systemes dynamiques

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Systmes dynamiquesJean-Sbastien Pierre UMR n6553 [email protected] http://www.perso.univ-rennes1.fr/jean-sebastien.pierre

06/02/2008

Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre

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PlanIntroductionLes formalismes Systmes linaires et non linaires

Systmes linairesModles compartiments Rsultats connus en dimension 2

Systmes non linairesExemple : les modles de Lotka-Volterra Analyse qualitative en dimension 2 Dimension suprieure 2, grands systmes06/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 2

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IntroductionSystmes dynamiques :Systmes (lments en interaction) Qui voluent dans le temps Mcanique (ex : le pendule) Electricit (ex : loscillateur) Dynamique des populations (prdateurs proies, comptition) Biologie volutive Economie (balance commerciale) Sociologie (dynamique de groupe, guerre)

Peuvent tre reprsents par divers formalismesModles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre

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Les formalismesdy y dy = ry 1 = ry dt dt k 2 u u Equations aux drives = D 2 partielles t x y Equations aux yt +1 = yt + ryt 1 t diffrences k Equations diffrentielles ordinaires Processus stochastiques Algorithmes, objets, rseauxpn ( t + dt ) = pn ( t )(1 ndt ) + pn +1 ( t ) ndt

Watorw.exe

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Systmes linaires et non linairesEquations diffrentielles Systmes linairesRelation linaire entre drive(s) et fonction(s) Solubles analytiquement

Systmes non linairesRelation non linaire entre drive(s) et fonction(s) Non solubles en gnral Analyse qualitative

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Exemple de systme linairePharmacodynamique :Injection intramusculaire Au temps t=0 on tablit une concentration Co dans le musclek1

M

k2

S

k3

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Les quations

dM dt = k1M + k2 S dS = k M ( k + k ) S 1 2 3 dt Relations linaires en M et S

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Exemple de systme non linaire

N

+ +PLe systme prdateur-proie de Lotka et Volterra06/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 8

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Les quations

dN dt = r1 N b1 NP dP dt = r2 P + b2 NP Le produit NP nest pas une relation linaire06/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 9

Et alors ?Les systmes non linaires sont la fois plus riches de comportements et plus difficiles tudier que les systmes linaires Les systmes linaires possdent des solutions explicites Les systmes non linaires en gnral non06/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 10

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MthodeNous allons tudier les rsultats connus sur les systmes linaires Et voir que le comportement des systmes non linaires se ramne localement celui des systmes linaires On sait alors faire leur tude qualitative06/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 11

Les systmes linairesOu systmes compartiments

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Systmes linairesMatrice du systme linaire Equivalence avec les quations diffrentielles dordre n Solution de lquation diffrentielle du second ordre (et dordre suprieur) Relation de cette solution avec la matrice du systme linaire06/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 13

La matrice du systme linaireSur lexemple de la pharmacocintique

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Une autre manire dcrire le systme dquations dM dt = k1M + k2 S dS = k M ( k + k ) S 1 2 3 dt k2 M d M k1 = k dt S 1 ( k2 + k3 ) S 124 144 2444 { 4 3 4 3dY dt A Y

Drive dun vecteur !06/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 15

Equivalence avec lquation du second ordreVoir annexe pour un systme de deux quations linaires en gnral Considrons un systme plus simple :

dx dt = V dV = g dt 06/02/2008

d 2x 2 = g dt

Cest la loi de la chute des corpsModles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 16

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Cest gnralVoir lannexe On obtient une quation du second ordre du type 2

d x dx S + Px = 0 dt 2 dt

O S et P sont respectivement la somme et le produit des racines 1 et 2 de lquation caractristique :

2 S + P = 006/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 17

Allons un peu plus loinLannexe montre que sur un systme du type : dx dt = a1 x + b1 y d x a = 1 dt y a2 dy = a x + b y 2 2 dt b1 x b2 y

Lquation du second ordre quivalente est :d 2x dx ( a1 + b2 ) + ( a1b2 a2b1 ) x = 0 2 1 24 dt 14243 4 3 dt P S06/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 18

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La somme et le produit des racinesS est la trace

a1 a2

b1 b2

a1 + b2 = S

Et P le dterminant

a1 a2

b1 a1b2 a2b1 = P b2

De la matrice A du systme

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Consquence1 et 2 sont les valeurs propres dela matrice A du systme

Ceci est de la plus haute importance comme on va le voir plus loin

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La solution de lquation du second ordreLa solution gnrale est de la forme :

x ( t ) = C1e 1t + C 2 e 2tO C1 et C2 sont deux constantes arbitraires Et 1 et 2 les racines de lquation caractristique Valeurs propres de la matrice A06/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 21

Premire consquenceLes valeurs propres de la matrice A dterminent entirement la solution gnrale du systme Il suffit de calculer ces valeurs propres pour avoir cette solution gnrale Les constantes C1 et C2 seront dtermines par les conditions initiales06/02/2008 Modles de Dynamique des Populations. J.S. Pierre 22

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Seconde consquenceLe type des solutions dpend des racines de lquation caractristique, valeurs propres de la matrice du systme La nature de ces racines (valeurs propres) dpend du signe du discriminant de lquation caractristiqueS2-4P>0 : les valeurs propres sont relles

Les solutions sont des combinaisons linaires dexponentiellesS2-4P