Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Szakdolgozat
Dr. Sáfár Zoltán
2018
BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM
BIZTOSÍTÁSI OKTATÓ ÉS KUTATÓ CSOPORT
POSZTGRADUÁLIS AKTUÁRIUS SZAK
A nyugdíjkorhatár automatikusindexálásának lehetséges módszerei
Szakdolgozat
Készítette:
Dr. Sáfár Zoltán
Konzulens:
Dr. Banyár József
2018. május
�Az emberek egyre hosszabb ideig élnek, a jelenség hátterében a 30 éves jelzálog-hitelek
elterjedése állhat.�
Doug Larson
�Rosszabb dolgok is vannak a halálnál: aki valaha is együtt töltött egy estét egy biztosítási
ügynökkel, tudja, hogy mire gondolok.�
Woody Allen
Köszönetnyilvánítás
Ezúton szeretnék köszönetet mondani mindenkinek, aki segített a dolgozat elkészíté-
sében. Külön kiemelném közülük témavezet®met, Dr. Banyár Józsefet, aki már a tanul-
mányaim kezdetén felkeltette az érdekl®désem az életbiztosítások matematikája iránt, és a
szakdolgozat elkészítése közben is mindig türelemmel válaszolt kérdéseimre, értékes taná-
csokkal és folyamatos oda�gyeléssel kísérte munkám. Köszönettel tartozom még a családom-
nak és a munkatásaimnak, akik tolerálták a tanulással eltöltött sok id®t és a szakdolgozat
készítésével járó kutatómunkát.
Tartalomjegyzék
Bevezetés 1
1. Longevity 5
1.1. Id®söd® társadalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Relatív öregedés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Matematikai modell 17
2.1. Jelölések, fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Egyszer¶bb összefüggések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Fix% és �xe összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1. A diszkrét ex viselkedése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. A folytonos ex viselkedése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Gyakorlati alkalmazás 38
4. Egy másik megközelítés 40
5. A nyugdíjkorhatár változása 44
5.1. Más EU tagországok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1. Csehország . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.2. Görögország . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.3. Olaszország . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.4. Németország . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Függelék 51
Irodalomjegyzék 53
i
Ábrák jegyzéke
1. Népesség száma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Születéskor várható élettartam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Id®sek aránya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Magyar termékenységi ráta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Magyar korfa 1870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Magyar korfa 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Nyugdíjban töltött évek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7. Nyugdíjban töltött évek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8. Várható élettartam és nyugdíj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. A qx függvény lineáris ex esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Tapasztalati és számított görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Tapasztalati és számított görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Várható élettartam közelítése 2014-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5. Túlélési valószín¶ségek közelítése 2014-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6. Várható élettartam közelítése 1950-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7. Túlélési valószín¶ségek közelítése 1950-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1. B értékének változása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1. Nyugdíjasok aránya a teljes népességhez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
ii
Táblázatok jegyzéke
1.1. Nyugdíjba vonulási kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1. Élettartam el®rejelzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2. Aktívak és nyugdíjasok aránya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1. Nyugdíjkorhatár . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2. Magyar várható élettartamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
iii
Bevezetés
Manapság egyre világosabban látszik a társadalom �elöregedésének� problémája. Ez azt
jelenti, hogy az emberek egyre tovább élnek, és ezért egy adott életkor felettiek aránya is
folyamatosan n® (a következ® fejezetben ezt láthatjuk is az (1.1. és 1.2. ábrákon)) és egyre
kevesebb gyermek születik (1.3. ábra), ezért a fejlett országokban általánosnak mondha-
tó (folyó �nanszírozású) nyugdíjrendszer hosszú távon változatlan formában nem tartható
fenn.
A hosszabb élettartam miatt a népesség száma elvileg n®, az alacsonyabb termékenység
miatt azonban csökken. A két ellentétes hatás összege az 1. ábrán látható, ahol meg�gyel-
het®, hogy 1980-ig az össznépesség száma n®, majd utána elkezd csökkenni:
1. ábra. Népesség számának alakulása Magyarországon, forrás: KSH [10], 1.1.6
Intuitív kép, hogy id®snek nagyjából a 60 év feletti embereket tekintjük. Az arányukat
a teljes népességhez képest szintén megtekinthetjük a következ® fejezet 1.2. gra�konján.
(Megjegyzésként mindenképp hozzá kell tenni, hogy az Európai Unión belül Magyaror-
szág lakossága a legegészségtelenebbek közé tartozik, így a magyarok várható élettartama
relatív alacsonynak számít, és így a 60 év felettiek arányis is relatív alacsony a nyugati
országokban mérhet® arányhoz képest.) Másfel®l az már önmagában érdekes tény, hogy az
1
emberek általában alulbecsülik a saját várható élettartamukat.
A folyó �nanszírozású nyugdíjrendszer alapvet® problémája, hogy er®s kapcsolatot te-
remt a különböz® nemzedékek között, hiszen az aktuálisan be�zetett járulékokat �zetik ki
az ugyanabban az id®pontban nyugdíjas embereknek. Ha a be�zet®k száma csökken, vagy
a ki�zetéseket élvez®k száma növekszik, esetleg a ki�zetés id®tartama n®, akkor a korábbi
pénzügyi egyensúly felborulhat. A következ® fejezet elején látjuk majd, hogy mindhárom
tényez® lényegében egyszerre változik, és mindegyik a nyugdíjak fenntarthatóságának szem-
pontjából rossz irányban.
Az alábbi problémafelvetés és javaslat a Fehér Könyvben [4] olvasható:
Ha az egyre hoszabb élettartamú n®k és fér�ak nem maradnak tovább a foglalkoztatásban, és
nem tudnak többet félretenni nyugdíjas korukra, akkor a nyugdíjuk megfelel® szinten tartását
nem lehet biztosítani. A demográ�ai robbanás idején születettek most mennek nyugdíjba
és Európa munkaképes korosztálya kezd besz¶külni. A 60 év felettiek száma minden évben
kb. 2 millióval növekszik, ezzel szemben az aktív munkaképes korúak száma minden évben
csökkenni fog.
A várható élettartam kitolódása és a baby boom idején születettek nyugdíjba vonulása
együttesen komoly gazdasági és költségvetési következményekkel fog járni az EU-ban: csök-
kenti a gazdasági növekedés lehet®ségét, és nyomást gyakorol az államháztartásokra. Ezeket
a kilátásokat ráadásul tovább súlyosbíthatja egy pénzügyi és gazdasági válság, ami nemrég is
volt. A nehézkes gazdasági növekedés, a költségvetési hiányok és az eladósodás, a pénzügyi
instabilitás és a foglalkoztatottság alacsony szintje valamennyi rendszer számára megnehezí-
tette a nyugdíjígérvények megvalósítását. A csökken® foglalkoztatottság és az ebb®l adódóan
csökken® nyugdíjjárulékok kedvez®tlenül hatnak a folyó �nanszírozású nyugdíjrendszerekre.
(A t®kefedezeti rendszereket pedig a csökken® eszközértékek és megtérülések érintik.)
Az Európai Bizottság a következ®ket javasolta a nyugdíjak értékének fenntarthatósága
céljából:
• a nyugdíjkorhatár összekötése a várható élettartam növekedésével,
• a korkedvezményes nyugdíjrendszerekhez való hozzáférés és a munkaer®piacról való
más korai kilépési lehet®ségek korlátozása,
• a munkában eltöltött id® meghosszabbítása, az egész életen át tartó tanuláshoz va-
ló könnyebb hozzáférés, a munkahelyeknek a még sokfélébb munkaer® igényeihez való
2
igazítása, az id®sebb munkavállalók számára foglalkoztatási lehet®ségek biztosítása, va-
lamint az aktív és egészséges öregkor támogatása,
• a n®k és fér�ak nyugdíjkorhatárának egyenl®vé tétele,
• a nyugdíjjövedelmek fokozása érdekében a kiegészít® nyugdíj-megtakarítások támoga-
tása.1
A fenti rövid összefoglalóból látszik, hogy a változatlan nyugdíjkorhatár hosszú távon prob-
lémás. Ezért szinte minden ország id®r®l-id®re ötletszer¶en emeli a nyugdíjkorhatárt.
A dolgozatom els®dleges célja megvizsgálni, hogy hogyan lehetne a folyó �nanszírozású
rendszerek fenntarthatóságát diszkrét emelések helyett folyamatos indexálással elérni, illet-
ve összegy¶jtsünk olyan a módszereket, amiket már alkalmaznak egyes országok.
A problémát két különböz® irányból is megközelíthetjük. Az egyik, hogy az egyén élet-
pályáján próbáljuk megadni a nyugdíjba vonulási életkort.
Egy másik lehet®ség, ha a társadalom szempontjából szeretnénk a nyugdíj fenntartható-
ságát elérni. Ekkor az éppen aktuális nyugdíjasok és az aktívak arányának kell egy megfelel®
küszöbérték alatt maradni.
A matematikai számolásokhoz szükségünk lesz a halandósági táblákban szerepl® mennyi-
ségekre. Halandósági táblázatokat már a XVI. század óta készítenek. Amikor ezekb®l be-
csülik el®re a várható élettartamot, akkor látható, hogy nem csak a �hétköznapi� embe-
rek becsülik alul a saját várható élettartamukat, hanem az ezzel foglalkozó szakemberek
(projekciói) is. Azt egyel®re még nem tudjuk, hogy hol lehet a születéskor várható életkor
maximuma, hol van az emelkedés �vége�. Elméletileg 2 lehet®ség van:
1. Az emberi élettartamnak biológiailag van egy fels® korlátja. Ezt azt jelenti, hogy egyre
többen megközelítik ezt a maximumot, vagyis csökken az emberi élettartamok szórása.
A halálozási kornak az ilyen szinkronizálódását hívják �rektangularizáció�-nak is, ami
azt jelenti, hogy a 2. fejezetben de�niálásra kerül® lx túlélési függvény alakja egyre
inkább �téglalappá� válik.
2. A másik lehet®ség, hogy nincs ilyen fels® korlát és a (születéskor) várható hátralév®
élettartam folyamatosan emelkedik.
1Az idézeteket a dolgozat többi részében is igyekszem d®lt karakterekkel írni.
3
Ma a szakért®k többsége az 1. lehet®séget fogadja el, de sokak szerint a 2. is reális lehet.
A várható élettartam becslésére vonatkozó szakirodalomból rengeteg megtalálható (pl.
Bajkó Attila, Maknics Anita, Tóth Krisztián: A magyar nyugdíjrendszer fenntarthatóságá-
ról, Lukács Attila: A magyar halálozási ráták el®rejelzése), és ezek vizsgálata, összehason-
lítása egy külön dolgozatot is megérne, nekünk azonban most nem a várható élettartam
becslése a célunk, hanem már meglév® adatokat szeretnénk felhasználni a nyugdíjkorhatár
megállapításához.
4
1. fejezet
Longevity
1.1. Id®söd® társadalom
A bevezet®ben már érintettük, hogy az id®söd® társadalom két legfontosabb összetev®je
(a ki- és bevándorlás tekintetében zárt társadalmak �pl. EU� esetében)
• a hosszabb élettartam (ennek következtében n® a 60 év felettiek aránya) és
1.1. ábra. Születéskor várható élettartam Magyarországon, forrás: KSH [10], 1.1
1.2. ábra. Az �id®sek� arányának változása Magyarországon, forrás: KSH [10], 1.1.6
5
• a gyermekvállalási hajlandóság (a szakirodalomban használt jelölése a TFR, Total
Fertility Rate) csökkenése.
Az fenti ábrákon a 60 éves korhatárt választottuk, mert Magyarországon az ezredfor-
duló környékén még ennél is alacsonyabb volt a tényleges nyugdíjba vonulási kor (1.6,
és 1.7 ábrák), sokszor a 60 év felettiekre gondolnak intuitív id®sként, illetve a Fehér
Könyv [4] bevezet®ben idézett szakasza is a 60 éves korra koncentrál.
A TFR Wikipedia-n [17] található meghatározása:
1.1.1. De�níció (TFR). A TFR a szül®képes korú (általában 15-49 éves) n®kre szá-
mított hipotetikus gyermekszám, amelyet egy n® szülne élete folyamán, ha az adott évi
gyakoriság egész élete folyamán állandósulna, egyszer¶bben a szül®képes korú n®i né-
pességre jutó születések átlaga.
Egy ország népességének fennmaradásához a TFR értékének a 2,1-et szokták tekinteni
(ez úgy jön ki, hogy 100 lányra átlagosan 106 �ú születik, így 100 n®nek átlagosan 206
�egy n®re nézve és kerekítve 2,1� gyereket kell szülnie, hogy az ebb®l a szempontból
releváns n®i létszám reprodukálásra kerüljön. Ha az arány 10 �ú és 100 lány lenne,
akkor elég lenne az 1,1 érték is). Ez az az érték, amely állandó várható élettartam
mellett konstans népességszámot biztosít. Ha hosszabb távon a TFR 2,1 alá csökken
(és a várható élettartam nem n®), akkor a népesség csökkenése várható, amely akár a
teljes elt¶néshez is vezethet.
A TFR csökkenése szintén a bizonyos kor feletti népesség arányának növekedését
okozza, ami csak er®síti a hosszabb élettartam ilyen irányú hatását.
A következ® gra�konon a magyar teljes termékenységi rátát láthatjuk.
1.3. ábra. TFR, forrás: KSH [10], 1.1
6
Sajnos jól látszik, hogy a magyar TFR lényegében 1959 óta �4 év kivételével� folyama-
tosan 2,1 érték alatt tartózkodik.
A longevity és a TFR a folyó �nanszírozású nyugdíjrendszerben összefügg: gondoljunk
bele, hogy ha 3 aktív dolgozónak kell eltartania 1 nyugdíjast, akkor a jövedelmük nagyobb
részét fordíthatják saját jólétükre, illetve gyermekek nevelésére. Azonban, ha 1 aktív tart
el 1 nyugdíjast, akkor lényegében a saját létfenntartásáért is küzd, és várhatóan nem fog
gyermeket is vállalni (ha feltesszük, hogy felel®sségteljes és a gyermeket valóban nevelni is
szeretné).
A várható élettartam növekedésének bevezet®ben említett problémái számokban az Eco-
nomist [3] 2017-es beszámolójából: A longevity növeli az id®skori függ®ségi rátát (a 65 éves
vagy annál id®sebb emberek aránya a 15-64 éves korosztályhoz) a 2015-ös 13%-ról 38%-
ra a század végéig. Gazdasági stagnáláshoz, eszközpiaci válságokhoz, hatalmas költségvetési
feszültségekhez és az innováció hiányához vezethet. Az IMF el®rejelzése szerint a nyugdí-
jakra és az egészségügyre fordított kiadások, amelyek a gazdag világban már meghaladják
a GDP 16%-át, a század végére 25%-ra fognak emelkedni, ha semmi sem történik. Ha a
termelékenység növekedése nem ér el egy teljesen valószín¶tlen léptéket, akkor gazdaságilag
nem fenntartható 30 évig vagy annál hosszabb ideig �zetni a nagyvonalú nyugdíjakat olyan
embereknek, akik csak hasonló hosszúságú id®n keresztül járultak hozzá ilyen rendszerekhez.
A probléma ennél még sokkal összetettebb, mert a nyugdíjrendszer be�zet®inek és a
ki�zetést élvez®knek az aránya még rengeteg tényez®t®l függ, de most nem foglalkozunk a
különböz® politikai döntések, vagy az EU központi országainak szívóhatása miatti kiván-
dorlással (ahogy a fejezet elején is említettük), valamint a rokkantakkal.
Az emberek életpályáját gazdasági aktivitás (vagyis jövedelemtermelés) szempontból 3
szakaszra szokták bontani:
I. gyermekkor, amikor még nem aktív be�zet®je a társadalomnak, vagyis gazdaságilag
inaktív,
II. feln®tt kor, ®ket tekintjük aktívaknak,
III. id®skor, akik már nem be�zet®k, ez ismét egy inaktív életszakasz.
Megjegyzés. Itt fontos hangsúlyozni, hogy átlagosan mindenkinek az aktív életpályája
alatt kell megtermelnie az egész életpálya fogyasztását, de még jobb, ha kicsit többet!
7
év20-25születés 60-65
I. II. III.
Hogy a fent vázolt nehézségeket még növeljük, nem csak a III. pályaszakasz hosszának
növekedése okozhat problémát, hanem az I. elnyúlása is.
A dolgozatnak ebben a szakaszában szemléltetés célból élni fogok a 2000-es évek és a
legalább 50 évvel korábbi társadalmak összehasonlításával. A fenti életpálya modell a 2000-
es évek elejére vonatkozik, ekkor reális a számegyenesen látható 60-65 év nyugdíjba vonulási
kor.
Magyarországon az 1950-es évek végéig (els®sorban a falvakban) a családok egy fedél
alatt éltek, akár három, vagy négy generáció is ugyanabban a házban. Ekkor a �atalok
segítették az id®seket, és lényegében nem volt szükség a nyugdíjrendszerre. A gyermekek-
nek nem kellett hosszú éveken keresztül tanulni, aminek az egyik oka az is lehet, hogy a
családi önfenntartó gazdaságok alig, vagy egyáltalán nem voltak gépesítettek. Éppen ezért
a gyermekek akár már 14-15 évesen is a szül®k hasznára tudtak lenni, vagyis a korai gyer-
mekvállalás egy gyorsan megtérül® �befektetés� volt.
Manapság a gyermekek többsége egyetemet akar végezni, mert minden jól �zet® mun-
kakörben a megszerzett bizonyítványokat kérik. Éppen ezért 18-20 évesen már elköltöznek
nagyobb városokba (kollégiumba, vagy albérletbe) és nem ®k támogatják a családjuk id®-
sebb tagjait, hanem fordítva. Az egyetemr®l gyakran 25 éves koruk el®tt nem kerülnek ki,
ekkor kell megalapozni a saját egzisztenciájukat, vagyis ezzel a gyermekvállalásuk id®pontja
is kitolódik (és a biológiai kortálok miatt a mennyisége csökken).
Ennek (és egy sor tényez®nek mint például a fogamzásgátlás, a párkapcsolatok stabilitásá-
nak hiánya) egyenes következménye a TFR folyamatos csökkenése.
A továbbiakban nem mindig foglalkozunk az életpálya I. szakaszával, csak a II. és III.
arányát, illetve az egyén hátralév® várható élettartamát vizsgáljuk.
Az id®söd® társadalom problémájának talán legegyszer¶bb (rész)megoldása, hogy az
összlakosság számához képest csökkentjük azok számát, akik a társadalombiztosítás rend-
szerében már nem be�zet®k, csak a hasznát élvezik (a III. életpálya-szakaszban lév®k).
Nagyjából ez a Bizottság [4]-ben olvasható ajánlásának is a lényege. Habár az I. szakaszban
lév® emberek se be�zet®k, de az ® számuk csökkentése hosszútávon nem célszer¶, mert ez-
zel a kés®bbi be�zet®k száma, vagy a be�zetés nagysága csökkenne. A legkevésbé radikális
módszernek a nyugdíjbavonulási életkor folyamatos növelése t¶nik, amit már több ország-
ban is elkezdtek, illetve ötletszer¶en néha növelik a korhatárt.
Az Economist már korábban is idézett [3] tanulmánya szerint egy reális megközelítés azzal
8
kezd®dik, ha felismerjük, hogy a fejlett, gazdag világban sok id®snek tekintett ember gazda-
ságilag még �atalnak számít. �k szeretnének még dolgozni, de a �ataloknál kicsit rugalma-
sabban és pénzt is akarnak költeni. A nyugat-európai városokban 2030-ig a 60-as években
járó emberek a fogyasztásnövekedésnek az 59%-át teszik ki, mondja McKinsey.
Az élet egy új szakaszának megállapítása segíthet a felfogás megváltoztatásában. Egy
hasonló bevezetés már korábban is megtörtént a XIX. században. A �pöttyös� már kínos volt
az 1940-ben 15 éves korosztály számára, ezért akkoriban bevezették a tinédzser életszakaszt,
amely keresletének kielégítésére mindenféle terméket és szolgáltatást életre hívtak a csíkos
zoknitól a zeneiparig. 1944-ben a Life azt írta, hogy az amerikai üzletemberek, akik közül
sokaknak van tinédzser lánya, nemrég kezdték felismerni, hogy a tinédzsereknek nagy és
különleges piaci igényei vannak.
A tinédzserek után az alábbi táblázat a 2016-ban 20 évesek várható nyugdíjba vonulási
korát mutatja.
Ország Várható nyugdíjba vonulási kor
Ausztrália 67
Ausztria 65
Belgium 65
Csehország 65
Dánia 74
Finnország 68
Németország 65
Görögország 62
Írország 68
Olaszország 71,2
Magyarország 65
Luxemburg 60
Szlovákia 68
1.1. táblázat. Nyugdíjba vonulási kor 2016-ban az OECD pár országában, forrás: OECD
[12]
A táblázat alapján a nyugdíjbavonulási korok átlaga már 60 év felett lesz, inkább a
9
65-höz közel, ezért nem ragaszkodunk a 60 éves határhoz a tárgyalás során.
A nyugdíjbavonulási kor emelésével elméletileg egyszerre növelhetjük az aktív be�ze-
t®k számát és csökkenthetjük a nyugdíjrendszer kedvezményezettjeinek számát, tehát az
arány jelent®sen javulhat. Továbbá a kés®bbiekben ��x%�-nak nevezett módszerrel az id®-
södés egyetlen oka az alacsony TFR lesz, a longevity problémát lényegében hatástalanítjuk.
Szintén a kés®bbiekben de�niált ��xe� alkalmazásával további TFR-rész is kiváltható.
Magyarországon (a [3]-ban és [4]-ben) a felvázolt nehézségek már manapság is érezhe-
t®ek, kiélez®dni azonban csak várhatóan 2030 körül fognak, amikor a �Ratkó-korszak�-ban
születettek nyugdíjba vonulnak. Ezen korszak meghatározása a Wikipedia [16] szerint: Rat-
kó Anna 1949 és 1953 közötti népjóléti, majd egészségügyi miniszterségének, illetve tágabban
az 1950 és 1956 közötti félévtizednek a népesedéspolitikára utaló elnevezése. Az abortuszti-
lalom és a gyermektelenségi adó miatt a természetes szaporodás üteme ezekben az években
jelent®sen n®tt. A terhességmegszakítás tilalmát 1956 júniusában oldották fel, a gyermekte-
lenségi adót pedig az 1956-os forradalom után törölték el. Az ebben a félévtizedben született
generációt Ratkó-gyerekeknek hívják.
1.2. Relatív öregedés
Magyarország korfája 1870-ben piramis alakú, 2011-ben viszont már inkább nyolcszög-
höz hasonlít, �nyugatias� korfa.
1.4. ábra. Magyar korfa 1870-ben, forrás: KSH [10], 1.1.4
A 2011-es korfán jól látszik a Ratkó-korszak, illetve az ® gyermekeik is. Az unokáik
10
azonban egyel®re váratnak magukra.
1.5. ábra. Magyar korfa 2011-ben, forrás: KSH [10], 1.1.4
Az Economist [3] beszámolójának a dolgozat szempontjából újabb fontos megállapítá-
sai: A gazdaságilag hosszabb aktivitáshoz újra kell gondolni az életpályákat. A mai id®sebbek
közül sokan valójában nem öregek abban az értelemben, hogy �elhasználódtak�, betegek és
inaktívak lennének. A mai 65 évesek sokkal jobb formában vannak, ��ttebbek�, mint a nagy-
szüleik ugyanabban az életkorban.
A legtöbb EU-országban az 50 évesek várható hátralév® élettartama gyorsabban növekszik,
mint a várható életkor, ami azt sugallja, hogy a csökkent életer® és rossz egészségi állapot
az életpálya vége felé s¶r¶södik (bár nem minden akadémikus ért ezzel egyet). A legtöbb
országban azonban az életkor, amikor az emberek nyugdíjba vonulnak, alig változott az el-
múlt században. Amikor Otto von Bismarck 1880-as években létrehozta az els® formális
nyugdíjakat, 70 év volt a korhatár (ami kés®bb 65-re csökkent), a várható élettartam Po-
roszországban azonban csak 45 év volt. Ma a nyugati világban a lakosság 90%-a a 65 éves
születésnapját is többségében jó egészségben ünnepli, mégis a mai napig ezt a kort tekintik
az öregség kiindulópontjaként.
A gazdag világban és különösen Európában a nyugdíjazásról folyó vita általában a nem-
zedékek közötti kon�iktusra összpontosít: az állami nyugdíjrendszerekb®l származó �zetés azt
jelenti, hogy a �atalok valójában az id®seknek �zetnek. De ha az id®sek hosszabb ideig foly-
tatják a munkavégzést, az ebb®l ered® gazdasági fellendülés ugyanolyan el®nyökkel járna a
�atalok és az id®sek számára, ami extra növekedést eredményezne. A nyugati világban a 65
éves emberek átlagosan még 20 évet fognak élni, aminek a felét mindenféle fogyatékosság nél-
11
kül. Ha az elöreged® országokban, például Németországban, Japánban és Spanyolországban
él® emberek számára 2010 és 2050 között évtizedenként 2-2,5 évvel késleltetik a nyugdíjazást,
az elég lenne a demográ�ai változás hatásának ellensúlyozására Andrew Mason (University
of Hawaii) és Ronald Lee (University of California, Berkeley) szerint.
A fenti cikk alapján az els® probléma annak megfogalmazása, hogy kit is nevezünk
id®snek. Az intuitív kép az id®s emberekr®l nem feltétlenül egyezik meg azokkal az embe-
rekkel, akiket az aktivitás szempontjából id®snek kell tekinteni. A min®ségi öregedés alatt
azt értjük, hogy az egészségi állapot mikor, hány éves kortól kezdve romlik az öregedéshez
általánosan társított alacsonyabb szintre. Ennek a határát nehéz mérni. Az Egészégügyi Vi-
lágszervezet (WHO), Global Health Observatory (GHO) szervezete de�niált egy �várható
egészséges élettartam� (HALE) mutatót, ami megpróbálja mérni ezt a min®ségi korhatárt:
1.2.1. De�níció (HALE). A személyek teljes egészségben eltöltött éveinek átlagos száma,
amely �gyelembe veszi a betegség és/vagy sérülés csökkent® hatását.
A WHO [7] felmérése alapján a születéskori HALE mutató értéke
• Magyarországon 63,7-r®l 67,4 évre n®tt 2000 és 2015 között,
• Németországban 68,7-r®l 71,3-ra,
• egész Európát tekintve pedig 64,1-r®l 68 évre.
Ugyanezen intervallumban a 60 évesek még hátralév® életükb®l várhatóan egészségben
eltöltött éveinek száma
• Magyarországon 14,1 évr®l 15,8-ra
• Németországban 16,9-r®l 18,6-ra,
• egész Európában 15,4-r®l 17,4 évre n®tt,
a függelékben lév® várható élettartam-táblázat alapján. Azt mondhatjuk, hogy Magyar-
országon a 15 év alatt nagyjából 4 évvel n®tt a születéskor várható élettartam, ebb®l közel
3 évet egészségben fognak eltölteni. A 60 éveseknél az egészségben eltöltött évek számának
növekedése meg is haladja a hátralév® várható élettartamét.
Németországban is hasonló tendencia �gyelhet® meg.
12
Összefoglalva, a fejlett (vagy nyugati) országokban f®leg az id®sebb korosztályban ará-
nyaiban jobban n® az egészségben eltöltött évek száma a hátralév® várható élettartamhoz
képest.
A halandósági táblákat szemlélve (például a [8] oldalról nem csak a magyar, de a többi
ország táblái is elérhet®k) meg�gyelhet®, hogy minden korosztályban monoton n® a hátra-
lév® várható élettartam, és ezzel együtt a HALE mutató értéke is.
A �min®ségi öregedés�-nél jobban számolható fogalomra lenne szükségünk. Egy ilyen
lehet a �relatív öregedés�. Az idéz®jeles megkülönböztetés Banyár Józseft®l [1] származik.
A relatív öregedés esetén nem rögzítjük hosszú évekre pl. a nyugdíjkorhatárt, hanem azt
próbáljuk elérni, hogy a várható hátralév® élettartammal együtt mozogjon. Itt is meg-
különböztethetünk három különböz® módszert aszerint, hogy milyen együtthatómozgást
szeretnénk:
1. Az átlagos emberi életpályának mindig ugyanakkora hányadát töltsék id®sként (jelölés-
ben �x%), részletesebben ez azt jelenti, hogy meghatározuk egy adott százalékot, és
azt mondjuk, hogy a várható életpálya például 20%-át töltsék nyugdíjban az embe-
rek. Tehát ekkor a nyugdíjkorhatár és a várható élettartam ugyanolyan százalékban
változik.
2. Ha szeretnénk �gyelembe venni az életpálya I. szakaszát is, akkor de�niálhatjuk úgy
a relatív id®skort, hogy az x év feletti élettartamból az öregen eltöltött évek aránya
legyen állandó. Ez az x lehet az aktív életszakasz kezdete.
3. A nyugdíjas évek számát tartsuk konstans értéken (jelölésben �xe). Ez azt is jelenti,
hogy mivel az élettartam n®, ezért a nyugdíjban töltött évek számának aránya csökken.
A kés®bbi fejezetben csak a �x%-kal és �xe-vel jelölt mennyiségeket fogjuk részlete-
sebben megnézni. Mindkét esetben a várható élettartam növekedésével együtt n® a relatív
öregedési korhatár is. Ha a várható élettartam növekedése els®sorban a �atal és aktív korú
népesség halandóságának javulása miatt következik be, akkor a �x%, ha viszont els®sorban
az id®skorú népesség halandósága miatt, akkor a �xe típusú érték n® jobban. Nyilván egy
fejlett országban, amelyik nagyjából már kimerítette a �atalkorú népesség halandóságá-
nak javításában rejl® potenciált (magyarán, ahol �atal korban már lényegében senki nem
hal meg), ott már csak az id®skorú népesség halandósága tud érdemben javulni, s így ott
általában a �xe mutató értéke lesz nagyobb.
13
Ha meg is állapodtunk, hogy a továbbiakban valamelyik relatív öregedési mutatót alkal-
mazzuk, vagyis, hogy lényegében indexáljuk az öregségi korhatárt, még mindig megmarad a
kérdés, hogy konkrétan mi legyen a kezdeti érték, amit aztán folyamatosan karbantartunk?
Egy logikus lehet®ség erre, hogy a múltban választunk egy id®pontot, aminek a viszonyait
jól ismerjük, s megállapítjuk azt a korhatárt, ami fölött akkor öregnek lehetett tekinteni
az átlagos embert. Ezután �x% esetben rögzítjük, hogy az átlagos ember akkor, életpá-
lyája hány százalékát töltötte öregen, s a kés®bbiekben minden évben megkeressük azt az
életkort, ami mellett az adott népesség átlagos embere életpályája ugyanekkora részét tölti
ennél id®sebben. A �xe esetében pedig minden kés®bbi évben azt a kort keressük, amit®l
kezdve az átlagos ember ugyanakkora hosszúságú id®t tölt öregen (fejlett országokban az
el®bbihez képest ekkor az öregen töltött id® aránya csökken, míg ott ennek aránya állandó).
Az öregedéshez szorosan kapcsolódik a nyugdíjkorhatár kérdése is. A korhatár automa-
tikus indexálásának az egyik lehet®sége, ha azt a relatív id®skor határával de�niáljuk.
A következ® két ábrán azt szemléltetjük, hogy a tényleges nyugdíjba vonulási kor vala-
melyest csökkent 1970 óta, majd 2000 után minimálisan emelkedett, a nyugdíjban töltött
id® azonban szinte monoton növ® függvény a magasabb várható élettartam miatt. Ez adhat
egy kezd®értéket a �xe-hez. Például vehetjük az arányt 20%-nak (ez a 2000-es évek elején
a 60 év felettiek aránya a teljes lakossághoz képest (1.2. gra�konon láthatjuk), innen kis
ugrással feltehetjük, hogy az egyéni életpályán belül is legyen 20% a nyugdíjban töltött
arány), az alábbi gra�konok szerint nagyjából 20 évet töltenek az emberek nyugdíjban,
tehát a �xe esetében ez is lehet kezd®érték.
1.6. ábra. Nyugdíjba vonulási kor és nyugdíjban töltött évek, forrás: [8] és [5]
14
1.7. ábra. Nyugdíjba vonulási kor és nyugdíjban töltött évek, forrás: [8] és [5]
Számolhatóság szempontjából célszer¶ a �x%-ot választani. A �xe (jóval nehezebben
számolható mutató) mellett szól ugyanakkor az, hogy az öregedésnél nem igazán számítha-
tó lényeges mozzanatnak, ha az id®sek aránya amiatt változik, mert a �atalkorú népesség
halandósága változik. A �xe mutatóban viszont csak az érintett, id®skorú népesség ha-
landóságát veszik �gyelembe, így az tartalmilag jobban kifejezi a lényeget. Ugyanakkor a
gyakorlatban a két érték viszonylag közel van egymáshoz, így elképzelhet® praktikus komp-
romisszumként a könnyen számolható �x% mutató alkalmazása.
Banyár József 2017. szeptember 21-én elhangzott konferenciael®adásán elhangzott, hogy
a �xe relatív korhatár ugyan nem egyenletesen, de nagyjából (kicsit nagyobb, mint) 2 hónap/
év ütemben n®tt. (Az utolsó fejezetben, az alkalmazott módszereknél erre a mondatra még
vissza fogunk térni.)
Mivel a nyugdíjkorhatárt ezen módszerekkel a születéskor várható élettartamhoz köt-
nénk, nézzük meg ezek kapcsolatát. Érdekes meg�gyelni, hogy 1970-ben a születéskor vár-
ható élettartam lényegében megegyezett a nyugdíjkorhatárral. Ezután a várható élettartam
n®, a nyugdíjkorhatár csökkenés után a 2000-es évek elejét®l lassan n®, így a nyugdíjban
töltött évek száma is egyre magasabb, mivel a várható élettartam növekedésének üteme
nagyobb a nyugdíjkorhatárénál.
15
1.8. ábra. Nyugdíjba vonulási kor és a várható élettartam, forrás: [8] és [5]
16
2. fejezet
Matematikai modell
A dolgozatnak ezen részét (Banyár József [2] (2003)), és (Hans U. Gerber [9] (1995))
könyvek, (Banyár József [1], (2017)) diái, illetve az els® féléves Életbiztosítások cím¶ kurzus
alapján írtam.
A fejezetben olyan matematikai modellt szeretnénk felépíteni, illetve vizsgálni, amelynek
segítségével el tudjuk dönteni, hogy az egyén életpályáján milyen módszerrel kellene meg-
keresni azt a nyugdíjba vonulási kort, amely esetén a nyugdíjrendszer fenntartható marad.
Pontosabban összehasonlítjuk az el®z® fejezetben de�niált �x% és �xe indexálási módsze-
reket. Ehhez el®ször röviden átismételjük az életbiztosítások körében használt jelöléseket
és egyszer¶bb összefüggéseket (diszkrét esetben), majd ezeket általánosítjuk folytonos eset-
re is. Bevezetünk két öregedési mutató fogalmat és végül különböz® elemi függvényekre
összehasonlítjuk ezen mutatókat.
2.1. Jelölések, fogalmak
Legel®ször bevezetjük a legfontosabb fogalmakat és jelöléseket, amelyeket a kés®bbiek-
ben majd használni fogjuk.
A relatív adatok, például a
• halálozási valószín¶ség,
• várható élettartam,
népszámlálásból (cenzusból) származnak. (Népszámlálást 10, mikrocenzust 5 évente tarta-
nak, halandósági táblát minden évben készítenek.) Ebb®l nyers halálozási valószín¶séget
17
számolnak, ez lesz az elméleti halálozási valószín¶ség.
Jelölés. Legyen qx az x-edik életévben elhalálozás valószín¶sége, vagyis
qx = P (x ≤ Y < x + 1|Y ≥ x),
ahol Y a halál id®pontja, vagy a megélt évek száma. Szavakkal azt mondhatjuk, hogy annak
a valószín¶sége, hogy a vizsgált személy megéli az x. születésnapját, de a következ®t már
nem.
A t|qx jelentése: egy x éves ember t éven belül meghal, vagyis
t|qx = P (x ≤ Y < x + t|Y ≥ x).
Megjegyzés. Az 1|qx = qx azonosság miatt t|qx a qx általánosítása.
Jelölés. A túlélési valószín¶ség legyen
(2.1) px = 1− qx,
vagyis
px = P (Y ≥ x + 1|Y ≥ x),
az x éves ember megéli az x + 1. születésnapját is.
A t|px legyen annak a jelölése, hogy az x éves személy még legalább t évet él, vagyis
t|px = P (Y ≥ x + t|Y ≥ x).
Megjegyzés. Most is igaz az 1|px = px egyenl®ség.
2.1.1. Lemma. Vegyük észre, hogy
(2.2) t|px = px · px+1 · · · · · px+t−1.
Jelölés. Az x éves korban várható hátralév® élettartam jelölése legyen az ex.
Ekkor e0 a születéskor várható élettartam.
Jelölés. Legyen ω a statisztikailag még releváns várható legmagasabb életkor (Magyaror-
szágon ω = 100), a 100 évesnél id®sebb személyek statisztikailag elhagyhatóak (a mellékelt
excel számolásokban, illetve ennek eredményeképp a 2.4�2.7 ábrákon is 110-et használtam
ω-ként).
2.1.1. Tétel. Az x éves korban még várható hátralév® élettartam el®áll
ex = 1|px + 2|px + . . . ω−x|px +1
2
18
összegként. (Feltételeztük, hogy aki megszületik, ® legalább 1 évet élni is fog, ezért kell az1
2a kifejezés végére.)
Megjegyzés. Ha e60 = 20, akkor e61 > 19, mert aki meghalt 60 évesen ®k húzták le az
átlagot, így akik nem haltak meg, az ® várható élettartamuk n®tt, tehát ex nem lehet −1
meredekség¶ egyenes.
2.1.1. De�níció (Kihalási rend). Az egyid®ben (mondjuk azonos évben) megszületett
(10000 vagy) 100000 (�ú/lány) csecsem®b®l x évesen még hányan vannak életben.
Jelölés. Legyen lx a kihalási rend, vagyis a 100000 újszülöttb®l az x életkorban életben
lév®k száma.
Megjegyzés. Magyarországon csak ∼80000 csecsem® született évente a 2010-es évek ele-
jén.
Megjegyzés. Elméletben egy generációt �gyelünk 100 évig, a gyakorlatban azonban min-
den évben 100 generáció adatait használjuk.
2.1.2. Lemma. Az {lx} monoton csökken® sorozat. (Többéves újszülött nincs, a halottak
nem támadnak fel.)
Megjegyzés. Elméletben nincs ki- és bevándorlás, de a a gyakorlatban, a megkonstruált
lx nem tartalmazza a már kivándorolt és tartalmazza az id®közben bevándorolt népesség
halandóságát.
2.1.2. De�níció (Generációs halandósági tábla). Olyan halandósági tábla, ahol tény-
legesen egy generációt �gyelünk 100 évig.
Megjegyzés. Ez egy �historikus� halandósági tábla, de pl. a járadékok kalkulálásához
projektált táblákra van szükség.
2.1.1. Egyszer¶bb összefüggések
Az el®z® részben bevezetett diszkrét mennyiségek között fennálló egyszer¶bb összefüg-
géseket mutatjuk be.
A túlélési valószín¶ségre a
(2.3) px =lx+1
lx
19
egyenl®ség teljesül és így a várható élettartam az
(2.4) ex =1
2+
1
lx
ω−x∑k=1
lx+k =1
2+
ω−x∑k=1
k|px
alakba írható.
Megjegyzés. A képletben szerepl®1
2az alsó (
∑lx+k) és fels® közelít® összegek átlagolása
miatt van, ahogy a 2.1.1. Tételben is megjegyeztük, (ez a valódi valószín¶séget alulról
becsüli).
Jelölés. Az x. életévükben elhunyt emberek száma (akik nem élik meg az x + 1-et)
(2.5) dx = lx − lx+1.
Megjegyzés. A 2.1.2. Lemma miatt dx ≥ 0.
2.1.2. Tétel. A várható élettartamra igaz a
0 < ex − ex+1 < 1
egyenl®tlenség.
Megjegyzés. Az els® egyenl®tlenséget a 2.1.1. Tétel utáni megjegyzésben is láttuk már.
2.2. Fix% és �xe összehasonlítása
A következ® alfejezetekben megismerjük Banyár József [1] el®adásában elhangzott to-
vábbi összefüggéseket a túlélési valószín¶ség, a hátralév® várható élettartam, illetve kétféle
öregedési mutató kapcsolatáról, majd matematikai levezetessel igazoljuk a következtetések
helyességét több függvénycsalád esetében is. Az el®adás nagyon rövid összefoglalása talán
úgy hangzik, hogy egy ex függvényb®l meghatározzuk a px-et, majd ebb®l a függvényb®l
öregedési mutatót számolunk.
A címben szerepl® mindkét módszer lényege, hogy az élettartam emelkedésével együtt
növekedjen a nyugdíjba vonulási kor is. A �x% esetében arányosan, a �xe-nél pedig lénye-
gében az egész �életkor-nyereséget� munkában kellene tölteni.
A dolgozat célja a nyugdíjkorhatár lehetséges indexálási módszereinek (fel)kutatása,
illetve az indexálás tudományos módszereinek megalapozása. Ehhez az el®z® fejezetben
említett három öregedési mutatóból kett®t részletesebben is megvizsgálunk (a harmadikkal
20
most nem foglalkozunk). A mutatók vizsgálatához alaposabban vegyük szemügyre az ex, px
és lx függvényeket.
Kezdjük a diszkrét esettel!
2.2.1. A diszkrét ex viselkedése
A várható hátralév® élettartam-görbe viselkedésének leírásához használjuk az
e′x ≈∆ex∆x
= ex+1 − ex
di�erenciahányadost. Az egyenl®ség teljesül, mert az x nálunk most csak természetes számot
jelöl, vagyis ex egy sorozat.
A (2.4) egyenletb®l egyszer¶ átindexeléssel kapjuk, hogy
ex =1
2+
1
lx
ω−x∑k=1
lx+k =1
2+
1
lx
ω∑t=x+1
lt
és
ex+1 =1
2+
1
lx+1
ω−x−1∑k=1
lx+1+k =1
2+
1
lx+1
ω∑t=x+2
lt
=1
2+
1
lx+1
ω∑t=x+2
lt +( lx+1
lx+1
− 1)
=1
lx+1
ω∑t=x+1
lt −1
2,
ezért
e′x ≈( ω∑
t=x+1
lt
lx+1
− 1
2
)−( ω∑
t=x+1
lt
lx+
1
2
)=
ω∑t=x+1
lt
lx+1
− lx+1
lx·
ω∑t=x+1
lt
lx+1
− 1.
Most az els® két tagban emeljük ki a közös tényez®t, ekkor a (2.5) azonosság miatt
e′x ≈(
1− lx+1
lx
) ω∑t=x+1
lt
lx+1
− 1 =dxlx·
ω∑t=x+1
lt
lx+1
− 1.
Tehát a becslésünk a (2.1), (2.3) és (2.4) összefüggésekb®l az
(2.6) e′x ≈ qx
(ex+1 +
1
2
)− 1
alakot ölti.
Az ex legkisebb meredeksége a fenti becslés alapján az e′x = −1, ha feltesszük, hogy
qx ≡ 0. Azonban ekkor qω = 1, és így ha x < ω, akkor a
−1 = e′x ≈
ω∑t=x+1
lt
lx+1
− lx+1
lx·
ω∑t=x+1
lt
lx+1
− 1
21
becslés miatt közelít®legω∑
t=x+1
lt
lx+1
=lx+1
lx·
ω∑t=x+1
lt
lx+1
,
tehátlx+1
lx≡ 1.
Ebben az esetben tehát az lx függvény vízszintes.
Az e′x < −1 azt jelenti, hogy a (2.6) el®tti approximációban dx < 0, azonban a (2.5)
utáni megjegyzésben láttuk, hogy dx ≥ 0.
Ezért feltehet®, hogy e′x > −1.
Az ex meredeksége akkor a lehet® legnagyobb, ha az (2.6) becslésben a tényez®k maxi-
málisak.
Ha qx = 1, akkor x évesen mindenki meghal, tehát ex+1 = 0 (vagyis ex+1 értéke mini-
mális). Ekkor e′x = −0, 5.
Mivel most −0, 5 = e′x = ex+1 − ex = 0− ex, ezért ex = 0, 5.
Els® közelítésben tehát a
(2.7) − 1 ≤ e′x ≤ 0, 5
egy durva, de könnyen kezelhet® becslés. Azonban vegyünk észre, hogy ha qx értékét csök-
kentjük, akkor az ex+1 növekedni fog, ezért az e′x értéke nem a qx = 1-ben maximális (ezért
nem -0,5-tel becsültük felülr®l). Megjegyzésként azonnal tegyük hozzá, hogy a kés®bbiekben
a fels® korlátot lényegében nem fogjuk használni.
Intuitíve akkor maximális, ha x évesen 1 f® kivételével mindenki meghal, de ez az 1 ember
ω éves koráig él. Vagyis a halandóság hirtelen megugrik, majd utána radikálisan visszaesik.
Ekkor
qx =lx − 1
lxés ex+1 = ω − x− 1
2,
és az ex meredeksége (2.6) szerint
ex+1 − ex =lx − 1
lx(ω − x)− 1 ≈ ω − x− 1,
de utána lényegében végig −1, mert az egyetlen túlél® már nem hal meg, csak a lehet®
legmagasabb életkorban.
Ebb®l az következik, hogy (relatív nagy) pozitív meredekség akkora halálozással jár,
hogy csak rövid ideig lehetséges. A gyakorlatban leginkább a csecsem®halandóság esetén
22
fordulhat el®. Ha a (2.6) becslésben e′x > 0, akkor
qx >1
ex+1 +1
2
.
A qx görbe viselkedése
Kezdjük a legegyszer¶bb esettel, vagyis tegyük fel, hogy az ex értékei egy lineáris függ-
vény diszkrét pontjai.
A csecsem®halandósággal ezzel a dolgozatban nem foglalkozunk részletesen, ezért a to-
vábbiakban tegyük fel, hogy −1 ≤ e′x =: k < 0 minden x < ω esetén. Ekkor a várható
hátralév® élettartam egy k meredekség¶ egyenes, aminek az értéke ω-ban1
2:
ex = k(x− ω) +1
2.
A (2.6) egyenletb®l k = qx
(ex+1 +
1
2
)− 1, és így
(2.8) qx =k + 1
k(x + 1− ω) + 1=
k + 1
k(x− ω) + k + 1
monoton növekv® hiperbolikus függvény, amelyre q0 =k + 1
k(1− ω) + 1és qω = 1.
Megjegyzés. A 2.1.1. Tétel utáni megjegyzésben már intuitív láttuk, hogy a valódi várható
élettartam nem egy −1 meredekség¶ lineáris függvény, de most azt látjuk, hogy bármilyen
egyenes �furcsa� qx-eket eredményez:
2.1. ábra. A qx függvény lineáris ex esetén
23
Mivel a feltevésünk szerint −1 ≤ k < 0, ezért
0 ≤ qx <1
1= 1.
Az lx görbe viselkedése
A (2.2) egyenletb®l tudjuk, hogy x|p0 = p0 · p1 . . . px−1. Most a (2.8) összefüggést helyet-
tesítsük be a (2.1)-be, ekkor kapjuk, hogy
px = 1− k + 1
k(x + 1− ω) + 1=
k(x− ω)
k(x− ω) + k + 1
monoton csökken® sorozat (hiszen egy konstansból vontuk ki egy monoton növekv® sorozat
tagjait), ezért a x|p0 x-ben monoton csökken® és 0-hoz konvergáló sorozat.
A következ® ábrákon megnézünk 2014-ben és 1950-ben, hogy a diszkrét lineáris közelítés
mennyire hasonlít a valódi adatokhoz.
A fejezetben lév® k paraméter értékét úgy optimalizáltuk, hogy a valódi és számolt px
értékek négyzetes hibája a lehet® legkisebb legyen.
Jelölés. Az ex a tapasztalati, az e_x a számolt görbe az alábbi ábrákon.1
2.2. ábra. Tapasztalati és számított görbék 2014-ben
A fenti gra�konok alapján láthatjuk, hogy a diszkrét esetben a lineáris közelítés opti-
malizálással kapott ex függvénye nem hasonlít a tapasztalati adatokhoz. Az életpálya korai
szakaszában túl sokan halnak meg, a végén túl kevesen. Ezért olyan ex függvényre van
szükségünk, amely kis x-ek esetén meredekebben csökken, nagyobb index esetében pedig
kevésbé. Tehát a korábbi lineáris függvény helyett a továbbiakban ex (a tapasztalati függ-
vényhez hasonlóan) konvex lesz. A legegyszer¶bb ilyen, a lineárisnál kicsit bonyolultabb
függvények a hatványfüggvények.1A kés®bbi gra�konokon is hasonló jelöléssel élünk, az _-t nevében tartalmazó adat a számolt.
24
2.3. ábra. Tapasztalati és számított görbék 1950-ben
2.2.2. A folytonos ex viselkedése
El®ször is az ω lehetséges legmagasabb kort kell átde�niálnunk, mert a diszkrét modell-
ben az ω a legmagasabb megélt születésnapot jelentette, most mérhetünk vele törtéveket
is.
De�niáljunk olyan ex folytonos függvényeket, amelyekre teljesül, hogy x = 0-ban e0 és
x = ω-ban 0 az értéke, és konvex a gra�konja!
A hatvány ex görbe viselkedése
A legegyszer¶bb folytonos konvex függvény a hatványfüggvény, ezért legyen
(2.9) ex = e0
(1− x
ω
)n, ahol n > 1.
Ekkor
e′x = −n
ωe0
(1− x
ω
)n−1.
A kapott deriváltfüggvény mindenütt negatív a (0, ω) intervallumban, ezért az ex függvény
monoton csökken®. (Ezt a de�nícióból direktben is láthatjuk, hiszen ex olyan hatványfügg-
vény, amelynek az alapja 1-nél kisebb és monoton csökken.)
Az
e′′x =n(n− 1)
ω2e0
(1− x
ω
)n−2kifejezés viszont pozitív mindenütt, és így az ex konvex függvény.
A diszkrét esethez (a (2.7) becsléshez) hasonlóan e′x most sem lehet kisebb −1-nél, vagyis
az x = 0-ban kicsit pontatlanul
e′0 = −n
ωe0
(1− 0
ω
)n−1= −n
ωe0 ≥ −1,
25
ezért e0 ≤ω
negy becslés a várható élettartam fels® korlátjára.
Megjegyzés. A születéskor várható (e0) élettartam növekedésével az n hatványkitev® 1-
hez konvergál, ha feltesszük, hogy az ω változatlan marad (ez a 3. oldalon az 1. elméleti
lehet®ség).
A px görbe viselkedése
Folytonos esetben a (2.4) egyszer¶ általánosításából és (2.3)-ból
(2.10) ex =
∫ ω−x
0
lx+tdt
lx=
∫ ω−x
0
lx+t
lxdt =
∫ ω−x
0t|pxdt
alakú. Mivel
(2.11) t+x|p0 =lt+x
l0=
lxl0· lt+x
lx= x|p0 · t|px,
ezért
t|px =1
x|p0· t+x|p0.
Ez azt jelenti, hogy a t|px görbe a t+x|p0 görbe eloszlásának felnagyítása. A (2.11) els®
egyenl®ségéb®l pedig látjuk, hogy az lx+t függvény alakja megegyszik a t+x|p0 alakjával,
vagyis a kihalási rend el®áll a túlélési valószín¶ségekb®l.
Az utolsó egyenl®séget helyettesítsük vissza a (2.10)-be és ezt tegyük egyenl®vé az ex
(2.9) alakjával, ekkor
ex = e0
(1− x
ω
)n=
1
x|p0
∫ ω−x
0t+x|p0dt =
1
x|p0
∫ ω
xt|p0dt,
vagyis szemléletesen a hátralév® élettartam az (x, ω) intervallumban a t+x|p0 görbe alatti
területének1
x|p0-szerese.
Mivel ex-et a (2.9)-ben hatványfüggvényként de�niáltuk, ezért az
(2.12)1
x|p0
∫ ω
xt|p0dt = e0
(1− x
ω
)nintegrálegyenletet kell megoldanunk.
A kés®bbi bonyolultabb függvények esetén történ® alkalmazás és az egyszer¶bb követ-
het®ség érdekében legyen
f(x) = x|p0, és g(x) = e0
(1− x
ω
)n.
26
Ekkor f(0) = 1, f(ω) = 0 és
ex =1
f(x)
∫ ω
x
f(t)dt = g(x)
integrálátlag.
Az alábbi ábrán a besatírozott téglalap területe megegyezik a függvény görbe alatti
területével az (x, ω) intervallumban és ex a téglalap vízszintes oldalának a hossza.
életkorω
f(x)
x
ex
Szorozzunk át f(x)-szel, majd deriváljuk mindkét oldalt, ekkor az
f(ω)− f(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
di�erenciálegyenletet kapjuk. Mivel f(ω) = 0, ezért ismét átrendezés után egyenletünk a
−1 + g′(x)
g(x)=
f ′(x)
f(x)
alakot ölti. Végül integráljuk mindkét oldalt:
ln f = −(
ln g +
∫1
g
), tehát az f =
1
gexp
(−∫
1
g
)egyenl®séggel számolhatjuk ki f(x)-et.
Megjegyzés. Figyeljük meg, hogy az
f =
(− exp
(−∫
1
g
))′összefüggés teljesül minden g-re a (0, ω) intervallumban! Ezért legyen
Px = − exp(−∫
1
g
)+ K,
a �halandóság ereje�, ahol K ∈ R tetsz®leges és ekkor f(x) = P ′x ∀x ∈ (0, ω).
Térjünk vissza a korábbi jelölésekhez, ekkor tehát a fenti levezetésb®l adódik, hogy
(2.13) x|p0 =1
exexp
(−∫
1
ex
)= P ′x,
27
ahol
Px = −ex · x|p0 + K.
Ha itt tekintjük az x → ω határértéket, akkor Pω = K-t kapunk (hogy ne kelljen mindig
kiírni a határértéket, ezért röviden, de pontatlanul úgy használjuk a jelöléseket, mintha a
P függvényt a végpontokban is de�niáltuk volna. Mivel a végpontokban létezik valamelyik
féloldali di�erenciálhányadosa, ezért kiterjeszthet® a függvény a 0 és ω pontokba is). A
(2.13) egyenletb®l
Px =
∫ x
0t|p0dt,
illetve tudjuk, hogy
ex =1
x|p0
∫ ω
xt|p0dt.
Az utolsó két egyenletet tekintsük az egész (0, ω) életúton, ekkor
Pω =
∫ ω
0t|p0dt, és e0 =
1
0|p0
∫ ω
0t|p0dt.
A várható hátralév® élettartam nevez®jében a (2.11) els® egyenl®sége szerint a
0|p0 =l0+0
l0= 1
szerepel, ezért K = e0 és így Px = e0 − ex · x|p0.
Ha a Px ezen utolsó alakjába x = 0-t és x = ω-t helyettesítünk, akkor P0 = 0 és Pω = e0.
Az általános levezetés után térjünk vissza a (2.12) egyenletben az x|p0 függvény megha-
tározásához. Els® lépésként a fenti eredményt alkalmazzuk hatványfüggvény várható élet-
tartam esetén. Ehhez számoljuk ki a
−∫
1
e0
(1− x
ω
)−ndx
integrál értékét! Egyszer¶ helyettesítéssel és ex-szel osztás után kapjuk, hogy
f(x) =1
e0
(1− x
ω
)−n· exp
( ω
e0(1− n)
(1− x
ω
)1−n+ C
).
Ahhoz, hogy az f(0) = 1 és f(ω) = 0 határértékben teljesüljön, legyen a
C = ln e0 −ω
e0(1− n),
ekkor
(2.14) x|p0 = exp
(ω
e0(−n + 1)
[(1− x
ω
)−n+1
− 1])·(
1− x
ω
)−n.
28
Ellen®rzésképp helyettesítsünk vissza x = 0-t és x = ω-t, ekkor
0|p0 = 1, és ω|p0 = 0.
Megjegyzés. Bár a határokon �jól� viselkedik az így kapott általános x|p0, a bels® pontok-
ban azonban nem, mert van monoton növ® szakasza, és 1-nél nagyobb értéket is felvehet.
Ez azt jelenti, hogy várható élettartam függvényében a konvexitásnál szigorúbb feltétel kell
ahhoz, hogy a túlélési függvény hasonlítson a tapasztalthoz. Ez a feltétel viszonylag egysze-
r¶. A (2.13) egyenletet deriváljuk x-szerint, és a monoton csökken® feltételhez az kell, hogy
ez a deriváltfüggvény negatív legyen:
(x|p0)′x = e0 exp
(−∫ x
0
1
etdt) 1
e2x[−1− e′x] < 0,
ezért a feltételünk a (2.7)-hez hasonlóan (ahogy azt a 25. oldal végén is megel®legeztük)
e′x > −1
alakot ölti. Ha ez minden x-re teljesül, akkor a megfelel® túlélési függvény monoton csökken®
lesz. A (2.9)-ben de�niált hatványfüggvény esetében a születéskor várható élettartamra
kapott ω ≥ ne0, vagy átrendezve n ≤ ω
e0becslés biztosítja ezt a feltételt.
A következ® ábrákon megnézzük, hogy az n =ω
e0esetben hogyan néz ki a közelítés a
2014-es és az 1950-es magyar [8] adatok esetében. (A másik (n = 1) széls®értéket már láttuk
a 2.2. és 2.3. gra�konokon.)
A gra�konokon látszik, hogy az újabb adatokra jobban illeszkednek a számolt értékek,
illetve a különbség csak 100 éves kor felett vált el®jelet, addig a képlet felülbecsüli a hát-
ralév® várható élettartamot, tehát a korábbi várható élettartamra vonatkozó becslésekkel
ellentétben mi felülr®l becsültünk a 2014-es adatok esetében.
29
2.4. ábra. Várható élettartam közelítése 2014-ben
2.5. ábra. Túlélési valószín¶ségek közelítése 2014-ben
2.6. ábra. Várható élettartam közelítése 1950-ben
Az 1950-es adatokra azonban mi is alsó becslést adtunk.
30
2.7. ábra. Túlélési valószín¶ségek közelítése 1950-ben
Az öregedési mutatók összehasonlítása
Az e0 fels® korlátjából tudjuk, hogy 1 < n ≤ ω
e0. Az n értékének ebben az intervallumban
való változtatásával vizsgáljuk meg, hogy hogyan tér el egymástól az
(2.15) A =
1
xA|p0
∫ ω−xA
0xA+t|p0dt
e0
(az xA korban hátralév® és a születéskor várható élettartam aránya), és az
(2.16) a =1
lxa
∫ ω
xa
ltdt =1
xa|p0
∫ ω−xa
0xa+t|p0dt
(az xa korban hátralév® élettartam) öregedési mutató, pontosabban ha valamely n0 esetén
xA = xa, és az A és a ezen értékeit rögzítjük, akkor hogyan változik egymáshoz viszonyítva
az xA és xa.
Vegyük észre, hogy a (2.14) egyenletben az általános levezetés (2.13) összefüggéséhez
hasonlóan el®áll
x|p0 =
[e0 ·
(1− exp
( ω
e0(−n + 1)
[(1− x
ω
)−n+1
− 1]))]′
= P ′x,
deriváltfüggvényként és Pω = e0 az x→ ω határértékben teljesül, ezért ki tudjuk számolni
31
az A és a (2.15) és (2.16) formuláiban szerepl® integrálokat:
A =
Pω − PxA
xA|p0e0
=
e0 − e0
[1− exp
(ω
e0(−n + 1)
[(1− xA
ω
)−n+1
− 1])]
xA|p0e0
=
exp
(ω
e0(−n + 1)
[(1− xA
ω
)−n+1
− 1])
exp
(ω
e0(−n + 1)
[(1− xA
ω
)−n+1
− 1])·(
1− xA
ω
)−n =(
1− xA
ω
)n.
Hasonlóan,
a =Pω − Pxa
xa|p0=
e0 − e0
[1− exp
(ω
e0(−n + 1)
[(1− xa
ω
)−n+1
− 1])]
xA|p0
= e0
exp
(ω
e0(−n + 1)
[(1− xa
ω
)−n+1
− 1])
exp
(ω
e0(−n + 1)
[(1− xa
ω
)−n+1
− 1])·(
1− xa
ω
)−n = e0
(1− xa
ω
)n.
Fejezzük ki az xA és xa korhatárokat:
xA = ω(1− n√A), és xa = ω
(1− n
√a
e0
).
Mivel A és a olyan konstansok, amelyekre
ω(
1− n0
√a
e0
)= xa(n0) = xA(n0) = ω(1− n0
√A),
vagyis A =a
e0, ezért a korhatárok egymáshoz viszonyított változását deriválásokkal tudjuk
összehasonlítani.
Más függvények esetén is kereshetünk elméleti kritériumokat.
Az exponenciális ex görbe viselkedése
A folytonos ex görbét nem csak hatványfüggvényként adhatjuk meg, hanem ennél bonyo-
lultabb kifejezésként is. Például polinom alakban, exponenciális, vagy akár logaritmusfügg-
vényként is. Ezek közül most az exponenciális formát vizsgáljuk meg. Ez a függvény gyorsan
változik, tehát kicsi x értékekre is már közel kerülünk a 0 várható hátralév® élettartamhoz.
32
Legyen ex = e0exp(−x)− exp(−ω)
1− exp(−ω). Ha a törtet megszorozzuk 1 egésszel és az exp(x)
függvényt a szokásos ex-szel jelöljük, akkor az
ex = e0eω−x − 1
eω − 1
alakot kapjuk. (Bízunk benne, hogy a kedves Olvasó nem keveri össze az alsó indexet és a
kitev®t.)
Megjegyzés. De�niálhattuk volna az ex függvényt tetsz®leges 0 < a 6= 1 alapú expo-
nenciális függvényként is, csak a számolások egyszer¶sítése miatt használtuk a természetes
alapot.
Ez a függvény a hatványhoz hasonlóan monoton csökken® és konvex. Az els®
e′0 = e0−eω
eω − 1≥ −1
deriváltra tett (2.7) egyenl®tlenségb®l �amit igazoltunk a folytonos esetben is� az e0 ≤eω − 1
eωegy fels® korlát a várható élettartamra.
A px görbe viselkedése
Mivel e0 < 1, ezért az exponenciális ex függvény a csecsem®halandóságot modellezi, ami-
vel nem kifejezetten szeretnénk foglalkozni. Ezért az eredményeket csak röviden ismertetjük,
illetve a tényleges adatokra illeszkedést sem ábrázoljuk.
A hatványfüggvény esetében használt jelölésekkel és ahhoz hasonló levezetéssel a (2.13)
azonosságból kapjuk, hogy
x|p0 =1
e0
eω − 1
eω−x − 1exp
(−∫
1
e0
eω − 1
eω−x − 1
).
Az exponenciális függvény argumentumában szerepl® integrált most is viszonylag egyszer¶
(y = eω−x) helyettesítéssel számolhatjuk ki: a konstansok kiemelése után∫1
eω−x − 1= ln
(C
eω−x
eω−x − 1
).
Tehát
x|p0 =1
e0
eω − 1
eω−x − 1exp
(1− eω
e0
∫1
eω−x − 1
)=
1
e0
eω − 1
eω−x − 1exp
(1− eω
e0ln(C
eω−x
eω−x − 1
))=
1
e0
eω − 1
eω−x − 1C
1−eω
e0
( eω−x
eω−x − 1
) 1−eω
e0 ,
33
ahol C = ee0
1−eω
0
eω − 1
eω, és így
x|p0 =eω − 1
eω−x − 1
(eω−xeω· eω − 1
eω−x − 1
) 1−eω
e0 .
Az öregedési mutatók összehasonlítása
A hatványfüggvény esetéhez hasonlóan az x|p0 most is el®áll egy Px függvény derivált-
jaként, ahol
Px = e0 − e0
(eω − 1
eω· eω−x
eω−x − 1
) 1−eω
e0 .
Ezért a (2.15) és (2.16) mutatók:
a =
e0 −
(e0 − e0
(eω − 1
eω· eω−xa
eω−xa − 1
) 1−eω
e0
)eω − 1
eω−x − 1
(eω−xa
eω· eω − 1
eω−xa − 1
) 1−eω
e0
= e0eω−xa − 1
eω − 1
és
A =eω−xA − 1
eω − 1.
Ezekb®l az egyenletekb®l
xa = ln(e0
eω
a(eω − 1) + e0
), és xA = ln
eω
(eω − 1)A + 1.
Az egyenl®ségükb®l kapjuk most is, hogy A =a
e0, ahogy a hatványfüggvény esetében is
láttuk.
A logaritmus ex görbe viselkedése
Érdemes megnézni még azt az esetet is, amikor a várható élettartam lassan csökken az
id® múlásával, vagyis ex egy lassú változású függvény. Nagyjából ez szemléltetné a �nyu-
gatias� korfát. A legegyszer¶bb ilyen függvény a logaritmus. A konvexitás feltétele miatt
azonban a logaritmusfüggvényt csak úgy tudjuk transzformálni, hogy az ismét gyorsan fog
változni. Következésképp a fejlett országok korfájának a modellezésére talán a legalkalma-
sabb függvénycsalád a hatványfüggvény, illetve ezek összegéb®l képezett polinomfüggvények
lesznek. A 4. fejezetben ezért is vizsgáljuk majd az adatokat a polinomok segítségével.
Azért a teljesség kedvéért röviden számoljuk végig ezt az esetet is.
Legyen 0 < b < 1 tetsz®leges(célszer¶ a b =
1
nalakra gondolni, ahol n ∈ N
)és
ex =e0
logb
1
1 + ω
logb
1 + x
1 + ω.
34
Az ex függvényt most is úgy de�niáltuk, hogy monoton csökken® és konvex legyen. A 0
pontban vett deriváltja:
e′0 =e0
ln1
1 + ω
≥ −1,
és ezért e0 ≤ ln(1 + ω). Itt érdemes meg�gyelni, hogy a fels® korlát független a választott
b konstanstól. A továbbiakban megint csak a legegyszer¶bb logaritmus függvénnyel számo-
lunk, de a b alapú logaritmussal is teljesen hasonlóan kell bánni (könnyen áttérhetünk a b
alapú logaritmusról a természetes alapra).
Megjegyzés. Az alacsony fels® korlát miatt a viszonylag fejletlen (vagy szebben kifejezve
a fejl®d®) társadalmakat tudjuk így modellezni.
Legyen
ex =e0
ln(1 + ω)ln
1 + ω
1 + x.
A px görbe viselkedése
Az exponenciális és hatványfüggvény esetéhez hasonlóan most is a (2.13) egyenl®séget
alkalmazva kapjuk, hogy
x|p0 =ln(1 + ω)
e0 ln1 + ω
1 + x
exp( ln(1 + ω)
e0(1 + ω)Ei
(− ln
1 + ω
1 + x
)+ C
),
ahol Ei(x) az exponenciális integrál,−Ei(−ln
1
1 + x
)=
∫1
ln1
1 + x
dx, Ei′(−x) =1
xex, Ei(0) =
−∞ határértékben és C = ln e0 −ln(1 + ω)
e0(1 + ω)Ei(− ln(1 + ω)), és így
x|p0 =ln(1 + ω)
ln1 + ω
1 + x
exp( ln(1 + ω)
e0(1 + ω)
[Ei(− ln
1 + ω
1 + x
)− Ei(− ln(1 + ω))
]).
Ellen®rzésként nézzük meg az x = 0 és x = ω végpontokban a kapott függvény értékeit. A
0|p0 = 1, ω|p0 = 0
határértékben teljesül.
Az öregedési mutatók összehasonlítása
A korábbi két esethez hasonlóan az x|p0 függvény a
Px = e0 − e0 exp( ln(1 + ω)
e0(1 + ω)
[Ei(
ln1 + ω
1 + x
)− Ei(ln(1 + ω))
])35
deriváltja és ezért a (2.15) és (2.16) mutatók az exponenciális esethez hasonlóan
a =
e0 −
(e0 − e0 exp
( ln(1 + ω)
e0(1 + ω)
[Ei(
ln1 + ω
1 + xa
)− Ei(ln(1 + ω))
]))ln(1 + ω)
ln1 + ω
1 + xa
exp( ln(1 + ω)
e0(1 + ω)
[Ei(
ln1 + ω
1 + xa
)− Ei(ln(1 + ω))
]) = e0
ln1 + ω
1 + xa
ln(1 + ω)
és
A =ln
1 + ω
1 + xA
ln(1 + ω).
Tehát
xa = (1 + ω)1− a
e0 − 1, és xA = (1 + ω)1−A − 1.
Az egyenl®ségükb®l kapjuk most is, hogy A =a
e0, ahogy a hatvány- és exponenciális függ-
vények esetében is.
A fejezet összefoglalásaként megállapíthatjuk, hogy az elemi függvények esetében fennáll
az A =a
e0összefüggés.
Nem elemi függvények esetében is hasonló eredményt várhatunk.
Azt is láttuk, hogy a három vizsgált függvénycsalád közül csak a hatványfüggvény mo-
dellezheti a valós adatainkat, a másik kett® �túlságosan konvex�, nincs bennük paraméter,
amivel ez változtatható lenne. További vizsgálatot érdemelhet, hogy a hatványfüggvény
esetében id®ben hogyan változik a kitev® nagysága. A társadalom öregedése, illetve a min-
den korosztályban tapasztalható túlélési valószín¶ség növekedése arra enged következtetni,
hogy a hátralév® élettartam gra�konja egyre kevésbé konvex, ami azt jelenti, hogy az n
kitev® egyre közelebb kerül az 1 értékhez. Egy érdekes kérdés lehet, hogy milyen gyors ez a
tendencia.
A következ® fejezetben megnézzük a most levezetett eredmények rövid gyakorlati al-
kalmazását. Láttuk, hogy a várható élettartam, a túlélési valószín¶ség és a kihalási rend
szorosan összefügg egymással, ezért a fejezet zárásaként tekintsük át a legfontosabb halan-
dósági törvényeket. Az alábbi rövid áttekintés Vékás Péter [15] doktori disszertációjában
található:
Az els® �kezdetleges� halandósági törvényt de Moivre [1752] javasolta. Törvénye szerint
az emberi élettartamok a születés és a feltételezett legmagasabb életkor közötti intervallu-
mon egyenletes eloszlásúak. Gompertz [1825] törvénye szerint az életkorfügg® halandóság az
36
életkorral exponenciálisan n®, ami abból az empirikus meg�gyelésb®l ered, hogy a Gompertz
által meg�gyelt életkorfügg® halandósági ráták nagyjából konstans hosszúságú intervallumon-
ként kétszerez®dtek meg. Gompertz törvényét Makeham [1867] additív konstanssal b®vítette,
amit az életkortól függetlenül alakuló -jellemz®en baleseti- halálozások indokolnak. Az álta-
la javasolt összefüggés Gompertz-Makeham törvény néven is ismert. A logisztikus törvény
(Perks [1932]) a Gompertz-Makeham törvény olyan módosítása, amely képes megragadni
a legmagasabb életkorokban már lassuló ütemben növekv® halandóság empirikus jelenségét.
Weibull törvénye (Weibull [1951]) a megbízhatóság-elméletb®l származik, és konstrukciója
egy egymástól függetlenül meghibásodó alkatrészekkel rendelkez® mechanizmus élettartamát
írja le. Újabb, összetettebb paraméteres halandósági törvényekre példa a nyolc paraméterrel
rendelkez® Heiligman-Pollard törvény (Heiligman-Pollard [1980]).
37
3. fejezet
Gyakorlati alkalmazás
A dolgozatnak ezen része lényegében Banyár József [1] el®adásában szerepl® utolsó há-
rom dia egyszer¶ kib®vítése.
Röviden megvizsgáljuk, hogy az els® fejezet végén vázolt indexálási módszerekre milyen
formában illeszkedik a második fejezetben tárgyalt matematikai fejtegetés.
Ha egy adott életkor után minden túlélési valószín¶séget egységesen megnövelünk ugyan-
olyan százalékos mértékben, akkor a várható élettartam ugyanilyen mértékben n®, mert
kex =
∫ ω−x
0
k t|pxdt
a (2.10) egyenletb®l.
Megjegyzés. Az adott kor utáni kikötés csak azért kell, mert a p0 = 1 valószín¶séget nyil-
ván nem tudjuk növelni. Gondolhatunk például a csecsem®kor utáni életkorra is. Alacsony
csecsem®halandóság esetén az 1 körüli túlélési valószín¶séget már nehéz növelni, a túlélé-
si függvény monoton csökken® tulajdonsága miatt azonban (a hatványfüggvények esetében
majdnem minden k > 1 esetén) találhatunk ilyen x0 küszöb-életkort. A fenti összefüggésben
x legyen nagyobb ennél az adott x0 küszöbértéknél.
Tegyük fel, hogy a várható hátralév® élettartam növekedésére teljesül, hogy
• marad változatlan az ω lehetséges legnagyobb megélt kor (a 3. oldalon található 1.
elmélet),
• az x0 kor után lx, és a fenti gondolatmenet alapján vele együtt az ex is adott százalékkal
egyenletesen n®,
• az x0-t fokozatosan növeljük.
38
Röviden azt az esetet nézzük, amikor az id®sebb korban az emberek egészségesebbek (ahogy
a 11. oldalon bevezetett HALE mutató is jelezte), de a várható legmagasabb életkor nem
változik. A tapasztalatok azt mutatják, hogy az embereknek van egy biológiai korlátja,
vagyis az egészségügy javulásával az id®sek egyre egészségesebbek, ��ttebbek�, azonban a
100 éves kort megélt személyek száma �Magyarországon� nem n® szigni�kánsan.
Megjegyzés. A 2010-es években a 115 év t¶nik a fejlett országokban a végs® fels® korha-
tárnak, a 100 évesnél id®sebbek száma 100.000-es nagyságrend¶ is lehet.
Feltehet®, hogy xA, xa > x0, vagyis nem csak a nyugdíjasok várható élettartamát növel-
jük arányosan, hanem a még aktív korúak legalább egy részének is. Továbbá, ha a túlélési
valószín¶ségek arányosan n®nek, akkor az xA és xa ugyanilyen arányban n®.
Most azt keressük, hogy mennyivel kell a túlélési valószín¶ségek növelése után növelni
xA és xa értékét ahhoz, hogy a régi a, illetve e0A értékekkel legyenek egyenl®k?
Heurisztikusan azt lehet mondani, hogy xA-t kevesebbel kell növelni, mert az új túlélési
valószín¶ségek x0 alatt a feltevésünk alapján nem növekedtek, és így az e0 kevesebbel nö-
vekedett, mint az exA. A (2.15) egyenl®ségben az A-t lényegében az
exA
e0arányként írtuk
fel, ezért itt (k-nál) kisebb értéket kell �ledolgozni�, mint exa esetében, ahol a (2.16)-ban
de�niált új a ugyanolyan k arányban n®tt, mint exa .
Ez azt sejteti, hogy ha már �nyugatias� lesz (vagyis a px alig csökken nagy x értékek
esetében is) a kihalási rend, akkor xa n® gyorsabban.
Általánosan fogalmazva ha a kihalási rend úgy változik, hogy jobban n® a várható hát-
ralév® élettartam az alacsonyabb koroknál, mint a magasabbaknál, akkor az A, ha inkább a
magasabb koroknál n® jobban, akkor az a típusú relatív öregségi korhatár n® gyorsabban.
39
4. fejezet
Egy másik megközelítés
Ahogy a bevezet®ben is említettük, a nyugdíjba vonulási életkort nem csak az egyén élet-
pályája alapján határozhatjuk meg, hanem a társadalom szempontjából is megvizsgálhat-
juk. Ekkor az életbiztosítás matematikájának elegend® lehet csak egy részét, a statisztikát,
illetve az approximációelméletet használni.
A folyó �nanszírozású rendszerekben fontos, hogy az aktívak és a nyugdíjasok aránya
ne legyen túl kicsi. Legyen
B =aktív népesség létszámanyugdíjasok lélekszáma
nagyjából az id®skori függ®ségi ráta reciproka. Ekkor B aktív dolgozónak kell eltartania
1 nyugdíjast. (Ezt az eltartást tekinthetjük úgy is, hogy amikor a most aktív keres® még
gyermek volt, akkor az akkori aktív dolgozók, vagyis a mostani nyugdíjasok meghitelezték
neki a felneveléséhez szükséges anyagi források egy részét, és most ezt törleszti vissza a
társadalomnak.)
Egy lehetséges megoldás, ha a múltban megnézzük, hogy mennyi volt a várható élet-
tartam, illetve hány éves korban mentek nyugdíjba az emberek. Az 1.8. ábrán pont ezt
láthatjuk. (Az elméleti és a tényleges nyugdíjba vonulási kor között lényeges különbség
is lehet.) Erre a két mennyiségre felírunk közelít® függvényeket. A legegyszer¶bb olyan
függvények, amelyek a megadott adathalmazra illeszkednek és könnyen kezelhet®k, azok a
polinomok.
Ahogy korábban már említettük, a jöv®beli várható élettartamra rengeteg becslés vo-
natkozik (legtöbbször a Lee-Carter módszert használják). Általában azt tapasztalják, hogy
a Lee-Carter modellben elegend® a lineáris becslés, ami a legegyszer¶bb nem konstans po-
linom.
40
Ha a múltbéli adatokból találunk egy összefüggést a két polinom között, akkor ezzel fel
tudunk vázolni lehetséges szcenáriókat a nyugdíjkorhatár indexálására is.
A diszkrét adatokra illesztünk Lagrange-polinomot.
Jelölés. Legyen
fl(x) =∏k 6=l
x− xk
xl − xk
,
ahol xl azokat az évszámokat jelöli, amelyre van adatunk. Ekkor
fl(x) =
1, ha x = xl,
0, x = xk valamely l 6= k indexre
és mindenütt folytonos.
Jelölés. Legyen e(xl)0 az xl évben született emberek várható hátralév® élettartama, r(xl)
pedig ugyanekkor a nyugdíjba vonulási kor.
Legyen
E(x) =∑l
e(xl)0 · fl(x).
Ez a polinom pontosan illeszkedik a születéskor várható élettartam (diszkrét, éves) adatokra,
a közbüls® intervallumokban pedig matematikailag könnyen kezelhet®, hasonlóan az
R(x) =∑l
r(xl) · fl(x)
pontosan megmutatja a nyugdíjba vonulási kort minden xl évben.
Végül keresünk olyan F függvényt, ami az E és R függvények között kapcsolatot teremt.
Általános esetben az F (E(x)) = R(x) összefüggést kellene tudnia, de mivel E és R is
polinom, ezért F el®állhat
F (x) =R(x)
E(x)
maradékos osztás alakjában is.
Németh László és Obádovics Csilla [11] el®rejelzése szerint Magyarország várható össz-
lakosságát és a 65, illetve 70 feletti lakosság arányát látjuk a következ® táblázatban.
41
Év Lakosság száma 65 év felettiek arány (%) 70 év felettiek aránya (%)
2020 9541469 20,6 13,83
2025 9295360 22,7 16,27
2030 9047175 23,6 18,17
2035 8807965 25,12 18,89
2040 8597777 27,26 20,16
2045 8406522 30,21 22,13
2050 8232439 31,21 24,9
2055 8066892 31,96 25,87
2060 7902861 32,99 26,64
4.1. táblázat. Élettartam el®rejelzés
A táblázat alapján láthatjuk, hogy a 65 éves nyugdíjkorhatár nem tartható hosszútávon,
hiszen ha csak az öregségi nyugdíjasellátást tekintjük (ahogy az els® fejezetben is említet-
tük), 2060-ra az eltartottak száma akkor is a teljes lakosság harmadát fogja kitenni. Ha 70
évre emelik a korhatárt, az arányuk 2050-re akkor is el fogja érni a népesség negyedét.
Az alábbi táblázatban a fejezet elején de�niált B értékeit látjuk a [11] el®rejelzés szerint
abban az esetben, amikor az aktív népességet a 25-64, illetve 25-69 korcsoportnak tekintjük,
a nyugdíjasoknak pedig a 65, illetve 70 évnél id®sebbeket.
Év B(65) B(70)
2020 2,62 4,42
2025 2,31 3,62
2030 2,2 3,15
2035 2,03 3,03
2040 1,81 2,8
2045 1,55 2,48
2050 1,48 2,11
2055 1,43 2,01
2060 1,36 1,92
4.2. táblázat. Aktívak és nyugdíjasok aránya, forrás: [5]
42
Érdekes kérdés, hogy mit kellene optimális aránynak tekinteni. A 2 körüli érték bizto-
san alacsony. Az Eurostat [5] adatai alapján Magyarországon a függ®ségi ráta 1990-ben
0,2 volt, és szigorúan monoton n®tt 2017-ig, amikor az értéke már 0,279. Ez azt jelenti,
hogy a korábban számol B érték 5-r®l csökkent 3,58-ra. Az el®rejelzés szerint a következ®
években még gyorsabban fog csökkenni, ezért a nyugdíjkorhatár emelése elkerülhetetlen. Az
alábbi ábrán szemléletesen is megnézhetjük, hogy az el®rejelzés szerint milyen ütemben fog
csökkenni:
4.1. ábra. B értékének változása
43
5. fejezet
A nyugdíjkorhatár változása
Az alábbi áttekintés az Economist [3] soraiban olvasható: Az 1800 el®tti id®szakban a
világon egyetlen ország sem volt, ahol a születéskor várható élettartam 40 évnél nagyobb
volt. Ma nincs olyan ország, amelyikben 40 évnél alacsonyabb. 1900 óta több évvel n®tt az
emberi várható élettartam, mint a történelem korábbi részében összesen. Ennek oka kezdet-
ben a gyermekhalandóság csökkentése, az utóbbi id®ben az élettartam meghosszabbítása volt.
A �longevity� az emberiség nagyszer¶ eredménye. Ennek ellenére manapság a társadalom
egyik legnagyobb fejtörését okozza. A probléma az, hogy a id®sebbek egyre inkább függnek a
�ataloktól. 2100-ra a 65 év felettiek és a munkaképes emberek aránya háromszorosára fog
emelkedni. Ahogy a világ lakosságának az átlagéletkora n®, a gazdasági növekedés, az adó-
bevételek és a munkaer® csökken, miközben a nyugdíjak és az egészségügyi ellátás költségei
növekedni fognak.
A bevezetésben említettük, hogy Magyarországon a várható élettartam alacsonynak
számít (lassabban n®) a nyugati országokban mért adatokhoz képest. Ezért amíg a magyar
társadalomban várhatóan csak 2030 körül súlyosbodnak ezek a problémák, addig az EU
központi országaiban ez valószín¶leg korábban bekövetkezik.
Banyár József 2017. szeptember 21-én az ONYF longevity konferencián elhangzott el®-
adásán elhangzott lehetséges megoldások:
• A longevity miatt a változatlan �nanszírozási modellben csökken a nyugdíjak érté-
ke. El®takarékoskodunk a hiányzó ellátásokra, vagyis részlegesen felt®késítjük a TB-t.
(Másképp: most csökkentjük kicsit az életszínvonalat, hogy kés®bb ne csökkenjen na-
gyon.)
44
• Egyre növeljük a járulékszintet, vagyis a �nanszírozási problémát, mint tehernövelést
áttoljuk az újabb generációkra. Vagyis nem az id®s generáció életszínvonalát csökkent-
jük, hanem a �atalét.
A járulékszint emelése a rövid távú, kapkodó politikai alternatíva. Ez az érintett �a-
talokat ellenakciókra készteti. Például a kivándorlással a �atalok kivonják magukat a
járulék�zetés alól, még inkább súlyosbítva a TB �nanszírozási problémáit.
• Megpróbáljuk növelni a TFR-t, vagy más módon pótolni a hiányzó aktívakat.
A TFR növelése nagyon sok országban napirenden van, az általános benyomás, hogy
ennek a jó módszerére még nem igazán jöttek rá. Azokban a fejlett országokban, ahol a
TFR közel van a 2,1-hez, ott is azt tapasztaljuk, hogy azt f®leg az alacsony iskolázott-
ságú bevándorlók magas fertilitása emeli relatíve magas szintre. Ez pedig nem biztos,
hogy jó megoldás, mert ®k hajlamosak továbbörökíteni saját alacsony iskolázottságu-
kat, ami másképp azt jelenti, hogy gyermekeikb®l nem igazán válik jó járulék�zet® az
egyre inkább tudásalapú gazdaságokban.
Egy járulékos megoldás a bevándorlás, de ez csak akkor, ha a bevándorlók megfe-
lel®en iskolázottak. A bevándorolni kész tömegek elsöpr® többsége nem ilyen, vagyis
a bevándorlás akkor megoldás, ha sikerül �lefölözni� a fejl®d® országok kis létszámú
intelligenciáját. Az Egyesült Államok jó ebben, de ez azt is jelenti, hogy lényegében
mindenki mástól (így pl. az EU-tól is) elszívják ezt a réteget. Marad tehát az egymástól
csábítás. Az EU-n belül például manapság nagyban megy az, hogy a fejlett EU orszá-
gok csábítják a közepesen fejlett EU országok �ataljait. Ezzel náluk oldódik az alacsony
TFR miatti TB �nanszírozási probléma azon az áron, hogy a közepesen fejletteknél ez
hamarabb és jobban kiélez®dik.
• Hosszabb aktív életszakasz.
A jelenlegi foglalkoztatás olyan, hogy aktív korban némileg �túlhasználják�, s ezzel �el-
használják� a munkavállalót, ami a min®ségi öregedési korhatárt lefele nyomja. Ennek
legf®bb oka az évi viszonylag magas munkaórák száma. Ráadásul a nyugdíjba vonu-
lással ez egy csapásra csökken le a lehet® legalacsonyabb szintre. Ez így biztosan nem
racionális, ugyanazt az életpálya munkaid®t hosszabb id® alatt, egyenletesebben lehet-
ne elosztani. A munkaid® csökkentése több lehet®séget ad egészségünk meg®rzésére, s
ezzel arra, hogy a min®ségi öregedési korhatár gyorsabban növekedjen, mint a relatív
öregedési korhatárok.
45
A dolgozat eddigi részében áttekintettük, hogy elméletileg milyen megoldási lehet®sé-
gek közül választhat Magyarország ahhoz, hogy az állami nyugdíjrendszere fenntartható
maradjon. A fejezet hátralév® részében azt kutatjuk, hogy manapság mit gondolnak a ma-
gyar nyugdíjrendszerr®l a szakért®k, illetve más országokban milyen módszerrel próbálják
meg kezelni a longevity problémát. A függelékben látható gra�kon Németh László és Obá-
dovics Csilla [11] el®rejelzése alapján készült, és azt mutatja, hogy ha a népesség 10, 20,
30%-át szeretnénk nyugdíjasként, akkor milyen magasnak kellene lenni a korhatárnak.
A magyar döntéshozók politikai okokból nem merték csökkenteni a nyugdíjak összegét,
hiszen a sok nyugdíjas akár eldöntheti a 2018-as választások eredményét is, illetve a dolgozók
járulékbe�zetéseihez sem nyúltak egyel®re hasonló okok miatt.
Amit megtettek az elmúlt években a fenntarthatóság érdekében, az a svájci indexálás,
a 13. havi nyugdíj eltörlése és a nyugdíjba vonulási kornak az emelése. Ezt arra hivatkozva
tették, hogy az EU többi országában szinte mindenhol magasabb volt korábban a korhatár.
Az alábbi táblázat a legfrissebb hivatalos adatokat tartalmazza:
Születési id® Nyugdíjkorhatár A nyugdíjra való jogosultság id®pontja
1953 63 2016
1954 63,5 2017 II. félév / 2018 I. félév
1955 64 2019
1956 64,5 2020 II. félév / 2021 I. félév
1957 65 2022
1958 65 2023
1959 65 2024
1960 65 2025
5.1. táblázat. Nyugdíjkorhatár változása napjainkban Magyarországon
A táblázatból látjuk, hogy csak ötletszer¶en és lépcs®zetesen növelik a korhatárt fél éves
lépésekkel. A kés®bbi alakulásról Suze Orman [14], amerikai pénzügyi szakért® 2017-ben a
következ®t nyilatkozta: Jobb, ha mindenki felkészül, hetven éves kor az új nyugdíjkorhatár.
További fontos észrevételek ugyanebb®l a forrásból: Magyarországon egyébként 10 év
alatt, 2016-ra nem kevesebb mint 4,5 évvel n®tt az állampolgárok munkában maradási ideje.
Ami a második legtöbb volt az Európai Unióban.
46
A bevezet®ben említett rossz egészségügyi állapot egyenes következménye, hogy a ma-
gyar fér�ak nyugdíjasként mindössze 6,2 a n®k pedig 6,1 évet töltenek el jó egészségi álla-
potban.
A 2018-as választások után a megalakuló kormány talán elkezdi a nyugdíjrendszer radi-
kális átalakítását, ekkor talán el®kerülhet a gyermekekt®l függ® nyugdíjszámítás is. Azonban
az szinte biztos, hogy ekkor sem lesz a nevében �gyermektelenségi adó�, hanem a több gyer-
meket vállalókat fogják jutalmazni.
5.1. Más EU tagországok
Ebben a részben röviden megnézzük, hogy más országok milyen indexálási módszert
használnak a nyugdíjkorhatár emelésére, illetve röviden utalunk arra is, hogy a korábbi
egyéb javaslatok közül melyeket kívánják alkalmazni.
Az alábbi összefoglalás a [4] Fehér Könyben található.
Néhány tagállam úgy próbál kés®bbi nyugdíjazást elérni, hogy megemeli a teljes nyugdíj meg-
szerzéséhez szükséges járulék�zetési évek számát, vagy a várható élettartam növekedéséhez
köti (pl. Csehország, Görögország, Franciaország, Olaszország).
Más országok a nyugdíjellátás szintjét kötik a hosszabb várható élettartamhoz (pl. Por-
tugália), míg néhányan az ellátás szintjét a nyugdíjrendszer pénzügyi egyensúlyához kötik
(pl. Németország, Svédország), amelyet befolyásolnak majd a demográ�ai változások és a
várható élettartam megnövekedése.
A legtöbb tagállam hosszabb munkaviszonnyal lehet®séget kínál a magasabb nyugdíjra,
amivel egy adott nyugdíjkorhatár esetén kompenzálni lehet a nyugdíjak csökken® értékét, és
így meg lehet ®rizni a nyugdíjak megfelel®ségét. Fontos hangsúlyozni, hogy a tényleges nyug-
díjkorhatár megemelése nem a �atalok és az id®sek érdekeinek ütköztetését jelenti, hanem
inkább a köztük lév® megfelel® egyensúly megtalálását.
A következ® alfejezetekben a [4] White Paper (2012) alapján megnézzük, hogy 2010
körül milyen intézkedéseket hoztak Csehországban, Görögországban, Észtországban, Olasz-
országban és Németországban.
El®tte egy, a fentinél frissebb tervek olvashatóak Richter Ádám [13] 2017-es cikkben:
A születéskor várható élettartam dinamikus növekedése miatt több országban � köztük a
briteknél is � felmerült, hogy ehhez kötnék a nyugdíjkorhatárt is. Vagyis nem �xálnák az
47
életkort, hanem mindig attól tennék függ®vé a korhatárt, hogy átlagosan hány évig élnek az
emberek. Így a nyugdíjban töltött évek száma elvileg nem változna (az els® fejezet végén ezt
hívtuk �xe-nek), csak kés®bbre tolódna a visszavonulás ideje. Hogy néhány európai példát
mondjunk, Finnországban, Olaszországban, Görögországban, Portugáliában és Szlovákiában
is ez a terv. A csehek ennél is tovább mentek: �xen, évente két hónappal növelik a korha-
tárt. (Tehát lényegében a várható élettartam növekedését®l függetlenül emelik a korhatárt,
nagyjából ilyen ütem¶ korhatáremelést ajántott Andrew Mason és Roland Lee a 11. és 12.
oldalon idézett [3] cikkben, illetve Banyár József is a 15. oldalon idézett el®adásában is.)
A dolgozatban tárgyalt módszerek közül tehát a �xe-t alkalmazzák, vagy vezetik be több
országban is, illetve a csehek ennél is komolyabb emelésre számíthatnak. Ha elfogadjuk, hogy
az ω korlátos (a 3. oldalon az 1. elméleti lehet®ség), akkor a cseh nyugdíjkorhatár elvileg
ezt az ω-t is átlépheti (bár az is tény, hogy ehhez nagyon hosszú id®nek kell eltelnie).
A dolgozat zárásaként megemlítjük, hogy a fenti országok milyen fontosabb intézkedé-
seket hajtottak végre a nyugdíjrendszer fenntarthatósága érdekében.
5.1.1. Csehország
2011-es nyugdíjreform lényege:
• A nyugdíjkorhatár emelése. Ez különösen a gyermekes n®ket érinti, a cél, hogy 2040
után elérjék az egységes nyugdíjkorhatárt. Ez a közös korhatár is emelkedni fog évente
2 hónappal, ezzel nagyobb kapcsolat lesz a hozzájárulások és a nyugdíjak között.
• Szigorúbb indexálási szabály: az el®z® szabály egy alsó korlát a korhatár emelésére.
• A korengedményes nyugdíjazási lehet®ségek szigorítása.
Továbbá a 2010-es reform szerint a tanulmányi id®szakot már nem ismerik el, és a
szükséges biztosítási id®tartamot 25 évr®l 35-re emelik 2019-re.
5.1.2. Görögország
A nyugdíjba vonulási életkort a várható élettartamhoz kötötték, (2060-ra várhatóan 69
év 4 hónap lesz mindkét nem számára).
48
2010 júliusában a parlament átfogó javaslatot fogadott el a f® nyugdíjrendszerek reform-
járól. A reform egyszer¶sítette az er®sen szétszabdalt nyugdíjrendszert, fokozta az átlátható-
ságot és a méltányosságot, emelte a nyugdíjkorhatárt, és csökkent az el®nyök nagylelk¶sége.
Az új, általánosan kötelez® szabályok a jogosultságokról, hozzájárulásokról, felhalmozási sza-
bályokról és a nyugdíjjogosultság indexálása a f® nyugdíjra vonatkozik.
A reform f® elemei:
• Havi 360 euró alapnyugdíj bevezetése (12 évig �zetik).
• Az új rendszer bevezeti az eredményszemlélet¶ arányokat, ami minden olyan mun-
kavállaló számára csak a munkával töltött évek számától függ (a keresetek 0,8-1,5
százaléka).
• A reform megnöveli a törvényes nyugdíjkorhatárt 60-ról 65 évre. A nyugdíjazási kor
minimum 60 év, aki id® el®tt nyugdíjba megy, rá büntetések alkalmazandók.
• Az aktív életszakaszt 40 évre emelik. (Összehasonlításként általában 35 év volt koráb-
ban).
• 2021-t®l kezd®d®en a minimális és törvényes nyugdíjkorhatárt az élettartam változás-
nak megfelel®en igazítják ki várhatóan 3 évente.
• A fér�ak és a n®k nyugdíjkorhatárának kiegyenlítése 2013-ig.
• Az ellátások indexálása (beleértve az alapnyugdíjat) nem haladhatja meg a harmonizált
fogyasztói árindexet (HICP-t).
• A nyugdíjra ki�zethet® összeget a teljes jövedelemtörténet alapján számolják.
Az új jogszabály tartalmaz egy fenntarthatósági záradékot, amely el®írja, hogy amennyi-
ben hosszú távú el®rejelzések az állami nyugdíjkiadások emelkedése 2009 és 2060 között
meghaladja a GDP 2,5 százalékpontját, akkor a nyugdíjrendszer vonatkozó paraméterei meg-
változnak azért, hogy a kiadások növekedését a célzottnál alacsonyabb szintre emeljék.
5.1.3. Olaszország
A nyugdíjazás a várható élettartamhoz kötött (2020-ra várhatóan 70 év 3 hónap lesz).
2011 folyamán három egymást követ® jogszabályi beavatkozás történt az olasz nyugdíj-
rendszerben. A f® intézkedések összefoglalása az alábbiakban foglalható össze:
49
• A magán- és közszektorban dolgozó n®k hivatalos nyugdíjkorhatárát a fér�akéhoz iga-
zítják. A kiegyenlítési folyamatot 2018-ig szakaszosan kell végrehajtani.
• A korhatár és/vagy a hozzájárulási kötelezettségek növelése.
• A 2012-2013 közötti kétéves id®szakra a minimális nyugdíjakat (kb. 1400 euró havon-
ta) nem indexálják az in�ációval.
• Ha a várható élettartammal együtt emelik a nyugdíjkorhatárt, 2018-ig akkor várhatóan
1 évvel fog emelkedni.
• A korai nyugdíjba vonulási lehet®ség minimális (35 év) követelményeit eltörölték, min-
den rendszerben. Az NDC-rendszer (névleges egyéni számla) szerint a korai nyugdí-
jazás engedélyezett, legfeljebb három évvel a hivatalos korhatár el®tt, 20 év szolgálati
id®vel és legfeljebb 1200 eurós nyugdíjösszegel havonta 2012-ben, amit a nominális
GDP ötéves átlagával indexelnek majd.
• A korai nyugdíjra jogosultságot is a várható élettartam változásainak megfelel®en mó-
dosítják 2013-tól, hasonlóan a hivatalos korhatárhoz.
5.1.4. Németország
Az állami nyugdíjrendszerek ®sének tekintett, Bismarck els® német nyugdíjtörvénye egy
biztosítási elven alapuló modellt vezetett be, meg®rizve ezzel a magánnyugdíjrendszerek klasszi-
kus, biztosításelv¶ jellegét, módosítva természetesen az általános kötelez® biztosítás jellegéb®l
adódó sajátosságokkal. A védettséget azáltal teremtették meg, hogy kötelez®vé (és államilag
szabályozottá) tették a nyugdíjbiztosítást, célként t¶zve ki az aktív korban elért munkajö-
vedelemmel arányos, a munkajövedelmet részben pótló ellátást az öregkorra, olvashatjuk
Gerencsér László [6] 2000-ben megjelent írásában.
2014. július 1-én lépett életbe a német nyugdíjreform, amely els®sorban �nanszírozható-
ság miatt sok vitát váltott ki a német nagykoalícióban. Az intézkedés lényege, hogy nyugdíj-
emelésben részesülnek az 1992 el®tt született gyermekeiket felnevel® anyák. A reform másik
kiemelt pontja szerint 45 évnyi járulék�zetés után a munkavállalók már 63 éves koruktól
teljes érték¶ nyugdíjban részesülhetnek. (Németországban a hivatalos nyugdíjkorhatár 67
év.)
50
Függelék
A mortalitási tábla egy része, amelyb®l a �számolás.xlsx� fájlhoz és a 2. fejezet ábráihoz
az adatokat felhasználtam, a mortality.org [8] oldalán található.
Kor \ Év 1990 1995 2000 2005 2010 2014
0 69,38 69,98 71,76 72,88 74,54 75,85
60 17,12 17,51 18,33 18,84 19,61 20,2
61 16,46 16,86 17,65 18,14 18,92 19,5
62 15,8 16,21 16,97 17,46 18,24 18,8
63 15,16 15,56 16,31 16,78 17,57 18,1
64 14,54 14,93 15,66 16,1 16,9 17,43
65 13,91 14,3 15,01 15,44 16,22 16,77
66 13,3 13,7 14,38 14,78 15,55 16,11
67 12,7 13,11 13,75 14,13 14,89 15,45
68 12,11 12,51 13,13 13,5 14,23 14,79
69 11,53 11,93 12,52 12,87 13,59 14,12
70 10,94 11,36 11,93 12,25 12,94 13,47
71 10,42 10,8 11,34 11,65 12,32 12,86
72 9,84 10,27 10,77 11,07 11,72 12,23
73 9,29 9,74 10,21 10,5 11,12 11,61
74 8,77 9,22 9,66 9,92 10,53 11
75 8,26 8,71 9,14 9,37 9,97 10,4
5.2. táblázat. Várható hátralév® élettartamok Magyarországon
51
5.1.
ábra.Nyugdíjasok
aránya
52
Irodalomjegyzék
[1] Banyár József [2017]: A nyugdíjrendszer demográ�ai eredet¶ problémái: aging el®-
adás fóliák.
[2] Banyár József [2003]: Életbiztosítás, Aula Kiadó, Budapest
[3] Economist - Special report [2017], Getting to grips with longevity.
https://www.economist.com/news/special-report/21724745-ageing-populations\
-could-be-boon-rather-curse-happen-lot
[4] European Comisson [2012], White Paper, An Agenda for Adequate, Safe and Sus-
tainable Pensions, COM, Brussels.
http://ec.europa.eu/social/BlobServlet?docId=7341&langId=hu,
letöltés dátum: 2017.04.21.
[5] Eurostat, Nyugdíjba vonulási életkor Magyarországon,
http://ec.europa.eu/eurostat/tgm/table.do?tab=table&init=1&language=en&
pcode=tsdde510, letöltés dátuma: 2018.03.21.
[6] Gerencsér László [2000]: Nyugdíjak az Európai Unióban,
http://www.kszemle.hu/kiadvany/Augusztinovics_-_Korkep_reform_utan/
ch17.html
[7] GHO [2016.06.29.], HALE, http://apps.who.int/gho/data/view.main.HALEXv?
lang=en, letöltés dátuma: 2018.04.10.
[8] Halandósági tábla, http://www.mortality.org/hmd/HUN/STATS/bltper_1x1.txt,
letöltés dátuma: 2018.02.19.
[9] Hans U. Gerber [1995]: Life Insurance Mathematics, Springer.
53
[10] Központi Statisztikai Hivatal, Demográ�ai adatok,
http://www.ksh.hu/nepszamlalas/tablak_demogra�a, letöltés dátuma: 2018.04.02.
[11] Németh László, Obádovics Csilla, KSH Népességtudományi Kutatóintézet:
Népesség-el®reszámítás, http://demogra�a.hu/hu/tudastar/nepesseg-eloreszamitas,
letöltés dátuma: 2018.04.04.
[12] OECD [2018], Selected indicators for Hungary, https://data.oecd.org/hungary.htm,
letöltés dátuma: 2018.03.20.
[13] Richter Ádám [2017.07.21.]: Európa többsége kénytelen
lesz nyugdíjkorhatárt emelni, https://nyugdijbiztositas.com/
europa-tobbsege-kenytelen-lesz-nyugdijkorhatart-emelni/
[14] Suze Orman [2017.11.14.]: Jöhet az új nyugdíjkorhatár: 70 éves korunkig dolgozha-
tunk,
https://www.penzcentrum.hu/nyugdij/johet-az-uj-nyugdijkorhatar-70-eves-\
korunkig-dolgozhatunk.1061099.html
[15] Vékás Péter [2016]: Az élettartam-kockázat modellezése, Budapesti Corvinus Egye-
tem.
[16] Wikipedia [2017.12.01.],
https://hu.wikipedia.org/wiki/Ratk%C3%B3-korszak
[17] Wikipedia [2018.04.09.],
https://en.wikipedia.org/wiki/Total_fertility_rate
54
- 1 -
Nyilatkozat saját munkáról
Név: ______________________________________________________________________________ E-mail cím: _________________________________________________________________________ NEPTUN-kód: ______________________________________________________________________ A szakdolgozat címe magyarul:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
A szakdolgozat címe angolul: __________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Szakszemináriumvezető (vagy konzulens) neve: ___________________________________________
Alulírott ______________________________________________(hallgató) igazolom, hogy a
szakdolgozatom saját munka eredménye. Bizonyos gondolatok, érvek, logikai és matematikai
összefüggések más tanulmányokból való átvétele során a hivatkozásra vonatkozó szabályokat teljes
mértékben betartottam.
_____________________________________ hallgató aláírása
Dr. Sáfár Zoltán
WMA2Q1
A nyugdíjkorhatár automatikus indexálásának lehetséges módszerei
Dr. Banyár József
Dr. Sáfár Zoltán
Methods of automatic indexation of pension age
Közgazdaságtudományi Kar
Dékáni Hivatal
1093 Budapest, Fővám tér 8.
Tel: 482-5158 Fax: 482-5164
Közgazdaságtudományi Kar
Konzulensi nyilatkozat
Név: ______________________________________________________________________________ NEPTUN-kód: ______________________________________________________________________ A szakdolgozat/diplomamunka címe magyarul:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
A szakdolgozat/diplomamunka címe angolul: __________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Szakszemináriumvezető (vagy konzulens) neve: ___________________________________________
Alulírott ____________________________________________________________ (szakszeminárium-
vezető) kijelentem, hogy a leadott szakdolgozat/diplomamunka mind tartalmi, mind formai szempontból
megfelel az alapszintű szakdolgozatokkal/diplomamunkákkal szemben támasztott követelményeknek,
így hozzájárulok ahhoz, hogy a hallgató a szakdolgozatot/diplomamunkát leadja.
_____________________________________ konzulens aláírása
Dr. Sáfár Zoltán
WMA2Q1
A nyugdíjkorhatár automatikus indexálásának lehetséges módszerei
Dr. Banyár József
Dr. Banyár József
Methods of automatic indexation of pension age