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Systèmes semi-linéaires
Remarque : Tu devrais visionner les présentations :
- Systèmes d’équations du premier degré à deux variables.ppt
- Résoudre une équation du second degré.ppt
avant de visionner celle-ci.
Lorsqu’un système est composé d’équations du premier degré ou de degré 0,
y1 = 2x + 4
y2 = - x - 3
y1 = 2x + 4
y = 6
il est qualifié de système linéaire.
x
y
1
1 x
y
1
1
Lorsqu’un système est composé d’une équation du premier degré et d’une équation d’un degré supérieur,
y1 = 2x + 4
y = - (x + 1)2 + 4
y1 = 2x + 5
x2 + y2 = 16
il est qualifié de système semi-linéaire.
1 x
y
1
x
y
1
1
Les méthodes de résolution d’un système semi-linéaire sont les mêmes que pour un système linéaire :
- par une table de valeurs;
- par un graphique;
- par les méthodes algébriques.
Examinons ce qu’il en est.
Résoudre un système d'équations, c’est déterminer les coordonnées des points pour lesquels les deux équations sont égales.
1
1
2 3-1-2-3
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-4 4
y
x
g(x) = x + 1
Soit résoudre le système semi-linéaire suivant : f(x) = (x + 1)2 – 2
Résolution par méthode graphique
Les points d'intersections des 2 courbes sont les couples solutions du système.
La méthode graphique est intéressante, car elle présente la solution d'un seul coup d'œil; cependant, elle est rarement précise.
Couples solutions : (-2 , -1) , ( 1 , 2)
Résolution par une table de valeurs
g(x) = x + 1
… -2 -1 0 1
… -1 0 1 2
… -1 -2 -1 2
xg(x) = x + 1
f(x) = (x + 1)2 - 2
2 3
3 4
7 14
-3
-2
2
…
…
…
Soit résoudre le système semi-linéaire suivant : f(x) = (x + 1)2 – 2
Lorsque x = -2 et 1, les valeurs de y sont les mêmes dans les deux équations.
La table de valeurs est un procédé intéressant quand on possède une calculatrice à affichage graphique (comme la TI-80).
Remarque :
Pour des valeurs entières de x et de y, la recherche est assez simple. Cependant, pour des valeurs fractionnaires ou décimales, la recherche peut devenir fastidieuse.
Couples solutions : (-2 , -1) , (1 , 2)
g(x) = x + 1
Soit résoudre le système semi-linéaire suivant : f(x) = (x + 1)2 – 2
Résolution par méthode algébrique
les deux équationssont égales.
À ces points précis,
En utilisant ces égalités, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.
1
1
2 3-1-2-3
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-4 4
y
x
Pour calculer f(x), on doit utiliser f(x) = (x + 1)2 - 2
Pour calculer g(x) , on doit utiliser g(x) = x + 1
Sachant qu’aux points d’intersections f(x) = g(x)
alors (x + 1)2 – 2 = x + 1
La nouvelle équation ne possède qu’une seule variable.
Équation avec 2 variables.
Équation avec 2 variables.
On compare ainsi les deux équations.
La méthode de comparaison
(x + 1)2 – 2 = x + 1
Remarque : La méthode de comparaison et la méthode de substitution sont les deux principales méthodes à utiliser dans ce genre de système.
(x + 1)2 – 2 = x + 1
Il faut alors développer l’équation,
(x + 1) (x + 1) – 2 = x + 1
(x2 + x + x + 1) – 2 = x + 1 x2 + 2x + 1 – 2 = x + 1
x2 + 2x - 1 = x + 1
x2 + x - 2 = 0
Cette nouvelle fonction :
h(x) = x2 + x - 2
Chercher les zéros de cette nouvelle fonction donnera les mêmes valeurs d’abscisses que les points d’intersection du système.
Il s’agit donc d’un procédé équivalent.
est équivalente au système à résoudre.
puis la ramener à 0.
1
1
2 3-1-2-3
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-4 4
y
x
h(x) = x2 + x - 2
Il faut déterminer les zéros de cette fonction, soit :
- en factorisant le polynôme et en utilisant la loi du produit nul;
h(x) = x2 + x - 2
0 = x2 + x - 2 (x + 2) (x – 1) x1 = -2 x2 = 1
- en utilisant la formule des zéros.
- 1 +- 12 – 4 X 1 X -2
2 X 1
a = 1 b = 1 c = - 2
- b +- b2 – 4ac
2a
h(x) = x2 + x - 2
= x1 = -2 x2 = 1
Il faut maintenant déterminer les ordonnées des points d’intersections;
pour ce faire, il faut utiliser une des deux équations de départ.
g(x) = x + 1
f(-2) = (-2 + 1)2 – 2
x1 = - 2 x2 = 1
g(-2) = -2 + 1 = -1
g(1) = 1 + 1 = 2
f(-2) = (-1)2 – 2
f(-2) = 1 – 2 = -1
f(1) = (1 + 1)2 – 2
f(-2) = (2)2 – 2
f(-2) = 4 – 2 = 2
f(x) = (x + 1)2 – 2 f(x) = (x + 1)2 – 2
Couples solutions : (-2 , -1) , (1 , 2)
Validation :
Problème
Sachant que la diagonale d’un rectangle mesure 15 cm et que son périmètre mesure 42 cm, détermine les dimensions de ce rectangle.
x
y15
1) Déterminer les équations algébriques représentant le système.
Périmètre : 2 (L + l) = 42
Diagonale : x2 + y2 = 225
2) Résoudre le système par la méthode de substitution.
2x + 2y = 42 2y = -2x + 42 y = -x + 21
x2 + y2 = 225
x2 + (-x + 21)2 = 225
x2 + x2 – 42x + 441 = 225
2x2 – 42x + 216 = 0
(Relation de Pythagore)
2 (x + y) = 42 2x + 2y = 42
2x2 – 42x + 216 = 0
Résoudre avec la formule des zéros :
42 +- 422 – 4 X 2 X 216
2 X 2
a = 2 b = - 42 c = 216
- b +- b2 – 4ac
2a
= x1 = 9 x2 = 12
si x = 12
y = -x + 21
9 = - 12 + 21
et
15
12
9
si x = 9
y = -x + 21
12 = - 9 + 21
et
15
9
12
Réponse : 9 cm par 12 cm.
Quelles sont les coordonnées des points d’intersection d’une droite passant par les points (5 , 6) et (8 , 12) et d’une parabole dont le sommet est (1, 4) et passant par le point (-2 , -5) ?
Problème
1) Déterminer les règles :
La droite :x1x2
-
y1y2 -=
58 -
612 -= 2
y = 2x + b avec (8 , 12)
12 = 2 X 8 + b
- 4 = by = 2x - 4
La parabole : en utilisant la forme canonique.
y = a (x – h)2 + k h = 1 k = 4 x = -2 y = -5
-5 = a (-2 – 1)2 + 4
-5 = a (-3)2 + 4
-5 = 9a + 4
-9 = 9a
-1 = a y = - (x – 1)2 + 4
2) Résoudre le système par la méthode de comparaison.
y = 2x - 4 y = - (x – 1)2 + 4
2x – 4 = - (x – 1)2 + 4
2x – 4 = - (x – 1) (x – 1) + 4
2x – 4 = - (x2 - 2x + 1) + 4
2x – 4 = - x2 + 2x - 1 + 4
2x – 4 = - x2 + 2x + 3
0 = - x2 + 7
- x2 + 7 = 0
- x2 = -7
x2 = 7
x = ± 7
x ≈ ± 2,6
x1 ≈ - 2,6 x2 ≈ 2,6
x1 ≈ - 2,6
y = 2x - 4
y ≈ 2 X -2,6 – 4 ≈ - 9,2
x2 ≈ 2,6
y = 2x - 4
y ≈ 2 X 2,6 – 4 ≈ 1,2
Réponse : (≈ -2,6 , ≈ - 9,2) , (≈ 2,6 , ≈ 1,2)
Remarque : à l’étape consistant à extraire la racine carrée de chaque membre,
( x + 1 )2 = 25
+ Nombre positif, alors 2 points d’intersection;
x
y
0 0 , alors 1 point d’intersection;
- Nombre négatif,
Dans la formule des zéros,
- b +- b2 – 4ac
2a
ou
alors aucun pointd’intersection.
la quantité sous radical sert de discriminant.