ERRORESERRORES

Ramiro Gracia CatalánJuan Carlos Guillen AsensioSara Gea Aguar1º de Ingeniería Química1º Trabajo de Métodos Numéricos

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ÍNDICE:- Clasificación de errores. Pequeña introducción de que es un error y tipos de errores.Págs.: 3 - 4

- Diferencias entre los errores absolutos y relativos con ejemplos ilustrativos.Págs.: 5 – 6

- BibliografíasPág.: 7

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CLASIFICACIÓN DE ERRORES

En los cálculos numéricos solo en raras ocasiones los datos proporcionados son exactos, puesto que suelen originarse en procesos de medida, de modo que hay un error probable en la información de entrada. Además, el propio algoritmo introduce error, quizá redondeos inevitables. La información de salida contendrá entonces errores generados por ambas fuentes.

El error podemos definirlo como la discrepancia entre la magnitud “verdadera” y la obtenida, siendo dichas magnitudes los resultados de la medición.

La exactitud, la precisión y los dígitos significativos son por tanto conceptos fundamentales relacionados con los errores.La exactitud se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone que representa.La precisión se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad, a esto nos referimos cuando hablamos de doble precisión con cualquier máquina que estemos utilizando.Los dígitos significativos son aquellos números diferentes de cero, en una cifra leyendo de izquierda a derecha, empiezan por el primer dígito distinto de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa (fracción decimal que sigue la característica de un logaritmo; siempre es positiva).

Tenemos distintos tipos de errores como:- Errores inherentes o heredados: son aquellos errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales.

- Errores sistemáticos: son debidos a la imprecisión del aparato de medición- Errores accidentales: son lo debidos a la apreciación del observador y otras causas de esta índole.

- Error de truncamiento: son los debidos a la interrupción de un proceso matemático antes de su culminación. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma solo un número finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido.- Error de redondeo: es el debido a las limitaciones propias del aparato para representar cantidades que requieren un gran número de dígitos.Para este tipo de redondeo tendremos que aplicar las reglas conocidas de este como el redondeo de un número cuya última cifra significativa sea igual o mayor a 5; solo tomar 1 cifra significativa de cualquier valor dado con la excepción de sí la primera de estas es un 1 por lo cual tendremos que tomar 2 cifras significativas...

Aunque nuestra perspectiva de análisis está orientada a las aplicaciones empleamos la teoría de apoyo para descubrir algoritmos y establecer su validez.

Ejemplo de la teoría de apoyo: El cálculo de las funciones trigonométricas, exponenciales y otras funciones elementales dependen de esta teoría; probemos con la obtención del coseno de x para valores pequeños de esta:

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Cos x= 1 – x2/ 2! + x4 /4! – x6/6! +...

Con x=5 esto se convierte en:

Cos 5= 1 - 0.125 + 0.0026041 - 0.0000217 +... = 0.877582

Resultado que tendrá más exactitud cuantos más términos tomemos de la serie. El límite de error en este ejemplo está garantizado por la teoría matemática de apoyo, que establece que para series como ésta el error no es mayor que el primer término omitido; aquí en primer término omitido es x8/8!, que para x=5 asciende a poco menos que 0.0000001.

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¿PARA QUE CASOS SE UTILIZA EL ERROR ABSOLUTO Y PARA CUALES EL RELATIVO?

Error absoluto: Es el valor medido menos el valor verdadero; no podemos dar un valor exacto por lo que acotaremos el intervalo en el cual dicho valor puede ser encontrado con un cierto grado de confianza; el cual será situado en general en el centro del intervalo. Este tipo de error es igual a la imprecisión de la medida; nos da idea de la sensibilidad del aparato.El error absoluto nos indica el grado de aproximación y da un indicio de la calidad de la medida; este conocimiento de la calidad se completa con el error relativo.Error absoluto = imprecisión = incertidumbre

Y=Ŷ ± Ea Siendo y el Y el valor verdadero y Ŷ el valor medido

Y - E(x) valor verdadero Y+ E(x)

Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el que damos como representativo (la media aritmética); de otra forma: es el error absoluto dividido por el valor verdadero; también podemos expresarlo en %.Indica la calidad de la medida completa.

Por ejemplo si cometemos un error absoluto de un metro al medir la longitud de un estadio de fútbol de 100 metros y el mismo error al medir la distancia de Santiago a Madrid; el error relativo será de 1/100 para la medida del estadio y 1/600.000 para Santiago – Madrid; teniendo mucha más calidad la segunda medida.

Er (Y) = Ea/Y

Er (Y) = E (Y)/Y * 100 en %

Ejemplo para expresar la diferencia entre el error absoluto y el relativo:Vamos a buscar el error absoluto y el relativo en ambos casos.

1_ Siendo Y= 3.141592 e Ŷ =3.14

El error absoluto es: Ea(Y)= |Y - Ŷ| = |3.141592 – 3.14| = 0.001592

y el error relativo es: Er (Y) =|Y - Ŷ| / |Y|= |0.001592 / 3.141592 = 0.00507

2_ Sea A = 1.000.000 e Â= 999.996, entonces el error absoluto es:

Ea = |A - Â| = |1.000.000 – 999.996| = 0.000004

Er = |A - Â| / |A| = 4 / 1000000 = 0.000004

3_Sea S = 0.000012 y Ŝ = 0.000009, entonces el error absoluto es:

Ea = |S - Ŝ| = |0.000012 – 0.000009| = 0.000003

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Er = |S - Ŝ| / |S| / |S| = 0.000003 / 0.000012 = 0.25

En el caso 1 no hay mucha diferencia entre error absoluto y el relativo;

cualquiera de los dos puede usarse para determinar la precisión de Ŷ. En el caso 2 el valor de Y es del orden de magnitud de 106 , el error absoluto es grande y el error relativo pequeño; en este caso  sería una buena aproximación a A. En el caso 3, S es el orden de la magnitud de 10-6 y el error absoluto es el menor de los tres casos; sin embargo el error relativo es el mayor (de un 25%) por lo que se considera como una mala aproximación de S.En las representaciones en coma flotante se prefiere trabajar con el error relativo, ya que éste está directamente relacionado con la mantisa.

BIBLIOGRAFÍA:

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- Prácticas de física aplicada a la ingeniería química IDepartament de TermodinámicaManuel Dolz y Jesús Delegido

- Páginas web de internet

- Métodos Numéricos con Matlab. 3º EdiciónPrentice HallJohn H. Mathews y Kurtis D. FinkMadrid, 2000

- Métodos Numéricos Francis Scheid, Ph. DMc Graw HillMexico, 1991

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