TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) Sisällysluettelo

TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op)Syksy 2011 / Luokka AS11

Vesa Linja-aho

Metropolia

7. syyskuuta 2011

Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 7. syyskuuta 2011 1 / 123

Sisällysluettelo

Klikkaamalla luennon nimeä pääset hyppäämään luennon ensimmäisellekalvolle.1 1. viikko

2 2. viikko

3 3. viikko

4 4. viikko

5 5. viikko

6 6. viikko

7 7. viikko


1. viikko

Kurssin perustiedotOpettaja: DI Vesa Linja-aho, [email protected] ma klo 11.00-13.45 (luentopainotteinen) ja to 10.00–11.45(harjoituspainotteinen), luokka P506Suorittaminen: Loppukoe, johon saa hyvitystä harjoitustehtävistä. Koeon ti 18.10.2011 klo 10.00–13.00.Kurssilla ei ole ”pakollista” oppikirjaa, mutta halukkaat voivat ostaa(tai lainata) itseopiskelua varten kirjan: Kimmo Silvonen:Sähkötekniikka ja piiriteoria.

I Kirjan hinta (tarkistettu 6.9.2011) 29,20 €1 – 44,20 €2

I Kirjasta opiskellaan tällä kurssilla luku 1.I Kirjaa on saatavilla myös Metropolian, kaupungin ja TKK:n kirjastosta.I Kirja kelpaa oppikirjaksi myös kurssille Vaihtosähköpiirien perusteet

(syksy 2011).Kaikista muutoksista tiedotetaan Tuubi-portaalissa!

1http://www.adlibris.com2http://www.suomalainen.com


1. viikko

Harjoitustehtävät

Joka viikolla annetaan viisi harjoitustehtävää.Torstain tunnit on varattu tehtävien ohjattua laskemista varten.Tehtävien laskemisesta saa bonusta kokeeseen: jos lasket yli 50 %tehtävistä, saat jättää yhden tehtävän kokeessa tekemättä. Jos lasketyli 80 % tehtävistä, saat jättää kaksi tehtävää tekemättä.Aikaa tehtäväsarjojen laskemiseen on kaksi viikkoa. Esimerkiksiensimmäisen viikon tehtävät on oltava laskettuna toisen viikontorstaina (sen jälkeen niistä ei saa enää bonuspisteitä).Lasketut tehtävät näytetään opettajalle, joka kirjaa suorituksetlistaan.


http://www.adlibris.com

http://www.suomalainen.com

1. viikko

Kurssin oppimistavoitteet

Opinto-oppaasta:

TavoitteetKyky yksinkertaisten lineaaristen tasasähköpiirien laskemiseen peruslakejahyödyntäen ja kyky riippumattomia lähteitä sisältävien verkkojen analysointiin.Tasavirtapiirien analysoinnin ja laskemisen perusteet ja eri sähkösuureidenlaskeminen. Opittu on jatkossa tärkeänä pohjana käsiteltäessä vaihtosähköpiirejä.Kyky ymmärtää ja laskea myös laskukoneella perustasasähköpiirejä. Kyky lukea jaanalysoida piirikaavioita sekä kyky ymmärtää virtojen että jännitteiden suunnat janäiden merkitys.

SisältöPerussuureet, yksiköt ja virtapiirin osat. Ohmin laki, sähköteho, Kirchoffin jännite-ja virtalait, sarja- ja rinnakkaispiirit, Theveninin ja Nortonin teoreemat.Laskuesimerkit ja laskuharjoitukset myös kerrostamismenetelmän avulla.


1. viikko

Alustava viikkoaikataulu

1 Sähkötekniikan perussuureet ja yksiköt. Jännitelähde, virtalähde javastus. Kirchhoffin lait ja Ohmin laki. Sarjaan- ja rinnankytkentä.

2 Sähköteho. (Maa)solmu. Solmujännitemenetelmä.3 Konduktanssi. Solmujännitemenetelmän harjoittelua.4 Lähdemuunnos. Théveninin ja Nortonin teoreemat.5 Kerrostamismenetelmä.6 Jännitteenjako- ja virranjakosäännöt. Ohjatut lähteet. Kela ja

kondensaattori tasasähköpiirissä.7 Kertaus.8 Koe.


1. viikko

Kurssi muodostaa pohjan sähkötekniikan opiskelulle

Kurssin tietoja tarvitaan kursseilla Vaihtosähköpiirien perusteet,Mittaustekniikka ja sähköturvallisuus, Autosähkötekniikka,Autosähkölaboraatiot, Elektroniikan perusteet 1 & 2 . . .

Tärkeää!Opiskelemalla tämän kurssin asiat kunnolla helpotat omaa työtäsijatkossa!

Tasasähkötekniikan perusteiden osaaminen on autosähköinsinöörille yhtätärkeää kuin kirjanpidon perusteiden osaaminen tilintarkastajalle,lujuusopin perusteiden osaaminen sillanrakennusinsinöörille jne.


1. viikko

Mitä kurssilla ei käsitellä

Tällä kurssilla ei käsitellä sähkön fysikaalista olemusta. Kysymykseen "mitäsähkö on?"perehdytään kursseilla Pyörimisliike ja sähkömagnetismi sekäSähkömagneettinen induktio ja värähtelyt.


1. viikko

Opiskelusta

Oppitunneilla tarjotaan mahdollisuus oppia - oppiminen on kuitenkinsinusta itsestäsi kiinni.Enemmän vastuuta itsellä kuin ammattikoulussa ja lukiossa.1 op ≈ 26,7 tuntia työtä. 3 op = 80 tuntia työtä. Tästä lähiopetustaon 39 tuntia.Eli opiskelua oletetaan tapahtuvan myös omalla ajalla!Tämä kalvosarja sopii hyvin asioiden kertaamiseen. Jos joudutolemaan paljon pois tunneilta, itseopiskelua varten kannattaa ostaaSilvosen kirja.Jos tunneilla edetään liian nopeasti tai liian hitaasti, sanokaa siitä(joko tunnilla tai kahden kesken [esim. sähköpostitse])!Kyselkää paljon, myös tyhmiä kysymyksiä.


1. viikko

Mikä on vaikeaa ja mikä helppoa?

Eri asiat ovat helppoja eri ihmisille. Oma kokemukseni on kuitenkin, ettäTasavirtapiirianalyysi on helppoa, koska siinä pärjääperusmatematiikalla.Tasavirtapiirianalyysi on vaikeaa, koska virtapiirit eivät ole samallatavalla intuitiivisia kuin mekaaniset järjestelmät.

Matematiikan opiskelu on tärkeää jatkon kannalta — vaihtosähköpiirienanalysoinnissa on tärkeää, että osaat laskea kompleksiluvuilla.


1. viikko

Sähkövirta

Sähkövirta on varauksenkuljettajien liikettä.Yksikkö on ampeeri (A).Suureen lyhenne on I.Sähkövirtaa voidaan verrata letkussa kulkevaan veteen.Virta kiertää aina jossain silmukassa (se ei puristu kasaan eikä häviäolemattomiin).Virtapiirissä virta merkitään nuolella johtimeen:

I = 2mA-


1. viikko

Kirchhoffin virtalaki

Kuten edellä todettiin, sähkövirta ei häviä mihinkään.

Kirchhoffin virtalaki (myös: Kirchhoffin ensimmäinen laki)Virtapiirin jollekin alueelle tulevien virtojen summa on yhtä suuri kuinsieltä lähtevien virtojen summa.

I1 = 3mA-

I2 = 2mA-

I3 = 1mA6

Piirsitpä ympyrän mihin tahansa kohtaan piiriä, ympyrän sisään meneeyhtä paljon virtaa kuin mitä tulee sieltä ulos!


1. viikko

Ole tarkka etumerkkien kanssa!

Voidaan sanoa: "pankkitilin saldo on -50 euroa"tai "olen 50 euroavelkaa pankille".Voidaan sanoa: "Yrityksen tilikauden tulos oli -500000 euroa"tai"firma teki tappiota 500000 euroa".Jos mittaat johtimen virtaa virtamittarilla ja se näyttää −15mA, niinkääntämällä mittarin toisin päin se näyttää 15mA.Aivan samalla tavalla voidaan virran suunta ilmoittaa etumerkillä. Allaon kaksi täysin samanlaista piiriä.

I1 = 3mA-

I2 = 2mA-

I3 = 1mA6

Ia = −3mA

Ib = −2mA

I3 = 1mA6


1. viikko

Jännite

Jännite on kahden pisteen välinen potentiaaliero.Suureen lyhenne on U.Virtapiirianalyysissä ei oteta kantaa siihen, miten potentiaaliero onluotu.Jännitteen yksikkö on voltti (V).Jännitettä voi verrata paine-eroon putkessa tai korkeuseroon.Jännitettä merkitään pisteiden välille piirretyllä nuolella.

+

−12V U = 12V

?


1. viikko

Kirchhoffin jännitelaki

Kahden pisteen välillä vaikuttaa sama jännite tarkastelureitistäriippumatta.Tämä on helpoin hahmottaa rinnastamalla jännite korkeuseroihin.

Kirchhoffin jännitelaki (myös: Kirchhoffin toinen laki)Silmukan jännitteiden summa on etumerkit huomioon ottaen nolla.

− +1,5V− +1,5V− +1,5V

4,5Vr r


1. viikko

Ohmin laki

Mitä suurempi virta, sitä suurempi jännite – ja päinvastoin.Resistanssilla tarkoitetaan kappaleen kykyä vastustaa sähkövirrankulkua. Resistanssi on jännitteen ja virran suhde.Resistanssin tunnus on R ja yksikkö ohmi (Ω).

U = RI

R

U -

I-


1. viikko

Käsitteitä

Virtapiiri Elektronisista komponenteista koostuva järjestelmä, jossasähkövirta kulkee.

Tasasähkö Sähköiset suureet (jännite, virta) eivät muutu - taimuuttuvat vain vähän - ajan kuluessa.

Tasasähköpiiri Virtapiiri, jossa jännitteet ja virrat ovat ajan suhteenvakioita.

EsimerkkiTaskulampussa on tasasähköpiiri (paristo, kytkin ja polttimo). Polkupyörändynamo ja lamppu puolestaan muodostavat vaihtosähköpiirin.


1. viikko

Vaihtoehtoinen tasasähkön määritelmä

Tasajännitteellä ja -virralla voidaan tarkoittaa myös jännitettä ja virtaa,jonka suunta (etumerkki) pysyy samana, mutta suuruus voi vaihdella.Esimerkiksi tavallinen lyijyakkujen laturi tuottaa yleensä nk. sykkiväätasajännitettä, jonka suuruus vaihtelee välillä 0 V ... ≈ 18 V. Tätäkinkutsutaan yleensä tasajännitteeksi.

SopimusTällä kurssilla tasajännitteellä (virralla) tarkoitetaan vakiojännitettä(virtaa). Sekä suunta että suuruus pysyvät ajan suhteen vakiona.


1. viikko

Yksinkertainen virtapiiri

Akkuun kiinnitetty hehkulamppu. Hehkulangan resistanssi on 10Ω.

+

−12V @@

10Ω

I =?-

I = 1,2A-

12V?

U = RII = U

R = 12 V10 Ω = 1,2A


1. viikko



+

−12V

@@

10Ω

I =?-

I = 1,2A-

12V?

U = RII = U

R = 12 V10 Ω = 1,2A


1. viikko



+

−12V

@@

10Ω

I =?-

I = 1,2A-

12V?

U = RII = U

R = 12 V10 Ω = 1,2A


1. viikko



+

−12V

@@

10Ω

I =?-

I = 1,2A-

12V?

U = RII = U

R = 12 V10 Ω = 1,2A


1. viikko

Sarjaankytkentä ja rinnankytkentä

Määritelmä: sarjaankytkentäPiirielementit ovat sarjassa, jos niiden läpi kulkee sama virta.

Määritelmä: rinnankytkentäPiirielementit ovat rinnan, jos niiden yli on sama jännite.

Sama tarkoittaa samaa, ei samansuuruista.


1. viikko

Sarjaankytkentä ja rinnankytkentä

Sarjaankytkentä

I-

I-

Rinnankytkentä

U -

U -


1. viikko

Vastusten sarjaankytkentä ja rinnankytkentä

Sarjaankytkentä

R1 R2

⇐⇒R = R1 + R2

Rinnankytkentä

R1

R2⇐⇒

R = 11

R1+ 1

R2

Tai sama kätevämmin konduktansseilla G = G1 + G2.


1. viikko

Vastusten sarjaankytkentä ja rinnankytkentä

Edellisen kalvon kaavat soveltuvat myös mielivaltaisen monellevastukselle. Esimerkiksi viiden resistanssin sarjaankytkennänresistanssi on R = R1 + R2 + R3 + R4 + R5.


1. viikko

Jännitelähteiden sarjaankytkentä

Jännitelähteiden sarjaankytkennässä jännitteet voidaan laskea yhteen(mutta etumerkeissä pitää olla tarkkana).Jännitelähteiden rinnankytkentä on piiriteoriassa kielletty (kahdenpisteen välillä ei voi olla yhtäaikaa kaksi eri jännitettä).

− +E1+ −E2− +E3

r r⇐⇒

− +E = E1 − E2 + E3

r r


1. viikko

Mitä sarjaan- ja rinnankytkentä eivät ole

Pelkkä se, että komponentit "näyttävät olevan vierekkäin"ei tarkoita,että kyseessä on rinnankytkentä.Pelkkä se, että komponentit "näyttävät olevan peräkkäin"ei tarkoita,että kyseessä on sarjaankytkentä.Mitkä kuvan vastuksista ovat keskenään sarjassa ja mitkä rinnan?

+

−E1

+

−E2R3

R1 R2

VastausEivät mitkään! E1 ja R1 ovat sarjassa keskenään, samoin E2 ja R2. Nämä sarjaankytkennät ovatpuolestaan molemmat rinnan R3:n kanssa. Sen sijaan mitkään vastukset eivät ole keskenäänrinnan eivätkä sarjassa.


1. viikko

Mitä sarjaan- ja rinnankytkentä eivät ole

Pelkkä se, että komponentit "näyttävät olevan vierekkäin"ei tarkoita,että kyseessä on rinnankytkentä.Pelkkä se, että komponentit "näyttävät olevan peräkkäin"ei tarkoita,että kyseessä on sarjaankytkentä.Mitkä kuvan vastuksista ovat keskenään sarjassa ja mitkä rinnan?

+

−E1

+

−E2R3

R1 R2

VastausEivät mitkään! E1 ja R1 ovat sarjassa keskenään, samoin E2 ja R2. Nämä sarjaankytkennät ovatpuolestaan molemmat rinnan R3:n kanssa. Sen sijaan mitkään vastukset eivät ole keskenäänrinnan eivätkä sarjassa.


1. viikko

Virtalähde

Puhekielessä sanaa virtalähde käytetään varsin monimerkityksellisesti.Esimerkiksi tietokoneen virtalähde hajosi.Virtalähteellä tarkoitetaan piiriteoriassa elementtiä, jonka läpi kulkeejokin tietty virta (se voi olla vakio tai muuttua jonkin säännönmukaan). Aivan kuten jännitelähteenkin napojen välillä on aina samajännite.

J6

R


1. viikko

Virtalähde

Kun jossain johtimen haarassa on virtalähde, tiedät johtimen virran.

J = 1A6

R1

I = 1A-

R2


1. viikko

EsimerkkiRatkaise jännite E .

+

−E

+

−1,5V

R = 20Ω

I = 50mA?


1. viikko

RatkaisuRatkaise jännite E .

+

−E

+

−1,5V

R = 20Ω

I = 50mA?

E?

U?

UR

?

E + U − UR = 0⇔ UR = E + U UR = RI = 20Ω · 50mA = 1V

⇒ UR = E + U ⇒ 1V = E + 1,5V⇒ E = −0,5V


1. viikko


+

−E

+

−1,5V

R = 20Ω

I = 50mA?E?

U?

UR

?


⇒ UR = E + U ⇒ 1V = E + 1,5V⇒ E = −0,5V


1. viikko


+

−E

+

−1,5V

R = 20Ω

I = 50mA?E?

U?

UR

?


⇒ UR = E + U ⇒ 1V = E + 1,5V⇒ E = −0,5V


2. viikko

Konduktanssi

Resistanssilla tarkoitetaan kappaleen kykyä vastustaa sähkövirrankulkua.Resistanssin käänteislukua kutsutaan konduktanssiksi. Konduktanssintunnus on G ja yksikkö Siemens (S).Konduktanssi kertoo kappaleen kyvystä johtaa sähköä.Esimerkiksi jos R = 10Ω niin G = 0,1S.

G = 1R U = RI ⇔ GU = I

G = 1R

U -

I-


2. viikko

Sähköteho

Teho tarkoittaa tehtyä työtä aikayksikköä kohti.Tehon tunnus on P ja yksikkö watti (W).Elementin kuluttama teho on P = UI I

-

U -

Jos kaava antaa positiivisen tehon, elementti kuluttaa tehoa. Joskaava antaa negatiivisen tehon, elementti luovuttaa tehoa.


2. viikko

Sähköteho

Energia ei häviä piirissäPiirielementtien kuluttama teho = piirielementtien luovuttama teho.

+

−E R

I6 I?

I = UR

PR = UI = U UR = U2

R

PE = U · (−I) = U −UR = −U2

R

Kuvassa vastus kuluttaa yhtä paljon tehoa kuin jännitelähde luovuttaa.


2. viikko

Napa ja portti

Piirissä olevaa johdon liitäntäkohtaa nimitetään navaksi tai nastaksi.Kaksi napaa muodostavat portin eli napaparin.Helpoin esimerkki: auton akku, jolla sisäistä resistanssia.

+

−E

RS

bb


2. viikko

Solmu

Solmulla tarkoitetaan virtapiirin aluetta, jonka sisällä on samapotentiaali.Palikkamenetelmä: laske kynä johonkin kohtaan johdinta. Ala värittääjohdinta, ja aina kun tulee vastaan komponentti, käänny takaisin.Väritetty alue on yksi solmu.Montako solmua on kuvan piirissä?

+

−E

R1 R3 R5R2 R4 R6

I-


2. viikko

Maa

Yksi solmuista voidaan nimetä maasolmuksi.Maasolmu-merkinnän käyttö säästää piirtämisvaivaa.Auton akun miinusnapa on kytketty auton runkoon; näin muodostuusuuri maasolmu.Sanonta "tämän solmun jännite on (esim.) 12 volttia"tarkoittaa, ettäsen solmun ja maan välinen jännite on (esim.) 12 volttia.

+

−E

R1 R3 R5R2 R4 R6

I-

r


2. viikko

Maa

Maasolmu voidaan kytkeä laitteen runkoon tai olla kytkemättä(symboli ei siis tarkoita, että laite on "maadoitettu").Edellisen kalvon piiri voidaan piirtää myös näin:

+

−E

R1 R3 R5R2 R4 R6

I-


2. viikko

EsimerkkiRatkaise virta I.

+

−E

R1 R3 R5R2 R4 R6

I-

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1Ω E = 9V


2. viikko

RatkaisuRatkaise virta I.

+

−E

R1 R3 R5R2 R4 R6

I-

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1Ω E = 9V

R5 ja R6 ovat sarjassa. Tämän sarjaankytkennän resistanssi onR5 + R6 = 2Ω.Tämä sarjaankytkentä puolestaan on rinnan R4:n kanssa. Tämänrinnankytkennän resistanssi on 1

11 + 1

2Ω = 2

3 Ω.


2. viikko

Ratkaisu jatkuu

R3 taas on sarjassa edellisen kanssa. Sarjaankytkennän resistanssi onR3 + 2

3 Ω = 53 Ω.

Ja tämä sarjaankytkentä on rinnan R2:n kanssa. Tämänrinnankytkennän resistanssi on 1

( 53 )−1+ 1

1= 5

8 Ω.Ja tämän kanssa on sarjassa vielä R1. Jännitelähteen E näkemäkokonaisresistanssi on siis 5

8 Ω + R1 = 138 Ω.

Virta I on Ohmin lain mukaan I = E138 Ω

= 7213 A ≈ 5,5A.


2. viikko

Kirchhoffin lakien systemaattinen soveltaminen

Virtapiiriyhtälöt kannattaa kirjoittaa systemaattisesti, ettei sekoa omaannäppäryyteensä. Yksi tapa on solmujännitemenetelmä:

1 Valitse joku solmuista maasolmuksi2 Nimeä jännitteet maasolmua vasten eli piirrä jännitenuoli jokaisesta

solmusta maasolmuun.3 Lausu vastusten jännitteet nimettyjen jännitteiden avulla (piirrä

jokaisen vastuksen yli jännitenuoli).4 Kirjoita virtayhtälö jokaiselle solmulle, jossa on tuntematon jännite.5 Ratkaise jännitteet virtayhtälöistä.6 Ilmoita kysytty jännite/jännitteet ja/tai virta/virrat.


2. viikko

Esimerkki

Ratkaise virta I.

+

−E1

+

−E2R3

R1 R2

I?

U3

?

E1 − U3- E2 − U3

U3R3

=E1 − U3

R1+

E2 − U3R2

=⇒ U3 = R3R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3

I =U3R3

=R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3


2. viikko

Esimerkki

Ratkaise virta I.

+

−E1

+

−E2R3

R1 R2

I?

U3

?

E1 − U3- E2 − U3

U3R3

=E1 − U3

R1+

E2 − U3R2

=⇒ U3 = R3R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3

I =U3R3

=R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3


2. viikko

Esimerkki

Ratkaise virta I.

+

−E1

+

−E2R3

R1 R2

I?

U3

?

E1 − U3- E2 − U3

U3R3

=E1 − U3

R1+

E2 − U3R2

=⇒ U3 = R3R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3

I =U3R3

=R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3


2. viikko

Esimerkki

Ratkaise virta I.

+

−E1

+

−E2R3

R1 R2

I?

U3

?

E1 − U3- E2 − U3

U3R3

=E1 − U3

R1+

E2 − U3R2

=⇒ U3 = R3R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3

I =U3R3

=R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3


2. viikko

Esimerkki

Ratkaise virta I.

+

−E1

+

−E2R3

R1 R2

I?

U3

?

E1 − U3- E2 − U3

U3R3

=E1 − U3

R1+

E2 − U3R2

=⇒ U3 = R3R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3

I =U3R3

=R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3


2. viikko

Esimerkki

Ratkaise virta I.

+

−E1

+

−E2R3

R1 R2

I?

U3

?

E1 − U3- E2 − U3

U3R3

=E1 − U3

R1+

E2 − U3R2

=⇒ U3 = R3R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3

I =U3R3

=R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3


2. viikko

Esimerkki

Ratkaise virta I.

+

−E1

+

−E2R3

R1 R2

I?

U3

?

E1 − U3- E2 − U3

U3R3

=E1 − U3

R1+

E2 − U3R2

=⇒ U3 = R3R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3

I =U3R3

=R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R1R3


2. viikko

Huomautuksia

Yhtälöt voi kirjoittaa monella eri logiikalla, ei ole yhtä oikeaamenetelmää.Vaatimuksena ainoastaan a) Kirchhoffin lakien noudattaminen b)Ohmin lain3 noudattaminen sekä se, että yhtälöitä on yhtä montakuin tuntemattomia.Jos piirissä on virtalähde, se säästää (yleensä) laskentatyötä, koskasilloin tuntemattomia virtoja on yksi vähemmän.Käyttämällä konduktansseja yhtälöt näyttävät siistimmiltä.

3Ohmin lakia voi käyttää vain vastuksille. Jos piirissä on muitakomponentteja, tulee tietää niiden virta-jänniteyhtälö eli tietää, mitenkomponentin virta riippuu jännitteestä.


2. viikko

Toinen esimerkki

+

−E1

+

−E2R3

R1 R2

R4

R5

U3

?

U4

?

E1 − U3R1

=U3 − U4

R2+

U3R3

ja U3 − U4R2

=U4R4

+U4 − E2

R5

G1(E1−U3) = G2(U3−U4) + G3U3 ja G2(U3−U4) = G4U4 + G5(U4−E2)

Kaksi yhtälöä, kaksi tuntematonta, voidaan ratkaista. Lopputulos onsama, käytitpä konduktansseja tai resistansseja!


2. viikko

Huomattavaa

Virtapiirin ratkaisemiseksi on useita muitakin menetelmiä kuinsolmujännitemenetelmä: haaravirtamenetelmä, silmukkamenetelmä,solmumenetelmä, modifioitu solmupistemenetelmä. . .Mikäli piirissä on ideaalisia jännitelähteitä (=jännitelähteitä, jotkaliittyvät suoraan solmuun ilman että välissä on vastus), yhtälöihintulee yksi tuntematon arvo lisää (=jännitelähteen virta) sekä yksiyhtälö lisää (jännitelähde määrää solmujen jännite-eron).


2. viikko

Esimerkki a)Ratkaise virta I4.

Esimerkki 3b)Tarkista tuloksesi siten, että merkitset kuvaan kaikki jännitteet ja virrat jatoteat, että tuloksesi ei ole ristiriidassa Kirchhoffin lakien kanssa.

J6 R1− +

ER4

R2 R3 R5

I4?R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1Ω E = 9V J = 1A


2. viikko

Ratkaisu a)Ratkaise virta I4.

Ratkaisu b)Tarkista tuloksesi siten, että merkitset kuvaan kaikki jännitteet ja virrat jatoteat, että tuloksesi ei ole ristiriidassa Kirchhoffin lakien kanssa.

J6 R1− +

ER4

R2 R3 R5

I4?R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1Ω E = 9V J = 1A


2. viikko

Ratkaisu

J6 R1− +

ER4

R2 R3 R5

I4?

U2

?

U3

?

I-

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1Ω E = 9V J = 1A

Kirjoitetaan kaksi virtayhtälöä ja yksi jänniteyhtälö. Merkitään vastustenR4 ja R5 sarjaankytkennän konduktanssia symbolilla G45.

J = U2G2 + II = U3G3 + U3G45

U2 + E = U3

Sijoittamalla toisesta yhtälöstä I:n ensimmäiseen yhtälöön ja sijoittamallatähän kolmannesta yhtälöstä saatavan U2:n, saadaan

J = (U3 − E )G2 + U3(G3 + G45)


2. viikko

Sijoitetaan yhtälöön lukuarvot ja ratkaistaan:

U3 = 4V

Joten kysytty virta on 4V · 1 S = 4A.Jänniteyhtälöstä U2 + E = U3 ratkeaa U2 = −5V, siispä vastuksenR2 virta on 5A alhaalta ylöspäin.Virraksi I saadaan 1A + 5A = 6A, josta 4A kulkee R3:n läpi jaloput 2A vastusten R4 ja R5 läpi.Jännitteet ja virrat täsmäävät Kirchhoffin lakien kanssa, joten piiri onlaskettu oikein.


3. viikko

Esimerkki 1Ratkaise I ja U.

+

−E1

+

−E2

− +E3

R1R2 J

6I?

U?

I3

J = UG2 + I3I3 = I + (E1 − E2)G1

U = E1 + E3


3. viikko

Esimerkki 1Ratkaise I ja U.

+

−E1

+

−E2

− +E3

R1R2 J

6I?

U?

I3

J = UG2 + I3I3 = I + (E1 − E2)G1

U = E1 + E3


3. viikko

Esimerkki 2

Ratkaise U2 ja I1.

+

−E1

+

−E2

+

−E3

J1

- J2

RU2

I1

I1 = (E1 − E3)G + J1

E2 + U2 = E3


3. viikko

Esimerkki 2

Ratkaise U2 ja I1.

+

−E1

+

−E2

+

−E3

J1

- J2

RU2

I1

I1 = (E1 − E3)G + J1

E2 + U2 = E3


3. viikko

Mistä lisäharjoitusta?

Silvosen kirjaan on lisämateriaalia osoitteessa http://users.tkk.fi/~ksilvone/Lisamateriaali/lisamateriaali.htm

Sieltä löytyy tasavirtapiiritehtäviä 175 kappaletta http://users.tkk.fi/~ksilvone/Lisamateriaali/teht100.pdf

Tehtäviin on pdf:n lopussa myös ratkaisut, joten saat välittömänpalautteen osaamisestasi!Jos intoa riittää, voi opetella käyttämään piirisimulaattoria. Sillä onhelppo mm. tarkistaa kotitehtävät:http://www.linear.com/designtools/software/ltspice.jsp


3. viikko

Esimerkki 3

Ratkaise U4.

+

−E R2 R4

R1 R3U4

?

U2

?

(E − U2)G1 = U2G2 + (U2 − U4)G3

(U2 − U4)G3 = G4U4


http://users.tkk.fi/~ksilvone/Lisamateriaali/lisamateriaali.htm

http://users.tkk.fi/~ksilvone/Lisamateriaali/lisamateriaali.htm

http://users.tkk.fi/~ksilvone/Lisamateriaali/teht100.pdf

http://users.tkk.fi/~ksilvone/Lisamateriaali/teht100.pdf

http://www.linear.com/designtools/software/ltspice.jsp

3. viikko

Esimerkki 3

Ratkaise U4.

+

−E R2 R4

R1 R3U4

?

U2

?

(E − U2)G1 = U2G2 + (U2 − U4)G3

(U2 − U4)G3 = G4U4


3. viikko

EsimerkkiRatkaise jännite U1. Kaikki vastukset ovat 10Ω vastuksia, E = 10V jaJ = 1A.

J6

R1 R3

R2

R4

+

−EU1

?


3. viikko

EsimerkkiRatkaise jännite U1. Kaikki vastukset ovat 10Ω vastuksia, E = 10V jaJ = 1A.

J6

R1 R3

R2

R4

+

−EU1

?

U2

U3

I-

U1 − U2-

?U2 − U3

J = U1G1 + (U1 − U2)G2

(U1 − U2)G2 = (U2 − U3)G3 + IG3(U2 − U3) + I = U3G4

U2 − U3 = E


3. viikko

Ratkaisu jatkuu

J = U1G1 + (U1 − U2)G2

(U1 − U2)G2 = EG3 + IG3E + I = U3G4

U2 − U3 = E

Ratkaistaan kolmannesta yhtälöstä I ja sijoitetaan se toiseen yhtälöön.Ratkaistaan viimeisestä yhtälöstä U3 ja sijoitetaan se paikalleen.

J = U1G1 + (U1 − U2)G2

(U1 − U2)G2 = EG3 + (U2 − E )G4 − G3E

1 = 0,2U1 − 0,1U2

0,1U1 − 0,1U2 = 0,1U2 − 1


3. viikko

Ratkaisu jatkuu

1 = 0,2U1 − 0,1U2

0,1U1 − 0,1U2 = 0,1U2 − 1

Jonka ratkaisu on

U1 = 10U2 = 10

Eli kysytty jännite U1 on 10 volttia. Tämän voi vielä tarkistaasimulaattorilla.


4. viikko

Piirimuunnokset

1 Piirimuunnoksella tarkoitetaan toimenpidettä, jonka avulla piiri taipiirin osa muunnetaan esitystavaltaan erilaiseksi mutta ulospäinsamalla tavalla käyttäytyväksi piiriksi.

2 Jo kurssilla käsitellyt jännitelähteiden sarjaankytkentä, vastustenrinnankytkentä sekä vastusten sarjaankytkentä ovat piirimuunnoksia.

3 Tällä tunnilla käsitellään virtalähteiden rinnankytkentä sekäjännitelähde-virtalähdemuunnos.


4. viikko

Esimerkki piirimuunnoksestaKaksi (tai useampi) vastusta muunnetaan yhdeksi, samalla tavallakäyttäytyväksi vastukseksi.

Sarjaankytkentä

R1 R2

⇐⇒R = R1 + R2

Rinnankytkentä

R1

R2⇐⇒

R = 11

R1+ 1

R2

Tai sama kätevämmin konduktansseilla G = G1 + G2.


4. viikko

Virtalähteiden rinnankytkentä

Kaksi (tai useampi) virtalähdettä muunnetaan yhdeksi, samalla tavallakäyttäytyväksi virtalähteeksi.

Virtalähteet rinnan

J16 J2

6 J3? bb⇐⇒ 6J = J1 + J2 − J3

bb

Kuten jännitelähteiden rinnankytkentä, myös virtalähteidensarjaankytkentä on määrittelemätön (arkikielellä: kielletty) asiapiiriteoriassa, aivan kuten nollalla jakaminen matematiikassa. Johtimessa eivoi samaan aikaan olla kahta erisuuruista virtaa!


4. viikko

Jännitelähde-virtalähdemuunnos

Jännitelähteen ja vastuksen sarjaankytkentä käyttäytyy kutenvirtalähteen ja vastuksen rinnankytkentä.

Lähdemuunnos

+

−E

R

bb⇐⇒ J

6R

bb

E = RJ


4. viikko

Tärkeää muistettavaa

Huomaa, että ideaalista jännite- tai virtalähdettä ei voi muuntaa ylläolevalla tavalla. Jännitelähteellä on oltava sarja- ja virtalähteellärinnakkaisresistanssa.Vastuksen arvo pysyy samana, jännite- ja virtalähteen arvo saadaankaavasta E = RJ , joka perustuu Ohmin lakiin.Lähdemuunnos ei ole vain piiriteoreettinen kuriositeetti.Lähdemuunnos sopivassa paikassa säästää monen rivinkaavanpyörittelyltä, esimerkiksi transistorivahvistimien analyysissä.


4. viikko

Muunnoksen perustelu

Lähdemuunnos

+

−E

R I-

U?

ER

6R

I-

U?

Vasen kuvaI =

E − UR U = E − RI

Oikea kuva:

I =ER −

UR =

E − UR U = (

ER − I)R = E − RI

Molemmat piirit käyttäytyvät samalla tavalla.


4. viikko

EsimerkkiRatkaise U.

+

−E1

R1R3

R2 +

−EU

?

Muunnetaan piiri

J16

R1 R3R2 J26

Ja ei muuta kuin vastaus pöytään:

U =J1 + J2

G1 + G2 + G3


4. viikko

Erittäin tärkeä huomio

Vaikka vastuksen arvo pysyy samana muunnoksessa, vastus ei olesama vastus! Esimerkiksi edellisessä esimerkissä muuntamattomanvastuksen virta ei ole sama kuin muunnetun vastuksen virta!


4. viikko

EsimerkkiRatkaise virta I muuntamalla virtalähteet jännitelähteiksi. J1 = 10A,J2 = 1A, R1 = 100Ω, R2 = 200Ω ja R3 = 300Ω.

J16

R1 R3

R2 J26

I-

Tämä on helppo ja nopea lasku; jos huomaat kirjoittavasi toista sivullistayhtälöitä, olet tehnyt jotain väärin.


4. viikko

RatkaisuRatkaise virta I muuntamalla virtalähteet jännitelähteiksi. J1 = 10A,J2 = 1A, R1 = 100Ω, R2 = 200Ω ja R3 = 300Ω.

J16

R1 R3

R2 J26

I-

+

−R1J1

R1 R3R2 +

−R3J2

I-

I =R1J1 − R3J2R1 + R2 + R3

=1000V− 300V

600Ω=

76 A ≈ 1,17A.


4. viikko

Théveninin ja Nortonin teoreemat

Olemme käsitelleet seuraavat piirimuunnokset: jännitelähteidensarjaankytkentä, virtalähteiden rinnankytkentä, vastustenrinnankytkentä sekä vastusten sarjaankytkentä sekäjännitelähde-virtalähdemuunnos.Théveninin ja Nortonin teoreemat liittyvät nekin piirimuunnoksiin.Théveninin ja Nortonin teoreemojen nojalla mikä tahansajännitelähteistä, virtalähteistä ja vastuksista koostuva piiri voidaanesittää jännitelähteen ja vastuksen sarjaankytkentänä tai virtalähteenja vastuksen rinnankytkentänä.


4. viikko

Esimerkki piirimuunnoksesta

Théveninin teoreemaMikä tahansa lineaarinen piiri voidaan esittää yhdestä portista katsottunajännitelähteen ja vastuksen sarjaankytkentänä. Tätä sarjaankytkentääkutsutaan Théveninin lähteeksi.

PorttiPortti = napapari = kaksi napaa eli sellaista solmua, johon voidaan kytkeäjoku toinen piiri (esimerkiksi auton akun navat ovat hyvä esimerkkinapaparista).

Nortonin teoreemaMikä tahansa lineaarinen piiri voidaan esittää yhdestä portista katsottunavirtalähteen ja vastuksen rinnankytkentänä. Tätä rinnankytkentääkutsutaan Nortonin lähteeksi.


4. viikko

Théveninin lähteen muodostaminen

+

−E

R1R2

bb

⇐⇒ +

−ET

RT

bb

Théveninin lähteen ET selvitetään yksinkertaisesti laskemalla portinjännite. RT voidaan selvittää kahdella tavalla:

Sammuttamalla kaikki piirin riippumattomat (ei-ohjatut) lähteet jalaskemalla portista näkyvä resistanssi.Selvittämällä portin oikosulkuvirta ja soveltamalla Ohmin lakia.

Ohjattu lähde on lähde, jonka arvo riippuu piirin jostain toisestajännitteestä tai virrasta. Nämä käydään kurssin loppupuolella.


4. viikko

Théveninin lähteen muodostaminen

+

−E

R1R2

bb

⇐⇒ +

−ET

RT

bb

Portin jännite saadaan (tässä tapauksesa) laskemalla vastusten läpikulkeva virta ja kertomalla se R2:lla. Tämä portin jännite, niin sanottutyhjäkäyntijännite, on sama kuin ET

ET =E

R1 + R2R2


4. viikko

Théveninin lähteen muodostaminenRT voidaan ratkaista kahdella tavalla. Tapa 1: sammutetaan piirin kaikkilähteet, ja lasketaan napojen välinen resistanssi. Sammutettu jännitelähdeon jännitelähde, jonka jännite on nolla volttia, eli toisin sanoen pelkkäjohdin:

R1R2

bb

⇐⇒RT

bb

Nyt napojen välinen resistanssi on helppo laskea: R1 ja R2 ovat rinnan,joten resistanssiksi saadaan

RT =1

G1 + G2=

R1R2R1 + R2

.

Tämä tapa on yleensä helpompi kuin oikosulkuvirran käyttäminen!Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 7. syyskuuta 2011 71 / 123

4. viikko

RT:n selvittäminen oikosulkuvirran avullaRT voidaan ratkaista kahdella tavalla. Tapa 2: oikosuljetaan navat, jalasketaan oikosulun läpi kulkeva virta eli oikosulkuvirta:

+

−E

R1R2

bb

⇐⇒ +

−ET

RT

bb

IK? IK?

Oikosulkuvirran suuruus onIK =

ER1

ja vastuksen RT arvoksi saadaan (soveltamalla Ohmin lakiaoikeanpuoleiseen kuvaan):

RT =ETIK

=ETER1

=E

R1+R2R2

ER1

=R1R2

R1 + R2


4. viikko

Nortonin lähde

Nortonin lähde on yksinkertaisesti Théveninin lähde johon on sovellettulähdemuunnosta (tai päinvastoin). Resistanssi on sama molemmissalähteissä. Nortonin lähteessä virtalähteen virta on sama kuin portinoikosulkuvirta.

JN6

RN

bb


4. viikko

Esimerkki 1

Muodosta Théveninin lähde. Kaikki komponenttiarvot = 1.

J16

R1 R2

− +E

bb


4. viikko

Esimerkki 2

Muodosta Théveninin lähde. Kaikki komponenttiarvot = 1.

+

−E R2 J

6R3

bb

R1


4. viikko

EsimerkkiMuodosta kuvan piiristä Théveninin lähde. Kaikki komponenttiarvot ovat1. (Vastukset ovat jokainen 1Ω ja virtalähde J1 = 1A.)

J16

R1 R3

R2

bb


4. viikko

RatkaisuMuodosta kuvan piiristä Théveninin lähde. Kaikki komponenttiarvot ovat1. (Vastukset ovat jokainen 1Ω ja virtalähde J1 = 1A.)

J16

R1 R3

R2

bb

Ratkaistaan ensin Théveninin jännite ET. Tämän voi tehdä esimerkiksilähdemuunnoksen avulla:

+

−J1R1

R1R3

R2

bb

ET = J1R1R1+R2+R3

R3 = 13 V

?


4. viikko

Ratkaisu jatkuu

Ratkaistaan seuraavaksi Théveninin lähteen resistanssi RT. Helpoiten tämäonnistuu sammuttamalla lähteet ja laskemalla portista näkyvä resistanssi(toinen tapa olisi oikosulkuvirran selvittäminen). Resistanssin voi laskeajoko alkuperäisestä tai muunnetusta piiristä, lopputulos on sama.Lasketaan muunnetusta piiristä, eli sammutetaan jännitelähde:

R1R3

R2

bb

RT = 11

R1+R2+ 1

R3= 2

3 Ω

Vastukset R1 ja R2 ovat sarjassa, ja tämä sarjaankytkentä on rinnan R3:nkanssa. Nyt ET ja RT tiedetään, joten voimme muodostaa Thévenininlähteen (ks. seuraava kalvo).


4. viikko

Lopullinen ratkaisu

+

−ET = 1

3 VRT = 2

3 Ω

bb


5. viikko

Kerrostamismenetelmä

Vastuksista ja vakioarvoisista virta- ja jännitelähteistä koostuva piirion lineaarinen.Jos piiri on lineaarinen, voidaan vastusten jännitteet ja virrat selvittäälaskemalla kunkin lähteen vaikutus erikseen.Tätä ratkaisumenetelmää kutsutaan kerrostamismenetelmäksi.


5. viikko

Kerrostamismenetelmä

Kerrostamismenetelmää sovelletaan seuraavastiLasketaan kunkin lähteen aiheuttama(t) virta/virrat ja/taijännite/jännitteet erikseen siten, että muut lähteet ovatsammutettuina.Sammutettu jännitelähde = oikosulku (suora johdin), sammutettuvirtalähde = avoin piiri (katkaistu johdin).Lopuksi lasketaan osatulokset yhteen.


5. viikko

Esimerkki kerrostamismenetelmän soveltamisestaRatkaise virta I3 kerrostamismenetelmällä.

+

−E1

+

−E2R3

I3?

R1 R2

Sammutetaan oikeanpuoleinen jännitelähde:

+

−E1 R3

I31?

R1 R2I31 = E1

R1+ 1G2+G3

1G2+G3

G3

Sammutetaan vasemmanpuoleinen jännitelähde:

+

−E2R3

I32?

R1 R2I32 = E2

R2+ 1G1+G3

1G1+G3

G3


5. viikko

Esimerkki kerrostamismenetelmän soveltamisesta

Virta I3 saadaan laskemalla osavirrat I31 ja I32.

I3 = I31 + I32 =E1

R1 + 1G2+G3

1G2 + G3

G3 +E2

R2 + 1G1+G3

1G1 + G3

G3


5. viikko

Milloin kerrostamismenetelmä on kätevä?

Kun laskija pitää enemmän piirin sormeilemisesta kuin yhtälöryhmienpyörittelemisestä.Jos piirissä on paljon lähteitä ja vähän vastuksia,kerrostamismenetelmä on usein nopea.Jos piirissä on useita eritaajuisia lähteitä (näihin tutustutaan kurssillaVaihtosähköpiirit), piirin analysointi perustuukerrostamismenetelmään.


5. viikko

Lineaarisuus ja kerrostamismenetelmän teoriatausta

Kerrostamismenetelmä perustuu piirin lineaarisuuteen, eli siihen, ettäjokainen lähde vaikuttaa jokaiseen jännitteeseen vakiokertoimella.Sama kaavana: jos piirissä on lähteet E1, E2, E3, J1, J2, niin jokainenpiirin jännite ja virta on muotoa k1E1 + k2E2 + k3E3 + k4J1 + k5J2,missä vakiot kn ovat reaalilukuja.Jos kaikkien lähteiden arvo on nolla, ovat piirin vastusten virrat jajännitteet nolla; eli nollaamalla kaikki lähteet paitsi yksi, voidaanlaskea kyseisen lähteen vaikutuskerroin.


5. viikko

EsimerkkiRatkaise virta I2 kerrostamismenetelmällä.

J = 1A R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 30Ω E = 5V

J6

R1 R3

R2I2-

+

−E


5. viikko

RatkaisuRatkaise virta I2 kerrostamismenetelmällä.

J = 1A R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 30Ω E = 5V

J6

R1 R3

R2I2-

+

−E


5. viikko

Ratkaisu

Lasketaan ensin virtalähteen vaikutus:

J6

R1 R3

R2I21-

Vastusten R1 ja R2 yli on sama jännite (ne ovat rinnan) ja vastus R2kaksinkertainen verrattuna vastukseen R1 joten R2:n läpi kulkee puoletpienempi virta kuin R1:n. Koska vastusten läpi kulkee yhteensä J = 1A:nsuuruinen virta, kulkee R1:n läpi 2/3A ja R2:n läpi I21 = 1/3A.


5. viikko

RatkaisuLasketaan seuraavaksi jännitelähteen vaikutus:

R1 R3

R2I22-

+

−E

Vastukset R1 ja R2 ovat nyt sarjassa ja niiden yli on yhteensä E = 5Vjännite, joten

I22 = − ER1 + R2

= − 5V10Ω + 20Ω

= −16 A.

Negatiivinen etumerkki johtuu siitä, että virran I22 suunta on alhaalta ylösja vastusten jännitteen suunta ylhäältä alas.Lopuksi yhdistetään tulokset:

I2 = I21 + I22 =13 A− 1

6 A =16 A.


6. viikko

Jännitteenjakosääntö

R1R2U

?

U2

?

U1 -

U1 = U R1R1+R2

ja U2 = U R2R1+R2

Elektroniikkapiirissä tarvitaan usein vertailujännite, jokamuodostetaan jostain suuremmasta jännitteestä.Kaava toimii myös useamman vastuksen sarjaankytkennälle.Nimittäjään tulee kaikkien vastusten summa ja osoittajaan se vastus,jonka yli olevaa jännitettä kysytään.


6. viikko

Virranjakosääntö

R1 R2

I-

I1? I2?

I1 = I G1G1+G2

ja I2 = I G2G1+G2

Kaava pätee myös monen vastuksen rinnankytkennälle.Tätä ei tarvita yhtä tavallisesti kuin jännitteenjakosääntöä, mutta onluontevaa ottaa se esille jännitteenjakosäännön yhteydessä.


6. viikko

Esimerkki 1

R4R1 R2 R3

I1? I2? I3?

J6

I1 = J G1G1+G2+G3

I2 = J G2G1+G2+G3

I3 = J G3G1+G2+G3


6. viikko

Esimerkki 1

R4R1 R2 R3

I1? I2? I3?

J6

I1 = J G1G1+G2+G3

I2 = J G2G1+G2+G3

I3 = J G3G1+G2+G3


6. viikko

Esimerkki 1

R4R1 R2 R3

I1? I2? I3?

J6

I1 = J G1G1+G2+G3

I2 = J G2G1+G2+G3

I3 = J G3G1+G2+G3


6. viikko

Esimerkki 1

R4R1 R2 R3

I1? I2? I3?

J6

I1 = J G1G1+G2+G3

I2 = J G2G1+G2+G3

I3 = J G3G1+G2+G3


6. viikko

Esimerkki 2

R1 R2 R3R4

+

−E

U1

W U2

W U3

W U4

9

U1 = E R1R1+R2+R3+R4

U2 = E R2R1+R2+R3+R4

U3 = E R3R1+R2+R3+R4

U4 = E R4R1+R2+R3+R4


6. viikko

Esimerkki 2

R1 R2 R3R4

+

−E

U1

W U2

W U3

W U4

9

U1 = E R1R1+R2+R3+R4

U2 = E R2R1+R2+R3+R4

U3 = E R3R1+R2+R3+R4

U4 = E R4R1+R2+R3+R4


6. viikko

Esimerkki 2

R1 R2 R3R4

+

−E

U1

W U2

W U3

W U4

9

U1 = E R1R1+R2+R3+R4

U2 = E R2R1+R2+R3+R4

U3 = E R3R1+R2+R3+R4

U4 = E R4R1+R2+R3+R4


6. viikko

Esimerkki 2

R1 R2 R3R4

+

−E

U1

W U2

W U3

W U4

9

U1 = E R1R1+R2+R3+R4

U2 = E R2R1+R2+R3+R4

U3 = E R3R1+R2+R3+R4

U4 = E R4R1+R2+R3+R4


6. viikko

Esimerkki 2

R1 R2 R3R4

+

−E

U1

W U2

W U3

W U4

9

U1 = E R1R1+R2+R3+R4

U2 = E R2R1+R2+R3+R4

U3 = E R3R1+R2+R3+R4

U4 = E R4R1+R2+R3+R4


6. viikko

EsimerkkiRatkaise jännite U jännitteenjakosääntöä hyväksikäyttämällä.

E1 = 10V R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 30Ω

R4 = 40Ω R5 = 50Ω E2 = 15V

+

−E1

R1R2 R3

R4

U -

+

−E2

R5


6. viikko

RatkaisuRatkaise jännite U jännitteenjakosääntöä hyväksikäyttämällä.

E1 = 10V R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 30Ω

R4 = 40Ω R5 = 50Ω E2 = 15V

+

−E1

R1R2 R3

R4

U -

+

−E2

R5U2

?

U3

?

U2 = E1R2

R1+R2= 10V 20 Ω

10 Ω+20 Ω = 623 V

U3 = E2R3

R3+R4+R5= 15V 30 Ω

30 Ω+40 Ω+50 Ω = 3,75VU = U2 − U3 = 211

12 V ≈ 2,92V.


6. viikko

Ohjattu lähde

Tähän mennessä (jännite- ja virta)lähteet ovat olleet vakioarvoisia.Jos lähteen arvo ei riipu piirin muista jännitteistä, lähdettä kutsutaanriippumattomaksi. Vakioarvoiset tai ajan funktiona muuttuvatlähteet ovat riippumattomia lähteitä.Jos lähteen arvo riippuu jonkin toisen piirin osan virrasta taijännitteestä, lähde on ohjattu lähde.


6. viikko

Jänniteohjattu jännitelähde (VCVS)

rru?

+

−e = Au

VCVS:n jännite e riippuu jostain toisesta jännitteestä u.Kerrointa A kutsutaan jännitevahvistukseksi.Käytännön esimerkki: audiovahvistin.


6. viikko

Virtaohjattu jännitelähde (CCVS)

rri?

+

−e = ri

CCVS:n jännite e riippuu jostain virrasta i .Kerrointa r kutsutaan siirto- tai transresistanssiksi.Käytännössä harvinainen (voidaan rakentaa operaatiovahvistimenavulla).


6. viikko

Jänniteohjattu virtalähde (VCCS)

rru?

j = gu6

VCCS:n virta j riippuu jostain toisesta jännitteestä u.Kerrointa g kutsutaan siirto- tai transkonduktanssiksi.Käytännön esimerkki: kanavatransistori.


6. viikko

Virtaohjattu virtalähde (CCCS)

rri? j = βi

6

CCCS:n virta j riippuu jostain virrasta i .Kerrointa β kutsutaan virtavahvistukseksi.Käytännön esimerkki: bipolaaritransistori.


6. viikko

EsimerkkiRatkaise jännite U oheisesta tasasähköpiiristä.

E1 = 10V R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 30Ω

R4 = 40Ω r = 2Ω

+

−E1

R1 R2R3

i-

+

−e2 = ri

R4U9

Huomaa, että oikeanpuoleinen lähde on ohjattu lähde.


6. viikko

RatkaisuRatkaise jännite U oheisesta tasasähköpiiristä.

E1 = 10V R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 30Ω

R4 = 40Ω r = 2Ω

+

−E1

R1 R2R3

i-

+

−e2 = ri

R4U9

Huomaa, että oikeanpuoleinen lähde on ohjattu lähde.


6. viikko

+

−E1

R1 R2R3

i-

+

−e2 = ri

R4U9

Merkitään R1:n ja R2:n sarjaankytkentää symbolilla R12 ja kirjoitetaansolmuyhtälö:

UG3 = (E1 − U)G12 + (ri − U)G4

Yhtälössä on kaksi tuntematonta, joten kirjoitetaan toinen yhtälö, jossaesiintyvät samat tuntemattomat:

i = (E1 − U)G12

Sijoitetaan i ylempään yhtälöön:

E1G12 − UG12 + rG4G12E1 − rG4G12U − UG4 = UG3


6. viikko

E1G12 − UG12 + rG4G12E1 − rG4G12U − UG4 = UG3

jostaG12E1(1 + rG4) = U(G3 + G12 + G4 + rG4G12)

sijoitetaan lukuarvot ja ratkaistaan U:

U =1030(1 + 2

40)130 + 1

30 + 140 + 2

40·30= 3,75V


6. viikko

Kela ja kondensaattori

Ri-

uW

Li-

uW

Ci-

uW

u = Ri u = L didt i = C du

dt


6. viikko

Kela ja kondensaattori tasasähköpiirissä

Ri-

uW

Li-

uW

Ci-

uW

u = Ri u = L didt i = C du

dt

Tasajännite ja -virta pysyvät ajan suhteen vakiona eli jännitteiden javirtojen aikaderivaatat ovat nollia. Eli kelan jännite on tasasähköpiirissänolla ja kondensaattorin virta on tasasähköpiirissä nolla.


6. viikko

Poikkeus 1

Kondensaattoriin syötetään väkisin tasavirtaa.

J6

C

i = C dudt ⇒ J = C du

dt ⇒dudt = J

C eli kondensaattorin jännite kasvaavakionopeudella.


6. viikko

Poikkeus 2

Kelaan kytketään tasajännitelähde.

+

−E

L

u = L didt ⇒ E = L di

dt ⇒didt = E

L eli kelan virta kasvaa vakionopeudella.


6. viikko

Kelan ja kondensaattorin käsittely tasasähköpiirilaskuissa

Kela korvataan oikosululla (=johtimella) ja kondensaattori korvataankatkoksella (eli irrotetaan piiristä).


6. viikko

EsimerkkiRatkaise jännite U oheisesta tasasähköpiiristä.

E1 = 10V R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 30Ω

R4 = 40Ω L = 500mH C = 2F E2 = 15V

+

−E1

R1R2 R3

L

C +

−E2

R4U9


6. viikko

RatkaisuRatkaise jännite U oheisesta tasasähköpiiristä.

E1 = 10V R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 30Ω

R4 = 40Ω L = 500mH C = 2F E2 = 15V

+

−E1

R1R2 R3

L

C +

−E2

R4U9


6. viikko

Ratkaisu jatkuu

Koska piirissä ei ole jännitelähde-kela-rinnankytkentöjä eikävirtalähde-kondensaattori-sarjaankytkentökä ja kyseessä on tasasähköpiiri(jännitteet ja virran pysyvät vakiona), voidaan kelat korvata oikosuluilla jakondensaattorit katkoksilla

+

−E1

R1R2 R3

+

−E2

R4U9

jolloin jännite U saadaan näppärästi jännitteenjakosäännöllä:

U = E2R3

R3 + R4= 637 V ≈ 6,4V


7. viikko

Kertausta

Tällä tunnilla lasketaan kertaustehtäviä.


7. viikko

Kertaustehtävä 1

Kertaustehtävä 1Ratkaise U ja I ensin kerrostamismenetelmällä ja sitten jollain muullamenetelmällä.

R1 = 1Ω R2 = 2Ω J = 1A E = 3V

+

−E

I-

R1

R2 J?

U?

Vastaus: I = 4 A ja U = 1 V.


7. viikko

Kertaustehtävä 2Kertaustehtävä 2Muodosta kytkimien vasemmalla puolella olevasta piiristä Thévenininlähde. Laske sitten, kuinka suuri on virta IX, kun kytkimet suljetaan ja RXon a) 0Ω, b) 8Ω ja c) 12Ω.

R1 = 5Ω R2 = 3Ω R3 = 8Ω R4 = 4Ω E = 16V

R1

R2R3

R4

b b

b b+

−E

RX

IX?

: Vastaus: RT = 8 Ω, ET = 8 V. a) 1 A b) 0,5 A c)0,4 A.


7. viikko

Kertaustehtävä 3Kertaustehtävä 3Laske jännite U3.

G1 = 1S G2 = 2S G3 = 3S G4 = 4S G5 = 5S g = 6 S J = 3A

J6

G1 G2 G3

G4 G5

gU1

U1

?

U3

?

r

U3 = − 48115 V ≈ −417 mV


7. viikko

EsimerkkiTiedetään, että virta I3 = 0A. Laske E1.

R1 = 5Ω R2 = 4Ω R3 = 2Ω R4 = 5Ω R5 = 6Ω E2 = 30V

+

−E1

+

−E2

R1 R3 R2R4 R5

I3-


7. viikko

RatkaisuTiedetään, että virta I3 = 0A. Laske E1.

R1 = 5Ω R2 = 4Ω R3 = 2Ω R4 = 5Ω R5 = 6Ω E2 = 30V

+

−E1

+

−E2

R1 R3 R2R4 R5

I3-

U4

?

U5

?


7. viikko

RatkaisuTiedetään, että virta I3 = 0A. Laske E1.

R1 = 5Ω R2 = 4Ω R3 = 2Ω R4 = 5Ω R5 = 6Ω E2 = 30V

+

−E1

+

−E2

R1 R3 R2R4 R5

I3-

U4

?

U5

?


7. viikko

Koska I3 = 0A, vastusten R1 ja R4 läpi kulkee sama virta, ja samoinvastusten R2 ja R5 läpi kulkee sama virta. Näin ollen ne ovat sarjassa4 janiihin voidaan soveltaa jännitteenjakosääntöä. Vastuksen R5 yli olevajännite on U5 = E2

R5R2+R5

= 18V. Tällöin vastuksen R4 yli on myös 18V.Nyt jännitteenjakosäännön mukaan:

U4 = E1R4

R1 + R4⇒ 18V = E1

5Ω

5Ω + 5Ω

josta ratkeaa E1 = 36V.Huom! Aivan yhtä oikein olisi ollut kirjoittaa solmujänniteyhtälöt piirille jaratkaista niistä E1.

4Siksi ja vain siksi että tiedetään, että I3 on nolla.Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 7. syyskuuta 2011 119 / 123

7. viikko

Kertaustehtävä 4

R2 = 5Ω E1 = 3V E2 = 2V

+

−E1

+

−E2

R2

R1

I1-

I2

a) Millä R1:n arvolla I2 = 0A?b) Mikä on silloin virta I1?a) 10 Ω ja b) 0,2 A.


7. viikko

Kertaustehtävä 5

R1 = 100Ω R2 = 500Ω R3 = 1,5 kΩ R4 = 1 kΩ E1 = 5V

J1 = 100mA J2 = 150mA

J16

R1 +

−E1 R4

R2 R3

J2

-

rU4

?

Ratkaise U4.U4 = 92 V


7. viikko

Kertaustehtävä 6

R1 = 12Ω R2 = 25Ω J = 1A E1 = 1V E2 = 27V

+

−E1 J

6− +E2

R1R2U

?

Laske jännite U.Vastaus: 1

37 V ≈ 27 mV


7. viikko

Lopuksi

Jos löydät kalvoista virheitä, sekavuuksia tai muuta typerää, korjaan nemielelläni. Ota yhteyttä!


Documents

TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) Sisällysluettelo