tangenten 2/2011 1

Mønster er temaet i dette heftet av Tangenten. Vi har valgt å tolke mønsterbegrepet vidt. I til-legg til tallmønster og geometriske mønster ser vi også på musikalske mønster og mønster i språk/kommunikasjon. Vi har samarbeidet med våre svenske og danske søskentidsskrift (Nämnaren og Matematik) og slikt fått et rikt stofftilfang. Derfor finner dere artikler både på dansk og svensk i dette heftet. De andre tidsskriftene vil også ha temahefte om mønster denne våren.

For mange er mønster selve sjelen i matema-tikken. Å jakte på mønstre, å avsløre mønstre, å skape mønstre, ja det er for mange kjernen i vår disiplin. Det virker som om målet med å finne et mønster i for eksempel en tall- eller figurrekke er å komprimere informasjonen av en ofte uende-lig mengde objekter til en kort beskrivelse ved hjelp av symmetri eller formler. Mønsteret er ikke gjennomskuet før vi klarer å presentere den kompakte, korte sammenhengen som ligger bak mengden av enkeltelementer i mønsteret. Det kan se ut som vi har både en kulturell og indre drivkraft til å gå på jakt etter slike forenklinger, Eller skal vi kalle dem for abstraksjoner?

Gjenkjenning er et avgjørende steg i arbeid med mønster. Å kjenne igjen en figur som et kvadrat og å kunne fokusere nettopp på denne ene egenskapen i en mengde av objekter, er en abstraksjonsprosess. Vi kan velge en eller flere egenskaper til objektene og holder dem fast og se om de gjentar seg i mønsteret. Gjentakelse er

vesentlig. Kan vi finne egenskaper som ikke er spesifikke for et av objektene og som går igjen og igjen? Neste steg kan vi gjerne kalle for bortvalg. Noen av egenskapene til elementene i rekken er gjerne ikke avgjørende for mønsteret. Kanskje er plasseringen av elementene uvesentlig hvis vi skal avsløre mønsterets kjerne. Så er det også en form for abstraksjon som må til, for å kunne formu-lere mønsterets innhold. Det siste er gjerne en språklig eller matematisk formulering av essen-sen i mønsteret. Mønster opptrer altså i mange fasetter. De synlige og umiddelbart gjenken-nelige geometrisk mønstre, tabellmønstre eller tallmønstre er en side av saken, den bakenforlig-gende abstraksjonen som gjerne inneholder en kortversjon, en komprimert utgave av helheten er en annen side. Mønster som inneholder de nevnte kvalitetene kan gjerne bli estetisk vakre. Det skal for eksempel ikke mange speilinger til før en tilsynelatende kaotisk samling av prikker og streker plutselig blir til et utgangspunkt for en tapet eller et gardinstoff som vi kan tenke oss å ha rundt oss og glede oss over, behagelig for øyet. Om hjernen vår avslører hemmeligheten i møn-steret bevisst eller om den bare ubevisst sanser skjønnheten kan være to sider av samme sak.

I dette heftet finner du et mangfold av møn-ster som gir rikelig anledning til kreativitet, beundring og abstraksjon. Og finner du ikke nok stoff her, ta en titt på Nämnaren og Matematik.

2/2011 tangenten2

Gert M. Hana

Tatami-matte

Gert M. HanaHøgskolen i BergenGert.Monstad.Hana@hib.no

Gulv i japanske hus har tradisjonelt vært dekket av tatamimatter. Disse mattene, som er laget av vevet strå, kan være utgangspunkt for mye matematikk. Mattenes form er enkel å beskrive: de er rektangelformete med langsiden dobbelt så lang som kortsiden, altså to kvadrater satt inntil hverandre. Her skal jeg se på hvordan tatami-matter kan brukes til å se nærmere på areal-begrepet. Til slutt i artikkelen ser jeg også litt på mønstrene som dannes når en setter sammen tatamimatter.

Tatamimattene har vært standard gulv-bekledning i Japan i mange hundre år, og fort-satt er det vanlig å ha minst ett rom dekket med tatamimatter. Se figur 2 neste side. Mat-tenes størrelse er omtrent 90×180 cm. Et rom blir alltid prøvd fylt med så mange hele matter som mulig, eventuelt med en halv matte i til-legg (en hanjo

_ ). Da tatamimattene er store og

dekker gulvflaten, er det enkelt å telle antall matter på et gulv. Dette har gjort at romstør-relse i Japan som oftest blir oppgitt i antall tata-mimatter det er plass til. Typiske romstørrelser er seks eller åtte matter. Et japansk terom, som fortsatt alltid er tatamibelagt, har en størrelse på fire og en halv matter. Ved tatamimatter er

koblingen mellom areal og det å fylle en flate med kopier av en enhet ekstra sterk. I motset-ning til kvadrat meter som kan virke abstrakt og være uvant å se for seg plassert utover en flate, blir tatamimatter konkret plassert utover en flate. Denne konkretiseringen kan virke fjern for norske elever som ikke møter tatamimatter i hverdagen. Allikevel vil det å møte situasjo-ner hvor en konkret ser at areal er antallet av en enhet det er plass til, kunne være til hjelp med å utvikle forståelse for arealbegrepet, og spesielt med å knytte kvadratmetermål til hvor mange ganger det er plass til en kvadratmeterrute.

De fleste måleenheter har en bakgrunn i menneskekroppen. Tatamimatter er intet unntak. En halv matte er passe plass for en stå-ende eller sittende person, mens en hel matte er passe plass til en liggende person (figur 1). Dette har tilknytning til tatamimattenes opp-rinnelse: de ble til å begynne med brukt som et portabelt gulvdekke til å legge over jordgulv

Figur 1: Tatamimattens størrelse er basert på plassen

en person trenger for å kunne sove komfortabelt

(illustrasjon fra Yagi, 1982).

tangenten 2/2011 3

når det var behov for å sitte eller ligge (Engel, 1985).1 At størrelsen på mattene er koblet til sit-ting og ligging, gjør mattene egnet til å beregne hvor mange det er plass til i et rom med et bestemt formål. Et trematters rom har plass til to sovende samt en ledig matte. Et kvadratisk bord med sidekanter som er lik kortlengden til tatamimattene har plass til fire (se figur 3). På denne måten kan en bruke antall matter til å regne ut om rommet er stort nok til ønsket formål. Når en japaner får oppgitt størrelsen på rom i et hus i antall matter, har hun da allerede et godt grunnlag for å si hva det er plass til i de forskjellige rommene. Det er ofte ikke nødven-dig å kjenne målestokken til plantegninger av japanske hus ettersom tatamimattene gjerne er tegnet inn (figur 4).

Det finnes et liknende konkretiseringsma-teriell som er spesielt lett tilgjengelig i norske klasserom: A4-arket. A4-ark er knyttet opp

til det metriske system, da 16 (eller 24) slike ark har areal på akkurat en kvadratmeter.2 På denne måten er A4-ark fine å bruke både som ikke-standardisert enhet og koblet opp mot den

Figur 2: Japansk rom innredet med tatamimatter. Fra: commons.wikimedia.org/wiki/File:Takagike_Kashihara_JPN_001.jpg#filelinks.

Figur 3: En halv tatamimatte er den plassen som

trengs for at en person skal sitte komfortabelt.

Dersom en har sidekantene gitt i forhold til størrelsen

på tatamimattene kan en da avgjøre hvor mange

det er plass til rundt bordet. Et kvadratisk bord med

sidekanter lik kortsiden til en tatamimatte har da plass

til fire personer (illustrasjon fra Yagi, 1982).

2/2011 tangenten4

standardiserte enheten kvadratmeter. Eksem-pelvis har en flate med plass til 36 A4 ark arealet 36/16 m2 = 2,25 m2. Dersom en ønsker å bruke et konkretiseringsmaterial som er formlikt med tatamimattene kan en bruke dominobrikker.

Størrelsen på tatamimattene er nært knyttet opp mot andre japanske mål, spesielt lengde-målet ken.3 En ken er lengden til langsiden av tatamimatten, og er omtrent 1818 mm. Faktisk er en ken eksakt 60/33 m. I 1891 ble nemlig de japanske måleenhetene justert slik at konverte-ringsforholdet til metriske enheter skulle være rasjonale tall.4 Størrelsen på tatamimattene har

derimot aldri blitt standardisert som en nasjo-nal enhet: det er fortsatt regionale forskjeller og noen plasser til og med forskjeller knyttet til hvilken type bygning matten skal brukes i. Stør-relsen ble derimot standardisert i den forstand at de etter hvert ble produsert i faste størrelser. Dette gjorde at lengden til langsiden av tatami-matten også ble brukt som mål for avstanden mellom stenderne som danner veggkonstruk-sjonene i japanske hus (jf. figur 2). Når tata-mimattene er koblet til stenderavstanden gir de ytterligere informasjon om arkitektoniske element i rommet, som bredden på skyvedører og vinduer.

Ordet ken blir også brukt om den karakte-ristiske modulære formen for japansk arkitek-tur som baserer seg på lengdemålet ken. Denne arkitekturen baserer seg i stor grad på struktur og orden. Grunnstammen i denne ordenen er stolper med avstand én ken i mellom seg. Hus og rom ble konstruert etter til dels faste regler. Eksempelvis skulle takhøyden være lik antall tatamimatter ganger 0,3.

Arealmål som baserer seg på en kvadratisk grunnenhet har flere fordeler. En av disse er at det er lett å benytte kvadrat til å dekke en flate. Denne egenskapen er også oppfylt dersom en benytter rektangler, som tatamimatter, som grunnenhet. Arealmål med kvadratiske grunn-enheter har derimot andre fordeler. F.eks. kan arealmodellen for multiplikasjon brukes. Spe-sielt vil arealformler som lengde gange bredde være gyldige for kvadratiske arealmål (dersom en baserer seg på en lengdeenhet lik sidekanten i kvadratet). Dette gjelder ikke for tatamimat-ter. Derfor bruker også japanerne arealenheten tsubo, som er arealet av to tatamimatter. En tsubo tilsvarer da arealet til ett kvadrat med sidelengde én ken.

Når en legger sammen tatamimatter, ser en fort at det dukker opp mange vakre mønstre (se figur 5). De mulige mønstrene blir gjerne delt opp i gunstige og ugunstige mønstre (se figur 6). I enkelte sammenhenger – jeg har ikke helt greid å finne ut hvilke – skal det bringe

A) Japansk hus med hage.

B) Plantegning av bygårder (machiya) fra Kyoto.

Figur 4: Plantegninger av japanske hus. Størrelsen på

rommene er gitt ved å telle antall tatamimatter i de

forskjellige rommene, her er det ikke nødvendig å måle

lengder eller bruke målestokk. Dersom en derimot vil

finne målestokken kan en finne denne fra målene på

tatamimatten (illustrasjoner fra Yagi, 1982).

tangenten 2/2011 5

ulykke å legge mattene i et ugunstig mønster. Å finne mulige (gunstige) tatamimønstre for for-skjellige romstørrelser og ikke minst argumen-tere for at det ikke finnes andre, kan være en fin utforskende aktivitet som gir rom for matema-tisk argumentasjon. Problemstillinger kan være av typen «finn (gunstige) tatamimønstre med 6 matter» eller «finn (gunstige) tatamimønster som passer i et 2×3-rektangel.» Disse problem-stillingene kan generaliseres. Noen generelle problemstillinger å bryne seg på er: «For hvilke n og m kan en lage (gunstig) tatamimønster i et n×m-rektangel?» eller «Kan en alltid lage et (gunstig) tatamimønster i et n×m-rektangel dersom n er jevn?»

Å finne et generelt uttrykk for antall mulige gunstige mønstre for et rektangulært rom av vilkårlig størrelse er derimot ikke så enkelt. Dette problemet ble nylig – 2009 – løst av Frank Ruskey og Jennifer Woodcock. Uttrykket er en

sum av binomialkoeffisienter. Se rammen for formlene.

Figur 5: Forskjellig mønstre med tatamimatter. Her er

det eksempler på både gunstige og ugunstige mønstre

(fra Ching, 2007).

Figur 6: I et ugunstig mønster møtes fire tatamimatter

i ett punkt. På hvilke andre måter kan fire tatamimatter

møtes i et punkt?

Antall mulige gunstige mønstre for et rektangulært rom av vilkårlig størrelse er en sum av binomialkoeffisienter. For et rom av størrelse m×n hvor 3 £ m £ n er antallet gunstige måter å legge tatamimatter på gitt ved:

Dersom m er odde Dersom m er jevn

Her settes binomialkoeffisientene lik null dersom brøkene ikke gir heltall.5

(fortsettes side 32)

2/2011 tangenten6

Volker Berthold

NæsehornsstenenMålet med enhver undervisning må være at udvikle elevens forståelse for sin hverdag og forberede den enkelte på den fremtidige anven-delse i sit eget liv. Hvis undervisningen samtidig kan bidrage med inspiration og udvikling af den omkringliggende virkelighed, så nærmer den sig ud fra mit syn, den perfekte undervisning. Vig-tige elementer i sådan en vurdering er:– Emnet relaterer til en konkret situation

eller problemstilling fra hverdagen.– Eleven kan se værdien i problemstillingen.– Eleven engagerer sig emotionelt og fagligt i

forløbet.– Læreren vurderer sammenhæng til de fag-

lige mål.– Emnet har et forløb over en periode med

skiftende indfaldsvinkler, som f.eks. oplevelse, analyse, refleksion, samarbejde, kommunikation, problem- og færdigheds-løsning.

– Der er progression i processen.– Der er en naturlig differentiering (selvdif-

ferentiering) i forløbet.– Der er dialog i processen, idet læreren

følger elevernes vej (med-læring; læreren og eleven er fælles om ejerskab til processen).

– Afslutningen skaber forandringen ved at elevernes arbejde har indflydelse på hver-dagssituationen.

Næsehornsfliser – en dansk belægningssten – har givet mig, tre klasser og producenten sådan en helheds oplevelse. Vi har arbejdet undersøgende og med faste opgavesæt, bevæget os fra virkelig-heden over semi-virkeligheden til ren matema-tik og tilbage igen. (Undersøgelseslandskaber, Ole Skovsmose, Rapport fra LAMIS’ sommerkurs 1998). Ministeriets krav om arbejde med kom-petencer ses opfyldt på mange områder. Det er især modelleringskompetencen, jeg har fokus på i denne sammenhæng (Fælles Mål, matematiske kompetencer). Eleverne har arbejdet i skoletiden og desuden inddraget frikvarter/fritid ind i pro-cessen (Leg og læring). På alle klassetrin kan der stilles opgaver, som løses intuitivt og med brug af fysisk aktivitet, samtidig med at forventnin-gerne til enkelte elever eller grupper, kan flyttes til formelle løsningsmodeller.

Virkelighedens udgangspunktMit eget udgangspunkt var behovet for at lægge nogle pæne fliser ved havebordet i min private have. Mit ønske var, ikke at bruge en af de popu-lære rektangulære fliser. Mødet med næsehorns-stenen gav dette resultat på hjemmesiden:

Volker BertholdSpjellerup FriskoleVolker.Berthold@skolekom.dk

tangenten 2/2011 7

Næsehornet® er seks cm tyk og måler elleve cm på alle sider. Alle vinkler er enten 45° eller 90°. Disse mål betyder, at to sten kan lægges sammen på 43 forskellige måder. Dette giver mulighed for et uendeligt antal forskellige mønstre. (Beskrivelse af stenen fra producentens hjemmeside www.sand-gaardbeton.dk)

Her blev mit matematiske hjerte tændt. Alle disse oplysninger fra hjemmesiden er interes-sante i forhold til en matematisk betragtning. Der er: – faktaoplysninger, som kan måles efter, – oplysning om kombinationer, som mangler

dokumentation og kræver egne under-søgelser (kontrol)

– påstande om en mønster-uendelighed, som betyder, at man kan blive ved med at finde på nye mønstre. Dette er for mig en indirekte opfordring til efterprøvning. Tal og påstande skal kontrolleres. Uende-lighedsstilstanden er også en matematisk udfordring, idet den kræver planlægning, overblik og systematisering.

Dermed var idéen til et undervisningsforløb født – uden helt at kende indholdet. Men Fælles Mål 2009 (se rammen) gav sit begejstrede tilsagn.

MaterialeudgangspunktDer er mønsterbeskyttelse på formen, som både er enkelt og samtidig genialt, idet mangfoldighe-derne er store ud fra den simple struktur. Næse-hornet® er en seks kantet belægningssten, som er sammensat af to kendte matematiske grund-former: et kvadrat og en rombe. Alle sider er lige lange. Alle vinkler er 45° eller en mangedobling af den.

Med en ens kantlængde opstår der mange forskellige muligheder for samlinger. Da alle vinkler bygger på basisvinklen 45° og 45° går op i cirklens 360°, er det let at samle stenene omkring et hjørne, uanset forståelsen af mate-matikken bagved.

Producenten tilbyder også to hjælpefliser til Næsehornet® i sit pro-gram. De skal hjælpe til at mønstre kan gå op, men de er også med til at skabe nye mulighe-der. Det drejer sig om et kvadrat og en rombe. Fra mellemtrinnet bør man starte undervis-ningen uden hjælpe-fliser og først inddrage dem, når mønstre ikke går op. Hjælpefliserne er i mine afprøvninger valgt i en anden farve end hovedflisen.

Undervisningsidéer med NæsehornsflisenI det følgende vil jeg beskrive gennemførte afprøvninger og idéer til kommende timer. Udgangspunktet for alt arbejde med denne belægningssten, er bevægelsen fra intuitionen til matematisk analyse. Dette betyder at det hele

Fra Fælles Mål 2009

Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Stk. 2 Undervisningen tilrettelægges, så eleverne selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at arbejdet med matematik fordrer og fremmer kreativ virksomhed, og at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation.

www.faellesmaal.uvm.dk

2/2011 tangenten8

starter med eksperimentet og processen peger hen imod en beskrivelse af de undersøgte for-hold – med hverdagsord eller som faglig analyse.

Det vigtige er, at man skaber sit eget forløb ud af de mange mulig-heder – eller bedre: vælge få opgavestillin-ger og derefter, i sam-arbejde med eleverne, udvikle klassens forløb. Materiale behov: ca. 4–5 m2 fliser. Laminerede efter ligninger har sup-

pleret til en indendørs undervisning.

1. Fra intuition til formelt skolearbejdeA. ElevkonstruktionerVinkler, længder og højden kan måles på stenen, men de kan også udleveres for at få eleverne til at konstruere stenen med lineal og vinkelmå-ler – eller endnu bedre, med lineal og passer. Samme konstruktion kan også finde sted i et

geometriprogram på computer. Udskrevne elevproduktioner kan bruges

til indendørs arbejde, gennemførelse af større mønstre i mindre format – eller når fremhæv-ning af mønstre ønskes understøttet af stærke farver.

B. At lægge fantasiens mønstreBørn elsker at arbejde med geometriske

former. Mit eget udgangspunkt med haven var en oplagt baggrund for at stille spørgsmålet: Kan I komme med en idé til et mønster? For-

ståelsen for at der ikke skal være huller mellem stenene er næsten selvsagt. Spejlinger og sym-metrier kommer ofte af sig selv, men kan også fremprovokeres gennem yderligere spørgsmål: Hvornår er et mønster flot? Kan det samme mønster ses, uanset hvilken side man kommer fra?

Digital affotografering er oplagt, da antal-let af sten hurtig giver en begrænsning, når en hel klasse arbejder med 5 m2. I arbejdet med de mindste klasser har jeg tilladt brugen af de 2 hjælpesten uden nogen begrænsning.

Da der var fint sand til rådighed, gik flere hold i gang med at feje den ned i mellem-rummene. Nogen må have set det derhjemme og virkeligheden blev afprøvet i timerne.

C. Fantasi og billeder med grundformenOpgavens formulering kan tage udgangs-

punkt i spejlingsmønstre. Når tanken om billed kunst suppleres opstår der hurtig indre billeder og henfører tanker til visuelle fantasier med tangram-brikkerne.

Hvad kan stenenes kontur forestille? Kan alle se udtrykket

eller skal det males?Navnet Næsehornet

stammer fra ophavs-manden Lennart Peter-sen. Hans næsehorn er konstrueret af fire sten.

D. Udvikle egne grundmønstreStore mønstre er enten bygget op af mindre

enheder som tesselerer, eller tager udgangspunkt i mange flere fliser, før de kan sættes sammen. Eleverne skal have mulighed for at lægge netop deres mønster. Her er det en fordel at starte med at tænke i symmetrier, som kan være basis for en flisebelægning.

En måde at organisere denne mønster-opgave på er, at udfordre mønsterdannelse med udgangspunkt i et bestemt antal.– ”Tag otte næsehornsfliser og byg et sym-

metrisk mønster.”

tangenten 2/2011 9

– ”Tag 20 fliser, heraf mindst 12 næsehorns-fliser og byg et symmetrisk mønster.”

– ”Byg et mønster, hvor højst hver tredje (eller hver fjerde) sten må være en hjælpe-flise.”

– ”Byg et mønster med alle de næsehornsten, du skal bruge – men uden hjælpesten.”

E. Udfyldning af en konturOpgaven løses nemmest i en papirversion,

hvor næsehornsten skal passe ind i en fastlagt ramme. Ofte kan elever lægge forskellige løsnin-ger på samme udfordring.

2. Fra kombinatorik til mønsterdannelseA. At forske i konstruktionerne (kombinatio-ner)

”To sten kan lægges sammen på 43 forskel-lige måder”. Her kan eleverne stilles overfor spørgsmålet: Er denne påstand rigtig? Forsøg

at finde de mange forskellige måder. Findes der 43 forskellige? Hvordan skal undersøgelsen foretages for at holde styr på dem alle. Hvilken fremgangsmåde er brugbart for at frasortere drejninger og spejlinger? Hvor betydningsfuld er det, at en flise kan vendes. Dokumentationen og sammenligningen kan finde sted med digi-tale billeder.

I lighed med kombinationer af siderne, kan opgavestillingen forandres med udgangspunkt i vinklerne.

Hvor mange sten skal der til, for at samle 360° i et punkt?

Kan man finde antal af kombinations-muligheder? Sorter og undgå gengangere.

B. Finde basismønstreVed at lægge 2 eller flere sten sammen, skabes

nye enheder. Nogle af dem tesselerer, dvs. de passer sammen, når man lægger dem igen og igen ved siden af hinanden og dækker en flade uden at der skabes huller.

Hvor mange af disse basismønstre findes med to sten? Er der flere med tre eller fire sten?

En interessant undersøgelse er, om alle kombinationer fra pkt. A. kan være grundlag for flise dækninger, hvis de må kombineres med deres egne spejlinger.

C. TesseleringMønstre kan bygges op som en regelmæssig

flisedækning. Dvs. at samme mønster bliver gen-taget ved siden af sig selv (tesselering). Dette er typisk for indkørsler og terrasser. Producenten har forskellige forslag på hjemmesiden, som kan inspirere til nye flisedækninger – eller de kan være udgangspunkt for at arbejde med målet: Kan man lægge andre mønstre? Er nogen af dem

2/2011 tangenten10

så gode, at vi vil foreslå dem til producenten?Tesselering bygger på kombinationer og

basismønstre som gentages, men kan også skabes af større enheder (f.eks. fire eller otte sten).

D. Centriske mønstreEn anden måde at arbejde på er centrisk. Det

vil sige, at mønstret gentager sig ud fra et cen-trum og består af lige enheder i samme afstand til midten. Mønstret vil forandre sig, jo længere man kommer væk fra centrum, men antal gen-tagelser har en talmæssig regelmæssighed. Hvor mange er normalt og hvorfor?

Et sådan mønster er velegnet til mindre ter-rasser eller til optiske strukturer på udvalgte arealer. Stenenes indfarvninger kan yderligere

øge mønstrets fremtoning. Producenten har ikke nogen forslag til denne

type mønstre på sin hjemmeside. Allerede med valget af centrets opbygning er

der mange muligheder. Men betyder dette en uenliglighedsdimension eller vil der på et tids-punkt indgå en regelmæssighed og dermed en gentagelse?

3. Fra virkelighed til virkelighedA. Efterligning af bestående mønstre

På producentens hjemmeside gives der for-slag til forskellige flisedækninger. Disse mønstre kan printes ud. Opgaven består i at arbejde som anlægsgartner og lægge kundens ønske i ind-kørslen. En efterligningsopgave, som kan sam-menlignes med at lægge puslespil.

B. Beregning af arealet og rumfangBeregn flisens areal. Dette kan foregå ud fra

målinger på stenen. Men hvordan kan det lade sig gøre i et computerprogram, eller helt uden? Hvilke data er svære at få fat i? Stenen er ikke lige til at måle areal på.

Til indkøb af fliser til en belægningsopgave tages udgangspunkt i m2. Hvor mange fliser skal der bruges til 1 m2?

Der kan yderligere beregnes flisernes samlede rumfang mht. transport på lastbil. Her støder man ind i problemstilling, at stabling til trans-port kræver valg af et ”transportmønster”, som mindsker spildplads.

C. Konkret forslag til et stykke af skolegår-den

(fortsettes side 20)

tangenten 2/2011 11

Frode Rønning

Symmetrier i islamske mønstreI kunst og arkitektur kan en lett finne eksempler som kan kobles til matematiske begreper, særlig begreper fra geometri. Det er kjent at kunstnere gjennom tidene bevisst har brukt begreper som naturlig kan sies å høre hjemme i matematikken, slik som for eksempel forholdstallet Det gylne snitt. Selv om matematiske sammenhenger ikke nødvendigvis har vært styrende for kunstnerens utforming, kan bevissthet om dem tre fram når man i ettertid betrakter kunstverket med et matematisk blikk. Man kan si at man da mate-matiserer kunsten. Det er naturligvis bare én av mange mulige måter å nærme seg et kunstverk på. Min påstand er at en slik matematisering har verdi fordi den bringer inn et matematisk språk som man kan snakke om kunsten i. Ved hjelp av dette språket kan man trenge inn i detaljer ved kunstverket som man kanskje ellers ikke ville ha blitt oppmerksom på. I en skolesam-menheng mener jeg at en slik innfallsvinkel vil være verdifull både for matematikkfaget og for faget kunst og håndverk. Eksempler på dette er vist i (Rønning, 2003). Slike koblinger er også understreket gjennom at læreplanen fremhol-der det å regne som en grunnleggende ferdig-het som skal komme inn i alle skolefag. Det å

regne tolkes ulikt i ulike fag, og i faget kunst og håndverk omfatter det å regne mye mer enn tallbehandling (Rønning, 2009).

I denne artikkelen vil jeg se nærmere på begrepet symmetri og spesielt studere symme-trier i mønstre fra islamsk kultur. Symmetri, og begreper knyttet til dette (speiling, rota-sjon, parallellforskyvning), er sterkt vektlagt i gjeldende læreplan der det for eksempel er for-mulert at elevene allerede etter fjerde skoleår skal kunne gjenkjenne og bruke speilsymmetri og parallellforskyvning i konkrete situasjoner (Utdanningsdirektoratet, 2006).

Islamske dekorasjonerIslamske byggverk er ofte rikt dekorert med mønstre som dekker store flater. I disse møn-strene finner man ofte inskripsjoner fra Kora-nen, men også geometriske figurer spiller en viktig rolle. Man oppdager fort at det er enkelte grunnleggende figurer som går igjen svært ofte, med ulike variasjoner. En figur som forekom-mer ofte er laget på grunnlag av to kvadrater innskrevet i en sirkel, der det ene kvadratet er dreid 45 grader i forhold til det andre (figur 1). Denne figuren kalles Khatem Sulemani, som betyr Salomons segl. Ved å sette fire slike figu-rer sammen, som vist i figur 2, dannes det et korsformet område mellom dem, og elementet i figur 2 kan brukes som byggestein for et flate-dekkende mønster.

Frode RønningHøgskolen i Sør-Trøndelagfrode.ronning@hist.no

2/2011 tangenten12

Figur 1

Figur 2

Figur 1 viser den grunnleggende Khatem Sule-mani. Den blir mer spennende dersom den utvikles litt, og her er det verdt å merke seg at denne utviklingen skjer ved å innføre flere konsentriske sirkler i den grunnleggende figu-ren. I figur 3 kan man se at det er lagt inn to mindre, konsentriske sirkler, og mellom disse to er det laget en åttetakket stjerne. Ved å fjerne hjelpelinjer og legge på farger, kan man her få et mønster som vist i figur 4. I figur 5 er vist et bilde fra det indiske monumentet Taj Mahal der man kan se mønsteret i figur 4 som en del av et frisemønster.

Gjennom å variere forholdet mellom radiene på den innerste og den nest innerste sirkelen, vil mønsteret i figur 4 endre seg. Ved å konstruere figur 3 i Cabri og bruke Compass-funksjonen for å lage sirklene, kan en variere radiene og dermed se denne effekten. En mye brukt versjon av mønsteret i figur 4 er når forholdet mellom de to radiene er slik at to og to sider i de åtte sekskantene er parallelle. Det kan se ut til at figuren på bildet fra Taj Mahal er slik.

Man kan finne flere konstruksjoner som

grunnlag for islamske mønstre der sirkler er brukt på en ganske avansert måte. Dette for-tjener en liten kommentar. Det er godt doku-mentert at astronomi på et tidlig tidspunkt var høyt utviklet i den arabiske (islamske) kultu-ren. Abas og Salman (1995, s. 11) hevder at det første astronomiske observatoriet ble bygget i Maraghah i Iran på 1200-tallet, og der gjorde man både observasjoner og beregninger. Det er lett å forestille seg behovet for å kunne navi-gere i forhold til himmellegemene i denne kulturen. For en muslim er det viktig alltid å kunne peke ut retningen til Mekka. Man kan også tenke seg at det å kunne navigere hadde et praktisk formål siden det her dreier seg om folk

Figur 3

Figur 4

Figur 5

tangenten 2/2011 13

som beveget seg over store avstander på havet og på landjorda, særlig i ørkenstrøk der det er lite av natur formasjoner å orientere seg etter. I forbindelse med navigasjon spiller konstruksjo-ner med bruk av sirkler en viktig rolle, så det er naturlig at man her var spesielt opptatt av, og dermed utviklet god kunnskap om, geometri knyttet til sirkler.

Symmetri i uendelige mønstreI matematikk er symmetri knyttet til det som gjerne kalles isometrier eller kongruens - av bild ninger. Det er forflytninger av figurer som er slik at figuren bevarer både størrelse og form. Begrepet isometrier omfatter både speiling (refleksjon), rotasjon og translasjon. I tillegg opererer man med en fjerde isometri, kalt glide-speiling. Den kan oppfattes som en translasjon etterfulgt av en refleksjon. Det er egenskapen «å bevare størrelse og form» som er det mate-matiske grunnlaget for å organisere disse fire begrepene under samme overordnede begrep, altså isometri.

Refleksjonene viser seg å spille en spesiell rolle i den forstand at de kan oppfattes som bygge steiner for alle isometrier. Det er et vel-kjent resultat at enhver isometri enten er en refleksjon eller så kan den beskrives som en sammensetning av to eller tre refleksjoner. Mer presist er det slik at en sammensetning av to refleksjoner gir en rotasjon, eller en transla-sjon dersom refleksjonsaksene er parallelle. En sammen setning av tre refleksjoner kan be skrives som én refleksjon dersom refleksjonsaksene har et felles skjæringspunkt. Hvis dette ikke er til-felle, kan denne sammensetningen beskrives som en glidespeiling.

Et flatedekkende mønster (en tessellering) som dannes ved å repetere en grunnfigur, betraktes som et uendelig mønster. Her skiller en mellom mønstre som oppstår når grunn-figuren repeteres langs én retning, og når den repeteres langs to (ikke-parallelle) retninger. De mønstrene som oppstår på denne måten, kalles ofte for frisemønster, henholdsvis tapetmønster.

Det er tapetmønstrene som blir studert nær-mere i denne artikkelen. Tapet mønstrene klassi-fiseres etter hvilke kombinasjoner av isometrier de inneholder. Det er et velkjent, men kanskje noe overraskende resultat, at det finnes nøyak-tig 17 ulike kombinasjoner av isometrier som kan opptre i et tapetmønster. Et viktig element i avgrensningen av antallet tapetmønstre er knyttet til at det er begrenset hvilke rotasjoner som er mulige i et slikt mønster. Det viser seg at bare rotasjoner på 60, 90, 120 og 180 grader kan opptre, og at 90-graders rotasjon ikke kan opptre i samme mønster som en 60 eller 120 graders rotasjon (se for eksempel Martin, 1982). Det er verdt å merke seg forskjellen fra symme-trier i endelige figurer. Man vil kunne realisere rotasjonssymmetri på 360/n grader for et hvil-ket som helst naturlig tall n ved å lage en regu-lær n–kant. En tabell som viser prototyper på hvert av de 17, mønstrene finnes for eksempel i boka til Martin (1982). Slike tabeller kan også finnes på en rekke vevadresser, for eksempel www.clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html (David, u.å.).

Tapetmønstre i islamske dekorasjonerSom nevnt er byggverk knyttet til islamsk kultur ofte svært rikt dekorert med flate-dekkende mønstre. Jeg har tidligere nevnt Taj Mahal i India, og i Vest-Europa er palasset Alhambra ved Granada i Spania, og også den store moskeen i Córdoba, gode eksempler på byggverk med rike dekorasjoner. Det er ikke så unaturlig at man i møte med den overflod av dekorasjoner som disse bygningene inneholder, vil stille seg spørsmålet om man kan finne alle de 17 mulighetene. Det kan synes som om flere personer på ulike tidspunkt, mer eller mindre i en bisetning og uten videre dokumentasjon, har skrevet at svaret på dette spørsmålet er «ja». For eksempel skriver Martin at «[a]lthough it would not have occured to the Moors to clas-sify a design by its symmetry group, all of the seventeen groups were implicitly known to the Moors in the decorations of the Alhambra.»

2/2011 tangenten14

(1982, s. 111). Spørsmålet om man kan finne alle 17 ble på 1980-tallet til dels ganske heftig diskutert av flere forfattere, og jeg vil i denne artikkelen gjennom noen eksempler vise hvilke problemstillinger som kan oppstå når man skal avgjøre om alle 17 mønstrene kan finnes i islamske dekorasjoner, eller for den del i selve Alhambra. For å kunne avgjøre dette, er det nødvendig å ha klare kriterier for hva man skal se på. Ett viktig kriterium vil være hvordan man tar hensyn til bruk av farger. Dekorasjonene i Alhambra er ofte fargerike, og det vil være nødvendig å avgjøre om, og i tilfelle på hvilken måte, man skal ta hensyn til fargene når man avgjør symmetriegenskapene.

Mønsteret i figur 6 kan brukes som eksem-pel på fargenes rolle. Mønstret består av rekker med stjerner (Khatem Sulemani) der annenhver horisontal rekke består bare av blå stjerner. I de mellomliggende rekkene er annenhver stjerne sort og rød-brun. Mellom stjernene er det ulike dekorasjoner i sort og hvitt. Ser man etter iso-metrier som tar hensyn til fargene, dvs. som avbilder for eksempel en blå stjerne på en blå stjerne, ser det ut til å være to typer refleksjons-

akser som står vin-kelrett på hveran-dre, merket Akse B og Akse D på figu-ren. Akse A og Akse C vil her ikke være ref lek sjonsa k ser fordi de vil avbilde en sort stjerne på en rød-brun. Om man derimot ser bort fra fargene og bare ser på selve mønstret, vil også disse bli refleksjons akser. På figuren er merket to punkter, A og B. Disse er sentre for rotasjoner i møn-stret. Dersom man

tar hensyn til fargene, er de begge sentre for 180 graders rotasjoner, men dersom man ser bort fra fargene, blir de begge sentre for en 90 graders rotasjon. Uten hensyn til farger kommer også punket C fram som et rotasjonssenter, for en 180 graders rotasjon.

Det er imidlertid mer med dette mønstret, som muligens ikke er synlig på bildet. Dersom man går nærmere inn på området rundt en av stjernene, vil en kunne se at mønstret har en tredimensjonal effekt i det at de hvite stripene ser ut til å være flettet i et over/under-mønster. I figur 7 er det mulig å se dette. Denne effek-ten gjør at mønsteret faktisk ikke vil ha noen speilinger i det hele tatt. Hvis en tar hensyn til

Punkt A

Akse D

Punkt C

Punkt B

Akse A Akse CAkse B

Figur 6

Figur 7

tangenten 2/2011 15

flettingen, er mønsteret i figur 6 et eksempel på ett av de mønstrene som det har vært diskusjon om virkelig finnes i Alhambra.

I figur 8 er det vist et eksempel på et annet mønster som det også har vært diskusjon om virkelig finnes i Alhambra. Her er det ingen problemer med kategoriseringen. Mønstret har to ulike 180 graders rotasjonssentre og to glidespeilings akser (markert med rødt i figu-ren). Det har altså ingen speilinger. Dilemmaet her er imidlertid at dette er et svært vanlig møn-ster som finnes overalt. Bildet i figur 8 har jeg tatt på en gangvei i Malmö, men det kunne ha vært tatt hvor som helst. Så spørsmålet er da, om det tilfeldigvis finnes på et gulv i Alhambra, skal det kunne regnes med? Det vil i alle fall være vanskelig å argumentere for at dette er et typisk islamsk mønster?

Figur 8

Betydning for matematikk i skolenDen diskusjonen jeg har lagt opp til i denne artikkelen er klart matematisk, men allikevel av en annen karakter enn det man vanligvis for-binder med matematikk i skolen. Jeg løfter dette fram fordi at jeg tror det kan være verdifullt å få fram denne siden ved matematikkfaget. Dette er med på å koble matematikk til sentrale ele-menter i kunst og kultur. Selve dekorasjonene er flerfaglige i seg selv, også uten tanke på mate-matikken. De er ikke kunst for kunstens egen skyld, men de er sterkt knyttet til en bestemt religiøs kultur. Samtidig kan de lett knyttes til kunstneriske uttrykk utenfor en religiøs kon-

tekst. Kunstneriske uttrykk med utgangspunkt i flatedekkende mønstre er godt kjent, for eksem-pel gjennom den hollandske kunstneren M.C. Escher. Og her er det direkte forbindelser til den islamske kulturen. Escher tilbrakte en god del tid i Alhambra (Abas, 2003), der han tegnet av mønstre som senere ble inspirasjon for hans egne verker.

Jeg mener at dette er en del av matematikk-faget som er verdifull fordi det viser en annen side av matematikken enn den vanlige. Dette kan være viktig for mange elever, og det kan også være viktig for mange lærere. Kanskje kan det være aktuelt og viktig ikke minst for lærere som arbeider med andre fag enn matematikk.

ReferanserAbas, S. J. (2003). Islamic patterns: The spark

in Escher’s genius. I D. Schattschneider & M. Emmer (Red.), M. C. Escher’s legacy. A centennial celebration (ss. 100–112). Berlin: Springer.

Abas, S. J., & Salman, A. S. (1995). Symmetries of Islamic geometrical patterns. Singapore: World Scientific Publishing Co.

David, H. (u.å.). 17 wallpaper groups. Lastet ned 2. juni 2010 fra www.clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html

Martin, G. E. (1982). Transformation geometry. An introduction to symmetry. New York: Springer.

Rønning, F. (2003). En katedral för lärande i geo-metri. Nämnaren, 30(4), 3–8.

Rønning, F. (2009). Å regne i kunst og håndverk. I J. Fauskanger, R. Mosvold, & E. Reikerås (Red.), Å regne i alle fag (ss. 186–189). Oslo: Universitetsforlaget.

Utdanningsdirektoratet (2006). Læreplanverket for Kunnskapsløftet. Midlertidig utgave juni 2006. Oslo: Forfatteren.

Alle fotografier ved forfatteren.Artikkelen er en forkortet versjon av «Symmetrier

i islamska mönster» trykt i Nämnaren nr. 1, 2011: ncm.gu.se

2/2011 tangenten16

Nils Kr. Rossing

Symmetri og ornamentikkVåren 2009 ble det i et samarbeid mellom Norden fjeldske Kunstindustrimuseum og Viten-senteret i Trondheim, gitt et tre timers tilbud til alle elever på femte trinn innen temaet mate-matikk og ornamentikk. Mens Viten senteret hadde fokus på matematikken i ornamenter, så tok Kunstindustrimuseet for seg den kunst- og håndverksmessige siden ved temaet. Elevene var halvannen time på hvert sted. I denne artikke-len vil vi fokusere på matematikken og det som ble gjort på Vitensenteret.

«Kjenn» på båndsymmetrieneNår elevene kommer til Vitensenteret blir de møtt av de sju båndsymmetriene, illustrert med fotavtrykk på yogamatter. Ved å bevege føttene etter mønstrene på mattene, kjenner de med hele kroppen hvordan disse mønstrene er bygget opp. Noen er enkle mens andre krever god balanse og koordinering.

Når de kommer inn i aktivitetsrommet får de et postkort som viser alle båndsymmetriene (figur 2).

Hva er egentlig et ornament?Et ornament er et mønster som kan være en

dekorasjon eller utsmykning for å gjøre noe pent. Det kan være laget av blomster, geometriske figu-rer eller andre ting, og er ofte symmetrisk. Et ornament kan også ha en spesiell betydning. Et fotavtrykk er egentlig ikke et ornament, men brukt på spesielle måter kan det bli en del av et ornament eller mønster.

Speil- og båndsymmetriDet er hovedsakelig symmetrien i et ornament som knytter det til matematikken. De fleste for-binder symmetri med speilsymmetri (aksesym-metri). Når elevene drar tilbake til skolen skal de ha fått et utvidet symmetribegrep. Dessuten skal de kunne finne grunnfiguren i et mønster

Nils Kr. RossingNTNU/Vitensenteret i Trondheimnils.rossing@svt.ntnu.no

Figur 1: De sju båndsymmetriene illustrert med

fotavtrykk.

tangenten 2/2011 17

og vite at mønster kan ha forskjellige grunnfi-gurer og likevel være matematisk like. Denne abstraksjonen er en krevende øvelse. Grunnfi-guren er den minste delen av ornamentet som trengs for å gjenskape hele ornamentet, Dette kan man gjøre ved å speile, gli og rotere denne grunnfiguren.

Med utgangspunkt i avtrykket av venstre fot, bruker elevene plane speil for å frambringe det speilsymmetriske høyre fotavtrykket. Ved hjelp av speiling har de fått både høyre og venstre fot-avtrykk. Dermed vet de nok til å forstå hvor-dan én av de sju båndsymmetriene bygges opp, nemlig «gange» (horisontal glidespeiling). Her ser vi hvordan både speiling om en horisontal akse, gliding og kopiering inngår i det man kan kalle det «utvidete» symmetribegrepet. Her er det viktig å vise at fotavtrykket er én av uendelig mange ulike grunnfigurer.

Eksempler på speilsymmetri (aksesymmetri)Elevene oppmuntres til å nevne eksempler på ting som er speilsymmetriske. Kroppen og ansiktet er hyppig nevnte eksempler, men også dagligdagse ting som vinduer, dører, skilt m.m. I oppgave 2 bruker elevene plane speil til å utfor-ske symmetri i ansikter. Elevene får utdelt flere eksempler på kjente ansikter og skal finne hvil-ket som er mest speilsymmetrisk.

Ved å gi oppgaven på denne måten oppdager elevene at ansikter er symmetriske, men ikke helt. Dessuten skjønner de at når ansiktet vris litt, blir symmetrien mindre fremtredende. Det er likevel fascinerende at den menneskelige hjerne lett gjenkjenner et ansikt selv om det sees

Figur 2: Postkort med båndsymmetriene.

Figur 3: Horisontal glidespeiling.

2/2011 tangenten18

fra svært ulike vinkler.Noe annet som ofte er speilsymmetrisk er

mønster på votter. Elevene får se eksempler på vottemønster og utfordres i oppgave 3 til å tegne sitt eget speilsymmetriske vottemønster på en vottemal (figur 5).Elevene utfordres først til bare å tegne den ene halvparten av mønsteret for så å bruke et plant

speil til å se hvordan det speilsymmetriske

mønsteret blir seende ut. Mønsteret tegnes ved å fargelegge eller skravere et utvalg av de kva-dratiske rutene (5×5 mm) i malen. Deretter speiler de mønsteret om midtaksen. For at de

Figur 4: Undersøk speilsymmetri i ansikter (oppgave 2).

Figur 5 A) Eksempel på vottemønster.

Figur 5 B) Elevoppgaven.

Figur 5 C) Vottemal.

tangenten 2/2011 19

skal kunne tegne det speilsymmetriske mønste-ret, må de plassere de skraverte rutene speilsym-metrisk om aksen, hvilket krever forståelse av hva speilsymmetri er. Oppgaven viste seg å være mer populær enn vi første hadde trodd. Elevene ville ikke avslutte før de var helt ferdige. De fikk med seg mønstrene og kunne fortsette hjemme eller i klasserommet.

Hva er rotasjonssymmetri?Etter speilsymmetriske er det nok rotasjons-symmetriske mønster som er mest kjent blant elevene. For å skape gjenkjennelse introduseres begrepet ved å vise et bilhjul.

Ved en enkel animasjon i PowerPoint vises hvordan bilhjulet er femfoldig rotasjonssym-metrisk. Det kan dreies fem ganger og for hver dreining faller det eksakt over seg selv før det igjen er tilbake til utgangspunktet. Ventilen gjør at hjulet ikke er eksakt symmetrisk, samtidig som den gjør at det er lettere å observere drei-ningen.

I oppgave 4 skal elevene utforske rotasjons-symmetri ved hjelp av fleksible vinkelspeil. Dette er to pleksiglasspeil (10×15 cm) som er hengslet langs en kortside. Vinkelspeilet egner seg godt til å utforske rotasjonssymmetriske ornamenter. I oppgave 4 får elevene tre grunn-figurer og tre komplette ornamenter bygget opp av grunnfigurene. Ved hjelp av vinkelspeilet skal

de framstille hele ornamentet av grunnfiguren. Dette krever at de må velge riktig plassering og vinkel mellom speilene.

Selv om det er nærliggende å prøve seg fram så oppmuntres det til å tenke systema-tisk. Det første en da må gjøre er å finne ut hvor mange ganger grunnfiguren gjentar seg i ornamentet. Dersom den gjentar seg åtte ganger skal vinkelåpningen til speilet være: 360° : 8 = 45°. Dernest undersøkes om ornamen-tet er «åpent» eller «lukket», dvs. om ornamentet har et hvitt felt i midten. Et «åpent» ornament krever at toppunktet i hjørnespeilet ligger uten-for grunnfiguren. Er ornamentet lukket, ligger toppunktet langs kanten av grunnfiguren.

Inspirert av det flotte rosevinduet i Nidaros-domen, lar vi elevene i oppgave 5 utforske rota-sjonssymmetriske rosetter ved hjelp av passer. Det varierer svært fra klasse til klasse om elever på femte trinn har brukt passer. Det er derfor nødvendig å gjennomgå bruken. Spesielt hvor-dan elevene åpner og lukker passeråpningen, hvordan de holder den slik at åpningen ikke endrer seg når de tegner, og hvordan de lager sirkler uten at passerspissen glipper fra papiret. Elevene lærte dette fort og hadde stor glede av å tegne rosetter. Det ble lagt opp til en ganske detaljert gjennomgang i PowerPoint, men de fleste skjønte fort og valgte og utforske meto-den på egen hånd.

Figur 6: Bilhjul, et eksempel på rotasjonssymmetri.

Figur 7: Plasser vinkelspeilet på figurene nederst slik at

du ser de øverste ornamentene i speilet (oppgave 4B).

2/2011 tangenten20

Etter at rosetten var ferdig, fikk de lov til å fargelegge de ulike områdene i tegningen. Det ble ikke satt noe krav til fargesymmetri, men de fleste valgte rotasjonssymmetrisk fargelegging. Elevene ble utfordret til å finne rosettens grunn-figur for så å bruke vinkelspeilet til å gjenskape hele rosetten.

OppsummeringPå dette tidspunktet i opplegget var det ofte gått ca. 90 min og det var naturlig å oppsummere de tre symmetriene som var gjennomgått: Speil-symmetri (aksesymmetri), rotasjonssymmetri og båndsymmetri for så å avslutte aktivitetene.

Opplegget var innkjøpt av Trondheim kom-mune til samtlige 2000 elever på 5. trinn som en del av Den kulturelle skolesekk. Før oppstart ble

lærerne tilbudt kurs for å bli kjent med oppleg-get slik at de lettere kunne gjennomføre for- og etterarbeid og være en ressurs under gjennom-føringen. Informasjon om opplegget og mate-riell til etterarbeid, ble lagt ut på nettsiden til Den kulturelle skolesekk. Både lærere og elever evaluerte opplegget etter besøket. Resultatene viste at en svært stor del av elevene hadde fått økt forståelse for hva ornamenter var og hvilken rolle symmetri har i forholdet mellom matema-tikk og ornamentikk.

Hele opplegget er grundig dokumentert med en egen video, en idé- og tipsbok for læreren (Rossing m.fl. 2009) og en PowerPoint-presen-tasjon for bruk i klasserommet. Opplegget ligger tilgjengelig på følgende nettadresse: www.viten.ntnu.no/matematikk.php

ReferanserRossing, N. Kr., Larsen, I.-M., Adsen, Å., Øien,

V. D., Torsen, E. (2009): Matematikk og ornamentikk – Lærerveiledning, Vitensente-ret i Trondheim

Figur 8: Tegning av rosetter med passer, trinn for trinn.

Figur 9: A) Fargelegging av rosetten.

Figur 9: B) Rosettens grunnfigur.

Et sted på skolens areal kunne indrettes med Næsehornsfliser. Mønstret skal kunne stimulere synet, men også inspirere til aktiviteter. Brug af forskellige indfarvninger kan understøtte resultatet.

Elevgrupper skal komme med konkrete for-slag på et udpeget areal, som skal dækkes. Målet er at finde det bedste forslag som samlet svarer bedst til æstetik og anvendelse. Her kan forløbet med næsehornsflisen slutte med ejerskabet til fysiske forhold på egen skole.

Ved afslutning af forløbet, har jeg sendt elev-eksempler på mønstre til producenten. Han meldte tilbage at have brugt dem siden hen på nye kunder. Det var især de nye mønstre med centrum, som kunne få anvendelse i kundernes haver. Her ligger en helt anden dimension for tilbagemelding til eleverne, som normalt afleve-rer til lærere, forældre og portofoliemapper.

God fornøjelse.

(fortsatt fra side 10)

tangenten 2/2011 21

Torgeir Onstad

Tallet 41 — med skjulte overraskelserFor en stund siden gjorde Ragnar Solvang meg oppmerksom på en oppgave i et lite, dansk tids-skrift MatematikMagasinet. Leserne ble bedt om å forklare følgende egenskap:

Hvis et femsifret tall er delelig med 41, er også de femsifrede tall som framkommer ved syklisk ombytting av sifrene, delelige med 41.

Dette kunne jeg ikke huske å ha sett noen gang, og jeg ble spontant nysgjerrig. Aller først laget jeg meg et eksempel. Å finne et femsifret tall som er delelig med 41, er lett. Det er bare å mul-tiplisere 41 med et passe stort tall, for eksempel mellom 1000 og 2000. Slik fant jeg 65067:

65067 = 41·1587.

En syklisk ombytting av sifrene kan for eksem-pel bety å flytte første siffer sist: 50676. Og san-nelig, dette tallet er også delelig med 41:

50676 = 41·1236.

Jeg fortsatte:

06765 = 41·165 67650 = 41·1650 76506 = 41·1866

Slike eksempler styrker troen på at påstanden faktisk stemmer. Men de ga meg ikke noen inn-sikt i hvorfor. Jeg tenkte: Er det noe spesielt med 41, eller med femsifrede tall, eller er det kombi-nasjonen av disse? Det er lett å finne eksempler på at 41 ikke virker generelt: Det tosifrede tallet 82 er delelig med 41, men 28 er det ikke. Like enkelt er det å prøve delelighet av femsifrede tall med andre tall enn 41, og se at deleligheten ikke bevares ved syklisk ombytting av sifrene. Det ser altså ut til at det er noe spesielt med akkurat 41 brukt på akkurat femsifrede tall.

Men er dette enestående? Eller fins det andre tall enn 41 som har samme egenskap? Fins det noen tall som har en tilsvarende delingsegen-skap, med firesifrede tall, eller med sekssifrede tall? Jeg ønsket å grave dypere. Her er hva jeg fant.

La T være et femsifret tall:

T = abcde = a ·104 + b ·103 + c ·102 + d ·10 + e

La S være det femsifrede tallet som framkom-mer ved å sette det første sifferet i T sist:

S = bcdea = b ·104 + c ·103 + d ·102 + e ·10 + a

Ved å multiplisere T med 10, får S og T mye felles:

10T = a ·105 + b ·104 + c ·103 + d ·102 + e ·10

Da blir

10T – S = a ·105 – a = (100000 – 1)·a = 99999·a

Torgeir Onstad Universitetet i Oslotorgeir.onstad@ils.uio.no

2/2011 tangenten22

Ved overflytting og faktorisering får vi

S = 10T – 99999·a = 10T – 9·11111·a = 10T – 3·3·41·271·a

Her dukker altså 41 opp! Og vi ser med en gang at dersom T er delelig med 41, så blir 41 en felles faktor på høyresiden, slik at også S må være delelig med 41.

Å flytte det første sifferet sist er et eksempel på en syklisk ombytting av sifrene i tallet. En vilkårlig syklisk ombytting av sifrene kan vi få ved å gjenta denne operasjonen et passende antall ganger. Beviset ovenfor gjelder derfor for alle sykliske ombyttinger.

Dermed er for så vidt oppgaven i det danske tidsskriftet løst. Men samtidig ser vi at vi kan si mye mer. Det vi nå gjør, minner om Polyas råd om å ”se seg tilbake” etter at man har løst et problem.

For det første ser vi at 271 spiller en helt tilsvarende rolle som 41 i uttrykket vårt. Med andre ord, dersom et femsifret tall er dele-lig med 271, er også de femsifrede tallene som framkommer ved syklisk ombytting av sifrene, delelige med 271.

Men det er ikke bare primfaktorer som kan brukes. En hvilken som helst faktor i 99999 har samme egenskap. Tallet 99999 har følgende 12 faktorer:

1, 3, 9, 41, 123, 271, 369, 813, 2439, 11111, 33333 og 99999

Noen av disse faktorene er nærmest banale i vår sammenheng. Ethvert heltall er delelig med 1. Delelighet med 3 og med 9 avhenger bare av tverrsummen (siffersummen) til tallet, og den forandres ikke ved permutasjon av sifrene. Dersom T er femsifret og delelig med 99999, må T = 99999 og S = T = 99999. For de øvrige faktorene trengs derimot et resonnement som ovenfor.

Her er et eksempel med faktoren 813:

78861 = 813·97 88617 = 813·109

86178 = 813·106 61788 = 813·76 17886 = 813·22

Nå har vi skaffet oss god oversikt over situa-sjonen med femsifrede tall. Men vi kan si enda mer! Hovedidéen i resonnementet er ikke avhengig av antall sifre. Resultatet

S = 10T – 99999 ·a = 10T – 9 ·11111 ·a

gir et mønster som kan gjennomføres for et vil-kårlig antall sifre. La derfor T være et n-sifret tall. Da kan vi på helt tilsvarende måte som ovenfor utlede formelen

S = 10T – 999…9 ·a = 10T – 9 ·111…1 ·a

Her betegner 999…9 og 111…1 tallene med hen-holdsvis n niere og n enere.

De tallene som har den egenskapen at dele-lighet med dem bevares ved syklisk ombytting av sifrene i et n-sifret tall, er altså nettopp fakto-rene i det tallet som består av n niere. Og skal vi finne disse faktorene, må vi primtallsfaktorisere det tallet som består av n enere. Da åpner en ny verden seg. (Et bevis for flytting av det første sifferet sist blir et bevis for alle sykliske ombyt-tinger av sifrene, slik vi kommenterte for tilfellet med fem sifre ovenfor.)

La oss først ta et eksempel med n = 6. Da må vi faktorisere 111111:

111111 = 3·7·11·13·37

Her er et eksempel med faktoren 37:

727864 = 37·19672 278647 = 37·7531 786472 = 37·21256 864727 = 37·23371 647278 = 37·17494 472786 = 37·12778

Alle mulighetene i det sekssifrede tilfellet får vi med de forskjellige faktorene i

999999 = 9·111111 = 3·3·3·7·11·13·37

tangenten 2/2011 23

Det blir i alt 64 faktorer. Her er starten og slut-ten på lista:

1, 3, 7, 9, 11, 13, 21, 27, 33, 37, 39, 63, 77, 91, 99, 111, …, 90909, 111111, 142857, 333333, 999999

(For den som er interessert i mønstre, kan det nevnes at over en tredel av faktorene i denne lista er palindrome.)

Nøkkelen til å løse oppgaven vår er altså fak-torisering av tall av typen 111…1, der samtlige sifre er 1. Slike tall kalles «repunits» (fra engelsk repeated unit). I 1997 publiserte Trygve Breiteig og Christoph Kirfel en artikkel som handlet om repunits. De studerte tallfølgen

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, …

og beviste følgende setning:

Hver repunit (bortsett fra 1) inneholder et nytt primtall, det vil si et primtall som ikke er faktor i noen av repunitene tidligere i følgen.

De første har følgende primtallsfaktori-seringer:

U1 = 1 U2 = 11 = 11 U3 = 111 = 3·37 U4 = 1111 = 11·101 U5 = 11111 = 41·271 U6 = 111111 = 3·7·11·13·37 U7 = 1111111 = 239·4649 U8 = 11111111 = 11·73·101·137 U9 = 111111111 = 3·3·37·333667 U10 = 1111111111 = 11·41·271·9091

Her har jeg brukt betegnelsen Un for repunit nummer n, altså for det tallet som består av n enere. De nye primtallene i hver linje er mar-kert med fete typer.

Her dukker forresten nye mønstre opp: 11 er med i annenhver linje, og 3 er med i tredjehver linje. Fortsetter det slik? (Svaret er ja i begge til-fellene; kan du begrunne det?) Kanskje vi er på

spor av mer her? Så langt lista går, ser vi at 37 er med i hver tredje linje, 101 i hver fjerde linje, og 41 og 271 i hver femte linje. Denne idéen lar jeg ligge til ytterligere utforsking.

Jeg skal heller avslutte i en litt annen retning. Vi har nå bokstavelig talt fått en uendelighet av muligheter. Velg et vilkårlig naturlig tall n (for eksempel n = 5). Da kan vi finne et tall t (for eksempel t = 41) med følgende egenskap: Dersom t går opp i et n-sifret tall T, så vil t også gå opp alle de n-sifrede tallene som framkom-mer ved sykliske ombyttinger av sifrene i T. Og siden repunitene inneholder uendelig mange forskjellige primfaktorer, kan vi få til slike situ-asjoner for uendelig mange faktorer t.

Repunitene inneholder altså uendelig mange forskjellige primfaktorer. Det er naturlig å spørre: Inneholder de alle primtall som faktorer? Vil ethvert primtall p forekomme som faktor i (minst) en Un?

Svaret er åpenbart nei. Verken 2 eller 5 kan være faktor i noen Un. Men hva med de andre primtallene; kan svaret være ja for dem? Jeg skal avslutte denne artikkelen med å bevise at det faktisk er tilfelle:

La p være et primtall forskjellig fra 2 og 5. Da vil minst én av de p første repunitene U1, U2, U3, …, Up ha p som faktor.

Divider U1, U2, U3, …, Up med p. Hver divisjon Un : p gir en rest rn. Det er nøyaktig p mulige rester når vi dividerer med p: 0, 1, 2, …, p–1. Vi kan nå tenke oss to muligheter:1) Alle de p restene r1, r2, r3, …, rp er forskjel-

lige. Da må én av dem være 0; la oss si rk = 0 med 1 ≤ k ≤ p. At rk = 0, betyr at Uk er delelig med p.

2) Dersom ikke alle de p restene er forskjel-lige, må (minst) to av dem være like. Anta derfor at rk = rm for 1 ≤ k < m ≤ p. Da har vi altså to divisjoner som gir Uk = ap + r og Um = bp + r med samme rest r (mens a og b er de to kvotientene). Subtraksjon gir

(fortsettes side 30)

2/2011 tangenten24

Per Berggren

Fibonacci och algebraI höstas tog vi emot nya 6:or. (6:or på svensk er sjetteklassinger på norsk, 6:an er sjetteklasse. Red. anm.) Som vanligt var det spännande eftersom de kom från olika skolor och därför hade skilda erfarenheter med sig. Redan innan vi träffade klassen hade jag och min kollega Maria Lindroth bestämt oss för att vi denna gång skulle se till att eleverna ofta och återkom-mande fick utmaningar som låg inom området Mönster och algebra. Vi har en uttalad ambition att denna klass ska gå ut grundskolan med en säkerhet om vad algebra är, vad det kan använ-das till och med kunskap om olika algebraiska verktyg. Ja, vi vet, det kanske är att gapa över mycket, men skam den som ger sig. Sedan tidi-gare har vi ett flertal utmaningar inom områ-det men det finns en sak som vi inte riktigt har hittat: Hur vi kan introducera uppgifter som får eleverna att fråga efter verktyg att lösa pro-blemet med och att det verktyget är algebra? Kanske har vi hittat ett nu …

Om vi stannar upp ett tag och funderar över hur algebra ofta presenteras för eleverna i läro-medel så är en uppgift av slaget 5 + x = 13 inte helt ovanlig. Vem i hela världen skulle använda

algebra som ett verktyg för att lösa detta pro-blem? Det här är matematik som hör hemma i de allra tidigaste skolåren och inte i högstadiet. Uppgiften hör inte till algebra, det är ren tal-uppfattning. Vilket tal ska adderas till 5 för att summan ska bli 13? När uppgiften ska illustre-ras eller representeras med hjälp av matematiskt symbolspråk kan variabeln x användas, men det betyder inte att det är en algebraisk uppgift. Nej, en algebraisk uppgift måste komma från ett problem där eleverna på något sätt ska ge namn åt ett okänt tal för att genom logiskt reso-nemang komma fram till vilket talet är. Om ni nu protesterar och säger att algebra är så mycket mer så håller jag med, men för att introducera algebra och ekvationer som ett verktyg, är jag övertygad om att detta är ett måste.

I början på sommaren hade jag förmånen att vara med på Sveriges Matematiklärarförenings sommarkurs i Mullsjö (www.smal-matte.com). Ingvar O Persson hade en föreläsning där han visade hur han använder Fibonacci-serier för att introducera algebra. Fibonaccis serie som börjar med 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … där varje nytt tal är summan av de två föregående, är för-modligen den mest kända. Det finns mycket att berätta om den, förutom historien om personen Fibonacci. Serien beskriver t ex hur antal kani-ner eller bin förökas och antalet spiraler i mitten av en solros är alltid två på varandra följande tal i serien. Om du räknar ut kvoten mellan två

Per BerggrenTrädgårdsstadsskolan – Växthusetper.berggren@edu.botkyrka.se

tangenten 2/2011 25

tal efter varandra i serien kommer den, ganska snart, att motsvara måttet för det gyllene snit-tet 0,618 eller 1,618 beroende på om det mindre eller större talet är täljare. Mer om Fibonacci finns på www.fibonacci.se.

Fibonacci-serier behöver inte börja med 1, 1, … den kan börja med vilka två tal som helst, men utifrån dem kommer resten att vara summan av de två föregående. En serie som börjar med 1, 10, … blir 1, 10, 11, 21, 32, 53, … Eftersom serierna kan börja hur som helst är variationerna oändliga. Det är detta som är så fantastiskt. Utifrån samma sätt att tänka kan uppgifterna varieras i all oändlighet.

Första lektionen vi träffade våra nya 6:or skrev vi upp 1, 1, 2, 3, __ __ __ och frågade vilka tal de tyckte skulle kunna stå på de mar-kerade platserna. Det blev många diskussioner om det skulle vara 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1 för att det skulle bli symmetri eller 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5 för att det skulle följa ett mönster, men det tog inte lång tid innan någon föreslog alternativet med summan av de två föregående talen. Vi höll då en kort föreläsning om Fibonacci och hans serie som samtidigt som det är en lek med tal också beskriver flera olika samband i naturen. Vi pro-vade att göra en ny serie som startade med något annat än 1, 1, … för att eleverna själva skulle få prova hur det gick till.

När detta var klart för alla så kom den första utmaningen. Vi skrev:

5 __ __ __ 31

och frågade eleverna vad det skulle stå på de tomma platserna.

ALLA elever blev som uppslukade av detta och började med att gissa och prova. Ganska snart hittade de lösningen och det gör du också om du inte gjort det redan.

–Vi vill ha en till! nästan skrek eleverna. Vilken tur att vi hade några extra på lager …

9 __ __ __ 78 2 __ __ __ 304 8 __ __ __ 43

Nu började det hända saker. Många, kanske de flesta, ägnade sig åt att gissa och prova. Men några elever började se mönster och system i det som hände. En elev sa, att när han provade med ett tal på andra platsen för att se om det gav rätt tal på femte platsen, så använde han det för att tänka ut hur talet skulle ändras. Om det inte blev rätt, vilket det sällan blev, så tog eleven reda på hur stor differensen var mellan det femte talet i hans serie och det tal som det skulle ha blivit. Om han dividerade differensen med tre så visste han hur han skulle anpassa sin första gissning för att den andra ”gissningen” skulle bli korrekt. Detta skedde i slutet av en lektion och det blev en läxa för klassen att fundera på. Hur kunde differensen mellan det femte gis-sade talet och det korrekta talet hjälpa oss så att nästa gissning inte var en gissning utan alltid blev rätt?

Detta har inte varit innehållet i det avsnitt som vi arbetar med. Elevernas första avsnitt handlar om tal, taluppfattning och räkning men som ett moment utanför detta återkom-mer vi nu och då åt denna problem.En omväx-ling som eleverna tycker mycket om. Efter 3–4 veckor hade eleverna kommit så långt att de för-stod hur differensen kunde användas, men det hjälpte ändå inte alla att lösa problemet på en gång. De behövde fortfarande en gissning först, vilket de inte ville ha. Eftersom de visste att den första gissningen, oavsett vad den var, gav rätt svar på den andra så borde det gå att göra rätt redan på den första. Men hur skulle det gå till, vilka samband finns i detta sätt att tänka?

I detta skede hade vi en diskussion om pro-blemet. Kärnan i problemet är att få fram det andra talet så att summorna av de två föregå-ende talen ger det tal som står som nummer fem. Jag föreslog då att vi istället för att gissa talet bara skulle kalla det för talet. Det tal som kom efter blev då första talet plus talet. Här måste man stanna upp, gå tillbaka, fråga igen så att alla får en chans att hänga med för detta är en stor abstraktion som kan kräva tid, visuellt stöd och kanske konkret material för att förstå.

2/2011 tangenten26

Ett bra sätt är att eleverna tar en lapp som mot-svarar det okända talet, men där detta står på baksidan. Nästa tal blir då talet plus det tal som står framför. På samma sätt blir då nästa tal det okända talet plus talet tillsammans med det första talet. Börjar det låta krångligt? Det är meningen. Skriv istället ett exempel:

2 __ __ __ 25 2 talet talet + 2 talet + (talet + 2) 25

Här slutade vi vår genomgång men lät frågan och genomgången hänga kvar i luften. Vi var inte klara med detta men vi kände att vi hade hittat ett bra sätt som intresserade eleverna och som tydligt ledde fram till algebraiskt tänkande med hjälp av ekvationer. Inte som ett föremål att lära sig utan som ett verktyg för att lösa olika problem. Utvecklingen av detta kan ske med fler okända tal mellan det första och sista kända talet i serien. Tal som inte ger hela tal utan decimal-tal. Tal som kräver negativa tal. Variationerna är som tidigare sagt oändliga. Och tänk vad roligt att arbeta med detta när hela klassen tycker att det är en spännande utmaning.

… ur en liten annan vinkelNågra veckor, ja till och med månader senare återkom vi till samma innehåll men ur ett lite annat perspektiv. Denna gång fick såväl 6:or som 8:or och 9:or prova på denna övning. Övningen ser förrädiskt enkel ut men blir med små variationer utmanande så att 9:or får möj-lighet att visa kvaliteter för det högsta betyget, Mycket väl godkänd, samtidigt som elever i 6:an får en uppgift som lätt klaras av alla elever.

För att visa hur uppgiften kan ”förkrånglas” börjar vi med en lättare variant som passar för-skoleklass–2. Rita en kvadrat med en ring i varje hörn. I mitten av kvadraten skrivs talet 7.

7

I varje cirkel ska det skrivas in ett tal så att summan av talen blir 7. På hur många sätt kan det göras om man inte tänker på i vilket hörn talen står, så att 1, 1, 3, 2 är samma som 1, 2, 3, 1? Svaret kommer att variera ganska mycket beroende på om eleverna får använda en eller flera nollor. Utan nollor blir det inte så många lösningar, vilket gör undersökningen lite lättare. Om nollor får användas blir det betydligt fler kombinationer, vilket gör uppgiften lite svårare. Det här är en uppgift som lämpar sig mycket bra för frågan:– Hur många lösningar finns det och hur vet

du om du har hittat alla?

Vi använde den här uppgiften som uppvärm-ning för kommande utmaningar. De började lite försiktigt med: vilket tal ska stå i cirklarna om alla tal ska vara samma? Det finns egentligen ingen gräns för hur denna uppgift kan varieras men här är ett antal uppgifter som vi gav elev-erna:– De två övre talen är samma och de två

undre talen är samma, men de övre talen är dubbelt så stora som de undre. Vilka är talen?

– Börja med talet i övre vänstra hörnet och gå medurs. Differensen mellan varje tal ska vara samma. Kan du hitta fler än en lös-ning?

– Börja med talet i övre vänstra hörnet och gå medurs. Differensen till nästa tal är 0,5. Kan du hitta fler än en lösning? (Det går inte, men det är bra att eleverna själva får visa att det är så.)

– Om talet i övre vänstra hörnet är 2/5 och differensen är samma mellan varje tal medurs, vilka är de övriga talen?

Oavsett vilka uppgifter du väljer så är det ett algebraiskt tankesätt som ligger till grund för lösning av uppgifterna. Det blev väldigt tydligt när Ludvig i 6:an förklarade sin lösning på den första utmaningen.

(fortsettes side 36)

tangenten 2/2011 27

Del 1Jeg er en 15 år gammel gutt med stor interesse for dataprogrammering (ActionScript 3). En av de første tingene jeg prøvde å lage, var et pro-gram for å teste ut hva jeg kunne klare å lage med de få formlene jeg da kunne. Jeg hadde hørt om Fibonacci-tallene som lager en interessant tallfølge, og ville prøve å lage et program som kunne regne ut mange tall i tallfølgen, flere enn hva en vanlig kalkulator kunne. Jeg satte i gang, og etter noen minutter hadde jeg det klart.

Jeg brukte følgende formelsammenheng:

F0 = 0, F1 = 1, Fn + 1 = Fn + Fn – 1.

Mogens Hestholm, Christoph Kirfel

Fibonaccis mønsterrekke

Mogens HestholmHop ungdomsskolemoghest@hotmail.com (del 1)

Christoph KirfelUniversitetet i Bergenchristoph.kirfel@math.uib.no (del2)

Tallfølgen inneholder mønster som er helt unike. Disse mønstrene var i utgangspunktet for meg kun kjent som mønstre mellom tall, men kan disse mønstrene også sees grafisk? Jeg ble ganske forundret over hva jeg fikk se (tabel-len).

Tallene danner mønster mellom seg! Det kan være rette linjer, eller svake buer (det kommer litt an på skrifttypen). Jeg aner ikke hvorfor det er slik. Det er tre unntak, i det siste tallet i femte kolonne øker det med to siffer, i motsetning til ett siffer slik det ellers er. Det samme skjer i overgang fra fjerde til femte rekke i kolonne en. Det andre tallet i første kolonne har ingen økning. Kanskje det betyr at det ikke er helt rette linjer, men svake buer?

Observasjon: Alt i alt kan det se ut som om lengden på Fibonacci-tallene øker jevnt med nummeret på tallet. Omtrent hvert femte Fibo-nacci-tall får ett nytt siffer.

1 1 2 3 58 13 21 34 5589 144 233 377 610987 1597 2584 4181 676510946 17711 28657 46368 75025121393 196418 317811 514229 8320401346269 2178309 3524578 5702887 922746514930352 24157817 39088169 63245986 102334155

2/2011 tangenten28

Del 2I første del av denne artikkelen lurte Mogens Hestholm på om vekstmønsteret som han opp-daget hos Fibonaccitallene er korrekt. Omtrent hvert femte Fibonacci-tall får et nytt siffer. Kan det virkelig stemme? Formelen for Fibonacci-tallene:

F0 = 0, F1 = 1, Fn + 1 = Fn + Fn – 1

kaller vi en rekursiv formel siden beregningen av et nytt ledd i følgen bygger på foregående ledd. Det finnes flere former for formler for å beskrive følger. Tar vi eksempelvis følgen av oddetall: 1, 3, 5, 7, 9 … kan denne også beskrives med en rekursiv formel der det nye leddet beregnes ved å legge 2 til det foregående.

T1 = 1, T2 = 3, Tn + 1 = Tn + 2.

I tillegg kan tallfølgen beskrives med en ekspli-sitt formel: Tn = 2n + 1. Fordelen med den eksplisitte formelen er at man kan beregne et ledd i følgen med et gitt nummer direkte. Man trenger ikke beregne de foregående leddene. For eksempel er oddetall nummer 2431 lett å beregne siden

T2431 = 2 · 2431 + 1 = 4862 + 1 = 4863.

Det hadde tatt lang tid å benytte seg av den rekursive formelen og beregne alle foregående ledd før man hadde kommet frem til T2431. Vi ser altså at det kan være en enorm fordel å kunne arbeide med eksplisitte formler fremfor rekur-sive.

Finnes det også en eksplisitt formel for Fibonacci-tallene?Det gjør det, og denne formelen har fått navn etter Jacques Philippe Marie Binet som utviklet den i 1843. For å finne denne formelen tar vi utgangspunkt i en litt annen tallfølge som bygger på Fibonacci-tallene. Vi ser på følgen av tall Fn +

1 – aFn, der a er et fast tall som vi skal bestemme senere. Det viser seg nemlig at denne nye følgen blir mye enklere enn selve Fibonacci-tallfølgen når vi velger a på en lur måte. Vi skriver:

Vi velger nå a på en lur måte, nemlig slik at

. I tillegg setter vi b = 1 – a. Da får vi

Fn + 1 – aFn = b(Fn – aFn – 1)

Vi ser at venstre side av likningen og høyre side får samme struktur (et Finonacci-tall minus a ganger forgjengeren). På høyre siden har vi rik-tignok ganget med en faktor (1 – a) = b.

Denne gjentagende strukturen gjør det mulig å bruke formelen om igjen og om igjen:

Den nye tallfølgen vi studerer er en geometrisk følge, det vil si en følge der leddene er potenser av et fast grunntall, hos oss b = (1 – a). Det må kunne sies å være en enkel tallfølge.

Vi skal nå se på de kravene vi stilte til tallet a

underveis i prosessen: . Vi finner en pas-

sende løsning ved å løse likningen eller

x2 – x – 1 = 0, som gir . Noen vil

kjenne dette igjen som det gylne snitt. Setter

vi så blir og vi

ser at både a og b er løsninger av likningen x2 – x – 1 = 0. Dermed kan vi på nøyaktig samme måte som oppe få Fn + 1 – bFn = an, og vi har plut-selig to formler for Fn + 1, nemlig Fn + 1 = aFn + bn og Fn + 1 = bFn + an. Setter vi dem lik hverandre kan vi skrive:

tangenten 2/2011 29

eller

Vi har fått Binets formel for Fibonacci-tallene som er differansen mellom to geometriske følger. Dette er en eksplisitt formel fordi Fibo-naccitallene nå kan beregnes utelukkende med utgangspunkt i nummeret n uten å måtte beregne tidligere ledd i følgen.

Vi tar nå en nærmere titt på potensene som inngår i Binets formel.

Siden tallverdien av

er mindre enn 1, vil potensene av dette tallet

danne en følge som

går raskt mot null. Allerede

og dermed er det andre leddet i Binets formel for n = 10 gitt ved

.

Vi ser at det andre leddet i Binets formel er veldig liten. På den andre siden vet vi at Fibo-nacci-tallene er voksende heltall, så hovedparten av et Fibonacci-tall må komme fra den første

potensen . Det andre leddet er bare

ansvarlig for noen siffer langt, langt bak kom-maet og vi kan formulere vår observasjon litt

nonchalant slik: og dermed

blir Fibonacci-tallene selv så å si en geometrisk følge i alle fall når man ser på størrelsesordenen. Det manglende leddet gir oss alltid en korrek-sjon som er langt under en enhet.

Denne erkjennelsen om størrelsesordenen av Fibonacci-tallene kan nå hjelpe oss når vi skal uttale oss om deres «lengde» når vi skriver dem i vårt tallsystem.

Før vi kommer frem til hovedpoenget skal vi kort studere en meget enkel tallfølge der det blir lett å uttale seg om lengden av led-dene. Vi ser på tallfølgen Hn = 10n, altså tier-potensene. Følgen ser slik ut: 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, osv. Lengden av leddene vokser med en enhet for hvert nytt ledd. Vi kan si at lengden av Hn er lik n + 1. Der er altså en direkte forbindelse mellom lengden av tallene og eksponenten i uttrykket, eller rettere sagt tierlogaritmen av Hn = 10n. Tierlogaritmen av et tall forteller oss først og fremst hvor mange siffer tallet har foran komma, for eksempel log10(5243) ª 3,71957986… Se også i tabellen nedenfor:

TallAntall siffer

Tier-logaritmen

321 3 2,50650503

6577 4 3,81802784

129776 6 5,11319438

Å spørre etter lengden av Fibonacci-tallene eller antall siffer i Fibonacci-tallene er altså det samme som å etterlyse tierlogaritmen av dem. Vi ser altså på

2/2011 tangenten30

Dette betyr at Fibonacci-tallenes lengde vokser med konstant fart med indeksen eller numme-ret på Fibonacci-tallet. Dette bekrefter obser-vasjonen beskrevet i del 1 av artikkelen av Mogens Hestholm. Vi ser at «stigningstallet» er 0,20898764 ª 1/5 som forteller oss at vi for omtrent hvert femte Fibonacci-tall kan forvente oss ett nytt siffer slik som tabellen i del 1 viser.

En annen forklaring som ikke tar logarit-mer i bruk kan se slik ut: I følge vår omtrentlige

«approksimasjonsformel» er

. Det betyr at Fn + 5 er litt

større enn det tidoble (ellevedoble) av Fn og det betyr at Fn + 5 har nokså sikkert ett siffer mer enn Fn. På et enda enklere nivå kunne man argu-mentert slik:

Fn + 5 = Fn + 4 + Fn + 3 = 2Fn + 3 + Fn + 2 = 2(Fn + 2 + Fn + 1) + Fn + 2 =3Fn + 2 + 2Fn + 1 = 5Fn + 1 + 3Fn > 8Fn.

På akkurat samme måte kan vi finne at

Fn + 5 = 8Fn + 5Fn – 1 < 13Fn .

Dermed ser vi veldig fort at Fn + 5 er minst åtte ganger så stor som Fn men mindre enn 13 ganger Fn og at Fn + 5 sannsynligvis har ett siffer mer enn Fn .

Um – Uk = bp – ap = (b – a)p

Med andre ord, Um – Uk er delelig med p. Siden k < m, blir denne differansen

Um – Uk = 111…1000…0 = 111…1·1000…0 = Um–k·10k

Siden p ikke er 2 eller 5, går p ikke opp i 10k. Da må primtallet p gå opp i Um – k. Siden m – k < p, er setningen bevist.

Selv om repunitene dermed inneholder samtlige primtall bortsett fra 2 og 5, er det langt mellom de repunitene som selv er primtall. I vår liste gjelder det U2. Det er bare fire til som er kjent, nemlig U19, U23, U317 og U1031. Men det antas at også U49081, U86453, og U109297 kan være primtall. Se nettstedet primes.utm.edu/glossary/xpage/Repunit.html.

David Wells har skrevet en bok som kan gi mange idéer til utforsking av tall og tall mønstre. Der står det blant annet at 41 har den egen-skapen som denne artikkelen startet med.

Jeg takker redaktøren for kommentarer til første utkast til denne artikkelen.

ReferanserBreiteig, T. & Kirfel, C. (1997). Primtall i rekursive

følger. Normat, 45, 103–112.Wells, D. (1986): The Penguin Dictionary of Curi-

ous and Interesting Numbers. London: Pen-guin Books.

(fortsatt fra side 23)

tangenten 2/2011 31

Nils Kr. Rossing

Elevoppgave om flatedekkende mønsterVåren 2009 ble det i et samarbeid mellom Norden fjeldske Kunstindustrimuseum og Vitensenteret i Trondheim, gitt et tre timers tilbud til alle elever på femte trinn innen temaet matematikk og ornamentikk.

Denne elevoppgaven er en del av under-visningsopplegget «Symmetri og ornamentikk» som også beskrives i dette nummeret. Oppgaven er en introduksjon til tessellering med utgangs-punkt i eksempler fra Escher (se figur 1 og 2).

Oppgaven gikk ut på at elevene ved hjelp av seks kvadrater og 18 likesidete trekanter skulle dekke en avgrenset flate fullstendig (se figur 3). Det ble brukt Jovo-brikker til oppgaven. For å få til dette måtte elevene tenke logisk mht. summer av vinkler og hva som kan tillates for å unngå å overskride det avgrensede området. Eleven fikk utdelt det avgrensede området på et A4-ark (figur 3).

De oppdaget snart at det bare var mulig å plassere trekanter langs kantene. Når disse er plassert ser de tydelig hvor de seks kvadratene skal stå. Til slutt er det noen få trekanter igjen som finner sin naturlige plass. Her kan en lett bringe inn summen av vinklene i trekantene og kvadratene som grenser opp til et «hjørne» i den

tessellerte figuren (figur 5).La elevene selv legge sammen ulike former

med heldekkende mønster, tegne omrisset og utfordre hverandre til å finne ut hvordan brik-kene skal legges sammen for at de skal dekke

Nils Kr. RossingNTNU/Vitensenteret i Trondheimnils.rossing@svt.ntnu.no

Figur 1: Et eksempel hentet fra Escher.

Figur 2: Tessellering, trinn for trinn.

2/2011 tangenten32

Figur 3: Avgrenset område.

Figur 4: Kvadrater og likesidete trekanter.

Figur 5: En mulig løsning.

ReferanserChing, F. (2007). Architecture: Forms, Space, &

Order (3. utg). Hoboken, NJ: Wiley. Engel, H. (1985). Measure and construction of

the Japanese house. Tokyo: Tuttle Publish-ing.

Ruskey, F. & Woodcock, J. (2009). Counting Fixed-Height Tatami Tilings. The Electronic Journal of Combinatorics, 16. Tilgjengelig på: www.combinatorics.org/Volume_16/PDF/v16i1r126.pdf.

Yagi, K. (1982). A Japanese touch for your home. (K. Kuwata, illustrasjoner). Tokyo: Kon-dasha International Ltd.

(fortsatt fra side 5)

flaten innenfor omrisset helt.Er det mulig å finne omriss som har flere

løsninger?

Noter1 Tatamimatter er blitt brukt i over åtte

hundre år som portabelt gulvbelegg, i seks hundre år som gulvbelegg hos adelen og tre hundre år som gulvbelegg hos allmuen.

2 Arealet til ett A4-ark blir da 0,0625 m2.3 De metriske måleenheten har offisielt over-

tatt for de eldre japanske målene i løpet av det tyvende århundret. Enheten ken er derfor nå lite brukt, selv om romstørrelse nesten alltid blir oppgitt som antall tata-mimatter i tillegg til eller i stedet for antall kvadratmeter.

4 Jeg er fascinert av det følgende forholdet: den japanske volumenheten sho

_ er eksakt

2401/1331 liter.5 For den som lurer på hvorfor min formel

avviker fra Ruskey og Woodcock sin, så skyldes det en liten feil i deres artikkel.

tangenten 2/2011 33

Michael Naylor

Vedvarende mønstrePascals talltrekant er en av de mest berømte tre-kanter vi kjenner til. Denne trekanten er full av spennende mønstre. Talltrekanten ble studert av kinesiske og persiske matematikere lenge før den ble gjenoppdaget av Blaise Pascal in 1654, men den ble gitt Pascals navn på grunn av de mange vidunderlige egenskaper han fant og beviste. I dag lar matematikkinteresserte seg begeistre av mulighetene til å utforske de mange mønstrene i trekanten – til og med skjulte mønstre utenfor trekanten!

Talltrekanten blir vanligvis presentert med 1 i øverste rad og 1-tall nedover ytterst til ven-stre og ytterst til høyre. Tallene inne i trekanten blir funnet ved å summere de to tallene som befinner seg i raden over – nærmest til venstre og til høyre. I figur 1 ser vi noen få rader.

I den nederste raden er for eksempel 6 summen av 1 og 5 fra raden ovenfor, mens 15 er summen av 5 og 10 osv. Ved å fortsette på denne måten kan vi generere tall i uendelig mange rader nedover.

Pascals talltrekant kan blant annet bli benyt-tet til å utvikle uttrykk av typen (a + b)n. Den n-te raden i talltrekanten (merk at øverste rad er nummer null) består nemlig av koeffisien-tene til uttrykket vi får når vi utvider (a + b)n. Eksem pel vis har vi at

(a + b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4.

Koeffisientene 1, 4, 6, 4, og 1 finner vi altså i fjerde rad i talltrekanten.

Vi kan også bruke Pascals talltrekant til å finne antall kombinasjoner. Tallet som står i r-te kolonne i n-te rad forteller oss på hvor mange måter vi kan trekke r objekter fra n objekter uten tilbakelegging. Antall kombinasjoner og tallet i trekanten kan regnes ut ved hjelp av

. På kalkulatorer bruker vi kom-

mandoen nCr. Antall lottorekker finner vi altså ved nCr(34, 7), som viser seg å være 5 379 616. Dette svære tallet finner vi altså i 34. rad og 7. kolonne i Pascals talltrekant.

Michael NaylorMatematikksenteretmike.naylor@matematikksenteret.no

Artikkelen er oversatt fra engelsk avTor AndersenMatematikksenterettor.andersen@matematikksenteret.no

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1Figur 1: Pascals trekant

2/2011 tangenten34

Vi oppdager ganske fort at summen av alle tallene i n-te rad er 2n. Hundrevis av mønstre ligger og venter på den nysgjerrige.

En helt ny verdenMange av mønstrene i talltrekanten er relativt godt kjent blant dem som har arbeidet med tre-kanten. Men hva med «den skjulte verden» med «negative rader» som åpenbarer seg når vi utvi-der talltrekanten oppover istedenfor nedover?

For å oppnå dette må vi først utvide trekan-ten til venstre og høyre. Dette gjør vi ved å følge regelen om at hvert tall i en rad er summen av de nærmeste tallene i raden over. Det er ganske opplagt at vi får 0 på flankene.

0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 1 2 1 0 0

0 1 3 3 1 0

For å konstruere rad nummer –1 må vi sørge for at hvert par av tall i denne raden er summen av korresponderende tall i rad 0. Vi kunne for eksempel plassere 1/2 og 1/2 over 1-tallet i rad 0, eller 10 og –9 eller et hvilket som helst tallpar med sum lik 1. Men for å oppfylle at det første tallet forskjellig fra 0 skal være 1, må vi velge 0 og 1 som sentraltall i rad nummer –1.

Straks vi har plassert 0 og 1 i rad nummer –1,

følger det at denne raden må inneholde alterne-rende 1 og –1. Da blir summen som er tallet i raden nedenfor, lik 0, slik det skal være.

0 0 0 1 –1 1 –1

0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 2 1 0 0

Noe ekstraordinært begynner etter hvert å hende. Mysteriet forsterker seg når vi generer rad nummer –2 og finner at denne inneholder elementene … 0, 1, –2, 3, –4, 5, … Fortsetter vi på denne måten, vil en «usynlig» verden av tall komme til syne (se figur 1).

En ny talltrekant ser dagens lys. Den kan bli oppfattet som et speilbilde av den nedre trekan-ten, men med alternerende positive og negative tall. Mange egenskaper gjelder både for den nedre og øvre talltrekanten – slik som:– Det første tallet (posisjon 0) i hver rad er 1– Det andre tallet (posisjon 1) i rad n er lik n– Det tredje tallet (posisjon 2) i rad n er

trekanttallet n(n – 1)/2. Legg merke til at dette kvadratiske uttrykket vil generere kun positive tall og at det er to nuller i raden hvor n =0 og n = 1.

– Det fjerde tallet (posisjon 3) i rad n er pyramidetallet n(n – 1)(n – 1)/6. Legg merke til at dette kubiske uttrykket er lik

1 –6 21 –56 126

1 –5 15 –35 70 –126

1 –4 10 –20 35 –56

1 –3 6 –10 15 –21 28

1 –2 3 –4 5 –6 7

1 –1 1 –1 1 –1 1 –1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0 0

1 2 1 0 0 0 0 0 0

1 3 3 1 0 0 0 0 0 0

1 4 6 4 1 0 0 0 0 0

Figur 1

tangenten 2/2011 35

0 for n = 0, 1, og 2. For n < 0 har dette uttrykket en negativ verdi.

Vi innser at tallet i rad n og i posisjon r er gitt

ved . Dette uttrykket

er lik , men vi velger den første

skrivemåten for å unngå fakultet av negative tall.

Egenskaper ved de negative radeneDet kan være en fascinerende aktivitet å prøve å finne egenskaper til talltrekan-ten med de negative radene. Gir de negative radene koeffisientene vi får når vi utvider (a + b)n ? Er summen av tallene i rad n fortsatt lik 2n ? Grundig analyse av disse spørsmålene fører til overraskende svar. La oss først se på (a + b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4. Legg merke til at a i første ledd er opphøyd i n og at b er opphøyd i 0. I påfølgende ledd vil eksponen-ten til a avta med 1 for hvert ledd til den blir lik 0. Eksponenten til b vil øke med 1 for hvert ledd til den blir n.

Hva så med n = –1? Dukker koeffisientene i (a + b)–1 opp i de negative radene? La oss utvikle ved hjelp av divisjonen:

Vi kan kontrollere divisjonen ved å multiplisere kvotienten med divisor og undersøke om svaret blir lik dividenden, nemlig 1. Altså:

Ja, som vi kunne forvente. Koeffisientene vi får når vi utvider (a + b)–1 er 1, –1, 1, –1, 1, …

Hvis a = b = 1 får vi opplagt at (1 + 1)–1 = 2–1 = 1/2. Resultatet ovenfor gir faktisk samme svar. Da får vi nemlig at

(1 + 1)–1 =1 – 1 + 1 – 1 + … = 1/2.

Men hvordan i all verden kan det være tilfelle? Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), en av grunnleggerne av differensialregningen, hadde mye moro med denne rekken. Leibniz trodde på «vedvarende mønstre». Vil et mønster bestå selv om vi foretar oss ett eller annet, slik vi har gjort med å utvide Pascals talltrekant oppover?

Leibniz bemerket at summen kan grupperes slik:

(1 – 1) + (1 – 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

Eller slik:

1 + (– 1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + … = 1.

Istedenfor å drukne seg i dette paradokset, foreslo Leibniz at siden summen er 0 for de n første leddene når n er et oddetall og 1 når n er et partall, må den forventede sum i den uende-lige rekken være 1/2.

Spøkte Leibniz med omgivelsene sine? Han fortsatte argumentasjonen med at

S = 1 – 1 + 1 – 1 + … fi  S = 1 – S fi 2S = 1 fi  S = 1/2.

Dessuten er den uendelige rekken 1 – 1 + 1 – ··· en geometrisk rekke med a1 = 1 og k = –1. Kan vi for en gangs skyld ignorere kravet om at

|k| < 1 og sette ?

2/2011 tangenten36

Til slutt – en kvikk divisjon bekrefter resul-tatet:

Rad nummer –1 gir altså ikke bare koeffisien-tene i (a + b)–1, men i tillegg «summen» av tal-lene i raden. Kan dette gjelde for n-te rad?

Rad –2 ser litt mer arbeidsom ut. Er det mulig at den uendelige summen 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – … er lik 2–2 = 1/22 = 1/4? Og er koeffisientene 1, –2, 3, –4, 5, …?

Siden , kan

vi utføre en polynomdivisjon. Kvotienten pro-

duserer virkelig de koeffisientene som vi håpet at vi skulle få. La oss utføre samme type divi-sjon på 1 : (1 + 2 + 1). Da får vi:

På samme måten kan vi regne ut 1 : (1 + 3 + 3 + 1) ved divisjon for å produsere tallene i rad –3 i Pascals talltrekant. Polynomdi-visjonen produserer elementene i den generelle raden –n. En uventet og deilig overraskelse!

KommentarVi må alltid være forsiktige når vi arbeider med uendelighet slik at vi unngår paradokser. I denne framstillingen har vi kanskje vært litt uforsiktig og lekende med vår håndtering av

uendelige rekker og summer, men det er klart at Leibniz sin tro på «vedvarende mønstre» er rettferdiggjort. Ved å følge disse mønstrene kan vi havne i en merkelig og spennende verden. Hvilke andre sammenhenger ligger og venter på å bli oppdaget i de skjulte radene utenfor Pascals talltrekant?

ReferanseRhodes, F. (1971). 1 – 1 + 1 –1 + … = 1/2?

Mathematical Gazette, 55(392), 298–305.

– Jag tänkte att de två undre talen var samma som ett tal uppe och då kunde jag dela 7 på 3. Sedan behövda jag bara dela det på två för att veta vad de undre talen skulle vara.

Att Anton sedan hade en helt annan förklaring gjorde inte saken sämre. – Så tänkte inte jag. Jag tänkte att talen uppe

var två stycken tal där nere, då fick jag 6 tal så jag delade 7 med 6. Fast det blir ju förstås samma sak ungefär.

Det var många som fick en aha-upplevelse och gärna ville ha fler utmaningar med andra tal och nya villkor. Det var inte alla som löste upp-gifterna med formell algebra men de var helt medvetna om att de använde sig av ett alge-braiskt tänkande. Det ska bli mycket intressant att se hur denna klass kommer att utvecklas som redan nu har en så välutvecklad algebraisk förståelse. Vi hoppas vi kan få tillfälle att åter-komma och berätta hur det går.

(fortsatt fra side 26)

tangenten 2/2011 37

Leif Bjørn Skorpen

Visualisering av intervall i musikkHistorisk og innhaldsmessig er det sterke band mellom matematikk- og musikkfaget (Garland og Kahn, 1995; Haspang, 2010; Wollenberg, 2006). I tidlegare publikasjonar har eg foku-sert på nokre av koplingane ein finn mellom matematikk og musikk, blant anna ved å sjå på korleis intervall mellom tonar kan uttryk-kast som forhold mellom tal, og ved å studere oppbygginga av ulike skalatypar. (Skorpen, 2004a, 2004b). I artikkelen «Å rekne i musikk» (Bjørlykke og Skorpen, 2009), peikar Reidun Åslid Bjørlykke og eg på samanhengen mellom musikk og matematikk innanfor LK06 sine rammer. I denne artikkelen vil eg vise korleis matematikken kan brukast til å visualisere og analysere intervall, akkordar og slektskapen mellom akkordar i musikken.1

InnleiingÅ lytte til musikk har både ei estetisk og ei ana-lytisk side. På den estetiske sida vil det i hovud-sak vere dei auditive sansane som vert stimu-lerte. Musikk er primært bygd opp av kombi-nasjonar av lyd og ikkje lyd. Den som lyttar til musikk vil i ulik grad kunne danne seg indre bilete med utgangspunkt i dei musikalske opp-

levingane. Slike bilete vil i høgste grad vere per-sonlege og individuelle, og vil ikkje bli nærare kommenterte i denne samanheng. Innanfor den analytiske sida av musikkopplevinga har mate-matikkfaget mykje å bidra med (Bjørlykke og Skorpen, 2009). I det vidare arbeidet skal me prøve å visualisere ein liten del av musikkteo-rien, ved blant anna å sjå korleis ulike intervall kan bli representerte gjennom geometriske figurar. På den måten får me fram ein del vakre figurar. Desse figurane kan både nytast reint estetisk, og dei kan nyttast til enkle analysar av intervall, akkordar og samanhengar mellom akkordar. I nettutgåva av artikkelen, som ein finn på adressa: www.caspar.no/tangenten/2011/visualisering.pdf, er det knytt lydfilar til nokre av figurane. Det er altså eit ynskje å få det este-tiske og det analytiske til å møtast i ei visuell oppleving.

Å visualisere musikalske intervall ved hjelp av geometriske figurar, har lange historiske tradisjonar som går heilt tilbake til dei greske filosofane for om lag 2500 år sidan. I tidlegare tider var det også vanleg å kople saman musikk-teori med astrologi og astronomi. Den greske astronomen Klaudios Ptolomaios (ca. 90–168) kopla saman musikalske konsonansar med astrologiske aspekt i geometriske figurar av lik-nande type som dei me etter kvart skal sjå på (Field, 2006, s. 32). Johannes Kepler (1571–1630) utvikla tredimensjonale modellar av solsyste-

Leif Bjørn SkorpenHøgskulen i Voldaleifbjorn.skorpen@hivolda.no

2/2011 tangenten38

met, der også musikkteorien var inkludert. Blant anna søkte han etter harmoniar i oppbygginga av universet og innførte omgrepet «planet-akkordar», der forholdet mellom omlaups farten til dei ulike planetane vart samanlikna med for-holda mellom tonane i akkordar (Field, 2006; Haspang, 2010).

Den tempererte «tolvtonesirkelen»La oss ta utgangspunkt i den tempererte tolv-toneskalaen, som alle vanlege tempererte instrument i dag byggjer på. I denne skalaen er oktaven delt inn i tolv like store halvtone-trinn. Skalaen kan visualiserast på ulike måtar. Ein kan sjå føre seg ein serie av til saman tolv etterfølgjande kvite og svarte tangentar på eit piano eller orgel, eller tolv etterfølgjande band oppover gitarhalsen. Denne skalaen kan også visualiserast ved å bruke ein sirkel delt inn i tolv like store delar,2 sjå figur 1.

Figur 1: Sirkel som illustrerer dei tolv halvtonane

innanfor ein oktav.

Når ein startar med ein C på toppen og les med urvisaren, finn ein i første punktet Ciss (= Dess), som ligg ein halv tone over C. Dette intervallet vert i musikkteorien omtala som «liten sekund». I neste punkt finn ein D som ligg ein halv tone over Ciss, og ein heil tone over C. Intervallet mellom C og D er ein «stor sekund». Neste punkt, Diss (= Ess), ligg tre halve tonar over C og vert kalla ein «liten ters». Ved å lese med urvisaren finn ein intervalla som er lista opp i figur 2.

I denne figuren er intervall som i sum blir lik ein oktav kopla saman gjennom linjene til høgre i figuren. Til dømes vil summen av ein liten sekund og ein stor septim bli lik ein oktav. Denne symmetrien finn ein også igjen i tolvtonesirkelen. Ei omdreiing rundt sirkelen gjev ein oktav. Eit vilkårleg punkt på sirkelen vil dele sirkelen i to delar (to sirkelsektorar). Kvar av desse to delane (sektorane) vil danne intervall som i sum utspenner heile sirkelen, og dei tilhøyrande intervalla vil dermed i sum bli lik ein oktav. Figur 3 viser denne relasjonen

Notenamn: Intervall:

C Prim

Ciss/Dess Liten sekund

D Stor sekund

Diss/Ess Liten ters

E Stor ters

F Kvart

Fiss/Gess Tritonus

G Kvint

Giss/Ass Liten sekst

A Stor sekst

Aiss/B Liten septim

H Stor septim

c Oktav

Figur 2: Intervall som i sum vert lik ein oktav.

Figur 3: Regulær sekskant som viser koplinga mellom

seks par av store sekundar og små septimar, med

startpunkt på C, D, E, Fiss, Giss og B.

tangenten 2/2011 39

mellom store sekundar og små septimar. Inter-vallet frå C til D er ein stor sekund. Intervallet frå D til C spenner over ti halvtonar, og er ein liten septim. Tilsvarande er intervallet frå D til E ein stor sekund, og intervallet frå E til D er ein liten septim. Den regulære sekskanten i figur 3 illustrerer altså seks par av store sekundar og små septimar.

Ved å la tilsvarande intervall starte på halv-tonane mellom dei tonane som dannar hjørna i den regulære sekskanten i figur 3, får ein fram ein ny sekskant, sjå figur 4.

Figur 4: Regulæar sekskant som viser koplinga mellom

seks par av store sekundar og små septimar, med

startpunkt på Ciss, Diss, F, G, A og H.

Denne regulære sekskanten illustrerer også seks ulike par av store sekundar og små septimar.

Til saman vil desse to regulære sekskantane utspenne alle dei tolv para av store sekundar og små septimar innanfor oktaven,3 sjå figur 5.

På tilsvarande måte kan ein få fram relasjo-nane mellom liten ters og stor sekst. I figur 6 ser ein at intervallet frå C til Diss spenner over tre halvtonar – og utgjer ein liten ters, medan inter-vallet frå Diss til C spenner over ni halvtonar – og utgjer ein stor sekst. Frå Diss til Fiss er det også ein liten ters, og frå Fiss til Diss er det ein stor sekst. Tilsvarande relasjonar får ein knytt til kvart av hjørna i den regulære firkanten.

Figur 6: Regulær firkant som viser fire par av små tersar

og store sekstar, med startpunkt på C, Diss, Fiss og A.

Hjørna frå tre slike regulære firkantar vil til saman dekke alle dei tolv punkta i sirkelen, sjå figur 7.

Figur 7: Dei tre regulære firkantane viser alle tolv para

mellom små tersar og store sekstar innanfor oktaven.Figur 5: To regulære sekskantar som til saman gjev alle

tolv para av store sekundar og små septimar innanfor

oktaven.

2/2011 tangenten40

I figur 7 er alle dei tolv para av små tersar og store sekstar innanfor oktaven teikna inn i sirkelen ved hjelp av tre regulære firkantar. På tilsvarande måte kan ein i figur 8 sjå samanhen-gen mellom store tersar og små sekstar. Her vil den regulære trekanten illustrere tre par av store tersar og små sekstar. Frå C til E er det ein stor ters, og frå E til C er det ein liten sekst. Frå E til Giss er det ein stor ters, og frå Giss til E er det ein liten sekst. Tilsvarande er det frå Giss til C ein stor ters, og frå C til Giss ein liten sekst.)

Figur 8: Den regulære trekanten viser samanhengane

mellom tre par av store tersar og små sekstar, med

startpunkt på C, E og Giss.

Tre nye regulære trekantar, med hjørna plas-serte i kvart av dei ni ledige punkta på sirkelen i figur 8, vil saman med den innteikna trekanten i figur 8 dekke alle dei tolv halvtonepunkta på

sirkelen. Fire regulære trekantar får til saman fram alle dei tolv para av store tersar og små sekstar innanfor oktaven, sjå figur 9.

Frå C til F er det ein kvart, og frå F til C er det ein kvint. Frå G til C er det ein kvart og frå C til G er det ein kvint. Sidene CF og GC i den likebeina trekanten i figur 10 kan illustrere to sett med par av kvartar og kvintar med tilkny-ting til C.

Figur 10: Likebeina trekant som knyt saman to par av

kvartar og kvintar med tilknyting til C

Ved å teikne inn seks slike likebeina trekantar som bind saman dei seks para av kvartar og kvintar, blir alle dei tolv halvtonane i oktaven involvert. Resultatet ser ein i figur 11:

Figur 11: Dei seks para av kvartar og kvintar innanfor

oktaven.

Figur 11 ser gjerne litt overlessa og rotete ut. For å få betre fram dei vakre symmetriane i denne figuren, kan me endre litt på den likebeina tre-

Figur 9: Fire regulære trekantar illustrerer alle dei tolv

para av store tersar og små sekstar innanfor oktaven.

tangenten 2/2011 41

kanten i figur 10 ved å ta bort grunnlinja4 og omforme trekanten til ein firkant som inklu-derer origo i sirkelen, sjå figur 12:

Figur 12: Modifisert utgåve av kvart- og kvintpara.

Viss me no teiknar inn dei seks para av kvartar og kvintar som skal til for å inkludere kvart av dei tolv halvtoneintervalla innanfor oktaven, får me fram den vakre stjerna i figur 13.

Figur 13: Viser modifisert utgåve av dei seks para av

kvartar og kvintar innanfor oktaven.

Enkle akkordarMed utgangspunkt i den same tolvtonesirkelen, kan me også visualisere ulike akkordar, og på ein enkel og oversiktleg måte sjå slektskapen mellom ulike akkordar. Frå musikkteorien veit me at ein durakkord er bygd opp av ein stor ters med startpunkt i grunntonen i akkorden, og deretter ein liten ters som går vidare frå slut-tonen i det store tersintervallet. Dei to tersane

vil til saman utspenne eit kvintintervall i høve til grunntonen. I mollakkordane kjem den vesle tersen først, etterfølgd av den store tersen. La oss starte med ein c-moll akkord. Frå C til Ess er det ein liten ters, frå Ess til G er det ein stor ters, og frå C til G er det ein kvint. Til saman dannar dei tre tonane C, Ess og G ein c-moll akkord, sjå figur 14.

Figur 14: C-moll akkord.

På same måte kan ein teikne inn trekantane til alle dei tolv moglege mollakkordane innanfor oktaven. Dei tolv trekantane vil vere kongru-ente. Alle mollakkordane vil høyrast like ut i den tempererte skalaen, berre tonehøgda vari-erer frå toneart til toneart. Akkordar som kling likt, bortsett frå tonehøgde, vil altså gje opphav til geometriske figurar som er kongruente og roterte i høve til kvarandre.

Viss ein startar med C og går opp ein stor ters i staden for ein liten ters, kjem ein til E. Frå E til G er det ein liten ters, og frå C til G er det ein kvint. Ein får då fram ein C-dur akkord, sjå figur 15. Samanliknar ein figurane 14 og 15, ser ein at dei to trekantane er kongruente, og at dei er spegla om linja som skjærer sirkelperiferien i midtpunktet mellom Ess og E og i midtpunktet mellom A og B. Det at trekantane til dur- og mollakkordane er spegla i høve til kvarandre representerer ein geometrisk ulikskap. Musi-kalsk sett finn ein den geometriske ulikska-pen igjen ved at det i durakkorden er det store tersintervallet som er relatert til grunntonen,

2/2011 tangenten42

medan det i mollakkorden er det vesle tersin-tervallet som er relatert til grunntonen. Ulike tersintervall i høve til grunntonen fører til ulik klang mellom dur- og mollakkordar.

Figur 15: C-dur akkord.

Ein dim-akkord er bygd opp av to små tersar, som til saman dannar eit «tritonusintervall» (også omtalt som forstørra kvart- eller formin-ska kvintintervall). I figur 16 ser ein at innteikna i oktavsirkelen, blir dim-akkorden ein likebeina trekant innanfor den eine halvsirkelperiferien.

Figur 16: C-dim akkord (C0).

SeptimakkordarI ein septimakkord inngår det tre tersintervall. Ein «vanleg» dur-septim akkord er bygd opp av ein stor ters, etterfølgd av to små tersar. Til saman utspenner desse tre tersane eit lite sep-timintervall i høve til grunntonen. Ein «stor» dur-septim akkord (maj-akkord) er bygd opp av ein stor ters, ein liten ters og til slutt ein stor ters.

Til saman utspenner desse tre tersane eit stort septimintervall i høve til grunntonen. Innteikna i oktavsirkelen vert det ein firkant. I figur 17 ser ein den vanlege C-dur-septim akkorden (C7), og i figur 18 den store C-dur-septim akkorden (Cmaj7), teikna inn i oktavsirkelen.

Figur 17: C-dur-septim akkord (C7).

Figur 18: C-dur-stor-septim akkord (Cmaj7)

Dei store tersane i starten og slutten av den store septimakkorden, fører til at firkanten i figur 18 vert symmetrisk om ei linje som går gjennom midtpunktet mellom H og C og gjennom midt-punktet mellom F og Fiss.

Alle enkle dur- og mollakkordar er bygde opp av tre tonar, og vert av den grunn også omtalt som treklangar. Septimakkordane er bygde opp av fire tonar, og vert omtalt som firklangar. Når desse ulike akkordane vert teikna inn i oktav-sirklane, skjønar me lett at alle treklangar vert representerte av trekantar og alle firklangar vert representerte av firkantar. Innanfor kvar «fami-

tangenten 2/2011 43

lie» av ulike treklangar (dur-, moll-, og dim-akkordar) og firklangar (dei ulike septimane) vil det vere tolv ulike akkordar innan for okta-ven. Kvar av desse akkordfamiliane vil kunne bli representerte av tolv kongruente trekantar eller firkantar som er roterte i høve til kvaran-dre innanfor oktavsirkelen.

ToneartarTeiknar me inn ein durakkord og den parallelle mollakkorden, til dømes C-dur og a-moll, får me i figur 19 fram ein figur som inneheld ein interessant symmetri. Som tidlegare nemnd er ein durakkord bygd opp av ein stor ters med startpunkt på grunntonen i akkorden, etterfølgd av ein liten ters. Dei to tersane vil til saman utspenne eit kvintintervall i høve til grunn-tonen. I mollakkordane kjem den vesle tersen først, etterfølgd av den store tersen. I C-durak-korden startar den store tersen på C og går opp til E, og den vesle tersen går vidare frå E til G. I a-moll akkorden startar den vesle tersen på A og går opp til C, og den store tersen går vidare frå C til E. Den store tersen frå C til E er altså felles for begge akkordane. I figur 19 ser ein tydeleg denne tersslektskapen ved at dei to trekantane i oktavsirkelen får tersintervallet som felles side, CE. Den samla figuren er symmetrisk om linja gjennom D og Giss/Ass.

Figur 19: C-dur og a-moll.

Ved å teikne dei tre hovudtreklangane innan-for ein toneart inn i den same oktavsirkelen, vil ein også tydeleg få fram slektskapen mellom dei

ulike akkordane. I figur 20 ser ein dei tre hovud-treklangane i tonearten C-dur: C (tonika), F (subdominant) og G (dominant). Me ser at grunntonen i dominantakkorden (G) fell saman med kvinten i tonikaakkorden, og at kvinten i subdominantakkorden fell saman med grunn-tonen i tonikaakkorden (C). Dette viser tydeleg kvintslektskapen mellom dominant og tonika, og mellom subdominant og tonika.

Figur 20: Hovudtreklangane innanfor tonearten C-dur

(C, F og G).

Om ein no utvidar dominantakkorden til ein septimakkord, medfører det at tonen F vert inkludert i G-durakkorden, sjå figur 21. Denne tonen er som kjend grunntonen i subdominan-takkorden, og knyter dermed slektskapsband mellom dominant- og subdominantakkorden. Tilsvarande kan ein også teikne inn dei paral-lelle mollakkordane til kvar av dei tre hovud-treklangane. Me ser frå figur 21 at hjørna i dei tre nye trekantane fell saman med hjørna i dei eksisterande trekantane frå figur 20. Det tyder at det er dei same tonane som samla inngår i dei tre hovudtreklangane og deira parallelle mollakkordar. Me ser vidare frå figur 21 at den vesle tersen i a-mollakkorden (intervallet frå A til C) fell saman med den vesle tersen i F-dur-akkorden. Tilsvarande ser me at den vesle tersen i e-mollakkorden (intervallet frå E til G) fell saman med den vesle tersen i C-durakkorden. Dette viser molltersslektskapen mellom tonika sin parallelle mollakkord og subdominant-akkorden, og mellom tonika og dominanten

2/2011 tangenten44

sin parallelle mollakkord.

Figur 21: Hovudtreklangane med tilhøyrande parallelle

mollakkordar i C-dur.

Figur 21 visualiserer tydeleg at hovudtreklan-gane i C-dur, med tilhøyrande parallelle mol-lakkordar, inneheld berre – og alle – stamtonane (dei kvite tangentane på pianoklaviaturet).

Gjennom desse vakre figurane og enkle ana-lysane, håper eg å ha fått fram at musikken også kan nytast visuelt.

Fotnoter1 Grunnlaget for denne artikkelen vart utvikla

i samband med ei kursrekke om Matema-tikk i musikken som eg heldt på oppdrag frå Nasjonalt senter for kunst og kultur i opplæringen.

2 Alle sirkelfigurane er teikna ved hjelp av GeoGebra.

3 Idéen til desse figurane er henta frå Ashton (2003).

4 Grunnlinja i den likebeina trekanten inngår ikkje direkte i kvint-kvart-para som vert danna av dei to sidene FC og GC.

ReferansarAshton, A. (2003). Harmonograph: a visual guide

to the mathematics of music. New York: Walker Publishing.

Bjørlykke, R. Å., og Skorpen, L. B. (2009). Å rekne i musikk. I J. Fauskanger, R. Mosvold og E. Reikerås (Eds.), Å regne i alle fag (s. 225-236). Oslo: Universitetsforlaget.

Field, J. V. (2006). Musical cosmology: Kepler and his readers. I J. Fauvel, R. Flood og R. Wilson (Eds.), Music and mathemaics. From Pythagoras to Fractals. New York: Oxford University Press.

Garland, T. H., og Kahn, C. V. (1995). Math and Music. Parsippany: Dale Seymour Publica-tions.

Haspang, P. (2010). Musikkens Matematik. Samsø: Forlaget Matematik.

Skorpen, L. B. (2004a). Å lytte til musikk frå tal. Tangenten 15(4). Retrieved from www.caspar.no/tangenten/2004/lytte_til_musikk_fraa_tal.doc.doc

Skorpen, L. B. (2004b). Å uttrykke musikk ved hjelp av tal. Tangenten, 15(4).

Wollenberg, S. (2006). Music and mathematics: an overview. I J. Fauvel, R. Flood og R. Wilson (Eds.), Music and mathematics. From Pythagoras to Fractals. New York: Oxford University Press.

Tallmønster 1. Se innsiden av omslaget. 9 · 9 + 7 = 88 98 · 9 + 6 = 888 987 · 9 + 5 = 8888 9876 · 9 + 4 = 88888 98765 · 9 + 3 = 888888 987654 · 9 + 2 = 8888888 9876543 · 9 + 1 = 88888888 98765432 · 9 + 0 = 888888888

Tallmønster 2. Se innsiden av omslaget. 1 · 1 = 1 11 · 11 = 121 111 · 111 = 12321 1111 · 1111 = 1234321 11111 · 11111 = 123454321 111111 · 111111 = 12345654321 1111111 · 1111111 = 1234567654321 11111111 · 11111111 = 123456787654321111111111 · 111111111 = 12345678987654321

tangenten 2/2011 45

H. Aschehoug & Co. har mer enn 130 års tradisjonsom ledende og uavhengig norsk forlagshus. Virksomheten omfatter forlagene Aschehoug,

Universitetsforlaget og Oktober samt Norligruppen. Videre er forlagshuset deleier i De norske Bokklubbene, Kunnskapsforlaget, Forlagsentralen og Spektrum Forlag. Driftsinntektene var i 2009 på 1,7 mrd. kr.

���������� � ����������Har du lyst til å bidra til elevenes læring i matematikk, er dette muligheten du bør gripe!

Aschehoug Undervisning utvikler et nyskapende digitalt læringsverktøy i matematikk for grunnskolen 1–7. I den forbindelse søker vi forfattere som brenner for matematikkfaget og som er opptatt av god formidling. Prosjektet du skal være med på å utvikle tar matematikkutfordringene i skolen på alvor og gir elevene hjelp til å forstå og mestre matematikk.

Som forfatter i Aschehoug Undervisning vil du lage oppgaver og lærings- ressurser til konkrete deler av prosjektet, men også være med i konsept-utviklingen. Du inngår i en prosjektgruppe og blir del av et kreativt og spennende miljø. Gode samarbeidsevner, klasseromserfaring fra barne-trinnet og solid faglig kompetanse vil bli vektlagt. Arbeidsmengden vil variere, men kan være stor i perioder. Honorar eller royalty etter avtale.

Spørsmål om stillingen kan rettes til prosjektleder Stein Dillevig på telefon 22 400 433/996 36 773, e-post: stein.dillevig@aschehoug.no eller forlagsredaktør Nina Pettersen, e-post: nina.pettersen@aschehoug.no.

Søknad med CV sendes på e-post til stein.dillevig@aschehoug.no innen 1. mai 2011 eller per post til:

H. Aschehoug & Co.Undervisning v/Stein DillevigBoks 363 Sentrum,0102 OSLO

Vennligst merk søknaden ”Forfatter matematikk – Aschehoug Undervisning”

Aschehoug Undervisning søker

2/2011 tangenten46

Nyheter:• Håndholdt med touchpad, bakgrunnslys og

farger – slank og elegant.• Dokumenter kan lages og lagres i Word-liknende

dokumentformat – publish View.• Navigator – trådløs klasseromsløsning for både

pc-klasserom og håndholdt-klasserom. Må prøves!• Integrert datalogging med Vernier’s Dataquest

som applikasjon – plugg inn og logg!• Flere matematikkfunksjoner – retningsdiagram,

3D-plotting, etc.• Player – software som gir mulighet for distribuering

av interaktive matematikkdokumenter uten å ha TI Nspire programvare installert. Legg det inn på nettsider, eller presenter spillbare �ler direkte.

Like enkelt, enda mer komplett!

Vil du vite mer? Kontakt undervisningskonsulent Anders Øverbye på telefon 92665313 elle send en mail til a-overbye@ti.com

Vi hjelper deg med å få elevene til å lykkesTredje generasjon teknologi er her!

NO_Ad_20x14 v3.indd 1 02/03/2011 10:47

tangenten 2/2011 47

Anne Fyhn

Noe som følger et mønsterSpråket vårt er et redskap for å formidle til andre mennesker hvordan vi tenker. Ordene i språket er uttrykk for hvordan vi tenker og hvordan vi organiserer våre tilværelser. Det fins ulike måter å organisere tilværelsene våre på, ut fra hva som er hensiktsmessig og hvilken kultur bakgrunn vi har.

Det norske ordet mønster lar seg ikke uten videre oversette direkte til samisk1. Dette er viktig å tenke på for norsktalende som skal forholde seg til mønster i samiske kontekster. Dersom vi oversetter andre veien, fra samisk til norsk, finner vi at det samiske ordet girji har tre betydninger (Nielsen, 1979). ’Bok’ og ’bokstav’ er to av betydningene, mens den tredje er ’møn-ster’.2 Ordet girji brukes også i flere sammen-henger enn de norske ordene bok og bokstav, som navn på en flekkete hund: girje eller girjjis, som navn på ei kvit ku med røde eller svarte flekker: girju. Verbet girjjodit betyr å bli flek-ket/spraglet, å begynne å få grå eller brunak-tige flekker (både om dyr og om hodet til folk). Girjjodit brukes også om rypa når den begyn-ner å få brunaktige flekker om våren. Om haren brukes derimot et annet verb, fordi der er fargen jevn over det hele (ibid.).

Gaski (1998) forklarer hvordan ordet girji får tilføyd endelser og dermed blir til girjjálašvuohta, som betyr «noe som følger et mønster» eller «noe som har noe med en bok å gjøre».

Begrepet kommer av substantivet girji, som betyr både mønster og bok. Til substantivet føyer en så adjektivendelsen –las og får dermed adjektivet ’mønsterlig’ (altså noe som følger et mønster eller har noe med et mønster å gjøre) i den ene betydnin-gen, og ’boklig’ (noe som minner om en bok eller er knyttet til det boklige) i den andre. Av adjektivet girjjalas kan en igjen skape et substantiv ved å føye til endelsen –vuohta, slik at den direkte oversettelsen av girjjálašvuohta ville bli ’mønsterlighet’ og ’boklighet’, altså noe som følger et mønster eller har noe med en bok å gjøre. (ibid., s. 34)

Den vanligste norske oversettelsen av girjjàlašvuohta er ’litteratur’. I følge Gaski (ibid.) åpner det samiske begrepet for litteratur for en mye videre tolking enn det norske ’litteratur’, som er begrenset til det som er bokstavrelatert. Det samiske begrepet er videre enn det norske. Det inkluderer muntlige fortellinger, som også følger et mønster og har sin struktur, på samme vis som en bok.

Anne FyhnUniversitetet i Tromsøanne.fyhn@uit.no

2/2011 tangenten48

JoikGaski (ibid.) hevder at fordi joikelyrikken er oppbygd etter et mønster, faller joik inn under litteraturbegrepet på samisk. Joikemelodiene er bygd opp av små melodisk-rytmiske motiv som står i forhold til hverandre, og hvert melodisk-rytmiske motiv utgjør et melodiavsnitt (Graff, 2001). «En joik består av flere avsnitt i rekke-følge, hvor motivene står i bestemte forhold til hverandre.»(ibid., s. 206) Graff (ibid.) bruker termen ’rytmisk motiv’ som navn på en struktur som forekommer hyppig i joikemelodier. Melo-diene kan deles inn på ulike vis: For eksempel kan seksdelte joiker betraktes som firedelte, men med to innskutte avsnitt. En åttedelt melodi kan vurderes som firedelt, den kan betraktes som en 16-takters melodi i viseform (ibid.). Mønstre i joikemelodier leder til antagelsen om at joiking kan gi en intuitiv forståelse av det å finne felles nevner for to eller flere brøker. Elever som har erfart at en 16-takters melodi kan deles i både åtte og i fire like lange deler, kan ha et grunnlag for arbeid med uensbenevnte brøker. Samiske matematikklærere har muligheter til å bygge undervisningen om brøk på elevenes erfaringer med joik.

Graff (ibid.) skriver at forskere har fokusert på joik som tekst, som melodi og rytme, eller som meningsutveksling. Men primært handler joik om meningsformidling i samhandlings-situasjoner. Å joike en person betyr å framføre en bestemt joik som er tilegnet vedkommende. «Joik brukt som kommunikasjon forutsetter både ferdighet i joiking og sosial ferdighet.» (ibid., s. 53). Gaski (1998) understreker at det er problematisk å analysere joikens tekstdel iso-lert fra den situasjonsbetingete framføringen av den. En forståelse av joiken krever blant annet grundig kunnskap om joikens musikalske sider og dens tekstlige innhold.

Duodji/duodje/duedtie3

Dunfjeld (2001) analyserer sørsamisk orna-mentikk. På sørsamisk fantes det verken noen generell betydning eller overgripende term som

samsvarte med begrepet ornamentikk. Same-nes forståelse av egen ornamentikk er dessu-ten forskjellig fra en ren formal forståelse av ornamentikk slik vi finner det i Vest-Europa. Dunfjeld (ibid.) innførte derfor begrepet tjaa-lehtjimmie som har en betydning utover det å være ren dekor: «Det er sammensetning av tegn, ornamenter og symboler som til sammen kan gi mening.» (ibid., s. 102) Dunfjeld bruker ordet geometri gjentatte ganger i sine beskrivelser av samisk ornamentikk, men hun kunne like gjerne brukt ordet algebra.

Tr e k a n t s t i k k e t skjæres ut i tre, bein eller horn og lages ved en teknikk som er særegen blant samer. En kniv eller en annen spiss gjenstand brukes til å lage tre snitt eller skår mot et felles punkt (ibid.). Dette felles punktet ligger ikke midt i figuren, men nærmere ett av hjørnene. Stikket ser nærmest ut som en skeiv pyramide sett ovenfra. Når snittet er farget med aske eller bark framtrer et trekant-formet ornament.

I følge Dunfjeld (ibid.) er trekantstikket et symbol som bærer et budskap, og budskapets innhold må sees i relasjon til den konteksten det er satt inn i. Meningen må tolkes ut fra den kon-teksten gjenstanden er laget i og skal fungere i. Selve trekantstikket er et gammelt symbol som er utbredt blant samer og andre urfolk.

Meningen til et ornament som trekant-stikket, kan avgjøres ut fra dets plassering og organisering i forhold til andre symboler i en komposisjon (ibid.), slik figur 2 viser eksem-pler på. Både matematikere og andre kan la seg begeistre over sammenhengene mellom sym-metri og språk i denne figuren. Matematikklæ-rere og duedtielærere i sørsamiske områder har muligheter til å utarbeide spennende matema-tikkundervisning med utgangspunkt i eksem-pelet i figur 2.

Figur 1: Trekantstikket.

tangenten 2/2011 49

I duodji/duodje/duedtie finner vi ulike mer og mindre avanserte flettede og vevde båndmøn-stre, for eksempel slik figur 3 viser. Båndene må sees i sammenheng med konteksten de opptrer i. Blant annet forteller båndene hvilket kjønn brukeren har, hvor vedkommende kommer fra og hvorvidt personen er gift eller ugift.

Innenfor matematikk er fletting et begrep i gruppeteori og i topologi. Det matematiske begrepet flettegruppe ble eksplisitt introdusert av den østerrikske matematikeren Emil Artin i 1925 (Wikipedia, 2011). Flettegruppen eller «braid group» med n tråder, Bn, er en gruppe

som har intuitiv geometrisk representasjon og som på et vis representerer symmetrigruppen Sn (ibid.).

En operasjon der elementer bytter plass i en symmetrigruppe, kalles en permutasjon. Dersom kun to elementer bytter plass, kalles operasjonen en transposisjon. Hvis for eksem-pel seks personer sitter rundt et bål og tre av dem bytter plass, kalles det for en permutasjon på matematikkspråket. En relevant oppgave for elever i ungdomsskolen er å finne fram til en formel for hvor mange forskjellige måter fire personer kan plassere seg på rundt et bål. Hvor mange forskjellige permutasjoner finnes? Videre kan de bruke formelen til å regne ut hvor mange måter seks personer kan plassere seg på. I en flettegruppe er reglene for en transposisjon at det dessuten ikke er likegyldig hvilken tråd som krysser på for- og baksiden av den andre. Til-svarende regler gjelder for fletting av samiske bånd.

Fyhn (2007) beskriver hvordan man flet-

Figur 3. Et lite utvalg samiske vevde og flettede båndmønstre (Eira Buljo, 1995).

Figur 2. Hvordan trekantstikk kan symbolisere

personlige pronomen i første og andre person i entall

og totall. Utsnitt av figur fra Dunfjeld (2001, s. 109)

2/2011 tangenten50

ter hår ved først å dele håret i tre like deler. Fletteprosedyren kan beskrives som gjentatte repetisjoner av «Ta høyre del og kryss den over midt erste del. Ta deretter venstre del og kryss den over midterste del.» Den høyre delen, uan-sett hvilken det måtte være, kan referere til alle de tre delene av håret. Tilsvarende gjelder for midterste del og venstre del. I følge Lakoff og Núñez (2000) er det dette vi forstår ved meto-nymi. Dette eksisterer utenfor matematikken, men det er viktig for å forstå algebra. En vei til å forstå abstrakt algebra er at vi kan generali-sere på bakgrunn av konkrete erfaringer fra dagliglivet. Hvis Per har 120 kr og Marit har 50 kr så kan vi telle oss fram til at de har 170 kr til sammen, enten vi teller Per eller Marit sine penger først.

This everyday conceptual metonymy …plays a major role in mathematical thin-king: It allows us to go from concrete (case by case) arithmetic to general alge-braic thinking … This everyday cognitive mechanism allows us to state general laws like «x + y = y + x», which says that adding a number y to another number · yields the same result as adding · to y. It is this meto-nymic mechanism that makes the dis-cipline of algebra possible, by allowing us to reason about numbers or other entities without knowing which particular entities we are talking about. (ibid., s. 74–75)

I 1942 skrev Solveig Skullerud avhandlingen Finnmarksfinnernes ornamentikk i karvskurd og ristning. Avhandlingen hennes er basert på et studium av Etnografisk Museums samlinger (Skullerud, 1971). Motsatt av Dunfjeld (2001) analyserte hun duodjigjenstander løsrevet fra den sammenhengen hvor de ble laget og hadde sin funksjon. Dette fikk konsekvenser for ana-lysene hennes. Mens Dunfjeld (ibid.) framhever at organiseringen av trekantstikkene har betyd-ning for meningsinnholdet, betrakter Skullerud samisk ornamentikk som ren dekor. Skullerud

skriver heller ikke noe om hvorvidt sentrum i trekantstikkene er plassert i et hjørne eller midt i figurene.

Det eiendommelige ved Pasvik- og Suenjel- samenes ornamentikk er nå at den utelukkende er bygd på trekanten og de variasjonene som fremkommer ved trekantsammenstillinger. Og det har virkelig lyktes for disse samene på et så snevert grunnlag å skape en ornamentikk som både er særegen og virkningsfull (Skullerud, 1971, s. 49).

Fordi Skulleruds analyser kun forholder seg til gjenstander på et museum, så ble hennes analyser av trekantstikket svært annerledes enn de analysene Dunfjeld (2001) gjorde. Skulle-ruds arbeid må imidlertid leses i lys av når det ble utført. 1942 var i slutten av nasjonalismens glansperiode og på den tiden sto fornorskingen av samene sterkt. Samer deltok ikke selv i forsk-ning på den tiden, de ble forsket på av andre (Evjen, 2009).

Samisk læreplanElever som følger samisk læreplan har egne fagplaner i musikk og i duodji/duodje/duedtie, men ikke i matematikk. Derfor blir det opp til den enkelte matematikklærer og den enkelte skole å bygge matematikkundervisning på er faringer elevene har med seg hjemmefra, og fra de estetiske fagene. Lærebøkene inneholder ingen eksempler. Et mål med denne teksten er å vise noen eksempler på muligheter for å bygge matematikkundervisning for samiske elever på elevenes kompetanse og erfaring fra estetiske fag. Et annet mål er å vise hvordan mønstre i samiske kulturuttrykk kan betraktes ut fra et matematisk og et matematikkdidaktisk per-spektiv.

I følge kompetansemålene i musikk, samisk plan, for sjuende trinn skal elevene blant annet kunne «joike et utvalg dyre-, person- og stedsjoiker, … improvisere med stemme og instrumenter med utgangspunkt i enkle ryt-miske, melodiske og harmoniske mønstre» (KD, 2006c). I matematikkfaget er kompetanse-

tangenten 2/2011 51

målene blant annet at elevene skal kunne finne felles nevner og legge sammen brøk. De skal kunne utforske og beskrive strukturer og forandringer i enkle tallmønster, og de skal kunne bruke tidspunkt og tidsintervall i enkle bereg n inger (KD, 2006d). Samiske matematikk-lærere har muligheter til å sette disse kompe-tansemålene i matematikk i sammenheng med målene for joik. Fordi samiske elever følger samme fagplan i matematikk som øvrige elever i norsk skole, inneholder lærebøkene ikke noe om slike muligheter.

Arbeid med trekantstikk passer godt inn for å nå kompetansemålene i duodji/duodje/dued-tie: etter fjerde årstrinn skal elevene kunne eksperimentere med enkle geometriske grunn-former og mønstre fra duodji/duodje/duedtie både i konstruksjon og som dekorative formel-ementer (KD, 2006b). Etter tre år på mellom-trinnet skal elevene kunne bruke ornamenter fra duodji/duodje/duedtie i eget skapende arbeid (ibid.). Parallelt med dette legger kompetanse-målene i geometri (KD, 2006d) til rette for å bygge undervisningen på elevenes erfaringer fra timene i duodji/duodje/duedtie. Etter fjerde års-trinn skal elevene kunne kjenne igjen og bruke speilsymmetri og parallellforskyving i konkrete situasjoner. Etter sjuende årstrinn skal de kunne beskrive og gjennomføre speiling, rotasjon og parallellforskyving (ibid.). Organiseringen av trekantstikkene i figur 2 er velegnet til å stu-dere speilsymmetri og rotasjonssymmetri. Fordi senteret i trekantstikket står i et av hjørnene, er de sammensatte figurenes symmetriegenskaper ekstra tydelige.

Dunfjelds (2001) avhandling gir flere mate-matikkfaglig relevante eksempler på parallell-forskyving i tillegg til speiling og rotasjon. Fagplanen i matematikk (KD, 2006d) åpner for at skoler i sydsamiske områder (og andre steder) kan gjøre utstrakt bruk av trekantstikk i matematikkundervisningen. Fordi det ikke er ut arbeidet egne læreverk i matematikk for samiske elever, er det opp til den enkelte skoles matematikklærere å bygge undervisningen på

elevenes erfaringer med trekantstikk.Fletting av bånd går igjen i kompetanse-

målene i duodji/duodje/duedtie for de ulike trinnene i grunnskolen. Etter andre årstrinn skal elevene kunne eksperimentere med form, farge og rytme i border ved bruk av mønstre fra duodji/duodje/duedtie. Etter fjerde årstrinn er kravene økt. Elevene skal nå kunne «eksperi-mentere med enkle geometriske grunnformer og mønstre fra duodji/duodje/duedtie både i konstruksjon og som dekorative formel- elementer» (KD, 2006b). Etter sjuende årstrinn skal elevene også kunne mer om båndenes til-knytning til ulike kontekster, de skal kunne lage bånd til ulike funksjoner (ibid.).

Samiske elever lærer mye om fletting av bånd. Praktisk og systematisk arbeid med fletting fører til at elevene tilegner seg en god del matematisk kunnskap som de ikke finner noe om i mate matikkbøkene sine. Samiske matematikk læreverk er kun direkte oversettel-ser av norske bøker og elevene får derfor ikke vite at fletting også er matematikk. En årsak til dette er at fletting av bånd har en helt annen plass i tradisjonell norsk kultur enn i tradisjo-nell samisk kultur. ‘Braid group’ eller fletting er imidlertid velkjent blant matematikere fordi dette er et eget forskningsfelt innenfor matema-tikk. Ved Universitetet i Tromsø har Hilja Huru skrevet doktoravhandling i matematikk om flet-tinger. Mange matematikere synes dette emnet er interessant, og kan derfor en del om flettinger ut fra et teoretisk perspektiv. De som arbeider med flettinger innenfor duodji/duodje/duedtie kan også en god del om flettinger. Flettinger blir forhåpentligvis også etter hvert inkludert i samisk matematikkundervisning. Her er det mulig heter for mange spennende prosjekter.

Noter1 De mest utbredte samiske språkene er

nordsamisk, sørsamisk og lulesamisk. Denne teksten referer til nordsamisk språk dersom ikke annet er spesifisert.

2 K. Nielsens ordbok beskriver betydningen

2/2011 tangenten52

av ordet ‘girji’ slik på engelsk: «Spot of another colour (on an animal); (plur.) orna-mental patterns (coloured).» (Nielsen, 1979, s. 117)

3 Duodji/duodje/duedtie er en betegnelse for samisk håndverk og kunsthåndverk på henholdsvis nord-/lule- og sørsamisk

ReferanserDunfjeld, M. (2001). Tjaalehtjimmie. Form og inn-

hold i sørsamisk ornamentikk. Avhandling for dr. art.-graden. Universitetet i Tromsø, Norway: Institutt for kunsthistorie, Det humanistiske fakultet.

Eira Buljo, K. M. (1995). Árbeviroláš c uoldagat ja bárgidivvun bàittit. Guovdageaidnu/Kautokeino: Sámi oahpahusráðði/Samisk utdanningsråd.

Evjen, B. (2009). Research on and by ‘the Other’. Focusing on the Researcher’s Encounter with the Lule Sami in a Historically Chan-ging Context. I Acta Borealia, vol 26, (2), s. 175-193

Fyhn, A (2007). Sámi Culture as Basis for Mathe-matics Teaching. I C. Bergsten, B. Grev-holm, H.S. Måsøval & F. Rønning (Red.) Proceedings of Norma 05, 4th Nordic Con-ference on Mathematics Education . s. 245-256. Trondheim: Tapir Academic Press

Gaski, H. (1998). Den hemmelighetsfulle teksten. Joikelyrikken som litteratur og tradisjon. I Vinduet, vol 52, (3), s 33-39

Graff, O. (2001). Joik på nordkysten av Finnmark. Undersøkelser over en utdødd sjøsamisk joiketradisjon. (Joik at the northern coast of Norway. Investigations about an extinct Sea-Sámi joik tradition), Tromsø, N: Tromsø University Museum.

KD, Kunnskapsdepartementet (2006a). Paral-lelle, likeverdige læreplaner – grunnskole og gjennom gående fag. Lastet ned 4. februar 2011 fra www.udir.no/Artikler/_Lareplaner/Samisk/Parallelle-likeverdige-lareplaner---grunnskolen-og-gjennomgaende/

KD, Kunnskapsdepartementet (2006b). Lære-

plan i duodji. Kompetansemål. Lastet ned 4. februar 2011 fra www.udir.no/grep/Lareplan/?laereplanid=147569&visning=5

KD, Kunnskapsdepartementet (2006c). Læreplan i musikk, samisk plan. Kompetansemål. Lastet ned 4. februar 2011 fra www.udir.no/grep/Lareplan/?laereplanid=152328&visning=5

KD, Kunnskapsdepartementet (2006d). Læreplan i matematikk fellesfag. Kompetansemål etter 7. årssteget. Lastet ned 9. februar 2011 fra www.udir.no/grep/Lareplan/?laereplanid=1101832&visning=5&sortering=2&kmsid=1101841

Lakoff, G. & Núñez, R. (2000). Where mathema-tics comes from. How the embodied mind brings mathematics into being. New York: Basic Books.

Nielsen, K. (1979). Lappisk (samisk) ordbok. Grunnet på dialektene i Polmak, Karasjok og Kautokeino. Bind II G–M. Oslo: Uni-versitetsforlaget, 2. opplag. Første opplag 1932–1962.

Skullerud, S. (1971). Finnmark-samenes orna-mentikk i karveskurd og ristning. I A. Nes-heim & H. Eidheim, (Red.) Sámi ællin Sámi Særvi jakkigir’ji 1967–1970/ Sameliv Samisk Selskaps Årbok 1967–1970. Oslo: Univer-sitetsforlaget, s. 31–92. Omredigert versjon av S. Skullerud (1942) Finnmarksfinnernes ornamentikk i karveskurd og ristning, Nord-norske samlinger III

Wikipedia (2011). Braid group. Lastet ned 4. februar 2011 fra en.wikipedia.org/wiki/Braid_group

tangenten 2/2011 53

Geometri, mønster og måling – med kenguruoppgaver

Endelig har noen tatt seg tid til å samle gode, gamle oppgaver fra Kengurukonkurransen mellom to permer! I løpet av de årene denne internasjonale matematikkonkurransen har eksistert, er det blitt laget så mange kenguru-oppgaver at de to forfatterne har kun konsen-trert seg om oppgaver innenfor emnet geome-tri og romforståelse. Karin Walby arbeider ved Nationellt centrum för matematikkutbildning og Susanne Gennow jobber til daglig som lærer i videregående skole. Begge har vært ansvar-lige for Kengurukonkurransen i Sverige siden 1999.

Forfatterne henvender seg først og fremst til lærere, som i tillegg til læreboka, vil ha en sam-

ling med problemløsingsoppgaver for å kunne berike og variere egen undervisning.

Kenguruoppgaver er i første rekke laget for å stimulere elevers interesse og motivasjon for matematikk. Innholdet og formuleringen er tilpasset til elever på ulike nivåer. Oppgaver tiltenkt elever på barnetrinnet, handler ofte om Robert, Rebekka, en hund eller en kenguru som bygger, maler, hopper, tegner, løper, pusler, spiser eller legger et mønster. Så støter de på et eller annet problem som de trenger hjelp til å løse. Oppgaver beregnet for elever på ungdoms-trinnet og i videregående skole går mer rett på sak, men mange av problemstillingene har en særegen vri som kanskje vil motivere elevene. Kvaliteten her er etter min mening at elevene blir utfordret på sentrale begreper i matema-tikk.

Hovedkapittelet i boka består av en oppgave-samling sortert etter innhold. Geometriske former, operasjoner med former, måling, møn-ster og klassisk geometri er her fem under-kapitler. Hvert underkapittel deles igjen inn i sentrale geometriske tema. På denne måten er det enkelt å finne problemløsingsoppgaver som for eksempel omhandler sirkler, skjærings-punkter, linjer, vinkler, areal, volum eller for-holdsregning. En CD med alle oppgavene følger med boka. Om teksten må oversettes for norske elever, kan bilder og tegninger kopieres direkte.

Susanne Gennow & Karin Walby:Geometri, mønster og måling – med kenguruoppgaverGeometri och rumsuppfatning – med KänguruproblemISBN 978-9185143-18-4Pris: SEK 385,–

2/2011 tangenten54

Bak i boka er det fasit med løsningsforslag til alle de 382 oppgavene.

I hvert kapittel under «förslag för undervis-ningen» gis det tips til læreren hvordan elev-ene kan arbeide med problemene. Det kan være forslag til variasjoner, bruk av konkretiserings-materiell, koblinger til lignende problemstil-linger eller spørsmål til å diskutere og arbeide videre med. Dette er en av styrkene til boka.

Ettersom tema for dette nummeret av Tan-genten er mønster, avslutter jeg med en oppgave fra mønsterkapittelet i boka:

Maksimalt antall ruterHvis vi tegner 9 linjestykker (5 vannrette og 4 loddrette) får vi et rutenett med 12 ruter. Se tegningen:

Med 6 vannrette og 3 loddrette linjestykker blir det bare 10 ruter.Hvis vi tegner til sammen 15 linjestykker på samme måte, hva er det maksimale antall ruter vi da kan få? A) 22 B) 30 C) 36 D) 40 E) 42

Tips til hvordan elevene kan arbeide med dette problemet:– Hva er det minste antall linjestykker vi

trenger for å tegne ei rute?– Hvordan skal vi tegne et linjestykke for at

antall ruter skal øke mest?– Hvordan kan vi med samme antall linje-

stykker få ulikt antall ruter?– Hvordan kan vi få et bestemt antall ruter

med ulikt antall linjestykker?– Hvor mange ruter gir m vannrette og n

loddrette linjestykker?

LøsningsforslagRiktig svaralternativ (på originaloppgaven) er E. Vi trenger 4 linjestykker for å lage en rute. Lar vi de 11 resterende linjestykkene være loddrette får vi 12 ruter. Lar vi et linjestykke være vannrett og 10 loddrette får vi 2 · 11= 22 ruter, med to vannrette og 9 loddrette 3 · 10 = 30 ruter, videre 4 · 9 = 36, 5 · 8 = 40 og 6 · 7 = 42 ruter som vi får med 5 vannrette og 6 loddrette linjestykker.

Tegner vi linjestykkene slik at vi får maksi-malt antall ruter får vi følgende tabell:

Antall linjer Max ant. ruter Mål

4 1 1x1

5 2 1x2

6 4 2x2

7 6 2x3

8 9 3x3

9 12 3x4

10 16 4x4

11 20 4x5

12 25 5x5

13 30 5x6

Anne-Gunn Svorkmo

tangenten 2/2011 55

Matematikk – fra mønster til bevis Hva er matematikk? Det er et ganske dypt spørsmål og det finnes et hav av svar på dette spørsmålet. På den ene siden kan faget bli sett på som en samling av fakta og ferdigheter. Å lære matematikk vil ut fra et slikt syn si å kunne mestre algoritmer, kunne gjengi teoremer og huske ulike definisjoner. Det vil si at vi har fokus på fagets produkter. På den andre siden kan vi si at matematikk er «vitenskapen om mønster» (engelsk: «science of patterns»). Ut fra dette synet går matematikk ut på å lete etter mønster og sammenhenger. Hvilket syn vi har på faget vil selvsagt farge vårt syn på hva som er god undervisning i faget. Har vi et fokus på fagets produkter vil vi vektlegge disse. Har vi et prosessorientert syn vil vi vektlegge dette mer i vår undervisning.

Heldigvis trenger det ikke å være noen mot-setninger mellom disse to syna. Matematikk er mer enn fakta og ferdigheter, men disse er også viktige deler av faget. Vi søker å finne sam-menhenger og algoritmer. Når vi har funnet en

sammenheng, prøver vi å bevise denne ut fra visse formelle spilleregler. Når dette er gjort og vi således har klart å bevise resultatet sier vi at vi har et teorem. Denne måten å tenke på er etter mitt syn i tråd med formålet med faget, slik vi får det beskrevet i Kunnskapsløftet. Der leser vi at «Opplæringa vekslar mellom utforskande, leikande, kreative og problemløysande aktivite-tar og ferdigheitstrening.» (LK06)

Det er interessant å studere hvordan mate-matiske sammenhenger oppdages og bevises i et historisk perspektiv. Leser du en tekstbok i matematikk, virker matematikken strømlinje-formet og logisk oppbygget. Vi kan få inntrykk av at matematikeren har startet med noen definisjoner og ut fra disse og tidligere kjente resultater bygget opp en teori steg for steg. Alt er strukturert og vakkert og jeg må innrømme at dette fascinerer meg veldig og var trolig grunnen til at jeg valgte ren matematikk når jeg studerte. Men det vi leser i en slik tekstbok er et ferdig produkt som er resultatet av årelange proses-ser der matematikeren har jobbet utforskende og letet etter mønster og sammenhenger. Det å skape matematikk fordrer kreativitet og ikke minst en god idé.

Hvordan blir denne prosessorienterte siden ved faget vektlagt i skolematematikken? Selv om det er mange gode unntak for det jeg her skriver, vil jeg påstå at lærebøkene legger

Tor Espen KristensenStord vidaregåande skuletork73@gmail.com

2/2011 tangenten56

lite opp til at elevene skal utforske og oppdage sammenhenger. Fokuset er i hovedsak på fagets produkter og lite på de matematiske proses-sene. Elevene blir presentert ulike regler og eksempler på hvordan disse kan brukes, der-etter kommer oppgaver der eleven skal gjøre noe tilsvarende. Med en slik tilnærming blir også den formelle siden ved faget neglisjert. La meg ta et eksempel som illustrerer hva jeg mener. Elevene får allerede i ungdomsskolen lære at når du ganger sammen to negative tall, vil svaret bli et positivt tall – eller som det ofte heter: «minus og minus er pluss». Men hvor-dan kan elevene «vite» at dette stemmer? Her er en måte som jeg har hatt suksess med i min undervisning. Start med to positive tall, la oss si 4 og 5. Spør elevene hva du får når du ganger dem sammen. Svaret er 20. Reduser systematisk det ene tallet slik at du får følgende liste med regnestykker:

4·5 = 20 4·4 = 16 4·3 = 12 4·2 = 8

Hva er sammenhengen her? Er det noe møn-ster i svarene? Her er tanken at elevene selv skal se at svaret reduseres med 4 nedover og at de to neste tallene er 4 og 0. Hva blir da 4·(–1)? Det er 4 mindre enn 0 ikke sant? Altså –4. Hva med 4·(–2)? Det blir –8. En sammenheng som kan oppdages er: Et positivt tall multiplisert med et negativt tall er et negative tall, nemlig det negative av tallet du hadde fått dersom du i utgangspunktet ser bort fra fortegna. Når denne sammenhengen er oppdaget fortsetter vi å utforske hva som skjer om vi starter med et negativt og et positivt tall, for eksempel 6 og –4. Vi gjentar oppsettet over og spør hva vi får når vi ganger sammen disse. Svaret blir -24 ikke sant? Så reduserer vi det positive tallet med én nedover:

6·(–4) = –24

5·(–4) = –20 4·(–4) = –16 3·(–4) = –12

Hva er sammenhengen her? Jo, når vi reduserer tallene til venstre, øker svaret med 4 nedover og de neste tallene er –8, –4 og 0. Spørsmålet er da: Hva blir (–1)·(–4)? Det er vel 4 mer enn 0 det da! Akkurat! Da kan vi fortsette:

2·(–4) = –8 1·(–4) = –4 0·(–4) = 0 (–1)·(–4) = 4 (–2)·(–4) = 8

Hvilken sammenheng ser vi? At et negativt tall multiplisert med et negativt er et positivt tall! Hvordan vet vi dette? Vi har oppdaget et møn-ster! Noen elever vil være fornøyd med dette. De har nå fått en viss forståelse for at dersom du ganger et negativt tall med et negativt, blir svaret positivt.

Hva så med den formelle siden? Hvordan beviser vi en slik sammenheng? Noen vil kan-skje synes at det nå vil være unødvendig med et bevis. Men vi har ikke sikker kunnskap i mate-matikken før et bevis er ført. Vi har tross alt kun sett på noen konkrete eksempler! Jeg synes også at det er viktig å få elevene til å formulere resultatet vi har funnet på en mer presis måte. I dette tilfellet vil jeg at elevene skal komme fram til at sammenhengen kan uttrykkes som

(–a)·(–b) = a·b.

Hvordan beviser vi dette? Vi starter med å se på a·(–b). Vi ønsker å vise at dette blir –(a·b). En fin måte å gjøre dette på er å vise at når du adde-rer a·(–b) og a·b, så får du 0 til svar. Vi får dette til ved å bruke den distributive lov (faktorisere ut en felles faktor – i dette tilfellet a):

a·(–b) + a·b = a·(–b + b) = a·0 = 0

Dette viser at a·(–b) = –a·b. La oss så gå

(fortsatt side 62)

tangenten 2/2011 57

David Fielker

Stjernemønstre Når man arbejder meget med mønstre, er det muligt at man bliver lidt træt af de sædvanlige, og man prøver derfor at finde noget nyt. En idé som jeg har beskæftiget mig med, er at bruge stjerner. Det er ikke muligt at sætte selve stjer-nerne sammen uden at man får andre former indimellem, men så kan man undersøge de forskellige ‘huller’ man kan skabe mellem stjer-nerne.

Den nemmeste stjerne er måske en sekstak-ket fordi den kan laves af regulære trekanter, og de kan tegnes på isometrisk papir (trekant-papir).

Den nemmeste måde et par kan sættes sammen på, er sådan:

Hvad sker der når vi fortsætter på den måde?

Ja, det er pænt nok! Før vi forlader denne, så lad os se hvad vi får når vi fjerner nogle stjerner:

Kan man fortsætte på den måde?For at lave andre mønstre kan man først

undersøge andre måder to stjerner kan sættes sammen på.

Tag hvert par og undersøg hvilke andre mønstre der kan laves når flere stjerner sættes sammen

David FielkerEducational consultant, Londonfielker@waitrose.com

2/2011 tangenten58

på den samme måde. Somme tider er der flere muligheder.

Det er ikke nødvendigt at den sekstakkede stjerne har vinkelspidser der er 60 grader. En interessant mulighed er den her hvor de udven-dige vinkler mellem takkerne er rette vinkler. (Man kan selvfølgelig regne størrelsen af vink-lerne i stjernetakkerne ud.)

Nu er det muligt at danne kvadrater:

og man kan fortsætte:

Prøv med andre muligheder:

Og hvad kan laves med den her?

Det er temmelig nemt at konstruere en firetak-ket stjerne ved at sætte regulære trekanter rundt omkring et kvadrat.

Dette mønster viser nogle af de måder de kan sættes sammen på.

tangenten 2/2011 59

Her er nogle andre forslag:

Man kan lave en ottetakket stjerne ved at sætte to kvadrater sammen som vist herunder

Når man sætter disse sammen, kan det blive dejlig indviklet!

Andre muligheder er måske mere ligetil:

Men hvis man sætter to sider sammen, får man nye muligheder:

Jamen. Der findes en masse muligheder for undersøgelser, for fantasi, for eksperimenter, for problemløsning osv. Oven i købet får man en følelse for symmetri, og man kan forstå hvorfor vinkler på 90 og 60 grader er vigtige i denne sammenhæng. Men somme tider føler man som lærer at det ikke er rigtig matematik hvis der ikke er noget at regne ud, dvs. hvis tal og reg-ning ikke dukker op i billedet!

Men bag spørgsmålene er der altid ’rigtig’ matematik. Fx følgende spørgsmål til vinklerne:

2/2011 tangenten60

”Er der en sammenhæng mellem størrelsen af stjernetakkerne og de udvendige vinkler mellem takkerne?”

Lad os starte med et specielt tilfælde. Den sidste stjerne vi kiggede på, var ottetakket med en stjernetak på 90 grader. Hvad hvis de udvendige vinkler mellem stjernetakkerne er 90 grader i stedet? Hvor mange grader er stjerne-takkerne så?

Man kan konstruere stjernen sådan:

og så er det klart hvad stjernetakkerne må være! Også selv om man begynder med stjernen,

er det nemt at tegne hjælpelinjer:

Nu er det temmelig nemt at se hvor mange grader stjernetakkerne er.

Ja, det er måske mere interessant at lege med mønstrene!

Men lad os undersøge noget mere udfordrende. Er det muligt at lave en tretakket stjerne?

Måske tænker man først på en trekant,

men det er svært at betragte den som en stjerne med takker på 60 grader og vinkler mellem tak-kerne på 180 grader. Hvad hvis vinklerne var 30 grader i stedet for 60? Hvor store er så de udven-dige vinkler mellem stjernetakkerne?

Og endelig kan man spørge: Findes der en formel for bestemmelse af vinklerne mellem stjernetakkerne hvis stjernen har n takker og størrelsen af takkerne er x grader?

tangenten 2/2011 61

Per E. Manne

Matematikk med et smil i 1645Geir Botten har skrevet en fornøyelig bok om den første norske læreboken i regning, Arith-metica Danica av Tyge Hansøn, publisert i 1645. En av oppgavene til Hansøn har vært spesielt gjenstridig, og Botten har etterlyst en løsning (2009a, s. 114 og 2009b). I sin anmeldelse av Bottens bok har Smestad og Martinussen (2011) kommet med et forslag til løsning. Vi gir her en annen mulig løsning som, hvis den er riktig, kan ha fått Hansøns lesere til å trekke på smile-båndet. Først oppgaven:

Item 3. hunder Øxsen store oc smaa / En Øxdriffuer monn kiøbe :3. for (63) Daler fik hand daa / Igien i kiøbet Lod løbe :3. for (63.) Daler dem solde hen / Magre oc Fede tillige.

Daler vant hand igien / Huor ded tilgick mig sige? ResponsHuo det vil regne betencke ret / Oc sagen vel begrundeDa vorder ded saa gandske let At regne for en Bunde.

Selv etter at man har trengt gjennom de arkaiske språkformene kan det være vanskelig å komme

til klarhet her. Tilsynelatende kjøper og selger bonden oksene for samme pris, og likevel gjør han en fortjeneste. Hvordan kan dette gå opp?

Hvis 3 okser koster 63 daler så vil 300 okser koste 6300 daler. Vi finner at er nøyaktig en åttendedel av 6300, slik at hvis bonden har lagt på prisen på hver okse med 1/8

så blir for-

tjenesten akkurat det oppgitte. Men hvordan få dette til å rime med opplysningen om at han solgte 3 okser for 63 daler?

Det er noen ledetråder i teksten her. Hvorfor står det at prisen er 63 daler for 3 stk, i stedet for 21 daler for hver? Legg merke til at bonden kjøper både store og små okser, og han selger både magre og fete okser. Kanskje er store okser det samme som fete okser, og små okser er det samme som magre okser. Men prisen på store okser bør vel ikke være det samme som prisen på små okser.

Kan det være slik at vi har med en luring av en bonde å gjøre? Er det mulig at han først har kjøpt okser til priser hvor to fete og en mager okse kostet 63 daler, og deretter lagt på prisen med 1/8 og solgt dem med fortjeneste? Men når han blir kritisert for prisen han har tatt, så for-svarer han seg: «Jeg solgte dem for det samme som jeg kjøpte dem for!» Det han unnlater å nevne er at med de høyere prisene er det en fet og to magre okser som koster 63 daler!

Vi kan løse oppgaven med tolkningen oven-for ved å sette opp to ligninger med to ukjente

Per E. ManneNorges Handelshøyskoleper.manne@nhh.no

2/2011 tangenten62

størrelser. La p være prisen bonden betaler for en fet okse og la q være prisen han betaler for en mager okse. Da har vi

Her multipliserer vi andre ligning med 8/9 og får at p + 2q = 56. Vi kan ta differansen mellom den første og denne ligningen, og får da p – q = 7. Legg sammen dette med den første ligningen, og vi får 3p = 70, eller , og . Dette blir da prisene bonden kjøper okser for, mens han selger dem for henholdsvis daler og daler pr. stk.

Svarene kan se litt upraktiske ut, men når vi vet at det på denne tiden er 96 skilling i en daler (Botten, 2009a, s. 45) ser vi at det går jevnt opp. Bonden kjøpte altså 200 fete okser for 23 daler 32 skilling pr. stk, og 100 magre okser for 16 daler 32 skilling pr. stk. Han solgte de fete oksene for 26 daler 24 skilling pr. stk, og de magre for 18 daler 36 skilling pr. stk. Da stem-mer alle opplysningene, og vi har ingen åpen-bare urimeligheter i løsningen.

Oppgaver med gode poenger er ofte vandre-oppgaver. Mens generelle idéer og metoder kan oppdages flere ganger uavhengig av hverandre, vil spesielle oppgaver med partikulære tall være sterkere vitner om lån eller felles kilder. Denne oppgaven kunne godt ha vært en vandreopp-gave, og jeg har søkt etter den i andre eldre kilder, men så langt uten hell.

ReferanserGeir Botten (2009a). Min Lidle Norske Regnebog.

Noen dypdykk i ei lærebok i matematikk fra 1645. Universitetsforlaget.

Geir Botten (2009b). Dypdykk i gammel bok. Tangenten, (20) 4, 49 – 51.

Bjørn Smestad og Geir Martinussen (2011). Min Lidle Norske Regnebog. Tangenten, (22) 1, 47–48.

videre og se på (–a)·(–b). Vi vil vise at dette er lik a·b. Det kan vi gjøre ved å vise at (–a)·(–b) + (–a·b) = 0. Nå vet vi at andre leddet på venstresiden i dette uttrykket er lik a·(–b). Vi får derfor

(–a)·(–b) + (–a·b) = (–a)·(–b) + a·(–b) = (–a + a)·(–b) = 0·(–b) = 0

Dette viser altså at (–a)·(–b) = a·b. Mitt poeng med dette leserinnlegget er å

vise et eksempel på at matematikk er mer enn å kunne memorere ulike definisjoner og regler. For meg er det viktig at elevene får oppdage alle sidene med faget.

(fortsatt fra side 56)

Tallmønster 3. Se innsiden av omslaget. 1 · 8 + 1 = 9 12 · 8 + 2 = 98 123 · 8 + 3 = 987 1234 · 8 + 4 = 9876 12345 · 8 + 5 = 98765 123456 · 8 + 6 = 987654 1234567 · 8 + 7 = 9876543 12345678 · 8 + 8 = 98765432 123456789 · 8 + 9 = 987654321

Tallmønster 4. Se innsiden av omslaget. 1 · 9 + 2 = 11 12 · 9 + 3 = 111 123 · 9 + 4 = 1111 1234 · 9 + 5 = 11111 12345 · 9 + 6 = 111111 123456 · 9 + 7 = 1111111 1234567 · 9 + 8 = 11111111 12345678 · 9 + 9 = 111111111 123456789 · 9 +10 = 1111111111

tangenten 2/2011 63

Rune Herheim

KommunikasjonsmønsterNår elevar arbeider i par, korleis veit me at dei samarbeider? Korleis kan me vita at det ikkje er individuelt arbeid i par men at elevane verke-leg har ein felles, matematisk samtale? I denne teksten vert det trekt fram kommunikasjons-mønster som kan fortelja oss noko om korleis to elevar samarbeider, og som kan illustrera nokre av kjenneteikna til det Skjervheim (1996a, 1996b) kallar genuin deltaking og ekte dialog. Skjervheim vektlegg at for å kunne seia at to personar verke-leg deltek i eit samarbeid, i ein samtale, må dei ha eit felles engasjement om det aktuelle temaet og dei må gå inn i kvarandre sine idéar og for-slag. Rommetveit (1992) vektlegg noko av det same når han trekk fram at elevane må justera perspektiva sine i høve til kvarandre, og dei må prøva å etablera eit felles fokus og eit «midlerti-dig delt forståingsrom». Døma i teksten er henta frå samarbeidet mellom to niandeklassingar som var med i eit prosjekt der elevane arbeidde i par og kvart par brukte éin PC.

Før ein set i gong og diskuterer kommunikasjons mønster, så kan ein sjå etter andre teikn: Korleis sit elevane? Kvar ser dei? Korleis artar bruken av mus og tastatur seg? Ele-vane på bilete nr. 1 samarbeider godt, og arbei-

det deira kan skildrast slik som dette: dei er to elevar som sit tett saman, fokuset deira er vek-selvis retta mot PC-en og mot partnaren. I den eine augneblinken nyttar ein av dei tastaturet og den andre nyttar musa, og like etter kan rollane vera bytt. Til tider er det fire hender på tastaturet sam stundes. Dei delar på ein PC, som er plassert midt framfor dei. Elevane sit frampå kanten av stolane sine og lener seg litt mot PC-en og litt mot partnaren sin. Dei to elevane og PC-en er, som ein av lærarane i prosjektet sa, som i ei boble. Det ser ikkje ut til at noko kan forstyrra dei.

Bilete 1: Anne og Kari.

I tabell 1 er ei oversikt over fem mønster som kan fortelja noko om kor vidt to elevar klarar å dra fordel av å arbeida i lag.

Rune HerheimUniversitetet i Bergenrune.herheim@psych.uib.no

2/2011 tangenten64

Munnleg aktivDet fyrste ein kan sjå på er i kva grad to elevar som samarbeider er munnleg aktive. Det er dokumentert både nasjonalt og internasjonalt (t.d. Alseth, Breiteig, & Brekke, 2003; Newton, Driver, & Osborne, 1999) at i matematikk spe-sielt og i realfag generelt er det meir vanleg å sitje éin og éin, enn at elevar sit saman og dis-kuterer faglege samanhengar. Det å uttrykkja seg munnleg vert òg trekt fram som ein av dei fem grunnleggjande dugleikane i Kunnskapsløf-tet (2006). Dei to elevane på bilete 1 var svært munnleg aktive. Dei sa høgt både uferdige idéar og forslag, i tillegg til at dei sa kva dei gjorde på PC-en. Elevane forklarte det slik: «Me kan ikkje lesa kva den andre tenkjer – då er det lettare å seia det høgt slik at den andre kanskje forstår kva me tenkjer.»

Eit døme på låg grad av munnleg aktivitet er når ein elev i eit anna par, etter ein lang taus periode, sa: «Eg har det!» Han flytta PC-en bort til seg sjølv og starta å skriva utan å seia noko om kva han skreiv eller kva det var han hadde kome på – den tause perioden heldt fram. Å seia at «ein har det» signaliserer òg at no er det ikkje noko meir å diskutera. Når ein i tillegg tek PC-en bort til seg sjølv, vert det fort slik at den andre eleven ikkje vert involvert. Når den eine jobbar, koplar den andre ut. Arbeidet til dette sistnemnde paret kan karakteriserast som ei form for stafett-arbeidsdeling. Fyrst arbeider den eine med ei oppgåve fram til fyrste veksling. Då leverer han vekslingspinnen (PC-en) til den andre som fort-set på neste etappe (oppgåve). Arbeidet deira kan betre karakteriserast som arbeids deling enn som

ekte samarbeid. I det fylgjande vert det derimot trekt fram fleire døme som viser kva som kan kjenneteikna ei meir felles, genuin deltaking.

FramdriftDet er fleire kommunikasjonsmønster ein kan sjå på for å finna ut noko om samarbeidet mellom to elevar. Eit av desse handlar om det å ha fram-drift i arbeidet. Dette vert gjerne ekstra tydeleg når ein har løyst eit delproblem, når ein står fast eller når ein har vorten avbroten. Viss ein finn kommunikasjonsmønster slik som i ytringane under, er det teikn på at eit par har progresjon i arbeidet sitt (tala i parentes er minutt, sekund og hundredelar):[09:57.22] Anne: Okei, lat oss fortsetja.[10:31.26] Kari: Okei, me dreg (i hjørna på ein

geometrisk figur).[25:15.13] Anne: To, eg trur me gjorde det, me

valde 1 der. Uansett, me fortset.

I desse tre enkeltytringane ser me at elevane seier at dei vil fortsetja. Elevane driv sjølve arbeidet sitt framover. Det er ikkje læraren som må ta ansvar for at dei har framdrift i arbeidet. I desse ytringane ser me òg at elevane brukar pronomen som oss og me. Ein slik språkbruk vitnar om ei underliggjande haldning om at dette er noko dei gjer i lag. Når den eine seier at dei skal fortsetja, så gjeld det begge elevane. Viss samarbeidet til to elevar haltar, manglar dei gjerne ei felles fram-drift, og ofte må læraren ta ansvar for framdrifta deira.

AdresseringDet at elevar seier ting som «lat oss gjera det», «lat oss prøva det» eller «ja, me gjer det», gjer det naturleg å trekkja fram eit tredje kommunikasjons mønster: adressering. Å adres-sere handlar om å retta ytringane sine til den andre, og om å knyta det ein seier opp mot det som er sagt tidlegare. Når desse elevane skal seia noko om kva dei har gjort eller kva dei skal gjera vidare, nyttar dei pronomen som oss og me. Den sosiale dimensjonen er tydeleg i arbeidet deira.

1 Munnleg aktiv

2 Framdrift

3 Adressering

4 Ole, Dole og Doffen-snakking

5 Humør

Tabell 1: Kommunikasjonsmønster.

tangenten 2/2011 65

Dei stiller spørsmål til kvarandre, og ytr ingar er enten retta mot den andre eller til begge. Paret ser ut til å sjå på seg sjølv som «ei eining». Det er òg lettare for ein lærar å adressera begge ele-vane når det er eit par som samarbeider så tett som dette. Når elevpar arbeider meir individuelt, høyrer ein gjerne pronomen som eg og meg. Då er det òg fort gjort for ein lærar å berre snakka med éin av elevane.

Ole, Dole og Doffen-snakkingEit fjerde kommunikasjonsmønster viser seg når elevane framstår som to synkronsymjarar. Dei både snakkar i kor og fullfører kvarandre sine setningar. Det kan mest samanliknast med dei tre nevøane til Donald Duck: Ole, Dole og Doffen. Dei er kjende for å fullføre setningar til kvarandre, og dei komponerer setningar der kvar av dei vekselvis kjem med korte bidrag. Det neste dømet viser korleis dei to elevane gjorde dette:[25:46.06] Kari: Grunnline[25:47.12] Anne: grunnline[25:48.06] Kari: gange med[25:48.24] Anne: høgd[25:50.02] Kari: delt på[25:50.20] Anne: 2[25:51.07] Begge: er lik (i kor)

I den siste ytringa snakkar elevane i kor og fullfø-rer setninga i lag. Dei seks fyrste ytringane viser korleis elevane vekselvis deltek i ein felles sam-tale. Ein ser at det er ikkje berre ein felles samtale på eit overordna nivå, det er òg felles heilt ned på setningsnivå. Når ein ser slike kommunikasjons-mønster hjå elevar, kan ein vera rimeleg sikker på at elevane har eit felles fokus, at dei verke-leg samtalar. Ein elev klarar ikkje å fullføra den andre si setning på ein fornuftig måte utan at ho både har lytta til den andre, og i tillegg har forstått mykje av korleis den andre tenkjer. Noko tilsvarande ser ein viss elevar, slik som i dei to fyrste ytringane i dømet over, nyttar ei språkleg vending (grunnline) som den andre har introdu-sert. Dette er særleg påfallande viss det er eit litt spesielt omgrep eller vending som vert teke opp

i språket til den andre eleven.Eit språkleg aspekt som kan relaterast til dette

kommunikasjonsmønsteret er bruk av nykelord. Det kan vera ord som går att fleire gonger og som vert nytta av begge elevane. Her er seks enkelt-ytringar som viser korleis ordet vent vart brukt av dei to elevane:[11:55.24] Anne: Ja. Gange, vent. Pluss.[14:05.07] Kari: Vent, vent, vent, gange, kvar er

plussen?[16:57.27] Anne: Den, oops … er lik, ja. Nei,

vent, vent, vent.[17:41.13] Anne: Nei, vent litt. Grunnline pluss

s pluss s3?[20:51.08] Kari: Ah … vent, vent litt, treng

lengda òg.[26:09.16] Anne: Okei, vent då, må berre, eg

føler eg mistar litt kontroll her.

Ordet vent vert brukt ofte av desse to elevane, og det er brukt med eit bestemt føremål. Dette ser ein kanskje mest tydeleg i den andre og fjerde ytringa. Når det er noko elevane ikkje forstår, så ber dei om ein pause for å få oppklara det som måtte vera uklart. Dei byggjer ikkje ukritisk på kvarandre sine ytringar. Den hyppige bruken av ord som vent vitnar om at det er etablert eit sam-arbeid der det er rom for diskusjon, der ein òg kan seia i frå viss det er noko ein ikkje forstår.

HumørEit siste mønster som kan trekkjast fram i denne teksten handlar om humør. Det handlar om å kunna le og å ha det kjekt i lag – samstundes som ein gjer fag. I dømet under ser me at dei to elevane prøver å gjera justeringar på ein av figurane på PC-en:[07:53.20] Anne: (Latter). Denne er truleg feil.[07:58.15] Kari: Nei, nei, gå litt lenger.[08:00.03] Anne: Nei, det er ikkje det. Oi![08:02.06] Begge: (Latter).

Det ser ut som at dei har det triveleg og at dei set pris på å vera med på dette arbeidet. Dei ler i lag. Det positive humøret sveisar elevane saman,

2/2011 tangenten66

og ser ut til å fremma samarbeidet deira. Ser ein vitsing og latter saman med kroppsspråk, kan det fortelja noko om kor vidt elevar er avslappa og komfortable med å arbeida saman. Lite kom-munikasjon og lite latter er teikn på at to elevar ikkje klarar å dra fordel av det å samarbeida. Eit tema som kan relaterast til humør handlar om å vera støttande og å anerkjenna både eigne og partnaren sine bidrag:[11:40.15] Kari: Der.[11:41.26] Anne: Flott! -----------[12:08.02] Kari: Klarar du å gjera den?[12:09.59] Anne: Ja.[12:11:00] Kari: (gjev tommel-opp til Anne) -----------[21:20.21] Begge: («High five» og latter)

Ytringar som «Flott!» og gestar som tommel-opp og «high five» er støttande og oppmuntrar til at ein skal fortsetja med å koma med forslag og idéar. Det er med på å oppretthalda gløden i samarbeidet.

Avsluttande merknadarI denne teksten er det trekt fram kommunikasjons mønster som kan fortelja noko om elevar sitt samarbeid. Mønster som viser at elevar er munnleg aktive, har god framdrift i arbeidet, adresserer kvarandre, fullfører setnin-gar i lag og har godt humør er viktige faktorar for at elevar skal ha utbyte av å arbeida i par. Skjervheim (1996a, 1996b) legg vekt på at genuin deltaking og ekte dialog krev eit felles, fagleg engasjement. Mønstra i denne teksten viser meir sosiale strukturar enn faglege, men godt utvikla sosiale strukturar legg til rette for faglege struk-turar. Både Skjervheim og Rommetveit (1992) viser verdiar ved at elevane tek tak både i eigne og den andre sine idéar, forslag og perspektiv, og ved at dei prøver å etablera det Rommetveit kallar eit «midlertidig delt forståingsrom». Kommunikasjonsmønstra som er trekte fram i denne teksten heng tett saman med desse teore-tiske tilnærmingane. Det at elevane snakkar om

me og oss i staden for eg og meg, vitnar om at det er etablert eit fellesskap. Når elevane snakkar i kor og fullfører den andre sine setningar, er det endå eit teikn på at dei har eit felles rom der dei kan dela tankar og idéar. Og til sist, å ha eit felles fagleg engasjement er svært vanskeleg utan at ein er komfortabel og trivst med å arbeida i lag.

Viss ein ynskjer å lesa ein meir detaljert dis-kusjon om desse kommunikasjonsmønstra, og det metodiske som ligg bak, kan ein lesa artik-kelen av Herheim og Krumsvik (2011).

ReferansarAlseth, B., Breiteig, T., & Brekke, G. (2003). End-

ringer og utvikling ved R97 som bakgrunn for videre planlegging og justering: Matema-tikkfaget som kasus. Notodden: Telemarks-forsking.

Herheim, R., & Krumsvik, R. (2011). Verbal Com-munication at a Stand-alone Computer. Journal for Educational Research Online, 2(1).

Kunnskapsdepartementet (2006). Læreplan for den 13-årige grunnopplæringa (LK06). Oslo: Statens forvaltningsteneste.

Newton, P., Driver, R., & Osborne, J. (1999). The place of argumentation in the pedagogy of school science. International Journal of Science Education, 21(5), 553-576.

Rommetveit, R. (1992). Outlines of a Dialogically based Social-Cognitive Approach to Human Cognition and Communication. I A. Wold (Red.), The Dialogical Alternative: Towards a Theory of language and Mind (s. 19-45). Oslo: Scandinavian Press.

Skjervheim, H. (1996a). Deltakar og tilskodar. I H. Skjervheim (Red.), Deltakar og tilskodar og andre essays (s. 71-87). Oslo: Idè og tanke, Aschehoug.

Skjervheim, H. (1996b). Eit grunnproblem i pedagogisk filosofi. I H. Skjervheim (Red.), Deltakar og tilskodar og andre essays (s. 214-229). Oslo: Idè og tanke, Aschehoug.

tangenten 2/2011 67

Einar Jahr

Litt om gotiske katedralerMatematikk i arkitektur er ikke noe nytt tema, men det er evig aktuelt. Jeg vil kort skissere noen utviklingstrekk fra romansk til gotisk arkitektur, og gi noen idéer til oppgaver med å konstruere mønstre vi finner i gotiske kate-draler.

Gotiske katedralerEn iøynefallende forskjell på romansk og gotisk arkitektur er formen på buene; romanske buer er runde, gotiske er spisse. Sammenliknet med romanske kirker er det slående hvordan lyset slippes inn i gotiske katedraler. Mens en romansk kirke kan oppleves som et kjellerhvelv, virker en gotisk katedral som å være under åpen himmel. Den gotiske stilen gjorde det også mulig å montere store glassmalerier som kunne gjengi Bibelens fortellinger til en menighet som ikke kunne lese skrift.

Da jeg gikk på skolen, lærte vi utvikling fra romansk til gotisk stil bare som stiltrekk hørende til forskjellige tidsepoker i middel-alderen. Men denne utviklingen hadde ikke bare med estetikk å gjøre; overgangen fra runde til spisse buer forutsatte løsning av mekaniske problemer, der geometri spilte en viktig rolle.

En konstruksjon for overdekning over et rom der det bare brukes teglstein (eller annen stein) og mørtel, kalles et hvelv. Er hvelvet omtrent halvsylindrisk, kalles det tønnehvelv (figur 1). Rommet under et tønnehvelv kan i prinsippet gjøres så høyt en vil, så lenge bygningen bare strekker seg i én retning horisontalt.

I løpet av den romanske perioden ønsket man å bygge kirker med korsformet grunnplan, og da oppsto et problem ved at to hvelv måtte krysse hverandre. Når to tønnehvelv krysset hverandre, ble snittfiguren en halv ellipse (figur 2).

Denne formen ga et større sidetrykk (utover-rettet kraft ved foten av buene). Siden både hovedskipet og tverrskipet skulle være åpent, måtte hele krysshvelvet bæres bare i de fire hjørnene. For at slike konstruksjoner ikke skulle rase sammen, bygde man tykke murer og søyler, som er typisk for romansk arkitektur.

For å få til de store lysåpningene som kjen-

Einar JahrPensjonert lærerutdanner einjahr@hotmail.no

Figur 1

2/2011 tangenten68

netegner gotisk stil måtte middelalderens arki-tekter og ingeniører forstå hvordan tyngde-kreftene forplanter seg i veggene. Ved å forlate tønne hvelvet som utgangspunkt og gjøre buen i tverrsnittet spiss, reduserte man sidetrykket vesentlig. Siden det ikke trengtes stein der hvor det ikke virket noen krefter, ble det mulig med høye og slanke konstruksjoner.

Det vil føre for langt å gå inn på de mate-matiske beregningene knyttet til statikken som ligger til grunn for de gotiske bygnings-konstruksjonene. Jeg vil i stedet se på geo-metrien i noen bygningsformer og ornamenter. Det kan være en artig oppgave å finne ut hvor-dan disse geometriske formene kan konstrueres med passer og linjal. Man kan også beregne vinkler, avstander og arealer. Vi bruker koret i Lincolnkatedralen (figur 3), englekoret, som kan være et av forbildene til skipet i Nidarosdo-men, som utgangspunkt for konstruksjon med passer og linjal.

Konstruksjon av gotisk spissbuevindu med rosevinduerKonstruksjonen i figur 4 gir et vindu som er en god modell for hvordan vinduet i koret i Lincoln katedralen er laget.

ABC er en likesidet trekant. AC og BC er erstattet av sirkelbuer med sentre i henholdsvis A og B. D er midtpunktet på AB, F er midtpunk-tet på AD og G er midtpunktet på DB. Spissbuer som er formlike med ABC er konstruert på basis

av AF, FD, AD og DB. I Lincolnkatedralen er det også tilsvarende todeling av de minste buene, men det er utelatt her for enkelhets skyld.

Å konstruere buene som beskrevet ovenfor, kan være en passende oppgave for å lære ele-mentær bruk av passer og linjal.

Problemet er nå å konstruere det største rosevinduet som en sirkel som tangerer begge buene AC og BC innvendig, og de to buene DJ og DK utvendig. Tilsvarende skal en konstruere det mindre rosevinduet med sentrum i I. Det kan virke som om A, I og E ligger på en rett linje. Er det eksakt slik, eller bare nesten? Lese-ren oppfordres til å prøve å løse dette problemet selv uten å se for mye på hjelpelinjene på figuren

Figur 3: Bilde fra internettsiden www.kunsthistorie.com

Foto

graf

: Nin

a A

ldin

Thu

neFigur 2

Figur 4

tangenten 2/2011 69

her. Som lærer kan en dele opp denne oppgaven i mange mindre oppgaver som etter hvert leder fram til den ferdige konstruksjonen.

Merknad: Betegnelsen rosevindu kommer fra en forvanskning av fransk roue, som betyr hjul. Det har med andre ord ingen ting med roser å gjøre, og vi burde heller ha kalt det hjulvindu.

La oss se på en løsning av denne oppgaven: Siden buene BC og DJ har felles sentrum i A, må sentrum E i den søkte sirkelen ligge midt mellom disse buene, dvs. på en sirkel om A gjennom G. På grunn av symmetrien må E også ligge på sirkelen om B gjennom F. E er altså skjærings punktet mellom disse sirklene. Dermed er vinkel BAE bestemt. AE trekkes og forlenges til skjæring med buen BC. Den søkte sirkelen må dermed gå gjennom dette punktet.

Nøyaktig samme konstruksjon gir det mindre rosevinduet med sentrum i I. Da må vinkel HAI være lik vinkel BAE, og dermed ligger A, I og E på en rett linje, og de to sirklene om E og I tangerer buen DJ i samme punkt.

Så gjelder det å konstruere de små sirklene i rosevinduet. For å få en kroppslig opplevelse av hvordan de sju små sirklene ligger, kan en ta sju kronestykker (eller andre sirkelformede ting) og legge helt inntil hverandre. Det er fint å kjenne at dette gir en figur helt uten «slark».

Figur 5 er resultatet av en slik konstruksjon.

Den store sirkelen er gitt. De sju små sirklene skal tangere hverandre, og de seks ytterste skal samtidig tangere den store sirkelen inn-vendig. Hvor store skal de små sirklene være? Det er nøkkelspørsmålet. Vi ser at radien i de små sirklene må være en tredel av radien i den store. Sentrene i de seks ytterste av disse må derfor ligge på en sirkel med radius to tredeler av radien i den store. Denne kan så deles i seks like store buer ved å avsette radien seks ganger rundt. Det er egentlig nok med to ganger for å kunne trekke tre diametre. Da kan de seks sirklene og den innerste sirkelen konstrueres. Figur 6 har hjelpelinjene inntegnet unntatt de linjene som kreves for å tredele radien.

Oppgaver til leseren1. Vis at tangeringspunktene mellom de seks

ytterste sirklene ligger på en sirkel, og finn radien i denne uttrykt ved rosevinduets radius R. Hvordan kan denne sirkelen kon-strueres?

2. Finn (uttrykt ved R) arealet av den delen av rosevinduet som ikke er dekket av de små sirklene.

Figur 5

Figur 6

2/2011 tangenten70

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringenRealfagbygget A4, NTNU7491 TrondheimTelefon: +47 73 55 11 42Faks: +47 73 55 11 40merete.lysberg@matematikksenteret.no

Vi blir bedre sammen! – 7K-prosjektet i Vestfold

Lisbet Karlsen og Mona Røsseland

Det er ikke bare elevene som lærer mye når de samarbeider, det gjelder også for lærere. Vestfold-prosjektet 7K er et godt eksempel på dette. I flere år har syv kommuner i Vest-fold (Andebu, Hof, Holmestrand, Lardal, Re, Stokke og Tjøme) samarbeidet når det gjelder kompetanse heving av lærere, og høsten 2010 startet et spennende matematikkprosjekt. I følge forskning (McKinsey&Company (2007): How the world’s best-performing school systems come out on top.) på hva som skal til for å lykkes med en satsing på matematikk, blir det fremhevet at et av suksesskriteriene er at lærere får mulighet til å lære av hverandre. Skolesystemer med gode resultater har innsett at den eneste måten å for-bedre læringsutbyttet til elevene, er å forbedre undervisningen, det vil si å satse på lærerne. Det gjør en best gjennom å gi lærerne veiledning der de opplever at de trenger det mest, nemlig i sin daglige praksis.

Dette ønsket 7K å ta tak i, og de tok kon-takt med Matematikksenteret for å få hjelp til å etterutdanne to lærere fra hver skole i de sam-

arbeidende kommuner, til å bli ressurslærere på egen skole. Tidligere hadde både Matematikk-senteret og Høgskolen i Vestfold holdt kurs og veiledning for lærere i disse kommunene, og det var naturlig å bygge videre på dette. Dermed var grunnlaget lagt for enda et spennende sam-arbeid i prosjektet, nemlig mellom Matematikk-senteret ved Mona Røsseland og Høgskolen i Vestfold ved Lisbet Karlsen.

Gjennom kurs, veiledning og mye egenarbeid i nettverksgrupper har ressurslærerne arbeidet frem et felles grunnsyn på læring og undervis-ning i matematikk. De har fått anledning til å utvikle seg til å bli drivkrefter på egen skole til å endre matematikkundervisningen i tråd med hva forskning sier er god matematikkunder-visning. Videre har de gjennom arbeidet i nett-verksgruppene fått trening i å bli veiledere og gode refleksjonspartnere med egne kolleger.

Et annen viktig suksesskriterium er å satse på sterke skoleledere, som også kan være på drivere og veilede lærerne i deres daglige pedagogiske arbeid. I prosjektet har derfor rektorene og andre fra ledelsen ved skolene vært delaktige. De har vært med på samlingene, og de ulike skolene har samkjørt seg for hvordan de vil bruke ressurslærerne.

Som et ledd i satsingen har også alle de andre matematikklærerne i de syv kommu-

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen70

nene vært på kurs, der de fikk presentert både hvilken funksjon ressurslærene kan ha, med en felles ramme for hvor en er på vei i forhold til matematikk undervisningen. En annen viktig gruppe i forhold til barns matematikklæring, er foreldrene. Det er blitt gjennomført foreldre-kveld og ressurspersonene har fått tips og idéer til hvordan de kan engasjere foreldrene til å bli positive drivkrefter i barnas læringsprosess.

Sett fra kursholdernes side er dette prosjektet forbilledlig i den forstand at det er svært godt planlagt og følges tett opp av en prosjektgruppe (med representanter fra hver av de sju kommu-nene). Prosjektgruppen er flink til å stille krav om oppfølging i alle ledd fra hver enkelt lærer, skolenes ledelse og skolefaglig ansvarlig i kom-munene. Dette medfører at vi som veiledere og kursansvarlige kan holde fokus på vår viktig-ste oppgave; nemlig å videreutvikle lærerne. Ressurs lærerne deltar i prosjektet etter eget ønske og vi opplever et stort engasjement og solid arbeidsinnsats fra dem.

BarnehagekonferanseTidlig matematikkglede – stor effekt

Gerd Åsta Bones, prosjektleder Matematikksenteret

I desember 2010 arrangerte Matematikksen-teret for første gang en egen konferanse om mate matikk i barnehagen. Konferansen ble arrangert i samarbeid med DMMH, Dronning Mauds Minne Høgskole for førskolelærerutdan-ning. Vi ville lage en konferanse som var tanke-vekkende, inspirerende og nyttig for alle som er opptatt av barns matematikklæring.

Deltagerne kom fra barnehager, førskolelærer utdanninger, barnehageeiere og Utdanningsdirektoratet.

Kort utdrag fra programmetJon Walstad fra Matematikksenteret åpnet kon-feransen. Han presenterte senterets mandat og orienterte om at senteret er opptatt av og har et ansvar for å bidra til å lede og koordinere utvikling og spredning av små barns matema-tikklæring.

Solveig Hareide og Kari Hansen fra NRK Kosi-nus kom for å informere om det nye TV-pro-grammet for barn i alderen 3–6 år og hvordan de opplever og tenker når det gjelder å under-holde med matematikk. For de som ikke kjenner programmet så handler det om Dragen Kosinus som er så glad i tall at han stadig vekk havner i trøbbel og må ha hjelp av Solveig for å komme ut av de vanskelige situasjonene. Matematikk-

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 71

2/2011 tangenten72

senteret har et samarbeid med NRK om å komme med faglige innspill i forhold til mate-matikken og matematikkoppgavene i program-met. Det var derfor ekstra kjekt at programleder og produsent tok seg tid til å bidra på konferan-sen. Innlederne satte fokus på om underhold-ning, matematikklæring og matematikkglede er og kan være sider av samme sak?

Dr. Tessa Livingstone, kjent produser fra BBC, presenterte klipp fra den kjente dokumen-taren «Child of our time». TV-serien følger livet til 25 barn fra fød-selen i 2000 og frem til de er 20 år. Klippene vi

får se, gir innsikt i hvordan barn av vår tid opp-lever kommunikasjon, kartlegging og tester og hvilke konsekvenser dette har for barnets tid-lige læring. Mange ble berørt av denne tanke-vekkende presentasjonen og gikk ut med større forståelse for at det er mange faktorer som spil-ler inn når det handler om små barns læring.

Janet Mock fra Western Washington University, Seattle, holdt et spen-nende foredrag som handlet om hva vi kan gjøre for at barna skal utvikle matematiske

idé er fra lek og hverdagsaktiviteter, og hva slags spørsmål vi kan stille for å oppmuntre barn til å engasjere seg mer i matematikk. Janet er en levende og engasjert foredragsholder. Hennes innlegg ble fulgt opp med et nyttig verksted om skygger og matematikk.

Tone Dalvang fra Sør-landet Kompetansesen-ter (samarbeidspartner med Matematikksen-teret) presenterte MIO (Matematikken mellom individet og omgivel-sene). Dette observa-

sjonsmateriellet er ment som støtte til arbeidet med matematikk i barnehagen og for å tilret-telegge for en god utvikling av barnas tallfor-ståelse og glede av å arbeide med egnede mate-matiske oppgaver. Det kan også brukes til å fange opp de barna som trenger mer oppfølging enn andre. Tone Dalvang gjorde oppmerksom på at MIO er et observasjonsmateriell, ikke et kartleggingsmateriell, og at MIO kan misbru-kes. Barns kunnskaper og ferdigheter kan ikke dokumenteres og normaliseres alene gjennom et skjema.

Else Devold fulgte opp foredraget om MiO og gjennomførte mange praktiske, morsomme og lærerike aktiviteter i tilknytning til obeser-vasjonsmateriellet med deltagerne på sitt verk-sted.

Mike Naylor, Anne Nakken og Gerd Åsta Bones var ansvarlige for både innhold og gjen-nomføring av konferansen. Gruppa hadde også et eget verksted om matematikkglede i praksis med mange aktiviteter deltagerne kunne ta med seg og gjennomføre vel tilbake i barne hagen. Faglige og didaktiske refleksjoner ble tatt opp underveis.

Evalueringer i etterkant viste at deltagerne var svært positive. Dette gir oss pågangsmot og forståelse for at det er behov for denne type kon-feranse. Det er allerede bestemt at vi kommer til å invitere til en ny konferanse som kommer til å finne sted ved DMMH i oktober.

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen72

Matematikk i barnehagenIdéhefte og erfaringer fra et kompetansehevingsprosjekt

Gerd Åsta Bones, Matematikksenteret

Heftet kan lastes ned gratis eller kjøpes til selv-kostpris fra våre hjemmesider: www.matematikksenteret.no

I heftet er det samlet erfaringer fra et kompe tansehevingsprosjekt som er gjennom-ført i samarbeid med Trondheim Kommune. Matematikk senteret er faglig ansvarlig for pro-sjektet.

Heftet er ment som inspirasjon til å komme i gang og som støtte til å utvikle egne planer, mål og tiltak.

Alle barnehagene i kommunen er med fra starten. I videreføringen er to barnehager invol-vert, Svartlamon kunst- og kulturbarnehage og Nardo barnehage. Vi har samarbeidet med personalet i de to barnehagene om utvikling og gjennomføring av denne delen av prosjektet.

I forbindelse med kompetanseheving i mate-matikk, er målet at deltagerne får en faglig for-dypning sammen med en didaktisk forståelse. Det som skjer i et kompetansehevingsprogram, skal vekke glede og interesse for matematikk og føre til høy faglig kompetanse.

Målet med vårt prosjekt er å bidra til at personalet ser muligheter for å engasjere seg i barnas matematikklæring på en slik måte at personalet er– gode støttespillere,– stiller gode spørsmål,– motiverer og stimulerer,– lærer av barna og med barna.

Personalet må få innsikt i– hvordan små barn lærer matematikk,

– potensielle vanskelige områder i matema-tikk,

– hva helhetlig matematisk kompetanse er.

Fra innholdslisten i heftet: – Innledning– Små barns matematikklæring– Kompetanseheving i matematikk– Matematikkrom og konkretiseringsutstyr– Forslag til aktiviteter

Vi håper at heftet kan vekke lyst til å utvikle og løfte både den faglige kompetansen og til å finne idéer som kan vekke lyst og interesse for matematikklæring hos barn i førskolealder.

Forsiden på boka, og utdrag fra en side om volum finner du på de to neste sidene.

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 73

2/2011 tangenten74

8

MATEMATIKK I BARNEHAGENIdéhefte og erfaringer fra et kompetansehevingsprosjekt

N A S J O N A L T S E N T E R F O R M A T E M A T I K K I O P P L Æ R I N G E N

w w w . m a t e m a t i k k s e n t e r e t . n o

Karen Omland og Gerd Åsta Bones

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen74

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 75

2/2011 tangenten76

Tor Andersen og Anne-Gunn Svorkmo

Årets Kengurukonkurranse er over når dette leses. I alle fall for de som holder de gitte fris-tene og ønsker å delta i konkurransen ved å registrere sine resultater på nett. I begynnelsen av mai blir årets oppgavesett lagt ut på nett og de kan da brukes fritt.

Oppgavene inneværende år er som alltid en blanding av lette, middels og vanskelige opp-gaver. Vi streber hvert år etter en jevn fordeling av vanskegrad.

Konkurransen har et eget oppgavesett for elever på 8.–10.trinn. Dette settet heter CADET. I 2011-utgaven av CADET finner vi følgende oppgave:

I uttrykket

representerer hver bokstav et siffer forskjellig fra null. Hva er det minste positive hele tallet uttrykket kan være?A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7

For å kunne løse denne oppgaven må elevene først og fremst forstå begrepene siffer og posi-tive hele tall. Oppgaven krever i tillegg at elev-ene dokumenterer god algebra- og tallforståelse. Forståelse av brøkers verdi avhengig av verdi-ene til teller og nevner, er helt essensiell med tanke på å kunne løse denne oppgaven. Hver bokstav representerer altså et siffer fra 1 til og

med 9. Elevene må innse at brøken får minst opp nåelige verdi ved å sørge for at telleren blir minst mulig og nevneren størst mulig. Det betyr at elevene må la bokstavene i teller bli represen-tert av sifrene med minst verdi og bokstavene i nevner av sifrene med størst verdi. Siden boksta-ven O er faktor to ganger i teller, er det opplagt at vi må la O bli erstattet med det aller minste sifferet, nemlig 1. Etter å ha (på lovlig vis) for-kortet brøken får vi:

Så setter vi inn sifrene i samsvar med den skis-serte strategien. Da får vi at

Hmm … Her fikk vi dessverre ikke et helt tall til svar. Men 2 er det nærmeste hele tallet til brøken vi fikk som svar. Hvilke grep må vi gjøre for om mulig å få 2 til svar? Ved å beholde 2 · 4 i teller og 8 i nevner, kan vi fortsatt forkorte med 8. Da står vi igjen med 9 i nevneren. Ved å beholde faktoren 3 i teller, kan vi fortsatt forkorte med 3. Det betyr at vi ender opp med 3 i nevneren. For å få 2 til svar må altså sørge for at telleren får verdi 6. Ja vel, det oppnår vi enkelt ved å bytte ut 5 med 6 i telleren. Slik:

Da var vi endelig i mål. Mye tenking og lite reg-ning. Vi krysser av B for riktig svaralternativ.

Hvordan kan denne oppgaven forenkles slik at elever på lavere trinn kan arbeide med den? Vi tenker oss følgende problemstillinger:

1. Hva hvis vi har ?

Hvilke sifre vil vi da at de to bokstavene skal representere for at uttrykket skal bli et minst mulig positivt heltall? Kan uttrykket bli 1? Nei, da må teller og nevner være lik. Det minste

kenguru sidene

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen76

positive heltallet som er mulig å få, er 2. Det er faktisk flere alternativer som gir samme løsning:

. Interessant!

2. Hva hvis vi har ?

Dersom teller og nevner er like, vil vi få 1 til svar. Da vil vi være veldig fornøyd ettersom 1 er det minste positive heltallet! Er det her mulig?

Hvis k = 2, e =4 og r = 8 gir det at .

Samme løsning får vi om vi setter inn sifrene 2,

3 og 6 på denne måten: .

3. Hva hvis uttrykket er ?

Er det her mulig å få 1 til svar? Ja, både og

gir løsning 1.

Vi føyer til enda en faktor i telleren, og vi begynner å nærme oss den opprinnelige opp-gaven:

4. Hva med ?

Er det mulig å få 1 til svar? Hvis r = 8 og u = 9 er det mulig å finne fire gjenværende sifre som multiplisert med hverandre gir 72? Ja, det er det!

Om dette er den eneste løsningen, det får lese-ren fundere videre på.

Vi har vist et eksempel på hvordan en kenguru oppgave kan forenkles. Mange av kenguru oppgavene bygger på en matematisk idé som kan være interessant å arbeide med på flere nivåer og på ulike trinn. Det er kun små grep som må til for å gjøre en litt vanskelig oppgave enklere eller en enkel oppgave noe mer avansert. Vi oppfordrer brukerne av de ulike kenguru-settene – Ecolier, Benjamin og Cadet – til å bearbeide oppgavene slik at de kan benyttes på tvers av skoletrinn.

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 77

LAMIS

Landslaget for matematikk i skolenv/Randi Håpnes

NTNU, Realfagbygget, A47491 Trondheim

post@lamis.no · www.lamis.noBankgiro: 7878 0500882 Organisasjonsnr: 980 401 103

Fra formålsparagrafenDet overordnede målet for Lands laget for matematikk i skolen er å heve kvaliteten på matematikk undervisningen i grunnskolen, den videregående skole og på universitet/høy-skole.

Landslaget skal stimulere til kontakt og samarbeid mellom lærere på ulike utdannings nivåer og mellom lærere og andre som er opptatt av matematikk.

Styret for LAMISFra førskole/barnehageElse H. Devold, OsloFra barnetrinnetDordi Askildsen, StavangerFra ungdomstrinnet Tommy Nordby, SkienFra videregående skoleAnn-Mari Jensen, Meløy,Sidsel Ødegård, Stavanger (leder)Fra høgskole/universitetAnders Sanne, TrondheimVaramedlemmerGrete Tofteberg, Våler i Østfold, Øyvind Bjørkås, Bodø

MedlemskontingentSkole/institusjon 650,–Enkeltmedlem 380,–Husstandsmedlem 150,–Studenter 150,–Studenter får gratis medlem-skap første året. Tangenten inngår i kontingenten. (Gjelder ikke husstandsmedlemmer.)

OrganisasjonssekretærGro Berg, org.sek@lamis.no41562324 / 72521715

ÅrsmøteÅrsmøte i LAMIS avholdes i forbindelse med sommerkurset torsdag 11. august kl. 15.45–17.45 på Radisson Blu Hotel i Bodø.

Saksliste og eventuelle andre aktuelle sakspapirer legges ut på hjemmesiden www.lamis.no i juni. Frist for inkomne saker er 11. juni. Adresse for innsending av saker: org.sek@lamis.no.

Landslaget for matematikk i skolen78

Lederen har ordetSidsel Ødegård

Mens det våres der ute skjer det spennende ting i skolen. I mitt daglige virke som lærer i videre-gående har jeg vært så heldig å bli min skoles representant i Ny Giv prosjektet. Jeg skal ikke beskrive dette prosjektet i detalj, for den informasjonen finnes andre steder, men jeg vil dele mine opplevelser som deltager. Kort fortalt er dette et porsjekt i tre deler igangsatt av Udir. Jeg deltar i «overgangsprosjektet» som handler om elever og over-gangen mellom ungdomstrinn og videregående skole. Elever som er i faresonen for å droppe ut fra videregående skole blir kart-lagt i regning og lesing/skriving allerede i 10. klasse. De vil få en tettere faglig oppfølging der, og vil bli møtt i videregående skole med ekstra oppmerksomhet. Dette prosjektet er nå igangsatt i utvalgte kommuner i alle fylker og vil etter en periode på tre år inkludere alle kommuner i alle fylker. Dette må kalles en stor-satsing! Vi som allerede er i gang har fått en kurspakke på tre pluss to dager denne våren samt en

dag til høsten. Til nå har vi hatt de første tre dagene av kursing der NSMO har vært den sentrale aktøren i forhold til matematikk-lærerne. Gode ressurspersoner fra matematikksenteret skapte engasjement og undring gjen-nom ulike foredrag og aktiviteter. Som deltager der fikk jeg noen minutter til å presentere LAMIS, og det er tydelig at det enda er mange som ikke kjenner til oss og at informasjonen fra oss ikke når ut. Mange kom med spørs-mål i etterkant, så det er klart det ikke er mangel på interesse. Som følge av dette har vi nå fått lov til å ha utstilling på de neste Ny Giv-samlingene i april. Da vil vår organisasjonsekretær Gro Berg være tilstede med informasjon til lærere fra ungdomsskoler og videregående skoler i alle fylker. Vi mener dette er en god måte å nå ut til lærere som ikke er ster-kest representert i vår organisa-sjon, så vi er veldig glad for at vi får lov til å komme.

Våren er jo også tiden for lan-sering av programmet for nytt sommerkurs. Det meste er nå på

plass og vi kan se fram til spen-nende dager i Bodø i august. Med tittelen «Matematikk i ulike rom» gir det signaler om mange spennende muligheter i aktuelle tema. Sommerkurskomitéen har gjort et grundig arbeid og har fått på plass dyktige og spen-nende fellesforelesere. Siste kort i verkstedkabalen er enda ikke lagt, men så langt ser også dette veldig solid ut. Jeg oppfordrer alle til å følge med på våre nettsteder som vil oppdateres fortløpende. Påmelding starter ganske snart, og det er lov å være tidlig ute. Sommerkurs er også tid for års-møte og valg av nytt styre. I år er det valg av leder og da er det på tide å få inn en ny person. Jeg har hatt fire lærerike og spennende år som leder av LAMIS. Det har vært utfordrende, men ikke minst har det vært lærerikt. Det har gitt meg mange nye erfaringer som er flott å ha med seg videre. Så dersom noen av dere blir spurt om å stille til valg til nytt styre, så grip sjansen og si ja. Med dette vil jeg benytte anledningen til å takke for meg i denne spalten.

Landslaget for matematikk i skolen 79

Landslaget for matematikk i skolen80

Regneark i grunnskolenAnne Karin Wallace

De fleste, både barn og voksne, er vant til å bruke tekst-behandlingsprogram. Vi har ikke problem med å se nytten av å bruke datamaskina når vi skriver, både privat og i sammenheng med skole eller jobb. Når det gjelder regneark derimot, ser de fleste av oss ikke noe umiddel-bart behov for å ta i bruk dette verktøyet. Regneark brukes imidlertid så mye i arbeidslivet at opplæring i bruk av regne-ark hører hjemme i grunn opp-lær ingen. I flere skolefag kan vi dessuten ha stor nytte og glede av å bruke regneark som didak-tisk verktøy. Matematikk er ett av disse fagene. Regneark i grunn-skolen, hefte nr. 5 i Lamis sin skriftserie, kan forhåpentligvis både bidra til økte ferdigheter i bruk av regneark og gi noen tips til aktiviteter i klasserommet.

Regneark er et kontor-støtteverktøy som har stor ut bredelse både i private og offentlige virksomheter. I rute-nettet er det relativt enkelt å sette opp beregninger på en for ståelig måte. Regnearket er dynamisk. Endrer vi forutsetninger vil svaret automatisk oppdateres. Vi har mange formateringsmulighete r, noe som gjør modellene lett lesbare og brukervennlige. Regne arket håndterer store data mengder. En kan enkelt importere og eksportere data. Muligheter for programmering tillater avanserte applikasjoner.

Når vi skal skrive med et tekst-behandlingsprogram er barrieren for å komme i gang svært lav. Teksten vi skriver dukker umid-delbart opp på skjermen. Etter hvert blir vi vant til for eksempel å klippe og lime, å formatere tekst som overskrift, og å bruke ulike fonter og skriftstørrelser. Effekten av handlingene våre vises umid-delbart i dokumentet. Når det gjelder regneark, ligger det en noe mer komplisert modell bak det som kommer fram på skjer-men. I en celle i regne arket vises en verdi. Verdien er ofte fram-kommet på bakgrunn av bruk av en formel som er skrevet inn i cellen. I tillegg vil det også ofte knyttes en formatkode til cellen. Formatkoden bestemmer hvor-

dan verdien skal presenteres for den som leser regnearket.

Det kan kanskje virke vel ambisiøst å starte opplærin-gen i et så komplisert verktøy allerede på mellomtrinnet. Selv om verktøyet har utrolig mange muligheter og bruksområder, er terskelen for å komme i gang med å bruke regneark lav. Heftet Regneark i grunnskolen er tenkt som verktøyopplæring for lære-ren, slik at hun skal bli i stand til å lage gode oppgaver, der elevene bruker regnearket på en enkel måte i tråd med lære-planmålene. Eksemplene som er brukt i heftet er hentet fra Veiled-ning til læreplanen i matematikk (Utdannings direktoratet) og fra læreverket Multi for sjuende trinn (Alseth, Nordberg, & Røsseland, 2009).

I læreplanen i matematikk, sju-ende trinn formuleres målet for opplæringen slik (Utdanningsdi-rektoratet, Læreplan i matema-tikk):

Landslaget for matematikk i skolen 81

«Eleven skal kunne beskrive referansesystemet og nota-sjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere enkle berek-ningar.»

Eleven må da starte med å bli kjent med hvordan en refererer til bestemte celler. I veildeningen til læreplanen foreslås det å bruke en oppgave med farge legging av celler i et bestemt mønster. Heftet gjennomgår i detalj hvor-dan læreren kan tilrettelegge regnearket, og foreslår hvordan eleven ved bruk av få tastetrykk kan utføre denne oppgaven slik at fokuset blir å skjønne hvilken celle som menes med for eksem-pel E5.

I regneark kan en gjerne arbeide med formler som repre-senterer tallmønster. Heftet viser noen eksempel fra vei ledningen

til læreplanen og gir tips til lærer en om hvordan hun kan bruke regne arket til å lage tilsva-rende oppgaver til elevene.

Areal og volum kan gjerne beregnes ved hjelp av regneark. Slike modeller inneholder både tekst, tall og formler. Eksempel på hvordan en modell kan settes opp er gjennomgått detaljert. Regnearkmodeller egner seg godt til å utforske sammenhen-gen mellom ulike størrelser. Et eksempel er å beregne volu-met av ei eske som er laget av et A4-ark når høyden på eska, x, varierer. Eksemplet illustrerer også hvordan sammenhengen mellom høyde og volum kan presenteres som et ryddig dia-gram.

Budsjett og handlelister kan settes opp i regneark. I forbin-delse med et slikt eksempel introduseres funksjonen SUM. I regneark er det en mengde inne-bygde funksjoner. Det er ikke lagt vekt på bruken av disse i heftet, men hjelp-funksjonaliteten i regnearket gjør sitt til at lese-ren kan fortsette utforskingen på egen hånd. Presentasjon av statistiske data i diagram av ulike typer blir illustrert med utgangs-punkt i datainnsamling elevene kan gjøre.

Det er nødvendig å velge et verktøy når en skal forklare hvor-dan ulike operasjoner utføres i regnearket. Open Office 2.3 ble

valgt som verktøy i heftet. Denne kontorstøttepakken kan lastes ned gratis og det fins versjoner for ulike operativsystem. I tillegg til at det fins ulike regnearkpro-gram, kommer de i nye utgaver med jevne mellomrom. Blant de siste nå er Excel 2010 og Open Office 3.2. De nye versjonene av programpakkene blir stadig mer brukervennlige og har gode hjelpe funksjoner. Selv om du bruker et annet regnearkprogram enn det som er brukt i heftet vil du kunne finne igjen funksjon ali-teten omtrent på samme måten som det er beskrevet i heftet.

Når læreren skal bruke regne-ark som verktøy i undervis ningen må forståelsen av hvordan reg-nearket fungerer og hvordan det brukes være på plass. Med noe trening i bruk av formler, hvor-dan en refererer til celler og hvor-dan en kan formatere celler vil de fleste kunne lage sine egne oppgaver og undervisningsopp-legg. Da kan en bruke regne-arket som et pedagogisk verktøy både i matematikk og andre fag i grunnskolen. Et eksempel på slik bruk finner du på nettstedet Skole i praksis (Snøball film AS, 2009). Evert Dean bruker Excel i åttende klasse i en undervisnings-økt der temaet er prosent. Filmen fokuserer på didaktikken rundt bruk av regneark, mens Regne-ark i grunnskolen fokuserer først og fremst på de ferdighetene Evert Dean har når han lager regnearkmodellene som brukes i filmen.

xx

(fortsettes side 83)

Landslaget for matematikk i skolen82

Lokallagsseminar 2011Anne-Mari Jensen

29.–30. januar var satt av til lokallagsseminar i Lamis. Ca. 60 representanter fra 25 lokallag møttes på Gardermoen til to dager med tett program. Målet er at lokallagsrepresentantene skal informeres om aktuelle saker, de skal få tid til snakke sammen om felles utfordringer, problemer eller gode idéer, og det skal være plass til faglig påfyll.

Harald Lynum og Siri Mere-the Dahl Hermstad fra Fokus bank innledet samlingen. Lamis har inngått en omfattende samarbeidsavtale med Fokus bank. Banken støtter Lamis økonomisk, og vi samarbei-der bl.a. om undervisnings-opplegg i økonomi. Ved siden av mer tradisjonelle satsnings-områder, satser banken på å ta et tydelig samfunnsansvar. Det er her samarbeidet med Lamis kommer inn. Undervisnings-oppleggene er gratis tilgjengelig på nettet. «Pengeby» er utviklet for de yngste klasse trinnene. For 5.–10. trinn heter materiellet «Cashkontroll». Det lages også et program for voksen ungdom: «Mind yor money».

Vi fikk også presentert annet

undervisningsmateriell: Svein Torkildsen har skrevet heftet «Et ess i ermet – 60 aktiviteter for matematikkunder visningen med en vanlig kortstokk», og Else Devold er forfatter av heftet «Fem til Åtte – matematikk i over-gangen fra barnehage til skole» sammen med Kjersti Melhus. Dette er hefter i Lamis’ skrift-serie som kan bestilles via Lamis’ hjemmesider.

Anne-Mari Jensen presen-terte heftet «Under søkende matematikk undervisning i vid-ere gående skole» som hun har skrevet sammen med Kjersti Wæge. Heftet inneholder under-visningsopplegg og en CD med filmer fra undervisningssituasjo-ner. Dette materiellet er utgitt av Matematikk senteret og kan

Sommerkurskomitéen i Bodø: Sissel Omdal Nikolaisen, Thor Hallvard

Nilsen og Hege Fjærvold

Harald Lynum, Fokus bank

Siri Merethe Dahl Hermstad,

Fokus bank

Landslaget for matematikk i skolen 83

bestilles derfra.Årets Matematikkdaghefte er

laget av LAMIS Sunnmøre. Det ble presentert av Henrik Kirke-gaard og Bente Emma Austnes. Vi fikk prøve oss på flere av akti-vitetene, og vi er overbevist om at det blir mange spennende matematikkdager på skoler over hele landet.

Lamis’ sommerkurs skal i år være i Bodø. Sett av 9.–12. august. En entusiastisk komité, ved Thor Hallvard Nilsen, Sissel Omdal Nikolaisen og Hege Fjærvold, presenterte arbeidet og planene så langt. De har god kontroll, og vi kommer til å få noen meget fine dager i Bodø, både faglig og sosialt.

Den nye organisasjons-sekretæren i Lamis, Gro Berg, fikk anledning til å hilse på og bli litt kjent med representanter fra lokallagene. Hun la vekt på at en av hennes viktige oppgaver er å støtte lokallagene, og hun vil gjerne at de bruker henne. For øvrig var seminaret en anledning for lokallagsfolk fra alle kanter

av landet til å lufte tanker og idéer, og kanskje drøfte felles problemer. Det er nok å snakke om!

Faglig påfyll fikk vi gjennom to fore-drag. Lill Sørensen la fram resultater fra rapporten «Sam-menheng mellom læreres kompe-tanse og elevers læring». Her var det mye vi kunne nikke

gjenkjennende til, men også punkter som skapte debatt. Bjørn Aarrestad avsluttet seminaret med et foredrag om vurderings-arbeid i skolen. Vi fikk konkrete idéer og praktiske eksempler på hvordan man kan legge opp vur-deringen av skriftlige prøver. Han har utviklet et system som både tester og gir elevene en realis-tisk tilbakemelding om graden av måloppnåelse.

Så reiser vi hjem igjen, med mange inntrykk som skal be arbeides. Sentralstyret håper seminaret har gitt den enkelte noe som kan være til inspira-sjon og nytte i hverdagen, og at lokallagene har fått litt påfyll i sitt arbeid. Så ønsker vi lokallagene lykke til med arbeidet utover i vårsemesteret!

ReferanserAlseth, B., Nordberg, G., &

Røsseland, M. (2009). Multi 7b Lærerens bok. Oslo: Gyldendal Norsk Forlag.

Snøball film AS (2011). Skole i praksis. Hentet 30.01.2011 fra www.skoleipraksis.no/matema-tikk-8-1

Utdanningsdirektoratet (2009). Læreplan i matematikk. Hentet 07.10.2009 fra www.utdanningsdirekto-ratet.no/grep/Lareplan/ ?laereplanid=212147

Utdanningsdirektoratet (2009). Veiledning til læreplanen i matematikk, tall og alge-bra. Hentet 07.10.2009 fra www.skolenettet.no/Web/Veiledninger/Tem-plates/Pages/Area3Dim. aspx?id=58498&-epslanguage=NO

Leder i LAMIS, Sidsel Ødegård og

organisasjonssekretær Gro Berg.

(fortsatt fra side 81)

Landslaget for matematikk i skolen84

Lokallagsseminaret på GardermoenTommy Nordby

I forbindelse med samlingen på Gardermoen ønsket vi å høre litt fra deltakerne om hvordan de opplevde å være på lokallags-samling.

Navn: Heidi Camilla ErtsåsSkole: Rosløkken skole, HamarLokallag: Mjøsregionen Har du vært på lokallagsseminar før? Eventuelt hvor mange?

– Ja, jeg har vært på lokallags-seminar før. Dette var mitt fjerde lokallagsseminar.Hva synes du har vært bra? Hvorfor?

– Jeg synes veldig mye er, og har vært, bra! Det er faglig påfyll som alltid er kjærkomment. Og så blir det mange interessante diskusjoner. Dessuten får man alltid mange tips og idéer i løpet

av en slik helg. Veldig bra å møte andre representanter fra lokal-lagene rundt om i landet.

Ellers er jo det sosiale også viktig! Det er utrolig hyggelig å bli kjent med nye og selvfølge-lig treffe «gamle kjente», som man ellers bare møter en eller to ganger i året. Det blir derfor mye erfarings utveksling i løpet av kveldene.

Navn: Jan Egil SørensenSkole: Gjerpen ungdomsskoleLokallag: TelemarkHar du vært på lokallagsseminar før? Eventuelt hvor mange?

– Nei dette er første gang jeg er på en slik samling.Hva synes du har vært bra? Hvorfor?

– Det faglige innholdet på seminaret var variert og interes-

sant. Det er alltid inspirerende å få noen input gjennom et foredrag eller gjennom en diskusjon.

Sosialt var denne samlingen helt topp. Mange hyggelige men-nesker fra hele landet som er lett å komme i kontakt med.

Navn: Knut StølåsSkole: Sælen oppveksttun Lokallag: Bergen og omegn lokallagHar du vært på lokallagsseminar før? Eventuelt hvor mange?

– Ja, jeg har vært på lokal-lagsseminar tidligere. Dette er fjerde gangen. Jeg deltok ikke på Gardermoen i fjor, men har ellers vært på de andre som har vært arrangert.Hva synes du har vært bra? Hvorfor?

– Det er alltid givende og inter-

Landslaget for matematikk i skolen 85

essant å møte representantene fra de andre lokallagene. Noen ansikt går igjen, men det er alltid en del nye. Begge deler er flott – viktig med rekruttering av nye, men også godt med konti-nuitet. LAMIS er en forening av ivrige idealister med fokus på matematikk som fellesnevner, og på kveldstid er de en sosial

og livlig gjeng som har det gøy sammen.

I tillegg til det rent LAMISke, er det lagt inn foredrag med faglig vinkling. På årets seminar synes jeg Bjørn Aarrestads «Vur-deringsarbeid i skolen» var det mest interessante. Selv om han virker i ungdomsskolen og har sin erfaringsbakgrunn derfra, var

det en del også for oss på bar-netrinnet. Både måten å bygge opp spørsmål til prøver og tester i forhold til gitte læringsmål, og bruken av regnearket han pre-senterte i forbindelse med ret-ting og til bakemelding, går an å tilpasse og bruke med forstand langt ned på barnetrinnet.

Alt i alt, en fin LAMISk helg!

Sommerkurset 9.–12. augustAnette FigenschouNedtellingen fortsetter. I skrivende stund er det rundt 100 dager igjen til alle matematikkglade lærere tar turen til Bodø. Tre dager med engasjement, inspirasjon og latter. Tanken på sommerkurset gjør meg sprudlende glad!

Vi er stolte over å ha fått fire dyktige plenumsforelesere. Tom Lindstrøm, Therese Hagfors, Ole Enge og Mona Røsseland vil med ulike innfallsvinkler snakke om «Matematikk i ulike rom». I tillegg har flere kursledere for parallellsesjonene meldt sin interesse. Vi tror at dette blir et fantastisk sommerkurs, slik tradisjonen er!

På hjemmesiden til Lamis finner du en lenke til sommerkursets hjemmeside. Påmeldingen er straks i gang, og du vil finne praktisk informasjon om overnatting, reisemuligheter og kurstilbud. Ta turen innom vår virtuelle infoskranke. Send en e-post dersom noe skulle være uklart (sommerkurs2011@exile.no). I Bodø er vi klar for å besvare dine spørsmål og å oppfylle deltakernes ønsker så godt som mulig.

Påmeldingen til sommerkurset skjer gjennom vår hjemmeside. I år registrerer man hvilke kurs man ønsker å delta på, samtidig som man melder seg på. Hotell og reise bestiller deltageren selv. Delta-geravgiften på 2200 kr dekker kurstilbud, mat og underholdning for alle dagene. Erfaringsvis får man valuta for pengene .

Spre det glade budskap til andre potensielle optimister. Kanskje kan vi være med på å gjøre mate-matikkskoleåret 2011/2012 bedre for over 2000 elever. Det er en glede å arbeide med sommerkurset når jeg har det i bakhodet.

Velkommen til Bodø!

Landslaget for matematikk i skolen86

Lamis RogalandGro Berg, organisasjonssekretær i LAMIS

På Lokallagssamlinga på Garder-moen i slutten av januar fikk jeg møte mange flotte representan-ter fra lokallagene våre. I løpet av samlinga benyttet jeg anled-ningen til å invitere meg på besøk rundt til lokallagene, slik at vi kan bli litt bedre kjent. Det er inter-essant å se hva som skjer i de forskjellige lokallagene. Ja, for det er nettopp det. De er forskjel-lige, og de har ulik tilnærming til lokallagsaktiviteter. Noen lokal-lag har stor medlemsmasse og noen har liten, mye er avhengig av geografisk beliggenhet og hvor ildsjelene er. Etter å ha lest Kurt Klungland sin artikkel i Tangenten nr. 1/2011, må jeg tilstå at min nysgjerrighet på det lokallaget (Rogaland, red. anm.) ble vekket. Da jeg etter lokallags-samlinga mottok en e-post med invitasjon til å komme på besøk til lokallagskveld i Rogaland var jeg lett å be. Anledningen var en lokallagskveld med Svein H. Torkildsen i februar. Tema for møtet var: «Prinsipper for en god matematikkundervisning». Svein er en «gammel traver» i Lamis-sammen heng, og han har gjort og gjør en kjempejobb som ambassadør for LAMIS og matematikkfaget i skolen. Han

setter ting på spis-sen på en elegant måte for å få oss til å tenke over hva vi egentlig gjør i undervisningen vår, og han kom i løpet av sitt fore-drag i Stavanger med gode innspill til en bedre under-visningspraksis. Av de nær 60 som møtte opp, er jeg sikker på at mange satt igjen med gode idéer til videre under-visning.

Etter det jeg forstår er det ikke uvanlig at så mange som 60 personer møter opp på lokallags-kvelder i Roga-land. Jeg er helt sikker på at de som var der fikk en flott opple-velse, og det er artig å se mat-telærere med stjerner i øynene, treffe andre, diskutere problemer og få «aha-opplevelser». Det er fint å få mulighet til å være med på slike arrangementer, jeg setter pris på å bli kjent med alle dere

som gjør en kjempejobb for LAMIS. Takk til Rita Høie og Asle Schanke Grude som invi-terte meg og tok godt imot meg i Stavanger. Jeg håper jeg får komme på besøk til flere lokallag framover, slik at jeg kan bli bedre kjent med dere og arbeidet dere frivillig legger ned for LAMIS.

Landslaget for matematikk i skolen 87

Matematikkens dag 2011Henrik Kirkegaard

Akkurat som julenissen og 17. mai, er matematikkens dag kommet for å bli. En etter hvert ti år lang tradisjon har spiret og grodd til en flott markering hvert år.

Det er de forskjellige lokallag i LAMIS, som i tur og orden tar på seg ansvaret for heftet knyt-

tet til matematikkens dag. Jeg er sikker på at her ligger styrken til fremtidige matematikkdager. At heftet går på skift blant lokalla-gene betyr at det blir mange ulike innfallsvinkler. Her bør det være plass til også å eksperimentere litt, og prøve ut nye opplegg rundt temaer og organisering. Er

det ikke en fornøyelse – nye idéer oppstår, nye temaer prøves ut, nye typer organisering forsøkes og så videre. Vi har nå en rekke hefter som forhåpentligvis ikke står og støver ned på lærerrom-met; men blir brukt i den daglige undervisningen. Å bla i gamle hefter gir inspirasjon til mange flotte matematikktimer.

La oss se på arbeidet vårt i LAMIS Sunnmøre frem til mate-matikkens dag 2011.

Da lokallaget hadde takket ja til forespørselen om å lage heftet, begynte vi å finne personer som kunne ta på seg oppgaven. Vi var klar på at det måtte være representanter fra barnehagen, barneskolen, ungdomsskolen, videregående og høyskolen i arbeidsgruppen. I begynnelsen av november 2009 møttes vi for første gang til et kveldsmøte. Vi var to fra barnehagene, to fra barne skolen, en fra ungdoms-

Landslaget for matematikk i skolen88

skolen, en fra videre gående og en fra høgskole. Vi begynte ikke å diskutere ulike idéer, men vi hadde et forslag om en organi-sering med stasjoner på et sporløp, som vi jobbet ut ifra. Jeg tror at dette sparte oss mye tid. Vi slapp en masse innle-dende disku sjoner før prosjektet begynte å ta form. I mars 2010 var vi på hyttetur en helg. Vi kom med forslag til innhold på stasjo-nene, fordelte arbeidsoppgaver, gikk tur sammen, koste oss med mat og vin, og ikke minst fant vi tonen sammen. Frem mot mai jobbet vi hver for oss med vår del av heftet. Av praktiske

årsaker delte vi oss i en barnehagedel, en barneskoledel og en ungdomsskole/vide-regående/høgskole-del. I mai møttes vi igjen og gikk igjen-nom det vi hadde skrevet. Etter et par uker med retting og

korrigering var vi faktisk ferdige med heftet før sommerferien i juni. Da gjensto det å redigere, lage innholdsfortegnelse, skrive forord og så videre. Denne siste delen tar forholdsvis mye tid. Underveis fikk vi hele tiden god oppfølging av organisasjonsse-kretæren i LAMIS. Først var det Anja Glad von Zernichow og etterpå Gro Berg.

Avsluttende skal det sies at det var spennende og interes-sant å være med på et slikt pro-sjekt. Dels fikk du selv en faglig og didaktisk utvikling i samarbei-det med resten av gruppen, dels var det veldig interessant å se de tre forskjellige gruppenes utfor-ming av de samme stasjonene, og dels var det kjekt å få lov å lage et opplegg som ble brukt av skoler i hele Norge.

Det tok lang tid å få til et hefte og vi jobbet ganske mye. Men jeg synes bestemt at det var det verdt.