T.5 FUNCIONES Y GRÁFICAS - epavillena.es · 2º GES T.5 - FUNCIONES 6 Dominio y Recorrido. Si un punto (x, y) pertenece a la gráfica de una función, entonces diremos que y es la

2º GES T.5 - FUNCIONES

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T.5 FUNCIONES Y GRÁFICAS

Habrás dicho en muchas ocasiones frases como “el número de botes de pintura que necesitamos depende de la superficie que vayamos a pintar” o “la estatura de un niño depende de su edad” o también “la altura que alcanza la pelota depende de la fuerza con que la tires”. Multitud de objetos y fenómenos de la Naturaleza están relacionados; dependen unos de otros. Esta dependencia entre dos magnitudes puede ser más o menos estrecha. Por ejemplo, aunque es cierto en general que la estatura de los niños depende de su edad, niños de la misma edad suelen tener muy distintas alturas. La estatura no está completamente determinada conociendo la edad. En cambio, el área de un cuadrado tan sólo depende de la longitud de su lado (A = lado x lado). Es decir, la medida de un lado determina completamente el valor del área; para cada medida del lado no hay más que un valor del área. En este tema estudiaremos este tipo de dependencias; cuando a cada valor de una magnitud corresponde un solo valor de otra. A esas dependencias las llamamos funciones. Hay varias maneras de expresar una función. La primera sería mediante una frase o enunciado que describa la situación: «el precio de un kg de patatas es 0,7 €.». Si queremos precisar más esta relación entre el número de kg y el precio de las patatas podemos hacer una tabla de valores. En la fila superior colocamos los valores de los Kilos y en la inferior los correspondientes precios. Desde luego, también podemos hacer la tabla vertical, colocando en la columna de la izquierda los Kg. y en la de la derecha el precio. Pero la forma de expresar una función que más información nos da “a simple vista” es una representación gráfica de la misma. Hemos de tener en cuenta que sabemos representar cualquier punto sobre la recta real, sea este positivo, negativo, decimal… Pero para representar los valores de una dependencia, necesitamos poder representar al mismo tiempo dos valores relacionados, los correspondientes a las dos magnitudes que intervienen en la función (el número de Kg de patatas y el precio). Es por ello, que necesitamos un espacio de dos dimensiones en dónde poder localizar cada una de las parejas de valores que nos aparecen en una función. Este espacio se llama plano.


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El Plano. Coordenadas cartesianas.

Para localizar fácilmente un punto en el plano es útil cuadricular (el plano) y designar cada cuadro mediante un par de números, uno para el lado horizontal y otro para el vertical. Esta forma de localizar puntos se llama sistema de coordenadas cartesianas y consta de dos ejes perpendiculares llamados ejes coordenados que se cortan en el origen de coordenadas o punto (0,0). De esta forma, cada punto se puede expresar mediante dos números, el primero de los cuales es la coordenada en el eje horizontal y el segundo la coordenada en el eje vertical. Al eje horizontal se le llama eje de abcisas o eje X y al vertical eje de ordenadas o eje Y. A cada punto del plano le corresponde un par de números (x, y) que se llaman coordenadas de ese punto. Por ejemplo, los puntos siguientes son: A(3, 2) B(-2, 1) C(4, -2) D(-1, -1)

Ejercicio 1

a) Dibuja unos ejes coordenados y representa en ellos los puntos A(3,2), B(0,3), C(-1,0) y D(-2,-2). b) En los ejes también podemos representar puntos cuyas coordenadas no son números enteros. Dibuja los puntos E(0’5, 1’5), F(-2’5, 3’5) y G(1/2, 2/3).

Ejercicio 2

Un alumno quiere comprar varias libretas. El precio de cada libreta es de 2,5 €. a) ¿cuánto costarán dos libretas? ¿y tres? ¿y cuatro? b) Escribe los resultados anteriores formando una tabla. Para ello, escribe en una columna el número de libretas y en la siguiente el precio correspondiente. c) Representa el número de libretas con su precio en unos ejes cartesianos.

Ejercicio 3

Un transportista cobra por cada trabajo 25 € fijos más 2 € por km recorrido. a) ¿Qué costaría un viaje de 500 km? b) Forma una tabla para viajes de 100 Km, 200 Km, 300 Km… c) Representa los puntos de la tabla en unos ejes cartesianos, en el eje de abcisas los km. y en el de ordenadas el precio. Ten cuidado de elegir una escala adecuada para cada variable.


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Los ejes cartesianos dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, de la siguiente forma:

Segundo Cuadrante Primer Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante

Ejercicio 4

a) Dibuja en unos ejes los puntos A(3, 4), B(3, -4) y C(-3, -4). b) ¿en qué cuadrante está cada uno de ellos? c) ¿Cuál es el signo de la coordenada x de un punto de cada cuadrante? d) ¿y de la coordenada y?

Las funciones y sus gráficas.

Ejercicio 5 En una frutería el kilo de naranjas cuesta 1,3 €. Teniendo esto en cuenta resuelve estas cuestiones:

a) ¿Cuánto cuestan 2 kg de naranjas?, ¿cuánto costarán 3 kg?

b) Con los resultados anteriores completa esta tabla de valores:

Número de Kg 1 2 3 4 5 6 7

Precio 1,3 €

c) Si compras «x» kg de naranjas, ¿qué operación harías para calcular su precio?

d) Si llamamos «y» al precio de «x» kg de naranjas, expresa mediante una igualdad el valor de «y».

e) Está claro que no es necesario comprar un número entero de kilos de naranjas. Muchas veces habrás pedido medio kilo o un cuarto de kilo. O te habrán puesto algo más al pedir un kilo. Vamos a añadir a la tabla valores que no son enteros.


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Completa los números que faltan en esta tabla:

Número de Kg 1/2 ¼ ¾ 3/2 5/2

Precio 0.65 €

f) Dibuja unos ejes cartesianos. Vamos a representar los kg de naranjas (x) en el eje de abcisas y el precio (y) en el de ordenadas. Elige una escala adecuada para cada eje, observando los valores de x e y. Representa en estos ejes los puntos (x,y) de la tabla del apartado b).

g) Representa ahora en los mismos ejes los puntos de la tabla del apartado e). Observa que aparecen intercalados entre los anteriores.

h) ¿Podríamos dibujar más puntos, además de los de la tabla? ¿Dónde aparecerían?

i) Une los puntos que has representado en los ejes mediante una línea. ¿Qué clase de línea aparece?

Como has visto en el ejercicio anterior, el precio de las naranjas depende del número de kilos que compremos. Además, si sabemos los kilos de naranjas que hemos comprado, sabemos exactamente el precio que hay que pagar; es decir, el número de kilos determina totalmente el número de euros. Esta correspondencia entre la cantidad de naranjas y su precio es una función. A las magnitudes que se relacionan (en este caso la cantidad de naranjas y su precio) las llamamos variables. Fijado el número de kg de naranjas (x), el precio (y) está perfectamente determinado. Por esto a x se le llama variable independiente y a y variable dependiente.

Otra forma de expresar una función es mediante una expresión algebraica, que es una fórmula que permite obtener el valor de y cuando se sabe el valor de x realizando operaciones matemáticas. Con la expresión algebraica podemos obtener una tabla de valores, ya que no tenemos más que ir dando los valores que queramos a la variable x y calcular mediante la fórmula los correspondientes y. Si un kg de naranjas vale 1,3 €, el precio (y) se obtiene multiplicando 1,3 por el número de kg (x). Escrito en forma de expresión algebraica: y = 1,3 x Esta expresión es la ecuación de la función.


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Ejercicio 6 En el gimnasio de Mariano se pagan 10 € por la matrícula y 6 € por hora de clase. a) ¿Cuánto pagarías por 5 clases? Ten en cuenta que además de las clases hay que pagar la matrícula. b) ¿Qué operación hay que hacer para calcular lo que hay que pagar por «x» clases? Escribe la ecuación que relaciona el número de clases (x) con su precio (y).

c ) ¿Cuánto pagarías por 2 clases?, ¿y por 3 clases? Busca para varios valores de la variable independiente (número de clases) los correspondientes valores de la variable dependiente (precio) y construye una tabla con ellos.

d) Representa los pares de números de la tabla en unos ejes cartesianos. ¿Has dado alguna vez media clase de gimnasia o un cuarto de clase? Aquí no es lógico dar a la variable independiente valores que no sean números enteros, por lo que tampoco tiene sentido unir los puntos como hicimos en el ejemplo de las naranjas

La gráfica de una función en muy útil, ya que de un vistazo es posible enterarse del comportamiento de la función. También nos sirve para calcular valores de la función sin necesidad de hacer cálculos, especialmente si no se precisa mucha exactitud. En estos ejercicios vamos a analizar el comportamiento de una función estudiando su gráfica. FIJATE: no todas las relaciones entre variables son funciones; sólo cuando a cada valor

de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente tendremos una función. Observando la gráfica es fácil saber cuáles corresponden a funciones y cuáles no.

De estas gráficas, la primera no es una función y la segunda sí lo es.


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Dominio y Recorrido.

Si un punto (x, y) pertenece a la gráfica de una función, entonces diremos que y es la imagen de x y que x es la antiimagen de y. El dominio de una función es el conjunto de valores de x que tienen imagen.

El recorrido o imagen son los valores de y que son imagen de algún valor de x.

Continuidad.

En el ejercicio de las naranjas, la gráfica resultante era una recta y en la del gimnasio estaba compuesta por puntos separados. Vemos que hay dos tipos de gráficas, las continuas y las discontinuas . Las primeras, como en el caso de los kg de naranjas, se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel; en cambio las discontinuas tienen «saltos» que nos obligan a levantar el lápiz, como en el ejemplo del gimnasio. Una función es continua cuando su gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario diremos que la función es discontinua, y los puntos dónde la función deja de ser continua se llaman puntos de discontinuidad.


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Puntos de corte con los ejes.

El punto donde la gráfica corta al eje de ordenadas es de la forma (0,y). Para encontrarlo, sustituimos la x por cero y se resuelve la expresión para calcular la y.

El punto o puntos de corte con el eje de abcisas son de la forma (x,0). Para calcularlos,

Ejercicio 7 Calcula los puntos de corte con los ejes de la función f(x) = 2 – x

Crecimiento y decrecimiento.

Para estudiar las variaciones de una función hemos de mirar su gráfica de izquierda a derecha y ver cómo varía la y cuando aumentamos la x. Si una función es creciente en un punto, entonces, alrededor de él, la gráfica asciende. En el caso de que sea decreciente, desciende. Y cuando no varía diremos que la función es constante.

Una función puede ser creciente en un conjunto de puntos y decreciente o constante en otros. En el caso de que sólo crezca o decrezca se denomina función monótona.

Máximos y mínimos.

Diremos que una función tiene un máximo en un punto cuando éste es el punto más alto de los que le rodean.

A la izquierda del máximo, la función es creciente y a su derecha es decreciente.

La función presenta un mínimo en un punto cuando este punto es el más bajo de los que le rodean.

A la derecha de un mínimo, la función es decreciente, y a su derecha, creciente.


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Un máximo no tiene por qué ser el punto más alto de la gráfica. Si esto sucediera, se le llamaría máximo absoluto. De manera similar, si un mínimo coincide con el punto más bajo de la gráfica se le llama mínimo absoluto. En los demás casos, los máximos y mínimos son relativos.

Ejercicio 8 En un hospital han estado tomando la temperatura a un enfermo cada hora y han anotado los resultados en esta gráfica:

a) ¿Cuál es la temperatura de este enfermo a las 4 de la madrugada? ¿Y a las 4 de la tarde? b) ¿Entre qué horas se mantiene constante la temperatura? c) ¿Cuál es la máxima temperatura que alcanza? ¿A qué hora la alcanza? d) ¿A qué hora la temperatura es de 36o? e) Describe con palabras la evolución de la temperatura de este enfermo.

Ejercicio 9

Unos biólogos observan un águila: sale de su nido, caza un conejo, regresa a su nido, vuelve a salir, caza una paloma y vuelve otra vez a su nido.

Esta gráfica describe el vuelo del águila y relaciona dos variables: el tiempo que ha transcurrido desde que comenzamos a observar y la altura a la que se encuentra el águila.

¿A qué altura se encuentra el nido?


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a) ¿A qué altura estaba el águila a los 5 minutos? b) ¿A qué altura otea para buscar caza? c) ¿En qué instante caza al conejo? d) ¿Cuánto tiempo pasa en el nido con su pareja después de cazar al conejo? e) ¿A qué altura volaba la paloma que caza? f) Desde que caza la paloma, ¿cuánto tiempo tarda en subir al nido?

Ejercicio 10

Se suelta un globo que se eleva y, al alcanzar cierta altura, estalla. La siguiente gráfica representa la altura, con el paso del tiempo, a la que se encuentra el globo hasta que estalla.

¿A qué altura estalla? ¿Cuánto tarda en estallar desde que lo soltamos?

a) ¿Qué variables intervienen? ¿Cuál es el dominio de definición de la función?

b) ¿Qué altura gana el globo entre el minuto 0 y el 4? ¿Y entre el 4 y el 8? ¿En cuál de estos dos intervalos crece más rápidamente la función?

Ejercicio 11 Para medir la capacidad espiatoria de los pulmones, se hace una prueba que consiste en inspirar al máximo y después espirar tan rápido como se pueda. Esta curva indica el volumen de aire que entra y sale de los pulmones.

a) ¿Cuál es el volumen en el momento inicial? b) ¿Cuánto tiempo duró la observación? c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones de esta persona? d) ¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba?


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Ejercicio 12 En la puerta de un colegio hay un puesto de golosinas. En esta gráfica se ve la cantidad de dinero que hay en su caja a lo largo de un día.

a) ¿A qué hora empiezan las clases de la mañana? b) ¿A qué hora es el recreo? ¿Cuánto dura? c) El puesto se cierra a mediodía, y el dueño se lleva el dinero a casa.

¿Cuáles fueron los ingresos de esta mañana? d) ¿Cuál es el horario de tarde en el colegio? e) ¿Es una función continua o discontinua

Ejercicio 13 Esta gráfica representa la altura que alcanza una pelota que hemos tirado directamente hacia arriba, en función del tiempo.

a) ¿Es una gráfica continua o discontinua? b) ¿A qué altura está la pelota al cabo de 4 segundos? ¿Y a los 7 segundos? c) ¿Cuál es la mayor altura que alcanza? d) ¿Cuánto tarda en caer al suelo? e) ¿Tiene máximos o mínimos? f) ¿dónde es creciente y decreciente?


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Las funciones cuya gráfica es una recta.

Has visto que las funciones pueden tener diferentes ecuaciones y también distintas gráficas. Una clase muy interesante de funciones es la que su gráfica es una recta. Aquí estudiaremos con detalle estas funciones.

Funciones constantes

Ejercicio 14 Viajando en autobús, para entretenerme, he ido apuntando la velocidad a la que viajamos cada minuto y he anotado estas observaciones en forma de tabla:

Minutos 0 1 2 3 4 5 6 Velocidad 80 80 80 80 80 80 80

a) Observa que la velocidad (variable dependiente: y) sólo toma el valor 80 b) Representa los puntos de la tabla en unos ejes coordenados. ¿Qué clase de gráfica has dibujado?

A las funciones como esta en la que la variable dependiente toma siempre el mismo valor se les llama funciones constantes . La ecuación que define una situación de este tipo es y = k siendo k un número cualquiera. Dicho con palabras: «la variable independiente (y) es siempre igual a un número fijo (k)». Habrá una función constante para cada valor de k. Su gráfica, como has visto, es una recta paralela al eje de abcisas. En el ejercicio 14, la ecuación correspondiente es y = 80

Funciones lineales

Las funciones l ineales o funciones de proporcionalidad directa son funciones de la forma

y = mx ó f(x) = mx El número por el que multiplicamos la variable independiente, se llama constante de proporcionalidad o pendiente e indica la inclinación de la recta. Las funciones lineales se representan gráficamente como rectas. Además, siempre pasan por el punto (0,0), es decir, por el origen de coordenadas. Para dibujar una recta basta con dar una tabla de valores con al menos dos puntos, representarlos en unos ejes coordenados y unirlos.


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Ejercicio 15

El precio de una barra de pan es 0,9 €. Estudiaremos la variación del precio del pan en función de las barras que compremos.

a) Construye una tabla que relacione el número de barras con el precio. Escribe en una fila las distintas cantidades de barras (1, 2, 3, 4...) y debajo sus precios correspondientes.

b) Si duplico el número de barras que compro ¿qué pasa con el precio?, ¿qué sucede con el precio si compro el triple de barras? En general, si multiplico las barras por cualquier número ¿qué sucede con el precio?

c) La relación entre número de barras y precio ¿es una función?

d) Llama «x» al número de barras e «y» a su precio. Escribe una expresión algebraica que relacione las barras con el precio.

e) Representa en unos ejes cartesianos la gráfica de esta función. ¿Qué clase de línea es?

f ) ¿Crees que la gráfica debe pasar por el origen de coordenadas? ¿Cuánto nos cobrarán si compramos 0 barras de pan, es decir, ninguna?

Ejercicio 16 Representa la gráfica de estas funciones lineales.

y = 3x, y = x, y = - 2x

No olvides que si la pendiente de una función lineal es positiva la recta pasará por el primer y tercer cuadrantes y si la pendiente es negativa la recta pasará por el segundo y cuarto cuadrantes


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Funciones Afines

Otro tipo de funciones de primer grado son las funciones af ines . También su gráfica es una recta, pero no tiene que pasar por el origen de coordenadas como en las funciones lineales. Su ecuación es del tipo y = mx + n, dónde: — El coeficiente m se llama pendiente de la recta y define su inclinación respecto al eje de abcisas. Si dos rectas tienen la misma pendiente, son paralelas. — El número n se llama ordenada en el origen. La recta corta al eje de ordenadas en el punto (0,n). La pendiente y la ordenada en el origen pueden ser cualquier número, positivo o negativo, decimal, etc.

Ejercicio 17 El alquiler de una bicicleta cuesta 200 ptas. de seguro más 300 ptas. por cada día.

a) ¿Cuánto nos costará alquilar la bici un solo día? ¿Y dos días?

b) Como ves, el gasto es función del número de días que utilicemos la bicicleta. ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?

c) Haz una tabla de valores de esta función.

d) Representa la gráfica de esta función. ¿Qué clase de línea es esta gráfica? ¿En qué punto corta al eje de ordenadas?

e) ¿Qué operaciones debes hacer para calcular el coste de «x» días de alquiler de la bicicleta? Escribe la ecuación de esta función.

Ejercicio 18

Representa las siguientes funciones:

y = 3x + 2, y = x – 3, y = - 2x + 1

Ejercicio 19 El sueldo mensual de una encuestadora es de 200 € más 5 € por cada encuesta realizada en el mes.

a) Escribe la ecuación que relaciona su sueldo (y) con el número de encuestas realizadas (x). ¿Qué tipo de función es?

b) Haz la gráfica de esta función. Toma el número de encuestas de 10 en 10 y el sueldo en euros.


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A veces, la gráfica de una función no es exactamente ninguna de las estudiadas aquí, pero «a trozos» sí podemos considerarlas conocidas. Vamos a ver un caso de estos.

Ejercicio 20 Para pasteurizar la leche, se calienta a 71,7 °C durante 15 minutos. Esta gráfica representa la temperatura que alcanza la leche en función de la cantidad de minutos que está calentándose.

a) ¿Entre qué valores del tiempo la gráfica es una función constante? b) ¿En qué tramos la gráfica es una función afín? c) ¿Tiene la misma pendiente en todos los tramos? d) ¿En qué momento alcanza la temperatura máxima? ¿Durante cuánto

tiempo se mantiene? e) ¿En qué momento empieza a bajar la temperatura?

Ecuación de la recta punto pendiente

Supongamos que sabemos que una recta pasa por el punto A(x0, y0) y que tiene

por pendiente m. Para calcular su ecuación, utilizaremos la fórmula: y = y0 + m (x – x0) En el ejemplo anterior, un punto podría ser A(2, 3) y la pendiente m = 2. y = 3 + 2 (x – 2) = 3 + 2x – 4 = 2x – 1

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos


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Cálculo de la pendiente de una recta

Vamos a calcular la pendiente de una recta, m, a partir de dos puntos de ésta, mediante la siguiente fórmula:

m = xladeVariaciónyladeVariación

Ejemplo: Sean los puntos A(2, 3) y B(4,7), entonces m = 224

2437

Ejercicio 21 Escribe la ecuación de la recta conocidos un punto y la pendiente:

a) A(-3, 5) y m = 2 b) A(-8, 2) y m = 3

c) A(1, 3) y m = -1 d) A(0, 5) y m = -2

Ejercicio 22 Calcula la ecuación de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos (calcula primero la pendiente):

a) A(5, -3) y B(2, 1) b) A(-6, 2) y B(-3, 5)

c) A(-4, -2) y B(8, -7) d) A(0, 7) y B(-4, 0)

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