Taller 2 Solucin: Movimiento en dos dimensiones

Mecnica Newtoniana para Fsicos

Edwin Ramos

1 Se dispara a un blanco T de tal forma que el proyectl deja el rie al mismo tiempo que se deja caer el objetivo,como se muestra en la Figura 3. Muestre qu si se apunta el rie al objetivo inicialmente en reposo el proyectl

golpea el objetivo.

Figure 1: Objetivo derribado por un proyectl (Ejercicio 1); .

Solucin:

Se debe tener en cuenta que tanto el proyectl como el objetivo son afectados por la gravedad (a = g) en el momento queson liberados. Haciendo uso de la trigonometra la coordenada y del objetivo como se muestra en la Figura 3a es igual ay0 = xT tan i, donde xT es la distancia en x donde colisionan los dos objetos y i es el ngulo con el cual fue disparado elproyectl. Por otro lado el blanco cae por efectos de la gravedad y su altura disminuye con

12gt

2por o tanto para el blanco

la ecuacin de la distancia en y es

y = y0 12gt2 = xT tan i 1

2gt2, (1)

ahora para la trayectoria del proyectl

xp = v0x t = v0 cos i t (2)y para la componente en y

yp = v0 sin i t 12gt2 (3)

de la ecuacin (2) despejamos el tiempo t

t =xT

v0 cos i(4)

cuando colisionan xp = xT y t es el tiempo que tarda en llegar a xT y es el mismo tiempo para el blanco. Si reemplazamoseste tiempo en la ec. (3) se obtiene que

yp = v0 sin i (

xTv0 cos i

) 1

2gt2

= tan i xT 12gt2 (5)

la colisin ocurre cuando yp = y entonces las comparamos

xT tan i 12gt2 = tan i xT 1

2gt2, (6)

Aux. Docente, eramosr@unal.edu.co., cod: 835411

1

son iguales por tanto es necesario apuntar al objetivo (blanco) en su altura inicial justo en el momento que se suelta para

poder dar en el blanco y as donde pone el ojo pone la bala"

2 Mike corre a una velocidad constante de 6.5m/s (Figura 4) y salta por un acantilado cayendo al agua a 15m dela orilla de donde salt. a. Qu tan alto es acantilado?, b. Cuanto tiempo tarda en caer al agua?, c. Cul es

la velocidad de Mike al tocar el agua?.

Solucin:

Figure 2: Mike saltando a un acantilado (Ejercicio 2)

Este movimiento corresponde a un movimiento semiparablico y la velocidad inicial corresponde a la velocidad del eje x,entonces v0x = v0 cos(0) = 6.5m/s. En y la velocidad inicial es cero v0y = 0. podemos calcuar en primer lugar e tiempo t decaida puesto que ya conocemos el alcance horizontal xT = 15m la ecuacin para el eje x es

xT = v0x t. (7)? De aqu despejamos el tiempo

t =xTv0x

=15.0m

6.5ms 2, 31s (8)

? con el tiempo podemos calcular la altura del acantarillado (h0) con la ecuacin para la altura

h = h0 + v0yt 12gt2 (9)

0 = h0 + 0 12gt2

h0 =1

2gt2 =

1

29.8

m

s2(2, 3s)2 26.1m (10)

? por ltimo la velocidad nal vfy de Mike usando la ecuacin

vfy = v0y gt = 0 9.8ms2

(2.3s) 22.6ms(11)

3 Un nio se encuentra en la cima de una colina la cual tiene una inclinacin de con la horizontal (hacia abajo),a qu ngulo con la horizontal (hacia arriba) debe el nio tirar la roca para que su alcance sea mximo. Figura??.

Teniendo en cuen ta la aceeracin de la gravedad g la posicin en las coordenadas x y y son:

x = v0 cos t (12)

y = v0 sin t 12gt2 (13)

tenemos que saber donde est el suelo en e4stas coordenadas, haciendo un tringulo coomo se muestra en la Figura la

coordenada y de suelo esys = x tan, (14)

2

Figure 3: Objeto lanzado desde una colina

podemos encontrar el tiempo que tarde en tocar el suelo igualando las ec. (13) y (14)

v0 sin t 12gt2 = x tan

v0 sin 12gt = x

ttan dividimos por t (15)

usamos la ec. 12 y despejamos

xt = v0 cos y reemplzamos en (15)

v0 sin 12gt = v0 cos tan

t = 2gv0 (sin + cos tan) (16)

ahora reemplzamanos este tiempo en la ec. 12 para el desplazamiento en x

x = v0 cos

[2

gv0 (sin + cos tan)

]=

2v20g

[cos sin + cos2 tan

](17)

mximizando x como funcin de (derivamos respecto a )

dx

d=

2v20g

[( sin sin + cos cos ) + 2 cos ( sin ) tan]

=2v20g

(cos(2) sin(2) tan) = 0 cot(2) = tan (18)usando la propiedad donde cot = tan

(pi2

). Ahora si = 2, entonces la ec.18 queda escrita como

tan(pi

2 2

)= tan (19)

despejando

pi

2 2 =

= pi4

+

2(20)

comprobando el resultado:

Cuando es cero el alcance mximo se encunetra en = pi4 45 lo cual es correcto.

4 Un basketbolista lanza hacia arriba el baln con un ngulo 0 y una velocidad inicial v0. El jugador trata decoger el baln y para esto l acelera constantemente (a) un intervalo de tiempo t1 y contina corriendo avelocidad constante un intervalo de tiepo t2 y logra coger el baln a a misma altura que lo lanz. Cul debeser la aceleracin a del jugador para alcanzar el baln?. considere g constante Figura ??

En este ejercicio hay dos objetos en movimiento: el jugador y el baln. El jugador tiene un moviemiento acelerado inicialmente

y un moviemnto uniforme. El baln por su lado presenta un movimiento parablico. El baln est en el aire por un tiempo

3

Figure 4: Basketbolista (Ejercicio 4).

tb = t1 + t2 y las ecuaciones para la posicin en xb y yb del baln

xb = v0 cos 0 tb = v0 cos 0 (t1 + t2) (21)yb = y0b + v0 sin 0 tb 1

2t2b = v0 sin 0 (t1 + t2)

1

2g(t1 + t2)

2(22)

de la ecuacin (22) despejamos el tiempo tb eteniendo en cuenta que yb = 0 y y0b = 0

v0 sin 0 tb 12t2b = 0

v0 sin 0 =1

2tb

2v0 sin 0

g= tb = (t1 + t2) (23)

podemos ver que hay una relacin entre la velocidad y el ngulo de lanzamiento

v0 =g(t1 + t2)

2 sin 0(24)

para el ngulo

= sin1(g(t1 + t2)

2v0

)(25)

? Ahora calculamos el espacio y la velocidad recorridas para el intervalo de tiempo t1

xt1 =1

2a(t1)

2(26)

vt1 = a(t1) (27)

Ahora para el intervalo de tiempo t2, los valores nales del primer intervalo son los valores iniciales para el segundo intervalo

xt2 = xt1 + vt1(t2) =1

2a(t1)

2 + a(t1)(t2) (28)

como la posicin del baln es la misma a la del jugador cuando coge el baln, entonces igualamos las ecuaciones (21) y (28)

v0 cos 0 (t1 + t2) = 12a(t1)

2 + a(t1)(t2) (29)

despejamos la aceleracin de (29)

v0 cos 0 (t1 + t2) = 12a(t1)

2 + a(t1)(t2)

v0 cos 0 (t1 + t2) = a(

1

2(t1)

2 + t1t2

)a =

v0 cos 0 (t1 + t2)(12 (t1)

2 + t1t2)(30)

si se quiere dar el resultado en trminos de solo el ngulo (0) o solo la velocidad (v0) se pueden usar las ecuaciones (24) o(25)

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