Szervezési Technikák - hálótervezés

Szervezési Technikák - hálótervezés

Készítette: Dr. Kosztyán Zsolt [email protected]

http://vision.vein.hu/~kzst/oktatas/szervtech/SZTHALO.ppt

1-2.

Gráfelméleti alapfogalmak

• Gráf: G = (N,A) egy véges ponthalmaz (csúcsok), és egy véges pontpár halmaz (élek) együttese. N ponthalmaz a csúcsok halmaza N={N1, N2, .., Nn}. A pontpár halmaz az élek

halmaza A={A1, A2, .., Am}, ahol Ak=(Ni,Nj)A.

– Irányított gráf esetén a pontpárok rendezettek, ekkor, Ni az Ak él kezdőpontja, Nj pedig a végpontja.

– Irányítatlan gráf esetén a pontpárok nem rendezettek, vagyis (Ni, Nj) = (Nj, Ni).


1. Példa: Irányítatlan gráf megadása: G1:=(N1,A1); N1:={1;2;3;4;5}, A1:={(1,2); (2,1); (1,3); (3,1); (2,3); (3,2); (2,4); (4,2); (3,5); (5,3); (4,5); (5,4)}

2. Példa: Irányított gráf megadása: G2:=(N2,A2); N2:={1;2;3;4;5}, A2:={(1,2);(1,3);(2,3);(2,4);(3,5);(4,5)}

1

3

2 4

5 1

3

2 4

5


• Hurokél: Ha Aj=(Ni, Ni)A. Akkor azt mondjuk, hogy Aj egy hurokél.

• Többszörös él: Ha m,n melyre (Ni,Nj)=Am=An=(Ni,Nj), és Am, An A; Ni, NjN akkor a gráfban, Ni, és Nj között többszörös él van.

• Példa: G3:=(N3,A3); N3:={1;2}, A3:={(1,2); (1,2); (2,2)}

1 2


• (Valódi) részgráf: Azt mondjuk, hogy egy Gp=(Np,Ap) gráf (valódi) részgráfja egy G=(N,A) gráfnak, ha NpN, ApA (NpN, ApA). Jelölés: Gp G (Gp G)

• Példa: G2:=(N2,A2); N2:={1;2;3;4;5}, A2:={(1,2);(1,3);(2,3);(2,4);(3,5);(4,5)}, G4:=(N4,A4); N4:={1;3;5}, A4:={(1,2);(2,3);(3,5)}

1

3

2 4

5


• Irányítatlan út: Az élek olyan sorozata, melyben bármely két szomszédos élnek van közös pontja.

• Irányított út: Élek olyan sorozata, amelyben bármely él végpontja azonos a következő él kezdőpontjával (kivéve az utolsót).

1

3

2 4

5 1

3

2 4

5


1. Példa: Jelölés (érintett csúcsok felsorolása): pl. 1-2-3-5, 1-2-3-2-3-5

2. Példa: Jelölés (érintett csúcsok felsorolása): 1-2-3-5• (Irányított) egyszerű út: Olyan (irányított) út, ahol

minden él csak egyszer szerepel.• (Irányított) kör: Olyan (irányított) út, amelyben az

első él kezdőpontja azonos az utolsó él végpontjával.• (Irányított) egyszerű kör: Olyan (irányított) kör,

amelyben egy él csak egyszer szerepel.


Legyen adott G=(N,A), N={N1, N2, .., Nn},

A={A1, A2, .., Am}

• Izolált pont: olyan csúcs melyhez nem kapcsolódik él.

Legyen G a továbbiakban irányított gráf

• Csúcsok száma:

• Élek száma:

• Bejövő élek száma:

niNNi

i

NN,..,2,1,

miAAi

i

AA,..,2,1,

ANNAji

ikj

AN),(

)(


• Kimenő élek száma:

• Egy csúcs fokszáma:

• Példa: +(1)=0, -(1)=2, (1)=2, |N|=5, |A|=6

• Aciklikus gráf: Kört nem tartalmazó gráf.

ANNAji

kij

AN),(

)(

)()()( iii NNN

1

3

2 4

5

Gráfelméleti alapfogalmak• Erdő: körmentes gráf. • Összefüggő gráf: Egy gráfot összefüggőnek

nevezünk, ha bármely két pontja között létezik egy irányítatlan út.

• Erősen összefüggő gráf: Egy gráfot erősen összefüggőnek nevezünk, ha bármely két pontja között létezik egy irányított út.

• Fa: Összefüggő kört nem tartalmazó gráf.

1

3

2 4

5 1

3

2 4

5


• Egyszerű gráf: Egy gráfot egyszerűnek nevezünk, ha nem tartalmaz hurokélt és többszörös élt.

• Szomszédos csúcsok: Két csúcs szomszédos, ha közöttük van olyan út, amely csak egy élet tartalmaz.

• Teljes gráf: Egy gráfot teljesnek nevezünk, ha bármely két csúcs szomszédos egymással.

1

4

2

3


• Súlyozott gráf: irányított, vagy irányítatlan gráf súlyozott akkor, ha minden éléhez egy vagy több számot rendelünk. Ez a szám az él súlya.

Gráfok reprezentálása

• Adjecencia lista

• Adjecencia mátrix

• Incidencia mátrix

1 2 3 4 5(1,2) 1 1 0 0 0(1,5) 1 0 0 0 1(2,3) 0 1 1 0 0(2,4) 0 1 0 1 0(2,5) 0 1 0 0 1(3,4) 0 0 1 1 0(4,5) 0 0 0 1 1

Időtervezés - ütemezés

• A hálós irányítási rendszerek két ismert alapváltozatát, a PERT és a CPM módszert közel egy időben dolgozták ki és publikálták. 1957-ben az USA haditengerészetének különleges tervezési hivatala megbízást kapott a POLARIS rakéták kifejlesztésével kapcsolatos sok száz tevékenység irányítására.

Időtervezés - ütemezés

• Az E. I. DuPont de Hemonds and Co. 1956-ban átfogó kutatást indított olyan módszer kifejlesztésére, mely lehetővé teszi számítógép felhasználását a műszaki feladatok megtervezésében és ütemezésében. Walker és Kelley , 1957-ben jutottak el egy nyíldiagramos, hálós módszert alkalmazó és később CPM néven közismertté váló rendszer kipróbálásáig. A módszert 1959-ben publikálták.

A hálótervezési módszerek csoportosítása

1. Időtervezés jellege: sztochasztikus, determinisztikus.

2. Felhasználási céljuk alapján: idő-, költéség-, és erőforrás optimáló technikák.

3. A hálók irányultságuk alapján: tevékenységorientáltak vagy eseményorientáltak.

4. Megjelenési formájuk szerint: tevékenység-nyíl, tevékenység-csomópont, és esemény-csomópontú hálók.

Időtervezés jellege

Sztochasztikus hálótervezési módszerek: Olyan hálótervezési módszerek, melyeknél a tevékenységidőt egy valószínűségi eloszlás sűrűségfüggvénye határozza meg. (Ilyen, pl. a PERT háló.)

Determinisztikus hálótervezési módszerek: Olyan hálótervezési módszerek, melyeknél a tevékenységidők jól meghatározott értékek. (Ilyen, pl. a CPM, MPM, DCPM stb. háló.)

Felhasználási cél

Az időoptimáló eljárásoknál cél a projekt átfutási idejét megtalálni. (Ilyen, pl. PERT, CPM, MPM stb.)

A költség- és erőforrás optimáló eljárásoknál az átfutási idő meghatározása mellett, a költség, erőforrás optimálás, kiegyenlítés is fontos szempont. (Ilyen pl. CPM/COST PERT/COST, CPA stb. RAMPS, RAPP, ERALL stb.)

A hálók irányultsága

A tevékenységorientált hálónál a tevékenységek, míg az eseményorientált hálóknál az események hangsúlyozása kerül előtérbe.

Megjelenési forma

A tevékenység-nyíl hálóknál az élek reprezentálják a tevékenységeket, a csomópontok az eseményeket.

A tevékenység-csomópontú hálóknál, az élek reprezentálják az eseményeket, a csomópontok a tevékenységeket.

Az esemény csomópontú hálóknál is az élek reprezentálják a tevékenységeket, a csomópontok pedig az eseményeket, de itt az események hangsúlyozása lényeges. Míg a tevékenység-nyíl hálóknál az események ábrázolását el is hagyhatjuk.

Időtervezés – ütemezés – fogalmak

• Háló: Olyan súlyozott körmentes, irányított gráf, amelynek egy kezdő és egy végpontja van.

CPM-módszerrel kapcsolatos fogalmak

Az esemény: valamely folyamat, tevékenység kezdetét és befejezését jelentő pont, időt, erőforrást, költséget nem igényel. (a hálóban általában körrel ábrázoljuk).

Az események lehetnek: normál, kiemelt (mérföldkő), és kapcsolódó (interface) események.

Események

• Normál esemény: a többséget kitevő és semmiféle megkülönböztetést nem igénylő időpont.

• Kiemelt esemény: olyan esemény, amelyet a projekt előrehaladásában különösen fontosnak tartanak (általában dupla körrel jelölik).

• Kapcsolódó esemény: közös intézkedési pontot jelenti a hálón belül (háló szétszedése, összerakása). Ezek az időpontok, hasonlóan a kiemelt eseményekhez előre ismertek (általában két körrel jelölik).

• Kezdő (nyitó) esemény: melyet nem előz meg más esemény és csak követő eseményei vannak.

• Záró (vég) esemény: amit nem követ több esemény, csak megelőző eseményei vannak.

Tevékenységek

Tevékenység: olyan folyamat, mely adott időben, időtartam alatt játszódik le, és erőforrást, költséget igényel.

Látszattevékenység: fontos szerepe van a háló szerkezetében, és számításában is. Jellemzője, hogy általában idő, költség, és erőforrás igénye nincs. A hálók logikai összefüggéseinek kifejezésére szolgál.

Kapcsolódási pontok

Kapcsolódási pontok lehetnek szétválasztó, vagy egyesítő pontok.

Egyesítő pont: olyan esemény, amely végpontja több megelőző tevékenységnek.

Szétválasztó pont: olyan esemény, amelyet több tevékenység követ.

Tevékenységek kapcsolatai – függőségek

A B

A B

A B

A B

A B

Befejezés-kezdés

Kezdés-kezdés

Befejezés-befejezés

Kezdés-befejezés

Kezdés-kezdés,befejezés-befejezés

A

BAzonnali kezdés (szigorú

vég-kezdet kapcsolat) =0

A

B

Átlapolás 0

A

BKésleltetettkezdés 0

A

BEgyidejű kezdés (szigorúkezd-kezd kapcsolat) =0

A

BKésleltetett

kezdés dB

dA

dB

dA

dB

dA

dB

dA dA

dB dB

A

BEgyidejű befejezés (szigorú

vég-vég kapcsolat) =0

A

BKésleltetett

befejezés dB

dA dA

dB

A

BKésleltetett

befejezés dB

dA

dB

dB

A

B

=0, =0

A

BKésleltetett

kezdés

dAdA

dBdB

A

B

dA

dB

A

B

Átlapolás dA

dA

dB

A

B

Átlapolás dB

dA

dB

A

BÁtlapolásdAdB

dA

dB

A

B

Átlapolás

dA

dB

A

B

dA

dB

A

B

dA

dB

Egyidejű kezdés =dB,egyidejű befejezés =dA

A háló végleges szerkesztésének menete

1. Logikai gráf elkészítése (tevékenység végleges elhelyezése)

2. Ezen a gráfon a tevékenységek és események elhelyezése

3. Tevékenységek és események közötti kapcsolódások kidolgozása.

A szerkesztés iránya lehet

1. Progresszív (előrehaladó)

2. Retrográd (visszafelé haladó)

3. A kettő kombinációja

A CPM eseményjegyzék

1. Az esemény számát,

2. Az eseményre vonatkozó számítások eredményeit,

3. Megelőző, követő eseményeket,

4. Egyéb számszerűséget, információt, intézkedésekért felelősök megjelölését.

Tevékenységjegyzék

1. A tevékenységek számát, megnevezését, (lefutási) idejét,

2. A megelőző, követő tevékenységeket,

3. A kapcsolatuk jelölését,

4. A számítások eredményét,

5. Az egyéb információkat.

Tevékenység és esemény időadatok

A TPT (Total Project Time = teljes projekt átfutási ideje) végezzük el az odafelé történő elemzést, amivel az egyes tevékenységek legkorábbi kezdési időpontját (EST(i,j)) számítjuk ki. Ebből meghatározhatjuk a legkorábbi befejezési pontot, ahol a legkorábbi befejezési pont (EFT(i,j)) = a legkorábbi kezdési időpont (EST(i,j)) + a tevékenység lefutási ideje (d(i,j)). A teljes projektidő (TPT) tehát az a legrövidebb időtartam, ami alatt a projekt befejezhető, és ezt a tevékenységek sorrendje (vagy sorrendjei) kritikus útként (vagy utakként) határozza (határozzák) meg.


A kritikus út meghatározására a retrográd számítás elvégzése után kerülhet sor, így a tevékenység legkésőbbi kezdési pontját (LST(i,j)), valamint a hozzá tártozó legkésőbbi befejezési időpontot (LFT(i,j)) határozzák meg a következőképpen: Legkésőbbi kezdési időpont(LST(i,j))= legkésőbbi befejezési időpont(LFT(i,j)) – tevékenység lefutási ideje (d(i,j)).


Egy csomóponthoz (eseményhez) két idő tartozik. (1) a progresszív elemzésből az esemény legkorábbi bekövetkezésének időpontja (EETi), vagyis az a legkorábbi időpont, amelyre az eseményt realizálni lehet; (2) a retrográd elemzésből az esemény legkésőbbi bekövetkezésének időpontja (LETi), vagyis az a legkésőbbi időpont, amelyre az eseményt realizálni kell.

A hálószerkesztés során előforduló logikai hibák

1. Több kezdő illetve végpont.

2. Kör a hálózatban.

3. Helytelen logikai összerendelés.

A hálószerkesztés során előforduló logikai hibák

1

2

3

4

5

6

7

1

3

4

5

6

7

2

1

2

3

3

1

2 4

5

0 6

Tartalékidők

• Teljes tartalékidő: az a teljes időtartam, amivel egy tevékenység kiterjedhet, vagy késhet a teljes projektidőre (TPT) gyakorolt hatás nélkül. Teljes tartalékidő(i,j):=LST(i,j)-EST(i,j)=LFT(i,j)-EFT(i,j)

• Szabad tartalékidő: az a teljes mennyiség, amivel egy tevékenységidő megnőhet, vagy a tevékenység csúszhat anélkül, hogy hatással lenne bármely, soron következő tevékenység legkorábbi kezdetére. Szabad tartalékidő(i,j):= EET(j)-EFT(i,j)

Tartalékidők• Feltételes tartalékidő: a teljes és a szabad

tartalékidő különbsége.• Független tartalékidő: azt az

időmennyiséget adja meg, amennyivel az adott tevékenység eltolható, ha az őt közvetlenül megelőző tevékenység a lehető legkésőbbi időpontban fejeződik be és a közvetlenül következő tevékenység a legkorábbi időpontban kezdődik. Független tartalékidő(i,j):=EET(j)-LET(i)-d(i,j) (Marad-e elég idő?)Ha FT>0 belefér a tevékenység megvalósítása. Ha FT<0 |FT| -vel csúszhat az egész program megvalósítása.

Panzió építési projekt – tevékenység lista

Sorszám Tevékenység Időtartam (hét)1 Alap 1

2 Szerkezeti falak 2

3 Födém 1

4 Tető 2

5 Válaszfalak 3

6 Aljzat 1

7 Vízvezeték (alapszerelés) 1

8 Gázvezeték (alapszerelés) 1

9 Elektromos szerelés (alapszerelés) 1

10 Fűtés (alapszerelés) 2

11 Vakolás 3

12 Burkolás 2

13 Festés, mázolás, végszerelések 1

14 Átadás-átvétel 1

Panzió építési projekt – megelőzési listák

Megelőzési listák

Közvetlen Teljes

TevékneységIdőtartam

(hét)Megelőző

tevékenységTevékneység

Időtartam (hét)

Megelőző tevékenység

1 1 -- 1 1 --

2 2 1 2 2 1

3 1 2 3 1 1,2

4 2 3 4 2 1,2,3

5 3 3 5 3 1,2,3

6 1 5 6 1 1,2,5

7 1 6 7 1 1,2,3,5,6

8 1 6 8 1 1,2,3,5,6

9 1 6 9 1 1,2,3,5,6

10 2 6 10 2 1,2,3,5,6

11 3 4,7,8,9,10 11 3 1-10

12 2 11 12 2 1-11

13 1 12 13 1 1-12

14 1 13 14 1 1-13

Panzió építési projekt – tevékenység struktúra

Panzió

Ács és tetőfedőmunkák

Épület-gépészetimunkák

Kőművesmunkák

Befejező munkák

FödémVálasz-

falakSzerk.Falak AljzatAlap Vakolat Tető Vízvez. Gázvez.Elektr. Vez. Fűtés Burkolás

Festés,mázolás

Ép.Gép.Végsz.

Panzió építési projekt –logikai diagram

1 2 3 4

5

6 7

8

9

10

11 12 13 14 15

Alap Szerke-zeti falak

Födém

Tető

Válasz-falak

Aljzat Elektromosvezeték

GázvezetékVízv

ezet

ék

(ala

psze

relé

s)

Fűtés (alapszerelés)Vakolás Burkolás Festés,

mázolásÁtadás,átvétel

Panzió építési projekt – CPM háló

1 2 3 4

5

6 7

8

9

10

11 12 13 14 15

1 2 1 3 1 1

3 2 1 1

0

Panzió építési projekt – CPM háló időelemzés

1 2 3 4

5

6 7

8

9

10

11 12 13 14 15

1 2 1 3 1 1

3 2 1 1

0

0 1 3

4

4

6

7

8 8

88

9

9

9

10 13 15 16 171716151310

8 10

10

10

99

97

10

8

310 41 3 4

6

7 8

9

9

9

109

99

6

13 15 16 17

1 3 4

10

7 8

10

10

10

10

1010

10

10

13 15 16 17

Panzió építési projekt – CPM háló időelemzés tevékenységlista

Sor-szám

Tevékenység megnevezése

Jel (i,j)

Tevé-keny-ség

időtar-tama (hét)

Legko-rábbi kez-dés EST

Legko-rábbi befe-jezés EFT

Legké-sőbbi kez-dés LST

Legké-sőbbi befej-ezés LFT

Teljes tarta-lékidő

Sza-bad

tarta-lékidő

Felté-teles tarta-lékidő

Füg-getlen tarta-lékidő

Kriti-kus

tevé-keny-ségek

1 Alap (1,2) 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Igen2 Szerkezeti falak (2,3) 2 1 1 3 3 0 0 0 0 Igen3 Födém (3,4) 1 3 3 4 4 0 0 0 0 Igen4 Tető (4,5) 2 4 8 6 10 4 0 4 0 Nem5 Vélaszfalak (4,6) 3 4 4 7 7 0 0 0 0 Igen6 Aljzat (6,7) 1 7 7 8 8 0 0 0 0 Igen

7Vízvezeték

(alapszerelés)(7,8) 1 8 9 9 10 1 0 1 0 Nem

8Gázvezeték


9Elektromos vezeték


10 Fűtés (alapszerelés) (7,11) 1 8 8 10 10 0 0 0 0 Igen

11 Látszattevékenység (5,11) 0 6 10 6 10 4 4 0 0 Nem12 Látszattevékenység (8,11) 0 9 10 9 10 4 4 0 0 Nem13 Látszattevékenység (9,11) 0 9 10 9 10 4 4 0 0 Nem14 Látszattevékenység (10,11) 0 9 10 9 10 4 4 0 0 Nem15 Vakolás (11,12) 3 10 10 13 13 0 0 0 0 Igen16 Burkolás (12,13) 2 13 13 15 15 0 0 0 0 Igen

17Festés, mázolás,

végszerelések(13,14) 1 15 15 16 16 0 0 0 0 Igen

18 Átadás-átvétel (14,15) 1 16 16 17 17 0 0 0 0 Igen

Panzió építési projekt – CPM háló időelemzés eseménylista

Események

Legkorábbi bekövetkezés

EET

Lekésőbbi bekövetkezés

LET

Teljes esemény bekövetkezési

tartalékidő

Kritikus úton lévő esemény

1 0 0 0 Igen2 1 1 0 Igen3 3 3 0 Igen4 4 4 0 Igen5 6 10 4 Nem6 7 7 0 Igen7 8 8 0 Igen8 9 10 1 Nem9 9 10 1 Nem

10 9 10 1 Nem11 10 10 0 Igen12 13 13 0 Igen13 15 15 0 Igen14 16 16 0 Igen15 17 17 0 Igen

Panzió építési projekt – Gantt diagram

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 170 1

1 3

3 4

4 6 8 10

4 7

7 8

8 9 10

8 9 10

8 9 10

8 10

10 13

13 15

1516

1617

Időtartam (hét)

Vakolás

Burkolás

Festés, mázolás, végszerelések

Átadás-átvétel

Vízvezeték (alapszerelés)Gázvezeték

(alapszerelés)Elektromos veze-ték (alapszerelés)

Fűtés (alapszerelés)

13

14

Sor-szám

Tevékenység

Alap

Szerkezeti falak

Födém

Tető

Válaszfalak

Aljzat

9

10

11

12

5

6

7

8

1

2

3

4

Panzió építési projekt – Gantt diagram függőségi nyilak feltüntetésével

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 170 1

1 3

3 4

4 6 8 10

4 7

7 8

8 9 10

8 9 10

8 9 10

8 10

10 13

13 15

1516

1617

Időtartam (hét)

Vakolás

Burkolás

Festés, mázolás, végszerelések

Átadás-átvétel

Vízvezeték (alapszerelés)Gázvezeték

(alapszerelés)Elektromos veze-ték (alapszerelés)

Fűtés (alapszerelés)

13

14

Sor-szám

Tevékenység

Alap

Szerkezeti falak

Födém

Tető

Válaszfalak

Aljzat

9

10

11

12

5

6

7

8

1

2

3

4

Tevékenység-nyíl hálók átrajzolása tevékenység-csomópontú hálókká

1. Minden tevékenységből (kivéve a látszattevékenységet), melyet a tevékenység-nyíl hálókban a nyilakon szerepeltettünk, most csomópontokként reprezentáljuk.

2. A tevékenységeket a logikai kapcsolataik szerint kapcsoljuk össze.

Tevékenység-nyíl háló => tevékenység csomópontú háló

1

3

2

5

4

6

B

F

A

C

G

H

E

D 1

3

2

5

4

6

A

B

C

E

FG

H

A

B

C

E

FG

H

Start Stop

A

B

C

E

FG

H

Az MPM-háló

• Az MPM (Metra Potenciális Módszer, az angolszász országokban Precedence Diagramming Method) technika a francia Roy nevéhez kötődik. A kézi ábrázolású technika a tevékenységeket a gráf csomópontjaiként ábrázolja, a gráf élei pedig a tevékenységek közötti logikai kapcsolatokat szimbolizálják.

Az MPM-háló

• Az MPM háló a logikai kapcsolatoknál kezeli a minimális, maximális kapcsolatokat, kezeli a vég-kezdet, kezdet vég kapcsolatok minden kombinációját.

• Az MPM technikával megszakítható tevékenységek is tervezhetők.

Az MPM-háló

• Egy tevékenység-csomópontKorai kezdés Késői kezdés

Tevékenység név / azonosító

Tevékenység idő Teljes tartalékidő

Korai kezdés Tevékenység idő

Tevékenység név / azonosító

Késői kezdés Teljes tartalékidő

Korai befejezés

Késői befejezés

Minimális/maximális kapcsolatok konvertálása

• Irányelvek:– A hálótervezés során a kiértékelésnél egy

minimális illetve egy maximális kapcsolatot használunk.

– A különböző kapcsolatok egymásba csak bizonyos megszorításokkal konvertálhatók, így ezeket a konverziókat célszerű jelezni.


• Kezd-kezd kapcsolattá konvertálás:– Befejezés – kezdés kapcsolat konverziója:

=dA+– Befejezés – Befejezés kapcsolat konverziója:

=dA+dB

AB

AB

AB

AB


• Kezd-kezd kapcsolattá konvertálás:– Kezdés – befejezés kapcsolat konverziója:

=dB

AB

AB

MPM háló - kiértékelés

0 Start

0

16

5 A

20

10 B

30

15 C

10

25 E

15

30 D

15

20 J

3

35 G

16

40 H

12

45 K

0

50 Cél

0

0

0

16

20

20

15

15

30

1015

16

12

3


0

0 Start

0 0

0 0

0

0

8 8

16 16

24

5 A

0

0 0

20 20

20

10 B

0

21 21

30 30

51

15 C

20

29 9

10 30

39

25 E

20

20 0

15 35

35

30 D

16

24 8

15 31

39

20 J

35

36 1

3 38

39

35 G

35

35 0

16 51

51

40 H

38

39 1

12 50

51

45 K

51

50 Cél

51 0

0 51

51

0

0

0

16

20

20

15

15

30

1015

16

12

3

MPM háló – maximális kapcsolat modellezése

• A progresszív elemzésnél csak a minimális kapcsolatokat, a retrográd elemzésnél pedig ha van, akkor a maximális kapcsolatokat is figyelembe vesszük.

A B

Da

-(Da+X)


Start

0 0 0

0 0 0

A

0 16 16

B

0 15 15

C

0 20 20

F

24 7 31

G

30 8 38

H

28 8 36

D

20 8 28

E

18 8 26

Cél

38 0 38

0

0

0

14

3

4 2

-10

2

4

8

2

0

0

0


Start

0 0 0

0 0 0

A

0 16 16

B

0 15 15

C

0 20 20

F

24 7 31

7 7 38

G

30 8 38

30 0 38

H

28 8 36

30 2 38

D

20 8 28

E

18 8 26

Cél

38 0 38

38 0 38

0

0

0

14

3

4 2

-10

2

4

8

2

0

0

0


Start

0 0 0

0 0 0

A

0 16 16

B

0 15 15

C

0 20 20

F

24 7 31

31 7 38

G

30 8 38

30 0 38

H

30 8 38

30 0 38

D

20 8 28

E

20 8 28

20 0 28

Cél

38 0 38

38 0 38

0

0

0

14

3

4 2

-10

2

4

8

2

0

0

0


Start

0 0 0

0 0 0

A

0 16 16

0 0 16

B

0 15 15

3 3 18

C

0 20 20

20 4 24

F

24 7 31

31 7 38

G

30 8 38

30 0 38

H

30 8 38

30 0 38

D

20 8 28

20 0 28

E

20 8 28

20 0 28

Cél

38 0 38

38 0 38

0

0

0

14

3

4 2

-10

2

4

8

2

0

0

0

CPM=>MPM

1. Minden tevékenységből (kivéve a látszattevékenységet), melyet a tevékenység-nyíl hálókban a nyilakon szerepeltettünk, most csomópontokként reprezentáljuk.

2. A tevékenységeket a logikai kapcsolataik szerint kapcsoljuk össze.

3. A tevékenységek legkorábbi, illetve legkésőbbi kezdési illetve befejezési idejei, a projekt átfutási ideje, a tevékenységek tartalákidejei meg kell, hogy egyezzenek a két hálóban.

4. MPM-ben az eseményidőket nem használjuk!

CPM=>MPM

00

0

27

8

18

8

418

18

315

19

527

27

B

A

F

C

H

G

D

E

7

8

0

8

7

8

9

10

0

0

88

8

818

15

27

27

1912

0

188

8

1

7

18

27

8

8

16

15

2327

27

27

18

88

8

19

19

CPM=>MPM

Start

0 0 0

0 0 0

B

0 7 7

1 1 8

A

0 8 8

0 0 8

F

8 10 18

8 0 18

C

8 7 15

12 4 19

E

8 8 16

19 11 27

G

18 9 27

18 0 27

H

15 8 23

19 4 27

Cél

27 0 27

27 0 27

0

0

7

8

8

8

7

10

8

9

8

MPM=>CPM

1. Vég kezdet kapcsolatokká való konvertálás (esetleges látszattevékenységek meghatározásával).

2. A tevékenységek helyére nyilakat rajzolunk a tevékenységek kezdetéhez, illetve végéhez eseményeket rendelünk.

3. Az azonos tartalmú eseményeket összevonjuk (figyelve, hogy logikai hibát ne vétsünk).

4. Az eseményeket összerendeljük (esetleges látszattevékenységek segítségével).

MPM=>CPM

Start

0 0 0

0 0 0

A

0 8 8

0 0 8

B

0 7 7

1 1 8

C

9 10 19

10 1 20

D

9 12 21

9 0 21

E

8 5 13

16 8 21

Cél

21 0 21

21 0 21

0

0

0

11

1

9

1

1

0

0-2

MPM=>CPM

Start

0 0 0

0 0 0

A

0 8 8

0 0 8

B

0 7 7

1 1 8

C

9 10 19

10 1 20

D

9 12 21

9 0 21

E

8 5 13

16 8 21

Cél

21 0 21

21 0 21

0

0

01

1

1

1

1

0

0-2

Véletlen tartamú tevékenységek• A gyakorlatban számos esetben – főleg

kutatási és fejlesztési programokra – a tevékenységek tartamai kevéssé ismertek, és nem determinisztikusan meghatározottak. Ilyenkor két eset fordulhat elő:

1. A szóban forgó tevékenységek vagy nem teljesen ismeretlenek és mindegyikükre közelítőleg ismerjük a tartamuk valószínűségeloszlását. (ipar)

2. vagy pedig teljesen ismeretlenek és nem ismerjük minden tartam valószínűségeloszlását. (kutatás)

Véletlen tartamú tevékenységek

• Ha nem ismerjük a tartamok eloszlását, akkor a számítások megkönnyítése érdekében, tfh. a tartamok -eloszlást követnek.

A BM t

f(t)

-eloszlássűrűségfüggvénye


• Az [A, B] intervallumon (A>0, B>0) értelmezett (, ) paraméterű -eloszlásnak nevezik a t valószínűségi változó eloszlását, ha sűrűségfüggvénye az alábbi alakú:

ahol ,>-1

Bt

tB

AAB

tBAtAt

tf

,0

,)1,1()(

)()(,0

)(1


az ún. elsőfajú Euler-féle függvény és

az ún. másodfajú Euler-féle függvény. A standardizált -eloszlást a következő lineáris transzformációval nyerjük: t=A+(B-A)u.

)0,(,)(

)()()1(),(

1

0

11

nmnm

nmdxxxnm nm

0

1 )0(,)( rdxexr xr


• A transzformált sűrűségfüggvény:

• A standardizált -eloszlás várható értéke, és szórása:

u

u

uuu

u

1

10

0

,

,0)1,1(

)1(,0

)(

22

)2)(3(

)1)(1(

2

1)()(

a

uEuMu

u


• A nem standardizált -eloszlás várható értéke és szórása:

• Az eloszlás módusza (f’(t)=0 helyen felvett értéke):

2

22

)2)(3(

)1)(1()(

2

1)()()(

AB

ABAtEtMt

t

BA

M


• Ezért M(t)-t így is írhatjuk:

• A PERT-módszerben hallgatólagosan az alábbi értékeket választottuk:

vagy

2

)()(

MBAtMt

22

22

22

22


• Ebből a várható érték, illetve a szórás:

ha:

22

2

22

636

)(

)2)(3(

)1)(1()(

6

4

2

)()(

ABABAB

MBA

a

MBAtMt

t

4

2222

4

2222

BAM

és

BAM

Véletlen tartamú tevékenységek – PERT módszer

• A PERT-módszerben olyan (első rendű) -eloszlást választunk, amelyre:

222 )(

6

1)(

)4(6

1)()(

ABtD

BMAttEtM

t


• Minden egyes tevékenységről az azzal foglalkozó szakemberekhez a következő három kérdést intézzük:

1. Mennyire becsüli az (i,j) tevékenység Ai,j minimális időtartamát (optimista becslés)? Legyen ai,j a minimális időtartam becsült értéke.

2. Mennyire becsüli az (i,j) tevékenység Bi,j maximális időtartamát (pesszimista becslés)? Legyen bi,j a maximális időtartam becsült értéke.

3. Véleménye szerint mennyi az (i,j) tevékenység Mi,j legvalószínűbb időtartama (módusza)? Legyen mi,j a legvalószínűbb időtartam becsült értéke.


• Ekkor a becslés várható értéke, illetve szórása:

• Ekkor felhasználjuk azt, hogy a független valószínűségi változók összegének várható értéke megegyezik a valószínűségi változók várható értékének összegével, ha elegendően sok változóra összegzünk, hiszen elegendően sok valószínűségi változó esetén az összeg normális eloszlásúnak mondható.

2

,,

2

,,2,

,,,,,,,

66

ˆˆˆ

46

1ˆˆ4ˆ6

1ˆ

jijijijiji

jijijijijijiji

abAB

bmaBMAt


• Ekkor felhasználjuk a független valószínűségi változók várható értékeire, illetve varianciáira vonatkozó additivitási összefüggéseket:

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

tDtD

tMtM

1

2

1

2

11

PERT háló felrajzolása, tartamok, bizonytalanság kiszámítása

1. Logikai háló elkészítése.

2. Ai,j, Bi,j ,Mi,j, ti,j, i,j meghatározása.3. Megfelelő hálós modell kiválasztása

(tevékenység-nyíl, tevékenység-csomópontú).

4. A (tanult módszerekkel a) kritikus út kiszámítása.

5. A megvalósítási idő szórásának kiszámítása.

Tartalékidők szórásaTevékenység

számaTevékenység leírása

0,1A megoldás műszaki adatainak

meghatározása1,2 A célgép megtervezése

2,3Pneumatikus anyagmozgató

berendezés tervezése

2,4Helykijelölés és terület

felszabadítás2,5 A célgép legyártása


berendezés legyártása4,6 Alapkészítés4,7 Sűrített levegő vezeték tervezése

4,8 Villamos szerelési tervek készítése

5,9 Célgép helyszínre szállítása6,9 Beton kötése

7,9Sűrített levegő vezeték szerelése

és készítése

8,9Villamos vezeték és szerelvényszerelés

9,11 Gépfelállítás


berendezés szerelése11,12 Csatlakozók bekötése12,13 Próbaüzem

Tartalékidők szórása

0 00

5,10 0 5,1

1 44

4,60,5 0 5,1

2 3434

2,62,5 0 5,1

3 5144

2,93,5 7 6,4

4 6544

1,03,5 21 4,5

6 7346

0,73,7 27 4,4

9 7575

0,54,6 0 5,1

11 7676

0,44,7 0 5,1

12 7878

0,24,9 0 5,1

13 8181

05,1 0 5,1

5 7474

0,64,5 0 5,1

7 6948

0,83,7 21 4,5

8 7148

0,83,8 23 4,6

10 6659

1,45,0 7 6,4

40,5

302

402

50,5

101

20,2

40,2

40,3

151,5

10,1

20,2

60,3

40,3

10,1

20,2

30,2

i LETiEETi

LETiEETi TFi TFi

j LETjEETj

LETjEETj TFj TFj

ti,jti,j

101

Determinisztikus költségtervezés determinisztikus időtervezés esetén

1. Minimális átfutási idő, minimális költségnövekmény

2. Optimális összköltség elérése átfutási idő csökkentésével

Fogalmak

• Normál idő: Az az időmennyiség, amely a tevékenység normál/tervszerű végrehajtásához szükséges. (minimális változóköltség)

• Roham idő: Az a legkisebb időmennyiség, amely alatt a tevékenységet végre lehet hajtani. (maximális változóköltség)

Fogalmak

• Minimális átfutási idő: Az a legkisebb időmennyiség, amellyel a projekt még megvalósítható.

• Normál átfutási idő: Az az időmennyiség, amelynél valamennyi tevékenység normál lefutása mellett valósul meg a program.

• (Költség) optimális átfutási idő: Az az átfutási idő, melynél a projekt összköltsége minimális.


Fix költségek alakulása az idő függvényében

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

idő

költs

ég (e

Ft)

Időtől független fix költségek (eFt) Időtől lineárisan föggő fix költségek (eFt)

Összes fix költség (eFt)


Változó költségek (eFt)

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

idő

Válto

zó k

ölts

ég (e

Ft)

Változó költségek (eFt)


Költségek alakulása az idő függvényében

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

idő

Költs

ég (e

Ft)

Összes fix költség (eFt) Változó költségek (eFt)Összes költség (eFt)

Költség – idő függvények viselkedése

• A változóköltség-idő függvény általában monoton csökkenő a minimális- és a projekt normál átfutási ideje alatt, hasonlóan igaz ez az egyes tevékenységekre is. A normál átfutási-, illetve a tevékenységeknél a normál lefutási idő után a függvény általában monoton nő.

• A fixköltség-idő függvény általában monoton nő a teljes projekt átfutási idejére nézve.

• Az összköltség-idő függvény általában konvex.

Minimális átfutási idő/minimális költségnövekmény (CPM/COST, MPM/COST)

• A CPM/COST, MPM/COST módszer egy széles körben alkalmazható hálótervezési technika. Az algoritmus során először egy CPM vagy egy MPM hálót kell felrajzolni, majd a kritikus úton lévő minimális költségnövekedéssel járó tevékenységek lefutási idejét csökkentjük. A lépéseket érdemes egy táblázatban összefoglalni.




Tevékeny-ség

Normál idő Roham idő Normál költség (eFt)

Egységnyi költség-

növekedés (eFt)

Start 0 0 0 0A 4 3 2500 150B 5 3 1500 200C 6 4 2000 150D 2 2 2000 --E 3 2 2500 150F 4 3 6000 600G 5 3 4000 200

Finish 0 0 0 0Összesen -- -- 20500 --

Start

0 0 0

0 0 0

A

0 4 4

0 0 4

B

0 5 5

3 3 8

C

6 6 12

6 0 12

D

6 2 8

10 4 12

E

7 3 10

10 3 13

F

14 4 18

14 0 18

G

10 5 15

13 3 18

Finish

18 0 18

18 0 18

0

0

0

2

2

-8

20

1

2

1

0

0


Lépések száma

Csökkentett tevékeny-

ségekCsökkentés

Összes költség


növekedés

Összes költség-

növekedés

Teljes projektidő

0 -- -- 20500 -- -- 181 A 1 20650 150 150 17

Start

0 0 0

0 0 0

A

0 3 3

0 0 3

B

0 5 5

2 2 7

C

5 6 11

5 0 11

D

5 2 7

9 4 11

E

7 3 10

9 2 12

F

13 4 17

13 0 17

G

10 5 15

12 2 17

Finish

17 0 17

17 0 17

0

0

0

2

2

-8

20

1

2

1

0

0


Start

0 0 0

0 0 0

A

0 3 3

0 0 3

B

0 5 5

0 0 5

C

5 4 9

5 0 11

D

5 2 7

7 2 9

E

7 3 10

7 0 10

F

11 4 15

11 0 15

G

10 5 15

10 0 15

Finish

15 0 15

15 0 15

0

0

0

2

2

-8

20

1

2

1

0

0

Lépések száma


ségekCsökkentés

Összes költség


növekedés

Összes költség-

növekedés

Teljes projektidő

0 -- -- 20500 -- -- 181 A 1 20650 150 150 172 C 2 20950 150 300 15


Start

0 0 0

0 0 0

A

0 3 3

0 0 3

B

0 5 5

0 0 5

C

5 4 9

5 0 11

D

5 2 7

6 1 8

E

7 2 9

7 0 9

F

11 3 14

11 0 14

G

9 5 14

9 0 14

Finish

15 0 15

15 0 15

0

0

0

2

2

-8

20

1

2

1

0

0

Lépések száma


ségekCsökkentés

Összes változó költség


növekedés

Összes költség-

növekedés

Teljes projektidő

0 -- -- 20500 -- -- 181 A 1 20650 150 150 172 C 2 20950 150 300 153 F+E 1 21700 750 750 14

Erőforrás-tervezés

• A továbbiakban olyan feladatokkal foglalkozunk, ahol nem csupán az a cél, hogy a projektet a lehető leghamarabb befejezzük, hanem az is fontos szemponttá válik, hogy egy adott kapacitáskorlátot ne lépjünk túl.

Erőforrás-tervezés

1. Időkorlátos erőforrás tervezés.

2. Erőforrás-korlátos erőforrás tervezés.

Erőforrás allokáció (ERALL-modell)

• A logikai tervezés során a (CPM-módszerrel) olyan hálótervet készítünk, amely technológiai szempontból megengedhető maximális párhuzamosítási lehetőségeket tünteti fel. A logikai tervezés eredménye maximálisan tömörített háló. Ennek megfelelően az időtervezésnél minimális átfutási időt kapunk. Amennyiben elkészítjük a hálóra vonatkozó erőforrás terhelési diagramot, akkor láthatjuk, hogy egy adott kapacitáskorlátot túlléphet.


Az erőforrás-allokáció célja az, hogy (lehetőleg) az átfutási időt nem növelve, a kapacitáskorlátot nem túllépve a nem kritikus úton lévő tevékenységeket a tartalékidejükön belül mozgassuk el, úgy, hogy az erőforrás terhelési diagram a kapacitás korlátot minden pontjában kielégítse. Ezt pl. egy simítási eljárással valósíthatjuk meg, mely egy heurisztikus eljárás. Ez a módszer, ha létezik a feladatnak egy megengedett megoldása, akkor megtalálja.


Az eljárás először megpróbálja úgy beütemezni a tevékenységeket, hogy a kritikus út ne növekedjen. Ha ez sikerül, akkor ezt a továbbiakban nevezzük nem kritikus megoldásnak. Ha ilyen megengedett megoldás nem létezik, akkor a módszer megpróbálja úgy beütemezni a tevékenységeket, hogy a kritikus út minél kevésbé növekedjen. Ha egy tevékenység erőforrásigénye nagyobb, mint az erőforrás korlát, akkor biztosan nincs megengedett megoldás.

Tevékenység jele Erőforrás-szükséglet Lefutási idő (1,2) 8 4 (1,3) 5 7 (2,4) 4 9 (3,5) 3 8 (3,6) 8 13 (4,6) 4 5 (5,6) 0 0 (5,7) 5 6 (6,8) 6 20 (6,9) 7 19 (7,8) 2 7 (8,9) 7 6


• Miért csak megengedett megoldást talál ez a módszer?– Azért, mert a nem kritikus úton lévő

tevékenységeket nem egy adott célfüggvénynek megfelelően (pl. a lehető legkorábbi időpontra) ütemezi be. Az optimális megoldás az lenne, hogy ha a tevékenységeket úgy ütemezné be hogy ezeket a célfüggvényeket figyelembe venné, de úgy, hogy a kapacitáskorlátot egyetlen időpillanatban se lépjük túl.

1-2.

Documents

Szervezési Technikák - hálótervezés