Tabla unei operaţii

Se aplică pentru legile de compoziţie definite pe mulţimi finite

Noţiuni teoretice

Fie M o mulţime. Spunem că operaţia ,◦’ este lege de compoziţie definită pe MxM dacă oricare ar fi x şi y din MxM avem că x◦y aparţine lui M.

Proprietăţi: - asociativitatea - comutativitatea - element neutru - element simetrizabil

Aplicaţie 1.Fie mulţimea M={1,2,3,4}. Alcătuiţi tabla operaţiei pentru x◦y=max(x,y) şi identificaţi proprietăţile.

este asociativă este comutativă are element neutru pe 1 toate elementele sunt

simetrizabile adică:

1’=1

2’=2

3’=3

4’=4

◦ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 2 3 4

3 3 3 3 4

4 4 4 4 4

Aplicaţie 2. Fie mulţimea M={0,1,2,3,4,5}. Alcătuiţi tabla operaţiei şi identificaţi proprietăţile pentru x◦y=restul împărţirii lui xy la 6.

este asociativă este comutativă are element neutru pe 1 0,2,3 şi 4 nu sunt

simetrizabile doar 1 şi 5

1’=1

5’=5

◦ 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

Aplicaţie 3. Fie mulţimea M={0,1,2,3,4}. Alcătuiţi tabla operaţiei şi identificaţi proprietăţile pentru x◦y=|x-y|.

nu este asociativă pentru că (1◦2)◦4 ≠1◦(2◦4)

este comutativă are element neutru pe 0 toate elementele sunt

simetrizabile adică0’=01’=12’=23’=34’=4

◦ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 0 1 2 3

2 2 1 0 1 2

3 3 2 1 0 1

4 4 3 2 1 0

Aplicaţie 4. Pe mulţimea M={1,2,3,4,5,6} se defineşte legea de compoziţie cu următoarele proprietăţi: x◦y=x:y , dacă x se divide prin y, x◦y=y:x , dacă y se divide prin x, x◦y=|x-y| , în caz contrar

nu este asociativă pentru că (2◦3)◦4≠2◦(3◦4)

este comutativă are element neutru pe 1 elementele sunt

simetrizabile dar nu au simetric unic

◦ 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 1 1 2 3 3

3 3 1 1 1 2 2

4 4 2 1 1 1 2

5 5 3 2 1 1 1

6 6 3 2 2 1 1

Aplicaţie 5.Fie mulţimea M={f1, f2, f3, f4} unde f1, f2, f3, f4 :R\{0}→R f1(x)=x, f2(x)=1/x, f3(x)=-x, f4(x)=-1/ împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor. Alcătuiţi tabla operaţiei şi identificaţi proprietăţile.

este asociativă este comutativă deşi în

general compunerea funcţiilor nu este comutativă

are element neutru pe f1

toate elementele sunt simetrizabile

◦ f1 f2 f3 f4

f1 f1 f2 f3 f4

f2 f2 f1 f4 f3

f3 f3 f4 f1 f2

f4 f4 f3 f2 f1