PROBLEMAS ESTÁTICA FARMACIA

2

La figura muestra el diagrama de fuerzas sobre la cadera izquierda de una persona de 70 kgpuesta en pie que apoya todo su peso sobre el pie izquierdo (ha encogido la pierna derecha demodo que el pie derecho no toca el suelo). Los músculos de la cadera izquierda debencontraerse para mantener la pelvis horizontal contrarrestando el peso del cuerpo.

AFW

º75

cm 41

cm 5

PROBLEMA 1

(a) ¿Qué género de palanca es el mostrado en la figura? Identifíquese el fulcro, la potencia yla resistencia.(b) Usando los valores de distancias y ángulos dados en la figura, calcular la fuerza FArealizada por los músculos de la cadera.

AFW

º75

cm 41

cm 5

075sin · 5 · º90sin · 14 · AFW

a) Palanca de primer género Fulcro

Res

iste

ncia

b) Cálculo de la fuerza: aplicamos la ecuación de momentos

75sin · 5 · 14 WFA N 1989

.96590 · 5.89 · 07 · 14

a

b

0sin · · º90sin · · bFaW A

sin · º90sin · ·

baWFA

1º Parcial curso 2012- 2013

3

La figura muestra un brazo (masa m = 3.50 kg) sosteniendo unabola de masa M. Se indican las fuerzas que actúan y susrespectivos puntos de aplicación. Si el músculo deltoides, que seinserta formando un ángulo = 15.4º, puede soportar comomáximo una tensión T = 2500 N, calcular cuál es el máximo valorde la masa M que puede sostenerse con el brazo extendido y cuáles el valor de la fuerza de reacción R indicada en la figura(módulo y ángulo respecto a la horizontal).

0·2·2·sin· MgbamgaTa

gbamgaTaM

·2·2·sin·

kg 138.9 · 40.030.0

.89 · .53 · 30.0º4.15sin · 2500 · 15.0

Equilibrio de momentos respecto al punto O: 0 OM

De esta ecuación despejamos lamasa máxima M correspondiente ala máxima tensión T:

T

O

R mgMg

a

cm 15acm 40b

a bY

X

Equilibrios de fuerzas: Eje X Eje Y

0 XF 0 YF

0sinsin MgmgRT

0coscos RT

MgmgTR sinsin

coscos TR

2083.0cos

sintan

T

MgmgT º7.11

coscosTR N 2462R

T

O

R mgMg

acm 15acm 40b

a b

PROBLEMA 2Final ordinario curso 2012- 2013

4

AF

gF

mF040203 gAm FFF

Suma de momentos respecto al codo (C):

3408.93208.94.2

34020

gAm

FFF N 8.548

311764.470

C

0 gAmC FFFFSuma de fuerzas (eje vertical)8.94.28.94.28.548 gAmC FFFF

CF

N 88.49540.2952.238.548

El signo negativo del resultado quiere decir que el vector FC tiene en realidad sentido contrario al indicado en el esquema

PROBLEMA 3

Calcular la fuerza de reacción en el codo y la fuerza Fm que ha de ejercer elbíceps para contrarrestar el peso del antebrazo (cuya masa es 2.4 kg) y delobjeto que sostiene la mano (peso indicado con Fg, masa 3 kg). Puedesuponerse que el centro de masa del antebrazo está a 20 cm de la articulacióndel codo. Datos de distancias en la figura.

Final extraordinario curso 2012- 2013

5

º45

º75 1F

2F

0F

º45

O

º45

O

Y

Xº75

Problema 4Una bailarina de 584 N de peso se pone de puntillas. El diagrama de lasfuerzas que actúan sobre su pie se presenta en la figura adjunta. El vectorF0 es la reacción normal del suelo sobre el pie, F1 es la tensión ejercidapor el tendón de Aquiles, y F2 es la fuerza ejercida por los huesos de lapierna sobre el pie. Las líneas de acción de las tres fuerzas concurren enel punto O. Considerando que el peso del cuerpo se reparte por igualentre ambos pies, hágase un diagrama de las tres fuerzas concurrentes enO y determinar el valor de F1 y de F2.

1F

2F

0F

º15

º45

Como el peso del cuerpo W se reparte equitativamente sobre ambos pies, la reacción normal será igual a la mitad del peso:

N 2922/5842/0 WF

Equilibrio estático: suma de fuerzas igual a cero0º45sinº15cos 21 FFFX

0º45cosº15sin 210 FFFFY

0º45cosº45sinº45cosº15cos 21 FF0º45sinº45cosº45sinº15sinº45sin 210 FFF

0º45cosº15cosº45sinº15sinº45sin 10 FF

º15sinº15cos10 FFº15sinº15cos

01

FF

º15sinº15cosº45sinº15cos

º45sinº15cos 0

12

FFF

N 4132588.09659.0

292

N 5647071.09659.0

2927071.09659.0

Final ordinario curso 2011- 2012

6

Problema 5Calcular las fuerzas F1 y F2 sobre el diente representado en elesquema, suponiendo que se aplica un fuerza horizontal de 0.5 N comose muestra en la figura. ¿En qué criterio físico nos basamos para estecálculo?(En ortodoncia las fuerzas aplicadas sobre los dientes se transmiten alos huesos que los sostienen. Gradualmente el tejido del hueso sedestruye y permite que el diente se mueva o gire. En el espaciointermedio va creciendo nuevo tejido óseo. Las fuerzas deben ser losuficientemente pequeñas para no dañar la raíz del diente).

N 5.0F

2F

1Fcm 1

cm 2

La suma de fuerzas aplicadas tiene que tener resultante cero, e igualmente la suma de todos los momentos aplicados sobre la pieza debe ser igualmente cero para que haya equilibrio estático. Nos basaremos en esto para determinar las fuerzas desconocidas.

021 FFF

Fuerzas + Momentos (respecto al punto O)+002.003.0 1 FF

5.021 FF

O

03.05.002.01 F N 75.01 F5.012 FF N 25.05.075.02 F

Final extraordinario curso 2012- 2013

7

X

Y

W

T

XRYR

1x

2x

El músculo deltoides levanta el brazo hasta la posición horizontal. En una persona adulta típica podemossuponer que este músculo se inserta a una distancia x1 = 15 cm de la articulación del hombro y en posiciónhorizontal la fuerza que ejerce forma un ángulo = 18º con el húmero. Para un peso del brazo W = 35 Naplicado a una distancia x2 = 35 cm de la articulación del hombro, se pide:

2. La tensión T ejercida por el músculo.1. ¿De qué género de palanca se trata?

3. Las componentes de la reacción sobre la articulación, RX y RY,así como su módulo R y el ángulo que forma el vector R con eleje horizontal..

1. El fulcro es la articulación del hombro, es una palanca de 3er género. 2. Tomamos como origen de coordenadas O la articulación del hombro

y calculamos T a partir de la ecuación de momentos.

0º90sin180sin 21 xWxTO

O

180

sin1

2

x

WxTf

WsinT

Cálculo numérico:

N 26418sincm 15N 35cm 35

T

Véase que la fuerza que ha de ejercer elmúsculo es bastante más grande que elpeso W.

f

RF

PROBLEMA 61º Parcial curso 2012- 2013

8

3. Cálculo de las componentes de la reacción sobre la articulación, módulo y ángulo.

X

Y

W

T

XRYR

1x

2x

O

180

0cos XX RTF cos TRX

0sin WRTF YY WTRY sin

N 251º18cos264 XR

N 473518sin264 YR

R

XR

YR

22YX RRR N 25647251 22

X

Y

RR

tan 1857.025147

º5.10

PROBLEMA 6 (Continuación)1º Parcial curso 2012- 2013

9

La mandíbula de un reptil primitivo es un sistema de palanca como el presentado en la figura. Cuando muerdeuna presa el sistema muscular del animal ejerce una fuerza M hacia arriba, la fuerza del bocado es B y lareacción sobre la mandíbula, aplicada en el punto donde ésta se articula a la mandíbula superior, es R.

Articulación de la mandíbula

b) ¿Qué fuerza es mayor, el bocado B o la reacción R en laarticulación? ¿Merece esto algún comentario?

a) Suponiendo que el punto de aplicación de la fuerza M seencuentra a tres cuartas partes de la distancia entre los puntos deaplicación de B y R (más cerca de R) ¿Qué fuerza M tiene quehacer el músculo si la fuerza del bocado es B = 2.5 N?

M

RB

a) Para que haya equilibrio mecánico, la suma de lastres fuerzas ha de ser cero:

0 RMB RBM El momento respecto a cualquier punto también ha deser cero:

0 RBM xRxBR

B

xxBR

RBM

R

B

xxB 1

Articulación de la mandíbula

M

RBBx

Rx

34/14/3

R

B

xx

BB 431 N 105.24

b) La fuerza R es mayor que B, pues N 5.734 BBBBMRLa solidez de la articulación de la mandíbula es la que determina la fuerza del bocado del animal.

Para conseguir unamordedura fuerte nosolo hace falta unmúsculo poderoso,sino también unaarticulación resistente.

Final ordinario curso 2010- 2011PROBLEMA 7

1010

Un accidentado requiere que se le aplique tracción en la pierna, locual se consigue mediante un sistema de poleas como el mostradoen la figura.(a) Dibujar el diagrama de fuerzas sobre la polea central, y paraun ángulo = 60º, determinar qué peso W hay que colgar paraque la tracción sea de 50 N.(b) Si el ángulo fuese de 45º y se mantiene colgada la misma pesadel apartado anterior, ¿cuál sería la tracción sobre la pierna?

(a) Como la situación es estática (poleas en reposo, no giran) la tensión de lacuerda es la misma en todos los tramos. Las poleas únicamente sirvenpara cambiar de dirección.

Diagrama de fuerzas

W

Todas las poleas están en reposo, luego la suma de las fuerzas que actúan sobre cada una debe ser cero.Requisito del enunciado: N 50F N 50F

WT

WT

WT WT

WT WT

WT WT

X

Y

N 50FW

W

º60

º60

Diagrama de fuerzas polea central

0cos 2 FWFX

N 502/12

50cos 2

FW

0cos 2 FWFX

(b) Mismo W = 50 N, distinto ángulo ’ = 45º, la nueva tracción es F’

N 250º45cos502cos 2 WF

W

Final extraordinario curso 2010- 2011PROBLEMA 8

11

Una persona está levantando con las manos una pesade masa M = 20 kg, lo cual le hace adoptar una posturacon el tronco inclinado 45º respecto a la vertical. Lasfuerzas que actúan sobre la columna del sujetoaparecen en el esquema al margen. La tensión T esdebida a los músculos sacroespinales que tiran de lacolumna vertebral desde la cadera, cuya acciónconjunta puede describirse simplificadamente como lade un solo músculo que se inserta en su parte superior a2/3 de la longitud L (véase figura) formando un ángulode unos 10º con su eje. Considerando que la masa deltronco, la cabeza y las extremidades superiores es m =50 kg, y que el centro de gravedad de estas partes delcuerpo coincide con el punto de aplicación de latensión T, calcular dicha tensión T y las componentesde la reacción en la articulación del coxis (vector R enel diagrama).

PROBLEMA 9

12

0º45sinº45sin32º10sin

32

LMgLmgLTO º45sin32º10sin

32

LmgLTO

PROBLEMA 9 Continuación

L

TR

Mg

mg

L

3/2L

X

Y

º10

º45

º45

Ángulo a determinar

Coxis

T

RmgMg

L3/2L

Y

Xº45 º45

º10

Ángulo a determinar

Coxis

º10sin32

LTO

º45

El hombre está inclinado 45º respecto a la vertical

º45

Momento de las fuerzas que intervienen

respecto al coxis:

N 5.3192T

º10sin32

º45sinº45sin32

Mgmg

T

No es necesario conocer L

13

L

º45

El hombre está inclinado 45º respecto a la vertical

º45

PROBLEMA 9 Continuación N 5.3192T

0º45cosº45cosº10cos MgmgRTF XX

T

RmgMg

L3/2L

Y

Xº45 º45

º10

Ángulo a determinar

Coxis

R

Y

XXR

YR

0º45sinº45sinº10sin MgmgRTF YY

º45cosº45cosº10cos MgmgTRX

º45sinº45sinº10sin MgmgTRY

N 1.3629XR

N 3.69YR

01909.0tan X

Y

RR

º1.1