INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS

AANNÁÁLLIISSIISS DDEE LLAA EESSTTAABBIILLIIDDAADD DDIINNÁÁMMIICCAA DDEE UUNN RROOTTOORR DDEE

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T E S I S Q U E P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E M A E S T R O E N C I E N C I A S CON ESPECIALIDAD INGENIERÍA MECÁNICA

P R E S E N T A

I N G . R I C A R D O H E R N Á N D E Z P A N D E L Í

DIRECTOR: DR. JULIO CÉSAR GÓMEZ MANCILLA

MÉXICO, D.F. 2005

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AGRADECIMIENTOS

Gracias al proyecto de Investigación clave 38711-U, patrocinado por el CONACYT, y a las becas EDI y SNI del Instituto Politécnico Nacional y CONACYT respectivamente.

Este trabajo también fue parcialmente patrocinado por el Programa Institucional de

Formación de Investigadores PIFI, del Instituto Politécnico Nacional.

Agradezco de manera particular a la Dirección General de Investigación y Desarrollo y a la Base Aeronaval de Veracruz de la Secretaría de Marina por las facilidades otorgadas para la realización de esta investigación: al Vicealmirante Edgar Narro Quezada, al Ing. Miguel Sosa Robledo, al Cap. de Navío Humberto Coss y León Zúñiga, al Cap. de Corb. Iván Akira Falcón Saito y al Tte. Corb. Rafael Contreras Parra por sus atenciones.

Por último, deseo expresar mi agradecimiento al Dr. Valeri Nossov, de la SEPI-ESIME Zacatenco, por apoyarme con su vasto conocimiento y al M. en C. Rogelio Gerardo Hernández García, de ESIME Ticoman, por su valiosa colaboración y asesoría al proyecto.

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ÍNDICE Agradecimientos 4 Resumen 8 Abstract 9 Objetivos 10 Justificación y Contribuciones 11 Nomenclatura 12 Capitulado: 1. Introducción 16 1.1 Estado del Arte 17 1.1.1 Dinámica Estructural y Aeroelasticidad 17 1.2 Marco Teórico 20 1.2.1 Aeronaves de Ala Rotativa o Giroaviones 20 1.2.2 Batimiento (Flapping) de las Palas 21 1.2.3 Autorotación 26 1.2.4 Configuraciones de Giroaviones 27 Introducción 27 Configuración de Rotor Principal y Rotor de Cola Únicos 28 Configuración de Rotores Principales Gemelos 29 Tándem 29 Lado a Lado 30 Coaxial 31 Sincrocóptero 32 Compuesto 33 Aeronaves de Ala Rotativa Impulsadas en las Puntas 35 Tipos Avanzados de Aeronaves de Ala Rotativa 37 Concepto de Pala que Avanza (ABC) 37 Rotor Detenido 37 Ala Inclinante / Rotor Inclinante 38 1.2.5 Tipos de Rotores 38 Diseños Antiguos 39 Diseños Evolucionados 41 Diseños Revolucionarios 42 2. Derivación de Cargas Aerodinámicas Considerando Aerodinámica Cuasiestacionaria 43 2.1 Introducción 44 2.2 Velocidad Inducida en Vuelo Traslacional 45

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2.3 Consideraciones de Elemento Pala 47 2.4 Momento Aerodinámico 50 2.4.1 Efectos del Cambio de Inclinación sobre el Ángulo

de Ataque 50 2.4.2 Efectos del Cambio de Inclinación sobre el Momento

Aerodinámico de la Sección 51 2.5 Adimensionalización de las Cargas Aerodinámicas 52 3. Ecuaciones Diferenciales de Movimiento para Flexión de Batimiento y de Retraso y Torsión de Palas de Rotor Uniformes y Planas 54 3.1 Introducción 55 3.2 Procedimiento General 56 3.3 Derivación de la Ecuación de Esfuerzo 57 3.3.1 Derivación de Deformaciones Longitudinales 58 3.4 Derivación de Momentos Elásticos Internos 61 3.5 Transformación de Momentos 62 3.6 Condiciones de Equilibrio 63 3.7 Cargas Resultantes 65 3.7.1 Derivación de Aceleraciones y Cargas Inerciales 65 3.8 Ecuaciones Diferenciales Finales 68 3.9 Adimensionalización de las Ecuaciones 70 4. Análisis de Estabilidad y Determinación de Frecuencias Naturales y Respuestas Forzadas en las Palas del Rotor Principal de un Helicóptero 72 4.1 Introducción 73 4.2 Ecuaciones de Movimiento para la Pala en el Vacío 73 4.3 Desarrollo del Criterio de Estabilidad 74 4.3.1 Inestabilidad por Flutter 75 4.3.2 Condiciones de Estabilidad (Flutter) 77 Inestabilidad por Flutter 77 Estabilidad Marginal 77 4.3.3 Inestabilidad por Adelanto-Retraso de la Pala 78 4.3.4 Condiciones de Estabilidad (Adelanto-Retraso) 80 Inestabilidad 80 Estabilidad Marginal 80 4.4 Determinación de los Modos de Vibración de la Pala 81 4.4.1 Modos y Frecuencias de Torsión de la Viga Estática 81 4.4.2 Modos y Frecuencias de Torsión de la Viga Rotativa 83 4.4.3 Modos y Frecuencias de Flexión de la Viga Estática 84 4.4.4 Modos y Frecuencias de Flexión Fuera del Plano de la Viga Rotativa 88 4.4.5 Modos y Frecuencias de Flexión Dentro del Plano de la Viga Rotativa 90 4.4.6 Frecuencias Naturales Totales de la Pala 91 4.5 Respuesta Forzada de Feathering y Flapping 92

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5. Aplicación del Análisis a una Pala Real de Helicóptero 95 5.1 Introducción 96

5.2 Análisis de Estabilidad 97 5.2.1 Análisis de Flutter y Curva de Estabilidad 97 5.2.2 Análisis de Inestabilidad por Adelanto-Retraso de la Pala 101 5.3 Determinación de Frecuencias Naturales 103 5.3.1 Frecuencia Natural de Torsión 103 5.3.2 Frecuencias Naturales de Flexión Fuera del Plano de

Rotación 104 5.3.3 Frecuencias Naturales de Flexión Dentro del Plano de

Rotación 106 5.4 Diagrama de Campbell 108 5.5 Determinación de Respuestas Forzadas 109 5.5.1 Vuelo Estacionario (Hover) 110 5.5.2 Vuelo Vertical Ascendente 113 5.5.3 Vuelo Vertical Descendente 117 6. Conclusiones y Trabajos Futuros 120 6.1 Introducción 121 6.2 Conclusiones 121 6.3 Trabajos Futuros 121 Apéndices: A. Solución Detallada de Integrales Incluidas en el Desarrollo del Capítulo 3 123 B. Datos Técnicos de las Palas del Rotor Principal de un Helicóptero Mi-2 129 C. Determinación de los Momentos de Inercia y Radios de Giro de la Pala de Ejemplo 135 D. Determinación de las Frecuencias Naturales de la Pala de Ejemplo Utilizando Factores de Southwell 139 Frecuencias Naturales de Flapping para la Pala de Ejemplo 142 Frecuencias Naturales de Lagging para la Pala de Ejemplo 143 Referencias 146 Capítulo 1 147 Capítulo 2 147 Capítulo 3 147

Capítulo 4 148 Capítulo 5 148 Apéndice D 148 Referencias Adicionales 149

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RESUMEN

En este trabajo se presenta un estudio detallado del comportamiento dinámico de las palas del rotor principal de un helicóptero. El análisis fue realizado por partes, con la finalidad de abarcar la mayoría de los aspectos y las variables posibles.

Primero, se presenta una introducción con aspectos teóricos generales referentes a

las aeronaves de ala rotativa y el estado del arte de la dinámica estructural y aeroelasticidad, que es principalmente el objeto de estudio de este documento.

Posteriormente, fueron derivadas las ecuaciones de movimiento y las cargas

aerodinámicas que afectan al sistema. Para ello, se hicieron varias asunciones al momento de modelar las palas, como considerar vigas flexibles con propiedades constantes a lo largo de la envergadura.

Una vez obtenidas las ecuaciones de movimiento de la pala, se realizó un análisis de

estabilidad y se obtuvieron las frecuencias naturales de diferentes modos de vibración para cada grado de libertad considerado en el sistema. También se graficó un diagrama de Campbell a partir de las frecuencias naturales calculadas.

Por último, se obtuvieron respuestas en el tiempo de torsión y flexión fuera del

plano de rotación en el extremo libre de la pala, demostrando la gran influencia de las cargas aerodinámicas sobre el amortiguamiento del rotor. Se consideró para el análisis solamente vuelo estacionario y vuelo vertical (ascendente y descendente).

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ABSTRACT

Within this work, a detailed study of the dynamic behavior of helicopter main rotor blades is presented. This analysis was made by parts, having as objective to embrace most of the posible aspects and variables.

First, an introduction including general theoretical aspects related to rotary wing

aircrafts and the state of the art of structural dynamics and aeroelasticity, which is mainly the object of study in this document, is presented.

Later, equations of motion and aerodynamic loads affecting the system were

derivated. In order to achieve so, several asumptions were made while modeling the blades, as considering flexible beams with constant properties along the span.

Once the equations of motion for a blade have been derived, a stability analysis was

performed, and natural frequencies were obtained for diferent vibration modes of each degree of freedom considered in the system. A Campbell diagram was also plotted from the computed natural frequencies.

Finally, out-of-plane bending and torsion responses in time were obtained for the tip

of the blade, proving the great influence of aerodynamic loads upon rotor damping. In this analysis, only hovering and vertical flight (climb and descent) were considered.

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OBJETIVOS

Incursionar en el campo de las vibraciones y la estabilidad de los rotores principales de helicóptero en México, creando una base sólida de conocimiento para fomentar el interés por la investigación en este tema.

Comprender a fondo algunos de los fenómenos aeroelásticos que intervienen en un

rotor de helicóptero, como las inestabilidades por flutter y por adelanto-retraso de las palas articuladas.

Desarrollar un método analítico para el cálculo de las frecuencias naturales de las

palas utilizando análisis modal y calcular también respuestas vibratorias de flexión de batimiento y torsión, bajo un régimen de vuelo específico.

Contribuir a la investigación que actualmente lleva a cabo la Dirección General de

Investigación y Desarrollo de la Secretaría de Marina, Armada de México, en relación a aeronaves de ala rotativa.

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JUSTIFICACIÓN Y CONTRIBUCIONES

El presente trabajo ha sido realizado con la finalidad de contar con un documento que sirva de base para futuras investigaciones en el campo de la dinámica estructural y la aeroelasticidad de aeronaves de ala rotativa. Esto es muy importante, ya que hasta ahora en México no existe ningún tipo de investigación relacionada con esta área tecnológica, que sin duda es dominada por los países altamente desarrollados.

La importancia de adquirir conocimiento en este sector aeronáutico reside en la

creciente necesidad de proveer al mercado de aeronaves capaces de realizar tareas de inspección y reconocimiento en ambientes riesgosos y condiciones peligrosas. Tal propósito puede ser alcanzado desarrollando las aeronaves de ala rotativa conocidas como UAV´s (Unmanned Aerial Vehicle) o vehículos aéreos no pilotados, que tienen capacidad de desplazarse por el aire de manera autónoma, controlados por una computadora.

Este estudio también está dirigido la Secretaría de Marina, Armada de México, que

realiza actualmente investigación sobre aeronaves de ala rotativa, como parte del apoyo que brinda el Laboratorio de Vibraciones y Rotodinámica de la SEPI-ESIME-ZACATENCO a tan prestigiosa dependencia gubernamental.

Algunas de las contribuciones técnicas serán la obtención de datos y gráficas

importantes, como frecuencias naturales de vibración y un diagrama de Campbell de las palas del rotor principal de un helicóptero Mi-2 del Primer Escuadrón de Búsqueda y Salvamento de la Armada de México, con la finalidad de visualizar las frecuencias de operación a las cuales pueden presentarse resonancias potencialmente peligrosas para la aeronave.

También se presentan las condiciones estructurales bajo las cuales la pala analizada se volvería inestable, presentándose una condición de “revoloteo” o flutter en el extremo libre de las palas del rotor.

Por último, se demuestra la necesidad indiscutible de un amortiguador mecánico que evita la inestabilidad del movimiento de adelanto-retraso en las palas de un rotor completamente articulado.

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NOMENCLATURA A1 - Inclinación cíclica lateral del rotor [rad] A - Área de la sección transversal de la pala [m2] AD - Área del disco rotor [m2] a - Pendiente de la curva de levantamiento del perfil de la pala [rad-1] B1 - Inclinación cíclica longitudinal del rotor [rad] Cd - Coeficiente de arrastre del perfil [adim] CL - Coeficiente de levantamiento del perfil [adim] Cm - Coeficiente de momento aerodinámico [adim] CT - Coeficiente de empuje del rotor [adim] CG - Centro de gravedad del perfil c - Cuerda del perfil [m] E - Módulo de Young [Pa] eac - Excentricidad entre el centroide y el centro de presión del perfil [m] ecg - Excentricidad entre el centroide y el CG del perfil [m] f - Fibra arbitraria de la sección transversal del perfil G - Módulo de corte [Pa] g - Aceleración de la gravedad [m/s2] I1 - Momento de inercia flexionante con respecto al eje neutral mayor del perfil [m4] I2 - Momento de inercia flexionante con respecto al eje neutral menor del perfil [m4] Ib - Momento de inercia de la pala con respecto a la raíz [kg-m2] IMAX, IMIN - Momentos de inercia de masa por unidad de longitud con respecto a los ejes principales a través del centroide de la sección transversal [kg-m]

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Ip - Momento polar de inercia de masa por unidad de longitud de la pala [kg-m] J - Constante de rigidez torsional [m4] K1…10 - Coeficientes constantes de las ecuaciones de movimiento Kw,v - Coeficientes de Southwell para flapping y lagging, respectivamente [adim] km1, km2 - Radios de giro de masa con respecto al eje neutral mayor y a un eje perpendicular a la cuerda a través del eje elástico, respectivamente [m] k - Modos de vibración de adelanto-retraso (lagging) kA - Radio de giro polar del área de la sección transversal con respecto al eje elástico [m] km - Radio de giro polar de masa de la sección transversal con respecto al eje elástico [m] Ly - Intensidad de la fuerza de arrastre aplicada por unidad de longitud [N/m] Lz - Intensidad de la fuerza de sustentación aplicada por unidad de longitud [N/m] LyADIM - Fuerza adimensional de arrastre LzADIM - Fuerza adimensional de sustentación M1 - Momento flexor de batimiento [N-m] M2 - Momento flexor de adelanto-retraso [N-m] M - Intensidad del momento aerodinámico aplicado por unidad de longitud [N] MADIM - Momento aerodinámico adimensional m - Masa por unidad de longitud de la pala [kg/m] n - Modos de vibración de batimiento (flapping) P - Número de palas del rotor Q - Momento torsor [N-m] R - Radio del rotor, longitud de la pala [m] T - Empuje total del rotor [N]; Tensión en la viga [N]

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t - Espesor del perfil [m]; Tiempo [s] UP - Componente perpendicular de la velocidad del aire con respecto a la pala [m/s] UT - Componente tangencial de la velocidad del aire con respecto a la pala [m/s] V - Velocidad de traslación de la aeronave [m/s] VT - Velocidad en la punta de la pala [m/s] vi - Velocidad de entrada de flujo [m/s] u - Desplazamiento axial de la pala [m] v - Desplazamiento lateral de la pala en el plano de rotación [m] w - Desplazamiento lateral de la pala normal al plano de rotación [m] x, y, z - Sistema coordenado que gira con la pala de manera que el eje x cae a lo largo de la posición inicial o no deformada del eje elástico [adim] α - Ángulo de ataque [rad]; Eigenvalores de modos estáticos de flexión [adim] ε - Elongación [adim] εT - Elongación de tensión [adim] φ - Angulo de deformación torsional, positivo con borde de ataque hacia arriba [rad] γ - Número de Lock [adim] γe - Inclinación del disco rotor, necesaria para vencer el arrastre [rad] λ1…4 - Raíces de la ecuación característica λi – Velocidad inducida adimensional (Downwash) µ - Relación de avance [adim] Ω - Velocidad angular de rotación [rad/s] ϕ - Ángulo de entrada de flujo de aire [rad]

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ψ - Angulo de azimut [rad] ρ - Densidad del aire [kg/m3] σ - Esfuerzo normal [Pa] σp - Densidad del material estructural de la pala [kg/m3] θ0 - Ángulo de pitch colectivo de la pala [rad] θ - Ángulo de inclinación de la pala [rad] θc - Ángulo de control de la pala [rad] ω0 - Frecuencia de referencia [rad/s] ωv - Frecuencia natural de lagging [rad/s] ωw - Frecuencia natural de flapping [rad/s] ωφ - Frecuencia natural de feathering [rad/s] ξ - Envergadura adimensional

En las ecuaciones de movimiento, las primas denotan derivada con respecto a x; los puntos denotan derivada con respecto al tiempo.

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CAPÍTULO 1.

INTRODUCCIÓN

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INTRODUCCIÓN

1.1 ESTADO DEL ARTE

Como se mencionó previamente, este tipo de investigaciones se ha realizado únicamente en países altamente industrializados que cuentan con un importante desarrollo aeronáutico. Gracias a este desarrollo ha sido posible la producción de aviones y helicópteros con tecnología que nos lleva una ventaja de más de medio siglo. A continuación se presentan las bases teóricas en las que se basa dicha ventaja tecnológica en materia de dinámica estructural y aeroelasticidad en helicópteros. 1.1.1 Dinámica estructural y Aeroelasticidad

En sus raíces básicas, la materia de estudio de la dinámica estructural y aeroelasticidad de aeronaves de ala rotativa está relacionada con el siguiente problema: ¿Cómo pueden ser obtenidas la integridad estructural y la comodidad de los pasajeros en el ambiente vibratorio peculiar de estas aeronaves? En esta amplia definición del problema se han involucrado las dos áreas principales concernientes a la dinámica estructural de las aeronaves de ala rotativa: vibraciones y estabilidad aeroelástica.

El énfasis es actualmente en la reducción de vibración, pero poniendo mucha

atención, sin embargo, al hecho de que los rotores están sujetos a una variedad de fenómenos de respuesta potencialmente inestable. La llegada de nuevos conceptos en rotores incrementa la probabilidad de una respuesta con características benignas en otro sentido, volviéndose un problema de mayor inestabilidad aeroelástica [1.1].

En cualquier diseño práctico las inestabilidades deben ser bien entendidas, y deben

encontrarse maneras de suprimirlas en todas las condiciones de vuelo concebibles. Por último, debe notarse que un área de interés que se relaciona de cerca con la dinámica estructural y aeroelasticidad es la del ruido. La característica de alto nivel de ruido de la mayoría de los helicópteros ha engendrado el crecimiento de áreas técnicas de acústica de rotores (ruido en el exterior) y acustelasticidad (ruido en el interior).

La agenda para la dinámica estructural y la aeroelasticidad de ala rotativa se

distingue de aquella de ala fija en una variedad de sentidos. Primero, la vibración es un problema mayor con las aeronaves de ala rotativa en

todas las condiciones de vuelo hacia adelante (tanto en vuelo estable como haciendo maniobras). Sin embargo, esta vibración no es de banda ancha; en vez de eso, ocurre a frecuencias discretas relacionadas con las frecuencias rotacionales de los rotores principal y de cola. De hecho, el causante principal del problema de vibración en helicópteros es la aerodinámica (esencialmente inestable) del rotor principal, aún en vuelo estable hacia adelante.

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Segundo, no solamente la aerodinámica del rotor es inestable, sino que al mismo tiempo es también no lineal, gobernada por movimiento no infinitesimal y periodicidad en condiciones tradicionalmente mantenidas constantes con aplicaciones de ala fija. En el presente, el entendimiento de la aerodinámica del rotor es una tecnología que crece lentamente, y a pesar de su papel clave en el análisis de vibraciones y estabilidad aeroelástica de ala rotativa, todavía requiere mucho más trabajo para análisis práctico.

Además de los problemas provenientes directamente de la aerodinámica inestable

están aquellos relacionados al hecho de que las palas de los rotores de los helicópteros contemporáneos son de “estructura ligera” comparados con sus contrapartes de ala fija. Ellos alcanzan una gran medida de su rigidez de la tensión inducida por el campo de fuerza centrífuga rotacional.

El ambiente rotacional de las palas de rotor también da lugar a muchos fenómenos

relacionados con la rotación: características giroscópicas, fuerzas de Coriolis y una variedad de cargas inerciales no lineales. La descripción aeroelástica resultante de las respuestas elásticas de la pala está consecuentemente llena de no linealidades esenciales.

El relativamente alto grado de flexibilidad del rotor también origina la interacción

significativa que ocurre entre el rotor y el fuselaje de la aeronave (también flexible). En el presente, la obstinación de llevar a los fuselajes modernos de helicóptero a análisis dinámicos exactos continúa poniendo un reto muy importante a los dinamicistas estructurales de ala rotativa.

Además, contrario al caso de aeronaves de ala fija, donde las características de

estabilidad aeroelástica son el problema prioritario, el análisis dinámico de fuselajes de ala rotativa debe ser relativamente mucho más exacto para permitir un cálculo razonablemente preciso de las características de vibración.

Establecido en el contexto de una solución ingenieril, el problema de dinámica

estructural de ala rotativa incluye tres maneras generales concurrentes de aproximación: 1) Debe adquirirse el conocimiento del ambiente vibratorio de la aeronave de ala rotativa.

Principalmente, esto significa conocer las características aerodinámicas esencialmente inestables de la aeronave.

2) Debe calcularse el límite al cual la estructura responde al ambiente. 3) Las respuestas resultantes deben ser juzgadas para aceptación; si no son aceptables,

deben encontrarse maneras de hacerlas aceptables.

Conocer el ambiente vibratorio requiere que muchos de los conceptos relacionados con el análisis del dominio de frecuencia sean llevados a cabo. Un entendimiento de las cargas aerodinámicas inestables es requerido, así como lo son las maneras de formular estas cargas tanto en el dominio de la frecuencia (para problemas de vibración) como en el dominio del tiempo (para respuesta transitoria y problemas de inestabilidad).

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El conocimiento de las respuestas dinámicas de las estructuras a su medio ambiente requiere las idealizaciones que proveen las ecuaciones diferenciales lineales de movimiento. En algunos casos los sistemas lineales son insuficientes para formulaciones precisas, y deben usarse ecuaciones diferenciales no lineales.

En general, dos tipos de respuestas llaman la atención casi exclusivamente:

respuestas resonantes y respuestas inestables. Ejemplos de respuestas resonantes son las aceleraciones 1/rev impartidas al fuselaje de un helicóptero por un rotor desbalanceado, y las aceleraciones N/rev resultantes en el fuselaje por una onda periódica del rotor principal que incide sobre el estabilizador horizontal (N es el número de palas del rotor).

Un ejemplo de una respuesta inestable es el flutter (revoloteo) de un ala o pala de

rotor. Usualmente, una respuesta resonante es idealmente pensada como la excitación de una estructura a una o más de sus frecuencias naturales por una fuente de energía externa, mientras que una respuesta inestable es pensada como una estructura auto-excitada desde una fuente de energía interna.

Es una complicación con aeronaves de ala rotativa que, en la práctica, es

frecuentemente difícil acertar cual de estas respuestas está de hecho ocurriendo. Esto es porque ambos tipos de respuestas pueden exhibir comportamiento mesurado que “florece” por periodos de tiempo, y además, ambos tipos pueden exhibir amplitudes límite de movimiento sinusoidal.

Para pasar un juicio ingenieril sobre cualquier configuración estructural dada, deben

definirse límites aceptables de respuesta en un sentido cuantitativo apropiado. Tales límites están típicamente definidos por las consideraciones primarias de integridad estructural y comodidad de los pasajeros.

Si la estructura es sometida a esfuerzos muy altos, ocurrirá una falla estática del

material. Si la estructura es sometida a esfuerzos dinámicos muy altos, muy frecuentemente, falla en un modo de fatiga. Además, la falla por inestabilidad puede ser precipitada por una falla parcial o debilitamiento en una estructura subsidiaria. Últimamente el problema de integridad estructural consiste en alcanzar una configuración que sea tanto segura contra fallas como que tenga una vida aceptable de los componentes.

Mientras que el problema estructural tiene una solución objetivamente medible (la

estructura es o no segura contra fallas, o tiene un número de horas mínimas requeridas de vida útil), el problema de alcanzar la comodidad de los pasajeros es medido sólo relativamente. Ciertamente una meta razonable es alcanzar niveles de aceleración en la cabina menores a aquellos de la última nave construida. Las metas actuales son alcanzar niveles de vibración que son generalmente menores a 0.05 g en todos los componentes.

Quizás de mayor importancia al aspecto de juicio ingenieril del amplio problema es

la habilidad de cambiar la estructura para alcanzar la mejora deseada en las respuestas dinámicas de la estructura.

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1.2 MARCO TEÓRICO 1.2.1 Aeronaves de Ala rotativa o Giroaviones

Se designa con el nombre de giroavión a todo aerodino cuya sustentación está asegurada total o parcialmente por una o varias hélices de eje vertical de gran diámetro, complementado en general, de un comando de paso cíclico [1.2]. Dentro de la familia de los giroaviones, se distinguen los tipos siguientes: el autogiro, el combinado o helicóptero mixto, el convertible o convertiplano, y el helicóptero. Más adelante se hará una descripción más detallada de cada una de estas aeronaves de ala rotativa.

Por muchos años los boletines han mostrado helicópteros operando en muchas

situaciones diferentes por todo el mundo. Desde siendo verdaderamente agresivos como se vio en la guerra de Vietnam hasta misiones salvavidas volando sobre embarcaciones hundiéndose; desde vuelos de placer hasta ambulancias aéreas locales; desde apoyo en expediciones de alpinismo en las montañas hasta levantar y colocar la aguja sobre la parte más alta de la catedral de Coventry.

El helicóptero es por supuesto una aeronave muy versátil. Difiere marcadamente en

apariencia de una aeronave de ala fija pero debe operar de acuerdo a las mismas leyes aerodinámicas. No obstante, mientras que el helicóptero puede, a veces, parecer rudimentario es de hecho un vehículo sofisticado que impone grandes demandas sobre sus diseñadores. De la manera que se miren, los helicópteros son una clase única de máquinas voladoras.

La habilidad de permanecer suspendido (hover) por un periodo de tiempo caracteriza, por definición, a las aeronaves de despegue y aterrizaje vertical: “vertical take-off and landing” (VTOL), y en esta clase de vehículo, el helicóptero es el protagonista principal [1.3]. A primera vista la habilidad de permanecer suspendido en el aire puede parecer no tener demasiada dificultad.

Una máquina de reacción a chorro debería ser suficiente para levantar el fuselaje del

suelo y mantenerlo ahí. Esto demuestra el principio de vuelo estacionario pero no provee a la aeronave la capacidad de volar sostenidamente sin la inválida penalización de un alto consumo de combustible.

El vuelo estacionario eficiente viene de dar a un gran volumen de aire un pequeño

incremento en la velocidad y es por esta razón que el helicóptero con su largo rotor de levantamiento es el primer candidato para este uso.

Sin embargo, además de volar estacionariamente, el helicóptero debe ser capaz de

transferir al vuelo hacia adelante y volver al vuelo estacionario, eficientemente y siempre bajo control estricto. Esto pone una tremenda carga en el helicóptero porque los requerimientos de vuelo estacionario y traslacional frecuentemente proveen demandas conflictivas sobre el fuselaje y los rotores.

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1.2.2 Batimiento (Flapping) de las Palas

Aunque tiene similaridades con una hélice, ya que es un dispositivo productor de empuje, el rotor de helicóptero tiene una diferencia esencial. La hélice siempre opera en un ambiente axialmente simétrico, porque se traslada en una dirección a lo largo de su eje, y cada aspa experimentará básicamente una situación constante.

La interferencia de fuselaje, alas y motor por supuesto proveerá perturbaciones. Este

no es el caso para el rotor de helicóptero. En vuelo estacionario, la simetría axial observada por la hélice es también disfrutada por la pala de rotor (con perturbaciones causadas por la presencia del fuselaje).

Sin embargo, conforme el helicóptero comienza su transición al vuelo hacia

adelante, el rotor empieza a moverse en una dirección en el sentido del borde y se pierde la simetría axial. Conforme la velocidad del vuelo hacia adelante se incrementa, este movimiento de alejamiento de la simetría axial se vuelve más grande.

La Figura 1.1 muestra los efectos de esta disimetría cuando la velocidad del flujo de

entrada rotacional observada por una pala tiene una velocidad traslacional sumada a ella. Esta figura también muestra la convención usual para expresar la posición azimutal de la pala ψ. El datum cero es cuando la pala apunta directamente sobre la cola (la dirección del vuelo hacia adelante es ψ = 180°). El ángulo de azimut ψ es medido desde el datum en la dirección de rotación del rotor.

Ψ=270°

Ω

Ω

Ψ=0°

ΩΨ

Ω

Ψ=180°

Ψ=90°

Ω

Figura 1.1. Efecto de la velocidad de vuelo hacia adelante sobre el rotor del helicóptero.

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El disco rotor se divide en dos mitades: el lado que avanza (0° < ψ < 180°) es donde las palas del rotor se mueven en la misma dirección que el fuselaje y el lado que retrocede (180° < ψ < 360°) es donde las palas del rotor se mueven en oposición al fuselaje.

Como se muestra en la Figura 1.1, el lado que avanza verá la suma de las dos velocidades de entrada de flujo y por lo tanto un potencial de levantamiento incrementado vía el incremento de presión dinámica. De manera contraria, el lado que retrocede verá la diferencia de las velocidades de flujo de entrada, y su potencial de levantamiento es por lo tanto disminuido.

De hecho, la Figura 1.1 muestra que una parte del extremo que retrocede tiene el

flujo incidente moviéndose en una dirección que va desde el borde de salida hasta el borde de ataque del perfil. Esta es la región de flujo inverso que es circular y tiene su centro sobre la pala que retrocede a ψ = 270° y pasa a través del centro del rotor.

La Figura 1.2 muestra el contorno del potencial de levantamiento a través del disco

rotor en vuelo hacia delante. Muestra la disimetría de la presión dinámica debido a la manera en la cual la entrada de flujo rotacional se combina con la velocidad de vuelo hacia adelante. Claramente, si los ángulos aerodinámicos de la pala fueran mantenidos uniformes alrededor del disco, como en una hélice, el levantamiento sería más grande sobre el lado que avanza que sobre el lado que retrocede y se generaría un momento con respecto al eje longitudinal de la aeronave que provocaría que ésta fuera incontrolable y por lo tanto imposible de mantener en el aire. Adicionalmente, esta condición fuera de equilibrio causaría altas vibraciones debido a las cargas oscilatorias en las pala conforme rotan alrededor del azimut.

Figura 1.2. Contorno de levantamiento de un rotor fuera de equilibrio en vuelo hacia adelante.

Juan de la Cierva en su temprana experiencia con autogiros (Figura 1.3) encontró el

efecto de este momento de alabeo y proyectó una solución que existe todavía en la actualidad. Su trabajo previo como ingeniero estructural lo introdujo a armazones articulados con pasadores, que permiten soportar cargas pero proporcionan alivio a la estructura de esfuerzos flexionantes.

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Figura 1.3. El autogiro de Juan de la Cierva.

Transfiriendo este concepto a la pala del rotor del autogiro, Juan de la Cierva incorporó bisagras en el yugo, por lo que las palas estaban permitidas a moverse fuera del plano de rotación en lo que es denominado movimiento de batimiento o “aleteo” (flapping). El efecto de alabeo es entonces desacoplado del fuselaje, debido a las bisagras, pero un problema adicional aparece.

Ya que las palas están ahora libremente articuladas, se moverán bajo las influencias

combinadas de las fuerzas aerodinámicas y centrífugas, y conforme el rotor se mueve en vuelo hacia delante, el plano rotor de hecho se inclinará hacia atrás. La dirección del empuje del rotor puede ser asumida como perpendicular al plano barrido por las puntas de las palas de manera que cualquier cambio en el plano del disco rotor está acompañado por una alteración correspondiente en la línea de empuje del rotor.

Para un autogiro, donde el rotor se mantiene girando por un flujo de aire hacia arriba

a través de él, esta inclinación del plano rotor hacia atrás es lo que se requiere y la dirección de la fuerza de empuje del rotor la sigue por consiguiente. Una componente trasera del empuje del rotor es por lo tanto generada, la cual, en el caso del autogiro, es vencida por la fuerza propulsora que da la hélice impulsora.

Con un helicóptero, sin embargo, el empuje del rotor principal debe proveer,

además de la fuerza vertical que soporta a la aeronave, una fuerza hacia adelante para vencer el arrastre del aparato. La inclinación hacia atrás del plano del rotor principal, usada en el autogiro, es ahora la dirección incorrecta para un helicóptero.

El vuelo hacia adelante requerirá una inclinación del disco hacia adelante y para

lograrlo, mientras que se retengan las articulaciones de batimiento, la inclinación de las palas es alterada cíclicamente conforme el rotor gira con la intención de invertir la tendencia natural del disco rotor a inclinarse hacia atrás. Las hélices tienen mecanismos de cambio de inclinación de las aspas para control del empuje pero todas las aspas cambian juntas la inclinación (colectivamente).

Los rotores de helicóptero tienen también una inclinación colectiva ajustable que

permite variar el empuje, pero el control de la posición del rotor principal, como se explicó previamente, también requerirá una inclinación cíclica. El cambio en el ángulo de la pala influenciará la aerodinámica y el efecto de la inclinación cíclica sobre el contorno del potencial de levantamiento de la Figura 1.2 como se muestra en la Figura 1.4.

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Figura 1.4. Contorno de levantamiento en un rotor equilibrado en vuelo hacia adelante.

Para equilibrar el rotor en el alabeo, el potencial de levantamiento creciente en el

lado que avanza tiene que ser reducido con el efecto opuesto para el extremo que retrocede. Este compromiso, soportado por la necesidad de eliminar el momento de alabeo lleva a limitaciones aerodinámicas en el rotor, particularmente en la búsqueda de altas velocidades. La región de flujo inverso circular está representada tanto en la Figura 1.2 como en la 1.4, por el área que aparece por debajo del disco rotor.

Todos los dispositivos de levantamiento, ya sean alas o palas de rotor, ganan

levantamiento superponiendo un flujo circulatorio al flujo que pasa por el ala / pala. Esto causa una velocidad de flujo más alta sobre la superficie superior que sobre la inferior provocando una diferencia de presión entre ellas y causando que se genere levantamiento. En los extremos del ala o de la pala esta circulación debe ser vertida dentro del flujo conforme la carga cae rápidamente a cero. Esto es hecho por medio del bien conocido vórtice de la punta, frecuentemente visto en aeronaves de alto desempeño realizando maniobras cerradas en condiciones atmosféricas húmedas. La rápida rotación del vórtice causa un enfriamiento rápido del aire en el ojo del remolino provocando condensación que forma y actúa como un marcador (estela de condensación), que se muestra en la Figura 1.5.

Figura 1.5. Vórtices en la punta del ala generados por un McDonnell Douglas Phantom F4 en una maniobra cerrada.

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Figura 1.6. Vórtices en la punta de la pala generados por un Westland Sea King Mk5 en vuelo lento hacia atrás.

Esto también ocurre con los rotores de helicóptero, como se muestra en la Figura

1.6, pero como una aeronave de ala fija deja los vórtices atrás, las palas de rotor de helicóptero, debido a su movimiento, están forzadas a operar bajo la influencia de las estelas de condensación vertidas por todas las palas (incluyéndose a sí mismas). La Figura 1.6 también muestra una pala pasando cerca del vórtice dejado por la pala anterior inmediata. Conforme cada pala rota, pasa sobre o debajo de vórtices dejados por sí misma y por las otras palas. En este sentido el ambiente complicado del rotor de helicóptero causará efectos mayores que influenciarán el desempeño de la aeronave.

Por lo tanto, se debe lidiar con una aeronave capaz de volar estacionariamente y transferir a y desde vuelo traslacional, ajustada con articulaciones que permiten a las palas del rotor moverse fuera del plano de rotación, mientras está inmersa en una situación aerodinámica hostil. El helicóptero es una fuente única de estos problemas y en este trabajo se describirán algunas de estas complicaciones, se explicará por qué ocurren, cómo se pueden modelar y qué conclusiones se pueden sacar de la simulación efectuada con estos modelos.

La configuración de rotor principal y de cola únicos es la más común. La Figura 1.7

muestra un Westland Westminster en vuelo en su versión grúa que permite ver fácilmente los componentes.

El rotor principal soporta el armazón y la transmisión principal descansa debajo.

Los controles del rotor principal pueden verse rodeando el mástil. El fuselaje es entonces unido a la transmisión mediante el aseguramiento de los marcos de levantamiento a los pies de la transmisión. El árbol impulsor del rotor de cola puede verse viniendo desde la parte trasera de la transmisión principal, pasando a lo largo del espinazo del botalón de cola, y vía una transmisión angular, a la aleta y finalmente a la transmisión del rotor de cola. Las turbinas de gas Napier Eland son posicionadas en la parte más alta de la cabina con los ejes impulsores conectados a la transmisión principal. Los motores están contenidos dentro de paredes contra fuego.

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En la base de la aleta puede verse una manivela de campana que forma parte del mecanismo de control del rotor de cola. Ésta tiene que conectar los pedales del piloto con el mecanismo de cambio de inclinación del rotor de cola y entonces tiene que recorrer la longitud completa del armazón lo que es frecuentemente logrado por medio de cables. Aunque esta aeronave en particular fue diseñada hace 50 años, el arreglo básico es típico.

Figura 1.7. Westland Westminster en su versión grúa.

Al describir las técnicas usadas para diseñar un helicóptero, la complejidad de los modelos teóricos puede variar enormemente. No obstante, debe tenerse en mente que el diseñador de helicópteros debe encontrar una solución que proporcione una aeronave capaz de satisfacer los requerimientos de misión solicitados por el cliente y venderlo con las restricciones financieras obvias que esto impone.

Los cambios a los requerimientos mientras que el diseño está en camino usualmente

causarán modificaciones mayores que son pocas veces entendidas o apreciadas por el cliente. 1.2.3 Autorotación

Algunas veces ocurre un malentendido con el efecto de una falla del motor sobre la habilidad del helicóptero para volar. Es un hecho que el piloto no debería tomar una acción remediadora después de una falla de potencia en el motor, el arrastre aerodinámico sobre las palas causará que el rotor disminuya su velocidad de rotación, que el empuje decrezca y que el aparato descienda. Finalmente esto resultará en que el rotor llegue a detenerse con la inevitable pérdida del helicóptero.

Sin embargo, la habilidad del aire para hacer girar el rotor es ampliamente

demostrada con el autogiro y el hecho esencial es que la velocidad de vuelo hacia delante de la aeronave da una componente del aire hacia arriba a través del rotor, debido a su inclinación hacia atrás. Este flujo hacia arriba causa las fuerzas de levantamiento sobre las palas cambien de ligeramente hacia atrás a ligeramente hacia adelante y una componente de la fuerza de arrastre sobre las palas se vuelve una fuerza propulsora que mueve al rotor.

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El helicóptero puede alcanzar esta situación si el piloto baja la inclinación colectiva y entonces reduce el empuje del rotor principal, permitiendo que la aeronave descienda. El rotor de helicóptero descendiente ahora tiene un flujo de aire hacia arriba a través de él y el rotor pude ser impulsado sin la necesidad de un motor. Esta técnica de usar la altitud del helicóptero para permitir el descenso, bajo control, con los rotores girando se denomina autorotación. 1.2.4 Configuraciones de Giroaviones

Introducción

Uno de los ejemplos más simples de un helicóptero es el juguete de niños conocido como el “trompo chino”. Consiste de una hélice ajustada a un eje el cual es girado con las manos. Un desarrollo de éste consiste de dos rotores sobre el mismo eje y girando en direcciones opuestas. La fuerza motriz es provista por una liga que cuando se tensa y se libera, el trompo subirá en el aire bajo el empuje de los dos rotores. Debido a la tercera ley de Newton, los rotores girarán en direcciones opuestas sin proporcionar torque neto al sistema combinado. Así como muestra el principio básico de levantamiento, también demuestra el requerimiento antitorque del sistema combinado.

Como será descrito en esta subsección, las varias configuraciones de aeronaves de

ala rotativa, que han sido ya sea propuestas o voladas, controlan este requerimiento antitorque de diferentes maneras.

Los requerimientos esenciales para cualquier máquina voladora son:

a) La fuerza de levantamiento debe igualar o exceder el peso de la aeronave y con capacidad de ser controlada.

b) El empuje propulsor en una dirección de vuelo hacia adelante debe igualar, o exceder,

el arrastre de la aeronave y con capacidad de ser controlado. c) Debe haber fuerzas y momentos de control, que sean capaces de alterar la posición de la

aeronave en cabeceo, alabeo y guiñada.

Los giroaviones producen su fuerza de levantamiento por medio de uno o varios rotores, que son alas rotativas, y consecuentemente estos rotores deben ser capaces de cumplir los tres requerimientos anteriores. Esto significa que el vuelo hacia adelante puede sostenerse a velocidades que son más bajas que las esperadas con un vehículo de ala fija. Si el rotor es impulsado por medio de la extracción de energía propulsora del aire (el autogiro), entonces el vuelo a baja velocidad es posible.

Sin embargo, si el rotor es impulsado por un motor interno (helicóptero), entonces el

vuelo a baja velocidad puede de hecho ser extendido a cero, permitiendo a la aeronave volar estacionariamente.

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Debido a que el rotor de un autogiro extrae energía de una agencia externa (es decir, el aire que pasa hacia arriba a través de él), no hay tendencia de la aeronave a rotar en dirección opuesta a la del rotor. Esto todavía obedece a la tercera ley de Newton porque el balance de torque es mantenido por el aire pasando a través del rotor heredando una velocidad de remolino en el sentido opuesto a la del rotor y entonces manteniendo el status quo.

El desarrollo del trompo chino, sin embargo, es un ejemplo de suministro interno de

potencia que por lo tanto requerirá algún balance antitorque (que es el otro rotor). El helicóptero se ha desarrollado en muchas configuraciones diferentes, y cada una tiene su propio método de balance de torque.

Es necesario alterar en dirección el empuje de un rotor principal de levantamiento

durante el vuelo para dar el control requerido. La dirección del empuje de un rotor es usualmente tomada como perpendicular al plano del mismo rotor (el plano trazado por los extremos de sus palas), haciendo el vector de empuje controlable (es decir, magnitud y dirección) mediante la variación del plano de giro del rotor para alinear su normal con la dirección deseada de la fuerza de empuje.

En el pasado han habido diseños de helicópteros donde se usaban más de dos rotores

principales, el Cierva Air Horse, por ejemplo, tenía tres. Sin embargo, en tiempos modernos, el número usual de rotores principales, en una configuración multirotor, es dos.

Configuración de rotor principal y rotor de cola únicos

El rotor principal sencillo provee el empuje vertical necesario a la aeronave para dejar el suelo y controlarlo en una dirección vertical. El control en las direcciones de proa, popa y laterales también es provisto por el rotor principal mediante la alteración del plano del disco rotor y por lo tanto la dirección del vector de empuje. Este cambio en el vector de empuje también dará el control en alabeo y cabeceo.

Con un suministro de potencia interno, el control de la guiñada está dado por un

rotor más pequeño ajustado al final de la cola del fuselaje. Es posicionado en un plano vertical y proporciona la fuerza horizontal requerida para dar el control al piloto sobre el momento de guiñada total aplicado al fuselaje con respecto al eje del mástil del rotor principal. Un ejemplo de esta configuración es el Westland Sea King (ver Figura 1.8).

El control y balance del rotor de esta aeronave es como sigue:

Vertical empuje del rotor principal Longitudinal inclinación proa / popa del rotor principal Lateral inclinación lateral del rotor principal Cabeceo inclinación proa / popa del rotor principal Alabeo inclinación lateral del rotor principal Guiñada empuje del rotor de cola / torque del motor

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Figura 1.8. Westland Sea King Mk5.

Configuración de rotores principales gemelos

El control antitorque puede ser alcanzado al tener dos rotores principales girando en direcciones opuestas, por lo tanto cada uno cancelando el torque del otro. El control vertical es compartido entre los rotores, e individualmente alterando cada rotor en empuje y dirección permitirá a la aeronave ser controlada en los otros cinco grados de libertad (movimiento de proa, popa y lateral; rotaciones de alabeo, cabeceo y guiñada). Los rotores principales gemelos, cuando se colocan en locaciones separadas, permiten al helicóptero ser equilibrado en vuelo con un rango mucho mayor de posiciones del centro de gravedad (CG) de lo que permite la variante de rotor principal sencillo.

El rango de CG permisible con una configuración de rotor principal sencillo

depende de la tan mencionada potencia de control del rotor. Este es el momento generado con respecto al CG del helicóptero por unidad de inclinación del plano del disco rotor. El momento depende de una combinación del empuje del rotor y la construcción del núcleo o yugo (hub). Aunque hay algún rango de CG con estos helicópteros, la mayoría de las configuraciones de rotores principales gemelos tienen en rango de CG más grande (el coaxial es la excepción), porque el equilibrio puede ser obtenido por empujes desiguales de los rotores. Tándem

Las configuraciones en tándem tienen un rotor principal localizado en cada extremo del fuselaje (ver Figura 1.9). Esto significa que los rotores principales están alineados en una dirección longitudinal. Para permitir al rotor trasero volar en aire tan tranquilo como sea posible, es elevado sobre un pilón arriba del nivel del rotor frontal. Esto puede dar lugar a problemas cuando la aeronave está frenando, cuando tenga una posición con la nariz hacia arriba. El rotor trasero se sumergirá en el chorro de aire inducido del rotor frontal y, a menos que se demande más empuje al rotor trasero, el fuselaje del helicóptero tenderá a cabecear en una posición con la nariz cada vez más hacia arriba.

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Si se está llevando a cabo un aterrizaje, y la aeronave está en una posición baja cuando el movimiento de subir la nariz es iniciado, el aparato está en peligro de golpear el suelo con la sección de la cola del fuselaje.

El control y balance del rotor de esta aeronave es como sigue:

Vertical empuje de los rotores principales (colectivo) Longitudinal inclinación proa / popa de los rotores principales Lateral inclinación lateral de los rotores principales Cabeceo inclinación proa / popa de los rotores principales / empuje de los

rotores principales (diferencial) Alabeo inclinación lateral de los rotores principales Guiñada inclinación diferencial de los rotores principales

Figura 1.9. Helicóptero de rotores en tándem Westland Belvedere.

El posicionamiento longitudinal de los rotores permitirá una amplia variación de la posición del CG en un sentido longitudinal. Esto tendrá una desventaja de control si el CG no está a la mitad entre los centros de los rotores. Esto significa que los rotores tendrán diferentes empujes y si se demanda control lateral por una inclinación lateral de los rotores principales entonces se creará un momento de guiñada. Además, la separación vertical de los planos de los rotores dará lugar a problemas en la guiñada. Para girar el helicóptero tándem en guiñada, los planos de los rotores son inclinados en direcciones opuestas. Este sentido opuesto de inclinación lateral del rotor da lugar a un momento de alabeo, que está en el sentido incorrecto para un giro coordinado. Por ejemplo, un giro a babor estará acompañado por un alabeo a estribor de la aeronave. Lado a lado

La configuración lado a lado tiene los rotores principales colocados en un sentido lateral sobre pilones, es decir, perpendicular al tándem (ver Figura 1.10).

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El control y balance del rotor de esta aeronave es como sigue: Vertical empuje de los rotores principales (colectivo) Longitudinal inclinación proa / popa de los rotores principales Lateral inclinación lateral de los rotores principales Cabeceo inclinación proa / popa de los rotores principales Alabeo inclinación lateral de los rotores principales / empuje de los rotores

principales (diferencial) Guiñada inclinación diferencial proa / popa de los rotores principales

El espaciamiento de los rotores permitirá una amplia variación de la posición del CG en un sentido lateral. Esto no es ni cercanamente tan útil como la variación longitudinal pero si se despliegan armas en un sentido lateral, pueden ser liberadas asimétricamente sin peligro de comprometer el control de alabeo. La disposición lateral de los rotores principales significa que la interferencia mutua es sustancialmente reducida.

Figura 1.10. Helicóptero de rotores lado a lado Mil-Mi 12.

En vuelo hacia adelante, los rotores experimentarán las mismas condiciones aerodinámicas, la ausencia de lo cual es un problema con la configuración tándem a través del rotor trasero volando en o cerca de la turbulencia y estela del rotor frontal. Una desventaja con la configuración lado a lado es el arrastre adicional del fuselaje causado por los pilones de soporte. Coaxial

La configuración coaxial tiene los dos rotores principales sobre el mismo eje. Esto es como el desarrollo del trompo chino (ver Figura 1.11).

El control y balance del rotor de esta aeronave es como sigue:

Vertical empuje de los rotores principales Longitudinal inclinación proa / popa de los rotores principales Lateral inclinación lateral de los rotores principales Cabeceo inclinación proa / popa de los rotores principales Alabeo inclinación lateral de los rotores principales Guiñada torque diferencial de los rotores principales

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Esta configuración tiene la ventaja de ser compacta lo que explica por qué el helicóptero coaxial es frecuentemente visto en las cubiertas de los barcos. Sin embargo, debido a rotores más pequeños dando cargas de disco más altas y el rotor más bajo volando en el chorro causado por el rotor superior el consumo de potencia tiende a ser más alto que otras configuraciones de rotores principales gemelos. Los eslabonamientos requeridos para controlar ambos rotores sobre el mismo árbol hacen un sistema abultado en el núcleo con los problemas consiguientes de arrastre aerodinámico. El control de guiñada es conseguido por medio del torque diferencial de los rotores principales, lo cual puede dar lugar a un problema en vuelo descendente cuando el helicóptero está en autorotación. Los pedales, que son las entradas de control de guiñada del piloto, están ajustados para un funcionamiento correcto en vuelo con potencia. Ese es un momento de guiñada que es creado en la dirección apropiada al movimiento del pedal.

En autorotación, donde las fuerzas de levantamiento de las palas cambian de dirección para permitir que el aire impulse el rotor, el momento de guiñada ahora será opuesto al movimiento del pedal resultando en una inversión del control.

Figura 1.11. Helicóptero de rotores coaxiales Kamov Ka-26. Sincrocóptero

La configuración sincrocóptero tiene dos árboles muy cercanos entre sí e inclinados hacia afuera. Es similar al coaxial en su logro del control de guiñada, pero los rotores están ahora a la misma altura dando un arreglo más compacto del núcleo sobre la configuración coaxial. El problema de espacio libre entre palas significa que los rotores son normalmente bipala (ver Figura 1.12).

El control y balance del rotor de esta aeronave es como sigue: Vertical empuje de los rotores principales Longitudinal inclinación proa / popa de los rotores principales Lateral inclinación lateral de los rotores principales Cabeceo inclinación proa / popa de los rotores principales Alabeo inclinación lateral de los rotores principales Guiñada torque diferencial de los rotores principales

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Figura 1.12. Sincrocóptero Kaman H-43B Huskie.

La inclinación de los árboles de los rotores principales significa que habrá un elemento de acoplamiento cruzado entre los varios grados de libertad rotacionales (alabeo, cabeceo y guiñada) y traslacionales (longitudinal, lateral y vertical). Esta inclinación de los mástiles significa que la reacción del rotor a los torques del motor ahora tendrá una componente en el eje del cabeceo. Si las rotaciones de los rotores son tales que las palas se aproximan sobre el botalón de cola, el momento de cabeceo obtenido da una estabilidad a la aeronave con respecto a perturbaciones verticales. En este caso los rotores giran en sentido antihorario para el rotor de proa y en sentido horario para el rotor de popa. Debido a que la inclinación hacia afuera de los mástiles, el torque aplicado a los rotores tendrá una componente hacia abajo, entonces el torque de reacción del motor será hacia arriba que, para restablecer el equilibrio al helicóptero, requiere inclinar hacia adelante los planos de los discos rotores de manera tal que los vectores de empuje de los rotores ahora tendrán una nueva línea de acción que pasa a la parte trasera del CG de la aeronave. Si el helicóptero encuentra una perturbación vertical en una dirección hacia arriba, habrá un incremento en los empujes de los rotores lo que significa que el momento de cabeceo sobre el helicóptero se volverá más hacia abajo y entonces automáticamente corregirá la traslación vertical hacia arriba de la aeronave causada por el incremento de empuje. Compuesto

Todos los helicópteros sufren de la crítica de limitación de velocidad en vuelo hacia adelante. Hay varios cambios en los diseños que es posible usar para incrementar la velocidad máxima de la aeronave. El helicóptero de empuje compuesto tiene propulsión auxiliar instalada (ver Figura 1.13). Como ejemplo, el Fairey Gyrodyne usaba una hélice sencilla orientada al frente para proveer propulsión auxiliar (ver Figura 1.14). También era usada como reemplazo de un rotor de cola convencional dando el torque de reacción necesario. El helicóptero de levantamiento compuesto tiene alas ajustadas al fuselaje con el objetivo de aliviar al rotor principal de la necesidad de soportar todo el peso del helicóptero. Esto significa que el empuje del rotor principal puede ser reducido con la intención de llevar al rotor lejos de una condición de pérdida, que es la limitación aerodinámica principal para el desempeño del rotor.

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Figura 1.13. Sikorsky S-72, Rotor Systems Research Aircraft (RSRA). Este es un helicóptero compuesto usado para investigación de rotores, tiene suficiente área del ala para soportar a la aeronave permitiéndola

volar con el rotor operando a un nivel mucho más reducido de empuje.

Figura 1.14. Fairey Gyrodyne. Sostenedor del récord mundial de velocidad de 124 mph logrado en Junio de 1948.

El problema impuesto por esta solución es que el rotor principal es todavía

requerido para proveer toda la fuerza propulsora, y para vencer el arrastre del helicóptero el rotor tendrá que ser inclinado todavía más hacia adelante conforme la magnitud del empuje ha sido reducida. Para lograr esto, más inclinación cíclica tiene que ser aplicada, que en la región crítica (ψ = 270°) tiene el efecto de casi invalidar los beneficios de reducir el empuje del rotor. Un incremento pequeño en la velocidad hacia adelante es posible (10 nudos, por decir), pero nada como la mejora que uno podría esperar en un principio.

El problema puede ser evitado divorciando el rotor principal de la necesidad de

proveer la propulsión así como la fuerza de soporte. Esto permite al rotor operar a un empuje reducido debido a la contribución de sustentación de las alas. Esto significará la adición de propulsión extra y esta configuración compuesta tanto del levantamiento como del empuje es conocida como un helicóptero totalmente compuesto.

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Aeronaves de ala rotativa impulsadas en las puntas

Las configuraciones descritas hasta ahora tienen rotores movidos a través del mástil. Para hacer esto, un sistema elaborado de transmisión debe ser usado para reducir las altas velocidades rotacionales del eje de salida del motor a las requeridas por los rotores. La parte central de esta transmisión es la caja de engranes del rotor principal que debe ser capaz de transmitir el torque requerido y adicionalmente proveer la conexión directa entre el (los) rotor (es) y el fuselaje. Esto requiere que la caja de engranes resista las cargas de vuelo impuestas sobre ella para controlar la aeronave.

Por esta razón es una pieza sustancial de ingeniería y puede comprender más del

10% del peso total del helicóptero. En el caso de la configuración de rotor principal sencillo la provisión de potencia al mástil también requiere un medio de control de guiñada que es usualmente dado por el rotor de cola, que entonces agrega más peso a la transmisión.

Si el rotor principal fuera movido por un flujo a chorro emanando de cada extremo

de las palas, entonces los sistemas de transmisión principal y del rotor de cola no son necesarios y un incremento sustancial en carga útil puede ser logrado. Un rotor de cola puede ser adaptado, pero es liberado de la necesidad de vencer el torque de un mástil de rotor principal. Una revisión del desarrollo del helicóptero muestra un dominio casi total de rotores impulsados por árbol.

Entonces, con el posible ahorro en peso de la aeronave ¿por qué el rotor impulsado

en las puntas no ha sido más usado? La razón parece obligada. Básicamente, la elección correcta de propulsión del rotor es dependiente de la operación deseada del diseño de helicóptero propuesto.

Para obtener suficiente torque para hacer girar el rotor principal, una velocidad alta

del flujo a chorro es necesaria porque las puntas de las palas están girando a una velocidad considerable y el chorro debe superar esto. Si se requiere una velocidad de chorro baja entonces un correspondiente flujo de masa alto a través del conducto debe ser obtenido haciendo una sección transversal del perfil de la pala grande.

Los tipos de impulso en las puntas que pueden ser usados se explican a

continuación: (a) Chorro a presión. Se produce gas en el fuselaje y se alimenta al núcleo del rotor vía

sellos rotatorios y después a las mismas palas. Entonces es pasado a través de conductos dentro de la sección del perfil de las palas hasta las puntas donde es desviado 90° y sale desde el extremo. Este empuje puede ser aumentado por una forma de recalentamiento donde se quema combustible en la punta. El chorro de presión requerirá conducción en las palas que puede causar conflictos con el flujo de masa requerido, y por lo tanto con el tamaño del conducto y la sección del perfil de la pala. Ocurrirán pérdidas en el conducto, pero el bombeo centrífugo ayudará a compensar estas pérdidas. Si se utiliza el recalentamiento, entonces puede ser necesaria la protección térmica de las partes internas de la pala.

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(b) Turbina de gas montada en la punta. Una turbina de gas es instalada en cada extremo de las palas del rotor, y es alimentada con combustible a través de tubos en las palas. Sin embargo, la turbina tendrá que trabajar en un campo de fuerza centrífuga alto. Por ejemplo, una turbina instalada en un avión caza puede esperarse que soporte aceleraciones de 10 g mientras que, en comparación, un rotor de chorro en la punta estaría sujeto a aceleraciones del orden de 500 g. Adicionalmente los carretes en las turbinas sufrirán momentos giroscópicos considerables conforme las palas roten y un arreglo de carretes gemelos con direcciones opuestas de rotación será entonces necesario.

(c) Chorro de pulso montado en la punta. Este puede operar con un rotor estacionario y

tiene un consumo menor de combustible que el chorro de ariete, pero el chorro de pulso tiene una válvula de admisión altamente esforzada con vida limitada solamente, y para eficiencia óptima requerirá una velocidad en la punta del rotor menor (exacerbando el problema de la pala que retrocede) y un tubo de chorro largo.

(d) Chorro de ariete montado en la punta. Este ofrece la solución mecánica más simple

pero, a diferencia del chorro de pulso, no operará a velocidad rotacional cero. Esto significa que una provisión extra para hacer girar el rotor desde el reposo será necesaria. También sufre de alto consumo de combustible (para un chorro de ariete subsónico se requiere una velocidad alta en la punta del rotor que exacerbará el problema de la pala que avanza).

Todos los esquemas anteriores sufren de las mismas desventajas, a saber:

(i) Peso incrementado en los extremos de las palas – requiriendo un incremento de fuerza en las palas y el yugo.

(ii) Arrastre incrementado en las puntas de las palas dando un incremento en la potencia del perfil, con el resultado de que una tasa de descenso más alta será necesaria para la autorotación.

(iii) Complicaciones en el núcleo y las palas con los sellos y conductos. (iv) Generación de ruido – con el advenimiento de “stealth” para aeronaves militares y

controles de contaminación por ruido para operaciones civiles, esta es una desventaja mayor.

Varios análisis pueden llevarse a cabo sobre los méritos de los giroaviones

impulsados por árbol y de los impulsados en las puntas. Las conclusiones mayores son que los rotores impulsados en las puntas son más aptos para diseños de aeronaves grandes que, si fueran movidos por árbol, tendrían un peso de la transmisión proporcionalmente más grande. También , deberían estar operando solamente en vuelo estacionario por periodos limitados donde el consumo de combustible es inferior al equivalente impulsado por mástil. Un buen ejemplo de este tipo de aeronave es el Fairey Rotodyne mostrado en la Figura 1.15. Tenía dos turbinas de gas Napier Eland que proporcionaban un suministro de gas a los chorros de las puntas los cuales eran recalentados. El impulso en las puntas era usado en vuelo estacionario pero en vuelo traslacional la aeronave operaba como un autogiro con las máquinas Eland moviendo dos turbohélices para proveer la propulsión.

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El impulso del chorro en las puntas era estrangulado conforme la transición del vuelo estacionario al vuelo traslacional de crucero era logrado. El impulso en los extremos era progresivamente restaurado cuando el aparato volvía a la suspensión en el aire.

Figura 1.15. Helicóptero compuesto impulsado en las puntas Fairey Rotodyne.

Tipos avanzados de aeronaves de ala rotativa Concepto de Pala que Avanza (“Advancing Blade Concept” - ABC)

Es esencialmente una configuración coaxial, sin embargo las palas y el yugo son muy rígidos y los rotores pueden volar deliberadamente fuera de equilibrio sin que las palas choquen. Un helicóptero con rotor principal sencillo debe por supuesto ser equilibrado en alabeo, lo que reduce el potencial de empuje del rotor. El rotor ABC logra su equilibrio del alabeo usando dos rotores, uno balanceando al otro en alabeo. La combinación de esta simetría con la alta rigidez de los núcleos y palas de los rotores les permite operar fuera de equilibrio y hacer uso total del potencial de empuje aerodinámico del lado que avanza en vuelo hacia delante de alta velocidad. Rotor detenido

Este concepto es el límite de la composición. La aeronave despega y aterriza como un helicóptero, pero durante el crucero se revierte a una aeronave de ala fija bajando el rotor a una parada y transfiriendo las responsabilidades de sustentación a un ala.

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Durante el proceso de bajada del rotor, la asimetría entre el lado que avanza y el que retrocede del disco se incrementa y se puede usar control de circulación para compensar este efecto y permitir alcanzar el equilibrio del alabeo.

Hay penalidades obvias de peso, porque en cualquier condición de vuelo, ya sea el

rotor o el ala serán peso muerto improductivo. A velocidades bajas de rotación puede haber problemas de control con el rotor, que son particularmente aparentes en condiciones ventosas. Ala inclinante / Rotor inclinante

Estos diseños requieren que los ejes de los rotores sean girados a través de al menos un cuadrante y que por lo tanto sean un helicóptero o una aeronave de ala fija impulsada por hélices. El diseño del rotor es naturalmente un compromiso entre una relación de aspecto grande / un rotor de helicóptero de baja torsión y una relación de aspecto más baja / una hélice de alta torsión y se sufrirá conforme a ello. Sin embargo, la importancia de estos conceptos se demuestra por el retorno continuo de la industria a estas configuraciones, el Osprey siendo el ejemplo natural más reciente (ver Figura 1.16).

La transmisión será complicada y se presentará interferencia con el ala (esto será

reducido por la aeronave de ala inclinante donde la línea de empuje del rotor se mantiene paralela a la cuerda del ala). La transición es el régimen de vuelo más problemático.

Figura 1.16. Aeronave de rotor inclinante Bell Boeing V22 Osprey. 1.2.5 Tipos de Rotores

Desde que comenzó el vuelo del ala rotativa, el diseño de núcleos de rotor ha sido uno de los retos más grandes. Hoy en día, este arte permanece en un estado de cambio continuo. Muchas configuraciones diferentes son usadas en las aeronaves de producción y experimentales porque los diseñadores de helicópteros tienen que combinar características para satisfacer las necesidades de todos los usuarios en un núcleo de rotor.

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Entre esas características deseables están: bajo peso, bajo arrastre, bajo costo, larga vida, fácil mantenimiento, libertad de problemas dinámicos, potencia de control adecuada y, para helicópteros militares, inmunidad al daño en combate [1.4].

Asumiendo que un diseñador del cubo de un rotor está sin la guía de diseños

previos, la decisión primaria sería determinar cómo manejar los movimientos de aleteo (flapping), adelanto-retraso (lagging) e inclinación (feathering). Las opciones en el diseño pueden variar desde una adhesión muy libre de la pala con cojinetes de feathering giratorios y bisagras mecánicas para el flapping y el lagging, hasta un rotor sin bisagras ni cojinetes en lo absoluto.

Diseños antiguos

Hasta alrededor de 1970, los dos diseños de núcleo más familiares eran el núcleo basculante bipala usado en el Bell Model 47 (ver Figura 1.17) y el núcleo totalmente articulado con bisagras excéntricas de flapping como el usado en el Sikorsky S-58.

El yugo del Bell era simple, tenía arrastre relativamente bajo y, siendo rígido dentro

del plano, no necesitaba amortiguadores para prevenir la resonancia suelo. Sin embargo, sí tenía baja capacidad de momento de control y estaba inherentemente limitado a dos palas. Mientras que esto hace al helicóptero fácil de resguardar en el hangar, resulta en dos brincos por revolución a velocidad hacia adelante alta porque la mayor parte del empuje del rotor es producido por las palas sobre la nariz y la cola.

Figura 1.17. El rotor basculante del Bell 47J mostrando el sistema de “barra bell”.

El núcleo del Sikorsky proveía potencia de control alta y permitía casi cualquier número de palas pero tenía muchas partes, alto arrastre, necesitaba amortiguadores de adelanto-retraso y tenía muchos cojinetes mecánicos que mantener, como muestra la Figura 1.18. Los diseñadores de los rotores bipala no usan articulaciones de adelanto-retraso por dos razones: primera, estas bisagras no son tan necesarias para aliviar esfuerzos de la pala en el sentido de la cuerda como en los rotores multipala y, segunda, son más peligrosas porque son susceptibles a resonancia suelo.

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Figura 1.18. La cabeza del rotor principal de un Sikorsky S-65A mostrando el mecanismo de cambio de incidencia.

La resonancia suelo está definida como un acoplamiento destructivo del movimiento

de adelanto-retraso de la pala con la aeronave oscilando sobre su tren de aterrizaje. La primera razón puede ser explicada por el hecho de que la mayoría de los movimientos de las palas dentro del plano es causado por el movimiento de flapping debido a la Ley de Conservación del Momentum. Un ejemplo de esta ley puede ser observada en un show sobre hielo. Un patinador comenzará a girar con los brazos abiertos y después, conforme retrae los brazos hacia su cuerpo, gira más rápido.

Figura 1.19. Movimiento de flapping de la pala. Lo mismo pasa cuando una pala aletea ya sea hacia arriba o hacia abajo como se

muestra en la Figura 1.19, su centro de gravedad se mueve hacia el centro de rotación y quiere subir la velocidad. El flapping de la pala tiene lugar sobre una base regular – una vez cada revolución – y entonces la pala trata de incrementar su velocidad dos veces por revolución: una vez cuando está batiéndose hacia arriba y otra vez cuando está batiéndose hacia abajo.

Figura 1.20. Perfil de esfuerzos sobre la pala generados por las fuerzas de Coriolis.

40

En un rotor bipala, esto significa que las dos palas están haciendo lo mismo al mismo tiempo y la única restricción es la inercia del motor suavizada por la flexibilidad torsional del sistema impulsor. Esta restricción es lo suficientemente suave para que los momentos flexionantes en el sentido de la cuerda puedan ser exitosamente manejados utilizando una cantidad moderada de rigidez en la raíz de la pala (ver Figura 1.20).

En un rotor multipala, las palas no están haciendo el mismo movimiento dentro del

plano simultáneamente, así que algunas palas están resistiendo el movimiento de otras palas. Este problema fue resuelto por Juan de la Cierva cuando eliminó la restricción con bisagras de adelanto-retraso.

Los diseñadores modernos utilizan ya sea esta idea o una estructura flexible que

actúa como una articulación mecánica, o ponen suficiente material en el rotor para acomodar los altos momentos flexionantes en el sentido de la cuerda con niveles bajos de esfuerzo aceptables. Estos últimos rotores son llamados “rígidos en el plano”.

La otra razón para no usar bisagras de adelanto-retraso en un núcleo bipala es que

tal rotor tendría un amplio rango de velocidades rotacionales que podrían causar resonancia suelo inestable. Por otro lado, los rotores con tres o más palas articuladas son susceptibles a resonancia suelo solamente sobre un rango muy estrecho de velocidades rotacionales. Con amortiguadores adecuados alrededor de las bisagras de adelanto-retraso y en el tren de aterrizaje, pueden pasar a través de este rango peligroso de manera segura.

Diseños evolucionados

Los diseñadores han estado haciendo gradualmente cambios en los núcleos de base por muchos años. Bell Helicopter Textron se fue a un “núcleo de viga flexible, bisagra de puerta” en sus más recientes UH-1s y AH-1s. Este diseño ubica un poco de flexibilidad del núcleo donde puede ser usada para reducir el brinco de dos veces por revolución mediante el uso de la propia inercia de la pala como absorbedor de vibración.

El diseño de bisagra de puerta también reduce el arrastre haciendo al núcleo significativamente más delgado. A diferencia de los primeros yugos de Bell en los cuales los movimientos de incidencia del cíclico y el colectivo eran hechos con cojinetes separados, ambos movimientos son hechos alrededor de las bisagras de puerta sobre el núcleo de viga flexible.

El núcleo para el Bell Model 222 es también un diseño de viga flexible pero la

incidencia se hace con cojinetes elastoméricos. Además, son instalados resortes en el núcleo para incrementar los momentos de control, especialmente durante maniobras de bajo factor de carga.

En su R22, Frank Robinson ha instalado articulaciones de flapping separadas

además de la articulación de balanceo del rotor. Esto logra el mismo resultado que la viga flexible de Bell mientras que reduce los momentos de flexión en la raíz de la pala y las fuerzas oscilatorias transmitidas a la palanca de control.

41

Variaciones sobre el núcleo totalmente articulado existen en muchos helicópteros actuales. El núcleo Enstrom es similar a la configuración básica de Sikorsky, excepto que los controles van arriba de la parte interna del mástil del rotor, no la parte externa. Las bisagras han eliminado el flapping mecánico y los cojinetes de incidencia mediante el uso de bandas que se flexionan y tuercen para producir estos movimientos.

Sikorsky, en sus Black Hawk y S-76, ha reemplazado todas las articulaciones mecánicas con un par de cojinetes hechos de capas contorneadas de un material elastomérico parecido a la goma. Estos cojinetes se deforman para permitir los movimientos de aleteo, adelanto-retraso y torsión.

Bell, en su Model 412 cuatripala, ha usado también cojinetes aunque el flapping se hace con una viga flexible. Este rotor tiene bisagras de adelanto-retraso y el amortiguamiento requerido es alcanzado con amortiguadores elastoméricos.

Diseños revolucionarios

En 1959, Lockheed inició la tendencia actual a los rotores sin articulaciones (aunque un autogiro sin articulaciones ha sido volado durante los años 30 y Bell ha empezado sus esfuerzos experimentales a lo largo de esta línea en 1957). Llamados “rotores rígidos” en los primeros días, tienen de hecho flexibilidad considerable, entonces el término es desviado y debería ser aplicado solamente a aquellos rotores como los dos muy rígidos en la aeronave coaxial ABC (Advancing Blade Concept) de Sikorsky. La clave de los rotores no articulados es que la inclinación cíclica puede ser usada para balancear casi todo el flapping, dejando flexibilidad para hacer el resto.

En el Lockheed Cheyenne AH-56, una delgada porción del núcleo fue usada para

flexibilidad de flapping pero era rígido en la dirección de retraso. El cojinete tipo bisagra de puerta para torsión hizo el núcleo básico relativamente currentilíneo.

Los yugos no articulados son actualmente producidos y usados en el MBB BO-105,

el Westland Lynx y el Aerospatiale SA-365N Dauphin 2. La diferencia en configuración depende básicamente de dónde el diseñador elija introducir la flexibilidad. Todos estos núcleos usan algún tipo de cojinete – ya sea mecánico o elastomérico – para la incidencia.

La rigidez dentro del plano de los núcleos del Lynx y el Dauphin es lo

suficientemente baja para requerir amortiguadores para prevenir la resonancia suelo pero el MBB BO-105 es lo suficientemente rígido para no requerirlos.

Un núcleo que puede verdaderamente ser llamado sin cojinetes fue construido como

un experimento por Boeing Vertol e instalado en un BO-105. Depende de la flexibilidad estructural de todas sus articulaciones. Cuando sea completamente desarrollado, debería acercarse tanto como sea posible al logro de aquellos objetivos deseados de bajo peso, bajo arrastre, bajo costo, fácil mantenimiento, larga vida, libre de problemas dinámicos, potencia de control adecuada e inmunidad al daño en combate.

42

CAPÍTULO 2.

DERIVACIÓN DE CARGAS AERODINÁMICAS CONSIDERANTO AERODINÁMICA CUASIESTACIONARIA

43

DERIVACIÓN DE CARGAS AERODINÁMICAS CONSIDERANDO AERODINÁMICA CUASIESTACIONARIA

2.1 INTRODUCCIÓN

El propósito de este capítulo es construir un modelo físico-matemático del rotor con la teoría del elemento pala, la cual provee un modelo que permitirá determinar, tan precisamente como sea posible, las fuerzas aerodinámicas y momentos actuando sobre los varios segmentos de la pala. Esto se logra imaginando que la pala está compuesta de tiras angostas o elementos aerodinámicamente independientes, orientados en el sentido de la cuerda.

De consideraciones puramente geométricas, es relativamente fácil determinar la

velocidad total del flujo de aire aproximándose a cualquier elemento pala para cualquier condición de vuelo dada, así como la componente de ese flujo perpendicular al eje de la pala. Si de alguna manera pudiera obtenerse información con respecto a los valores de los coeficientes de levantamiento, arrastre y momento aerodinámico existentes en cada tira de la pala, entonces conociendo las longitudes de la cuerda de las tiras y la magnitud de la componente de velocidad de flujo perpendicular al eje de la pala, el levantamiento, arrastre y momento de inclinación por unidad de longitud de la envergadura de la pala pueden ser calculados. Integrando (ya sea gráfica o numéricamente) esas cargas unitarias sobre la extensión total de la pala, el levantamiento total, arrastre total, o más importante aún, el torque total alrededor del eje de rotación del rotor, y momento de inclinación total experimentado por la pala como un todo pueden ser obtenidos.

Junto con un mejor entendimiento de las características del perfil bidimensional

(transversal), se hace más claro que si el patrón completo de flujo de aire (incluyendo velocidades inducidas) en la vecindad inmediata del elemento pala fuera conocido, entonces las fuerzas y momentos actuando sobre ese elemento podrían ser predichas con precisión usando coeficientes seccionales CL, Cd y Cm obtenidos después de considerar la existencia de los números de Reynolds y de Mach y la estabilidad del flujo. De hecho, la filosofía actual entera de predecir el desempeño del rotor y las cargas aéreas puede ser caracterizada por un esfuerzo por representar, tan precisamente como sea posible y en cualquier instante de tiempo, los campos de flujo en la vecindad inmediata de los elementos pala.

Combinar las teorías del elemento pala y de momentum probablemente representa

una de las formas más simples de encontrar velocidades inducidas promediadas en el tiempo en varios puntos del disco rotor. Aunque esto representa un paso definitivo en la dirección correcta, debe tomarse en cuenta que la aproximación propuesta no se puede aplicar para cambios de flujo instantáneos. Consecuentemente, su utilidad está grandemente limitada cuando lidia con los problemas aeroelásticos y algunas cargas aéreas donde el conocimiento de la variación de fuerzas y momentos con el tiempo es esencial. Por el contrario, la teoría combinada elemento pala-momentum puede ofrecer simples, pero suficientemente precisos, métodos computacionales para muchas tareas prácticas de predicción del desempeño [2.1].

44

2.2 VELOCIDAD INDUCIDA EN VUELO TRASLACIONAL

Al evaluar el desempeño del rotor en vuelo traslacional, el primer paso es ver cómo los principios del método de momentum deben ser alterados para permitir la inclinación del disco rotor y las dos componentes de velocidad. Para vuelo estacionario y vuelo axial, la separación del tubo de corriente estaba obviamente en su límite, es decir la periferia del disco rotor. Sin embargo, en vuelo traslacional esta idea tiene que ser modificada. Para el caso de vuelo axial, el modelado del tubo de corriente debe retroceder al borde del disco conforme la velocidad de vuelo traslacional se reduce a cero.

Adicionalmente, los resultados del modelo de momentum para vuelo traslacional

deben también ser congruentes con las teorías de ala fija conforme la velocidad de vuelo se incrementa y en el límite el disco rotor debe asumir la forma de un ala circular. En este último caso la velocidad rotacional puede ser despreciada porque la velocidad del vuelo traslacional dominará, y el resultado esperado para ello es el de un ala monoplano. En el análisis de un ala monoplano el área de referencia determinante para la velocidad del downwash es un círculo delimitado por el ala entera (cuya envergadura total forma un diámetro).

γ

Figura 2.1. Disco propulsor en vuelo traslacional.

Para ser congruentes con los casos límite del vuelo axial y ala monoplano, para

vuelo de alta velocidad, el volumen de control para el rotor del helicóptero debe ser una esfera con el disco rotor siendo un generador. Con esto en mente el modelo del disco impulsor del rotor de helicóptero en vuelo traslacional puede ahora ser derivado, como se muestra en la Figura 2.1. En la figura, V es la velocidad de traslación de la aeronave y γe es la inclinación hacia adelante del disco requerida para vencer el arrastre del fuselaje.

El empuje del rotor es tomado como normal al plano del disco (la experiencia

muestra que esto está justificado), lo que significa que la velocidad inducida vi está en la dirección inversa, es decir, la normal hacia abajo del disco.

45

Las velocidades del flujo incidente son descompuestas en el plano del disco rotor (Vx), y perpendicular a él (Vz). La velocidad del flujo en el plano rotor es:

ex VV γcos= (2.1)

y normal al disco (incluyendo el downwash):

izie vVvV +=+γsin (2.2) Esto da una velocidad de flujo total de:

( )22' izx vVVV ++= (2.3)

También se asume que lejos del chorro inferior la velocidad en el tubo de corriente está compuesta de la componente de velocidad traslacional a la que se le suma v2 que es igual a dos veces la velocidad inducida en el disco. De las consideraciones de momentum esto da el empuje del rotor como la razón de cambio del momentum normal al disco rotor, es decir:

iD vVAT '2 ρ= (2.4)

donde ρ es la densidad atmosférica y AD es el área del disco rotor. La manera usual de analizar la solución de las ecuaciones es sustituir la expresión de velocidad total (2.3) en la expresión del empuje (2.4) y despejar vi. Esto llevará a la siguiente expresión donde vi cae de un lado de la ecuación y también dentro del término de raíz cuadrada del otro lado

( )22

12'

12

izxDDi

vVVAT

VATv

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρρ (2.5)

La ecuación (2.5) puede ahora ser adimensionalizada mediante el uso de la

velocidad en la punta del rotor VT y el coeficiente de empuje CT. La velocidad traslacional cuando se adimensionaliza por la velocidad de la punta da un término conocido como la relación de avance, que es usualmente denotada por µ. Las componentes Vx y Vz se volverán µx y µz. Con el downwash adimensional λi se tienen las siguientes definiciones:

( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=+

==

===

izT

izzD

T

ii

T

zz

T

xx

T

VvV

Vv

VV

VV

VV

λµµλ

µµµ

,

,,

(2.6)

de las cuales la forma adimensional de (2.5) se vuelve:

46

( )22

14

izx

Ti

C

λµµλ

++= (2.7)

donde el coeficiente de empuje CT está definido como:

DTT AV

TC 2

2ρ

= (2.8)

y la velocidad en la punta del rotor:

RVT Ω= (2.9) La ecuación (2.7) puede ser resuelta por una aproximación iterativa.

2.3 CONSIDERACIONES DE ELEMENTO PALA

El desempeño del rotor en vuelo traslacional será evaluado mediante el empleo de la teoría del elemento pala. En vuelo traslacional hay dos fuentes de velocidad del aire sobre una sección de la pala, a saber, una debida a la rotación de las palas y la otra debida a la velocidad de viaje del helicóptero completo. Si solamente se considera la velocidad normal a una sección de pala, entonces la primera componente de velocidad, Ω x, ya es normal a la pala. Sin embargo, la velocidad de vuelo traslacional tiene que descomponerse en la dirección normal a la pala (ver Figura 2.2).

ψ

ψ

Ω

Figura 2.2. Componentes de velocidad en vuelo traslacional.

Primero, la velocidad de traslación es descompuesta en componentes paralela y normal al disco, Vx y Vz, respectivamente. La componente de Vx descompuesta normal a la extensión de la pala variará de acuerdo a la posición de la pala con respecto a la dirección del vuelo. La posición azimutal es convencionalmente expresada como el ángulo comprendido entre la pala y el datum que está usualmente a lo largo del brazo de la cola. El ángulo es positivo en la dirección de rotación de la pala.

47

La componente de la velocidad de traslación normal a la pala está entonces dada por la componente de velocidad traslacional paralela al disco rotor, Vx, proyectada normal a la envergadura de la pala, es decir

ψsinxV (2.10) de donde la componente de velocidad total normal a la longitud de la pala es:

ψsinxT VxU +Ω= (2.11) Es otra vez usual adimensionalizar las velocidades por la velocidad de la punta del rotor, y esto reduce la ecuación anterior a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ψξ sin

T

xTT V

VVU (2.12)

donde ξ = x/R, y recordando que:

T

ii V

v=λ (2.13)

se encuentra que las componentes de velocidad mostradas en la Figura 2.3 están dadas por:

( )ψµξ sinxTT VU += (2.14)

( )izTP VU λµ += (2.15)

αθ

ϕ

Figura 2.3. Componentes de fuerza sobre la sección de pala. Esto da la velocidad de flujo total sobre la sección de pala como

( ) ( )2222 sinψµξλµ xizTTP VUUV +++=+= (2.16) Debido a los órdenes de magnitud, el término (µz+λi) puede sensiblemente ser despreciado.

48

Por lo tanto: ( )ψµξ sinxTVV +≅ (2.17)

Observando la Figura 2.3, se calcula el ángulo de entrada de flujo de aire como:

( )( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+= −

ψµξλµ

ϕsin

tan 1

xT

izT

VV

(2.18)

para ángulos pequeños este resultado se puede aproximar a:

ψµξµ

ψµξλµ

ϕsinsin x

zD

x

iz

+=

++

= (2.19)

El ángulo de ataque final α será:

ψµξµ

θϕθαsinx

zD

+−=−= (2.20)

Las fuerzas sobre la sección de pala son entonces:

αρρ acVCcVdxdLL Lz

22

21

21

=== (2.21)

dy CcVdxdDL 2

21 ρ== (2.22)

Donde CL y Cd son los coeficientes de levantamiento y de arrastre del perfil,

respectivamente. El parámetro a es la pendiente de la curva de levantamiento del perfil y c es la cuerda de la pala. Las dos fuerzas, dL y dD, son entonces descompuestas en la dirección del empuje dT, y la dirección en el plano del disco rotor y normal a la envergadura de la pala, dH (ver Figura 2.3).

El ángulo de inclinación de la pala θ, es una combinación de las inclinaciones

colectiva y cíclica, además de la deformación elástica que sufre la pala φ, y está expresado en términos del ángulo azimut ψ [2.2]. El pitch colectivo (θ0) es constante con respecto al azimut y el pitch cíclico varía a la frecuencia del rotor, lo que significa que la inclinación de control de la pala (θc) puede ser expresada como una serie negativa de Fourier:

ψψθφθφθ sincos 110 BAc −−+=+= (2.23)

A1 es la componente del pitch cíclico que es aplicado longitudinalmente con respecto al fuselaje, y B1 la componente aplicada lateralmente.

2.4 MOMENTO AERODINÁMICO

49

La consideración del momento aerodinámico utilizando aerodinámica cuasiestable

requiere atención en dos puntos básicos. Primero, debe hacerse una distinción con respecto a dónde se define el ángulo de entrada de flujo sobre el perfil, porque para cambios angulares, las velocidades resultantes normales a la cuerda (en cualquier ubicación arbitraria) dependen de la distancia en que este punto esté sobre la cuerda desde el centro de rotación. Segundo, los cambios rotacionales de inclinación del perfil generan efectos de momentos dinámicos de incidencia que no son completamente describibles usando solo un ángulo efectivo de entrada de flujo. Entonces, establecido en términos básicos, los dos puntos definidos son: 1) Los efectos del cambio de ángulo de inclinación sobre el ángulo de ataque son

correspondientemente sobre el levantamiento y el arrastre. 2) La consecuencia de los efectos del cambio del ángulo de inclinación sobre el momento

aerodinámico en sí mismo. Las herramientas necesarias para estos dos puntos vienen principalmente de los resultados originalmente obtenidos para aerodinámica inestable básica de ala fija [2.3]. 2.4.1 Efectos del cambio de inclinación sobre el ángulo de ataque

Dependiendo de la localización sobre la cuerda alrededor de la cual el perfil se inclina, se desarrollan velocidades locales adicionales normales a la cuerda del perfil. De los resultados de la teoría del perfil incompresible bidimensional inestable puede demostrarse que el perfil incidente puede ser considerado con un comportamiento cuasiestático; es decir, el ángulo de ataque instantáneo (dinámico) puede ser usado estáticamente cuando la componente de entrada de flujo local UP, incluyendo los efectos del cambio de inclinación, está definida a tres cuartos sobre la cuerda.

Figura 2.4. Geometría relevante del movimiento de inclinación (pitch) de la sección pala operando cuasiestáticamente.

50

Entonces, como se muestra en la Figura 2.4, dos locaciones relevantes sobre la cuerda, importantes aerodinámicamente, son definidas: el punto de cuarto de cuerda (es decir, el centro aerodinámico), donde se considera que actúan las cargas aéreas, y el punto a tres cuartos de cuerda, donde está definido el ángulo de ataque (incluyendo los efectos del cambio de inclinación).

Esta definición del ángulo de ataque entonces da el impacto apropiado del cambio

de inclinación sobre el levantamiento y el arrastre (como es definido por los coeficientes de levantamiento y arrastre). Aún más, este razonamiento puede ser extendido al caso del coeficiente de momento aerodinámico también.

Entonces, para movimiento de inclinación con respecto al punto ySC sobre la cuerda, los coeficientes aerodinámicos para movimiento inestable serían aproximados de la siguiente manera:

QScc estáticom

d

L

m

d

L

CCC

CCC

αα =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

,4/4/

(2.24)

2.4.2 Efectos del cambio de inclinación sobre el momento aerodinámico de la sección

Además de los efectos de la redefinición del ángulo de ataque cuasiestáticamente (para evaluar el coeficiente del momento estable), un efecto directo adicional del cambio de inclinación sobre el momento de la sección del perfil debe ser incluido. Este efecto toma la forma de un amortiguamiento directo en la inclinación, que existe aún cuando el coeficiente del momento a un cuarto de la cuerda, Cmc/4, es cero. Otra vez, haciendo referencia a la teoría clásica del perfil bidimensional inestable se obtiene la siguiente aproximación para la distribución del momento de inclinación de la sección total, tomado con respecto al punto de rotación, ySC, definido en la Figura 2.4:

( ) ( )[ ] ( θρπααρ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−= cyVcCyCVc

dxdM

SCQSLSCQSmSC

c/21

821 3

24/

) (2.25)

El segundo término de la ecuación (2.25) es el amortiguamiento directo de la inclinación, generalmente no es pequeño y, excepto por los efectos inestables de mayor frecuencia, este término es la fuente principal de amortiguamiento disponible para la pala en inclinación y respuestas torsionales elásticas.

Para fines prácticos, en este trabajo se considera que el movimiento de inclinación de la pala (pitch) se da alrededor del centro aerodinámico (ubicado a un cuarto de la cuerda), lo que implica que ySC sea igual a cero. De la misma manera, se considera que el coeficiente del momento en este mismo punto Cmc/4 también es cero.

51

Las consideraciones anteriores llevan a resultados prácticos aceptables en la realidad, y dan la siguiente ecuación para el momento aerodinámico:

θρπ Vcdx

dMM SC

8

3

−== (2.26)

Las ecuaciones anteriores de sustentación, arrastre y momento aerodinámico serán

utilizadas en el Capítulo 3 (previa adimensionalización) para complementar las ecuaciones diferenciales finales de movimiento de las palas flexibles en vuelo traslacional.

2.5 ADIMENSIONALIZACIÓN DE LAS CARGAS AERODINÁMICAS

Con el fin de hacer más prácticas las ecuaciones, se procederá a su adimensionalización. Para lograr lo anterior, se dividirán las ecuaciones por los parámetros adecuados que eliminen las unidades correspondientes, como son: densidad del material (σp), área de la sección transversal del perfil (A), velocidad de rotación (Ω), etc. [2.4].

Aplicando lo anterior para la ecuación (2.21) se obtiene:

( )

macR

RAacVL x

pzADIM 2

sin2

2

2

2 ψµξαρσ

αρ +=

Ω= (2.27)

Introduciendo un parámetro adimensional muy útil que relaciona la inercia y las

características aerodinámicas de la pala, llamado número de Lock (γ), definido de la siguiente manera:

mRac

RmRac

IRac

b

ρρργ 333

44

=== (2.28)

para llegar a la ecuación adimensional de sustentación de la pala:

( )2sin6

ψµξαγxzADIML += (2.29)

Haciendo lo mismo para el arrastre se obtiene:

( 22

2

sin22

ψµξρσ

ρxD

p

DyADIM C

mcR

RACcVL +=

Ω= ) (2.30)

Ahora para el momento aerodinámico:

52

( )P

x

PADIM I

RcIVcM

Ω+−

=Ω

−=

8sin

8

3

2

3 θψµξρπθρπ (2.31)

En la ecuación (2.28) Ib es el momento de inercia de la pala con respecto a la raíz de

la misma. En la ecuación (2.31) IP es el momento polar de inercia de masa del perfil por unidad de longitud de la pala.

53

CAPÍTULO 3.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO PARA FLEXIÓN DE BATIMIENTO Y DE RETRASO Y TORSIÓN

DE PALAS DE ROTOR UNIFORMES Y PLANAS

54

ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO PARA FLEXIÓN DE BATIMIENTO Y DE RETRASO Y TORSIÓN

DE PALAS DE ROTOR UNIFORMES Y PLANAS

3.1 INTRODUCCIÓN

Para encontrar las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de flapping, lagging y feathering de una pala de rotor de helicóptero, en este trabajo se trata a las palas como vigas rotatorias flexibles, con movimientos acoplados de flexión en dos direcciones y torsión. Esta pala está representada en la Figura 3.1. Este desarrollo se basa principalmente en el Reporte Técnico 1346 de Houbolt & Brooke de la NACA en 1958, por tratarse de un documento básico referido aún en las publicaciones internacionales actuales [3.1].

Ω

Figura 3.1. Viga rotatoria plana con acoplamiento de flexión-torsión.

Es importante aclarar que se consideró a las palas como vigas planas, es decir, sin una torsión previa o de construcción. También se considera a las palas como uniformes a lo largo de toda su extensión, lo que permite que algunos parámetros como el área de la sección transversal, el módulo de elasticidad y la densidad del material sean constantes. El eje elástico está definido como el lugar geométrico de los centroides del área de la sección transversal efectiva en tensión en el sentido de la envergadura de la pala. En realidad el eje elástico, el eje de tensión y el eje de masa no son necesariamente coincidentes. Sin embargo, en este caso se considera que los ejes elástico y de tensión son coincidentes gracias a que el eje elástico está alineado con eje perpendicular del mástil del helicóptero que hace girar la pala. El propósito de este capítulo es desarrollar las ecuaciones diferenciales de deformación de la pala bajo la acción de varias cargas aplicadas. El desarrollo se hace a lo largo de los principios de la teoría ingenieril de vigas, y los efectos secundarios, tales como deformación debida a la fuerza cortante, no se incluyen. La teoría está por lo tanto dirigida principalmente a palas cuya relación de aspecto es moderada a alta, para las cuales los efectos de flexión de placas probablemente no son significantes.

55

3.2 PROCEDIMIENTO GENERAL

Como se observa en la Figura 3.1, la viga está considerada como si fuera una pala rotativa de helicóptero con giro contrario al sentido de las manecillas del reloj cuando es vista desde arriba. El eje x del sistema mostrado de ejes coordenados x, y, z, cae hacia afuera a lo largo de la pala y es coincidente con la posición no deformada del eje elástico. Este arreglo de ejes se mueve con la pala alrededor del eje de rotación a la velocidad rotacional dada Ω, y todas las deformaciones de la pala están referidas a este sistema coordenado. Se considera que la pala está bajo la acción de cargas aerodinámicas distribuidas en las direcciones y y z, y una carga torsional distribuida alrededor del eje elástico, donde las intensidades por unidad de longitud están denotadas por Ly, Lz, y M, respectivamente. La tensión en la viga está denotada por T. Las Figuras 3.2 (a) y (b) muestran el sistema coordenado usado para la sección transversal de la pala y los desplazamientos escogidos para este análisis. Los ejes η y ζ, con el origen en el eje elástico y el eje η a lo largo del eje mayor de la sección transversal, se mueven con la sección transversal. Las deformaciones de la pala están denotadas por un desplazamiento v del eje elástico en el plano de rotación, positivo cuando es en la dirección de giro, un desplazamiento w fuera del plano de rotación, positivo hacia arriba, y una rotación φ alrededor del eje elástico, positiva cuando el borde de ataque de la pala está hacia arriba [3.1].

η

ζ

ζ

φ

η

(a) (b)

φ

(c)

Figuras 3.2. (a) Coordenadas. (b) Desplazamientos. (c) Momentos.

56

El objetivo de este análisis es derivar las ecuaciones diferenciales de movimiento en términos de v, w y φ. La derivación se lleva a cabo a través de los siguientes pasos: 1) La ecuación de esfuerzo longitudinal en cualquier punto de la sección transversal es

derivada en términos de los desplazamientos. 2) Con la ayuda de la ecuación de esfuerzo los momentos elásticos internos son derivados;

éstos son los momentos resultantes tomados con respecto a los ejes η y ζ, y son mostrados en la Figura 3.2 (c).

3) Se hace entonces la transformación de estos momentos elásticos a los momentos más fácilmente tratables que tienen vectores paralelos al sistema de ejes x, y ,z. (Véase la Figura 3.2 (c)).

4) Las expresiones de equilibrio para estos últimos momentos son derivadas, y esta consideración involucra la introducción de la carga total sobre la viga.

5) Las cargas totales, compuestas de las fuerzas de cuerpo y las cargas aplicadas, son derivadas.

6) Se combinan los pasos 3, 4 y 5 para dar las ecuaciones diferenciales finales.

3.3 DERIVACIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESFUERZO

Tanto los esfuerzos longitudinales como cortantes son producidos durante la flexión y torsión de la pala. En general ambos tipos de esfuerzos deben ser considerados al determinar las fuerzas y momentos resultantes que actúan sobre una sección transversal dada. Sin embargo, en el tratamiento dado en el presente trabajo, se utiliza un método que requiere que solamente los esfuerzos longitudinales tengan que ser considerados explícitamente.

La derivación es muy formal, pero una visión física de cómo el esfuerzo es desarrollado puede ganarse considerando los movimientos posibles de los planos de corte imaginarios mostrados en la Figura 3.3 y que se asume permanecen planos durante la deformación.

Figura 3.3. Deformaciones de la pala. En general, el esfuerzo puede presentarse a partir de cuatro tipos de movimiento:

desplazamiento puro de los planos acercándose y alejándose entre sí, rotación de los planos asociada con flexión de adelanto-retraso, rotación de los planos asociada con flexión de batimiento, y rotación de los planos relativos entre sí alrededor del eje elástico para causar torsión de la pala.

57

3.3.1 Derivación de deformaciones longitudinales

En esta sección, una derivación semejante a la teoría de la viga es dada para el esfuerzo que se desarrolla en cualquier fibra longitudinal de una viga que sufre desplazamientos traslacionales v y w y un desplazamiento torsional φ.

Considérese un plano imaginario que corta a la viga, perpendicular al eje elástico; la

localización de una fibra f de la sección transversal, tanto antes como después de la deformación, puede darse entonces de acuerdo a las Figuras 3.4 y 3.5.

ηζ

φ

ζ

η

Figura 3.4. Figura 3.5.

El eje x es normal al papel y se hace coincidir con la posición no deformada del eje elástico. En términos de la distancia η a lo largo del eje mayor y la distancia ζ perpendicular a este eje, las posiciones y y z de la fibra y la razón de cambio de estas posiciones con respecto a x son

0=′∴= yy η (3.1)

0=′∴= zz ζ (3.2) Ahora considérense desplazamientos en la viga que ocurren de manera que el punto de intersección del eje elástico y el plano de corte se mueve las distancias u, v y w en las direcciones x, y, y z, respectivamente, y de tal forma que el plano de corte permanezca perpendicular al eje elástico y gire alrededor de él un ángulo φ. Entonces, la nueva posición de la fibra está definida por las siguientes ecuaciones:

zwyvuxwzwvyvuxx

′−′−+=−′−−′−+= )()( 111 (3.3)

φφφζφη

sincossincos1

zyvvy

−+=−+=

(3.4)

φφφζφη

cossincossin1

zywwz

++=++=

(3.5)

58

Desarrollando los términos cosφ y sinφ en series de Taylor y despreciando los términos de segundo orden y mayores:

1242

1cos42

≈+−=φφφ

φφφφφ ≈+−=1206

sin53

Sustituyendo en las ecuaciones (3.4) y (3.5) se obtiene:

φzyvy −+=1 (3.6)

φyzwz ++=1 (3.7) y las derivadas de x1, y1, y z1 con respecto a x están dadas como sigue:

wzvyuzwzwyvyvux

′′−′′−′+=

′′−′′−′′−′′−′+=′

111 (3.8)

φφφ

′−′=

′−′−′+′=′

zvzzyvy1 (3.9)

φφφ

′+′=

′+′+′+′=′

ywyyzwz1 (3.10)

El esfuerzo longitudinal que se desarrolla en una fibra puede encontrarse a partir de estas ecuaciones considerando la cantidad en longitud que una fibra elemental de longitud ds cambia como resultado de la deformación. En términos de los componentes diferenciales de longitud en las direcciones x, y, y z, la longitud final ds1 de una fibra está dada por la siguiente ecuación:

21

21

21

21 dzdydxds ++= (3.11)

2

1

2

1

2

1

21 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ′+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ′+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∴ zyx

dxds (3.12)

La cual se vuelve, al sustituir las ecuaciones (3.8), (3.9) y (3.10):

( ) ( )[ ][ ] [ ]222222

222222

1

22

1222222

φφφφ ′+′′+′+′+′′−′+

++′′−′′+′′−′′+′′+′−′′+′′−′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ywywzvzv

wzwzvywzyvyuwzvyudxds

59

Eliminando los términos de orden superior, lo que implica que la estructura trabajará únicamente en la región elástica, resulta:

( )[ ] 211 21 wzvyu

dxds ′′−′′−′+= (3.13)

La ecuación análoga para la longitud original ds se determina haciendo u = v = w = φ = 0 en la ecuación (3.13). Entonces

1=dxds (3.14)

El esfuerzo de tensión en la fibra puede ahora ser escrito

( )[ ] [ ] 1211211 21

2111 −+=−′′−′′−′+=−=

−= Dwzvyu

dsds

dsdsdsε

Desarrollando ε en serie de Taylor y eliminando los términos de segundo orden:

DDDDD =−+−= 432

2415

21

21ε

por lo tanto:

wzvyu ′′−′′−′=ε (3.15) Haciendo uso de las ecuaciones (3.1) y (3.2) para expresar la elongación en términos de coordenadas de la sección transversal η y ζ, se obtiene:

wvu ′′−′′−′= ζηε (3.16) Ahora es conveniente eliminar la componente de elongación u’; esto se logra haciendo uso de la condición de equilibrio de que la integral del esfuerzo longitudinal sobre la sección transversal debe ser igual a la tensión total. Entonces, asumiendo que la sección transversal es simétrica con respecto al eje principal mayor, la siguiente ecuación aplica:

( ) uAEddwzvuEddET le

te

le

te

t

t

t

t′=′′−′′−′== ∫ ∫∫ ∫ −−

η

η

η

ηηζηηζε 2

2

2

2 (3.17)

Esta ecuación lleva a:

TAETu ε==′ (3.18)

60

Si T/EA es denotado por la deformación de tensión εT, entonces la ec. (3.18) combinada con la ec. (3.16) permite obtener:

wvT ′′−′′−= ζηεε (3.19) que es la expresión completa para la deformación elástica de cualquier fibra en la sección transversal. Los esfuerzos longitudinales se obtienen directamente de esta ecuación y son:

( )wvEE T ′′−′′−== ζηεεσ (3.20)

No es necesario un desarrollo mayor de las deformaciones o esfuerzos en la sección transversal. La consideración de esfuerzos cortantes que están asociados con esfuerzos longitudinales, esto es, los esfuerzos cortantes que son necesarios para satisfacer el equilibrio de un tubo elemental, se evita escogiendo el eje elástico (definido aquí como la curva del lugar geométrico de los centros de corte) como eje de referencia.

3.4 DERIVACIÓN DE MOMENTOS ELÁSTICOS INTERNOS

Las derivaciones de esfuerzo sobre la sección transversal ahora pueden ser transformadas en momentos resistivos internos efectivos en la posición del eje elástico, como se muestra en la Figura 3.2 (c). Para determinar estos momentos, la inclinación relativa al eje elástico de una fibra general de la viga debido a la deformación torsional debe ser considerada. El esfuerzo a lo largo de esta fibra se descompone en dos componentes, una paralela al eje elástico y una en un plano perpendicular al mismo. De la componente longitudinal, el momento flexionante de batimiento M1 y el momento flexionante de retraso M2 son dados como sigue:

∫ ∫−−= le

te

t

tddM

η

ηηζζσ2

21 (3.21)

∫ ∫−−= le

te

t

tddM

η

ηηζησ2

22 (3.22)

donde los signos negativos han sido introducidos para hacer los momentos positivos cuando producen compresión en las fibras superiores y frontales, respectivamente. La componente en el plano normal al eje elástico lleva a un momento resistivo torsional efectivo. La consideración de esta componente y la adición del torque asociado con la torsión de St. Venant lleva a la siguiente ecuación para el torque resistivo total:

( )∫ ∫−+′+′= le

te

t

tddJGQ

η

ηηζζηφσφ 2

2

22 (3.23)

donde un torque positivo está asociado con un φ’ positivo. En la ecuación (3.23), el escoger al eje elástico como eje de referencia es significativo.

61

El eje elástico no necesariamente coincide con el eje centroidal, y si el eje centroidal, o en su caso cualquier otro eje, fuera usado como referencia, entonces los esfuerzos cortantes asociados con esfuerzos longitudinales contribuirían al torque resistivo total. Tal término debería ser incluido en la ecuación (3.23) y entonces llevaría a complicaciones considerables en el análisis. Con la elección del eje elástico, sin embargo, no aparece tal término, porque el eje elástico está definido aquí como el eje alrededor del cual el torque resultante de los esfuerzos cortantes debido a esfuerzos longitudinales es cero. Debido a que el eje elástico es importante, el establecimiento de la posición de este eje será discutido ahora. Considérese que aparecen esfuerzos longitudinales diferenciales, los cuales tienen la misma distribución en la sección transversal que la dada en la ecuación (3.20).

Los esfuerzos longitudinales diferenciales asociados con la expresión E εT son uniformes a través de la sección transversal y entonces no producen ningún esfuerzo de corte. Para la expresión –E η v’’ los esfuerzos longitudinales serían simétricos alrededor del eje mayor (eje η) y, debido a que la sección transversal es asumida como simétrica, llevaría a un cortante resultante dirigido a lo largo del eje mayor. Solamente el término restante –E ζ w’’ puede llevar a esfuerzos cortantes que produzcan torque. Entonces para localizar la posición del eje elástico, es suficiente considerar a la viga en flexión con respecto al eje mayor solamente, con una distribución de esfuerzo lineal en la dirección ζ, y entonces determinar los esfuerzos cortantes sobre la sección transversal (en las direcciones η y ζ) y la posición a lo largo del eje mayor para los cuales estos esfuerzos cortantes no producen torque. La sustitución de la ecuación (3.20) en las ecuaciones (3.21), (3.22) y (3.23) da las siguientes ecuaciones para los momentos elásticos totales en términos de los desplazamientos (ver Apéndice A para el desarrollo de las integrales):

wIEM ′′= 11 (3.24)

vIEM ′′= 22 (3.25)

( )φ ′+= 2AkTJGQ (3.26)

donde I1 e I2 son los momentos de inercia principales del área bajo tensión (I2 es el momento de inercia con respecto al eje principal medio, no con respecto al eje ζ ).

3.5 TRANSFORMACIÓN DE MOMENTOS

En la consideración del equilibrio entre momentos, cortantes y tensión, es más conveniente lidiar con momentos que estén orientados paralelos a los ejes x, y, z, esto es, los momentos Mx, My, y Mz mostrados en la Figura 3.2 (c).

62

Una transformación simple de los momentos M1, M2, y Q a estos nuevos momentos es entonces deseada. Cuando los momentos M1, M2 y Q son descompuestos en las direcciones x, y, y z, respectivamente, y se hace uso de las relaciones cuando φ es pequeño, las siguientes ecuaciones son obtenidas:

wMvMwMvMQM x ′−′+′+′+= 2211 φφ (3.27)

vQMMM y ′−+= φ21 (3.28)

wQMMM z ′++−= 21 φ (3.29) Ahora cuando las ecuaciones (3.24), (3.25) y (3.26) son sustituidas en (3.27), (3.28) y (3.29) y todos los términos de segundo orden son desechados, se encuentran las siguientes ecuaciones deseadas para Mx, My, y Mz en términos de los desplazamientos:

( ) wvIEvvIEwwIEvwIEkTJGM Ax ′′′−′′′+′′′+′′′+′+= 22112 φφφ

( )φ ′+=⇒ 2Ax kTJGM (3.30)

( ) vkTJGvIEwIEM Ay ′′+−′′+′′= φφ 2

21 wIEM y ′′=⇒ 1 (3.31)

( ) wkTJGvIEwIEM Az ′′++′′+′′−= φφ 2

21 vIEM z ′′=⇒ 2 (3.32)

3.6 CONDICIONES DE EQUILIBRIO

El equilibrio de las fuerzas y momentos que actúan sobre un elemento diferencial de la viga es ahora considerado. En esta consideración el elemento está formado por rebanadas paralelas al plano yz, porque esta elección lleva a resultados más simples. Las fuerzas y los momentos que actúan sobre tal elemento se muestran en la Figura 3.6 (a) y (b).

(a) Fuerzas. (b) Momentos.

Figura 3.6. Equilibrio de fuerzas y momentos.

63

Las cantidades px, py, pz, qx, qy y qz son las cargas resultantes de fuerza y momento, que involucran tanto las fuerzas de aceleración de cuerpo como las cargas aerodinámicas aplicadas. Las fuerzas de aceleración de cuerpo, debido tanto a las aceleraciones centrífugas como transversales, son derivadas en la siguiente sección.

La suma de las fuerzas en las direcciones x, y, y z y la suma de los momentos alrededor de los ejes x, y, y z lleva a las siguientes condiciones para cortantes y momentos:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+′

=+′=+′

0

0

0

zz

yy

x

pV

pV

pT

(3.33)

0=+′+′−′xzyx qvVwVM (3.34)

0=++′−′yzy qVwTM (3.35)

0=++′−′zyz qVvTM (3.36)

Por sustitución de las ecuaciones (3.33) en las ecuaciones (3.34), (3.35) y (3.36), se obtienen las siguientes condiciones de equilibrio:

0=+′+′−′′+′′−′xzyzyx qwqvqwMvMM (3.37)

( ) 0=−′+′′−″

zyy pqwTM (3.38)

( ) 0=−′+′′−″yzz pqvTM (3.39)

La sustitución de las ecuaciones (3.30) a (3.32) en las ecuaciones (3.37) a (3.39) da

( )[ ] 0212 =+′+′−′′′′+′′′′−

′′+ xzyA qwqvqwvIEvwIEkTJG φ

( )[ ] 02 =+′+′−′′+∴ xzyA qwqvqkTJG φ (3.40)

( ) ( ) 01 =−′+′′−″′′ zy pqwTwIE (3.41)

( ) ( ) 02 =−′+′′−″′′ yz pqvTvIE (3.42)

donde los términos de segundo orden han sido desechados. Solo falta considerar las cargas.

64

3.7 CARGAS RESULTANTES

Como se mencionó previamente, las cargas resultantes o totales se componen tanto de las cargas inerciales debido a las aceleraciones centrífugas y vibratorias como de las cargas aerodinámicas aplicadas. Las cargas inerciales, que consisten de las fuerzas y momentos que se oponen a las aceleraciones de los elementos pala, son derivados a continuación, mientras que las cargas aerodinámicas Ly, Lz y M son dejadas en esta forma simbólica, porque son de la naturaleza de cargas aplicadas externamente. 3.7.1 Derivación de aceleraciones y cargas inerciales

El propósito de esta sección es derivar la aceleración de una partícula de masa de la pala y derivar las cargas inerciales de estas aceleraciones. Para hacer esto es conveniente introducir el sistema de ejes coordenados fijos X, Y, Z mostrado en la Figura 3.7. Esta figura también muestra el sistema rotatorio de ejes x, y, z, y las posiciones deformadas x1, y1 y z1 de la partícula de masa (ver ecuaciones (3.3), (3.4) y (3.5)). La posición azimutal del sistema rotatorio relativa al sistema de ejes fijos está denotada por Ω t.

En términos de los vectores unitarios i, j, y k, el vector r puede escribirse

( ) ( ) kzjtytxitytxr 11111 cossinsincos +Ω+Ω+Ω−Ω= (3.43)

Ω

Figura 3.7. Diferenciando con respecto al tiempo da el vector velocidad de la partícula de masa

( )( ) kzjtytytxtx

itytytxtxr

11111

1111

sincoscossincossinsincos

+ΩΩ−Ω+ΩΩ+Ω++ΩΩ−Ω−ΩΩ−Ω= (3.44)

65

y diferenciando otra vez da la aceleración

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]

kzjtxytxytyxtyxitxytxytyxtyxr

1

11111111

11111111

sincoscossincossinsincos

++ΩΩ+Ω−ΩΩ++ΩΩ−Ω+ΩΩ−++ΩΩ+Ω−ΩΩ+−ΩΩ−Ω−ΩΩ−=

(3.45)

Las componentes ax, ay, y az del vector aceleración en las direcciones x, y, y z, pueden ser encontradas de esta ecuación haciendo el tiempo t = 0, entonces

( ) ( )kajaia

kzjxyyiyxxr

zyx ++=+Ω+Ω−+Ω−Ω−= 111

2111

21 22

(3.46)

Las primeras dos derivadas con respecto al tiempo de las ecuaciones (3.3), (3.6) y (3.7) quedan:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

−=

′−′−=

φ

φ

ywz

zvy

zwyvux

1

1

1

(3.47)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

−=

′−′−=

φ

φ

ywz

zvy

zwyvux

1

1

1

(3.48)

La sustitución de estas ecuaciones en la ecuación (3.46) lleva al vector aceleración deseado, con las siguientes componentes en las direcciones x, y, z:

( ) ( )( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

′−′−Ω+−+Ω−−=

−Ω−′−′−+Ω−′−′−=

φ

φφ

φ

ywa

zwyvuzyvzva

zvzwyvuxzwyvua

z

y

x

2

22

2

(3.49)

En términos de las coordenadas de la sección transversal η y ζ, las aceleraciones de la partícula son obtenidas mediante la sustitución de las expresiones (3.1) y (3.2) como sigue:

( ) ( )( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

′−′−Ω+−+Ω−−=

−Ω−′−′−+Ω−′−′−=

φη

ζηφζηφζ

φζζηζη

wa

wvuvva

vwvuxwvua

z

y

x

2

22

2

(3.50)

Las cargas inerciales sobre la viga pueden ahora ser derivadas de estas ecuaciones de aceleración mediante las integraciones apropiadas sobre la sección transversal.

66

Las cargas totales o resultantes deseadas son la suma de las cargas de inercia y las cargas aplicadas, y están dadas por las siguientes ecuaciones, cuando se asume que la sección transversal es simétrica con respecto al eje principal mayor:

∫ ∫−−= le

te

t

t xx ddapη

ηηζρ2

2 (3.51)

∫ ∫−−= le

te

t

t yyy ddaLpη

ηηζρ2

2 (3.52)

∫ ∫−−= le

te

t

t zzz ddaLpη

ηηζρ2

2 (3.53)

( ) ( )[ ]∫ ∫−−+−−−= le

te

t

t zyx ddvyawzaMqη

ηηζρ2

211 (3.54)

( )[ ]∫ ∫−−−−= le

te

t

t xy ddwzaqη

ηηζρ2

21 (3.55)

( )[ ]∫ ∫−−−−= le

te

t

t xz ddvyaqη

ηηζρ2

21 (3.56)

donde ρ es la densidad del material estructural y puede ser una función de η y ζ. Al llevarse a cabo las integraciones con el uso de las ecuaciones (3.50), estas cargas son encontradas:

( )[ ] ( )vvemvuxump cgx ′Ω−′+Ω−+Ω−−= 22 2 (3.57)

( ) ( )vemuvvmLp cgyy ′Ω+Ω+Ω+Ω−−= 22 22 (3.58)

φcgzz emwmLp −−= (3.59)

( ) wkmkmkkmwemMq mmmmcgx ′Ω−−−Ω−−= 21

221

22

2 2φφ (3.60)

( )wkmwkmxemq mmcgy ′−Ω+′Ω+Ω−= φφ 221

21

22 (3.61)

( ) ( ) vkmvkmvuemuxemq mmcgcgz ′−′Ω+Ω−++Ω−= 22

22

22 2 (3.62)

Las ecuaciones (3.57) a (3.62) dan las expresiones generales para las cargas y contienen muchos términos de segundo orden que para la mayoría de los propósitos ingenieriles pueden ser despreciados. Para ver el desarrollo de las integrales anteriores, consultar el Apéndice A.

67

En la ecuación (3.57) por ejemplo, todos los otros términos son pequeños en comparación con mΩ 2x, que es la expresión convencional para px (nótese que px = -T’); para la mayoría de los propósitos prácticos estos términos pequeños pueden entonces ser desechados.

Para cualquier aplicación específica, sin embargo, particularmente en el caso de

configuraciones inusuales, la magnitud relativa e importancia de los términos debería determinarse. En el caso de helicópteros convencionales o álabes impulsores, se cree que las siguientes reducciones de primer orden de la ecuación (3.57) a la (3.62) son convenientes para la mayoría de las aplicaciones de ingeniería:

xmTpx2Ω=′−= (3.63)

( ) 22 Ω+Ω−−= cgyy emvvmLp (3.64)

( )φcgzz ewmLp +−= (3.65)

( ) φφ 2

22

12

22

mmmcgx kmkkmwemMq −−Ω−−= (3.66)

φxemq cgy2Ω−= (3.67)

xemq cgz

2Ω−= (3.68) donde . 2

12

22

mmm kkk +=

3.8 ECUACIONES DIFERENCIALES FINALES

La sustitución de las ecuaciones (3.63) a la (3.68) en las ecuaciones (3.40), (3.41) y (3.42) y la eliminación de los términos de segundo orden arrojan ahora las ecuaciones diferenciales de equilibrio deseadas

( )[ ] ( ) 0221

22

2222 =−−Ω−−+′Ω−′Ω+′′+ φφφφ mmmcgcgcgA kmkkmwemMwxemvxemkTJG

( )[ ] ( ) MkmwemkkmwxemkTJG mcgmmcgA =++−Ω+′Ω+′′+−⇒ φφφ 22

12

2222 (3.69)

( ) ( ) ( ) ( ) 021 =++−

′Ω−′′−″′′ φφ cgzcg ewmLxemwTwIE

( ) ( ) ( ) zcgcg LemwmxemwTwIE =++′

Ω−′′−″′′⇒ φφ21 (3.70)

68

( ) ( ) ( ) ( ) 02222 =Ω−Ω−+−

′Ω−′′−″′′ cgycg emvvmLxemvTvIE

( ) ( ) ( ) cgcgy emxemLvmvmvTvIE 2222 Ω+

′Ω+=Ω−+′′−″′′⇒ (3.71)

Sabiendo que:

xmT 2Ω−=′

( 2222

22

22

21

22xRmxmRmdxxmT

R

x−Ω=Ω−Ω=Ω= )∴ ∫ (3.72)

Sustituyendo la ecuación (3.72) en las ecuaciones (3.69), (3.70) y (3.71) y calculando las derivadas con respecto a x, considerando que el área de la sección transversal (A) y el módulo de elasticidad (E) del material son constantes a lo largo de x, se obtiene:

( )Mkmwem

kkmwexmkxmkRmJG

mcg

mmcgAA

=++

+−Ω+′Ω+′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′Ω−′Ω+′−

φ

φφφφ

2

21

22

22222222

21

21

( ) Mkmwemkkm

wexmkxmkxmkRmJG

mcgmm

cgAAA

=++−Ω+

+′Ω+′′Ω+′Ω+′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+−

φφ

φφφ

221

22

2

222222222

21

21

( ) ( )

Mwemkmwexm

kkmkxmJGRxkm

cgmcg

mmAA

=++′Ω+

+−Ω+′Ω+′′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

φ

φφφ

22

21

22

2222222

21

(3.73)

( ) ( ) zcgcgIV LemwmxemwxRmwIE =++

′Ω−

′

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−Ω− φφ2222

1 21

( )zcgcg

IV

Lemwmem

exmwxmwxRmwIE

=++Ω−

−′Ω−′Ω+′′−Ω−

φφ

φ

2

222221 2

1 (3.74)

( ) ( ) cgcgyIV emxemLvmvmvxRmvIE 222222

2 21

Ω+′

Ω+=Ω−+′

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−Ω−

69

( ) cgyIV emLvmvmvxmvxRmvIE 222222

2 221

Ω+=+Ω−′Ω+′′−Ω− (3.75)

Las ecuaciones (3.73), (3.74) y (3.75) representan los movimientos de flapping,

lagging y feathering, respectivamente, de las palas elásticas con las cargas aerodinámicas (consideradas como fuerzas externas) completamente definidas en el Capítulo 2.

3.9 ADIMENSIONALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES

Para poder trabajar más fácilmente con las ecuaciones diferenciales finales en el criterio de estabilidad presentado en el Capítulo 4, es recomendable adimensionalizar las mismas utilizando parámetros constantes conocidos como el radio R de la pala, la velocidad de rotación Ω, la densidad del material estructural σp, y el momento polar de inercia Ip de masa de la sección transversal, siempre recordando que ξ = x/R [3.2].

Adimensionalizando la ecuación (3.73) y recurriendo a la ecuación (2.31) de

momento aerodinámico adimensional, se obtiene:

( ) ( )

ADIMp

cg

p

m

p

cg

p

mm

p

A

p

A

MwI

emI

kmw

Iexm

Ikkm

Ikxm

I

JGRxkm

=Ω

+Ω

+′Ω

Ω+

+Ω

−Ω+′

ΩΩ

+′′Ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

22

2

2

2

2

21

22

2

2

22

2

2222

21

φ

φφφ

( )

( )p

x

p

cg

p

cg

p

MINMAX

p

A

pp

A

IRc

wI

emw

Iexm

III

Ikxm

IJGRx

Ikm

Ω+−

=Ω

+Ω

+′+

+−

+′+′′⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Ω−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

8sin1

23

22

2

222

2

θψµξρπφ

φφφ (3.76)

Ahora se adimensionalizará la ecuación (3.74), con la ayuda de la ecuación (2.29)

de la siguiente manera:

( )

zADIMp

cg

pp

cg

p

cg

pp

IV

p

LRA

emw

RAm

RAem

RAexm

wRA

xmwRAxRmw

RAIE

=Ω

+Ω

+Ω

Ω−

−′Ω

Ω−′

ΩΩ

+′′Ω

−Ω−

Ω

φσσ

φσ

φσσσσ

222

2

2

2

2

2

2

222

21

2

70

( )

( )22

221

sin6

121

ψµξαγφ

φφξξξσ

xcg

cgcg

IV

p

Re

wRR

eewwRxw

RAIE

+=Ω

+

+Ω

+−′−′+′′−+Ω

(3.77)

Por último, se adimensionaliza la ecuación (3.75), sustituyendo al mismo tiempo la

ecuación (2.30), quedando:

( )

yADIMp

cg

p

ppp

IV

p

LRA

emv

RAm

vRA

mvRA

xmvRAxRmv

RAIE

=Ω

Ω−

Ω+

+Ω

Ω−′

ΩΩ

+′′Ω

−Ω−

Ω

σσ

σσσσ

2

2

2

2

2

2

2

2

222

22

2

2

( )

( )Re

Cm

cR

vR

vR

vvRxvRA

IE

cgxD

IV

p

2sin

2

1121

2

222

++=

=Ω

+−′+′′−+Ω

ψµξρ

ξξσ

(3.78)

Las ecuaciones (3.76), (3.77) y (3.78) representan los movimientos forzados

(feathering, flapping y lagging, respectivamente) de una pala de helicóptero en vuelo traslacional. Pueden ser aplicadas a cualquier sistema o configuración, definiendo apropiadamente las condiciones de frontera en cada caso específico (pala articulada o empotrada al cubo).

Recuérdese que las fuerzas externas fueron derivadas utilizando la teoría de aerodinámica cuasiestacionaria en vuelo traslacional estable, por lo que estas ecuaciones representan el movimiento de las palas bajo dicho régimen de vuelo. Sin embargo, también es posible hacer simplificaciones a estas ecuaciones para simular un vuelo estacionario (hovering) y/o vuelo vertical: ascendente o descendente.

Cabe destacar que el desarrollo de las ecuaciones de movimiento se basó en un documento existente publicado en 1958, el cual es uno de los pilares del desarrollo aeroelástico actual, por lo que no debe ser tomado como un resultado original de esta tesis de investigación. Ver referencia [3.1].

71

CAPÍTULO 4.

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD Y DETERMINACIÓN DE FRECUENCIAS NATURALES Y RESPUESTAS FORZADAS EN LAS

PALAS DEL ROTOR PRINCIPAL DE UN HELICÓPTERO

72

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD Y DETERMINACIÓN DE FRECUENCIAS NATURALES Y RESPUESTAS FORZADAS EN LAS

PALAS DEL ROTOR PRINCIPAL DE UN HELICÓPTERO

4.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se derivará un criterio matemático simplificado que permitirá determinar si existe o no inestabilidad por flutter e inestabilidad en el movimiento de adelanto-retraso en una pala de rotor de helicóptero específica, así como las condiciones que deben cumplirse para que se presente alguna inestabilidad de este tipo.

Para la aplicación del procedimiento es necesario conocer los modos de vibración de

la pala (formas modales y frecuencias naturales), dependiendo de la configuración del rotor (tipo de fijación al cubo) y de las características estructurales del material que la compone.

Además, utilizando este mismo desarrollo es posible calcular las frecuencias

naturales totales de cualquier modo deseado para todos los grados de libertad del sistema, a saber: flapping, lagging y feathering. Es necesario recordar que los primeros modos son los que aportan la mayor cantidad de energía al rotor [4.1].

Por último, también se presenta el procedimiento para calcular las respuestas

forzadas de flapping y feathering bajo un régimen de vuelo específico.

4.2 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA LA PALA EN EL VACÍO

Para llevar a cabo un análisis de estabilidad es necesario presentar las ecuaciones homogéneas de movimiento de la pala elástica, lo cual significa que las cargas aerodinámicas o fuerzas externas, así como los términos constantes deben eliminarse. Lo anterior se denomina sistema operando en el vacío.

Retomando las ecuaciones en derivadas parciales finales del Capítulo 3 para feathering (3.76), flapping (3.77) y lagging (3.78) e igualando a cero las cargas aerodinámicas (externas), se tiene: - Feathering (φ):

( )

01

2

22

2

222

2

=Ω

+Ω

+′+

+−

+′+′′⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Ω−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

wI

emw

Iexm

III

Ikxm

IJGRx

Ikm

p

cg

p

cg

p

MINMAX

p

A

pp

A

φ

φφφ (4.1)

73

- Flapping (w):

( )

01

21

22

21

=Ω

+Ω

+

+−′−′+′′−+Ω

φ

φφξξξσ

Re

wR

Re

ewwRxwRA

IE

cg

cgcg

IV

p (4.2)

- Lagging (v):

( ) 01121

222 =

Ω+−′+′′−+

Ωv

Rv

RvvRxv

RAIE IV

p

ξξσ

(4.3)

Recuérdese que si se desea obtener la respuesta real del sistema, deberán incluirse

las cargas aerodinámicas ya que son las que proporcionan el término excitador y al mismo tiempo el único amortiguamiento del rotor.

4.3 DESARROLLO DEL CRITERIO DE ESTABILIDAD

Con la finalidad de simplificar aún más las ecuaciones, se proponen coeficientes constantes que representan las siguientes relaciones de parámetros:

p

A

IkmK

2

1 = (4.4)

pIJGK 22 Ω

= (4.5)

p

MINMAX

III

K−

=3 (4.6)

p

cg

Iem

K =4 (4.7)

RmIE

K 21

5 Ω= (4.8)

Re

K cg=6 (4.9)

74

RK 1

7 = (4.10)

281

Ω=K (4.11)

RmIE

K 22

9 Ω= (4.12)

Sustituyendo las relaciones (4.4) a la (4.12) en las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.3) se llega a:

( ) 021

848431222

1 =++′++′+′′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− wKKKwxKKxKKRxK φφφφ (4.13)

( ) 021

868765 =++−′−′+′′−+ φφφξξξ KKwKKKewwRxwK cgIV (4.14)

( ) 021

8779 =+−′+′′−+ vKKvKvvRxvK IV ξξ (4.15)

4.3.1 Inestabilidad por Flutter

El problema de flutter (revoloteo) está dictado por las interacciones del movimiento fuera del plano del “disco rotor” w y de movimiento torsional φ de la pala. Los acoplamientos importantes que existen entre estos grados de libertad requieren que las excentricidades medidas a lo largo de la cuerda, del centro aerodinámico y centro de gravedad, relativos al centro elástico, eac y ecg, respectivamente, sean consideradas [4.2].

Debido a lo anterior, para este análisis utilizaremos únicamente las ecuaciones (4.13) y (4.14) que representan el feathering y el flapping de la pala respectivamente. Se proponen soluciones a estas ecuaciones de la siguiente forma:

)()(),( tTxXtx φφφφ == (4.16)

)()(),( tTxXtxww ww== (4.17) Sustituyendo las ecuaciones (4.16) y (4.17) en (4.13) y (4.14):

( )0

21

848

431222

1

=++

+′++′+″⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

ww

ww

TXKKTXK

TXxKTXKTXxKTXKRxK

φφ

φφφφφφ (4.18)

75

( )

021

8687

65

=++

+−′−′+″−+

φφ

φφφφξξξ

TXKKTXKK

TXKTXeTXTXRxTXK

ww

cgwwwwwIV

w (4.19)

Agrupando:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++

=+++

0)()()()(

0)()()()(20

20

22

22

10

10

12

12

wwww

wwww

TxaTxaTxaTxa

TxaTxaTxaTxa

φφφφ

φφφφ (4.20)

donde

φφ XKxa 812 )( = (4.21)

ww XKKxa 84

12 )( = (4.22)

( ) φφφφ XKXxKXKRxKxa 31222

110 2

1)( +′+″⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (4.23)

′= ww XxKxa 4

10 )( (4.24)

φφ XKKxa 86

22 )( = (4.25)

ww XKKxa 87

22 )( = (4.26)

φφφ ξ XKXexa cg 620 )( −′−= (4.27)

( ) ′+″−+= wwIV

ww XXRxXKxa ξξ21)( 5

20 (4.28)

Se proponen las siguientes soluciones en el tiempo:

cteCeCT At

A == ;λφ (4.29)

cteCeCT B

tBw == ;λ (4.30)

Sustituyendo en el sistema (4.20) se obtienen las siguientes ecuaciones lineales:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++

=+++

0

020

20

222

222

10

10

212

212

BwABwA

BwABwA

CaCaCaCa

CaCaCaCa

φφ

φφ

λλ

λλ (4.31)

76

Agrupando términos en forma matricial:

( ) ( )( ) ( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++

00

20

222

20

222

10

212

10

212

B

A

ww

ww

CC

aaaa

aaaa

λλ

λλ

φφ

φφ (4.32)

De donde se obtiene la siguiente ecuación característica:

( ) ( ) ( ) 010

20

20

10

12

20

10

22

20

12

22

10

212

22

22

12

4 =−+−−++− wwwwwwww aaaaaaaaaaaaaaaa φφφφφφφφ λλ

002

24

4 =++ CCC λλ (4.33) Donde

12

22

22

124 ww aaaaC φφ −= (4.34)

12

20

10

22

20

12

22

102 wwww aaaaaaaaC φφφφ −−+= (4.35)

10

20

20

100 ww aaaaC φφ −= (4.36)

Al resolver la ecuación (4.33) para λ se encuentran las raíces características y éstas

nos revelarán la estabilidad del sistema. Estas raíces se pueden expresar de manera general para la ecuación (4.33) como:

iiii λλ ωλ ±= Re (4.37)

4.3.2 Condiciones de Estabilidad (Flutter)

A continuación se presentan los diferentes casos que se pueden presentar al evaluar la inestabilidad por flutter de las palas del rotor.

Inestabilidad por flutter

4,32,1Re; 4,32,1 λλ λωλ ±=±= i (4.38)

Si se cumple la condición (4.38), el sistema presentará flutter y la respuesta

torsional crecerá exponencialmente. Este caso es el más peligroso, ya que puede ocasionar que la aeronave se desplome.

Estabilidad Marginal

4,32,1 4,32,1 ; λλ ωλωλ ii ±=±= (4.39)

77

Si se cumple la condición (4.39) el sistema será marginalmente estable tanto para las vibraciones torsionales como para las de batimiento, por lo que la respuesta permanecerá oscilando en una órbita definida conforme transcurra el tiempo.

Debido a que el sistema representado por la ecuación característica (4.33) no está

amortiguado, no es posible que se presente un caso de estabilidad asintótica de las palas al encontrar las raíces características. El caso amortiguado sería el más benéfico para el helicóptero, ya que las vibraciones torsionales tenderían a cero con el tiempo de manera asintótica. 4.3.3 Inestabilidad por Adelanto-Retraso de la Pala

La estabilidad dinámica de lagging está dictada por el movimiento en el plano del disco rotor v, originado en un principio por el flapping w de las palas. El batimiento de las palas es un mal necesario [4.3]. Necesario porque, sin batimiento, fuerzas de flexión verticales prohibitivas en la raíz de la pala y disimetría lateral de sustentación vuelven al helicóptero imposible de pilotar. Un mal porque el batimiento de las palas engendra, al nivel de la raíz de las palas, en el plano de rotación, fuerzas horizontales alternadas generadoras de fatiga.

Cuando una pala “aletea”, la trayectoria circular de un elemento pala cualquiera es

modificada. Su radio disminuye si la pala sube o aumenta si la pala desciende. La velocidad tangencial del elemento pala varía igual que su radio. Por inercia, el elemento pala tiende a conservar su velocidad en el transcurso del cambio de trayectoria.

El elemento pala está unido rígidamente a la pala y al rotor cuya velocidad Ω es

constante. Su velocidad angular no puede entonces variar y la fuerza de inercia (que tiende a aumentar la velocidad angular) no se puede manifestar en forma dinámica y se manifiesta de forma estática creando un momento de flexión máximo en la raíz.

Cada elemento pala es entonces empujado por una fuerza de inercia. El conjunto de estas fuerzas da un momento de flexión resultante que tiende a doblar la pala en el sentido de rotación. El mismo razonamiento muestra que cuando la pala desciende hay tendencia a la disminución de la velocidad angular, entonces una fuerza de inercia y un momento de flexión tienden a doblar la pala en el sentido opuesto a la rotación.

Así, la pala que da una vuelta completa (ver Figura 4.1) está sometida:

• De C a A, cuando la pala se eleva, a un momento de flexión dirigido hacia adelante. • De A a C, cuando la pala desciende, a un momento de flexión dirigido hacia atrás.

Esto resulta en esfuerzos de flexión alternados generadores de fatiga, particularmente en la raíz de la pala donde las fuerzas son máximas.

78

Figura 4.1. Repartición del momento de flexión horizontal en la pala que

avanza (C-A) y la que retrocede (A-C).

Las fuerzas de inercia alternadas que son provocadas por el batimiento vertical de las palas y empujan a las palas en el plano de rotación son llamadas Fuerzas de Coriolis. La articulación de arrastre mostrada en la Figura 4.2, permite a la pala, impulsada por las fuerzas de Coriolis, oscilar horizontalmente alrededor de una posición media. Este grado de libertad anula el momento de flexión en la raíz de la pala.

Figura 4.2. Desplazamientos que determinan el lagging de la pala con respecto a

la articulación de arrastre.

En este caso, la ecuación general de movimiento está desacoplada de los otros dos grados de libertad, lo que facilita el desarrollo del criterio de estabilidad y la aplicación del mismo. Por lo tanto, únicamente se utilizará la ecuación (4.15), proponiendo la siguiente solución a dicha ecuación como:

)()(),( tTxXtxvv vv== (4.40) Sustituyendo esta solución en la ecuación (4.15):

( ) 021

8779 =+−′+″−+ vvvvvvvvvIVv TXKKTXKTXTXRxTXK ξξ (4.41)

Reordenando se obtiene:

0)()( 02 =+ vvvv TxaTxa (4.42)

79

Donde:

vv XKKxa 872 )( = (4.43)

( ) vvvIVvv XKXXRxXKxa 790 2

1)( −′+″−+= ξξ (4.44)

Se propone la siguiente solución en el tiempo:

cteCeCT Ct

Cv == ;λ (4.45) Sustituyendo (4.45) en la ecuación (4.42) y eliminando los términos comunes se obtiene la siguiente ecuación característica:

002

2 =+ vv aa λ (4.46)

Al resolver la ecuación (4.46) para λ se encuentran las raíces características y así encontrar la estabilidad de la pala. Estas raíces se pueden expresar de manera general como:

2,12,1Re2,1 λλ ωλ i±= (4.47)

4.3.4 Condiciones de Estabilidad (Adelanto-Retraso)

A continuación se presentan los diferentes casos que se pueden presentar al evaluar la inestabilidad por adelanto-retraso de las palas del rotor.

Inestabilidad

021 == λλ (4.48)

Si se cumple (4.48), el sistema será inestable y la respuesta crecerá linealmente. Este caso es el más peligroso, ya que puede ocasionar que la aeronave se desplome.

Estabilidad Marginal

2,12,1 λωλ i±= (4.49)

Si se cumple (4.49), el sistema será estable, pero la respuesta permanecerá oscilando conforme transcurre el tiempo en una órbita definida.

Nuevamente es imposible encontrar una condición de estabilidad asintótica para la

ecuación (4.46) porque tampoco se consideró amortiguamiento en el sistema. Sin embargo, los rotores reales están dotados de amortiguadores en la raíz para evitar la condición (4.48).

80

4.4 DETERMINACIÓN DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN DE LA PALA

En esta sección se desarrollan los conceptos básicos relacionados con las características de vibración de la pala. Estos conceptos incluyen esquemas teóricos para obtener las frecuencias naturales y formas modales tanto en flexión como en torsión para palas relativamente simples, es decir, palas que no tienen torsión ni coneo previos o de construcción. Tales configuraciones de palas simplificadas producen lo que se conoce como características de modo desacoplado.

Como se considera a la pala como una viga rotatoria, las frecuencias naturales de

vibración de sus tres grados de libertad desacoplados estarán compuestas de una frecuencia no rotacional y de una frecuencia rotacional, relacionadas de la siguiente manera:

222kk RNRk ωωω += (4.50)

donde k representa el k-ésimo modo de vibración.

Para poder aplicar el análisis de la sección anterior y para determinar las frecuencias

naturales totales de la pala, es necesario conocer las formas modales para la flexión y para la torsión de la pala.

Por lo tanto, se iniciará el análisis determinando las formas modales y frecuencias

naturales no rotacionales de la pala en torsión, para posteriormente calcular sus características modales bajo la acción de una velocidad de rotación constante. Posteriormente se determinarán los modos flexores de la pala, tanto estacionarios como rotacionales, que nos servirán tanto para flapping como en el caso de lagging. 4.4.1 Modos y Frecuencias de Torsión de la Viga Estática

Si consideramos a la pala como una viga estática (Ω = 0) y sometida a torsión pura sin fuerzas externas, entonces la ecuación (4.1) quedaría de la siguiente manera:

0=−′′ φφ pIJG (4.51)

La pala representa un sistema conservativo y su posición no deformada es una configuración de equilibrio estático [4.4]. Por lo tanto, la dependencia en el tiempo de φ debe ser sinusoidal, de modo que se propone:

( )[ ]tiNR

NRexX φωφφ Re= (4.52)

La forma correspondiente de la ecuación de movimiento es:

02 =+′′ NRNRp

NR XJG

IX φφφ ω (4.53)

81

La solución general de la ecuación (4.53) consiste de un seno y un coseno. En adelante, es conveniente expresar la dependencia de x adimensionalmente, de manera que se tiene:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

RxC

RxCX NR φφφ αα cossin 21 (4.54)

Esta forma satisfará la ecuación (4.53) si el parámetro α es

NRp

JGRI

φφ ωα2

= (4.55)

Todavía falta satisfacer las condiciones de frontera para encontrar los valores de C1,

C2 y αφ. En este caso se considerará una viga empotrada en un extremo y libre en el otro, ya que el movimiento de incidencia de la pala depende de la biela de control de paso y, a pesar de estar articulada, la pala no tiene libertad de movimiento. Debido a lo anterior, se puede considerar que

00)( == xenxX NRφ (4.56) Por lo tanto, sustituyendo (4.56) en (4.54) se obtiene que C2 = 0. Ahora bien, como el otro extremo está libre, se considera lo siguiente:

RxenxX NR ==′ 0)(φ (4.57)

Para poder satisfacer esta condición de frontera, se debe derivar una vez la ecuación (4.54) con respecto a x, quedando

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

RxC

RX NR φ

φφ α

αcos1 (4.58)

Sustituyendo (4.57) en (4.58) se obtiene que

0cos1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

RxC φα

Como C1 = 0 sería la solución trivial, entonces se encuentra que

( )∞=

−=∴=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .....,,3,2,1;

2120cos nn

Rx

n

παα φφ (4.59)

Por último se propone un valor de C1 = 1 y se sustituye junto con el valor de αφn en

la ecuación (4.54) para encontrar los modos no rotacionales de vibración. De esta manera se obtiene una función general de las formas modales de torsión de la pala.

82

( )∞=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= .....,,3,2,1;

212sinsin nn

RxX

nnNR ξπαφφ (4.60)

Los primeros tres modos torsionales de vibración de la pala son mostrados en la

Figura 4.3.

Figura 4.3. Primeros tres modos torsionales de vibración de una pala empotrada en un extremo. La frecuencia natural de cada modo puede obtenerse de la ecuación (4.55) como sigue:

( )∞=

Ω−== .....,,3,2,1;

212

22 nKR

nRIJG

pNR nn

παω φφ (4.61)

Como la torsión presenta frecuencias naturales demasiado elevadas, se considera

únicamente el primer modo para el análisis de las palas de helicóptero (n = 1), por lo que se puede expresar la forma modal únicamente como sigue:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ξπ

φ 2sinNRX (4.62)

y su correspondiente frecuencia natural

22K

RNRΩ

=πωφ (4.63)

4.4.2 Modos y Frecuencias de Torsión de la Viga Rotativa

Debido a que los términos de la ecuación (4.1), que representan los efectos del torque centrífugo y tensión de la viga, pueden despreciarse en casos reales, las frecuencias

83

naturales totales, así como los modos de vibración de una pala de helicóptero en torsión son virtualmente los mismos que aquellos cuando la pala está estacionaria (Ω = 0) [4.5].

Por lo tanto, en este caso se considera la misma función modal utilizada en el caso estático, y se demostrará en el siguiente capítulo que la frecuencia natural total de torsión permanece casi sin variación con respecto a la frecuencia de la ecuación (4.63).

Entonces, la forma modal estará descrita, como en la ecuación (4.62), por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ξπ

φ 2sinRX (4.64)

Sin embargo, la frecuencia natural rotacional es muy pequeña con respecto a la

estática. La frecuencia torsional de la pala en rotación depende de la velocidad angular de operación del rotor y se expresa como

3KI

II

p

MINMAXR Ω=

−Ω=φω (4.65)

De cualquier manera, esta frecuencia será también considerada posteriormente para

realizar el cálculo de la frecuencia natural torsional total de la pala, a pesar de su magnitud tan pequeña. 4.4.3 Modos y Frecuencias de Flexión de la Viga Estática

Si consideramos a la pala como una viga estática (Ω = 0) y sometida a flexión pura sin fuerzas externas, entonces la ecuación (4.2) quedará de la siguiente manera:

01 =+ wmwIE IV (4.66) Para separar variables se observa que w = 0 corresponde a una posición de equilibrio estable, de manera que la forma separada de una vibración libre debe ajustarse a:

( )[ ]tiwNR

wNRexXw ωRe= (4.67) donde ωwNR es real y no negativo. La sustitución de esta forma en la ecuación diferencial que gobierna a w lleva a:

04

4

=− wNRwIV

wNR XR

Xα (4.68)

donde el factor R4 es introducido para que el eigenvalor αw sea adimensional. El valor de αw está relacionado con la frecuencia por

84

41

1

24

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

IERm wNR

wω

α (4.69)

En términos de funciones hiperbólicas, la solución general de la ecuación diferencial

modal para flexión (4.68) es

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

RxC

RxC

RxC

RxCX wwwwwNR αααα coshsinhcossin 4321 (4.70)

Para vibración libre no puede imponerse movimiento en una frontera. Entonces, dos

condiciones de frontera homogéneas deben ser satisfechas en cada extremo. Estas condiciones de frontera son obtenidas de las alternativas desplazamiento/cortante y rotación/momento flexor.

En el caso de la pala analizada, se trata de una viga articulada en un extremo y libre

en el otro, por lo tanto, se deben cumplir las siguientes condiciones de frontera:

00)(0)(

=⎭⎬⎫

=′′=

xenxXxX

wNR

wNR (4.71)

Al sustituir en la ecuación (4.70) las dos condiciones anteriores, es posible obtener los valores de C2 y C4, ya que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⇒⎭⎬⎫

=+−=+

00

1111

00

4

2

42

42

CC

CCCC

(4.72)

Al resolver el sistema anterior, se obtiene que

042 == CC Por lo que la ecuación (4.70) ahora se reduce a

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

RxC

RxCX wwwNR αα sinhsin 31 (4.73)

Ahora deben aplicarse las condiciones de frontera en el extremo libre, según lo siguiente:

RxenxXxX

wNR

wNR =⎭⎬⎫

=′′′=′′

0)(0)(

(4.74)

Lo que permite llegar al siguiente sistema de ecuaciones:

85

( ) ( )

( ) ( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+−

=+−

0coshcos

0sinhsin

33

3

13

3

32

2

12

2

ww

ww

CR

CR

CR

CR

αααα

αααα

( ) ( )( ) ( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⇒00

coshcossinhsin

3

1

CC

ww

ww

αααα

(4.75)

Para encontrar la solución no trivial del sistema, se debe igualar a cero el determinante de la matriz como sigue:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0sinhcossincosh

coshcossinhsin

det =+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

wwwwww

ww αααααααα

(4.76)

Como se complica resolver de manera exacta la ecuación anterior para encontrar el

valor de αw, se tratará de la siguiente manera:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ww

ww

ww

ww

ww αααααα

αααα

tantanh0coshcossinhcos

coshcossincosh

=⇒=+− ) (4.77)

Si se grafica cada término, tan(αw) y tanh(αw), como una función de αw, los

eigenvalores corresponden a las intersecciones de estas funciones. Tal gráfica se muestra en la Figura 4.4.

Figura 4.4. Gráfica de la ecuación característica (4.77). Para cada raíz αw, la primera condición de la ecuación (4.75) para C1 y C3 da:

( )( ) 13 sinh

sinCC

n

n

w

w

αα

= (4.78)

86

Por último se propone un valor de C1 = 1 y se sustituye junto con el valor de αwn en la ecuación (4.73) para encontrar los modos no rotacionales de vibración. Por lo tanto, la función modal general de flexión de la pala será:

( ) ( )( ) ( ξαα

)αξα

n

n

n

nn ww

wwwNRX sinh

sinhsin

sin += (4.79)

Como en el caso de palas articuladas es posible tener movimiento de cuerpo rígido

(rotación alrededor de la articulación sin deformación elástica de la viga), se presenta a continuación la función modal que representa dicho movimiento.

ξ==RxX wNR0

(4.80)

A este modo se le denomina Modo Cero de vibración porque no existe deformación elástica de la pala y su frecuencia natural estática es igual a cero.

00

=wNRω (4.81)

En la Figura 4.5 se muestran el modo cero (“flapping rígido”) y los primeros tres modos elásticos de flexión estática de una pala con articulación de batimiento.

Figura 4.5. Flapping rígido y primeros tres modos estáticos de una pala articulada.

Las frecuencias naturales asociadas a los modos elásticos pueden ser obtenidas despejando la ecuación (4.69) para llegar a

∞== ,.....,3,2,1;412 n

RmIE

nn wwNR αω (4.82a)

87

Para el caso del movimiento en el plano de rotación de la pala (lagging), el tratamiento de la viga estática es exactamente el mismo que para movimiento fuera del plano (flapping), por lo que se omitirá el desarrollo de formas modales. Las frecuencias naturales varían únicamente por el momento de inercia I2, por lo que la frecuencia natural de los modos en lagging será:

∞== ,.....,3,2,1;422 k

RmIE

kk vvNR αω (4.82b)

Donde

nk wv αα = , y donde también debe considerarse un modo rígido de frecuencia cero. 4.4.4 Modos y Frecuencias de Flexión Fuera del Plano de la Viga Rotativa

Para analizar las características modales de una viga rotativa será necesario considerar que la velocidad de rotación de la misma es muy grande ( ∞→Ω ). El caso de la velocidad del rotor cercana al infinito implica que el término de rigidez por la fuerza centrífuga se vuelva significantemente más grande que el término de rigidez elástica [4.6].

Entonces, la ecuación diferencial apropiada para vibración libre en flexión de

batimiento se transforma en

0112 =

′

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′Ω− ∫

L

xdxxmwwm (4.83)

Si se invoca la asunción de distribución de masa uniforme, si el movimiento es adimensionalizado por el radio del rotor ( Rww /= ), y si se asume movimiento sinusoidal a la n-esima frecuencia natural

nwω , entonces la ecuación puede escribirse como

( ) 012 2

2

=′

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω nn

w wxwnω

(4.84)

La ecuación (4.84) puede ser reconocida como la ecuación diferencial de Legendre, cuya solución está dada por cualquiera de los polinomios de Legendre Pn (x).

Si se restringe la consideración a los polinomios de Legendre que son cero en el

origen (n impar), entonces la función modal puede ser escrita directamente como

)()( 12 xPxX nwRn −= (4.85) Las respectivas frecuencias naturales de cada modo serán:

( )12 −Ω= nnnwRω (4.86)

88

Estos resultados definen las características de vibración de lo que sería un cable flexible con rigidez elástica despreciable. Como tal, son independientes de si la pala tiene una condición de frontera articulada (hinged) o empotrada (hingeless) en la raíz.

Sin embargo, debería notarse que P1 (x) es igual a x, lo que define la forma modal

de la pala en “flapping rígido”. Este es el caso límite correcto para el primer modo elástico de una pala con una condición de frontera empotrada en la raíz. Sin embargo, P3 (x) es el caso límite correcto para el primer modo elástico de una pala con la condición de frontera articulada. Entonces mediante el uso de las ecuaciones (4.85) y (4.86) para palas articuladas en la raíz, el subíndice n en los lados derechos debe ser incrementado en uno.

La ecuación (4.85) forma la base del caso límite para modos de flapping, donde la

relación de frecuencia no rotacional y velocidad del rotor ( Ω/nwNRω ) se vuelve

despreciable; por lo tanto, la forma modal correcta para palas articuladas, como lo es la pala que se tomará de ejemplo, será:

∞== + ,.....,3,2,1;)()( 12 nxPxX nwRn (4.87)

y su correspondiente frecuencia natural será:

( )( ) ∞=++Ω= ,.....,3,2,1;112 nnnnwRω (4.88)

Como en el caso de la viga estática, el Modo Cero estará representado por la función

ξ==RxX wR0

(4.89)

Sin embargo, la frecuencia natural no será cero como en el caso estático, sino que será la misma frecuencia de operación del rotor:

Ω=0wRω (4.90)

Figura 4.6. Flapping rígido y primeros tres modos rotacionales de una pala articulada.

89

En la Figura 4.6 se muestran el flapping rígido y los tres primeros modos flexores de una pala rotativa articulada en la raíz

El desarrollo para el movimiento dentro del plano de rotación es casi el mismo que el anteriormente mostrado, la única diferencia radica en la frecuencia natural de los modos de vibración, como se mostrará a continuación. 4.4.5 Modos y Frecuencias de Flexión Dentro del Plano de la Viga Rotativa

Para el análisis de lagging, serán utilizadas las mismas funciones modales que las usadas para flapping, únicamente habrá que analizar las frecuencias naturales a las cuales ocurren estos modos, que cambian debido al término adicional de la ecuación (4.3), que representa un término de fuerza centrífuga sobre la pala.

Nuevamente se considera que la velocidad de rotación del sistema es muy grande ( ). Entonces, la ecuación diferencial apropiada para vibración libre en flexión dentro del plano de rotación se transforma en

∞→Ω

0211

2 =Ω−′

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′Ω− ∫ vmdxxmvvm

L

x (4.91)

Asumiendo distribución de masa uniforme, movimiento adimensionalizado ( Rvv /= ) y movimiento sinusoidal a la k-esima frecuencia natural ωvk, entonces la ecuación queda

( ) 0112 2

2

=′

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω kk

v vxvkω

(4.92)

De esta ecuación puede inferirse que la solución es otra vez expresable en términos de los polinomios impares de Legendre.

∞== + ,.....,3,2,1;)()( 12 kxPxX kvRk (4.93)

Sin embargo, la frecuencia natural (para palas articuladas) se verá afectada por el

término adicional de fuerza centrífuga de la ecuación diferencial de la siguiente manera:

( )( ) ∞=−++Ω= ,.....,3,2,1;1112 kkkkvRω (4.94)

Como se demostró anteriormente, las formas modales de lagging son iguales las

formas que adopta la pala en flexión fuera del plano de rotación (flapping). Los modos de lagging de una pala articulada están representados en la Figura 4.7.

90

Figura 4.7. Lagging rígido y primeros tres modos rotacionales de una pala articulada.

En este caso también se presenta un movimiento de cuerpo rígido o “lagging rígido”, el cual tendrá la misma función modal que el flapping rígido pero con una frecuencia natural de rotación diferente:

ξ==RxX vR0

(4.95)

0

0=vRω (4.96)

Esta peculiaridad con la frecuencia ocurre cuando la pala cuenta con una

articulación de adelanto retraso pero no tiene amortiguador mecánico en la raíz, lo que permite un movimiento libre de la pala alrededor de la articulación mientras el rotor está en operación. Al dotar al rotor de amortiguadores de adelanto-retraso, se evita que la pala gire libremente alrededor de la articulación y la respuesta se comportará de manera estable. 4.4.6 Frecuencias Naturales Totales de la Pala

Ahora es posible calcular las frecuencias naturales totales de la pala, recordando la ecuación (4.50) y aplicándola a cada grado de libertad del sistema: feathering, flapping y lagging. Entonces se tiene, en el caso de feathering, al sustituir en la ecuación (4.53):

NRRNR φφφφ ωωωω ≈+= 22 (4.97) Para flapping:

22nnn wRwNRw ωωω += (4.98)

Y para lagging:

22kkk vRvNRv ωωω += (4.99)

91

4.5 RESPUESTA FORZADA DE FEATHERING Y FLAPPING

En esta sección se calculará la respuesta del movimiento acoplado de feathering y flapping de la pala bajo la acción de fuerzas externas. Para conocer la respuesta vibratoria de la pala en el dominio del tiempo es necesario analizar las ecuaciones de movimiento completas derivadas en el Capítulo 3.

Las cargas aerodinámicas pueden ser diferentes de acuerdo al régimen de vuelo que se desee simular. Con el fin de generalizar, se presentan las cargas aerodinámicas que corresponden a un régimen de vuelo horizontal, pero que se simplifican al simular vuelo estacionario y/o vertical.

Recordando las ecuaciones (3.73) y (3.74) se tiene:

- Feathering (φ):

( )

( )p

x

p

cg

p

cg

p

MINMAX

p

A

pp

A

IRc

wI

emw

Iexm

III

Ikxm

IJGRx

Ikm

Ω+−

=Ω

+Ω

+′+

+−

+′+′′⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Ω−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

8sin1

23

22

2

222

2

θψµξρπφ

φφφ (4.100)

- Flapping (w):

( )

( )22

221

sin6

121

ψµξαγφ

φφξξξσ

xcg

cgcg

IV

p

Re

wRR

eewwRxw

RAIE

+=Ω

+

+Ω

+−′−′+′′−+Ω

(4.101)

Se propone otro coeficiente constante como los definidos en la Sección 4.3 de la

siguiente manera:

pIRcK

Ω=

8

3

10ρπ (4.102)

Sustituyendo este coeficiente, así como las ecuaciones (4.4) a (4.11) en (4.100) y (4.101):

( )( )θψµξ

φφφφ

sin21

1084

8431222

1

xKwKK

KwxKKxKKRxK

+−=+

++′++′+′′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

(4.103)

92

( )

( )286

8765

sin6

21

ψµξαγφ

φφξξξ

x

cgIV

KK

wKKKewwRxwK

+=+

++−′−′+′′−+ (4.104)

Recuérdese del Capítulo 2 que el ángulo de ataque está definido como:

ψµξµ

ψψθφαsin

sincos 110x

zDBA+

−−−+= (4.105)

El ángulo de control:

ψψθθ sincos 110 BAc −−= (4.106) Y el ángulo de entrada de flujo:

ψµξµ

ϕsinx

zD

+= (4.107)

Reemplazando estos términos en las ecuaciones (4.103) y (4.104), quedan

( )( ) ( ) cxx KwKKK

KwxKKxKKRxK

θψµξφψµξ

φφφφ

sinsin21

108410

8431222

1

+−=+++

++′++′+′′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

(4.108)

( ) ( )

( )( )28687

265

sin6

sin62

1

ψµξϕθγφ

φψµξγφξξξ

xc

xcgIV

KKwKK

KewwRxwK

+−=++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−′−′+′′−+

(4.109)

Nuevamente se proponen las soluciones:

)()(),( tTxXtx φφφφ == (4.110)

)()(),( tTxXtxww ww== (4.111) Y se sustituyen en las ecuaciones (4.108) y (4.109) para obtener

( )( ) ( ) cxwwx

ww

KTXKKTXKTXK

TXxKTXKTXxKTXKRxK

θψµξψµξ φφφφ

φφφφφφ

sinsin21

1084810

431222

1

+−=++++

+′++′+″⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

(4.112)

93

( ) ( )

( )( )28687

265

sin6

sin62

1

ψµξϕθγξ

ψµξγξξ

φφφφ

φφ

xcwwcg

xwwwwwIV

w

TXKKTXKKTXe

TXKTXTXRxTXK

+−=++′−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−′+″−+

(4.113)

Agrupando:

( )

( )( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=+++

+−=++++

220

20

22

22

1010

10

11

12

12

sin6

)()()()(

sin)()()()()(

ψµξϕθγ

θψµξ

φφφφ

φφφφφφ

xcwwww

cxwwww

TxaTxaTxaTxa

KTxaTxaTxaTxaTxa (4.114)

Donde

φφ XKxa 812 )( = (4.115)

ww XKKxa 84

12 )( = (4.116)

( ) φφ ψµξ XKxa x sin)( 10

11 += (4.117)

( ) φφφφ XKXxKXKRxKxa 31222

110 2

1)( +′+″⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (4.118)

′= ww XxKxa 4

10 )( (4.119)

φφ XKKxa 86

22 )( = (4.120)

ww XKKxa 87

22 )( = (4.121)

( ) φφφ ψµξγξ XKXexa xcg ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−′−= 2

620 sin

6)( (4.122)

( ) ′+″−+= wwIV

ww XXRxXKxa ξξ21)( 5

20 (4.123)

Al resolver el sistema (4.114) para Tφ y Tw, se encuentran las soluciones en el

dominio del tiempo φ (t), w (t) del sistema forzado. Para poder resolverlo, es necesario sustituir la forma modal adecuada en el sistema, ya que es la variable que depende de x y se asume como conocida.

94

CAPÍTULO 5.

APLICACIÓN DEL ANÁLISIS A UNA PALA REAL DE HELICÓPTERO

95

APLICACIÓN DEL ANÁLISIS A UNA PALA REAL DE HELICÓPTERO

5.1 INTRODUCCIÓN

El propósito de este capítulo es aplicar el análisis desarrollado en el Capítulo 4 a una pala real de helicóptero. Para lograr lo anterior, se tomaron los datos del rotor principal de un helicóptero Mi-2 de la Secretaría de Marina, Armada de México. Las características y datos numéricos del helicóptero de ejemplo están especificadas en el Apéndice B. Otros datos tendrán que ser calculados como se mostrará más adelante.

Las Figuras 5.1 muestran al helicóptero Mi-2 de fabricación rusa tomado como

ejemplo. El Mi-2 es un helicóptero multipropósito utilizado principalmente en misiones de búsqueda y rescate, además de ser utilizado en ocasiones como ambulancia aérea o para transporte de personal.

Figuras 5.1. Helicóptero Mi-2 del Primer Escuadrón de Búsqueda y Salvamento de la Secretaría de Marina, Armada de México en la Base Aeronaval de Veracruz.

Como se verá más adelante, el Mi-2 es un helicóptero tripala cuyo rotor está

completamente articulado y cuenta con palas de perfil simétrico y sección trasversal uniforme (ver Apéndice B). El cubo del Mi-2 se muestra en la Figura 5.2.

Aplicando el análisis desarrollado previamente, serán calculados diferentes datos de gran utilidad, como son: gráficas de estabilidad, frecuencias naturales de determinados modos de vibración, un diagrama de Campbell y respuestas de estado estable de flapping y feathering de las palas bajo un determinado régimen de vuelo.

Para ello, las cargas aerodinámicas de las ecuaciones de movimiento serán modificadas según la condición de vuelo que se quiera simular, haciendo algunas simplificaciones para facilitar el cálculo, como densidad del aire constante, palas balanceadas y una condición de vuelo estable, es decir, sin considerar transiciones de vuelo. Se considerará a la aeronave en vuelo estacionario y vuelo traslacional vertical únicamente (no se simulará vuelo horizontal).

96

Figura 5.2. Cubo del rotor principal del Mi-2 completamente articulado (fully articulated)

Como se pudo apreciar durante el desarrollo de los capítulos anteriores, es indispensable, para llevar un análisis aeroelástico completo de la pala, determinar los momentos de inercia tanto de área como de masa del perfil. También se requiere conocer los radios de giro correspondientes a estos momentos de inercia. Para la pala de ejemplo, se realizó este cálculo de momentos de inercia y radios de giro utilizando software de Diseño Asistido por Computadora. Este procedimiento se explica ampliamente en el Apéndice C.

5.2 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD

Para saber bajo qué parámetros la pala presentaría un comportamiento inestable, es necesario resolver las ecuaciones características planteadas en el Capítulo 4, tanto para flutter como para adelanto-retraso de la pala. 5.2.1 Análisis de Flutter y Curva de Estabilidad

Con los datos de los Apéndices B y C, es posible encontrar los valores de las constantes Kn (n = 1, 2,…, 9) presentadas en las ecuaciones (4.4) a la (4.12) en el capítulo anterior, obteniendo lo siguiente:

( ) 5727.01047.1031083.9459.6

3

232

1 === −

−

xx

IkmKp

A [adim]

( )

( ) ( ) 5.560931047.10376.25

1047.1102.2632

49

22 ==Ω

=−

−

xxx

IJGK

p

[m2]

9664.01047.103

53.11663.11633 =

−=

−= −xI

IIK

p

MINMAX [adim]

97

cgcgp

cg eexI

emK 69.63

1047.10359.6

34 === − [1/m]

( )

( ) ( )( )29.7

28.759.676.2510366.31095.68

2

69

21

5 ==Ω

=−xx

RmIEK [m3]

cgcgcg eeR

eK 1373.0

28.71

6 === [adim]

1373.028.711

7 ===R

K [1/m]

( )0015.0

76.2511

228 ==Ω

=K [s2]

( )

( ) ( )( )36.311

28.759.676.25104376.11095.68

2

49

22

9 ==Ω

=−xx

RmIEK [m3]

Nótese que las constantes K4 y K6 dependen de la distancia que existe entre el centro de gravedad del área de la sección transversal y el centroide de la misma. Por lo tanto, la curva de estabilidad depende del valor de dicha excentricidad.

Para calcular la estabilidad del sistema, es suficiente utilizar el modo fundamental de flapping de la pala, ya que si éste se comporta de manera inestable, el rotor del helicóptero sufrirá de inestabilidad siempre. Entonces, los modos fundamentales de una pala con articulación de batimiento son:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ξπ

φ 2sinX

ξ==RxX w

Por lo tanto, las derivadas con respecto a x de estas funciones modales serán:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=′′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=′ ξππξππ

φφ 2sin

4;

2cos

2 2

2

RX

RX

0;0;0;1==′′′=′′=′ IV

wwww XXXR

X

98

Ahora es posible calcular los coeficientes de las ecuaciones (4.21) a la (4.28). Se usará el valor de x = R para calcular los coeficientes, ya que la pala se comporta de manera muy similar a lo largo de su envergadura y éste es el valor que más interesa por tratarse de la punta del rotor.

0015.0)(12 =Ra φ

( ) cgcgw eeRa 096.00015.069.63)(1

2 ==

( ) 46.26129664.00465.05.56093)(10 =+=Ra φ

( )( ) cgcgw eeRa 69.631373.028.769.63)(1

0 ==

( ) cgcg eeRa 000207.00015.01373.0)(22 ==φ

( ) 000207.00015.01373.0)(2

2 ==Ra w

cgeRa 1373.0)(20 −=φ

1373.0)(2

0 =Ra w Por último, se calculan los coeficientes constantes C4, C2 y C0 de la ecuación característica (4.33) de la siguiente manera

( ) ( ) 26824 1087.19102.31096.0000207.0000207.00015.0 cgcg exxeC −− −=−=

( ) ( ) ( ) (26

222

1003.3541.0

096.01373.069.63000207.01373.00015.0000207.046.2612

cg

cgcg

ex

eeC−−=

+−+= )

( ) ( ) 22

0 75.885.35869.631373.01373.046.2612 cgcg eeC +=+= Reescribiendo la ecuación característica, se obtiene:

( ) ( ) ( ) 075.885.3581003.3541.01087.19102.31 22264268 =++−+− −−−cgcgcg eexexx λλ

Al resolver esta ecuación para diferentes valores de ecg, se obtienen las raíces características mostradas en la Tabla 5.1.

99

Tabla 5.1. Raíces características para diferentes valores de ecg.

ecg (m) λ1 λ2 λ3 λ4

0 0 - 25.76 i 0 + 25.76 i 0 - 1316.65 i 0 + 1316.65 i 0.02 0 - 25.76 i 0 + 25.76 i 0 - 1333.76 i 0 + 1333.76 i 0.04 0 - 25.76 i 0 + 25.76 i 0 - 1389.37 i 0 + 1389.37 i 0.06 0 - 25.76 i 0 + 25.76 i 0 - 1499.83 i 0 + 1499.83 i 0.08 0 - 25.76 i 0 + 25.76 i 0 - 1710.82 i 0 + 1710.82 i 0.1 0 - 25.76 i 0 + 25.76 i 0 - 2185.3 i 0 + 2185.3 i

0.12 0 - 25.76 i 0 + 25.76 i 0 - 4574.7 i 0 + 4574.7 i 0.13 0 - 25.76 i 0 + 25.76 i - 4765.7 4765.7 0.14 0 - 25.76 i 0 + 25.76 i - 2642.81 2642.81 0.15 0 - 25.76 i 0 + 25.76 i - 2001.4 2001.4

Cabe mencionar que los resultados de la tabla 5.1 varían exactamente de la misma manera para valores de ecg negativos.

Se observa fácilmente que la variación ocurre en las raíces λ3 y λ4, que corresponden al movimiento de torsión de la pala. Por lo tanto, la inestabilidad por flutter está dictada por el aumento excesivo de la frecuencia torsional de la pala conforme se aleja el centro de gravedad del eje elástico de la pala, el cual corresponde al centroide del área de la misma.

En la Figura 5.3 se presenta una gráfica que muestra la variación adimensional de la frecuencia torsional contra un valor adimensionalizado de la excentricidad del CG, donde se puede identificar una zona de estabilidad de la pala analizada.

Figura 5.3. Relación de frecuencias torsional-operativa en función de la excentricidad del CG. Se indica la inestabilidad por flutter para la pala analizada considerando Ω = 246 rpm.

100

Como se puede apreciar en la gráfica, la excentricidad ecg se adimensionaliza con respecto a un valor dLE, que representa la distancia (a lo largo de la cuerda) que hay desde el borde de ataque del perfil hasta el centroide del mismo. Esta distancia es la localización “ideal” del CG, ya que es el punto donde coinciden el eje elástico, el CG y el centro de presión en las palas simétricas [5.1], como es el caso de la pala analizada. En este caso, dLE = 0.168 m, como se muestra en la Figura 5.4.

Figura 5.4. Diagrama del perfil de la pala de ejemplo que muestra la distancia con respecto a la que se adimensionaliza el centro de gravedad CG.

Conforme la excentricidad ecg aumenta, la frecuencia torsional ωφ de la pala crece

(sobre la curva del diagrama) hasta que llega a un punto donde el sistema se vuelve inestable. Para la pala analizada, esto ocurre a aproximadamente 0.7 de la excentricidad adimensional.

Si el CG es desplazado más allá de esta distancia, se encontrará en un punto dentro

de la zona oscura y la pala presentará flutter. Mientras el sistema se mantenga en la zona clara del diagrama, habrá estabilidad.

El desplazamiento del CG a lo largo de la cuerda del perfil es necesario principalmente en palas huecas o con rellenos tipo panal que las hacen mucho más ligeras pero que tienen el CG desplazado detrás del centriode del área del perfil.

Es necesario entonces recorrer el CG hacia delante para alinearlo con el eje elástico

de la pala para evitar el flutter. Lo anterior se logra mediante el uso de una barra delgada de mayor densidad ubicada en el borde de ataque del perfil para cargar el centro de masa de la pala hacia adelante. 5.2.2 Análisis de Inestabilidad por Adelanto-Retraso de la Pala

En este caso se analiza únicamente la ecuación de lagging, por lo que se simplifica el análisis, además de que ya se han calculado las constantes Kn (n = 1, 2,…, 9) y el modo fundamental de lagging para una pala articulada es el modo rígido.

101

Por lo tanto, el modo fundamental de una pala con articulación de adelanto-retraso es:

ξ==RxX v

Por lo que sus derivadas con respecto a x quedarán:

0;0;0;1==′′′=′′=′ IV

vvvv XXXR

X

Ahora se calculan los coeficientes de la ecuación característica (4.47), para x = R, de la siguiente manera

( ) 000207.00015.01373.0)(2 ==Ra v

01373.01373.0)(0 =−=Ra v Al reescribir la ecuación característica se obtiene:

0000207.0 2 =λ Las raíces características de esta ecuación son

0;0 21 == λλ

Estos resultados indican que se trata de un sistema inestable por naturaleza, ya que la respuesta vibratoria sería linealmente creciente, lo que llevaría a la aeronave a una inestabilidad divergente.

La existencia de esta singularidad del rotor se explica por el efecto de la articulación de lagging o articulación de arrastre. Como este grado de libertad se encuentra dentro del plano de rotación, las palas articuladas, si no se restringen o limitan, tienen libertad de movimiento y esto ocasiona que giren alrededor de la articulación sin encontrar una posición de equilibrio o de estado estable.

Esa es la razón por la cual los helicópteros son dotados con amortiguadores de adelanto-retraso, ya que con ellos es posible mantener a la pala en un movimiento “estable” y al mismo tiempo se liberan los esfuerzos generados en la raíz, que es el propósito original de la articulación de arrastre.

En la Figura 5.5 se muestra el cubo del rotor principal del Mi-2 tomado como ejemplo, el cual cuenta con tres amortiguadores viscosos (dashpots) de adelanto-retraso, uno por pala.

102

Figura 5.5. Cubo del helicóptero analizado mostrando la articulación y el amortiguador de lagging.

En este análisis no se incluye una modelación del amortiguamiento del sistema, debido a que se desconoce el valor de la constante del amortiguador mecánico montado en la raíz de las palas. Sin embargo, como se verá más adelante, el rotor cuenta con otro tipo de amortiguador no mecánico para el caso de feathering, que es proporcionado por las mismas cargas aerodinámicas que excitan el sistema.

5.3 DETERMINACIÓN DE FRECUENCIAS NATURALES

Es importante determinar la frecuencia natural a la cual se presenta un determinado modo de vibración en una pala, esto para evitar resonancias y por lo tanto una posible falla en el sistema por grandes amplitudes de vibración.

Algunas veces resulta imposible evitar que una pala trabaje en resonancia, como es

el caso del flapping rígido de las palas articuladas. No obstante, como se ha visto anteriormente, el batimiento de las palas es un mal necesario para que el helicóptero pueda mantenerse en el aire.

Para encontrar las frecuencias naturales de la pala de ejemplo, será necesario emplear dos procedimientos: el primero consiste en encontrar las frecuencias de la pala estática; y el segundo en calcular las frecuencias de la pala rotativa. En cada procedimiento se deberán emplear las formas modales correspondientes. 5.3.1 Frecuencia Natural de Torsión

En este caso es muy simple calcular la frecuencia natural de torsión de la pala del Mi-2, gracias a que ya se conocen las constantes K2 y K3 y a que solamente se emplea el primer modo de vibración en torsión, como se explicó en el Capítulo 4. Entonces, recurriendo a las ecuaciones (4.66) y (4.68) se tiene que:

103

( )( ) 41.13165.56093

28.7276.25

2 2 ==Ω

=ππωφ K

RNR [rad/s]

32.259664.076.253 ==Ω= KRφω [rad/s]

Ahora recordando la ecuación (4.100), se obtiene la frecuencia natural total de torsión:

( ) ( ) 65.131632.2541.1316 2222 =+=+= RNR φφφ ωωω [rad/s]

Se observa que la frecuencia natural total es muy similar a la frecuencia natural de la viga estática, de donde se deduce que la rotación de la pala casi no afecta el movimiento torsional de la misma. Como se mostrará a continuación, esto no ocurre en el caso de flexión fuera del plano de rotación de la pala. 5.3.2 Frecuencias Naturales de Flexión Fuera del Plano de Rotación

En el caso de flexión, el procedimiento es un poco más complicado porque intervienen más modos de vibración elástica sobre la viga, tanto estática como rotativa. Aunado a esto, se deben encontrar los diferentes valores de αw que sirven para determinar la forma modal y la frecuencia natural estática de la pala.

Para encontrar estos valores de αw, es necesario recurrir a la Figura 4.4, que muestra

los eigenvalores de la ecuación característica de la viga estática articulada. Tomando los primeros tres valores de αw, se tiene:

9266.31

=wα

0682.72

=wα

2098.103

=wα Se sabe que como la pala está articulada, tiene un modo rígido (modo cero), cuya frecuencia natural es

00

=wNRω El resto de las frecuencias naturales son calculadas con la ayuda de la ecuación (4.85a), para n = 1, 2, 3.

412

RmIE

nn wwNR αω =

104

Haciendo los cálculos correspondientes se tiene, para los tres primeros modos elásticos:

( ) ( )( )

59.5428.759.6

10366.31095.689266.3 4

692

412

11===

−xxRmIE

wwNR αω [rad/s]

( ) ( )( )

9.17628.759.6

10366.31095.680682.7 4

692

412

22===

−xxRmIE

wwNR αω [rad/s]

( ) ( )( )

1.36928.759.6

10366.31095.682098.10 4

692

412

33===

−xxRmIE

wwNR αω [rad/s]

Ahora se deben calcular las frecuencias rotacionales de la pala, para lo cual se

recurre a la ecuación (4.91), nuevamente para n = 1, 2, 3.

( )( )112 ++Ω= nnnwRω

Realizando las operaciones, se obtienen los siguientes resultados:

( )( ) 1.63676.2511121

==++Ω=wRω [rad/s]

( )( ) 77.991576.2512142

==++Ω=wRω [rad/s]

( )( ) 31.1362876.2513163

==++Ω=wRω [rad/s] De acuerdo a la ecuación (4.93), ahora la frecuencia del flapping rígido es:

76.250

=Ω=wRω [rad/s]

Por último, se deben calcular las frecuencias naturales totales de la pala como en la ecuación (4.101) para cada modo de vibración.

( ) 76.2576.25 222000

==+= wRwNRw ωωω [rad/s]

( ) ( ) 44.831.6359.54 2222111

=+=+= wRwNRw ωωω [rad/s]

( ) ( ) 1.20377.999.176 2222222

=+=+= wRwNRw ωωω [rad/s]

( ) ( ) 47.39331.1361.369 2222333

=+=+= wRwNRw ωωω [rad/s]

105

En la Tabla 5.2 se muestran los resultados de cada una de las frecuencias obtenidas para flexión fuera del plano de rotación de la pala, considerando los cuatro primeros modos de vibración mostrados en la Figura 4.6.

Tabla 5.2. Frecuencias naturales para el flapping de la pala de ejemplo.

MODO ωwNR (rad/s) ωwR (rad/s) ωw (rad/s)

0 0 25.76 25.76 1 54.59 63.1 83.44 2 176.9 99.77 203.10 3 369.1 136.31 393.47

Estos resultados pueden ser comprobados con el procedimiento presentado en el

Apéndice D, por medio de tablas y curvas de ajuste del factor de crecimiento de Southwell, únicamente para los modos elásticos. Se aprecia una similitud muy grande. 5.3.3 Frecuencias Naturales de Flexión Dentro del Plano de Rotación

Como los valores de αw son conocidos, ahora pueden ser empleados para calcular la frecuencia natural estática de los tres primeros modos elásticos de la pala en lagging. Por lo tanto, sabiendo que

nn wv αα = , y recurriendo a la ecuación (4.85b) para n = 1, 2, 3 se tiene

422

RmIE

nn vvNR αω =

Todos los valores son conocidos, así que simplemente se sustituyen para llegar a:

( ) ( )( )

79.35628.759.6

10437.11095.689266.3 4

492

422

11===

−xxRmIE

vvNR αω [rad/s]

( ) ( )( )

11.115628.759.6

10437.11095.680682.7 4

492

422

22===

−xxRmIE

vvNR αω [rad/s]

( ) ( )( )

21.241228.759.6

10437.11095.682098.10 4

492

422

33===

−xxRmIE

vvNR αω [rad/s]

Y la frecuencia del modo rígido será nuevamente

00

=vNRω

106

Solamente resta calcular las frecuencias rotacionales de lagging de la pala, para lo cual recurrimos a la ecuación (4.97), desarrollada en el capítulo anterior y aplicada a los primeros tres modos elásticos (k = 1, 2, 3).

( )( ) 1112 −++Ω= kkkvRω

Realizando el cálculo

( )( ) 6.57576.25111121

==−++Ω=vRω [rad/s]

( )( ) 38.961476.25112142

==−++Ω=vRω [rad/s]

( )( ) 85.1332776.25113163

==−++Ω=vRω [rad/s] De acuerdo a la ecuación (4.99), para el modo fundamental o rígido

00

=vRω

Ahora es posible calcular la frecuencia natural total de adelanto-retraso de la pala de ejemplo, recordando la ecuación (4.102)

022000

=+= vRvNRv ωωω

( ) ( ) 41.3616.5779.356 2222111

=+=+= vRvNRv ωωω [rad/s]

( ) ( ) 12.116038.9611.1156 2222222

=+=+= vRvNRv ωωω [rad/s]

( ) ( ) 92.241585.13321.2412 2222333

=+=+= vRvNRv ωωω [rad/s]

En la Tabla 5.3 se muestran los resultados de cada una de las frecuencias obtenidas para flexión dentro del plano de rotación de la pala, considerando los cuatro primeros modos de vibración mostrados en la Figura 4.7.

Tabla 5.3. Frecuencias naturales para el lagging de la pala de ejemplo.

MODO ωvNR (rad/s) ωvR (rad/s) ωv (rad/s)

0 0 0 0 1 356.79 57.6 361.41 2 1156.11 96.38 1160.12 3 2412.21 133.85 2415.92

107

Estos resultados también pueden compararse con los obtenidos en el Apéndice D, para la flexión dentro del plano de rotación. Puede verse que son muy similares.

5.4 DIAGRAMA DE CAMPBELL En la Figura 5.6 se presenta el Diagrama de Campbell de la pala de ejemplo, donde

se pueden apreciar las frecuencias naturales más importantes conforme son afectadas por la velocidad del rotor.

Figura 5.6. Diagrama de Campbell de la pala de ejemplo.

Del diagrama se observa que las relaciones de frecuencia más peligrosas son, además de la 1P que es inevitable, la 3P, 8P, 13P, 14P, 15P y 16P. Sin embargo, a partir de 13P, se trata de frecuencias bastante altas que excitan modos superiores que aportan una cantidad de energía mínima al sistema, y que por lo tanto no son de tanto cuidado como las excitaciones de baja frecuencia, que contienen la mayor cantidad de energía. Se consideró una variación de ±15% de la velocidad nominal de operación como el rango en el cual el rotor podría experimentar mayores amplitudes debido a resonancias.

108

Una de las relaciones de frecuencia que más se debe tomar en cuenta es la 3P, debido a que se trata de un rotor tripala, se induce una frecuencia de tres veces por revolución, y el primer modo elástico de flapping presenta una resonancia cercana a la velocidad nominal de operación del rotor.

En el diagrama no aparece la curva de lagging rígido debido a que tiene frecuencia

natural total cero cuando se calcula sin el amortiguador, como se mostró anteriormente. De la misma manera son omitidos los modos elásticos de lagging (posteriores al primero) y la curva de feathering de la pala, debido a que presentan frecuencias naturales tan altas (de más de 1000 rad/s) que pueden no ser tomadas en consideración en la práctica.

5.5 DETERMINACIÓN DE RESPUESTAS FORZADAS

En esta sección, se calculará la respuesta de estado estable que presentarían los movimientos de flapping y feathering de las palas bajo un determinado régimen de vuelo. Esto se hará únicamente para el modo fundamental de flexión, esto es, el flapping rígido de las palas, ya que representa el movimiento con mayor aportación de energía de vibración al sistema.

Recuérdese que para encontrar las soluciones en el tiempo (respuestas) de las variables φ y w del sistema forzado, es necesario resolver el sistema de ecuaciones diferenciales (4.117) desarrollado en el Capítulo 4, para lo cual se debe proponer un régimen de vuelo que gobierne las cargas aerodinámicas que actúan sobre el sistema. Recordando el sistema (4.117):

( )

( )( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=+++

+−=++++

220

20

22

22

1010

10

11

12

12

sin6

)()()()(

sin)()()()()(

ψµξϕθγ

θψµξ

φφφφ

φφφφφφ

xcwwww

cxwwww

TxaTxaTxaTxa

KTxaTxaTxaTxaTxa (5.1)

Previamente, se debe calcular el coeficiente K10 propuesto en la ecuación (4.105).

Por lo tanto, considerando una densidad promedio del aire ρ = 0.93 kg/m3 y sustituyendo los valores correspondientes, se tiene:

( )( ) ( )( )( ) 06384.0

1047.10376.25828.74.093.0

8 3

33

10 ==Ω

= −xIRcK

p

πρπ [s]

Es posible utilizar los coeficientes calculados anteriormente para sustituirlos en la

ecuación (5.1). Sin embargo, es necesario modificar uno y calcular otro por primera vez, ya que son coeficientes que dependen de las cargas aerodinámicas que excitan al rotor, no consideradas previamente.

Para conseguir lo anterior, se separará el estudio en dos casos de análisis según el régimen de vuelo simulado, como se muestra a continuación.

109

5.5.1 Vuelo Estacionario

Para simular este régimen de vuelo, primero se calcula el empuje necesario que debe generar el rotor para sostener al helicóptero en el aire. Se considerará el peso promedio de la aeronave al despegue (3000 kg), esto es T = 29430 N. Es decir, la sustentación total necesaria por pala es este peso dividido por tres, ya que se trata de un rotor tripala:

98103

29430375.0 ===TRLz [N]

En la Figura 5.7 se muestra el comportamiento del levantamiento para una pala

durante una revolución. Como se trata de vuelo estacionario, el levantamiento permanece constante de 0 a 2π, actuando como una fuerza puntual total a 75% de la envergadura de la pala.

Figura 5.7. Levantamiento de una pala del Mi-2 con una masa promedio de 3000 kg en hover. Para encontrar el levantamiento adimensional, se hace lo siguiente:

( ) ( )( )04233.0

28.759.676.259810

2222 ==Ω

=Rm

RLL zzADIM

Ahora se debe calcular la velocidad del aire inducida en el rotor para vuelo

estacionario por la teoría del momentum, por medio de la ecuación (2.5):

( )( ) 748.95.16693.02

294302

===D

hovi ATv

ρ [m/s]

La velocidad en la punta de las palas es, según la ecuación (2.9):

110

( ) 53.18728.776.25 ==Ω= RVT [m/s] Con esto es posible calcular el downwash inducido en el rotor:

05198.053.187

748.9===

T

hovii V

vλ

Al contar con estos datos, se calcula el ángulo de paso colectivo que debe tener el

rotor para generar esa sustentación. Se considera, con fines prácticos, que el levantamiento total sobre cada pala actúa como una fuerza puntual a ¾ de la envergadura de las mismas, y no como una carga distribuida a lo largo de las vigas. Entonces, la distancia adimensional ξ = 0.75, solo para la consideración de las cargas aerodinámicas.

Como no hay inclinación cíclica del disco en el caso de hover, el ángulo de control de la ecuación (4.109) queda:

00 =∴= cc θθθ Como no hay desplazamiento trasnacional de la aeronave, se hace 0== zx µµ . El ángulo de entrada de flujo de la ecuación (4.110) quedará entonces:

0693.075.0

05198.0===

ξλ

ϕ i [rad]

El número de Lock es, de acuerdo a la ecuación (2.28):

( )( )( )( ) 83.8

59.628.7162.793.04.033

===m

Rac ργ

Ahora es posible calcular el ángulo de paso colectivo θ0 con la ayuda de la ecuación

(2.29), de la siguiente manera:

( ) ( ) ϕξγ

θξϕθγψµξαγ+=∴−=+= 20

20

2 66

sin6

zADIMxzADIM

LL

( )

( )°=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 9.6

23600693.0

75.083.804233.06

23606

220 ππϕ

ξγθ zADIML

Posteriormente se calculan los coeficientes del sistema (5.1) que faltan, éstos están

representados por las ecuaciones (4.120) y (4.125):

( ) 04788.075.006384.0)(11 ==Ra φ

111

( ) 8278.01373.075.0683.81373.0)( 22

0 −−=−−= cgcg eeRa φ

Asumiendo palas balanceadas, es decir, que el eje elástico y el centro de gravedad

de las palas son colineales (ecg = 0), el sistema (5.1) quedará, en vuelo estacionario:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=++

04233.01373.08278.0000207.0

046.261204788.00015.0

ww TTT

TTT

φ

φφφ

Se suponen las siguientes condiciones iniciales:

1)0(;0)0( == φφ

1)0(;0)0( == ww Resolviendo el sistema para estas condiciones iniciales se encuentran las respuestas de torsión y de flexión fuera del plano de rotación, φ (t) y w (t), respectivamente:

( ) ( ) ( )[ ]titi eeixt 56.131688.1556.131688.1521 0003797.010694.1)( +−−−− −+=φ

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

++

+−−

−++

+−−

−= +−

−−

−−

ti

ti

ti

ti

ti

eixxeix

eixxeixxixx

eixtw

52.517776

76.2577

32.134288.157072

8.129088.157072

7776

75.2579

10415.21005.31083.4

1031.31037.11032.31037.1

10415.21005.3

10377.6)(

Si se grafican estas soluciones en un intervalo de tiempo de 0 a 1 segundo (aprox.

cuatro revoluciones del rotor), se obtienen las curvas de las Figuras 5.8 (a) y (b).

Figura 5.8 (a). Respuesta de feathering de la pala en hover.

112

Figura 5.8 (b). Respuesta de flapping de la pala en hover.

Es fácil observar de la Figura 5.8 (a) que la vibración torsional de la pala se atenúa con el tiempo, esto debido al amortiguamiento ejercido por el momento aerodinámico. Es decir, la torsión comienza con una vibración transitoria que va desapareciendo conforme se presenta la respuesta de estado estable, por lo que la señal se vuelve asintóticamente estable. La razón por la que esta gráfica está truncada en los extremos superior e inferior es por la escala, es decir, la amplitud se reduce en un tiempo tan corto que si se graficara en escala real, no se alcanzaría a percibir la atenuación gradual de la señal como se percibe en la Figura 5.8 (a). Ocurre lo mismo para gráficos similares mostrados en las siguientes subsecciones.

Por otro lado, en la Figura 5.8 (b) se observa una señal harmónica que representa la

oscilación de flapping, la cual tiene una frecuencia natural igual a la frecuencia de rotación del sistema. Es decir, se presenta una oscilación por revolución del rotor. El flapping se ve afectado también por el amortiguamiento del aire, el cual reduce su amplitud. Sin embargo, este amortiguamiento influye indirectamente (gracias al acoplamiento de las ecuaciones de movimiento), lo que permite disminuir la amplitud pero no matar la señal por completo. 5.5.2 Vuelo Vertical Ascendente

Para alcanzar una velocidad de ascenso de 3 m/s en el Mi-2 de ejemplo, con una masa promedio de 3000 kg, es necesario un ángulo del colectivo de 8.5° aprox., como se demostrará más adelante. En el caso de vuelo vertical, se considerará el ángulo γe = 90°, con la finalidad de no afectar las ecuaciones (2.1) y (2.2) del Capítulo 2.

De acuerdo a la teoría del momentum, la velocidad de aire inducida en el rotor para

mantener el peso del helicóptero será ahora:

( )( ) 748.95.16693.02

294302

===D

hovi ATv

ρ [m/s]

113

Para alcanzar la velocidad de ascenso de 3 m/s, el rotor deberá generar, según la ecuación (2.4), un empuje de:

( ) ( )( )( )( ) 4.38484748.9748.935.16693.022 =+=+= hovihovizD vvVAT ρ [N] Por lo tanto, cada pala debe generar una sustentación

13.128283

4.38484375.0 ===TRLz [N]

Nuevamente el levantamiento de la pala actúa de manera constante a ¾ del radio,

como se muestra en la Figura 5.9.

Figura 5.9. Levantamiento de una pala del Mi-2 en vuelo ascendente, a una velocidad de 3 m/s y una masa de 3000 kg.

La sustentación adimensional será entonces:

( ) ( )( )05535.0

28.759.676.2513.12828

2222 ==Ω

=Rm

RLL zzADIM

Se debe recalcular la velocidad inducida para un desplazamiento ascendente de

acuerdo con la teoría del momentum [5.2]:

( ) 363.8748.923

23

222

22

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−= hovii vVVv [m/s]

Por lo que el downwash inducido es:

114

04459.053.187

363.8===

T

ii V

vλ

Nuevamente, se asume que 0=xµ , pero

016.053.187

3===

Tz V

Vµ

porque el desplazamiento del helicóptero es puramente vertical. Entonces el ángulo de entrada de flujo será:

0808.075.0

04459.0016.0=

+=

+=

ξλµ

ϕ iz [rad]

Y se calcula el colectivo de la siguiente manera:

( )( )

°≈°=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 5.846.8

23600808.0

75.083.805535.06

23606

220 ππϕ

ξγθ zADIML

No es necesario recalcular los coeficientes de la ecuación (5.1), lo único que cambia

es la fuerza de sustentación de la pala, por lo que el sistema queda:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=++

05535.01373.08278.0000207.0

046.261204788.00015.0

ww TTT

TTT

φ

φφφ

Suponiendo las mismas condiciones iniciales presentadas en la sección anterior:

1)0(;0)0( == φφ

1)0(;0)0( == ww Por último, se calculan las respuestas φ (t) y w (t) como sigue:

( ) ( ) ( )[ ]titi eeixt 56.131688.1556.131688.1521 0003797.010694.1)( +−−−− −+=φ

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

++

+−−

−++

+−−

−= +−

−−

−−

ti

ti

ti

ti

ti

eixxeix

eixxeixx

ixx

eixtw

52.517978

76.2579

32.134288.157274

8.129088.157274

7978

76.2581

1086.31069.31073.7

10016.41066.110016.41066.1

1086.31069.3

10267.5)(

115

Graficando las soluciones en un intervalo de 0 a 1 segundo, se obtienen las curvas de las Figuras 5.10 (a) y (b).

Figura 5.10 (a). Respuesta de feathering de la pala en vuelo vertical ascendente (3 m/s).

Figura 5.10 (b). Respuesta de flapping de la pala en vuelo vertical ascendente (3 m/s).

Como se puede observar, la torsión se comporta de manera idéntica a la obtenida en hover, presentando un transitorio y posteriormente atenuando cada vez más la amplitud de vibración. De hecho, la respuesta es la misma ecuación en ambos casos.

En cuanto al flapping, el comportamiento es muy similar, presentándose un aumento de amplitud en el caso de vuelo ascendente debido al cambio de ángulo de control de la pala.

Cabe destacar que estas gráficas deben interpretarse de una manera cualitativa, ya

que las condiciones iniciales utilizadas para resolver el sistema de ecuaciones son supuestas. Sin embargo, al utilizar las mismas condiciones en todos los casos, se puede comparar muy claramente el comportamiento del rotor en los diferentes regímenes de vuelo simulados, bajo las mismas condiciones de carga.

116

A continuación se estudia un caso donde la velocidad inducida en el rotor adquiere valores negativos debido a que el flujo de aire va de abajo hacia arriba del rotor y no de arriba hacia abajo, como sucede comúnmente. 5.5.3 Vuelo Vertical Descendente

A continuación se analizará el descenso del Mi-2 a una velocidad de 1 m/s y con una masa promedio de 3000 kg. Anteriormente se calculó la velocidad inducida en hover para este peso del helicóptero, así que ahora se debe calcular el empuje total del rotor para alcanzar esa tasa de descenso. Para lograr lo anterior, se considerará la velocidad de descenso con signo negativo, debido a que el flujo del aire viaja ahora en sentido opuesto al calculado anteriormente.

( ) ( )( )( )( ) 97.26408748.9748.915.16693.022 =+−=+= hovihovizD vvVAT ρ Por lo que el levantamiento en cada pala será:

88033

97.26408375.0 ===TRLz [N]

Otra vez, por ser vuelo vertical y no requerir de la inclinación cíclica del disco rotor,

el ángulo de ataque permanece constante y por lo tanto también la sustentación, como se puede apreciar en la Figura 5.11.

Figura 5.11. Levantamiento de una pala del Mi-2 en vuelo descendente,

a una velocidad de 1 m/s y una masa de 3000 kg. Calculando la sustentación adimensional:

( ) ( )( )03798.0

28.759.676.258803

2222 ==Ω

=Rm

RLL zzADIM

117

Recalculando la velocidad inducida para un desplazamiento descendente:

( ) 2612.10748.921

21

222

22

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−= hovii vVVv [m/s]

Entonces, el downwash inducido para este caso es:

0547.053.187

2612.10===

T

ii V

vλ

Para este caso 0=xµ y

00533.053.1871

−=−

==T

z VVµ

El ángulo de entrada de flujo se calcula de la siguiente manera:

0658.075.0

0547.000533.0=

+−=

+=

ξλµ

ϕ iz [rad]

Con los datos anteriores es posible calcular el ángulo de paso colectivo necesario

para mantener la tasa de descenso deseada.

( )( )

°≈°=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 4.639.6

23600658.0

75.083.803798.06

23606

220 ππϕ

ξγθ zADIML

Entonces, el sistema de ecuaciones diferenciales quedará:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=++

03798.01373.08278.0000207.0

046.261204788.00015.0

ww TTT

TTT

φ

φφφ

Suponiendo las mismas condiciones iniciales

1)0(;0)0( == φφ

1)0(;0)0( == ww se calculan las respuestas w (t) y φ (t):

( ) ( ) ( )[ ]titi eeixt 56.131688.1556.131688.1521 0003797.010694.1)( +−−−− −+=φ

118

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

+−−

−+−

−++

+−

−−= +−

−−

−−−

ti

ti

ti

ti

ti

eixxeixxeixxeixx

ixx

eixxtw

52.517575

76.257575

32.134288.157070

8.129088.157070

7575

76.257777

1014.41049.51064.91064.91098.21013.31013.31098.2

1049.51014.4

10433.110433.1)(

Graficando en un intervalo de tiempo de 1 segundo se obtienen las gráficas de las

Figuras (5.12).

Figura 5.12 (a). Respuesta de feathering de la pala en vuelo vertical descendente (1 m/s).

Figura 5.12 (b). Respuesta de flapping de la pala en vuelo vertical descendente (1 m/s).

Nuevamente se presenta la misma respuesta de torsión que en los dos casos anteriores, lo cual habla de la estabilidad de este grado de libertad cuando interacciona con el aire en los regímenes de vuelo analizados. En cuanto al flapping, la amplitud disminuyó debido a que también lo hizo el ángulo de paso colectivo, lo cual se explica por la necesidad de un empuje menor del rotor.

119

CAPÍTULO 6.

CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

120

CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

6.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se presentan algunas de las conclusiones más importantes conjeturadas a partir del desarrollo y los resultados obtenidos en los capítulos anteriores. Se aportan los puntos de vista considerados como relevantes o útiles en el área de aeronaves de ala rotativa en México.

Además, se proponen trabajos enfocados en la misma dirección que pueden ser

desarrollados en el futuro, con la finalidad de continuar con la investigación en esta área y para crear una base más sólida de conocimiento en relación con los helicópteros y sistemas mecánicos afines.

6.2 CONCLUSIONES

La inestabilidad por flutter es originada principalmente por la frecuencia torsional de la pala “desbalanceada”, la cual crece desmesuradamente a partir de cierto valor de la excentricidad del centro de gravedad con respecto al eje elástico de la pala, que también es el centro de presión en los perfiles simétricos. Se puede evitar alineando estos ejes con la ayuda de un peso anti-flutter ubicado en el borde de ataque del perfil.

La estabilidad asintótica de la vibración torsional solamente se presenta al considerar la

influencia de las cargas aerodinámicas estables sobre el rotor, ya que el aire es la principal fuente de amortiguamiento positivo sobre el sistema. Sin embargo, algunas veces las fuerzas aerodinámicas son tales que generan amortiguamiento negativo y por lo tanto producen una autoexcitación de las palas.

La inestabilidad de adelanto-retraso en rotores con articulación de arrastre se presenta

en el modo fundamental de vibración de lagging o “lagging rígido”, lo que hace imprescindible el implemento de amortiguadores mecánicos (dashpots) en las raíces de las palas para evitar tal inestabilidad.

La frecuencia natural de las palas de rotor de helicóptero está compuesta de frecuencia

estática y frecuencia rotacional. La frecuencia estática está regida por la rigidez estructural del material que compone la viga, mientras que la frecuencia rotacional está dictada por la rigidez que alcanza la pala debido a la tensión que sufre al estar girando.

6.3 TRABAJOS FUTUROS

Para ampliar esta investigación, habrá que analizar otros diseños más complejos de palas. Es decir, palas cónicas y con torsión previa (built-in twist) que son más eficientes desde el punto de vista aerodinámico y que son muy requeridas en diseños actuales de rotores de levantamiento.

121

Será necesario también obtener resultados mediante otro tipo de aproximaciones. Por ello, se deberá trabajar en la simulación por elementos finitos para obtener frecuencias naturales de las palas y compararlos con los resultados analíticos.

Por último, habrá que estudiar otro tipo de configuraciones de rotor principal de

helicóptero, ya que cada diseño tiene tendencia a presentar ciertas inestabilidades que no comparten otras configuraciones.

122

APÉNDICES

123

APÉNDICE A. SOLUCIÓN DETALLADA DE INTEGRALES INCLUIDAS EN EL DESARROLLO DEL CAPÍTULO 3

♦ TENSION:

De la ecuación (3.17) es posible calcular la tensión total T ejercida sobre la pala.

Entonces, reescribiendo dicha ecuación se tiene que:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′+′′−′−′=′′−′′−′= ∫ ∫−

vvuutEddwzvuET teletele

t

t

le

te

222

2 21

21 ηηηηηζη

η

η (A-1)

Como ( teletA )ηη −= y despreciando los términos de segundo orden, se llega a

( ) uAEutET tele ′=′−= ηη (A-2) Por lo tanto:

AETu =′ (A-3)

que es la ecuación (3.18) ♦ MOMENTO M1:

De la ecuación (3.21) se encuentra

( ) ( )wtEddwvuEM tele

t

t

le

te

′′−=′′−′′−′−= ∫ ∫−ηηηζζζη

η

η

32

21 12

1 (A-4)

Como ( teletI ηη −= 31 12

1 ) , entonces:

wIEM ′′= 11 (A-5)

que es la ecuación (3.24) del Capítulo 3. ♦ MOMENTO M2:

De la ecuación (3.22) se encuentra

124

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′+′′−′−′−=

=′′−′′−′−= ∫ ∫−

vvuutE

ddwvuEM

teletele

t

t

le

te

3322

2

22

31

31

21

21 ηηηη

ηζηζηη

η (A-6)

Haciendo ( 332 3

1teletI ηη −= ) y despreciando la deformación axial de la pala, se eliminan los

términos de u’, entonces

vIEM ′′= 22 (A-7) que corresponde a la ecuación (3.25). ♦ TORQUE Q:

De acuerdo a la ecuación (3.23), el torque Q está definido de la siguiente manera:

( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′+′′+′′−′′−′+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−′−′+′′+′=

+′′′−′′−′+′= ∫ ∫−

vtvtvtvtE

ututututEJG

ddwvuEJGQ

tetelele

tetelele

t

t

le

te

423423

3333

2

2

22

41

241

41

241

31

121

31

121

ηηηηφ

ηηηηφφ

ηζζηφζηφη

η

(A-8)

Considerando que ( )2222

31

121

teteleleA tk ηηηη +++= y despreciando los términos de orden

superior, se llega a

( )φφφ ′+=′′+′= 22AA kTJGukAEJGQ (A-9)

es decir, la ecuación (3.26). ♦ FUERZA px:

De la ecuación (3.51):

( ) ( )[ ]∫ ∫−−Ω−′−′−+Ω−′−′−−= le

te

t

tx ddvwvuxwvupη

ηηζρφζζηζη2

2

2 2 (A-10)

Por lo tanto:

125

( ) ( )[ ]( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′−′Ω−′−′Ω−

−Ω−+Ω−Ω−−Ω−+Ω−Ω−−=

vvvvt

vuxuvuxutp

tele

telex

2222

2222

21

21

22

ηηρ

ηηρ (A-11)

Como la densidad lineal de la pala Am ρ= , y haciendo ( telecge ηη +=21 ) se obtiene:

( ) ( )( )( ) ( )[ ]vvevuxum

vvvuxuAp

cg

telex

′Ω−′+Ω+−+Ω=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′Ω−′++Ω+−+Ω=

22

22

2212 ηηρ

(A-12)

que es igual a la ecuación (3.57). ♦ FUERZA py:

De la ecuación (3.52):

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′+ΩΩ+′+ΩΩ−−

−+Ω+Ω−−+Ω+Ω−−=

′−′−Ω+−+Ω−−−= ∫ ∫−

vvt

vuvvuvtL

ddwvuvvLp

tele

teley

t

tyyle

te

2212

21

22

2

22

22

2

2

2

ηηρ

ηηρ

ηζρζηφζηφζη

η

(A-13)

Entonces:

( )( )( )[ ]veuvvmL

vuvvALp

cgy

teleyy

′Ω+Ω−Ω+Ω−−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′Ω+Ω+−Ω+Ω−−=

22

2212

22

22 ηηρ (A-14)

la cual corresponde a la ecuación (3.58). ♦ FUERZA pz:

De la ecuación (3.53):

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−=

+−= ∫ ∫−

φηφηηηρ

ηζρφηη

η

22

2

2

21

21

teletelez

t

tzz

wwtL

ddwLp le

te

(A-15)

126

Entonces:

( ) ( φφηηρ cgztelezz ewmLwALp +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

21 ) (A-16)

que aparece en el Capítulo 3 como la ecuación (3.59). ♦ MOMENTO qx:

De acuerdo a la ecuación (3.54), se tiene que

( ) ( )[ ]( )[ ]

( )( )[ ]∫ ∫

∫ ∫

−

−

−+−

+′−′−Ω+−+Ω−−−−

−=

le

te

le

te

t

t

t

t

x

ddw

ddwvuvv

Mq

η

η

η

η

ηζρφζηφη

ηζρζφηζηφζηφζ

2

2

2

2

2 2 (A-17)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′Ω−−Ω+′Ω−−Ω−−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′Ω++Ω−′Ω++Ω−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−Ω−Ω−+−Ω−Ω−

−=

wtwt

vtvt

wvuvtwvuvt

Mq

tele

tele

tele

x

21212

121

2312

31

2212

21

2323

2323

2222

φφηφφηρ

φφφηφφφηρ

ηφφφηφφφρ

(A-18)

Eliminando los términos de segundo orden se obtiene:

( ) wkmkmkkmwemMq mmmmcgx ′Ω−−−Ω−−= 21

221

22

2 2φφ (A-19) Llegando así a la ecuación (3.60). ♦ MOMENTO qy:

De acuerdo a la ecuación (3.55), se tiene que

( )[ ]( )[ ]

( )( )[ ]∫ ∫

∫ ∫

−

−

+−Ω−−−

+′−′−+Ω−′−′−−−=

le

te

le

te

t

t

t

ty

ddv

ddwvuxwvuq

η

η

η

η

ηζρζφηφζ

ηζρζφηζηζη

2

2

2

2

2

2 (A-20)

127

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−′Ω+Ω+′−′Ω+Ω−−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−′Ω+′−′Ω−−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω+−Ω+Ω−Ω+−Ω+Ω−=

wwtwwt

vvtvvt

vuxutvuxutq

tele

tele

teley

2323

2323

222222

21212

121

31

31

2212

21

φηφηρ

ηφηφρ

ηφηφρ

(A-21)

Se eliminan los términos de segundo orden, por lo tanto:

( )wkmwkmxemq mmcgy ′−Ω+′Ω+Ω−= φφ 221

21

22 (A-22) Llegando así a la ecuación (3.61). ♦ MOMENTO qz:

De acuerdo a la ecuación (3.56), se tiene que

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )[ ]∫ ∫

∫ ∫

−

−

−−Ω−−−

−′−′−+Ω−′−′−−−=

le

te

le

te

t

t

t

tz

ddv

ddwvuxwvuq

η

η

η

η

ηζρφζηφζ

ηζρφζηζηζη

2

2

2

2

2

2 (A-23)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−′Ω+Ω−′−′Ω+Ω−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−′Ω+′−′Ω−−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω+−Ω+Ω−Ω+−Ω+Ω−=

wwtwwt

vvtvvt

vuxutvuxutq

lele

tele

telez

2323

2323

222222

21212

121

31

31

2212

21

φηφφηφρ

ηηρ

ηηρ

(A-24)

Se eliminan los términos de segundo orden, por lo tanto:

( ) ( ) vkmvkmvuemuxemq mmcgcgz ′−′Ω+Ω−++Ω−= 22

22

22 2 (A-25) obteniendo de esta manera la ecuación (3.62) del Capítulo 3.

128

APÉNDICE B. DATOS TÉCNICOS DE LAS PALAS DEL ROTOR PRINCIPAL DE UN HELICÓPTERO Mi-2

En este apartado se presentan las características principales de las palas que

conforman el rotor principal del helicóptero analizado. Se trata de un rotor tripala completamente articulado, cuyas palas son simétricas con espesor de 15%. En la siguiente lista se da un compendio detallado de los datos más importantes en este estudio, obtenidos de los manuales de mantenimiento y de vuelo del helicóptero Mi-2. Características generales del helicóptero:

No. máximo de tripulantes: 4 Masa bruta: 2,500 [kg] Masa máxima al despegue: 3,550 [kg] Planta motriz: 2 turboejes de 400 hp c/u Techo o altitud máxima: 4,000 [m] Capacidad de combustible: 1,076 [lt] Autonomía: 3:20 [hr] Consumo: 300 [lt/hr] Vel. Máxima = 180 [kph] Vel. de crucero = 150 [kph] Diseño del rotor: completamente articulado No. de palas: 3

Datos técnicos de las palas:

Tipo de perfil: simétrico, espesor 15% a = 7.162 [1/rad] Tipo de palas: huecas con estructura tipo panal m = 6.59 [kg/m] R = 7.28 [m] Ω = 246 rpm = 25.76 [rad/s] c = 0.4 [m] Material de palas: aleación de aluminio E = 68.95 [GPa] G = 26.2 [GPa]

Los momentos de inercia de las palas, así como los radios de giro, necesarios para desarrollar los análisis aeroelásticos, son calculados en el siguiente apéndice, ya que esa información no está contenida en los manuales del helicóptero mencionados previamente.

En las Figuras B-1 (a) y (b) se muestra un plano de detalle del cubo del rotor

principal del Mi-2, mientras que en la Figura B-2 se puede apreciar la estructura de las palas del rotor principal. Las palas son construidas por secciones y más adelante se hará mención de las partes que componen la estructura de la viga.

129

Debido a que se trata de una pala semi-hueca, su centro de gravedad se encuentra detrás del centroide del área del perfil y por ello es necesario dotar a la pala de un “peso anti-flutter” que desplace el CG hacia delante hasta alinearlo con el eje elástico de la pala, el cual es colineal con el centroide.

Figura B-1 (a). Corte superior del cubo del rotor principal del Mi-2.

Figura B-1 (b). Corte B-B indicado en la vista superior del cubo de ejemplo.

130

Descripción de las Figuras B-1:

1. Arandela de empuje. 2. Tuerca del gozne de flapping. 3. Sello. 4. Abrazadera. 5. Pasador del gozne de flapping. 6. Arandela de seguridad. 7. Tuerca de pasador del gozne de flapping. 8. Anillo interior del cojinete de agujas. 9. Agujas de cojinete / 4x40 mm, 50 agujas en cada cojinete. 10. Tuerca del gozne de flapping. 11. Anillo de empuje. 12. Anillo exterior del cojinete de agujas. 13. Árbol de gozne de paso de la pala. 14. Cojinete de bolas. 15. Sello. 16. Anillo. 17. Cubierta. 18. Cojinete de bolas. 19. Manguito adaptador de cojinete. 20. Cojinete de bolas. 21. Toma de grasa. 22. Biela de paso de la pala. 23. Abrazadera. 24. Perno. 25. Saliente de gozne. 26. Pasador de gozne. 27. Cojinete de agujas / 35 agujas de 2x20 mm en cada cojinete. 28. Pasador. 29. Toma de grasa. 30. Abrazadera de bronce. 31. Soporte. 32. Toma de grasa. 33. Cubierta. 34. Cojinete de agujas / 52 agujas de 2x12 mm en cada cojinete.

131

Figura B-2 (a). Secciones de la pala completa del rotor principal del Mi-2.

Figura B-2 (b). Detalle mostrando la estructura de la pala de ejemplo.

132

Descripción de las Figuras B-2:

1. Inserto. 2. Relleno tipo panal. 3. Barra angular. 4. Cinta adhesiva. 5. Peso anti-flutter. 6. Larguero. 7. Costilla. 8. Piel. 9. Inserto de hule espuma. 10. Sujetador trasero. 11. Aletas de compensación. 12. Remate. 13. Números de sección de la pala.

133

APÉNDICE C. DETERMINACIÓN DE LOS MOMENTOS DE INERCIA Y RADIOS DE GIRO DE LA PALA DE EJEMPLO

Primero se calcularon los momentos de inercia del área de la sección transversal de

la pala dibujando el perfil en AutoCAD®. Como se trata de un perfil simétrico con 15% de espesor y una cuerda de 0.4 m, es posible dibujar el perfil siguiendo las coordenadas presentadas en la Tabla C-1.

Tabla C-1. Coordenadas del Perfil Simétrico con 15% de espesor del Mi-2.

Coord. Y (m)

Coord. Z (m)

0 0 0.005 0.009468 0.01 0.013072 0.02 0.017772 0.03 0.021 0.04 0.023412 0.06 0.026728 0.08 0.028688 0.1 0.029708 0.12 0.030008 0.16 0.029016 0.2 0.026468 0.24 0.022816 0.28 0.01832 0.32 0.013116 0.36 0.00724 0.38 0.004032 0.4 0

El perfil de la pala de ejemplo está representado en la Figura C-1. A partir de esta

sección transversal, y gracias a que ésta se mantiene constante a lo largo de toda la pala, se calculan los momentos de inercia del área, así como sus respectivos radios de giro, medidos con respecto al centroide del perfil, el cual está ubicado a 0.168 m desde el borde de ataque de la pala.

Figura C-1. Perfil a partir del cual se calculan los momentos de inercia de área y radios de giro.

134

El análisis de este perfil arroja los siguientes datos: Área de la sección transversal: 16358.88 [mm2] Perímetro: 822.44 [mm] Centroide: Y = 168.08 [mm] Z = 0.00 [mm] Momentos de inercia: IY = 3366778.66 [mm4] IZ = 605930067.48 [mm4] Radios de giro: kY = 14.35 [mm] kZ = 192.46 [mm] Momentos principales con respecto al centroide: I1 = 3366778.66 [mm4] I2 = 143763453.03 [mm4] Radios de giro de los momentos principales: k1 = 14.35 [mm] k2 = 93.74 [mm]

Los datos que más interesan son los momentos principales I1 e I2, el momento torsional de resistencia J, y el radio de giro kA. Para encontrar J solamente se deben sumar los momentos I1 e I2 como se muestra a continuación.

61 10366.3 −= xI [m4]

4

2 10437.1 −= xI [m4]

44621 1047.110437.110366.3 −−− =+=+= xxxIIJ [m4]

Para calcular kA, se realiza la siguiente operación:

( ) ( ) 32222

21 1083.9409374.001435.0 −=+=+= xkkk A [m]

Posteriormente deben ser calculados los momentos de inercia de masa de la pala,

para lo cual es empleado el software Mechanical Desktop®. Es necesario modelar la pala completa y asignar materiales para poder llevar a acabo el cálculo de los momentos de inercia.

En la Figura C-2 se muestra la pala de ejemplo modelada en Mechanical Desktop®.

Esta modelación se realizó de acuerdo a la construcción real de la pala mostrada en el Apéndice B, la cual está compuesta de secciones unidas por un larguero y consta de un peso anti-flutter montado en el borde de ataque de la pala.

Posteriormente se asignaron los materiales adecuados a cada parte de la estructura y

se calcularon las propiedades de masa del ensamble completo. Después se realizó una conversión de los datos a las unidades adecuadas para poder aplicar los datos a las ecuaciones de movimiento.

135

Figura C-2. Pala completa del Mi-2, modelada para encontrar los momentos de inercia de masa. En este análisis se obtuvieron, en general, los siguientes datos: Masa total de la pala: 48 [kg] Momentos principales de inercia: ImX = 753268.73 [kg-mm2] ImY = 848347409.33 [kg-mm2] ImZ = 849064968.50 [kg-mm2] Radios de giro: km1 = 4203.39 [mm] km2 = 4205.17 [mm]

En este caso, los datos que interesan son únicamente el momento polar de inercia por unidad de longitud Ip, y los momentos de inercia de masa por unidad de longitud de la sección transversal con respecto a los ejes principales IMIN e IMAX. También interesa conocer el radio de giro km. Entonces:

31047.10328.7

7532.0 −=== xR

II mX

p [kg-m]

53.11628.7347.848

===R

II mY

MIN [kg-m]

63.11628.7065.849

===R

II mZ

MAX [kg-m]

( ) ( ) 945.520517.420339.4 222

22

1 =+=+= mmm kkk [m]

136

APÉNDICE D. DETERMINACIÓN DE LAS FRECUENCIAS NATURALES DE LA PALA DE EJEMPLO UTILIZANDO FACTORES DE SOUTHWELL

En este apartado se calculan las frecuencias naturales flexionantes de la pala del

Mi-2 utilizando el método “exacto” presentado por Bielawa [D.1]. Mediante este método es posible calcular la frecuencia natural de pala uniforme de referencia que gira a cualquier velocidad, usando el concepto de un factor de crecimiento variable con la velocidad del rotor, para los movimientos de flapping y lagging de la pala.

Se dice que el método es “exacto” porque fue desarrollado resolviendo las

ecuaciones de movimiento de flexión de la pala de manera numérica con una amplia variación de velocidades de rotación, sin imponer restricciones sobre las formas modales ni simplificaciones matemáticas y, como resultado, la variación de frecuencia de rotación las frecuencias naturales es exacta.

Primero, se define una frecuencia de referencia de la siguiente manera:

40 RmIE

=ω (D-1)

La frecuencia de operación adimensional será, entonces:

2

0

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω=Ω

ω (D-2)

Las frecuencias naturales exactas para la pala uniforme a cualquier velocidad del rotor pueden ser formuladas como sigue:

( )2222 ΩΩ+= nNRnn Kαα ωω (D-3) donde n es el modo deseado y α = v ó w, según sea el caso. Kα puede ser expresado en términos de los valores límite obtenidos de las Tablas D-1 y D2, y una función variable del factor de crecimiento ηm, definida como

( ) ( )( )∞∞ −Ω+=Ω nnnnn KKKK αααα η 022 (D-4)

Nótese de las tablas que los factores de crecimiento para los modos dentro del plano

de rotación (a cualquier velocidad del rotor) son los correspondientes a los factores de crecimiento fuera del plano menos uno.

Para determinar el valor de ηn se recurre a las curvas de las Figuras D-1 y D-2, que corresponden a palas articuladas y no articuladas, respectivamente, entrando con el valor de la frecuencia de operación adimensional al cuadrado, calculada anteriormente y de acuerdo al modo de vibración que se desee calcular.

137

Tabla D-1. Coeficientes de Southwell para vigas uniformes. Caso límite . ( )∞→ΩModo Palas Articuladas Palas No Articuladas

m ∞nwK ∞nvK

∞nwK ∞nvK

1 6 5 1 0 2 15 14 6 5 3 28 27 15 14 4 45 44 28 27

Tabla D-2. Características de frecuencia natural para la pala uniforme de referencia . ( )0=Ω

Modo Palas Articuladas Palas No Articuladas m nNRϖ

0nvK 0nwK

nNRϖ 0nvK

0nwK

1 15.4203 5.3969 6.3969 3.516 0.1933 1.1933 2 49.9649 16.903 17.903 22.0344 5.4782 6.4782 3 104.2477 34.9928 35.9928 61.6972 16.8594 17.8594 4 178.2698 59.6559 60.6559 120.9019 35.0554 36.0554

Figura D-1. Funciones de variación del factor de crecimiento para los primeros

cuatro modos elásticos de flexión, palas articuladas.

Figura D-2. Funciones de variación del factor de crecimiento para los primeros

cuatro modos elásticos de flexión, palas no articuladas.

138

De las tablas y gráficas anteriores se calculan los parámetros necesarios para sustituir en la ecuación (D-4) y de esa manera poder sustituir en la ecuación (D-3) y encontrar el valor de la frecuencia natural adimensional, la cual, al multiplicarse por la frecuencia de referencia, lleva a la frecuencia natural total para el modo analizado.

Cabe destacar que este análisis no considera los modos rígidos, los cuales se

presentan únicamente en las palas articuladas, por lo que al considerar n = 1, se trata en realidad del primer modo elástico de la pala y no del flapping o lagging rígido, como es el caso de la pala de ejemplo. ♦ FRECUENCIAS NATURALES DE FLAPPING PARA LA PALA DE EJEMPLO:

Para el caso de la pala analizada, se encontrarán las frecuencias naturales exactas de los primeros tres modos elásticos de vibración, esto es, para n = 1, 2, 3. Entonces, se obtiene el siguiente valor de la frecuencia de referencia en batimiento:

( )( )

[ ]sradxxRmIE /54.3

28.759.610366.31095.68

4

69

41

0 ===−

ω

Por lo tanto

5395.5254.376.25 22

0

2 ≈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω=Ω

ω

Como se trata de una pala con articulación de batimiento, se utilizarán únicamente

las curvas de la Figura D-1. Entonces se encuentran los valores de η como se muestra en la Figura D-3.

Figura D-3. Valores de η para los primeros tres modos elásticos de flapping.

139

De la Figura D-3 se encuentra que:

98.0;95.0;84.0 321 ≈≈≈ ηηη Por lo tanto el valor corregido de los coeficientes de Southwell será, según los valores encontrados en las Tablas D-1 y D-2:

( ) ( ) 3334.663969.684.061 =−+=wK

( ) ( ) 7578.1715903.1795.0152 =−+=wK

( ) ( ) 8329.35289928.3598.0283 =−+=wK Sustituyendo estos valores y los de la frecuencia natural no rotacional, extraídos de la Tabla D-2, es posible calcular la frecuencia natural adimensional de la pala:

( ) ( )( ) 94.233334.695.524203.15 21 =+=wω

( ) ( )( ) 62.587578.1795.529649.49 22 =+=wω

( ) ( )( ) 98.1128329.3595.522477.104 23 =+=wω

Ahora es posible conocer las frecuencias naturales totales de la pala como sigue:

( ) 74.8454.394.23011 === ωωω ww [rad/s]

( ) 53.20754.362.58022 === ωωω ww [rad/s]

( ) 95.39954.398.112033 === ωωω ww [rad/s]

Se aprecia fácilmente que los resultados son muy similares a los obtenidos en el Capítulo 5. ♦ FRECUENCIAS NATURALES DE LAGGING PARA LA PALA DE EJEMPLO:

Ahora serán encontradas las frecuencias naturales exactas de los primeros tres modos elásticos de lagging, es decir, para n = 1, 2, 3. Entonces, la frecuencia de referencia de adelanto-retraso será:

( )( )

[ ]sradxxRmIE /13.23

28.759.610437.11095.68

4

49

42

0 ===−

ω

140

Por lo tanto

25.124.113.2376.25 22

0

2 ≈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω=Ω

ω

Como se trata de una pala con articulación de arrastre, nuevamente se utilizarán las

curvas de la Figura D-1. Entonces, en la Figura D-4 se encuentran los valores correspondientes de η.

Figura D-4. Valores de η para los primeros tres modos elásticos de lagging.

De la Figura D-4 se observa que:

1321 ≈≈≈ ηηη Por lo tanto el valor corregido de los coeficientes de Southwell será, según los valores encontrados en las Tablas D-1 y D-2:

( ) ( ) 3969.553969.5151 =−+=vK

( ) ( ) 903.1614903.161142 =−+=vK

( ) ( ) 9928.34279928.341273 =−+=vK Al sustituir estos valores y los de la frecuencia natural no rotacional, extraídos de la Tabla D-2, se calcula la frecuencia natural adimensional:

( ) ( )( ) 63.153969.524.14203.15 21 =+=vω

( ) ( )( ) 17.50903.1624.19649.49 22 =+=vω

141

( ) ( )( ) 45.1049928.3424.12477.104 23 =+=vω

Ahora es posible conocer las frecuencias naturales totales de la pala como sigue:

( ) 52.36113.2363.15011 === ωωω vv [rad/s]

( ) 43.116013.2317.50022 === ωωω vv [rad/s]

( ) 93.241513.2345.104033 === ωωω vv [rad/s]

Nuevamente, es fácil observar que los resultados son muy similares a los obtenidos en el Capítulo 5.

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REFERENCIAS

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REFERENCIAS ♦ CAPÍTULO 1 [1.1]. Bielawa, Richard, L.: Rotary Wing Structural Dynamics and Aeroelasticity. AIAA Education Series, 1992. Capítulo 1. [1.2]. Hernández, Rogelio, G.: Diseño Aerodinámico II. Cuaderno de Apuntes, 2004. Unidad1. [1.3]. Newman, Simon: The Foundations of Helicopter Flight. Edward Arnold, 1994. Capítulo 1. [1.4]. Prouty, Raymond, W.: Helicopter Aerodynamics. Rotor & Wing International, 1985. Capítulo 19. ♦ CAPÍTULO 2 [2.1]. Newman, Simon: The Foundations of Helicopter Flight. Edward Arnold, 1994. Capítulo 5. [2.2]. Padfield, Gareth: Helicopter Flight Dynamics: The Theory and Application of Flying Qualities and Simulation Modeling. AIAA Education Series. Capítulo 3. [2.3]. Bielawa, Richard, L.: Rotary Wing Structural Dynamics and Aeroelasticity. AIAA Education Series, 1992. Capítulo 10. [2.4]. Morduchow, Morris: A Theoretical Analysis of Elastic Vibrations of Fixed-Ended and Hinged Helicopter Blades in Hovering and Vertical Flight. NACA Technical Note 1999. Washington, Enero 1950. ♦ CAPÍTULO 3 [3.1]. Houbolt, John; Brooke, George: Differential Equations of Motion for Combined Flapwise Bending, Chordwise Bending and Torsion of Twisted Nonuniform Rotor Blades. NACA Technical Report 1346, 1958. [3.2]. Morduchow, Morris: A Theoretical Analysis of Elastic Vibrations of Fixed-Ended and Hinged Helicopter Blades in Hovering and Vertical Flight. NACA Technical Note 1999. Washington, Enero 1950.

144

♦ CAPÍTULO 4 [4.1]. Prouty, Raymond, W.: Helicopter Aerodynamics. Rotor & Wing International, 1985. Capítulo 32. [4.2]. Bielawa, Richard, L.: Rotary Wing Structural Dynamics and Aeroelasticity. AIAA Education Series, 1992. Capítulo 12. [4.3]. Raletz, R.: Théorie Elementaire de l’Hélicoptére. CEPADUES Editions. Francia, 1989. Capítulo 3. [4.4]. Ginsberg, Jerry, H.: Mechanical and Structural Vibrations. Theory and Applications. John Wiley & Sons, Inc. E.U.A., 2001. Capítulo 7. [4.5]. Morduchow, Morris: A Theoretical Analysis of Elastic Vibrations of Fixed-Ended and Hinged Helicopter Blades in Hovering and Vertical Flight. NACA Technical Note 1999. Washington, Enero 1950. [4.6]. Bielawa, Richard, L.: Rotary Wing Structural Dynamics and Aeroelasticity. AIAA Education Series, 1992. Capítulo 3. ♦ CAPÍTULO 5 [5.1]. Raletz, R.: Théorie Elementaire de l’Hélicoptére. CEPADUES Editions. Francia, 1989. Capítulo 3. [5.2]. Prouty, Raymond W.: Helicopter Performance, Stability and Control. PWS Engineering, Boston 1986. Capítulo 2. ♦ APÉNDICE D [D.1]. Bielawa, Richard, L.: Rotary Wing Structural Dynamics and Aeroelasticity. AIAA Education Series, 1992. Capítulo 3.

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♦ REFERENCIAS ADICIONALES [1]. Hernández-Pandelí, R.; Gómez-Mancilla, J.; Sánchez-Silva, F.: Análisis de Flapping de un Rotor Articulado para Helicóptero en vuelo Estacionario y su Aplicación a un Banco de Pruebas Prototipo. 8° Congreso Nacional en Ingeniería Electromecánica y de Sistemas. México, Noviembre 2004. [2]. Hernández-Pandelí, R.; Gómez-Mancilla, J.; Nossov, V.: Estabilidad de los Movimientos de Flexión y Torsión (Flutter) de las Palas del Rotor Principal de un Helicóptero. 1er Encuentro de Investigadores y Alumnos PIFI, Participantes en Proyectos de Investigación. México, Mayo 2005. [3]. Hernández-Pandelí, R.; Gómez-Mancilla, J.; Narro-Quesada, E.: Estabilidad Dinámica de Flexión y Torsión Acoplados (Flutter) de las Palas del Rotor Principal de un Helicóptero. 7° Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica. México, Octubre 2005. [4]. Hernández-Pandelí, R.; Gómez-Mancilla, J.; Nossov, V.: Estabilidad Dinámica de Adelanto-Retraso (Lagging) de las Palas del Rotor Principal de un Helicóptero Mi-2. 4° Congreso Internacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas. México, Noviembre 2005. [5]. Bisplinghoff, R.; Ashley, H.: Principles of Aeroelasticity. Dover Publications Inc. New York, 1962. [6]. Meirovitch: Fundamentals of Vibrations. McGraw Hill. [7]. Rao: Mechanical Vibrations. Fourth Edition. Pearson – Prentice Hall. [8]. Hartog, D: Mecánica de las Vibraciones. CECSA. [9]. Timoshenko: Mecánica de Materiales. Cuarta Edición. Thomson Editores. [10]. Boresi; Schmidt: Ingeniería Mecánica: Dinámica. Thomson Learning. [11]. Zill, D.: Ecuaiones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Séptima Edición. Thomson Learning. [12]. Bedford; Fowler: Mecánica para Ingeniería: Dinámica. Prentice Hall [13]. Fischer, I: Dual-Number Methods in Kinematics, Statics and Dynamics. CRC Press. [14]. Reissner, H.; Morduchow, M.: A Theoretical Study of the Dynamic Properties of Helicopter- Blade Systems. NACA Technical Note 1430, 1948. [15]. Ganguli, R.: Optimum Design of a Helicopter rotor for Low Vibration Using Aeroelastic Analysis and Response Surface Methods. Journal of Sound and Vibration, 2002, 258(2), pp. 327-344.

146

[16]. Wheatley, B.: An Aerodynamic Analysis of the Autogiro Rotor with a Comparison between Calculated and Experimental Results. NACA Technical Report 487, 1934. [17]. Stepniewski, W.: Rotary-Wing Aerodynamics. Volume I: Basic Theories of Rotor Aerodynamics (With Applications to Helicopters). Dover Publications, Inc. New York. [18]. Keys, C.: Rotary-Wing Aerodynamics. Volume II: Performance Prediction of Helicopters. Dover Publications, Inc. New York. [19]. Morduchow, M.: On Internal Damping of Rotating Beams. NACA Technical Note 1996. December 1949. [20]. Morduchow, M.; Hinchey, F: Theoretical Analysis of Oscillations in Hovering of Helicopter Blades with Inclined and Offset Flapping and Lagging Hinge Axes. NACA Technical Note 2226. December 1950. [21]. Kunz, D.: Saturation Control for Suppressing Helicopter Blade Flapping Vibrations: A Feasibility Study. AIAA Paper No. 98-2004. April, 1998. [22]. McGuire, D.: High Stiffness (“Rigid”) Helicopter Pylon Vibrations Isolation Systems. American Helicopter Society 59th Annual Forum. May, 2003. [23]. Hyeonsoo, Y; Chopra, I.: Coupled Rotor/Fuselage Vibration Analysis Using Detailed 3-D Airframe Models. Mathematical and Computer Modelling 33 (2001) 1035-1054. [24]. Ghiringhelli, G; Masarati, P.; Mantegazza, P.; Nixon, M.: Multi-Body Analysis of an Active Control for a Tiltrotor. Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale. Milano, 20158 Italy. [25]. Rosen, A; Ben-Ari, R.: Mathematical Modelling of a Helicopter Rotor Track and Balance: Theory. Journal of Sound and Vibration (1997) 200 (5), 589-603. [26]. Tumer, I; Huff, E.: Principal Components Analysis of Triaxial Vibration Data from Helicopter Transmissions. 56th Meeting of the Society for Machinery Failure Prevention Technology. [27]. Pryor, A; Mosher, M.; Lewicki, D.: The Application of Time-Frequency Methods to HUMS. American Helicopter Society’s 57th Annual Forum, Washington, D.C. May, 2001. [28]. Mettler, B; Kanade, T.; Tischler, M.; Messner, W.: Attitude Control Optimization for a Small-Scale Unmanned Helicopter. American Institute of Aeronautics and Astronautics. [29]. Viswamurthy, S; Ganguli, R.: An Optimization Approach to Vibration Reduction in Helicopter Rotor with Multiple Active Trailing Edge Flaps. Aerospace Science and Technology 8 (2004) 185-194.

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PUBLICACIONES

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8° CONGRESO NACIONAL DE INGENIERIA ELECTROMECANICA Y DE SISTEMAS

México D.F., 15 al 19 de Noviembre, 2004

ANÁLISIS DE FLAPPING DE UN ROTOR ARTICULADO PARA HELICÓPTERO EN VUELO ESTACIONARIO Y SU APLICACIÓN A UN BANCO DE PRUEBAS PROTOTIPO

1 Hernández-Pandelí R., 2 Gómez-Mancilla J., 3 Sánchez-Silva F.

1 Estudiante SEPI-ESIME-IPN, 2 Sección de STLE México, 3 Jefe SEPI-ESIME-IPN Laboratorio de Vibraciones y Rotodinámica ESIME, Edif. 5, 3er. piso,

Instituto Politécnico Nacional, Unidad Zacatenco, México D. F., México. rihepa@avantel.net jcgomez@ipn.mx

RESUMEN

En este artículo las ecuaciones de flexión de batimiento (flapping) en las palas del rotor de un helicóptero en vuelo estacionario son presentadas. Estas ecuaciones se derivan del análisis de un rotor con palas articuladas. Se utilizó el Método del Elemento Pala para determinar las ecuaciones de movimiento y se consideró a las palas como vigas rígidas articuladas sometidas a movimiento de batimiento. Al analizar el rotor en vuelo estacionario obtenemos las ecuaciones para la frecuencia natural, la relación de amortiguamiento resultante por la interacción pala-aire, y el ángulo de fase.

En este trabajo se pretende realizar un análisis comprensible del desarrollo de las

ecuaciones de flapping, para un rotor articulado para helicóptero. Las ecuaciones fueron derivadas con la finalidad de aplicarlas a un banco de pruebas prototipo diseñado en ESIME Ticomán el cual aquí se analiza de manera preliminar.

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1er ENCUENTRO DE INVESTIGADORES Y ALUMNOS PIFI, PARTICIPANTES EN PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN

México D.F., Mayo 2005

Estabilidad de los movimientos de Flexión y Torsión (Flutter) de las palas del Rotor Principal de un Helicóptero

Ricardo Hernández-Pandelí, Julio C. Gómez-Mancilla, Valeri Nossov

SEPI-ESIME-IPN Unidad Zacatenco, Edificio 5, 3er piso

México D. F., México rihepa@avantel.net jcgomez@ipn.mx

Resumen

En este trabajo se deriva un criterio para determinar la estabilidad de los movimientos de torsión (feathering) y flexión (flapping) acoplados de las palas del rotor de un helicóptero. El criterio es aplicable a cualquier tipo de rotor, ya sea articulado o rígido, y las palas son consideradas como vigas flexibles uniformes de sección transversal constante a lo largo de su envergadura. La única dificultad que se presenta al aplicar el criterio es determinar las formas modales y las frecuencias naturales de la pala analizada, lo cual puede fácilmente ser resuelto utilizando ANSYS como software de soporte. Este trabajo no incluye una aplicación real del método, únicamente la derivación matemática.

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7º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA

7º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA

México D.F., 12 al 14 de Octubre de 2005

ESTABILIDAD DINÁMICA DE FLEXIÓN Y TORSIÓN ACOPLADOS (FLUTTER) DE LAS PALAS DEL ROTOR PRINCIPAL

DE UN HELICÓPTERO

+ Hernández Pandelí, R.*, Gómez Mancilla, J.*, Narro Quesada E.º

* Laboratorio de Vibraciones y Rotodinámica ESIME, Edif. 5, 3er. piso, Instituto Politécnico Nacional, Unidad Zacatenco. México D. F.

º Dirección General de Investigación y Desarrollo, Secretaría de Marina, Armada de México. México, D. F.

*e-mail: rihepa@avantel.net + Estudiante de Maestría

RESUMEN

En este trabajo un criterio simplificado para determinar la estabilidad de los movimientos de torsión (feathering) y de flexión (flapping) acoplados de las palas del rotor principal de un helicóptero es presentado.

Las palas son consideradas como vigas flexibles de sección transversal constante a

lo largo de su envergadura. Las ecuaciones de movimiento pueden ser utilizadas para analizar cualquier configuración de rotor, aplicando las condiciones de frontera adecuadas al momento de obtener los modos de vibración. Las formas modales de la pala analizada se obtienen utilizando los polinomios de Legendre impares.

Una pala del rotor principal de un helicóptero Mi-2 de la Secretaría de Marina,

Armada de México es tomada como ejemplo para aplicar el criterio y obtener una curva de estabilidad dinámica aproximada.

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4° CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERIA ELECTROMECANICA Y DE SISTEMAS

México D.F., 14 al 18 de Noviembre, 2005

Estabilidad Dinámica de Adelanto-Retraso (Lagging) de las Palas del Rotor Principal de un Helicóptero Mi-2

Hernández-Pandelí, R., Gómez-Mancilla, J., Nossov, V.

Resumen – En este trabajo un criterio simplificado para determinar la estabilidad del movimiento de adelanto-retraso (lagging) de las palas del rotor principal de un helicóptero es presentado. Las palas son consideradas como vigas flexibles de sección transversal constante a lo largo de su envergadura. La ecuación de movimiento puede ser utilizada para analizar cualquier configuración de rotor, aplicando las condiciones de frontera adecuadas al momento de obtener los modos de vibración. Las formas modales de la pala analizada se obtienen utilizando los polinomios de Legendre impares. Una pala del rotor principal de un helicóptero Mi-2 de la Secretaría de Marina, Armada de México es tomada como ejemplo para aplicar el criterio y obtener valores numéricos de estabilidad dinámica aproximada.

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