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TABLAS DE SISTEMAS LINEALES Emilio Gago-Ribas 14 de enero de 2004

Tablas(Transformadas)

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TABLAS DE SISTEMAS LINEALES

Emilio Gago-Ribas

14 de enero de 2004

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Índice general

I Señales y Sistemas de Variable Continua 1

1. Propiedades de la Distribución Delta de Dirac 3

2. Operadores y Distribuciones 5

3. Expresiones Importantes 7

3.1. Funciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2. Desarrollo en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Desarrollo en Serie de Fourier 9

4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2. Desarrollos de señales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Transformada de Fourier 11

5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2. Transformadas de señales aperiódicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3. Transformadas de señales periódicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6. Transformada de Laplace 13

6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.2. Transformadas de señales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II Señales y Sistemas de Variable Discreta 15

7. Parámetros de Señal 16

7.1. Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.2. Potencia instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.3. Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.4. Potencia media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

ii

Page 3: Tablas(Transformadas)

8. Expresiones Importantes 17

8.1. Sumatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8.2. Desarrollo en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8.4. Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9. Desarrollo en Serie de Fourier. 19

9.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9.2. Desarrollos de señales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

10.Transformada de Fourier 21

10.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10.2. Transformadas de señales aperiódicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

10.3. Transformadas de señales periódicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11.Transformada Z 23

11.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

11.2. Transformadas de señales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

iii

Page 4: Tablas(Transformadas)

iv

Page 5: Tablas(Transformadas)

Parte I

Señales y Sistemas de VariableContinua

1

Page 6: Tablas(Transformadas)

2

Page 7: Tablas(Transformadas)

1. Propiedades de la Distribución Delta de Dirac

Unidades Inverso de las unidades de x

Desplazamiento δ(x− x0)

δ(x− x0) : f(x) −→ f(x0)Z ∞−∞

δ(x− x0)f(x)dx = f(x0)

Simetría δ(x− x0) = δ(x0 − x)δ(x− x0) = δ(x0 − x)

δ(x) = δ(−x)

Producto por una función f(x)δ(x− x0) = f(x0)δ(x− x0)f(x)δ(x) = f(0)δ(x)

xδ(x) = 0δ(x) = 0

Escalado var. independiente δ(ax) =1

|a|δ(x)

Primera derivada xδ0(x) = −δ(x)

Derivada n-ésima

Z ∞−∞

δ(n)(x)f(x) dx = (−1)nf (n)(0)

Relación con Γ(x) δ(x) =dΓ(x)

dxΓ(x) =

Z x

−∞δ(x0) dx0

Convolución f(x) ∗ δ(x− x0) = f(x− x0)f(x) ∗ δ(x) = f(x)

Γ(x) ∗ δ0(x) = δ(x) (*)

(*) Siendo δ0(x) y Γ(x) las respuestas al impulso asociadas a F = d/dx, y F−1 =R x−∞ dy.

3

Page 8: Tablas(Transformadas)

4

Page 9: Tablas(Transformadas)

2. Operadores y Distribuciones

Operador: F I(·) ≡ Identidad d(·)dx

d2(·)dx2

Z x

−∞(·) dy

Distribución: D(x) δ(x) δ0(x) δ00(x) Γ(x) ≡ U(x)

Como resp. al impulso:Z ∞−∞

f(x)D(x− x0)dx0f(x) f 0(x) f 00(x)

Z x

−∞f(x0)dx0

Definición:Z ∞−∞

f(x)D(x)dxf(0) −f 0(0) f 00(0)

Z ∞0

f(x)dx

Propiedad:Z ∞−∞

D(x)dx1 0 0 Divergente

Algunas sucesiones de funciones de buen comportamiento asociadas

f∆(x) g∆(x)

δ(x) 1∆√πe−x

2/∆2 ∆

π

1

x2 +∆2

δ0(x) −2∆3√πxe−x

2/∆2

δ00(x) 2∆3√π

³2x2

∆2 − 1´e−x

2/∆2

Γ(x) ≡ U(x) 12 +

1π tan

−1 ¡ x∆

¢

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

∆=0.5

∆=1.0

∆=2.0

f∆''(x)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0∆=0.5

∆=1.0

∆=2.0

f∆'(x)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2 f∆(x)

∆=0.5

∆=1.0

∆=2.0

5

Page 10: Tablas(Transformadas)

6

Page 11: Tablas(Transformadas)

3. Expresiones Importantes

3.1. Funciones importantes

a) Función sinc: sinc(x) =sinx

x.

b) Función sinc cuadrado: sinc2(x) =sin2 x

x2.

c) Convolución periódica: f0(x) ∗ g0(x) =ZhX0i

f0(y)g0(x− y) dy.

d) Convolución: f(x) ∗ g(x) =Z ∞−∞

f(y)g(x− y) dy.

3.2. Desarrollo en serie de Fourier

Señales f0(x) de período X0

Pulsación: ξ0 = 2π/X0 Frecuencia: f0 = 1/X0

ϕ0(x;m) = ejmξ0x, m ∈ Z

f0(x) =∞X

m=−∞a(m)ϕ0(x;m) a(m) =

1

X0

ZhX0i

f0(x)ϕ∗0(x;m) dx

3.3. Transformada de Fourier

Señales f(x) arbitrarias ϕ(x; ξ) = ejξx, ξ ∈ R

f(x) =1

Z ∞−∞

F (ξ)ϕ(x; ξ) dξ F (ξ) =

Z ∞−∞

f(x)ϕ∗(x; ξ) dx

3.4. Transformada de Laplace

Señales f(x) arbitrarias ϕ(x; s) = esx, s ∈ C

f(x) =1

2πj

Z s0+j∞

s0−j∞F (s)ϕ(x; s) ds F (s) =

Z ∞−∞

f(x)e−sx dx

7

Page 12: Tablas(Transformadas)

8

Page 13: Tablas(Transformadas)

4. Desarrollo en Serie de Fourier

4.1. Propiedades

Linealidad αf0(x) + βg0(x) αa(m) + βb(m)

Desplazamiento f0(x− x0) a(m)e−jmξ0x0

Producto por una exponencial imaginaria f0(x)ejMξ0x a(m−M)

Conjugado de la función f∗0 (x) a∗(−m)

Reflexión f0(−x) a(−m)

Escalado variable indep. f0(ax), a > 0,X00 = X0/a a(m)

Convolución periódica f0(x) ∗ g0(x) X0a(m)b(m)

Modulación f0(x) · g0(x)∞X

k=−∞a(k)b(m− k)

Primera derivadadf0(x)

dxjmξ0a(m)

Derivada n-ésimadnf0(x)

dxn(jmξ0)

na(m)

Integración (finita y periódica si a0 = 0)

Z x

−∞f0(τ) dτ

1

jmξ0a(m)

Relación de Parseval

ZhX0i

|f0(x)|2 dx = X0

∞Xm=−∞

|a(m)|2

Funciones reales f0(x) real a(m) = a∗(−m)

4.2. Desarrollos de señales importantes

Exponencial imaginaria ejξ0x a(1) = 1; a(m 6= 1) = 0

Coseno cos ξ0x a(1) = 1/2; a(−1) = 1/2; a(m 6= ±1) = 0

Seno sin ξ0x a(1) = −j/2; a(−1) = j/2; a(m 6= ±1) = 0

Constante K ∈ C a(0) = K; a(m 6= 0) = 0

Tren de deltas δ0(x)1

X0, ∀m

Tren de pulsos de anchura ∆ < X0 P0,∆(x)∆

X0sinc

µmπ

X0

¶Tren de triángulos de anchura ∆ < X0 T0,∆(x)

2X0sinc2

µmπ

2X0

9

Page 14: Tablas(Transformadas)

10

Page 15: Tablas(Transformadas)

5. Transformada de Fourier

5.1. Propiedades

Linealidad αf(x) + βg(x) αF (ξ) + βG(ξ)

Desplazamiento f(x− x0) F (ξ)e−jξx0

Producto por exponencial imaginaria f(x)ejξ0x F (ξ − ξ0)

Conjugado de la función f∗(x) F ∗(−ξ)

Reflexión f(−x) F (−ξ)

Escalado de la variable indep. f(ax)1

|a|Fµξ

a

¶Convolución f(x) ∗ g(x) F (ξ)G(ξ)

Modulación f(x)g(x)1

2πF (ξ) ∗G(ξ)

Primera derivadadf(x)

dxjξF (ξ)

Derivada n-ésimadnf(x)

dxn(jξ)nF (ξ)

Integración

Z x

−∞f(y) dy

1

jξF (ξ) + πF (0)δ(ξ)

Producto por x xf(x) jdF (ξ)

Dualidad f(x)←→ F (ξ) F (x)←→ 2πf(−ξ)

Relación de Parseval E [f(x)] =

Zx

|f(x)|2 dx1

|F (ξ)|2 dξ =1

2πE [F (ξ)]

Funciones reales f(x) real F (ξ) = F ∗(−ξ)

11

Page 16: Tablas(Transformadas)

5.2. Transformadas de señales aperiódicas importantes

Delta δ(x) 1

Delta desplazada δ(x− x0) e−jξx0

Heaviside Γ(x) πδ(ξ) +1

Pulso unidad de ancho ∆x P∆x(x) ∆x sinc

µξ∆x

2

¶Sinc

∆ξ

2πsinc

µx∆ξ

2

¶P∆ξ(ξ)

Triángulo unidad de ancho ∆x T∆x(x)∆x

2sinc 2

µξ∆x

4

¶Exponenciales e−αxΓ(x), Reα > 0 1

α+ jξ

xe−αxΓ(x), Reα > 01

(α+ jξ)2

xn−1

(n− 1)!e−αxΓ(x), Reα > 0

1

(α+ jξ)n

5.3. Transformadas de señales periódicas importantes

Período X0 ←→ ξ0 = 2π/X0 ←→ f0 = 1/X0

Exponencial imaginaria ejξ0x 2πδ(ξ − ξ0)

Coseno cos ξ0x πδ(ξ − ξ0) + πδ(ξ + ξ0)

Seno sin ξ0xπ

jδ(ξ − ξ0)−

π

jδ(ξ + ξ0)

Constante K 2πKδ(ξ)

DSF

∞Xm=−∞

a(m)ejmξ0x 2π∞X

m=−∞a(m)δ(ξ −mξ0)

Tren de deltas

∞Xn=−∞

δ(x− nX0)2π

X0

∞Xk=−∞

δ (ξ − kξ0)

Tren de pulsos de anchura ∆x P∆x(x)2π∆xX0

∞Xk=−∞

sinc

µkπ∆x

X0

¶δ (ξ − kξ0)

12

Page 17: Tablas(Transformadas)

6. Transformada de Laplace

6.1. Propiedades

Linealidad αf(x) + βg(x) αF (s) + βG(s) Al menos RF ∩RGDesplazamiento f(x− x0) F (s)e−sx0 RF

Producto por exponencial f(x)es0x F (s− s0) RF desplazada

Escalado variable indep. f(ax)1

|a|F³ sa

´RF escalada

Convolución f(x) ∗ g(x) F (s)G(s) Al menos RF ∩RG

Primera derivadadf(x)

dxsF (s) Al menos RF

Derivada n-ésimadnf(x)

dxnsnF (s) Al menos RF

Integración

Z x

−∞f(y) dy

1

sF (s) Al menos RF ∩Res > 0

Producto por x −xf(x) dF (s)

dsRF

6.2. Transformadas de señales importantes

Delta δ(x) 1 ∀ s

Delta desplazada δ(x− x0) e−sx0 ∀ s

Heaviside ±Γ(±x) 1

sRes ≷ 0

xΓ(x)1

s2Res > 0

± xn−1

(n− 1)!Γ(±x)1

snRes ≷ 0

Exponenciales, α ∈ R ±e−αxΓ(±x) 1

s+ αRes ≷ −α

± xn−1

(n− 1)!e−αxΓ(±x)

1

(s+ α)nRes ≷ −α

Coseno a derechas [cos ξ0x]Γ(x)s

s2 + ξ20Res > 0

Seno a derechas [sin ξ0x]Γ(x)ξ0

s2 + ξ20Res > 0

Prod. coseno y exp. a derechas [e−αx cos ξ0x]Γ(x)s+ α

(s+ α)2 + ξ20Res > −α

Prod. seno y exp. a derechas [e−αx sin ξ0x]Γ(x)ξ0

(s+ α)2 + ξ20Res > −α

13

Page 18: Tablas(Transformadas)

f(x) = e−axΓ(x), a ∈ R

0 1 2 3 4 5 60,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-a-a

a > 0

ROC-a

ξ

s'

| F(s) |

x

| f(x) |

0 1 2 3 4 5 6-1,00π

-0,75π

-0,50π

-0,25π

0,00π

0,25π

0,50π

0,75π

1,00π

ϕF(s)

ϕf(x)

x

-2,0-1,5

-1,0-0,5

0,00,5

1,0-2

-10

12

012345678

9

10

ξs'

-2,0-1,5

-1,0-0,5

0,00,5

1,0 -2-1

01

2

-0,75π

-0,50π

-0,25π

0,00π

0,25π

0,50π

0,75π

1,00π

ξs'

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10ξ

s'

-aROC

-a-as'

|F(s)|

a < 0

x

|f(x)|

0 1 2 3 4

-0,75π

-0,50π

-0,25π

0,00π

0,25π

0,50π

0,75π

1,00π

ϕF(s)

x

ϕf(x)

-1,0-0,5

0,00,5

1,01,5

2,0 -2-1

01

2012345678

9

10

ξ

-1,0-0,5

0,00,5

1,01,5

2,0 -2-1

01

2

-0,75π

-0,50π

-0,25π

0,00π

0,25π

0,50π

0,75π

1,00π

14

Page 19: Tablas(Transformadas)

Parte II

Señales y Sistemas de VariableDiscreta

15

Page 20: Tablas(Transformadas)

7. Parámetros de Señal

7.1. Valor medio

Señal aperiódica finita hx(n)i = 1

N + 1

NXn=0

x(n)

Señal aperiódica infinita hx(n)i = lımN→∞

1

2N + 1

NXn=−N

x(n)

Señal periódica hx0(n)i =1

N0

Xn=<N0>

x0(n)

7.2. Potencia instantánea

pi(n) = x(n)x∗(n) = |x(n)|2

pi0(n) = x0(n)x∗0(n) = |x0(n)|

2

7.3. Energía

Señal aperiódica finita E [x(n)] =NPn=0

|x(n)|2

Señal aperiódica infinita E [x(n)] =∞P

n=−∞|x(n)|2 .

Señal periódica E [x0(n)] =∞P

n=hN0i|x0(n)|2

7.4. Potencia media

Señal aperiódica finita hpi(n)i =1

N + 1

NXn=0

|x(n)|2

Señal aperiódica infinita hpi(n)i = lımN→∞

1

2N + 1

NXn=−N

|x(n)|2

Señal periódica hpi0(n)i =1

N0

Xn=<N0>

|x0(n)|2

16

Page 21: Tablas(Transformadas)

8. Expresiones Importantes

8.1. Sumatorios

a)NPn=0

rn =

⎧⎨⎩1− rN+1

1− rr 6= 1

N + 1 r = 1

.

b)NPn=1

rn =

⎧⎨⎩r − rN+1

1− rr 6= 1

N r = 1

.

c)1

2+

NPn=1

cosnα =sin£¡N + 1

2

¢α¤

2 sin³α2

´ .

d) Convolución periódica: x0(n) ∗ y0(n) =P

k=<N0>

x0(k)y0(n− k).

e) Convolución: x(n) ∗ y(n) =∞P

k=−∞x(k)y(n− k).

8.2. Desarrollo en serie de Fourier

Señales x0(n) de período N0

Ω0 =2π

N0Ω0k = kΩ0 = k

N0

ϕ(n;m) = ejmΩ0n

x0(n) =X

m=<N0>

a(m)ϕ(n;m) a(m) =1

N0

Xn=<N0>

x0(n)ϕ∗(n;m)

8.3. Transformada de Fourier

Señales x(n) arbitrarias X(Ω) de período 2π ϕ(n;Ω) = ejΩn

x(n) =1

ZΩ=<2π>

F (Ω)ϕ(n;Ω) dΩ X(Ω) =∞X

n=−∞x(n)ϕ∗(n;Ω)

8.4. Transformada Z

Señales x(n) arbitrarias ϕ(n; z) = zn

x(n) =1

2πj

IX(z)

zϕ(n; z) dz X(z) =

∞Xn=−∞

x(n)z−n

17

Page 22: Tablas(Transformadas)

18

Page 23: Tablas(Transformadas)

9. Desarrollo en Serie de Fourier.

9.1. Propiedades

Linealidad αx0(n) + βy0(n) αa(k) + βb(k)

Desplazamiento x0(n− n0) a(k)e−jkΩ0n0

Producto por exponencial imaginaria x0(n)ejMΩ0n a(k −M)

Conjugado de la función x∗0(n) a∗(−k)

Reflexión x0(−n) a(−k)

Escalado variable indep.período pN0

x0p(n) =

(f0(n/p) n mult. p

0 n no mult. p

1

pa(k)

Convolución periódica x0(n) ∗ y0(n) N0a(k)b(k)

Modulación x0(n) y0(n)

Xm=<N0>

a(m)b(k −m)

Primera diferencia x0(n)− x0(n− 1)¡1− e−jkΩ0

¢a(k)

Suma (finita y periódica si a(0) = 0)

nXp=−∞

x0(p)1

1− e−jkΩ0a(k)

Relación de Parseval

Xn=<N0>

|x0(n)|2 N0

Pk=<N0>

|a(k)|2

Funciones reales x0(n) real a(k) = a∗(−k)

9.2. Desarrollos de señales importantes

Exponencial imaginaria ejΩ0pn = ejpΩ0n a(k) = 1, k = p±mN0

Coseno cos(pΩ0n) a(k) = 1/2; k = ±p±mN0

Seno sin(pΩ0n)a(k) = −j/2; k = p±mN0

a(k) = j/2; k = −p±mN0

Constante K a(k) = K; k = 0±mN0

Tren de deltas δ0(n)1

N0, ∀k

Tren de pulsos (anchura 2N + 1) P0,2N+1(n)1

N0

sin£kΩ0

¡N + 1

2

¢¤sin¡kΩ02

¢

19

Page 24: Tablas(Transformadas)

20

Page 25: Tablas(Transformadas)

10. Transformada de Fourier

10.1. Propiedades

Linealidad αx(n) + βy(n) αX(Ω) + βY (Ω)

Desplazamiento x(n− n0) X(Ω)e−jΩn0

Producto por expon. imaginaria x(n)ejΩ0n X(Ω− Ω0)

Conjugado de la función x∗(n) X∗(−Ω)

Reflexión x(−n) X(−Ω)

Escalado variable indep. xp(n) =

(x(n/p) n mult. p

0 n no mult. pX (pΩ)

Convolución x(n) ∗ y(n) X(Ω) Y (Ω)

Modulación x(n) y(n)1

2πX(Ω) ∗ Y (Ω)

Primera diferencia x(n)− x(n− 1)¡1− e−jΩ

¢X(Ω)

Suma acumulativanX

p=−∞x(p)

1

1− e−jΩX(Ω) +

+πX(0)∞X

k=−∞δ(Ω− 2πk)

Producto por n nx(n) jdX(Ω)

Relación de ParsevalXn

|x(n)|2 1

ZΩ=<2π>

|X(Ω)|2 dΩ

Funciones reales x(n) real X(Ω) = X∗(−Ω)

21

Page 26: Tablas(Transformadas)

10.2. Transformadas de señales aperiódicas importantes

Delta δ(n) 1

Delta desplazada δ(n− n0) e−jΩn0

Heaviside Γ(n)1

1− e−jΩ+ π

∞Xk=−∞

δ(Ω− 2πk)

Exponencial imaginaria ejΩ0n, Ω0/2π irracional 2π∞X

m=−∞δ(Ω− Ω0 − 2πm)

Pulso unidad de ancho 2N + 1 P2N+1(n)sin£¡N + 1

2

¢Ω¤

sin¡Ω2

¢Exponenciales anΓ(n), |a| < 1 1

1− ae−jΩ

(n+ 1)anΓ(n), |a| < 1 1

(1− ae−jΩ)2

(n+ p− 1)!n!(p− 1)! anΓ(n), |a| < 1 1

(1− ae−jΩ)p

10.3. Transformadas de señales periódicas importantes

Período N0 ←→ Ω0 =2π

N0←→ Ω0k = kΩ0

Exponencial imaginaria ejΩ0kn = ejkΩ0n 2π∞X

k=−∞δ(Ω− Ω0k − 2πk)

Coseno cos (Ω0kn)

π∞X

k=−∞δ(Ω− Ω0k − 2πk)+

+π∞X

k=−∞δ(Ω+Ω0k − 2πk)

Seno sin (Ω0kn)

π

j

∞Xk=−∞

δ(Ω− Ω0k − 2πk)−

−πj

∞Xk=−∞

δ(Ω+Ω0k − 2πk)

Constante K 2πK∞X

k=−∞δ(Ω− 2πk)

DSF∞X

m=−∞a(m)ejmΩ0n 2π

∞Xm=−∞

a(m)δ(Ω−mΩ0)

Tren de deltas δ0(n)2π

N0

∞Xm=−∞

δ (Ω−mΩ0)

Tren de pulsos (anchura 2N + 1) P0,2N+1(n) 2π∞X

m=−∞amδ (Ω−mΩ0)

22

Page 27: Tablas(Transformadas)

11. Transformada Z

11.1. Propiedades

Linealidad αx(n) + βy(n) αX(z) + βY (z) Al menos RX ∩RYDesplazamiento x(n− n0) X(z)z−n0 RX (origen?)

Producto por exp.: ejΩ0n x(n)ejΩ0n X(e−jΩ0z) RX

Producto por exp.: zn0 x(n)zn0 X

µz

z0

¶|z0| RX

Producto por exp.: an x(n) an X³za

´|a|RX

Conjugado de la función x∗(n) X∗(z∗) RX

Reflexión x(−n) X

µ1

z

¶1

RX

Escalado variable indep. xp(n) =

½x(n/p) n = kp0 n 6= kp

X(zk) [RX ]1/k

Convolución x(n) ∗ y(n) X(z) Y (z) Al menos RX ∩RY

Suma acumulativa

nXp=−∞

x(p)1

1− z−1X(z) Al menos RF ∩ |z| > 1

Producto por n n x(n) −z dX(z)dz

RX

23

Page 28: Tablas(Transformadas)

11.2. Transformadas de señales importantes

Delta δ(n) 1 ∀z

Delta desplazada δ(n− n0) z−n0 ∀z (¿z = 0,∞?)

Heaviside Γ(n)1

1− z−1|z| > 1

Γ(−n− 1) 1

1− z−1|z| < 1

Exponenciales anΓ(n)1

1− az−1|z| > |a|

n anΓ(n)az−1

(1− az−1)2|z| > |a|

−anΓ(−n− 1) 1

1− az−1|z| < |a|

−n anΓ(−n− 1) az−1

(1− az−1)2|z| < |a|

Coseno a derechas [cosΩ0n]Γ(n)1− z−1 cos (Ω0)

z−2 − 2z−1 cos (Ω0) + 1|z| > 1

Seno a derechas [sinΩ0n]Γ(n)z−1 sin (Ω0)

z−2 − 2z−1 cos (Ω0) + 1|z| > 1

Prod. coseno y exp. a derechas [an cosΩ0n]Γ(n)1− z−1a cos (Ω0)

a2z−2 − 2az−1 cos (Ω0) + 1|z| > a

Prod. seno y exp. a derechas [an sinΩ0n]Γ(n)z−1a sin (Ω0)

a2z−2 − 2az−1 cos (Ω0) + 1|z| > a

24

Page 29: Tablas(Transformadas)

x(n) = anΓ(n)←→ 1

1− az−1; ROC = |z| > |a|.

Ejemplo dibujado: a = 1.

-2 -1 0 1 2-2-1012

0

2

4

6

8

10

|X(z)|

z''z'

-2-1

01

2 -2-1

01

2-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,52,02,53,0

|z|=|a|

z''

z'

|ϕX(z)|

z''z'

Transformada Z en módulo y fase.

25