Take Home Test Numerik 1

Analisis Teknik dan Metoda Numerik

Muhamad Fakhrusy

Numerical Analysis with C++

(Nim Genap)

1. Algoritma Pemrograman untuk mencari akar persamaan

b. Metoda Regula Falsi[1] Definisikan fungsi f ( x )=tan ( x )−x−0.5=0 sebelum program utama.[2] Cari nilai x l dan xu dengan sebelumnya menentukan nilai awal untuk x l dan xu. Cek nilai x l dan xu sehingga memenuhi f (x¿¿ l)∗f (xu )≤0¿

[3] Definisikan epsilon sebagai nilai toleransi, di mana ϵ=0.0000001[4] Definisikan epsilon awal, ϵ awal=0

[5] Dekati nilai akar dengan menggunakan persamaan: xr=xu−f ( xu )∗( xl−xu)

f (x l )−f (xu)

[6] Cek apakah nilai toleransi memenuhi syarat: |xr−ϵ awalxr |<ϵ[7] Jika tidak sesuai syarat, definisikan nilaix lbaru yaitu x l=xr, dan f (x l )=f (xr), jika

memenuhi syarat, loncat ke langkah [11][8] Ambil nilai epsilon awal baru yaitu ϵ awal=xr[9] Ulangi langkah ke [5] dan seterusnya hingga syarat di langkah [5] terpenuhi.[10]Jika jumlah perulangan melebihi 30, hentikan program.[11]Cetak nilai xrterakhir yang didapat, itu adalah akar dari persamaan f (x)

c. Metoda Iterasi/Newton[1] Definisikan fungsi f ( x )=tan ( x )−x−0.5=0[2] Definisikan fungsi baru g ( x )=x=arctan (x+0.5 )[3] Cek apakah fungsi g(x ) konvergen, yaitu dengan syarat: |g '( x)|<1[4] Jika tidak, hentikan program. Jika memenuhi, lanjut ke langkah [5][5] Definisikan Epsilon sebagai nilai toleransi, di mana ϵ=0.0000001[6] Definisikan epsilon awal, ϵ awal=0[7] Ambil nilai awal untuk xo[8] Masukkan xo ke persamaan g(x ) sehingga didapat g(xo)

[9] Cek apakah nilai toleransi memenuhi syarat: |xo−ϵ awalxo |<ϵ[10]Jika tidak memenuhi syarat, ambil nilai xobaru, yaitu xo=g (xo), jika memenuhi syarat,

lompat ke langkah [14][11]Ambil nilai epsilon awal baru yaitu ϵ awal=xo[12]Ulangi langkah [8] dan seterusnya hingga syarat di langkah [9] terpenuhi.[13]Jika jumlah perulangan melebihi 30, hentikan program.[14]Cetak nilai xoterakhir yang didapat, itu adalah akar dari persamaan f (x)

d. Metoda Newton Raphson[1] Definisikan fungsi f ( x )=tan ( x )−x−0.5=0 sebelum program utama.

[2] Definisikan fungsi turunan f ( x ), yaitu f' ( x )= 1

cos2 ( x )[3] Definisikan Epsilon sebagai nilai toleransi, di mana ϵ=0.0000001[4] Definisikan epsilon awal, ϵ awal=0[5] Definisikan nilai x awal yaitu xo

[6] Dekati nilai akar dengan hubungan gradien, yaitu: xo=xo−f (xo )f ' (xo )

[7] Cek apakah nilai toleransi memenuhi syarat: |xo−ϵ awalxo |<ϵ[8] Jika tidak memenuhi syarat, ulangi lagi dengan menggunakan xobaru yang telah didapat,

jika memenuhi syarat, lompat ke langkah [12][9] Ambil nilai epsilon awal baru yaitu ϵ awal=xo[10]Ulangi langkah [6] dan seterusnya hingga syarat di langkah [7] terpenuhi.[11]Jika jumlah perulangan melebihi 30, hentikan program.[12]Cetak nilai xoterakhir yang didapat, itu adalah akar dari persamaan f (x)

2. Buat diagram alir dari algoritma yang telah dibuat.b. Metoda Regula Falsi

YA

TIDAK

YA

TIDAK

Mulai

Variabel: Iterasi, epsilon,xl,xu,xr,fxl,fxu,

fxr,eps_awal

Input xl, eps_awal,

fxl=f(xl), iterasi=0

Fungsi: f(x)=tan(x)-x-0.5

xu=xl+0.1

fxu=f(xu)

fxu*fxl<0

xl=xu

fxl=fxu

1

fxu*fxl=0

1

YA

TIDAK

YA

1 1

xr=xu-(xl-xu)/(fxl-fxu)

fxr=f(xr)

epsilon=|xr−epsawalxr |eps_awal=xr

xl=xrfxl=fxr

iterasi=iterasi+1

Epsilon<0.0000001

cetak xr

Iterasi≤30

TIDAK

cetak xu

Selesai

c. Metoda Iterasi/Newton

YA

TIDAK

YA

TIDAK

Mulai

Variabel: Iterasi, epsilon,xo,gx,eps_awal

Input xo=1, eps_awal=0,

iterasi=0

Fungsi: f(x)=tan(x)-x-0.5

epsilon=|xo−epsawalxo |gx=g(xo)

Iterasi=iterasi+1

xo=gx

eps_awal=xo

1 1

Epsilon<0.0000001

Fungsi: g(x)=arctan(x+0.5)

Iterasi≤30

1 1

cetak xo

Selesai

d. Metoda Newton Raphson

Mulai

Variabel: Iterasi, epsilon,xo,fx,turunan_x,

eps_awal

Input xo=1, eps_awal=0,

iterasi=0

Fungsi: f(x)=tan(x)-x-0.5

xo=xo− fxturunan x

epsilon=|xo−epsawalxo |Iterasi=iterasi+1

eps_awal=xo

1 1

Fungsi: f’(x)=1/cos2(x)

fx=f(xo)

turunan_x=f’(xo)

TIDAK

YA

YA

TIDAK

1 1

Epsilon<0.0000001

cetak xo

Selesai

Iterasi≤30

3. Contoh program dan output programb. Metoda Regula Falsi

Kode Program:

Output program:

c. Metoda Newton Kode Program:

Output Program:

d. Metoda Newton Raphson Kode Program:

Output Program:

Masalah UAV

Kode Program

Output Program