Taller 2 yeral nury

UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCAFACULTAD DE EDUCACION

LICENCIATURA EN MATEMATICASELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II

TALLERES DE GEOGEBRA

I. IDENTIFICACIÓN DEL TALLER

N° TALLER 2 FECHA 09-10-14

GRADO

Decimo

TITULO

Identidades pitagóricas

UNIDAD

Identidades trigonométricas

PENSAMIENTOS INCLUIDOS

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

CONOCIMIENTOS PREVIOS

1. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos (taller 1)2. Identidades Inversas 3. Teorema de Pitágoras

INTRODUCCIÓN

Este taller permite reforzar conocimientos a partir de la implementación de herramientas tecnológicas como geogebra. También es un material didáctico que ayuda al docente de matemáticas a desarrollar la clase de forma más activa generando un aprendizaje significativo.

AUTORES: ALEIDA YERALDIN GARCIA ACOSTA – NURY ALEJANDRA GOMEZ BOLAÑOS

I. COMPONENTE TEORICO

A. Razones trigonométricas: Parafraseando a Earl Swokowski1 En todo triangulo rectángulo como se muestra en la figura existen relaciones entre sus lados, si β es cualquier ángulo agudo se podría considerar un triangulo rectángulo que tiene a β como uno de sus ángulos, de donde se pueden obtener las seis razones

1 Earl Swokowski: Algebra y trigonometría con geometría analítica




trigonométricas teniendo en cuenta las longitudes de los lados.

senβ=catetoopuesto(co)h ipotenusa (h p)

=bc

cscβ=h ipotenusacatetoopuesto

= cb

cosβ=catetoadyasente (ca)h ipotenusa(h p)

=ac

secβ=h ipotenusa

catetoadyasente= ca

tanβ=catet opuesto (co)catetoadyasente(ca)

=ba

cotβ=catetoadyasentecatetoopuesto

=ab

B. Una identidad trigonométrica: Es una igualdad entre

expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida

para todos los valores del ángulo en los que están definidas las

funciones.

C. Identidades reciprocas: Utilizando las razones trigonométricas

se puede analizar que

senβ= 1cscβ

=bc

cscβ=1senβ

= cb

cosβ= 1secβ

=ac

secβ=1cosβ

= ca

tanβ=1cotβ

=ba

cotβ=1tanβ

=ab

II. METODOLOGIA PARA EL DESARROLLO DE LA GUIA. ORGANIZACIÓN EN GRUPO, INDIVIDUAL, FECHAS DE ENTREGA:

Se conformaran parejas para el desarrollo de la presente guía que debe entregarse en una carpeta comprimida un informe en Word con

http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas




imágenes de cada procedimiento y las construcciones realizadas en Geogebra al finalizar la clase. ,

III. PROCEDIMIENTO PASO A PASOA. Teorema de Pitágoras 1. Con la herramienta recta construya una sobre el eje x que pase

por los puntos A=(0,0) y B=(4,0)

2. Con la cuarta herramienta de la barra opción perpendicular construya la recta perpendicular a la del inciso anterior cuyo punto de intersección sea el punto A

3.




4. Construya un punto C=(0,3) y con la herramienta polígono un triangulo cuyos vértices sean A, B y C.

5. Para comodidad de los cálculos que realizaremos más adelante

conviene renombrar los elementos de tal manera que el lado opuesto a cada vértice le corresponda la misma letra pero en minúscula, es probable que también se deban renombrar las rectas por ejemplo con n y m, se recomienda que los vértices y lados del triangulo se bauticen de tal manera que el ángulo recto sea C y por consiguiente su opuesto “la hipotenusa” sea c, puede guiarse por la siguiente figura.

6. Como las rectas se construyeron solo para crear el triangulo rectángulo se pueden ocultar en la vista grafica, dando clic sus respectivos botones que se encuentran en la vista grafica




7. Con la herramienta polígono regular se construye tres cuadrados, uno sobre cada uno de los lados del triangulo.

8. De acuerdo con el teorema de Pitágoras se sabe que:

c2=a2+b2

Lo que significa que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos en los catetos del mismo. Para probarlo utilice la octava herramienta opción área y pinche sobre cada uno de los cuadrados que acaba de construir, posteriormente realice la suma de los datos obtenidos para los cuadrados de los catetos y compárela con el área obtenida del cuadrado construido en la hipotenusa, si lo desea utilice para esto la hoja de cálculo a la que tiene acceso desde geogebra.




Identidades pitagóricas 9. Una vez verificado el teorema de Pitágoras encuentre la primera

identidad pitagórica de la siguiente manera: Construya los ángulos internos agudos del triangulo

rectángulo recuerde que al vértice A debe corresponderle el ángulo α y al vértice B el ángulo β

En la hoja de cálculo haga la lista de cada lado del triangulo elevado al cuadrado en una columna y frente a esta la operación correspondiente.

De el teorema de Pitágoras tenemos c2=a2+b2, recuerde que si a una expresión matemática se opera en ambos lados de la misma manera la equivalencia no se altera, así




que al dividir entre c2 no verá afectada la igualdad y obtendrá la siguiente expresión

c2

c2=a

2

c2+ b

2

c2(1)

1=a2

c2+ b

2

c2(2)

Para comprobar esto recurra nuevamente a la hoja de cálculo de geogebra realizando las operaciones de acuerdo a la siguiente imagen.

Pero la expresión (2) puede transformarse en:

1=( ac )2

+( bc )2

por propiedades de potenciación Analizando el ángulo β vemos de la expresión anterior que

(por razones trigonométricas de un triangulo rectángulo) ac

corresponde al coseno del ángulo y bc

al seno del mismo,

por lo tanto puede reescribirse de la siguiente manera:

1=cos2 β+sen2 β Comprobemos que es cierto utilizando geogebra, guíese

por la siguiente imagen:




Para el carácter β puede recurrir a la barra de entrada y copiarlo para pegarlo en la hoja de calculo.

Comparando lo hecho anteriormente notese que se cumple la identidad




IV. PROBLEMA (PARA RESOLVER POR EL ESTUDIANTE) Al mover los vértices del triangulo rectángulo ¿Qué ocurre con

la identidad pitagórica? Si se analiza lo anterior con respecto al ángulo α ¿se cumple

la identidad pitagórica?

V. EVALUACIÓNCompruebe las siguientes identidades pitagóricas utilizando geogebra

tan2β+1=sec2 βcot2β+1=csc2 β

SUGERENCIA: Divida en el teorema de Pitágoras por a² y b² respectivamente.




LISTA DE CHEQUEO

No. Orden

VARIABLES/INDICADORES DE LOGRO

CUMPLE OBSERVACIONSI NO

Construir elementos en Geogebra para corroborar las identidades pitagóricas

Relacionar adecuadamente las razones trigonométricas con el teorema de Pitágoras para construir las identidades pitagóricas .

Realizar el informe solicitado en la guía (pág. 2).

Manipular la guía de acuerdo a las instrucciones dadas para concluir la actividad con éxito.

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