerne la valeur atteinte par l’écart pendant les régimes transitoires qui dépendent eux-mêmes de la nature des sollicitations imposées au système. Remarque La démarche pour l’étude de la précision dynamique d’un système est différente suivant que l’on s’intéresse à :

• un système suiveur (précision vis-à-vis de l’entrée principale ou précision en poursuite) • un système régulateur (précision vis-à-vis des perturbations ou précision en régulation).

3.2) Précision statique

3.2.1) Définitions On appelle erreur stationnaire d'ordre n la limite ε0n, lorsque le temps t →∞, de l'erreur relative à une entrée en(t)

de la forme en(t) = tn–1 u(t)(n –1)! .

La transformée de LAPLACE de cette entrée s'écrit : En(p) = 1pn.

D'après le théorème de la valeur finale : lim ε(t)t→∞

= lim[p ε(p)]p → 0

si cette limite existe.

S(p)

43–43a

+

–

H(p)

E(p) !(p)

R(p)

P(p)

G2(p)

+

+G1(p)

Nous avons pour le système ci-contre vis-à-vis de : • l'entrée principale E(p) :

ε1(p) = 1

1 + G1(p) G2(p) H(p) E(p)

• la perturbation P(p) :

ε2(p) = – H(p) G2(p)

1 + G1(p) G2(p) H(p) P(p)

L'hypothèse de linéarité permet d'écrire :

ε(p) = 1

1 + G1(p) G2(p) H(p) E(p) + – H(p) G2(p)

1 + G1(p) G2(p) H(p) P(p)

Soit en introduisant la fonction de transfert en boucle ouverte F0(p) = G1(p) G2(p) H(p)

ε(p) = 1

1 + F0(p) E(p) + – F0(p)

(1 + F0(p)) G1(p) P(p)

D'une manière générale que l'on s'intéresse à l'entrée principale ou la perturbation la transformée de LAPLACE de l'écart ε(p) peut s'écrire sous la forme ε(p) = A(p) E(p) où E(p) désigne l'entrée principale ou la perturbation.

On peut donc écrire : ε0n =

lim A(p)

pn

p → 0


Version 2007

3.2.2) Écarts stationnaires relatifs à l'entrée principale On peut écrire, la fonction de transfert en boucle ouverte d'un système asservi sous la forme :

F0(p) =

k ∏i=1

m

(–1)m zi ∏i=1

m

(1 – p/zj)

∏j=1

n

(–1)n pj ∏

j=1

n

(1 – p/pj) on pose K =

k (–1)m–n ∏i=1

m

zi

∏j=1

n

pj

K désigne une constante, zj et pi les zéros et les pôles finis de F0(p). Cette formulation est valable si la fonction F0(p) ne possède pas de pole à l'origine. Si la fonction de transfert en boucle ouverte possède a zéros et b pôles à l'origine, on écrit la fonction transfert en boucle ouverte sous la forme :

F0(p) =

K pa ∏j=1

m–a

(1 – p/zj)

pb ∏i=1

n–b

(1 – p/pj)

Classe d'un système

Définition

Le système dont la fonction de transfert s'écrit sous la forme F0(p) ci-dessous est appelé système de classe α .

F0(p) =

KB0 ∏j=1

m–a

(1 – p/zj)

pα ∏i=1

n–b

(1 – p/pj) avec α = b – a ≥ 0.

Plusieurs cas sont à considérer suivant la valeur de α, c'est-à-dire du nombre d'intégrateurs dans le système. La transformée de LAPLACE de l'écart s'écrit en fonction de la fonction de transfert en boucle ouverte sous la

forme suivante : A(p) = 1

1 + F0(p)

Système de classe 0 (α = 0)

Lorsque p → 0 alors A(p) ≈ 1

1 + KB0

On constate immédiatement que :

• pour une entrée en échelon unitaire l'écart statique du premier ordre ε01 = 1

1 + KB0

• tous les écarts d'ordre supérieur (entrée en rampe, …) tendent vers l'infini quand t → ∞

Système de classe α (α > 0)

Lorsque p → 0 alors A(p) ≈ pα

KB0

On constate que : • pour une entrée d'ordre α les écarts statiques jusqu'à cet ordre : ε01 = ε02 = ……= ε0α = 0

• l'écart d'ordre α+1 (ε0α+1) tend vers 1

KB0 quand p → 0

• tous les écarts d'ordre supérieur à α+1 tendent vers l'infini quand p → 0


Version 2007

On regroupe ces différents cas, en fonction du type d'écart réalisé, dans le tableau ci-après. α = 0 ou classe 0 α = 1 ou classe 1 α = 2 ou classe 2

Écart de position 11 + KB0

0 0

Écart de traînage ∞ 1KB0

0

Écart en accélération ∞ ∞ 1KB0

Conclusion On peut retenir que la précision statique dépend de l'ordre du pôle à l'origine de la fonction de transfert en boucle ouverte et qu'elle est inversement proportionnelle au gain KB0 de la boucle ouverte pour α > 0.

La précision est d'autant meilleure que le gain KB0 est élevé.

3.2.3) Écarts stationnaires relatifs à une perturbation Nous avons montré dans un paragraphe précédent que la transformée de LAPLACE de l'écart statique vis-à-vis

d'une perturbation s'écrivait ε(p) = – F0(p)

(1 + F0(p)) G1(p) P(p), que l'on peut écrire sous la forme : ε(p) = A(p) P(p)

On écrit la fonction de transfert en boucle ouverte F0(p) d'un système asservi sous la même forme que

précédemment : F0(p) =

KB0 ∏j=1

m–a

(1 – p/zj)

pα ∏i=1

n–b

(1 – p/pj) avec α = b – a ≥ 0.

donc lorsque p → 0 cette fonction de transfert est équivalente à KB0 pα

Nous devons considérer plusieurs cas suivant la valeur de la puissance α, c'est-à-dire du nombre d'intégrateur dans le système. La transformée de LAPLACE de l'écart s'écrit en fonction de la transmittance en boucle ouverte

sous la forme : A(p) = – F0(p)

(1 + F0(p)) G1(p)

Système de classe 0 (α = 0)

Lorsque p → 0 alors – F0(p)

1 + F0(p) ≈ – KB0

1 + KB0 et G1(p) est obligatoirement une constante notée K1 par exemple.

Donc lorsque p → 0 le terme A(p) ≈ – KB0

1 + KB0

1K1

On constate immédiatement que :

• pour une entrée en échelon unitaire l'écart statique du premier ordre ε01 = – KB0

K1 (1 + KB0) ;

• tous les écarts, d'ordre supérieur (entrée en rampe, …), tendent vers l'infini quand p → 0

Système de classe α (α > 0)

Lorsque p → 0 alors – F0(p)

1 + F0(p) ≈ 1

La fonction de transfert G1(p) peut posséder un pôle à l'origine d'ordre β ≤ α, alors lorsque p → 0, G1(p) ≈ K1pβ .

Dans ce cas on obtient : ε0n = – limp→0

pβ

K1 pn–1


Version 2007

On constate que, si :

• n < β + 1 alors ε0n = 0 ;

• n = β + 1 alors ε0n = – 1

K1 ;

• n > β + 1 alors ε0n tend vers – ∞. On regroupe ces différents cas, en fonction du type d'écart réalisé, dans le tableau ci-dessous. α = 0 ou de classe 0 α = 1 ou de classe 1 α = 2 ou de classe 2

Intégrateurs dans G1(p) β = 0 β = 0 β = 1 β = 0 β = 1 β = 2

Écart de position – KB0 K1 (1 + KB0) –

1K1

0 – 1

K1 0 0

Écart de traînage –∞ –∞ – 1

K1 –∞ –

1K1

0

Écart en accélération –∞ –∞ –∞ –∞ –∞ – 1

K1

Conclusion Pour les systèmes de classe α > 0, l’ordre du pôle à l'origine ou le gain de la fonction de transfert en boucle ouverte n'intervient plus dans l'expression de l'écart statique. Par contre l'ordre du pôle et le gain de la fonction de transfert située en amont de la perturbation interviennent dans l'expression de l'écart statique. Plus le gain est important, meilleure sera la précision statique. Les deux études concernant les écarts statiques (entrée principale et perturbation) conduisent à la même conclusion : “ Il faut augmenter le gain pour minimiser l'écart ”. Or dans l'étude de la stabilité (chapitre précédent) nous avons obtenu une conclusion inverse. La stabilité et la précision d'un système asservi sont donc deux propriétés antagonistes qui ne peuvent pas être assurées simultanément.

3.2.4) Interprétation D’après l’étude précédente, on constate que l’intégrateur joue un rôle fondamental dans la précision statique des systèmes asservis.

e(t) s(t)!

Sur la figure ci-dessus, on a représenté le signal de sortie s(t) (trait plein) obtenu en sortie d’un intégrateur pour une loi d’entrée e(t) (en traits pointillés) donnée. On remarque que le signal de sortie s(t) est non nul alors que le signal d’entrée l’est. Le gain apparent de l’intégrateur (rapport sortie/entrée) est infini ; cette remarque explique qu’un processus peut être commandé en boucle fermée à partir d’une grandeur s(t) alors que l’écart entre la consigne et la mesure est nul.

Illustration Pour le système asservi ci-dessous, intéressons nous à son comportement asymptotique.

On note, respectivement K1 et K2, les gains statiques des processus G1(p) et G2(p) et P0 la valeur de la perturbation.


Version 2007

On a indiqué, sur le schéma bloc en différents points, les grandeurs obtenues en régime permanent.

S(p)+

–G1(p)

++

G2(p)1

p

P(p)

Yc(p)

11 01

K11

K2– P0( ) 1

K2– P0( ) 1

K2

44–03b

3.3) Précision dynamique La précision dynamique concerne la valeur atteinte par l’écart pendant les régimes transitoires qui dépendent eux-mêmes de la nature des sollicitations imposées au système.

3.3.1) Position du problème Suivant que l’on s’intéresse à un système suiveur ou régulateur l’étude de la précision dynamique s’effectue différemment.

Système suiveur ou asservissement de poursuite Pour un système suiveur, le signal de référence est imposé par l’objectif à atteindre et donc l’écart dynamique peut être maîtrisé sachant que toute discontinuité sur le signal de commande va se retrouver sur cet écart.

Système régulateur Pour un tel système, la difficulté réside dans la méconnaissance que l’on a en général de la nature et de l’amplitude de la perturbation. En général on essaye de se fixer une fonction présentant des caractéristiques suffisamment sévères pour obtenir une sollicitation qui recouvre tous les cas de figures imaginables.

3.3.2) Précision dynamique en poursuite Cas d’un système du 1er ordre Nous pouvons, sans que cela gêne la généralité du problème, considérer un système du premier ordre à retour unitaire. L'exemple de base associé à ce problème est celui de l'asservissement de vitesse d'un moteur électrique commandé par l'induit.

S(p)

43–40c

+

–G(p)

E(p) !(p)

R(p)

Le schéma fonctionnel est représenté ci-contre. La fonction de transfert en boucle ouverte est de la forme :

FTBO = R(p)ε(p) =

K1 + τ p

La fonction de transfert en boucle fermée s'écrit :

FTBF = S(p)Ε(p) =

K11 + τ1 p avec K1 =

K1 + K et τ1 =

τ1 + K

Réponse à une entrée en échelon unité

Dans un paragraphe précédent (étude des systèmes du 1er ordre) nous avons montré que la réponse à une fonction échelon était de la forme : s(t) = K (1– e– t/τ).

Pour l'application envisagée, on doit remplacer les coefficients K et τ par respectivement les coefficients K1 et τ1 définis ci-dessus. On en déduit que l'écart associée à la réponse r(t) à une entrée en échelon a pour expression :

ε(t) = e(t) – r(t) = 1 – K1 (1– e– t/τ)


Version 2007

1.05

K + 1

1

K + 1 3!1

43–

41a!1

La figure ci-contre représente les variations de ε(t), pour des valeurs de K = 1 et τ = 2. La valeur finale de l'écart est égale à

1 – K1 = 1

1 + K

On vérifie sur la courbe ci-contre que le temps de réponse à 5 % est égal à 3 τ1.

Un système est donc d'autant plus rapide qu'il transmet avec moins d'atténuation les pulsations élevées. On caractérise cette aptitude par la bande passante, c'est-à-dire l'intervalle [0, ωc] où la borne supérieure ωc correspond à la pulsation de coupure en boucle fermée.

|F(0)|= K

K + 1

K + 1

!

1

!1= "c

6 d

B

43

–4

1b

0 dB

|F(j" )|c

On chiffre la rapidité d'un système du 1er ordre ou son écart en régime transitoire par sa pulsation de coupure ωc en boucle fermée.

On peut prendre pour ωc la pulsation correspondant à une atténuation de 6 dB.

Remarque La précision dynamique d'un système du 1er ordre est d'autant meilleure que son gain K en boucle ouverte est plus grand.

Cas d’un système du 2ème ordre Considérons un système asservi de commande de position. Sa fonction de transfert en boucle ouverte s'écrit :

FTBO = K

p (1 + τ p)

La fonction de transfert en boucle fermée à retour unitaire s'écrit :

FTBF = 1

1 + 1K p +

τK p2

La fonction transfert d'un système du second ordre s'écrit sous la forme :

F(p) = 1

1 + 2 ξωn

p + p2

ωn2

En identifiant ces deux expressions, on obtient :

ωn = Kτ et ξ =

1 2 K τ

Tout comme pour un système du premier ordre, on peut caractériser le régime transitoire par la forme de l'écart en réponse à un échelon unitaire. Nous avons vu dans un paragraphe précédent que cette réponse dépendait de la valeur du coefficient d'amortissement ξ (0 < ξ < 1, ξ ≥ 1)


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1er cas : ξ < 1

La réponse présente des oscillations et l'écart du système a pour expression :

ε(t) = e–ωn ξ t

1 – ξ2 cos[(ωn t 1 – ξ2) – arcsin(ξ)]

La courbe représentative de ε(t) est tracée ci-contre pour des coefficients K et τ identiques à ceux utilisés pour le système du premier ordre. On constate que l'écart oscille en décroissant. La période des oscillations (pseudo-période) est égale à :

Tp = 2 π

ωn 1 – ξ2

Le logarithme népérien du rapport deux dépassements successifs donne le décrément logarithmique :

δ = 2 π ξ

1 – ξ2

+0.05

–0.05

tr

43–42a

Rappelons que l'on peut déterminer l'amortissement d'un système du second ordre à partir de son premier dépassement pour un échelon unitaire en

entrée. On obtient alors ln(D) = π ξ

1 – ξ2 .

Un système du second ordre est d'autant plus rapide que son régime transitoire est bref. On définit cette caractéristique par le temps de réponse à 5 % par exemple comme pour les systèmes du 1er ordre.

Le temps de réponse tr est d'autant plus réduit que la pulsation ωn est élevée.

2ème cas : ξ ≥ 1

Dans ce cas, la réponse ne présente pas d'oscillations et son allure est identique à celle d'un système du 1er ordre.

Relation entre l'amortissement et la rapidité d'un système L'allure de la courbe de gain de la réponse en fréquences F(jω) d'un système asservi du second ordre dépend du paramètre ξ (voir paragraphe précédent).

!R

!n

" > 0.7

" < 0.7

43–42b

Pour ξ > 0.7 le diagramme d'amplitude décroît constamment. Pour ξ < 0.7, le diagramme d'amplitude passe par un maximum, celui-ci correspond à la pul-sation de résonance ωR. Pour un système du second ordre, la résonance apparaît pour la pulsation : ωR = ωn (1–2ξ2)

À cette pulsation de résonance, on fait correspondre le facteur de résonance m défini par la relation :

m = 1

2ξ (1–ξ2) ou MdB = 20 log10m (exprimé en dB)


Version 2007

Remarque Ne pas confondre le facteur de résonance m (ou en M en décibels) avec le facteur de qualité q défini en

physique par q = 1

2 ξ en unité SI (ou en décibels QdB = 20 log10 q), qui correspond au gain pour la pulsation

propre ωn.

3.3.3) Précision dynamique en régulation Une perturbation est par nature essentiellement aléatoire, de plus c’est la variation de la grandeur de sortie qui va provoquer la correction du système. On limite cette étude aux systèmes asservis de classes 1 ou 2 (c’est-à-dire possédant respectivement 1 ou 2 intégrateurs dans la boucle ouverte). On suppose également que la perturbation peut se modéliser par un échelon de vitesse de durée T suivi d’une valeur constante égale à la valeur atteinte au temps T.

Système de classe 1 Dans le cas d’un système asservi à retour unitaire, si aucun bloc ne figure après l’entrée de la perturbation, alors les fonctions de transfert caractérisant l’écart en poursuite ou en régulation sont identiques à un signe près. Les résultats de l’étude en poursuite sont donc directement transposables.

Système de classe 2 Pour un système de classe 2, l’écart statique est nul tant pour une perturbation en position qu’en vitesse. Il suffit donc de considérer l’écart dynamique c’est-à-dire le comportement de la phase transitoire. Malgré tout, une étude exhaustive de ce phénomène est très difficile à mener, car elle est indissociable d’une étude dynamique générale du processus.

3.3.4) Exemple On considère le système constitué d’une antenne de radar entraînée par groupe moteur. Le schéma-bloc associé à ce système est représenté ci-dessous.

G1(p) G2(p)R(p)

H(p)

Vc(p) !(p)

Cs(p)

+++

–

44–05F1

• L’identification du système a permis de déterminer les différents blocs. On a obtenu :

G1(p) = 12.51 + p G2(p) =

0.41 + 2 p

• Le bloc H(p) est associé à une génératrice tachymétrique fournissant une tension proportionnelle à la fréquence de rotation de coefficient k = 10.47 V pour 1000 tr/min.

• Le bloc R(p) est un bloc correcteur qui prendra dans l’application soit : – la forme d’un gain pur de coefficient 2.5 ;

– la forme du bloc de fonction de transfert R(p) = 0.8 + 0.4p .

• La tension de commande Vc(t) est égale à 10 V. • On considère que le vent est susceptible d’apporter une perturbation caractérisée par le couple résistant

Cs(t) d’amplitude maximale 1 Nm.

1ère étude : Précision en poursuite Pour cette étude, on suppose que Cs(t) = 0. On vérifie l’influence, sur l’écart ε(t) :

• de la manière dont Vc(t) est installée à l’entrée du système. • du bloc correcteur R(p)


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On obtient la représentation de la page suivante. • Pour les courbes indicées 1 et 2, le bloc R(p) est égal à une constante de valeur 2.5.

– La courbe Ec1 caractérise la précision dynamique en poursuite pour une entrée réalisée par un échelon d’amplitude 10V. L’écart de poursuite dynamique ε(t) est maximal pour t = 0, il a pour valeur 10V et il tend vers la valeur 4.4V.

– La courbe Ec2 caractérise la précision dynamique en poursuite pour une entrée réalisée par une succession d’échelons, le premier et le dernier échelon on une amplitude de 1V et les échelons intermédiaires une amplitude de 2V chaque échelon ayant une durée de 3s). L’écart de poursuite dynamique ε(t) est maximal pour t = 15s, il a pour valeur 5.1V et il tend vers la valeur 4.4V.

• Pour les courbes indicées 3, le bloc R(p) = 0.8 + 0.4p

– La courbe Ec3 caractérise la précision dynamique en poursuite pour une entrée réalisée par un échelon de vitesse de valeur 2/3V/s pendant 15s. L’écart de poursuite dynamique e(t) est maximal pour t = 15s, il a pour valeur 3.3V et il tend vers la valeur 0 lorsque t tend vers l’infini.

2ème étude : Précision en régulation Pour cette étude, on suppose que Cs(t) = 1Nm et Vc(t) = 0. On vérifie l’influence, sur l’écart ε(t), du bloc correcteur R(p). On suppose que le couple résistant se comporte comme indiqué sur la figure ci-dessus.

• Pour la courbe Ec1(t), le bloc R(p) est égal à une constante de valeur 2.5. On constate que l’écart dynamique croît jusqu’à la valeur constante de 1.8 10–2.

• Dans le cas de la courbe Ec2(t) le bloc R(p) = 0.8 + 0.4p . L’écart dynamique maximal en régulation vaut

0.012, mais surtout il tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini. La perturbation est rejetée par le système.

Attention, pour l’affichage des courbes représentatives, l’écart Eci a été multiplié par un coefficient 10.


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4) Correction des systèmes asservis

4.1) Buts et objectifs de la correction

4.1.1) Introduction Lors de la conception d’un asservissement, on rencontre deux types de problèmes :

• assurer une réponse acceptable pour des consignes d’entrée définies en fonction du temps (exemple suivi d’un cycle de température lors d’une opération de traitement thermique) ;

• fournir des caractéristiques fréquentielles (gains, déphasage) demandées dans une bande de fréquences donnée (exemple asservissement du mouvement d’un haut-parleur).

On impose par conséquent les qualités d’un asservissement en termes de spécifications temporelles dans le premier cas et en spécifications fréquentielles dans le second cas.

4.1.2) Spécifications Les spécifications imposées pour les systèmes asservis sont formulées soit dans le domaine temporel, soit dans le domaine fréquentiel, avec des règles simples de passage entre ces deux domaines. Elles concernent généralement les trois critères suivants, caractéristiques pour les systèmes asservis :

• la précision en régime établi (écart de position, de vitesse) ; • la rapidité (temps de réponse, bande passante) ; • l’allure de la réponse (régime transitoire peu oscillant, courbe de réponse en fréquence plate).

Remarque Il est entendu que ces spécifications ne peuvent s’appliquer qu’à des systèmes stables.

Spécification temporelles Rappelons au préalable que tout système linéaire donne une réponse qui est la somme de réponses élémentaires du premier ou du deuxième ordre (polycopié sur les SLCI), ensuite en fonction du placement des racines dans le plan complexe certaines des réponses vont s’atténuer rapidement et seul le mode le plus lent subsistera. Ce mode pouvant correspondre à celui d’un premier ou d’un second ordre. Pour un premier ordre, l’erreur s’atténue exponentiellement et nous avons montré que le temps de réponse tr = 3 τ, si τ est la constante de temps du modèle. Pour un second ordre, la réponse obtenue dépend du facteur d’amortissement ξ et le temps de réponse minimal est obtenu pour ξ = 0.69 (reprendre l’abaque donnant le temps de réponse d’un système du second ordre dans le polycopié sur les SLCI). Dans la plupart des applications, on utilise une valeur pour ξ voisine de 0.43 pour les raisons suivantes :

• une relation simple permet d’obtenir le temps de réponse tr à 5%, en effet tr ≈ – ln[0.05 1 – ξ2]

ξ ω0 ;

• l’écart en traînage (écart en vitesse) est plus faible que pour ξ = 0.69 (entrée en échelon).

Spécifications fréquentielles Ces spécifications peuvent être données directement :

• bande passante à –3dB ou –6dB pour l’asservissement ;

• facteur de résonance (ou coefficient de surtension) QdB, dans la pratique on utilise la valeur QdB = 2.3 dB ; • la pulsation ou la fréquence de résonance.

Elles peuvent également être données en référence à des filtres standard du premier ou du second ordre.


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4.1.3) Rappels sur les spécifications des systèmes asservis Dans les chapitres précédents sur les systèmes asservis, nous avons vu que l’on pouvait satisfaire les conditions de stabilité et de précision en formulant des conditions sur la fonction de transfert en boucle ouverte.

• la stabilité est définie par : – la marge de gain : la stabilité est d'autant meilleure (le système est mieux amorti) que le gain de la

FTBO est plus petit, c'est-à-dire que la bande passante en boucle ouverte est plus faible ; – la marge de phase : la stabilité est d'autant meilleure que le déphasage de la FTBO est plus faible (en

valeur absolue) c’est-à-dire le minimum d’intégrateurs possible. • la précision est définie par :

– la précision statique : Souhaiter annuler l'écart statique (écart en régime permanent) nécessite de placer dans la chaîne directe un nombre d'intégrateurs compatible avec le signal d'entrée imposé,

– la précision dynamique : elle est d'autant meilleure que le gain de la FTBO est plus élevé, c'est-à-dire que la bande passante est plus large ;

• la rapidité propriété temporelle est en relation avec la bande passante du système (propriété fréquentielle), mais elle peut être pénalisée par un amortissement trop important

• la réjection des perturbations est d’autant meilleure que le gain de la boucle ouverte est grand. Un système asservi doit donc satisfaire simultanément plusieurs propriétés : une bonne stabilité, une bonne précision, une bonne rapidité, être insensible aux perturbations, … Le concepteur d'un automatisme est donc conduit à résoudre le dilemme, représenté par la figure ci-dessous, d'une bonne stabilité et d'une bonne précision.

Rapidité Précision

AmortissementStabilité

Antago

nisme Antagonisme 4

3–50a

Ce dilemme se résume par la complainte de l'automaticien :

« Vite fait, Bien fait et Pas d'affolement » Avec comme signification pour l'expression :

• « Vite fait » : le système est suffisamment rapide ; • « Bien fait » : le système est suffisamment précis ; • « Pas d'affolement » : le système est stable et bien amorti.

Ce chapitre va montrer, que sans intervenir sur la structure des blocs déjà étudiés, il est possible d'insérer dans celle-ci des composants qui vont modifier les signaux transmis entre les différents blocs.

4.2) Principe de la correction des systèmes asservis On constate que la stabilité est principalement définie pour les pulsations élevées proches de la fréquence de résonance, tandis que la précision statique se définit plutôt pour les faibles pulsations. Pour résoudre les problèmes d'antagonismes des réglages sur la stabilité et la précision, on exploite les remarques ci-dessus. Les composants que l'on sera amené à installer dans la boucle d'asservissement agiront sur des bandes de fréquences distinctes. Les correcteurs peuvent se placer dans la boucle d'asservissement soit en cascade (en série) avec les autres fonctions de transfert ou en parallèle avec l'une des fonctions de transfert de la chaîne directe. Mais toujours avant un étage de puissance, afin qu'ils ne consomment et ne modifient pas l'étude globale des puissances du système.


Version 2007

E(p) C(p) G(p)

H(p)

R(p)

S(p)+

–

MN43–50b

!(p)

fig. 1 : Correcteur en cascade ou série

E(p)

C1(p)

G1(p)

H(p)

R(p)

S(p)

G2(p)+

–

++

MN43–50c

!(p)

fig. 2 : Correcteur en parallèle

E(p)

C2(p)

G1(p)

H(p)

R(p)

S(p)

G2(p)+

–

++

MN43–50d

!(p)

fig. 3 : Compensation de l’erreur vis-à-vis de

l’entrée

E(p)

C2(p)

G1(p)

H(p)

R(p)

S(p)G2(p)

+

–

++

MN43–50e

P(p)

++ G3(p)

!(p) X(p)

fig. 4 : Compensation des perturbations

Remarques

• Le correcteur C2 présenté sur la figure 3 est dit prédictif. En effet il permet de pré accentuer l'entrée en forçant par anticipation la commande à aller dans le bon sens sans attendre le résultat de la sortie.

• On trouve également des correcteurs qui utilisent des signaux auxiliaires prélevés sur le processus qui permettent d'améliorer le comportement de l'asservissement.

4.2.2) Les correcteurs classiques Ces correcteurs font apparaître une ou plusieurs des trois formes élémentaires de correction l'action proportionnelle P, l'action intégrale I ou l'action dérivée D.

L'action proportionnelle P

On dit qu'une correction est proportionnelle lorsque le signal de commande εc(t) est proportionnel au signal d'écart ε(t). La fonction de transfert C(p) du correcteur proportionnel est alors une constante. On peut écrire :

εc(t) = K1 ε(t) ⇒ C(p) = K1

L'action intégrale I

On dit qu'une correction est intégrale lorsque le signal de commande εc(t) est proportionnel à l'intégrale du signal d'écart ε(t). La fonction de transfert C(p) du correcteur à action intégrale s'écrit :

εc(t) = K2 ⌡⌠0

t

ε(t) dt ⇒ C(p) = K2τ p

L'action dérivée D

On dit qu'une correction est dérivée lorsque le signal de commande εc(t) est proportionnel à la dérivée du signal d'écart ε(t). La fonction de transfert C(p) du correcteur à action dérivée s'écrit :

εc(t) = K3 dε(t)

dt ⇒ C(p) = K3 τ p

Remarque Les actions, intégrale et dérivée, ne s'emploient jamais seules, mais toujours en combinaison avec l'action proportionnelle ou ensemble.


Version 2007

4.2.3) Les correcteurs spécifiques Ces correcteurs ont une structure (nombre et nature des pôles et des zéros) et les coefficients de la fonction de transfert sont adaptés à un problème particulier. Ces correcteurs sont étudiés et calculés en fonction d'un besoin spécifique, ce qui n'exclue pas les difficultés de réalisation éventuelles, quoi que l'électronique permette actuellement de nombreuses prouesses et de résoudre des problèmes de plus en plus complexes.

4.3) Correction par anticipation

4.3.1) Correction compensation des perturbations Considérons la figure ci-dessous.

E(p)

C2(p)

G1(p)

H(p)

R(p)

S(p)G2(p)

+

–

++

MN43–50e

P(p)

++ G3(p)

!(p) X(p)

On fait les hypothèses suivantes :

• l’entrée E(p) est nulle ; • la perturbation P(p) est mesurable.

On peut alors, tout du moins théoriquement, éliminer l’influence de la perturbation P(p) par le correcteur C2(p). Soit X(p) le signal apparaissant en aval de l’application de la perturbation. On a alors :

X(p) = P(p) + C2(p) G2(p) P(p) + ε(p) G1(p) G2(p)

On remarque immédiatement sur cette expression qu’en choisissant C2(p) = –1

G2(p), on élimine l’effet de la

perturbation P(p). Malheureusement, dans la plupart des cas, la fonction de transfert 1

G2(p) n’est pas

physiquement réalisable, ce qui oblige le concepteur à adopter une forme approchée de celle-ci et de ce fait il ne peut y avoir une compensation parfaite du régime transitoire des perturbations.

Par exemple si G2(p) = K p on prendra pour C2(p) =

– p K (1 + τ p) avec la constante de temps τ sensiblement

inférieure aux constantes de temps principales de G3(p).

Remarque Une telle compensation, lorsqu’elle est réalisable, n’affecte ni la stabilité ni la précision du système bouclé vis à vis de l’entrée principale.

4.3.2) Correction par compensation vis-à-vis de l’entrée On considère le système bouclé de la figure ci-dessous.

E(p)

C2(p)

G1(p)

H(p)

R(p)

S(p)

G2(p)+

–

++

MN43–50d

!(p)


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Hypothèse Les perturbations sont nulles. On souhaite annuler ε(p) et pour cela on utilise un correcteur par anticipation C(p) décrit sur le schéma.

On a alors : ε(p) = E(p) – H(p) S(p) avec S(p) = G2(p) [G1(p) ε(p) + C2(p) E(p)]

On obtient donc : ε(p) = E(p) – H(p) G1(p) G2(p) ε(p) – H(p) G2(p) C2(p) E(p)

Soit, en ordonnant les différents termes : ε(p) [1 + H(p) G1(p) G2(p)] = [1 – H(p) G2(p) C2(p)] E(p)

Pour annuler ε(p) il suffit donc de choisir C2(p) = 1

H(p) G2(p), dans ce cas S(p) = E(p) H(p).

C’est-à-dire que, dans ce cas, le système asservi suit parfaitement la loi d’entrée sans avoir besoin de placer un

intégrateur dans la chaîne directe. Malheureusement dans de nombreux cas, la fonction de transfert 1

H(p) G2(p)

n’est pas physiquement réalisable, et l’utilisation d’une forme approchée implique que la compensation n’est pas parfaite dans les transitoires.

4.3.3) Conclusions La correction par anticipation semble assez simple à mettre en œuvre, malheureusement l’entrée perturbatrice est très rarement mesurable et d’autre part les correcteurs à élaborer ne sont pas physiquement réalisables. L’utilisation de forme approchée ne permet pas de résoudre le problème des phases transitoires. De plus ils nécessitent une parfaite connaissance du processus à corriger.

4.4) Correction par correcteurs classiques en série Le correcteur est placé dans la chaîne directe

4.4.1) Correction par ajustement du gain (correcteur proportionnel) La correction proportionnelle consiste simplement à jouer sur le facteur de gain K de la boucle, en agissant sur un élément à gain réglable déjà introduit dans la boucle ou en y insérant un tel élément (appelé correcteur proportionnel). L’effet de ce correcteur est simplement de déplacer verticalement (vers le haut ou le bas) d’un certain nombre de décibels (dB) la courbe de gain du diagramme de BODE associé au processus sans toucher à la courbe de phase. Il est à noter, comme cela a été vu dans les paragraphes précédents, qu’une augmentation du gain de la boucle ouverte entraîne une diminution de la marge de phase. Pour éviter cette réduction de la marge de phase, on est amené à introduire des correcteurs plus spécifiques qui permettront de compenser les pôles et zéros de la fonction de transfert.

4.4.2) Principe du correcteur « parfait » Supposons qu’un processus soit décrit par la fonction de transfert, en boucle ouverte, de la forme :

FTBO(p) = KB0

pa (1 + τ1 p)(1 + τ2 p)………(1 + τn p) avec τi > 0 ∀i et τ1 > τ2 > ………> τn

Le correcteur parfait consisterait à : • conserver le pôle à l’origine si a ≥ 1, ou à en introduire un si a = 0, de manière à annuler l’erreur statique ; • annuler tous les pôles de la FTBO par des zéros correspondants, pour stabiliser le système asservi, sachant

que chaque pôle introduit un déphasage de 90° et cela à des fréquences d’autant plus faibles que la constante de temps ti est plus grande.

Le correcteur parfait devrait donc prendre l’une des deux formes suivantes, suivant que le système est à l’origine de classe 1 ou de classe 0.

C(p) = Kc (1 + τ1 p)(1 + τ2 p)………(1 + τn p) ou C(p) = Kcp (1 + τ1 p)(1 + τ2 p)………(1 + τn p)


Version 2007

Dans ce cas, on obtiendrait une fonction de transfert en boucle ouverte de la forme : FTBO(p) = Kc KB0

p et le

système bouclé serait équivalent à un système du 1er ordre de fonction de transfert FTBF(p) = 1

1 + p

Kc KB0

.

On pourrait alors rendre ce système aussi rapide que l’on veut en augmentant Kc et cela sans altérer sa stabilité. Malheureusement ce type de correcteur est irréalisable, à cause des différentiations qui apparaissent dès le deuxième ou troisième terme de C(p). Un élément différentiateur pur, de la forme k p, est physiquement irréalisable, car il lui correspondrait une bande passante infinie. De plus l’utilisation de ce type de correcteur pose deux problèmes importants :

• elle amplifie le bruit, en tout cas ses composantes de fréquence élevée ; • si le signal appliqué à l’entrée d’un différentiateur est un échelon, sa sortie sera théoriquement une

impulsion d(t), qui de toutes les façons ne sera pas transmise par les étages ultérieurs de la chaîne à cause par exemple des problèmes de saturation.

On remplacera donc la différentiation pure par une différentiation approchée en remplaçant le terme p par

l’expression p

1 + τ p, où la constante τ est choisie beaucoup plus petite que toutes les autres constantes de temps de la boucle ouverte. Remarque Il est ABSOLUMENT interdit de compenser un pôle à partie réelle positive par un zéro identique qui serait apporté par le correcteur. En effet on n’a jamais exactement l’identité du pôle et du zéro, et au lieu de faire

apparaître une expression de la forme p – αp – α, on a en réalité :

p – (α + ε)p – α = 1 –

εp – α

La réponse indicielle d’un tel système est, pour t > 0 : 1 + εα (1 – e α t)

Si la partie réelle de α est positive, ce système tend, lentement mais irrémédiablement, vers l’infini.

4.4.3) Correcteur à action proportionnelle et dérivée Description du correcteur Le signal de commande est réalisé à partir de l'association d'un terme d'action proportionnelle et d'un terme d'action dérivée, on emploie pour ces correcteurs l'expression de correcteur PD.

La fonction de transfert de ce correcteur s'écrit sous la forme : C(p) = Kcor (1 + τ p)

La fonction de transfert du correcteur devient en régime harmonique : C(jω) = Kcor (1 + j ω τ) • Si ω τ << 1 alors |C(jω)| ≈ 0dB avec un déphasage de 0° • Si ω τ >> 1 alors |C(jω)| ≈ jωτ avec une asymptote de pente égale à 20dB/décade et un déphasage de 90°.

Les figures ci-dessous représentent le diagramme de BODE d’un correcteur PD avec Kcor = 1.5 et τ = 0.5.


Version 2007

C'est un correcteur de type passe-haut qui provoque une avance de phase maximale de 90° et donne un gain infini aux hautes fréquences. L’amplification des hautes fréquences est plutôt un inconvénient car cela aura pour effet de réduire l’atténuation des hautes fréquences de la boucle ouverte corrigée cette caractéristique est plutôt indésirable vis-à-vis des bruits de mesure. De plus l’augmentation imposée au gain tend à augmenter la bande passante ce qui est intéressant si le but est d’améliorer la rapidité du système.

Remarque Pour le tracer du diagramme de phase, on utilise l’approximation suivante :

• Pour ω < ωc/10, le déphasage est nul ;

• Pour ω > 10 ωc, on a une avance de phase de 90° ;

• Pour ωc/10 < ω < 10 ωc, le déphasage évolue suivant une droite de pente +45°/décade. Cette approximation permet de minimiser l’erreur commise entre la courbe réelle et le diagramme asymptotique.



Exemple d’application On considère le processus décrit par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante :

H(p) = 0.5

p(1 + 4 p)(1 + 0.8 p) courbe (a)

On corrige ce processus par un correcteur à action proportionnelle et dérivée de la forme : C(p) = Kcor(1 + τ p)

Kcor= 1 τb = 4 τc = 0.8


Version 2007


Dans cet exemple on a choisi d’annuler les effets d’un pôle en choisissant la constante de temps du correcteur égale à l’un des deux pôles. On constate que le choix de prendre comme constante de temps celle qui est la plus grande pour le dénominateur permet de mieux stabiliser le système : marge de phase plus importante (courbe (b).

Courbe (a) Courbe (b) Courbe (c) Constante de temps du correcteur en s 0 4 0.8 Bande passante en rad/s 0.3 0.47 0.31 Marge de gain en dB 9.6 ∞ ∞ Marge de phase en ° 26 70 39

Sur la représentation de BLACK (page suivante), on constate que la courbe corrigée (b) (lorsque l’on annule le pôle présentant la plus grande constante de temps) permet d’obtenir un système suffisamment stable (marge de phase ≥ 45°). Elles permettent également une augmentation du gain Kcor ce qui peut permettre une amélioration la précision statique du système.


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Conclusions pour le correcteur à action proportionnelle et dérivée Le correcteur à action proportionnelle et dérivée permet :

• d’obtenir pour une précision statique identique un système plus stable par apport de phase ; • de rendre le système plus rapide par augmentation de la bande passante ; • d’améliorer la précision statique si l’augmentation du gain n’est pas préjudiciable à la stabilité du

processus. Le correcteur à action proportionnelle et dérivée présente les inconvénients suivants :

• il est irréalisable physiquement (le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur) ; • il amplifie les bruits de mesure dès qu’ils correspondent à des pulsations supérieures à sa pulsation de

cassure ; • il ne respecte pas le principe de causalité.

4.4.4) Le correcteur à avance de phase Description du correcteur Ce type de correcteur est une forme approchée du correcteur PD.

Il a pour objet d'augmenter localement la phase de la fonction de transfert du système. Il s'écrit sous la forme :

C(p) = Kcor 1 + a τ p1 + τ p avec a > 1

ATTENTION : il peut s’écrire également sous la forme C’(p) = Kcor 1 + τ p

1 + a' τ p avec a’ < 1

La fonction de transfert du correcteur devient en régime harmonique C(jω) = 1 + j a ω τ1 + j ω τ

• si ω τ << 1/a alors |C(jω)| ≈ 0 dB avec un déphasage de 0° • si ω τ >> 1 alors |C(jω)| ≈ 20 log10(a K) avec une asymptote horizontale et un déphasage de 0° • pour 1/a < ω τ < 1 alors |C(jω)| ≈ j a ω τ avec une asymptote de pente égale à 20 dB/décade et un

déphasage maximal ϕM. Le déphasage maximal est obtenu pour la pulsation ωM = 1

t a pulsation qui

correspond au point d'inflexion de la courbe de gain.


Version 2007

Cette valeur est obtenue à partir de la relation d[arg(H(jω))]

dω = 0, ce qui se traduit par :

ddω(arctan(a τ ω)) –

ddω(arctan(τ ω)) = 0

On obtient en effectuant ces deux dérivations : a τ

1 + (a τ ω)2 – τ

1 + (τ ω)2 = 0

Ce qui s’écrit, après simplification, sous la forme : τ (1–a) (a τ2 ω2 – 1) = 0 Comme le paramètre a > 1 cela implique que la solution cherchée est celle indiquée.

Pour cette pulsation ωM le déphasage est maximal. Il est obtenu par la relation : ϕM = arcsin(a – 1a + 1)

C'est un correcteur de type passe-haut qui provoque un déphasage de ϕM et donne un gain fini aux hautes fréquences. Les figures ci-dessous représentent le diagramme de BODE d’un correcteur par avance de phase avec :

Kcor = 1.5 τ = 0.5 a = 16

Remarque Pour le diagramme de phase, on utilise l’approximation suivante :

• Pour ω < 1/(10 a τ), le déphasage est nul ; • Pour 1/(10 a τ) < ω < 10/(a τ), le déphasage évolue suivante une droite de pente 45°/décade ; • Pour 1/(10 τ) < ω < 10/τ, le déphasage évolue suivante une droite de pente –45°/décade ; • Pour ω > 10/τ, le déphasage est nul.

Cette approximation permet de minimiser l’erreur commise entre la courbe réelle et le diagramme asymptotique.


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Exemple d’application On considère le processus décrit par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante :

H(p) = 0.5

p(1+p)(1+2p) courbe (a)

Le cahier des charges impose un temps de réponse tr ≤ 12s, une marge de phase minimale de 45° et un écart statique permanent ε0 = 0.

On corrige ce processus par un correcteur à avance de phase de la forme : C(p) = Kcor (1 + a τ p)(1 + τ p)

Sur la réponse indicielle, du processus non corrigé (voir graphe page suivante), on lit un temps de réponse égal à 24.6s, valeur trop importante pour le cahier des charges. Dans de nombreux cas on peut approcher, au voisinage de la bande passante, un système d’un ordre quelconque par un 2è ordre et utiliser les relations établies pour ces systèmes. Les résultats sont bien sûr approchés, mais ils permettent d’obtenir des valeurs initiales. Le cahier des charges impose une marge de phase de 45°, pour un 2è ordre cette marge correspond à un coefficient d’amortissement ξ voisin de 0.4. Cette valeur permet, connaissant le temps de réponse souhaité, de

déterminer la valeur de la pulsation propre par la relation : tr5% = – 0.05 Ln( 1 – ξ2)

ξ ω0

Dans le cas de l’exemple, cette relation impose un ω0 voisin de 0.65rad/s, en conséquence on choisit une bande passante de 0.8rad/s. Le déphasage pour une bande passante de 0.8rad/s est égal à –187°, il faut donc ajouter par le correcteur à

avance de phase ϕM = 52°. On en déduit la valeur du coefficient « a » par la relation a = 1 + sin ϕM1 – sin ϕM

≈ 8.45.

On place le maximum d’apport de phase au niveau de la bande passante d’où la valeur de la constante de temps

du correcteur : 1

τ a = ωBP ⇒ τ = 0.43


Version 2007


Les coefficients a et τ déterminés permettent d’obtenir la marge de phase souhaitée pour une bande passante de ωBP = 0.8rad/s, mais il faut ajuster par le coefficient Kcor la courbe de gain pour obtenir la marge de phase.

Courbe (a) Courbe (b) Constante de temps du correcteur en s 0 0.43 Coefficient a du correcteur 8.45 Gain du correcteur 1.33 Bande passante en rad/s 0.375 0.8 Marge de gain en dB 9.15 109 Marge de phase en ° instable 45 Coefficient d’amortissement ξ 0.287 0.456 Temps de réponse à 5% en s 24,6 8,1


Version 2007


Réponse indicielle

Conclusions pour le correcteur à avance de phase Le correcteur à action par avance de phase, qui a qu’une action locale, permet :

• d’obtenir un effet stabilisant (par apport de phase) ; • de rendre le système plus rapide par augmentation de la bande passante.

Réglage d’un correcteur par à avance de phase Pour régler la marge de phase d’un système par un correcteur à avance de phase. On peut suivre la démarche :

• déterminer la marge de phase correspondant à la bande passante ωBP souhaitée ; • l’apport de phase nécessaire pour avoir la marge de phase souhaitée ;

• le paramètre a du correcteur à partir de la relation ϕmax = arcsin (a – 1a + 1) ;

• le paramètre t du correcteur par la relation τ = 1

ωBP a ;

• le gain Kcor de manière à obtenir un gain de la boucle ouverte corrigée égal à 1 pour la pulsation ωBP.


Version 2007

4.4.5) Correcteur à action proportionnelle et intégrale Description du correcteur Le signal de commande est réalisé à partir de l'association d'un terme d'action proportionnelle et d'un terme d'action intégrale, on emploie pour ces correcteurs l'expression de correcteur PI.

La fonction de transfert de ce correcteur s'écrit sous la forme : C(p) = Kcor (1 + 1τ p ) = Kcor

(1 + τ p)τ p

La figure ci-dessus représente, dans le plan de BODE, la fonction de transfert C(p) d'un tel correcteur. Pour les paramètres suivants : Kcor = 1.5 τ = 0.5

La fonction de transfert du correcteur devient en régime harmonique : C(jω) = Kcor (1 + 1

j ω τ)

• si ωτ << 1 alors |C(jω)| ≈ j ω τ, avec une asymptote de pente égale à – 20 dB/décade et un déphasage de – 90°

• si ω τ >> 1 alors |C(jω)| ≈ 0 dB avec un déphasage de 0°. C'est un correcteur de type passe-bas qui provoque un déphasage de 90°. Pour les basses fréquences, ce correcteur augmente le gain et il diminue le déphasage du système. Pour les hautes fréquences, si l'action proportionnelle Kcor = 1, il n'a aucun effet sur le gain ni sur le déphasage.


• Pour ω < ωc/10, on a un retard de phase 90° ;

• Pour ω > 10 ωc, le déphasage est nul ;

• Pour ωc/10 < ω < 10 ωc, le déphasage évolue suivant une droite de pente +45°/décade. Cette approximation permet de minimiser l’erreur commise entre la courbe réelle et le diagramme asymptotique.


Version 2007



Exemple d’application

On considère le processus décrit par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : H(p) = 1

[ 1 + 5 p ]2

Le cahier des charges impose que la bande passante ωBP ≥ 0.4 rad/s, la marge de phase Mϕ ≥ 45° et l’erreur de position ε0 soit nulle.

On corrige ce processus par un correcteur à action proportionnelle et intégrale de la forme : C(p) = Kcor (1 + τ p)τ p .

Le correcteur comporte une intégration donc la troisième condition sera vérifiée. Pour une bande passante de 0.4 rad/s, on a un déphasage de -127°, le correcteur PI peut donc être placé de tel manière qu’il n’enlève que 8° sur la marge de phase. Si on note ωC0 la pulsation de cassure du correcteur, on peut écrire : –8 = – 90 + arctan(τC ωC0) ⇒ τC ωC0 = 7.1 Il nous suffit donc de placer la pulsation de cassure du correcteur PI à la valeur 0.4 rad/s, d’où la valeur de la constante de temps du correcteur τC ≈ 18s.

On ajuste ensuite le gain du correcteur pour obtenir la marge de phase de 45°. On lit sur le graphe KC ≈ 5. Courbe (a) FTBO initiale

Courbe (b) Kcor= 5 τb =18



Version 2007

Ces courbes montrent le correcteur à action proportionnelle et intégrale influe suivant la valeur de la constante de temps sur la stabilité par la diminution de la marge de phase.

Courbe (a) Courbe (b) Constante de temps du correcteur en s 0 18 Gain du Kcor 0 5 Bande passante en rad/s 0.14 à –3dB 0.8 à 0 dB Marge de gain en dB ∞ ∞ Marge de phase en ° 45


Réponse indicielle


Version 2007

Conclusions pour le correcteur à action proportionnelle et intégrale Le correcteur à action proportionnelle et intégrale :

• permet d’améliorer la précision statique par augmentation de la classe du système ; • diminue la stabilité par perte de phase ; • généralement ralentit le système par diminution de la bande passante.

Réglage d’un correcteur PI • pour minimiser la perte de phase et pour assurer une bande passante ωBP imposée par un cahier des

charges, on choisit, pour tenir compte de la diminution de la bande passante due au correcteur PI, une pulsation ωc légèrement supérieure à ωBP ;

• pour ne pas diminuer trop fortement la marge de phase, on place la pulsation de cassure du correcteur en avant de la pulsation ωc ;

• il suffit ensuite de modifier le gain Kcor pour ajuster exactement la bande passante sans avoir une diminution trop importante de la marge de phase.

4.4.6) Correcteur à retard de phase Description du correcteur Ce type de correcteur est une forme approchée du correcteur PI.

La fonction de transfert de ce correcteur s'écrit sous la forme : C(p) = Kcor 1 + τ p

1 + b τ p

ATTENTION : il s’écrit aussi sous la forme C’(p) = Kcor 1 + b' τ p1 + τ p avec b’ < 1

La figure ci-dessus représente, dans le plan de BODE, la fonction de transfert C(p) d'un tel correcteur. Pour les paramètres suivants : Kcor = 1.5 τ = 0.5 b = 16

En régime harmonique, cette fonction de transfert s’écrit sous la forme : C(jω) = Kcor 1 + j ω τ

1 + j b ω τ

• Si ω τ << 1/b alors |C(jω)| ≈ 0 dB avec un déphasage de 0°

• Si ω τ >> 1 alors |C(jω)| ≈ 20 log10 b, avec une asymptote horizontale et un déphasage de 0° • Pour 1/b < ω τ < 1

Alors |C(jω)| ≈ j b ω τ avec une asymptote de pente égale à – 20 dB/décade et un déphasage maximal ϕM obtenu pour la pulsation ωM correspondant au point d'inflexion de la courbe de gain.Ce correcteur à une action locale, en effet la courbe ci-dessus montre l’existence d’une phase toujours négative, ce qui est généralement peu

souhaitable, mais cela intervient dans une bande de fréquence approximativement égale à [ 1τ b ,

1τ]. On montre,

de la même façon que pour le correcteur à avance de phase, que le déphasage maximal est obtenu pour la

pulsation ωM = 1

τ b et a pour valeur ϕM = – arcsin( b – 1b + 1)


Version 2007


• Pour ω < 1/(10 b τ), le déphasage est nul ; • Pour 1/(10 b τ) < ω < 10/(b τ), le déphasage évolue suivante une droite de pente –45°/décade ; • Pour 1/(10 τ) < ω < 10/τ, le déphasage évolue suivante une droite de pente 45°/décade ; • Pour ω > 10/τ, le déphasage est nul.

Cette approximation permet de minimiser l’erreur commise entre la courbe réelle et le diagramme asymptotique.




On considère un processus représenté par la fonction de transfert : H(p) = 0.3

p (1 + p) (1 + 0.2 p).

On veut régler ce système par un correcteur à retard de phase de manière à assurer une marge de phase Mϕ > 60° et que l’écart permanent d’ordre 1 (écart en vitesse) ε1 ≤ 0.25 pour une entrée en rampe de pente V0.


Version 2007

Représentation de BODE

Sur la courbe (a) on lit une marge de phase Mϕ ≈ 70°, une marge de gain de 26 dB et une bande passante ωc = 0.285 rad/s.

L’écart permanent d’ordre 1 est obtenu par la relation e1 = 1

KBO. Pour obtenir cet écart permanent en jouant sur la

gain statique de la fonction de transfert en boucle ouverte il faudrait que celui-ci soit supérieur ou égal à 4, mais dans ce cas on serait amené à réduire de manière trop important la marge de phase Mϕ. Il faut donc augmenter le gain statique de la fonction de transfert, pour les basses fréquences uniquement, et garder le même gain statique pour les pulsations voisine de ωc.

On utilise un correcteur à retard de phase, de fonction transfert C(p) = b 1 + τc p

1 + b τc p, on détermine ses coefficients

de la manière suivante :

• l’erreur statique est donnée dans ce cas par la relation 1

KBO < 0.25 ;

• la marge de phase obtenue précédemment reste supérieure à 65° ; • la bande passante soit conservée à la valeur actuelle.

Sur le diagramme de BODE du correcteur à retard de phase, on constate : pour une pulsation égale à 10 fois la pulsation correspondant au maximum de déphasage, la diminution de phase est voisine de 5°. En conséquence il suffit de placer ce maximum une décade avant la pulsation de coupure que l’on souhaite conserver.

Le coefficient b est donc égal à : b = 4

0.3 = 13.33

La constante de temps du correcteur doit vérifier : 1τc

= ωc10 ⇒ τc = 35.1 s

La fonction de transfert du correcteur s’écrit sous la forme : C(p) = 13.33 1 + 35.1 p1 + 468 p

La courbe corrigée est représentée par la courbe (b) sur le diagramme de BODE précédent.


Version 2007


Courbe (a) Courbe (b) Constante de temps du correcteur en s 0 35.1 Gain du Kcor 0 13.33 Bande passante en rad/s 0.287 0.287 Marge de gain en dB 25.8 25.8 Marge de phase en ° 70 66

4.4.7) Correcteur à actions combinées : retard/avance ou avance/retard de phase Dans certaines applications, on peut avoir besoin d’augmenter localement le gain aux basses fréquences pour améliorer la précision tout en apportant de la phase au voisinage de la pulsation de coupure. Pour obtenir ce type de comportement, on fait se succéder un correcteur à retard de phase placé en basse fréquence et un correcteur à avance de phase centré sur la pulsation de coupure. L’exemple de synthèse proposé en fin de chapitre reviendra sur ce type de correction.

4.4.8) Correcteur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée (P I D) Ce correcteur combine les trois actions vues précédemment, il permet de bénéficier des avantages du correcteur PI qui permet d’avoir une erreur statique nulle, de ceux du correcteur PD qui permet de ne pas diminuer la bande passante du système en boucle ouverte et donc de conserver un temps de réponse correct en boucle fermée.

Description du correcteur

La fonction de transfert de ce correcteur s'écrit sous la forme : C(p) = Kcor (1 + 1τ1 p + τ2 p)

Les figures ci-dessus représentent, dans le plan de BODE, la fonction de transfert C(p) d'un tel correcteur. Pour les paramètres suivants : Kcor = 1.5 τ1 = 20 τ2 = 0.04

En régime harmonique, cette fonction de transfert s’écrit sous la forme : C(jω) = Kcor (1 + 1

j τ1 ω + j τ2 ω)

• si ω << 1/τ1 alors |C(jω)| ≈ j ω τ1 avec une asymptote de pente égale à –20 dB/décade et un déphasage de –90°

• si 1/τ2 < ω < 1/τ1 alors |C(jω)| ≈ 20 log10 K avec une asymptote horizontale et un déphasage de 0°


Version 2007

• si ω >>1/τ2 alors |C(jω)| ≈ j ω τ2 avec une asymptote de pente égale à +20 dB/décade et un déphasage de + 90°.La fonction de transfert du correcteur peut également s’écrire sous la forme :

C(p) = Kcorτ1 p (1 + τ1 p + τ1 τ2 p

2) ou C(jω) = Kcor

j τ1 ω (1 + j τ1 ω – τ1 τ2 ω2)

Mais encore sous la forme : C(p) = K0p (1 + T1 p)(1+ T2 p)

avec T1 = τ12 (1 + 1 –

4 τ2τ1

T2 = τ12 (1 – 1 –

4 τ2τ1

si τ1 ≥ 4 τ2

Remarquons que :

•

lim C(jω) ≈ Kcor

j τ1 ωω→0

on retrouve pour les basses fréquences un comportement de correcteur PI ;

• lim C(jω) ≈ j Kcor τ2 ωω→∞ on retrouve pour les hautes fréquences un comportement de correcteur PD.


Version 2007




On reprend l’exemple proposé pour la correction proportionnel intégrale : H(p) = 1

[ 1 + 5 p ]2.

On impose le cahier des charges suivant : ωBP ≥ 0.8 rad/s Mϕ ≥ 45° ε0 = 0

Utilisons un correcteur PID écrit sous la forme : C(p) = K0p (1 + T1 p)(1+ T2 p)

Si l’on décide de régler la bande passante à 0.8 rad/s, on doit assurer une marge de phase Mϕ ≥ 45°, ce réglage est assuré par le terme (1 + T2) puisque 1/T2 > 1/T1. Pour une bande passante de 0.8 rad/s la phase de la FTBO est égale –152°

Il faut donc récupérer 22° par l’élément (1 + T2 p), pour avoir une marge de 45° minimum.

On fait passer la courbe de phase par le point {0.8,–135°}. On obtient donc arctan(T2 ω) = 22 ⇒ T2 = 0.5s. Pour que l’effet de la partie intégrale ne vienne pas contrecarrer l’effet obtenu par le correcteur à action dérivée, on place la constante de temps de la partie PI à au moins une décade en avant de la pulsation pour laquelle on souhaite obtenir la marge de phase Mϕ ≥ 45° (voir correcteur PI).

Prenons pour 1/T1 la valeur 0.05 rad/s c’est-à-dire T1 = 20s. Le tracé de la courbe de gain montre que pour la pulsation de 0.8 rad/s, cette courbe passe par le point {0.8, 2 dB}, il suffit donc de déplacer cette courbe de gain de –2dB c’est-à-dire de poser Kcor ≈ 0.79 pour respecter le cahier des charges.

Représentation de BODE


Version 2007


Réponse indicielle


Version 2007

4.4.9) Conclusions pour les correcteurs placés en série Remarques générales

• les méthodes proposées dans cette partie ont pour but de permettre de trouver une correction adaptée à un problème donné. Il n’existe pas un correcteur unique répondant à un problème donné, mais une infinité de solutions. C’est après avoir essayé plusieurs correcteurs, et compte tenu de critères tels que : coût, simplicité technologique, robustesse, … que le choix pourra être arrêté ;

• il est important de noter que la correction ne permet pas d’augmenter à l’infini la précision et la rapidité d’un système. En effet lorsqu’un système sature, les performances, définies avec l’hypothèse de linéarité, ne sont pas atteintes. Indépendamment de la linéarité, il n’est pas intéressant d’avoir une bande passante trop importante pour éviter d’amplifier les bruits ;

• un système physique présente toujours une erreur statique due à la technologie. Il peut être intéressant, dans certains cas de limiter l’erreur due au système asservi (indépendamment de toute réalisation) à une valeur proche de l’erreur technologique par simple augmentation du gain de la boucle ouverte, à condition bien entendu de ne pas déstabiliser le système.

Comment choisir un correcteur • il n’existe pas de règle stricte permettant de choisir un correcteur. On peut cependant indiquer quelques

considérations générales qui sont issues des propriétés des correcteurs courants : • la correction série : la plus utilisée des méthodes de synthèse des systèmes asservis ; • le correcteur PI est le plus utilisé :

– à cause de sa très bonne précision statique, le terme intégral assurant un écart statique nul, – si ses paramètres sont bien ajustés, la bonne stabilité qu’il confère à une rapidité satisfaisante ;

• le correcteur PID dans le cas où il faut une bonne stabilité associé à une grande rapidité ; • un correcteur PD lorsque le procédé contient déjà une ou plusieurs intégrations, mais surtout pas si la

fonction de transfert en boucle ouverte contient un retard pur du même ordre de grandeur que les constantes de temps (le déphasage ne peut plus être compensé par l’avance de phase du correcteur, on préfèrera alors un correcteur PI à un correcteur PID) ;

• dans les cas plus compliqués, lorsque que l’on arrive pas obtenir le résultat souhaité avec un seul correcteur (par exemple le déphasage souhaité) on peut connecter deux correcteurs l’un derrière l’autre.

Comment choisir les paramètres d’un correcteur • Pour la constante de temps τC d’un correcteur PI ou PID : on prend τC égal à la plus grande des constantes

de temps du processus en boucle ouverte si l’une d’entre elles domine. Sinon on peut prendre τc = ∑i=1

i=n τi ;

• Le correcteur PID défini précédemment n’est pas non plus réalisable, on le remplace souvent par un

correcteur de la forme : C(p) = KC (1 + τc1 p)(1 + τc2 p)

p (1 + τd p) . Pour les constantes τc1 et τc2 du correcteur PID, on

peut les prendre égales aux deux plus grandes constantes de temps du processus en boucle ouverte, tandis que pour la constante τd, on le détermine par méthode de réglage définie dans le chapitre concerné ;

• Le gain Kc est obtenu en utilisant la marge de phase

4.5) Correcteur placé en parallèle ou en cascade

4.5.1) Principe général Ce type de correction, appelé également correction par retour de sortie, est représenté sur la figure 1 ci-dessous.

E(p)

C1(p)R(p)

S(p)G(p)

+

– –

+!(p) V(p)

MN43–71a

E(p)

C1(p)R(p)

S(p)G1(p)

+

– –

+!(p)G2(p)

V(p) X(p)

MN43–71b

figure 1 figure 2


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Le correcteur C1(p) est placé dans une boucle secondaire appelée également boucle interne. Il est placé en « parallèle » par rapport au processus à corriger G(p) qui lui figure dans la chaîne directe. Il existe une variante à ce placement de correcteur, celle définie sur la figure 2. Le correcteur prend en entrée non pas le signal de sortie S(p) mais un signal intermédiaire X(p). Cette solution est souvent utilisée lorsque G(p) possède un intégrateur, on isole celui-ci dans G2(p). De ce fait G1(p) ne possède plus de correction intégrale. L’exemple classique que l’on peut citer est l’asservissement en position de l’arbre moteur d’une machine à courant continu.

Remarque

• en calculant le rapport S(p)R(p), on montre que le correcteur C1(p) placé de cette manière aura une influence

sur la stabilité et les performances du système car il intervient au dénominateur de la FTBO ;

• en calculant le rapport ε(p)R(p), on montre que le correcteur C1(p) placé de cette manière ne permet pas

d’améliorer la précision ou de réduire l’erreur statique. Par contre comme il y a bouclage il y aura toujours rejet des perturbations.

4.5.2) Correction en cascade Pour pallier l’impossibilité d’amélioration de l’erreur statique, on peut associer à la correction parallèle une correction en série, figure 3 ci-dessous.

E(p)

C1(p)

C2(p)

H(p)

R(p)

S(p)G1(p)

+

– –

+

MN43–71c

!(p)G2(p)

V(p) X(p)

Le correcteur comprend deux parties :

• le correcteur C2(p) placé dans la chaîne directe de la boucle principale ;

• le correcteur C1(p) placé en parallèle dans la boucle secondaire. Cette solution qui comporte deux degrés de liberté permet de bénéficier des avantages des propriétés des structures précédentes.

4.5.3) Correction tachymétrique Un exemple de ce type de correction est donné ci-dessous. C’est celui de l’asservissement en position de l’arbre de sortie d’un moto-réducteur destiné à placer de manière précise une charge donnée.

E(p)

!

A

R(p)

S(p)G1(p)

+

– –

+

MN43–71d

"(p) U(p) #(p) 1

p

On suppose que le moteur peut être assimilé à la fonction de transfert G1(p) = K�

1 + τm p


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4.6) Réalisations des correcteurs

4.6.1) Réalisation analogique (par amplificateur opérationnel) Le tableau ci-joint montre des possibilités de réalisation des principaux types de correcteurs mentionnés précédemment, à l’aide d’amplificateurs opérationnels (filtres actifs). Les divers correcteurs se présentent sous la forme ci-dessous :

–

+

Z2

Z1

A

V1

V2

Pour ce montage, la fonction de transfert s’écrit :

V2(p)V1(p) = –

Z2(p)Z1(p) si A β >> 1 avec β =

Z1(p)Z1(p) + Z2(p)

4.6.2) Réalisation numérique Dans les procédés industriels, la tendance actuelle est d’utiliser des méthodes numériques pour réaliser les correcteurs. Le correcteur n’est plus dans ce cas un appareil à part, mais se présente sous la forme d’un algorithme, c’est-à-dire d’un programme de calcul mémorisé dans l’ordinateur. On parle alors de correcteurs numériques. La grandeur asservie y(t) à variation continue ou la grandeur délivrée en sortie du capteur est alors échantillonnée à une période T donnée, et ce sont les échantillons yk = y(k T) qui sont comparés à la consigne et asservis par le correcteur numérique. L’analyse et la synthèse des échantillonnés ainsi que leurs correcteurs numériques sortent du cadre d’un cours de CPGE.


Version 2007

Rela

tions

im

porta

ntes

Réal

isatio

n du

corre

cteu

r

– +

R1

R2

C1

– +

R1

C1

R2

C2

– +

R2

C2

R1

Dia

gram

me d

e BO

DE

(pou

r le

gain

)

1/!c

|C(j"

)|

"

20 L

og

Kc

10

1/(a !

c)

|C(j"

)|

"1/!c

20 L

og

(a K

c )

10

20 L

og

Kc

10

1/!c

|C(j"

)|

"

20 L

og

Kc

10

Fonc

tion

de tr

ansf

ert

av

ec a

> 1

Nom

du

corre

cteu

r

P.D

. idé

al

P.D

. rée

l (o

u av

ance

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phas

e)

P.I.

idéa

l


Version 2007

Rela

tions

im

porta

ntes

Réal

isatio

n du

corre

cteu

r

– +

R2

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C1

– +

R1

C1

R2

C2

– +

R1

C1

R2

C2

R3

Dia

gram

me d

e BO

DE

(pou

r le

gain

)

1/(b !

c)

|C(j"

)|

"1/!c

20 L

og

(Kc/

b )

10

20 L

og

Kc

10

1/!c

1

|C(j"

)|

"1/!c

2

20 L

og

(Kc !

c2)/!c

110

20 L

og

Kc

10

1/!c

1

|C(j"

)|

"1/!c

2

20 L

og

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10

1/!d

20 L

og

(Kc !

c2)/!c

110

Fonc

tion

de tr

ansf

ert

av

ec b

> 1

av

ec τ

C2 ≤

τc1

av

ec τ

d <

τC2

≤ τ

c1

Nom

du

corre

cteu

r

P.I.

réel

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u à r

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ph

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P.I.D

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al

P.I.D

. rée

l


Version 2007

4.7) Exemple de correction d'un système asservi

4.7.1) Principe de la méthode Critères d'un "bon" asservissement Les problèmes d'automatique sont très divers et il est rare que deux applications industrielles soient identiques. Toutefois malgré la grande diversité des problèmes, on peut considérer comme valables les critères ci-dessous :

La stabilité Un bon système asservi doit être non seulement stable, mais encore être suffisamment stable c'est-à-dire :

• qu'il doit posséder des marges de stabilité suffisantes pour ne pas risquer une déstabilisation : – par une augmentation intempestive du gain de la boucle (marge de gain), en pratique on utilise une

valeur voisine de 12 dB, – par des retards parasites générateurs de déphasage (marge de phase), en pratique on utilise une valeur

voisine de 45°; • qu'après une perturbation il doit revenir à l'équilibre par une phase transitoire suffisamment amortie ;

La précision Dans un bon système asservi, l'erreur en régime permanent doit être aussi faible que possible (bonne précision statique). Dans la plupart des cas, on souhaite obtenir une erreur statique (entrée en échelon nulle) et une erreur de traînage (entrée en rampe) faible.

La rapidité La phase transitoire par laquelle le système revient à sa position d'équilibre après une perturbation doit être aussi rapide que possible.

Conséquences sur la fonction de transfert en boucle ouverte Dans le cas d'un asservissement à retour unitaire, les critères précédents se traduisent par des conditions sur la fonction de transfert en boucle ouverte K G(p) ; à laquelle la fonction de transfert du système est liée par la

relation H(p) = K G(p)

1 + K G(p).

La fonction de transfert en boucle ouverte K G(p) est souvent représentée par son lieu dans un abaque de BLACK. Une bonne stabilité est assurée, pour la quasi totalité des systèmes asservis, lorsque le facteur de résonance du système est de l'ordre de 1,3 (c'est-à-dire 2,3 dB). Le facteur de résonance est donné par le rapport de l'amplitude maximale du gain de sortie sur l'amplitude du gain pour la pulsation ω→0. La pulsation correspondant au maximum de |H(jω)| est appelée pulsation de résonance et notée ωR. On écrit :

Q = max(|H(jω)|)

H(0) .

La valeur de Q = 1,3 (2,3 dB) correspond pour un système du second ordre à un coefficient d'amortissement ξ = 0.425 (≈ 43% de l'amortissement critique) et à un régime transitoire pour lequel seuls deux dépassements sont visibles. Le choix de cette valeur résulte de la nécessité de réaliser un compromis entre la stabilité et la précision : la précision statique est d'autant meilleure que le gain en boucle en boucle ouverte est important mais alors la stabilité devient insuffisante et les transitoires sont insuffisamment amortis. Le gain K en boucle ouverte correspond à un lieu tangent à l'isomodule 2,3 dB sur l'abaque de BLACK est souvent noté K1,3.

Le gain K1,3 mesure la précision du système. Lorsque la fonction de transfert G(p) possède une intégration l'erreur statique est nulle et l'erreur de traînage pour une entrée en rampe de coefficient directeur a est égale à

aK1,3

.

La pulsation de résonance, lue sur les graduations de la courbe représentative de K1,3 G(p), est une bonne indication de la rapidité du système.


Version 2007

Méthode pratique en utilisant le diagramme de Black Dans la pratique, on utilise la procédure suivante :

• On trace la représentation du lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte G0(jω) du système non compensé, c'est-à-dire que dans cette première phase on considère que les correcteurs éventuels sont égaux à l'unité.

• On peut ensuite déterminer la valeur K1,3 du gain de la boucle ouverte qui assure la tangence avec la courbe isomodule 2,3 dB.

• Ensuite, on fait varier les paramètres définissant les correcteurs et on trace le lieu représentatif de G(jω) en déterminant pour chaque cas la valeur du gain K correspondant à un facteur de résonance égal à 2,3 dB.

• Les "bons paramètres" sont ceux qui donnent les valeurs maximales pour le gain K1,3 et la pulsation de résonance ωR.

• Il est bien évident que l'on ne peut pas procéder à l'aveuglette pour choisir les divers paramètres. Dans la pratique :

• on commence par assurer une stabilité suffisante par un correcteur à avance de phase ; • on améliore ensuite les performances en régime permanent par un correcteur à action intégrale.

4.7.2) Exemple d'application (utilisation du diagramme de Bode)

S(p)

43–62a

+

–

G(p)E(p) !(p)

R(p)

On considère un système asservi à retour unitaire représenté ci-contre. La fonction de transfert en boucle ouverte G(p) s'écrit :

G(p) = K G0(p) = K

p (1 + p) (1 + p/3)

Cette forme de fonction de transfert est couramment rencontrée dans la pratique. Elle correspond à un asservissement élémentaire à action proportionnelle (couple de correction proportionnel à l'écart) dont la charge est caractérisée par une inertie et un frottement visqueux. On a représenté par la courbe (a), sur un diagramme de BODE (voir page suivante), le lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte G0(p) (pour un gain K0 = 1).

Correction par un gain pur Dans une deuxième phase, on détermine par translation verticale de la courbe (a) le gain K qui assure une marge de phase de 45°. On a trouvé une valeur de – 2.09 dB c'est-à-dire que le gain KO est égal à 0.786.

Le lieu de K0 G0(p) pour cette valeur du gain est représenté par la courbe (b). Sur le diagramme de phase, on lit pour la courbe (b), une marge de phase Mϕ = 45° et sur le diagramme du gain une marge de gain MG = 14.1 dB.

Diagramme de BODE


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Diagramme de Black

Le système qui admet cette fonction de transfert en boucle ouverte présente les performances suivantes :

• en régime permanent (précision) – aucune erreur statique, car G(p) est de classe 1 (une intégration dans la boucle ouverte),

– l'erreur en traînée e1(t) définie, pour un système de classe 1 et une entrée en rampe de pente unitaire,

par la relation 1

KBO est égale à 1.272 ;

• une bande passante en boucle ouverte ωBP = 0.636rad/s ; • en boucle fermée on détermine, graphiquement sur le diagramme de BLACK ci-dessus ou par calculs :

– la pulsation de résonance ωR = 0.65 rad/s ; – le maximum du gain correspondant 2.3 dB.

Remarque Il est toujours possible d'avoir une idée du comportement du régime transitoire en considérant le système du second ordre qui admettrait le même facteur de résonance et la même pulsation de résonance ωR.


Version 2007

Pour un second ordre, le facteur de résonance est défini par la relation : m = 1

2 ξ 1 – ξ2, où ξ est le coefficient

d'amortissement.

Pour un facteur de résonance M = 2,3 dB (m ≈ 1,3) le coefficient d'amortissement ξ = 0.42.

On en déduit la pulsation propre du système non amorti par la relation : ωn = ωR

1 – 2 ξ2 = 0.81 rad/s

Réponse indicielle

Le graphe ci-dessous représentant le produit (tR ωn), en fonction de l'amortissement ξ, donne pour un amortissement ξ = 0.42 pour le produit tR ωn la valeur 6.93. On en déduit le temps de réponse du système équivalent tR = 9.2 s

0.6

901

0.4

304

0.3

029

0.2

319

4.7444.341

5.224

7.974

10.875

t !

n

Amortissement "

2.859

0.1

873

13.853

6.961

9.889

12.918

r

" =

0.4

2

t ! = 6.93nr

Traçons pour ce cas particulier les deux courbes

• la courbe (a) représentant le système du 3ème ordre initial ; • la courbe (b) représentant le modèle du second ordre admettant même facteur et même pulsation de

résonance que le modèle du 3ème ordre.


Version 2007

La détermination du temps de réponse dans les deux cas donne :

• courbe (a) : tR = 9.69 s (modèle du 3ème ordre) ;

• courbe (b) : tR = 9.75 s (modèle approché du 2ème ordre). On constate que les deux temps de réponses déterminés analytiquement sont du même ordre de grandeur et proches de la valeur obtenue par une résolution graphique.

Remarque Si l'on veut améliorer la précision en imposant par exemple une erreur de traînage voisine de 5%, on est conduit à choisir un gain KBO supérieur à 25 il faudrait donc multiplier le gain de la fonction de transfert en boucle ouverte par un coefficient supérieur à 32. Une telle opération réduirait de manière trop importants les marges de stabilité Afin d'améliorer les performances du système, on place dans la chaîne directe un ou plusieurs correcteurs comme l'indique le schéma ci-dessous.

S(p)

43

–6

2b

+

–

G(p)E(p) !(p)

R(p)

Réseaux de

correcteursX(p)

Nous allons regarder successivement l'influence d'un correcteur à avance de phase puis son association avec un correcteur à retard de phase

Correction par un correcteur à avance de phase On place dans la chaîne directe un correcteur dont la fonction de transfert s'écrit :

C1(p) = Kcor1 1 + a τ1 p1 + τ1 p avec a > 1

La fonction transfert en boucle ouverte pour le nouveau système s'écrit :

H(p) = K0 Kcor1

p (1 + p) (1 + 0.40 p) (1 + a τ p)(1 + τ p) avec K0 = 0.786 valeur précédemment déterminée

On se fixe comme cahier des charges d’avoir : • une marge de phase 45° ;

• une bande passante en boucle ouverte ωBP = 2 rad/s ; • un écart de traînée inférieur à 5%.

On détermine tout d’abord le coefficient « a » du correcteur à avance de phase par la relation sin(ϕmax) = a – 1a + 1,

de telle manière à placer ce maximum sur la pulsation correspondant à la bande passante.


Version 2007

Dans l’exemple proposé le déphasage de la fonction de transfert pour ω = 2 rad/s est égal à –187°. On choisit, compte tenu du déphasage obligatoirement apporté par le correcteur à retard de phase, de faire passer la courbe de phase par le point {2 ras/s, –132°} c’est à dire un apport de phase de 55° par le correcteur. On obtient pour le coefficient a une valeur très proche de 10. Le maximum de l’avance de phase est obtenu pour

ω = 1

τ a, on obtient τ = 0.16s.

Ensuite, il suffit de déterminer le gain Kcor du correcteur pour que la courbe de gain (dans BODE) du système passe par le point {ω = 2 rad/s, 0dB}. On obtient pour l’exemple proposé Kcor1 = 2.15. La courbe (b) ci-dessous représente la fonction de transfert en boucle ouverte corrigée par le correcteur à avance

de phase C1(p) = 2.15 1 + 1.6 p

1 + 0.16 p,

Remarque Ce correcteur est d'autant plus efficace que le coefficient « a » est grand, on pourrait être tenté de prendre pour celui-ci des valeurs très importantes. Mais cette forme de correction a pour effet d'augmenter :

• les "bruits" qui affectent le signal d'erreur ε(t) ; • sensiblement la fréquence de résonance du système donc la rapidité du système ;

Conclusions La mise en cascade d'un correcteur à avance de phase permet de :

• d'obtenir une marge de gain Mg de 12.1 dB et une marge de phase Mϕ de 45°; • de multiplier le gain de la fonction de transfert en boucle ouverte par le coefficient 2.15. La précision, pour

une entrée en rampe unitaire, est encore égale à 59% pour le système corrigé ; • de diminuer le temps de réponse dans un coefficient proche de 3, comme le montre l’étude indicielle, en

boucle fermée, ci-dessous.


Version 2007

Correction par la combinaison de correcteurs L’écart en régime permanent pour une entrée en rampe est encore trop important par rapport au cahier des charges. Pour vérifier le cahier des charges, il faut que l’on augment le gain statique de la boucle ouverte pour les basses fréquences sans toucher aux hautes fréquences. On envisage donc de placer dans la boucle ouverte

précédente un correcteur à retard de phase de fonction de transfert : C2(p) = Kcor2 1 + τ2 p

1 + b τ2 p avec b > 1.

On obtient alors le schéma bloc ci-dessous.

+

–

E(p) !(p)

R(p)

S(p)

43

–6

2c

G(p)1

1

1 + a " p

1 + " p

2

2

1 + " p

1 + b " p

La fonction transfert en boucle ouverte d'un tel système s'écrira donc sous la forme :

H(p) = K0 Kcor1 Kcor2

p (1 + p) (1 + p/3) 1 + a τ1 p1 + τ1 p

1 + τ2 p1 + b τ2 p avec K0 = 0.786 et Kcor1 = 2.15

Dans la pratique on choisit pour le coefficient « b » la valeur par laquelle on veut diviser l’erreur de traînage, dans le cas présent cette valeur est égale à 12. La détermination de la position du maximum de retard de phase est obtenue à partir de la connaissance du retard de phase à une position x du maximum. Dans le cas présent pour que ce déphasage supplémentaire soit inférieur à 4°, on doit avoir un rapport de 100 entre la pulsation correspondant à la bande passante et celle du maximum de déphasage, c’est-à-dire à deux décades en amont. On en déduit que τ2 = 14.4s.

C2(p) =Kcor2 1 + 14.4 p1 + 172.8 p

Les coefficients b et τ2 il suffit de déterminer le gain statique Kcor2 de telle manière que la courbe de gain passe par le point {2rad/s, 0dB}, on trouve Kcor2 = 11.94 Le résultat final de cette étude est représenté par les diagrammes de BODE (gain et phase) ci-dessous. La courbe (a) est le processus initial, la courbe (b) le processus corrigée par l’avance de phase et la courbe (c) le processus corrigé par le réseau de correcteur.


Version 2007

Les performances du système corrigé, par ces deux correcteurs placés en cascade, sont donc :

• une marge de gain Mg égale à 11.9 dB ; • une marge de phase Mϕ égale à 45° ; • l'erreur de traînée pour une entrée en rampe unitaire est égale à 0.049 ;

• la pulsation de résonance ωR est égale à 2.2rad/s, et un temps de réponse tR voisin de 0.93s. On peut noter ces caractéristiques également sur le diagramme de Black et la réponse indicielle ci-dessous.


Version 2007

Réponse indicielle

Remarques

• Il est évident que les choix des constantes de temps τ1 et τ2 ou des coefficients a et b effectués correspondent à une première étape du problème relatif à la correction d'un système asservi. Ces choix méritent d'être affinés pour espérer tendre vers une solution meilleur, car il n’existe pas une solution à un problème donné mais certainement une infinité de solutions.

• Les critères de réalisations technologiques, de coût, etc…, seront également à prendre en compte avant de figer une solution.

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SYSTÈMES ASSERVIS CORRECTION