T. Soldovieri. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton

2013 Actualizacin # 51 (30/10/13).

Desde el 2009

S O L D O V I E R I

LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

Introduccin a la Mecnica de

Lagrange y Hamilton

Con numerosos ejemplos y una

presentacin que facilita la

comprensin del contenido.

(EN CONSTRUCCION Y REVISION)

Copyright 2013 por Terenzio Soldovieri C.

Todos los derechos reservados.

Impreso en la Repblica Bolivariana de Venezuela.

Artes, dibujos y grficos: Terenzio Soldovieri C.

Decoraciones y portadas: Terenzio Soldovieri C.

Toda la estructura de este libro ha sido elaborada por el autor, utilizando LaTeX.

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http://www.cmc.org.ve/tswebTerenzio SoldovieriRevised

A mis padres Raffaele Soldovieri Mastursi y Rita Elena Carmona, hijos Terenzio Jos

Soldovieri Martnez y Marchello Soldovieri Carmona, compaera de vida Yeldri Yolaura

Chourio Herrera, y todos los que fueron mis estudiantes

les dedico el presente texto que con gran esfuerzo he logrado.

Terenzio Soldovieri C. [email protected] [email protected]

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Giuseppe Lodovico Lagrangia ( Joseph Louis Lagrange ) (1736-1813).

Matemtico y astrnomo francs nacido en Turn (Italia), en cuya universidad estudi.

Fue nombrado profesor de geometra en la Academia Militar de Turn a los 19 aos y en 1758

fund una sociedad que ms tarde se convertira en la Academia de Ciencias de Turn. En 1766

fue nombrado director de la Academia de Ciencias de Berln, y 20 aos despus lleg a Pars

invitado por el rey Luis XVI. Durante el periodo de la Revolucin Francesa, estuvo al cargo de

la comisin para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y medidas. Despus de la

Revolucin, fue profesor de la nueva cole Normale y con Napolen fue miembro del Senado y

recibi el ttulo de conde. Fue uno de los matemticos ms importantes del siglo XVIII; cre el

clculo de variaciones, sistematiz el campo de las ecuaciones diferenciales y trabaj en la

teora de nmeros. Entre sus investigaciones en astronoma destacan los clculos de la libracin

de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra ms importante es Mecnica analtica

(1788).

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).

Matemtico y astrnomo britnico, conocido sobre todo por sus trabajos en anlisis de

vectores y en ptica. Naci en Dubln y estudi en el Trinity College. En 1827, sin haber

obtenido su ttulo, fue nombrado profesor de astronoma, y al ao siguiente astrnomo real para

Irlanda. Hamilton pas el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio

de Dunsink, cerca de Dubln. En el campo de la dinmica, introdujo las funciones de Hamilton,

que expresan la suma de las energas cintica y potencial de un sistema dinmico; son muy

importantes en el desarrollo de la dinmica moderna y para el estudio de la teora cuntica.

SOLDOVIERI C., Terenzio

Licenciado en Fsica

Profesor agregado del Departamento de Fsica

Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ)

[email protected]

[email protected]


INTRODUCCION A LA MECANICA DE

LAGRANGE Y HAMILTONCon numerosos ejemplos y una presentacin que

facilita la comprensin del contenido.

1era edicin (preprint)

(EN CONSTRUCCION Y REVISION)Comenzado en el 2009

Actualizacin # 51 (30/10/2013)

Escrito usando LATEX

Copyright c 2013 por Terenzio Soldovieri C.Repblica Bolivariana de Venezuela

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[email protected]@fec.luz.edu.vewww.cmc.org.ve/tsweb

Agradecimientos

Agradezco muy especialmente a ANDREA ANGELICA VILLA TORREALBA, AN-DRES ELOY COLINA LEON y CESAR ALEJANDRO RODRIGUEZ CASAS, quienes fueron misalumnos destacados en Mecnica Clsica en el Departamento de Fsica, Facultadde Ciencias de La Universidad del Zulia (LUZ), Maracaibo - Venezuela, por su valiosaayuda en la correccin del presente texto. Por el mismo motivo agradezco tambin aSTANLEY SALVATIERRA, estudiante de Ingeniera Elctrica en la mencin de Sistemas dePotencia, Facultad Nacional de Ingeniera (FNI), Oruro - Bolivia.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: I

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Prlogo

La Mecnica Clsica es uno de los pilares fundamentales de la Fsica, junto conlos Mtodos Matemticos, el Electromagnetismo y la Mecnica Cuntica. La me-cnica introduce al alumno a las tcnicas tericas que son esenciales en todaslas ramas de la Fsica, como por ejemplo: la Relatividad General, Teora de Camposy Partculas, Mecnica Cuntica y en Caos y los Sistemas Complejos. En esta materiaexisten varios textos clsicos y de gran impacto, varios de los cuales se citan al finalde este trabajo. Existen tanbin muchsimos textos recientes y que, con respecto a losclsicos, han mejorado la forma de presentar el contenido con la finalidad de hacer-los ms didcticos y fciles de entender. Algunos de estos ltimos tambin son citadosal final.

Por algunos aos he sido profesor de Mecnica Clsica en mi universidad. En eltranscurrir de esos aos he elaborado los clsicos apuntes de clases que solemos hacerlos profesores, en los cuales ponemos nuestro mejor esfuerzo y dedicacin para hacerque nuestros alumnos entiendan lo mejor posible el contenido que se quiere transmitir.Estos apuntes recogen datos valiosos obtenidos durante las clases, originados de laspreguntas y discusiones que a menudo surgen durante las mismas. Involucran tambinlas soluciones por mi encontradas a las dificultades que los alumnos tenan para podercomprender los distintos puntos tratados, lo cual es muy valioso puesto que permiteajustar la presentacin del contenido. Es obvio que el contenido de mis apuntes declases se ajusta al inters particular del curso que he dictado, sin embargo, siempreson de gran utilidad para cualquier curso en general referente a la materia. El presentetexto es un esfuerzo por lograr ordenar todos esos apuntes y hacer pblico mi trabajopara el disfrute de la comunidad acadmica.

El objetivo de este texto es presentar la Mecnica de Lagrange y de Hamilton, in-

III

cluyendo la fsica y matemtica necesaria para su estudio, en una forma lo ms clara,sencilla y coherente posible sin sacrificar profundidad en el contenido, haciendo queel texto sea de muy fcil comprensin. Para lograr esto en mis apuntes de clases, re-alic una muy amplia investigacin consultando numerosos textos de los que se en-cuentran en el mercado referente a la materia (entre ellos los clsicos) as como variaspublicaciones de revistas cientficas y numerossimas notas de clases encontradas eninternet, sin embargo un gran nmero de ellas no pudieron ser referenciadas por noposeer los datos de origen suficientes. De todos esos textos fue extraido lo mejor decada uno, siempre buscando la mejor explicacin, la mejor definicin, las mejores in-terpretaciones, etc., y siempre teniendo en mente que sea lo ms claro y fcil deentender para luego ser procesadas y enfocadas en mi particular punto de vista yorden de contenidos.

El texto fue dividido en dos partes. En la primera parte se presentan los fundamen-tos fsicos y matemticos bsicos que son indispensables para abordar la Mecnica deLagrange y de Hamilton, como lo son: la dinmica de un sistema de partculas, todolo referente a ligaduras y coordenadas generalizadas, desplazamiento y trabajo virtu-al, principio de los trabajos virtuales y de DAlembert, principio de Hamilton, clculovariacional con fronteras fijas y transformacin de Legendre.

Lo referente a la dinamica de un sistema de particulas no es muy distinto a lo quese encuentra en el comun de los textos disponibles en el mercado, sin embargo espresentado en una forma detallada en referencia a los clculos involucrados. Por otrolado, en referencia al concepto de ligadura, que es de gran importancia ya que deuna u otra forma estn presentes en los sitemas mecnicos, en el presente texto sehace un amplio estudio que permite fijar con firmeza este concepto mediante unadetallada clasificacin, ejemplos y figuras. En el caso de los desplazamientos virtuales,se presenta de forma clara su definicin que con muchsima frecuencia en la mayorade los textos slo se menciona muy poco al respecto a pesar de ser el punto de partidapara poder comprender todo lo referente al trabajo virtual, principio de los trabajosvirtuales y el principio de DAlembert que es fundamental en la mecnica y a partirdel cual se puede desarrollar la mecnica de Lagrange.

En el caso del clculo variacional y la transformacin de Legrendre se presentansendos y extensos captulos con contenido de directa aplicabilidad a la mecnicade Lagrange y de Hamilton que no suele ser tratado con suficiente profundidad enla gran mayora de los textos de mecnica ya que son dejados para los cursos ded-icados a esa materia en especfico. En particular, lo relacionado a la transformacin

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: IV

de Legendre, de mucha utilidad al estudiar la Mecnica de Hamilton, es desarrolladocon amplitud.

La segunda parte del texto trata, exclusivamente, sobre la mecnica de Lagrangey de Hamilton, las transformaciones cannicas y la teora de Hamilton-Jacobi. Todosestos contenidos son presentados de una forma muy coherente donde se hace obviola utilidad e importancia de todo lo estudiado en la primera parte del texto. Todos es-tos puntos son desarrollados de una forma muy fcil de entender, siempre presentandoaquellos tpicos tericos que son bsicos en cualquier curso de este tipo y presentan-do numerosos ejemplos en los cuales se aplican los contenidos estudiados, ayudadoscon figuras ilustrativas.

En fin, aqu les dejo el presente trabajo esperando que sea de gran utilidad a lamayor cantidad de personas interesadas en la materia, en especial, a la multitud dealumnos que la tienen como curso obligatorio en sus respectivas carreras universitarias.

Prof. Terenzio Soldovieri C.Departamento de Fsica

Facultad de CienciasLa Universidad del Zulia (LUZ)

Maracaibo - Estado ZuliaRepblica Bolivariana de Venezuela

ALBERT EINSTEIN

"Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramoslas mismas cosas". "Lo ms incomprensible del Universo, es que sea compren-sible". "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas". "Nunca consideresel estudio como una obligacin, sino como una oportunidad para penetraren el bello y maravilloso mundo del saber". "La alegra de ver y entender esel ms perfecto don de la naturaleza".

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NDICE GENERAL

I Fundamentos fsicos y matemticos bsicos para estudiar Mecni-ca de Lagrange y Hamilton 1

1 Dinmica de un sistema de partculas 3

1.1. Sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Clasificacin de los sistemas de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Sistemas indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Sistemas deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Sistemas indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Sistemas deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Fuerzas en un sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2. Aplicadas y de reaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11De reaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. Posicin del centro de masa de un sistema discreto . . . . . . . . . . 161.4.2. Posicin del centro de masa de un sistema continuo . . . . . . . . . 191.4.3. Posicin del centro de masa de un sistema compuesto . . . . . . . 23

1.5. Propiedades del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

VII

NDICE GENERAL

1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partculas - Masa reducida . . . 351.8. Momento lineal y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9. Momento angular y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.10.Energa y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.10.1. Energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.10.2. Energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.10.3. Conservacin de la energa mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.11.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2 Definiciones y principios bsicos 67

2.1. El espacio y el tiempo en Mecnica Clsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3. Tipos de ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.1. Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.2. Por modo de activacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.4. Clasificacin de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.1. Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Bilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.4.2. Si dependen explcita o implcitamente del tiempo . . . . . . . . . . 80Ligaduras renomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Ligaduras esclernomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4.3. Si son o no una relacin bilateral algebraica entre las coordenadas 82Ligaduras Holnomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Ligaduras No-Holnomas y Semi-Holnomas . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.5.1. Ligaduras lisas o ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.5.2. Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.6. Dificultades introducidas por las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.7. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.7.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.7.2. Tipos de Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.7.3. Ecuaciones de transformacin entre las coordenadas ordinarias y

las coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.7.4. Espacio de Configuracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.8. Algunas magnitudes fsicas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . 116

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NDICE GENERAL

2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.8.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.8.3. Aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.8.4. Trabajo Mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.8.5. Energa Cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.9. Forma general en coordenadas generalizadas de las ligaduras holno-mas, no-holnomas y semi-holnomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.9.1. Ligaduras holnomas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . 1222.9.2. Ligaduras no-holnomas y semi-holnomas en coordenadas gene-

ralizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.10.Un mtodo para determinar si una ligadura en forma de diferencial o de

velocidad es holnoma o no-holnoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.11.Ejemplos de determinacin de coordenadas generalizadas para algunos

sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.12.Desplazamiento real y virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.12.1. Desplazamiento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422.12.2. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Clasificacin de los desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . 155

2.13.Trabajo real y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552.13.1. Trabajo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552.13.2. Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

2.14.Algunos principios mecnicos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.14.1. Principio de los Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.14.2. Principio de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692.14.3. Principio de Ostrogradski-Hamilton o de Accin Estacionaria . . . . 177

2.15.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3 Clculo variacional con fronteras fijas 193

3.1. Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.1.1. Definicin de Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.1.2. Variacin de una funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

3.2. Planteamiento del problema variacional a estudiar . . . . . . . . . . . . . . 2003.3. Funcin vecina y variacin admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.4. Clculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3.4.1. Para una variable dependiente Ecuacin de Euler . . . . . . . . 2063.4.2. Segunda forma y forma integrada de la Ecuacin de Euler . . . . . 212

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NDICE GENERAL

3.4.3. Para mltiples variables dependientes Ecuaciones de Euler - La-grange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

3.5. Clculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2253.5.1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Forma implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Forma explcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

3.5.2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 2483.5.3. Restricciones del tipo Dl =

nPj=1

Alj [yi (x) ; x] y0j (x) +Bl [yi (x) ; x] = 0 . . 252

3.5.4. Restricciones del tipo isoperimtricoR x2x1gl [yi (x) ; y

0i (x) ; x] dx = %l . . 265

3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

4 Transformada de Legendre 293

4.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2944.2. Convexidad y concavidad de funciones y propiedades . . . . . . . . . . . 297

4.2.1. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974.2.2. Funciones cncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2994.2.3. Determinacin de la convexidad y la concavidad de una funcin 300

En caso de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301En caso de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . 305

4.2.4. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3104.3. Transformada de Legendre para una variable independiente . . . . . . . 3114.4. Transformada de Legendre para ms de una variable independiente . . 3164.5. Variables activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3194.6. Algunas propiedades matemticas de la transformada de Legendre . . . 325

4.6.1. La inversa de la transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 3254.6.2. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3294.6.3. Simetras y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

II Mecnica de Lagrange y Hamilton 335

5 Mecnica Lagrangiana 337

5.1. Ecuaciones de Lagrange obtenidas partiendo del Principio de DAlembert 3385.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3415.1.2. Para sistemas con ligaduras holnomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: X

NDICE GENERAL

Cuando las ligaduras se usan en forma implcita . . . . . . . . . . . . 343

Cuando las ligaduras se usan en forma explcita . . . . . . . . . . . . 344

5.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holnomas y semi-holnomas . . . 349

5.2. Ecuaciones de Lagrange obtenidas a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

5.2.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

5.2.2. Para sistemas con ligaduras holnomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Cuando las ligaduras se usan en forma implcita . . . . . . . . . . . . 357

Cuando las ligaduras se usan en forma explcita . . . . . . . . . . . . 357

5.2.3. Para sistemas con ligaduras no-holnomas y semi-holnomas . . . 358

5.3. Condicin de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . 360

5.4. Ejemplos de aplicacin de las Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . 362

5.4.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holnomas usadas en formaimplcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

5.4.2. Sistemas con ligaduras holnomas usadas en forma explcita . . . . 395

5.4.3. Sistemas con ligaduras no-holnomas y semi-holnomas . . . . . . . 419

5.5. Propiedades del Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

5.5.1. Invariancia bajo una transformacin de Gauge . . . . . . . . . . . . 437

5.5.2. Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

5.5.3. Invariancia bajo una transformacin de coordenadas . . . . . . . . 441

5.6. Coordenadas cclicas - Momentos Generalizados y su conservacin . . . 442

5.6.1. Coordenadas cclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

5.6.2. Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

5.6.3. Conservacin de los Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . 444

5.7. Integrales Primeras de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

5.8. Integrales Primeras de Movimiento para un sistema cerrado . . . . . . . . . 447

5.9. Teoremas de conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

5.9.1. Conservacin de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

5.9.2. Conservacin del momento lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . 451

Conservacin del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

Conservacin del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

5.10.Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

5.10.1. Forma simplificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

5.10.2. Forma ms general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

5.11.Mecnica Lagrangiana vs la Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

5.12.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: XI

NDICE GENERAL

6 Mecnica Hamiltoniana 483

6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4856.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4866.1.2. Para sistemas con ligaduras holnomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

Cuando las ligaduras se usan en forma implcita . . . . . . . . . . . . 489Cuando las ligaduras se usan en forma explcita . . . . . . . . . . . . 490

6.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holnomas y semi-holnomas . . . 4926.2. Construccin de un Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

6.2.1. Pasos para construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos yno conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

6.2.2. Construccin de un Hamiltoniano para un sistema natural . . . . . . 4976.2.3. Forma prctica de construir un Hamiltoniano para sistemas conser-

vativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4986.3. Ejemplos de aplicacin de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . 500

6.3.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holnomas usadas en formaimplcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

6.3.2. Sistemas con ligaduras holnomas usadas en forma explcita . . . . 5296.3.3. Sistemas con ligaduras no-holnomas y semi-holnomas . . . . . . . 545

6.4. Ecuaciones de Hamilton a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton . . 5576.5. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5586.6. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5676.7. Forma simplctica de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 5766.8. El Mtodo de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5796.9. Dinmica Lagrangiana vs Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5836.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

7 Transformaciones cannicas 591

7.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5917.2. Ecuaciones de transformacin cannicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

7.2.1. Caso 1: Funcin generatriz F1 = F1 (qi; eqi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 5947.2.2. Caso 2: Funcin generatriz F2 = F2 (qi; epi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 5957.2.3. Caso 3: Funcin generatriz F3 = F3 (pi; eqi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 5967.2.4. Caso 4: Funcin generatriz F4 = F4 (pi; epi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 597

7.3. Invariante integral universal de Poincar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6067.4. Corchetes de Lagrange y Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

7.4.1. Corchetes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: XII

NDICE GENERAL

7.4.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . 617

7.5. Transformaciones cannicas infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

7.6. Forma simplctica de las transformaciones cannicas . . . . . . . . . . . . 622

7.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

8 Teora de Hamilton-Jacobi 627

8.1. Ecuacin de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

8.2. Solucin completa de la ecuacin de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . 631

8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . 632

8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coorde-nada cclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas nocclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

8.3. Ejemplos de aplicacin de la ecuacin de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . 635

8.4. Variables accin-ngulo en sistemas con un grado de libertad . . . . . . . 635

8.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

A Teorema de Steiner 637

B Teorema de Euler 639

C Funciones montonas y continuidad 641

D Lema fundamental del clculo de variaciones 643

E Propiedades de los determinantes 645

F Identidad de Jacobi 649

F.1. Por transformaciones cannicas infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

F.2. Por clculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: XIII

NDICE GENERAL

Bibliografa 653

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: XIV

NDICE DE FIGURAS

1.1. Frontera de un sitema de partculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Tipos de fuerzas en un sistema de partculas. Aqu !r i y !r j son los vectores

de posicin de la i-sima y j-sima partcula respectivamente,!F(int)ij es la

fuerza ejercida por la j-sima partcula sobre i-sima,!F(int)ji es la fuerza

ejercida por la i-sima partcula sobre j-sima y las!F (ext) representan

fuerzas externas ejercidas sobre el sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. (a) Sistema S con tres partculas de masas m1, m2 y m3. (a) Sistema S 0 con

dos partculas de masas m2 y m3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2, donde m1 se desplaza

sobre la superficie de m2 y ste ltimo sobre una superficie lisa S. Hayfriccin entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloquem1. (c) Fuerzas sobreel bloque m2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Forma fuerte de la tercera ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Fuerzas interaccin electromagntica de entre dos partculas cargadas

qi y qj en movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. Posicin

!RCG del centro de gravedad de un sistema de partculas. Aqu

M =Pmi y M!g es el peso !w total del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8. Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamao no despre-ciable respecto al de la misma, en el cual se han representado varios dmy a los cuales se les han representado las !g en sus respectivas posiciones. 16

1.9. Posicin del centro de masa de un sistema de N partculas. . . . . . . . . . 171.10.Sistema discreto formado por tres partculas situadas en los vrtices de un

tringulo rectngulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11.Distribucin de mareria continua de masa m y densidad . . . . . . . . . . 19

XV

NDICE DE FIGURAS

1.12.Aro semicircular homogneo de radio a y densidad lineal . . . . . . . . . 201.13.Posicin del centro de masa de un cascarn hemisfrico homogneo, de

densidad y de radio R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.14.Cono slido homogneo de altura h y base de radio a . . . . . . . . . . . . 221.15.Sistema S discreto de N partculas subdividido (por completo) en s subsis-

temas S1,S2,S3,...,Ss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.16.Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisfrica y

un hemisferio slido homogneo acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.17.Centro de masa de una lmina cuadrada homognea de densidad y

lado c con orificio semicircular de radio R < c2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.18.Dos partculas de masas iguales que se deslizan sobre correderas lisas enngulo recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.19.Sistema aislado de dos partculas interactuantes de masas m1 y m2. . . . 351.20.Vector de posicin !r 0i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.21.Aro homogneo, de radio a, que rueda sobre una superficie lisa con fre-

cuencia angular constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.22.Vector de posicin !r ij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.23.Problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.24.Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.25.Problema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.26.Problema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.27.Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.28.Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.29.Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.30.Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.31.Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.32.Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.33.Problema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.34.Problema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.35.Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.36.Problema 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.37.Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.38.Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.39.Problema 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.40.Problema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.41.Problema 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.42.Problema 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: XVI

NDICE DE FIGURAS

1.43.Problema 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.44.Problema 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.45.Problema 38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1. Pndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2. Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie inclinada. . . . 73

2.3. Cuerpo rgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4. Dos masas m1 y m2 unidas por una barra rgida de longitud `. . . . . . . . . 74

2.5. Sistema donde una canica con un orificio se desliza a travs de un alam-bre rgido y curvo (que pasa a travs de su orificio). . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6. Movimientos posibles de un pndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.7. Movimientos posibles de un pndulo elstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.8. Masa puntual m en un punto de equilibrio inestable como la cima de unamontaa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.9. Molculas de gas encerradas en una esfera de radio R. . . . . . . . . . . . 79

2.10.Partcula que se desliza sobre la superficie de una esfera de radio R. . . . 79

2.11.Una partcula de masa m que se mueve en un aro cuyo radio cambiacon el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.12.Partcula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ngulo de incli-nacin vara con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.13.Partcula de masa m obligada a moverse sobre una superficie S (x; y; z) = 0. 85

2.14.Una partcula de masa m movindose sobre una mesa. . . . . . . . . . . . 86

2.15.Partcula de masa m obligada a moverse sobre una curva. . . . . . . . . . 87

2.16.Partcula de masa m movindose sobre una recta. . . . . . . . . . . . . . . 87

2.17.(a) Cuerpo rgido plano en su propio plano. (b) Cuerpo rgido en el espacio. 89

2.18.Cuerpo rgido plano, en el plano que lo contiene. . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.19.Los 3 grados de libertad de un cuerpo rgido plano, en el plano que locontiene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.20.Cuerpo rgido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo. . . . 91

2.21.El nico grado de libertad de un cuerpo rgido plano, en el plano que locontiene, con un punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.22.Dos cuerpos rgidos planos, en el mismo plano que los contiene, con unpunto comn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.23.Los 4 grados de libertad de dos cuerpos rgidos planos, en el mismo planoque los contiene, con un punto comn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.24.Cuerpo rgido en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: XVII

NDICE DE FIGURAS

2.25.(a) Movimiento de un disco homogneo de masa M rodando sin res-balar sobre el plano xy. (b) Proyeccin del movimiento sobre el planoxy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentesR

Sen ;R

Cos

sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.26.Partcula de masam obligada a moverse en el interior de un paraleleppe-do de dimensiones d1, d2 y d3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.27.Movimiento de un disco slido homogneo de masa M y radio R que sedesplaza sin resbalar sobre un plano inclinado un ngulo . . . . . . . . . . 103

2.28.Dos masas m1 y m2 acopladas por un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.29.(a) Ligadura lisa y (b).ligadura rugosa Para el movimiento permitido por

la ligadura (deslizamiento horizontal) la reaccin lisa no realiza trabajo,mientras que en el caso rugoso s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.30.El historial temporal de un sistema es representado mediante una curvaen el espacio de configuracin. Se muestran cuatro posibles. . . . . . . . . 115

2.31.Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un hilo de masa despreciabley de longitud constante `. La masa m1 se mueve a lo largo del eje x conuna velocidad constante !v impuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.32.Pndulo doble formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas entres por una cuerda de masa despreciable y de longitud constante `2, es-tando m1 a su vez unida a un punto fijo O por medio de otra cuerda demasa despreciable y longitud `1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2.33.Sistema formado por dos partculas de masas m1 y m2, unidas por unabarra rgida de masa despreciable y de longitud constante `. . . . . . . . 138

2.34.Sistema formado por una varilla lisa en la cuale est ensartada una cuen-ta de masa m. La cuenta realiza un movimiento pre-establecido. . . . . . 141

2.35.(a) Desplazamiento real d!r en presencia de una ligadura renoma (b)Desplazamiento virtual !r , la ligadura se ha dejado ongelada.en el tiem-po. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.36.Desplazamiento real d!r y desplazamiento virtual !r . . . . . . . . . . . . . 1442.37.Espacio de fase unidimensional. Coordenada real q (t) y la coordenada

desplazada virtualmente q (t) + q (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452.38.Partcula de masa m que se mueve sobre una esfera lisa sin separarse de

su superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.39.Anillo que se desplaza sobre un alambre liso en forma deparbola que

rota con ! constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.40.Dos partculas de masas m1 y m2 unidas por una barra telescpica de

longitud ` = ` (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: XVIII

NDICE DE FIGURAS

2.41.Pndulo en equilibrio esttico. (a) Diagrama de cuerpo libre. (b) Diagra-ma con fuerzas y desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2.42.Partcula movindose dentro de un cilindro con trayectoria helicoidal. . . 1602.43.Palanca horizontal en equilibrio esttico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.44.(a) Sistema de partculas equivalente al sistema dado. (b) Vectores de

posicin y desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1642.45.Mecanismo de barras homogneas en equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . 1662.46.Centros de masa de los componentes del sistema, sus vectores de posi-

cin, los correspondientes desplazamientos virtuales y las fuerzas involu-cradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2.47.Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a travsde una polea de dimetro despreciable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2.48.Dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a travs de unapolea y donde una de las masas se desliza sobre un plano inclinado. . . . 173

2.49.Problema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.50.Problema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.51.Problemas 3 y 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812.52.Problemas 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822.53.Problema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822.54.Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832.55.Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1842.56.Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1842.57.Problema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852.58.Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862.59.Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862.60.Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872.61.Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882.62.Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892.63.Problema 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902.64.Problema 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912.65.Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912.66.Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.1. Superficie de revolucin generada por una curva y = y (x). . . . . . . . . . 1963.2. Camino real y camino variado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973.3. La funcin y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un val-

or extremal. Las funciones y (; x) = y (x) + (x) = y (x) + y (x) son lasfunciones vecinas, donde (x) se anula en las fronteras del intervalo [x1; x2].202

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NDICE DE FIGURAS

3.4. Funcin y (x) = 3x entre los lmites de x = 0 y x = 2 y dos de sus variacionesy (; x) = 3x+ [Sen (x) Cos (x) + 1] (Ejemplo 3.1). . . . . . . . . . . . . . . . 203

3.5. Funcin y (x) = x2 entre los lmites de x = 1 y x = 1 y dos de sus varia-ciones y (; x) = x2 + (x3 x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3.6. Superficie de revolucin generada por una curva que une a los puntos(x1; y1).y (x1; y1), hacindola trasladarse entrono al eje y. . . . . . . . . . . . 211

3.7. Partcula de masam que se desplaza sobre una rampa lisa desde el puntoP1 hasta el punto P2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

3.8. Planteamiento grfico del problema de la braquistcrona. . . . . . . . . . 2153.9. Camino resultante para que la partcula se mueva desde (x1; y1) = (0; 0)

hasta (x2; y2) = (d;h) en el menor tiempo posible. . . . . . . . . . . . . . . 2173.10.Pelcula de jabn entre dos anillos concntricos de radio a y separados

por una distancia 2d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183.11.Geodsicas sobre una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.12.Distancia ms corta entre dos puntos del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . 2333.13.Geodsicas en un cilindro circular recto de radio R. . . . . . . . . . . . . . 2353.14.Funcin y (x) cuya rea por ella encerrada ha de maximizarse. . . . . . . 2703.15.Cuerda de longitud ` colocada entre las orillas de un ro de ancho 2a. . . 2723.16.Problema 70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

4.1. (a) Representacin de la relacin fundamental F = F (u). (b) Repre-sentacin de una familia de relaciones fundamentales F = F (v). . . . . . 295

4.2. Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolventede una familia de lneas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

4.3. (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo. . . . . . . . . . . . . . 2974.4. Funcin F (u) convexa en el intervalo [ua; ub]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2984.5. El epigrafo de una funcin de valor real es la zona "sobre"la curva. . . . . 2984.6. Funcin F (u) cncava en el intervalo [ua; ub]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2994.7. Grfica de la fincin F (u) = Cos (u). En el dominio

2; 32

es una funcin

estrictamente convexa y en el dominio32; 52

es una funcin estricta-

mente cncava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004.8. Representacin grfica de la desigualdad (4.8) que expresa la condicin

de convexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.9. Grfica de la funcin F (u) = 1

upara u > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

4.10.Grfica de la funcin F (u) = eu para 6 0 y u > 0. . . . . . . . . . . . . . 3044.11.Grfica de la funcin F (u) = au2 + bu+ c con a < 0 y u variable real. . . . . 3044.12.Grfica de la funcin F (u) = eu + u con > 0 y u variable real. . . . . . . 3054.13.Grfica de la funcin F (u1; u2) = u21 + u

22 2u1u2. . . . . . . . . . . . . . . . . 307

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NDICE DE FIGURAS

4.14.Grfica de la funcin F (u1; u2) = u41 + u22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

4.15.Grfica de la funcin F (u1; u2) = u41 + u22 4u1u2. . . . . . . . . . . . . . . . . 309

4.16.Grfica de la funcin F (u1; u2) = lnu1 + lnu2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3104.17.(a) Grfica de una funcin convexa F = F (u). (b) Grfica de su tangente

v = v (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3124.18.Obtencin geomtrica de la transformada de Legendre para una relacin

fundamental de una variable F = F (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5.1. Partcula de masa m que se desplaza hacia abajo en un plano inclinadoun ngulo con respecto a la horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

5.2. Partcula de masa m inmersa en un campo de fuerza conservativo. . . . . 3665.3. La mquina simple de Atwood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3705.4. Anillo de masa m que se desliza por un alambre, de masa despreciable,

que gira uniformemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3725.5. Movimieno de un proyectil de masa m bajo la accin de la gravedad en

dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3745.6. Partcula de masa m que est obligada a moverse sobre la superficie

interna de un cono liso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3785.7. Dos partculas de masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de

elasticidad k1, k2 y k3 a dos soportes fijos que est a una distancia D entre s.3805.8. Coordenadas generalizadas del sistema formado por dos masas m1 y m2

unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1, k2 y k3 a dos so-portes fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

5.9. Pndulo simple colocado dentro de un vagn que se mueve con unaaceleracin constante a en la direccin +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

5.10.Coordenadas Cartesianas para el pdulo simple de la figura 5.9. . . . . . 3835.11.Cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa

despreciable, que tiene la forma de la parbola z = cr2. . . . . . . . . . . . 3875.12.Mquina de Atwood doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3895.13.Disco slido de centro O0 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la

superficie semicircular fija con centro O y radio R2 > R1. . . . . . . . . . . . 3925.14.Coordenadas del centro de masa del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3935.15.Disco de masa M y radio R rueda, sin resbalar, hacia abajo en un plano

inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4025.16.Detalles para encontrar las ecuaciones de ligadura f (h)4 y f

(h)5 para el sis-

tema mostrado en la figura 5.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4035.17.Partcula de masam que comienza a moverse desde el reposo, partiendo

de la parte ms alta de un hemisferio fijo y liso. . . . . . . . . . . . . . . . . 413

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2013. Pg.: XXI

NDICE DE FIGURAS

5.18.Partcula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado mvil. . . . . 4165.19.(a) Movimiento de un disco homogneo de masa M rodando sin res-

balar sobre el plano xy. (b) Proyeccin del movimiento sobre el planoxy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentesR

Sen ;R

Cos

sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 422

5.20.Carrito rectangular homogneo de masa M inmerso en un campo elc-trico uniforme

!E dirigido a lo largo del eje x. Las ruedas no resbalan, as la

fuerza de friccin esttica entre ellas y la superficie proporcionan fuerzas!F a y

!F b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

5.21.!F 1,!F 2 y

!F Q son las fuerzas elctricas ejercidas por el campo elctrico

!E

sobre las cargas q1, q1 y Q respectivamente. La fuerza de friccin estticaentrelas ruedas y la superficie proporcionan fuerzas

!F a y

!F b . . . . . . . . 434

5.22.Cambio del vector de posicin debido una traslacin del sistema. . . . . 4535.23.Variacin del vector de posicin al rotar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

6.1. Partcula de masa m obligada a moverse sobre la superficie del cilindrox2 + y2 = R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

6.2. Pndulo esfrico de masa pendular m y longitud b. . . . . . . . . . . . . . . 5176.3. Coordenadas esfricas de la masa pendular m en un pdulo esfrico. . . 5186.4. Partcula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a una

fuerza Kx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5206.5. Partcula de masa m que se mueve en un plano, inmersa en un campo

con energa potencial U = U (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5236.6. Pndulo simple de masa pendular m y longitud `. . . . . . . . . . . . . . . . 5266.7. Coordenadas Cartesianas y cilndricas para la masa pendular m del pn-

dulo mostrado en la figura 6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5276.8. Trayectoria de fase en un espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5586.9. Diagrama de fase para la partcula de masa m obligada a moverse sobre

la superficie de un cilindro, mostrada en la figura (6.1). . . . . . . . . . . . . 5606.10.Diagrama de fase para la mquina simple de Atwood de la figura 5.3. . . 5616.11.Partcula de masa m que se desliza bajo la accin de la gravedad y sin

friccin sobre un alambre que tiene forma de parbola y = x2

2. . . . . . . . 561

6.12.Diagrama de fase para el sistema mostrado en la figura (6.11). . . . . . . . 5636.13.Diagrama de fase para el pndulo de la figura 6.2 con

' = ! = constante.

La figura 6.13(a) es para !

pg=`. . . . . . . 565

6.14.Diagrama de fase para el pndulo simple de la figura (6.6). . . . . . . . . . 5676.15.Evolucin de una regin en el espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . 569

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NDICE DE FIGURAS

6.16.Proyeccin del elemento de volumen sobre el plano qipi. . . . . . . . . . . 5716.17.Diagrama de fase para un conjunto de partculas de masammovindose

inmersas en un campo gravitacional constante. . . . . . . . . . . . . . . . . 5756.18.Partcula de masa m que se mueve en un plano bajo la influencia de una

fuerza F (r) que se deriva del potencial U (r) = Crn

. . . . . . . . . . . . . . . 581

D.1. Funcin arbitraria (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

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Parte I

Fundamentos fsicos y matemticosbsicos para estudiar Mecnica de

Lagrange y Hamilton

1

CAPTULO 1

Dinmica de un sistema de partculas

Contents1.1. Sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Clasicacin de los sistemas de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Fuerzas en un sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2. Aplicadas y de reaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1. Posicin del centro de masa de un sistema discreto . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2. Posicin del centro de masa de un sistema continuo . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3. Posicin del centro de masa de un sistema compuesto . . . . . . . . . . 23

1.5. Propiedades del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partculas - Masa reducida 35

1.8. Momento lineal y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.9. Momento angular y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10. Energa y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.10.1. Energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

CAPTULO 1. DINMICA DE UN SISTEMA DE PARTCULAS

1.10.2. Energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.10.3. Conservacin de la energa mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.1. Sistema de partculas

Los cuerpos que se observan a simple vista estn formados por un gran nmerode partculas, macroscpicas, atmicas o subatmicas. Slo en ciertos casos es vli-da la simplificacin que supone el modelo de la masa puntual. En otros casos, por elcontrario, ser necesario considerar el sistema como si estuviese formado por variaspartculas.

Se llama Sistema de Partculas, Sistema Mecnico o Sistema Dinmico aun conjunto de varias partculas, de nmero finito o infinito, de las cuales sequiere estudiar su movimiento.

Por otro lado,

Se llama Configuracin de un Sistema a la posicin de cada una de suspartculas en un instante dado.

Para definir la configuracin se necesita un determinado nmero de parmetrossegn el sistema de que se trate. Por ejemplo, una partcula libre precisa de tres pa-rmetros (x; y; z) son sus coordenadas Cartesianas. Un sistema de N partculas libresqueda definido por 3N parmetros. Sin embargo, si existen ligaduras (detalles en elcaptulo 2) que restrinjan el movimiento, el nmero de parmetros preciso para definirla configuracin podra ser menor.

Todo sistema est definido por su frontera,

Se llama Frontera del Sistema (ver figura 1.1) a la envoltura imaginariaque lo encierra y separa de su entorno o exterior.

En el exterior o entorno del sistema pueden existir agentes que ejerzan influenciasobre el mismo como: campos gravitacionales o elctricos originados por otro sistema

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1.2. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE PARTCULAS

Figura (1.1): Frontera de un sitema de partculas.

de partculas, sistemas de partculas en contacto l, etc. Puede pensarse que la fron-tera de un sistema de partculas tiene propiedades especiales que sirven para: (a)aislar el sistema de su entorno o para (b) permitir la interaccin de un modo especficoentre el sistema y su entorno.

Debe quedar claro que el espesor de la frontera es matemticamentecero por lo que no puede contener materia ni ocupar algn lugar en elespacio.

El valor de alguna variable fsica del sistema medida exactamente sobre su fronteradebe ser igual tanto para el interior como para el exterior, ya que el sistema y el entornoestn en contacto en ese punto.

1.2. Clasificacin de los sistemas de partculas

Un sistema de partculas puede ser clasificado como:

1.2.1. Discreto

Este modelo considera el cuerpo formado por un nmero finito de partculasque estn localizadas. En un sistema discreto la masa total del sistema se obtienesumando las masas de todas las partculas que lo forman.

Dentro de este modelo se consideran:



Sistemas indeformables

Son los sistemas en los que la distancia relativa entre las partculas que lo constituyenpermanece inalterable en el tiempo.

Sistemas deformables

Son los sistemas en los que puede cambiar la distancia relativa entre las partculasque lo constituyen.

1.2.2. Continuo

Este modelo considera el cuerpo formado por una distribucin continua demateria, es decir, por un nmero infinito de partculas. Las partculas que lo forman nose pueden delimitar, llenando todo el espacio que ocupa.

Al igual que en el caso discreto, dentro de este modelo se consideran:

Sistemas indeformables

Son los sistemas que no sufren deformaciones por efecto de fuerzas externas, es de-cir, son sistemas de partculas contnuos cuyas posiciones relativas no cambian. A estossitemas se les da el nombre de Cuerpo Rgido. Un cuerpo rgido es una idealizacin yaque, en la naturaleza, todos los cuerpos se deforman en mayor o menor grado bajo laaccin de una fuerza externa. Sin embargo, en muchos casos la deformacin puedeser tan pequea que para fines prcticos se puede suponer que no existe. Para el es-tudio del comportamiento de estos sistemas existe la denominada Mecnica de losCuerpos Rgidos.

Sistemas deformables

Son los sistemas que sufren deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir,son sistemas de partculas contnuos cuyas posiciones relativas internas cambian.

En muchos casos prcticos un sistema discreto que tenga un gran nmero, pero fini-to, de partculas puede tratarse como un sistema continuo. Inversamente, un sistemacontinuo puede tratarse como un sistema discreto con un gran nmero, pero finito, departculas.


1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTCULAS

1.3. Fuerzas en un sistema de partculas

En un sistema de partculas estn involucradas fuerzas que son ejercidas sobrelas partculas que lo constituyen y que son las causantes de la variacin de la can-tidad movimiento lineal o momento lineal !p de las mismas. A estas fuerzas resultaconveniente clasificarlas ya que las partculas del sistema no slo estn interaccionan-do entre s, sino con otras partculas que no pertenecen al mismo sistema. Es posibleclasificarlas atendiendo a varios criterios (ver figura 1.2):

Figura (1.2): Tipos de fuerzas en un sistema de partculas. Aqu !r i y !r j son los vectores de posicin de lai-sima y j-sima partcula respectivamente,

!F(int)ij es la fuerza ejercida por la j-sima partcula sobre

i-sima,!F(int)ji es la fuerza ejercida por la i-sima partcula sobre j-sima y las

!F (ext) representan fuerzas

externas ejercidas sobre el sistema.

1.3.1. Externas e internas

Fuerzas externas

Las Fuerzas Externas son aquellas ejercidas por agentes externos al sis-tema, es decir, son las que estn aplicadas a partculas del sistema porpartculas, distribuciones de materia u otros agentes que no pertenecen almismo sistema.



Las fuerzas externas son las responsables del comportamiento externo del sistema yson las nicas que modifican su momento lineal !p , influyendo sobre una o ms partesdel mismo o sobre su totalidad. Estas fuerzas pueden ser los pesos de las partculas delsistema, reacciones causadas por las superficies en contacto con las mismas, fuerzasejercidas externamente mediante cuerdas, etc.

En este texto sern denotadas por:!F (ext) cuando se trate de la fuerza externa total

o resultante sobre el sistema y por!F(ext)i cuando se trate de la fuerza externa total

sobre la i-sima partcula a menos que, para casos particulares, sea indicada otranotacin.

A un sistema de partculas sobre el cual no se aplican fuerzas externas sele denomina Sistema Aislado o Sistema Cerrado. Es decir, es un sistema queno interacciona con otros agentes fsicos situados fuera de l y, por tanto, noest conectado en forma causal ni en correlacin con nada externo a l.

Particulamente, un sistema inercial aislado es aqul en el que son vlidas las tresLeyes de Newton y tiene las siguientes caractersticas:

1. La evolucin del sistema es independiente del origen de la coordenada temporal,es decir, el tiempo es homogneo.

2. La evolucin del sistema es idenpendiente del origen de coordenadas del sistemainercial, es decir el espacio es homogneo.

3. La evolucin del sistema es independiente de la direccin de los ejes de sistema decoordenadas escogido, es decir, el espacio es istropo.

Fuerzas internas

Las fuerzas internas son aquellas ejercidas entre las partculas que cons-tituyen al sistema, es decir, son las que estn aplicadas a partculas del sis-tema debidas a otras partculas del mismo sistema.

Las fuerzas internas son las que determinan el grado de rigidez o cohesin de undeterminado sistema y no influyen en su comportamiento externo. Estas pueden ser lasfuerzas de atraccin gravitacional entre las partculas del sistema, la fuerza elctrica silas partculas tienen cargas elctricas, fuerzas de contacto entre las partculas, etc.



Figura (1.3): (a) Sistema S con tres partculas de masas m1, m2 y m3. (a) Sistema S0 con dos partculas demasas m2 y m3.

En este texto sern denotadas por:!F (int) cuando se trate de la fuerza interna total

o resultante en el sistema y por!F(int)i cuando se trate de la fuerza interna total sobre la

i-sima partcula, a menos que, para casos particulares, sea indicada otra notacin.

Como ejemplo para ilustrar los conceptos de fuerza externa y fuerza interna, consid-rense los sistemas mostrados en la figura 1.3. En la figura 1.3(a) se muestra un sistemaS con tres partculas de masas m1, m2 y m3 posicionadas con respecto al origen O delreferencial mostrado mediante los vectores de posicin !r 1, !r 2 y !r 3 respectivamente.Sobre estas partculas actuan las siguientes fuerzas:

Fuerzas sobre m1

8>:!F 1 fuerza ejercida sobre m1 por un agente externo.!F 12 fuerza ejercida sobre m1 por m2.!F 13 fuerza ejercida sobre m1 por m3.

Fuerzas sobre m2


Fuerzas sobre m2


En este sistema las fuerzas!F 12,

!F 13,

!F 21,

!F 23,

!F 31 y

!F 32 son internas y, como se

puede ver, representan las fuerzas de interaccin mutua entre las tres partculas. Las



fuerzas!F 1,!F 2 y

!F 3 son externas que representan la interaccin del sistema con un

agente externo al mismo.

Figura (1.4): (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2, donde m1 se desplaza sobre la superficie dem2 y ste ltimo sobre una superficie lisa S. Hay friccin entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloquem1. (c) Fuerzas sobre el bloque m2.

Por otro lado, en la figura 1.3(b) se muestra el mismo sistema de tres partculas perodonde se ha escogido como objeto de estudio al sistema S 0 formado por las partculasde masas m2 y m3. En este caso, las fuerzas

!F 23 y

!F 32 son internas y las fuerzas

!F 2,!F 3,!

F 21 y!F 31 son externas (estas dos ltimas eran internas para S). Las

!F 1,!F 12 y

!F 13, que

en S pertenecan al sistema, ahora nada tienen que ver con S 0 ya que no ejercenninguna influencia sobre l.

Otro ejemplo es el mostrado en la figura 1.4. En la figura 1.4(a) se presenta un sistemaconstituido por dos bloques de masas m1 y m2 que se desplazan el uno sobre el otrohabiendo friccin. El cojunto de bloques, a la vez, se desplaza sobre una superficielisa , debido a la accin una fuerza

!F sobre el bloque de masa m2 ejercida por un

agente externo (una persona o una mquina hala al bloque). Las fuerzas involucradasson las siguientes:

Fuerzas sobre m1

8>:!w 1 peso de m1.!N 12 fuerza normal aplicada por m2 sobre m1.!F f12 fuerza de friccin aplicada por m2 sobre m1.

Fuerzas sobre m2

8>>>>>>>>>>>:

!w 2 peso de m2.!N 21 fuerza normal aplicada por m1 sobre m2.!F f21 fuerza de friccin aplicada por m1 sobre m2.!N fuerza normal ejercida por sobre m2.!F fuerza aplicada sobre m2 por un agente externo.



En este sistema, compuesto por m1 y m2, las fuerzas !w 1, !w 2,!N y

!F , son externas.

La fuerza normal!N es externa ya que es una fuerza que se ejerce sobre m2 por la

superficie , que es un agente externo al sistema. Las fuerzas!F f12,

!F f21,

!N 12 y

!N 21 son

internas porque se dan entre m1 y m2.

Por otro lado, si la frontera del sistema se define de tal forma que se tome solamenteuno de los bloques, entonces todas las fuerzas actuantes sobre l seran externas. Lafigura 1.4(b) muestra el caso en que la frotera del sistema slo considere al bloque 1y la figura 1.4(c) muestra el caso en que se considere al bloque 2. En ambos casostodas la fuerzas mostradas son externas y constituyen los denominados diagramas decuerpo libre.

A partir de la anterior discusin se deduce que cualquier fuerza puedeser externa o interna. Slo depus de definir las fronteras del sistema departculas objeto de estudio, se sabrn cules de las fuerzas presentes en-tran en cada categora.

1.3.2. Aplicadas y de reaccin

Se pueden clasificar tambin en Aplicadas y de Reaccin.

Aplicadas

A este tipo de fuerzas tambin se les denominan Fuerzas Activas.

Las fuerzas aplicadas son aquellas que actan a motus propio sobreel sistema, es decir, son las fuerzas impuestas.

De reaccin

A este tipo de fuerzas tambin se les denomina Fuerzas Reactivas o tambinFuerzas de Ligadura.

Son aquellas que actan como respuesta a un movimiento determina-do que intentan impedir y slo se dan cuando existe la tendencia a estemovimiento.



Figura (1.5): Forma fuerte de la tercera ley de Newton.

La tercera ley de Newton juega un papel muy importante en la dinmica de unsistema de partculas debido a las fuerzas internas entre las partculas que constituyenel sistema. Dos suposiciones son necesarias referentes a las fuerzas internas:

1. Las fuerzas ejercidas entre dos partculas mi y mj son iguales en magnitudy opuestas en direccin. Si se denota por

!F(int)ij la fuerza interna ejercida

sobre la i-sima partcula debido a la j-sima, entonces la llamada formadbil de la tercera ley de Newton se escribe como,

!F(int)ij =

!F(int)ji (1.1)

2. Las fuerzas ejercidas entre dos partculas mi y mj, adems de ser igualesy opuestas, deben darse sobre el segmento recta que une las posicionesde ambas partculas, es decir, si

!F(int)ij es paralela a

!r i !r j = !r ij. Estaforma ms restringida de la tercera ley de Newton, llamada tambin laforma fuerte, es mostrada en la figura 1.5. A las fuerzas que cumplen es-ta forma de la tercera ley de Newton se le denominan Fuerzas Centrales.

Se debe tener cuidado en saber cundo es aplicable cada una de las formas dela tercera ley de Newton. En verdad, muchas son las fuerzas que obedecen ambasformas de la tercera ley de Newton. Por ejemplo, las fuerza gravitacional y la fuerza


1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

electrosttica tienen esta propiedad, conservndose el momento lineal total y el mo-mento angular en estos sistemas. Sin embargo, existen algunas fuerzas que, en gener-al, no cumplen con ambas formas a la vez! y el ejemplo ms famoso lo constituye lafuerza de Lorentz que viene dada por,

!F(int)ij = qi

!v i !B ij (1.2)

que se estudia en el curso de electromagnetismo y donde !v i es la velocidad de lacarga qi y

!B ij es el campo magntico sobre la carga qi generado por el movimiento

de la carga qj. Esta fuerza, en general, slo obedece a la forma dbil de la terceraley de Newton. Para visualizar esto, considrense dos partculas cargadas qi y qj quese mueven con velocidades respectivas !v i y !v j en el plano de esta pgina, como semuestra en la figura 1.6.

Figura (1.6): Fuerzas interaccin electromagntica de entre dos partculas cargadas qi y qj en movimien-to.

Puesto que!F(int)ij es perpendicular a ambos

!v i y!B ij ( el cual puede apuntar hacia

adentro o hacia afuera del plano de esta pgina),!F(int)ij puede ser paralela a

!F(int)ji

slo cuando !v i y !v j son paralelas, lo cual no es cierto en general.

Cualquier fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos interactuantesno es central, por lo tanto no es aplicable la forma fuerte. La fuerza gravitacionalentre cuerpos en movimiento tambin depende de la velocidad, pero el efecto espequeo y difcil de detectar. El nico efecto observable es la precesin del periheliode los planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra y Marte).

1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide

En el estudio de la dinmica de sistemas de partculas es de una importantsimautilidad el concepto de Centro de Masa.



El Centro de Masa de un sistema discreto o continuo es el punto ge-omtrico que dinmicamente se comporta como si en l estuviera aplicadala resultante de las fuerzas externas al sistema.

Esto ser demostrado ms adelante en la seccin 1.6. De manera anloga, sepuede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro demasas es un sistema equivalente al original.

Por otro lado,

El Centro de Gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual lasfuerzas que ejerce la gravedad sobre los diferentes puntos materiales queconstituyen el cuerpo, producen un momento de fuerza o torque ! resul-tante nulo.

La figura 1.7 muestra una representacin de la posicin del centro de gravedadpara un sistema discreto de N partculas. El centro de gravedad no corresponde ne-cesariamente a un punto material del cuerpo. As, el centro de gravedad de unaesfera hueca homognea est situado en el centro de la esfera que no pertenece alcuerpo.

Figura (1.7): Posicin!RCG del centro de gravedad de un sistema de partculas. Aqu M =

Pmi y M!g

es el peso !w total del sistema.



La posicin!RCG del centro de gravedad para un sistema continuo puede ser en-

contrada mediante,

!RCG M!g

!r = !RCG = R !r !g (!r ) dm (1.3)En la figura 1.8 se muestra un cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra cuyo

tamao no es despreciable con respecto al de sta ltima, en el cual se han repre-sentado varios diferenciales de masa dm y a los cuales se les han representado lasintensidades del campo terrestre !g en sus respectivas posiciones. Se puede observarque !g es un vector que vara en direccin de punto a punto por estar siempre dirigi-do al centro de la Tierra adems de que podra variar tambin su magnitud. En estecaso, de (1.3), para el cuerpo de masa M resultara una posicin para su centro degravedad distinta a la posicin de su centro de masa (cuya determinacin se harms adelante). Ahora, si el tamao de este cuerpo es pequeo o despreciable conrespecto al de la Tierra ocurrira que los ngulos entre los distintos vectores !g seran tanpequeos que estos vectores podran considerarse paralelos entre s y constantes enmagnitud. En este caso, por el contrario, de (1.3) resultara una posicin para el cen-tro de gravedad igual a la posicin del centro de masa. A los efectos prcticos, estacoincidencia se cumple con precisin aceptable para todos los cuerpos que estnsobre la superficie terrestre, aun para una locomotora o un gran edificio; no sucede lomismo con objetos astronmicos como los planetas.

La posicin centro de masa!R coincide con la del centro de gravedad

!RCG cuando el cuerpo est en un campo gravitatorio uniforme, es decir,cuando el vector aceleracin de la gravedad !g (!r ) es de magnitud y di-reccin constante en todo el interior del cuerpo,

!g = vector constante

Por ltimo, queda por definir el centroide de un cuerpo geomtrico,

El Centroide o Baricentro es un punto que define el centro de un cuer-po geomtrico unidimensional, bidimensional o tridimensional, es decir, es elcentro de simetra.

Hay que hacer incapi en que el centroide o baricentro se refiere a cuerpos pura-mente geomtricos, es decir, no se refiere a cuerpos materiales ya que son cuerpos



Figura (1.8): Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamao no despreciable respecto alde la misma, en el cual se han representado varios dm y a los cuales se les han representado las !g ensus respectivas posiciones.

sin masa. Todo cuerpo material est definido por un cuerpo geomtrico que encierratoda la masa del mismo. La posicin del centro de masa de un cuerpo material coin-cide con la posicin del centroide del cuerpo geomtrico que lo define, si el primero eshomogneo. Si un cuerpo material es simtrico y homogneo, se puede hallar su cen-troide fcilmente. Por ejemplo, para el caso de una varilla o segmento homogneos,el centroide es el punto medio y para una esfera o una circunferencia homogneas,el centroide tambin se encuentra en su centro geomtrico. El caso de un tringulo seencuentra en la interseccin de las medianas1.

Por las anteriores razones y dentro de los lmites mecionados, al centro de masasuele llamrsele tambin centro de gravedad o tambin centroide.

1.4.1. Posicin del centro de masa de un sistema discreto

Para definir la posicin del centro de masa de un sistema de partculas discreto,prtase de uno formado por N partculas de masas m1;m2; :::;mN cuyos vectores deposicin son !r 1; !r 2; :::;!r N respectivamente con relacin al origen O del referencialescogido, el cual es inercial (ver figura 1.9). La masa total M del sistema vendr dadapor,

1Las medianas son las tres rectas que unen cada vrtice del tringulo con el centro del lado opuesto.



Figura (1.9): Posicin del centro de masa de un sistema de N partculas.

M =NXi=1

mi (1.4)

Ahora bien,

El Centro de Masa de un sistema de partculas se define como el puntocuyo vector de posicin

!R viene dado por,

!R =

1

M

NXi=1

mi!r i (1.5)

Como,!r i = xibex + yibey + zibez

entonces,!R =

1

M

NXi=1

mixi

!bex + 1M

NXi=1

miyi

!bey + 1M

NXi=1

mizi

!bez (1.6)de donde las componentes Cartesianas (xcm; ycm; zcm) de la posicin del centro demasa son,

xcm =1M

NPi=1

mixi ycm =1M

NPi=1

miyi zcm =1M

NPi=1

mizi (1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



EJEMPLO 1.1Sistema discreto bidimensional. Un sistema consta de tres partcu-

las de masas m1 = 2 Kg, m2 = 4 Kg y m3 = 8 Kg, localizadas en los vrtices de untringulo rectngulo como se muestra en la figura 1.10. Encuntrese la posicin delcentro de masa del sistema respecto al referencial dado.

Figura (1.10): Sistema discreto formado por tres partculas situadas en los vrtices de un tringulo rectn-gulo.

SOLUCION: la masa del sistema, al usar (1.4), viene dada por,

M =3Xi=1

mi = m1 +m2 +m3 = 2Kg + 4Kg + 8Kg = 14Kg (1.8)

Ahora, al usar (1.7),

xcm =1

M

3Xi=1

mixi =1

M(m1x1 +m2x2 +m3x3)

=1

14Kg[(2Kg) (b+ d) + (4Kg) (b) + (8Kg) (b+ d)] =

5

7d+ b (1.9)

ycm =1

M

3Xi=1

miyi =1

M(m1y1 +m2y2 +m3y3)

=1

14Kg[(2Kg) (0) + (4Kg) (0) + (8Kg) (h)] =

4

7h (1.10)

Entonces, de los resultados (1.9) y (1.10), el centro de masa est en la posicin,

!R =

5

7d+ b;

4

7h

=

5

7d+ b

bex + 47hbey (1.11)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



1.4.2. Posicin del centro de masa de un sistema continuo

Cuando se tiene una distribucin de materia continua como la representadapor la regin R mostrada en la figura 1.11, las sumatorias presentes en (1.4) y (1.5) seconvierten en integrales y la masa m en un diferencial de masa dm resultando,

!R = 1

M

RR!r dm, con M =

RR dm (1.12)

y como,!r = xbex + ybey + zbex

entonces,!R =

1

M

ZRxdmbex + 1

M

ZRydmbey + 1

M

ZRzdmbey (1.13)

de manera que las componentes Cartesianas de!R son,

Figura (1.11): Distribucin de mareria continua de masa m y densidad .

xcm =1M

RR xdm ycm =

1M

RR ydm zcm =

1M

RR zdm (1.14)

La regin R puede ser unidimensional, bidimensional o tridimensional, por lo tanto,las integrales presentes en (1.12) podrn ser simples, dobles o triples respectivamente.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 1.2Sistema continuo unidimensional. Encuntrese el centro de masa

de un aro semicircular homogneo de radio a y densidad lineal (ver figura 1.12).



Figura (1.12): Aro semicircular homogneo de radio a y densidad lineal .

SOLUCION: en coordenadas polares se tiene que el diferencial de masa viene dadopor,

dm = rd' = ad' (1.15)

por lo tanto la masa M del aro es,

M =

ZRdm =

Z 0

ad' = a (1.16)

Por la simetra mostrada en la figura y debido a que el aro es homogneo se tieneque la abscisa del centro de masa es,

xcm = 0 (1.17)

A partir de (1.14) la ordenada viene dada por,

ycm =1

M

ZRydm (1.18)

donde,y = r Sen' = a Sen' (1.19)

en coordenadas polares. Por lo tanto, al sustituir (1.15), (1.16) y (1.19) en (1.18),

ycm =

R 0a2 Sen'd'

a=a

Z 0

Sen'd' =2a

(1.20)

Por ltimo, de los resultados (1.17) y (1.20), el centro de masa del aro est en laposicin,

!R =

0;2a

=2a

bey (1.21)



Figura (1.13): Posicin del centro de masa de un cascarn hemisfrico homogneo, de densidad y deradio R.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 1.3Sistema continuo bidimensional. Calcular la posicin del centro

de masa de la placa homognea de densidad mostrada en la figura 1.13.SOLUCION: en coordenadas polares el diferencial de masa viene dado por,

dm = rdrd' (1.22)

por lo tanto su masa resulta de,

M =

ZRdm =

Z 4

4

Z RCos(2')0

rdrd' =1

8R2 (1.23)

entonces a partir de (1.14), considerando (1.22) y (1.23), la coordenada xcm del centrode masa es,

xcm =1

M

ZRxdm =

118R2

Z 4

4

Z RCos(2')0

r2Cos'drd' =128p2

105R (1.24)

donde se ha tenido presente que en coordenadas polares x = rCos'.

Por otro lado, debido a la simetra de problema es obvio que,

ycm = 0 (1.25)

entonces, de los resultados (1.24) y (1.25), el centro de masa est en la posicin,

!R =

128p2

105R; 0

!=128p2

105Rbex (1.26)



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 1.4Sistema continuo tridimensional. Encuntrese el centro de masa

de un cono slido homogneo de densidad , altura h y radio de la base a (ver figura1.14).

Figura (1.14): Cono slido homogneo de altura h y base de radio a .

SOLUCION: el diferencial de masa en coordenadas cilndricas viene dado por,

dm = rdrd'dz (1.27)

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T. Soldovieri. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton