1. Halmazok, relációk és függvények. - rendezett pár

(a,b) = { {a}, {a,b} } halmazelméleti definíció; Tulajdonság: (a,b) = (c,d) ⇔ a=c és b=d

- halmazok Descartes-szorztata A x B := {(a,b) | a∈A, b∈B}

- r a halmazok közötti reláció ha r ≠ Ø és r ⊂ A x B

- az r reláció értelmezési tartománya (Dr) Dr := {a∈A | ∃b∈B : (a,b) ∈ r} (domain)

- az r reláció értékkészlete Rr := {b∈B | ∃a∈A : (a,b) ∈ r} (range)

- függvény A ≠ Ø, B ≠ Ø. Az f ⊂ A x B relációt függvénynek nevezzük, ha ∀x∈Df esetén ∃!y∈B : (x,y) ∈ f. y = f(x). y az f fv. x helyen felvett helyettesítési értéke f: A → B ⇔ ha f ⊂ A x B és Df =A

- függvény megadása 1) f: A → B, x → x2 2) f(x) := x2 (x∈R)

- halmaz képe f: A → B, C ⊂ A; A C halmaz f által létesített képe: f[C] := {f(x∈B) | x∈C }

- halmaz ősképe f: A → B, D ⊂ B; A D halmaz f által létesített ősképe: f-1[D] := {x∈A | f(x) ∈D }

- invertálható (injektív) függvény Az f fv. invertálható (injektív) ha különböző Df-beli elemekhez, különböző Rf-beli elemeket rendel.

- függvény inverze Tfh. f: A → B injektív, azaz ∀y∈Rf –hez ∃!x∈Df : f(x) = y, akkor Rf → Df, y→x amelyre f(x) = y az f fv. inverz fv.-e. (Jele: f-1)

- bijekció f: A → B fv. az A és B közötti bijekció, ha f invertálható és Rf = B

- függvények kompozíciója (összetett függvénye) Legyen f: A → B és g: C → D és tfh. { x∈C | g(x) ∈Df } ≠ Ø. Ekkor f ° g { x∈C | g(x)∈Df } → B, x→f(g(x)) az f és g fv.-ek összetett fv.-e vagy kompozíciója. (f a külső és g a belső fv.)

2. A valós számok Dedekind-féle axiómarendszere (testaxiómák, rendezési axiómák, teljességi | vagy Dedekind-féle | axióma).

- testaxiómák: o összeadás művelete: ∃r: R x R → R

� kommutatív � asszociatív � ∃0 (nullelem): ∀x∈R : x + 0 = x � van ellentett: ∀x∈R-hez ∃x̄ : x + x̄ = 0

o szorzás művelete ∃· : R x R → R � kommutatív � asszociatív � ∃1 (≠0, egység): 1 · x = x (∀x∈R) � van reciprok: ∀x∈R\{0}-hoz ∃x*∈R: x · x* = 1

o disztributivitás (x + y) · z = x ·z + y · z (∀x,y,z∈R)

- rendezési axiómák: (≤ ⊂ R x R) o ≤ lineáris rendezés

� x ≤ x ∀x∈R (reflexív), � x ≤ y és y ≤ x ⇒ x = y (antiszimmetrikus), � x ≤ y és y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitív), � ∀x,y∈R esetén x ≤ y vagy y ≤ x (trichotóm)

o a rendezés és a műveletek kapcsolata � ∀x,y∈R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (∀z∈R) � x ≤ y ⇒ ∀0 ≤ z : x · z ≤ y · z (x,y∈R)

- teljességi (Dedekind-féle szétválasztási) axióma Ha A, B ⊂ R, A ≠ Ø, B ≠ Ø valamit ∀a∈A és ∀b∈B: a ≤ b, akkor ∃ξ∈R: a ≤ ξ ≤ b (∀a∈A, b∈B) (ξ - elválasztó elem)

- R részhalmazai (N, Z, Q) - természetes számok halmaza (N= {1, 2, 3, …})

N := IRH

H⊂

(legszűkebb induktív halmaz)

- induktív halmaz H ⊂ R, induktív halmaz, ha 1∈H; és ha x∈H ⇒ x+1∈H. R induktív halmaz. Akárhány induktív halmaz metszete is induktív halmaz.

- teljes indukció elve (BIZ!) Tfh. az A(n) (matematikai) állítás ∀n∈N-re vagy igaz, vagy hamis o ha A(1) igaz és o ha A(n) igaz ⇒ A(n+1) is igaz, akkor ⇒ ∀n∈N-re A(n) igaz. Biz. S := { n∈N |A(n) állítás igaz } ⊂ N S induktív halmaz, ui. 1∈S; és ha n∈S ⇒ n+1∈S. N a legszűkebb induktív halmaz ⇒ N ⊂ S ⇒ S = N.

3. A szuprémum elv: számhalmaz maximuma, minimuma, korlátossága, a szuprémum-elv, a szuprémum definíciója, ekvivalens átfogalmazás, a teljességi axióma ekvivalens a szuprémum elvvel, infimum.

- halmaz maximuma – maximális elem Ø ≠ H ⊂ R halmaznak, van maximuma, ha ∃α∈H: ∀x∈H-ra x ≤ α. Ekkor α a H maximális eleme, max H := α.

- halmaz minimuma – minimális elem Ø ≠ H ⊂ R halmaznak, van minimuma, ha ∃β∈H: ∀x∈H-ra β ≤ x. Ekkor β a H minimális eleme, min H := β.

- halmaz felülről korlátos Ø ≠ H ⊂ R halmaz felülről korlátos, ha ∃K∈R: x ≤ K (∀x∈H)

- halmaz alulról korlátos Ø ≠ H ⊂ R halmaz alulról korlátos, ha ∃k∈R: k ≤ x (∀x∈H)

- halmaz korlátos Ø ≠ H ⊂ R halmaz korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. H ⊂ R korlátos ⇔ ∃K>0: |x| ≤ K (∀x∈H)

- szuprémum elv (BIZ!) Legyen H ⊂ R: H ≠ Ø; és H felülről korlátos ⇒ H felső korlátai között van

legkisebb. Biz. (Teljességi axióma alapján) A := H, B := {K∈R | K felső korlátja H-nak}, tfh. A ≠ Ø és B ≠ Ø; ∀x∈H és ∀K∈B esetén x ≤ K. Ekkor ξ∈R x ≤ ξ ≤ K (∀x∈H, ∀K∈B) Erre a ξ-re: ξ felső korlát (ξ∈B) és a legkisebb. Ø ≠ H ⊂ R, H felülről korlátos. ξ = sup H ⇔ ∀x∈H x ≤ ξ; és ∀ε>0-hoz ∃x∈H: ξ-ε < x. (ξ-ε nem felső korlát)

- szuprémum Ø ≠ H ⊂ R halmazának (mi felülről is korlátos) legkisebb felső korlátját a H szuprémumának nevezzük. Jelölés: sup H := min{ K∈R | K felső korlátja H-nak }

- infimum Ha Ø ≠ H ⊂ R alulról korlátos halmaz, akkor az alsó korlátok között van legnagyobb. inf H := max{ k∈R | k alsó korlátja H-nak } infimum: legnagyobb alsó korlát. Tfh. Ø ≠ H ⊂ R, alulról korlátos halmaz. ξ = inf H ⇔ ∀x∈H ξ ≤ x; és ∀ε>0-hoz ∃x∈H: x < ξ+ε

- A teljességi axióma lényegében ekvivalens a szuprémum elvvel. - Q-ban nem igaz a teljességi axióma!

4. Az archimédeszi tulajdonság és a Cantor-tulajdonság. A gyökvonásra vonatkozó tétel. - Archimédeszi tulajdonság

∀a>0 és ∀b∈R ∃n∈N: b < n·a (a∈R) Köv. 1) ∀ε>0 ∃n∈N: 1/n < ε. 2) N felülről nem korlátos (Bármilyen számnál van nagyobb természetes szám:

∀b∈R ∃n∈N: n > b) 3) ∀ Ø ≠ K ⊂ N halmaznak ∃ minimuma.

- Cantor-tulajdonság Tfh. ∀n∈N adott [an, bn] ⊂ R (korlátos és zárt) intervallumok úgy, hogy [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] (∀n∈N). Ekkor I

Ν∈n

[an, bn] ≠ Ø, azaz minden egymásba skatulyázott korlátos és zárt

intervallum-sorozatnak van közös része. - Teljességi axióma ⇔ Archimédeszi tulajdonság + Cantor-tulajdonság - gyökvonás

Legyen n∈N rögzített ∀α≥0 ∃!ξ≥0: ξn = α. ⇒ ξ = α1/n az α n-edik gyöke.

5. A racionális és a valós számok kapcsolata. - R : rendezett test + teljességi axióma ⇔ szuprémum elv ⇔ Arkhimédeszi- és Cantor

tulajdonság - Q = {p/q | p∈Z, q∈N} - Q az R-beli műveletekkel:

o rendezett test o Q ≠ R, R\Q =: Q* (irracionális számok halmaza) Q* ≠ Ø o Q-ban a teljességi axióma nem igaz!

- sűrűségi tétel a,b∈R, a<b. 1) (a,b) ∩ Q ≠ Ø; (minden intervallum tartalmaz racionális számot, a racionális

számok sűrűn vannak az R-ben) 2) (a,b) ∩ Q* ≠ Ø

- sup H := +∞ Ha Ø ≠ H ⊂ R és felülről nem korlátos, akkor sup H := +∞.

- inf H := -∞ Ha Ø ≠ H ⊂ R és alulról nem korlátos, akkor inf H := -∞.

6. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdonságok. - valós sorozat

a: N→→→→R függvényt nevezzük valós sorozatnak. an = a(n) : a fv. helyettesítési értéke az n helyen (a sorozat n-edik tagja).

- sorozat megadása 1) an := 3n2 + n (n∈N) 2) an := n, ha n = 2, 4, 6, …; vagy

-1, ha n = 1, 3, 5, … 3) rekurzív módon:

(a) a1 := 3 an+1 := an – 2 (n∈N)

(b) a1 := 7 an+1 := 3an (n=1,2,3,…) (egylépéses rekurzió) Fibonacci – sorozat: a1 := 1, a2 := 1 an+2 := an + an+1

(kétlépéses rekurzió) - számtani sorozat

α, d = R rögzített. (α: kezdőtag, d: differencia) a1 := α, an+1 := α+(n-1)d ⇔ a1 := α, an :=an-1 + d (n=2, 3, 4, …)

- mértani sorozat α, q = R rögzített. (α: kezdőtag, q: hányados) a1 := α, an := α·qn-1 ⇔ a1 := α, an :=q·an-1 (n=2, 3, 4, …)

- harmonikus sorozat an := 1/n (n∈N)

- műveletek sorozatokkal a = (an), b = (bn): a + b := (an + bn) n·a := (n·an) (∀n∈N) a · b := (an · bn) ha bn ≠ 0 (∀n∈N), akkor a / b := (an / bn)

- sorozatok elemi tulajdonságai: o korlátosság (an): N→R;

(a) (an) felülről korlátos, ha ∃K∈R: an < K ∀n∈N). (b) (an) alulról korlátos, ha ∃k∈R: ∀n∈N k ≤ an). (c) (an) korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. (an) korlátos ⇔ ∃K∈R: ∀n∈N: |an| ≤ K

o monotonitás (an): N→R; (a) (an) monoton növekedő, ha ∀n∈N: an ≤ an+1 (↗) (b) (an) szigorúan monoton növekedő, ha ∀n∈N: an < an+1 (↑) (c) (an) monoton csökkenő, ha ∀n∈N: an ≥ an+1 (↘) (d) (an) szigorúan monoton csökkenő, ha ∀n∈N: an > an+1 (↓) (e) (an) monoton, ha (a), (b), (c) vagy (d).

- nevezetes egyenlőtlenségek: o háromszög-egyenlőtlenség: (∀a,b∈R)

1) |a + b| ≤ |a| + |b| 2) ||a| - |b|| ≤ |a – b|

o Bernoulli-egyenlőtlenség (∀h≥-1 és ∀n∈N) (1 + h)n ≥ 1 + n·h (h∈R) Biz. (Teljes indukcióval:) n=1 ⇒ (1 + h = 1 + 1·h) Tfh n-re igaz. (1 + h)n+1 = (1 + h) n (1 +h)

o számtani-mértani közép

nnaaaa ...321 ≤

n

aaaa n++++ ...321 és = ⇔ naaaa ==== ...321

pl. n=2; a,b≥0: ab ≤ 2

ba +,

(algebrai biz.) ui. 4ab ≤ a2+2ab+b2 ⇔ 0 ≤ a2-2ab+b2 = (a2-b2)

7. Konvergens és divergens sorozatok. Sorozat határértéke. - határérték

(a) an := 1/n (n∈N) ⇒ a1=1, a2=1/2, a3=1/3, … (a sorozat tagja a 0 körül sűrűsödnek)

(b) an := n

n)1(−(n∈N) ⇒ a1=-1, a2=1/2, a3=-1/3, … (a 0 körül sűrűsödnek a tagjai)

(c) an := n

1, ha (n=1,3,5,…) és

1+n

1, ha (n=2,4,6,…) ⇒ a1=1, a2=3/2, a3=1/3, a4=5/4,…

(a 0 és 1 körül sűrűsödnek a tagjai) (d) an := (-1)n (n∈N) ⇒ a1=-1, a2=1, a3=-1, a4=1,… (2 sűrűsödési hely is van.)

- az A szám ε sugarú környezete A∈R, ε>0 ⇒ (A-ε, A+ε) =: kε(A) a∈ kε(A) ⇔ |A - a|< ε

- konvergens sorozat Az (an) sorozat konvergens, ha ∃A∈R: ∀ε>0 ∃n0 (küszöbindex)∈N: ∀n>n0 an∈ kε(A) ⇔ |an - A|< ε. Ha (an) konvergens ⇒ a definícióbeli A szám egyértelműen meghatározott! Ezt a számot az (an) sorozat határértékének nevezzük. Jelölése: Aa

nn =

+∞→lim , vagy lim (an)=A, an→A (n→+∞).

Biz. Indirekt, tfh. A1 ≠ A2 –re is igaz, hogy ∃A∈R: ∀ε>0 ∃n0∈N: ∀n>n0 an∈ kε(A) (*)

ε < 2

|| 12 AA −

A1-re (*) igaz ⇒ ε-hoz ∃n1∈N: |an – A2|< ε A2-re (*) igaz ⇒ |an – A2|< ε (∀n>nn) ∀n>n0= max { n1, n2} 0 < |an – A2|= (A1 – an)+( an – A2) <

43421ε<

|a - A| n1 + 43421

ε<

|a - A| n2 < 2ε.

lim (an) = A ⇔ ∀ε>0 ∃n0∈N: ∀n>n0 |an - A|< ε. - divergens sorozat

Az (an) sorozat divergens, ha nem konvergens, azaz ∀A∈R: ∃ε>0 ∀n0∈N: ∃n>n0 an∉ kε(A) ⇔ |an - A|≥ ε.

- kitüntetett divergens sorozatok (n) n=1, 2, 3, … (-n) n=-1, -2, -3, …

- lim (an) = +∞ Az (an) sorozat határértéke +∞, ha ∀P>0 P∈R ∃n0∈N: ∀n>n0 an > P, azaz van olyan küszöbindex, hogy a sorozat minden efölötti tagja P-nél nagyobb. Jelölés: lim (an) = +∞. lim (an) = +∞ ⇔ ∀ε>0 ∃n0∈N: ∀n>n0: an∈ kε(+∞)

- lim (an) = -∞ Az (an) sorozat határértéke -∞, ha ∀P<0 P∈R ∃n0∈N: ∀n>n0 an < P, azaz van olyan küszöbindex, hogy a sorozat minden efölötti tagja P-nél kisebb. Jelölés: lim (an) = -∞.

lim (an) = -∞ ⇔ ∀ε>0 ∃n0∈N: ∀n>n0: an∈ kε(-∞) - kibővített R

__

R := R ∪ {+∞, -∞} (kibővített valós számok halmaza) Az (an) sorozatnak van határértéke, ha o (an) konvergens, vagy o lim(an) = +∞, vagy o lim(an) = -∞, azaz

∃A∈__

R ∀ε>0 ∃n0∈N: ∀n>n0: an∈ kε(A) A határérték egyértelmű!

Jelölés: lim(an) ∈__

R (van határértéke) vagy lim(an)∈R (véges a határértéke, azaz konvergens sorozat)

8. A határérték definíciójának egyszerű következményei. - Tfh. (an), (bn)-re ∃N∈N: ∀n>N: an = bn.

Ekkor (an)-nek van határértéke ⇔ (bn)-nek is van határértéke és lim(an) = lim(bn).

- A korlátosság a konvergencia egy szükséges (de nem elégséges!) feltétele. Ha (an) konvergens (azaz lim(an)∈R véges), akkor (an) korlátos. Biz. Tfh. lim(an) = A∈R ε=1-hez ∃n0∈N: ∀n>n0-ra |an – A|< 1 K := max{|a1 – A|, |a2 – A|, …, |an – A|, 1} |an| = |(an-A)+A| ≤ |an–A|+|A| = K + |A| ⇒ (an) korlátos sorozat. (∀n∈N)

- részsorozatok Legyen a=(an) egy tetszőleges sorozat és γ=(γn): N→N szigorúan mon. növő sorozat (indexsorozat). Az a o γ = (aγn) sorozatot az (an) sorozat γn indexsorozat által meghatározott részsorozatának nevezzük. Dnγ = N ⇒ valóban egy sorozat lesz. Ha az (an)-nek van határértéke ⇒ ∀(γn) indexsorozat esetén az (aγn) részsorozatnak is van határértéke és lim(an) = lim(aγn) Köv. Tfh. (an) olyan sorozat, amire ∃γ1 , γ2 indexsorozat lim(a o γ1) ≠ lim(a o γ2) ⇒ (an) sorozatnak nincs határértéke.

9. A rendezés és a limesz kapcsolata. - közrefogási elv („rendőrelv”) (BIZ!)

(an), (bn), (cn) olyan sorozatok, amikre ∃N∈N: ∀n>N –re an ≤ bn ≤ cn.

Tfh. ∃lim(an) = lim(cn) = A∈__

R . Ekkor ∃lim(bn) = A. Biz. Legyen A∈R véges. lim(an) = A ⇒ ∀ε>0 ∃n1∈N: ∀n>n1: A - ε < an < A + ε, lim(cn) = A ⇒ ∀ε>0 ∃n2∈N: ∀n>n2: A - ε < cn < A + ε ⇒ n>n0,= max{ n1, n2}: A - ε < an ≤ bn ≤ cn < A + ε ⇒ bn∈ kε(A) ⇒ ∃lim(bn) = A. Hasonlóan: A = +∞ és A = -∞.

Tfh. lim(an) = A∈__

R , lim(bn) = A∈__

R . 1) Ha A > B ⇒ ∃N∈N: ∀n>N an > bn. 2) Ha ∃N∈N: ∀n>N: an ≥ bn ⇒ A ≥ B. Megj.: A 2)-es „majdnem” megfordítása az 1)-nek.

Megj.: Az 1)-es megfordítása nem igaz! Ha an > bn. (n∈N) ⇒/ A > B. (an) = 1/n > (bn) = -1/n lim(an)=0 >/ lim(bn)=0 Megj.: A 2)-es megfordítása sem igaz!

Ha A ≥ B ⇒/ an ≥ bn. 0 = 0 ált. 1/n > -1/n

10. Műveletek konvergens sorozatokkal. - összeadás, szorzás, osztás (BIZ!)

Tfh. (an), (bn) konvergensek. lim(an) = A∈R, lim(bn) = B∈R. 1) (an + bn) is konvergens és lim(an + bn) = A + B. 2) (an · bn) is konvergens és lim(an · bn) = A · B. 3) (an / bn) is konvergens és lim(an / bn) = A / B. Biz. lim(an) = A ⇔ lim(an-A) = 0 (nulla sorozat) ⇔ lim(|an – A|) = 0. 1) 0 ≤ |(an + bn) – (A + B)| = |(an – A)+(bn – B)| ≤ |an – A|+|bn – B| ⇔

lim(an + bn) = A + B. 2) |an·bn – AB| = |an·bn – A·bn + A·bn – AB|

|bn(an – A) + A(bn – B)| ≤ |bn|·|an – A| + |A|·|bn – B| →∅ n→+∞ ⇒ lim(|an·bn – AB|) = 0 ⇒ lim(an · bn) = A·B.

3) biz. nélkül!

- nevezetes sorozatok 1) lim(c) = c (∀c∈R rögz.) konstans sorozat 2) k=1,2,3,… rögz. index;

+∞→nlim nk = +∞

ui. ∀P>0 ∃n0∈N: ∀n>n0-ra nk>P ⇔ n > k P ; n0= [ k P ]+1 3) k=1,2,3,… rögz. index;

+∞→nlim 1/nk = 0

Biz. 0 < 1/nk < 1/n (mindegyik 0-ához tart)

11. Rendezés és műveletek az __

R halmazon. A műveletek és a határérték kapcsolata. - (R-beli műveleteken kívül):

o összeadás (x∈R) x + (±∞) = ±∞ = (±∞) + x (±∞) + (±∞) = ±∞ (±∞) + (±∞) = ±∞

o szorzás (x=0 esetén nem értelmezzük) ha x > 0; x∈R

x(+∞) = (+∞)x := +∞ x(-∞) = (-∞)x := -∞

ha x < 0

x(+∞) = (+∞)x := -∞

x(-∞) = (-∞)x := +∞

és (+∞)(+∞) := +∞

(-∞)(-∞) := -∞

(+∞)(-∞) := (-∞)(+∞) := -∞

o osztás (∀x∈R) x/+∞ = x/-∞ := 0

nem értelmezzük: (+∞)+(-∞); 0(±∞); ±∞/±∞ - műveletek és a határérték kapcsolata

Tfh. (an): ∃lim(an) = A∈__

R ; (bn): ∃lim(bn) = B∈__

R . Ekkor 1) ha ∃A+B (értelmezve van), akkor (an + bn)-nek is van határértéke,

és lim(an + bn) = A + B. 2) Ha A·B értelmezve van, akkor az (an · bn) sorozatnak is van határértéke és

lim(an · bn) = A · B. 3) Ha A/B értelmezve van, akkor (an/bn)-nek is van határértéke, és

lim(an / bn) = A/B. Kritikus határértékek: (+∞)+(-∞); 0(±∞); ±∞/±∞; „0/0”; 1/0.

összeg A∈R A = +∞ A = -∞

B∈R A + B +∞ -∞

B = +∞ +∞ +∞

B = -∞ -∞ -∞

szorzat A > 0 A = 0 A < 0 A = +∞ A = -∞

B > 0 A · B

+∞ -∞

B = 0

B < 0 -∞ +∞

B = +∞ +∞ -∞ +∞ -∞

B = -∞ -∞ +∞ -∞ +∞

hányados

A > 0 A = 0 A < 0 A = +∞ A = -∞

B > 0 A / B

+∞ -∞

B < 0 -∞ +∞

B = 0

B = +∞ 0

B = -∞

12. Monoton sorozat határértéke. - 1.a) monoton növő + felülről korlátos

ha az (an) sorozat, monoton növő + felülről korlátos ⇒ (an) konvergens és a lim(an) = sup {an |n∈N}

- 1.b) monoton csökkenő + alulról korlátos ha az (an) sorozat, monoton csökkenő + alulról korlátos ⇒ (an) konvergens és a lim(an) = inf {an |n∈N}

- 2.a) monoton növő + felülről NEM korlátos ha az (an) sorozat, monoton növő + felülről NEM korlátos ⇒ lim(an) = +∞

- 2.b) monoton fogyó + alulról NEM korlátos ha az (an) sorozat, monoton fogyó + alulról NEM korlátos ⇒ lim(an) = -∞

Biz. 1.) Tfh. (an) ↗ (monoton növő) és felülről korlátos ⇒ sup {an |n∈N} =: A < +∞ ⇒ sup. def.: ∀ε>0 ∃n0∈N: A-ε < an0 < A ⇒ ((an) ↗: ∀n>n0) A-ε < an0 ≤ an ≤ A ⇒ lim(an) = A.

2.) Tfh. (an) ↗ és felülről nem korlátos ⇒ ∀K>0 ∃n0∈N: an0 > K ⇒ ∀n>n0, an ≥ an0 > K ⇒

lim(an) = +∞.

13. A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. A Cauchy-féle konvergenciakritérium. - Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel (BIZ!)

Minden konvergens sorozatnak van konvergens részsorozata. Biz. Segéd tétel: Minden korlátos sorozatnak van részsorozata.

ST. Biz. Az an0 az (an) sorozat csúcsa, ha ∀n>n0: an ≤ an0.

1. eset: az (an)-nek ∞ sok csúcsa van. Legyen an1 egy csúcs. ⇒ ∃n2>n1: an1 ≥ an2 ≥ an3 ≥ … ≥ ank ≥ …

2. eset: az (an)-nek véges sok csúcsa van a sorozatban: ∃N∈N: ∀n>N an már nem csúcs. Ha an1 (n1>N) nem csúcs ⇒ ∃n2>n1: an2 > an1, an2 nem csúcs ⇒

∃n3>n2: an3 > an2 > an1 ⇒ … (folytatni lehet) ⇒ an1 < an2 < an3 < … < ank

< … ↑ szig. mon. nő (an) korlátos ⇒ ∃(ank) monoton részsorozat ⇒ (an) konvergens

1) Ha (an) felülről nem korlátos ⇒ ∃(ank) részsorozat: lim(ank) = +∞.

2) Ha (an) alulról nem korlátos ⇒ ∃(ank) részsorozat: lim(ank) = -∞. - Cauchy-féle konvergenciakritérium (BIZ!)

Az (an) sorozat Cauchy-sorozat, ha ∀ε>0 ∃n0∈N: ∀n,m>n0 |an - am| < ε. („a nagy indexű tagok közel vannak egymáshoz”) Az (an) sorozat konvergens (véges a határértéke) ⇔ (an) Cauchy-sorozat. Biz. ⇒ : Tfh. (an) → +∞→n

A

| an - am| = |(an - A)+(A- am)| ≤ |an - A| + |A- am| < ε + ε < 2ε, ha n,m>n0: (|an - A| < ε, n>n0)

⇐ : Tfh. (an) Cauchy-sorozat. Igazolni: (an) konvergens. 1.) Igazoljuk, hogy (an) korlátos; ui. (an) Cauchy-sorozat ε=1-hez ∃n0∈N: |an – am|<1 (∀n,m>n0) |an| = |(an - an0) + an0| ≤ |an - an0| + |an0| (∀n>n0) ⇒

⇒ |an| = max{1, |a1|, |a2|, …, |a n0|} (∀n∈N)

2.) A B-W kiválasztási tétel szerint ∃ (ank) konvergens részsorozat.

lim(ank) = A (A∈R) 3.) Az egész sorozatnak is A a határértéke: |an - A| = |(an - ank)+(ank – A)| ≤ |an

- ank| + |ank – A|; nk >N1 ank →A ha n,nk>N2 ui. Cauchy-sorozat ⇒

⇒ |an - A| < ε, n>N0 := max{N1, N2} ⇒ lim(an) = A.

14. Pozitív szám m-edik gyökének előállítása rekurzív módon megadott sorozatok határértékével.

- gyökvonás (BIZ!) Legyen m ≥2 ∈N. Ekkor ∀A>0-hoz ∃!α>0: αm = A (α =

m A ) Az x0>0 tetszőleges

xn+1 :=

−+− nm

n

xmx

A

m)1(

11 (n=0, 1, 2, …)

Az (xn) rekurzív módon megadott sorozat határértéke éppen α. (lim(xn)=α) Biz. 1. lépés: ∀n>0, xn>0 és jól definiált 2. egyértelműség: ha α1>α2 (α1,α2>0) ⇒ α1

m < α2m

3. lépés: igazoljuk: (xn): mon. csökkenő + alulról korl. Alulról korl.: 0 alsó korlát, de ez is kell.

(*) xn+1m =

m

nnmn

m

xxx

A

+++− ...1

≥ ( )11

−−

mnm

n

xx

A = A > ∅

Monotonitás: xn+1 ≤ xn ⇔ n

n

x

x 1+ ≤ 1

−+=+ )1(

11 mx

A

mx

xmnn

n = 111 +

−m

nx

A

m = 1

1 +−⋅mn

mn

x

xA

m ≤ 1 ⇒ (xn) ↘

tehát: (xn) ↘ és alulról korl. ⇒ (xn) konvergens. α := lim(xn).

(*) ⇒ n→+∞ ⇒ α =

−+− α

α)1(

11 m

A

m m ⇒ m·αm = A + (m-1) αm ⇒ αm=A

15. A geometriai sorozat határértéke. Az e szám bevezetése az (1+1/n)n (n∈N) sorozattal. - nevezetes sorozatok

1. lim(c) = c (∀c∈R rögz.) konstans sorozat 2. k=1,2,3,… rögz. index;

+∞→nlim nk = +∞

ui. ∀P>0 ∃n0∈N: ∀n>n0-ra nk>P ⇔ n > k P ; n0= [ k P ]+1 3. k=1,2,3,… rögz. index;

+∞→nlim 1/nk = 0

Biz. 0 < 1/nk < 1/n (mindegyik 0-ához tart) - geometriai sorozat (BIZ!)

q∈R rögz. (qn)

+∞→nlim (qn) = 0, ha |q|<1

1, ha q=1 -∞, ha q>1 ∃/, ha q≤-1 Biz. q=1 : ok

q>1 : q=1+h, (h>0) qn=(1+h) n ≥ 1 + nh > P, ha n>h

p 1− ⇒ n0=

h

p 1−+1, ∀n>n0 –ra

qn >P ⇒ lim(qn)=+∞.

|q|<1 : ⇒ 1<||

1

q=1+h; 0≤|qn| = |q|n = n

q

||

1

1 =

nh)1(

1

+ ≤

nh+1

1 <

nh

11 ⋅ →0

+∞→nlim (|qn|) =

+∞→nlim (qn) = 0

q≤-1 : 1) q = -1: ok q < -1 : páros indexű sorozatok: q2n →+∞ ≠ q2n+1 →-∞ ⇒ ∃/ lim(qn)

- az „e” szám bevezetése

an := n

n

+ 11 (n∈N)

Az (an) sorozat: o monoton növekedő, és o felülről korlátos, ⇒ (an) korlátos

Jelölés: +∞→n

limn

n

+ 11 =: e (az egyik legfontosabb állandó a matematikában)

(Igazolható: e irracionális és transzcendens) Biz. monotonitás: (trükk!!!)

1,

+n

11 , …,

+n

11 -re számtani mértani egyenlőtlenséget alkalmazni.

an = 1·

+n

11 ·…·

+n

11 ≤

1

1nn

11·1

+

+

++n

n =

1

1

11

+

++

n

n = an+1

korlátosság: (trükk!!!)

2

1,

2

1,

+n

11 , …,

+n

11 -re számtani mértani egyenlőtl.

+⋅⋅

+⋅⋅=nn

an 11...

11

2

1

2

1

4 ≤

2

2nn

11·

2

12

+

+

++⋅n

n= 1 ⇒ 2 = a1 ≤ an < 4∈N

Megj.: 2 ≤ e ≤4, e irracionális szám végtelen nem szakaszos tizedes tört.

16. Az (n a ; n∈N), (

n n ; n∈N), (nk/an; n∈N), (nkqn; n∈N), (an/n!; n∈N),(n!/nn; n∈N) sorozat határértéke.

17. Végtelen sor fogalma, konvergenciája, összege. A Cauchy-féle konvergenciakritérium. A konvergencia egy szükséges feltétele.

- végtelen sorok Az (an) sorozatból képzett sn := a1 + a2 + … +an (n∈N) sorozatot az (an) által meghatározott végtelen sornak nevezzük, és így jelöljük:

∑=1n

na = (sn) (n∈N) → s1 = a1; s2 = a1 + a2; … sn = a1 + a2 +…+ an

sn: a ∑ na sor n-edik részletösszege.

- konvergens, ha Az ∑ na sor konvergens, ha az (sn) részletösszeg-sorozat konvergens (véges a

határértéke). Az ∑ na sor divergens, ha nem konvergens.

- sor összege Ekkor a lim(sn) számot a ∑ na sor összegének nevezzük; és

így jelöljük: ∑∞

=1nna := lim(sn) (∑

∞

=1nna ∈R)

Megj.: ∑=1n

na : mindig sorozatot jelöl.

∑+∞

=1nna : mindig számot jelöl.

- sor konvergenciájának egy szükséges feltétele o ∑ na konvergens ⇒ lim(an)=0 (az an generáló sorozat nullsorozat)

o ha a generáló sorozat nem nullsorozat ⇒ ∑ na divergens.

- nullsorozat Nullasorozat: olyan sorozat, aminek a határértéke 0 Biz.

∑ na konvergens ⇒ sn := a1 + a2 + … +an (n∈N) konvergens ⇒(Cauchy konv.

kritérium miatt) (sn) Cauchy-sorozat ⇒ ∀ε>0 ∃n0∈N: ∀n,m>n0 |sn - sm| < ε. |sn - sn+1| = |an+1| < ε ⇒ lim(|an|)=0 ⇒ lim(an)=0. Megj.: a feltétel csak szükséges, de NEM elégséges! Mert an→0 ⇒/ ∑ na

konvergens. Pl. ellenpélda: ∑n

1 divergens, de

n

1lim =0

- Cauchy-féle konvergenciakritérium sorokra (BIZ!) A ∑ na sor konvergens ⇔ (sn) sorozat konvergens ⇔ (sn) Cauchy-sorozat ∀ε>0

∃n0∈N: ∀n,m>n0 |sm - sn| < ε. |sm - sn| = | an+1 + … + am|

18. Nevezetes sorok: a geometriai sor, a teleszkópikus sor, a Σ1/n2 sor, a harmonikus sor. - geometriai sor (BIZ!)

A (qn) geometriai sorozatból képzett ∑ nq sor (qn ∈R)). A ∑ nq sor konvergens

⇔ |q| < 1, és ekkor a sor összege: ∑+∞

=0n

nq = 1 + q + q2 + q3 + … = q−1

1

Biz.

∑=0n

nq = (1 + q + q2 + … + qn), n∈N ⇒ (1 + q + … + qn) = sn = q

qn

−− +

1

1 1

, ha q≠1⇒ sn

= q

qn

−− +

1

1 1

← an -bn = (a - b)(an-1+ an-2b+…+bn-1)

q=1 esetén sn = n+1 →+∞ ⇒ (sn) konvergens ⇔ |q|<1 és lim(sn)= q−1

1.

1 + q + q2 + q3 + … = q−1

1 (|q| < 1)

- teleszkópikus sor (BIZ!)

∑=1n )1(

1

+nn konvergens és ∑

+∞

=1n )1(

1

+nn= 1

Biz.

(részletösszeg) sn = 21

1

⋅+

32

1

⋅+

43

1

⋅+…+

)1(

1

+nn(zárt alakhoz) =

1

11

)1(

1

+−=

+ kkkk =

−2

11 +

−3

1

2

1+

−4

1

3

1+…+

1

11

+−

nn ⇒

⇒ sn = 1- 11

11 →

+− +∞→nn

⇒ ∑+∞

=1n )1(

1

+nn=

+∞→nlim sn = 1

- harmonikus sor (BIZ!)

∑=1n n

1 divergens;

Biz.

sn =1+2

1+

3

1+…+

n

1számítógépes kísérletekből alakulhat ki a sejtés, hogy (sn)

felülről nem korlátos. ÖTLET: csoportosítás

1+2

1+(

3

1+

4

1)+(

5

1+…+

8

1)+(

9

1+…+

16

1)+(

12

1

+k+

22

1

+k+

32

1

+k+…+

kk 22

1

+)=

12

1+k

≥ 12

1+k

< k = 2

1 ⇒ ∀ csoport ≥

2

1.

- A ∑=1n

2

1

n konvergens (BIZ!)

Biz.

sn = 21

1+

22

1+…+

2

1

n (nincs zárt alak!)

Számítógépes kísérletekből kialakulhat a sejtés: (sn) felülről korlátos.

sn = 11

1

⋅+

22

1

⋅+

33

1

⋅+…+

nn ⋅1

≤ 11

1

⋅+

21

1

⋅+

32

1

⋅+…+

nn )1(

1

+ =

1 + 1 -n

1 = 2 -

n

1 ⇒ sn ≤ 2 -

n

1 (∀n∈N) ⇒ (sn) ↗ és felülről korlátos ⇒ (sn)

konvergens, lim(sn)= ∑+∞

=1n2

1

n≤ 2

Megj.: ∑+∞

=1n2

1

n=

6

2π.

19. Pozitív tagú sorok konvergenciája. Az összehasonlító kritérium. A gyök- és a hányados-kritérium.

- pozitív tagú sorok A ∑ na pozitív tagú sor, ha an≥0 (∀n∈N).

- konvergens (BIZ!) A ∑ na pozitív tagú sor konvergens, ⇔ az (sn) részletösszeg-sorozat korlátos.

Biz. sn = a1+…+an ↗ , ami konvergens ⇔ (sn) korlátos.

- összehasonlító kritérium: Tfh. (an), (bn): 0 ≤ an ≤ bn (∃N∈N: ∀n>N-re ez igaz.) o majoráns kritérium: ∑ nb konvergens ⇒ ∑ na konvergens.

o minoráns kritérium (BIZ!): ∑ na divergens ⇒ ∑ nb divergens.

Biz.

∑ na : divergens

sn = a1+…+an ↗ , és felülről nem korlátos (lim(sn)=+∞)

∑ nb : tn = b1+…+bn

ha ∀n>N-re 0 ≤ an ≤ bn ⇒ tn = b1+ b2+…+bn ≥ a1+ a2+…+an = sn →+∞ ⇒ tn →+∞ ⇒ ∑ nb divergens.

- gyökkritérium (BIZ!)

Tfh. ∑ na , an ≥0 (n∈N) és ∃lim( n a ) =: A∈__

R .

Ekkor: • 0 ≤ A < 1 esetén a ∑ na sor konvergens;

• A > 1 esetén a ∑ na sor divergens;

• A = 1 esetén a kritérium nem használható (bármi lehet). Biz. 0 ≤ A < 1 : lim( n a ) = A ⇒ q-hoz ∃n0∈N: ∀n>n0: 0< n a < q (∀n>n0);

∑ nq konvergens (0 < q < 1) ⇒ (majoráns krit. miatt) ∑ na is

konvergens. A>1 : lim( n a ) = A > 1 ⇒ q-hoz ∃n0∈N: ∀n>n0: n a > q ⇒ an > qn (∀n>n0)

q>1 ⇒ ∑ nq divergens (minoráns krit. miatt) ∑ na is divergens.

A=1 : Példák: ∑n

1 divergens és n

n

1 határértéke:

lim

n

n

1 = lim

n n

1 = 1.

∑ 2

1

n konvergens és lim

n

n2

1 = lim

21

n n

= 1.

- hányadoskirtérium

Tfh. ∑ na , an ≥0 (∀n∈N) és ∃lim

+

n

n

a

a 1 =: A∈__

R .

Ekkor: • 0 ≤ A < 1 esetén ∑ na konvergens;

• A > 1 esetén ∑ na divergens;

• A = 1 esetén bármi lehet.

20. Leibniz-típusú sorok értelmezése, konvergenciája, hibabecslés. A ∑ n

(-1) 1-n

sor.

- Leibniz-típusú sor Tfh. 0 ≤ an+1 ≤ an (∀n∈N) Ekkor: az a1- a2+ a3- a4+…= ∑

=

+−1

1)1(n

n an sort Leibniz – típusú sornak nevezzük.

- konvergencia (BIZ!) A ∑ +− 1)1( n an Leibniz – típusú sor, konvergens ⇔ lim(an) = 0.

Biz. ⇒: ok (a konvergencia szükséges feltétele) ⇐: s1 = a1;

s2 = a1-a2; s3 = a1-a2+a3; s4 = a1-a2+a3-a4; s3< s1 is igaz, s2< s4 is igaz. (s2n+1) ↘ ⇒ s2n+1 →A (s2n) ↗ ⇒ s2n →B Igazolható: A = B.

- hibabecslés

Tfh. ∑ +− 1)1( n an Leibniz – típusú sor, konvergens és ∑+∞

=

+−1

1)1(n

n an = A.

Ekkor: |A – sn| = |A – ∑=

+−n

k

k

1

1)1( ak| ≤ an+1 (∀n∈N)

Biz.

∑+∞

=

+−1

1)1(n

n an = A (nem ismerjük) sn →A (n→+∞), sn ~A ha n nagy.

Ha A-t szeretnénk közelíteni ε pontossággal: |A – sn| ≤ an+1 ⇔ A – sn ≤ an+1, - an+1 ≤ A ⇒ A – an+1 ≤ sn ≤ A + an+1. Ha ε>0 adott pontossággal akarjuk közelíteni A-t: |A – sn| ≤ an+1 < ε (⇒an+1 < ε -ből adódik egy n0 küszöbindex. |sn0

– A| < ε ⇔ A-ε < sn0< A+ε.

sn0 ~A (ε-pontos közelítés)

21. Abszolút konvergens sorok. Tizedes törtek. - abszolút konvergens (BIZ!)

A ∑ na sor abszolút konvergens, ha a ||∑ na sor konvergens. ( ||∑ na : pozitív

tagú sor) Ha a ∑ na sor abszolút konvergens ⇒ ∑ na konvergens is.

Biz. ⇒: a Cauchy-kritériumot használjuk: |an+1+ an+2+…+ am| ≤ |an+1|+|an+2|+…+|am| < ε (mert konvergens)

- feltételesen konvergens A ∑ na sor feltételesen konvergens, ha

o a ∑ na sor konvergens,

o A ||∑ na sor divergens.

- tizedestörtek (BIZ!) Legyen (an): N→R, an∈{0,1,2,…,9} tetszőleges sorozat. Ekkor a

∑=1 10n

nna

= 10

1a+

1002a

+1000

3a+… sor konvergens és α= ∑

+∞

=1 10nn

na ∈[0,1]

Jelölés: α= 0,a1a2a3a4 … (az α szám tizedestört alakja) Biz.

∑ nna

10, 0 ≤

nna

10 ≤

n10

9 (∀n∈N)

∑=1 10

9

nn

= 9(10

1+

100

1+

1000

1+…) =

10

9(1+

10

1+…)=

10

9

10

11

1

−=1 ⇒

⇒∑ nna

10konvergens és ∑

+∞

=1 10nn

na≤∑

+∞

=1 10

9

nn

=1 ⇒ 0 ≤α≤1.

∀x∈[0,1] számhoz ∃(an): N→R, an∈{0,1,2,…,9}: x=∑+∞

=1 10nn

na, azaz

∀x∈[0,1] felírható tizedestört alakban. Igazolható, hogy (a) x∈[0,1]∩Q ⇔ a végtelen tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos. (b) x∈[0,1]∩Q* ⇔ végtelen nem szakaszos tizedestört.

22. Végtelen sorok átrendezése. Végtelen sorok szorzása. - sorok átrendezése (kommutativitás)

Legyen (pn): N→N bijekció (N egy átrendezése, permutációja) A ∑ na sor (pn) által meghatározott átrendezésén a ∑ )(npa sort értjük.

- Riemann-tétel Tfh. ∑ na feltételesen konvergens sor. Ekkor:

1) ∀A∈__

R -hoz ∃(pn) átrendezés: ∑+∞

=1)(

nnpa =A

2) ∃(pn) átrendezése N-nek, hogy ∑ )(npa divergens.

Tehát a feltételesen konvergens sorokra a kommutativitás nem igaz! Viszont abszolút konvergens sorokra igaz a kommutativitás. Ha a∑ na sor abszolút konvergens, akkor ∀(pn) átrendezés esetén:

o a ∑ )(npa átrendezett sor konvergens,

o ∑+∞

=1)(

nnpa = ∑

+∞

=1nna .

- algebrai műveletek sorokkal: o összeg számszorosa (BIZ!)

Tfh. ∑ na , ∑ nb sorok konvergensek. Ekkor:

1) )( nn ba +∑ is konvergens, és ∑+∞

=

+1

)(n

nn ba =∑+∞

=1nna +∑

+∞

=1nnb

2) ∀λ∈R, ∑=

⋅1n

naλ is konvergens, és ∑+∞

=

⋅1n

naλ = ∑+∞

=

⋅1n

naλ

Biz.

∑ na ⇔ An = ∑=

n

kka

1

→ A = ∑+∞

=1nna (∀n∈N)

∑ nb ⇔ Bn = ∑=

n

kkb

1

→ B = ∑+∞

=1nnb (∀n∈N)

)( nn ba +∑ ⇔ Cn = ∑=

+n

kkk ba

1

(n∈N)

Cn = An + Bn → A + B. o sorok szorzása: (0-ától kezdjük!)

Minden tagot minden taggal szorzunk és összeadjuk ezeket a sorozatokat.

A ∑=0n

na és ∑=0n

nb sorok

� téglány szorzatán a ∑=0n

nt sort értjük, ahol tn = ∑=nji

jiba},max{

, n=0,1,2,…

� Cauchy-szorzatán a ∑=0n

nc sort értjük, ahol cn = ∑=+ nji

jiba , n=0,1,2,…

(ez a fontosabb!)

Ha a ∑=0n

na és ∑=0n

nb sorok konvergensek ⇒ a ∑=0n

nt téglánysorozat is

konvergens és ∑+∞

=0nnt = (∑

+∞

=0nna )(∑

+∞

=0nnb )

Megj.: A fenti tétel a Cauchy-szorzatra nem igaz! - Cauchy-tétel

Tfh. ∑ na és ∑ nb sorok abszolút konvergensek ⇒

a) ∑ na téglányszorzat és

b) ∑ na Cauchy-szorzat is abszolút konvergens, sőt

c) a fenti táblázatból tetszőleges módon készített sor is abszolút konvergens és az összeg sem változik:

∑+∞

=0nnt = ∑

+∞

=0nnc = ∑

+∞

=0nnd = (∑

+∞

=0nna )(∑

+∞

=0nnb ).

- Mertens-tétel Ha ∑ na abszolút konvergens és ∑ nb konvergens, akkor a ∑ nc Cauchy-

szorzat is konvergens lesz és ∑+∞

=0nnc = (∑

+∞

=0nna )(∑

+∞

=0nnb ).

23. Hatványsorok. Konvergenciahalmaz, összegfüggvény. A Cauchy-Hadamard-tétel. Analitikus függvények.

- hatványsor Adott az (αn): N→R sorozat és a∈R.

A ∑=

−0

)(n

nn axα = α0+α1(x-a)+α2(x-a)2+… (x∈R) függvénysort a középpontú, α n

együtthatójú hatványsornak nevezzük. - konvergenciahalmaz

KH(∑ − nn ax )(α ) := {x∈R |∑ − n

n ax )(α számsor konvergens}

- összegfüggvény

∑+∞

=

−0

)(n

nn axα := KH(∑ − n

n ax )(α ) ∃x→∑+∞

=

−0

)(n

nn axα

Megj.: Hatványsor konvergenciahalmaza mindig egy intervallum. - Cauchy-Hadamard-tétel

Tetszőlegesen megadott az (αn): N→R sorozat és a∈R esetén a ∑=

−0

)(n

nn axα

hatványsor konvergenciahalmazára a következő három egymást kizáró eset lehetséges: a) ∃0<R<+∞ valós szám, hogy |x-a|< R esetén a hatványsor abszolút

konvergens és |x-a|>R esetén pedig divergens. b) a hatványsor csak az x-a -ban konvergens (R:=0) c) a hatványsor ∀∈R pontban konvergens (R:= +∞) R: konvergenciasugár

- konvergenciasugár A konvergenciasugár az a gyök- vagy hányados kritériummal határozható meg. Ha 0<R<+∞, akkor a Cauchy-Hadamard tétel

- analitikus függvények (hatványsorok összegfüggvényei)

Tfh. ∑ − nn ax )(α konvergencisugara R>0.

Ekkor ∑+∞

=

−0

)(n

nn axα = f(x) (x∈(a-R,a+R)) analitikus függvény.

- műveletek hatványsorokkal: o két hatványsor összege, számszorosa is hatványsor. o hatványsorok szorzata:

� két hatványsor téglányszorzata NEM hatványsor � két hatványsor Cauchy-szorzata hatványsor.

24. Nevezetes hatványsorok: az exp, sin, cos, sh, ch értelmezése és alaptulajdonságaik.

25. Torlódási pont fogalma. Példák. Függvény határértéke. A határérték egyértelmű. Speciális esetek. ( Összefoglaló táblázat a honlapomon található.)

- torlódási pont

Az A∈__

R pont a H⊂R halmaz torlódási pontja, ha ∀r>0 esetén a kr(a)∩H végtelen sok elemű halmaz, azaz az a minden környezete végtelen sok H-beli elemet tartalmaz. Jelölés: H’ a H torlódási pontjainak halmaza.

R’ = __

R

Q’ = __

R

Q*’ = __

R (minden intervallum tartalmaz racionális/irracionális számot is) H⊂R véges halmaz ⇒ H’ = ∅ Ha a∈H’, akkor a∈H és a∉H is lehet!

- a határérték egységes definíciója Legyen f∈R→R és tfh. a∈Df’. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban

a határértéke az A∈__

R , ha ∀ε>0 ∃δ>0: ∀x∈Df∩ kδ(a)\{a}): f(x)∈ kε(A) Jelölésben:

alim f = A,

ax→lim f(x) = A, f(x)→A ha x→a

Megj.: Ez a pontos megfogalmazása annak a szemléletes ténynek, hogy az „a–hoz közeli helyeken a függvényértékek közel vannak A-hoz”.

- határérték egyértelmű A határérték egyértelmű, azaz ha A1-re és A2-re is teljesül a ∀ε>0 ∃δ>0: ∀x∈Df∩ kδ(a)\{a}): f(x)∈ kε(A) feltétel, akkor A1 = A2. Az f∈R→R függvénynek van határértéke (az a∈Df’ pontban)

- speciális esetek: - végesben vett véges határérték ()

- végesben vett végtelen határérték

- végtelenben vett véges határérték

- végtelenben vett végtelen határérték

- Műveletek és a határérték kapcsolata

Tfh. f,g∈R→R, a∈( Df∩Dg)’. ∃a

lim f = A∈__

R , a

lim g = B∈__

R , ekkor:

1) ∃a

lim (f+g) és a

lim (f+g) =A+B (feltéve, hogy A+B értelmezve van);

2) ∃a

lim (f⋅g) és a

lim (f⋅g) =A⋅B (feltéve, hogy A⋅B értelmezve van);

3) ∃a

lim (f/g) és a

lim (f/g) =A/B (feltéve, hogy A/B értelmezve van);