Taller 7 Probabilidad Clasica

8/18/2019 Taller 7 Probabilidad Clasica

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TALLER 7 PROBABILIDAD CLASICA

1. Una caja en un almacen contiene cuatro bombillas de 40 W, cinco de 60 W y seis de 75 W.Suponga que se eligen al azar tres bombillas.

a)

Cual es la probabilidad de que dos de las bombillas seleccionadas sean de 75 W?Para que 2 de las bombillas sean de 75W deben provenir de este grupo y la faltante delresto

() =6

2 ∙ 9

1

153

=9 ∙ 15455

= 0.29

b) Cual es la probabilidad de que las tres bombillas seleccionados sean de los mismoswatts?Para que las bombillas sean de los mismos watts deben provenir las 3 del mismo grupo

() = 4

3 + 5

3 + 6

315

3

= 34455

= 0.075

c) Cual es la probabilidad de que se seleccione una bombilla de cada tipo?Cada bombilla debe provenir de cada grupo

() =4

1 5

1 6

1

153

=120

455 = 0.26

d) Si las bombillas tienen que ser seleccionados una por una hasta encontrar una de 60 W.Cual es la probabilidad de que sea necesario examinar por lo menos seis bombillas?Replanteemos el problema. Una caja contiene 10 bombillas de 40W o 75W y 5 bombillasde 60W. Sea X: denota el numero de seleccion de la primera bombilla de 60W. Porejemplo, si la primera seleccion es una bombilla de 40W o 75W y la segunda es unabombilla de 60W, entonces X es igual a 2.

Encontrar ( > ), > 0 Queremos encontrar ( > ), esto es, la probabilidad que la primera sacada de unabombilla de 60W sea despues del i-esimo intento. Todo lo que sabemos es que en laprimera i sacada sacamos una bombilla de 40W o 75W.En el intento = 1, hay 10 bombillas de 40W o 70W y 5 bombillas de 60W de manera quela probabilidad de sacar una bombilla de 40W o 70W es

1015;

En el intento = 2 la probabilidad de sacar una bombilla de 40W o 70W despues dehaber sacado una bombilla de 40W o 70W es 914;En el intento = 3 la probabilidad de sacar una bombilla de 40W o 70W despues dehaber sacado una bombilla de 40W o 70W en el primero y Segundo intento es

813;

En el intento = 4 la probabilidad de sacar una bombilla de 40W o 70W despues dehaber sacado una bombilla de 40W o 70W en el primero, Segundo y tercer intento es

712;


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En el intento = 5 la probabilidad de sacar una bombilla de 40W o 70W despues dehaber sacado una bombilla de 40W o 70W en los previos intentos es

611

Por lo tanto en el intento 6 hay una probabilidad510 de sacar una bombilla de 40W o 70W

despues de haber sacado bombillas de 40W o 70W en cada uno de los 6—1 intentosprevios. De donde,

( > 6) = 1015

∙ 914

∙ 813

∙ 712

∙ 611

∙ 510

= 0.042

Por lo tanto la probabilidad de que sea necesario examinar por lo menos 6 bombillas es0.042

2. Se tienen 7 fichas marcadas con los numeros 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; Si 4 de ellas se ordenan al azar,para formar un numero de 4 cifras, calcule la probabilidad de que el numero formadoresulte sera)

Mayor que 5,000

Para que el numero sea mayor que 5000 debe calcularse la probabilidad que uno de losnumeros mayores e iguales a 5 resulte en la cuarta posicion, las restantes posiciones sellenan con los digitos restantes

Para el numerador:El cuarto digito tiene 4 opciones diferentes {5, 7, 8, 9} 4 = 4 El tercer digito 6 opciones diferentes 3 = 6 El segundo digito 5 opciones diferentes 2 = 5 El primer digito 4 opciones diferentes 2 = 4 Entonces el total de combinatorias posibles es 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 480 Para el denominador:Numero de combinaciones posibles de formar numeros de 4 cifras de un grupo de 7

=!

! ( )! = 47 = 7

4 = 35

A su vez cada grupo se puede combinar de 4! Maneras posiblesConclusion: La probabilidad se calcula dividiendo este factor por el numero total decombinaciones posibles

() = 4804! ∙ 7

4

=480

24 ∙ 35 = 0.57

a) Mayor que 4000 y menor que 8,000

Para que el numero sea mayor que 4000 y menor que 8000 debe calcularse laprobabilidad que uno de los numeros mayores que 5 y menores que 8 resulten en elcuarto digito, las restantes posiciones se llenan con los digitos restantes

Para el numerador:

El cuarto digito tiene 2 opciones diferentes {4, 5, 7} 4 = 3 El tercer digito 6 opciones diferentes 3 = 6 El segundo digito 5 opciones diferentes 2 = 5


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El primer digito 4 opciones diferentes 2 = 4 Entonces el total de combinatorias posibles es 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 360 Para el denominador:

Numero de combinaciones posibles de formar numeros de 4 cifras de un grupo de 7

= !

! ( )! = 47 = 7

4 = 35 A su vez cada grupo se puede combinar de 4! Maneras posibles

Conclusion: La probabilidad se calcula dividiendo este factor por el numero total decombinaciones posibles

() = 3604! ∙ 7

4

=360

24 ∙ 35 = 0.43

3. Los hombres 1 y 2 y 3 mujeres 1, 2, 3 participan en un campeonato de ajedrez.Aquellos de igual sexo tienen la misma probabilidad de ganar. Pero los hombres tienen el

doble de posibilidad de ganar que las mujeres. Encuentre la probabilidad que gane unamujer.A: gana un hombre. Probabilidad 1 = 2, 21 B: gana una mujer. Probabilidad 3 = 4 = 5, 33 Ecuacion 1: 21 + 33 = 1 Ecuacion 2: 1 = 23 Solucion: 2 ∙ 23 + 33 = 1, 73 = 1, 3 = 17 = 0.14 Conclusion: La probabilidad que gane una mujer es 33 = 0.43

4. Un lote contiene 10 articulos buenos, 4 con defectos secundarios y 2 con defectosimportantes. Se toma al azar un articulo. Determine la probabilidad que el articulo:

a) No tenga defectos.En el experimento tomar un articulo al azar, el espacio muestreal |Ω| = 16 eventos entotalEl evento que el articulo este en buena condicion tiene como espacio muestral |Ω1| = 10 eventos en total

Conclusion: La probabilidad que el articulo no tenga defectos es = 1016 = 0.625 b) No tenga defectos importantes.

En el experimento tomar un articulo al azar, el espacio muestreal |Ω| = 16 eventos entotal

El evento que el articulo no tenga defectos importantes tiene como espacio muestral|Ω1| + |Ω2| = 10 + 4 = 14 eventos en totalConclusion: La probabilidad que el articulo no tenga defectos importantes es

= 1416

= 0.875

Del mismo lote se extraen 2 articulos al azar. Determine la probabilidad que:

c) Ambos sean buenos si se extrae uno despues del otro.


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Probabilidad que el primer articulo sea bueno es 1 = 1016 = 0.625 Sin embargo al extraer un Segundo articulo la probabilidad disminuye siendo 2 = 916 =0.56 Conclusion: Por la ley de la multiplicacion la probabilidad que los dos articulos seanbuenos es

1 ∙ 2 = 0.35 d) Ambos tengan defectos importantes.

() = 216

∙ 115

= 0.008

5. Un equipo gana (G) con la probabilidad de 0.5; pierde (P) con probabilidad de 0.3 y empata(E) con probabilidad de 0.2, el equipo juega dos veces: Hallar la probabilidad que el equipogane una vez por lo menos.Teorema: La probabilidad que un evento ocurra exactamente veces esta dada por

∙ ∙ − = numero de intentos = numero de eventos especificos que se desea obtener = probabilidad que el evento ocurra = probabilidad que el evento no ocurra ( = 1 , el complemento del evento)

Que el equipo gane por lo menos una vez significa = 1 Aplicando la formula = 2, = 1, = 0.5, = 0.5 La probabilidad que el equipo gane una vez por lo menos es

∙ ∙ − = 21 ∙ 0.5 ∙ 0.5 = 0.5

6. Una compañia de articulos para computadores colocaria un anuncio de su nuevo modem en

una revista de computacion. La compañia cree que el anuncio sera leido por un 32 % de loslectores de la revista y que el 2 % de aquellos que lean el anuncio comprarian el modem.Encontrar la probabilidad de que el lector de la revista lea el anuncio y compre el modem.Si D denota el evento anuncio leido por lectores de la revista () = 0.32 La probabilidad que el lector de la revista lea el anuncio y compre el modem (Si S denota elevento) es 0.02; esto es (|) = 0.02. Por la ley de multiplicacion la probabilidad que ellector lea la revista y compre el modem es ( ∩ ).

( ∩ ) = () ∙ (|) = 0.32(0.02) = 0.0064

7. Dos estudiantes A y B estan inscritos en un curso. Si el estudiante A asiste a las clases el

80 % de las veces y el estudiante B el 60 %, y las ausencias de ellos son independientes.Cual es la probabilidad de que al menos uno de los 2 estudiantes este en clases un diadeterminado?La ley de multiplicacion para eventos independientes proporciona otra manera dedeterminar si dos eventos son independientes.Es decir, si ( ∩ ) = ( ) ∙ (), entonces y son independientes si( ∩ ) ≠ ( ) ∙ (), entonces y son dependientesSean : el evento estudiante A asiste a las clases


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: el evento estudiante B asiste a las clasesEntonces el evento que interesa que al menos uno de los 2 estudiantes este en clases undia determinado es ∩ . Si las ausencias son independientes, es razonable suponer queA y B son independientes. Por tanto,

( ∩ ) = ( ) ∙ () = (0.8) ∙ (0.6) = 0.48

8.

La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad parti-cular es 0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que elpaciente presente una demanda es 0.9. Cual es la probabilidad de que el doctor haga undiagnostico incorrecto y el paciente lo demande?

Sean : el evento doctor diagnostico de manera incorrecta una enfermedad: el evento paciente presenta una demandaEntonces el evento que interesa que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el pacientelo demande es ∩ . Si los diagnosticos son independientes, es razonable suponer que Ay B son independientes. Por tanto,

(

∩ ) =

(

)

∙ (

) = (0.3)

∙(0.9) = 0.27

9. En una fabrica de pernos, las maquinas 1, 2, 3 fabrican el 25 %, 35 % y 40 % respectivamentede la produccion total. De lo que producen, el 5 %, 4 % y 2 % respectivamente sondefectuosos. Se escoge un perno al azar y se encuentra que es defectuoso. Cual es laprobabilidad que haya sido producido por la maquina 1?Sea : denota el evento que un perno escogido al azar haya sido producido por la -esimamaquina ( = 1, 2,3) Sea : el evento que un perno escogido al azar sea defectuoso.Sea (): la probabilidad que la produccion total sea defectuosaLa siguiente informacion ha sido proporcionada

(

1) = 0.25

(

2) = 0.35

(

3) = 0.4

Si el perno fue producido por la maquina 1, la probabilidad que sea defectuoso es 0.05;o sea, (| 1) = 0.05. Resulta entonces

(| 1) = 0.05 (| 2) = 0.04 (| 3) = 0.02 Para encontrar () aplicamos la regla del producto

() = (| ) ∙ ( ) = (0.05) ∙ (0.25) + (0.04) ∙ (0.35) + (0.02) ∙ (0.4) = 0.0345

Si se encuentra que el perno es defectuoso el evento ha ocurrido, y se desea calcular laprobabilidad condicional de 1. Aplicando el teorema de Bayes,

(

1|

) =

(| 1) ∙ ( 1)()

=(0.05) ∙ (0.25)

0.0345 = 0.36

10. Si se detiene a 3 personas, seleccionadas al azar, en una calle, ¿cuales son las probabilidadesde que:

c) Todas ellas hayan nacido en viernes;

Sea ( ) de haber nacido un dia ( ) = 17 = 0.143


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Por el principio de multiplicacion la probabilidad que 3 personas hayan nacido el mismo

dia es ( ) ∙ ( ) ∙ ( ) = 17∙7∙7 = 1343

d) Dos de ellas hayan nacido en viernes y otra en martes;Por el principio de multiplicacion la probabilidad que 2 personas hayan nacido el mismo

dia es P(A) ∙ P(A) = 17∙7

= 1

49

Sea ( ) la probabilidad que dos persona no hayan nacido el Viernes y una el martes es( ) = 149 + 1343 =

8343 = 0.023

e) Ninguna de ellas haya nacido en lunes?

Sea ( ) la probabilidad que una persona no haya nacido un dia es ( ) = 67 = 0.86 Por el principio de multiplicacion la probabilidad que 3 personas no hayan nacido el

mismo dia es ( ) ∙ ( ) ∙ ( ) = 6∙6∙67∙7∙7 = 216343

11. Se trata de formar un comite de 4 personas, dos de cada genero, a partir de 7 mujeres y 4hombres. Cual es la probabilidad de que el señor y la señora URIBE no esten ambos en

dicho comite?De cuantas maneras se puede escoger un comite de 4 personas de entre un grupo de 7mujeres y 4 hombres si se debe excluir al señor y la señora Uribe

() =7 + 4 2

4

114

=126

330 = 0.38

12. a) Determinar la probabilidad P que un lanzamiento de un dado resulte par.El espacio muestral en el experimento del lanzamiento de un dado es:

Ω = {1,2,3, 4,5, 6} Por tanto

|

Ω| = 6, hay 6 resultados experimentalesConclusion: De los 6 resultados experimentales 3 son pares por tanto la probabilidad

que un lanzamiento de un dado resulte par es = 36 = 0.5

b) Determinar la probabilidad P que al menos una cara en dos lanzamientos de unamoneda.El experimento de lanzar dos monedas es un experimento de dos pasos: el paso 1 eslanzar la primera moneda y el paso 2 es lanzar la segunda moneda. Si se emplea C paradenotar cara y S para denotar sello, (C, C) será el resultado experimental en el que setiene cara en la primera moneda y cara en la segunda moneda.Si continúa con esta notación, el espacio muestral (Ω) en este experimento dellanzamiento de monedas será el siguiente:Ω = {(, ), (, ), (, ), (, )} Por tanto, hay |Ω| = 4 cuatro resultados experimentales.La regla de conteo para experimentos de pasos múltiples permite determinar el númerode resultados experimentales sin tener que enumerarlos.Si considera el experimento del lanzamiento de dos monedas como la sucesión de lanzarprimero una moneda 1 = 2 y después lanzar la otra 2 = 2, siguiendo la regla deconteo (2) ∙ (2) = 4, entonces hay cuatro resultados distintos. Como ya se mostró, estos


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resultados son Ω = {(, ), (, ), (, ), (, )}.Conclusion: En el espacio muestral hay 3 eventos donde al menos una cara sucede,

= 34 = 0.75

c) Determinar la probabilidad p que un as, el 10 de diamantes o el 2 de picas aparezcan al

sacar una sola carta de una baraja francesa de 52 naipes.Sea:A: un as. La probabilidad que un as aparezca al extraer una sola carta de una barajafrancesa de 52 naipes es ( ) = 452 B: un 10 de diamantes. La probabilidad que un 10 de diamantes aparezca al extraeruna sola carta de una baraja francesa de 52 naipes es () = 152 C: 2 de picas. La probabilidad que un 2 de picas aparezca al extraer una sola carta deuna baraja francesa de 52 naipes es () = 152 Como en este caso A, By C son mutuamente excluyentes, entonces:

( ∪ ∪ ) = ( ) + () + ()

( ∪ ∪ ) = 452

+1

52+

1

52 = 0.11

d) Determinar la probabilidad p que la suma de dos dados sea 7.El experimento de lanzar dos dados tiene como espacio muestral todos los paresordenados que se pueden formar con los 2 dados, es decirΩ = {(1,1), (1,2), (1,3), . . . , (6,6)}. En total |Ω| = 36 pares.El evento “que los dados sumen 7”. Los pares ordenados que cumplen esta condicionson: Ω1 = {(1,6), (6, 1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} . En total |Ω1| = 6 eventosConclusion: La probabilidad que la suma de los dados dados sea 7 es

=6

36 =

1

6 = 0.17

e) Determinar la probabilidad p que aparezca sello en el proximo lanzamiento de unamoneda si han salido 56 caras en 100 lanzamientos previos.En el experimento lanzamiento de una moneda los eventos son independientes. Laprobabilidad que al lanzar una moneda resulte en sello es 50%. Esto se sugiere por eldiseño (simetria) de la moneda.Conclusion: La probabilidad que aparezca sello en el proximo lanzamiento es siempre = 0.5

13. De una baraja de 52 naipes, mezclados al azar, se sacan dos naipes. Hallar la probabilidad

de que ambas sean ases si la primera carta:a) Se devuelve al mazo

A: as. La probabilidad que un as aparezca al extraer una carta de una baraja francesade 52 naipes es ( ) = 452 = 0.077 Al devolver la carta al mazo la probabilida permanence igual.Por el principio de multiplicacion la probabilidad de que ambas cartas sean ases es

( ) ∙ ( ) = 0.006 b) De una baraja de 52 naipes, mezclados al azar, se sacan dos naipes. Hallar la


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probabilidad de que ambas sean ases si la primera carta no se devuelve.Notese que podemos pensar en una baraja como un conjunto de parejas ordenadas

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} × {♥,♦,♠,♣} Donde = 11, = 12, = 13. Por ejemplo 3♥, es la pareja ordenada (3,♥).Sea el evento que la mano de dos cartas sean dos ases. Entonces consiste de lasparejas {(1,♥),(1,♦),(1,♠), (1,♣)}

Dado que || = 42, derivamos que

() =4

2

522

=6

1326 = 0.0045

14. Los participantes de un congreso son hospedados en 3 hoteles M, N y R, de modo que; enM hay 60 extranjeros y 32 nacionales; en N hay 42 extranjeros y 18 nacionales y en R hay64 extranjeros y 27 nacionales. Los organizadores del congreso tienen los correspondientesregistros de los hoteles mencionados con relacion a los congresistas. Si un registro se

selecciona al azar y del mismo se selecciona tambien al azar un congresista que resulta sernacional, calcular la probabilidad de que el registro sea: del hotel M.

M N R Total

Ext 60 42 64 166

Nal 32 18 27 77

Total 92 60 91 243

Es una probabilidad condicional porque se sabe previamente que el congresista es nacional,se expresa como

(|) =(M ∩ N)

(N)

32243166243

=32

77 = 0.41

15. Tres joyeros identicos tienen dos cajones cada uno. Cada cajon del primero contiene un relojde oro, cada uno del segundo un reloj de plata y en un cajon del tercero hay un reloj de oroy en el otro uno de plata. Si se selecciona un joyero al azar, abrimos uno de los cajones yen el hay un reloj de plata, cual es la probabilidad de que en el otro cajon haya un relojde plata? (Utilizar la formula de Bayes).No es necesario ningun calculo. Si el reloj es de plata no proviene del primer joyero.Proviene ya sea del segundo o del tercer joyero. Al abrir el segundo cajon solo hay dosposibilidades que sea de oro o de plata, es decir, la probabilidad es 50%.

16. En una fabrica de tornillos se tienen 3 tipos de maquinas las cuales producenrespectivamente, el 50 %, 30% y 20% de la produccion de cierto tipo de tornillo; sirespectivamente el 5, 3 y 1% de la produccion de cada maquina es defectuosa:

a) Hallar la probabilidad de obtener un articulo defectuoso.


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Sea : denota el evento que un tornillo escogido al azar haya sido producido por la -esima maquina ( = 1, 2,3) Sea : el evento que un tornillo escogido al azar sea defectuoso.Sea (): la probabilidad de obtener un articulo defectuosoLa siguiente informacion ha sido proporcionada

( 1) = 0.5 ( 2) = 0.3 ( 3) = 0.2 Si el tornillo fue producido por la maquina 1, la probabilidad que sea defectuoso es0.05;

o sea, (| 1) = 0.05. Resulta entonces(| 1) = 0.05 (| 2) = 0.03 (| 3) = 0.01

Para encontrar () aplicamos la regla del producto() = (| ) ∙ ( )

= (0.05) ∙ (0.5) + (0.03) ∙ (0.3) + (0.01) ∙ (0.2) = 0.036

Conclusion: La probabilidad de obtener un articulo defectuoso es 3.6%

b) Cual es la probabilidad de que un tornillo seleccionado al azar, que resulto defectuoso,provenga de la primera maquina?

Si se encuentra que el tornillo es defectuoso el evento ha ocurrido, y se desea calcularla probabilidad condicional de 1. Aplicando el teorema de Bayes,

( 1|) =(| 1) ∙ ( 1)

() =(0.05) ∙ (0.25)

0.0345 = 0.36

17.

Se tienen dos armas A y B. La probabilidad de dar con ellas en el blanco son ( ) = 0.6 y () = 0.8. se dispara con ambas armas, determinar la probabilidad de dar en elblanco con una sola de ellas.Sea M: el evento dar en el blanco con una sola armaTenemos = ( ∩ ) ∪ ( ∩ ), luego

() = ( ∩ ) + ( ∩ ) () = ( ) ∙ () + ( ) ∙ () () = 0.6 ∙ 0.2 + 0.4 ∙ 0.8 = 0.44

Conclusion: la probabilidad de disparar con ambas armas y dar en el blanco con unasola de ellas es 0.44

18. Se escogen al azar 3 lamparas entre un total de 15, de las cuales 5 son defectuosas. Hallar laprobabilidad que:a) Ninguna sea defectuosa.

Para que ninguna sea defectuosa, todas deben venir del grupo de 10 que no tienendefectos, por tanto

() =10

3

153

=120

455 = 0.26


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b) Una exactamente sea defectuosa.Para que una sola sea defectuosa, una sola debe venir del grupo de 5 defectuosas. Lasotras 2 provienen del grupo sin defectuosas

() =5

1 ∙ 10

2

15

3

=5 ∙ 45455

= 0.49

c) Una por lo menos sea defectuosa.Para que una por lo menos sea defectuosa, es el grupo que tienen 1, 2 y 3 defectuosas

() =5

1 ∙ 10

2 + 5

2 ∙ 10

1 + 5

3

153

=225 + 100 + 10

455 =

335

455 = 0.74

19. Solo el 60% de los estudiantes de la clase de estadistica del profesor H pasaron la 1a prueba.De quienes pasaron, el 80% estudiaron, el 20% de quienes no pasaron si estudiaron. Deberiausted estudiar para la prueba del profesor?Esto puede determinarse calculando la probabilidad de que usted pase, dado que usted

estudio. De la información anterior: () = 0.6, (|) = 0.8, ( ̅|) = 0.2. Entonces(|) = ( ∩ )() =() ∙ (|)

() ∙ (|) + (�) ∙ (|�)

=(0.6) ∙ (0.8)

(0.6) ∙ (0.8) + (0.4) ∙ (0.2) =0.48

0.48 + 0.08 = 0.857

Conclusion: (|) = 0.857 > () = 0.6 Si deberia estudiar para la prueba

20. Una empresa que fabrica camisetas posee tres maquinas, A, B y C, producen el 45 %, 30%y 25 %, respectivamente, del total de las piezas producidas en la fabrica. Los porcentajes deproduccion defectuosa de estas maquinas son del 3 %, 4% y 5% respectivamente.

a)

Seleccionamos una camiseta al azar; calcular la probabilidad de que salga defectuosa.

Sea : denota el evento que una camiseta escogida al azar haya sido producida por lava maquina ( = 1,2, 3) Sea : el evento que una camiseta escogida al azar sea defectuosa.Sea (): la probabilidad de obtener un articulo defectuosoLa siguiente informacion ha sido proporcionada

( 1) = 0.45 ( 2) = 0.3 ( 3) = 0.25 Si la camiseta fue producida por la maquina 1, la probabilidad que sea defectuosa es0.03; o sea, (| 1) = 0.03. Resulta entonces

(| 1) = 0.03 (| 2) = 0.04 (| 3) = 0.05 Para encontrar () aplicamos la regla del producto() = (| ) ∙ ( )

= (0.03) ∙ (0.45) + (0.04) ∙ (0.3) + (0.05) ∙ (0.25) = 0.038

Conclusion: La probabilidad de obtener un articulo defectuoso es 3.8%


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b) Tomamos, al azar, una camiseta y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad dehaber sido producida por la maquina B.

Si se encuentra que la camisete es defectuosa el evento ha ocurrido, y se desea calcularla probabilidad condicional de 2. Aplicando el teorema de Bayes,

(

2|

) =

(| 2) ∙ ( 2)

() =

(0.04) ∙ (0.3)0.0345

= 0.35

c) Que maquina tiene la mayor probabilidad de haber producido una camiseta defectuosa?

( 1|) =(| 1) ∙ ( 1)

() =(0.03) ∙ (0.45)

0.0345 = 0.39

( 3|) =(| 3) ∙ ( 3)

() =(0.05) ∙ (0.25)

0.0345 = 0.36

Conclusion: La maquina A tiene la mayor probabilidad de haber producido unamaquina defectuosa

21. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola hasido roja, cual es la probabilidad de haber sido extraida de la urna A?Sea R: el evento se ha escogido una bola rojaSea (1| ): la probabilidad que una bola roja sea extraida de la urna A

(1| ) =( |1) ∙ ( )

( |1) ∙ ( ) + (|1) ∙ () + (|1) ∙ ()

(1| ) =38

∙ 13

38

∙ 13

+23

∙ 13

+25

∙ 13

=

324

173360

=45

173 = 0.26

22. Si se tiene tres resultados definidos en un espacio muestral S y se conoce que:

(

) = 0.40;

() = 0.42; () = 0.15; ( |) = 0; ( |) = 0; (|) = 0.11

Diga si:a) A y B son independientes. Dado que la probabilidad condicional ( |) = 0 podemos

decir que los eventos son independientesb) A y C son mutuamente excluyentes.

Dado que la probabilidad condicional ( |) = 0 podemos decir que los eventos sonindependientes. Sin embargo,

( ) > 0, () > 0 Sea y son mutuamente excluyentes

(

∩ ) =

(

)

∙ (

) > 0 (1)

Si y son mutuamente excluyentes entonces( ∩ ) = 0 (2)

Conclusion: a y no pueden ser mutuamente excluyentes

c) B y C son independientes. Dado que la probabilidad condicional (|) = 0.11 portanto (|) ≠ 0 podemos decir que los eventos B y C no son independientes

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