SYSTEMES DE NUMERATIONET CODES

-Bien que le système de numération binaire soit leplus important de ceux utilisés dans les circuitsnumériques, il ne faut pour autant pas négliger l’importance des autres systèmes ( décimal, octal,hexadécimal).-Dans un système numérique, il peut arriver quetrois ou quatre de ces systèmes de numérationcohabitent, d’où l'importance de pouvoir convertirun système dans l’autre.

-Par exemple, lorsque nous composons unnombre décimal sur notre calculatrice ( ou sur leclavier de notre ordinateur), les circuits internesconvertissent ce nombre décimal en valeurbinaire.-De même, notre calculatrice ( ou notreordinateur) calcule la réponse à un problème aumoyen du système binaire, puis convertit cesréponses en des valeurs décimales avant de lesafficher.

-Voyons donc comment s’effectuent cesconversions, avant de découvrir d’autres codesbinaires utilisés pour représenter divers genresd’informations.

1. Conversion binaire –décimalTout nombre binaire peut être transformé en sonéquivalent décimal en additionnant les poids desdiverses positions ou se trouve une valeur 1.

Exemples:

1 1 0 1 1 Binaire

24 23 22 21 20 = 16+8+0+2+1= (27)10

110112 = 2710

1 0 1 1 0 1 0 1

27 0 25 24 0 22 0 20

101101012

=128+32+16+4+1=18110

2- Conversion décimal –binaireUne méthode convenant bien aux petits nombresconsiste à exprimer le nombre décimal commeune somme de puissance de 2, puis à inscrire des1 et des 0 vis –à –vis des positions binaireappropriées.Exemples:4510 = 32 + 8 + 4 + 1 = 25+0 + 23 + 22 + 0 + 20

= 1 0 1 1 0 12

2510 = 16 + 8 + 1 = 24 + 23 +0 + 0 + 20

= 1 1 0 0 12

Pour les grands nombres décimaux, la méthodeconsiste à repérer la division par 2 du nombredécimal et à reporter les restes pour chaquedivision jusqu’à ce que le quotients soit 0. Lenombre binaire résultant s’obtient en écrivant lepremier reste à la position du bit de poids le plusfaible et le dernier reste à la position du bit depoids le plus fort.

2

2

2

22

2

2

7610

38

199

4

2

1

0

16

18

11

0

0

1

0

0

premierreste

dernier reste

d’où 7610 = 10011002

EFFECTUER LES CONVERSIONS SUIVANTES

7610 = (…………)2

228,37510 = (…………)2

22

2

22

22

2

228

14457

2814

73

1

0

00

1

00

1

11

0, 375x2=0,7500, 750x2=1,5000, 500x2=1,0000, 000x2=0,000

228,37510 =(11100100,011)2

3 chiffres aprèsLa virgule

2

2

2

22

2

4510

22

115

2

1

0

05

11

0

1

1

0

premierreste

dernier reste

d’où 4510 = 1011012

3-Système de numération octalC’est le système de numération à base 8, utilisedans l’ordinateur numérique.a. Conversion octal- décimal:L’équivalent décimal d’un nombre octal estobtenu en multipliant chaque chiffre octal parson poids positionnel et en faisant la somme.Exemples:3728 = 3x(82) + 7x(81) + 2x(80)

= 3x64+7x8+2x1 = 25010

24,68 = 2x(81) + 4x(80) + 6x(8-1)= 20,7510

8

8

8

26610

33

404

2

1

d’où 26610 = 4128

b. Conversion décimal –octal:On utilise la méthode de la répétition de la division, cette fois,par 8

c. Conversion octal –binaire:Elle s’effectue en transformant chaque chiffre dunombre octal en son équivalent binaire de troischiffres. Résumons dans le tableau ci-dessous leshuits symboles octaux exprimes en binaire:

Chiffre octal 0 1 2 3 4 5 6 7

Equivalentbinaire

000 001 010 011 100 101 110 111

Exemples:4728 = 1001110102

54318 = 1011000110012

d. Conversion binaire –octal:On effectue la démarche inverse du casprécédent. On effectue des groupes de trois bitsdu nombre binaire en partant du chiffre de poidsle plus faible, puis on converti ces triplets enleur équivalent octal.Exemples :

1001110102 binaire= 4 7 28 octal

•Exemples :• 110101102 = 011 010 1102 binaire• = 3 2 68 octal

Ajout d’un 0NB: Si le nombre binaire ne forme pas unnombre juste de groupes de trois, on peut ajouterun ou deux zéros à gauche du bit de poids le plusfort pour former le dernier triplet.

e. Comptage en octal:Le chiffre le plus élevé du système octal est 7, desorte que lorsqu’on compte au moyen dusystème de numération octal, on commence à 0et on progresse jusqu’à 7, puis on revient à 0 eton augmente de 1 le chiffre immédiatementsupérieur:Exemples:a. 65, 66, 67, 70, 71b. 275, 276, 277, 300

Ainsi; quand on a N chiffres octaux, on peutcompter jusqu’au nombre 8N –1; par exemple,avec trois chiffres octaux, on peut compter de0008 à 7778 , ce qui donne un total de 83 = 512Nombres octaux différents, et7778 = 512-1 = 51110

4. Système de numération hexadécimal

C’est le système de numération à base 16comportant 16 symboles: les dix chiffres de 0 à9, plus les 6 lettres A, B, C, D, E, F.Résumons dans le tableau ci-dessous les rapportsentre les systèmes hexadécimal, décimal etBinaire:

Hexadécimal Décimal Binair e0123456789ABCDEF

0123456789101112131415

0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

a. Conversion hexadécimal –décimal:L’équivalent décimal d’un nombre hexadécimalest obtenu en multipliant chaque chiffrehexadécimal par son poids positionnel et enfaisant la somme.Exemples:35616 = 3x(162) + 5x(161) + 6x(160)

= 768 + 80 + 6 = 85410

2AF16 = 2x(162) + 10x(161) + 15x(160)= 512 + 160 + 15 = 68710

16

16

21410

13

0

6

13

d’où 21410 = D616

b. Conversion décimal- hexadécimal:On utilise la méthode de la répétition de division, ici, par 16

16

16

16

68710

42

202

15

10

d’où 68710 = 2AF16

C. Conversion hexadécimal –binaireElle s’effectue en transformant chaque chiffre dunombre hexadécimal en son équivalent binairede quatre bits.Exemples:•1A716 = 0001 1010 01112

•2AF16 = 0010 101011112

d. Conversion binaire –hexadécimalComme le système de numération octal, lenombre binaire est divise ici en groupes dequatre bits puis on substitue à chaque groupe

son chiffre hexadécimal équivalent. Au besoin,on ajoute des zéros à gauche pour obtenir undernier groupe de quatre bits.Exemples:

1010111112 = 0001 0101 11112

Ajout de trois 0

1 5 F

binaire

hexadécimal

1010111112 = 15F16

A.1-25

Techniques de conversion• Techniques pour convertir (N)b entre

systèmes de numérotation bin-dec-hex:

Type de conversion Technique deconversion

binaire → décimal Somme pondérée descontributionshexadécimal → décimal

décimal → binaire Division par la base

décimal → hexadécimal

binaire → hexadécimal Substitution hex-bits

hexadécimal → binaire

Systèmes de numérotation

e. Comptage en hexadécimalLe comptage s’effectue en faisant croitre lavaleur dans une position du nombre par pas de 1depuis 0 jusqu’à F; quand le chiffre dans uneposition est F, le chiffre suivant dans cetteposition est 0, et le chiffre immédiatement àgauche est augmente de 1.Exemples:a. 35,36,37,38,39,3A,3B, 3C,3D,3E, 3F,40,41b. 5A8,5A9,5AA,5AB,5AC,5AD,5AE,5AF,5B0,

5B1,5B2

5. Code DCB ( Décimal Codé Binaire)Le codage consiste à faire correspondre à desnombres, des lettres ou des mots un groupespécial de symboles, groupe appelé code.Quand on fait correspondre à un nombre décimalson équivalent binaire, on dit qu’on fait uncodage binaire pur.Nous savons que pour les grands nombres, lesconversions de ce genre peuvent être longues etlaborieuses. C’est pour cette raison qu’on utilisedans certaines situations un codage de nombresdécimaux combinant certaines caractéristiques

du système binaire et du système décimal.a. Code décimal codé binaire (DCB)Ce code est obtenu en représentant chaquechiffre d’un nombre décimal par son équivalentbinaire. Le plus élève des chiffres décimauxétant 9, il faut donc 4 bits pour coder les chiffres(le code binaire de 9 est 1001).Exemples:

7 8 5 décimal0111 1000 0101 DCB

NB: Le code DCB établissant unecorrespondance entre chaque chiffre d’unnombre décimal et un nombre binaire de 4 bits, ilest évident que seuls les groupes binaire 0000à1001 sont utilisés. Le code DCB ne fait doncpas usage des groupes 1010 à 1111.Si l’une de ces combinaisons inadmissiblesapparait , c’est généralement le signe qu'uneerreur s’est produite.

b. Comparaison entre code DCB et nombrebinaire:

Notons d’abord que le code DCB n’est pas unautre système de numération comme lessystèmes octal, décimal, ou hexadécimal. Cecode est en fait le système décimal dont on aconverti les chiffres en leur équivalent binaire.- Un nombre DCB est différent d’un nombre

binaire pur:•Exemple:•78510 = 11000100012 (binaire) 10 bits•78510 = 0111 1000 0101DCB (DCB) 12 bits

Le principe avantage du code DCB provient dela facilité avec laquelle on passe de ce code à unnombre décimal, et vice versa.

6- Code major é de troisLe code majoré de trois ou code plus trois d’unnombre décimal se trouve de la même manièreque le code DCB, sauf qu’on ajoute trois (3) àchaque chiffre décimal avant d’opérer laconversion.Exemple: Convertissons 48 en sa représentation

dans le code plus trois4 8

+ 3 +3

0111 1011 Code binaire de 4 bits

7 11

Tableau de conversion des 10 Chiffres décimauxen leurs représentations DCB et code majoré detrois

Décimal DCB Major é detrois

0123456789

0000000100100011010001010110011110001001

0011010001010110011110001001101010111100

NB: Les groupes non valideDans le code Majore de tr oisSont: 0000, 0001, 0010,1101, 1110, 1111

7 Code Gray

Ce code appartient à la catégorie des codes dits àdistance minimal du fait qu’une représentationcodé ne diffère de celle qui la précède que parun bit. C’est un code non pondéré, ‘c-à-dire queles positions binaires des groupes codés ne sontaffectées d’aucun poids. C’est pourquoi ce codene convient pas du tout aux calculs arithmétiques, mais se retrouve surtout dans des applicationsd’entrée et de sortie et dans des convertisseursanalogiques- numériques.

La principale caractéristique de code Gray estque lorsqu’on passe d’un certain chiffre ausuivant, il n’y a qu’un bit qui est différent entreles deux groupes du code.

Tableau de conversion des nombres décimaux de0 à 15 en leur représentation en code Gray etcode binaire

Décimal Binaire Gray

0123456789101112131415

0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

0000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000

Le code Gray est utile souvent dans dessituations ou d’autres codes, comme le codebinaire, peuvent produire des résultats ambigusou erronés au moment de transition entrainant lechangement de plusieurs bits dans le code.Exemple du passage de 0111 à 1000 dans le codebinaire: les quatres bits changeant en mêmetemps; suivant le dispositif ou le circuit quiproduit les bits, il pourra y avoir une différenceprononcée entre les temps de transition desdivers bits. Ce qui occasionnerait un ou plusieursétats intermédiaires.

Si, par exemple, le bit de poids le plus fortchange avant les autres, on observera commecode erroné la transition: 1111, avant d’atteindre1000.

8 Les codes alphanumér iques

Un code alphanumérique reproduit tous lescaractères et les diverses fonctions que l’onretrouve sur un clavier standard de machine àécrire ou d’ordinateur, à savoir des nombres,des lettres, des signes de ponctuation et descaractères spéciaux.-Code ASCII: Le code alphanumérique le plusrépandu est le code ASCII ( American StandardCode for Information Interchange) on le retrouve

dans

la majorité des microordinateurs, des mini-ordinateur et dans beaucoup de gros ordinateurs.Le code ASCII (aski), est un code 7 éléments quipermet de représenter 27 = 128 groupe codés.Ce qui est amplement suffisant pour reproduiretoutes les lettres courantes d’un clavier et lesfonctions de contrôle comme (RETOUR) et(INTERLIGNE).Le tableau ci-dessous donne une liste partielle ducode ASCII avec les équivalents octaux ethexadécimaux:

Caractère ASCII à Octal Hexadécimal7 éléments

Caractère ASCII à Octal Hexadécimal7 éléments

A 100 0001 101 41B 100 0010 102 42C 100 0011 103 43D 100 0100 104 44E 100 0101 105 45F 100 0110 106 46G 100 0111 107 47H 100 1000 110 48I 100 1001 111 49J 100 1010 112 4AK 100 1011 113 4BL 100 1100 114 4C

Y 101 1001 131 59Z 101 1010 132 5A0 011 0000 060 301 011 0001 061 312 011 0010 062 323 011 0011 063 33

4 011 0100 064 345 011 0101 065 356 011 0110 066 367 011 0111 067 378 011 1000 070 389 011 1001 071 39

M 100 1101 115 4DN 100 1110 116 4EO 100 1111 117 4FP 101 0000 120 50Q 101 0001 121 51R 101 0010 122 52

Blanc 010 0000 040 20. 010 1110 056 2E( 010 1000 050 28+ 010 1011 053 2B$ 010 0100 044 24* 010 1010 052 2A

S 101 0011 123 53T 101 0100 124 54U 101 0101 125 55V 101 0110 126 56W 101 0111 127 57X 101 1000 130 58

) 010 1001 051 29- 010 1101 055 2D/ 010 1111 057 2F, 010 1100 054 2C= 011 1101 075 3D) (RETOUR) 000 1101 015 0D(INTERLIGNE 000 1010 012 0A

Le code ASCII sert à coder l’informationalphanumérique transmise entre un ordinateur etses périphériques d’entrée/sortie comme lesécrans des visualisation ou les imprimantes. Unordinateur recourt aussi à ce code pour stockerles informations envoyées par l’operateur depuisson clavier.Exemple: Déterminer les codes ASCII qui se

retrouvent en mémoire d’un micro ordinateurquand un operateur tape sur un clavier l’instruction suivante (en BASIC): GOTO 30

Solution:G 100 0111O 100 1111T 101 0111O 100 1111(espace) 010 00003 011 00110 011 0000

Le message suivant en code ASCII est mémorisédans des emplacements consécutifs dansl’ordinateur:101 0011 101 0100 100 1111 101 0000Sa signification est:

S T O P

9 Détection d’erreurs au moyen de la méthodede par ité

Dans les circuits numériques la transmission dedonnées binaire d’un point à un autre estfréquente. Par exemples:-la transmission de la voix numérisée par des

faisceaux hertziens,-le stockage de données dans une mémoireauxiliaire comme une bande magnétique ou undisque et leur récupération;

-la transmission d’informations d’un ordinateur àun terminal à distance ou à un autre ordinateur.A chaque transmission de l’information d’undispositif (émetteur) à un autre (récepteur), ilexiste une probabilité non nulle qu’une erreursurvienne et que le récepteur ne reçoive pasl’information envoyée par l’émetteur. Ceserreurs sont principalement due au bruitélectrique (fluctuations de tension et de courantparasites se produisent dans tous les appareilsélectriques à des degrés divers)

Exemple:

Emetteur Récepteur

Influence de bruit

La présence de ces erreurs est désagréable et aupire désastreuse pour les équipements. Pour cetteraison, on implante dans nombre de systèmesnumériques une certaine forme de détection ( etparfois de correction) des erreurs. L’une desméthodes les plus simples et les plus répanduesest la détection d’erreur par la méthode de laparité.

Le bit de parité:Un bit de parité est un bit supplémentaireassocier à un groupe d’un code qui doit êtretransféré d’un endroit à un autre. Ce bit de paritéest 1 ou 0, selon le nombre de 1 qu’il ya dans legroupe. Il existe deux méthodes de contrôle aumoyen de la parité.-Par ité paire: Dans cette méthode de contrôle lebit de parité est fixe de sorte que le total de 1dans la représentation codée ( en tenant comptedu bit de parité ) soit un nombre pair.

Par exemple, soit à transmettre le groupe1000011, c'est à dire le code ASCII pour lecaractère C. on note trois 1 dans ce groupe; ilfaut donc que le bit de parité soit égal à 1 pourque le nombre de 1 soit pair.11000011

bit de parité ajoutéAutre exemple, soit à transmettre le caractère A, dontla représentation ASCII est 1000001. Le nombre de 1étant deux, c’est-à-dire pair, le bit de parité à ajoutersera 0, de sorte que le nouveau code est 01000001

Par ité impaire: Cette méthode de contrôle estune technique similaire à la méthode de la paritépaire, sauf que dans ce cas il faut que le nombretotal de 1 ( en comptant le bit de parité) soit unnombre impair.Exemples:-pour le groupe 1000001, on associe le bit deparité 1-pour le groupe 1000011, on associe le bit deparité 0

Dans les deux méthodes de contrôle, le bit deparité fait partie intégrante de mot code. Ainsi, lecode ASCII à 7 éléments devient un code à 8éléments.- Le bit de parité permet de dépister les erreursmonobit pouvant subvenir lors de la transmissiond’un code entre un endroit et un autre ( commeentre un ordinateur et un écran de visualisation).

Exemple:Transmission du caractère A en utilisant la paritéimpaire code à transmission: 11000001Si le code reçu au niveau du récepteur est11000000. Alors le récepteur qui détermine unnombre pair (ici 2) de 1 signal que le code reçuest erroné. Cela suppose évidemment qu’avant latransmission, l’émetteur et récepteur se sontaccordés pour une parité impaire. Par contre, lerécepteur ne peut d’aucune manière indiquer lebit erroné, puisqu’il ignore quel code devra êtretransmis.

NB:En pratique, la méthode de parité n’est utiliséeque dans les cas ou la probabilité d’une erreurmonobit est faible et la probabilité d’avoir deuxerreurs est nulle.En effet, la méthode de parité n’est d’aucuneutilité quand deux bits sont inexacts, puisque lechangement de deux bits ne modifie en rien lecaractère pair ou impair du nombre de 1 dans lareprésentation codée.

Exemple: Un émetteur transmet une donnée encode ASCII à un récepteur avec un bit de paritépaire. Quels sont les codes réellement envoyéspar l’émetteur dans le cas du message ALLO?Solution:+On utilise les codes ASCII de chacun descaractères du message;+On compte le nombre de 1 pour chaque code;+pour les nombres pairs de 1, on inscrit un 0comme bit de poids fort, et pour les nombreimpairs de 1, on inscrit un 1 comme bit de poidsfort.

A –0 1000001L –1 1001100L –1 10011000 –1 100 1111

Bits de parité paire ajoutés

On a: