¡¡ BienVeniDos !!

¡¡ BienVeniDos !!

Reseña HistóricaRealizar la elaboración y la comprensión de un concepto concreto de las

aplicaciones de integrales definidas, implica la necesidad de revisar los caminos que ésta ha recorrido a través del tiempo, y las aplicaciones que de esta devienen en la actualidad, y para ello es que, desde aquí se propone analizar los distintos aspectos en cuanto a su utilización, es decir, mediante su aplicación directa. Sin olvidar las antiguas concepciones que la fundaron.

Historia del Cálculo de la Integral

El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico.

La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencilla como el de las derivadas.

Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua invisibilidad de los problemas del  cálculo de fluxiones y  fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.

 Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Saberes previos:

• Sumas de Riemman;• Integrales Definidas• Propiedades de las Integrales Definidas;• Teorema Fundamental de Cálculo;• Métodos de cálculos por aproximación de

Integrales Definidas;• Método del Punto Medio;• Método del Trapecio;• Método de Simpson.

ObjeTivoS PropuEstOs

Reconocer el uso de la integral definida en las situaciones problemáticas propuestas;

Graficar teniendo en cuenta el eje de rotación; Aplicar de manera comprensiva los distintos métodos de

integración teniendo en cuenta las gráficas obtenidas; Validar el cálculo integral realizado, mediante los

métodos de aproximación;Operar de manera correcta el Software determinado

(GeoGebra)Valorar la opinión de los iguales (compañeros) dada en

clase;

Te proponemos realizar las siguientes situaciones problemátic

as

Te proponemos realizar las siguientes situaciones problemátic

as

Pero primero te sugerimos que resuelvas la secuencia de

actividades porque te va a permitir estudiar acerca de las distintas

aplicaciones de la integral definida. Eso va a significar un aporte

teórico–práctico para resolver el cada situación planteada.

Pero primero te sugerimos que resuelvas la secuencia de

actividades porque te va a permitir estudiar acerca de las distintas

aplicaciones de la integral definida. Eso va a significar un aporte

teórico–práctico para resolver el cada situación planteada.

PRIMERA SITUACIÓN PROBLEMÁTICATeniendo en cuenta las imágenes a presentar posteriormente y la función

CONSIGNAS:1. Grafica la función en un sistema de eje coordenados y halla los puntos

de intersección de la función con el eje ‘‘x’’ y con el eje ‘‘y’’.2. Calcula la superficie de la función con el eje x (espacio coloreado en

verde).3. Esquematiza los rectángulos de aproximación teniendo en cuenta que

gira alrededor del eje ‘‘y’’. ¿De qué sólido se trata?4. Considerando la gráfica: ¿qué método te permite calcular el volumen el

sólido engendrado? Método del Disco, Arandela o de los Cascarones Cilíndricos.

5. Calcula el perímetro de la superficie hallada en el punto dos.6. Sabiendo que has hallado el volumen del cuerpo engendrado, calcula

ahora la superficie vidriada del edificio.7. Verifica cada cálculo integral realizado, utilizando el método de

aproximación conveniente en cada caso.

Estas imágenes corresponden a un edificio ubicado en la ciudad de Londres

(Inglaterra) llamado Swiss Re Tower; y el cálculo del misma que se han tomado en

cuenta solo es estimativo, debido a que se conocen los detalles de la construcción y

sólo se han basado en las imágenes presentadas.

SEGUNDA SITUACIÓN PROBLEMÁTICATeniendo en cuenta las funciones, realiza las actividades de la siguiente

página

• ; que gira alrededor de x = 0

CONSIGNAS:

1. Grafica las funciones de cada ítem en un sistema de eje coordenados y halla los

puntos de intersección de la función entre ellas.

2. Calcula la superficie de el espacio entre las curvas.

3. Esquematiza los rectángulos de aproximación teniendo en cuenta que gira

alrededor de ’’x’’, y la característica del espacio entre ellas. ¿De qué sólido se

trata?

4. Considerando la gráfica: ¿qué método te permite calcular el volumen el sólido

engendrado en cada caso? Método del Disco, Arandela o de los Cascarones

Cilíndricos.

5. Calcula el perímetro de la superficie hallada en el punto dos.

6. Sabiendo que has hallado el volumen del cuerpo engendrado, calcula ahora la

superficie de ese cuerpo.

7. Verifica cada cálculo integral realizado, utilizando el método de aproximación

conveniente en cada caso.

ApliCacioNesde la

InteGraL DefiNida

Tema:

ApliCacioNesde la

InteGraL DefiNida

Cálculo deÁrea entre curvas

Cálculo de Volumen de sólido de revolución

Cálculo deLongitud de arco de curva

Cálculo deSuperficie de Sólido de revolución

Método del punto medio:

Método del Trapecio

Método de Simpson

MÉTODOS DE APROXIMACIÓN:Dada una función f(x) continua en [ a; b ], en la que se

pretende aplicar la integral definida para calcular ya sea superficie entre curvas, longitud de arco, volumen de algún sólido de revolución o la superficie de ese sólido, los métodos de aproximación se usan indistintamente, y ellos son:

Superficie Limitadapor Curvas

ACTIVIDAD 1)

Sea A el espacio bidimensional (superficie) entre dos curvas f(x) y g(x), donde p y q son los puntos de intersecciones de ambas funciones y, a; b el intervalo de esos puntos.

El cálculo de A viene dado por la

fórmula:

𝐴=∫𝑎

𝑏

[ 𝑓 ( 𝑥)−𝑔(𝑥) ]𝑑𝑥

ConSignAs

Dadas las funciones f(x1)=X2 y f(x2) = x

a) Grafícalas en un sistema de ejes cartesianos;b) Encuentra los puntos de intersección analíticamente y de forma

gráfica;c) Evalúa qué función limita superiormente y cuál inferiormente;d) Utiliza la fórmula dada para calcular el espacio bidimensional

entre ellas;e) Marca la superficie entre ellas;f) Verifica el cálculo integral con el método de aproximación que

te permita hallar el menor error posible.Puntuación: 2,50 puntos

Volumen de Sólidode Revolución

ACTIVIDAD 2)

Sea V el espacio tridimensional del sólido de revolución (volumen) que es engendrado por la superficie entre dos curvas f(x) y g(x) , donde a y b son los puntos de intercesión de ambas funciones y [a; b] es el intervalo formado por esos puntos.

La aplicación de alguna de las fórmulas depende

del gráfico obtenido cuando la superficie gira

alrededor su eje

El cálculo de V viene dado por la aplicación de una de las fórmulas

Método del Disco

Método de la Arandela

Método del los Cascarones Cilíndrico

𝑉=2𝜋∫𝑎

𝑏

𝑥 . 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥

ConSignAs

Dadas las funciones f(x1)=X2 y f(x2) = x , que gira alrededor del

eje x

a) Grafícalas en un sistema de ejes cartesianos;b) Encuentra los puntos de intersección analíticamente y de forma

gráfica;c) Evalúa de qué sólido se trata y la característica que posee;d) Utiliza el método te permite calcular el volumen del sólido

engendrado;e) Marca los rectángulos que te permitan graficar los cilindros o

arandelas de aproximación;f) Verifica el cálculo integral con el método de aproximación que

te permita hallar el menor error posible.

Puntuación: 2,50 puntos

Longitud de Arcode Curvas

ACTIVIDAD 3)

Sea L el espacio unidimensional de la curva de la f(x) , donde a y b son los puntos de intercesión de ambas funciones.

El cálculo de V viene dado por la fórmula:

𝐿=∫

𝑎

𝑏

√1+ 𝑓 ′ 2(𝑥 )𝑑𝑥

ConSignAs

Dadas las funciones f(x1)=X2 y f(x2) = x

a) Grafícalas en un sistema de ejes cartesianos;b) Encuentra los puntos de intersección analíticamente y de forma

gráfica;c) Evalúa cómo puedes calcular el perímetro de la superficie

formada por las funciones;d) Utiliza la fórmula para calcular ese perímetro;e) Verifica el cálculo integral con el método de aproximación que

te permita hallar el menor error posible.Puntuación: 2,50 puntos

Superficie de Sólidode Revolución

ACTIVIDAD 4)

Cuando se habla de superficie de sólido de revolución se habla de la superficie que recubre a ese sólido.

Cuando el sólido se genera con una sola función, esa superficie se halla aplicando:

𝑆 𝑣𝑜𝑙=2𝜋∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥)√1+ 𝑓 ′2(𝑥)𝑑𝑥

Cuando el sólido se genera con una sola función

𝑆 𝑣𝑜𝑙=2𝜋∫𝑎

𝑏

[ 𝑓 ( 𝑥)√1+ 𝑓 ′ 2( 𝑥)+𝑔(𝑥 )√1+𝑔 ′2(𝑥) ]𝑑𝑥

Cuando el sólido se genera con la intersección de dos funciones, esa superficie se halla aplicando:

ConSignAs

Dadas las funciones f(x1)=X2 y f(x2) = x

a) Grafícalas en un sistema de ejes cartesianos;b) Encuentra los puntos de intersección analíticamente y de forma

gráfica;c) Evalúa cómo puedes calcular la superficie del sólido formado

por las funciones;d) Marca los rectángulos que te permitan graficar los cilindros o

arandelas de aproximación; e) Utiliza la fórmula para calcular esa superficie;f) Verifica el cálculo integral con el método de aproximación que

te permita hallar el menor error posible.Puntuación: 2,50 puntos

EVALUACIÓN: la secuencia se evaluará teniendo en cuenta

Escala Insuficiente hasta 4

debe mejorar

Entre 5 y 7

Cumplió con las

expectativas

Entre 8 y 9

Excelente 10

Aspectos a evaluar

presentaciónmuy simple y

sencillaBásica y

elemental Se adecúa Respeta las consignas

Contenidos Poco material, marco teórico

ContenidosMínimos

Correcta selección

Significativos y relacionados

Actitud Poco

compromiso yorganización

Necesidad de reafirmar

Trabajo colectivo,

paulatino y responsabl

e

Trabajo colectivo, paulatino y responsableY permite asesoría

RecUrsoS

(http://calculointegralimpmzoraida.blogspot.com.ar/2010/02/historia-de-las-integrales_12.html

)https://www.youtube.com/watch?v=nKITyqGp7l4https://www.youtube.com/watch?v=DkT3umJMl8Ihttps://www.youtube.com/watch?v=TqYpJ0BhEdI

https://www.youtube.com/watch?v=7eOXF86DuPg

AcreDitaciOneS

Agradecemos a todas las páginas que han permitido construir este trabajo, aportando los conceptos necesarios, las gráficas utilizadas y las aclaraciones que dieron lugar al esclarecimiento de las ideas.

Se agradece, además, la utilización como recursos para la presente publicación.

Por lo dicho anteriormente, se reconoce los derechos de autor de los gráficos usados

Ojeda Lucas Gabriel

Rodriguez, Juan MarceloAUTORES: