Tal - sanomautbildning.se · G Olika sätt att skriva tal G Avsnittet behandlar några olika sätt som man under äldre tider har skrivit tal. Vi börjar med det enklaste, att rista

11Kapitlet inleds med en historisk tillbakablick där elever-na får bekanta sig med det egyptiska och det romerska talsystemet. Efter det kommer en genomgång av tiosys-temet och de fyra räknesätten. Talområdet är här begrän-sat till de positiva heltalen. Särskild vikt läggs vid att förklara innebörden av ett positionssystem, dvs. att en siffras värde beror av vilken plats den har i talet. Det här bör vara självklarheter för de allra flesta eleverna.

Därefter går vi igenom begreppen delbarhet, primtal och sammansatta tal – begrepp som man däremot kan förvänta sig vara nya för eleverna.

I avsnitten Tal i decimalform övergår vi sedan till att arbeta med decimaltal, alltså tal med en eller flera deci-maler. Avsnittet tar stöd av tallinjer. För många elever är det ett stort steg att gå från att förstå heltalen till att för-stå att det finns oändligt många tal mellan heltalen. Det är viktigt att som lärare försäkra sig om att eleverna för-står detta. Det kommer annars bli svårt för dem att ta till sig kommande avsnitt.

I avsnitten Multiplicera med 10, 100 och 1 000 samt Dividera med 10, 100 och 1 000 återvänder vi till posi-tionssystemet. Att kunna multiplicera och dividera med 10, 100 och 1 000 bygger ju på grundläggande förståelse för vårt talsystem, och är nödvändigt att behärska för att senare kunna räkna med t.ex. procent.

Kapitlet avslutas med avrundning och överslagsräk-ning. Framförallt överslagsräkning förutsätter en god taluppfattning.

Blå kurs är parallell med grön kurs och alla moment på grön kurs finns även på blå kurs utom det inledande avsnittet om historiska talsystem.

I röd kurs kan eleven bekanta sig med det kinesiska talsystemet och mayafolkets talsystem och även fördjupa sina kunskaper om bland annat primtal, faktorisering och överslagsräkning.

Centralt innehåll

I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet:

Taluppfattning och tals användning●● Reella tal och deras egenskaper samt deras använd-

ning i vardagliga och matematiska situationer.

●● Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal. Metoder för beräkningar som använts i olika histo-riska och kulturella sammanhang.

●● Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digi-tal teknik. Metodernas användning i olika situationer.

●● Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräk-ningar i vardagliga och matematiska situationer och inom andra ämnesområden.

Motsvarande centrala innehåll från årskurs 4–6 är:

Taluppfattning och tals användning●● Rationella tal och deras egenskaper.

●● Positionssystemet för tal i decimalform. Det binära talsystemet och talsystem som använts i några kulturer genom historien, till exempel den babyloniska.

●● Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer.

●● Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer.

●● Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga situationer.

Kommentarer och svarFler exempel på sammanhang där talet sju ingår:

●● jag är i sjunde himlen (kan man vara när man är kär)

●● Sjustjärnorna (ett annat namn på den öppna stjärn-hopen Plejaderna)

●● sju sorters kakor

Diskutera gärna med eleverna om de har egna associatio-ner till talet 7.

Världens sju underverk har länge ansetts vara:

●● fyrtornet på ön Faros

●● Zeusstatyn i templet i Olympia

●● kolossen på Rhodos

●● de hängande trädgårdarna i Babylon

●● pyramiderna vid Giza

●● mausoleet i Halikarnassos

●● artemistemplet i Efesos

Av dessa finns endast pyramiderna vid Giza kvar, de övri-ga är sedan lång tid borta.

År 2007 röstade 100 miljoner människor fram vilka som är de sju underverk av de byggnader som finns kvar att besöka och se i dag. Världens sju nya underverk blev enligt omröstningen:

●● Kinesiska muren

●● staden Petra i Jordanien

●● Kristusstatyn i Rio de Janeiro

●● staden Machu Picchu i Peru

●● staden Chichén Itzá i Mexiko

●● Colosseum i Rom

●● Taj Mahal i Indien

Fotot på ingressuppslaget föreställer Taj Mahal.

Svar till frågorna●● 7 707 077

●● 70 – 7,7 = 62,3

●● Exempelvis 7 ∙ 7 + 7 ∙ 7 – 7 – 7 – 7

●● Han mötte en man med sju fruar, som i sin tur hade sju säckar, som innehöll sju katter, som hade sju kattungar vardera; alltså 1 + 7 + 7 ∙ 7 ∙ 7 + 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 2 752 män, fruar kattor och kattungar. Men de var ju inte på väg till St Ives.

Svar: Tydligen var endast en person var på väg till St Ives.

Tal

6 7

Mål

Begrepp

1Talet 7 anses vara ett mystiskt tal och dyker upp i många olika sammanhang:●● de sju underverken●● veckans sju dagar●● den sjuarmade ljusstaken●● snövit och de sju dvärgarna

Känner du till fler sammanhang där talet sju ingår?

●● Skriv talet sju miljoner sjuhundrasjutusen sjuttiosju.●● Räkna ut sjuttio minus sju komma sju.●● Använd sju sjuor och olika räknesätt för att uttrycka talet 77.●● The problem of St Ives:

As I was going to St Ives, I met a man with seven wifes. Every wife had seven sacks. And every sack had seven cats. Every cat had seven kittens. Kittens, cats, sacks and wifes, how many were going to St Ives?

Ja, hur många var på väg till St Ives?

InnehållNär du arbetar med det här kapitlet får du lära dig

●● om olika talsystem

●● hur vårt talsystem är uppbyggt

●● om delbarhet och om att faktorisera tal

●● att använda och förstå de matematiska ord som hör ihop med de fyra räknesätten

●● att räkna med de fyra räknesätten

●● om tal skrivna i decimalform

●● att multiplicera och dividera med 10, 100 och 1 000

●● att avrunda tal

●● att göra överslagsräkning

Begrepptalsiffratiosystemetplatsvärdeadditiontermsummasubtraktiondifferensmultiplikationfaktor

produktdivisiontäljarenämnaredelbarhetsiffersummaprimtalsammansatta talmultipelprimtalsfaktor

faktorträdkvottallinjedecimalformbråkformavrundningavrundnings-siffranärmevärdeöverslags-räkning

Tal1

6 7

GG Olika sätt att skriva talAvsnittet behandlar några olika sätt som man under äldre tider har skrivit tal. Vi börjar med det enklaste, att rista skåror i ett ben, och tar sedan upp det egyptiska och det romerska talsystemet. Exemplet med vargbenet visar ett sätt att beskriva antal som används än i dag, dvs. att enbart använda streck och att eventuellt gruppera streck-en för att lättare kunna ordna dem. Egyptiernas symbo-ler byggde på bilder och var inte ett positionssystem, medan romarnas skrivsätt delvis var beroende av symbo-lens position i talet. Skillnaderna i utseende mellan de två talsystemen kan delvis beskrivas utifrån den tidens teknologier: de runda formerna i egypternas talsymboler var möjliga att skapa med skrivarens pensel, medan de raka linjerna i romarnas symboler lämpade sig väl för att hugga i sten med mejsel och hammare. Att addera eller subtrahera två tal skrivna i det egyptiska eller i det romerska talsystemen är inte så svårt, men att utför mul-tiplikationer och divisioner är däremot näst intill ogörligt.

Syftet med avsnittet är dels att eleverna ska förstå att det finns flera sätt att skriva tal, dels att de ska förstå tio-systemet bättre genom att sätta sig in i andra talsystem och se likheter och skillnader mellan dem.

Lärandemål

Här ska eleverna lära sig:

●● att beskriva och använda några olika historiska talsys-tem och jämföra dem med tiosystemet, det talsystem som vi använder i dag

Tänk på●● Uppmärksamma gärna eleverna på skillnader och lik-

heter mellan talsystemen, t.ex. om det har betydelse i

vilken ordning man skriver symbolerna.

StartLåt eleverna själva lista ut hur egyptiernas och romarnas talsystem var konstruerat.

1 Om = 212 och = 134, vad betyder då ?

2 a) Om VIII = 8 och XI = 11, vad betyder då XXVI?

b) Om VI = 6 och IX = 9, vad betyder då XIV?

Kommentarer till uppgifter4, 5 Ställ frågan till eleverna om man kan skriva talen i

uppgift 4 och 5 på fler än ett sätt. Ta det som utgångs-punkt för att diskutera vad det innebär att ett talsys-tem inte är ett positionssystem. Diskutera t.ex. hur lätt är det att utföra beräkningar med talsystemet.

7 Låt gärna eleverna skriva egna tal med romerska sym-boler och låt dem sedan byta tal med varandra.

9 Uppgiften kan användas som utgångspunkt för dis-kussioner om hur vårt positionssystem är uppbyggt, som vi beskriver på nästa uppslag i läroboken.

SlutSnabbquiz

1 Det har betydelse i vilken ordning man skriver symbolerna i det egyptiska talsystemet.

A Ja B Nej

C Ibland D Vet ej

2 Det har betydelse i vilken ordning man skriver symbolerna i det romerska talsystemet.

A Ja B Nej

C Ibland D Vet ej

3 Vilket av alternativen betyder 14 i vårt sätt att skriva tal?

A B

C D Vet ej

4 Vilket av alternativen betyder 495 i vårt sätt att skriva tal?

A CCCCVIIIIV B CDXCV

C CDLXXXXV D Vet ej

Gå vidareRöd kursDet kinesiska talsystemet och Mayafolkets talsystem behandlas på sidorna 42–43.

Extramaterial

Arbetsblad

1:1 Mer om egyptiska och romerska talsystem ● ●

Läs mer●● Larsson, Kerstin och Larson, Niclas (2011): Räkning en

kul historia. Nämnaren 2, 2011.

Facit

1 a)

b)

c)

2 Ett par förslag på varför skårorna var grupperade i fem kan vara att det blir lättare att snabbt avläsa antalet och att det var fem kan bero på att vi har fem fingrar på en hand.

3 a) 100 b) 10 000c) 10 d) 100 000

4 a) 123 b) 1 203c) 211 200

5 a) b) c)

d)

6 a) XII b) XIX c) LII

7 a) 60 b) 14 c) 151 d) 166

8 CXXIV och

9 a) T.ex. och b) CCXXXVI c) I det romerska talsys-

temet måste man skri-va symbolerna i rätt ordning, det behöver man inte i det egyptis-ka talsystemet. Så med romerska symbo-ler så kan man skriva talet endast på ett sätt, men med egyptiska symboler kan man skriva talet på flera olika sätt.

8 91 tal 1 tal

6 Vilket av talen i rutan betyder

a) 12 XXI XII VII

b) 19 XXI XVI XIX

c) 52 CII LII VII

7 Skriv med vanliga siffror.

a) LX b) XIV c) CLI d) CLXVI

8 I rutan till höger finns några tal skrivna i det egyptiska och i det romerska talsystemet. Vilka visar talet 124?

9 Kan du skriva talet 236 på mer än ett sätt i

a) det egyptiska talsystemet

b) det romerska talsystemet

c) Förklara dina svar.

Olika sätt att skriva tal

1 Rita hur pojken kunde ha ristat in i vargbenet om antalet lamm hade varit

a) 4 b) 10 c) 23

2 Skårorna var indelade i grupper med fem streck i varje grupp. Ge ett förslag till varför pojken gjorde så.

3 I det egyptiska talsystemet är symbolen för ett tusental en lotusblomma. Vilket tal motsvarar symbolen

a) b) c) d)

4 Vad betyder

a) b) c)

5 Skriv med egyptiska talsymboler.

a) 14 b) 253 c) 2 084 d) 12 309

Det finns gamla fynd som visar att människor redan för tiotusentals år sedan använde symboler för att kunna ange antal. Kanske behövde man beskriva antal och storlek på sin djurflock. Man har hittat ett 30 000 år gammalt vargben med inristade skåror som man tror visar antal.

De sätt vi skriver tal har utvecklats på olika sätt i olika delar av världen.

Egyptiska talsystemet

I det gamla Egypten använde man för 5 000 år sedan bilder för att skriva tal. Så här skrev de tal:

6 1 235

eller 21 24 000

eller 13 412 000

Romerska talsystemet

Det romerska talsystemet började användas för mer än 2 000 år sedan. Romarna använde bokstäver som tecken för tal.

I II III IV V VI VII VIII IX X XI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

L C D M

50 100 500 1 000

ExempelSkriv följande tal med romerska siffror

a) 7 b) 29 c) 154

Svar: a) VII Bokstäverna betyder 5 + 1 + 1

b) XXIX Bokstäverna betyder 10 + 10 + 10 – 1

c) CLIV Bokstäverna betyder 100 + 50 + 5 – 1

IV betyder 5 – 1VI betyder 5 + 1IX betyder 10 – 1 XI betyder 10 + 1

Romerska siffror används

ibland fortfarande. Till exempel i namnet

på Sveriges kung, Carl XVI Gustaf.

CXXIV CXXVI

ArbetsblAd 1:1

G G

8 91 tal 1 tal

Grundkurs

GG Tiosystemet och De fyra räknesättenPå sidan 10 betonas begreppen siffra, tal och platsvärde. Sidan 11 repeterar förståelsen för de fyra räknesätten lik-som de begrepp som hör ihop med dessa. Där finns även uppgifter som lyfter fram varför kommutativa lagen gäller för addition och multiplikation men inte för subtraktion.

Lärandemål


●● att beskriva vårt talsystem och redogöra för betydel-sen av en siffras platsvärde

●● innebörden av de olika räknesätten

●● begreppen tiosystemet, tal, siffra, platsvärde, addition, term, summa, subtraktion, differens, multiplikation, faktor, produkt, division, täljare, nämnare och kvot

Tänk på●● Det kan vara värt att poängtera att i vårt talsystem

finns 10 siffror och att vi med dessa siffror kan skriva oändligt många tal. Symbolen 7 kan m.a.o. stå för både en siffra och ett tal, medan 77 är enbart ett tal som består av två siffror.

●● Det råder ibland förvirring kring begreppen siffra och tal. På nyheterna kan man höra att dödssiffran för jordbävningen fortsätter att öka eller att arbetslöshets-siffran minskar. Be eleverna att t.ex. fundera på skill-naden mellan arbetslöshetssiffran ökar och arbetslös-hetstalet ökar.

●● Jämför gärna tiosystemet med de äldre talsystemen. Finns det någon symbol för ”ingenting”, dvs. nollan, i det egyptiska eller det romerska systemen?

●● Det är vanligt att eleverna säger att de ska räkna tal när de menar att de ska göra uppgifter. Det är viktigt att läraren använder rätt terminologi och skiljer på när orden tal och uppgift används.

StartLåt eleverna bilda tal utifrån givna siffror och givna för-utsättningar. Till exempel:

Använd alla fyra siffrorna 4, 5, 3 och 8 och bilda ett tal som är

a) så stort som möjligt

b) så litet som möjligt

c) det minsta möjliga udda talet

d) det största möjliga jämna talet

e) så nära 5 000 som möjligt

Kommentarer till uppgifter12 Är en variant av startuppgiften.

15 Låt gärna eleverna visa egna beräkningar med hjälp av pilar och be dem byta med varandra.

17 Man kan dela upp 18 i två respektive tre termer på ett antal olika sätt (i två termer på 9 olika sätt, i tre ter-mer på 27 olika sätt). Låt gärna eleverna undersöka vilka varianter som finns. När det gäller att dela upp talet i faktorer finns det inte lika många varianter. Låt eleverna undersöka vilka. Även talet 1 räknas som en faktor.

19 Uttrycken i rutorna kan med hjälp av talpilar illustre-ras på samma sätt som uttrycken i genomgångsrutan.

20 Uppgiften vilar på begreppen innehållsdivision och delningsdivision. Begreppet innehållsdivision är vik-tigt för att eleverna ska förstå division med decimal-tal och division med tal mindre än 1 och för att kunna beräkna kvoten av två bråk. Hur man beräknar kvo-ten av två bråk tas upp i Matte Direkt 8. Läs mer

●● Kerstin Larsson (2011): Subtraktion. Nämnaren 4, 2011.●● Kerstin Larsson (2012): Subtraktionsberäkningar.

Nämnaren 1, 2012.●● Tímea Dami (2007): Varför räknar du just så? Nämna-

ren 1, 2007.

SlutSnabbquiz 1

1 Du har talet 3 247. Vilket tal får du om du byter plats på hundratalssiffran och entalssiffran?

A 3 427 B 3 724 C 3 742

2 Du har talet 743. Vilket tal ska du subtrahera med för att få talet 201?

A 52 B 502 C 542

3 Hur mycket ökar talet 359 om du byter plats på hundratalssiffran och entalssiffran?

A 36 B 180 C 594

Snabbquiz 2

1 I uttrycket 5 ∙ 13 kallas talen 5 och 13 för

A termer B faktorer C produkter

2 I uttrycket 12

___ 3 = 4 kallas talet 3 för

A täljare B kvot C nämnare

3 Ett annat ord för differens är

A kvot B subtraktion C skillnad

Gå vidareBlå kursMer grundläggande uppgifter och genomgångar finns på sidan 30 och på sidan 31.

Repetition Repetition 1 finns på sidan 274.

Extramaterial

Arbetsblad

1:2 Hela tal på tallinjen ● ●

1:3 Positionssystemet ● ●

1:4 Addition med heltal ● ●

1:5 Subtraktion med heltal ● ●

1:6 Multiplikation av heltal 1 ● ●


1:8 Division av heltal, kort division ● ●

1:8b Division av heltal, liggande stol ● ●

1:9 De fyra räknesätten med heltal, blandat ● ●

Aktiviteter

1:1 Göra tal av siffror ● ●

1:2 Upp till 9 och andra räknespel ● ●

Facit 10 a) tiotal

b) entalc) hundratal d) tusental

11 a) 371 b) 30 806

12 a) 8 654 b) 4 568c) 4 865 d) 8 645

13 a) 1 700 b) 1 044c) 3 240

14 a) 3 120 b) 3 199c) 3 876 d) 6 275

15 a) 15 – 6 = 9 b) 3 ∙ 2 = 6

16 a) 25 b) 15 c) 100

17 a) T.ex. 10 + 8b) T.ex. 10 + 3 + 5c) T.ex. 2 ∙ 9d) T.ex. 2 ∙ 3 ∙ 3

18 a) T.ex. 16 och 8b) T.ex. 12 och 4c) T.ex. 15 och 3d) T.ex. 16 och 2

19 a) A: 3 ∙ 4 och 4 ∙ 3 B: 3 + 8 och 8 + 3

b) Man kan byta plats på talen i addition och multiplikation.

20 a) 14 st b) 14 m

10 111 tal 1 tal

Tiosystemet

10 Vilket platsvärde har siffran 4 i talet

a) 43 b) 154 c) 1 423 d) 24 360

11 Skriv talet som består av

a) tre hundratal, sju tiotal och ett ental

b) tre tiotusental, åtta hundratal och sex ental

12 Använd alla fyra siffrorna 4, 5, 6 och 8 och skriv

a) det största tal du kan b) det minsta tal du kan

c) det tal som ligger närmast 5 000 d) det största udda tal du kan

13 Vilka tal ska stå i rutorna?

a) 3 789 – = 2 089 b) 1 846 – = 802 c) 5 643 – = 2 403

14 Vilket tal är

a) 4 tiotal större än 3 080 b) 5 tiotal mindre än 3 249

c) 7 hundratal mindre än 4 576 d) 4 hundratal större än 5 875

Det talsystem som vi använder kallas tiosystemet och började användas i Europa för cirka 800 år sedan. Det har sitt ursprung i Indien och kom till Europa med arabiska handelsresande. Därför kallas våra siffror för arabiska siffror. Indierna var de första som hade ett tecken för ingenting. Man kan säga att de uppfann nollan.

IndienMekka

IstanbulHistorik

I tiosystemet använder vi tio siffror:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.

Med dessa siffror skriver vi tal. Tiosystemet är ett positionssystem. Det betyder att en siffras platsvärde beror på vilken plats den har i talet.

I talet 70 har siffran 7 platsvärdet tiotal. Siffran 7 är värd 7 tiotal. Nollan markerar en tom entalsplats.

I talet 702 har siffran 7 platsvärdet hundratal. Siffran 7 är värd 7 hundratal. Nollan markerar en tom tiotalsplats. Siffran 2 är värd 2 ental.

7

7 0

7 0 2

7 0 2 6

7 0 2 6 8

tiotuse

ntal

tusental

hundratal

tiotal

ental

Jämna tal slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8.

Udda tal slutar på 1, 3, 5, 7 eller 9.

Platsvärde De fyra räknesätten

15 Vilka beräkningar visar pilarna?

a) 9 15

b) 0 62 4

16 Beräkna

a) summan av 20 och 5 b) differensen av 20 och 5

c) produkten av 20 och 5 d) kvoten av 20 och 5

17 Dela upp 18 i

a) två termer b) tre termer c) två faktorer d) tre faktorer

18 Ge förslag på täljare och nämnare som ger kvoten

a) 2 b) 3 c) 5 d) 8

19 a) Vilka av uttrycken i rutan har samma värde?

A

3 · 4 4 · 3 12 ___ 4 4 ___ 12 B

4 – 7 7 – 4 3 + 8 8 + 3

b) I vilka räknesätt spelar ordningen på talen ingen roll?

20 Fia har ett 70 meter långt rep.

a) Hur många rep som är 5 meter kan hon göra av repet?

b) Hur långt blir varje rep om hon gör 5 stycken lika långa rep av repet?

Addition 2 + 4 = 6

210 6 7 8 9543

+4

Multiplikation 2 · 4 = 8

term summa

Subtraktion6 – 4 = 2

210 3 4 5 6 7 8 9

–4

Division

8

__ 4 = 2

kvot

täljare

nämnarefaktor produkt

term differens

Så här kan man

tänka: 8 kulor har delats i 4 högar

eller 4 kulor kan tas 2 gånger från 8 kulor

ArbetsblAd 1:2–1:3

210 6 7 8543


G G

10 111 tal 1 tal

GG DelbarhetKunskaper om delbarhet ger en bra känsla för tal och är användbart när man till exempel ska förkorta bråk eller hitta minsta gemensamma nämnare till olika bråk. Begreppet delbarhet används enbart för hela tal. Här arbetar vi dessutom endast med de naturliga talen, dvs. de positiva heltalen inklusive talet noll.

Lärandemål


●● att använda delbarhetsreglerna för talen 2, 3, 5 och 10

●● att använda delbarhet vid problemlösning

●● begreppen delbarhet, delbarhetsregler och siffersum-ma

Tänk på●● Eleverna har ibland svårt att ta till sig att delbarhet

endast handlar om hela tal och anser att det går att dela alla tal eftersom det går att skriva kvoten som ett tal i decimalform.

●● Om man knyter an begreppet delbarhet till multiplika-tionstabellen kan det vara lättare för eleverna att för-stå att det handlar om hela tal. Vi har inte multiplika-tionstabeller för decimaltal. Kommentera gärna att alla tal är delbara med 1 och sig självt. De delarna bru-

kar i vissa kontexter utelämnas.

StartInled gärna avsnittet om delbarhet med en aktivitet. Dela ut markörer, papperslappar, centikuber eller liknande och be eleverna lägga alla tal mellan 1 och 16 som rek-tanglar.

Talet 6 kan läggas som en rektangel på två sätt

eller

●● Vilka tal kan läggas som rektanglar på fler än ett sätt?

●● Vilka tal kan läggas som en kvadrat?

●● På vilka sätt kan talen 1 till och med 16 skrivas som en produkt av två faktorer?

Primtalen tar vi upp på sidan 14. De tal som kan läggas som en kvadrat kallas för kvadrattal. Till dem återkom-mer vi i senare årskurser av Matte Direkt.

Kommentarer till uppgifter23 Här kan du utmana eleverna genom att vända på frå-

geställningen: Måns jobbar med en annan barngrupp. Han säger att hans grupp går att dela in på 8 olika sätt med lika många barn i varje grupp. Vilket är det mins-ta antalet barn i Måns grupp?

Svar: Minst 24 barn som kan delas in i grupper om 24, 12, 8, 6, 4 3, 2 eller 1 barn.

25 Lyft gärna upp och diskutera elevernas resonemang. Uppgiften leder över till avsnittet Primtal och sam-mansatta tal på nästa uppslag.

30–32 Uppgifterna innehåller begreppen siffra, tal, tvåsiff-rigt, tresiffrigt, femsiffrigt, ental, tiotal, delbart. Man kan behöva belysa begreppen i helklass. Följ gärna upp uppgifterna i helklass och låt eleverna berätta hur de kom fram till sina lösningar. På så sätt får elev-erna ta del av olika strategier för att lösa problem och får dessutom träna på att föra resonemang.

Facit

21 a)

b)

c)

d)

e)

22 a) 1 och 7b) 1, 2, 4 och 8c) 1, 3 och 9d) 1, 2, 5 och 10e) 1, 2, 3, 4, 6 och 12

23 a) 1, 2, 4, 7, 14 eller 28 barn

b) 1, 2, 4, 7, 14 och 28

24 a) 1, 3, 5 och 15 personerb) 1, 2, 3, 6, 9 och 18 per-

sonerc) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 och

40 personer

25 a) T.ex. 12 karamellerb) T.ex. 20 karamellerc) T.ex. 70 karameller

26 a) 1 b) 2 c) 4 d) 0

27 a) 12, 18, 788 och 480b) 25 och 480c) 480

28 a) 21: 2 + 1 = 3 32: 3 + 2 = 5 93: 9 + 3 = 12 46: 4 + 6 = 10 15: 1 + 5 = 6 81: 8 + 1 = 9 102: 1 + 0 + 2 = 3b) 21, 93, 15, 81 och 102

29 a) 3 840 och 524b) 3 840, 25 och 45c) 3 840, 4 521 och 45d) 3 840

30 a) 0, 2, 4, 6 eller 8b) 2,5 eller 8c) 0 eller 5d) 0

31 2,5 och 8

32 4

33 a) 120 karamellerb) 105 karamellerc) 120 karameller

SlutSnabbquiz

1 Jämna tal är delbara med 2.

A Ja B Nej

C Vissa D Vet ej

2 Udda tal är delbara med 3.

A Ja B Nej

C Vissa D Vet ej

3 Vilka siffror kan stå på de tomma platserna om talet är delbart med 2, 3 och 5?

4 ___ 6 ____

A 2 och 5 B Endast 2 och 0

C T.ex. 2 och 0 D Vet ej

Alternativt slut

Låt eleverna formulera en delbarhetsregel för tal delbara med 6 genom att svara på frågorna:

a) Vilka av talen i rutan är delbara med 2, 3 och 6

b) Vilka av talen i rutan är delbara med 3 men inte med 6?

12 15 21 36 63 162 282 304 516

c) Skriv en regel för delbarhet med 6.

Ett sätt att formulera en regel för delbarhet med talet 6 är t.ex: Tal delbara med 6 är alla tal som är delbara med både 2 och 3.

Gå vidareBlå kursMer grundläggande träning på delbarhet finns på sidan 32.

Röd kursMer om delbarhet och faktorisering finns på sidan 45.

12 131 tal 1 tal

Delbarhet

21 Kolorna ska delas lika. Rita på vilka sätt de kan delas om det är

a) 7 kolor b) 8 kolor c) 9 kolor d) 10 kolor e) 12 kolor

22 Vilka tal är

a) 7 delbart med b) 8 delbart med c) 9 delbart med

d) 10 delbart med e) 12 delbart med

23 a) Agnes leder en barngrupp. Det är 28 barn i gruppen. Hon vill dela dem i grupper med lika många barn i varje grupp. Hur många barn kan det vara i varje grupp? Skriv alla möjligheter.

b) Vilka tal är 28 delbart med?

24 Hur många personer kan dela lika på

a) 15 äpplen b) 18 äpplen c) 40 äpplen

25 En påse med karameller ska delas lika mellan några personer. Ge exempel på hur många karameller det kan vara i påsen om karamellerna kan delas lika mellan

a) 3 och 4 personer b) 2, 4 och 5 personer c) 2, 5 och 7 personer

26 I en kortlek finns det 52 kort. Hur många kort blir över om korten delas lika mellan

a) 3 spelare b) 5 spelare c) 6 spelare d) 13 spelare

Hur många kan dela lika på 6 kolor?

Det betyder att 6 är delbart med 1, 2, 3 och 6. 27 Använd delbarhetsreglerna och ta reda

på vilka av talen i rutan som är delbara med

a) 2 b) 5 c) 10

28 a) Beräkna siffersumman för varje tal.

b) Vilka av talen är delbara med 3?

29 Vilka av talen är delbara med

a) 2 b) 5

c) 3 d) 10

30 Vilka siffror kan vara ental i det tvåsiffriga talet 4 om talet är delbart med

a) 2 b) 3 c) 5 d) 10

31 Vilka siffror kan vara tiotal i det tresiffriga talet 6 1 om talet är delbart med 3.

32 Det femsiffriga talet 1 2 4 är delbart med både 2 och 3. Hundratalet och entalet är samma siffra. Vilken siffra är det?

33 Det finns fler än 100 karameller i burken. Vilket är det lägsta antalet karameller i burken om karamellerna kan delas lika

a) mellan 5 personer och mellan 6 personer

b) mellan 3 personer och mellan 5 personer

c) mellan 2 personer, mellan 3 personer och mellan 5 personer

ExempelÄr 48 är delbart med

a) 2 b) 3 c) 5

Svar: a) 48 är ett jämnt tal. Alltså är 48 delbart med 2.

b) 48 har siffersumman 4 + 8 = 12. 12 är delbart med 3. Alltså är 48 delbart med 3.

c) Eftersom 48 inte slutar på 0 eller 5, så är inte 48 delbart med 5.

12 18 25 111 788 480

21 32 93 46 15 81 102

3 840 25 4 521 524 45

Delbarhetsregler Tal delbara med

2 är alla jämna tal

3 är tal vars siffersumma är delbar med 3

5 är tal som slutar med 0 eller 5

10 är tal som slutar med 0

Siffersumman är summan av siffrorna i talet. Siffersumman för

talet 402 är 4 + 0 + 2 = 6

6 personer kan få 1 kola var. 6 ∙ 1 = 6

3 personer kan få 2 kolor var. 3 ∙ 2 = 6

En person kan få 6 kolor. 1 ∙ 6 = 6

2 personer kan få 3 kolor var. 2 ∙ 3 = 6

G G

12 131 tal 1 tal

GG Primtal och sammansatta talAvsnittet utvecklar elevernas kunskaper om delbarhet, faktorisering och primtal. Genom att använda sig av fak-torträd får eleverna en metod att hitta ett tals delare och primtalsfaktorer. Primtal är ett begrepp som vi tycker de allra flesta elever bör lära sig. Vi inför även begreppet multipel, vilket förmodligen är ett nytt begrepp för de flesta eleverna. Avsnittet avslutas med en uppgift på arit-metikens huvudsats.

Lärandemål


●● metoder för att undersöka om ett tal är ett primtal eller ett sammansatt tal

●● att dela upp sammansatta tal i primtalsfaktorer

●● begreppen primtal, sammansatta tal, multipel, prim-talsfaktor och faktorträd

Tänk på●● Begreppet multipel är troligtvis ett nytt begrepp för de

flesta av eleverna. Om man knyter an till multiplika-tionstabellen är det lättare för eleverna att ta till sig begreppet. De tal som är t.ex. multiplar av 4 är de tal som finns i fyrans multiplikationstabell. Begreppet multipel är användbart till exempel vid förlängning och förkortning av bråk.

StartUndersök vad eleverna minns om delbarhet.

1 Vem har rätt? Vilka tal är 110 delbart med?

Anna 110 är delbart med 5 och 10

Benjamin 110 är delbart med 2 och 10

Clara 110 är delbart med 2, 5 och 10

Finns det ytterligare tal som 110 är delbart med?

2 Vilket tal passar inte ihop med de övriga? Förklara.

9 21 18 31

Både Anna, Benjamin och Clara har rätt, men talet 110 är förutom att det är delbart med 2, 5 och 10 även delbart med 1, 11, 55 och 110.

Alternativ start

Inled med aktiviteten Erathostenes såll. En instruk-tion finns i uppgift 12 på sidan 44 i röd kurs. Låt gärna eleverna arbeta i par eller i grupp.

Kommentarer till uppgifter37, 38 Multipel är förmodligen ett nytt begrepp för eleverna.

Ett bra sätt att introducera begreppet på är att knyta begreppet till multiplikationstabellen. Talet 18 är t.ex. en multipel av talen 2, 3, 6 och 9 eftersom 18 finns i både 2:ans, 3:ans, 6:ans och 9:ans tabell.

SlutSnabbquiz

1 Ett primtal kan vara delbart med 3.

A Ja B Nej C Vet ej

2 Talet 15 är ett primtal.

A Ja B Nej C Vet ej

3 Om man delar upp talet 120 i primtalsfaktorer, så kommer en av faktorerna att vara 3.

A Ja B Nej C Vet ej

4 Om man delar upp talet 24 i primtalsfaktorer, så får man

A 2 ∙ 12 B 3 ∙ 2 ∙ 4 C 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

Gå vidareBlå kursMer grundläggande uppgifter och genomgångar på prim-tal och faktorträd finns på sidan 33.

Röd kursMer om primtal, sammansatta tal, delbarhet och faktori-sering finns på sidorna 44–45.


Extramaterial

Arbetsblad

1:10 Delbarhet och faktorträd ● ●

1:11 Faktorträd ● ●

Aktiviteter

1:3 Erathostenes såll ●

1:4 Tal som hör ihop på olika sätt ● ●

Läs mer●● Lene Christensen (2011). Talmönster från början.

Nämnaren 2, 2011.

Facit

34 a) 12, 14, 15, 16 och 18b) 13, 17 och 19

35 a) 20 är ett jämnt tal och är delbart med 2. Talet är också delbart med 5 och 10 eftersom det slutar med 0.

b) 27 har siffersumman 9 och är delbart med 3.

c) 65 slutar på 5 och är delbart med 5.

d) 134 är ett jämnt tal och är delbart med 2.

e) 327 har siffersumman 12 och är delbart med 3.

36 a) 23 och 29b) 31 och 37c) 41, 43 och 47

37 a) 6, 12 och 20b) 6, 12 och 15c) 15 och 20

38 Alla har rätt, 24 är en multipel av 3, 4 och 6

eftersom 24 = 3 ∙ 8, 24 = = 4 ∙ 6 och 24 = 6 ∙ 4

39 a)

5·

15

3

b)

7·

35

5

c)

32

2 6·

·

12

d)

72

2 14·

·

28

40 a)

73

2 21·

·

42

b)

32

3 6·

·

18

c)

10

60

2 5·2 3·

6 ·

d)

6

2 42·

84

7 ·

2 3·

41 a) 21 = 3 ∙ 7b) 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3c) 40 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 d) 68 ≈ 2 ∙ 2 ∙ 17

42 a) 26 = 2 ∙ 13 b) 34 = 2 ∙ 17

43 a) 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2b) 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5c) 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5d) 84 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7e) 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

14 151 tal 1 tal

Primtal och sammansatta tal

34 Vilka av talen i rutan är

a) sammansatta tal

b) primtal

35 Ta hjälp av delbarhetsreglerna och förklara varför talen inte är primtal.

a) 20 b) 27 c) 65 d) 134 e) 327

36 Vilka tal är primtal av talen mellan

a) 20 och 30 b) 30 och 40 c) 40 och 50

37 Vilka tal i rutan är multiplar av talet

a) 2 b) 3 c) 5

6 12 15 20

38

24 är en multipel

av 3

Anna

24 är en multipel

av 6

Clara

24 är en multipel

av 4

Benjamin

Vem eller vilka har rätt? Förklara ditt svar.

4, 8, 12 och 16 är exempel på multiplar av 4. 4 = 4 ∙ 1, 8 = 4 ∙ 2, 12 = 4 ∙ 3 och 16 = 4 ∙ 4.

Rita av och gör klart faktorträden.

39 a)

3 ·

15 b)

5 ·

35 c)

2

6·

·

12 d)

14·

·

28

40 a)

21·

·

42 b)

6·

·

18 c)

10

60

··

6 ·

d)

6

42·

84

·

·

41 Dela upp talen i primtalsfaktorer. Börja med att göra ett faktorträd.

a) 21 b) 24 c) 40 d) 68

42 Vilket av talen i rutan har den största primtalsfaktorn?

a) 26 45 60

b) 100 34 22

43 Alla naturliga tal kan skrivas som en produkt av primtal på endast ett sätt. Det kallas aritmetikens huvudsats. Till exempel kan 12 skrivas som 2 ∙ 2 ∙ 3. Skriv talen som en produkt av primtal.

a) 8 b) 20 c) 45 d) 84 e) 120

Ett sammansatt tal kan delas upp i fler faktorer än 1 och talet självt. När ett tal inte går att dela upp i fler faktorer är faktorerna primtal. Man kallar dem primtalsfaktorer. För att dela upp ett tal i faktorer kan man göra ett faktorträd.

ExempelVilka primtalsfaktorer har talet 30?

eller

Svar: Talet 30 har primtalsfaktorerna 2, 3 och 5.

12 13 14 15 16 17 18 19

5 6·

3 2·

30

2 15·

3 5·

30

Vi har satt ringar runt primtalsfaktorerna.

Du behöver bara göra ett faktorträd.

Det blir samma primtalsfaktorer.

Om man ska dela på 2, 3 eller 5 kolor, så kan man göra det på endast två sätt. En person får alla kolor eller varje person får en kola var.

Talen 2, 3 och 5 är exempel på primtal. Ett primtal är ett heltal som är större än 1 och endast är delbart med 1 och sig självt. Man kan också säga att ett primtal endast kan delas upp i faktorerna 1 och talet självt.

2 = 1 ∙ 2 3 = 1 ∙ 3 5 = 1 ∙ 5

Alla andra tal kallas för sammansatta tal. De är tal som kan delas upp i fler faktorer än 1 och talet självt. Till exempel är 6 och 15 sammansatta tal: 6 = 2 ∙ 3 och 15 = 3 ∙ 5.

2

3

5


Aritmetikens huvudsatsAlla heltal större än noll kan skrivas som en produkt av primtal på endast ett sätt.

G G

14 151 tal 1 tal

GG Tal i decimalformHur ska vi skriva tal som inte är heltal, alltså tal som på tallinjen ligger mellan heltalen? I avsnittet använder vi tallinjer för att eleverna ska få en bild av hur man kan representera de tal som finns mellan heltalen. Det kan vara värt att poängtera att det finns oändligt många tal mellan varje markering på tallinjen.

Lärandemål


●● att skriva bråk med nämnaren 10, 100 eller 1 000 i decimalform

●● att läsa av en tallinje och att placera ut tal på en tallinje

●● begreppen tallinje, bråkform, decimalform, tiondel, hundradel och tusendel

Tänk på●● Tal som tre tiondelar och sju hundradelar kan ses som

tal givna i bråkform. Vi återkommer till tal i bråkform i kapitel 4, men eleverna har arbetat med bråk under tidigare skolår och bör vara bekanta med dessa. Poängtera t.ex. att 3/10 = 0,3 och 7/100 = 0,07.

●● Undvik att utläsa tal som 4,52 som fyra komma fem-tiotvå. Säg i stället fyra hela, fem tiondelar och 2 hund-radelar eller fyra hela och femtiotvå hundradelar. På så sätt betonas siffrornas platsvärde.

Start

Skriv olika decimaltal på lappar och dela ut en lapp till varje elev. Be eleverna ställa sig i ordning efter talens storlek. Exempel på tal kan vara:

2,034 2,40 0,243 0,43 3,04 23,0

Be varje elev förklara sitt val av placering.

Alternativ start

Låt eleverna skriva ett decimaltal mellan 0 och 2 på en post-it-lapp och be dem sedan placera det på en tom tallinje som är ritad på tavlan. Endast noll ska i förväg vara markerad på tallinjen. Den första eleven avgör indelningen på tallinjen när hon placerar det första talet. Övriga elever får anpassa sig efter det.

Be varje elev förklara placeringen av sin lapp.

Kommentarer till uppgifter48 Uppgiften är en variant av startuppgiften och kan lätt

varieras med andra tal.

52 Resonera kring vilken hjälp man kan ha av att skriva om 9,9 och 10 till 9,90 och 10,00 samt 10 och 10,01 till 10,000 och 10,010

54 Behöver eleverna en ledtråd så kan ni ge tipset: Sorte-ra efter platsvärdet. Börja med heltalen – vilket är störst? Om lika – titta på tiondelssiffran, osv.

55 Diskutera gärna med eleverna i helklass hur man här lämpligast delar in tallinjen.

SlutSnabbquiz

Vilket tal är störst?

1 A 5,67 B 5, 076

C 5,7 D Vet ej

2 A 0,124 B 0,4

C 0,32 D Vet ej

3 A 0,111 B 0,099

C 0,109 D Vet ej

4 Hur många tal finns mellan 0 och 1?

A Inga B Tio

C Hundra D Oändligt många

Gå vidareBlå kursMer grundläggande uppgifter och genomgångar på tal i decimalform finns på sidorna 34–35.

Extramaterial

Arbetsblad

1:12 Tiondelar på tallinjen ● ●

1:13 Hundradelar på tallinjen ● ●

1:14 Decimaltal på tallinjen ● ●

Aktiviteter

1:5 Decimaltal ● ●

Facit

44 A = 0,1 B = 0,75 C = 1,1

45 A = 0,12 B = 0,18 C = 0,24

46 B A C D

9 10 20

47 a) 9,8 10 10,2b) 10,2 10,5 10,8c) 9,98 10 10,02

48 a) 9,1 är störst eftersom 9,1 är 10 hundradelar större än 9 och 9,09 är 9 hundradelar större än 9.

b) 10,39 är störst efter-som 10,39 är 39 hund-radelar större än 10 och 10,4 är 40 hund-radelar större än 10.

49 A = 0,001 B = 0,007 C = 0,013

50 A = 0,011 B = 0,015 C = 0,022

51 a) 0,198 0,2 0,202 0,204

b) 2,494 2,497 2,5 2,503

52 a) T.ex. 9,91b) T.ex. 10,002

53 a) A= 1,2 B = 2,05 C = 2,4

b) A = 0,45 B = 0,495 C = 0,529

54 a) 1,023 1,03 1,2 1,32

b) 0,3 0,42 0,423 0,52

55 C E B A D

0 1 2

16 171 tal 1 tal

Tal i decimalform

Vilka tal pekar pilarna på?

44

A B C

0 1

45

A B C

0,1 0,2 0,25

46 Rita en tallinje som börjar med 9 och slutar med 11 och markera följande tal.

A = 9,5 B = 9,05 C = 10,4 D = 10,95

47 Vilka tal ska stå i rutorna? Ta hjälp av tallinjen du ritade till uppgift 46.

a) 9,2 9,4 9,6

b) 9,3 9,6 9,9

c) 9,92 9,94 9,96

48 Vilket tal är störst? Förklara varför.

a) 9,1 eller 9,09

b) 10,39 eller 10,4

Tiondelar och hundradelar

Om man delar tallinjen mellan två heltal i tio lika stora delar, så blir

varje del en tiondel. En tiondel kan skrivas i bråkform 1

___ 10 och i decimalform 0,1.

Om man delar tallinjen mellan två heltal i hundra lika stora delar, så blir

varje del en hundradel. En hundradel kan skrivas i bråkform 1 ____ 100 och i

decimalform 0,01.

0,01

0 0,05 0,1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1


49

A B C

0 0,01

50

A B C

0,01 0,02


a) 0,192 0,194 0,196

b) 2,485 2,488 2,491

52 Skriv ett tal som är

a) större än 9,9 men mindre än 10 b) större än 10 men mindre än 10,01

53 Vilka tal pekar pilarna på? Välj bland talen i rutan.

a)

A B C

1 2

b)

A B C

0,4 0,5

1,2 2,4 1,09 2,05 0,45 0,406 0,529 0,495

54 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.

a) 1,023 1,2 1,32 1,03

b) 0,52 0,423 0,3 0,42

55 Rita en tallinje och rita pilar som pekar på talen.

A = 1,5 B = 1,08 C = 0,35 D = 1,95 E = 0,7

Tusendelar

Om man delar tallinjen mellan två heltal i tusen lika stora delar, så blir varje

del en tusendel. En tusendel kan skrivas i bråkform 1 _____ 1 000 och

i decimalform 0,001.

0 0,005 0,01

0,001 0,006 0,009

0,1 är lika mycket som

0,10.


ArbetsblAd 1:14

G G

16 171 tal 1 tal

GG DecimaltalDecimaltal presenteras här utan stöd av tallinjen. Här betonas siffrans plats i talet på samma sätt som för helta-len på sidan 10. För att ge decimaltal en mer praktisk innebörd kan det vara lämpligt att exemplifiera med t.ex. resultat i friidrottstävlingar.

Lärandemål


●● metoder för att storleksordna decimaltal

●● att utföra beräkningar med decimaltal och i det sam-manhanget förstå betydelsen av en siffras platsvärde

●● begreppen decimaltal och decimal

●● att utföra beräkningar med tal i skrivna decimalform

Tänk på●● Upprepa att siffrans värde beror av platsen i talet. En

del elever kan ha svårt att förstå att tiondelar är större än hundradelar, alltså att t.ex. 0,3 är större än 0,07. Även språkligt kan en del elever blanda ihop begrep-pen tiondel – hundradel (där tiondel är större än hundradel) med tiotal – hundratal (där tiotal är min-

dre än hundratal).

StartFör att uppmärksamma eleverna på innebörden av begreppet platsvärde kan man inleda lektionen med den här aktiviteten. Använd gärna miniwhiteboard eller dela ut vanligt papper.

Skriv med siffror (ett tal i taget):

nio tiondelar nio hundradelar nitton hundradelar nitton nitton tiondelar nio tusendelar nitton tusendelar

Låt eleverna jämföra sina svar med varandra och följ sedan upp i helklass.

Kommentarer till uppgifter56 Diskutera gärna med eleverna hur nollans betydelse

beror av var den står i talet. Jämför t.ex. 0,7; 0,70; 0,07 eller 1,080; 1,800; 1,08; 10,80; 10,8

59, 60 Uppgifterna är varianter på startuppgiften.

61 Uppgiften ger exempel på elevfel som grundar sig på missuppfattningen att antalet decimaler avgör hur stort talet är. Sandra tror att det tal som har flest antal decimaler är störst, medan Dilan tror det motsatta. Fel liknande Sandras kan delvis undvikas genom att utläsa talet 3,423 som tre hela och fyrahundrathugo-tre tusendelar istället för tre komma fyrahundratju-gotre.

63 Var uppmärksam på hur eleverna skriver resultatlis-torna. Den som hoppar längst vinner och det längsta resultatet ska därför stå överst, men den som springer fortast har kortast tid så där är det den kortaste tiden som ska stå överst. Man kan uppmana eleverna att själva leta fram resultatlistor och be dem jämföra längder och tider.

67 Utveckla uppgiften genom att låta eleverna fundera över vilka fel personerna kan ha gjort.

71 Det är viktigt att eleverna kan använda skriftliga räk-nemetoder. Det finns många arbetsblad till de elever som behöver.

SlutSnabbquiz

1 Vilket tal ska stå i rutan?

A 4,35 – = 4,05 B 4,35 – = 4,3

C 4,35 – = 1,3 D 4,35 – = 2,14

Gå vidareBlå kursMer grundläggande uppgifter och genomgångar finns på sidorna 36–37.


Extramaterial

Arbetsblad


1:16 Addition med decimaltal ● ●

1:17 Subtraktion med decimaltal ● ●

1:18 Multiplikation av decimaltal 1 ● ●

1:19 Multiplikation av decimaltal 2 ● ●

1:20 Division av decimaltal 1, kort division ● ●

1:20b Division av decimaltal 1, liggande stolen ● ●

1:21 Division av decimaltal 2, kort division ● ●

1:21b Division av decimaltal 2, liggande stolen ● ●Facit

56 a) 0,7 b) 0,07c) 0,007

57 a) ental b) tiondelc) tusendel d) hundradel

58 a) 3,57 b) 2,05 c) 4,098

59 a) 0,12 b) 0,012 c) 1,2

60 a) 0,85 b) 0,085c) 8,5 d) 0,850

61 Alla tre talen har 3 ental. 3,7 har 7 tiondelar, 3,423 har 4 tiondelar och 3,98 har 9 tiondelar. Det innebär att 3,98 är störst.

62 a) 3,09 3,195 3,2 3,21

b) 7,245 7,28 7,3 8,009

63 a) 8,79 s 9,02 s 9,16 s 9,45 s

b) 4,35 m 4,03 m 3,89 m 3,48 m

64 9,03 s

65 a) 5,1 b) 3,58c) 7,14 d) 5,08

66 a) 7,51 b) 5,227c) 5,011 d) 4,00

67 Benjamin har räknat rätt.

7 tiondelar + 4 tiondelar = = 11 tiondelar.

11 tiondelar = 1,1. Dilan har också räknat

rätt. 112 hundradelar – 30

hundradelar = 82 hund-radelar.

82 hundradelar = 0,82.

68 a) 0,83 b) 1,1 c) 4,0 d) 4,08

69 a) 2,81 b) 2,63 c) 3,05 d) 2,96

70 a) 2,99 b) 6,95

71 a) 6,28 b) 4,65 c) 22,4 d) 6,35

18 191 tal 1 tal

56 Vilket av talen i rutan är lika mycket som

a) 7 tiondelar b) 7 hundradelar

c) 7 tusendelar


a) 7,1 b) 2,71 c) 8,017 d) 1,571

58 Skriv med siffror det tal som består av

a) 3 ental, 5 tiondelar och 7 hundradelar b) 2 ental och 5 hundradelar

c) 4 ental, 9 hundradelar och 8 tusendelar


a) 12 hundradelar b) 12 tusendelar

c) 12 tiondelar

60 Skriv talen med siffror.

a) 85 hundradelar b) 85 tusendelar

c) 85 tiondelar d) 850 tusendelar

61 Vilket av de tre talen i rutan är störst? Sandra och Dilan svarar så här:

Förklara varför båda svaren är fel och varför 3,98 är rätt svar!

3,7 3,423 3,98

Talet 3,7 är störst för att det har minst antal

decimaler.

3,423 är störst för att

423 är större än 7 och 98.

7 70

0,07 0,007 7,00

0,7 7,000 7,0

Decimaltal

Decimaltecknet skiljer heltalen från decimalerna.

Talet 8,095 har tre decimaler.

Talet 8,095 kan läsas: 8 ental 9 hundradelar och 5 tusendelar

8 ental och 95 tusendelar

8 095 tusendelar

8 , 0 9 5tio

ndel

hundradel

tusendel

ental

decimalerdecimaltecken

1,2 0,12 0,012


a) 3,09 3,2 3,21 3,195

b) 7,245 7,3 7,28 8,009

63 Skolan har haft friidrottstävling. 60 meter: 8,79 s 9,02 s 9,45 s 9,16 sLängdhopp: 4,35 m 3,89 m 3,48 m 4,03 m

Skriv resultatlistor med bästa resultatet först.

64 Yonko och Celine sprang 60 meter. Yonko sprang på tiden 8,83 sekunder. Celine sprang 2 tiondelar långsammare. Vilken tid hade Celine?

65 Skriv talet som är en tiondel större än

a) 5 b) 3,48 c) 7,04 d) 4,98

66 Skriv talet som är en hundradel större än

a) 7,5 b) 5,217 c) 5,001 d) 3,99

67 Vilka har räknat rätt och vilka har räknat fel? Förklara.

0,7 + 0,4 = 0,11

Anna

0,7 + 0,4 = 1,1

Dilan

1,12 – 0,3 = 1,9

Clara

1,12 – 0,3 = 0,82

Benjamin

Beräkna med huvudräkning.

68 a) 0,8 + 0,03 b) 0,8 + 0,3 c) 3,9 + 0,1 d) 3,98 + 0,1

69 a) 2,83 – 0,02 b) 2,83 – 0,2 c) 3,06 – 0,01 d) 3,06 – 0,1

70 Skriv talet som är

a) fem tiondelar mindre än 3,49 b) tolv tiondelar mindre än 8,15

71 Kan du räkna med uppställning? Titta i verktygslådan på sidan 300 om du behöver hjälp.

a) 2,58 + 3,7 b) 12,05 – 7,4 c) 3,2 ∙ 7 d) 50,8

____ 8


G G

18 191 tal 1 tal

GG Multiplicera med 10, 100 och 1 000. Dividera med 10, 100 och 1 000Om man har god förståelse för tiosystemet, så är det enkelt att multiplicera och dividera med 10, 100 och 1 000. Eleverna ska inte behöva utföra dessa beräkningar med uppställning.

Framställningen på det här uppslaget utgår från begreppet platsvärde. Det kan vara klokt att inleda lek-tionen med att repetera det begreppet.

Lärandemål


●● hur ett tals siffror ändrar platsvärde vid multiplikation och division med 10, 100 och 1 000

●● att utföra multiplikationer och divisioner med 10, 100 och 1 000 utan hjälp av uppställning

Tänk på●● Vi vill avråda ifrån regler som berättar hur decimal-

tecknet ska flyttas vid multiplikation respektive divi-sion med 10, 100, 1 000 osv. Eleverna blandar lätt ihop reglerna och gör fel. Uppmana hellre eleverna att stäl-la sig själva frågorna ”Blir talet större eller mindre när man multiplicerar respektive dividerar med 10?”. Poängtera att siffrorna är desamma och att de är pla-cerade i samma ordning när man har multiplicerat eller dividerat med 10, 100 eller 1 000. Använd gärna begreppet platsvärde. En förklaring kan till exempel lyda som:

I talet 35,4 ändras platsvärdet för siffran 5 från ental till tiotal när 35,4 multipliceras med 10.

I talet 30,2 ändras platsvärdet för siffran 3 från tiotal till ental när 30,2 divideras med 10.

●● En vanlig missuppfattning är att man lägger till nollor när man multiplicerar med 10, 100 och 1 000. Det kan ha sin grund i att eleverna övertolkar de regler som endast gäller positiva heltal. Missuppfattningar kan yttra sig så här:

10 ∙ 4,25 likställs med 40,25

Motsvarande missuppfattning kan vid division bli:

408

____ 10 likställs med 48

StartLåt eleverna arbeta med räknaren och upptäcka hur siff-rorna ändrar platsvärde när talen multipliceras och/eller divideras med 10, 100 och 1 000. En instruktion kan vara:

Skriv av och beräkna med räknare:

10 ∙ 3,05 100 ∙ 3,05 1 000 ∙ 3,05 305

____ 10 305

____ 100 305

_____ 1 000

Hur ändras en siffras platsvärde när du multiplice-rar eller dividerar med 10, 100 och 1 000?

Kommentarer till uppgifter73, 74, 83, 84

Var uppmärksam på att eleverna inte omotiverat läg-ger till eller tar bort nollor inne i eller i slutet av talet.

80, 81 I de här uppgifterna ska eleverna ta hjälp av vad som står på skylten och avgöra storleken på produkterna. De ska alltså inte utföra beräkningarna skriftligt eller med räknare. Uppgiften är avsedd att hjälpa eleverna att generalisera förståelsen för att multiplicera med 10, 100 och 1 000.

89, 90 Motsvarar uppgifterna 80 och 81, men här är räkne-sättet i stället division.

SlutSnabbquiz

1 Beräkna 100 ∙ 5,07

A 570 B 507

C 50,7 D Vet ej

2 Beräkna 5 070

_____ 100

A 507 B 57

C 50,7 D Vet ej

3 Beräkna 5 ∙ 42,8

A 21,4 B 214

C 85,6 D Vet ej

4 Beräkna 6,8

___ 5

A 1,36 B 3,4

C 13,6 D Vet ej

Gå vidareBlå kursGrundläggande uppgifter och genomgångar på multipli-kation och division med 10, 100 och 1 000 finns på sidan 38.

Extramaterial

Arbetsblad

1:22 Multiplikation med 10 och 100 ● ●

1:23 Division med 10 och 100 ● ●

Facit

72 a) ental b) tiotalc) hundratal

73 a) 42,5 b) 42 c) 40 d) 605

74 a) 6 950 b) 98c) 78 900 d) 789

75 Hon har lagt till en nolla på platsvärdet för ental istället för att decimaler-na flyttas ett steg åt vän-ster. 7 ska stå på entals-platsen.

76 a) 10 b) 100 c) 5,43 d) 0,054 e) 0,325 f) 1 000

77 88 km

78 95 kr

79 a) 16 b) 240c) 22,4 d) 111,1

80 a) 4 272 b) 4 272 c) 42 720

81 a) 46,5 b) 4 650 c) 46 500

82 a) ental b) tiondelc) hundradel

83 a) 40,8 b) 4,08 c) 0,408 d) 0,408 e) 4,9

84 a) 39,5 b) 3,95 c) 0,395 d) 0,395 e) 0,85

85 a) 10 b) 100 c) 10

86 a) 205 b) 2 450 c) 5 030

87 a) 97,50 kr b) 87,90 kr

88 a) 4,8 b) 12,4 c) 7,6 d) 8,5

89 a) 1,42 b) 0,142c) 142 d) 142

90 a) 9,24 b) 0,924c) 924 d) 0,924

20 211 tal 1 tal

Multiplicera med 10, 100 och 1 000

72 Vilket platsvärde får siffran 7 när 2,75 multipliceras med

a) 10 b) 100 c) 1 000

Beräkna

73 a) 10 ∙ 4,25 b) 10 ∙ 4,2 c) 10 ∙ 4 d) 100 ∙ 6,05

74 a) 100 ∙ 69,5 b) 100 ∙ 0,98 c) 1 000 ∙ 78,9 d) 1 000 ∙ 0,789

75 Vera säger att 10 ∙ 6,75 = 60,75. Vad har hon gjort för fel?

76 Vad ska stå i rutorna?

a) ∙ 4,5 = 45 b) 23,4 ∙ = 2 340 c) 543 = ∙ 100

d) 1 000 ∙ = 54 e) 100 ∙ = 32,5 f) 897 = ∙ 0,897

77 Under 10 dagar cyklar Rikard fram och tillbaka till en sjö för att bada. Till sjön är det 4,4 km. Hur långt cyklade Rikard sammanlagt under dessa dagar?

78 Kristoffer köper 10 chokladbitar för 4,50 kr/st och 100 kolor för 0,50 kr/st. Hur mycket ska han betala?

79 Läs i pratbubblan och räkna på samma sätt.

a) 5 ∙ 3,2 b) 5 ∙ 48

c) 5 ∙ 4,48 d) 5 ∙ 22,22

Ta hjälp av rutan och beräkna.

80 a) 534 ∙ 8 b) 53,4 ∙ 80 c) 534 ∙ 80

81 a) 6,2 ∙ 7,5 b) 62 ∙ 75 c) 620 ∙ 75

10 ∙ 2,75 = 27,5

100 ∙ 2,75 = 275

1 000 ∙ 2,75 = 2 750 2, 7 5

2 7, 5

hundratal

tiotal

entaltio

ndelar

hundradelar

53,4 ∙ 8 = 427,2

62 ∙ 7,5 = 465

Dividera med 10, 100 och 1 000

82 Vilket platsvärde får siffran 7 i talet 275 när talet divideras med

a) 10 b) 100 c) 1 000

Beräkna

83 a) 408

____ 10 b) 408

____ 100 c) 408

_____ 1 000 d) 40,8

____ 100 e) 49

___ 10

84 a) 395

____ 10 b) 395

____ 100 c) 395

_____ 1 000 d) 39,5

____ 100 e) 85

____ 100

Vilka tal ska stå i rutorna?

85 a) 65

___ = 6,5 b) 725

___ = 7,25 c) 4,56

____ = 0,456

86 a) ____ 100 = 2,05 b) ___ 10 = 245 c) 5,03 = _____ 1 000

87 Agnes mamma köper biobiljetter för att ge bort. Vad kostar en biobiljett om

a) 10 stycken kostar 975 kr

b) 100 stycken kostar 8 790 kr

88 Läs i pratbubblan och räkna på samma sätt.

a) 24

___ 5 b) 62

___ 5 c) 38

___ 5 d) 42,5

____ 5

Ta hjälp av rutan och beräkna.

89 a) 71

___ 50 b) 71

____ 500 c) 710

____ 5 d) 7 100

_____ 50

90 a) 831,6

_____ 90 b) 831,6

_____ 900 c) 8 316

_____ 9 d) 8 316

______ 9 000

275

____ 10 = 27,5

275

____ 100 = 2,75

275

_____ 1 000 = 0,275

2 7 5

2 7, 5

hundratal

tiotal

entaltio

ndelar

hundradelar

71 ___ 5 = 14,2

831,6 ______ 9 = 92,4

Ser du hur siffrans plats-

värde ändras när man multiplicerar med 10, 100 och

1 000?

Så här kan du räkna ut 5 · 6,4:

10 · 6,4 = 64

64 ___ 2 = 32

Ser du hur siffrans plats-

värde ändras när man dividerar med

10, 100 och 1 000?

Så här kan

du räkna ut 23 ___ 5 :

23 ___ 10 = 2,3

2,3 · 2 = 4,6

ArbetsblAd 1:23

ArbetsblAd 1:22

G G

20 211 tal 1 tal

GG Avrunda heltal och Avrunda decimaltalAtt kunna göra rimliga avrundningar är viktigt för att kunna utföra en överslagsräkning och för att få ett kor-rekt antal decimaler vid beräkningar. God talförståelse är en förutsättning för att kunna förstå och kunna tillämpa avrundningsreglerna. Här tar vi tallinjen till hjälp för att stötta resonemangen. Avsikten är att eleverna ska få en bild av att talen kan placeras på en tallinje och förstå hur de ska avrundas innan avrundningsreglerna gås igenom.

Lärandemål


●● att korrekt kunna avrunda heltal och decimaltal

●● att kunna använda närmevärden i praktiska situatio-ner

●● begreppen avrunda, närmevärde, avrundningsregler och avrundningssiffra

Tänk på●● En siffras platsvärde i talet är viktig förkunskap.

●● Avrundning, precis som de flesta aspekter av tal, ska grundas i en god taluppfattning. Eleverna bör lära sig att se vad som är rimligt och förnuftigt i situationen.

Start

När är talet exakt och när är det avrundat?

A Avståndet mellan skolan och Lillsjön är 15 500 m.

B Mopeden kostade 15 500 kronor.

C Vid inventeringen fanns det 15 500 böcker i skolbiblioteket.

Alla mätvärden är ungefärliga värden angivna med en viss noggrannhet. Avståndet i A är exempel på ett mätvärde och är alltså ett avrundat värde. Vad gäller kostnaden för mopeden (B) eller antalet böcker i skolbiblioteket (C) så kan de vara både exakta och avrundade värden.

Alternativ startDiskutera olika förslag till avrundning av publikantalet i exemplet i genomgångsrutan. Är någon avrundning mer rätt än en annan? Hitta gärna på egna exempel med olika stora folksamlingar.

Kommentarer till uppgifter92 Fråga gärna eleverna: När kan det vara bra att avrun-

da mätetalet? Kan det vara viktigt att veta det exakta antalet meter?

93 Aktuellt värde på folkmängd finns på Statistiska Cen-tralbyråns hemsida www.scb.se. Låt eleverna fundera på vad de tycker är en vettig avrundning med tanke på hur fort värdet förändras.

95 Uppgiften tvingar eleverna att arbeta baklänges och ställer deras taluppfattning på prov.

97 Kommentera gärna avrundningen 2,365 ≈ 2,37. Vi avrundar alltid femman uppåt, trots att den ju ligger lika nära 0 som 10. En tidigare använd regel var att avrunda 5 till närmaste jämna tal.

104 Eftersom det minsta talet som kan avrundas till 4,7 är 4,65 så kan det ligga nära till hands att svara 4,75 på b-uppgiften. Det är dock fel eftersom 4,75 avrundas till 4,8. Vilket tal mindre än 4,75 man än väljer, t.ex. 4,7499, finns alltid ett lite större tal att välja som fort-farande är mindre än 4,75, t.ex. 4,74999. Man kan ange svaret som 4,74999…, där prickarna anger att antal 9:or fortsätter i oändlighet.

Slut

Låt eleverna ge exempel på en situation där ett stort heltal bör avrundas och en annan situation där man behöver avrunda ett decimaltal. Låt eleverna disku-tera två och två och följ upp i helklass eller låt elev-erna skriva ned sina förslag och lämna in. Följ sedan upp på nästa lektion.

Gå vidareBlå kursMer grundläggande uppgifter och genomgångar på avrundning finns på sidan 39.


Extramaterial

Arbetsblad

1:24 Avrundning ● ●

Läs mer●● Marianne Rönnbom (2007): Vad göms i ett kassakvitto?

Nämnaren 2, 2007.●● Håkan Johansson, Bengt Nilsson och Lennart Skoogh

(1993): Låt oss runda av det här. Nämnaren 1, 1993.

Facit

91 a) 40 000 b) 38 000c) 38 500

92 a) 40 000 m b) 42 000 mc) 42 200 m

93 a) 10 000 000b) 9 900 000c) 9 860 000

94 a) 238 000 000b) 237 700 000c) 237 698 000

95 65 och 74

96 a) 500 m b) 1 499 m

97 a) 2,4 b) 2,37 c) 2

98 a) 0,24 b) 3,26 c) 0,38

99 a) 99 kr b) 425 kr c) 108 kr

100 a) 5 b) 3 c) 10

101 8,65 8,709 8,732

102 Till exempel 3,82 och 3,79

103 a) 66 cm b) 33 cmc) 28 cm d) 40 cm

104 a) 4,65b) Vi kan inte skriva det

största talet för det är ett tal med oändligt många decimaler. 4,7499999…. Talet 4,75 avrundas till 4,8.

22 231 tal 1 tal

Avrunda heltal

91 Avrunda talet 38 450 till

a) tiotusental b) tusental c) hundratal

92 Ett maratonlopp är 42 195 m. Avrunda sträckan till

a) tiotusentals meter b) tusentals meter c) hundratals meter

93 Den 31 januari 2016 hade Sverige 9 858 794 invånare. Avrunda till

a) miljontal b) hundratusental c) tiotusental

94 Den 20 april 2013 betalade Svenska Spel ut en lottovinst på 237 697 528 kr. Avrunda vinsten till

a) miljoner kronor b) hundratusental kronor c) tusental kronor

95 Du ska avrunda till tiotal. Skriv det minsta naturliga talet och det största naturliga talet som avrundas till 70.

96 Skylten säger att det är 1 km till Sivik. Hur många meter kan det vara

a) som kortast till Sivik b) som längst till Sivik

”Tänk att det var 23 165 personer som var på konserten!”

”Det var 23 000 personer i publiken!”

”Över 20 000 personer var på konserten.”

Citaten berättar om samma konsert, men publikantalet har angivits olika noggrant.

20 000 23 000 30 000

23 165

Publikantalen avrundat till

Tiotusental 23 165 ≈ 20 000

Tusental 23 165 ≈ 23 000

Hundratal 23 165 ≈ 23 200

Tiotal 23 165 ≈ 23 170

23 165 ligger närmare 20 000 än 30 000

Sivik 1

Avrunda decimaltal

97 Avrunda 2,365 till ett närmevärde med

a) en decimal b) två decimaler c) ental

98 Avrunda till ett närmevärde med två decimaler

a) b) c)

99 Hur mycket ska du betala kontant om det på ett kvitto står

a) 98,78 kr b) 425,23 kr c) 107,52 kr

100 Avrunda till ental

a) 4,82 b) 3,265 c) 9,5

101 Vilka av talen har närmevärdet 8,7? 8,65 8,709 8,75 8,732 8,645

102 Skriv två tal som båda har närmevärdet 3,8.

103 Hur många hela centimeter blir varje bit om du delar en bräda som är 2 meter i

a) 3 bitar b) 6 bitar c) 7 bitar d) 5 bitar

104 a) Vilket är det minsta tal som kan avrundas till 4,7?

b) Varför frågar vi inte efter det största talet?

Du ska dela en bräda som är 1 m i 3 lika långa delar. Använder du räknaren för att räkna ut hur lång en bit ska vara trycker du 1 � 3 och får svaret 0,3333333. Så noga kan man inte mäta brädan. Därför avrundar man längden till två decimaler. Varje bit ska alltså vara ungefär 0,33 m. Det avrundade värdet kallas för ett närmevärde.

ExempelAvrunda 0,1666666 till ett närmevärde med

a) två decimaler b) en decimal

Svar: a) 0,16|66666 ≈ 0,17 b) 0,1|666666 ≈ 0,2

AvrundningsreglerOm siffran efter avrundningssiffran är: ●●0, 1, 2, 3 eller 4 avrundas talet nedåt. ●●5, 6, 7, 8 eller 9 avrundas talet uppåt.

Tecknet ≈ utläser man ”ungefär lika med”.

23 165 ligger mitt emellan 23 160 och 23 170. Då är regeln att man

avrundar uppåt.

1 m är 100 cm

Avrundningssiffra Avrundningssiffra

ArbetsblAd 1:24

G G

22 231 tal 1 tal

GG ÖverslagsräkningÖverslagsräkning, tillsammans med huvudräkning, är vardagskunskaper som man ofta har nytta av. I exemplet i läroboken möter eleven några av de ord man vanligtvis använder för att markera att ett överslag bör göras.

Det är bra att regelbundet träna överslagsräkning. Till-fällen erbjuds ofta, t.ex. då man snabbt vill få en upp-skattning av storleksordningen av en beräkning.

Lärandemål


●● innebörden av begreppet överslagsräkning

●● metoder för överslagsräkning

●● att bedöma ett svars rimlighet

Tänk på●● Det är viktigt att påpeka att en överslagsräkning görs

med huvudräkning. Det gäller att först avrunda de värden man ska använda för beräkningen så att man sedan kan utföra den i huvudet utan hjälp av skriftliga metoder eller miniräknare. Därmed kan flera olika svar vara rätt så länge de ligger inom rimliga gränser.

●● Ibland är det mycket viktigt att man mäter noggrant och ibland har det ingen större betydelse. Det beror på situationen. Diskutera gärna detta med hela klassen, t.ex. genom att göra startuppgiften här nedanför.

StartDenna start kan användas för att diskutera när det är bra med överslagsräkning och när man är beroende av mer nogranna värden.

Diskutera vilka effekter mätfelen har i följande situ-ationer:

A Du har handlat tyg och ber om 1,2 meter.

1. Expediten mäter fel och du får 1,1 meter tyg.

2. Expediten mäter fel och du får i stället 1,5 meter tyg.

B Din klocka visar 5 minuter fel.

1. Du ska hinna med bussen kl. 07.28.

2. Du ska träffa dina kompisar vid 17-tiden.

C Du bakar en kladdkaka.

1. Du häller i en matsked salt i stället för en tesked salt. 2. Du häller i 200 g smält smör i stället för 175 g smält smör

D Ge ett exempel när det har stor betydelse om man mäter eller avrundar och ett exempel när det har liten betydelse.

Kommentarer till uppgifter105 Kan med fördel användas som en diskussionsupp-

gift i helklass. Låt eleverna ge förslag på lämpliga avrundningar.

106 Variera uppgiften genom att välja andra antal av utrustningen.

108–109 Uppgifterna tränar eleverna på att göra överslag för att kunna beräkna uppgifterna med huvudräk-ning. Det är viktigt att man håller reda på storleks-ordningen av talen man arbetar med. Ett mycket vanligt fel är att man placerar decimaltecknet fel, dvs. att siffrorna blir rätt men platsvärdet fel.

110–112 Dessa uppgifter kan ge utrymme till diskussioner om olika sätt att avrunda och inom vilka gränser som ett korrekt svar bör ligga. Diskutera gärna vil-ken avrundning man bör välja och vilken avrund-ning som ger ett resultat som ligger närmast det exakta svaret.

115, 116 Uppgifterna ger möjligheter till rika diskussioner inom gruppen. Dela gärna upp klassen i mindre grupper och låt dem bli eniga om ett svar.

SlutAnvänd någon eller några av frågeställningarna som dis-kussionsunderlag.

●● Markera en punkt på en tallinje: Vilket tal skulle det här kunna vara?

●● Hur många gem ligger det i burken? Vilken strategi kan vara bra att använda för att göra en rimlig upp-skattning?

●● Be eleverna att leta i tidningar efter exempel på tal som verkar vara uppskattningar. Diskutera: Hur vet du att det inte är exakta värden? Hur kan uppskattningar-na vara gjorda?

Gå vidareBlå kursMer om grundläggande uppgifter och genomgångar på överslagsräkning finns på sidan 40.

Röd kursMer om huvudräkning och överslagsräkning finns på sid-orna 46–47.


Extramaterial

Arbetsblad

1:25 Överslagsräkning ● ●

1:26 Vilket närmevärde är störst ● ●

Aktivitet

1:6 Överslag ●

Läs mer●● Peder Claesson (1981-1982): Hur tänker du när du gör

ett överslag? Uppslaget, Nämnaren 2, 1981-1982.●● Barbara Reys, Robert Reys och Göran Emanuelsson

(1996): Uppskattning av överslag. Nämnaren 1, 1996.●● Jan-Eije Hammaräng (1988): Matte är att kunna slå

över. Nämnaren 3, 1988.

Facit

105 a) 189 kr + 498 kr ≈ ≈ 200 kr + 500 kr = = 700 kr

b) 275 kr + 625 kr + + 498 kr ≈ 300 kr + + 600 kr + 500 kr = = 1 400 kr

c) 189 kr + 498 kr + + 275 kr ≈ 200 kr + + 500 kr + 300 kr = = 1 000 krPengarna räcker, alla priserna är avrundade uppåt.

106 a) 18 ∙ 105 kr ≈ ≈ 20 ∙ 100 kr = 2 000 kr

b) 29 ∙ 89 kr ≈ 30 ∙ 90 kr = = 2 700 kr

c) 12 ∙ 279 kr ≈ ≈ 12 ∙ 300 kr = 3 600 kr

d) 32 ∙ 185 kr ≈ ≈ 30 ∙ 200 kr = 6 000 kr

107 a) 623 + 875 ≈ ≈ 600 + 900 = 1 500

b) 498 + 249 ≈ ≈ 500 + 250 = 750

c) 18 ∙ 32 ≈ 20 ∙ 30 = 600d) 27 ∙ 498 ≈ 30 ∙ 500 =

= 15 000

108 a) 1 350 b) 13 500c) 135 d) 13,5

109 a) 52,0 b) 5 200c) 52,0 d) 5,20

110 a) 2 400 b) 24 000c) 21 d) 2 100e) 21 000

111 a) 6 b) 60 c) 600d) 6 000 e) 60 000

112 a) 5 b) 50 c) 7d) 70 e) 700

113 a) Ca 600 muggarb) 2 000 dl = 200 liter

114 Det behövs cirka 4 000 pennor. Då behöver man köpa cirka 400 askar.

115 Rikard räknar troligtvis med att det får plats 4 spelare + en vuxen som kör per bil och gör därför beräkningen

21

___ 4 = 5,25.

Han följde avrundnings-reglerna och avrundade 5,25 till 5. Här skulle han ha avrundat uppåt till 6 bilar.

Men det finns bilar som kan ta 6 personer. Om fotbollslaget har tillgång till en sådan bil så räcker det med 5 bilar.

116 De kan till exempel köpa 50 bollar eller 20 tröjor, 20 shorts och 20 par strumpor.

24 251 tal 1 tal

Överslagsräkning

105 a) Maja köper en tröja och ett par jeans. Ungefär hur mycket ska hon betala?

b) Elias köper ett par skor, en jacka och ett par jeans. Ungefär hur mycket ska han betala?

c) Fia köper en tröja, ett par jeans och ett par skor. Hon har två 500-lappar. Räcker pengarna? Motivera.

106 Fias fotbollslag ska köpa ny utrustning. Ungefär hur mycket ska de betala för

a) 18 shorts

b) 29 strumpor

c) 12 tröjor

d) 32 fotbollar

Ofta har man stor nytta av att snabbt kunna göra en överslagsräkning. När man gör en överslagsräkning avrundar man först talen så att man sedan lätt kan använda huvudräkning.

Exempel Lisen köper tre tröjor. De kostar 295 kr, 120 kr och 179 kr. Ungefär hur mycket kostar tröjorna tillsammans?

295 kr + 120 kr + 179 kr ≈ 300 kr + 100 kr + 200 kr = 600 kr

Svar: Tröjorna kostar ungefär 600 kr tillsammans.

Exempel Klassen köper skoltröjor. En tröja kostar 58 kr. De är 31 elever i klassen. Ungefär hur mycket kostar tröjorna för hela klassen?

31∙ 58 ≈ 30 ∙ 60 = 1 800 kr

Svar: Totalkostnaden blir ungefär 1 800 kr.

107 Räkna med överslagsräkning. Börja med att skriva av uppgiften.

a) 623 + 875 b) 498 + 249 c) 18 ∙ 32 d) 27 ∙ 498

Beräkningarna här nedanför är inte rätt utförda. Skriv av uträkningarna och sätt ut decimaltecken på rätt ställe eller lägg till en eller flera nollor i svaret.

108 a) 3 · 450 = 135 b) 30 · 450 = 135

c) 30 · 4,5 = 135 d) 3 · 4,5 = 135

109 a) 364

_____ 7 = 520 b)

36 400

_________ 7 = 520

c) 3 640

______ 70 = 520 d)

36,4

____ 7 = 520

Beräkna med överslagsräkning. Avrunda först så att du kan räkna med huvudräkning.

110 a) 42 ∙ 58 b) 42 ∙ 580 c) 6,9 ∙ 3,2 d) 69 ∙ 32 e) 690 ∙ 32

111 a) 29

___ 5 b) 298

____ 5 c) 2 987

_____ 5 d) 29 725

______ 5 e) 304 123

_______ 5

112 a) 43

___ 9 b) 432

____ 9 c) 41

___ 6 d) 408

____ 6 e) 4 305

_____ 6

113 a) Under en löpartävling behövdes det 3 548 muggar till 6 vätskekontroller. Ungefär hur många muggar behövdes det till varje vätskekontroll?

b) Löparna drack cirka 4 dl sportdryck var. Ungefär hur många liter sportdryck behövdes om det var 478 löpare?

114 Filip ska beställa pennor till skolan. Pennorna ligger i askar med 12 pennor i varje ask. Varje elev behöver cirka 8 pennor och det går 528 elever på skolan. Ungefär hur många askar ska han beställa?

115 Rikards fotbollslag ska åka på match. Det är 21 spelare som är tretton år och de ska åka bil. Rikard delar 21 med 4 och kommer fram till att de behöver 5 bilar. Hur kan Rikard ha resonerat? Skulle du ha tänkt på ett annat sätt?

116 Fotbollslaget har fått 10 000 kr att köpa utrustning för. Ge förslag på vad de kan köpa. Välj bland det som finns på bilden som hör till uppgift 106.

Man kan också säga Räkna på ett ungefär, Gör ett

överslag eller Räkna i runda tal.

3 ∙ 400 = 1 200, så 3 ∙ 450 måste

vara större.


179 kr120 kr

295 kr

625 kr

189 kr

498 kr

275 kr

185 kr

279 kr

105 kr

89 kr

G G

24 251 tal 1 tal

Begrepp och resonemangVem eller vilka har rätt?Kommentar: Som uppgiften är formulerad kan Anna eller Clara ha svarat rätt.

Rita gärna en tallinje mellan 0,9 och 1 och dela in den i hundradelsstreck. Vad bör dessa kallas? (91 hundradelar, 92 hundradelar, …)

Observera att om man lär eleverna att utläsa 0,10 som noll hela, 1 tiondel och noll hundradelar eller som noll hela och tio hundradelar, så uppstår inte det feltänk som alternativ B representerar (Noll komma tio kommer efter noll komma nio). Diskutera gärna varför alternativ B och D aldrig kan vara rätt.

Vilken ska bort?Exempel på resonemang:

A 7 ska bort därför att det är ett primtal medan 8 och 27 är sammansatta tal.

8 ska bort därför att det är ett jämnt tal.

27 ska bort därför att det är ett tvåsiffrigt tal, medan 7 och 9 är ensiffriga tal.

B 321 ska bort därför att det är ett udda tal.

9 042 ska bort därför att det är ett fyrsiffrigt tal.

508 ska bort därför att det inte är delbart med 3.

C 25 ska bort därför att det är udda.

16 ska bort därför att det talet inte innehåller faktorn 5.

30 ska bort därför att det talet kan delas upp i olika primtalsfaktorer (2 ∙ 3 ∙ 5) medan 16 (2 ∙ 2∙ 2 ∙ 2) och 25 (5 ∙ 5) består av lika faktorer.

Begreppskarta

Arbeta tillsammansKommentar:Spelet är lätt och går fort att genomföra. Sätt gärna en max-tid på t.ex. 10 minuter. De tre “fundera-satserna” kan det vara upp till eleverna själva att ägna tid åt. Elever brukar vara pigga på att själva göra regler och finna ut strategier.

Sant eller falsktFacit

1 sant

2 falskt (platsvärdet är en hundradel)

3 falskt (t.ex. 18 har siffer-summan 1 + 8 = 9)

4 sant

5 sant (t.ex. 2 + 11 = 13)

6 falskt (ett tal som är en produkt av två andra tal är ett sammansatt tal)

7 falskt (9 hela och 9 tion-delar är större än 9 hela och 1 tiondel)

8 falskt (produkten av 10 och 15 är 150. Summan av 10 och 15 är 25)

9 falskt (350/1 000 = 0,35 kr)

10 falskt (summan av 5 och 3 är 8. Produkten av 5 och 3 är 15)

Kommentar:Påståendena i Sant eller falskt handlar till synes om begrepp och metoder. Men om de används som en gemensam övning (elever parvis, i grupp eller hela klas-sen tillsammans) tränas resonemang och kommunika-tion. Bra frågor att ställa brukar vara:

a) Om svaret är “sant”: Hur visar du att påståendet är sant? Hur visar du att påståendet alltid gäller?

b) Om svaret är “falskt”: Hur visar du att påståendet är falskt? Hur kan det ändras så att det blir sant?

ProblemlösningLösningar och kommentarer

A En bra strategi är att börja med att rita en bild.

8 m = 800 cm

10 cm

8 m = 800 cm

Bredd 7 stolpar = 7 ∙ 10 cm = 70 cm

Avstånd mellan stolparna = 730 cm

_______ 6 ≈ 120 cm = 1,2 m

Liknande problem finns på sidan 266 i kapitlet Pro-blemlösning.

B Problemet kan lösas genom att arbeta baklänges.

___ 4 = 5 Ett tal dividerat med 4 är 5. Det talet måste

vara 20.

– 3 = 20 Ett tal subtraherat med 3 är 20. Talet

måste vara 23, som är ett primtal.

Eva tänker på talet 23.

Liknande problem finns på sidan 267 i kapitlet Pro-blemlösning.

Problemet går även att lösa med hjälp av en ekvation.

26 271 tal 1 tal

Vem eller vilka har rätt?Vilket tal kommer efter 0,9? Motivera ditt svar.

Anna

Det kan vara 1.

Benjamin

Jag tror att talet

efter 0,9 är 0,10.

Dilan

Jag tror att det är 0.

Clara

Nästa tal måste vara

0,91.

Vilken ska bort?De tre talen kan paras ihop två och två så att det tredje inte passar in. Vilket tal tycker du inte passar in? Motivera.

A 7 8 27

321 9 042 508

25 16 30

BC

BegreppskartaRita av och gör klart begreppskartan genom att fylla i begrepp i cirkeln och länkord i rektanglarna.

1 I talet 2 347 har siffran 4 platsvärdet tiotal.

2 I talet 564,19 har siffran 9 platsvärdet tiondel.

3 Alla tal som är delbara med 3 har en jämn siffersumma.

4 Talet 28 har primtalsfaktorerna 2 · 2 · 7.

5 Summan av två primtal kan vara ett primtal.

6 Produkten av två primtal kan vara ett primtal.

7 9,9 är mindre än 9,10.

8 Summan av 10 och 15 är 150.

9 Om 1 000 spikar kostar 350 kr är styckepriset 3,5 kr.

10 Produkten av 5 och 3 är 8.

Sant eller falskt?

Arbeta tillsammans

Arbeta i grupper på 2–4 personer. Alla i gruppen ritar av tabellen i sitt räknehäfte. Varje grupp har en tärning.

Turas om att kasta tärningen och skriv det tal som tärningen visar i någon av kolumnerna ental, tiondelar, hundradelar eller tusendelar. När tärningen gått fyra varv i gruppen har alla fått ett fyrsiffrigt tal. Den som fått det största talet vinner. Spela flera gånger.

Fundera på●● Vad ska man tänka på när man ska bestämma i vilken kolumn man ska skriva in talet man fått på tärningen?

●● Har det någon betydelse vem som börjar?

●● Kan det bli oavgjort? I så fall: Hur skulle man kunna göra en utslagsomgång?

Enta

l

Tiond

elar

Hun

drad

elar

Tuse

ndela

r

A Greta ska bygga ett staket. Det ska vara 8 meter långt. Hon gräver ner 7 stolpar. Avståndet är lika långt mellan stolparna. Stolparna är 10 cm breda. Ungefär hur långt är avståndet mellan stolparna?

B Eva tänker på ett primtal. Hon subtraherar talet med 3 och dividerar med 4. Hon får då talet 5. Vilket tal tänker hon på?

Problemlösning

Begrepp och resonemang

?kvot differens produkt?

?? ?av en addition kallas

Resultatet

Uppslaget Uppslaget

26 271 tal 1 tal

G G

kvot differens produktsumma

av en multiplikation

kallasav en division

kallasav en

subtraktion kallas

av en addition kallas

Resultatet

G GUppslaget

I tabellen här nedanför hittar du facit och förslag på var eleven kan träna mer. Arbetsbladen hittar du i materialet Matte Direkt 7 Arbetsblad, prov och aktiviteter. Där finns även en alternativ diagnos, som du som lärare kan använda om eleven behöver genomföra ytterligare en diagnos.

Begrepp och metod

Facit avsnitt sida k

urs

sida k

urs

arbe

ts

blad

1 T.ex. a) 6 798, 9 876 b) 6 789

Tiosystemet 10 30 1:2

2 a) 100-tal b) 5 708

3 a) 350 b) 49 c) 474

De fyra räkne sätten

11 31 1:9

4 a) 246, 720, 610b) 246, 720, 75c) 720, 610, 75

Delbarhet 12 32 1:10

5 29 och 31 Primtal och sammansatta tal

14 33 1:10 1:11

6 a) 18 = 2 · 3 · 3b) 30 = 2 · 3 · 5c) 42 = 2 · 3 · 7

Primtal och sammansatta tal

14 13 1:10 1:11

7 a) 400 b) 130 c) 499 d) 190

De fyra räknesätten

11 31 1:4 1:5 1:6

8a A-0,2; B-1,5; C-2,9 Tal i decimalform

16 34 1:12 1:13

8b A-2,01; B-2,07; C-2,115

9 a) t.ex. 5,83 b) t.ex. 0,113 c) t.ex. 0,6

Tal i decimalform

16 34 1:6

10 1,089 1,09 1,1 1,123 2,1

Tal i decimalform

16 34 1:6

11 a) 2,03 b) 7,5

Tal i decimalform

18 36 1:6

12 13,15 s Tal i decimalform

18 36 1:6

13 a) 32 b) 40,5 c) 3d) 7 860e) 5 750

Mult med 10, 100, 1 000

20 38 1:22

14 a) 8,5 b) 4,375 c) 0,25 d) 0,023e) 0,0105

Div med 10, 100, 1 000

21 38 1:23

15 a) 13 000 b) 13 500 c) 13 480

Avrunda heltal

22 39 1:24

16 a) 84 b) 83,9 c) 83,93

Avrunda decimaltal

23 39 1:24

Resonemang och kommunikation


urs

sida k

urs

arbe

ts

blad

17 Ja. Exempel på avrundning: 3 · 8,95 + 24 + + 2 · 17,90 ≈ 3 · 9 + + 24 + 2 · 20 = 91. Allt avrundat uppåt.

Överslag 24 40 1:25 1:26

18 Nej, Agnes kan ha fel. 2,234 är t.ex. mindre än 3,23.

Tiosystemet 10 30 1:2 1:3

Problemlösning


urs

sida k

urs

arbe

ts

blad

19 Efter 23:e dagenT.ex. Varje dygn (dag + natt) försvin-ner 1 liter. Efter 22 dygn återstår 3 liter. De försvinner under dag 23.

Utveckla gärna uppgiften genom att be eleverna att göra en liknande triangel som startar med fem tal. Ställ frågan hur starttalen ska väljas för att sluttalet ska bli jämnt res-pektive udda.

BedömningsuppgiftLösningar och kommentarer:

a) T.ex. 2 7 12 8

9 19 20

28 29

57

b) T.ex. 3 9 6 10

12 15 16

27 31

58

c) Se exempel a).

d) Det finns tre sätt som talen i översta raden kan väljas så att slutsumman blir jämn: Alla talen är jämna, två tal är jämna eller alla talen är udda. Summan av ett jämnt och ett udda tal blir alltid ett udda tal.

Exempel 1, alla talen i översta raden är jämna.

2 6 8 12

8 14 20

22 34

56

Exempel 2, två tal i översta raden är jämna.

3 4 10 13

7 14 23

21 37

58

Exempel 3, alla talen i översta raden är udda.

1 5 7 15

6 12 22

18 34

52

Kommentar: Gör gärna egna trianglar och visa att de olika kombina-tionerna av udda och jämna tal alltid ger en slutsumma som är jämn. Hur måste talen i översta raden vara för att slutsumman ska bli udda? (Ett tal är udda i översta raden).

I materialet Matte Direkt 7 Arbetsblad, prov och aktivi-teter finns en bedömningsmatris kopplad till denna upp-gift.

28 291 tal 1 tal

Begrepp och metod 1 Använd siffrorna 6, 7, 8 och 9 och skriv

a) ett jämnt tal b) det minsta udda tal som är möjligt

2 a) Vilket platsvärde har siffran 6 i talet 5 678? b) Vilket tal är 3 tiotal större än 5 678?

3 Beräkna

a) produkten av 5 och 70 b) differensen av 56 och 7 c) kvoten mellan 28 och 7

4 Vilka av talen i rutan är delbara med 246 720 871 610 75

a) 2 b) 3 c) 5

5 Vilka av talen mellan 25 och 35 är primtal?

6 Dela upp talen i primtalsfaktorer. Börja med att göra ett faktorträd.

a) 18 b) 30 c) 42

7 Beräkna

a) 80 · 5 b) 5 · 26 c) 432 + 67 d) 258 – 68

8 Vilka tal pekar pilarna på?

a)

A B C

0 2 31

b)

A B C

2 2,1

9 Skriv ett tal mellan

a) 5,8 och 5,9 b) 0,11 och 0,12 c) 0,9 och 0,10

10 Skriv talen i rutan i storleksordning. Börja med det minsta.

1,1 1,09 1,123 2,1 1,089

11 Skriv som ett decimaltal.

a) 2 hela och 3 hundradelar b) 75 tiondelar

12 I ett 100-meterslopp hade Anton tiden 12,85 s. Filips tid var tre tiondelar långsammare. På vilken tid sprang Filip?

Använd huvudräkning och beräkna

13 a) 10 · 3,2 b) 4,05 · 10 c) 0,03 · 100 d) 78,6 · 100 e) 1 000 · 5,75

14 a) 85

___ 10 b) 43,75

_____ 10 c) 25

____ 100 d) 2,3

____ 100 e) 10,5

_____ 1 000

15 Det var 13 475 åskådare på fotbollsmatchen. Avrunda antalet åskådare till

a) tusental b) hundratal c) tiotal

16 Avrunda talet 83,928 till ett närmevärde med

a) ental b) en decimal c) två decimaler

Resonemang och kommunikation 17 Agnes har 100 kr. Hon ska köpa 3 liter mjölk för 8,95 kr styck, en limpa

för 24 kr och 2 kg äpplen. Äpplena kostar 17,90 kr per kilo. Kommer pengarna att räcka? Motivera ditt svar med överslagsräkning.

18 Agnes säger: ”Ett tal som innehåller tusendelar är alltid större än ett tal som innehåller hundradelar.” Har Agnes rätt eller fel? Motivera ditt svar.

Problemlösning 19 En stor skål innehåller 25 liter vatten. Varje dag försvinner 3 liter vatten

och varje natt hälls 2 liter på. När är skålen tom?

Här intill har vi adderat talen som ligger bredvid varandra och skrivit summan mellan talen, till exempel 3 + 14 = 17. Om vi fortsätter på samma sätt får vi en slutsumma (73).

a) Välj fyra andra tal. Skriv upp dem på samma sätt och räkna ut slutsumman.

b) Välj fyra tal så att slutsumman blir jämn.

c) Välj fyra tal så att slutsumman blir udda.

d) Man kan välja de fyra starttalen på flera olika sätt för att slutsumman alltid ska bli jämn. Beskriv minst två.

Bedömningsuppgift

3 14 6 10

17 20 16

37 36

73

D D

Diagnos

28 291 tal 1 tal

D DDiagnos

B B

Kommentarer till uppgifter18 Det kan underlätta för eleven att arbeta med konkret

material som t.ex. plastbrickor, kapsyler eller liknan-de. Variera gärna uppgiften genom att låta eleven välja andra tal, t.ex. 9, 10, 11 (primtal!), 14 eller 15.

29 Jämför med uppgift 18. Variera med andra klasstor-lekar, t.ex. talen 19–25.

Extramaterial

Arbetsblad

1:10 Delbarhet och faktorträd ● ●

1:11 Faktorträd ● ●

Aktiviteter



Kommentarer till uppgifter4 Här kan man uppmana eleven att själv bestämma

regler och bilda tal av ett antal valda siffror. De kan t.ex. bilda det tal som är störst, minst, jämnt, udda, o.s.v.

9 Visa gärna additionen 12 + 3, subtraktionen 12 – 3,

multiplikationen 12 ∙ 3 och divisionen 12

__ 3 med hjälp

av talpilar som i exempelrutan på sidan 11, grön kurs.

12 Kommentera att man kan dela upp talet i termer på fler sätt än ett.

Extramaterial

Arbetsblad

1:2 Hela tal på tallinjen ● ●

1:3 Positionssystemet ● ●

1:4 Addition med heltal ● ●

1:5 Subtraktion med heltal ● ●



1:8 Division av heltal, kort division ● ●

1:8b Division av heltal, liggande stol ● ●

1:9 De fyra räknesätten med heltal, blandat ● ●

Aktiviteter

1:1 Göra tal av siffror ● ●

1:2 Upp till 9 och andra räknespel ● ●


Facit

1 a) ental b) hundratalc) tusental

2 a) 3 b) 4 c) 7

3 a) 1 b) 3 c) 0

4 a) 4 312 b) 1 243

5 a) 76 310 b) 99 721

6 a) 5 b) 5 000 c) 50

7 a) 800 b) 8 000 c) 80

8 a) 55 b) 750c) 90 d) 1 010

9 1 – D, 2 – A, 3 – B, 4 – C

10 a) 24 b) 36

11 a) 180 b) 5

12 a) T.ex. 11 och 7 (addi-tion), 30 och 12 (sub-traktion).

b) T.ex. 2 och 9 (multipli-kation)

13 T.ex. 16 och 2 (division)

14 a) T.ex. 5 ∙ 7 b) T.ex. 4 ∙ 6c) T.ex. 3 ∙ 9 d) T.ex. 7 ∙ 8e) T.ex. 8 ∙ 9

15 a) T.ex. 12

___ 4 b) T.ex. 8

__ 2

c) T.ex. 18

___ 3 d) T.ex. 40

___ 5

e) T.ex. 120

____ 10

16 6 och 2

17 14 och 4

Facit 18

19 a) Talen är jämna (slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8).

b) 12, 18, 6 788

20 a) Talen slutar på 0 eller 5.

b) 15, 60, 100, 255, 480

21 a) 21: 2 + 1 = 3 32: 3 + 2 = 5 39: 3 + 9 = 12 46: 4 + 6 = 10 51: 5 + 1 = 6 81: 8 + 1 = 9 1 002: 1 + 0 + 0 + 2 = 3

b) Talen har en siffer-summa som är delbar med 3.

c) 21, 39, 51, 81, 1 002

22 a) Talen slutar på 0b) T.ex. 20, 70, 390

23 a) 840, 524b) 840, 25, 75c) 33, 840, 4 521, 75d) 840

24 a)

52 ·

10 b)

33 ·

9

c)

32 ·

6 d)

72 ·

14

25 a)

35 ·

15 b)

73 ·

21

c)

55 ·

25 d)

113 ·

33

26 a)

22

2 4·

·

8

b)

22

3 4·

·

12

c)

32

3 6·

·

18

d)

52

3 10·

·

30

27 a) 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15

b) 2, 3, 5, 7, 11, 13

28 Alla jämna tal större än två är en multipel av 2 och ett annat tal, till exempel 14 = 2 ∙ 7 eller 124 = 2 ∙ 62. Alltså kan de inte vara primtal.

29 3 grupper med 6 elever i varje grupp, 6 grupper

med 3 elever i varje grupp, 9 grupper med 2 elever i varje grupp, 2 grupper med 9 elever i varje grupp, 18 grupper med en elev i varje grupp eller en grupp med alla 18 elever.

30 311 tal 1 tal

Primtal och sammansatta tal

Rita av och gör klart faktorträden

24 a)

2 ·

10 b)

3 ·

9 c)

2 ·

6 d)

7·

14

25 a)

5 ·

15 b)

3 ·

21 c)

5 ·

25 d)

3 ·

33

26 a)

2 4·

2 ·

8 b)

3 4·

·

12 c)

3 6·

·

18 d)

10·

·

30

27 Vilka av talen i rutan är 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15a) sammansatta tal

b) primtal

28 Alla primtal, utom talet 2, är udda tal. Varför är det så?

29 I Olivers klass finns 18 elever. Läraren delar in klassen i två grupper med 9 elever i varje grupp. På vilka olika sätt kan klassen delas upp om varje grupp ska innehålla lika många elever?

Talet 6 är ett exempel på ett sammansatt tal. Ett sammansatt tal kan man dela upp i faktorer. Det går att dela upp talet 6 i faktorerna 2 och 3.

6 = 2 ∙ 3

Talen 2 och 3 är exempel på primtal. Primtal kan man inte dela upp i fler faktorer än 1 och talet självt.

2 = 1 ∙ 2 och 3 = 1 ∙ 3

När man ska dela upp ett tal i faktorer kan det vara bra att göra ett faktorträd.

Talet 20 har primtalsfaktorerna 2, 2 och 5.

Delbarhet

18 Elin har bakat 12 bullar. Hon ska förpacka dem i påsar med lika många bullar i varje. Rita på vilka olika sätt de kan delas.

Ta hjälp av delbarhetsreglerna i rutan.

19 a) Vad är gemensamt för alla tal som är delbara med 2?

b) Vilka av talen i rutan är delbara med 2?

7 12 18 25 111 6 788


b) Vilka av talen är delbara med 5?

15 60 72 100 255 91 480

21 a) Beräkna siffersumman till talen i rutan.

b) Vad är gemensamt för alla tal som är delbara med 3? 21 32 39 46 51 81 1 002

c) Vilka av talen är delbara med 3?


b) Skriv tre tal som är delbara med 10.

23 Vilka av talen i rutan är delbara med 33 840 25

4 521 75 524a) 2 b) 5 c) 3 d) 10

ExempelHur många kan dela lika på 6 kulor?

En person kan få 6 kulor. Två personer kan få 3 kulor var.

1 ∙ 6 = 6 2 ∙ 3 = 6

3 personer kan få 2 kulor var. 6 personer kan få 1 kula var.

3 ∙ 2 = 6 6 ∙ 1 = 6



3 är tal vars siffersumma är delbar med 3


10 är tal som slutar på 0Vi har ringat in primtalen.

2 10·

2 5·

20

2

3


Siffersumman av talet 231 är 2 + 3 + 1 = 6B B

32 331 tal 1 tal

Tiosystemet

1 Vilket platsvärde har siffran 5 i talen

a) 175 b) 598 c) 15 000

2 Vilken siffra är tiotalssiffra i följande tal?

a) 435 b) 5 642 c) 12 075

3 Vilken siffra är tusentalssiffra i följande tal?

a) 1 234 b) 123 567 c) 90 124

4 Använd siffrorna 1, 2, 3 och 4 och skriv

a) ett så stort jämnt tal som möjligt

b) ett så litet udda tal som möjligt

5 Bilda ett så stort femsiffrigt tal som möjligt genom att använda varje siffra minst en gång

a) 6 0 3 1 7

b) 1 9 7 2

Vilka tal ska stå i rutan? Titta på siffrornas platsvärden.

6 a) 345 – = 340 b) 5 678 – = 678 c) 2 354 – = 2 304

7 a) 5 891 – = 5 091 b) 8 576 – = 576 c) 9 389 – = 9 309

8 Vilket tal är

a) 2 tiotal större än 35 b) 3 hundratal större än 450

c) 4 tiotal mindre än 130 d) 5 hundratal mindre än 1510

Talet 63 045 läser du som sextiotretusen fyrtiofem.

ExempelVilket platsvärde har siffran

a) 3 b) 0

Svar:a) Siffran 3 har platsvärdet tusental. Talet innehåller 3 tusental.

b) Siffran 0 har platsvärdet hundratal. Talet innehåller 0 hundratal.

6 3 0 4 5hundrat

al

tiotal

entaltuse

ntal

tiotuse

ntal

De fyra räknesätten

9 Para ihop de som betyder samma sak.

1 Summan av 12 och 3 A 12 – 3

2 Differensen av 12 och 3 B 12 ∙ 3

3 Produkten av 12 och 3 C 12

___ 3

4 Kvoten av 12 och 3 D 12 + 3

Beräkna

10 a) differensen av 30 och 6 b) summan av 30 och 6

11 a) produkten av 30 och 6 b) kvoten av 30 och 6

12 a) Dela upp 18 i två termer. b) Dela upp 18 i två faktorer.

13 Ge ett förslag på täljare och nämnare om kvoten är 8.

14 Skriv en multiplikation av två heltal, där produkten är

a) 35 b) 24 c) 27 d) 56 e) 72

15 Skriv en division av två heltal, där kvoten är

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12

16 Differensen av två tal är 4 och produkten av dem är 12. Vilka är talen?

17 Summan av två tal är 18 och differensen mellan dem är 10. Vilka är talen?

Lär dig orden som hör ihop med de olika räknesätten.

Addition Subtraktion12 + 3 = 15 12 – 3 = 9

Multiplikation Division12 ∙ 3 = 36

12

___ 3 = 4

term summa

kvot

täljare

nämnarefaktor produkt

term differens Ibland används ordet skillnad i stället

för differens.



Jämna tal slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8. Udda tal slutar på 1, 3, 5, 7 eller 9.

B B

Blå kurs

30 311 tal 1 tal

B B

Kommentarer till uppgifter43 Diskutera nollans betydelse beroende på var den

står i talet. Jämför t.ex. 0,7–0,70–0,07 eller 1,080–1,800–1,08–10,80–10,8.

50 En del elever har svårt att förstå att till exempel talet 0,8 är större än 0,46, eftersom 46 är större än 8. Betona därför platsvärdets betydelse.

49 Fråga eleverna hur många hundradelar snabbare Asafa Powells är, jämfört med Nesta Carter.

Extramaterial

Arbetsblad


1:16 Addition med decimaltal ● ●

1:17 Subtraktion med decimaltal ● ●

1:18 Multiplikation med decimaltal 1 ● ●

1:19 Multiplikation med decimaltal 2 ● ●

1:20 Division 1 med decimaltal, kort division ● ●

1:20b Division 1 med decimaltal, liggande stolen ● ●

1:21 Division 2 med decimaltal, kort division ● ●

1:21b Division 2 med decimaltal, liggande stolen ● ●


Kommentarer till uppgifter32 Tal som 7 tiondelar eller 2 tiondelar kan ses som tal

givna i bråkform. Poängtera att 7

___ 10 = 0,7 och 2

___ 10 = 0,2

är olika skrivsätt för samma tal. Förklara gärna med hjälp av begreppet platsvärde.

36 Om eleven har svårt att förklara varför svaret är fel kan man tipsa eleven om att skriva uppgiften som 0,95 + 0,50. En följdfråga skulle kunna vara: Vilket tal ska adderas till 0,95 för att svaret ska bli 1?

40 Jämför med uppgift 36.

Extramaterial

Arbetsblad

1:12 Tiondelar på tallinjen ● ●

1:13 Hundradelar på tallinjen ● ●

1:14 Decimaltal på tallinjen ● ●

Aktiviteter

1:5 Decimaltal ●

Facit 30 a) A = 0,2 B = 0,5

C = 1,1b) A = 1,4 B = 1,8

C = 2,3

31 a) 0,6 0,8 1,0b) 1,7 1,9 2,1c) 0,9 1,2 1,5

32 a) 9 b) 11 c) 13 d) 25

33 a) 0,9 b) 1,0 eller 1c) 1,1 d) 1,4

34 a) 0,8 b) 0,3 c) 0,6 d) 1,6

35 a) 2,1 b) 1,8 c) 1,9 d) 0,9

36 0,95 + 0,5 = 1,45. T.ex. Agnes har inte förstått att femman i 0,5 har samma platsvärde som nian i 0,95.

37 a) A = 0,01 B = 0,05 C = 0,12

b) A = 0,93 B = 0,99 C = 1,04

38 a) 0,09 0,10 0,11b) 0,98 1,00 1,02c) 0,99 0,97 0,95

39 a) 99 b) 100 c) 92

40 a) 0,98 b) 0,99 c) 1,00 d) 1,02

41 a) 0,12 b) 0,09c) 0,09 d) 0,99

42 B A D C

0 0,5 1

Facit 43 a) 5,304 b) 0,835

c) 4,06

44 a) 0,9 b) 0,009 c) 0,09

45 a) 0,15 b) 1,5 c) 0,015

46 a) 0,5 b) 0,9 c) 1,1

47 a) 0,006 b) 0,065 c) 0,652

48 a) 3,5 b) 9,27 c) 9,027

49 a) 9,78 s b) 9,72 s

50 a) 0,09 0,15 0,46 0,8b) 0,98 1,023 1,0

1,2 1,32c) 0,05 0,16 0,5 0,75d) 0,398 0,54 0,8

1,275 1,3

51 a) T.ex. 1,04 b) T.ex. 1,97

52 a) ental b) hundradel

c) tiondel d) tusendel

53 a) tiondel b) tiondelc) tusendel d) hundradel

54 Nej, i talet 3,8 har siffran 8 platsvärdet tiondel. I de andra talen har siff-ran 8 platsvärdet hund-radel.

55 a) 0,1 b) 0,02 c) 0,11

56 a) 2,1 b) 1,02 c) 0,405

57 A = 2,134 B = 20,122 C = 200,21 D = 500,249

58 a) 8,3 b) 3,6 c) 9,2 d) 5,3

32 331 tal 1 tal


a) 0,8 0,15 0,46 0,09

b) 1,023 1,03 1,2 1,32 0,98

c) 0,75 0,16 0,5 0,05 d) 1,275 1,3 0,8 0,398 0,54

51 Skriv ett tal som är

a) större än 1 men mindre än 1,1 b) större än 1,9 men mindre än 2


a) 5,4 b) 3,25 c) 0,598 d) 3,245

53 Vilket platsvärde har siffran

a) 6 i talet 3,65 b) 0 i talet 6,08

c) 9 i talet 0,809 d) 7 i talet 2,67

54 Ahmed säger att siffran 8 har samma platsvärde i uttrycken

7,98 0,08 3,8 4,358

Har han rätt? Förklara.

Vilka tal ska stå i stället för rutorna? Använd en räknare om du vill.

55 a) 3,12 – = 3,02 b) 3,12 – = 3,1 c) 3,12 – = 3,01

56 a) 3,465 – = 1,365 b) 1,254 – = 0,234 c) 3,465 – = 3,06

57 Knappa in talet 333,333 på en räknare. Lägg till eller minska med ett tal så att räknaren visar nästa tal. Skriv vilka tal som ska stå i stället för A, B, C och D.

+ + + –A B C D

58 Kan du räkna med uppställning? Titta i verktygslådan på s. 300 om du behöver hjälp.

a) 4,5 + 3,8 b) 5,2 – 1,6 c) 2,3 ∙ 4 d) 21,2

____ 4

43 Skriv som decimaltal.

a) 5 ental 3 tiondelar 0 hundradelar 4 tusendelar

b) 0 ental 8 tiondelar 3 hundradelar 5 tusendelar

c) 4 ental och 6 hundradelar


a) 9 tiondelar b) 9 tusendelar

c) 9 hundradelar


a) 15 hundradelar b) 15 tiondelar

c) 15 tusendelar

Skriv som decimaltal.

46 a) 5 tiondelar b) 9 tiondelar c) 11 tiondelar

47 a) 6 tusendelar b) 65 tusendelar c) 652 tusendelar

48 a) 3 hela och 5 tiondelar b) 9 hela och 27 hundradelar

c) 9 hela och 27 tusendelar

49 År 2009 satte Usain Bolt från Jamaica världsrekord på 100 m med tiden 9,58 s.

a) Nesta Carter har sprungit på en tid som är 2 tiondelar långsammare. Vilken tid är det?

b) Asafa Powell har sprungit på en tid som är 14 hundradelar långsammare. Vilken tid är det?

Decimaltal

Talet 3,025 består av

3 ental 0 tiondelar 2 hundradelar 5 tusendelar

3,025 är ett decimaltal.

Decimaltecknet skiljer heltalen från decimalerna.

3 , 0 2 5tio

ndel

hundradel

tusendel

ental

decimalerdecimaltecken

0,9 0,009 9,00 0,09

0,15 0,015 1,15 1,5

I talet 4,281 har siffran 8 platsvärdet hundradel.


B B

36 371 tal 1 tal


a)

A B C

0 0,1

b)

A B C

0,9 1,0

38 Vilka tal ska stå i rutorna? Du kan ta hjälp av tallinjerna.

a) 0,06 0,07 0,08 0,12

b) 0,92 0,94 0,96 1,04

c) 1,05 1,03 1,01 0,93

39 Vad ska stå i rutan?

a) 96 hundradelar + 3 hundradelar = hundradelar

b) 96 hundradelar + 4 hundradelar = hundradelar

c) 1 hel – 8 hundradelar = hundradelar

Beräkna. Du kan ta hjälp av tallinjerna i uppgift 37.

40 a) 0,95 + 0,03 b) 0,95 + 0,04 c) 0,95 + 0,05 d) 0,95 + 0,07

41 a) 0,13 – 0,01 b) 0,13 – 0,04 c) 0,1 – 0,01 d) 1 – 0,01

42 Rita en tallinje mellan 0 och 1 och markera talen med pilar.

A 0,5 B 0,2 C 0,9 D 0,65

Tal i decimalform


a)

A B C

0 1

b)

A B C

1 2

Vilka tal ska stå i rutorna? Du kan ta hjälp av tallinjerna i uppgift 31.

31 a) 0 0,2 0,4 1,2

b) 1,1 1,3 1,5 2,3

c) 0 0,3 0,6 1,8


a) 7 tiondelar + 2 tiondelar = tiondelar b) 7 tiondelar + 4 tiondelar = tiondelar

c) 1 hel + 3 tiondelar = tiondelar d) 2 hela + 5 tiondelar = tiondelar

Beräkna. Du kan ta hjälp av tallinjerna i uppgift 30.

33 a) 0,6 + 0,3 b) 0,6 + 0,4 c) 0,6 + 0,5 d) 0,6 + 0,8

34 a) 1 – 0,2 b) 1 – 0,7 c) 1 – 0,4 d) 2 – 0,4

35 a) 1,8 + 0,3 b) 2,1 – 0,3 c) 2,5 – 0,6 d) 1,4 – 0,5

36 Agnes säger att 0,95 + 0,5 = 1. Förklara för Agnes varför det är fel.

ExempelTallinjen mellan 0 och 1 är delad i 10 lika delar. Varje del är en tiondel.


Svar:A 0,1 B 0,3 C 0,7

0 0,5 1

A B C

ExempelTallinjen mellan 0 och 0,1 är delad i 10 lika delar. Varje del är en hundradel.


Svar:A 0,02 B 0,06 C 0,08

0 0,05 0,1

A B C

En tiondel

skrivs 1 ___ 10 i

bråkform och 0,1 i decimalform.

En hundradel

skrivs 1 ____ 100 i

bråkform och 0,01 i decimalform.


ArbetsblAd 1:12

B B

34 351 tal 1 tal

B B

Kommentarer till uppgifter78 Uppgiften tränar på rimliga överslag. Det är viktigt

att man håller reda på storleksordningen. Ett myck-et vanligt fel är att man placerar decimaltecknet fel, dvs. siffrorna blir kanske rätt men platsvärdet fel.

Extramaterial

Arbetsblad

1:25 Överslagsräkning ● ●

1:26 Vilket närmevärde är bäst? ● ●


ProblemlösningA Rita en bild. Vi antar för enkelhetens skull att busken

själv inte har någon bredd.

5 buskar innebär 4 lika långa avstånd mellan dem.

12

___ 4 = 3 meter.

Jämför med Problemlösning, sidan 266.

B Arbeta baklänges. Dividera 18 med 3. Svaret, 6, subtraheras med 4. Svaret, 2, är det tal som Adam tänkte på.

Jämför med Problemlösning, sidan 267.

Resonemang och kommunikationClara tycker att det räcker att ange åskådarantalet i hundratal. Dilan vill vara noggrannare och anger därför antalet i tiotal. En tredje pratbubbla kan ha texten: ”Det var ungefär 13 000 åskådare på matchen”.

Begrepp

Kommentarer till uppgifter59, 61, 64, 65

Kontrollera att eleverna ser att siffrorna ändrar platsvärde när ett tal multipliceras eller divideras med 10 eller 100.

72 c) Poängtera gärna att 2,675 avrundas till 2,68 trots att 2,67 ligger lika nära 2,675 på tallinjen. Man avrundar ”uppåt”.

Extramaterial

Arbetsblad

1:22 Multiplikation med 10 och 100 ● ●

1:23 Division med 10 och 100 ● ●

1:24 Avrundning ●


Facit 59 a) 20 b) 25 c) 25,3

60 a) 5 b) 5,5 c) 0,5

61 a) 400 b) 420 c) 425

62 a) 80 b) 89 c) 5 d) 109

63 90 meter

64 a) 4 b) 4,5 c) 4,59d) 45,9 e) 40,9

65 a) 7,9 b) 0,705c) 1,25 d) 0,06

66 18,90 kr/kg

67 a) 0,89 b) 0,9 (0,90)c) 0,09 d) 2,49

68 0,85 m

69 a) 70 000 b) 67 000c) 67 300

70 a) 2 000 b) 2 500c) 2 490

71 Peter tror kanske att om man ska avrunda till hundratal så ska man bara skriva ut hundrata-let.

72 a) 1,14 b) 1,49c) 2,68 d) 3,67

73 a) 0,88 b) 1,03c) 7,00 d) 0,06

74 a) Svaret är 37. Om man ska avrunda till heltal blir avrundningssiff-ran 4 och då avrundar man nedåt.

b) Om varje pris först avrundas kan slut-summan bli felaktig.

Facit

75 a) 90 kr b) 180 krc) Ja, summan blir unge-

fär 150 kr och då är alla priserna avrunda-de uppåt.

76 a) 1 400 kr b) 2 000 krc) Nej, summan blir

ungefär 1 100 kr.d) Ja, summan blir

1 500 kr och då är pri-set avrundat uppåt.

77 4 lådor

78 a) 9,20 b) 920 c) 63,0 d) 6,30

79 C är orimlig, 18 + 39 ≈ 20 + 40 = 60

80 B är orimlig, 29 ∙ 402 ≈ ≈ 30 ∙ 400 = 12 000

primtaljämna udda

som är delbara med två kallas

som inte är delbara med två

kallas

som endast är delbara med ett och sig självt är

Heltal

● ●

34 351 tal 1 tal

Överslagsräkning

75 a) Ungefär hur mycket kostar en hårborste och ett nagellack?

b) Ungefär hur mycket kostar 3 läppglans?

c) Du har 150 kr. Kan du köpa ett nagellack, en hårborste och en läppglans?

76 a) Ungefär hur mycket kostar 2 hjälmar?

b) Ungefär hur mycket kostar 5 klubbor?

c) Du har 1 000 kr. Kan du köpa en klubba och en hjälm?

d) Klubben ska köpa puckar för 1 500 kr. Kan de köpa 50 puckar?

77 Calle ska köpa glassar till klassen. De är 29 elever i klassen. Glassarna ligger i lådor med 8 glassar i varje låda. Hur många lådor måste han köpa?

78 Beräkningarna är inte rätt utförda. Skriv av uträkningarna och sätt ut decimaltecken på rätt ställe eller lägg till en eller flera nollor.

a) 4 · 2,3 = 920 b) 4 · 230 = 92 c) 189

___ 3 = 630 d)

18,9

____ 3 = 630

I en av uppgifterna är överslagsräkningen orimlig. I vilken?

79 A 98 + 18 ≈ 120 B 257 + 741 ≈ 1 000 C 18 + 39 ≈ 600

80 A 3 ∙ 69 ≈ 200 B 29 ∙ 402 ≈ 1 200 C 1,8 ∙ 3,2 ≈ 6

Exempel 1Du har 100 kr. Kan du köpa ett nagellack och en läppglans?

58 kr + 39 kr ≈ 60 kr + 40 kr = 100 kr

Svar: Ja, 100 kr räcker, eftersom priserna avrundades uppåt.

Exempel 2Ungefär hur mycket kostar 5 nagellack?

5 ∙ 39 kr ≈ 5 ∙ 40 kr = 200 kr

Svar: 5 nagellack kostar ungefär 200 kr.

A Greta ska plantera 5 buskar. Det ska vara 12 meter mellan första och sista busken. Hur långt blir avståndet mellan varje buske?

B Adam tänker på ett tal. Han adderar talet med 4 och multiplicerar sedan med 3. Han får då talet 18. Vilket tal tänkte han på?

Problemlösning

Både Clara och Dilan har resonerat rätt. Förklara hur de kan ha tänkt. Gör en egen pratbubbla och skriv ett tredje sätt att beskriva publikantalet.

Resonemang och kommunikation

Det är 12 500 personer

på arenan.

Clara

Jag tycker det är 12 550 personer.

Dilan

Rita av och gör klart begreppskartan genom att fylla de begrepp som saknas.

Begrepp

?? ?

som är delbara med två kallas

som inte är delbara med två

kallas

som endast är delbara med ett och sig självt är

Heltal

47 kr

58 kr

39 kr

När du inte behöver räkna

exakt kan du göra en överslagsräkning.

Avrunda talen så att du kan räkna ut med

huvudräkning.

398 kr697 kr

28 kr


Uppslaget

411 tal

BB

40 1 tal

Multiplikation och division med 10 och 100

Beräkna

59 a) 10 · 2 b) 10 · 2,5 c) 10 · 2,53

60 a) 10 · 0,5 b) 10 · 0,55 c) 10 · 0,05

61 a) 100 · 4 b) 100 · 4,2 c) 100 · 4,25

62 Skriv det tal som är hundra gånger större än

a) 0,8 b) 0,89 c) 0,05 d) 1,09

63 Petter har en steglängd på 0,9 meter. Han springer 100 steg. Hur långt har han sprungit?

Beräkna

64 a) 40

___ 10 b) 45

___ 10 c) 45,9

____ 10 d) 459

____ 10 e) 409

____ 10

65 a) 790

____ 100 b) 70,5

____ 100 c) 125

____ 100 d) 6 _____ 100

66 Oliver köper en säck med 10 kg fågelfrö för 189 kr. Vilket är kilopriset?

67 Skriv det tal som är hundra gånger mindre än

a) 89 b) 90 c) 9 d) 249

68 Sandra orienterar. Hon springer 100 steg på 85 m. Hur lång steglängd har Sandra?

10 · 7,5 = 75

100 · 7,5 = 750

7, 5

7 5

hundratal

tiotal

entaltio

ndelar

hundradelar

75

___ 10 = 7,5

75

____ 100 = 0,75

Avrundning

69 Avrunda 67 325 till

a) tiotusental b) tusental c) hundratal

70 Avrunda 2 485 till

a) tusental b) hundratal c) tiotal

71 Peter ska avrunda talet 5 348 till hundratal och svarar 300. Vad har han gjort för fel?

Avrunda till två decimaler.

72 a) 1,142 b) 1,489 c) 2,675 d) 3,666

73 a) 0,875897 b) 1,0286345 c) 7,00327 d) 0,0553

74 Petra ska avrunda 37,46 till ental och skriver

37,46 ≈ 37,5 ≈ 38

a) Förklara varför Petra har gjort fel.

b) När man handlar och ska betala är det slutsumman som avrundas. Varför avrundar man inte varje pris för sig?

Exempela) Avrunda till tiotusental.

48 250 ≈ 50 000 40 000 50 000

48 250

b) Avrunda till tusental. 48 250 ≈ 48 000 48 000 49 000

48 250

c) Avrunda till hundratal. 48 250 ≈ 48 300 48 200 48 300

48 250

ExempelAvrunda till två decimaler.

a) 1,23|4 ≈ 1,23 b) 3,56|890 ≈ 3,57

c) 4,82|511 ≈ 4,83

48 250 ligger närmare 50 000 än 40 000.

48 250 ligger närmare 48 000 än 49 000.

48 250 ligger lika långt från 48 200 och 48 300. Avrunda uppåt.

AvrundningsreglerOm siffran efter avrund-ningssiffran är●●0, 1, 2, 3 eller 4 avrundas talet nedåt, man behåller avrundningssiffran. ●●5, 6, 7, 8 eller 9 avrundas talet uppåt.

7 5

7, 5

hundratal

tiotal

entaltio

ndelar

hundradelar

Ser du hur platsvärdet för

varje siffra ändras när man multiplicerar med 10 och 100?

Ser du hur platsvärdet för

varje siffra ändras när man dividerar med

10 och 100?

Du kan dra streck

efter den sista siffran du vill ha med. Siffran till höger om strecket avgör sedan

hur du ska avrunda.

ArbetsblAd 1:24

Avrundningssiffra


B B

38 391 tal 1 tal

RR

Kommentarer till uppgifter12 Lyft frågeställningar som exempelvis: Varför behö-

ver man inte pröva division med 4, 6, 8 eller 9? Vad har alla överstrukna tal gemensamt?

14 Goldbachs hypotes har ännu ingen lyckats bevisa och den hör till ett av de mest kända olösta matema-tiska problemen.

Extramaterial

Arbetsblad

1:28 Faktorisering ●

Aktiviteter


Kinesernas system att räkna med stavar finns dokumen-terat från åtminstone 100-talet f.Kr., men det är fullt möj-ligt att det är äldre. Deras system påminner om vårt sys-tem med basen 10.

Mayaindianerna använde ett s.k. vigesimalt system, med basen 20 i stället för 10 som i vårt decimalsystem. De skrev nedifrån och upp, alltså från lägre till högre platsvärde.

Kommentarer till uppgifter4 Fråga om likheter och skillnader mellan det kinesis-

ka skrivsättet och vårt talsystem.

10 Uppgiften kan användas som underlag till en vidare diskussion om hur ett talsystem kan vara uppbyggt, beroende på vad det ska användas till. Ska det beskriva tal eller ska det användas för att utföra skriftliga beräkningar med?

Extramaterial

Arbetsblad

1:27 Mer om olika talsystem ●

Facit och lösningar

1 a) 7 308 b) 274

2 a) 165 b) 632 c) 774

3 a) 198 617 b) 270 063

4 T.ex.

a)

b)

c)

d)

5 T.ex.

a)

b)

c)

d)

6 a) 7 b) 12c) 40 (2 ∙ 20 + 0 ∙ 1)d) 240 (12 ∙ 20 + 0 ∙ 1)

7 a) 3 b) 6 c) 11d) 18 e) 21 (1 ∙ 20 + 1)

8 a) 41 (2 ∙ 20 + 1 ∙ 1)b) 86 (4 ∙ 20 + 6 ∙ 1)c) 180 (9 ∙ 20 + 0 ∙ 1)d) 143 e) 127

9 a) b)

c) d)

e)

10 a) Fördelar: Man kan t.ex. skriva siffersym-bolerna i vilken ord-ning man vill. Nackde-lar: Det är t.ex. mycket svårt att räkna med.

b) Fördelar: Det är t.ex. lätt att hugga symbo-lerna i sten. Nackde-lar: Det är t.ex. svårt att räkna med dem.

c) Fördelar: T.ex att man bara använder en sym-bol för att sätta sam-man tecknen för siff-rorna och att det är lätt att använda på ett

räknebräde. Nackdelar: Det kan t.ex. vara svårt att skilja tecknen åt.

d) Fördelar: T.ex. att man bara använder bara tre symboler för att beteckna alla tal. Nackdelar: Det är t.ex. svårt att räkna med symbolerna.

11 T.ex. det kinesiska tal-systemet eftersom det är uppbyggt på samma sätt som vårt, dvs. med tio som bas och är därför lättast att använda.

18 a) 12 är delbart med 2, 3, 4 och 6.

32

2 6·

·

12

b) 44 är delbart med 2, 4, 11 och 22.

112

2 22·

·

44

c) 84 är delbart med 2, 3, 4, 6,7, 12, 14, 21, 28 och 42.

21

84

3 7·2 2·

4 ·

d) 75 är delbart med 3, 5, 15 och 25.

53

5 15·

·

75

e) 280 är delbart med 2, 4, 5, 7,8, 10, 14, 20, 28, 40, 56, 70 och 140.

20

4

280

5 ·

2 2·

2 7·

14 ·

f) 621 är delbart med 3, 9, 23, 27, 69 och 207.

69

621

3 23·3 3·

9 ·

19 a) 2 och 4b) 7 c) 3d) 2, 4, 8 och 16. (Även

talet 1 är en faktor i alla tal)

20 a) 6 b) 8 c) 24 d) 60

21 a) Ej perfekt. (Delbart med 1, 2, 4, 5 och 10.

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22)b) Perfekt. (Delbart med

1, 2, 4, 7 och 14. 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28)c) Ej perfekt. (Delbart

med 1, 3, 5, 9 och 15. 1 + 3 + 5 + 9 + 15 = 33)d) Perfekt. (Delbart med

1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 och 248.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + + 31 + 62 + 124 + + 248 = 496)

22 a) 34 b) 210


12 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

13 3 och 5 5 och 7 11 och 13 17 och 19 29 och 31 41 och 43 59 och 61 71 och 73

14 a) 3 + 11 b) 5 + 23c) 3 + 37 d) 7 + 73

15 a) 3 + 3 + 5 b) 3 + 5 + 11c) 3 + 5 + 47d) 7 + 47 + 47

16 T.ex. är jämna tal alltid delbara med 2 och är därför inte primtal (för-utom talet 2).

17 a) A = 23, B = 11, C = 2b) D = 19, E = 17, F = 5

36 371 tal 1 tal

Mer om primtal och sammansatta tal

12 Hitta alla primtal som är mindre än 100. Börja med att skriva alla heltal mellan 2 och 100. Stryk sedan i tur och ordning alla tal som är delbara med 2, 3, 5 och så vidare. Ringa slutligen in de tal som är primtal. Ta hjälp av delbarhetsreglerna och multiplikationstabellerna.

13 Två primtal som har ett enda heltal mellan sig kallas för primtalstvillingar. Vilka primtalstvillingar hittar du bland talen upp till 100?

14 Den tyske matematikern Christian Goldbach påstod år 1742 att alla jämna tal större än 2 kan skrivas som en summa av två primtal. Till exempel är talet 12 summan av 5 och 7, talet 24 är summan av 17 och 7. Visa att påståendet gäller även för talen

a) 14 b) 28 c) 40 d) 80

15 Det påstås att alla udda tal större än 5 kan skrivas som summan av tre primtal. Pröva om följande tal kan skrivas som summan av tre primtal.

a) 11 b) 19 c) 55 d) 101

16 Varför är alla primtal förutom talet 2 ett udda tal?

17 Bestäm de tre olika primtalen som har följande egenskaper:

a) 1 A är störst och C är minst b) 1 D + E + F = 41

2 A + B + C = 36 2 D ∙ F = 95

3 A – B – C = 10 3 D – E = 2

Det går att definiera ett primtal på flera sätt:

Ett primtal är ett heltal större än noll som

●● är större än 1 och endast delbart med 1 och sig självt, 7

__ 1 = 7 och 7

__ 7 = 1

●● endast kan faktoriseras i talen 1 och talet självt. 7 ∙ 1 = 7

Alla tal som inte är primtal är sammansatta tal. 6 = 2 ∙ 3 och 15 = 3 ∙ 5 De talen kan faktoriseras i andra tal än 1 och sig självt.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Faktorisering

18 Undersök vilka tal som följande tal är delbara med. Börja med att rita ett faktorträd.

a) 12 b) 44 c) 84 d) 75 e) 280 f) 621

19 Rita faktorträd och undersök vilken eller vilka faktorer som finns både i

a) 12 och 28 b) 35 och 28 c) 15 och 39 d) 32 och 48

20 Vilket är det minsta talet som innehåller de två faktorerna

a) 2 och 3 b) 2 och 8 c) 6 och 8 d) 15 och 4

21 Ett perfekt tal är ett tal som är summan av alla sina faktorer förutom talet självt. Talet 6 är ett perfekt tal. Faktorerna är 1, 2, 3 och 6. Summan av faktorerna (utom talet 6) är 1 + 2 + 3 = 6. Undersök om följande tal är perfekta:

a) 20 b) 28 c) 45 d) 496

22 Vilket är talet?

a) ●●Talet är jämnt.●●Talet är tvåsiffrigt.●●Siffersumman är 7.●●Talet är en produkt av två olika primtal.

b) ●●Talet är jämnt och delbart med 3 och 5.●●Alla siffror i talet är olika.●●Hundratalssiffran är större än tiotalssiffran.●●Talet är mindre än 400 och endast en siffra är udda.

För att ta reda på vilka tal som ett sammansatt tal är delbart med, kan man utgå från talets primtalsfaktorer.

Exempela) Dela upp talet 30 i primtalsfaktorer.

2 15·

3 5·

30

Svar: Talet 30 har primtalsfaktorerna 2, 3 och 5.

b) Vilka tal är 30 delbart med?

30 har primtalsfaktorerna 2, 3 och 5.

30 är delbart med talen 2, 3 och 5 (eftersom 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5)

och 6, 10 och 15 (eftersom 6 = 2 ∙ 3, 10 = 2 ∙ 5 och 15 = 3 ∙ 5)

Talet 30 är också delbart med 1 och 30.

Svar: Talet 30 är delbart med 1, 2, 3, 6, 9, 15 och 30.

Fram till år 2013 har man hittat 48 perfekta tal. Det största innehåller mer än 34 miljoner siffror.

Till exempel är talen 11 och 13

primtalstvillingar.

ArbetsblAd 1:28

R R

44 451 tal 1 tal

Mer om olika talsystem

1 Hur skriver vi talet? Välj i rutan.

a) b)

Skriv med vårt sätt att skriva tal med siffror.

2 a) b) c)

3 a) b)

Skriv med det kinesiska talsystemet.

4 a) 12 b) 423 c) 632 d) 509

5 a) 1 456 b) 12 678 c) 7 043 d) 450 689

Kinesiskt talsystem

För ca 3 000 år sedan i Kina använde man bambustavar för att symbolisera tal.

Bambustavarna lades på en bricka som var indelad i rutor. Precis som vårt talsystem så visade rutorna olika positioner i ett tiosystem. Stavarna lades så att siffrorna bestod av lodräta bambustavar i varannan position och vågräta bambustavar i varannan position. Om rutan var tom betydde det 0.

Talen 1–9 lades så här:

eller

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Exempel Lägg talen med bambustavar.

a) 583 b) 6 704

Svar: a) b)

6 Hur skriver vi talet? Välj i rutan.

a) b) c) d)

Skriv med vårt talsystem.

7 a) b) c) d) e)

8 a) b) c) d) e)

9 Skriv med Mayafolkets talsystem.

a) 24 b) 67 c) 141 d) 144 e) 203

10 Jämför med tiosystemet och beskriv för- och nackdelar med

a) det egyptiska talsystemet b) det romerska talsystemet

c) det kinesiska d) Mayafolkets talsystem.

11 Vilket av de historiska talsystemen tycker du verkar enklast att använda? Förklara.

Mayafolkets talsystem

För cirka 2 000 år sedan skrev mayafolket tal med ett positionssystem. De använde talet 20 som bas i stället för 10 som vi använder i vårt talsystem. Symbolen för noll var en snäcka.

Tecknen för 1–19.

Från talet 20 använde man olika positioner som i vårt tiosystem. Men man skrev symbolerna nerifrån och upp.

1 · 20 = 20 1 · 20 = 200 · 1 = 0 2 · 1 = 2

20 22

2 · 20 = 40 6 · 20 = 1202 · 5 = 10 3 · 1 = 3

50 123

2 7 12 120 240 40

274 472 234 8 037 3 304 7 308

ArbetsblAd 1:27

R R

Röd kurs

42 431 tal 1 tal

RR

Kommentarer till uppgifter23–27 Facit anger exempel på huvudräkningsstrategier. Be

gärna eleverna att tänka ut andra varianter.

37 Uppgifterna ger exempel på hur man kan utnyttja överslagsräkning för att snabbt kunna bilda sig en uppfattning om storleksordningen på ett tal.

Facit och lösningar 23 a) 384. T.ex.

200 + 200 – 5 – 11b) 1 104

T.ex. 400 + 700 + 9 – 5c) 1 881. T.ex.

1 400 + 500 – 11 – 8d) 4 360. T.ex.

1 500 + 3 000 – – 30 – 100 – 10

24 a) 3 580 kr T.ex. 4 ∙ (900 – 5) = = 4 ∙ 900 – 4 ∙ 5

b) 19 580 kr. T.ex. 4 ∙ (5000 – 100 – 5) = = 4 ∙ 5 000 – 4 ∙ 100 – – 4 ∙ 5

c) 8 700 kr. T.ex. 4 ∙ (2000 + 200 – 25) = = 4 ∙ 2 000 + 4 ∙ 200 – – 4 ∙ 25

d) 14 600 kr. T.ex. 4 ∙ (3 000 + 600 + 50) = = 4 ∙ 3 000 + 4 ∙ 600 + + 4 ∙ 50

25 a) 425 kr

T.ex. 85 ∙ 10

______ 2

b) 1 200 kr

T.ex. 240 ∙ 10

_______ 2

c) 675 kr

T.ex. 135 ∙ 10

_______ 2

d) 595 kr. T.ex. 5 ∙ (100 + 20 – 1) = = 5 ∙ 100 + 5 ∙ 20 – 5 ∙ 1

26 a) 85 kr. T.ex. 425 ∙ 2

______ 10

b) 68 kr

T.ex. 340 ∙ 2

______ 10

27 a) 750 kr. T.ex. 10 ∙ 150

_______ 2

b) 3 750 kr

T.ex. 100 ∙ 150

_________ 2 / 2

c) 4 800 kr T.ex. 30 ∙ 150 + 2 ∙ 150

d) 7 350 kr T.ex. 50 ∙ 150 – 150

28 a) T.ex. 376 + 645 ≈ ≈ 400 + 600 = 1 000

b) T.ex. 129 + 457 ≈ ≈ 100 + 500 = 600

c) T.ex. 1328 – 417 ≈ ≈ 1 300 – 400 = 900

d) T.ex. 1 738 – 527 ≈ ≈ 1 700 – 500 = 1 200

29 a) T.ex. 47 ∙ 52 ≈ 50 ∙ 50 = = 2 500

b) T.ex. 84 ∙ 620 ≈ ≈ 90 ∙ 600 = 54 000

c) T.ex. 68 ∙ 36 ≈ 70 ∙ 35 = = 70 ∙ 30 + 70 ∙ 5 = = 2 100 + 350 = 2 450

d) T.ex. 12 ∙ 189 ≈ ≈ 10 ∙ 200 = 2 000

30 a) 208

____ 42 ≈ 200

____ 40 = 5

b) 413

____ 65 ≈ 420

____ 70 = 6

c) 352

____ 82 ≈ 320

____ 80 = 4

d) 167

____ 43 ≈ 180

____ 45 = 4

31 a) 3 900 b) 4 100c) 3 600 d) 4 000

32 T.ex.a) 237 + 456 ≈

≈ 200 + 500 = 700237 + 456 ≈ ≈ 300 + 500 = 800237 + 456 = 693Avrunda åt olika håll ger 6 från det exakta och avrunda åt samma håll ger 94 från det exakta värdet.

b) 45 ∙ 65 ≈ 50 ∙ 70 = = 3 500

45 ∙ 65 ≈ 50 ∙ 60 = = 3 000

45 ∙ 65 = 2 925

Avrunda åt samma håll ger 578 ifrån det exakta värdet och åt olika håll ger 78 ifrån det exakta värdet.

c) 853 – 746 ≈ ≈ 900 – 800 = 100853 – 746 ≈ ≈ 900 – 700 = 200853 – 746 = 107Avrunda åt samma håll ger 7 ifrån det exakta värdet och åt olika håll ger 93 ifrån det exakta värdet.

d) 2 658

_____ 42 ≈ 2 400

_____ 40 = 60

2 800

_____ 40 = 70

2 658

_____ 42 ≈ 63

Avrunda åt samma håll ger 3 ifrån det exakta värdet och avrunda åt olika håll ger 7 ifrån det exakta värdet.


33 a) Falskt. Om båda talen avrundas uppåt till hundratusental får man 1 200 000 + 800 000 = = 2 000 000.

b) Sant. Endast fåglar är fler än 2 per hushåll.

34 Ja. Avrunda askens mått till 6 cm × 4 cm × 2 cm. Då får man plats med 10 ∙ 10 askar i varje lager. På höjden rymmer lådan 5 lager.

35 Nej, 7 ∙ 52 ≈ 7 ∙ 50 = = 350 km = 35 mil.

36 Ja, 22

___ 0,7 ≈ 21

___ 0,7 = 30 mil =

= 300 km.

37 a) Nej, 7 ∙ 8 = 56.

b) Mer. Anta att du sover 8 h/dygn 8 ∙ 365 ≈ 8 ∙ 400 = = 3 200.

c) Nej. Vilopulsen för en tonåring varierar mel-lan 60 och 100 slag/min. Det ger mellan 2 400 – 4 000 slag på 40 minuter.

d) Mer. Om du spolar 5 gånger per dag blir det ungefär 5 ∙ 3 ∙ 400 = 6 000 liter.

e) Troligtvis inte, men det beror på hur gam-mal prinsessan var. 0,32 mm per dag ger ungefär 0,3 ∙ 400 = = 120 mm på ett år, alltså ca 10 m på 80 år.

Lösningsförslag uppslaget A a) T.ex. 0 + 12345678 ∙ 9 = 111 111 102

b) T.ex. 0 ∙ 1 – 2 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7 + 8 – 9 = 0c) T.ex. 0 + 1 + 2 + 3 – 4 ∙ 5 + 6 ∙ 7 + 8 ∙ 9 = 100

0 + 123 – 4 – 5 – 6 – 7 + 8 – 9 = 1000 + 123 – 45 – 67 + 89 = 1000 + 1 ∙ 2 ∙ 3 – 4 ∙ 5 + 6 ∙ 7 + 8 ∙ 9 = 100

B T.ex. 0 – 1 – 2 + 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 = 10 ∙ 1 + 2 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 20 + 1 – 2 + 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 = 30 ∙ 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 40 + 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 50 ∙ 1 ∙ 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 60 + 1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 70 ∙ 1 ∙ 2 + 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8 + 9 = 80 + 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 90 ∙ 1 ∙ 2 – 3 + 4 – 5 + 6 + 7 – 8 + 9 = 10

C a) 11b) 51c) I a) finns 1 + 10 termer som kan grupperas som

1 – 3 + 5 – 7 + 9 – … – 19 + 21 = 1 + 5 ∙ 2 = 11. I b) finns på motsvarande sätt 1 + 50 termer vilket ger

summan = 1 + 25 ∙ 2 = 51.d) Om sista talet är 1 000 001 blir uppdelningen

1 + 500 000 termer som ger summan 1 + 250 000 ∙ 2 = = 500 001.

D a) 5C5C

5C5C 1D+

b) 9

8

8

9

1

AJ9A

JA++

c) 4 12E AL4 1E A8 2D L 4E2L

d) 9LLL

FFE

AAO

HHHW

991

774

0 30 30 6

1

38 391 tal 1 tal

Lös följande uppgifter med hjälp av överslagsräkning.

33 År 2012 gjordes en undersökning om vilka de populäraste sällskapsdjuren var i Sverige. Tabellen visar till exempel att det år 2012 fanns 1 158 822 katter fördelade på 745 000 hushåll. Stämmer fäljande påståenden?

a) Antalet hundar och katter är tillsammans mer än 2 miljoner.

b) Fåglar är det sällskapsdjur man har flest av per hushåll.

34 Kajsas pappa samlar tändsticksaskar med olika motiv. Han har 500 st. Varje ask har måtten 5,8 cm x 3,9 cm x 1,8 cm. Får de plats i en skrivbordslåda med måtten 6 dm x 4 dm x 1 dm?

35 Malika löptränar under hela året. Varje vecka springer hon mellan 5 och 7 kilometer. Springer hon mer än 40 mil på ett år?

36 Lasse är på långresa och har 22 liter bensin i tanken. Han vet att bilen drar 0,7 liter bensin per mil. Vägskyltarna visar även avstånden till de tre närmaste bensinmackarna. Hinner han köra till Hudiksvall innan bensinen tar slut?

37 Motivera dina svar med överslagsräkning.

a) Du har 54 kr i plånboken. Har du råd att köpa 7 hekto lösgodis för 7,90 kr/hekto?

b) Sover du mer eller mindre än 3 000 timmar på ett år?

c) Stämmer det att ditt hjärta slår mer än 1 000 gånger på en lektion som är 40 minuter lång?

d) När du spolar i toaletten gör du av med mellan 3 och 6 liter vatten. Blir det mer eller mindre än 5 000 l på ett år?

e) Enligt sagan klättrade prinsen upp till prinsessans Rapunzel med hjälp av hennes långa hår. Normalt hår växer med ca 0,32 mm per dag. Är det troligt att Rapunzels hår var längre än 10 meter?

Antal HushållKatt 1 158 822 745 000Hund 783 952 575 000Kanin 124 611 76 611Fågel 94 332 43 010Hamster 38 991 25 263Marsvin 24 298 14 181

A Skriv talen 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i ditt räknehäfte. Placera ut en eller flera symboler för något eller några av de fyra räknesätten så att du får

a) ett så stort tal som möjligt

b) ett tal så nära noll som möjligt

c) ett tal så nära 100 som möjligt

B Använd alla talen 0–9 och ett eller flera räknesätt och försök att få talen 1–10. Du ska alltså använda alla tal för att göra 1, alla tal för att göra 2 osv.

C a) Beräkna 1 – 3 + 5 – 7 + … – 19 + 21

b) Beräkna 1 – 3 + 5 – 7 + … – 99 + 101

c) Vilken lösningsstrategi använde du när du löste uppgift a och b? Beskriv hur du löste uppgifterna.

d) Förklara hur man kan beräkna liknande typ av uttryck när sista talet är 1 000 001.

D I kryptaritmer har siffrorna bytts ut mot bokstäver. Ersätt varje bokstav med en siffra så att beräkningen stämmer. Det kan finnas flera lösningar.

a) b)

c) d)

Problemlösning, resonemang och kommunikation

Uppslaget

491 tal

RR

48 1 tal

Huvudräkning på olika sätt

23 Lös följande utan att göra en uppställning. Beskriv hur du har tänkt.

a) 195 + 189 b) 409 + 695 c) 1 389 + 492 d) 1 470 + 2 890

24 Fyra personer ska göra en resa. Hur mycket kostar resan för dem tillsammans om det för en person kostar

a) 895 kr b) 4 895 kr c) 2 175 kr d) 3 650 kr

25 Vad kostar fem chokladaskar om en ask kostar

a) 85 kr b) 240 kr c) 135 kr d) 119 kr

26 Fem kompisar ska göra något roligt efter skolan. Vad kostar det för var och en om det totalt kostar

a) 425 kr att gå på bio b) 340 kr att äta hamburgare

27 Räkna den här uppgiften på flera olika sätt. Ta hjälp av exemplen i rutan.

Ett fotbollslag ska köpa nya tröjor. En tröja kostar 150 kr. Hur mycket kostar

a) 5 tröjor b) 25 tröjor c) 32 tröjor d) 49 tröjor

Med hjälp av några enkla knep kan man ibland lösa uppgifter med huvudräkning som man annars skulle beräknat med uppställning.

Exempel Klädköp: dunjacka 595 kr, skor 895 kr, byxor 310 kr. Vad kostar kläderna tillsammans?

Dela upp i lättare additioner och subtraktioner:

595 + 895 + 310 = 600 + 900 + 300 – 5 – 5 + 10 = 1 800 kr

Svar: Kläderna kostar 1 800 kr tillsammans.

ExempelEn familjepizza kostar 189 kr. Vad kostar 5 familjepizzor?

Dela upp i lättare multiplikationer:

Alternativ 1 5 ∙ 189 = 5 ∙ 200 – 5 ∙ 11 = 1 000 – 55 = 945 kr

Alternativ 2 5 ∙ 189 = 10 ∙ 189

____ 2 = 1 890

_____ 2 = 945

Svar: 5 familjepizzor kostar 945 kr.

Beräkna med överslagsräkning

Beräkna med överslagsräkning.

28 a) 376 + 645 b) 129 + 457 c) 1 328 – 417 d) 1 738 – 527

29 a) 47 ∙ 52 b) 84 ∙ 620 c) 68 ∙ 36 d) 12 ∙ 189

30 a) 208

____ 42 b) 413

____ 65 c) 352

____ 82 d) 167

___ 43

31 Vilket resultat ligger närmast? Välj bland talen i rutan.

a) 2 762 + 1 187 b) 5 342 – 1 251 c) 58 ∙ 61 d) 84 381

_______ 21

3 600 3 700 3 800 3 900 4 000 4 100

32 Avrunda först båda talen åt samma håll och gör ett överslag. Avrunda sedan båda talen åt olika håll och gör ett överslag. Räkna till sist ut hur långt överslagsvärdena är från det exakta värdet.

a) 237 + 456 b) 45 ∙ 65 c) 853 – 746 d) 2 658

_____ 42

Att göra en överslagsräkning innebär att man avrundar talen så att beräkningarna enkelt kan göras med huvudräkning. För att få ett svar som ligger så nära det exakta värdet som möjligt finns det några regler som kan vara bra att känna till.

Vid addition och multiplikationAvrunda det ena talet uppåt och det andra nedåt. Det vill säga avrunda talen åt olika håll.

Exempela) 939 + 663 ≈ 900 + 700 = 1 600 b) 570 ∙ 43 ≈ 600 ∙ 40 = 24 000

Vid subtraktion och divisionAvrunda båda talen uppåt eller nedåt. Det vill säga avrunda talen åt samma håll.

Exempela) 859 – 347 ≈ 900 – 400 = 500 eller 869 – 347 ≈ 800 – 300 = 500

b) 1 865

_____ 45 ≈ 1 600

_____ 40 = 40 eller 1 865

_____ 45 ≈ 2 000

_____ 50 = 40

Att multiplicera med 5 är detsamma som att multiplicera

med 10 och dividera med 2.

R R

46 471 tal 1 tal

SS

40 411 tal 1 tal

Kommentarer och lösningar till uppgifter

1 a) 1 ∙ 360 + 2 ∙ 20 + 0 ∙ 1 = 400b) 2 ∙ 360 + 14 ∙ 20 + 0 ∙ 1 = 720 + 280 = 1 000c) 5 ∙ 360 + 10 ∙ 20 + 16 ∙ 1 = 2016d) 16 ∙ 360 + 12 ∙ 20 + 0 ∙1 = 6 000

2 a) 700 = 1 ∙ 360 + 340 = 1 ∙ 360 + 17 ∙ 20 + 0 ∙ 1

b) 2 000 = 5 ∙ 360 + 10 ∙ 20 + 0 ∙ 1

c) 4 567 = 12 ∙ 360 + 12 ∙ 20 + 7 ∙ 1

d) 7 100 = 19 ∙ 360 + 8 ∙ 20 + 0 ∙ 1

3 Det största talet som kan skrivas med tre positioner är 19 ∙ 360 + 19 ∙ 20 + 19 ∙ 1 = 7 239

4 a) Först byter man entalssiffran i det övre talet mot sum-man av entalssiffrorna i de två talen. Sedan byter man ut tiotalssiffran mot summan av de två talens tiotalssiffror. Slutligen byter man ut hundratalssiffran efter samma mönster. Om summan av t.ex. tiotalssiffrorna blir 10 eller större, så ökar man hundratalssiffran med 1.

b) 1 2 3 44 074 4 076 4 086 4 586

512 512 512 512

5 Uppgiften kan bevisas med algebra, t.ex. som nedan:Tiotalssiffran är ett mer än entalssiffran. Kalla entalssiffran för a. Då kan tiotalssiffran skrivas som 10(a + 1). Talet kan skrivas som 10a + 10 + a = 11a +10. Kastas siffrorna om blir talet istället 10a + (a + 1) = 11a + 1. Differensen mellan talen (11a +10) och (11a + 1) är 9, vilket kan troliggöras utan att man behöver införa ”minus framför parentes”. Om man multiplicerar svaret med 2 och sedan dividerar med sex får man alltid talet 3.

6 Prövning är enda möjligheten. Talen kan vara 1, 3 och 11 eller 1, 7 och 9.

7 Uppgiften kan relateras till geometri. Om man t.ex. vill inhägna ett rektangelområde med ett snöre, dvs. med en given omkrets – hur ska jag då göra för att få så stor area som möjligt? Ju mer lika sidorna är desto större område. a) 2, 3 och 4 b) 3, 4 och 5c) Talen ska vara så lika i storlek som möjligt.

8 Talet 24 kan delas upp i tre faktorer på två olika sätt: 24 = 2 ∙ 3 ∙ 4 = 2 ∙ 2 ∙ 6. Talen 2, 3 och 4 ger den minsta sum-man.

9 Skriv t.ex. upp alla tänkbara summor och stryk de som är lika: 1 + 3 = 4; 1 + 5 = 6; 1 + 7 = 8; 1 + 9 = 10; 3 + 9 = 12; 5 + 9 = 14; 7 + 9 = 16. Man kan alltså få 7 olika summor.

10 Det första påståendet ger 123, 234, 345, 456, 567, 678, och 789. Det fjärde ger 123, 345, 567 och 789. Det femte ger 345 eller 789. Uppdelning i primtalsfaktorer ger 345 = 5 ∙ 69 = 5 ∙ 3 ∙ 23 samt 789 = 3 ∙ 263. Talet 345 är det tal som uppfyller alla villkor.

11 Uppgiften är att finna den första gemensamma multipeln till talen 20, 30 och 35, dvs. vilket tal som först finns respekti-ve multiplikationstabell. Talen kan skrivas som20 = 2 ∙ 2 ∙ 530 = 2 ∙ 3 ∙ 535 = 3 ∙ 7Det första talet som innehåller faktorer från alla tre talen är 420 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7. Det tar 420 veckor.

Svarta sidornaDe svarta sidorna är avsedda för de elever som är klara med röd kurs och som behöver mer utmaningar. Här möter eleverna uppgifter som kan ligga utanför kapitlets egentliga innehåll. För att underlätta för dig som lärare finns här facit med lösningsförslag till alla uppgifter.

Lösningar till extrauppgifter

1 a) 9 st. (11, 22, …, 99)b) 90 st. Det finns 9 olika

siffror ett tresiffrigt tal kan börja på. För siff-ran i mitten kan man sedan välja mellan alla 10 siffror. Alltså finns det 9 ∙ 10 = 90 tresiffri-ga palindromtal.

2 Här adderar man två fyr-siffriga tal. Den femsiff-riga summan måste vara mindre än 20 000, efter-som S ocah M inte är större än 9 eller 8. Det ger att M = 1. Genom prövning kommer man sedan fram till att S = 9, E = 5, N = 6, D = 7, M = 1, O = 0, R = 8 och Y = 2.

3 Talet 12 (12 ∙ 99 = 1 188).

SEND

+ MORE________

MONEY

Extrauppgifter1 Talet 434 är ett palindromtal. Det betyder att det blir

samma tal om vi läser det baklänges. Hur många palindromtal finns det som är

a) tvåsiffriga

b) tresiffriga

2 En ung engelsman var på en resa och behövde pengar. Han skickade ett telegram till sina föräldrar. Hur mycket pengar behövde han?

3 Vilket är det minsta naturliga talet som gör att produkten av talet och 99, inte innehåller siffran 9?

1 Skriv med vårt talsystem

a) b) c) d)

2 Skriv med mayafolkets talsystem

a) 700 b) 2 000 c) 4 567 d) 7 100

3 Skriv mayasystemet största tal som kan skrivas med tre positioner i vårt talsystem.

4 Så här kunde en uppställning för addition se ut på 1300-talet.

1 2 3 4 9 134 9 137 9 217 10 117 983 983 983 983

a) Beskriv så noggrant du kan hur metoden fungerar.

b) Addera 4 074 0ch 512 med hjälp av samma metod.

5 Välj ett av talen 54, 87, 32 eller 76. Byt plats på tiotalssiffran och entalssiffran i det tal du valde. Beräkna differensen av det ursprungliga talet och det nya talet. Multiplicera sedan resultatet med två och dividera med sex. Vilket tal får du nu? Gör om samma sak med ett av de andra talen. Kan du se mönstret? Finns det fler sådana tal?

6 I kvadraterna ska det stå ett heltal, i trianglarna ett annat heltal och i cirklarna ett tredje heltal. Ge exempel på vilka talen kan vara

· + · + · = 131

7 a) Summan av tre olika positiva heltal är 9. Vilka ska talen vara för att deras produkt ska bli så stor som möjligt?

b) Summan av tre olika positiva heltal är 12. Vilka ska talen vara för att deras produkt ska bli så stor som möjligt?

c) Dra en slutsats från dina svar i a) och b). Beskriv vilka tal du ska välja för att produkten ska bli så stor möjligt.

8 Produkten av tre olika positiva heltal är 24. Vilka ska talen vara för att deras summa ska vara så liten som möjligt?

9 Ta två av talen 1, 3, 5, 7 och 9 och lägg ihop dem. Hur många olika summor kan du få, om du gör det på alla möjliga sätt.

10 Vilket tal uppfyller alla villkoren här nedanför? Motivera ditt svar.

●● Talet består av tre på varandra följande siffror i storleksordning från det minsta till det största.

●● Ett av talets primtalsfaktorer är ett tvåsiffrigt tal som består av två på varandra följande siffror

●● Talet är en produkt av tre primtal

●● Talet är udda

●● Talets siffersumma är delbart med 4

11 I ett solsystem långt borta har man upptäckt tre planeter som kretsar runt stjärnan. Deras omloppstider är 20 veckor, 30 veckor och 35 veckor. En dag ligger de alla på samma linje från stjärnan sett. Hur många veckor dröjer det tills de ligger på samma linje igen?

Mer om mayafolkets talsystem

Om mayafolkets talsystem hade varit helt baserat på talet 20, så skulle talen från och med 400 skrivas med hjälp av en tredje position.

I sådana fall skulle talet 700 skrivas

1 · 20 · 20 = 400

15 · 20 = 300

0 · 1 = 0

Men i stället multiplicerade man alla tecken i den tredje positionen med 360 (18 · 20).

Talet 399 skrivs på detta sätt som (1 · 360 + 1 · 20 + 19).

1 · 20 = 20 1 · 20 = 200 · 1 = 0 2 · 1 = 2

20 22

2 · 20 = 40 6 · 20 = 1202 · 5 = 15 3 · 1 = 3

55 123

S S

Svarta sidorna

50 511 tal 1 tal

SS

42 431 tal 1 tal

SammanfattningSammanfattningen tar upp viktiga begrepp och metoder som behandlas i kapitlet. Den ger en bra överblick av kapitlet och är därför en god hjälp för eleverna när de ska repetera.

BegreppskartorEtt bra sätt att repetera de begrepp och metoder som pre-senterats i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas reso-nemangsförmåga, är att låta eleverna arbeta med begreppskartor. Att arbeta med begreppskartor gör att eleverna blir uppmärksammade på sina egna kunskaper. I materialet Arbetsblad, prov och sktiviteter finns ett arbetsmaterial som underlättar elevernas arbete med begreppskartor.

Begreppskarta 1:1 Behandlar begreppen tal, siffra, tiosys-temet, platsvärde, delbarhet, siffer-summa, primtal, sammansatta tal, jämna tal, udda tal, multipel, decimal-form, bråkform.

Begreppskarta 1:2 Behandlar begreppen addition, sub-traktion, division, multiplikation, summa, differens, produkt, kvot, term, faktor, produkt, täljare, nämnare, udda tal, jämna tal.

BedömningEfter ett kapitel kan det vara lämpligt att utvärdera hur väl eleverna har tillgodogjort sig undervisningen. Det är önskvärt att eleverna får visa sina kunskaper på olika sätt.

I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns för-slag till kapitelprov på E- till A-nivå, kapitelprov på E-nivå och även förslag till ett muntligt prov. Till proven finns dessutom bedömningsmallar och bedömnings-matriser.

Till varje kapitel finns en självskattningsmatris där eleven själv får bedöma sina kunskaper mot kapitlets lärandemål. Den kan hjälpa eleven att reflektera över sitt eget lärande men kan också ge dig som lärare en bild av elevens kunskapsnivå.

Att låta eleverna arbeta med begreppskartor kan, för-utom att ge eleverna insikt om sitt eget lärande, även fungera som ett sätt för eleverna att visa sina kunskaper.

Mer om bedömning, prov och hur de kan användas finns att läsa om i lärarguidens inledande text.

Sammanfattning

S S

●● ÖverslagsräkningNär man gör en överslagsräkning avrundar man först talen så att man sedan lätt kan använda huvudräkning.

ExempelPatrik köper ett par byxor för 495 kr en t-shirt för 120 kr och en tröja för 279 kr.

495 kr + 120 kr + 279 kr ≈ ≈ 500 kr + 100 kr + 300 kr = 900 kr

Klädesplaggen kostar ungefär 900 kr tillsammans.

Stella köper 21 strumpor för 39 kr styck.

21 ∙ 39 ≈ 20 ∙ 40 = 800 kr

Strumporna kostar ungefär 800 kr tillsammans.

●● TiosystemetMan kan placera alla tal på en tallinje. Ju större talet är desto längre till höger på tallinjen ligger talet.

I vårt talsystem använder vi siffrorna 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, och 9.

Med dessa siffror kan vi skriva alla tal.

I talet 70 har siffran 7 platsvärdet tiotal. Siffran 7 är värd 7 tiotal.

I talet 702 har siffran 7 platsvärdet hundratal. Siffran 7 är värd 7 hundratal.

En siffras platsvärde beror på vilken plats det har i talet.

Decimaltalet 4,208 består av 4 ental, 2 tiondelar, 0 hundradelar och 8 tusendelar

0,8 1,25

0 0,5 1 1,5

●● Delbarhetsregler

ExempelTalet 48 är ett jämnt tal.

Alltså är 48 delbart med 2.Talets siffersumma är 4 + 8 = 1212 är delbart med 3. Alltså är 48 delbart med 3.

Eftersom 48 inte slutar på 0 eller 5 är talet inte delbart med 5, inte heller med 10.



3 är tal vars siffersumma är delbar med 3


10 är tal som slutar på 0

●● Primtal och sammansatta talEtt primtal är ett heltal som är större än 1 och endast delbart med sig självt och 1. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ...

Ett sammansatt tal kan delas upp i fler faktorer än talet själv och 1. När det inte går att dela upp talet mer, är talet uppdelat i primtalsfaktorer.

6 och 8 är exempel på sammansatta tal: 6 = 3 ∙ 2 och 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2

De första sammansatta talen är: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

FaktorträdMed hjälp av ett faktorträd kan du bestämma ett tals primtalsfaktorer. 36 har primtals-faktorerna 2, 2, 3 och 3.

3322

9

36

··

4 ·

●● De fyra räknesättenAddition Subtraktion12 + 3 = 15 12 – 3 = 9

Division Multiplikation

12 ___ 3 = 4 12 ∙ 3 = 36

Term Summa Term Differens

Faktor

Täljare

NämnareKvot Produkt

●● Multiplikation och division med 10, 100 och 1 000

10 ∙ 3,65 = 36,5

100 ∙ 3,65 = 365

1 000 ∙ 3,65 = 3 650

365 ____ 10 = 36,5

365 ____ 100 = 3,65

365 ______ 1 000 = 0,365

3, 6 53 6, 5

tiota

len

tal

tiond

elar

hund

rade

lar

3 6 53 6, 5

hund

rata

ltio

tal

enta

ltio

ndel

Decimaltecken Decimaler

4 , 2 0 8

tiondelentalhundradel

tusendel

7 07 0 2

tiotuse

ntal

tusental

hundratal

tiotal

entalPlatsvärde

●● Avrundning

ExempelAvrunda till heltal: 43,|76 ≈ 44

Avrunda till tiotal: 3 42|7 ≈ 3 430

Avrunda till hundratal: 5 8|29 ≈ 5 800

Avrunda till tusental: 47|256 ≈ 47 000

Avrunda till två decimaler:Är tredje decimalen 5 eller större, avrunda uppåt: 7,26|5 ≈ 7,27

Är tredje decimalen mindre än 5, avrunda nedåt: 7,26|4 ≈ 7,26

AvrundningsreglerOm siffran efter avrundningssiffran är●●0, 1, 2, 3 eller 4 avrundas talet nedåt, man behåller avrundningssiffran. ●●5, 6, 7, 8 eller 9 avrundas talet uppåt.

Avrundningssiffra

52 531 tal 1 tal

Documents

Tal - sanomautbildning.se · G Olika sätt att skriva tal G Avsnittet behandlar några olika sätt som man under äldre tider har skrivit tal. Vi börjar med det enklaste, att rista