Tabla de Valores Función

Matemática Unidad III Funciones Página 1 de 20

OBJETIVOS PLANTEADOS PARA REALIZAR EL TRABAJO

Para realizar el siguiente trabajo las alumnas, toman los objetivos planteados por el docente de la asignatura, y también plantean los objetivos a través de preguntas formuladas.

Objetivos planteados por el docente

Construcción de la tabla de valores dada la expresión de una función.

Representación gráfica de una función.

Propiedades de una función:

• Inyectiva.

• Sobreyectiva.

• Biyectiva.

Existencia de la función inversa.

Objetivos planteados por las alumnas:

Investigar conceptos para comenzar a formular el trabajo.

Conocer que es una función.

Investigar que es una función inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva. Para poder realizar

lo solicitado por el docente

Investigar que es dominio y recorrido.

Investigar que es una función inversa.

Reconocer diferentes términos para luego comenzar con la construcción de una tabla

de valores de una función. Y poder realizar su representación gráfica.


INTRODUCCIÓN

El tema del trabajo de investigación nos introduce al tema de las tablas de valores que es uno de los métodos más utilizadas para poder graficar funciones en un plano coordenado o plano cartesiano. La función además de ser un tema de mucha importancia en el cálculo tiene aplicaciones en las actividades diarias.

Es muy importante dominar el concepto de función para poder definir qué relación es una función e identificar qué tipos de funciones son inyectivas, sobreyectivas y biyectivas este trabajo aclarara todas nuestras dudas.

El concepto de función y tabla de valores nos lleva a un par ordenado el cual representaremos en un plano coordenado, teniendo una variable independiente y una dependiente.

Al mismo tiempo mostraremos métodos para poder graficar distinto tipo de funciones, las más utilizadas teniendo en cuenta una variable real. Explicaremos que es dominio y recorrido de una función.

Las funciones se presentan con fórmulas las cuales determinan que tipo de función es y nos permite definir los valores de x e y para tabular sus valores y llegar a conocer la tabla de valores que definen esa función.

Debemos mostrar que algunas funciones poseen una función inversa, pero ella debe cumplir ciertos requisitos que explicaremos y mostraremos como obtener la inversa de una función específica.

Ciertamente este tema es fundamental en el cálculo y requiere nuestro dominio por lo tanto el trabajo nos entrega herramientas para definir concepto de función, graficar funciones, identificar dominio, recorrido de una función y determinar su inversa.

Al relacionar dos cosas ya podemos tener una función, si pensamos en un curso y preguntamos su signo del zodiaco, equipo favorito, etc. Lo que sigue es definir que tipo de función es y anotar los pares de datos, los cuales graficaremos y según ella la asociaremos a una función lineal, cuadrática, exponencial, etc... Ósea modelamos según datos de la vida real.

Es un tema que se aplica en todos los ámbitos y será importante documentar y explicar todos los conceptos para aclarar dudas y aprender en forma precisa lo que es una función.


ÍNDICE DE CONTENIDOS

OBJETIVOS PLANTEADOS PARA REALIZAR EL TRABAJO..............................................................1

INTRODUCCIÓN......................................................................................................................................... 2

ÍNDICE DE CONTENIDOS......................................................................................................................... 3

1. QUE ES UNA FUNCIÓN....................................................................................................................... 4

2. QUE ES UNA TABLA DE VALORES...................................................................................................5

3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN...........................................................................8

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.......................................................................................................................8RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN................................................................................................................8

4. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN............................................................................................................... 9

4.1 PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR.................................................................................................94.2 APLICACIÓN PROCEDIMIENTO A DISTINTO TIPO DE FUNCIONES........................................9

4.2.1 FUNCIÓN CUADRÁTICA (PARÁBOLA).......................................................................................94.2.2 FUNCIÓN CUBICA.......................................................................................................................104.2.3 FUNCIÓN RAÍZ...............................................................................................................................114.2.4 FUNCIÓN RACIONAL...................................................................................................................124.2.5 FUNCIÓN EXPONENCIAL............................................................................................................13

5. FUNCIÓN INYECTIVA.......................................................................................................................... 14

6. FUNCIÓN SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA....................................................................................14

7. FUNCIÓN BIYECTIVA......................................................................................................................... 15

8. FUNCIÓN INVERSA............................................................................................................................ 15

CONCLUSIONES...................................................................................................................................... 17

GLOSARIO DE TÉRMINOS..................................................................................................................... 18

BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................................................19


1. QUE ES UNA FUNCIÓN.

Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Una función, denotada por f, es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos de tal forma que a cada elemento de un conjunto X se asocia un único elemento de otro conjunto Y.

Las funciones tienen dos características que son:

• Consistentes

• Predecibles.

Ejemplo de una función:

Ejemplo de aplicación:

Si realizo una planilla en un computador, donde al ingresar el nombre de un estudiante me arroje su dirección. Se puede graficar como función ya que el elemento de salida sería en nombre y el elemento de llega seria su dirección.

Pero esto no se podría ser al revés, donde la dirección fuese la entrada y los nombre fuesen la salida, ya que si fuese así cuando ingresos los datos en relación a la dirección me puede arrojar más de un nombre si en dicha dirección viven dos hermanos o es una casa pensión de estudiantes.

Al conjunto X se llama dominio de la función y al conjunto Y, recorrido.

4

6

8

10

2

4

6

8


Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contra dominio o recorrido.

2. QUE ES UNA TABLA DE VALORESUna tabla de valores es una lista de números usados para sustituir una variable,

como dentro de la ecuación de una línea y otras funciones, para encontrar el valor de la otra variable, o número faltante. El primer número escogido para encontrar el segundo valor se llama variable independiente, ya que es elegida independientemente para la ecuación, mientras que el segundo número, encontrado como la solución de la ecuación, es la variable dependiente. La variable dependiente, se representa comúnmente por y, depende sobre el valor escogido de la variable independiente, en este caso x.

Una tabla de valores nos sirve para graficar una función en un plano cartesiano.

Ubicando el valor X del par ordenado en el eje de las abscisas (eje X) y el valor Y en

el eje de las ordenadas (eje Y) (ver figura 1).

Ejemplo: Función:

A este conjunto se le da el nombre de Dominio

A este conjunto se le da el nombre de imagen o recorrido.

Recordar:

No dividir por cero.

No raíces pares negativas

Figura 1 Plano Cartesiano


Construcción de la tabla de valores de esta función:

F(x)= 4x+3 = 4(3) +3= 15

F(x)= 4x+3 = 4(2) +3= 11

F(x) = 4x+3 = 4(1) +3= 7

F(x) = 4x+3 = 4(0) +3= 3

F(x) = 4x+3 = 4(-1) +3= -1

F(x)= 4x+-3 = 4(-2) +3= -5

F(x)= 4x+-3 = 4(-3) +3= -9

Representación Gráfica:

X Y

Dominio Rango (Recorrido,

imágenes)

3 15

2 11

1 7

0 3

-1 -1

-2 -5

-3 -9

x y= f(x)

-3 -1

-2 1

-1 3

0 5

1 7

2 9

3 11

( ) 2 5f x x

( 3) 2 3 5 1f ( 2) 2 2 5 1f

( 1) 2 1 5 3f

(0) 2 0 5 5f

(1) 2 1 5 7f

(2) 2 2 5 9f

(3) 2 3 5 11f

-1

1

3

5

7

9

11

y = 2x + 5

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

x Y

-3 -1-2 1-1 30 51 72 93 11


Tabla de valores de la función lineal:

Grafica de la función según la tabla de valores


3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNLas funciones se pueden especificar por medio de fórmulas, relaciones funcionales. Si es

una función real de variable real, los valores de la variable dependiente “Y” como los de la independiente “X” son números reales.

Se expresa mediante:

A f(x) se la denomina imagen de x por la función f.

Las funciones se pueden determinar de distintas formas:

Mediante una tabla de valores.

Mediante su expresión analítica.

Mediante su gráfica.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Dada una función , se define el dominio de la función como el conjunto de

números reales X para los cuales existe f(x). Se representa mediante

RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN

Dada una función , se define el recorrido o imagen de la función como el

conjunto de números reales que resultan al calcular la imagen de todos los valores del

dominio. Se representa mediante .

x y= f(x)

-3 6

-2 1

-1 -2

0 -3

1 -2

2 1

3 6

2( ) 3f x x

2( 3) 3 3 6f

2( 2) 2 3 1f

2( 1) 1 3 2f

2(0) 0 3 3f

2(1) 1 3 2f

2(2) 2 3 1f

2(3) 3 3 6f


4. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNDada una función , se define la gráfica de la función como el conjunto de

pares tales que , siendo x un elemento del dominio de la función. Se

representa

4.1 PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR1

Para graficar una ecuación, manualmente, seguimos un procedimiento en tres pasos:

Paso 1: Obtener las coordenadas de algunos puntos que satisfagan la ecuación de la función.

Paso 2: Graficar estos puntos en un plano cartesiano.Paso 3: Conectar los puntos con una curva suave

4.2 APLICACIÓN PROCEDIMIENTO A DISTINTO TIPO DE FUNCIONES

4.2.1 FUNCIÓN CUADRÁTICA (PARÁBOLA)

Paso 1:

Paso 2 y 3:

1 Método aplicado en Cálculo (Purcell) novena edición.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

2( ) 3f x x

( , ) 3,6X Y

( ) ,

Re 3,

Dom f

c f

x y= f(x)-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 27

3( )f x x 3( 3) 3 27f

3( 2) 2 8f

3( 1) 1 1f

3(0) 0 0f

3(1) 1 1f

3(2) 2 8f

3(3) 3 27f


4.2.2 FUNCIÓN CUBICA

Paso 1: Tabla de valores

Paso 2 y 3:

3( )f x x

-30

-20

-10

0

10

20

30

-4 -2 0 2 4

Y

X

x y= f(x)-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 27

( )

Re

Dom f

c f

x y= f(x)0 0.001 1.002 1.413 1.734 2.005 2.246 2.457 2.65

( )f x x 3(0) 0 0f

3(1) 1 1f

3(2) 2 8f

3(3) 3 27f

3(3) 3 27f

3(3) 3 27f

3(3) 3 27f

3(3) 3 27f


4.2.3 FUNCIÓN RAÍZ


Paso 2 y 3:

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

x y= f(x)0 0.001 1.002 1.413 1.734 2.005 2.246 2.457 2.65

( ) 0,

Re 0,

Dom f

c f


4.2.4 FUNCIÓN RACIONAL


Paso 2 y 3:

x y= f(x)

-5 -0.20

-4 -0.25

-3 -0.33

-2 -0.50

-1 -1.00

-0.5 -2.00

-0.4 -2.50

-0.3 -3.33

-0.2 -5.00

-0.1 -10.00

0.1 10.00

0.2 5.00

0.3 3.33

0.4 2.50

0.5 2.00

1 1.00

2 0.50

3 0.33

4 0.25

5 0.20

1( )f x

X

1 1( 5)

5 5f

1 1

( 4)4 4

f 1 1

( 3)3 3

f 1 1

( 2)5 5

f 1

( 1) 11

f

1( 0,5) 2

0,5f

1

( 0,4) 2,50,4

f

1( 0,3) 3,33

0,3f

1

( 0,2) 50,2

f 1

( 0,1) 100,1

f 1

(0,1) 100,1

f

1(0,2) 5

0,2f

1(0,3) 3,33

0,3f

1(0,4) 2,5

0,4f

1(0,5) 2

0,5f

1(1) 1

1f

1(2) 0,5

2f

1(3) 0,33

3f

1(4) 0,25

4f

1(5) 0,2

5f

x y= f(x)

-5 -0.20

-4 -0.25

-3 -0.33

-2 -0.50

-1 -1.00

-0.5 -2.00

-0.4 -2.50

-0.3 -3.33

-0.2 -5.00

-0.1 -10.00

0.1 10.00

0.2 5.00

0.3 3.33

0.4 2.50

0.5 2.00

1 1.00

2 0.50

3 0.33

4 0.25

5 0.20

1( )f x

X

1 1( 5)

5 5f

1 1

( 4)4 4

f 1 1

( 3)3 3

f 1 1

( 2)5 5

f 1

( 1) 11

f

1( 0,5) 2

0,5f

1

( 0,4) 2,50,4

f

1( 0,3) 3,33

0,3f

1

( 0,2) 50,2

f 1

( 0,1) 100,1

f 1

(0,1) 100,1

f

1(0,2) 5

0,2f

1(0,3) 3,33

0,3f

1(0,4) 2,5

0,4f

1(0,5) 2

0,5f

1(1) 1

1f

1(2) 0,5

2f

1(3) 0,33

3f

1(4) 0,25

4f

1(5) 0,2

5f

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

x Y-3 0,125-2 0,25-1 0,50 11 22 43 8

TABLA DE VALORES


4.2.5 FUNCIÓN EXPONENCIAL


Paso 2 y 3:

-11.00

-6.00

-1.00

4.00

9.00

-5 -3 -1 1 3 5

Y

X

( ) 0

Re 0

Dom f

c f

x y= f(x)

-5 -0.20

-4 -0.25

-3 -0.33

-2 -0.50

-1 -1.00

-0.5 -2.00

-0.4 -2.50

-0.3 -3.33

-0.2 -5.00

-0.1 -10.00

x y= f(x)

0.1 10.00

0.2 5.00

0.3 3.33

0.4 2.50

0.5 2.00

1 1.00

2 0.50

3 0.33

4 0.25

5 0.20

y = -2x + 2

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X


5. FUNCIÓN INYECTIVA

es inyectiva si y solo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.

Toda función lineal es inyectiva, como

x Y

-3 8-2 6-1 40 21 02 -23 -4

TABLA DE VALORES


6. FUNCIÓN SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA es sobreyectiva o epiyectiva si y solo si todos los elementos del

codominio tienen una preimagen.

La función cuadrática es una función sobreyectiva, como

7. FUNCIÓN BIYECTIVAUna función es biyectiva de si al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva,

luego a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A.

La función lineal es inyectiva y sobreyectiva a la vez luego es biyectiva.

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

Re ,2

Dom f

c f

x Y

-3 -7-2 -2-1 10 21 12 -23 -7

TABLA DE VALORES


8. FUNCIÓN INVERSAUna función que aplica de , se llama función inversa a aquella

que aplica de en la cual para todo para ordenado que pertenece a ,

existirá un par ordenado que pertenecerá a .

Para la función lineal determinamos su inversa aplicando

el siguiente método.

I. Cambiamos x por y en la formula dada

II. Despejamos la y

III. Luego la reemplazamos por

Ahora graficamos y

y = 2x + 1

y = 0,5x - 0,5

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

1( )f x x Y-3 -2-2 -1,5-1 -10 -0,51 02 0,53 1

TABLA DE VALORES

x Y-3 -5-2 -3-1 -10 11 32 53 7

TABLA DE VALORES


Aplicamos este método a una función cuadrática

I. Cambiamos x por y en la formula dada

II. Despejamos la y

III. Luego la reemplazamos por

CONCLUSIONES

1. Es fundamental definir una tabla de datos para poder graficar una función en un plano coordenado, dada una relación funcional. Se obtiene una curva o una recta.

2. Una función es definida por las coordenadas X e Y en el plano coordenado y los valores X del dominio de la función lo asigna la persona y la imagen obtenida

x Y-3 -5-2 -3-1 -10 11 32 53 7

TABLA DE VALORES

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

2 3y x 1( ) 3f x x


mediante la evaluación de la relación nos entrega el valor de la imagen. Estos pares ordenados definen los puntos a unir y definir la gráfica.

3. El concepto de función biyectiva o uno a uno nos indica que cada elemento del dominio tendrá una imagen única. Un ejemplo muy preciso es la función lineal que es uno a uno. Cada elemento del dominio tiene una única imagen en el recorrido.

4. Una función sobreyectiva nos indica que cada elemento del recorrido debe tener una preimagen en el dominio. Entonces la función lineal y la función cuadrática son sobreyectivas.

5. Es importante indicar que el dominio de la función nos permite definir si la relación dada será una función y de qué tipo.

6. La función tiene inversa si es inyectiva y sobreyectiva a las vez, ósea biyectiva. Si la función es biyectiva aseguramos que posee inversa.

7. Programas como Excel nos permiten graficar en forma precisa. Existen otros pero en este partimos de una tabla de datos y definimos un para ordenado conociendo la fórmula de la función que nos entrega la ordenada de la gráfica.

8. En funciones como la cuadrática y racional es muy importante definir el dominio para que la relación sea función.

9. Una relación puede ser función restringiendo el dominio y así obtenemos una función , la cual es posible graficar

10. Ciertos movimientos de cuerpos pueden ser graficados como el movimiento del proyectil, considerando la posición del proyectil en distintos intervalos de tiempo.

11. En ámbitos físicos, químicos, ingeniería las funciones son muy comunes para modelar situaciones que se presentan y se realiza un análisis de datos que se tabulan se grafican y se define una relación funcional que se asocia a un tipo de función específica. Por ejemplo el crecimiento de la población es una función exponencial.

GLOSARIO DE TÉRMINOS

A

aparatoinstrumento que tiene una función, 5

C

codominioconjunto de llegada, 15


curva suaveLinea curva bien modelada, 9

D

dominiovalores variable X, 5

F

fórmulasModelo matematico, 8

I

imagenElemento en el conjunto de llegada, 8

P

par ordenadoPunto (x,y) a graficar, 5

PARÁBOLAGrafica de una ecuación cuadratica, 9

planillaformulario para rellenar, 4

plano cartesianocoordenadas en X e Y, 5

Predeciblesse puede determinar un valor, 4

R

recorridoconjunto de llegada de una función, 5

regla de correspondenciaformula que define a una función, 4

relaciones funcionalesformula que define una función, 8

V

variable realConjunto de numeros reales, 8

BIBLIOGRAFÍA

1. Roland E. Larson, Robert P. Hostetler and Bruce H. Cálculo y geometría analítica Volumen 2 - 6a. Edicion. Mc Graw Hill.

2. Edwin J. Purcelll (2000) Cálculo diferencial e integral. Serie AWLL Pearson Educación


3. Leithold L. (1998). El cálculo. 7ma. Edición. Oxford University Press.Thomas/ Finney (1998) Cálculo de una variable. 9ª. Edición Addison Wesley.

4. http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-15-19_RESOURCE/U17_L2_T2_text_final_es.html

5. www.vitutor.com/fun/1/graficas.html

6. http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L1_T1_text_final_es.html

7. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_A_funciones_y_graficas/impresos/4quincena9.pdf

8. https://exceltotal.com/graficar-funciones-matematicas-en-excel/

9. https://www.youtube.com/watch?v=YwCcBFUlyFc

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