TABLAS GUÍA ALGEBRA LINEAL:

1. Teoremas Importantes: Propiedades de la suma de matrices:

a) A+B=B+Ab) A+(B+C )=(A+B)+Cc) Existeunamatriz única 0 (MatrizNula )demxntal que A+0=A

Propiedades de la multiplicación de matrices:

a) Si A ,B y C sonmatricesde los tamaños apropiados , A (BC )=( AB )Cb)

Si A ,B y C sonmatricesde los tamaños apropiados , entonces A (B+C )=A B+ACc) Si Aesuna matrizmxn, entonces Im A=A I n=A

d) Si Aesuna matriz n xn , entonces I n A=A I n=A

e) Ap Aq=A p+q

f) ( Ap )q=A pq

g) Si AB=BA ,entonces (AB )p=A pB p

Propiedades de la multiplicación por un escalar:

Sir y s sonnúmeros reales y A y Bsonmatrices , entonces :a) r (sA )=(rs ) Ab) (r ± s )=rA ± sAc) r ( A±B )=r A ±rBd) A (rB )=r (AB )=(rA )B

Propiedades de la transpuesta:

Sir esunescalar y A y B sonmatrices , entonces :

a) ( A t )t=Ab) ( A+B )t=At+B t

c) ( AB )t=Bt A t

d) (rA )t=rA t

Toda matriz de m xn es equivalente por filas (renglones) a una matriz en forma escalonada.

Toda matriz de m xn es equivalente por filas a una única matriz en forma escalonada reducida por filas .

Sean A x=b y C x=b dos sistemas lineales, cada uno con m ecuaciones y n incógnitas . Si las matrices

aumentadas ⌈ A∨b ⌉ y ⌈C∨d ⌉ de estos sistemas son equivalentes por filas, ambos sistemas lineals

tienen exactamente las mismas soluciones. Un sistema homogéneo de m ecuaciones en n incógnitas siempre tiene una solución no trivial si m<n, es decir,

si el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones. Si una matriz tiene inversa, la inversa es única. Propiedades de la inversa:

a) Si Aesuna¿ singular , entonces A−1 es nosingular y (A−1 )−1=Ab)

Si A y B sonmatricesno singulares , entonces AB es nosingular y ( AB )−1=B−1 A−1

Suponga que A y B son matrices de nxn:

a) Si AB=I n ,entonces BA=I nb) Si B A=I n , entonces A B=I n

Una matriz de nxn es no singular si y sólo si es equivalente por filas a I n.

Si A es una matriz de n xn, el sistema homogéneo A x=0 tiene una solución no trivial si y sólo si A es

singular.

Si A es una matriz de n xn, entonces A es no singular si y sólo si el sistema lineal A x=0 tiene una solución

única para cada matrix b de n x1.

2. Matrices Especiales:

Matriz Identidad: I 2=[1 00 1] I 3=[1 0 0

0 1 00 0 1]

Matriz Nula: O2=[0 00 0 ] O3=[0 0 0

0 0 00 0 0]

Matriz Triangular Superior: M=[a b c0 d e0 0 f ]

Matriz Triangular Inferior: M=[a 0 0b c 0d e f ]

Matriz Diagonal: M=[a 0 00 b 00 0 c ]

3. Para Matrices 2x2:

Sea A=[w xy z ] ,B=[a b

c d ] ,C=[ s tu v ] , k , l ,m ,n: constantes; e , f :coeficientes

Suma de Matrices: A+B=B+A=[a+w b+xc+ y d+z ]

Diferencia de Matrices: A−B=[w−a x−by−c z−d ] B−A=[a−w b−x

c− y d−z ] Multiplicación por Escalar: kA=Ak=[ka kb

kc kd ] Combinación Lineal: A=eB+ fC=e[a b

c d ]+ f [ s tu v ]

Transpuesta: At=[a cb d]

Traza: tr ( A )=a+d

Multiplicación de Matrices: AB=[w xy z ] [a b

c d]=[aw+cx bw+dxay+cz by+dz ]

BA=[a bc d ][w x

y z ]=[aw+by ax+bzcw+dy dx+dz ]

Potenciación:

A0=I

A2=[w xy z ]

2

=[w2+xy wx+ xzwy+ yz xy+z2 ]

A3=[w xy z ]

3

=[ xyz+2wxy+w3 w (wx+xz )+x (xy+z2)z (wy+ yz )+ y (xy+w2) wxy+2xyz+z3 ]

Inversa: A−1=[ zwz−xy

−xwz−xy

− ywz−xy

wwz−xy

] siwz−xy≠0

Determinante: |A|=wz−xy

Adjunta: adj(A)=( z −x− y w )

3.1. Método rápido para obtener ciertas matrices especiales 2x2:

Sea A=[w xy z ] , A será :

Idempotente, si: A=A2

Invertible, si:

Nilpotente, si: Ak=0 Ortogonal, si: A−1=A t

Antisimétrica, si: At=−A Simétrica: At=A

3.2. Operaciones algebraicas con matrices 2x2:

Sea A=[w xy z ] ,B=[a b

c d ] ,C=[ s tu v ]

( A±B )2:

[ xy ±by+bc±cx±2aw+w2+a2 wx+xz ±ax+ab±bw±bz+bd ±dxwy+ yz±ay+ac±cw±cz+cd ±dy xy ±by+bc±cx ±2dz+z2+d2 ]

( A+B ) (A−B ):

[ xy+cx−by−bc+w2−a2 wx+xz+bw+dx−ax−ab−bz−bdwy+ yz+ay+cz−ac−cw−cd−dy xy+by−bc−cx+ z2−d2 ]

( A+B ) (A+C ):

[ xy+aw+as+by+bu+sw+ux+w2 wx+ xz+ax+at+bz+bv+ tw+vxwy+ yz+cw+cs+dy+du+sy+uz xy+cx+ct+dz+dv+ty+vz+z2 ]

( A+B ) (A−C ):

[ xy+aw+cx−as−ct−sw−ty+w2 wx+xz+bw+dx−bs−dt−sx−tzwy+ yz+ay+cz−au−cv−uw−vy xy+by+dz−bu−dv−ux−vz+z2]

( A−B ) ( A+C ):

[ xy+sw+ux−aw−as−by−bu+w2 wx+xz+tw+vx−ax−at−bz−bvwy+ yz+sy+uz−cw−cs−dy−du xy+ty+vz−cx−ct−dz−dv+z2 ]

( A−B ) ( A−C ):

[ xy+as+bu−aw−by−sw−ux+w2 wx+ xz+at+bv−ax−bz−tw−vxwy+ yz+cs+du−cw−dy−s y−uz xy+ct+dv−cx−dz−ty−vz+z2 ]