Supponiamo di sollevare una cassa di massa m dal pavimento ad un’altezza h e poi poggiarlo a terra di nuovo Ø Durante il sollevamento agiscono due forze

Ø Mentre la cassa viene posata di nuovo a terra ( spostamento verso il basso) ancora agiscono due forze

Lavoro compiuto per sollevare ed abbassare un peso

gF!

F!

Forza applicata alla cassa per sollevarla (stesso verso dello spostamento) La=Fh

Forza gravitazionale (verso opposto a quello dello spostamento) Lg= -mgh

gF!

F!

Forza applicata alla cassa per non lasciarla cadere ( verso opposto allo spostamento) La=-Fh

Forza gravitazionale (stesso verso verso dello spostamento) Lg= mgh

ΔTsollevamento

=Tf−T

i= L

a+L

g= L

a−mgh

Variazione dell’energia cinetica durante il sollevamento

ΔTabbassamento

=Tf−T

i= L

a+L

g= L

a+mgh Variazione dell’energia cinetica

durante il sollevamento

Lavoro compiuto per sollevare ed abbassare un peso

ΔTsollevamento

=Tf−T

i= L

a+L

g= L

a−mgh

ΔTabbassamento

=Tf−T

i= L

a+L

g= L

a+mgh

§  La forza applicata trasferisce energia alla cassa (La >0) §  La forza gravitazionale sottrae energia alla cassa (Lg <0)

§  La forza applicata sottrae energia alla cassa (La <0) §  La forza gravitazionale trasferisce energia alla cassa (Lg >0)

NB: Nel caso in cui la cassa parta da ferma (Ti=0) e arrivi alla fine dello spostamento ferma (Tf=0), o nel caso più generale in cui Tf e Ti siano uguali le due relazioni si riducono a:

0=+ ga LL )(cosθmghLL ga −=−=Il lavoro compiuto dalla forza applicata è uguale ed opposto al lavoro compiuto dalla forza gravitazionale

NB: Il lavoro per spostare un qualsiasi corpo dal pavimento ad un’altezza h ( con velocità iniziali e finali nulle) e riabbassarlo sul pavimento ( sempre con velocità iniziali e finali nulle) è NULLO ( non confondete il lavoro con la fatica … ☺)

Per completezza

Lavoro svolto da una forza applicata alla molla Supponiamo di spostare un blocco collegato alla molla lungo l’asse della molla applicando una forza . Ø Durante lo spostamento : compie un lavoro La , mentre la forza di richiamo della molla compie il lavoro Lm

Ø La variazione di energia cinetica del blocco sarà data dalla somma dei due lavori:

Ø Se il blocco attaccato alla molla è fermo prima e dopo lo spostamento la variazione di energia cinetica è nulla e quindi è nullo anche il lavoro totale svolto sul blocco.

Questo si può spiegare tenendo conto del fatto che la forza applicata e la forza di richiamo hanno segno opposti e quindi anche i lavori effettuati dalle due forze.

aF!

aF!

mF!

ΔT =Tf−T

i= L

a+L

m

ma LL −=

Traiettoria C

Lavoro della forza d’attrito Ø Consideriamo il caso dell’azione della forza di attrito dinamica su un corpo in moto lungo una certa traiettoria C che effettua uno spostamento d lungo tale traiettoria.

Ø La forza d’attrito è sempre opposta allo spostamento ed il lavoro svolto da tale forza sarà quindi sempre negativo

Ø Il lavoro è dato da: Ø Se la componente Normale alla superficie è costante ( non dipende dalla posizione) Si potrà scrivere: dove d è il percorso effettuato dalla posizione iniziale i alla posizione finale f lungo la traiettoria ATTENZIONE: d NON è la differenza tra la posizione iniziale e la posizione finale poiché questo integrale è un integrale di linea e dipende dal percorso effettuato NB: Il lavoro è sempre lavoro resistente e dipende dalla traiettoria effettiva del punto materiale. A parità di µd ed N il lavoro dipende dal percorso e non è esprimibile come differenza dei valori di una funzione nei due punti di partenza ed arrivo.

df!

Latt=!fdd!r∫ = −µ

dN dr∫

Latt= −µ

dN dr∫ L

att= −µ

dNd

dr∫ = d

Potenza Se vi chiedessero cosa differenzia il motore di una Ferrari da quello di una 500 cosa vi verrebbe spontaneo rispondere? Sicuramente ( SPERO ) una delle risposte sarebbe i cavalli motore… o la Potenza! Ma che cos’è la potenza? Ø  La Potenza è la RAPIDITÀ con cui viene sviluppata una certa quantità di lavoro:

Ø  La potenza si misura in watt (W) dove 1W=J/s ( spesso si trova espressa in

termini di cavallo-vapore (CV) dove 1CV=735,5W

NB: Nel caso particolare in cui una particella si sposta lungo una direzione rettilinea sotto l’azione di una forza costante F che forma un angolo θ con la direzione dello spostamento si potrà scrivere la potenza in termini della forza e della velocità v della particella stessa:

Se θ<π/2 P>0

Se π/2 <θ< π P<0 la forza esegue un lavoro resistente

tLPΔ

= Potenza media dtdLP = Potenza Istantanea

P =dLdt

P =dLdt

=F cosθdx

dt= F cosθ

dxdt

= Fvcosθ P =!F ⋅!v

Energia Potenziale Ø Un altro tipo generico di energia è l’ENERGIA POTENZIALE che rappresenta l’energia associata allo stato di un sistema di corpi che interagiscono reciprocamente per mezzo di un campo di forze. ES: sistema pallina-Terra che interagiscono mediante la forza gravitazionale. Ø L’energia Potenziale è energia immagazzinata, pronta ad essere trasformata in una qualche altra forma di energia come ad esempio energia cinetica Esempi: La molla compressa (Energia potenziale elastica), un oggetto sospeso nel vuoto ad una certa distanza dal suolo (Energia potenziale gravitazionale) … Ø Il lavoro può essere espresso oltre che mediante la variazione di energia cinetica anche mediante la variazione di energia potenziale Consideriamo il sistema pallina-terra che interagisce attraverso la forza gravitazionale, se applichiamo una forza esterna al sistema per sollevare lentamente la pallina dalla quota ya alla quota yb ( spostamento Δy= yb – ya ) compiamo sul sistema un certo lavoro che, se la pallina risulta a riposo prima e dopo lo spostamento, non può trasformarsi in energia cinetica ( che rimane nulla). Non c’è neanche variazione di energia interna, in quanto non c’è motivo che l’energia della pallina aumenti => L’energia fornita dall’esterno viene “immagazzinata” pronta ad essere trasformata in energia cinetica non appena la pallina viene lasciata cadere . Questa energia è proprio “Energia Potenziale”

Energia potenziale (2)

Consideriamo ora di lanciare in aria la pallina, sappiamo che la forza gravitazionale svolge un lavoro Lg negativo sulla pallina che sta salendo, questo perché la forza gravitazionale “sottrae” energia all’energia cinetica della pallina Questa energia sottratta viene “immagazzinata” sotto forma di energia potenziale gravitazionale del sistema pallina-terra La pallina rallenta fino a fermarsi e poi comincia a ricadere, a causa della forza di gravità Mentre la pallina cade la forza gravitazionale questa volta svolge un lavoro positivo sulla pallina, l’energia immagazzinata ( energia gravitazionale del sistema pallina- terra) viene ora convertita in energia cinetica della pallina. Si può schematizzare questo processo dicendo che la variazione di energia potenziale gravitazionale è pari all’opposto del lavoro svolto sulla pallina dalla forza gravitazionale:

gLU −=ΔStesso ragionamento può essere fatto sul sistema blocco-molla visto pocanzi.

mLU −=Δ

Forze conservative Affinché si possa parlare di energia potenziale di un sistema, il sistema e le forze che agiscono su di esso devono avere determinate proprietà. Ø Il sistema deve consistere di due o più oggetti ed il corpo ed il resto del sistema devono interagire mediante una forza

Ø Quando la configurazione del sistema cambia (es: cambiamenti di posizione o cambiamento di stato di una molla…) la forza compie lavoro (L1) sul corpo con trasferimento dell’energia cinetica in un’altra forma di energia

Ø Quando si cambia il senso della variazione della configurazione la forza inverte il trasferimento di energia svolgendo lavoro (L2)

Ø Se e solo se L1=-L2, cioè se solo se il trasferimento di energia può essere invertito, si può parlare di energia potenziale

Ø Forze che presentano tali proprietà vengono dette FORZE CONSERVATIVE

Ø La forza gravitazionale e la forza elastica sono forze conservative

Ø Le forze di attrito non sono forze conservative ( l’energia cinetica viene trasformata in energia termica ed il processo non è invertibile) e l’energia termica non è un’energia potenziale

Come facciamo a capire se una forza è conservativa? Ø Il lavoro compiuto da una forza conservativa su una particella che si muove tra due punti qualsiasi non dipende dal percorso eseguito ma solo dalle posizioni iniziale e finale Ø Per calcolare il lavoro eseguito è quindi possibile utilizzare qualsiasi percorso colleghi il punto iniziale a con quello finale b.

Ø Il lavoro è esprimibile come differenza dei valori di una funzione nei punti finale ed iniziale della traiettoria.

Ø Nel caso in cui si invertano il punto iniziale e finale, ovvero si inverte la direzione di percorrenza della traiettoria, cambia solo il segno del lavoro eseguito.

Ø Un qualunque percorso chiuso può essere pensato come la somma di un percorso di andata tra due punti qualunque della traiettoria ed un percorso di ritorno tra gli stessi punti. Si ha quindi che il lavoro di una forza conservativa che agisce su una particella che si muove lungo un percorso chiuso è nullo

Forze Conservative

ababab LLLL === 21

baab LLL −==

021 =+= baab LLL

Determinazione dell’energia potenziale (1)

Consideriamo un corpo che fa parte di un sistema sul quale agisca una forza conservativa F. Quando la Forza compie lavoro la variazione dell’energia potenziale è pari all’opposto del lavoro svolto. Nel caso generale in cui la forza conservativa varia durante lo spostamento:

ΔU = (Uf−U

i) = −L

∫−=−=Δf

i

x

x

dxxFLU )(

Ø Non esiste una forma generale per l’energia potenziale, ma dipende dalla forza conservativa a cui si riferisce. Ø L’energia potenziale di una forza conservativa permette di calcolare rapidamente il lavoro eseguito su qualunque traiettoria. Ø Da una forza conservativa non si può ricavare lavoro se il percorso è chiuso, ovvero, come si dice, se il processo è ciclico.

∫−=−=Δf

i

rdFLU !!

Energia potenziale e Lavoro

Abbiamo visto che la variazione di energia potenziale è pari all’opposto del lavoro svolto dalla forza conservativa agente sulla particella facente parte del sistema in studio A partire dalla definizione si può osservare che: Ø Se l’energia potenziale aumenta, il lavoro eseguito è negativo ( il lavoro viene fatto dall’esterno sul sistema) Ciò significa che non si può estrarre lavoro dalla forza durante un processo in cui l’energia potenziale aumenta, ma sarà necessario fornire lavoro dall’ esterno perché il processo sia possibile. Ø Se l’energia potenziale diminuisce, il lavoro eseguito e’ positivo e si può utilizzare durante il processo.

L’energia potenziale indica la capacità della forza di fornire lavoro. Ø L’energia potenziale è definita a meno di una costante, infatti: se aggiungiamo (o sottraiamo) una costante c all’energia potenziale:

la nuova espressione per l’energia potenziale soddisfa ancora la relazione:

LU −=Δ

cUU +='LU −=Δ

LUcAUcBUAUBUU −=Δ=−−+=−=Δ )()()(')(''

0 0 <>Δ LU

0 0 ><Δ LU

Al suo barbiere Einstein la raccontava così (Robert L. Wolke)

Energia potenziale gravitazionale

Consideriamo un particella di massa m che viene sollevata da un punto yi ad un punto yf .. Tale particella subisce il lavoro svolto dalla forza gravitazionale Lg. La variazione di energia potenziale sarà data da:

ΔU = −L = − Fg(y)dy

yi

yf

∫ = − −mg( )dy =yi

yf

∫ mg yyi

yf=mgΔy

ΔU =mgΔy

Energia potenziale gravitazionale

In fisica sono importanti solo le variazioni ΔU di energia potenziali ( l’energia potenziale è sempre definita a meno di una costante) A volte però per semplificare i calcoli conviene associare un particolare valore di U ad una certo stato del sistema in cui la particella si trova in una determinata posizione y. Se quindi associamo un valore Ui =0 all’energia potenziale del sistema nella configurazione iniziale ( o di riferimento) yi=0 , possiamo scrivere:

mgyU =L’energia potenziale gravitazionale associata ad un sistema particella-Terra dipende dalla posizione verticale y della particella rispetto alla posizione di riferimento y=0

Δy = yf− y

i

yyyy i =−=Δ

yi

yf

Δy=

y f-y

i

12mv

A2 +mgy

A=12mv

B2 +mgy

B

Energia Meccanica e conservazione dell’Energia Meccanica

Consideriamo un corpo che si muove dal punto A al punto B sotto l’azione della sola forza gravitazionale, il lavoro compiuto sul corpo è quindi pari sia alla variazione dell’energia potenziale gravitazionale cambiata di segno, sia alla variazione di energia cinetica del corpo :

LAB= −mgh =mgy

A−mgy

B

y

UA=mgy

A

TA=12mv

A2

UB=mgy

B

TB=12mv

B2

A

B

yA

yB

h=

y B-y

A

LAB=12mv

B2 −12mv

A2

mgyA−mgy

B=12mv

B2 −12mv

A2

TA+U

A=T

B+U

B

12mv2 +mgy =T +U = costante

LAB= −ΔU =U

A−U

BLAB= ΔT =T

B−T

A

Uguagliando i due termini si ottiene:

Energia Meccanica e conservazione dell’Energia Meccanica

L’energia meccanica E di un sistema è l’energia totale data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale relativa ai corpi che compongono il sistema stesso.

E = U+T Per il lavoro delle forze conservative valgono allora due relazioni: 1)   Teorema dell’energia cinetica ( questo teorema vale per tutte le forze, conservative e non):

2) Definizione di energia potenziale ( questa vale solo per le forze conservative):

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA: Quando in un sistema isolato agiscono solo forze conservative l’energia potenziale e quella cinetica posso variare singolarmente, ma la loro somma, l’energia meccanica E del sistema, deve rimanere costante

L =12mv

f2 −12mv

i2 =T

f−T

i= ΔT

UUUL fi Δ−=−=

L =Tf−T

i= ΔT = −ΔU =U

i−U

fUi+T

i=U

f+T

f

E =U +T = cost conservazione dell’energia meccanica

Principio di conservazione dell’Energia Meccanica- Applicazione

ΔE = ΔU +ΔT = 0E =U +T = costIl principio di conservazione dell’energia meccanica ci permette di risolvere in

maniera molto semplice problemi che dal punto di vista dinamico sarebbero molto complessi

Energia totale e forza peso

Abbiamo visto che l’energia potenziale gravitazionale può essere espressa come:

U=mgy Sappiamo che, nel caso della caduta di un grave, si conserva l’energia totale data da:

E =T+U= ½m v2 + mgy = costante

Consideriamo quindi un corpo che scivola su un piano inclinato privo di attrito. La reazione vincolare è sempre perpendicolare alla traiettoria e non compie lavoro. Se il corpo parte da fermo da un’altezza h, arriverà alla fine del piano con velocità tale che:

E = Ui +Ti = mgh + 0 = Uf +Tf = 0 + ½ m v2

Da cui: La velocità è quindi indipendente dalla massa del corpo (come già sapevamo) e dall’inclinazione del piano. Nel moto l’energia potenziale si e’ trasformata in energia cinetica.

v = 2gh

Esempio Consideriamo un camion che scendendo da una discesa incontra poi una salita che ha una pendenza di 15°. Quando arriva alla salita ha una velocità di 130 km/h. Calcolare la distanza minima L dall’inizio della salita che il camion deve percorre prima di fermarsi ( non c’è attrito ed il pilota toglie la marcia).

Ti=

12mv

i2 U

i= 0

Tf= 0 U

f=mgh =mgLsin 15°( )

E = cost =Ti+U

i=T

f+U

f

E =12mv

i2 =mgLsin 15°( )

L =mv

i2

2mg sin 15°( )=

vi2

2g sin 15°( )=

36.1m s( )2

2 ⋅9.81 ⋅0.258= 258m

Stato iniziale ( camion che affronta la salita):

Stato finale ( camion che si ferma):

Conservazione dell’energia meccanica:

( )°= 15sinLh

h

Energia potenziale elastica

Consideriamo un sistema blocco-molla con il blocco attaccato ad una delle estremità della molla di costante elastica k. Durante lo spostamento del blocco dalla posizione xi alla posizione xf la forza di richiamo F=-kx compie del lavoro sul blocco. La variazione di energia potenziale sarà data da:

ΔU = −L = − Fm(x)dx

xi

xf

∫ = − −kx( )dx =yi

yf

∫ 12

k x2xi

xf

=12

k xf2 − x

i2( )

ΔU =12k x2

f− x

i2( )

Analogamente a quanto fatto per l’energia potenziale gravitazionale, associamo un valore di U ad una posizione di riferimento. Poniamo U=0 quando x=0 (cioè quando il blocco passa per la posizione di equilibrio della molla)

2

21 kxU =

Energia potenziale

elastica

x = xmax

T = 0 ed U =Umax

= E

Nel caso di una forza elastica si conserva l’energia meccanica data dalla somma: Ø Quando la molla viene compressa oppure dilatata aumenta lo spostamento x e quindi l’energia potenziale. Ø Affinché l’energia meccanica del sistema si conservi, durante la compressione (o l’allungamento) l’energia cinetica (e la velocità del corpo) deve diminuire, fino al limite di massima compressione o dilatazione in l’energia cinetica si annulla:

Ø Durante il processo di allungamento o compressione della molla, la molla compie lavoro resistente

Ø Quando la molla torna verso la sua posizione di riposo l’energia potenziale si trasforma in energia cinetica: U diminuisce e T aumenta finché nella posizione x=0 si ha:

Ø Durante il processo di “scaricamento della molla” la molla compie lavoro motore Quando la molla passa per il punto di equilibrio la velocità raggiunge il valore massimo (in modulo). NB: Il lavoro totale compiuto durante una oscillazione completa è NULLO .

Energia totale e forza elastica

E = cost =T +U =12mv2 +

12kx2

x = 0 U = 0 e T =Tmax

= E

Esempio: il pendolo

Pendolo: Un corpo di massa m è fissato ad un punto tramite un filo inestensibile di lunghezza L (oppure ad un’asticella di massa trascurabile) sottoposto alla forza peso.

Il corpo è, ogni istante, sottoposto sia alla forza peso P, sia alla tensione del filo T , che lo mantiene a distanza costante L dal punto fisso, ed è diretto come il filo. L o s p o s t a m e n t o è s e m p r e perpendicolare alla tensione del filo, lungo una traiettoria circolare

Esempio: il Pendolo (2)

• Le forze che agiscono sul pendolo sono la tensione del filo T e la forza peso P. Lo spostamento è sempre lungo la tangente alla traiettoria circolare che compie la massa m durante la sua oscillazione • La tensione del filo quindi non compie lavoro in quanto istante per istante è perpendicolare allo spostamento. • Il lavoro è svolto solo dalla forza peso. La variazione di energia potenziale sarà quindi : L

P= −ΔU = −mgy

f+mgy

i

Dato un pendolo costituito da un filo inestensibile di lunghezza L e da una massa m attaccato ad esso, determinare la velocità del pendolo nel punto più basso di oscillazione se l’angolo massimo di oscillazione è θmax

Scegliamo come riferimento per le quote la quota minima. Durante l’oscillazione si conserva l’energia totale data da: E = T+U=½m v2

+ mgy = costante

Nella posizione di massima altezza avremo: E = U= mgymax = mgL (1 - cosθmax) (T=0) Nella posizione di minima quota avremo invece: E = T = 1/2 m v2

(U=0) 1/2 m v2 = mgL(1 - cosθmax)

v = 2gL 1− cosθmax( )

ymax

θmax

L L

cosθm

ax

L-L cosθmax =L(1- cosθmax )

Lavoro svolto su un sistema da una forza esterna

Consideriamo una forza esterna che agisce su un sistema. Il lavoro è l’energia trasferita a o da il sistema per mezzo della forza esterna che agisce su di esso

Sistema Sistema

L>0 Energia trasferita al sistema

L<0 Energia sottratta al sistema

Ø Se il sistema è costituito da un’unica particella puntiforme il trasferimento di energia avviene solo attraverso la variazione di energia cinetica Ø Se il sistema è più complesso la variazione di energia può avvenire anche attraverso altre forme (es: energia potenziale)

Lavoro delle forze non conservative

Ø Nel caso in cui agiscano forze non conservative, quali la forza d’attrito, non si può definire una energia potenziale. Ø Il lavoro dipende dalla traiettoria Ø È sempre valido il teorema dell’energia cinetica: Ø Se agiscono contemporaneamente forze conservative e forze non conservative il lavoro compiuto sul sistema sarà dato dalla somma del lavoro compiuto dalle forze conservative e da quello compiuto dalle forze non conservative:

Ma è vero anche che: si può quindi scrivere: Il lavoro delle forze non conservative è pari alla variazione di energia meccanica

L = Ftdr

i

f

∫ =12mv

f2 −12mv

i2

ncc LLL +=

Lnc= ΔU

c

Ucf −Uci

!+12mv

f2 −12mv

i2

ELnc Δ=

!"#!"#percorso dal dip.percorso dal dip.non

∫∫ +=f

inc

f

ic drFdrF

tt= −ΔU

c+L

nc

= Ucf+T

f( )− Uci+T

i( ) = Ef−E

i= ΔE

L =12mv2

f−

12mv2

i

Lnc= ΔU

c+L