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Taller para aprender geometria analitica
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TALLER DE GEOMETRIA ANALITICA.
La circunferencia. Es el conjunto de puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Esta distancia se llama radio.
Ecuación general 2 2
0Ax By Cx Dy E+ + + + =
Donde A B= y la y y la x están al cuadrado.
Ecuación Simétrica ( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =
Ejercicios.
1. Hallar el centro ( ),C h k y el valor del radio de las siguientes circunferencias.
2 23 5 14 0x y x y+ − + − =
2 2
4 6 3 0x y x y+ + − − =
2 23 3 4 7 0x y y+ + − =
2 2
2 2 8 20 22 0x y x y+ − − + =
2 24 4 9 0x y x y+ + + − =
2 2
5 5 32 8 34 0x y x y+ − − − =
2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (7,-6) y pasa por el punto (2.2).
3. Demostrar que las circunferencias 2 24 4 16 12 13 0x y x y+ − + + = y
2 212 12 48 36 55 0x y x y+ − + + = son concéntricas.
Radio C (h,k)
La parábola. Es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistante de un punto fijo F (el foco) y una recta fija L (La directriz) que están en el plano.
F
p
V
p Directriz.
Ecuación general 2
0Ax Cx Dy E+ + + = despejando a
2y ax bx c= + +
La ecuación simétrica es ( ) ( )24x h p y k− = −
Donde:
( ) ( )1, , :
4p Vertice h k Foco h k p Directriz y k p
a= + = −
Si p>0 si p<0
Ecuación general 2
0Ay Cy Dx E+ + + = despejando a
2x ay by c= + +
La ecuación simétrica es ( ) ( )24y k p x h− = −
Donde
( ) ( )1, , :
4p Vertice h k Foco h p k Directriz x h p eje y k
a= + = − =
Si p>0 si p<0
Ejercicios.
Encontrar el vértice, el foco, la directriz y el eje de las siguientes parábolas.
24y x=
2 4
3y x= −
2
16x y= −
228x y=
( )21 16y x− =
( ) ( )2
5 4 1x y+ = − +
28 2 10 0y y x− + + =
2 15 6 0
4x x y+ − + =
2
6 12 24 42 0y y x− + − =
Encuentre la ecuación general de la parábola que satisface las siguientes condiciones.
( )0,7 7F directriz y = −
( )1,4 5F directriz x− =
( )5,0 0,02
F V
( ) ( )1,5 1, 3F V −
La elipse. Es el conjunto de puntos de un plano para los que es constante la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados foco
A2
P(x,y)
V2 V1
A2
F2 C (h,k)
F1
Elementos de la elipse. A1
V2 V1
A2
Donde: 1 22VV a=
llamado eje mayor, a es la distancia ente el centro y cada
uno de los vértices
1 22A A b=
Llamado eje menor, b es la distancia ente el centro y cada uno de
los puntos 1 2A A
La distancia entre el centro y cada uno de los focos es c.
La ecuación2 2 2a b c= + siempre se cumple en la elipse.
Ecuaciones.
La ecuación general de la elipse es: 2 20Ax By Cx Dy E+ + + + = donde
A y B son diferente y tienen el mismo signo.
Las ecuaciones estándar es de la elipse son:
( ) ( )2 2
2 21
x h y ka b
a b
− −+ = >
Donde: Centro ( ),C h k
, Vértices ( ) ( )1 2
, , ,V h a k V h a k+ −
Focos ( ) ( )1 2, , ,F h c k F h c k+ −
, eje mayor paralelo al eje x.
( ) ( )1 2, , ,A h k b A h k b+ −
La elipse es
Las ecuación es estándar es de la elipse son:
( ) ( )2 2
2 21
y k x ha b
a b
− −+ = >
F2 c b C(hk) a
Donde: Centro ( ),C h k
, Vértices ( ) ( )1 2, , ,V h k a V h k a+ −
Focos ( ) ( )1 2, , ,F h k c F h k c+ −
, eje mayor paralelo al eje y.
( ) ( )1 2, , ,A h b k A h b k+ −
La elipse es de la forma
Excentricidad. 0 1c
e ea
= < <
Si 1e ≅ La elipse se aproxima a una circunferencia de radio a
Si 0e ≅ La elipse se aplana
Ejercicios.
1. En los siguientes ejercicios Hallar: El centro, focos, vértices y excentricidad de las elipses.
2 2
125 9
x y+ =
2
21
16
yx + =
2 2
9 16 144x y+ =
2
2 14 4
2x y
+ + =
( ) ( )2 25 1 3 2 45x y− + + =
2 225 9 100 18 116 0x y x y+ − + − =
2. Encuentre la ecuación general de la elipse que cumple con las siguientes condiciones.
( ) ( )5,0 , 3,0V F± ±
( ) ( )0, 3 , 0, 1V F± ±
( ) ( )0, 3 , 1,0V A± ±
( )2,0 6F longitud del eje menor±
R=a
b
( ) ( )0, 3 1,2 2F pasa por el punto± −
( ) ( ) ( )1.3 , 1, 1 , 1,0C V F−
La hipérbola . Es el conjunto de todos los puntos en un plano para los que es constante la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos.
y
P(x,y)
F1 F2 x
Elementos de la hipérbola:
A1
F1 V1 c C a V2 F2
A2
Donde: 1 22VV a=
llamado eje transverso, a es la distancia ente el centro C y
cada uno de los vértices, sobre el eje transverso están el centro, los vértices y los focos
1 22A A b=
Llamado eje conjugado, b es la distancia ente el centro y cada uno
de los puntos 1 2A A
La distancia entre el centro y cada uno de los focos es c.
Las rectas punteadas son las asíntotas con pendientes:
Para la asíntota b
ma
= +
Para la asíntota b
ma
= −
La ecuación2 2 2c a b= + siempre se cumple en la hipérbola.
Ecuaciones.
La ecuación general de la hipérbola es: 2 20Ax By Cx Dy E+ + + + = donde
A y B tienen diferente signo.
Las ecuaciones estándares de la hipérbola son:
( ) ( )2 2
2 21
x h y k
a b
− −− =
Donde: Centro ( ),C h k
, Vértices ( ) ( )1 2
, , ,V h a k V h a k+ −
Focos ( ) ( )1 2, , ,F h c k F h c k+ −
, eje transverso paralelo al eje x (es la parte positiva).
( ) ( )1 2, , ,A h k b A h k b+ −
Las ecuaciones de las asíntotas es ( )by k x h
a− = ± −
Las ecuaciones estándares de la hipérbola son:
( ) ( )2 2
2 21
y k x h
a b
− −− =
Donde: Centro ( ),C h k
, Vértices ( ) ( )1 2, , ,V h k a V h k a+ −
Focos ( ) ( )1 2, , ,F h k c F h k c+ −
, eje transverso paralelo al eje y (es la parte positiva)
( ) ( )1 2, , ,A h b k A h b k+ −
Las ecuaciones de las asíntotas son ( )ay k x h
b− = ± −
Ejercicios.
1. En los siguientes ejercicios Hallar; el centro, los focos, los vértices y asíntotas de la hipérbola.
a. 2 2
116 25
x y− =
b. 2 2
164 9
y x− =
c. 2 24 16 64x y− =
d. ( ) ( )2 225 5 5 1 125x y− − − =
e. ( ) ( )2 28 4 5 1 40 0x y+ − − + =
f. 2 24 8 6 4 0x y x y− − + − =
g. 2 29 4 54 16 29 0x y x y− − − + =
h. 2 225 9 100 54 10 0x y x y− + − + =
2. Encuentre en cada ejercicio la ecuación de la hipérbola que satisface las
condiciones dadas.
a. ( )5,0 , 3F a± =
b. ( ) ( )0, 4 , 0, 2F un verticeV± −
c. ( )4,0 , 6F longitud del eje transverso±
d. ( )0, 8 , sin 2V a totas y x± = ±
e. ( ) ( ) ( )1, 3 , 1,6 , 1, 5C un foco F un verticeV− −