H-1

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuniSchema Relazioni

- Trave appoggiata agli estremi con carico concen-trato

;

;

- Trave appoggiata agli estremi con carico unifor-memente distribuito

;

- Trave con un appoggio intermedio e con caricoconcentrato all’estremo del tratto a sbalzo

;

;

RA b l------ F= RB

a l------ F=

TA RA= TB RB–=

MA MB 0= =

Mmax RA a RB ba b

l---------- F= = =

f13--- F a2 b2

E I l-----------------------=

RA RB q l

2------------= =

TA RA= TB RB–=

MA MB 0= =

Mmax18--- q l2=

f1

384--------- q l4

E I-----------=

RA b l------ F= RB

l a +l

-------------- F=

TA b l------ F–= TB F=

MA 0=

Mmax F b–=

fF

E I---------- l b+ b2

3-------------------------=

Continua

MECCANICAH-2

- Trave appoggiata agli estremi con carico unifor-memente distribuito su un tratto

;

;

- Trave simmetrica con appoggi intermedi e carichiconcentrati agli estremi

;

- Trave simmetrica con appoggi intermedi e caricouniformemente distribuito

;

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuniSchema Relazioni

RA q a a 2b +

2l-------------------= RB q

a2

2l-----=

TA RA= TB RB–=

MA MB 0= =

Mmax

RA2

q------=

xRA

q------=

RA RB F= =

TA RA–= TB RB=

Mmax F a–=

f1F a l2

8 E I-------------------=

fF a2

3 E I----------------- a 3l

2-----+=

RA RBq l2

2-----------= =

TA RA= TB RB=

MAq a–2

-------------=

M1q l2

4----------- b

l--- 1

2---–=

fq a

24 E I-------------------- 3a2 b3– 6a2 b+=

Continua

H-3

- Trave appoggiata agli estremi con carico distribu-ito variabile con legge lineare (triangolare)

;

;

- Trave incastrata a un estremo con carico concen-trato all’estremo libero

- Trave incastrata a un estremo con carico unifor-memente distribuito

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuniSchema Relazioni

RAq l

3---------= RB

q l6---------=

TA RA= TB RB–=

MA MB 0= =

Mmax16250--------- q l2=

fmax 0 013q l4

2E I-------------=

RA F=

T TA TB RA= = =

Mmax MA F l–= =

f13--- F l3

E I------------=

RA q l=

TA RA=

Mmax MAq l2

2-----------–= =

f18--- q l4

E I-----------=

Continua

MECCANICAH-4

- Trave incastrata a un estremo con carico distribu-ito variabile con legge lineare (triangolare)

- Trave incastrata a un estremo e appoggiataall’altro con carico concentrato ;

;

- Trave incastrata ai due estremi con carico con-centrato

;

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuniSchema Relazioni

RAq l

2---------=

TA RA=

Mmax MAq l2

6-----------–= =

f130------ q l4

E I-----------=

RAF

2l3------- 3l2 b2– b=

RBF

2l3------- 2l b+ a2=

TA RA= TB RB–=

MAF a b l b+

2l2---------------------------------------–=

MCF a2 b 2l b+

2l3---------------------------------------------=

fCF

E I---------- a3 b2 3l b+

12l3---------------------------------------=

fxF a3

12E I---------------- 3b 2l b+

l x–l----------–

l x–l----------=

RAF l 2a+ a2

l3-------------------------------------=

RBF l 2b+ b2

l3-------------------------------------=

TA RA= TB RB–=

MAF a b2

l2---------------------–=

MBF a2 b

l2---------------------–=

MB2F a2 b2

l3---------------------------–=

fCF

E I---------- a3 b3

3l3---------------=

Continua

H-5

- Trave incastrata a un estremo, appoggiataall’altro e con carico uniformemente distribuito

;

;

- Trave incastrata a un estremo, con un appoggiointermedio e con carico uniformemente distribu-ito

;

- Trave incastrata ai due estremi e con carico uni-formemente distribuito

;

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuniSchema Relazioni

RA58--- q l= RB

38--- q l=

TA RA= TB RB–=

MA18--- q l2=

MC9

158--------- q l2=

f1

185--------- q l4

E I-----------=

RAq l

2--------- 3 3l

2a------–

a4l----- –=

RBq l

2--------- 3l

2a------ a

4l----- 1–+=

TA RA= TB RB=

MA q l2b2 a2–

8l--------------------=

MBq b2

2-------------–=

MA Mmax se a 6 b=

MB Mmax se a 6 b=

RA RBq l

2---------= =

TA RA= TB RB–=

MA MB1

12------– q l2= =

MC124------ q l2=

f1

384--------- q l4

E I-----------=

Continua

MECCANICAH-6

- Trave su tre appoggi simmetrici e con carichiconcentrati equidistanti dagli appoggi

;

;

- Trave su tre appoggi simmetrici e con carico uni-formemente distribuito

;

;

- Trave simmetrica incastrata agli estremi, con unappoggio in mezzeria e con carico uniforme-mente distribuito

;

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuniSchema Relazioni

RA RB516------ F= = RC

2216------ F=

TA RA= TB RB–=

MA MB5

32------ F l= =

MC3

16------– F l=

RA RB38--- q l= = RC

54--- q l=

TA RA= TB RB–=

M9

128--------- q l2=

MC18---– q l2=

RA RB12--- q l= = RC q l=

M124------ q l2=

MA MB MC112------– q l2= = =

Continua

H-7

- Trave su quattro appoggi simmetrici e con caricouniformemente distribuito sulla campata centrale

- Trave su quattro appoggi simmetrici e con caricouniformemente distribuito sulle campate laterali

- Trave su quattro appoggi simmetrici e con caricouniformemente distribuito sulle campate laterali

;

;

;

;

- Trave su cinque appoggi simmetrici e con caricouniformemente distribuito ;

;

;

;

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuniSchema Relazioni

RA RD 0 005 q l= =

RB RC 0 550 q l= =

M567------ q l2=

MA MB MC120------– q l2= = =

RA RD 0 450 q l= =

RB RC 0 550 q l= =

M1120------– q l2=

M21099------ q l2=

RA 0 383 q l= RB 1 2 q l=

RC 0 450 q l= RD 0 033 q l=

M11

12 7------------ q l2= MB

18 55------------ p l2–=

MC1

30 3------------– q l2= M2

118 3------------ q l2=

RA 0 393 q l= RB 1 143 q l=

RC 0 929 q l= RD 1 143 q l=

RE 0 393 q l=

M1113------ q l2= MB

18 55------------ p l2–=

MC1

14 1------------– q l2= M2

127 75--------------- q l2=

Continua

MECCANICAH-8

- Telaio incernierato agli estremi e con carico con-centrato sulla parte orizzontale

;

- Telaio incernierato agli estremi e con carico con-centrato su una parte verticale

;

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuniSchema Relazioni

RAF b

l-----------= RB

F al

-----------=

k h l ------=

HA HB3 F a b

2 h l 2k 3+-----------------------------------------= =

MC ME3 F a b

2 l 2k 3+---------------------------------= =

MDF a b

2l------------------ 4k 3+

2k 3+---------------=

RA RB

F h1

l-------------= =

HAF h2 l-----------

4h3 h13 3h1 h2–+

h 2h 3l+--------------------------------------------- +=

6h l 3h1 h l–

h 2h 3l+-----------------------------------------+

HB F HA–=

ME HA h= MC HA h F h2–=

MD HB h– F HA– h–= =

Continua

H-9

- Telaio incernierato agli estremi e con carico uni-formemente distribuito sulla parte orizzontale

- Telaio incernierato agli estremi e con carico uni-formemente distribuito su una parte verticale

;

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuniSchema Relazioni

RA RBq l

2---------= =

HA HBq l2

4h 2 h l------ 3+

------------------------------------= =

MDq l2

8----------- 2h l+

2h 3l+-----------------=

MC MEq l2

4 2 h l------ 3+

--------------------------------= =

RA RBq h2

2l-------------= =

HAq h

8---------- 11h 18l+

2h 3l+-----------------------=

HB q h HA–=

MEq h2

128------------- 11k 18+

2k 3+---------------------

2= k h

l------=

hEh8--- 11k 18+

2k 3+---------------------=

MC38--- q l2 h 2l+

2h 3l+-----------------=

MDq h2

8------------- 5k 6+

2k 3+---------------–=

Continua

MECCANICAH-10

- Telaio incastrato agli estremi e con carico con-centrato sulla parte orizzontale

- Telaio incastrato agli estremi e con carico con-centrato su una parte verticale

;

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuniSchema Relazioni

RAF b

l----------- 6 h l l2 a l 2a2–+ +

6 h l l2+---------------------------------------------------------=

RBF a

l----------- 6 h l 3 a l 2a2–+

6 h l l2+------------------------------------------------------=

HA HB3 F a b

2 h l hl--- 2+

---------------------------------------= =

MAF a b

2l------------------ 5 h l l2 2a h 2l++–

h 2+ l 6h l+---------------------------------------------------------------=

MBF a b

2l------------------ 3l 7 h l 2a h 2l+–+

h 2+ l 6h l+----------------------------------------------------------------=

MC MA HA h–=

ME MB HB h–=

MD MA HA h RA a+–=

RA RB

3 F h12

6 h l l2+---------------------------= = HA F HB–=

HB

F h1

2 h2 hl--- 2+

----------------------------------- 3 hl--- 1+

h1

h-----–=

2 hl--- 1+

MA

F h12

2h------------- 2h

h1------ ––=

3h l 2h2 h h l+–+h2 2 h l+

---------------------------------------------------------– 3h2

6 h2 h l+----------------------------–

MB

F h12

2 h------------- 3 h l 2h2 h h l+–+

h2 2 h l+------------------------------------------------------------- –=

3h2

6 h2 h l+----------------------------–

ME MA HA h1+=

MD M HB h–=

MC MA HA h1 F h2–+=

ROTAZIONI NOTEVOLI DI TRAVI ISOSTATICHEa

aAutore: Fabrizio Barpi, Novembre 2007 (http://staff.polito.it/fabrizio.barpi).

1 Travi cerniera–appoggio

A B

a b

P

AB

ϕA =Pab(� + b)

6� E I

ϕB =Pab(� + a)

6�E I���

a = �2

b = �2

: ϕA =P�2

16 E I, ϕB =

P�2

16 E I

A Bm

a b

A B

ϕA =m(3b2 − �2)

6� E I

ϕB =m(3a2 − �2)

6�E I�a = 0b = �

: ϕA =m�

3 E I, ϕB =

m�

6 E I

A Bq

a b

A B

ϕA =qa2(a + 2b)2

24� E I

ϕB =qa2(2�2 − a2)

24�E I�a = �b = 0

: ϕA =q�3

24 E I, ϕB =

q�3

24 E I

A Bq0

AB

ϕA =7q0�

3

360 E I

ϕB =q0�

3

45 E I

B

qA qB

AB

ϕA =(8qA + 7qB)�3

360 E I

ϕB =(7qA + 8qB)�3

360 E I

A B

+ T

– T

hA B

ϕA =αΔT�

h

ϕB =αΔT�

h�χΔT = 2

αΔT

h

�

2 Travi doppio-pendolo–appoggio

AB

P

a b

B

ϕA = 0,

ϕB =P (�2 − a2)

2 E I�a = 0b = �

: ϕA = 0, ϕB =P�2

2 E I

B

a b

Am B

ϕA = 0,

ϕB =ma

E I�a = �b = 0

: ϕA = 0, ϕB =m �

E I

Bq

a b

A B

ϕA = 0,

ϕB =qa(3�2 − a2)

6 E I�a = �b = 0

: ϕA = 0, ϕB =q�3

3 E I

ABq0

BϕA = 0,

ϕB =q0�

3

8 E I

AB

qA qB

B

ϕA = 0,

ϕB =(5qA + 3qB)�3

24 E I

AB

– T

+ T

hB

ϕA = 0,

ϕB = 2αΔT�

h�χΔT = 2

αΔT

h

�

3 Note

Le rotazioni presentate nei riquadri precedenti sono da considerarsi in modulo; il segno va valutato di volta in volta in base alladeformata causata dalla condizione di carico in esame nel punto scelto.

Si e indicata con h l’altezza della trave e con χΔT la curvatura dovuta alla variazione termica di intensita totale, in valore assoluto,ΔT − (−ΔT ) = 2ΔT .

Gli schemi elementari indicati sopra sono gli unici consentiti nell’utilizzo del Metodo dei Telai; svincolare in modo diverso porta asoluzioni errate!

SOLUZIONI DI TRAVI ELEMENTARI VARIAMENTE CARICATE

Travi con doppio incastroA B

l

Travi con incastro e cerniera

A B

l

CARICHI ESTERNI CARICHI ESTERNIA B

P

MA MB

VA VB

a b

2a)(ll

PbV 3

2

A += ; 2b)(ll

PaV 3

2

B +=

2

2

A lPabM −= ;

2

2

B lbPaM =

A B

l/2

P

MA

VA VB

l/2

P1611VA = ; P

165VB =

Pl163MA =

A B

l/2

P

MA MB

VA VB

l/2

2PVV BA ==

8PlMM BA ==

A B

q

MA

VA VB

ql85VA = ; ql

83VB =

8qlM

2

A =

A B

q

MA MB

VA VB

2qlVV BA ==

12qlMM

2

BA ==

A B

q

MA

VA VB

ql52VA = ;

10qlVB =

15qlM

2

A =

A B

a

q

MA MB

VA VB

b

+= 3

3

2

2

A la

l2a-2

2qaV ;

=la-2

2lqaV 2

3

B

+−= 2

22

A 4la

3l2a-

21qaM ;

−−= 2

22

B 4la

3laqaM

A B

l/2l/2

MA

VA VB

M

lM

89VV BA =−=

8MMA =

A Bq

MA MB

VA VB

ql203VA = ; ql

207VB =

2A ql

301M = ; 2

B ql201M =

A BMA

VA VB

Ml

M23VV BA =−=

2MMA =

A B

ba

MA MB

VA VB

M 3BA l6MabVV −=−=

−=lb32

lbMMA

;

−−=la32

laMMB

A BMA

VA VB

tt lh

tEJ23VV BA

∆α=−=

htEJ

23MA

∆α=

DISTORSIONI VINCOLARIA B

l/2l/2

MA MB

VA VB

M

lM

23VV BA =−=

4MMM BA ==

A BMA

VA VB

2BA lEJ3VV ϕ=−=

lEJ3MA

ϕ=

A BMA MBt

t htEJMM BA

∆α=−=

A BMA

VA VB

3BA lEJ3VV ∆=−=

2A lEJ3M ∆=

DISTORSIONI VINCOLARIA B

MA MB

VA VB

2BA lEJ6VV ϕ=−=

lEJ4MA

ϕ= ; lEJ2MB

ϕ=

A BMA MB

VA VB

3BA lEJ12VV ∆=−=

2BA lEJ6MM ∆==

A BMA

VA VB

3BA lEJ3VV ∆=−=

2A lEJ3M ∆=

Travi con incastro e doppiopendolo

A B

l

CARICHI ESTERNI DISTORSIONI VINCOLARIA B

l/2

P

MA MB

VA

l/2

PVA =

Pl83MA = ;

8PlMB =

A BMA MB

lEJMM BA

ϕ=−=

A BP

MA MB

VA

PVA =

2PlMM BA ==

A B

A B

q

MA MB

VA

qlVA =

3qlM

2

A = ; 6

qlM2

B =

A B

q

MA

VA

MB 2qlVA =

8qlM

2

A = ; 24qlM

2

B =

A B

l/2l/2

MA MBM

2MMM BA ==

A BMA MBt

t htEJMM BA

∆α=−=