TANGENCIAS: VOLUTAS

Es importante distinguir las Espirales de las Volutas. Los dos tipos de curva giran alrededor de un centro, alejándose

paulatinamente de él, o acercándose hacia él, si las observamos de fuera hacia dentro.

Pero LAS VOLUTAS ESTÁN FORMADAS POR ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS, TANGENTES ENTRE SÍ, CUYOS CENTROS, SI

SON MÁS DE DOS, FORMAN LOS VÉRTICES DE POLÍGONOS REGULARES: desde un triángulo equilátero hasta uno de

tantos lados como se deseen.

Estas circunferencias tienen, evidentemente, centros distintos (pues, si no, serían concéntricas y no tendrían puntos

de tangencia).

Las Volutas no suelen darse en la naturaleza. Las Galaxias son espirales o elípticas, las parejas de estrellas de neutrones

giran en espiral una alrededor de otra, y los planetas giran alrededor del Sol formando un recorrido elíptico.

Los óvalos y las volutas pertenecen al universo imaginario del hombre, que simplifica las formas, pues resultan más

fáciles de construir. CONSTRUYE UNA VOLUTA DE CUATRO CENTROS Y OTRA DE MÁS.

Imágenes de capiteles de diferentesépocas que contienen volutas.

Construcción de una voluta de tresy otra de dos centros.Construye una voluta de cuatro ocinco centros.

Volutas en el retablo del siglo XVI del monasterio deMuskida en el Pirineo Navarro. Se observa que, enel arte, la geometría es una guía para crear formas ar-mónicas: las dos volutas de dos centros sirven de es-tructura para crear el ritmo de la talla.

A BQ

A

BC

ESPIRALES

Hemos visto en los dos cuadros de Klimt ejemplos de espirales combinadas con otros arcos o rectas enlazados. Vamos

a hacer un estudio más exhaustivo de la espiral, no ya por su empleo en el arte, sino por su formación en la naturaleza

gracias a las características que la relacionan con el movimiento y, sobre todo, el crecimiento de las formas tanto or-

gánicas como químicas.

Ejemplos de espirales producidas por interacción entre partículas atómicas, cristal líquido y patrones de magnetismoLos Ejemplos inferiores tampoco pertenecen a elementos orgánicos; sino a formaciones creadas por elementos químicos.

Dos galaxias: la de la izquierda, la NGC1232, y lade la derecha, la nuestra; en el centro: en la parte su-perior, un gráfico virtual de dos estrellas de neutro-nes que giran una alrededor de la otra; abajo vemosla imagen de un temporal.

Las espirales crecen alrededor de un centro y se expanden de acuerdo con diferentes patrones: unas tienen un creci-

miento aritmético y otras geométrico. Unas crecen en un plano y otras tienen tres dimensiones. Algunas, como la

del huracán o las partículas atómicas tienen un único brazo, pero otras tienen dos, tres, cuatro...

La característica principal de las espirales es que parten de un centro y se expanden progresivamente. Por lo tanto,

el punto que las genera varía su curvatura de forma constante y no se pueden trazar con compás (a veces se trazan

arcos, pero se trata de una simplificación).

El primero que definió geométricamente una espiral fue Arquí-

medes, por eso el tipo de curva que tiene estas características lleva

su nombre. La definió como un punto que se desplaza a una ve-

locidad constante sobre una recta, mientras ésta gira alrededor

de uno de sus puntos con una velocidad angular también cons-

tante. Es decir, que el radio que genera el movimiento del punto

nunca es el mismo (aunque sí el ángulo de desplazamiento) y au-

menta de manera aritmética.

Representamos un gráfico que nos sirve para comprender este concepto.Observa que sólo podemos dibujar la curva a mano, nunca con compás, porqueel radio aumenta gradualmente de forma constante.DIBUJA UNA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES CUYO PASO SEAN 12 UNIDADES

DE 1/2 CM. Y DE 12 RADIOVECTORES.

1

C

A

B

C'

C DA

B

ESPIRALES LOGARÍTMICAS

Descartes, en 1638, descubrió otro tipo de espiral, que incluye las espirales llamadas LOGARÍTMICAS o EQUIANGU-

LARES. Se llaman equiangulares porque pueden considerarse formadas por un ángulo que gira alrededor de un centro,

acercándose constantemente a él sin llegar ununca a alcanzarlo. Su amplitud disminuye (o aumenta, depende desde

qué extremo comience a observarse el movimieno) de acuerdo con una progresión geométrica, en lugar de aritmética

como la de Arquímedes. Por esta característica también se llaman logarítmicas.

Concha de Nautilo seccionadapara mostrar el crecimiento enforma de espiral logarítmica

El lado del cuadrado mayor es la diagonal del de menor tamaño ylos ángulos giran 45°.El lado menor del triángulo es el mismo que el mayor del siguiente Ejemplos de dos Espirales Áureas: son logarítmicas.y los ángulos giran 30° La curvatura ligeramente abombada revela que se han trazado los

arcos con compás para simplificar el proceso de construcción.

GNOMON Se trata de la figura que queda como remanentecuando a una figura le suprimimos un fragmentoque es semejante a ella pero de menor tamaño, deforma que el lado mayor de esta figura más pe-queña mide lo mismo que el menor de la inicial.

En los dos gráficos, señalamos el Gnomon cubriéndolo de untono gris.En el Rectángulo Áureo se ve cómo queda un espacio gris enforma de cuadrado al suprimir el rectángulo semejante a élpero menor en la progresión geométrica.En el Triángulo Pentalfa se ve cómo queda un espacio grisen forma de triángulo isósceles obtusángulo al suprimir eltriángulo semejante a él y menor en la progresión geométrica.

DIBUJA UNA ESPIRAL LOGARÍTMICA A PARTIR DE UN RECTÁNGULO ÁUREO CUYO LADO MENOR MIDE 6CM.

Bajo estas líneas se muestran dos ejemplos graficos. Si los observas con atención, descubrirás que, a pesar de las aparentes sim-litudes, se trata de dos tipos de curva completamente distintos.

La primera es una curva fractalque se extiende en forma espi-ral (los fractales tienen la carac-terística de que sus partes soncasi iguales al conjunto –auto-semejanza– por lo que los de-talles que se repiten tambiéncontienen espirales).La de la derecha no es una es-piral. Recorre la curva con eldedo y descubre cuál es su es-tructura. Nuestra percepciónno es fiable por completo: re-cuérdalo a la hora de analizarproblemas.

ESPIRALES EN LA NATURALEZA ORGÁNICA

En la naturaleza orgánica se encuentran numerosas variedades de espiral. Encontramos ejemplos muy diferentes,

tanto de espirales de Arquímedes como Logarítmicas. Si observamos las espirales que emplean como elementos de

sujección los seres vivos (tanto plantas como animales), debemos advertir que su forma no es estática, por lo que el

análisis debe restringirse a una de las posiciones que pueden adoptar; por ejemplo, cuando están totalmente enro-

lladas.

En el caso de las espirales creadas por segregación calcárea o de otra meteria rígida, se puede dibujar de forma precisa

la evolución de la curva y determinar a qué tipo pertenece.

De la misma forma que hay muchas variedades de espirales logarítmicas, las de Arquímedes varían de aspecto de

acuerdo con la amplitud del ángulo de giro de la recta en movimiento y de la velocidad de alejamiento del centro

del punto que las genera.

En el gráfico de la derecha se ven los puntos que ge-neran dos espirales de Arquímedes que compartenel ángulo de giro de la recta generatriz pero no elpaso que realiza el punto en cada vuelta.

En el ejemplo de los Amonites, se observa que la na-turaleza no crea las formas de una manera absoluta-mente rígida. Las espirales que forma la concha decada ejemplar no son iguales de un ejemplar a otro,ni entre los de diferente género.

En general, las espirales orgánicas suelen verse dobles, pues los organismos tienenespesor. En los ejemplos inferiores vemos dos tipos de espiral: la primera aumentapoco en espesor y queda completamente enroscada, mientras la segunda se separadejando un hueco interior.

DIBUJA UNA DOBLE ESPIRAL IDEADA POR TI.

ESPIRALES Y HÉLICES

Cuando las espirales crecen en tres dimensiones, adquieren una posibilidad que no existe

en el crecimiento plano: pueden describir un giro que asciende pero no varía

el radio, de forma que nunca aumenta la amplitud del giro. Este tipo de

curvas tridimensionales no tienen, por lo tanto, la característica que

define a las ESPIRALES, según D’Arcy Thompson: su curvatura

debe disminuir según se aleja la línea del punto de origen.

Este tipo de curva (del que son un ejemplo los tornillos

de metal, la estructura del ADN y este fósil de un

esqueleto de una colonia de briozoos llamada

“Tornillo de Arquímedes”) tiene el nombre

de HÉLICE. Tanto la amplitud del radio

de giro, como el paso, se mantienen

invariables.

DIBUJA UNA HÉLICE DE

DIÁMETRO 6 CM. Y DE Sin embargo, en estosPASO 8 CM. ejemplos de conchas

de caracola se puedeobservar el crecimientoen tres dimensiones dedos espirales.Su crecimietno no esidéntico, pero todas aumentan el radio de lacurvatura y disminuyensu amplitud al alejarsedel punto de origen.

Las escaleras de caracol son un ejemplo clásico de la construc-

ción de hélices (por eso se llaman también helicoidales). La de

la ilustración, en perspectiva cónica, sólo puede existir en el di-

bujo, puesto que carece de eje o núcleo que fije los peldaños en

el centro.

Las espirales de las plantas trepadoras también son hélices, pues

mantienen más o menos la misma curvatura durante todo el re-

corrido de sus giros.

Por lo tanto, podemos distinguir entre las espirales de dos y las

de tres dimensiones.

Pero no debemos confundir las espirales de dos dimensiones

(como son la de Arquímedes o las Logarítmicas) con las volutas

(que son curvas mecánicas: pueden trazarse con compás).

También hay que diferenciar las espirales espaciales, que aumen-

tan la amplitud de giro según se alejan del origen (hélices cónicas

o espirales tridimensionales) con las hélices, que la mantienen

constante.

Las radio-ondas cós-micas se producencuando los electro-nes con velocidadpróxima a la de laluz, se ven obligadosa moverse de formahelicoidal alrededorde las líneas de uncampo magnético,como en la derecha.

1

Observa que,en los dos casos, es necesario dibujar la curva a mano

Se ha dulicado el rectángulo con 120% de ampliación. Resulta mucho más sencillo trazar unaespiral doble de Arquímedes, porque podemos encontrar muchos más puntos de referencia

6 cm.

6

78

9 10 11 12

12

345

C

DA

MB

EJERCICIOS

1.– Construye una voluta de cinco centros.

2.– Dibuja una espiral de Arquímedes de paso 12 unidades de 1/2 cm. y de 12 radiovectores.

3.– Dibuja una espiral logarítmica a partir de un rectángulo áureo cuyo lado menor mide 6cm.4.– Dibuja una doble espiral ideada por ti.

5.– Dibuja, en Caballera, una hélice de diámetro 8 cm. y de paso 6 cm.

En la naturaleza, la turbulencia rompe el orden y las simetrías hasta transformarse en caos. Durante ese proceso, suelen formarse espirales,

como se puede observar en el dibujo de Leonardo de Vinci que estudia el comportamiento de remolinos de agua.

6.– Dibuja el alzado de una hélice cónica (espiral tridimensional) de diámetro inicial 6 cm, paso 8 cm.

En las ilustraciones vemos tres espirales cónicas tridimensionales. Una corresponde a un mecanismo ideado por Leonardo de Vinci. La se-

gunda es la fotografía de la Fundación Solomon R. Guggenheim, en Nueva York. La tercera es una ilustración

de cómic de El Incal de Moebius, se trata de una construcción en un planeta imaginario.