UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL MÉRIDA - VENEZUELA

“Análisis de Estructuras Tridimensionales de Concreto Armado mediante la Teoría de Daño”

Trabajo presentado como requisito parcial para optar al título de

Ingeniero civil

Br. Analí Angélica Cabeza Guerra

Tutor: Prof. Julio Flórez López Cotutor: Prof. Maylett Uzcátegui

Noviembre, 2008

ii

“Análisis de Estructuras Tridimensionales de Concreto Armado mediante la Teoría de Daño”

Br. Analí Angélica Cabeza Guerra

El trabajo de Grado titulado “Análisis de Estructuras Tridimensionales de Concreto Armado mediante la Teoría de Daño”, presentado por Analí Angélica

Cabeza Guerra, en cumplimiento parcial de los requisitos para optar al Título de Ingeniero Civil, fue aprobado en la fecha -11-208, por el siguiente jurado:

____________________ ____________________ Prof. Rafael Torres Prof. Carlos Quintero C.I. C.I.

_______________________ Prof. Julio Flórez López

C.I.

iii

AGRADECIMIENTOS

Gracias a Dios, por ser la luz que guía mi camino y hacer en mí grandes maravillas.

Gracias a mis Padres, por formarme con tanto amor y sacrificio. Gracias a mi hermano y a mi pareja, por ser compañeros incondicionales.

Gracias a Julio Flórez y a Maylett Uzcátegui, por el apoyo ilimitado, académico y humano, ofrecido durante el desarrollo de este trabajo.

Gracias a todos los profesores, que contribuyeron con mi aprendizaje. Gracias a mis amigos y compañeros, por hacer diferente esta faena de estudio.

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INDICE GENERAL APROBACIÓN…………………………….................................................................ii AGRADECIMIENTOS............................................................................................... iii INDICE DE FIGURAS.................................................................................................x INDICE DE TABLAS..................................................................................................xi RESUMEN DEL TRABAJO......................................................................................xii I. INTROCUCCIÓN…………………………………………………………………1

II. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PARA SÓLIDOS ELÁSTICOS……………………..…..………..………………4

2.1 TEORÍA DE SÓLIDOS ELÁSTICOS.…………………………………...4

Cinemática de sólidos Planos………………………………………….5 Estática de Sólidos Planos……………………………………………..8 Ley de comportamiento para un material elástico e isótropo………..10

2.2 ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES……………………………11

Discretización de un sólido plano en elementos finitos triangulares, T3………………………………...12 Funciones de interpolación lineal para los desplazamientos…………13 Ecuaciones cinemáticas discretizadas…..……………………………15 Ecuación de equilibrio………………………………………………..16 Matriz de rigidez…………………………………………………….17

III. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

PARA PLACAS.…………………………………………………….………….20

3.1 TEORÍA DE PLACAS DE KIRCHHOFF………………………………20 Representación geométrica de las palcas…………………………….20 Movimiento de una placa de Kirchhoff……………………………...21 Deformaciones de una placa de Kirchhoff.…………………………..24 Esfuerzos de placas de Kirchhoff…………………………………… 26 Leyes de comportamiento para placas de Kirchhoff…………………31 Desacoplamiento del problema en dos análisis………………………32

3.2 ELEMENTO FINITO DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)……………..32

Representación de los desplazamientos y funciones de interpolación.33 Ecuaciones cinemáticas discretizadas………………………………..36 Matriz de rigidez del elemento finito DKT…………………………..36 Matriz de fuerzas internas del elemento finito DKT…………………37

v

IV. TEORÍA DEL DAÑO CONCENTRADO……………………………………38

4.1 CINEMÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS……………………………...38 Representación del movimiento……………………………………...39 Desplazamientos impuestos………………………………………….40 Deformaciones generalizadas………………………………………...40 Ecuaciones cinemáticas………………………………………………41

4.2 ESTÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS…………………………………42

Esfuerzos generalizados……………………………………………...42 Fuerzas externas sobre los nudos…………………………………….43 Ecuaciones de equilibrio......................................................................44

4.3 LEYES DE COMPORTAMIENTO…………………………………….44

Ley de comportamiento elástica lineal……………………………….45 Análisis de pórticos elásticos lineales………………………………..45

4.4 LEYES DE COMPORTAMIENTO ELASTOPLÁSTICAS……………47

Ley de comportamiento elastoplástica perfecta para miembros de pórticos planos…………………………..47 Pórticos elastoplásticos con endurecimiento cinemático…………….49

4.5 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LA FRACTURA………...50

Distribución de esfuerzos en los bordes de un agujero elíptico……...50 El criterio de Griffith…………………………………………………52

4.6 TEORÍA DEL DAÑO CONTINUO……………………………………..54

La variable de daño continuo………………………………………...55 Ley de estado y ley de evolución de la deformación plástica………..57 Ley de evolución del daño para materiales frágiles………………….59 Daño en una rótula plástica…………………………………………..60 Matriz de rigidez de un miembro elastoplástico dañado……………..61 Función de fluencia de una rótula plástica con daño………………...63 Criterio de Griffith en una rótula plástica……………………………64 Resistencia al agrietamiento en un elemento estructural de concreto armado………………………………………65 Determinación indirecta de los parámetros característicos de la resistencia al agrietamiento…………………………………….68 Función de fluencia de la rótula plástica…………………………..…69

V. IMPLEMENTACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS EN EL PEEF…………71

5.1 DISEÑO DEL PEEF……………………………………………………..71

Estructura del PEEF………………………………………………….72

vi

5.2 IMPLEMENTACIÓN DE LOS NUEVOS ELEMENTOS.……..………79 Elemento finito triangular de placa T3……………………………….79 Subrutina para la implementación del elemento finito T3 en el PEEF………………………………………………….81 Elemento finito triangular de placa DKT………………………….…88 Subrutina para la implementación del elemento finito DKT en el PEEF……………………………………………….90

5.3 EJEMPLOS DE VALIDACIÓN.……………………………………....107

Validación del elemento finito DKT………………………………..107 Validación del elemento finito T3…………………………………..114 Análisis de una estructura tridimensional de concreto armado……..117

VI. CONCLUSIONES. ………………………………………………...………....128

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS………………………………………..….130

ANEXOS……………………………………………...……………………………131

INDICE DE FIGURAS Figura 2.2.1 Elemento diferencial de volumen de un sólido……………………………………….5 Figura 2.1.2 Desplazamientos del elemento diferencial de volumen……………….………………6 Figura 2.1.3 Desplazamientos de la estructura…………………….………………………………..6 Figura 2.1.4. Deformaciones unitarias de las fibras del EDV en a) dirección X, b) dirección Y, c) en el plano XY...........................…………………..7 Figura 2.1.5. Esfuerzos generalizados para un EDV…………………..……………………………9 Figura 2.2.1. Malla de un sólido plano con elemento finito triangular…………………………….13 Figura 2.2.2. Elemento diferencial de volumen de desplazamientos aproximados………………..14

vii

Figura 3.1.1 Representación geométrica de las placas………………………………………….....21 Figura 3.1.2 Representación del movimiento de la fibra vertical según la teoría de placas de Kirchhoff……………………………………………………………………………..23 Figura 3.1.3 Deformaciones axiales para un elemento de volumen representativo de la placa..….25 Figura 3.1.4 Representación de las deformaciones longitudinales por curvatura en placas según la teoría de Kirchhoff…………………………………...………………………………26 Figura 3.1.5 a) Fuerzas externas en el plano de la placa, b) Fuerzas externas normales al plano de la placa……………………………………………………………………………….27 Figura 3.1.6. Tensor de fuerzas axiales para un elemento de volumen representativo…………….29 Figura 3.1.7 Tensor de flujo de momentos flectores de un EVR de placa………………………...30 Figura 3.2.1 Elemento finito DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)…………………………...……33 Figura 3.2.2 Rotaciones βs y βn……………………...……………………………………………34 Figura 4.1.1 Representación de un pórtico y desplazamientos generalizados de un nudo "i" del mismo……………………..……................................................................................40 Figura 4.1.2 Deformaciones generalizadas del miembro entre los nudos i y j…………………....41 Figura 4.2.1 Esfuerzos generalizados en un miembro de un pórtico plano…………………...…..43 Figura 4.4.1 Modelo de plasticidad concentrada de un miembro de un pórtico plano..…………..48 Figura 4.4.2 Comportamiento de una rótula plástica con endurecimiento cinemático lineal…......49

viii

Figura 4.5.1. Placa con agujero elíptico sometida a tracción uniforme en el infinito………...……51 Figura 4.5.2 Energía total en función de la longitud de la fisura………………………………….53 Figura 4.6.1. Validez de la mecánica de la fractura frágil………………..………………………..55 Figura 4.6.2. Daño en un medio continuo………………………………………………………….56 Figura 4.6.3. Esfuerzo efectivo…………………………………………………………………….58 Figura 4.6.4. Envolvente parabólica en un modelo de daño frágil………………………...………60 Figura 4.6.5. Representación del estado de daño de un miembro de un pórtico plano mediante parámetros de daño…………………………………………………………………..61 Figura 4.6.6 Junta viga-columna para la identificación de la resistencia al agrietamiento………..66 Figura 4.6.7 Fuerza en función del desplazamiento en el ensayo de identificación………………66 Figura 4.6.8 Daño en función de la tasa de disipación de energía….......................………………67 Figura 5.1.1. Método de Newton usado para resolver cada uno de los n problemas locales……... 73 Figura 5.1.2 Diagrama de flujo del programa de elementos finitos…………………….…………76 Figura 5.1.3 Diagrama de flujo del bloque de subrutinas para la solución del problema local………………………………….……………………………………….………78 Figura 5.2.1 Diagrama de flujo de la subrutina del elemento finito de placa T3….………………80

ix

Figura 5.2.2. Diagrama de flujo de la subrutina general para el DKT ……………………...……..88 Figura 5.2.3 Subrutina para el cálculo del jacobiano del elemento finito DKT…….……………..90 Figura 5.3.1. Placa triangular, validación del elemento finito DKT…………………...…………108 Figura 5.3.2 Matriz de Rigidez del DKT de una placa de espesor h, modulo de elasticidad E y μ=0.3……………………………...………………………………….……………. 109 Figura 5.3.3 Placa cuadrada empotrada discretizada con a) cuatro elementos DKT, b) ocho elementos DKT, c) dieciséis elementos DKT………………………………………111 Figura 5.3.4 Placa cuadrada simplemente apoyada discretizada con a) cuatro elementos DKT, b) ocho elementos DKT, c) dieciséis elementos DKT……………………………………...…………………113 Figura 5.3.5 a) Placa sometida a fuerzas en dirección “x” b) Placa de 4 nodos y dos elementos T3 c) Placa de 9 nodos y ocho elementos T3 d) Placa de 25 nodos y treinta y dos elementos T3...………………….……………115 Figura 5.3.6. Mesa de concreto armado con carga uniformemente distribuida……………………………………………….…..119 Figura 5.3.7 Malla con elementos finitos de placa: a) 2 elementos, b) 4 elementos, c) 8 elementos d) 32 elementos.......……………...119 Figura 5.3.8 Mesa sometida a desplazamientos en la dirección del eje X……...………………..122 Figura 5.3.9 Fuerza vs. Desplazamiento en dirección X de un nodo………………………..…..124 Figura 5.3.10 Mesa sometida a solicitaciones combinadas…………………..……………………126

x

INDICE DE TABLAS Tabla 3.2.1 Índices i, k y m para el elemento finito DKT………………………………………..35 Tabla 3.2.2 Funciones Ni y Pk para el elemento finito DKT …...……………………………….35

Tabla 3.2.3 Coordenadas de integración de Hammer…….....................…………………………35 Tabla 3.2.4 Valores de [J]…………………………………………………………………….......36 Tabla 5.3.1. Reacciones en los apoyos de la placa triangular…………………………………..109 Tabla 5.3.2 Flecha en el centro de la placa, empotrada en el contorno, sometida a una fuerza concentrada para la malla del caso “a”…………………………………...………...112 Tabla 5.3.3 Flecha en el centro de la placa sometida a una fuerza concentrada para la malla del caso de “a”………………………………………………………………………….112 Tabla 5.3.4 Solución obtenida de PEEF para la flecha en el centro de la placa, de contorno empotrado, sometida a una fuerza concentrada…………………………………….112 Tabla 5.3.5 Flecha en el centro de la placa, simplemente apoyada en las esquinas, sometida a una fuerza concentrada para la malla del caso de “a”…………………………………..114 Tabla 5.3.6 Flecha en el centro de la placa, simplemente apoyada, sometida a una fuerza concentrada, obtenida utilizando el PEEF………………………………………….114 Tabla 5.3.7. Coordenadas constantes de los nodos de las esquinas……………………………...116 Tabla 5.3.8. Fuerzas en los nodos de las esquinas………………………………………………116 Tabla 5.3.9. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas Malla “b”..…………....116

xi

Tabla 5.3.10. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas, Malla “c”…………...…...….117 Tabla 5.3.11. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas, Malla “d”………………..…117 Tabla 5.3.12 Resumen de las flechas en las esquinas de la mesa………………………………...120 Tabla 5.3.13 Resumen de las reacciones verticales en los nodos empotrados…………………...121 Tabla 5.3.14 Carga total vertical en la placa……………………………………………………...121 Tabla 5.3.15 Desplazamientos y fuerzas en las esquinas de la placa. Malla 2E…………………123 Tabla 5.3.16 Desplazamientos y fuerzas en las esquinas de la placa. Malla 32E………………..123 Tabla 5.3.17 Desplazamientos horizontales y fuerzas en las esquinas de la placa. Malla 32E….126 Tabla 5.3.18 Flechas en las esquinas de la placa. Malla 32E…………………………………….127

xii

RESUMEN

“Análisis de Estructuras Tridimensionales de Concreto Armado mediante la Teoría de Daño”

Br. Analí Angélica Cabeza Guerra

Tutor: Prof. Julio Flórez López Cotutor: Prof. Maylett Uzcátegui

En esta tesis se describe la implementación de dos nuevos elementos finitos en

un programa de análisis estructural para pórticos tridimensionales de concreto armado.

Este programa, denominado PEEF (Programa Endógeno de Elementos Finitos)

permite la inclusión de elementos finitos con un número arbitrario de nodos, cada uno de los cuales puede tener un número indefinido de grados de libertad.

Antes del inicio de este trabajo, la biblioteca de elementos de PEEF sólo incluía

elementos para el análisis de pórticos de concreto armado basados en la teoría del daño concentrado. Los nuevos elementos implementados en el programa permiten el análisis de placas elásticas.

El primero de ellos, denominado elemento T3, caracteriza el comportamiento

de placas sometidas a acciones en su plano. El segundo elemento, denominado DKT, utiliza la teoría de placas delgadas de Kirchhoff para determinar el comportamiento a flexión de este tipo de estructuras.

Ambos elementos, que pueden usarse separadamente o en conjunto,

corresponden a triángulos de aristas rectas y tres nudos. El T3 supone una aproximación lineal para los desplazamientos en el plano de la placa. El elemento DKT supone una aproximación lineal para las rotaciones normales y una aproximación cuadrática para las rotaciones tangentes.

Los elementos fueron validados comparando los resultados obtenidos utilizando

PEEF con soluciones analíticas o resultados numéricos descritos en las referencias bibliográficas.

Finalmente se muestra el análisis de una estructura conformada por una placa

elástica cuadrada apoyada sobre cuatro columnas de concreto armado, sometida a tres casos de cargas; el primer caso corresponde a una carga vertical uniformemente distribuida sobre la placa (uso del DKT); en el segundo la estructura está sometida a desplazamientos horizontales (uso del T3), y en el último caso se combina la carga vertical distribuida con los desplazamientos horizontales (T3 y DKT).

I. INTROCUCCIÓN

Venezuela en los últimos años ha sido testigo de sucesos que señalan la

presencia de fallas en los criterios de estabilidad y seguridad de sus estructuras. Por

ejemplo, el Viaducto Caracas- La Guaira, que colapsó en el año 2006, debido al

empuje de la montaña donde se apoyaba su estribo sur [1]. O también las estructuras

que se derrumbaron durante el terremoto que ocurrió en 1997, en el estado Sucre; una

de ellas el Liceo Raimundo Martínez Centeno (LRMC), donde murieron 18 personas

entre estudiantes y maestros [2]. Acontecimientos como éstos despiertan la necesidad

de saber cuál es el comportamiento real de las estructuras ante la acción de ciertas

solicitaciones o demandas externas, y de esta manera poder identificar cuáles son los

errores cometidos en el diseño y construcción de las mismas.

Para conocer la respuesta real de una estructura ante la acción de un agente

externo, se han planteado a través del tiempo diferentes modelos matemáticos que

permiten representarla por medio de variables, ecuaciones y teorías. La teoría que

permite simular matemáticamente el proceso de deterioro de la resistencia y las

propiedades de los materiales en los elementos que componen a cualquier estructura,

se denomina Teoría del daño concentrado.

La teoría del daño concentrado se combina con la teoría de pórticos, para

aplicarse al análisis de estructuras aporticadas [3]. A partir de esta propuesta nace “El

Portal de Pórticos”, que es un programa basado en la Web que permite la simulación

1

numérica del comportamiento sísmico de pórticos bidimensionales de concreto

armado [4].

El programa Portal de Pórticos arroja resultados innovadores y útiles a la hora

de analizar estructuras aporticadas de concreto armado, como es la magnitud y

localización de los daños que podrían ocurrir en la edificación, y en casos extremos,

el colapso de la misma. Sin embargo, también tiene ciertas limitaciones, como es el

hecho de que sólo se pueden analizar estructuras aporticadas de concreto armado,

bidimensionales, con tres grados de libertad por nodo, además de que los usuarios no

pueden introducir nuevos elementos finitos, de acuerdo a sus necesidades de análisis.

Debido a las limitaciones que presenta el Portal de Pórticos, se está

desarrollando un nuevo programa, denominado “Portal de Pórticos 3D (PDP3D)”,

que permite el análisis de estructuras tridimensionales de concreto armado, además de

la inclusión de elementos finitos con un número arbitrario de nodos, cada uno de los

cuales puede tener un número indefinido de grados de libertad, basado

fundamentalmente en el método de los elementos finitos y en la teoría del daño

concentrado [5,6]. El motor del PDP3D se denomina “Programa Endógeno de

Elementos Finitos, (PEEF)”, que está debidamente diseñado para que el PDP3D

pueda cumplir con las funciones antes mencionadas.

Antes del inicio de este trabajo, la biblioteca de elementos de PEEF sólo incluía

elementos para el análisis de pórticos de concreto armado basados en la teoría del

daño concentrado.

Esta tesis tuvo por objeto implementar dos nuevos elementos finitos, en dicho

programa, para el análisis de placas elásticas. Los nuevos elementos finitos, T3 y

2

DKT, permiten modelar placas elásticas delgadas, sometidas a cargas en el plano y/o

cargas perpendiculares. La implementación de estos elementos finitos en el programa

permite simular estructuras tridimensionales, y considerar en su comportamiento la

contribución de elementos que puedan modelarse como placas, por ejemplo el

entrepiso de un edificio o el tablero de un puente.

El elemento finito T3, caracteriza el comportamiento de placas sometidas a

acciones en su plano. El elemento finito DKT, utiliza la teoría de placas delgadas de

Kirchoff, para determinar el comportamiento a flexión de este tipo de estructuras.

Este trabajo esta organizado de la siguiente manera:

En el capítulo II se presenta la teoría de sólidos planos elásticos, la cual se

conjuga con el método de elementos finitos, para dar origen al elemento finito T3.

En el Capítulo III se describe la teoría de placas de Kirchhoff, a partir de la cual

se plantea el elemento finito DKT.

En el capítulo IV se muestra la teoría del daño concentrado, siendo ésta la base

fundamental del diseño del “Programa Endógeno de Elementos Finitos (PEEF)”.

En el capítulo V se explica la estructura del programa, el aporte de los nuevos

elementos finitos, las tareas que se realizan en las nuevas subrutinas, y su validación.

3

II. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PARA SÓLIDOS ELÁSTICOS

En este capítulo se desarrollan los aspectos fundamentales que describen la

teoría de sólidos elásticos, incluyendo la forma de incorporar sus variables y las

ecuaciones que la definen. Además se presenta un resumen del método de los

elementos finitos aplicado al análisis de sólidos elásticos. Específicamente se

plantean las expresiones de un elemento finito triangular para sólidos planos, llamado

elemento finito “T3”. Ambos temas a tratar forman parte de la base para el

planteamiento del elemento finito de placa y su implementación en el programa

endógeno de elementos finitos.

2.1 TEORÍA DE SÓLIDOS ELÁSTICOS

La teoría de sólidos elásticos estudia el comportamiento de los sólidos que

sufren una deformación, cuando son sometidos a ciertas solicitaciones, la cual se hace

nula cuando la solicitación se elimina. Esta sección contiene los puntos que permiten

definir por completo el comportamiento de los sólidos elásticos, tal como lo son la

cinemática y la estática de sólidos planos, así como las leyes de comportamiento para

un material elástico e isótropo. En el análisis de cualquier estructura es necesaria la

identificación de un elemento que permita, con mayor facilidad, la representación de

las variables involucradas. A este elemento se le denomina “unidad básica

estructural” (UBE). En el caso particular del estudio de los sólidos, la UBE viene

4

dada por un “elemento diferencial de volumen” (EDV) como por ejemplo, el que se

presenta en la figura 2.1.1.

Figura 2.2.1 Elemento diferencial de volumen de un sólido

Cinemática de sólidos planos

La cinemática permite, en términos generales, relacionar el movimiento con la

deformación del sólido, sin tomar en consideración las causas que lo producen. Para

definir esta relación es necesario establecer las variables que intervienen:

Representación del movimiento.

El movimiento para cada elemento diferencial de volumen se representa por

medio del vector de desplazamiento:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

vu

U (2.1.1)

5

Donde “u” corresponde al movimiento del EDV en dirección al eje de

referencia X, y “v” al movimiento en dirección al eje Y, con respecto a su posición

inicial, tal como se muestra en la figura 2.1.2

Figura 2.1.2 Desplazamientos del elemento diferencial de volumen

Adicionalmente, el “campo de desplazamiento de la estructura” identifica el

movimiento de la misma, donde “U y V” son funciones de las coordenadas (x, y).

(figura 2.1.3):

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

),(),(

yxVyxU

U (2.1.2)

Figura 2.1.3 Desplazamientos de la estructura.

6

Representación de las deformaciones:

La matriz de deformaciones del EDV de coordenadas (x, y) es:

[ ]( )( )( )⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

yx

yxyx

xy

y

x

,

,,

γ

εε

ε (2.1.3)

Donde, de acuerdo a la figura 2.1.4, se tienen las siguientes interpretaciones

físicas:

εx: es la deformación unitaria de las fibras del EDV en la dirección X

dxx

xδ

ε = (2.1.4)

εy: es la deformación unitaria de las fibras del EDV en la dirección Y

dyy

y

δε = (2.1.5)

γxy: es la deformación angular en el plano XY

βαγ +=xy (2.1.6)

a) b) c)

Figura 2.1.4. Deformaciones unitarias de las fibras del EDV en a) dirección X, b) dirección Y, c) en el plano XY.

7

Ecuaciones cinemáticas

Las ecuaciones cinemáticas relacionan los desplazamientos con las

deformaciones de la siguiente manera:

[ ] [ ] [ ]U∂=ε , [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

xy

y

x0

0

(2.1.7)

Donde [ es denominada matriz de transformación. ]∂

Estática de sólidos planos

La estática introduce, al análisis de la estructura, las fuerzas externas y los

esfuerzos generalizados, que están relacionados a su vez por medio del principio de

trabajos virtuales.

Representación de las fuerzas externas

Las fuerzas que actúan sobre un sólido plano pueden ser de volumen, de

superficie y/o concentradas. En esta sección se representan por medio de vectores

caracterizados por su magnitud, sentido y dirección.

Fuerzas de Volumen: vienen expresadas por unidad de volumen

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

y

x

fvfv

Fvfv (2.1.8)

Fuerzas de Superficie: se indican por unidad de superficie.

8

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

y

x

fsfs

Fsfs (2.1.9)

Fuerzas Concentradas: son también llamadas cargas puntuales.

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

y

x

fpfp

Fpfp (2.1.10)

Para todos los casos anteriores, [fn] es el vector que representa a la fuerza, Fn

corresponde a su magnitud y indica su dirección y sentido, de acuerdo a los

ejes de referencias. La fuerza total resulta de la combinación de todos los tipos de

fuerzas actuantes sobre la estructura.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

y

x

fnfn

Representación de los esfuerzos generalizados.

La distribución interna de esfuerzos que produce un sistema de fuerzas

exteriores se representa por medio de una matriz que contiene el esfuerzo de tracción

tanto en la dirección de eje X (σx) como en la dirección del eje Y (σy) , y la fuerza

cortante (τxy) para un EDV (figura 2.1.5).

[ ]( )( )( )⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=yxyxyx

xy

y

x

,,,

τσσ

σ (2.1.11)

Figura 2.1.5. Esfuerzos Generalizados para un EDV

9

Principio de los trabajos virtuales

El principio de los trabajos virtuales se cumple para cualquier sólido o

estructura. El mismo plantea que el equilibrio estático de una estructura se consigue

cuando el trabajo virtual de las fuerzas externas es igual al trabajo virtual de las

fuerzas internas, en un campo de desplazamientos virtuales {U*}

**ei TT = (2.1.12)

El trabajo virtual interno relaciona los esfuerzos con las deformaciones

virtuales, mientras que el trabajo virtual externo se refiere al producto de las fuerzas

externas por los desplazamientos virtuales. Estas expresiones se generalizan a la

estructura en su totalidad realizando la suma infinitesimal de la contribución de cada

EDV, con excepción de las fuerzas puntuales, de la siguiente manera:

[ ] [ ]∫ ∫ ∫=v

T dvTi σε ** (2.1.13)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∫ ∫∫ ∫ ∫ ++= fpUdsfsUdvfvUTe T

s

T

v

T ****

Ley de comportamiento para un material elástico e isótropo

Con el fin de definir por completo el comportamiento de la estructura analizada

se relacionan los esfuerzos generalizados y las deformaciones generalizadas, por

medio de la expresión general:

[ ] [ ] [ ]εσ H= (2.1.14)

Donde [H] es la matriz de coeficientes elásticos, por medio de la cual se

introducen las propiedades del material de la estructura de acuerdo a dos criterios:

10

Esfuerzos Planos: este criterio se aplica a estructuras que pueden modelarse por

medio de placas delgadas, donde una dimensión es notablemente más pequeña que el

resto de las dimensiones. En este caso [H] viene dada por la expresión:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

2100

0101

1 2μ

μμ

μEH (2.1.15)

Deformaciones Planas: se aplica en el modelado de estructuras sólidas largas

con secciones transversales constantes. [H] es entonces calculada por medio de la

siguiente ecuación:

[ ] ( )( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

+−=

22100

0101

121 μμμ

μμ

μμEH (2.1.16)

En ambas ecuaciones (2.1.15 y 2.1.16) E es el módulo de elasticidad y μ es el

coeficiente de Poisson.

2.2 ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES

En la sección anterior se exponen ciertas ecuaciones variacionales que permiten

definir el comportamiento de las estructuras que pueden modelarse por medio de la

teoría de sólidos elásticos. Es evidente que en la práctica encontrar la solución

analítica de estas expresiones implica un trabajo complejo; no obstante el método de

elementos finitos, se convierte en una alternativa práctica de cálculo.

11

El método de elementos finitos (MEF) consiste en dividir la estructura en una

serie de particiones llamadas “elementos finitos”, cada una de las cuales se trazan por

medio de puntos llamados “nodos”. Un nodo puede pertenecer a varios elementos

finitos simultáneamente. Al conjunto de nodos se les denomina “malla”, sobre la cual

se realizan los cálculos. A cada nodo se le vinculan las variables que caracterizan el

comportamiento (movimiento, deformación, fuerzas externas, esfuerzos

generalizados), las cuales que se relacionan entre si por medio de un sistema de

ecuaciones definido por “la matriz de rigidez”. El número de ecuaciones de dicho

sistema es proporcional al número de nodos. Los resultados convergen hacia la

solución exacta del sistema de ecuaciones mientras más refinada se genere la malla,

esto implica mayor cantidad de particiones.

En esta sección se expone el método de elementos finitos con discretizaciones

triangulares, con el fin de definir el comportamiento de un sólido plano. Este

elemento finito es identificado como “T3”. Se plantean las funciones de

interpolaciones lineales para los desplazamientos, ecuaciones cinemáticas y de

equilibrio, así como las matrices de fuerzas nodales y de rigidez.

Discretización de un sólido plano en elementos finitos triangulares, T3.

El análisis de estructuras por medio del MEF comienza con su discretización,

una vez que se tiene las características geométricas de la misma. En este caso se

realiza por medio de un número determinado de elementos finitos triangulares, T3, lo

que implica que cada uno de ellos está definido por tres nodos, que son puntos de

conexión entre elementos. El conjunto de nodos y elementos forman la malla, como

12

por ejemplo la mostrada en la figura 2.2.1. A cada nodo le corresponde un

identificador de acuerdo al sistema de numeración global de la estructura, y está

caracterizado por sus coordenadas (x, y) correspondientes a los ejes de referencias.

Figura 2.2.1. Malla de un sólido plano con elemento finito triangular

Funciones de interpolación lineal para los desplazamientos

En el MEF las incógnitas fundamentales son los desplazamientos de cada nodo,

que se presentan en una matriz columna llamada [UN]. Para el caso en que se tengan

dos desplazamientos por nodos, en las direcciones X e Y de acuerdo a un sistema

coordenado, por ejemplo el mostrado en la figura 2.2.1, se tendrá entonces una

matriz [UN] de tamaño 2n, donde “n” es el número total de nodos del sólido o

estructura, de este conjunto sólo se conocen los desplazamientos correspondientes a

los nodos restringidos. La matriz de desplazamientos se expresa de la siguiente

manera:

[ ] [ ]nnT

N vnvuvuU .....2211= (2.2.1)

13

Donde “u” corresponde al desplazamiento del nodo en dirección del eje X, y

“v” al desplazamiento en dirección del eje Y

Sin embargo es evidente que entre nodo y nodo existen infinitos puntos que

también pertenecen al sólido en estudio, que se pueden llamar elementos diferenciales

de volumen (EDV). A fin de conseguir los desplazamientos aproximados de éstos se

aplican las ecuaciones de interpolación lineal, que vienen dadas por la siguiente

expresión matricial:

( )[ ] ( )[ ] [ ]qyxNyxU L ,, = (2.2.2)

( )( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

VkUkVjUjViUi

NkNjNiNkNjNi

yxVyxU

000000

,,

Donde [U(x,y)] es la matriz de desplazamientos del EDV de coordenadas (x, y)

que se encuentra dentro del elemento finito de nodos i, j y k (figura 2.2.2), NL la

matriz de funciones de interpolación, y [q] los desplazamientos en dirección X e Y

de los nodos del elemento.

Figura 2.2.2. Elemento diferencial de volumen de desplazamientos aproximados

14

Las funciones de interpolación lineal para cada nodo se definen como [7]:

( ) ( ) ( )[ ]yyxxyyxyyxA

N jkkjkjkji −+−+−=21

( ) ( ) ([ ]yyxxyyxyyxA

N kiikikikj −+−+−=21 ) (2.2.3)

( ) ( ) ( )[ ]yyxxyyxyyxA

N ijjiijjik −+−+−=21

( ) ( ) ( )[ ]kjijikikj xyyxyyxyyA −−+−=21 (2.2.4)

Donde ( )ii yx , , ( )jj yx , y ( )kk yx , son las coordenadas del nodo i, j y k

respectivamente; corresponden a las coordenadas del EDV y A es el área del

elemento finito triangular.

( yx, )

Mientras más pequeños sean los elementos finitos triangulares, la solución será

más parecida a la solución exacta.

Ecuaciones cinemáticas discretizadas

Las ecuaciones cinemáticas relacionan los desplazamientos con las

deformaciones. Partiendo de la teoría de los sólidos planos, las deformaciones se

expresan mediante la ecuación (2.1.7). Adicionalmente, para un punto cualquiera, los

desplazamientos se definen por medio de la igualdad (2.2.2). Combinando ambas

expresiones y resolviendo las derivadas respectivas se obtiene para un elemento

cualquiera “b” la siguiente ecuación cinemática:

[ ] [ ] [ ]bbLb qB=ε (2.2.5)

15

Donde [ε] b es la matriz de deformaciones para cada elemento finito “b”, que

depende de la matriz de transformación local del mismo elemento [ BL] b , y los

desplazamientos de sus nodos, [q] b. También las deformaciones se pueden expresar

en función de todos los desplazamientos de la estructura por medio de la matriz de

transformación global, que se diferencia de la matriz anterior, porque se añaden

columnas “0” en las posiciones que corresponden a los desplazamientos de los nodos

que no pertenecen al elemento, en ese caso se tiene:

[ ] [ ] [ ]NbGb UB=ε (2.2.6)

Ecuación de equilibrio

La ecuación de equilibrio es el vínculo entre las fuerzas externas y los esfuerzos

generalizados. Esta ecuación se obtiene de la combinación del principio de los

trabajos virtuales y la ecuación cinemática. Sabiendo que la deformación y los

esfuerzos son constantes para cada elemento finito triangular, y [ ]*U es la matriz de

desplazamientos virtuales de toda la estructura, resulta:

[ ] [ ] [ Nb

m

b

TbG PBVe =∑

=

σ1

]

[ ]( )

(2.2.7)

(( ) )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−

−−−=

ikijikkikjjk

ijkijk

jiikkj

bL

yyxxyyxxyyxxxxxxxx

yyyyyyB 000

000

Donde “m” es el total de elementos finitos, Ve el volumen del elemento y [PN]

corresponde a la matriz de fuerzas nodales de la estructura de tamaño 2n, ya que

16

contiene la fuerza externa en la dirección X y en la dirección Y de cada uno de los

nodos que conforman la malla. En esta matriz son incógnitas las reacciones o fuerzas

respectivas a los nodos restringidos.

En resumen, hasta ahora se tienen un total de incógnitas de 2n, entre

desplazamientos y reacciones, 3m deformaciones y 3m esfuerzos. Es evidente que

para resolver esta cantidad de incógnitas se necesitan el mismo número de

ecuaciones. La cinemática aporta 3m ecuaciones, que se combinan con las 2n

ecuaciones de equilibrio. Para suplir las 3m ecuaciones faltantes se incorporan ley de

comportamiento, expresión 2.1.14, que se aplica para cada elemento finito triangular.

Matriz de Rigidez

Relacionando la ecuación cinemática, la ecuación de equilibrio y la ley de

comportamiento, se obtiene la siguiente igualdad:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ NN

m

bbGb

TbG PUBHB =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∑=1

] (2.2.8)

Al término [ ] [ ] [ ]bGbTbG BHB se asigna a una nueva matriz llamada matriz de

rigidez, global o ampliada, de cada elemento:

[ ] [ ] [ ] [ ]bGbTbGbG BHBK = (2.2.9)

Esta matriz también puede expresarse en términos locales del elemento, en este

caso es función de [ : ]bLB

[ ] [ ] [ ] [ ]bLbTbLbL BHBK = (2.2.10)

17

La matriz de rigidez de la estructura será entonces la sumatoria de cada una de

las matrices de rigidez global de los elementos:

[ ] [ ] [ ] [ ] ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

=

m

bbGb

TbGN BHBK

1 (2.2.11)

En el caso de que la matriz del elemento esté expresada en términos locales, la

matriz de rigidez de la estructura se obtendrá por medio de un procedimiento llamado

ensamblaje.

Finalmente la ecuación general que permite determinar los desplazamientos y

reacciones por medio del método de los elementos finitos, es:

[ ] [ ] [ ]NNN PUK = (2.2.12)

Matriz de rigidez del elemento finito T3

En el caso particular del elemento finito triangular, T3, bajo el criterio de

esfuerzos planos, se tiene la expresión 2.2.13 que define a la matriz de rigidez local.

Donde h es el espesor del elemento, E el modulo de elasticidad del material, μ el

coeficiente de poisson, xab es la diferencia de (xa - xb) así como análogamente yab es

la diferencia de (ya - yb), y los números 1, 2 y 3 corresponden a los nodos i, j y k del

elemento “b”.

18

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+++

+

=

G y + Hx

yG x + xH y

yG y + xH x

yG x+ xHy

G x+H y

G x y+ y H x

G xx+ y H y

G y+ H x

yG x xHy

G x + Hy

yG yG xyyG yG xyGy + xHx+ yHxxHxyHxHx

yG xG x xyG xG x xyG xG xxHy+ yHy + xH y + y H y + xH y + Hy

4

212

12

21

1221

21212

1231

21113

1213

212 31

221

12

12

2131

12213

21 13

12131

231

12

13

3113

132 312

13

12

31

12232123312313232

23

211 3212232131323123212

32

123221323132133223322

32

2122312 1 231322331 123322 2312

23

bbL A

hK

(2.2.13)

( )( )μμ −+=

111EH ; 12 HH μ= ; ( )μ+

=12EG

Matriz de fuerzas internas del elemento finito T3

La matriz de fuerzas internas [Fi], es el producto de la matriz de rigidez local

del elemento “b” por la matriz de desplazamientos del mismo, y se resta el vector de

fuerzas externas [Fe], debido a cargas distribuidas, fx y/o fy, en caso de que las haya.

En base a esto, se plantea de siguiente expresión:

[ ] [ ] [ ] [ ]FeUKFi bbL −= (2.2.14)

[ ] [ ]fyfxfyfxfyfxAFe T

31

=

Dónde A es el área del elemento, fx y fy son cargas distribuidas en dirección de

los ejes de referencias X e Y respectivamente.

19

III. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PARA PLACAS

El objetivo de este capítulo es describir la teoría de placas por medio de

variables y ecuaciones que permitan definir por completo su comportamiento.

Además se aplica el método de elementos finitos (MEF) discretizando las placas con

elementos triangulares denominados DKT, desarrollando sus características, así como

las expresiones que definen la matriz de rigidez, que será el aporte fundamental para

su implementación en el programa endógeno de elementos finitos.

3.1 TEORÍA DE PLACAS DE KIRCHHOFF

El objetivo de esta sección es plantear las variables y expresiones que permitan

explicar el comportamiento de una placa bajo la teoría de Kirchhoff. Para ello se

define, según [7,8], la representación geométrica de las placas, el movimiento, las

deformaciones, los esfuerzos de una placa de Kirchhoff y las leyes de

comportamiento para una placa elástica

Representación geométrica de las placas

Las placas son sólidos deformables formados por dos planos paralelos,

limitados por una superficie cerrada, separados entre sí por el espesor “e” de la placa.

Se representan por medio de un plano equidistante a los planos extremos, llamado

superficie neutra, y una serie de fibras verticales de longitud constante unidas por

dicha superficie.

20

La teoría de Kirchhoff para placas delgadas, admite que estas fibras se

desplazan como cuerpos rígidos y permanecen perpendiculares a la superficie neutra

durante todo su movimiento. La superficie neutra se encuentra en un plano cartesiano

XY, y el elemento de volumen representativo tiene forma de paralelepípedo con

altura igual al espesor “e”, las dimensiones restantes de este elemento corresponden a

los diferenciales dx y dy, tal como se muestra en la figura 3.1.1

e

Y

X

Z

(x,y,0)

Plano neutro

Figura 3.1.1 Representación geométrica de las placas

Movimiento de una placa de Kirchhoff

En general el desplazamiento de una placa se describe como el movimiento de

la superficie neutra y el movimiento de las fibras verticales.

21

El vector de desplazamientos del punto “p” de la superficie neutra viene dado

por la expresión 3.1.1.

( )( )( )⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

yxwyxvyxu

W,,,

(3.1.1) zyx iwiviuW ++=

Donde u, v y w son las componente del desplazamiento de la superficie neutra

en dirección de los ejes X, Y y Z respectivamente. En el caso de que las acciones

externas sean únicamente verticales el campo de desplazamientos de la superficie

neutra queda definido por:

( )yxwW ,= (3.1.2)

En el movimiento de las fibras verticales se supone que las mismas se desplazan

con la superficie neutra y adicionalmente experimentan una rotación, que se

representa mediante el vector ( )0,, yxT θθθ = ; donde θx y θy son los giros alrededor de

los ejes X y Y respectivamente.

El campo de desplazamientos para una placa, en general, se expresa por medio

de la ecuación 3.1.3.

( )(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

=wZvZu

U x

y

θθ

) (3.1.3)

Sin embargo, en la teoría de placas de Kirchhoff se admite que las fibras se

mantienen perpendiculares a la superficie neutra durante todo su movimiento, como

22

se observa en la figura 3.1.2, donde el símbolo u,x representa la derivada parcial de u

con respecto a x, entonces se puede plantear lo siguiente:

xy wTan ,−=≈= ααθ

(3.1.4) yx wTan ,=≈= ββθ

Z

θy

90°

α

Figura 3.1.2 Representación del movimiento de la fibra vertical según la teoría de placas de Kirchhoff

Con el fin de eliminar el signo negativo del giro en la ecuación cinemática, se

introducen las variables auxiliares βx y βy, donde yx θβ −= , xy θβ =

Sustituyendo la expresión 3.1.4 en la 3.1.3 se obtiene la ecuación (3.1.5) que

define el campo de desplazamientos, para placas, según la teoría de Kirchhoff.

( )(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=wZwvZwu

U y

x

,

,

) (3.1.5)

23

Las componentes del campo de desplazamiento son respectivamente:

( ) ( )yxwZyxuu xx ,, ,−=

( ) ( )yxwZyxvu yy ,, ,−= (3.1.6)

( )yxwuz ,=

Deformaciones de una placa de Kirchhoff

Las componentes del tensor de deformaciones infinitesimales para placas de

Kirchhoff se expresan de acuerdo a la expresión 3.1.7

2

2

x

wZ

xu

x∂

∂−

∂∂

=ε ; 2

2

y

wZ

yv

y ∂

∂−

∂∂

=ε ; 0=∂∂

=zuz

zε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

−∂∂

+∂∂

=yx

wZxv

yu

xy

2

21ε ; 0

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=xw

xw

xzε ; 021

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=yw

yw

yzε

xyyx εε = ; xzzx εε = ; zyyz εε = (3.1.7)

Agrupando los diferente términos del tensor de acuerdo a su interpretación

mecánica se plantea la siguiente ecuación:

3xn −= εε χ (3.1.8)

Donde nε es el tensor de deformación debido a cargas en el plano de la placa de

Kirchhoff , también llamado deformaciones de membrana, definido por la ecuación

cinemática 3.1.9.

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

xy

y

x

nz

ny

nx

n

vuvu

,,

,

,

2εεε

ε (3.1.9)

24

La interpretación física de las componentes del tensor de deformaciones

infinitesimales en placas debido a cargas en el plano es la siguiente (figura 3.1.3):

nxε : deformación unitaria en la fibra diferencial en la dirección X sobre la

superficie neutra por cargas en el plano.

nyε : deformación unitaria en la fibra diferencial en la dirección Y sobre la

superficie neutra por cargas en el plano

nxyε y : mitad de la deformación angular entre dos fibras diferenciales en las

direcciones x1 y x2 por fuerzas de corte en dirección de X

nyxε

z y

x

yv

y ∂∂

=ε xu

x ∂∂

=ε ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=xv

yu

xy 21ε

Figura 3.1.3 Deformaciones axiales para un elemento de volumen representativo de la placa

Por otro lado, χ es el tensor de deformaciones por curvatura. Para placas de

Kirchhoff se expresa de acuerdo a la ecuación cinemática (3.1.10), donde el símbolo

w,xx representa la derivada segunda de w con respecto a x dos veces:

25

χ = (3.1.10) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

yy

xx

xy

y

x

WWW

,

,

,

χχχ

Se admite que las fibras permanecen perpendiculares a la superficie neutra, lo

que conlleva a deformaciones angulares por corte nulas; de esta manera las

componentes del tensor de deformaciones por curvatura corresponden a la pendiente

de la curva que describe la superficie neutra por efectos de la flexión o rotación

alrededor de los ejes X y Y y flexión biaxial debido a cargas verticales o

perpendiculares a la superficie neutra.

y

xy ∂

∂=

βχ

xy

x ∂

∂=

βχ

yy

xy ∂

∂=

βχ

Figura 3.1.4 Representación de las deformaciones longitudinales por curvatura en placas según la teoría de Kirchhoff

Esfuerzos de placas de Kirchhoff

En esta sección se estudia la representación matemática de las fuerzas internas y

externas de las placas.

26

Representación de las Fuerzas Externas

Para representar la acción de fuerzas externas se considera una placa de espesor

2e y área A dividida en dos zonas: σA∂ es la zona donde actúan las fuerzas internas y

la zona donde se imponen los desplazamientos. UA∂

Se consideran dos tipos de fuerzas para definir las acciones internas: las cargas

en el plano (XY) y las normales al mismo plano. A su vez estas fuerzas pueden ser de

superficie (fuerza por unidad de área) y/o de borde (fuerza por unidad de longitud),

como se observa en la figura 3.1.5

Los campos de cargas generalizadas consideradas como acciones externas en

placas se indican de la siguiente manera:

Fuerzas de superficie o de área:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=dz

dy

dx

d

qqq

q Ax ∈∀ (3.1.11)

Fuerza de borde o lineales:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=d

z

dy

dx

d

PPP

P σAx ∂∈∀ (3.1.12)

Momentos distribuidos o borde:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=0

dy

dx

d MM

M σAx ∂∈∀ (3.1.13)

27

a)

b)

Figura 3.1.5 a) Fuerzas externas en el plano, b) Fuerzas externas normales al plano

Trabajo virtual externo en placas de Kirchhoff

El trabajo externo es definido para el campo de desplazamientos virtuales para

placas de Kirchhoff que tienen la siguiente expresión:

( )(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=*

,**

,**

*

wzwvZwu

U y

x

) (3.1.14)

Así pues, el trabajo virtual externo para cargas generalizadas es:

∫∫ ∫ ∫ ∫∂

−−+=A A A A

xdxy

dy

ddext dswMdswMdsWPdAWqW

σ σ σ

*,

*,

*** (3.1.15)

Fuerzas internas en placas de Kirchhoff

Cuando un elemento diferencial de volumen de la placa es aislado, actúa sobre

cada una de sus caras un vector tensión, que representa la acción del resto de la placa

sobre el elemento. Los elementos de la matriz de esfuerzos σij, representan las

componentes de los vectores tensión. Las componentes normales de esfuerzos están

asociadas a las fuerzas internas axiales y de flexión, las componentes cortantes de

esfuerzos se asocian a las fuerzas internas de corte y de flexión.

28

El tensor de flujo de fuerzas axiales se designa como N, definida por la

ecuación 3.1.16 en base la figura 3.1.6, y está asociado con el tensor de

deformaciones de membrana. Las fuerzas axiales y cortantes en placas se generan por

cargas en el plano.

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

xy

y

x

ij

NNN

N

(3.1.16)

∫−

=e

exx dzN σ ; ; ∫

−

==e

exyyxxy dzNN σ ∫

−

=e

eyy dzN σ

Figura 3.1.6. Tensor de flujo fuerzas axiales para un elemento de volumen representativo

El tensor de flujo de momentos flectores se define en la expresión 3.1.17, de

acuerdo a la figura 3.1.7. Los momentos flectores se generan por cargas verticales y

está asociado con el tensor de deformaciones por curvatura.

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

yx

y

x

MMM

M (3.1.17)

29

∫−

=e

exx dzzM σ ; ; ∫

−

==e

exyyxxy dzzMM σ ∫

−

=e

eyy dzzM σ

Figura 3.1.7 Tensor de flujo de momentos flectores de un EVR de placa

M y N caracterizan el estado de esfuerzos en placas de Kirchhoff sometidas a

fuerzas generalizadas.

Trabajo virtual interno en placas de Kirchhoff

El trabajo de las fuerzas internas en placas de Kirchhoff se obtiene al desarrollar

la expresión:

∫∫∫=V

dVW **int : εσ (3.1.18)

La ecuación de trabajo interno para cargas generalizadas vienen dada por:

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ +++++=A

yyA

xyyxA A

xyxyxx dAvNdAvuNdAvvNdAuNW *,

*,

*,

*,

*,

*,

*int 2

121

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ +++++−A

yyyA

yxxyyxA A

yxxyxyxxx dAwMdAwwMdAwwMdAwM *,

*,

*,

*,

*,

*, 2

121 (3.1.19)

Lo que equivale a:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )∫∫ +=A

TTn dAMNW ***

int χε (3.1.20)

30

La expresión del trabajo interno para cargas en el plano es:

[ ] [ ]∫∫=A

Tn dANW **

int ε (3.1.21)

La expresión del trabajo interno para cargas verticales es:

[ ] [ ]∫∫=A

T dAMW **int χ (3.1.22)

Leyes de comportamiento para placas de Kirchhoff

En base a las ecuaciones anteriores se desarrollan las leyes de comportamiento

para placas de Kirchhoff sometidas a cargas en su plano y cargas verticales.

Leyes de comportamiento sólo para cargas en el plano.

La ley de comportamiento para placas isótropas y homogéneas sometidas a

cargas en su plano se representa de la siguiente forma:

[ ] [ ] [ ]εHnN = (3.1.23)

( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

y

x

xy

y

x

vuvu

eE

NNN

,,

,

,

2

2100

0101

1 μμ

μ

μ

Leyes de comportamiento sólo para cargas verticales.

La ley de comportamiento para placas isótropas y homogéneas sometidas a

cargas en su plano se representa de la siguiente forma:

[ ] [ ] [ ]χHmM = (3.1.24)

31

Donde

( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

yy

xx

xy

y

x

www

eE

MMM

,

,

,

2

3

2100

0101

112 μμ

μ

μ

En ambas ecuaciones, 3.1.23 y 3.1.24, μ es el coeficiente de Poisson, e es el

espesor de la placa y E el módulo de elasticidad.

Desacoplamiento del problema en dos análisis: placas sometidas a fuerzas en su plano y placas sometidas a fuerzas perpendiculares

De acuerdo a las ecuaciones que definen el comportamiento de las placas, se

puede observar que las variables bajo los diferentes casos de cargas son diferentes, y

no intervienen unas con otras. Por lo tanto se plantea un desacoplamiento del

problema al introducir el método de elementos finitos para su solución, es decir, en

los casos de placas sometidas a solicitaciones en el plano que la contiene se utiliza el

elemento finito T3, descrito en la sección 2 del capítulo II. Por otro lado, para el

análisis de placas bajo solicitaciones perpendiculares a su plano, se empleará el

elemento finito DKT, cuyas características y ecuaciones se presentan en la sección a

continuación.

3.2 ELEMENTO FINITO DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)

El elemento finito triangular DKT, de acuerdo a los planteamientos de [8],

permite obtener soluciones numéricas al problema de placas delgadas, sometidas a

cargas normales al plano que las contiene, de acuerdo con las hipótesis de Kirchhoff,

32

por medio de la aplicación de ecuaciones relativamente precisas. El DKT es un

elemento finito de tres nodos, como se muestra en la figura 3.2.1, y tres

desplazamientos por nodos.

Figura 3.2.1 Elemento finito DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)

Representación de los desplazamientos y funciones de interpolación

Para el elemento finito DKT [8] se tienen tres movimientos posibles por nodos,

los cuales se representan de la siguiente manera:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

yi

xi

i

n

Wu

ββ (3.2.1)

Donde es el vector de desplazamientos del nodo “i”, Wi es la flecha o

movimiento vertical del nodo, βxi es el giro alrededor del eje X, y βyi el giro

alrededor del eje Y.

[ ]nu

Ahora bien, considerando un lado k del elemento finito triangular, tal como se

observa en la figura 3.2.2, la rotación en el plano sz, es designada como βs y el giro

en el plano nz, se llama βn.

33

Figura 3.2.2 Rotaciones βs y βn

Es evidente que existe una relación entre las rotaciones βs y βn y las rotaciones

βx y βy.

El elemento finito DKT está basado en una aproximación cuadrática para βs y

una lineal para βn [8]. Desarrollando las ecuaciones que permiten definir este vínculo,

se obtiene la siguiente expresión para βx y βy en función de las variables nodales:

( )( ) [ ]ny

iy

iy

i

xi

xi

xi uni

NNNNNN

yx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡,1

321

321

ββ

(3.2.2)

Donde son las funciones de interpolación definidas de

acuerdo a las siguientes igualdades:

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ni

NNNNNN

yi

yi

yi

xi

xi

xi ,1

321

321

mmm

kkk

xi CP

LCP

LN

23

23

1 −= ; 222 4

343

mmkkixi CPCPNN −−=

(3.2.3)

mmmkkkxi SCPSCPN

43

43

3 −−=

34

mmm

kkk

yi SP

LSP

LN

23

23

1 −= ; ; xi

yi NN 32 =

(3.2.3) 22

2 43

43

mmkkiy

i SPSPNN −−=

k

jik L

xC = ;

k

jik L

yS = ; 22

ijijk yxL +=

Ni, Pk y Pm, definidas de acuerdo a las tablas 3.2.1 y 3.2.2, son funciones de las

coordenadas de integración de Hammer, que se presentan en la tabla 3.2.3

Tabla 3.2.1 Índices i, k y m para el elemento finito DKT [8]

Nodo i Lado k (i-j) Lado m (i-j) 1 4 (1-2) 6 (3-1) 2 5 (2-3) 4 (1-2) 3 6 (3-1) 5 (2-3)

Tabla 3.2.2 Funciones Ni y Pk para el elemento finito DKT [8]

Ni (i = 1, n) Pk (n+1, 2n)

N1=λ=1-ξ-η

P 4=4ξλ N2=ξ P 5=4ξη N3=η P 6=4ηλ

Tabla 3.2.3 Coordenadas de integración de Hammer [8]

Números de Puntos de Integración

Coordenadas Peso ξ η ω

½ ½ 3 0 ½ 1/6 ½ 0

35

Ecuaciones cinemáticas discretizadas.

Las ecuaciones cinemáticas relacionan los desplazamientos con las

deformaciones. Partiendo de la teoría de placas de Kirchhoff sometidas a cargas

verticales, se obtiene la siguiente expresión [8]:

[ ] [ ] [ ]nuB=χ (3.2.4)

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++−

+−

−

=yyxx

yy

xx

NJNJNJNJNJNJ

NJNJ

JB

ηξηξ

ηξ

ηξ

,12,22,11,21

,11,21

,12,221 (3.2.5)

Donde [B] es la matriz de transformación geométrica del elemento para cada

coordenada de Hammer, xN ξ, y xN η, son las matrices que contienen las derivadas

con respecto a ξ y a η, respectivamente, de las funciones Nx, mostradas en la

expresión 3.2.3; yN ξ, y yN η, son las matrices de las derivadas con respecto a ξ y a η

de las funciones Ny, y así sucesivamente para el resto de las matrices en forma

análoga. Los términos de J y [J] se presentan en la tabla 3.2.4

Tabla 3.2.4 Valores de [J] [8]

DKT J11 X21 = X2-X1 J12 Y21 = Y2-Y1 J21 X31 = X3-X1 J22 Y31 = Y3-Y1 J J11 J22-J12 J21

Matriz de rigidez del elemento finito DKT

La matriz de rigidez local del elemento finito DKT viene dada por la expresión:

36

[ ] [ ] [ ] [ ]∑=

=3

1i

TibL BHBJK ω (3.2.6)

Donde [H] se determina aplicando la igualdad 3.1.24. [B] está definida por la

ecuación 3.2.5 y J se calcula de acuerdo a la tabla 3.2.4. Para determinar la matriz de

rigidez de cada elemento DKT, debe calcularse el término tres

veces, es decir, una vez para cada coordenada de integración de Hammer. Para fines

prácticos, la expresión 3.2.6 se puede escribir de la siguiente manera:

[ ] [ ] [ ]BHBJ Tiω

[ ] [ ]∑=

=3

1iibL KK ξω

(3.2.7) [ ] [ ] [ ] [ ]BHBJK T=ξ

Matriz de fuerzas internas del elemento finito DKT

La matriz de fuerzas internas [Fi], es el producto de la matriz de rigidez local

del elemento “b”, por la matriz de desplazamientos del mismo. A este producto se le

resta el vector de fuerzas externas [Fe], debido a cargas distribuidas normales a la

placa, q, en caso de que las haya. En base a esto, se plantea de siguiente expresión

[8]:

[ ] [ ] [ ] [ ]FeUKFi bbL −= (3.2.8)

[ ] ( ) ( ) ( ) ([ ]2123212313121312 2261 yyxxyyxxqAFe T ++++= )

Dónde A es el área del elemento, Xij es la diferencia de (Xi –Xj), Yij es la

diferencia de (Yi –Yj)

37

IV. TEORÍA DEL DAÑO CONCENTRADO

En los capítulos anteriores ya se han desarrollado las teorías que permiten el

análisis de estructuras, o elementos estructurales, que pueden ser modelados como

placas delgadas, de acuerdo a sus características, como por ejemplo el entrepiso de un

edificio. El objetivo general de este trabajo de investigación es el análisis de

estructuras tridimensionales de concreto armado. Por ello en este capítulo se

describen las bases que fundamentan el análisis de estructuras aporticadas de concreto

armado, así como también se definen algunos modelos matemáticos utilizados en la

representación de su comportamiento, que son la base del desarrollo del programa

PEEF.

4.1 CINEMÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS

La cinemática, en general, estudia los movimientos de los cuerpos sin tomar en

cuenta las causas que lo producen, describiendo trayectorias, en función del tiempo,

relativas a un sistema de coordenadas de referencia.

La cinemática de los pórticos planos se representa por medio de las relaciones

matemáticas entre el desplazamiento, o movimiento, y la deformación, o cambio de

forma, de una estructura, denominadas ecuaciones cinemáticas.

38

Representación del movimiento.

Para la representación del movimiento, a manera de ejemplo explicativo, se

muestra en la figura 4.1 una estructura plana aporticada, compuesta por “m”

elementos estructurales intersecados en “n” nodos, que tiene una “posición inicial”

conocida, en el instante de tiempo 0, de acuerdo a las coordenadas según un sistema

de referencias de ejes ortogonales X-Z que se mantiene fijo en el intervalo de tiempo

[0, T]. La forma de la estructura en cualquier instante de tiempo diferente a “0” es

desconocida y se llama “configuración deformada”. La referencia [2] define tres

variables equivalentes para la representación del movimiento a tres niveles diferentes:

el nudo, el miembro y la estructura,.

a) Los desplazamientos generalizados de un nudo i: , donde

son los desplazamiento del nudo en la dirección X, en la dirección Z y su

rotación con respecto a su posición en la configuración inicial (ver figura 4.1.1).

{ } ( , , )u u u uit = 1 2 3

u u u1 2, y 3

b) La matriz de desplazamientos generalizados de un elemento b {q}b entre los

nudos i y j, que está compuesta por los desplazamientos de ambos nudos:

= (q1, q2, ...., q6), caracterizando el movimiento de la barra. )}u{,}u({}q{ tj

ti

tb =

c) La matriz de desplazamientos generalizados de la estructura {U}, compuesta

por los desplazamientos de todos los nudos del pórtico:

= ( , definiendo el movimiento de

toda la estructura.

{ } ({ } ,{ } ,.........,{ } )U u u ut t tnt= 1 2 , ,......, )U U U n1 2 3

39

Figura 4.1.1 Representación de un pórtico y desplazamientos generalizados de un nudo "i" del mismo.

Desplazamientos impuestos.

Cuando se habla de desplazamientos impuestos, se refiere a las restricciones al

movimiento que debe tener la estructura para mantener su estabilidad. Estos valores

son conocidos por el analista durante el intervalo de tiempo [0, T]. También se

pueden especificar las velocidades o aceleraciones en los apoyos, y junto con las

condiciones iniciales en el instante t = 0 y su integración en el tiempo, se consigue la

historia de desplazamientos de los mismos. Es común el uso de las aceleraciones en

los problemas de Ingeniería Sísmica, puesto que las mismas se pueden medir durante

la ocurrencia de un terremoto.

Deformaciones generalizadas.

Por medio de las deformaciones generalizadas se representa el cambio de forma

de un miembro “m” de la estructura, para ello se define la matriz de deformaciones

generalizadas del miembro “b”; la misma se expresa como: ),,(}{ jib δφφ=Φ [2].

x

yZ

u3 u2

u1 Nudo i

40

Donde representan las rotaciones de la tangente al miembro en los extremos i

y j con respecto a la cuerda i-j y δ es el alargamiento de la cuerda con respecto a la

configuración inicial (ver figura 4.1.2). Así pues, esta matriz es nula para el

movimiento de cuerpo rígido de un miembro.

ji y φφ

q]{B[ 0l=

L0 +δ

L0

φi

φj

Figura 4.1.2 Deformaciones generalizadas del miembro entre los nudos i y j.

Ecuaciones cinemáticas.

A fin de relacionar las deformaciones con los desplazamientos generalizados, se

plantean las ecuaciones cinemáticas [2].

}}{Φ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

0cos0cos

1cos0cos

0cos1cos

][

αααα

αααα

αααα

sensenll

senll

senll

senll

sen

Bol (4.1.1)

De acuerdo a la ecuación anterior, [Bl°] es la "matriz de transformación local",

donde las variables l y α son constantes suponiendo pequeños desplazamientos. La

matriz de transformación se puede expresar como una matriz de transformación

global [B°]b. La ventaja es que permite relacionar las deformaciones en una barra b

con los desplazamientos de todos los nudos de la estructura. Esta matriz se consigue

41

introduciendo columnas adicionales en la matriz de transformación del elemento, que

contienen ceros (0) en los lugares que no corresponden a los grados de libertad del

mismo, de la manera siguiente:

}q]{B[}{ 0l=Φ o (4.1.2) }U{]B[}{ b

0b =Φ

,........3 ,13 ,23....,,.........3 ,13 ,23,....,1

....... 0cos ......0cos ... 0

....... 1cos...... 0cos ...... 0

....... 0cos...... 1cos ...... 0

][

jjjiii

sensenll

senll

senll

senll

sen

B b

−−−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=°

αααα

αααα

αααα

4.2 ESTÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS

La estática de pórticos planos plantea la caracterización de las fuerzas externas

y su distribución en cada uno de los elementos estructurales, así como también las

ecuaciones que relacionan a las fuerzas externas y los esfuerzos. Se aplica para ello el

principio de los trabajos virtuales.

Esfuerzos generalizados.

El principio de los trabajos virtuales se cumple para cualquier sólido o

estructura; en el caso de un pórtico plano formado por n nudos y m miembros, al que

se le imponen unos desplazamientos infinitesimales virtuales {U*}, el trabajo virtual

de las fuerzas externas debe ser igual al trabajo virtual de las fuerzas internas más el

42

trabajo virtual de las fuerzas de inercia (ecuación 4.2.1), cuando se cumple esta

igualdad se dice que la estructura se encuentra en equilibrio dinámico:

**ei TT = (4.2.1) }U{ *∀

En general, el trabajo virtual interno viene dado por el producto de los esfuerzos

por las deformaciones virtuales. Donde el esfuerzo generalizado de la barra b está

expresado como {M}b. El trabajo virtual interno de la estructura es por lo tanto la

expresión que relacionan a los esfuerzos generalizados con las deformaciones

generalizadas:

b

m

1b

tb

**i }M{}{T ∑

=

= Φ (4.2.2)

Los esfuerzos generalizados están definidos por: . Donde mi

y mj corresponden a los momentos flectores en los extremos del miembro y n a la

fuerza axial (ver figura 4.2.1)

)n,m,m(}M{ jit =

mi

mj

n

Figura 4.2.1 Esfuerzos generalizados en un miembro de un pórtico plano.

Fuerzas externas sobre los nudos.

El trabajo virtual de las fuerzas externas es el producto de los desplazamientos

virtuales por las fuerzas externas de la estructura. Los desplazamientos virtuales se

encuentran caracterizados en la matriz {U*}, y las fuerzas externas de la estructura

43

están definidas en la matriz {P}, en la que se ubican las fuerzas en la dirección del

eje X, en la dirección del eje Z, y el momento, respectivamente para cada nodo.

nudo nsobre el fuerzas 1re el nudofuerzas sb

)P,P,P.........,,.....P,P,P(}P{ n31n32n3321t

.... −−= (4.2.3)

El trabajo virtual de las fuerzas externas es por lo tanto:

}P{}U{T t**e = (4.2.4)

El conjunto de fuerzas externas correspondientes a los grados de libertad

restringidos se deben determinar mediante el análisis de la estructura; por otro lado el

conjunto de fuerzas correspondientes a los grados de libertad no restringido son

conocidas e impuestas por el analista.

Ecuaciones de equilibrio.

Substituyendo las ecuaciones (4.2.2) y (4.2.4) en la ecuación de trabajo virtual

(4.2.1), y empleando las ecuaciones cinemáticas puede escribirse:

}{}{][1

PMB b

m

b

tb =∑

=

(4.2.5)

4.3 LEYES DE COMPORTAMIENTO.

En esta sección se plantea la ecuación que relaciona a los esfuerzos

generalizados con las deformaciones generalizadas. Estas ecuaciones toman en cuenta

el material del pórtico y las propiedades según sus secciones. También se plantean los

pasos para la realización del análisis de pórtico, lo que implica identificación de los

datos, incógnitas y ecuaciones utilizadas.

44

Ley de comportamiento elástica lineal

El análisis se realiza en base a la teoría de vigas de Resistencia de Materiales.

De esta manera se obtiene la relación entre las deformaciones generalizadas φi y φj y

los esfuerzos generalizados mi y mj, así como la relación entre n y δ, las cuales se

expresan matricialmente de la siguiente manera:

}]{S[}M{ Φ= ;

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

lAE00

0lEI4

lEI2

0lEI2

lEI4

]S[ (4.3.1)

Donde [S] es llamada matriz de coeficientes elásticos del miembro, E es él

modulo de elasticidad del material del miembro, I el momento de inercia de la

sección transversal de la barra y A su área

En caso de que las cargas distribuidas sobre el miembro no sean nulas, es

necesario añadir a la expresión anterior los esfuerzos generalizados “iniciales” {M0},

los cuales dependen del tipo de fuerzas existentes sobre el miembro.

{ } [ ]{ } { }M S Mo= +Φ (4.3.2)

Análisis de pórticos elásticos lineales.

En este caso en particular se plantean las ecuaciones de acuerdo a las

consideraciones específicas en el análisis de los pórticos elásticos lineales.

Combinando las ecuaciones cinemáticas lineales, la ecuación de equilibrio (4.2.5) y la

45

ley de comportamiento en el caso elástico lineal (4.3.2), se obtiene la siguiente

ecuación matricial:

))}M{]B([}P({}U){])B][S[]B([( b

m

1b

otom

1bb

ooto ∑∑==

−=

(4.3.3) [ ] [ ] [ ]PUK bA =

Cada uno de los términos anteriores representa lo siguiente, según los textos de

elementos finitos:

"matriz de fuerzas nodales": es una matriz columna, resultado de la resta de la

matriz de fuerzas externas sobre los nudos {P} menos la contribución de las fuerzas

distribuidas sobre los elementos, b

m

1b

oto )}M{]B([}P{ ∑=

−

"matriz de rigidez de la estructura": matriz cuadrada, resultado de la suma, de

la matriz de rigidez de los “m” elementos, ([ ] [ ][ ])B S Bo t o ob

b

m

=∑

1

“matriz de rigidez del elemento”: matriz cuadrada, ]B][S[]B[ ooto

El proceso de sumar las matrices de rigidez de cada elemento para obtener la

matriz de rigidez global es llamado “ensamblaje de la matriz de rigidez”, así como, el

proceso de construcción de la matriz de fuerzas nodales también es conocido como su

“ensamblaje”.

De esta manera se obtiene un sistema de ecuaciones lineales para determinar los

desplazamientos nodales desconocidos y las reacciones en los apoyos. A partir de

estos, pueden calcularse los esfuerzos y las deformaciones generalizadas empleando

de nuevo la ecuación cinemática y la ley de comportamiento de cada miembro.

46

4.4 LEYES DE COMPORTAMIENTO ELASTOPLÁSTICAS.

En la sección anterior se plantea la relación entre los esfuerzos y las

deformaciones generalizadas, mediante un modelo lineal, es decir, para cada matriz

de deformaciones generalizadas existe una sola matriz de esfuerzos generalizados, y

viceversa. En ese modelo no es posible la aparición de deformaciones generalizadas

permanentes, en otras palabras, cuando se usan las ecuaciones de los pórticos

elásticos, para las fuerzas externas iguales a cero, sólo pueden existir deformaciones

nulas.

Sin embargo, es obvio que en la práctica existen ciertas deformaciones, debido

a una fuerza externa cuyo valor es superior a cierto límite, que se mantienen aún

cuando la fuerza externa es igual a cero, por ejemplo un alambre que se dobla con la

mano hasta deformarlo permanentemente. Sobrepasado este límite no puede

representarse correctamente el comportamiento estructural sin tomar en cuenta estos

efectos.

El objetivo de esta sección es el estudio de las leyes de comportamiento que

consideran este efecto, a partir de los modelos plásticos o elastoplásticos, en el caso

uniaxial.

Ley de comportamiento elastoplástica perfecta para miembros de pórticos planos.

Este modelo se basa en suponer que un miembro de un pórtico plano está

compuesto por una viga-columna elástica (lineal o no) y dos rótulas (i y j) plásticas en

los extremos, tal como se muestra en la figura 4.4.1.

47

Se introduce, entonces, la variable interna: “matriz de deformaciones

generalizadas plásticas”, en la que se almacenan las rotaciones plásticas de la rótula

"i" y la "j", [2]. )0,,(}{ pj

pi

p φφ=Φ

x

y

Figura 4.4.1 Modelo de plasticidad concentrada de un miembro de un pórtico plano.

La suma de las deformaciones de la viga-columna elástica {Φvc} y las plásticas

{Φp} dan como resultado a las deformaciones generalizadas totales del miembro

{Φ}:

}{}{}{ pvc ΦΦΦ += (4.4.1)

La ley de estado de un miembro elastoplástico viene dada por:

}{}]{S[}{ 0p MM +−= ΦΦ (4.4.2)

Donde [S] es la matriz de rigidez de la viga-columna elástica, que puede ser

constante o depender del alargamiento de la cuerda, y {M0} los esfuerzos

generalizados iniciales.

Las funciones de fluencia, se obtienen considerando rótulas plásticas perfectas:

yiii mmmf −=)( yjjj mmmf −=)( (4.4.3)

rótulas plásticas

lástica viga-columna e

Z

48

La ley de evolución de las deformaciones plásticas generalizadas del miembro

es por lo tanto la siguiente:

⎩⎨⎧

≠φ=φ

0=f y d0= f si 0d0<f o d0<si f0d

iii

iii (4.4.4)

⎩⎨⎧

φ=φ

0=f y d0=si f 0>d0<f o d0< f si 0d

jjj

jjj

Este modelo junto con las ecuaciones cinemáticas y de equilibrio define

perfectamente el comportamiento de la estructura.

Pórticos elastoplásticos con endurecimiento cinemático.

El objetivo de este modelo es introducir términos de endurecimiento cinemático

en las rótulas. Las funciones de fluencia ahora se escriben de la siguiente manera:

yiiiii mxmxmf −−=),( yjjjjj mxmxmf −−=),( (4.4.5)

Se introduce la variable x, la cual corresponde a la posición del centro del

dominio elástico en el espacio de momentos flectores. Ahora se añaden las leyes de

evolución de la misma, para un endurecimiento lineal:

pcx φ= (4.4.6)

El comportamiento de la rótula descrito por este modelo se muestra en la figura

4.4.2 m

my

Figura 4.4.2 Comportamiento de una rótula plástica con endurecimiento cinemático lineal.

φp

my

c

49

4.5 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LA FRACTURA

Las estructuras reales tienen un comportamiento diferente al que se representa

con los modelos mencionados en las secciones anteriores. El modelo elástico, plantea

que los esfuerzos admisibles de la estructura no tienen límites. El modelo

elastoplástico, supone que el material mantiene constante su resistencia durante la

vida útil de la estructura. Sin embargo, las propiedades mecánicas de la estructura y

de los materiales que la componen cambian en el tiempo, degradándose debido a

diversos factores, trayendo como consecuencia la pérdida de su resistencia. Este

proceso de deterioro de resistencia se representa por medio de dos teorías: la

mecánica de la fractura y la teoría del daño continuo.

En la teoría de la mecánica de la fractura, el material se supone frágil, sin embargo,

considera la existencia de fisuras macroscópicas que pueden propagarse, lo que

conlleva a disminución de la resistencia y la rigidez de la estructura y eventualmente

a su colapso.

Con el fin de explicar el comportamiento de un material frágil ante la presencia

de una grieta y su propagación se explica a continuación algunos aspectos

fundamentales como la distribución de esfuerzos en los bordes de un agujero elíptico,

el criterio de Griffith, el cálculo de la tasa de restitución de energía, la resistencia al

agrietamiento y la propagación de fisuras por fatiga.

Distribución de esfuerzos en los bordes de un agujero elíptico.

El objetivo del estudio de la distribución de esfuerzos en los bordes de un

agujero elíptico es determinar las condiciones de propagación de una fisura; para ello

50

se considera una placa de dimensiones infinitas y espesor unitario, de un material

elástico e isótropo, sometida a una tracción S constante en la dirección del eje x2 y

aplicada lejos de un agujero en forma elíptica (ver figura 4.5.1)

S

x2

σmax

Figura 4.5.1. Placa con agujero elíptico sometida a tracción uniforme en el infinito.

Empleando el método Airy puede ser calculada la distribución de esfuerzos en

la placa y se observa que los esfuerzos máximos ocurren en el borde del agujero, en la

dirección del eje x2, y toman un valor de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=σ

ba21Smax .

Si en la ecuación anterior se estudia el caso en que “b” tiende a 0, tratando de

representar una placa fisurada, se observa que el esfuerzo elástico en la punta de la

fisura tiende a infinito, de manera independiente de su tamaño (a) o del esfuerzo al

que está sometida; este comportamiento no es real, ya que no todas las fisuras se

propagan. Con este análisis se concluye que no se puede predecir la propagación de

2a2b

x1

51

una fisura por medio de criterios de esfuerzos. Según Griffith [10] este fenómeno

puede describirse en base a un análisis de los procesos de transformación de energía

involucrados durante la propagación de la fisura.

El criterio de Griffith.

Según Griffith, la energía total en la placa fisurada puede expresarse de la

siguiente manera:

sex WTWE +−= (4.5.1)

Donde W es la energía de deformación elástica, Tex es el trabajo de las fuerzas

externas y Ws corresponde a una energía superficial asociada a la aparición de nuevas

superficies durante la propagación de la fisura. Para el caso particular considerado, la

energía de deformación es igual a:

EaSWW

22

0π

−= (4.5.2)

Donde W0 es la energía elástica de la placa cuando no hay fisura y E él modulo

de elasticidad del material.

Según la hipótesis de Griffith, el término Ws es proporcional a la longitud de la

fisura y tiene por expresión:

Ws = 4 γ a (4.5.3)

Donde γ es la densidad de energía por unidad de superficie. Supóngase ahora

que la placa esta sometida a desplazamientos impuestos constantes en el infinito, de

tal manera que las reacciones a esos desplazamientos sean iguales a la tracción S. La

52

expresión (4.5.2) sigue siendo válida en ese caso y, además, el trabajo de las fuerzas

externas es nulo. Se tiene por lo tanto:

0

22

Wa4E

aSE +γ+π

−= (4.5.4)

La energía total de la placa puede representarse mediante una parábola cóncava

tal y como se muestra en la figura 4.5.2

E Propagación posible

a

Figura 4.5.2 Energía total en función de la longitud de la fisura.

De la figura mostrada se puede deducir que la propagación de la fisura depende

de un cambio en la energía total de la placa. En el caso de que una fisura tenga una

longitud menor a la correspondiente al punto máximo de la curva y la placa está

sometida a desplazamientos impuestos constante, no hay suministro de energía

mecánica adicional, por lo tanto no hay energía disponible para que ocurra la

propagación de la fisura, independientemente del nivel de esfuerzos en la punta de la

misma. De esta manera se explica el comportamiento en aquellas fisuras que no se

propagan. Ahora bien si la longitud de la fisura tiene un valor igual o superior al

correspondiente al máximo de la gráfica, la propagación de la fisura ocurre con una

disminución en la energía total de la placa. Este remanente de energía se transforma

53

en energía cinética y el proceso de propagación de la fisura es ahora físicamente

posible. Este es el criterio de Griffith que se escribe como: dE/da = 0.

En el caso general el criterio de Griffith puede expresarse de la manera

siguiente:

RG = (4.5.5)

donde:

)TW(dadG ext−−= ;

dadWR s= (4.5.6)

La variable G es denominada “tasa de restitución de energía” o “fuerza

conductora de la grieta” y depende de la geometría, de las propiedades de la

estructura y de sus solicitaciones, es decir, es el resultado de un análisis estructural.

El término R es llamado “resistencia al agrietamiento” y se admite que es una

propiedad del material, de la misma manera que el modulo de elasticidad E o el

esfuerzo de fluencia σy .

4.6 TEORÍA DEL DAÑO CONTINUO

En la sección anterior, se presenta un modelo que define el comportamiento del

material ante la propagación de una fisura, por medio de las leyes de comportamiento

elásticas, que son válidas siempre y cuando las zonas de microagrietamiento,

generadas en el proceso de propagación de las fisuras, sean relativamente pequeñas

comparadas con el tamaño de la estructura.

El objetivo de la teoría del daño continuo, que se presenta en esta sección, es

presentar un nuevo modelo que permita reflejar el comportamiento del material

54

durante la creación de las zonas microagrietadas, en el caso de que las mismas sean

significativamente grandes (ver figura 4.6.1).

Zona Zona i i i i

Teoría del daño continuo

Mecánica de la fractura frágil

Mecánica de la fractura frágil corregida

Figura 4.6.1. Validez de la mecánica de la fractura frágil.

A continuación se presentan algunos aspectos fundamentales como la variable

de daño continuo, la ley de estado y ley de evolución de la deformación plástica, la

ley de evolución del daño para materiales frágiles

La variable de daño continuo

Para definir al daño continuo se introduce una nueva variable interna,

denominada daño, y viene dada por la siguiente expresión [2]:

AAd

n =ω (4.6.1)

De la ecuación anterior se tiene que A es el área de la cara de un elemento de

volumen representativo del material, orientada según la normal ; Ad es el área de nr

55

microdefectos en la misma cara (véase la figura 4.6.2); y ωn es el daño de esa cara en

el elemento de volumen representativo.

Ad= área de micro defectos A = área total

Figura 4.6.2. Daño en un medio continuo.

Es indiscutible que ωn varía en el intervalo [0,1]. Cuando ωn =0, significa que el

elemento de volumen, según la normal nr

, no tiene microdefectos; por otro lado si ωn

=1, representa a un elemento de volumen partido en dos pedazos, según el plano de

normal . En general el campo ωn(nr

xr

) representa la densidad relativa de

microdefectos en planos perpendiculares al vector normal nr

.

Ahora bien, por medio de la hipótesis de daño isótropo se puede suponer que el

daño es aproximadamente constante en todas las direcciones posibles, lo que

simplifica considerablemente la teoría del daño continuo, de la siguiente manera:

nr

ω≅ωn nr

∀ (4.6.2)

Así pues, mediante la variable escalar ω se puede representar el daño en un

elemento de volumen representativo del material.

La teoría de daño continuo propone una alternativa al problema de propagación

de fisuras. Una fisura podría definirse como el conjunto de puntos en los cuales el

56

daño

la deformación plástica.

En el comportamiento elástico o elastoplástico del material influye

necesario incluir la

varia

ión entre la fuerza aplicada y

el áre

toma el valor de uno. De esta manera no sería necesario emplear los conceptos

de la mecánica de la fractura al nivel macroscópico para predecir la propagación de la

fisura. También pueden seguir usándose estos conceptos y utilizar la teoría del daño

continuo únicamente para modelar el comportamiento del material en la zona

microagrietada, o para predecir la iniciación de fisuras en partes de la estructura

donde estas no existen previamente.

Ley de estado y ley de evolución de

significativamente la densidad de microdefectos; lo que hace

ble daño en el análisis, por medio de los siguientes conceptos: El esfuerzo

efectivo y la hipótesis de equivalencia en deformación.

Para describir los conceptos anteriores se considera una barra microagrietada

(figura 4.6.3). El esfuerzo de Cauchy es igual a la relac

a resistente: σ = P/A. El esfuerzo efectivo se define como la fuerza aplicada

sobre el área resistente efectiva: σ = P/(A-Ad), donde el área efectiva es la diferencia

entre el área total A y el área de microdefectos Ad. Todo esto permite relacionar el

esfuerzo efectivo con el esfuerzo de Cauchy y la variable de daño, en la ecuación

siguiente:

ω−σ

=σ (4.6.3) 1

57

igura 4.6.3. Esfuerzo efectivo

Sustituyendo el esfuerzo de Cauchy por el esfuerzo efectivo en las ecuaciones

que corresponden al material intacto, se puede expresar el comportamiento de un

mater

(4.6.4) [2]:

P

F

ial dañado; a esto se le llama la hipótesis de equivalencia.

Considerando la hipótesis de equivalencia, la ley de estado del material

elastoplástico dañado puede ser obtenida a partir de la expresión

σ = E (ε − εp ); o lo que es lo mismo σ = (1-ω)E(ε − εp ) (4.6.4)

La función de fluencia de un material dañado, considerándolo al inicio

perfectamente r edim plástico, también puede obtenerse siguiendo el mismo p oc iento:

01

),(f ≤σ−ω−

σ=σ−σ=ωσ (4.6.5) yy

Las funciones de fluencia de los modelos con endurecimiento cinemático lineal,

se derivan de manera similar.

ólo interviene a través de la función de fluencia:

(4.6.6)

La ley de evolución de las deformaciones plásticas permanece inalterada,

puesto que en ella el esfuerzo s

⎩

⎧ωσωσ≠εωσωσ=ε

0)=, df( y 0)=, f( si 0d0)<, df( o 0)<, f( si 0d

p

p⎨

58

Ley de evolución del daño para materiales frágiles

Al considerar la existencia adicional de una variable interna en la ley de estado,

ución, con el fin de definir por

comp

iento propuesta

es vál

s r la

variab

es necesaria la introducción de una nueva ley de evol

leto la ley de comportamiento uniaxial de un material dañado.

En este caso en particular, el material se caracteriza por tener deformaciones

plásticas nulas o despreciables (εp = 0), es decir, la ley de comportam

ida para materiales frágiles, como el hormigón o la roca.

Para obtener la ley de evolución del daño de un material frágil se supone que

se puede aplicar el criterio de Griffith al caso de las microfisura caracterizadas po

le de daño continuo. La densidad de energía de deformación w puede ser

obtenida a partir de la ley de estado (4.6.4):

2E)1(11),(w εω−=σε=ωε (4.6.7) 22

La tasa de restitución de energía en un elemento de volumen puede definirse

ahora como:

2E1wG ε=2ω∂

∂−= (4.6.8)

La ecuación anterior se obtiene por analogía con la expresión (4.6.9) del

capítulo anterior, sustituyendo la energía de defor

energ

(4.6.9)

mación W por la densidad de

ía de deformación w y la longitud de la fisura a por la variable de daño continuo

ω. El criterio de Griffith al nivel del elemento de volumen se expresa ahora como:

⎩

⎧=ω=>ω<ω<=ω

dRdGy)(RGsi0ddRdGo)(RGsi0d

⎨

59

60

La ley de evolución (4.6.9) revela que si la tasa de restitución de energía G es

menor a la resistencia al agrietamiento del material R, o si se está iniciando una

desca

e obtenerse a partir del comportamiento observado del

mater

Figura 4.6.4. Envolvente parabólica en un modelo de daño frágil [2].

ara el miembro mostrado en la figura 4.4.1, se plantea la existencia de un

den la densidad del agrietamiento en los extremos del

eleme

rga elástica (dG < dR) no existirá evolución de daño. Por el contrario, habrá

crecimiento de las microfisuras si la tasa de restitución de energía es igual a la

resistencia al agrietamiento y no se esta iniciando una descarga elástica. Se admite

que G > R es imposible.

La función de resistencia al agrietamiento (o más precisamente al

microagrietamiento) deb

ial. Por ejemplo, el comportamiento del hormigón en compresión se representa

con frecuencia utilizando una envolvente parabólica de segundo grado (Véase la

figura 4.6.4). Esta clase de modelo correspondería a una función R definida por: R =

a ω2.

−ε

−σ

Daño en una rótula plástica.

P

conjunto de parámetros que mi

nto (figura 4.6.5), tomando valores entre cero y uno, { } ( , , )D d d dt = ,

representando el daño por flexión en la rótula i y la rótula j y el daño debido a las

i j a

fuerzas axiales respectivamente. A diferencia de la variable de daño continuo, el

daño en una rótula plástica está relacionado con grietas macroscopicas en el material.

Las deformaciones genera adas totales del miembro resultan de la suma de

las deformaciones de la viga-columna elástica, las deformaciones plásticas de las

liz

rótula

xpresarse en función de

los esfuerzos generalizados a través de la matriz de flexibilidad elástica [Fo].

no ha

Figu ón d estado de daño de un miembro de un pórtico plano media te pa ñ

uación caracteriza a un modelo de

ño continuo en el caso

particu

s y un término adicional debido al daño en el elemento:

}{}{}]{F[}{}{}{}{ dpodpvc ΦΦΦΦΦΦ ++=++= M (4.6.10)

Las deformaciones de la viga-columna elástica pueden e

Cuando

y agrietamiento, el término adicional {Φd} es nulo.

r 4.6.5 ian

. Representac el rámetros de da o.

Matriz de rigidez de un miembro elastoplástico dañado

La expresión que se muestra a contin

inelasticidad concentrada que es equivalente a la teoría del da

lar de un miembro sometido exclusivamente a fuerzas axiales:

nF033d ω

=δ (4.6.11) 1 ω−

Concreto Modelo de

inelasticidad j ≤ 1Concentrada 0 ≤0 ≤ ≤ 1 i

61

Donde ω es de nuevo la variable de daño c p

alargamiento plástico de la cuerda n es la fuerza axial, es el elemento en la tercera

fila y tercera columna de la matriz de flexibilidad elástica del miembro. En esta

ecuación cuando el daño es igual a cero, no hay deformaciones adicionales y si es

xpresan de la manera siguiente:

{Φd}=[C(D)]{M};

ontinuo, δ corresponde al

033F

igual a 1, se tiene una rótula con flexibilidad infinita (o rigidez nula), es decir, entre la

rótula y la viga-columna elástica no existe conexión y por lo tanto no hay transmisión

de fuerzas axiales.

Cuando los efectos de flexión y axial se combinan, las deformaciones

generalizadas debidas al daño se e

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢ − i

0

00d1

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

a

033a

j

022j

11i

d1Fd00

0d1

Fd0

Fd

)]D(C[ (4.6.12)

Las ecuaciones (4.6.11) y (4.6.12) coinciden cuando se trata de un miembro

sometido únicamente a fuerza axial, en este caso da es igual a ω. En los casos

restantes la variable de

o alternativamente {M}=[S(D)]{ Φ-Φp }; (4.6.13)

Donde [F(D)] = [C(D)] +[F ] es la matriz de flexibilidad del miembro dañado y

[S(D)] = [F(D)]

daño continuo no corresponde a ninguno de los parámetros de

daño en las rótulas.

La ley de estado de un miembro elastoplástico dañado viene dada por:

{Φ-Φp}=[F(D)]{M};

0

-1 es su matriz de rigidez.

62

La expresión de la matriz de rigidez, para un miembro de sección transversal

constante, en el que se desprecian los efectos geométricamente no lineales, es:

⎥⎥⎥⎥

⎤

⎢⎢

⎡

−= 0)d1(12k)]( j

jii

D[S ; ⎥

⎦⎢⎢

⎢

⎣−

−−−

kL)d1(EA

0)d1)(d1(6)d1(12

a

LEI

)d1)(d1(41k

ji −−−= (4.6.14)

Donde I es el momento de inercia de la sección, L es la longitud de la cuerda, A

su área y E el modulo de elasticidad.

lástica con daño.

El momento efectivo sobre la rótula i se define de la manera siguiente:

Función de fluencia de una rótula p

imm = i

i d1− (4.6.15)

La función de fluencia de una rótula inelástica, es decir, para la cual se

desprecian los efectos inelásticos axiales: alargamientos permanentes y daño axial, en

el caso de una rótula plástica con endurecimiento cinemático no lineal, se presenta

por medio de la siguiente expresión:

eii

iiiii mx

d1m)d,x,m(f −−−

= (4.6.16)

Donde xi es de nuevo el término de endurecimiento cinemático y me es el

momento de primera plastificación de la sección. Las leyes de evolución de xi y de la

rotación plástica son:

63

⎩

⎧≠φ=φ

0=f y d0= f si 0d0<f o d0<si f0d

iii

iii

(4.6.17) dx

⎨

)dpxd]mm([ iipieui −φ−α= p

ii ddp φ=

Donde pi es la rotación plástica acumulada, mu corresponde al momento último

de la sección y α es un parámetro que depende igualmente de la sección tra

del miembro.

ando el miembro de la figura 4.4.1 y suponiendo que el daño asociado

las fuerzas axiales es despreciable (da ≅ 0), la tasa de restitución de energía de una

dio de la siguiente expresión:

nsversal

Criterio de Griffith en una rótula plástica.

Consider

a

rótula plástica puede ser definida ahora por me

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

)d1(2Fm

)d1(2Fm

dW

dW

j

022

2j

i

02

j

*

i

*

ji

Donde Gi y Gj representan las tasas de restitución de energía de las rót

⎟⎜=⎟⎜== ,,)G,G(}G{ 11it (4.6.18)

ulas i y j

respectivamente. El criterio de Griffith para la rótula plástica i se escribe:

(4.6.19)

función de

resistencia al agrietamiento.

⎩ ==> iiiii dRdGyRGsi0dd

Donde ddi representa el incremento de daño en la rótula y Ri es su

⎨⎧ <<= iiiii dRdGoRGsi0dd

64

Resistencia al agrietamiento en un elemento estructural de concreto armado.

La resistencia al agrietamiento es una propiedad variable que se obtiene a partir

e resultados experimentales. El método de la variación de la rigidez elástica permite

por

medio

result

d

determinar R en el caso particular de un elemento estructural de concreto armado;

del ensayo de una probeta, como la mostrada en la figura 4.6.6, que representa

la unión entre una viga y una columna; la misma está simplemente apoyada y

sometida a una fuerza en el tope de la columna, que se controla en desplazamientos

que a su vez siguen una serie de cargas y descargas específica. La curva fuerza contra

desplazamiento típica obtenida en un ensayo como este se presenta en la figura 4.6.7.

El modelo de plasticidad concentrada del ensayo se muestra en la figura 4.6.6;

el mismo supone un comportamiento simétrico de la estructura, que permite

exclusivamente el análisis en uno de los elementos. Esta hipótesis se ajusta bien a los

ados experimentales, hasta que se alcanza el máximo de la curva fuerza contra

desplazamiento de la figura 4.6.7. A partir de ese momento, se observa una

localización del daño y la plasticidad en una sola de las rótulas de la estructura y un

comportamiento no simétrico.

65

2P

t

L L

P

Z

X

Figura 4.6.6 Junta viga-columna para la identificación de la resistencia al grietamiento [2]. a

Figura 4.6.7 Fuerza en función del desplazamiento en el ensayo de identificación [2].

El ensayo cumple con ciertas condiciones iniciales que combinadas con la ley

de estado (4.6.13) permiten obtener la relación entre la fuerza y la flecha:

donde ; 30 LEI3Z =)tt)(d(ZP p−= 0Z)d1()d(Z −= (4.6.20)

constante Z0 corresponde a la pendiente elástica inicial, antes de producirse el

agrietamiento del concreto. El daño en la rótula puede medirse empleando la

ecuación:

El término Z es interpretado como la pendiente durante la descarga. La

66

0ZZ1d −= (4.6.21)

Los valores de Z pueden tomarse directamente de la gráfica de la figura 4.6.7.

La tasa de restitución de energía asociada al daño se calcula con los valores de daño,

el momento flector en el momento de iniciar la descarga y la expresión (4.6.19),. La

curva de daño en función de la tasa de restitución de energía se muestra en la figura

4.6.8

Figura 4.6.8 Daño en función de la tasa de restitución de energía [2].

A partir de este gráfico es posible proponer una expresión para la función de

resistencia al agrietamiento en una rótula plástica:

i

iicrii d1

qGR−

)d1ln( −+= (4.6.22)

Donde Gcri y qi son parámetros que dependen de las propiedades del material

del miembro, su geometría y la fuerza axial.

67

Deteragrietamiento.

Los parámetros característicos de la resistencia al agrietamiento en elementos

e concreto armado, se presentan en función del momento de agrietamiento mcr y del

pueden variar ilimitadamente en medidas y disposiciones del refuerzo. Estas dos

propi

minación indirecta de los parámetros característicos de la resistencia al

d

momento último mu de la sección transversal del elemento, debido a que las mismas

edades pueden ser calculadas por el Ingeniero Civil de manera rutinaria

empleando los métodos clásicos de la teoría del concreto armado.

El criterio de Griffith establece que la relación entre el momento flector y el

daño en una rótula plástica se escribe de la siguiente manera:

)d1ln()d1(qG)d1(EI6

Lm 22

cr −−+−= (4.6.23)

sidera una solicitación

monotónica en un elemento estructural de concreto armado, la cual crece hasta

generar un momento sobre la sección igual al momento de agrietam cr

en es

Para calcular el coeficiente Gcr, en función del momento de agrietamiento de la

sección y la rigidez o flexibilidad del elemento, se con

iento (m = m );

e instante se cumple que (G = R) además de que el valor de daño en la rótula es,

nulo (d = 0). Por lo tanto, se tiene según (4.6.23):

EI6Lm2

cr=

Si el momento flector sigue aumentando hasta alcanzar el momento último

resistente mu. Aplicando de nuevo (4.6.23) para es

Gcr (4.6.24)

e caso, se tiene:

68

)d1ln()d uu − (4.6.25) 1(qG)d1(EI6

Lmcr

2u

2u −+−=

u, la función de m2

en función del daño, definida por (4.6.23), debe pasar por un máximo:

Donde du es el daño en la rótula que corresponde al momento máximo que

puede soportar la misma. Adicionalmente se tiene que para m = m

0q)-d1(logq)-d1(G2 uucr =++

La resolución del sistema de ecuaciones formado por (4.6.24) y (4.6.25)

permite el cálculo de q y de du.

Función de fluencia de la rótula plástica.

La función de fluencia de una rótula plástica se supone con endurecimiento

cinem

(4.6.26)

ático lineal y se obtiene mediante la hipótesis de equivalencia en

deformaciones:

ypp mc

d1)d,,m(f

−m

−φ−=φ (4.6.27)

n plástica de la rótula.

Con el fin de determinar la constante my

solicitación monotónica sobre un elemento estructural de concreto armado, si mp es el

valor del momento correspondiente a la primera fluencia del refuerzo longitudinal del

Donde c y my son coeficientes que dependen de las propiedades del miembro y

de la fuerza axial. Los términos m, d y φp representan, por supuesto, el momento, el

daño y la rotació

se considera de nuevo una

miembro, según la ecuación (4.6.26), se tiene:

69

)d1ln()d1(qG)d1(EI6

Lm 22p

Donde dp es daño en la rótula que corresponde al momento plástico mp. La

función de fluencia se hace cero por primera v

ppcrp −−+−= (4.6.28)

ez cuando el momento sobre la rótula

es igual a mp. A pesar de que en ese instante comienza la plastificación de la rótula su

rotación plástica es todavía nula. Según (4.4.24) se tiene en este caso:

p

p

dm

m−

=1

(4.6.29)

Obviamente, my depende de la fuerza axial a través del momento plástico mp.

El último coeficiente del modelo, la constante c, puede ser c

y

alculado si se

conoce la rotación plástica que corresponde al momento último: igualando la

función de fluencia a cero para m = mu se tiene:

puφ

0mcd1 yu

u−

Ahora ya están planteados todos los elementos para formular una ley de

comportamiento para estructuras aporticadas de

m pu =−φ− (4.6.30)

hormigón armado. Este modelo se

puede entender de acuerdo a los principios de pórticos tridimensionales, como se

indica en [11], combinados con la ley de estado (4.6.13), la ley de evolución del daño

(4.6.19, 4.6.22) para las rótulas i y j y la ley de evolución de las deformaciones

plásticas con la función de fluencia, siendo la base del desarrollo de los elementos

finitos viga-columna en dos y tres dimensiones de los cuales se hablará en el capítulo

V. En las figuras 4.6.6 y 4.6.7 se muestran una comparación entre un ensayo y este

modelo.

70

V. IMPLEMENTACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS EN EL PEEF

En este capítulo se explica el propósito y funcionamiento del programa PEEF;

así como la implementación de nuevas subrutinas desarrolladas en esta investigación

las cua

l lenguaje de programación Fortran 90. Además presentan los resultados de varias

simul

a de elementos finitos, para la realización de simulaciones

uméricas que representen el proceso de daño en estructuras aporticadas de concreto

ucturales de mampostería de relleno, muros de corte de

concr

les incluyen los elementos finitos triangulares de placa DKT y T3, utilizando

e

aciones, las cuales permitieron corroborar el buen funcionamiento de las nuevas

subrutinas y su vínculo con el programa general, en otras palabras la prueba y

depuración del programa.

5.1 DISEÑO DEL PEEF

El diseño del PEEF pretende la creación de una herramienta computacional,

mediante el uso de la teorí

n

armado, elementos no estr

eto armado, placas elásticas y elementos metálicos con pandeo local; para ello el

programa está diseñado de tal manera que puedan integrarse nuevos elementos finitos

por medio de los cuales se realizan dichas simulaciones. En términos generales el

programa endógeno de elementos finitos (PEEF) tiene por objeto realizar el análisis

de estructuras de concreto armado en tres dimensiones, bajo solicitaciones estáticas y

dinámicas. Además debe permitir que nuevas subrutinas de elementos finitos sean

71

incluidas, de tal manera que el análisis no este limitado al uso exclusivo de

estructuras.

En esta sección se realiza un resumen de la estructura del PEEF y dentro de ella

la intervención de los nuevos elementos finitos.

Estru

uiente manera:

1. Problema Global: Conjunto de subrutinas que se encargan de resolver

.

a los diferentes

eleme s fini

Esqu

e

empo [0, T], para la solución del problema global este intervalo es substituido por

dos instantes

conse

ctura del PEEF

Según [5], PEEF está estructurado de la sig

la ecuación de equilibrio

2. Problemas Locales: Subrutinas que contienen

nto tos, a través de la cual se obtiene el comportamiento de la estructura.

ema general para la solución del Problema Global (Procesador)

Considérese el cálculo del estado de una estructura durante el intervalo d

ti

un conjunto discreto de instantes (0, t1, t2, ....., T). La diferencia entre

cutivos (Δt = t1 – t2) es llamada “paso del problema global”. La estructura es

calculada entonces solamente en los instantes considerados y no para el intervalo

completo. La ecuación de equilibrio en cualquier instante dado puede expresarse en

función de una única incógnita {U}:

0}{)}({][)}({1

=−= ∑=

n

i

t (5.1.1)

kkk PUBUL σα

72

Donde:

{U}: Matriz de desplazamientos nodales de la estructura discretizada.

k: Factor de peso del punto de integración.

atriz de transformación del punto de integración k que depende, entre otras

egración k.

uación de equilibrio junto con las

ente resuelto por el método

uiere la solución del siguiente problema lineal:

α

[B]k: M

cosas, de las funciones de interpolación escogidas.

{σ}k: Medida del esfuerzo en el punto de int

{P}: Matriz de fuerzas nodales.

El “problema global” está definido por la ec

condiciones de contorno en desplazamientos, y es usualm

de Newton. En cada iteración req

0}UU{UL

0}U{}U{

00

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

=

Donde {U0} representa la matriz de desplazamientos en el instante conside

)}U(L{)}U(L{ =−+≅ (5.1.2)

rado

y en la iteración precedente (figura 5.1.1).

igura 5.1.1. Método de Newton usado para resolver cada uno de los n problemas cales.

Flo

73

Los “problemas locales” consisten en el cálculo de todas las matrices de

así como sus jacobianos, las cuales son necesarias para hallar la matriz de

desplazamientos en la iteración actual del problema global y a su vez {L(U0)} junto

con su derivada. Este problema local es en general no lineal lo que implica el empleo

del método de Newton para resolver cada uno de los n problemas locales

En la figura 5.1.2 se presenta el diagrama de flujo que muestra el esquema

general del programa de elementos finitos a desarrollar.

El objetivo de cada uno de los bloques mostrados en el diagrama es:

• Declaración de variables e inicialización: En este bloque se declaran todas las

variables que serán usadas por el programa con su respectivo significado.

• Lectura del archivo de entrada: Conjunto de subrutinas que se encargan de leer el

archivo de entrada (INP) con los datos del modelo y llena la estructura de datos

definida para el manejo del problema.

• Condiciones iniciales: Bloque de subrutinas que se encargan de establecer las

condiciones iniciales antes de comenzar el análisis, estas condiciones son

dimensionar las matrices y vectores en función del tamaño del problema a

resolver, así como inicializar las variables necesarias a cero.

• Lazo para cada step: Lazo necesario para realizar el análisis (solución del

problema global y problema local) del modelo para cada uno de los steps.

• Inicializar variables de tiempo: Esta subrutina se encarga de actualizar e

inicializar las variables de tiempo para cada step.

esfuerzo

74

• Lazo para el tiempo del step actual menor al tiempo total del step: Este lazo se

ejecuta hasta que el tiempo del step actual es mayor al tiempo total definido para

dicho step.

• Actualizaciones: Subrutinas encargadas de actualizar las variables de

desplazamiento, velocidad y aceleración dependiendo si el problema avanza o

retrocede para el instante de tiempo en estudio.

• Solución del problema y uso del elemento finito: Este bloque de subrutinas se

encarga de resolver el problema global es decir, obtener la solución de la ecuación

de equilibrio. Para realizar este cálculo se necesita que el programa llame a la

subrutina que contiene al elemento finito (solución del problema local), para

posteriormente hacer el ensamblaje, introducir las condiciones de contorno y

fuerzas externas, resolver el sistema de ecuaciones y finalmente evaluar la

convergencia.

• Escritura de los archivos de salida: El programa de elementos finitos

posiblemente creará durante un análisis los siguientes archivos de salidas: archivo

de datos, de resultado, de mensajes y estatus. Estos tienen como objetivo mostrar

a través de visualizaciones, o por medio de archivos de texto, los resultados del

modelo analizado, así como los posibles errores originados durante un análisis.

• Evaluación de las variables de tiempo: Evalúa si el paso de tiempo se va a

incrementar o reducir y a su vez se actualizan las variables de tiempo para el caso

en el que el número de iteraciones es menor al máximo, en caso contrario se

escribe un mensaje indicando el error y se detiene el análisis.

75

Figura 5.1.2 Diagrama de flujo del programa de elementos finitos [5].

LAZO PARA CADA STEP

INICIALIZAR VARIABLES DE TIEMPO

LAZO PARA EL TIEMPO DEL STEP ACTUAL MENOR AL TIEMPO TOTAL DEL STEP

ACTUALIZACIONES

SOLUCION DEL PROBLEMA Y USO DEL ELEMENTO FINITO

ESCRITURA DE LOS ARCHIVOS DE SALIDA

EVALUACION DE LAS VARIABLES DE TIEMPO

FIN

CONDICIONES INICIALES

LECTURA DEL ARCHIVO DE ENTRADA

DECLARACION DE VARIABLES E INICIALIZACION

INICIO

76

Ahora bien, el bloque “Solución del problema y uso del elemento finito”, se

lleva a cabo por medio de la subrutina “Jacobiano_Global”, que se encarga de obtener

el jacobiano global del modelo; sin embargo, previo a esta operación es necesario

determinar elemento por elemento el jacobiano local, y el vector de fuerzas internas.

En otras palabras, el objetivo de las subrutinas que contienen a los diferentes

tipos de elementos finitos es encontrar la solución del problema local.

Hasta ahora el programa contaba con dos elementos finitos. En [6] se explica

que el elemento finito VC2DCA (Viga - columna 2D de concreto armado) permite el

análisis no lineal de estructuras planas de concreto armado. Y el elemento VC3DCA

(Viga - columna 3D de concreto armado), describe el proceso de daño debido a la

flexión biaxial y considera la posibilidad de cargas axiales variables y momentos

torsionales [11]. En general, utilizando cualquiera de los elementos finitos anteriores,

sólo es posible modelar el esqueleto de estructuras aporticadas de concreto armado,

bien sea bidimensionales o tridimensionales.

Los nuevos elementos finitos, T3 y DKT, permiten modelar placas elásticas

delgadas, sometidas a cargas en el plano y/o cargas perpendiculares, tal como se

describe en los capítulos II y III respectivamente. El objetivo de la implementación de

estos elementos finitos en el programa es poder simular estructuras tridimensionales y

considerar en su comportamiento la contribución de elementos que puedan modelarse

como placas, por ejemplo el entrepiso de un edificio o el tablero de un puente.

En la figura 5.1.3 se presenta el diagrama de flujo generalizado, para el bloque

de subrutinas que dan solución al problema local.

77

LAZO DESDE: i = 1, TOTAL DE ELEMENTOS

INICIALIZA LAS VARIABLES LOCALES QUE VARIAN PARA

CADA ELEMENTO FINITO

ELEMENTO FINITO DE PLACA T3

ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO

ELEMENTO FINITO DE PLACA DKT

TIPO DE ELEMENTO

ENSAMBLAJE

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE

ELEMENTOS FINITOS

INICIALIZAR A CERO: JACOBIANO GLOBAL, LOCAL Y

FUERZAS LOCALES

FIN

DECLARACION DE VARIABLES

Figura 5.1.3 Diagrama de flujo del bloque de subrutinas para la solución del problema local.

78

5.2 IMPLEMENTACIÓN DE LOS NUEVOS ELEMENTOS

En esta sección se presenta el procedimiento utilizado para la implementación

en el PEEF de los elementos finitos triangulares de placa T3 y DKT, descritos en los

capítulos 2 y 3 respectivamente, que tienen por objeto simular numéricamente el

comportamiento de placas elásticas, y de esta manera tomar en cuenta su contribución

en el análisis de estructuras tridimensionales de concreto armado, considerando que

algunos elementos que la componen se comportan de acuerdo a estas hipótesis.

Tal como se explicó en la sección anterior cada una de estas subrutinas

corresponden a la solución del problema local, cuya finalidad es determinar la matriz

de fuerzas internas y el jacobiano.

Elemento finito triangular de placa T3

Esta subrutina permite la implementación del elemento finito triangular de placa

T3, descrito en la sección dos del capítulo II; de ella se obtiene la contribución de este

elemento al resto de la estructura por medio del cálculo del jacobiano o matriz de

rigidez local del elemento y la determinación de la matriz de fuerzas internas. Su

diagrama de flujo se presenta en la figura 5.2.1. En cada paso del diagrama se

realizan las siguientes tareas:

• Declaración de variables: En este bloque se declaran todas las variables que

serán usadas en la subrutina con su respectivo significado.

• Traducción de las variables de entrada: se guardan en variables locales,

utilizadas por la subrutina, los valores de los desplazamientos, las coordenadas

79

del elemento y las propiedades, que envía el programa general, necesarias para la

determinación del jacobiano y la matriz de fuerzas internas.

• Cálculo del jacobiano: consiste en la aplicación de la ecuación 2.2.13 para la

determinación de la matriz de rigidez local del elemento.

• Cálculo de las fuerzas internas: se determina el producto de la matriz de rigidez

local del elemento (jacob) por la matriz de desplazamientos, y se resta el vector

de fuerzas externas debido a cargas distribuidas (ecuación 2.2.14).

• Traducción de variables locales a variables del programa general: se transcriben

las matrices de rigidez y de fuerzas internas a las variables definidas para el

programa general.

Figura 5.2.1 Diagrama de flujo de la subrutina del elemento finito de placa T3

TRADUCCIÓN DE VARIABLES LOCALES A VARIABLES DEL

PROGRAMA GENERAL

FIN

CÁLCULO DE LA FUERZA INTERNA

CÁLCULO DEL JACOBIANO EC.2.2.13

TRADUCCIÓN DE LAS VARIABLES DE ENTRADA

DECLARACION DE VARIABLES

INICIO

80

Subrutina para la implementación del elemento finito T3 en el PEEF

***************************************************************** C ELEMENTO TRIANGULAR T3 DE 3 NODOS C VER "Modélisation des estrctures par éléments finis" C Volumen 1 (pag 246) C PLACA 4 C VERSION 4.0 C**************************************************************** C SUBRUTINA DE INTERFASE CON PEEF C VERSION 4.0 C ESCRITA POR ANALI CABEZA C COMENZADA EL 13 DE AGOSTO DEL 2008 C**************************************************************** subroutine uel_T3(rhs,amatrx,svars,energy,ndofel,nrhs,nsvars, 1 props,nprops,coords,mcrd,nnode,u,du,v,a,jtype, 2 time,dtime,kstep,kinc,jelem,params, 3 ndload,jdltyp,adlmag,predef,npredf,lflags, 4 mlvarx,ddlmag,mdload,pnewdt,jprops,njprop,period) C************************************************************* C DECLARACION DE LAS VARIABLES PEEF C************************************************************ C para el significado de estas variables ver el manual C PEEF version 6.7 seccion 1.1.19 C C Las caracteristicas del elemento y de la integracion numérica C son transmitidas por PEEF a placa T3 a traves de la matriz C props:

C props(1): h (espesor de la placa) C props(2): E Modulo de elasticidad C props(3): nu Coeficiente de Poisson C props(4): fx valor de la carga en x por unidad de área C props(5): fy valor de la carga en y por unidad de área C**************************************************************** C include 'aba_param.inc' C

81

Real(kind=8):: rhs(mlvarx,*),amatrx(ndofel,ndofel),props(*), 1 svars(*),energy(8),coords(mcrd,nnode),u(ndofel), 2 du(mlvarx,*),v(ndofel),a(ndofel),time(2),params(*), 3 jdltyp(mdload,*),adlmag(mdload,*),ddlmag(mdload,*), 4 predef(2,npredf,nnode) Real(kind=8):: dtime,pnewdt integer ndofel,nrhs,nsvars,nprops,mcrd,nnode,jtype,kstep,kinc integer jelem,mdload,npredef,mlvarx,jprops(*),lflags(*) C**************************************************************** C DECLARACION DE VARIABLES T3 C**************************************************************** C prop= matriz de propiedades del elemento props C prop(1): h (espesor de la placa) C prop(2): E Modulo de elasticidad C prop(3): nu Coeficiente de Poisson C prop(4): fx valor de la carga en x por unidad de área C prop(5): fy valor de la carga en y por unidad de área C prop(6):x21 C prop(7):x13 C prop(8):x32 C prop(9):y12 C prop(10):y31 C prop(11):y23 C prop(12):Area del elemento C max_prop: tamaño maximo de la matriz prop C fuerza_interna: jacob*desp-fuerza C jacob: matriz de rigidez del elemento C n_desp: numero de grados de libertad del elemento C max_desp: tamaño maximo de las matrices fuerza_interna y rigidez C**************************************************************** integer max_prop,max_desp C parameter(max_prop=12) parameter(max_desp=6) C real*8 prop(max_prop),fuerza_interna(max_desp) real*8 jacob(max_desp,max_desp),desp(max_desp) integer n_desp C**************************************************************** C definicion de variables locales C**************************************************************** C i_prop: contador C i_desp: contador C j_desp: contador

82

C x1: coordenada x del nudo 1 C x2: coordenada x del nudo 2 C x3: coordenada x del nudo 3 C y1: coordenada y del nudo 1 C y2: coordenada y del nudo 2 C y3: coordenada y del nudo 3 C**************************************************************** integer i_prop,i_desp,j_desp real*8 x1,x2,x3,y1,y2,y3 real*8 x21,x13,x32,y12,y31,y23,Area C**************************************************************** C traducción de variables PEEF a variables T3 C**************************************************************** C traducción de props C do i_prop=1,4 prop(i_prop)=props(i_prop) end do C C traducción de las coordenadas del elemento C x1=coords(1,1) x2=coords(1,2) x3=coords(1,3) y1=coords(2,1) y2=coords(2,2) y3=coords(2,3) C C diferencia de las coordenadas C x21=(x2-x1) x13=(x1-x3) x32=(x3-x2) y12=-(y2-y1) y31=-(y1-y3) y23=-(y3-y2) C C Área del elemento C A=1./2.*(xi*(yj-yk)+xj*(yk-yi)+xk*(yi-yj)) C Area=1./2.*(x1*(y23)+x2*(y31)+x3*(y12)) C C traducción de las diferencias de las coordenadas C a la matriz de propiedades prop(6)=x21

83

prop(7)=x13 prop(8)=x32 prop(9)=y12 prop(10)=y31 prop(11)=y23 prop(12)=Area C C traducción de los desplazamientos C n_desp=ndofel do i_desp=1,n_desp desp(i_desp)=u(i_desp) end do C**************************************************************** C LLAMADA A PLACA T3 C CALCULO DE LAS FUERZAS RESIDUALES, C Y JACOBIANO C**************************************************************** call placaT3( e prop,max_prop, e desp,max_desp, s fuerza_interna,jacob) C**************************************************************** C TRADUCCION T3-PEEF C**************************************************************** C do i_desp=1,n_desp rhs(i_desp,1)=-fuerza_interna(i_desp) do j_desp=1,n_desp amatrx(i_desp,j_desp)=jacob(i_desp,j_desp) end do end do C C**************************************************************** C return end C C***************************************************************** C**************************************************************** C ELEMENTO DE PLACA T3 DE 3 NODOS C VER "Modélisation des estrctures par éléments finis" C C PLACA T3 C VERSION 4.0

84

C**************************************************************** C SUBRUTINA PLACA T3 C CALCULO DE LAS FUERZAS RESIDUALES, C Y JACOBIANO C COMENZADA EL 13/08/08 C ESCRITA POR Anali Cabeza C**************************************************************** C subroutine placaT3( e prop,max_prop, e desp,max_desp, s fuerza_interna,jacob) C C**************************************************************** C DECLARACION DE VARIABLES T3 C**************************************************************** C prop= matriz de propiedades del elemento props C prop(1): h (espesor de la placa) C prop(2): E Modulo de elasticidad C prop(3): nu Coeficiente de Poisson C prop(4): fx valor de la carga en x por unidad de área C prop(5): fy valor de la carga en y por unidad de área C prop(12):Area del elemento C max_prop: tamaño maximo de la matriz prop C fuerza_interna: jacob*desp-fuerza C jacob: matriz de rigidez del elemento C max_desp: tamaño maximo de las matrices fuerza_interna y rigidez C desp: matriz de desplazamientos C**************************************************************** C implicit none integer max_prop,max_desp C real*8 prop(max_prop),fuerza_interna(max_desp),jacob(max_desp,max_desp) real*8 desp(max_desp) C C**************************************************************** C DECLARACIONES DE VARIABLES LOCALES PARA EL CÁLCULO DEL JACOBIANO C H1,H2,G C h=prop(1) C E=prop(2) C nu=prop(3) C fx=prop(4) C fy=prop(5) C x21=prop(6)

85

C x13=prop(7) C x32=prop(8) C y12=prop(9) C y31=prop(10) C y23=prop(11) C Area=prop(12) C**************************************************************** C real*8 H1,H2,G real*8 h,E,nu,fx,fy real*8 x21,x13,x32,y12,y31,y23,Area C C**************************************************************** C cálculo del jacobiano C Tabla 2.6.4 pag 248 C**************************************************************** C Traducción de las variables locales C h=prop(1) E=prop(2) nu=prop(3) fx=prop(4) fy=prop(5) x21=prop(6) x13=prop(7) x32=prop(8) y12=prop(9) y31=prop(10) y23=prop(11) Area=prop(12) C H1=E/((1.+nu)*(1.-nu)) H2=nu*H1 G=E/(2.*(1.+nu)) C C Cálculo de jacob C jacob(1,1)=h/(4.*Area)*(y23 ** 2. * H1 + x32 ** 2. * G) jacob(1,2)=h/(4.*Area)*(y23 * H2 * x32 + x32 * G * y23) jacob(1,3)=h/(4.*Area)*(y23 * H1 * y31 + x32 * G * x13) jacob(1,4)=h/(4.*Area)*(y23 * H2 * x13 + x32 * G * y31) jacob(1,5)=h/(4.*Area)*(y23 * H1 * y12 + x32 * G * x21) jacob(1,6)=h/(4.*Area)*(y23 * H2 * x21 + x32 * G * y12) jacob(2,1)=jacob(1,2) jacob(2,2)=h/(4.*Area)*(x32 ** 2. * H1 + y23 ** 2. * G)

86

jacob(2,3)=h/(4.*Area)*(x32 * H2 * y31 + y23 * G * x13) jacob(2,4)=h/(4.*Area)*(x32 * H1 * x13 + y23 * G * y31) jacob(2,5)=h/(4.*Area)*(x32 * H2 * y12 + y23 * G * x21) jacob(2,6)=h/(4.*Area)*(x32 * H1 * x21 + y23 * G * y12) jacob(3,1)=jacob(1,3) jacob(3,2)=jacob(2,3) jacob(3,3)=h/(4.*Area)*(y31 ** 2. * H1 + x13 ** 2. * G) jacob(3,4)=h/(4.*Area)*(y31 * H2 * x13 + x13 * G * y31) jacob(3,5)=h/(4.*Area)*(y31 * H1 * y12 + x13 * G * x21) jacob(3,6)=h/(4.*Area)*(y31 * H2 * x21 + x13 * G * y12) jacob(4,1)=jacob(1,4) jacob(4,2)=jacob(2,4) jacob(4,3)=jacob(3,4) jacob(4,4)=h/(4.*Area)*(x13 ** 2. * H1 + y31 ** 2. * G) jacob(4,5)=h/(4.*Area)*(x13 * H2 * y12 + y31 * G * x21) jacob(4,6)=h/(4.*Area)*(x13 * H1 * x21 + y31 * G * y12) jacob(5,1)=jacob(1,5) jacob(5,2)=jacob(2,5) jacob(5,3)=jacob(3,5) jacob(5,4)=jacob(4,5) jacob(5,5)=h/(4.*Area)*(y12 ** 2. * H1 + x21 ** 2. * G) jacob(5,6)=h/(4.*Area)*(y12 * H2 * x21 + x21 * G * y12) jacob(6,1)=jacob(1,6) jacob(6,2)=jacob(2,6) jacob(6,3)=jacob(3,6) jacob(6,4)=jacob(4,6) jacob(6,5)=jacob(5,6) jacob(6,6)=h/(4.*Area)*(x21 ** 2. * H1 + y12 ** 2. * G) C C**************************************************************** C cálculo de la contribución del elemento al residual C fnv ecuación 2.6.40 pag 249 C fuerzas por unidad de área C**************************************************************** call pro_2mat(6,6,6,1, 1 6,1, 1 6,6,1,jacob,desp, 1 fuerza_interna) C fuerza_interna(1)=fuerza_interna(1)-1./3.*Area*fx fuerza_interna(2)=fuerza_interna(2)-1./3.*Area*fy fuerza_interna(3)=fuerza_interna(3)-1./3.*Area*fx fuerza_interna(4)=fuerza_interna(4)-1./3.*Area*fy fuerza_interna(5)=fuerza_interna(5)-1./3.*Area*fx fuerza_interna(6)=fuerza_interna(6)-1./3.*Area*fy

87

C C**************************************************************** return end C****************************************************************

Elemento finito triangular de placa DKT

Con esta subrutina se incluye en el programa, el elemento finito triangular de

placa DKT, cuyas ecuaciones y características se describen en el capítulo III. En la

figura 5.2.2 se muestran el diagrama de flujo correspondiente a su procedimiento:

CÁLCULO DEL JACOBIANO Y FUERZAS INTERNAS

TRADUCCIÓN DE VARIABLES LOCALES A VARIABLES DEL

PROGRAMA GENERAL

FIN

CALCULO DE DIFERENCIAS DE COORDENADAS DEL

ELEMENTO

CALCULO DEL AREA EC. 2.2.4

TRADUCCIÓN DE LAS VARIABLES DE ENTRADA

DECLARACION DE VARIABLES E INICIALIZACION

INICIO

Figura 5.2.2. Diagrama de flujo de la subrutina general para el DKT

88

En el diagrama de flujo anterior, los pasos denominados Declaración de

variables, traducción de las variables de entrada y traducción de variables locales a

variables del programa general, implican un procedimiento análogo al presentado en

la sección anterior. Ahora bien el cálculo del jacobiano y de las fuerzas internas se

realiza por medio de una subrutina donde se emplean las ecuaciones para la

determinación de la matriz de rigidez del elemento DKT. Estas ecuaciones se

presentan en la sección dos del Capítulo III. El procedimiento a seguir se esquematiza

en el diagrama de flujo de la figura 5.2.3.

La subrutina para el cálculo del jacobiano y la fuerza interna del elemento finito

DKT, comienza, al igual que las anteriores, con la declaración de las variables locales

que serán usadas. Posteriormente se inicializa a cero la matriz jacobiano. Luego para

cada punto de integración de Hammer se determinan sus coordenadas; que son la base

para el cálculo de la matriz de rigidez auxiliar Kξ, a partir de la cual se obtiene

finalmente la matriz de rigidez local del elemento. Para el cálculo de la matriz de

fuerzas internas, una vez hallado el jacobiano o matriz de rigidez local del elemento,

se realiza su producto con la matriz de desplazamientos y se resta el vector de fuerzas

externas debido a cargas distribuidas, en caso de que las haya, de acuero a la ecuación

3.2.7.

89

DECLARACIÓN E INICIALIZACION DE VARIBLES

LAZO PARA CADA PUNTO DE

INTEGRACIÓN DE HAMER

CÁLCULO DE LAS COORDENADAS HAMER

DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ Kξ

CALCULO DEL JACOBIANO

CALCULO DE LAS FUERZAS INTERNAS

FIN

INICIO

Figura 5.2.3 Subrutina para el cálculo del jacobiano del elemento finito DKT

Subrutina para la implementación del elemento finito DKT en el PEEF

C**************************************************************** C ELEMENTO DE PLACA ELASTICA DE KIRCHOFF DKT DE 3 NODOS C VER "Modélisation des estrctures par éléments finis" C Volumen 2 (pag 343) Volumen 1 (pag 200) C C PLACA DKT C VERSION 3.0 C**************************************************************** C SUBRUTINA DE INTERFASE CON PEEF

90

C VERSION 3.0 C ESCRITA POR ANALI CABEZA Y J. FLOREZ LOPEZ C COMENZADA EL 1 DE AGOSTO DEL 2008 C****************************************************************

subroutine uel_DKT(rhs,amatrx,svars,energy,ndofel,nrhs,nsvars, 1 props,nprops,coords,mcrd,nnode,u,du,v,a,jtype, 2 time,dtime,kstep,kinc,jelem,params, 3 ndload,jdltyp,adlmag,predef,npredf,lflags, 4 mlvarx,ddlmag,mdload,pnewdt,jprops,njprop,period)

C************************************************************* C DECLARACION DE LAS VARIABLES PEEF C************************************************************ C para el significado de estas variables ver el manual C PEEF version 6.7 seccion 1.1.19 C C Las caracteristicas del elemento y de la integracion numerica C son transmitidas por PEEF a PLACA DKT1 a traves de la matriz C props: C

C props(1): h (espesor de la placa) C props(2): E Modulo de elasticidad C props(3): nu Coeficiente de Poisson C props(4): q valor de la carga uniformemente distribuida C**************************************************************** C include 'aba_param.inc' C

Real(kind=8):: rhs(mlvarx,*),amatrx(ndofel,ndofel),props(*), 1 svars(*),energy(8),coords(mcrd,nnode),u(ndofel), 2 du(mlvarx,*),v(ndofel),a(ndofel),time(2),params(*), 3 jdltyp(mdload,*),adlmag(mdload,*),ddlmag(mdload,*), 4 predef(2,npredf,nnode) Real(kind=8):: dtime,pnewdt integer ndofel,nrhs,nsvars,nprops,mcrd,nnode,jtype,kstep,kinc integer jelem,mdload,npredef,mlvarx,jprops(*),lflags(*)

C C****************************************************************

91

C DECLARACION DE VARIABLES PLACA DKT C**************************************************************** C C prop= matriz de propiedades del elemento props C prop(1):h C prop(2):E C prop(3):nu C prop(4):q C prop(5):x21 C prop(6):x13 C prop(7):x32 C prop(8):y21 C prop(9):y13 C prop(10):y32 C prop(11):A:área del elemento C max_prop: tamaño maximo de la matriz prop C fuerza_interna: jacob*desp-fuerza C jacob: matriz de rigidez del elemento C n_desp: numero de grados de libertad del elemento C max_desp: tamaño maximo de las matrices fuerza_interna y rigidez C****************************************************************

integer max_prop,max_desp C

parameter(max_prop=11) parameter(max_desp=9)

C real*8 prop(max_prop),fuerza_interna(max_desp) real*8 desp(max_desp),jacob(max_desp,max_desp) integer n_desp

C C****************************************************************

C definicion de variables locales C**************************************************************** C i_prop: contador C i_desp: contador C j_desp: contador C x1: coordenada x del nudo 1 C x2: coordenada x del nudo 2 C x3: coordenada x del nudo 3 C y1: coordenada y del nudo 1 C y2: coordenada y del nudo 2 C y3: coordenada y del nudo 3 C****************************************************************

integer i_prop,i_desp,j_desp real*8 x1,x2,x3,y1,y2,y3

92

real*8 x21,x13,x32,y21,y13,y32,Area C**************************************************************** C traducción de variables PEEF a variables PLACA DKT C**************************************************************** C C traducción de props C

do i_prop=1,4 prop(i_prop)=props(i_prop) end do

C C traducción de las coordenadas del elemento C

x1=coords(1,1) x2=coords(1,2) x3=coords(1,3) y1=coords(2,1) y2=coords(2,2) y3=coords(2,3)

C C diferencia de las coordenadas C

x21=(x2-x1) x13=(x1-x3) x32=(x3-x2) y21=(y2-y1) y13=(y1-y3) y32=(y3-y2)

C C Área del elemento C A=1./2.*(xi*(yj-yk)+xj*(yk-yi)+xk*(yi-yj)) C

Area=1./2.*(x1*(-y32)+x2*(-y13)+x3*(-y21)) C C traducción de las diferencias de las coordenadas C a la matriz de propiedades C

prop(5)=x21 prop(6)=x13 prop(7)=x32 prop(8)=y21 prop(9)=y13 prop(10)=y32 prop(11)=Area

C

93

C traducción de los desplazamientos C

n_desp=ndofel do i_desp=1,n_desp desp(i_desp)=u(i_desp) end do

C C**************************************************************** C LLAMADA A PLACA DKT C CALCULO DE LAS FUERZAS RESIDUALES, C Y JACOBIANO C****************************************************************

call PLACA DKT( e prop,max_prop, e desp,max_desp, s fuerza_interna,jacob)

C**************************************************************** C TRADUCCION PLACA DKT-PEEF C**************************************************************** C

do i_desp=1,n_desp rhs(i_desp,1)=-fuerza_interna(i_desp) do j_desp=1,n_desp amatrx(i_desp,j_desp)=jacob(i_desp,j_desp) end do end do

C C**************************************************************** C

return end

C C**************************************************************** C ELEMENTO DE PLACA ELASTICA DE KIRCHOFF DKT DE 3 NODOS C VER "Modélisation des estrctures par éléments finis" C PLACA DKT 3 C VERSION 3.0 C**************************************************************** C SUBRUTINA PLACA DKT 3 C CALCULO DE LAS FUERZAS RESIDUALES, C Y JACOBIANO C COMENZADA EL 1/08/08 C ESCRITA POR Anali Cabeza C****************************************************************

subroutine PLACA DKT(

94

e prop,max_prop, e desp,max_desp, s fuerza_interna,jacob)

C**************************************************************** C DECLARACION DE VARIABLES PLACA DKT C**************************************************************** C C prop= matriz de propiedades del elemento props C prop(1): h C prop(2): E C prop(3): nu C prop(4): q C prop(5):x21 C prop(6):x13 C prop(7):x32 C prop(8):y21 C prop(9):y13 C prop(10):y32 C prop(11):Area C max_prop: tamaño maximo de la matriz prop C fuerza_interna: jacob*desp-fuerza C jacob: matriz de rigidez del elemento C max_desp: tamaño maximo de las matrices fuerza_interna y rigidez C desp: matriz de desplazamientos C C****************************************************************

implicit none integer max_prop,max_desp real*8 prop(max_prop),fuerza_interna(max_desp),jacob(max_desp,max_desp) real*8 desp(max_desp)

C**************************************************************** C DECLARACIONES DE VARIABLES LOCALES PARA EL CÁLCULO DEL JACOBIANO C iH,jH:contadores de Hammer C xi, eta: coordenadas locales de Hammer C max_k:tamaño de la matriz de rigidez K y Kex C iK,jK:contadores de la matriz k C k:matriz auxiliar de rigidez C kex: matriz necesaria para calcular K C C****************************************************************

real*8 eta,xi,wi integer iH,jH,ik,jk integer max_k parameter(max_k=9) real*8 Kex(max_k,max_k)

95

C**************************************************************** C DECLARACIONES DE VARIABLES LOCALES PARA EL CÁLCULO DE LA fuerza_interna C q:prop(4):caraga distribuida C x21:prop(5) C x13:prop(6) C x32:prop(7) C y21:prop(8) C y13:prop(9) C y32:prop(10) C Area:prop(11):área del elelmento C C****************************************************************

real*8 q,x21,x13,x32,y21,y13,y32,Area C**************************************************************** C cálculo del jacobiano C**************************************************************** C C Inicialización, en 0, de la matriz auxilir de rigidez C

do ik=1,9 do jk=1,9 jacob(ik,jk)=0. end do end do

C C Cálculo de la matriz jacob=sumatoria(wi*Kex) C

do iH=1,3 C C Determinación de las coordenadas "iH" de Hammer C

call cal_Hammer( e iH, s wi,xi,eta)

C C Cálculo de la Matriz Kex C

call cal_Kex( e xi,eta,wi, e max_prop,prop,max_k, s kex)

C C jacob=sumatoria(wi*Kex) C

do ik=1,9

96

do jk=1,9 jacob(ik,jk)=jacob(ik,jk)+wi*Kex(ik,jk) end do end do C end do

C**************************************************************** C cálculo de la contribución del elemento al residual C****************************************************************

call pro_2mat(9,9,9,1, 1 9,1, 1 9,9,1,jacob,desp, 1 fuerza_interna)

C C Traducción a Variables locales C

q=prop(4) x21=prop(5) x13=prop(6) x32=prop(7) y21=prop(8) y13=prop(9) y32=prop(10) Area=prop(11)

C fuerza_interna(1)=fuerza_interna(1)-1./6.*Area*q*2. fuerza_interna(2)=fuerza_interna(2)-1./6.*Area*q*(-x21+x13) fuerza_interna(3)=fuerza_interna(3)-1./6.*Area*q*(-y21+y13) fuerza_interna(4)=fuerza_interna(4)-1./6.*Area*q*2. fuerza_interna(5)=fuerza_interna(5)-1./6.*Area*q*(-x32+x21) fuerza_interna(6)=fuerza_interna(6)-1./6.*Area*q*(-y32+y21) fuerza_interna(7)=fuerza_interna(7)-1./6.*Area*q*2 fuerza_interna(8)=fuerza_interna(8)-1./6.*Area*q*(-x13+x32) fuerza_interna(9)=fuerza_interna(9)-1./6.*Area*q*(-y13+y32)

C**************************************************************** return end

C**************************************************************** C Subrutina cal_Hammer_eta C Se realiza el cálculo de la coordenada de Hammer C (eta,wi) C Tabla 2.3.4, Volumen 1 (pag 200) C****************************************************************

subroutine cal_Hammer ( e cont_H,

97

s w_H,coord_xi,coord_eta) C**************************************************************** C Declaración de Variables C cont_H:contandor de Hammer C w_H,coord_H: coordenadas Hammer C****************************************************************

implicit none integer cont_H real*8 w_H,coord_xi,coord_eta

C**************************************************************** C Cálculo de las coordenadas Hammer C****************************************************************

if (cont_H.eq.1)then coord_xi=1./2. coord_eta=1./2. else if (cont_H.eq.2)then coord_xi=0 coord_eta=1./2. else if (cont_H.eq.3)then coord_xi=1./2. coord_eta=0. end if w_H=1./6.

C**************************************************************** return end

C**************************************************************** C SUBRUTINA Kex C En esta Subrutina se realiza e cálculo de la matriz Kex C Según la ecuación 4.3.17, Volumen 2 (pag 348) C C Kex=J*BT*Hf*B C C****************************************************************

subroutine cal_Kex( e xi,eta,wi, e max_prop,prop,max_k, s Kex)

C**************************************************************** C DECLARACIÓN DE VARIABLES DE Kex C xi,eta,wi: coordenadas Hammer C max_prop:tamaño máximo e la matriz de propiedades C prop: matriz de propiedades del elemento props C max_k:máximo tamaño de la matriz Kex C Kex=J*BT*Hf*B

98

C C****************************************************************

implicit none integer max_k,max_prop real*8 eta,xi,wi real*8 prop(max_prop),Kex(max_k,max_k)

C**************************************************************** c DECLARACIÓN DE VARIABLES LOCALES DE Kex C iK,jK:contadores de la matriz Kex C J:valor necesario para el cálculo de Kex C B:matriz función de las coordenadas de Hammer C BT:transpuesta de la matriz B C Hf:matriz función de las propiedades del elemento C max_fB:tamaño máximo de las filas de la matriz B C max_cB:tamaño máximo de las columnas de la matriz B C max_H:tamaño máximode la matriz Hf C****************************************************************

integer max_fB,max_cB,max_H parameter(max_fB=3) parameter(max_cB=9) parameter(max_H=3) real*8 J real*8 B(max_fB,max_cB),BT(max_cB,max_fB),Hf(max_H,max_H) integer ik,jk

C**************************************************************** C Cálculo de las matrices B, BT C y de J C

call cal_B_BT ( e xi,eta, e max_prop,prop, e max_fB,max_cB, s B,BT,J)

C C Cálculo de la Matriz Hf C

call cal_Hf( e max_prop,prop,max_H, s Hf)

C C Producto de las tres Matrices C Kex=J*BT*Hf*B C

call pro_3mat( e 9,3,3,3,

99

e 3,9,9,9, s 9,3,3,9,BT,Hf,B,Kex)

C C Producto Kex=J*BT*Hf*B C

do ik=1,9 do jk=1,9 Kex(ik,jk)=J*Kex(ik,jk) end do end do

C**************************************************************** return end

C**************************************************************** C CÁLCULO DE LAS MATRICES B Y BT C MATRIZ B= EC. 4.3.16 Volumen 2 (pag 347) C BT= MATRIZ TRANSPUESTA DE B C J=Tabla 4.3.3 Volumen 2 (pag 348) C****************************************************************

subroutine cal_B_BT ( e xi,eta, e max_prop,prop, e max_fB,max_cB, s B,BT,J)

C**************************************************************** C DECLARACIÓN DE VARIABLES C MATRIZ B= EC. 4.3.16 Volumen 2 (pag 347) C BT= MATRIZ TRANSPUESTA DE B C J=Tabla 4.3.3 Volumen 2 (pag 348) C max_prop:tamaño máximo de la matriz prop C prop:matriz de propiedades C prop(5):x21 C prop(6):x13 C prop(7):x32 C prop(8):y21 C prop(9):y13 C prop(10):y32 C x21:diferencia de coordenadas x2-x1 C x13:diferencia de coordenadas x1-x3 C x32:diferencia de coordenadas x3-x2 C y21:diferencia de coordenadas y2-y1 C y13:diferencia de coordenadas y1-y3 C y32:diferencia de coordenadas y3-y2 C max_fB:tamaño máximo de las filas de la matriz B C max_cB:tamaño máximo de las columnas de la matriz B

100

C xi,eta= coordendas según la integración de Hammer C****************************************************************

implicit none real*8 eta,xi integer max_fB, max_cB, max_prop real*8 B(max_fB,max_cB),BT(max_cB,max_fB),prop(max_prop) real*8 J

C**************************************************************** C DECLARACIÓN DE VARIABLES LOCALES C iB,jB=CONTADORES AUXILIARES C LK,Ck,Sk,Lm,Cm,Sm=PARÁMETROS AUXILIARESPARA C CALCULAR LAS MATRICES N C dxiNxii= Nx DERIVADA EN FUNCIÓN DE xi C dxiNyii= Ny DERIVADA EN FUNCIÓN DE xi C detaNxii= Nx DERIVADA EN FUNCIÓN DE eta C detaNyii= Ny DERIVADA EN FUNCIÓN DE eta C****************************************************************

integer iB,jB integer max_N parameter (max_N=3) real*8 dxiNx(max_N,max_N),detaNx(max_N,max_N) real*8 dxiNy(max_N,max_N),detaNy(max_N,max_N) real*8 x21,y21,x13,y13,x32,y32 real*8 J22,J12,J21,J11 real*8 L4,C4,S4,L5,C5,S5,L6,C6,S6

C**************************************************************** C TABLA 4.3.2 "Modélisation des estrctures par éléments finis" C*************************************************************** C Traducción a Variables Locales C

x21=prop(5) x13=prop(6) x32=prop(7) y21=prop(8) y13=prop(9) y32=prop(10)

C C Cálculo de las Matrices N C que contienen las derivadas de las ecuaciones de la taba 4.3.1 C volumen 2 C

do iB=1,3 if (iB.eq.1)then

C L4=(x21**2.+y21**2.)**(1./2.)

101

C4=x21/L4 S4=y21/L4 L6=(x13**2.+y13**2.)**(1./2.) C6=(x13)/L6 S6=(y13)/L6

C dxiNx(iB,1)=6. * (1. - xi - eta) * C4 / L4 1 - 6. * xi * C4 / L4 + 6. * eta * C6 / L6 dxiNx(iB,2)=-1. - 3. * (1. - xi - eta) * C4 ** 2. 1 + 3. * xi * C4 ** 2. + 3. * eta * C6 ** 2. dxiNx(iB,3)=-3. * (1. - xi - eta) * C4 * S4 1 + 3. * xi * C4 * S4 + 3. * eta * C6 * S6

C dxiNy(iB,1)=6. * (1. - xi - eta) * S4 / L4 1 - 6. * xi * S4 / L4 + 6. * eta * S6 / L6 dxiNy(iB,2)=-3. * (1. - xi - eta) * C4 * S4 1 + 3. * xi * C4 * S4 + 3. * eta * C6 * S6 dxiNy(iB,3)=-1. - 3. * (1. - xi - eta) * S4 ** 2. 1 + 3. * xi * S4 ** 2. + 3. * eta * S6 ** 2.

C detaNx(iB,1)=-6. * xi * C4 / L4 1 - 6. * (1. - xi - eta) * C6 / L6 + 6. * eta * C6 / L6 detaNx(iB,2)=-1. + 3. * xi * C4 ** 2. 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C6 ** 2. + 3. * eta * C6 ** 2. detaNx(iB,3)=3. * xi * C4 * S4 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C6 * S6 + 3. * eta * C6 * S6

C detaNy(iB,1)=-6. * xi * S4 / L4 1 - 6. * (1. - xi - eta) * S6 / L6 + 6. * eta * S6 / L6 detaNy(iB,2)=3. * xi * C4 * S4 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C6 * S6 + 3. * eta * C6 * S6 detaNy(iB,3)=-1. + 3. * xi * S4 ** 2. 1 - 3. * (1. - xi - eta) * S6 ** 2. + 3. * eta * S6 ** 2.

C else if (iB.eq.2)then

C L5=(x32**2.+y32**2.)**(1./2.) C5=x32/L5 S5=y32/L5 L4=(x21**2.+y21**2.)**(1./2.) C4=x21/L4 S4=y21/L4

C dxiNx(iB,1)=6. * eta * C5 / L5

102

1 - 6. * (1. - xi - eta) * C4 / L4 2 + 6. * xi * C4 / L4 dxiNx(iB,2)=1 - 3. * eta * C5 ** 2. 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C4 ** 2. 2 + 3. * xi * C4 ** 2. dxiNx(iB,3)=-3. * eta * C5 * S5 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C4 * S4 2 + 3. * xi * C4 * S4

C dxiNy(iB,1)=6. * eta * S5 / L5 1 - 6. * (1. - xi - eta) * S4 / L4 + 6. * xi * S4 / L4 dxiNy(iB,2)=-3. * eta * C5 * S5 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C4 * S4 + 3. * xi * C4 * S4 dxiNy(iB,3)=1. - 3. * eta * S5 ** 2. 1 - 3. * (1. - xi - eta) * S4 ** 2. + 3. * xi * S4 ** 2.

C detaNx(iB,1)=6. * xi * C5 / L5 + 6. * xi * C4 / L4 detaNx(iB,2)=-3. * xi * C5 ** 2. + 3. * xi * C4 ** 2. detaNx(iB,3)=-3. * xi * C5 * S5 + 3. * xi * C4 * S4

C detaNy(iB,1)=6. * xi * S5 / L5 + 6. * xi * S4 / L4 detaNy(iB,2)=-3. * xi * C5 * S5 + 3. * xi * C4 * S4 detaNy(iB,3)=-3. * xi * S5 ** 2 + 3. * xi * S4 ** 2

C else if (iB.eq.3)then

C L6=((x13)**2.+(y13)**2.)**(1./2.) C6=x13/L6 S6=y13/L6 L5=(x32**2.+y32**2.)**(1./2.) C5=x32/L5 S5=y32/L5

C dxiNx(iB,1)=-6. * eta * C6 / L6 - 6. * eta * C5 / L5 dxiNx(iB,2)=3. * eta * C6 ** 2. - 3. * eta * C5 ** 2. dxiNx(iB,3)=3. * eta * C6 * S6 - 3. * eta * C5 * S5

C dxiNy(iB,1)=-6. * eta * S6 / L6 - 6. * eta * S5 / L5 dxiNy(iB,2)=3. * eta * C6 * S6 - 3. * eta * C5 * S5 dxiNy(iB,3)=3. * eta * S6 ** 2. - 3. * eta * S5 ** 2.

C detaNx(iB,1)=6. * (1. - xi - eta) * C6 / L6 1 - 6. * eta * C6 / L6 - 6. * xi * C5 / L5 detaNx(iB,2)=1. - 3. * (1. - xi - eta) * C6 ** 2. 1 + 3. * eta * C6 ** 2. - 3. * xi * C5 ** 2.

103

detaNx(iB,3)=-3. * (1. - xi - eta) * C6 * S6 1 + 3. * eta * C6 * S6 - 3. * xi * C5 * S5

C detaNy(iB,1)=6. * (1. - xi - eta) * S6 / L6 1 - 6. * eta * S6 / L6 - 6. * xi * S5 / L5 detaNy(iB,2)=-3. * (1. - xi - eta) * C6 * S6 1 + 3. * eta * C6 * S6 - 3. * xi * C5 * S5 detaNy(iB,3)=1. - 3. * (1. - xi - eta) * S6 ** 2. 1 + 3. * eta * S6 ** 2. - 3. * xi * S5 ** 2.

C end if end do

C C Cálculo de J C

J22=-y13 J12=y21 J21=-x13 J11=x21

C J=J11*J22-J12*J21

C C Cálculo de la Matriz B C ecuación 4.3.16 Volumen 2 (pag347) C

do jB=1,3 B(1,jB)=J22*dxiNx(1,jB)-J12*detaNx(1,jB) B(2,jB)=-J21*dxiNy(1,jB)+J11*detaNy(1,jB) B(3,jB)=-J21*dxiNx(1,jB)+J11*detaNx(1,jB) 1 +J22*dxiNy(1,jB)-J12*detaNy(1,jB) end do

C do jB=4,6 B(1,jB)=J22*dxiNx(2,jB-3)-J12*detaNx(2,jB-3) B(2,jB)=-J21*dxiNy(2,jB-3)+J11*detaNy(2,jB-3) B(3,jB)=-J21*dxiNx(2,jB-3)+J11*detaNx(2,jB-3) 1 +J22*dxiNy(2,jB-3)-J12*detaNy(2,jB-3) end do

C do jB=7,9 B(1,jB)=J22*dxiNx(3,jB-6)-J12*detaNx(3,jB-6) B(2,jB)=-J21*dxiNy(3,jB-6)+J11*detaNy(3,jB-6) B(3,jB)=-J21*dxiNx(3,jB-6)+J11*detaNx(3,jB-6) 1 +J22*dxiNy(3,jB-6)-J12*detaNy(3,jB-6) end do

104

C do iB=1,3 do jB=1,9 B(iB,jB)=1./J*B(iB,jB) end do end do

C C Transpuesta de la matriz B C

do iB=1,3 do jB=1,9 BT(jB,iB)=B(iB,jB) end do end do

C**************************************************************** return end

C**************************************************************** C CÁLCULO DE LA MATRIZ Hf C h: espesor de la placa C E: Modulo de elasticidad C nu: Coeficiente de Poisson C C***************************************************************

subroutine cal_Hf( e max_prop,prop,max_H, s Hf)

C**************************************************************** C DECLARACIÓN DE VARIABLES C max_prop:tamaño máximo de la matriz prop C prop:matriz de propiedades C prop(1): h C prop(2): E C prop(3): nu C prop(4): q C max_H:tamaño máximo de la matriz H C C !1 nu 0 ! C Hf= h**3/12 * E/(1-nu**2)* !nu 1 0 ! C !0 0 (1-nu)/2! C C Hf= h**3/12 * E/(1-nu**2)* Ha C

105

C C***************************************************************

implicit none integer max_prop, max_H real*8 Hf(max_H,max_H), prop(max_prop)

C**************************************************************** C Declaración de las variables locales C iH,jH:contadores de la matriz Hf C Ha:matriz auxiliar para el cálculo de Hf C nu,q,h,E:propiedades de la placa C prop(1): h C prop(2): E C prop(3): nu C prop(4): q C****************************************************************

integer iH,jH real*8 h,E,nu,q real*8 Ha(max_H,max_H)

C**************************************************************** C C Traducción a Variables locales C

h=prop(1) E=prop(2) nu=prop(3) q=prop(4)

C C Cálculo de H C

Ha(1,1)=1. Ha(1,2)=nu Ha(1,3)=0. Ha(2,1)=nu Ha(2,2)=1. Ha(2,3)=0. Ha(3,1)=0. Ha(3,2)=0. Ha(3,3)=(1.-nu)/2.

C do iH=1,3 do jH=1,3 Ha(iH,jH)=E/(1.-nu**2.)*Ha(iH,jH) end do end do

C

106

C Cálculo de Hf do iH=1,3 do jH=1,3 Hf(iH,jH)=h**3./12.*Ha(iH,jH) end do end do

C**************************************************************** return end

5.3 EJEMPLOS DE VALIDACIÓN

Con el fin de validar el programa, verificar el ensamblaje y, la adaptación de los

elementos finitos de placas elásticas DKT y T3, se realizaron varias simulaciones

numéricas. Las primeras constituyen modelos simples a través de los cuales se

verifica que los datos son leídos correctamente por el programa y que el

comportamientos de cada uno de los elementos por separados arroje resultados

correctos; en las segundas se realizaron simulaciones numéricas de estructuras

tridimensionales de concreto armado por medio de las cuales se evalúa el vínculo de

los nuevos elementos finitos, DKT y T3, con otros elementos, y su contribución a la

estructura total.

Validación del elemento finito DKT

Con el fin de verificar que la matriz de rigidez local del elemento finito de placa

elástica DKT está siendo calculada correctamente y que dicha subrutina está

adecuadamente vinculada con el resto del programa, se plantean varias simulaciones

numéricas relativamente sencillas.

107

Placa Triangular

El ejercicio “Placa Triangular”, consiste en una placa discretizada en un sólo

elemento finito de tres nodos, DKT, como se muestra en la figura 5.3.1. Para efectos

de su análisis se modela como una estructura simplemente apoyada en cada uno de

los nodos y con una carga uniformemente distribuida, normal a su plano, de 100

Kg/m2, considerando que sus dimensiones se expresan en (m). Para un coeficiente de

Poisson de μ=0.3, un módulo E=2x109 Kg/m2 y h=0.1m.

Figura 5.3.1. Placa triangular, validación del elemento finito DKT

La matriz de rigidez de esta placa es comparada con el resultado que se presenta

en [8] en función del módulo de elasticidad “E”, su espesor “h” y para un μ=0.3.

(Figura 5.3.2)

108

Figura 5.3.2 Matriz de Rigidez del DKT de una placa de espesor h, modulo de elasticidad E y μ=0.3 [8]

El primer paso es verificar que los valores de la matriz de rigidez son

proporcionales a la matriz presentada en la figura 5.3.2, de acuerdo a la relación

10

3Eh . Luego se comprueba que el resultado de las reacciones verticales en los apoyos

son coherentes (Tabla 5.3.1)

Tabla 5.3.1. Reacciones en los apoyos de la Placa Triangular

Apoyo en elNodo Rv (Kg) 1 -16.667 2 -16.667 3 -16.667

Σ -50.00

Rápidamente se corrobora la certeza de los resultados mostrados en la tabla

5.3.1, ya que la sumatoria de las tres reacciones debe ser igual a la carga vertical total

(CVT), que puede determinarse, en este caso en particular, por medio de la expresión

5.3.1.

CDxACVT = (5.3.1)

109

Substituyendo los valores correspondientes a la carga uniformemente

distribuida (CD) y al área (A), se obtiene la siguiente carga total vertical:

KgmxxmKgCVT 5011

21100 2

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

El signo de las reacciones es negativo indicando que tienen sentido contrario a

la carga uniformemente distribuida aplicada.

Este ejercicio que parece tan sencillo es muy útil desde el punto de vista de

validación, ya que permite:

• Verificar que es correcto el intercambio de datos e información entre la

subrutina del DKT y el programa general

• Comprobar que los cálculos realizados en la subrutina del DKT son

confiables

• Evaluar el adecuado vínculo de la subrutina con el resto programa

Placa cuadrada con carga puntual

Este ejercicio consiste en la determinación del desplazamiento del punto central

de una placa cuadrada, en dirección perpendicular al plano que la contiene, cuando la

misma está sometida a una carga concentrada en ese mismo punto. El objetivo es

comparar el resultado obtenido, aplicando el MEF por medio del elemento DKT,

haciendo uso del PEEF, con respecto a la solución exacta expuesta en [8]. La

determinación se presenta para una placa cuadrada con carga puntual y diferentes

casos de apoyo: contornos empotrados y contornos apoyados.

110

Placa cuadrada con carga puntual y contornos empotrados

En este caso se presenta una placa cuadrada discretizada con tres mallas

diferentes, tal como se muestra en la figura 5.3.3. El contorno de la placa está

empotrado, es decir tienen todos los movimientos posibles restringidos. La placa esta

sometida a una carga puntual de 100 Kg en el nodo central de la misma. Sus

coordenadas se expresan en (m). El coeficiente de Poisson es μ=0.3, el módulo

E=2x109 Kg/m2 y el espesor h=0.15m.

a) b) c)

Figura 5.3.3 Placa cuadrada empotrada discretizada con a) cuatro elementos DKT, b) ocho elementos DKT, c) dieciséis elementos DKT.

La flecha para el caso “a” de la figura 5.3.3, viene dada por la expresión:

( )2

3

23

112

1044.12

μ−=

= −

hED

DaP

W (5.3.2)

Dónde “W” es la flecha en el punto central de la placa, “a” su ancho y “P” es la

carga concentrada. De acuerdo a la expresión 5.3.1 se obtienen los resultados que se

exponen en la tabla 5.3.2

111

Tabla 5.3.2 Flecha en el centro de la placa, empotrada en el contorno, sometida a una fuerza concentrada para la malla del caso “a”

P (Kg) E (kg/m2) h (m) Μ a(m) D W (m)

100 2.00E+09 0.15 0.3 1 618132 2.01252E-06

Por otro lado, la solución exacta de la flecha en el centro es:

DaP

W2

3106.5= (5.3.3)

Substituyendo los valores específicos para este ejercicio, en la igualdad anterior,

se obtiene la solución exacta para la flecha, mostrada en la tabla 5.3.3

Tabla 5.3.3 Flecha exacta en el centro de la placa sometida a una fuerza

concentrada

P (Kg) E (kg/m2) h (m) μ a(m) D W (m) 100 2.00E+09 0.15 0.3 1 618132 9.05956E-07

Empleando el PEEF para cada caso de malla (a, b y c) se consiguen las flechas

presentadas en la tabla 5.3.4

Tabla 5.3.4 Solución obtenida de PEEF para la flecha en el centro de la placa, de contorno empotrado, sometida a una fuerza concentrada

W (m)

Caso "a" W (m)

Caso "b" W (m)

Caso "c" 2.01220E-06 9.17110E-07 9.12E-07

Se observa que el resultado para la malla del caso “a” es muy parecido a la

solución que se presenta en la tabla 5.3.2. y para un mallado más refinado, con mayor

número de elementos, como en los casos “b” y “c”; las flechas se acercan a la

solución exacta, lo que indica que el programa está trabajando adecuadamente para

112

estructuras modeladas con el elemento finito DKT. Adicionalmente es evidente que

los resultados para los últimos dos casos de malla son parecidos entre sí. En el estudio

de una estructura real, el analista no conoce la solución exacta, así que se recomienda

discretizarla con diferentes mallas hasta que los resultados sean similares o iguales.

Para el caso práctico de la presente Tesis la discretización de las estructuras será poco

refinada debido a que no se cuenta aún con el generador de los archivos de entradas

del PEEF.

Placa cuadrada con carga puntual y contornos simplemente apoyados

Ahora la placa cuadrada del ejemplo anterior está simplemente apoyada en el

contorno, como se muestra en la figura 5.3.4

a) b) c)

Figura 5.3.4 Placa cuadrada simplemente apoyada discretizada con a) cuatro elementos DKT, b) ocho elementos DKT, c) dieciséis elementos DKT.

En este caso la flecha en el centro de la placa se determina de la siguiente

manera:

DaP

W2

0116.0= (5.3.4)

113

Los parámetros que intervienen en esta ecuación tienen el mismo significado

que los de la expresión 5.3.2. Así pues se obtiene el resultado que se exhibe en la

tabla 5.3.5

Tabla 5.3.5 Flecha en el centro de la placa, simplemente apoyada en las

esquinas, sometida a una fuerza concentrada para la malla del caso de “a”

P (Kg) E (kg/m2) h (m) μ a(m) D W (m) 100 2.00E+09 0.15 0.3 1 618132 1.87662E-06

Las flechas para cada uno de los casos expuestos en la figura 5.3.3, utilizando

el PEEF se enseñan en la tabla 5.3.6

Tabla 5.3.6 Flecha en el centro de la placa, simplemente apoyada, sometida a

una fuerza concentrada, obtenida utilizando el PEEF

Caso "a" Caso "b" Caso "c" 5.90110E-06 2.08E-06 1.95050E-06

Al comparar los resultados se puede observar la notable diferencia que existe

entre las flechas que arroja el análisis para diferentes mallas, sin embargo a medida

que aumenta el número de elementos finitos, y la malla se hace más refinada, el

resultado se acerca a la solución exacta de la flecha del punto central de la placa

Validación del elemento finito T3

En esta sección se plantea una simulación numérica poco compleja que da lugar

a la validación y depuración del elemento finito T3, además de que permite

comprobar que está bien acoplado con el resto del programa, lo que implica que el

intercambio de datos e información se realiza correctamente.

114

Placa sometida a fuerzas en dirección “x” (Placa_fx_T3)

El ejercicio “Placa_fx_T3” consiste en una lámina cuadrada discretizada para

varias mallas. Se encuentra simplemente apoyada en dos nodos consecutivos, y está

sometida a fuerzas horizontales en los nodos opuestos a los apoyados, cuyo valor es

de 100 Kg, tal como se muestra en la figura 5.3.5. Sus coordenadas se expresa en cm,

y sus datos generales son: espesor h = 5 cm, módulo de elasticidad E=2 105 Kg/cm2 y

coeficiente de poisson μ=0.3.

a) b)

c) d)

Figura 5.3.5 a) Placa sometida a fuerzas en dirección “x” b) Placa de 4 nodos y dos elementos T3 c) Placa de 9 nodos y ocho elementos T3 d) Placa de 25 nodos y treinta y dos elementos T3

Para cualquiera de los casos de malla, b, c, d ó e, los nodos de las esquinas

permanecen con numeración constante, lo que quiere decir que sus coordenadas

siempre serán las mismas e iguales a las que se presentan en la tabla 5.3.7.

115

Tabla 5.3.7. Coordenadas constantes de los nodos de las esquinas

Nodo x (cm) y (cm) 1 0 0 2 150 0 3 150 150 4 0 150

Considerando lo anterior y resolviendo el ejercicio propuesto para cualquiera de

las mallas resultan las reacciones y fuerzas horizontales en los apoyos que se

muestran en la tabla 5.3.8

Tabla 5.3.8. Fuerzas en los nodos de las esquinas

Nodo 1 2 3 4

Fuerza Externa en X -100 100 100 -100

Tal como se esperaba se obtienen fuerzas de igual magnitud y sentido

contrario. En los nodos 2 y 3 está aplicada la fuerza externa del problema y en los

nodos 1 y 4 se encuentran los apoyos.

Por otro lado se analizan los desplazamientos, ahora sí, diferenciando los

obtenidos entre una malla y otra, los resultados se muestran en las tablas 5.3.9, 5.3.10

y 5.3.11

Tabla 5.3.9. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas. Malla “b”

Nodo 1 2 3 4

Desplazamientos en X 2.6963E-15 0.00020 0.00020 2.6963E-15

116

Tabla 5.3.10. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas. Malla “c”

Nodo 1 2 3 4

Desplazamientos en X 2.6963E-15 0.00033 0.00033 2.6963E-15

Tabla 5.3.11. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas. Malla “d”

Nodo 1 2 3 4

Desplazamientos en X 2.6963E-15 0.00054 0.00054 2.6963E-15

Los desplazamientos mostrados en las tablas revelan un adecuado

comportamiento del elemento finito T3 y su vínculo con el programa general. Tal

como se espera el movimiento tiende a cero en los nodos 1y 4, debido a que los

apoyos restringen su desplazamiento en el plano en esta dirección. Así mismo el

signo del desplazamiento en los nodos 2 y 3 indica acertadamente que la placa se

traslada en dirección de la fuerza aplicada; la magnitud del mismo varía entre una

malla y otra, pero se mantiene el orden de magnitud. En un caso real sería aconsejable

seguir refinando la malla hasta que los desplazamientos entre un análisis y otro sean

similares de acuerdo al criterio y la experiencia del analista.

Análisis de una estructura tridimensional de concreto armado

Los ejercicios anteriores permitieron validar por separado cada uno de los

nuevos elementos finitos triangulares de placa, implementados en el PEEF; ahora se

quiere comprobar que ambos elementos se enlazan ajustadamente con otros

elementos finitos y que su contribución al comportamiento de una estructura es

117

correcta. En este caso específico, se modela una mesa de concreto armado cuyas patas

o soportes se simulan por medio del elemento finito VC3DCA (Viga - columna 3D de

concreto armado), el cual describe el proceso de daño debido a la flexión biaxial y

considera la posibilidad de cargas axiales variables y momentos torsionales. Las

propiedades y características de dichas columnas se describen en el anexo “A”

Mesa con carga uniformemente distribuida perpendicular al plano que contiene a la placa (Mesa_CD)

El ejercicio “Mesa_CD” consiste en una estructura tridimensional de concreto

armado formada por cuatro columnas y una placa en el tope de las mismas, cuyas

dimensiones en (cm) se muestran en la figura 5.3.6. La placa de la mesa está sometida

a una carga uniformemente distribuida de 90 Kg/m2 y las propiedades de la placa son:

espesor h = 5 cm, módulo de elasticidad E=2 105 Kg/cm5 y coeficiente de poisson

μ=0.3. Las columnas están empotradas en el extremo que no está en contacto con la

placa. Los nodos de los empotramientos son constantes y corresponden a la

numeración siguiente 1, 2, 3 y 4. Los nodos de las esquinas de la placa tampoco

varían por el mallado y son respectivamente 5, 6, 7 y 8.

118

Z

Y

1

2

4

3

8

7 6

5

150 cm

150 cm

90 kg/m2

150 cm

X

Figura 5.3.6. Mesa de concreto armado con carga uniformemente distribuida

La placa está discretizada por medio de diferentes mallas, las cuales se muestran

en la figura 5.3.7

a) b)

c) d) Figura 5.3.7 Malla con elementos finitos de placa: a) 2 elementos, b) 4 elementos, c) 8 elementos d) 32 elementos.

119

Como la mesa está sometida a una carga uniformemente distribuida,

perpendicular al plano que contiene la placa, se revisan entonces las flechas y las

reacciones verticales en los empotramientos de las columnas. Estos resultados se

muestran en la tabla 5.3.12.

Tabla 5.3.12 Resumen de las flechas en las esquinas de la mesa

Uz (cm) Nodos Malla 2E Malla 4E Malla 8E Malla 32E

5 7.42E-02 4.54E-02 5.26E-02 4.37E-02 6 1.66E-02 4.54E-02 3.82E-02 4.72E-02 7 7.42E-02 4.54E-02 5.26E-02 4.37E-02 8 1.66E-02 4.54E-02 3.82E-02 4.72E-02

Punto central 1.33E-01 8.47E-02 9.86E-02

Se observa que las flechas obtenidas difieren de un análisis a otro. Sin embrago

los valores más alejados al promedio de los mismos se consiguen en el análisis con

una malla de dos elementos.

Adicionalmente la estructura es simétrica, así como la carga aplicada, por lo

tanto es de suponerse que su movimiento también lo será. Con respecto a esta

observación, cuando se comparan los movimientos de los diferentes nodos de un

mismo análisis se nota que el único resultado completamente simétrico se consiguió

con la malla de cuatro elementos. Es importante destacar que la disposición de los

elementos triangulares de esta malla también es simétrica. Por otro lado es evidente

que a medida que se tiene una malla con mayor cantidad de elementos se asemejan

más los desplazamientos de los nodos de un mismo análisis, es decir, se infiere que

para una malla con más elementos la solución se va hará más simétrica.

120

En general, una vez más se comprueba que los resultados serán más precisos

mientras la malla sea más refinada. Además, para mayor cantidad de nodos mayor

será la información obtenida; por ejemplo la malla de dos elementos no permite

conocer la flecha en el centro de la placa, y la malla de 32 elementos proporciona los

desplazamientos de un número mayor de puntos que la de ocho elementos, y así

sucesivamente.

Tabla 5.3.13 Resumen de las reacciones verticales en los nodos empotrados

Rv (cm) Nodos Malla 2E Malla 4E Malla 8E Malla 32E

1 -8.27E+01 -5.06E+01 -5.87E+01 -4.86E+01 2 -1.85E+01 -5.06E+01 -4.26E+01 -5.26E+01 3 -8.27E+01 -5.06E+01 -5.87E+01 -4.86E+01 4 -1.85E+01 -5.06E+01 -4.26E+01 -5.26E+01

Σ -2.025E+02 -2.025E+02 -2.025E+02 -2.025E+02

Ahora bien, observando las reacciones obtenidas para cada caso de malla, que

se presentan en la tabla 5.3.12, se deduce que el problema de simetría es análogo al de

los desplazamientos, es decir, para una malla más refinada seguramente se

conseguirán reacciones más simétricas o al menos más parecidas entre sí. Por otro

lado los resultados cumplen con la ecuación equilibrio de fuerzas, en todos los casos

la sumatoria de las reacciones es igual a 202.5 Kg que se compensan con la carga

total aplicada, determinada en la tabla 5.3.12.

Tabla 5.3.14 Carga total vertical en la placa

CD (kg/m2) A (m) B (m) CT=CD*A*B Reacción 90 1.5 1.5 202.5 50.625

121

Mesa sometida a desplazamientos en la dirección del eje X (Mesa_dx)

Ahora se somete a la mesa del ejercicio anterior a un desplazamiento impuesto,

en dirección del eje de regencias X, tal como se muestra en la figura 5.3.8, de 6cm,

aplicado en 6 pasos, es decir 1cm por paso. La placa se modeló con elementos finitos

triangulares formando cuatro mallas diferentes, tal como se muestra en la figura 5.3.7.

Los resultados del análisis utilizando el PEEF se muestran en las tablas 5.3.13 y

5.3.14.

Z

150 cm

Y

1

2

4

3

8

7 6

5

150 cm

6 cm 6 cm

150 cm

X

Figura 5.3.8 Mesa sometida a desplazamientos en la dirección del eje X

122

De los ensayos anteriores se dedujo que los resultados menos satisfactorios son

los que surgen del análisis con la malla de dos elementos, y los más precisos se

obtienen utilizando la malla con mayor cantidad de elementos, así pues se realiza la

com de

la m

Ta .3 z to as esq la M

paración entre los desplazamientos y las fuerzas de los nodos de las esquinas

esa para estas dos mallas.

bla 5 .15 Despla amien s y Fuerz en las uinas de placa. alla 2E

N odo 5 Nodo 6 N odo 7 N odo 8 U x (cm) Fx (kg) Ux (cm) Fx (kg) U x (cm) Fx (kg) U ) x (cm Fx (kg)

0,00 0,00E+00 0.00 0,00E+00 0.00 0,00E+00 0.00 0,00E+001,00 -4,76E-03 1.00 1,50E+01 1.00 1,62E+01 1.00 1,93E-03 2,00 9,36E-06 2.00 1,78E+01 2.00 1,95E+01 2.00 -8,24E-063,00 1,30E-05 3.00 1,93E+01 3.00 2,14E+01 3.00 -1,09E-054,00 2,50E-05 4.00 2,02E+01 4.00 2,24E+01 4.00 -1,95E-055,00 3,99E-05 5.00 2,06E+01 5.00 2,30E+01 5.00 -2,91E-056,00 5,48 5 1 2,32 01 -3,77E-05E-0 6.00 2,07E+0 6.00 E+ 6.00

Ta 3.1 am s en sq a p Mbla 5. 6 Desplaz iento y Fuerzas las e uinas de l laca. alla 32E

N odo 5 N odo 6 N odo 7 N odo 8 U x (cm) Fx (kg) U )x (cm Fx (kg) Ux (cm) Fx (kg) U ) x (cm Fx (kg)

0.00 0,00E+00 0.00 0,00E+00 0.00 0,00E+00 0.00 0,00E+001.00 -4,61E-03 1.00 1,56E+01 1.00 1,55E+01 1.00 1,83E-03 2.00 1,01E-05 2.00 1,86E+01 2.00 1,86E+01 2.00 -9,17E-063.00 1,36E-05 3.00 2,02E+01 3.00 2,04E+01 3.00 -1,16E-054.00 2,45E-05 4.00 2,11E+01 4.00 2,14E+01 4.00 -1,92E-055.00 3,82E-05 5.00 2,16E+01 5.00 2,20E+01 5.00 -2,79E-056.00 5,13E-05 6.00 2,17E+01 6.00 2,22E+01 6.00 -3,54E-05

Se observa que para ambos casos de mallado los desplazamientos son iguales a

los impuestos en cada paso del análisis, como era de esperarse. Por otro lado las

fuerzas conseguidas varían poco entre una malla y otra; por ejemplo la fuerza en el

nodo 6 al final del análisis con la malla de dos elementos es 20.7 Kg y para la malla

de treinta y dos elementos es 21.7 Kg, la diferencia debe ser más pequeña a medida

de que se refina la malla.

123

Si se traza la curva de la fuerzas vs. el desplazamiento de cada nodo se obtiene

el comportamiento que se muestra en la figura 5.3.9

Figura 5.3.9 Fuerza vs. Desplazamiento en dirección X de los nodos 6 y 7

En esta figura se demuestra un comportamiento satisfactorio desde el punto de

vista del análisis de la estructura. Se observan tres zonas de diferentes pendientes. En

la primera zona existe una relación lineal entre el desplazamiento y la fuerza; luego la

pendiente disminuye, esto significa que existe incremento apreciable de los

despl

initos y con ello se cumple con el objetivo

rincipal de este trabajo que es contribuir a la simulación de estructuras

azamientos para un incremento de fuerza menor. Finalmente la zona tres

muestra un aumento del movimiento para una fuerza prácticamente constante.

Finalmente se puede concluir que los resultados en general son satisfactorios y

se comprueba que los nuevos elementos introducidos en el programa se ajustan

adecuadamente con otros elementos f

p

tridimensionales de concreto armado.

124

Mesala placa y simultáneamente sometida a desplazamientos horizontales

La finalidad de este ejercicio es comprobar que los elementos finitos de placas

elásticas, T3 y DKT, pueden usarse en conjunto. Esta aplicación es necesaria cuando

se tienen casos de cargas combinados, es decir, sobre la placa actúan cargas externas

en el plano y de flexión simultáneamente.

Cuando existen cargas externas combinadas, en el plano y perpendiculares, se

hace necesario crear dos conjuntos de elementos que comparte los mismos nodos, el

primero para asignarlo al elemento finito T3 y a el segundo para el elemento DKT.

En este caso en particular se combinan los casos de cargas expuesto en los

ejemplos anteriores sobre la misma estructura tridimensional descrita, como se

muestra en la figura 5.3.10.

con carga uniformemente distribuida perpendicular al plano que contiene a

(Mesa_DX_CD)

125

Z

Figura 5.3.10

La solución obtenida del análisis realizado utilizando PEEF se muestra en las

tablas 5.3.15 y 5.3.16

Malla 32E

Mesa sometida a solicitaciones combinadas

Tabla 5.3.17 Desplazamientos horizontales y Fuerzas en las esquinas de la placa.

Nodo 5 Nodo 6 Nodo 7 Nodo 8 Ux F (Kg) Ux F Ux F Ux F

0,00 0,00E+00 0,00 0,00E+00 0,00 0,00E+00 0,00 0,00E+001,00 -4,59E-04 1,00 1,83E+01 1,00 1,80E+01 1,00 1,40E-04 2,00 1,15E-05 2,00 2,40E+01 2,00 2,37E+01 2,00 -9,96E-063,00 2,08E-06 3,00 2,62E+01 3,00 2,60E+01 3,00 -2,67E-064,00 -1,14E-06 4,00 2,74E+01 4,00 2,73E+01 4,00 6,55E-07 5,00 -1,19E-06 5,00 2,80E+01 5,00 2,79E+01 5,00 9,78E-07 6,00 -9,69E-07 6,00 2,82E+01 6,00 2,82E+01 6,00 8,50E-07

1

2

8

7 6

5

4

150 cm

X 3

Y

150 cm

90 kg/m2

6 cm c6 m

150 cm

126

Tabla 5.3.18 Flechas en las esquinas de la placa. Malla 32E

Nodos w (cm) 5 -4.36E-02 6 -4.73E-02 7 -4.36E-02 8 -4.72E-02

Comparando los resultados presentados en la tabla 5.3.17 con los de la tabla

5.3.16, se puede observar que la fuerza cambia de 21 a 28 Kg , lo que es de esperarse

puesto que la carga distribuida hace que sea necesario la aplicación de una fuerza

mayor para lograr el mismo desplazamiento.

parar los resultados expuestos en las tablas 5.3.18 y 5.3.12,

se concluye que las flechas son las mismas para ambas estructuras.

Con esto resultados se entos finitos trabajan bien

nto separadamente como en conjunto.

Por otro lado al com

comprueba que ambos elem

ta

127

VI. CONCLUSIONES

Para incluir en el análisis de las estructuras tridimensionales de concreto

armad

retizaciones triangulares

defin

alla, con

discretizaciones triangulares, el elemento finito T3. Para el caso en que las fuerzas

xternas en la placa sean normales a su plano, se asigna a la malla, con

discretizaciones triangulares, el elemento finito DKT. Finalmente, si existen cargas

exter mbinadas, en el plano y perpendiculares, se hace necesario crear dos

o la contribución de elementos estructurales que pueden ser modelados por

medio de placas elásticas, se implementaron en el Programa PEEF dos nuevos

elementos finitos.

El elemento finito T3, tiene forma triangular definida por aristas rectas y tres

nudos; se utiliza para modelar placas elásticas sometidas a solicitaciones en el plano

que la contiene. Este elemento supone una aproximación lineal para los

desplazamientos en el plano de la placa.

El elemento finito DKT, también corresponde a disc

idas por aristas rectas y tres nudos; se utiliza para determinar el comportamiento

a flexión de placas delgadas de Kirchhoff. Este elemento supone una aproximación

lineal para las rotaciones normales y una aproximación cuadrática para las rotaciones

tangentes.

Ambos elementos pueden usarse separadamente o en conjunto. Cuando la

placa está sometida solo a fuerzas externas en el plano, se asigna a la m

e

nas co

128

conjuntos de elementos que comparten los mismos nodos, el primero para asignarlo

al elemento finito T3 y a el segundo para el elemento DKT.

ntes de la implementación de los elementos finitos, T3 y DKT, la biblioteca de

elementos de PEEF sólo incluía elementos para el análisis de pórticos de concreto

arma centrado. Los nuevos elementos permiten

inclu en el análisis la contribución, en el comportamiento de las estructuras

tridim ntes estructurales que pueden modelarse por medio de

los elementos finitos de placa, como por ejemplo el entrepiso de un edificio.

A

do basados en la teoría del daño con

ir

ensionales, de compone

129

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ript=sci_arttext 3. Flórez López J. “Plasticidad y Fractura en Estructuras Apropiadas”. 1999 4. http://portaldeporticos.ula.ve/ 5. Uzcátegui, Maylett. “Desarrollo de un Programa de Elementos Finitos

Tridimensional basado en la Web”. (Informe de actividades). 2007 6. Uzcátegui, Maylett. “Desarrollo de un Programa de Elementos Finitos

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Volume 1. HERMES. Paris. 1990 8. Batoz Jaane y Otros. “Modélisation des estructures par elements finis”

Volume 2. HERMES. Paris. 1990 9. Perdomo, María. “Fundamentos de la Mecánica de Sólidos aplicada a la

Ingeniería Estructural”. 2004. Venezuela. 10. Griffit A. A. “The fenomena of ruptura and flow in solids”. (1990).

Londres 11. Flórez López J. y Marante M. E. “Three-dimensional analysis of

reinforced concrete frames based on lumped damage mechanics”.

eation des estructu

International Journal of Solids and Structures 40 (2003) 5109–5123

130

131

ANEXO “A”

PROPIEDADES DE LAS COLUMNAS DE LA MESA DE CONCRETO ARMADO (MESA_CD Y MESA_DX)

Los especímenes consisten en columnas cuadradas de concreto reforzado de 1.5

metros de altura con una sección transversal de 25 x 25 centímetros. Estos elementos

fueron construidos en volado sobre una base cuadrada de 1 metro cuadrado de área

por 0.5 metros de espesor fuertemente reforzada como se muestra en la figura UAA.

l refuerzo longitudinal de la columna implica 8 barras de 1 milímetros de diámetro

sversal se utilizaron

estribos de 2 ramas de 8 milímetros de diámetro espaciados a 70 centímetros. Las

barras de refuerzo presentan un esfuerzo de cedencia de 470 megapascales y un

esfuerzo último de 710 megapascales.

E 6

uniformemente distribuidas en el perímetro. Como refuerzo tran

Figura UAA. Detalle de refuerzo de los especímenes ensayados