tangenten 4 2007 - Caspar · 2020. 7. 17. · 4 4/2007 tangenten tenkepause kom det: ”Jo, de som hadde fem og tre ville få mest likevel.” Denne samtalen viser ikke så mye til

tangenten 4/2007 1

Tenk deg følgende situasjon. En drikkevanns-kilde i en storby er blitt forurenset. En bak-terieart som går på helsa løs har slått seg ned i reservoaret. Noen få er blitt smittet, men myndighetene ønsker kontroll over saken og vil være forberedt hvis en epidemi skulle bryte ut. Bortsett fra prøvetaking og målinger er det viktig at noen setter opp en modell for hvor-dan sykdommen kan spre seg i befolkningen og hvordan antall syke personer vil vokse fremover. En matematisk modell vil kunne gi nødvendig innsikt for å håndtere problemet.

En annen situasjon. En miljøorganisasjon ønsker å aksjonere ovenfor myndighetene mot en fabrikk som slipper ut en spesiell type kje-mikalier. I tillegg til en tilstandsrapport med målinger av konsentrasjon i vann og fi sk, er det nødvendig å si noe om utviklingen av forurens-ningen i fremtiden. Et skriv til SFT som kun bygger på synsing vil neppe kunne regne med å fi nne gehør. En matematisk modell bygd på de faktiske forhold, vil derimot kunne være et sterkt argument i debatten.

Å fi nne egnete eksempler der elever kan øve seg på matematisk modellering kan være krevende. Selve modelleringsprosessen der en går fra en autentisk situasjon via en analyse av mulige variabler til en matematisk beskrivelse som munner ut i et sett med likninger, grafer og tabeller er ofte krevende og tar tid. Det settes

også en annen type krav til lærerens kompetanse enn det en trenger i en mer oppgaveløsningso-rientert undervising. Derfor kan det oppleves ganske utfordrende å ta fatt i arbeid med model-lering sammen med elevene. Å vurdere elevenes arbeid med modellering er også en utfordrende oppgave.

Et viktig element i arbeid med modellering er refl eksjonsfasen etter at man har laget model-len. I denne fasen kan man diskutere alternative modeller og begrunnelser for de valg en måtte gjøre underveis. En må gjøre avveininger og trekke inn aspekter som ikke er av matematisk natur. Slike vurderinger og refl eksjoner krever ofte et eget språk som er rikere enn det matema-tiske, samtidig som de forutsetter en form for overblikk over fagets muligheter når alternati-ver skal vurderes. Nettopp disse kvalitetene gjør at arbeid med modellering kan sies å fremme elevenes kreative og kritiske sans og dermed også øker deres muligheter for aktiv deltakelse i demokratiet.

TANGENTENs redaksjon har derfor valgt å vie dette nummeret til modellering i skolen i håp om at det kan vise mulighetene som ligger her.

tangenten 4 2007.indd 1tangenten 4 2007.indd 1 01.11.2007 20:27:0201.11.2007 20:27:02

4/2007 tangenten2

Kan matematisk modellering være et tema for elever på de laveste trinnene? Selv var jeg skeptisk da jeg startet prosjektet med å prøve ut arbeid med vekst og grafer i klassen jeg den gang var klassestyrer for. Elevene hadde bare to-tre timer med multiplikasjon bak seg da vi startet prosjektet. Vi arbeidet med tre tverrfag-lige tema: Innsamling av tegneserier til klasse-bibliotek, pengeinnsamling til Kirkens nødhjelp og vekst på antall sauer på gården dersom alle lammene fi kk leve. Det ble altså tatt utgangs-punkt i aktuelle temaer for klassen. Jeg ønsket å fi nne ut elevenes strategitenkning, hvilket matematisk språk de brukte og hva de leste ut av grafer de selv laget. Prosjektet ble dokumen-tert gjennom elevers og min loggskriving, samt produkter elevene laget.

Lineær vekstSerieheftene: Jeg startet med et aktuelt tema i klassen. Vi ville ha seriehefter til klassen slik at elevene hadde litt mer lesestoff i klasserommet. Hvor mange ville vi få dersom alle tolv elevene tok med seg to hefter, hvor mange dersom alle tok tre, fi re eller fem hefter? Alle hadde kan-skje ikke tegneseriehefter til å ta med seg. Hvor mange fi kk klassen om bare en elev tok med

seg? To elever? Tre elever? Fire? Osv.Så startet jeg friskt med å fortelle hva de

skulle gjøre, men dette var nytt og de satt som levende spørsmålstegn. Selv om de hadde vært borti søylediagram ble dette likevel noe anner-ledes. Her var det best å sette elevene i gang og forklare litt underveis. De satt i grupper og jeg bad hver gruppe velge ”innsamling” av to, tre, fi re eller fem hefter.

Vi brukte Unifi xklosser, en kloss var ett blad. Så skulle de bygge oppover hvor mange hefter det ble om en elev tok med det antallet de hadde valgt, to elever, tre, fi re osv. De fi kk lapper som de skrev antall elever på og som de la under tår-nene slik at de visste hva de hadde bygd. Det typiske var at alle helst ville sette det høyeste tårnet først. Det var tydeligvis mest spennende å bygge. Dessuten kan det være at de ble påvirket av åpningsspørsmålet om hvor mange hefter det blir dersom alle tar med seg x antall hefter.

Hvordan lese grafen? De bygde tårna og ble etter hvert ferdige. Jeg spurte ei gruppe om hvor mange hefter vi får dersom alle i klassen tar med seg 2 hefter hver. ”Over hundre har vi talt”, var svaret. Alle klos-sene de hadde brukt til bygging av søylene hadde blitt talt. Jeg ba dem tenke og diskutere om det kunne være rett. Ei lita stund etter hadde de svar klart. ”Det blir 24!” ”Hvordan fant dere det?” ”Jo, vi talte klossene her nede to, fi re, seks,

Toril Eskeland Rangnes

Vekst og grafer – modellering sammen med 8–9-åringer

Toril Eskeland Rangnes, NLA Lærerhø[email protected]


tangenten 4/2007 3

........, 24.”Helt intuitivt leser de av arealfunksjonen.

Funksjonsforskriften til grafen er f(x) = 2x der stigningen (den deriverte) er 2. Elevene leste av arealet som ligger under stigningen f ’(x) = 2.

En annen så på økningen, eller ”trappene” som han sa. Fem, ti, femten osv. Noen så på høyeste tårnet og talte oppover. Det gjorde de spesielt når de bygde grafen med klossene.

Elevene leste grafen på en annen måte enn jeg hadde forventet. De viste meg tre ulike måter å fi nne hvor mange hefter vi fi kk til sammen. Dersom jeg hadde fortalt (slik vi lærere ofte gjør) hvordan de skulle lese grafen, ville elev-ene av meg bare fått vite en måte å gjøre det på. Elevene åpnet faktisk øynene på meg slik at jeg så at sammenhengen mellom arealfunksjon av den deriverte til funksjonen, stigningen og avlesing av punkt ligger nokså tydelig i grafen. Det er faktisk naturlig å lese en graf på disse tre måtene dersom en bare ikke har hengt seg opp i en tillært løsning.

Hvilke tanker ligger i elevenes løsninger?To grupper begynte å telle ”elev en har to, elev to har to, det blir fi re. Elev tre har med to, det blir seks” osv. I denne tenkningen står x for elev-nummer og ikke antall elever. I stedet for tallene kunne elevenes navn stått. Det ligger altså en litt annen tenkning bak enn når en teller oppover (leser av et punkt), for da ser en mengden som tolv elever har samlet inn mer som en enhet. Han som la sammen stigningen så tydelig at for hver elev som kom med hefter økte (steg)

antallet med fem blader. Ved å legge sammen økningen fi kk han antall hefter det ble dersom tolv elever tok med seg fem blader hver. Tenk-ningen bak var ulik, likevel kom alle fram til rett resultat. På meg virket det ikke som det var vanskelig for elevene å forstå hverandres måte å gjøre det på.

Tegning av grafen Vi tegnet så omrisset av trappa på et stort papir og først da kom koordinatene opp. Nede skrev vi antall elever og oppe skrev vi antall hefter. Elevene så ganske snart at det vi drev med var ganging. De kjente igjen tallmønstrene enda vi bare hadde holdt på med ganging i et par skole-timer før prosjektet startet.

Var det så noen vits i å tegne grafen? Ei gruppe oppdaget plutselig at de hadde gjort litt feil, trappetrinnene var ikke like høge, men nå fant de fort ut hva de måtte gjøre for å rette det opp igjen. Ved fargelegging i ulike farger på hver ny ”blokk” så elevene tydelig multiplikasjonen som gjentatt addisjon.

De fant også ulike måter å manipulere med ganging for å fi nne hvor mange det ble når de støttet seg til konkretiseringen grafen gav dem. Hanne: ”Først tok jeg 10·2 som er 20 og så 2·2 som er fi re, da blir det 24”.

Sammen fant vi også ut at dersom vi la sammen det høyeste tårnet på tre hefter og det høyeste på to hefter ble det til sammen like høyt som det høyeste tårnet på fem hefter.

Høyeste tårn Mens jeg hengte opp grafene spurte jeg elevene om de visste på forhånd hvilke gruppe som fi kk høyest tårn. ”Ja, 5 hefter sjølsagt”, sa en. ”Nei, det var ikke sikkert,” sa Daniel. ”Dersom ikke alle hadde fem hefter og for eksempel halvpar-ten tok med seg bare tre hefter så er det ikke sik-kert at de som skulle ha med seg fem fi kk mest”. Vi hadde laget modellene i fellesskap så her kom noen av forbeholdene inn. Hva hvis ikke alle har så mange hefter? Lærer: ”Dersom det var som du sa Daniel, hvem ville da få fl est hefter?” Etter en


4/2007 tangenten4

tenkepause kom det: ”Jo, de som hadde fem og tre ville få mest likevel.” Denne samtalen viser ikke så mye til grafen, men jeg synes at Daniel her viser en klar forståelse for hva vi driver med. Noe er matematikk og noe er virkelighet. Og han viser at arbeidet med grafen ikke har fjernet han fra det vi jobber med. Her snakkes det om hefter og ikke bare om tårn, enda det var tår-nene som var utgangspunktet for samtalen.

Virkeligheten Da vi hadde samlet inn hefter fl ere uker senere fi kk vi inn 25. Jeg spurte hvor mange hefter elev-ene i gjennomsnitt hadde tatt med seg. Janne konkluderte fort med at elevene hadde tatt med to hefter hver, og da var det ett hefte i tillegg. Hun hadde arbeidet med to hefter per elev og hadde trolig bilde av grafen og husket tallet tre uker etter vi hadde jobbet med dette.

PengeinnsamlingVi tok en lignende oppgave. Nå var det pen-gegave til en aksjon vi hadde på skolen der vi oppfordret elevene til å samle litt penger inn til Guatemala og Afghanistan. Det hadde tidligere vært vanskelig å få motivert elevene til en slik aksjon. Derfor ville jeg denne gangen prøve å motivere elevene litt også gjennom matematikk-timene. Mange elever tror kanskje de må gi så mye for at det skal nytte. Jeg ønsket at de skulle se at dersom alle gir litt blir det til sammen ganske mye. Panting av fl asker er kjent for de fl este i denne aldersgruppen, så det ble utgangs-punktet vårt. Vi beregnet et gjennomsnitt på to kroner per fl aske. Spørsmålet var da hvor mange fl asker elevene ville samle. Forslagene fra elev-ene var fi re, fem og sju fl asker.

Denne gangen skulle gruppene lage tallpar først og så tegne søyler på ark. Vi gjorde fl as-kene om til antall kroner de fi kk for det antallet fl asker de valgte. Å legge sammen 14 kroner 12 ganger var ikke helt uproblematisk. Det var let-tere når de brukte unifi xklosser til å bygge med. En uttrykte seinere i en oppsummering, ”med pengene måtte vi bruke hodet!”

”Akkurat som med heftene!” Denne gangen gikk det fort å tegne søylene. Her fi kk også hvert trappetrinn eller ”blokk” sin farge. Ei rute på arket var her to kroner. Elev-ene så fort, og viste glede over å se, sammen-hengen med forrige oppgave. ”Det blir akkurat som med heftene, jo!” Ei gruppe måtte legge vekk tallparene, for de oppdaget under tegning av grafen at de hadde regnet feil. Trappene ble ikke jevne.

Elevene så sjøl at de holdt på med gjentatt addisjon, og at de kunne sette det opp som gan-gestykker. I plenum ble begge måtene skrevet opp. Men når de senere skulle skrive hva de gjorde på denne oppgaven skrev de at de plusset. Marte skrev ”Det var bare 14+14+14+14 hvis vi plussa til i stedet for å gange”. Til oppgaven om heftene skrev de at de lærte ganging. Kanskje det var fordi de der møtte igjen tallmønster de hadde sett før?

Hva ser elevene i grafene?Når vi skulle oppsummere hengte jeg opp gra-fene deres og stilte et svært åpent spørsmål: ”Hva ser dere?” ”Alle har en topp og toppene er ikke like store.” Vi ble enige om at det var fordi de samlet inn ulikt mange kroner for hver elev. ”Men,” spurte jeg, ”hvorfor blir det ene tårnet så mye høyere enn det andre når det bare er to kroner som skiller?” Her pekte jeg på grafen som viste hvor mye det ble med 8 kr per elev og så grafen med 10 kr per elev. ”Jo,” svarte Janne, ”det er fordi at 12 elever tar med seg til sammen 24 kroner mer der.” Hittil har elevene klart å holde fast på penger og elever selv om jeg snak-ket om tårn, men så ville jeg ha dem til å se at det var ulik stigning i grafene de hadde arbei-det med. Jeg tegnet derfor en sammenhengende strek på hver graf og førte tavlelinjalen bortover og spurte hva de nå så. ”Den med 14 kroner får lengst strek.” ”Den går mer beint opp” (om grafen med 14 kr per elev). ”Den med lavest antall kroner går liksom mer ut på siden.” Her stoppet det i farten litt opp for meg. Hva kunne han mene med mer ut på siden? Vi stoppet jo


tangenten 4/2007 5

på tolv elever på alle grafene? Samtidig følte jeg at jeg så det samme, den går jo liksom mer ut på siden, så jeg protesterte ikke, jeg måtte bare komme tilbake til det senere. ”Dersom dette var en bakke, hva ville dere sagt om den?” ”Kjem-pebratt,” var uttrykket jeg da fi kk. ”Den er brat-test” (om 14 kr per elev).

”Hvor bratt kan det bli?” Nå var vi virkelig begynt å bli generelle, og det er litt skummelt med 8-9 åringer. Mitt spørs-mål ble så hvordan grafen ville se ut dersom hver elev hadde tatt med seg 20 kroner. ”Den ville gått beint opp,” meinte Christian. ”Nei, den ville tippa over på andre sida (andre sida av Y-aksen),” meinte Daniel. Her var de gått helt bort fra hva koordinatene stod for og gjettet ut ifra et synsinntrykk og en utvikling de mente å se. Vi kikket så litt på hvordan det ble dersom en, to eller tre elever tok med seg tjue kroner og da kom det kjapt, ”den blir bare brattere!” Det kan hende kunnskapen var situert, men jeg ser det slik at elevene her gjorde en nyttig erfaring. Slik jeg oppfatter situasjonen førte den sammenhengende streken elevene bort fra den virkeligheten de var i. Den ble for abstrakt. Det var lettere med trappene, da så en hvor mange kroner det økte med hver gang antall elever økte. Trappetrinnene på 14 kr var større enn trinnene med 8 kr.

”Streken går liksom mer ut på siden” Jeg kom tilbake til eleven som sa at streken gikk

liksom mer ut på siden der det var minst. Han husket da ikke hvorfor han hadde sagt det og han så at det slutta på tolv elever på alle. ”Men dersom jeg vil samle inn like mye penger her som der det var mest (pekte her på den med 10 kr da jeg nå bare hadde denne oppe), hva måtte vi gjort da?” ”Samle inn 14 kr der óg,” var første svaret. ”Ja, men dersom vi fremdeles skulle ha 10 kr per elev hvor ville streken gå da for å komme opp på 168 kr?” ”Jo, da må stre-ken fortsette mer ut på sida.” Lærer: ”Ja, men se her nede, her var det 12…” ”Ja, da må det bli omtrent 14 elever da,” var svaret. 14 elever var ikke rett, men han måtte gjette fordi koordi-natene ikke var merket så langt ut. Det han så var at dersom han ville samle mer penger med samme antall kroner per elev, måtte fl ere elever samle. Jeg tror han oppfattet en sammenheng mellom det han intuitivt så med streken som liksom gikk lenger ut på sida, og det han her så med støtte.

Eksponentiell vekstSauegården vår. Jeg ønsket også å prøve ut en annen type graf, og jeg tok da tak i eksponenti-ell vekst. Elevene har godt kjennskap til gården til Mikal. Han besøker vi to ganger i året. Han har sauer, og om våren yrer det med lam. Om høsten blir ganske mange slaktet. Dette syntes elevene var ille. Vi hadde tidligere snakket om at gården produserer mat og om hvordan det ville være om alle sauene fi kk leve. Elevene visste at Mikal har to værer og ca 30 søyer. De fl este sauene fi kk tvillinger. Så startet vi med vårt tankeeksperiment: ”Hva om vi startet gård og begynte med to lam første året, hvor mange ble det på gården etter ti år dersom alle fi kk to lam, en han og en hun, hvert år?” Først måtte de fi nne tallmønsteret. De fi kk et skjema der de skulle fylle ut hvor mange par som fi kk lam, hvor mange nye lam og hvor mange sauer i alt.

KjæresteparEt problem som dukket opp for elevene var at et par sauer er det samme som to sauer. De fi kk


4/2007 tangenten6

papirsauer som de skulle legge utover, og jeg ba dem farge blå bjelle på væren. Likevel fi kk de problemer med antall par og antall sauer. Da jeg til slutt kalte vær og søye for kjærestepar klarte de å håndtere begrepet ”et par sauer”. Dette for-undret meg ettersom vi hadde hatt om partall og antall par tidligere uten problem.

System eller kaos?Vanskelig var det også at sauene fi kk lam hvert år og ikke bare en gang i livet. Det ble dessuten fort mange sauer å holde orden på. Jeg lurte på hvor mange sauer de kom til å legge utover før de gikk over til å se på tallmønsteret og fi nne ut av systemet. De fl este elevene la ut rundt 32 sauer før de gikk over til å regne. Men de fl este gruppene måtte begynne på nytt igjen med utlegging av sauer mange ganger før de forstod hva de gjorde. Så begynte fl ere gutter å melde seg ut og lage uro. Jeg opplevde på det tidspunkt hele opplegget som fi asko. Likevel fortsatte jeg i neste time, men da med guttene i egen gruppe for at de skulle fi nne løsningen selv. Dette gikk over all forventning. De så systemet fort og kom

raskt i mål. Janne fant ut av systemet med en gang (allerede i første timen vi jobbet med det), men hun fi kk kjempeproblem med å få de på gruppa med seg. Hun forklarte og jeg kunne ikke sagt det bedre, men ikke tale om. Gutten på den gruppa nektet å legge ut en eneste sau så lenge han ikke forstod. Da han kom i gut-tegruppa ble han heiagjeng for han som først så syste-met, men selv klarte han aldri å forstå tallmønsteret. De andre skjønte hvordan tallmønsteret utviklet seg. De så det ble mer og mer. De fi kk store tall og det var kjempegøy.

Hvordan vil grafen se ut?Da de skulle tegne grafen spurte jeg om hvordan de trodde grafen ville se ut. Daniel som hadde vært borte under jobbinga med papirsauene så på tallene og mente den ville se ut som de andre, med pengene og heftene. Ingen protesterte, men jeg så en viss usikkerhet i ansiktene. Vi satte i gang med å tegne grafer. Denne gangen limte vi på små sauer i stedet for å tegne søyler. Antall sauer ble skrevet på sauen. Dette gjorde jeg fordi jeg ville de skulle holde fast på hva vi drev på med. Koordinatene hadde jeg tegnet inn på for-hånd. En rute var nå 25 sauer. Det ble vanskelig i starten. I de første åra var antall sauer under 25 slik at en ikke kunne se at det vokste. Senere måtte de fi nne det nærmeste tallet på Y-aksen, for eksempel dersom antall sauer var 128 måtte de lime papirsauen på 125.

Etter kort stund med liming av papirsauer uttaler Christian: ”Jeg ser hvorfor det blir slik, det er fordi vi legger til større og større tall!” To dager senere skriver han i loggen sin: ”Vi dobla og dobla!” Han som først meldte seg helt ut


tangenten 4/2007 7

hadde virkelig forstått hva han jobbet med!Jeg tror elevene oppfattet rutene under sauene

som søyler, selv om søyler ikke ble tegnet. Det siste elevene gjorde med grafen var å tegne stre-ker mellom sauene.

Samtalen rundt grafenNår elevene snakket om hvordan tallene vokste ut i fra grafen var de veldig generelle: ”Det vokser mer og mer”, ”Vi plussa større og større tall”, ”Til slutt fór det rett til værs”, ”Det gikk sakte og så litt fortere og så gikk det rett opp!” Det var slik at jeg lurte på om de visste hva som vokste fortere og fortere, ”Jo, det er fødslene,” sa en, ”ja, hvor mange sauer det blir,” sa en annen. I loggen skriver Marte to dager senere: ”Det vokste fortere og fortere, fl ere og fl ere sauer slik at vi må bygge gården større!”

Det overrasket meg at elevene snakket i så generelle vendinger om denne grafen. Sauer ble ikke nevnt før jeg spurte elevene hva som egentlig vokste fortere og fortere. I oppgavene før snakket elevene om hefter når jeg spurte om lengste tårn. Eller de snakket om penger når vi så på tårna vi fi kk i pengeoppgaven. Jeg tror elevene da følte behov for å bekrefte for seg selv hva de snakket om fordi symbolene var fjernt fra hva de skulle symbolisere, mens de i siste oppgaven ikke trengte å snakke om sauene fordi alle så at det var sauer vi snakket om.

Elevene oppdaget fort at denne ikke utvi-

klet seg slik som de andre oppgavene. Som Christian sa: ”Jeg ser hvorfor det blir slik, vi legger til større og større tall!” For senere å skrive: ”Det doblet seg og doblet seg!” Dette siste ville kanskje blitt tydeliggjort for fl ere om vi hadde fargelagt søylene. For Christian ble nok det visuelle bildet en bekreftelse på det han så i tallmønsteret han laget.

For vanskelig?Sammenhengen mellom grafen og tallmøn-steret ble her ganske grei. For elevene var den største vanskeligheten å legge ut sauene og telle dem. Elever som ikke forsto hvordan en fant tal-lene så greit ut fra grafen hvordan utviklingen gikk. Selv synes jeg oppgaven med sauene var i vanskeligste laget. Flere elever skreiv i loggen at den var vanskeligst, men de samme skrev også at oppgaven med sauene var den kjekkeste. Det var morsomt å se hvor fort det gikk på slutten.

Da vi var ferdig med oppgaven, spurte jeg elevene om vi egentlig hadde lært noe om gård og sauer. Det ble først stille og så kom det fra Janne, ”Vi har i alle fall lært at vi må slakte sauer!” Det var en logisk slutning ut fra situa-sjonen vi tok utgangspunkt i.

Dersom noen hadde spurt meg om opplegget med sauene midt i prosjektet, ville jeg sagt det var mislykket. Men hva er et mislykket prosjekt? Elevene og jeg var frustrerte, men betyr det at det er mislykket? Ut fra hva elevene skrev og sa om oppgaven var det tydelig at de hadde lært noe. For meg ble det også en lærdom å høste; timer må ikke være strømlinjeformet for at elev-ene skal få utbytte av dem. Men slitsomt er det når en står midt opp i det.

(fortsettes side 32)


4/2007 tangenten8

Regnbuen er et påfallende fenomen. I årtusener har en forsøkt å forstå hvordan den kommer i stand. La oss tenke oss en akse fra sola gjennom vårt eget hode. Vi står med ryggen mot sola. I forhold til denne aksen har vi en hovedregnbue ved om lag 42° og en atskillig svakere sekundær regnbue ved om lag 50°. (En tredje regnbue kan av og til skimtes i retningen mot sola.) I områ-det innenfor hovedregnbuen fi nner vi noen lyssvake bånd, gråhvite, grønne og purpur-røde, de såkalte overtallige regnbuebånd. Dette området er forresten lysere enn himmelen ellers, mens området mellom hovedregnbuen og den sekundære regnbuen er mørkere. Det sistnevnte området kalles Alexanders bånd etter grekeren Alexander fra Afrodisias.

Hovedregnbuen har et rødt bånd ytterst, der-etter ser vi oransje, gult, grønt, blått, og fi olett innerst. For den sekundære regnbuen er det omvendt.

Alt hos Aristoteles fi nner en tanker om hvor-dan regnbuen oppstår. Men først omkring år 1300 fi nner vi vitnesbyrd om eksperimenter for å fi nne ut av disse tingene. Den tyske domi-nikaneren Dietrich av Freiberg (ca. 1240–ca. 1319) og, omtrent samtidig, perseren Kamal

al-Din Abu’l Hasan Muhammad Al-Farisi (ca. 1260–ca. 1320) skal ha gjort eksperimenter med kuleformede glassfl asker fylt med vann. De tenkte at disse skulle gjøre det mulig å studere lysets gang i vanndråper (som i regn). Tankene som ble satt fram, gikk ut på at innfallende lys først blir brutt ved overfl aten av dråpen, så blir refl ektert inne i dråpen, og deretter blir brutt på ny når det forlater dråpen. Glasskarene som ble brukt i eksperimentene, var et kompliserende element. For det foregikk jo også bryting ved overfl atene av glasskarene! Mens Al-Farisi var uklar når det gjaldt hvor mange ganger lyset blir refl ektert inne i dråpen, mente Dietrich av Freiberg at hovedregnbuen oppstår ved at lyset refl ekteres én gang, den sekundære regnbuen ved at lyset refl ekteres to ganger inne i dråpen. (Ting kan tyde på at Dietrich utførte eksperi-menter med duggdråper, ikke med glassfl asker fylt med vann (se [1]).)

Etter Dietrichs tid kom det til en dreining i synet på hva som var viktig å forske på, og noe framskritt i studiet av regnbuen kom først århundrer senere. Mange framstillinger av vårt emne framhever – noen mener med urette – René Descartes (1596–1650) arbeid som en mile-pel. Se fi gur 1, som viser en tegning fra Descar-tes Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences. Plus la Dioptrique, les Météores et la Géométrie qui sont les essais de cette méthode (1637). Descartes

Øistein Bjørnestad

Litt om å ”forstå” regnbuen

Øistein BjørnestadHøgskolen i Sogn og [email protected]


tangenten 4/2007 9

må ha tenkt at sola er umåtelig langt borte, slik at solstråler er parallelle. Dietrich hadde tenkt langs aristoteliske baner. På tegningene hans sprer solstrålene seg ut fra et punkt. Dietrichs teori om regnbuen ble trukket fram igjen tidlig på 1600-tallet, av Marco Antonio de Dominis. Den noe yngre Descartes (1596–1650) kom under vær med denne teorien. I motsetning til Dietrich var Descartes fortrolig med loven for brytning av lys i grenseskiktet mellom to stof-fer av forskjellig brytningsindeks, som det heter. Den korrekte teorien for slik brytning ble lagt fram av nederlenderen Willebrord Snell i 1621. Descartes Discours de la méthode kom i 1637. Da var Snell død, og Descartes fant ingen grunn til å nevne Snell. Franskmennene omtaler til denne dag Snells lov som Descartes lov. Descartes la forresten fram et ”bevis” for denne loven som var grunnleggende feilaktig (som nesten samt-lige av hans forklaringer av fysiske forhold). Korrekt ble denne loven først forklart av Chris-tiaan Huyghens og Pierre de Fermat.

Videre framgang i teorien for regnbuen kom med Newtons Opticks av 1704. Her legger Newton fram sin teori for lysbryting og farge-spredning (dispersjon). George Biddell Airy (1801–92) redegjorde for hvordan utseendet av

regnbuen endrer seg med størrelsen på vann-dråpene. Utover på 1900-tallet kom nye bidrag til forklaringen av regnbuen.

Etter disse historiske glimtene tar vi nå for oss noen få trekk ved regnbuen som vi kan si litt om ut fra elementære kunnskaper i geometri og trigonometri og litt fortrolighet med regneark.

HovedregnbuenLys fra sola inneholder stråling av mange bøl-gelengder – fra ca. 0,000390 mm (fi olett lys) til ca. 0,000750 mm (rødt lys). Prismer, vanndrå-per, o.l. viser fargespredning (dispersjon): de er i stand til å skille bølgelengdene og dermed fargene fra hverandre. Det har seg nemlig slik at når lys treffer grensefl aten mellom to ulike stoffer, som luft og vann, så endrer lyset retning. Det blir brutt. Og lys av ulik bølgelengde brytes ikke like mye – rødt minst, fi olett mest.

En tenker seg som sagt at regnbuen kommer fram ved at lys fra sola blir brutt og refl ektert i vanndråper. På fi gur 2 tenker vi oss at det kommer lys horisontalt inn mot en vanndråpe (sent om kvelden når sola står lavt!).

Innfallsvinkelen er a, den måles i forhold til normalen på kulefl aten der lysstrålen treffer vanndråpen.

Når lys treffer en overfl ate som danner grense til et annet stoff, blir lyset brutt. Når lyset går fra luft til vann, er brytningsvinkelen b mindre enn innfallsvinkelen a. Når lyset går fra vann til luft, er det omvendt.

På fi guren har vi bare tegnet lys som blir brutt inn i vanndråpen ved A, refl ektert fra veggen av dråpen ved B og brutt ut av dråpen ved D i retning av observatøren ved O. – Noe lys blir refl ektert ved A, noe blir brutt ut av vann-dråpen ved B og noe blir refl ektert ved D. Dette er vi ikke interessert i her, og vi har sett bort fra det.

Vi studerer nå fi gur 2. Brytningsvinkelen b står fi re steder. Det har å gjøre med at trekan-tene ABS og BDS er likebente og kongruente. Dermed fi nner vi vinkelen a både ved A og ved D (forklar selv).

Figur 1


4/2007 tangenten10

Merk: Ved bryting følger lysstrålen Snells lov:

na · sin a = n

b · sin b.

na og n

b er de såkalte brytningsindeksene for

de respektive stoffene. Her skal vi regne med at n

a = 1 (luft) og n

b =1,32998 (vann, rødt lys

med bølgelengde 0,000750 mm). Brytningsin-dekser for forskjellig stoffer og ved forskjel-lige bølgelengder kan en fi nne på internett (se f. eks. [2])

Radien i vanndråpen kaller vi r. Vi skal regne med at lysstrålen kommer inn mot dråpen hori-sontalt, parallelt med den stiplede linjen gjen-nom sentret av vanndråpen og i avstand 0,8624 r fra denne. (Grunnen til tallet 0,8624 forklarer vi nedenfor.)

a

av

b

bb

b

A

B

C

D

E

FS

O

Innfallende lys

Vanndråpe (kule)

Figur 2

– Innfallsvinkelen a er ca. 59,59°:

(Bruk sin–1-tasten på lommeregneren.)– Brytningsvinkelen b er ca. 40,42°. Snells

lov:

na · sin a = n

b · sin b,

b ≈ 40,42°

– Vinkelen v er ca. 42,50°: ∠ASB = 180° – 2b = ∠DSB, ∠BSC = 180° – ∠ASF – ∠ASB = 2b – a, ∠DSC = ∠DSB – ∠BSC = 180° + a – 4b, ∠DEO = ∠DSC, v = 180° – a – ∠DEO = 4b – 2a ≈ 4·40,42° – 2 ·59,59° = 42,50° – Litt om hvorfor vi valgte avstanden mellom

lysstrålen og den stiplede linjen gjennom sentrum av sirkelen på fi gur 2 lik 0,8624 r: Dersom vi setter nevnte avstand lik kr, og gjennomfører regningen som ovenfor, får vi

(sin–1x er den vinkelen som har sinus lik x.) Vi ser at v er en funksjon av k. Det er en

smal sak, også for elever i ungdomsskolen, å fi nne ut av hvordan v varierer med k. I regnearket Excel lager en seg en tabell over verdier av k og tilhørende verdier av v, og fremstiller disse dataene i et diagram. (Funksjonen sin–1 heter i Excel ARCSIN.) Resultatet vil bli omtrent som på fi gur 3. Vi ser at v vokser når k vokser, er maksimal for k nær 0,8624, og avtar så når k vokser videre.

Nå har det seg slik at lys som treffer dråpen slik at v blir maksimal, også kaster mest lys tilbake mot observatøren ved O! (Det får bare stå som en påstand.) Når vinkelen v minker mot 0, vil den ”delen” av lyset som blir sendt tilbake mot O minke kraftig. Vi vil da vente at for eksempel det røde båndet i hovedregnbuen vil være kraf-tigst rødt ved om lag 42,50°, svakere etter hvert som vinkelen avtar. Ved å gjennomføre en reg-ning som den ovenfor med brytningsindeksen n

b = 1,34504 for den korteste bølgelengden i den

synlige delen av spekteret (0,000390 mm, fi olett lys), vil regningene tyde på at vi har et fi olett bånd som er kraftig ved ca. 40,36° og ganske raskt blir svakere ved mindre vinkler. (Vi må da bruke k ≈ 0,8546 av tilsvarende grunner som vi


tangenten 4/2007 11

brukte k ≈ 0,8624 for rødt lys med bølgelengde 0,000750 mm.)

Figur 3

Vi har bare tatt for oss to bølgelengder, ytter-punktene i den synlige delen av spekteret. Selv-sagt bidrar også bølgelengdene mellom disse to til regnbuen. De forskjellige bidragene ”legges oppå hverandre” i en viss forstand, og tingene blir kompliserte.

Den sekundære regnbuenLysstrålen i fi gur 4 går inn i dråpen ved A, refl ekteres ved B og ved D, forlater dråpen ved E, og når observatøren ved O. Linjen fra ven-stre mot høyre gjennom O er parallell med den stiplede linjen gjennom S. Vi har lagt inn en hjelpelinje, en forlengelse av OE, for den som vil prøve å fi nne et uttrykk for v ut fra fi guren. Vinkelen b fi nnes seks steder på fi guren (tre-kantene ABS, BDS og DES er likebente og kon-gruente). Et resonnement omtrent som det for fi gur 2 gir oss at

v = 180° + 2a – 6b.

Setter vi igjen avstanden mellom den innfal-lende lysstrålen og aksen gjennom S lik kr, får vi for rødt lys

Går vi fram på samme måte som ovenfor, fi nner vi at funksjonen v av k avtar mot et minimum ved k ≈ 0,9507. Med denne verdien av k får vi

v ≈ 50,10°. Se fi gur 5. Det røde båndet i den sekundære regnbuen befi nner seg fra denne vin-kelen og litt utover. For det fi olette båndet fi nner vi å måtte bruke k ≈ 0,9481, og får v ≈ 54,00°. Det fi olette båndet starter ved denne vinkelen og går litt utover.

Figur 5

Referanser[1] Cohnitz, Daniel (2003): Ray of Light? Diet-

rich von Freiberg und die Geschichte von der mittelalterlichen Wissenschaft. Studia Humaniora Tartuensia, 4.B.1. Tilgjengelig fra http://www.ut.ee/klassik/sht/. [Lastet ned 05.07.2006].

[2] Luxpop Index of refraction values and pho-tonics calculations. Tilgjengelig fra

http://www.luxpop.com. [Lastet ned 06.07.2006].

A

B

C

D

E

O

S

a

v

bInnfallende lys

Figur 4


4/2007 tangenten12

InnledningForskningsdagene er en nasjonal festival der forsknings- og kunnskapsbaserte institusjoner viser fram sin virksomhet for allmennheten på nye og spennende måter. Målsetningene for fes-tivalen er å [1]: – vekke nysgjerrighet, interesse og forståelse

for forskning og forskningens resultater hos folk fl est

– formidle hva forskningen betyr i vårt dag-lige liv

– vise sammenhengen mellom forskning, innovasjon og næringsliv

– vekke interesse i mediene for forskning og forskningsresultater

– bidra til rekruttering av unge til forskning

Under fjorårets forskningsdager deltok 6. trinn på Apeltun skole i Bergen i et skoleprosjekt. Prosjektet inngikk i undervisningen i matema-tikk og naturfag. Denne artikkelen er en opp-summering av prosjektet, og er skrevet som et

hjelpemiddel for dem som vil prøve dette i egen klasse.

Ved hjelp av et dataspill var målet for pro-sjektet å produsere sjokoladekaker av 5-stjerners kvalitet. Produksjonen bestod av to trinn:

1) Blande, røre og steike. Sjokoladekakefa-brikken har to tanker som inneholder to for-skjellige rører. Første del av produksjonen gikk ut på å blande rørene og steike kakene. Opp-gaven til elevene var å fi nne riktig blandings-forhold mellom rørene og riktig steiketid og temperatur.

2) Påføring av glasur. Her skulle elevene bestemme sammensetningen av glasuren som i hovedsak bestod av smør, melis og kakao. Etter påføring av glasur tok et spektrofotometer opp et spektrum som ble benyttet til kvalitetskon-troll av glasuren.

Hver kake ble testet av en hund. Den gav karakter for kaken og glasuren. Målet var å lage en kake som ble bedømt til 5 stjerner for selve kaken og 5 stjerner for glasuren. Dersom elevene klarte dette ble det mulig å få listet hele oppskriften på kaken.

Kjemometri anvender matematiske og statis-tiske metoder, til såkalt fl ervariabel data analyse av måleresultater fra kjemiske sy stemer eller prosesser. En av grunnpilarene er å omforme og redusere store datamengder til tolkbar infor-masjon. Noen av metodene er av så generell karakter at de er velegnet til analyse av t.d. triv-

Egil Nodland, Kenneth Mikalsen

Virtuell sjokoladekakebaking med kjemometri!

Egil NodlandUniversitetet i [email protected]

Kenneth MikalsenApeltun [email protected]


tangenten 4/2007 13

selsundersøkelsen 2006. Et annet av kjemome-triens fundamenter er eksperimentell forsøks-planlegging hvor man ut fra så få forsøk som mulig ønsker å hente ut så mye informasjon og kunnskap som mulig. [2,3]

GjennomføringElevene utførte prosjektet i perioden 18. august til 22. september 2006. Apeltun skole har en til-strekkelig stor park av datamaskiner slik at elev-ene kunne arbeide to og to. Spillet er utviklet av Must AS og krever Java 1.5. Spillet er til fri bruk og fi nnes på nettstedet kjemometri.org [4].

Etter en kort innføring i spillereglene og målet, løste elevene oppgaven etter prøve og feile metoden. I ettertid antok de forsiktig at dette krevde totalproduksjon av omlag 5600 kaker. De kom frem til et prisoverslag pr. kake på kr 40,– etter en handletur på nærbutikken. Til sammen ville utgiftene til kun ingrediensene komme på kr 224000,–. Prøve og feile metoden i produktutviklingen ble forkastet av elevene med begrunnelse i for høye kostnader, avfallsmeng-den av ubrukelige kaker, tiden det ville ta for å lage og teste kakene og at det ville forbrukes store mengder gode råvarer som kunne bli brukt til annen matlaging. Dette var motivasjonen for å introdusere eksperimentell forsøksplanleg-ging. Denne består av følgende fem steg: plan-legging, eksperimentering, analyse og model-lering, tolkning og til slutt konkludering.

PlanleggingHer skal faktorene som kan påvirke kvaliteten eller mengde utbytte av prosessen identifi seres. Målet her var å fi nne sammenhengen mellom bakeforholdene, og hvordan de burde stilles inn for å få laget 5-stjernerskake. De tre variablene, eller faktorene, som kunne endres på var blan-dingsforholdet mellom kakerørene, steikeovns-temperatur og steiketid. Fornuftige områder for innstillingene på variablene må også fi nnes. T.d. fi nner de fl este at steiketemperatur på 30°C i 3 minutter er urimelig.

Ved å velge to ulike innstillinger, lavt og høyt

nivå, på hver av variablene hadde vi totalt åtte ulike innstillingskombinasjoner. Disse frem-kommer som hjørnene i kuben som er vist i fi gur 1. Vi håpet at bare halvparten av de 8 mulige forsøkene kunne si oss noe om sammen-hengen mellom innstillingene i sjokoladekake-fabrikken og kakekvaliteten.

50% forhold 100%

150 t

emp 2

50

15

tid

451

2

3

4

50% forhold 100%

150 t

emp 2

50

15

tid

451

2

3

4

Figur 1. De fi re første forsøkene er vist som svarte

kuler. Kuben representerer hele det aktuelle

leiteområdet.

EksperimenteringElevene utførte så de fi re forsøkene som er vist i tabell 1.

Forsøk nr

forhold temp tidsvar fra

hund

1 -1 –1 –1 02 1 1 –1 413 1 –1 1 104 -1 1 1 15

Lavt, –1 Høyt, +1forhold 50 % 100 %temp 150 °C 250 °C

tid 15 min 45 min

Tabell 1: Designmatrisen for forsøksplanen. Det

høyeste svar hunden kunne gi var 100. Svar ≥ 90 gav

5-stjerners kaker.

Under datafangsten fra spillet ble ”klipp og lim” -funksjoner benyttet av elevene som behersket


4/2007 tangenten14

dette. Svarene fra hunden er gjennomsnittsver-dier fra tre eller fl ere kaker laget under identiske betingelser. Utregningene av middelverdiene ble gjort vha regnearkfunksjoner eller kalkulator.

Analyse og modelleringFra tabell 1 kunne elevene fi nne ut hvordan endringene i svaret fra hunden fulgte en end-ring i én faktor. Forsøk 1 og 4 inneholder begge kombinasjoner av temperatur og tid ved det lave blandingsforholdet. Forsøk 2 og 3 inne-holder begge kombinasjoner av temp og tid ved det høye blandingsforholdet. Ved å beregne middelverdien av de to forsøkene ved det lave blandingsforholdet og middelverdien av de to forsøkene ved det høye blandingsforholdet fant elevene et mål på effekten av blandingsforhol-det. Den såkalte hovedeffekten ble funnet ved å regne ut differansen mellom de to middelverdi-ene. Alt kunne regnes for hånd slik:Hovedeffekt av blandingsforholdet =

Ligning 1

Hovedeffekten måler middeleffekten av blan-dingsforholdet ved alle mulige betingelser for de to andre variablene.

Forsøk 1 og 3 inneholder alle kombinasjoner av blandingsforhold og steiketid ved lav steike-temperatur, og forsøk 2 og 4 inneholder alle kombinasjoner av blandingsforhold og steiketid ved høy steiketemperatur.

Hovedeffekten av steiketemperaturen =

Ligning 2

Tilsvarende fant de hovedeffekten av steiketiden som differansen mellom gjennomsnittsverdien

av svaret fra hunden i forsøk 3 og 4 og gjennom-snittsverdien av forsøk 1 og 2.

Hovedeffekten av steiketid =

Ligning 3

TolkningTolkningen av disse hovedeffektene er som følger;

Ved å gå fra lave til høye innstillinger på blandingsforhold og steiketemperatur gav hunden oss fl ere stjerner! Hovedeffektene er positive.

Ved å gå fra kort til lang steiketid gav hunden oss færre stjerner! Hovedeffekten er negativ.

KonklusjonLeiteområdet kunne derfor innskrenkes til hhv 75–100 % for blandingsforholdet, 200–250 °C for steiketemperatur og til 15–30 minutters stei-ketid. Det nye leiteområdet er vist i fi gur 2.

- angir betingelsene for de neste forsøkene- angir betingelsene for

de gamle forsøkene 15

0 tem

p 250

50% forhold 100%

15

tid45

25

67

- angir betingelsene for de neste forsøkene- angir betingelsene for

de gamle forsøkene 15

0 tem

p 250

50% forhold 100%

15

tid45

25

67

150 t

emp 2

50

50% forhold 100%

15

tid45

25

67

Figur 2. Etter de fi re første forsøkene kan leiteområdet

innskrenkes til den lille terningen. Kun tre nye forsøk

var nødvendig å utføre.

Med de nye svarene fra hunden ble nye analy-ser og beregninger tilsvarende ligningene 1 til 3 uført. Denne gangen var alle hovedeffektene


tangenten 4/2007 15

negative. Ved å gå fra lave til høye innstillinger på alle variablene gav hunden dem færre stjer-ner. Etter å ha begrenset leiteområdet ytterligere i henhold til hva de nye hovedeffektene fortalte ble ytterligere tre nye forsøk gjort. I tillegg ble et såkalt senterpunkteksperiment uført. Da hadde elevene funnet fram til et sett variabelinnstil-linger som gav stabil produksjon av 5-stjernes kaker på kun elleve forsøk, en betydelig innspa-ring i forhold til de 5600 forsøkene etter ”prøve og feile”-metoden.

Kvalitetskontroll ved bruk av spektroskopiske metoderSamme metodikk som over kan brukes til å fi nne frem til sammensetningen av 5-stjerners glasur. Dette overlater vi imidlertid som en øvelse til leseren.

Den synlige delen av det elektromagnetiske spektrum består av stråling (lys) ved ulike bøl-gelender som oppfattes som fargene rødt, oran-sje, gult, grønt, blått og fi olett. Sammen oppfat-tes den strålingen som hvitt lys. Prinsippet for et spektrometer er vist i fi gur 3.

I sjokoladekakefabrikken var spekteret til den perfekte glasuren oppgitt. Hovedingrediensene som kunne endres på var smør, melis og kakao. Hver av dem hadde sin egen signalform som vist i fi gur 4. Disse formene endres ikke med økende mengde, men størrelsen gjør det.

Spekteret for glasuren, Sg , fremkommer som

summen av spektrene av hver ingrediens, mul-tiplisert med de respektive mengder, m, som er benyttet. Detter er en anvendelse av Beer-Lamberts lov for blandinger. Vi har dermed S

g = m

1S

1 + m

2S

2 + m

3S

3, senket skrift henviser

til de tre ulike ingrediensene.I fi gur 5 er det vist hvordan spekteret av en

2-stjerners glasur kunne sett ut.I bølgelengdeområdet rundt 590 nm er

signalet for svakt. For å øke signalstyrken må mengden av ingrediensen som har sin maksi-male signalstyrke i samme område økes. Dette er melis, som har sitt maksimum på omlag 580 nm. I bølgelengdeområdet rundt 300 nm er sig-

nalet for høyt i forhold til den perfekte glasuren. Mengden av ingrediensen som har sin maksi-male signalstyrke i dette området må reduseres. Kakao har sitt maksimum på om lag 370nm. Med denne kunnskapen i bagasjen løste elevene

Figur 3. Prinsippskisse av et spektrometer for det

synlige området. Øverst: Fra venstre produserer

en lyskilde synlig lys med lik intensitet på alle

bølgelengder. Dette passer uhindret til detektoren på

høyre side av prøvekammeret. Det registrerte signalet

inneholder alle bølgelengder, med lik intensitet.

Nederst: lyset fra kilden passerer en prøve som

absorberer stråling ved korte(fi olett) og lange (rød)

bølgelengder. Det grønne lyset absorberes ikke av

prøven. Det registrerte signalet er unikt for prøven og

kan brukes til identifi sering.

200 300 400 500 600 7000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Bølgelengde

Inte

nsite

t

200 300 400 500 600 7000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Bølgelengde

Inte

nsite

t

Figur 4. Spektra av perfekt glasur og de rene

hovedingrediensene smør, melis og kakao.

Svart=perfekt glasur, blå=kakao, grønn=melis,

rød=smør


4/2007 tangenten16

glasurgåten hurtig.Prosjektet ble avsluttet ved at 6 elever som

representerte variasjonen av klassen laget et 15 minutters foredrag. Generalprøven ble holdt for resten av klassen. Fredag 22. september deltok hele klassen på forskningsdagene i Bergen, og foredraget ble holdt for elever fra en av de andre deltagende skolene.

OppsummeringKunnskapsnivået blant 11-åringene i denne klas-sen spriker, som i de fl este andre klasser antar vi. Noen hadde full forståelse for at det var lurt å vente til ovnstemperaturen var konstant før de hentet svarene fra hunden vha. av ”klipp og lim”-funksjoner. Noen beregnet gjennomsnitt-svar av 3–5 kaker med 3 desimalers nøyaktighet vha. kalkulator. Andre slet med tallene opp til 1000, enn si å regne med dem. Innledningsvis slet alle med forståelsen av å gjøre systematiske forsøk som vist i tabell 1. Etter hvert ble gevin-sten av en slik fremgangsmåte verdsatt. Den aller største bøygen var å håndtere ligning 1–3. Svarene fra hunden var gitt som desimaltall. Vi valgte å forenkle dette til heltall. Parenteser og multiplisering med positive og negative fortegn var for de aller fl este utenfor rekkevidde – og

det inntil da dekkede pensum. Når ligningene ble presentert som vist ovenfor, klarte mange å regne ut hovedeffektene. Dette ble gjort med et utvalg elever.

Elever med lese- og skrivevansker klarte seg meget bra, og var blant de første som lyktes med å bake 5-stjerners kaker. Av de 6 elevene som var plukket ut til å lage foredraget valgte en å trekke seg grunnet nervøsitet. De andre satt ut over normal skoletid, og en trosset lettere sykdom for å kunne øve på og delta på fremførelsen.

For eldre elever bør spillet kunne brukes uten tilpasninger av hvordan tallmaterialet presenteres. I tillegg til gjennomsnittsbereg-ninger av fl ere kaker, kan spredningsbergnin-ger inkluderes for å kunne estimere usikkerhet i hoved effekter. Begrepet samvariasjon, eller korrelasjon kan belyses. I tillegg til å beregne hovedeffekter kan vekselvikninger beregnes. For elever i videregående skole kan man gå videre til regresjonsanalyse og responsfl atemodellering.

Referanser[1] http://www.forskningsdagene.no/c26720/

artikkel/vis.html?tid=29652[2] Box, George E.P.; Hunter, William G. og

Hunter, J. Stuart (1978) Statistics for experi-menters. An introduction to design, data analysis, and model building. John Wiley & Sons, New York

[3] http://www.chemometrics.se/index.php?option=com_content&task=view&id=18&Itemid=1

[4] http://www.kjemometri.org/nyheter/Forskn-ingsdagene2006/Sjokoladekakefabrikken.htm

Signal for høyt, mindrekakao for å komme nedtil perfekt signal

200 300 400 500 600 7000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Bølgelengde

Inte

nsite

t

Signal for lavt, mer melis for å nå opp til perfekt signal

Signal for høyt, mindrekakao for å komme nedtil perfekt signal

200 300 400 500 600 7000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Bølgelengde

Inte

nsite

t


200 300 400 500 600 7000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Bølgelengde

Inte

nsite

t

200 300 400 500 600 7000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Bølgelengde

Inte

nsite

t


Figur 5. Spektrum av en 2-stjerners glasur bestående

av 50g smør, 150g melis og 25g kakao.

Svart=perfekt glasur, blå=2-stjerners glasur.


tangenten 4/2007 17

Matematiske modeller vi lager på skolen med eksperimentelle (empiriske) data, har en ten-dens til å gi tilnærmet lineære funksjoner. Anders Isnes fra Naturfagsenteret viste et enkelt eksperiment med fritt fall av muffi nsformer. Dette blir fall med luftmotstand, og det viser seg at det blir en ikke-lineær funksjon.

Problemstillingen er som følger. Hva blir sammenhengen mellom antall muffi nsformer (lagt inni hverandre) som slippes fra en bestemt høyde og tiden de bruker på å falle til bakken?

Vi skal ikke bruke avansert fysikk for å fi nne en formel, men vi skal samle noen empiriske data som gjør oss i stand til å tegne et grafi sk bilde av denne sammenhengen. Denne grafen kan fungere som en matematisk modell for sammenhengen vi er ute etter. Gjort på denne måten, kan dette opplegget fungere godt i ung-domstrinnet, både for å få en bredere forståelse av funksjonsbegrepet, og for å se en ikke-lineær modell av et fysisk fenomen. Vi viser til slutt i artikkelen hvordan elever med fysikk i videre-gående skole, kan beregne funksjonsuttrykket teoretisk.

Eksperimentet krever bare at elevene har

tilgang på muffi nsformer, og at de har en god stoppeklokke.

Elevene arbeider to og to. De må lage seg en tabell til å notere tider for de forskjellige antal-lene med muffi nsformer. Diskuter med elevene hvor mange forsøk de skal gjøre med hvert sett av muffi nsformer for å få et godt resultat. Kan-skje de må prøve noen ganger med bare 1 muf-fi nsform for å se hvor gode de er til å ta tiden. Ut fra erfaringene med dette, bestemmer de hvor mange målinger de skal ha på hvert sett. For å få kun én verdi, bruker de gjennomsnittstidene av målingene for hvert sett. I eksempelet nedenfor har vi målt to ganger for hvert sett. Muffi nsfor-mene må slippes fra samme høyde hver gang.

Alle skal måle tidene for 1, 2, 3, 4 og 5 muf-fi nsformer. Dette skal gi 5 punkter i et koor-dinatsystem. Ut fra punktene skal de tegne en glatt kurve, som skal forlenges utover x-aksen til det går an å lese av hvilken tid som skal forven-tes hvis 10 muffi nsformer ligger inni hverandre. Når avlesningen er gjort, skal de teste ut om det stemmer.

Diskuter modellen og gyldigheten av den med elevene.

EksempelHvis vi tenker oss kurven forlenget, kan vi gjette og sjekke for 20 muffi nsformer (se tabell).

Hvordan vil funksjonsuttrykket for denne kurven se ut? Det er i alle fall ikke ei rett linje! Diskuter med elevene at en lineær modell ville

Ingvill Merete Stedøy-Johansen,May Renate Settemsdal

Matematiske modeller er ikke alltid rette linjer!(etter en ide fra Anders Isnes, Naturfagsenteret)

Ingvill Merete Stedøy-Johansen, [email protected]

May Renate Settemsdal, [email protected]


4/2007 tangenten18

ende opp med at muffi nsformene går i bakken på 0 sekunder hvis vi har 10 – 15 muffi nsfor-mer inni hverandre. Det kan jo ikke være riktig. For elever i ungdomstrinnet kan det være nok å konstatere at dette er en krum kurve som de ikke kan nok matematikk til å forstå funksjons-uttrykket for. For elever som har valgt fysikk og matematikk i videregående skole, er det fullt mulig å kunne forstå at dette ser ut som en slags eksponentialfunksjon. Fysikkens lover gjør dem

i stand til å beregne funksjonsuttrykket. Tor Andersen ved Matematikksenteret har

sett på en teoretisk matematisk modell for fritt fall med luftmotstand. Mange elever er frus-trerte over at de i skolefysikken i videregående skole bare får regne på fritt fall uten luftmot-stand. Det ville føre til at en fallskjermhopper som hopper ut fra 10 000 meters høyde, ville treffe bakken med en fart på nesten 1600 km/t. Noen elever kan komme til å forlate skolen i fast tro på at farten er uavhengig av massen når det dreier seg om fritt fall, sier Andersen.

Hvis vi setter opp en differensiallikning som beskriver hastigheten ved fritt fall der luftmot-standen er b, får vi følgende likning:

2dv

m m g b vdt

⋅ = ⋅ − ⋅

Hvis vi løser denne differensiallikningen og for-utsetter at utgangshastigheten er 0, får vi:

2

2

( 1)( ) tanh( )

( 1)

mgb tm

mgb tm

mge

mgbmgbv t tb m

e

⋅

⋅

−= =

+

Ved å integrere v(t) fra 0 til t, fi nner vi et uttrykk for strekningen gjenstanden har falt. Det kan vi bruke til å beregne luftmotstanden b ut fra de empiriske dataene.

Antall muffi ns-former, x

Tid 1 i sekunder Tid 2 i sekunder Gjennomsnittstid T(x)

1 1,84 1,84 1,84

2 1,37 1,31 1,34

3 1,18 1,19 1,185

4 1,06 1,06 1,06

5 1,00 0,97 0,985

10 Avlest: 0,84, målt: 0,83

20 Gjettet: 0,78, målt: 0,75


tangenten 4/2007 19

Del 1: En matematisk modell med utgangspunkt i målte dataSom en del av grunnlaget for datainnsamling til mitt doktorgradsprosjekt om motivasjon for matematikk, har jeg utviklet et fullstendig undervisningsopplegg i matematikk for grunn-kurs i videregående skole. Dette gjennomføres i samarbeid med en lærer og hans klasse i inne-værende skoleår.

Et av undervisningsoppleggene er basert på å la Barbiedukker hoppe i strikk fra ei ”bru”. Matematikktemaet i dette opplegget er praktisk bruk av funksjoner. Idéen til opplegget fi kk vi ved å delta på Åsa Hansen og Sanja Herrströms workshop på Matematikkbiennalen i Malmö, 2004 (se www.mah.se/matematikbiennalen).

Vi har brukt opplegget fra 4. trinn i grunn-skolen til videregående skole. Denne artikkelen

beskriver hvordan opp-legget kan gjennomfø-res i videregående skole. Strikkhopping er popu-lært blant ungdom-men, og gjennom dette opplegget får elevene erfare at matematikk kan brukes til å lage matematiske modeller av virkeligheten. Jeg vil først gi en karakteris-tikk av modellerings-kompetansen, deretter vil jeg beskrive selve undervisningsoppleg-get, hvor fokus er på nettopp modellerings-kompetansen. Jeg vil også gi et innblikk i hvordan opplegget ble gjennomført i grunn-kursklassen vår.

ModelleringskompetanseModelleringskompetanse er en av åtte matema-tiske kompetanser som ble lagt frem i rapporten [1], Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til utvikling af matematikundervis-ning i Danmark av Mogens Niss og Thomas Højgaard Jensen, 2002.

Kjersti Wæge, Nils Kristian Rossing

Strikkhopp med Barbie

Kjersti Wæge, Matematikksenteret, [email protected] skrevet første del av artikkelen

Nils Kristian Rossing, Skolelaboratoriet, [email protected] skrevet andre del av artikkelen

Artikkelens andre del er redigert og omarbeidet av Christoph Kirfel og Inger Elin Lilland.


4/2007 tangenten20

I år ble det gjennomført nasjonale prøver på grunnkurs. Nasjonale prøver i matematikk er laget for at lærere skal vurdere elevenes mate-matikkompetanse, og beskrivelsen av kompe-tansene i nasjonale prøver bygger på rapporten nevnt over.

En matematisk kompetanse er innsiktsfull beredskap til å handle på en fornuftig og vel-overveid måte i situasjoner der matematikk inngår.

Modelleringskompetanse – å kunne analysere og bygge matematiske modeller vedrørende andre felterEn side av denne kompetansen består i å kunne utføre aktiv modellbygging i en gitt sammen-heng.

Aktiv modellbygging inneholder fl ere for-skjellige elementer:– å kunne strukturere situasjonen som skal

modelleres,– å gjennomføre en matematisering av situa-

sjonen, dvs. å oversette objekter, relasjoner, problemstillinger osv. til et område innen matematikken, som resulterer i en mate-matisk modell,

– å kunne behandle modellen, herunder å løse de matematiske problemene den gir,

– å validere den ferdige modellen, dvs. bedømme dens holdbarhet både i forhold til modellens matematiske egenskaper og i forhold til situasjonen modellen handler om,

– å kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til modellens brukbarhet og relevans og i forhold til mulige alternative modeller,

– å kunne kommunisere med andre om modellen og dens resultater,

– å ha overblikk over og kunne styre den samlede modelleringsprosess.

Vi vil her bruke ordene modell og modellbyg-ging i de tilfeller hvor det er en ikke-opplagt sammenheng med den modellerte situasjonen,

som innebærer beslutninger, antagelser, inn-samling av opplysninger og data m.v.

Barbie hopper strikk fra ei ”bru”De faglige målene for opplegget varierer, avhen-gig av hvilke forhåndskunnskaper elevene har og når opplegget blir gjennomført innen temaet funksjoner.

Hvis opplegget blir gjennomført i starten av temaet funksjoner, kan målene være– at elevene skal få en innføring i funksjons-

begrepet, – å se sammenhengen mellom rette linjer og

lineære funksjoner,– bruke kurvetilpasning (regresjon) med

linjal og deretter å fi nne funksjonsuttryk-ket når linjen er gitt,

– få en forståelse av begrepene stigningstall og konstantledd og å kunne tolke det i praktiske situasjoner,

– aktiv modellbygging.

I vår klasse hadde elevene arbeidet med rette linjer og lineære uttrykk i to timer før opplegget ble gjennomført. De faglige målene for oppleg-get var derfor som nevnt over.

Hvis opplegget gjennomføres når elevene allerede har arbeidet en del med temaet funk-sjoner, kan hensikten være– å bli kjent med praktiske eksempler på

funksjoner,– bruke regresjon,– oppøve modelleringskompetanse (som

innebærer både å fi nne modellen, analysere den, vurdere resultatene og gyldigheten av modellen, og vurdere alternative modeller).

Utstyr og klassesituasjonMålebånd, gummistrikk, Barbie-dukker (alle bør ikke ha samme vekt), linjal, lommeregner, ruteark, skrivesaker.

Elevene arbeider i grupper på to eller tre. Tidsrammen er på 3-4 skoletimer.


tangenten 4/2007 21

Utførelse av oppleggetGummistrikkene skal knytes sammen og festes til Barbies føtter. Elevene får i oppgave å fi nne en sammenheng mellom antall strikk som er knyttet sammen og festet til Barbies føtter og fallhøyden hennes. De skal med andre ord lage en matematisk modell for denne situasjo-nen. Hvis elevene ikke har arbeidet noe særlig med funksjoner tidligere, kan det være lurt å tegne et koordinatsystem på tavla og diskutere hva de to koordinataksene skal vise. For å lage en god modell, er det viktig at elevene fi nner nøyaktige måter å måle fallhøyden på. Når alle gruppene har laget en matematisk modell er det tid for konkurranse. Vi drar til en trappeopp-sats eller liknende hvor vi har plassert en stor balje med vann under ”stupet”. Elevene får vite hvor langt det er ned til baljen, og ved hjelp av den matematiske modellen de har laget skal de beregne hvor mange strikk de skal koble til Bar-bies føtter. Den gruppa som kommer nærmest vannet, helst slik at håret berører vannet, har vunnet!

Læreren i vår klasse, Morten, presenterte oppgaven for elevene og illustrerte hvordan de små gummistrikkene skulle kobles sammen og festes til Barbies føtter. Han ba elevene fi nne en lineær funksjon, et lineært uttrykk, som viste sammenhengen mellom antall strikk og fall-høyden. Etterpå tegnet han et koordinatsystem på tavla, og elevene kom raskt med forslag til hva de to aksene skulle vise. Elevene fi kk vite at dagen etter skulle det være en konkurranse i vestibylen, og gruppa som vant konkurransen, ville få en sjokolade. Klasserommet var lite, og gruppene valgte selv å spre seg over hele skolen. Elevenes vinnerinstinkt var til å ta og føle på. I slutten av timen, mens en av elevene etterprøvde gruppas funksjonsuttrykk, kom han med føl-gende innbitte kommentar: Vi skal vinne den sjokoladen!

Mens elevene arbeidet, gikk Morten rundt til alle gruppene. Han fi kk elevene til å forklare hvordan de hadde funnet funksjonsuttrykket sitt, hvilke målemetoder de hadde brukt og

hvorfor. På forhånd hadde Morten og jeg dis-kutert hvordan elevene ville løse problemet med at punktene ikke ville ligge på en nøyaktig rett linje og hvilke hint vi eventuelt skulle gi dem. Det viste seg å være uproblematisk. Elevene tok intuitivt frem linjalen og tegnet ei linje som passet godt til punktene. Deretter brukte de linja til å fi nne konstantleddet og stigningstal-let. En av gruppene fi kk konstantledd lik 0, for de hadde satt Barbie opp ned og målt fra hodet. Det var helt ok, elevene bestemte selv forutset-ningene i modellen sin. Under oppsummerin-gen derimot, i samlet klasse, diskuterte vi hvilke situasjoner som var reelle og ikke. Hvordan ville hoppet vært gjennomført i virkeligheten?

Så var det tid for konkurranse. Elevene fi kk opplyst hvor langt det var fra gelendret og ned til vannfl ata. De fl este gruppene beregnet hvor mange strikk de skulle bruke ved regning. En av gruppene fant svaret grafi sk. I etterkant ble denne gruppa utfordret til også å fi nne svaret ved regning. Deres Barbie hadde berørt vann-fl ata med håret under konkurransen, så motiva-sjonen for å regne litt ekstra etterpå var naturlig til stede. En av elevene spurte meg om de måtte bruke hele strikk. ”Vi fi kk svaret 27,4. Er det lov å holde et sted på strikken?” Vi diskuterte hvor-for det ble slik og ble enige om at gruppa selv fi kk bestemme hva de skulle gjøre. Temaet ble tatt opp igjen under oppsummeringen i felles klasse. Under selve hoppkonkurransen skjedde det noe merkelig. Den første gruppa gjorde et perfekt hopp. Barbie berørte vannfl aten med håret. En av de andre gruppene forsøkte å jukse og spurte hvor mange strikk de hadde brukt. Når det var deres tur havnet Barbie langt over vannfl ata. Hvorfor gikk det ikke like bra for den gruppa? Etter konkurransen ble det delt ut sjo-kolade til den gruppa som kom aller nærmest og til den som kom lengst unna.

Oppsummering og refl eksjoner i samlet gruppeI denne delen av læringsprosessen er det elevene som skal fortelle hvordan de har tenkt, hva de


4/2007 tangenten22

har gjort og hvorfor? Det er viktig å beregne god tid til oppsummeringen. – Hvordan tenkte de forskjellige gruppene

når de fant modellene? – Måleusikkerhet og feilkilder. – Hva betyr de ulike parametrene i model-

len? – Gyldighetsområde.– Alternative modeller?– Har vekta til Barbie betydning? Hva hvis

Ken skulle hoppe? Hva hvis vi skulle hoppe? Hvordan forgår det når man skal hoppe strikk på ordentlig?

– Er funksjonen kontinuerlig? Hva betyr dette for presisjonen? Diskutér.

– Andre ting? En av tingene elevene i vår klasse var opptatt av var hvorfor det ikke gikk like bra for den gruppa som jukset.

”Dukkene har forskjellig vekt”, foreslo en av elevene. Han forklarte videre hvordan vekta ville påvirke strikkene. Vi snakket om hvordan stikkhopp foregår på ordentlig. Hva skjer hvis vi lyver på vekta? I diskusjonen om måleusik-kerhet og mulige feilkilder kom det frem mange gode forslag:

– Vi prøvde å slippe Barbie på samme måte hver gang, men det var vanskelig.

– Vi passet på at Barbie hadde samme utgangsstilling hver gang, at hun ikke var bøyd forskjellig.

– Strikkene var litt forskjellige, så vi forsøkte å plukke ut strikk som så like ut.

– Når vi knyttet strikkene, var vi nøye med å knytte dem sammen på midten.

– Øyemål er ikke godt nok. Vi holdt en bok under for å måle fallhøyden mer nøyaktig.

Det ble også diskutert hva de ulike parametrene i funksjonsuttrykket fortalte oss. I senere arbeid med lineære funksjoner brukte vi denne kunn-skapen.

KommentarerFør en gjennomfører opplegget, må læreren ha prøvd det ut på forhånd og tenkt nøye gjennom hva som skal være det matematiske fokus. Det er fl ere grunner til at ikke alle Barbie-dukkene bør ha samme vekt. Den viktigste grunnen er at elevene erfarer at modellene er avhengige av dukkas vekt. Den matematiske modellen som passer best til forsøket er lineær, men det er fi nt hvis elevene prøver ulike kurvetilpasninger ved hjelp av regresjon på lommeregneren. Hvis elev-ene har vært nøye med målingene, vil fl ere av gruppene komme svært nærme vannfl ata. Det er viktig å utfordre elevene til å fi nne nøyaktige måter å måle fallhøyden på. Erfaringer viser at de fl este elevene er i stand til å fi nne gode meto-der, bare de blir gjort oppmerksomme på at det er viktig. Et annet viktig element som bør dis-kuteres under oppsummeringen, er hvor nøye elevene har vært når de har festet strikkene til hverandre og hvordan dette kan ha påvirket resultatene.

Under konkurransen skal elevene bruke den matematiske modellen de har laget til å beregne hvor mange strikk de skal bruke. Elevene vil oppleve, som i vårt tilfelle, at beregningene til-sier at de skal bruke for eksempel 25,7 strikk. Hva velger de og hvorfor? Er funksjonen konti-


tangenten 4/2007 23

nuerlig? Kan vi ved å bruke andre redskaper få en kontinuerlig funksjon? Hva med Barbies sik-kerhet? Det er mye matematikk vi kan diskutere og refl ektere over under oppsummeringen, og jeg har bare nevnt noe av det. Det viktigste er å bruke god tid og la elevene få være aktive også i denne delen av opplegget. Våre elever synes opplegget var både spennende og interessant. De hadde arbeidet praktisk, de hadde erfart at matematikk kan brukes i virkeligheten, og at kunnskapene og erfaringene de hadde fått kunne brukes på andre områder i matematik-ken.

Del 2: Modellering med utgangspunkt i fysiske loverI denne delen av artikkelen vil vi se på Bar-bies strikkhopp med utgangspunkt i de fysiske lovene som styrer forløpet. Dette krever kunnskap om disse lovene, hvilke fysiske stør-relser som er avgjørende for utfallet og hvordan

formlene som beskriver lovene kan behandles matematisk.

Vi går ut fra at strikkens lengde er fast og at vi ikke skal variere antall strikk i eksperimen-tet. Problemstillingen er å beregne fallhøyden for dukken når den hopper. En rekke parame-tre kan være avgjørende for denne spørsmåls-stillingen. Vi må kjenne til strikkens lengde og fjærkonstant og Barbis vekt. I første omgang interesserer vi oss for dukkens tyngdepunkt og hvor langt ned dette beveger seg i dukkens fall-bevegelse. Vi må sørge for å ta høyde for avstan-den fra tyngdepunktet til hodet siden dukken stuper med hodet først.

Strikken må justeres ettersom den beregnede fallhøyden er større eller mindre enn stupebret-tets høyde over bakken.

Den fysiske modellenVi plasserer Barbi på stupebrettet. Strikken er festet i et ankerpunkt i høyde med dukkens tyngdepunkt. Den andre enden av strikken er festet i dukkens føtter. Når så Barbie dyttes utfor kanten vil hun først falle et stykke i fritt fall, så vil strikken strekke seg og bremse opp fallbe-vegelsen til hun spretter opp igjen. Den mak-simale fallhøyden, H, må beregnes for å kunne forutsi om hun vi berøre bakken og skade seg og om strikkens lengde må justeres.

Fra tegningen ser vi at fallhøyden er like lang som strikklengden pluss strekkleng-den, dvs. H = h + l eller h = H – l. Det er en lineær sammenheng mellom fallhøyden H og strekklengden h.

Ser vi på eksperimentet med fysikerens bril-ler er det nærliggende å benytte oss av energi-betraktninger. I fallet vil potensiell energi bli omgjort til lagret energi i strikken. En spent strikk representerer en viss energi som senere kan frigjøres eller omformes.

Den potensielle energien er muligens den enkleste i dette oppsettet. Når tyngdepunk-tet for dukken har falt en viss høyde H, kan vi beregne den tilhørende energien som settes fri til

Total fallhøyde H for dukkens tyngdepunkt

Stupebrett

Barbie-dukke

Strikkoppheng i samme høyde som dukkens tyngdepunkt

Avstand fratyngdepunkttil hode

Strekklengde, h

Strikklengde, l (slakk uten dukke)


4/2007 tangenten24

Epot

= m · g · H

der m er dukkens masse og g = 9,81 m/s2 er tyngdeakselerasjonen. Hele denne energien regner vi med blir omformet til energi lagret i strikken. Da ser vi bort fra friksjon og luftmot-stand. La oss se hvordan vi kan beregne ener-gien i strikken? Vi velger å se på strikken som en slags fjær som er velkjent blant fysikerens hjelpemidler. For fjærer gjelder ofte en lineær sammenheng mellom kraften, F, som er nød-vendig for å strekke fjæren og den tilhørende forlengelsen, h.

Vi får følgende sammenheng: F = k·h, der k er fjærkonstanten med benevning N/m.

Kraft[N]

Forlengelse [cm]

StrikkenergiDet trenges energi for å utøve en kraft over en viss avstand. I vårt tilfelle må kraften ”over-vinne” strikkens motstand. Energien er da produktet av kraften og lengden på strekningen som kraften virket. Strikkens motstandskraft er ikke konstant men øker når vi drar i den. Derfor er det ikke helt opplagt hvordan vi skal beregne energien i en utstrakt strikk. Illustrasjonen ned-enfor kan hjelpe oss. Vi regner med at kraften i et lite intervall (over en liten strekning) er konstant. Da blir det enkelte energibidrag lett å beregne som produkt av den lille lengden og den aktuelle kraften. Produktet synliggjøres i tegningen som arealet av det enkelte rektange-let under linjen. Vi ser at den totale energien som trengs for å strekke strikken en viss lengde h svarer til arealet av en trekant under kurven.

Dette kan imidlertid beregnes raskt:

Kraft[N]

Forlengelse [cm] h

F5

, hvor Fs = k·h.

Siden all potensiell energi blir omformet til strikkenergi kan vi sette opp:

eller

som gir oss en kvadratisk likning for fallhøyden H, nemlig

som fører til

Valg av fortegn i løsningenUttrykket under roten er ekte større enn m2 g2/k2 og selve rotuttrykket er dermed større enn mg/k. Skulle vi velge det negative tegnet i løsningen av den kvadratiske likningen ville det bety at løsningen ble mindre enn l, altså strikkens lengde når den henger slakt ned. Dette er selvsagt urimelig ut fra fysiske betraktninger.


tangenten 4/2007 25

Vekt g 50 g 100 g 150 g 200 g 250 g 300 g

Kraft F 0,49 N 0,98 N 1,47 N 1,96 N 2,45 N 2,94 N

Forlengelse h 1,2 cm 2,5 cm 3,7 cm 4,7 cm 5,9 cm 7,3 cm

Fjærkonstant F/h 40,9 N/m 39,2 N/m 39,7 N/m 41,7 N/m 41,5 N/m 40,3 N/m

Det betyr at vi velger løsningen hvor rotuttryk-ket gir et positivt bidrag.

Måling av fjærkonstantFjærkonstanten for en fjær beskriver hvor hard eller myk en fjær er. Den forteller oss noe om sammenhengen mellom kraften vi trenger for å strekke ut fjæren og hvor langt vi klarer å strekke den ut med en gitt kraft. Den er defi nert ved: F = k·h, hvor en strekkraft F gir en forlen-gelse h i strikken. Her er k fjærkonstanten til strikken. Den er en proporsjonalitetskonstant som uttrykker kraften som funksjon av for-lengelsen. Vi kan beregne fjærkonstanten ved å måle forlengelsen som funksjon av strekkraf-ten. Kraften kontrollerer vi ved å henge lodd på fjæren. Vi starter med ett lodd og øker så til to, tre fi re osv. Måler vi forlengelsene for fl ere strekkrefter kan vi beregne konstanten fl ere ganger for deretter å midle målingene. Slik får vi et resultat vi kan stole på (se tabellen).

Vi ser at fjærkonstanten ligger rundt omkring 40 N/m.

Referanser [1] Niss, M. & Højgaard Jensen T. (2002)

Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til utvikling af matematikundervis-ning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18 – 2002. Undervis-ningsministeriet, (http://pub.uvm.dk/2002/kom/).

Læringsfellesskap

i matematikk –

Learning Communities

in Mathematics

I perioden 2004–2007 har lærere fra fl ere skoler sammen med didaktikere fra Univer-sitetet i Agder arbeidet for å utvikle læring og undervisning i matematikk ved skoler i Agder. Dette gjøres med basis i to fors-knings- og utviklingsprosjekter, med støtte fra Norges Forskningsråd under programmet Kunnskap, Utdanning og Læring (KUL). De to prosjektene er Læringsfellesskap i mate-matikk (LCM,) og IKT og læring i matematikk (IKTML).

Rapporten fra prosjektene er nå gitt ut på Caspar Forlag.

Vi vil spesielt nevne artikkelen IKT som verktøy i arbeid med matematiske modeller av Svein H. Torkildsen.

ISBN 978-82-90898-50-9kr 358,–330 sider

Boka kan bestilles fra forlaget:bestilling.caspar.no


4/2007 tangenten26

Vi ser på en katapulttype som utnytter tyngde-kraften (fi gur 1). Et stort lodd er festet på den ene siden av armen, mens en liten kule ligger i kasteskjeen på den andre siden av armen. Arm-lengdene er gjerne ganske forskjellige. Det store loddet heises opp. Når det er kommet i ønsket høyde, slippes armen. Mens loddet ”faller ned” drar det armen rundt slik at kastekulen får god fart. Etter en kvart omdreining (eller noe mer), stoppes armens bevegelse ved at det store loddet slår mot en stoppekile. Kastekulen som ligger løst i kasteskjeen fl yr dermed av sted. Bevegel-sesenergien til det store loddet blir til varme under oppbremsingen.

Vi ønsker beregne utgangshastigheten for kulen idet den forlater kastearmen. Først måler vi fallhøyden for det store loddet og kaller den for H. Massen til loddet kaller vi for M. Fallet tilfører systemet energi. Denne kan vi beregne som

E1 = MgH.

Her er g gravitasjonskonstanten (tyngdeaksele-rasjonen), g = 9,81 m/s 2.

Samtidig løftes den lille kulen opp, en pro-

sess som krever energi. Løftehøyden h er gjerne forskjellig fra fallhøyden H. Massen til den lille kulen kaller vi m.

E2 = mgh.

Idet vi slipper armen, omdannes restenergien E

1 – E

2 til bevegelsesenergi. Både loddet og

kulen kommer i sving. Den samlete bevegelse-senergien er da:

.

Denne formelen bygger på energiens bevarelse. Her er v

m og v

M hastighetene til henholdsvis

massene m og M. Nå kan man se at hastighe-tene som de to massene har i et gitt øyeblikk står i samme forhold som armlengdene ved kas-tearmen. Når loddets kastearm kalles for A og kulens armlengde for a, ser vi at:

.

Da kan vi forenkle likningen vår:

.

Dermed får vi et uttrykk for hastigheten vm som

kulen forlater katapultet med. Løser vi lignin-gen med hensyn på kastehastigheten v

m kan vi

skrive:

Nils Kristian Rossing, tilrettelagt av Christoph Kirfel

Katapulter

Nils Kristian Rossing, Skolelaboratoriet, [email protected]

Christoph Kirfel, [email protected]


tangenten 4/2007 27

, dvs.

Nå står beregningen av nedslagspunktet eller kastelengden for tur. Figuren viser kulens bane. Vi ser at fl ere størrelser må måles før vi kan starte beregningene.

Ved å måle kastearmens vinkel i sluttposisjon mot en loddlinje fi nner vi også kastevinkelen, dvs. den vinkelen β som kulen forlater armen

med målt mot horison-talen. Prosjektilets høyde over bakken idet det forla-ter katapulten kaller vi for h

k, mens kastelengden får

navnet lk. Hastigheten har

en vertikalkomponent vmy

og en horisontalkompo-nent v

mx. Da gjelder

vmy

= vm sin β og

vmx

= vm cos β.

Kulens bevegelse kan nå beskrives som sammensatt av to bevegelser, en vertikal bevegelse (oppstigning og fall) og en ren horisontal bevegelse. Vi kan betrakte disse to bevegelsene som uavhengige. Vertikalbeve-gelsen kan beskrives slik:

hk = 1/2gt 2 – tv

m sin β.

Idet kula forlater kasteskjeen har den en verti-kal hastighet oppover som er lik v

m sin β. Etter

en tid t har den beveget seg tvm

sin β oppover. Samtidig vil kula ha en vertikal akselerasjon nedover på grunn av tyngdekrafta. Denne fall-høyden kan beskrives som 1/2gt 2. Når denne kombinerte stige- og fallbevegelsen har over-vunnet utgangshøyden h

k, så er ”tiden ute” og

kula har truffet bakken. Denne tiden t er viktig i våre beregninger. Ved hjelp av denne skal vi nemlig fi nne ut hvor langt kulen har kommet

i horisontalretning når den treffer bakken. Vi beregner først ”fl ytiden” ved å løse den kvadratiske likningen

1/2gt 2 – tvm sin β – h

k = 0,

noe som gir oss

Figur 1

Figur 2


4/2007 tangenten28

Under rottegnet ser vi uttrykket som selvsagt alltid er større enn . Dermed blir roten selv større enn vmsinb, og vi ser at vi må velge plusstegnet i løsningen. Hvis ikke får vi et negativ svar som ville ha betydd at vi måtte ha gått tilbake i tid for å fi nne nedslags-øyeblikket, noe som ikke er mulig.

Med den beregnete fl ytiden

kan vi fi nne kastelengden ved hjelp av følgende uttrykk:

Kombinerer vi alle uttrykkene får vi den noe voldsomme formelen nedenfor.

Modellen vi bruker forutsetter at selve kas-tearmen i katapulten har neglisjerbar masse. Denne armen kommer jo også i bevegelse og den tilhørende energien må komme fra loddets fall. For at våre beregninger skal være noen-lunde realistiske må vi altså anta at armen er laget av et meget lett materiale, for eksempel aluminium. Når armens vekt kommer i nærhe-ten av kulas vekt må vi straks endre modellen. Da må vi ta hensyn til endringen i den poten-sielle energien til armen og armens bevegelses-energi før oppbremsingen.

En kan også regne ut armens bidrag ved å beregne forventet kastelengde. Så brukes den målte lengden til å fi nne en korreksjonsfaktor

for armens masse. En ekstra utfordring er det å regne denne faktoren om til armens masse for deretter å fi nne ut hvor den skal settes inn i ligningene.

Et annet problem med modellen vår er at loddet ikke bare gjennomfører en fallbevegelse men også en rotasjonsbevegelse. Strengt tatt må vi også ta hensyn til denne rotasjonsenergien i vårt energiregnskap. En kan også tenke seg en annen utgave av katapulten, der loddet er festet i en tråd som igjen er festet på armen. Da vil loddet utføre en ren fallbevegelse. Til gjengjeld vil det bli noe vanskeligere å beregne forholdet mellom hastighetene.

Oppgaver:1) Finn en sammenheng mellom kastelengde

og slipphøyde H. Gjør målinger og bestem hvor god overensstemmelse det er mellom beregnede og målte verdier. Korriger even-tuelt beregningsmodellen.

2) Bruk denne beregningsmodellen (med eventuelle korreksjoner) til å bestemme slipphøyden når kula skal treffe en kopp i en oppgitt avstand.


tangenten 4/2007 29

Vi er to studenter i 40- årene ved NLA lærerhøg-skole i Bergen. Når det gjelder likninger innebar vår tidligere skolegang automatiserte algorit-mer, der ”vi fl yttet over og skiftet fortegn”. For-ståelsen var ikke det viktigste, drivkraften var om svaret ble riktig. Når vi ikke forstod hva vi gjorde og spurte hvorfor, fi kk vi som svar: ”det er bare slik”. I dag er det blitt et sterkere fokus på prosessen som fører til svaret, og i tillegg har det blitt enda større fokus på læringsstiler og at barn lærer på ulike måter. De visuelle og taktile elevene kan for eksempel få god hjelp i å bruke konkreter. På høyskolen ble det benyttet ulike konkreter i undervisningen som konvolutter med kronestykker, fyrstikker og fyrstikkesker og det ble tegnet skålevekt på tavlen. Noen av oss mer voksne studenter som ikke har så mye erfaring med konkreter, fi kk til tider problemer med å forstå den forenklingen konkretene var ment å gi. Hvordan skulle vi da klare å bruke konkreter i undervisningen slik at elevene opp-nådde læring og forståelse? Det store spørsmålet ble; Hvordan kan vi gjøre algebra mer forståelig for elevene?

AbacustusInspirert av problemstillingen vår utviklet vi et konkretiseringsmiddel som er en videreut-vikling av vektstangprinsippet, og vi har kalt den for Abacustus. Navnet er inspirert av kule-rammen Abacus, kombinert med at vi ønsker at elevene skal få ”kustus” på algebra.

Som vi ser på fi gur 1 har Abacustus to sider som gir likevekt over et vippepunkt (=). En kan variere antall pinner, og pga likevekten må man ha likt antall pinner på begge sider. På hver side kan man justere regnestykkene ved å variere antall kuler. Vektstangprinsippet blir ved hjelp av Abacustus visualisert, slik at elevene ser at likningen stem-mer. Summen på den ene siden samsvarer med summen på motsatt side.

Eksempelet viser regnestykket: x+6 = 11+3

Figur 1

Figur 2 viser at ved å fjerne kulene på venstre

Elisabeth Kahrs og Eli Solheim

Abacustus – et forsøk på konkretisering av likninger

Elisabeth Kahrs, student ved NLA Lærerhø[email protected]

Eli Solheim, student ved NLA Lærerhø[email protected]


4/2007 tangenten30

side slik at x står alene tilbake, vipper siden med x opp. Hva må gjøres for å få balanse?

Figur 2

Denne fi guren viser at når vi fjerner like mange kuler på motsatt side blir balansen gjenoppret-tet.

I eksempelet er det fjernet 6 kuler på ven-stre side og vi må derfor fjerne like mange kuler på høyre side for at likningen skal bli riktig. Nå er balansen gjenopprettet. x på venstre side er i likevekt med antall kuler på høyre side.

Figur 3

Figur 4 viser at x = 8. Likningen er løst, og elev-ene kan trekke av x-hylsen for å kontrollere at det ukjente tallet er det samme som på høyre siden. Elevene får et synlig bevis på at likningen stem-mer.

Utprøving av AbacustusVi var nysgjerrige på om Abacustus ville fun-gere i praksis, og fi kk muligheten til å under-

søke dette. Først prøvde vi den på 7. trinn, og etterpå valgte vi 5. trinn for å undersøke om konkretiseringen ville være forståelig for yngre elever.

7. klasse ved Ulsetskogen skoleVi startet undervisningen med å vise ”den ukjente” på andre måter før vi innførte sym-bolet x, fordi vi ville vise elevene at dette var oppgaver de hadde gjort før. Vi gav elevene blant annet dette regnestykket:

4+2 = + 5

Vi ønsket at alle elevene skulle få muligheten til å svare, så derfor skulle de rekke opp det antall fi ngre de mente var rett svar. Dette ble gjort for at vi lettere skulle kunne vurdere hvordan de så på likhetstegnet, noe som var viktig i forbindelse med videre undervisning. Svarene vi fi kk var 1 og 6, og vi spurte noen av de som svarte 6 om hvordan de tenkte. De regnet ut i fra tidligere lærte algoritmer, og forventet at regnestykket skulle fortsette med = etter 5-tallet. De var vant med å se på likhetstegnet som en kommando, og ikke som balanse.

Slik ble regnestykket forklart av en elev:

4+2 = 6 + 5 = 11

Videre i undervisningen understrekte vi at lik-hetstegnet betyr ”det samme som” og balanse. Etter at vi hadde presisert dette innførte vi Aba-custus. Her fi kk de en tydelig visualisering av

Figur 4


tangenten 4/2007 31

likhetstegnet som balanse. Vi informerte at de kan legge til eller fjerne kuler, men Abacustus må alltid være i balanse, ellers blir regnestyk-ket feil. Da elevene fi kk spørsmål om hvorfor Abacustus var i balanse svarte fl ere at den måtte være like tung på begge sider, ergo måtte det være samme antall kuler på hver side.

Elevene fi kk spørsmål om hvordan vi kunne fi nne det ukjente tallet som vi nå kalte for x.

4+2 = x + 5

De fl este svarte at vi måtte fjerne 5 kuler på den siden som x var, for at x skulle stå alene igjen.

Abacustus fi kk ”slagside”, og hadde de nå funnet det ukjente tallet? Nei …

Elevene så at det måtte fjernes like mange kuler på den andre siden for å oppnå balanse igjen, for slik Abacustus fremstod nå var lignin-gen feil. Som sagt, så gjort. Vi fjernet 5 kuler fra den andre siden, og Abacustus balanserte. Det stod 1 kule igjen på venstre side, og når vi fjer-net papiret over det ukjente tallet så vi svaret: x = 1.

5. klasse ved Hordabø skule Fremgangsmåten i denne klassen var noenlunde den samme som i 7. klasse, med unntak av at elevene selv fi kk prøve å arbeide med Abacustus. Dette gjorde vi fordi vi var nysgjerrige på hva elevene ville få til dersom de fi kk eksperimen-tere med Abacustus.

Elevene synes det var spennende å velge reg-nestykker som de skulle teste på resten av klas-sen.

Figur 5 viser en elev som prøver sin opp-gave foran klassen. Vil klassen klare å fi nne det ukjente tallet? Vi var hele tiden bevisst på å kalle x for ukjent tall, for at elevene skulle bli kjent med denne terminologien. Elevene lagde noen oppgaver som vi ikke trodde klassen ville klare å løse, som f. eks. når x = 0. Men de fl este elevene klarte faktisk å løse alle oppgavene.

Som vi ser av fi gur 6 endte elevene selv opp med å innføre multiplikasjon i ligningene sine. En av elevene hadde oppdaget at vi hadde to

papirruller med x, og ville lage en ordentlig vanskelig oppgave til klassen.

Oppgaven ble 2·x = 5 + 3.

Figur 6

Vi trodde dette ville bli for vanskelig, men igjen ble vi gledelig overrasket av fl ere elever. Da vi spurte hvordan de tenkte svarte en elev:

”Jeg tenker at 5 + 3 er 8, og da bare deler jeg på 2 for det står jo ganger 2 på andre siden. Da blir svaret x = 4. Figur 7 viser noen av elevene som tester Abacustusen.

I etterkant av undervisningen i begge klas-sene hadde vi en refl eksjonsdel der vi ønsket til-bakemeldinger fra noen av elevene om hvordan de syntes det var å jobbe med denne.

Her er noen av uttalelsene fra elevene: – ”Mye lettere å forstå når vi fi kk se den

vippe tingen, for da så vi om det var balanse.

Figur 5


4/2007 tangenten32

– ”Når det bare var på tavlen var det vanske-ligere å forstå”

– ”Dette var jo så enkelt, tror de vi er dum eller?”

– ”Tror ikke jeg hadde forstått det uten den dingsen”

– ”Abacustus kan gi elevene nøkkelen til forståelse innenfor dette emnet”. (Lærer)

Vi ser også andre mulige bruksområder for Abacustus:– Tier-venner og andre tallvenner:

10 kuler på ene siden, og tiervenner på den andre. Balansen viser om svaret er rett.

– Kontroll på om lette regnestykker er regnet rett:Regnestykket på ene siden og svaret på den andre. Balansen viser om svaret er rett.

– Vektstangprinsippet i naturfag:vri Abacustus sine ”armer” i samme leng-deretning (kraft × arm)

– Armene som står på tvers kan taes av og brukes til konkretisering av tier-overgan-ger: 1–10–100–1000

Takk tilSvenning Bjørke, lærer ved NLA. Elevene i 5. klasse (06/07) ved Hordabø skule på Radøy og deres lærer Johannes Mangersnes. Elevene i 7. klasse (06/07) ved Ulsetskogen skole i Åsane og deres lærer Linda Haukeland.

Figur 7

Elevenes utbytteElevene forstod og fi kk mye mer ut av grafene enn det jeg forutså. Deres kommentarer til gra-fene ble styrende for hva de lærte og hva jeg la vekt på. På denne måten fi kk vi et samspill som jeg tror var lærerikt for både elevene og meg selv.

I ettertid ser jeg at forståelsen av ganging ble veldig god i klassen. De er blitt fl inke til å bruke sine strategier for å fi nne svaret når de er usikre. Også da vi skulle ha om koordinatsystemet så jeg de hadde gjort erfaringer som gjorde emnet svært lett. De trakk selv forbindelsen med det de hadde gjort i prosjektet. Vi har gjort erfaringer sammen som gjør at når vi trenger det kan vi spørre ”Husker du det med sauene?” eller ”Er det slik som med innsamlingen?”. Vi har fått knagger å henge nye problem på.

EtterordArtikkelen er et gjentrykk fra Tangenten nr. 1/1997 med noen endringer. Reaksjoner jeg har fått fra ulikt hold på første artikkel har blant annet vært om hvor realistisk modellen med sauevekst er. Vi opererte med par sauer, han og hun, og alle levde i 10 år. Selvsagt er det ikke virkeligheten, noe elevene var klar over. Mikal hadde bare to værer i fjøset, han trengte ikke fl ere. Sauer kan leve i ti år om de får mulig-heten, men som regel vil noen dø av sykdom i virkeligheten. Vi laget en matematisk modell som gav et svært omtrentlig bilde av hvordan veksten kunne ha vært om alle lammene fi kk leve. Slik har modellen fl ere svakheter, med rom for forbedringer. Kanskje det kunne være en utfordring for eldre elever – å utvikle en mer realistisk modell?

(fortsatt fra side 7)


tangenten 4/2007 33

Kan vi fi nne konkrete tilknytingar til

f(x ) = ax ² + bx + c

eller vert det for kunstig? Spørsmålet dukka opp ein haust då eg var student på eit funk-sjonslærekurs ved HiB. Sjølv hadde eg gått på den gamle reallinja på gymnaset og hadde den gongen mykje med parablane å gjere. Eg hadde likevel aldri møtt på ei praktisk konkretisering av funksjonen som eg kunne hugse. Ikkje tenkte eg på det den gongen heller. Det viktigaste var jo å gjera oppgåvene rett, ikkje å forstå innhaldet, tenkte eg – heilt til eg sette meg på skulebenken att og vart provosert av læreboka som spurte

om ein kunne kome med tilknyting til funk-sjonen, t.d. bruke areal, og om det var tenleg å leite etter slike tilknytingar. Parabelen f(x ) = x 2 var grei. Den kunne ein konkretisere ved å teikne opp kvadrat der sidene auka. Men f(x ) = ax ² + bx + c var det verre med. Eg spurte etter illustrasjon eller praktisk konkretisering av funksjonen på skulen, utan å få svar eg var nøgd med. Etter intens tenking kom eg fram til to praktiske døme.

HusbyggingFørst vart eg husbyggjar. Eg tenkte meg at eg i ein katalog fann eit hus som eg likte propor-sjonane på. Eg var likevel usikker på kor stort eg ville ha huset. Kortveggen kalla eg difor x og langveggen vart då 2,5x. I tillegg ville eg ha ein vinterhage. Denne ville eg ha x meter lang og tre meter brei. Til slutt ville eg byggje ein garasje på 40 m2. Sjå teikninga under.

Toril Eskeland Rangnes

Konkretisering av parabelfunksjonen

Toril Eskeland Rangnes, NLA Lærerhø[email protected]

Artikkelen er hentet fra ”Matematiske sammenhenger. Algebra og funksjonslære”, Caspar Forlag AS 1999


4/2007 tangenten34

Det eg fi nn når eg teiknar grafen av f(x) = 2,5x ² + 3x + 40 er kor stort det påbygde arealet vert ettersom x endrar seg. Dette gav meining når x var positiv.

TeaterI neste døme forvandla eg meg til ein plan-leggjar av eit nytt teater. Eg har avgjort at det skal vere to kvadratiske felt med sitjeplas-sar, der det er x seter og x stolrader. Heilt bak skal det vere fi re benkerader med x seter i kvar rad. Dei to fremste kvadrata skal ha bil-lettpris på kr. 150,– og dei 4 bakarste benkene skal ha billettpris på kr. 100,–. Teateret vil dessutan få statsstøtte. Då eg ikkje har over-

sikt over kva dette utgjer for kvar framsyning, kallar eg denne for c. Eg vil da kunne skrive f(x) = ax ² + bx + c, der a = 2·150 og b = 4·100 og c = statsstøtte per framsyning. Vi kan da sjå korleis brutto inntekt per framsyning vil utvi-kle seg ut i frå korleis x endrar seg. Her òg må x vere større enn 0 for å gje meining. Sjå teikninga under.

Dette er to oppkonstruerte situasjonar som er laga for at dei skal passe inn i f(x ) = ax ² + bx + c, men for meg vart det ein grei konkretise-ring av funksjonen. Eg er nøgd så langt – men kva med ei konkretisering av parabelen når x er mindre enn 0?


tangenten 4/2007 35

En pose Twist kan brukes til så mangt, men hvem hadde tenkt matematikk? En pose på 550 g med ca. 81 biter passer godt til en klasse med 30 elever (to-tre til hver når vi skal spise…). Målet var å lære litt mer om regneark og grafi sk framstilling. Jeg jobber med en 8. klasse, men oppgaven kan lett tilpasses et lavere trinn ved å utelate det som faller vanskelig.

I starten hadde elevene mest lyst til å begynne å spise, men de skjønte fort at det ikke var meningen. Idemyldring ble utgangspunktet for matematikktimen. Elevene var fl ittige og ideer ble notert ned: Favoritten, sortering, tabell for grafi sk framstilling, søppelvekt, sjokoladevekt, prosentregning og brøk.

Vi fant fram den digitale vekta og sjekket posens bruttovekt. Senere veide vi søpla (tara) og fant rein sjokolade vekt (nettovekt).

Posen ble åpnet og vi fant klassens favoritt-sort. I tabell 1 ser du hvordan elevene i klassen fordelte seg når de skulle velge seg sin favoritt.

Ut fra disse tallene så vi at det var mulig å lage søylediagrammer, samt regne ut hvor stor brøkdel den enkelte sort utgjorde. Toblerone oppnådde 4 stemmer, og det utgjorde brøken 4/20 – som noen fort oppdaget var det samme som 20/100. Derfra var det ikke langt til 20 %.

Så fi kk alle sortene hver sin prosentandel, og vi sjekket at summen ble 100 %.

Det var ingen som tenkte at dette var mate-matikk, fordi dette var noe de fant på selv. Det ble da en oppgave for meg som lærer å bevisst-gjøre elevene på at dette er matematikk, og matematikk er både gøy og noe som man har bruk for. Ivrige elever, samtaler på tvers, spørs-mål om hva andre hadde gjort samt ”Se hva jeg fi kk!”, svirret rundt i klasserommet.

Så ble innholdet i posen kontrollert og nøy-aktig ført i skjema. For å systematisere fant elev-

Glimt fra klasserommet:Frank Gitlestad

Let’s Twist again

Frank Gitlestad, Lista [email protected]

Twistbit Antall elever

Nugat Crisp 2

Nøtti 1

Daim 3

Lakris 2

Marsipan 0

Chocolate Toffee 3

Golden Toffee 0

Banan 0

Japp 2

Toblerone 4

Cocos 0

Caramel 3

Tabell 1


4/2007 tangenten36

ene raskt ut at regneark var et godt hjelpemiddel. Vi satte i gang. To av elevene påtok seg oppgaven å lage et spørreskjema for å kartlegge hvilken sort som var klassenes og skolens favoritter. Skjemaene ble levert den enkelte kontaktlærer. Svarene kom raskt inn. Men før det måtte vi lage en standard for å legge inn alle ni klassene, samt skolen samlet.

Vi brukte Calc i OpenOffi ce. Funksjoner

for å summere, fi nne størst og minst ble brukt. Vi støtte på et problem da vi skulle regne ut prosentandel av hver sort. Her ble vi nødt til å utforske litt, og lærte oss da å bruke absolutte cellereferanser, $B$14, samt å formatere celler.

I tabell 2 ser du en oversikt over hvor mange det var av hver sort i posen vår.

Men hvordan fi nner regnearket hvilken sort som er mest populær?

Elevene har deltatt i lek og spill hvor det er lov å stille spørsmål som bare kan gi ja/nei svar. Vi har allerede funnet ut hvor mange stemmer den mest populære sorten hadde fått. Nå ville vi teste hvilken sort det var. Med vårt begren-sede og sorterte datamateriale så øyet vårt det raskt – men datamaskinen ser ikke … Hva hadde vi gjort dersom vi hadde hatt et større og mer uoversiktlig datamateriale? Jo, vi stiller et spørsmål som bare kan besvares med ja eller nei. HVIS svaret er ja, så skal maskinen skrive en setning.

Twistbit Antall biter %

Nugat Crisp 6 =B2/$B$14

Nøtti 3 =B3/$B$14

Daim 10 =B4/$B$14

Lakris 10 =B5/$B$14

Marsipan 3 =B6/$B$14

Chocolate Toffee 9 =B7/$B$14

Golden Toffee 3 =B8/$B$14

Banan 4 =B9/$B$14

Japp 7 =B10/$B$14

Toblerone 8 =B11/$B$14

Cocos 6 =B12/$B$14

Caramel 8 =B13/$B$14

Antall =SUMMER(B2:B13) =SUMMER(C2:C13)

Flest =MAKS(B2:B13)

Færrest =MIN(B2:B13)

Tabell 2


tangenten 4/2007 37

Twistbit Antall % Populær

Nugat Crisp 24 11,76 %

Nøtti 13 6,37 %

Daim 42 20,59 % Den mest populære biten

Lakris 10 4,90 %

Marsipan 2 0,98 %

Chocolate Toffee 15 7,35 %

Golden Toffee 3 1,47 %

Banan 8 3,92 %

Japp 30 14,71 %

Toblerone 26 12,75 %

Cocos 18 8,82 %

Caramel 13 6,37 %

Antall 204 100,00 %

Flest 42

Tabell 3


4/2007 tangenten38

Ut fra dette laget vi denne HVIS-setningen:

=HVIS(B2=$B$15;”Den mest populære sorten”;” ”)

Vi eksperimenterte og laget en annen setning som skulle fi nne den minst populære:

=HVIS(B2=$B$16;”Den minst populære sorten”;” ”)

Nå var det bare resultatet fra hele skolen som manglet. Ved hjelp av denne formelen…

=’8A’!B2+’8B’!B2+’8C’!B2+’9A’!B2+’9B’!B2+’9C’!B2+’9D’!B2+’10A’!B2+’10B’!B2

… fant vi det vi ønsket. Her la vi sammen resul-tatet fra klassene 8 a, 8 b … på skolen.

Tabell 3 og søylediagrammet viser preferan-ser for Twistsorter for alle elevene på skolen.

Det som nå gjenstår er å spise opp alle bitene for så å veie søpla. Da fi nner vi nemlig taravekt og kan regne ut nettovekta, og videre fi nne søp-pelprosenten.

Bruttovekt 581,5 gram Søppel i %

Tara 26,2 gram 4,51

Nettovekt 555,3 gram

Tabell 4

Freia lovte 550 gram og det holdt. Men er 4,51 % søppel mye? Vi tenkte at det skulle bli en vel-smakende avslutning, men nye spørsmål presset på. Hva er søppelprosenten på andre matvarer? Bruker noen produsenter mer emballasje enn andre? Eller brukes det ekstra mye/lite på noen bestemte matvaretyper? Her har jeg og elevene en jobb å gjøre …

Christoph Kirfel:

Eksperimentering med matematikk 1 og 2I disse to bøkene blir matematikk spennende, en ser nye sammenhenger og stiller nye spørsmål. Samtidig som bøkene er matematikkfaglige er de også bøker om metode. De konkretiserer en undervisningsmetode der eksperimentet står sentralt. Bøkene kan være aktuelle både i videregående skole og lærerutdanningen.

Eksperimentering med matematikk 1: 275,–ISBN 82-90-898-96-7

Eksperimentering med matematikk 2: 298,–ISBN 82-90-898-28-2

Bøkene kan bestilles fra forlaget:[email protected]

Caspar Forlag AS


tangenten 4/2007 39

Hilde Holte Selland

SkritteljararEg er så heldig å få jobbe litt redusert slik at eg har fri kvar onsdag. Det var ein slik onsdag at eg henta posten og Tangenten låg der saman med lokalavisa. Og trur du ikkje at inne i Tangenten var det ein invitasjon til å motta gratis 20 skrit-teljarar. Då var eg kjapp med å sende ein e-post og blei ein av dei heldige vinnarane.

Eg er ivrig etter å jobbe med matematikk- verkstad og såg difor eit høve til å få eit nytt materiale å jobbe med.

Men korleis skulle ein starte? Kva fag kunne ein knytte det oppimot?

Sjølvsagt matematikk, men kroppsøving og mat og helse er òg aktuelle fag der ein kan nytte skritteljarane. Eg jobbar i 5. klasse med 27 elevar slik at det var ikkje ein teljar til kvar. Difor delte eg klassen i ei jente – og ei gutegruppe. Pro-blemstillingen blei om jentene er i meir aktivi-tet enn gutane. Gruppene fekk prøve teljarane kvar sin dag. Dei fekk teljaren om morgonen og skulle notere inn på eit skjema kor mange steg dei hadde gått ein skuledag. Fyrst måtte ein stille inn teljaren på lengden på steget og antall kilo. Me prata om kor mange steg dei trudde at dei gjekk ein dag. Dei gjetta frå 1000 til 10000. Forsøket synte at dei som til vanleg er i aktivitet hadde fl est steg, både blant gutar og jenter. Dei

elevane som til vanleg er ” stillesittande ” hadde minst antall skritt. Men det var ingen elev som hadde under 5000. Dei fl este hadde 10000 eller meir. Det var kun 6 elevar som hadde mindre enn 10000 steg på ein dag. Som etterarbeid kan elevane setje antall skritt inn på rekneark Då vil eg lage eit ark for gutane og eit for jentene.

Så var turen kome til matteverkstad. Ei gruppe skulle jobbe med skritteljaren. Eg hadde laga til eit oppgåvesett der elevane måtte bruke skritteljaren for å løyse oppgåvene.

Slik var aktiviteten:1. Gå ein runde rundt skulen. Skriv opp i

loggboka kor mange steg det er.2. Gå ein runde til rundt skulen ein gong til.

Skriv opp i loggboka.3. Rekn ut gjennomsnittet. Kor mange steg

får du?4. Dersom eitt steg er 0,5 m, kor mange meter

har du da gått?5. Gå heilt inntil veggen rundt heile skulen.

Kor mange meter er omkrinsen på skulen?6. Gå frå hjørnet på skulen og til idrettshal-

len og tilbake. Kor mange steg blei det? Kor mange meter blei det?

7. Er det lengre å gå rundt skulen enn å gå bort til idrettshallen?

8. Gå rundt symjehall – bygget, heilt inntil veggen. Omtrent kor mange meter er omkrinsen?

Hilde Holte Selland, Gaupne [email protected]


4/2007 tangenten40

9. Kva bygg har størst omkrins, skulen eller symjehall-bygget?

Slik svara ein elev i loggen sin:1. Det var 260 skritt2. Det var 280 skritt andre gongen.3. Gjennomsnittet er 270 steg.4. Eg har gått 135 m.5. Det er 230 m i omkrins rundt skulen.6. Eg gjekk 620 steg og 310 m.7. Nei, det er det ikkje.8. Det er 120 m i omkrins rundt symjehalls-

bygget.9. Det er skulen som har størst omkrins.

Etter at arbeidsoppgåvene var ferdige skreiv eleven:

”Me var på skritteljar. Der skulle me få ein skritteljar kvar og gå ulike distansar. Fyrst skulle me gå rundt skulen og fi nne ut i både skritt, meter og gjennomsnitt. Så til idrettshallen og tilbake og rundt badebygget. Så me lærte om å rekne til gjennomsnitt og steg til meter. Det var moro!”

Ein dag no i haust skulle klassen på fjelltur. Kunne me bruke skritteljarane på turen og kva oppgåver kunne me løyse?

17 elevar fekk kvar sin skritteljar. Dei null-stilte den før me starta å gå. På førehand skulle dei tippe kor mange steg dei skulle gå frå par-keringsplassen og opp til turisthytta. Tala dei

tippa var frå 5000 til 25000. Det var ein strabi-siøs tur me hadde, med mykje regn og mange våte elevar. Då me kom opp til hytta, synte det seg at det var berre 5 elevar som hadde skrittel-jarar som hadde talt. Antall skritt låg frå 6652 til 10460. Me rekna ut gjennomsnittet og det blei 8751 skritt. Så var det å fi nne ut kor mange meter det var.

”Då deler me berre talet på 2” var det ein som sa. Då fekk me 4375 meter. Så var det å gjere det om til kilometer. Ein ny problemstilling kom: Går det an å fi nne ut kor fort me har gått? Dei raskaste elevane brukte 2,5 time opp. Svaret blei at dei hadde brukt ca. 1 time på 2 kilome-ter med jamn stigning. Enda ein problemstilling dukka opp: Kva med forbrenning av kalorier? Men så langt har me ikkje kome. Tanken er å halde fram med å bruke skritteljarane og prøve å knytte dei oppimot faget mat og helse.

Under arbeidet med skritteljarane har det kome opp problemstillingar som:– Gjennomsnitt– Kor mange centimeter?– Kor mange meter?– Kor mange kilometer?– Kor fort går me?– Samanlikne– Gjette– Gjere overslag.– Krav til å vere nøyaktig.– Forbrenning av kalorier– Finne omkrinsen– Store tal, titalsystemet– Aktivitetsnivået til elevane, er det ulikt

mellom gutar og jenter?

Det har vore kjempekjekt å få lov til å jobbe med skritteljarane. No er det andre klassar på skulen som er interesserte i å låne dei. Til og med dei vaksne har spurt om å låne dei for å sjå kor mange skritt ein går ein arbeidsdag. Eg prøvde skritteljaren samstundes som elevane gjekk med dei. Det synte seg at det var vanskelegare for meg å nå 10000 skritt.• Gjennomsnittet var 7500 på ein skuledag.


tangenten 4/2007 41

Del 1 av denne artikkelen vart presentert i førre nummer av TANGENTEN.

Retorisk-, forkorta- og symbolsk-algebra i Vest-EuropaDen første algebraboka i Vest-Europa var, som nemnt i del 1,: Liber Abaci, skriven i 1202 av Fibonacci (1170–1250 e.Kr.) Tidspunktet er kanskje ikkje tilfeldig. Al-Khowârizmîs ”Aljabr” blei omsett til latin nokre tiår tidlegare av Gherardo frå Cremona (1114–1187). Liber Abaci er sett saman med mellom anna ”Aljabr” som utgangspunkt. Liber Abaci gjorde mykje til at det hindu-arabiske titalssystemet vart kjent og innført i Europa. Det vart gjort greie for kor-leis ein skulle rekne med naturlege tal og ein del brøkar. Det vart også gjort greie for korleis dei kunne rekne ut kvadratrøter og kubikkrøter. Lesarane lærde også om korleis dei kunne løyse lineære og andregradslikningar ved regula-falsi og ved algebraiske prosessar.

Døme på bruk av regula-falsi ved likningsløysing:Alt for mange tusen år sidan var Regula-falsi kjent og blei brukt i det gamle Egypt. Nedanfor skal me ta med eit døme frå Ahmes-papyrusen

(tidlegare kalla: Rhind-papyrusen), denne kan daterast til kring 1500-2000 f. Kr. Me skal pre-sentere problem-26 i denne papyrusen:

Ein storleik og dens fjerdedel addert blir 15. Kva er storleiken?

Ved hjelp av moderne algebra, er løysinga rett fram. Me fi nn den ukjende x av likninga:

x + ¼x = 15

som gjev x = 12.Mens skrivaren Ahmes resonnerte for kring

4000 år sidan såleis:

Dersom svaret var 4, (den falske løysinga blei vald slik at uttrykket blei enklast råd er), då ville 1 + ¼ av 4 bli 5. Talet som 5 må multi-pliserast med for å bli 15, er 3. Dersom nå 3 blir multiplisert med den falske løysinga, blir det korrekte svaret 4 .3 = 12.

Skrivaren Ahmes nytta den eldste og truleg den mest populære måten å løyse lineære likningar på – før symbolsk algebra vart innført. Det er denne metoden som blir kalla: regula-falsi. Denne metoden vart framleis brukt i Europa ved slutten av 1800-talet.

Me skjønar at når ein berre hadde retorisk algebra til rådvelde, var regula-falsi ein høveleg metode. Og me ser at den overlevde ei tid etter

Olav K.Fjæra

Aritmetikk og algebra – del 2

Olav K.Fjæra, Bergen


4/2007 tangenten42

at symbolsk algebra blei innført.Negative og imaginære røter som løysingar er

ikkje omtala i Liber Abaci. Det vart heller ikkje innført noko form for forkorta eller symbolsk algebra. Her er all algebra retorisk slik som i al-Khowârizmîs ”Aljabr” og arbeida til Abû Kâmil, som Fibonacci også tok utgangspunkt i (sjå del 1 i førre nummer).

Første bruk av korta algebra i Vest-Europa(Sjå [1], s. 214–215). Me må vente til 1494 før me møter det første steg mot symbolsk alge-bra, forkorting av algebraen, i Europa. Då skreiv Luca Pacioli (c.1445–1517), frå Italia, ei bok: ”Summa de arithmetica, geometrica, propor-tioni et proportionalita”. Denne boka blei kalla: ”Summa”. Her vert det nytta forkorta algebra i stor stil. At denne boka kom på dette tidspunk-tet, er nok ikkje tilfeldig. 31 år tidlegare, i 1463, vart Diofantos sitt bokverk: ”Arithmetica” omsett til latin for første gong, av Regiomonta-nus (1436–1476) (Sjå del 1 i førre nr.) Og det er nok ikkje tilfeldig at Luca Pacioli nyttar nem-ninga ”arithmetica” og ikkje ”algebra” i tittelen for boka si. Det er nok Diofantos sitt bokverk: ”Arithmetica” som har vore utgangspunkt.

Døme på symbol i ”Summa”p: vart nytta som symbol for pluss ”piu”

meir,m: vart nytta som symbol for minus

”meno” mindre,co: vart nytta som symbol for ukjend ”cosa”

ting,ce : vart nytta som symbol for 2.potens

”censo” andre,cu: vart nytta som symbol for 3.potens

”cuba” cube,cece : vart nytta som symbol for 4.potens

”censocenso”,ae : vart nytta som symbol for er lik ”aequa-

lium”, ”aeque” like mykjer: vart nytta som symbol for kvadratrot

”radix” rot,

For å markere forkortingar, vart det ofte sett strek over dei bokstavane som blei nytta, til dømes: ce for ”censo” og m for ”meno”.

Me ser at ”Summa” innfører algebraiske notasjonar nokolunde på same måte som Dio-fantos gjorde i ”Arithmetica” meir enn 1000 år tidlegare. Dette berre understrekar det me har skrive ovanfor at Luca Pacioli truleg har nytta den latinske omsetjinga av ”Arithmetica”, som kom 31 år tidlegare som utgangspunkt for arbei-det sitt.

Luca Pacioli var ein dyktig matamatikar. Han var td. matamtikklærar for Leonardo da Vinci, og. Pacioli og da Vinci reiste mykje saman.

Sidan denne forkorta algebraen har vore utgangspunkt for den symbolske algebraen som vart utvikla i Europa i århundra som fylgde, kan me konkludere med at Diofantos sitt arbeid har vore fundamentet for denne. Om ”Aritmmetica” tapte for ”Aljabr” med omsyn til namneval, så var det Diofantos sitt arbeid som låg til grunn for den symbolske algebraen.

Innføring av symbolJohann Widman, frå Bøhmen, gav ut ei aritme-tikkbok i 1489. I denne boka møter me teikna + og – på prent for fyrste gong. Men her var desse teikna ikkje nytta som operasjonsteikn, men som teikn for å syne auke og minke. (Det kan nemnast at symbola + og – vart nytta før dei kom på prent. Til dømes vart dei måla på tønner for å indikere om dei var fulle eller ikkje.) Sym-bola + og – blei nytta som algebraiske opera-sjonar av den hollandske matematikaren Gielis vanden Hoecke i 1514, men vart kanskje nytta såleis tidlegare. Hoecke gav ut boka ”Aritme-tica” – 51 år etter at Diofantos sitt bokverk ”Aritmetica” vart omsett til latin. Me kan såleis rekne med at operasjonsteikna + og – må vere innførte i Europa kring år 1500.

Det er godt mogeleg at teiknet + kan førast attende til det latinske ordet ”et” dvs. og. Me tenkjer oss fylgjande utvikling:

”et” t ot + (teiknet er ein del av


tangenten 4/2007 43

bokstaven t, ”maksimal stenografi ”).

Luca Pacioli gav i 1494 ut algebraboka: ”Summa”, (sjå ovanfor). Her vert m nytta som teikn for minus, frå det latinske ordet: ”meno”

mindre. Det var vanleg å setje ein strek over bokstaven som representerte forkortinga. Med dette som utgangspunkt kan me tenkje oss fyl-gjande utvikling: ”meno” m –.

Her er det såleis forkortningsteiknet som er blitt til symbol for minus.

Det er gjevne andre forklaringar på korleis teikna + og – er utvikla. Det er td. blitt hevda at minusteiknet kan førast attende til Diofantos og Heron.

Michael Stifel (1487–1567), frå Tyskland, vart i si tid rekna for å vere den beste algebraisten i heimlandet. Den beste boka hans er: ”Aritme-tica integra”, den vart prenta i 1544. Den er delt inn i 3 deler: (1) rasjonale tal, (2) irrasjonale tal, (3) algebra. Så her har me enno eit døme på at ei algebrabok, som vert utgjeven i Vest-Europa kring 300 år etter at ”Aljabr” blei kjend her, får namnet ”aritmetikk” og ikkje ”algebra”. Stiefel har nok vore påverka av den latinske omsetjinga av Diofantos ”Arithmetica”, som kom i 1463, 24 år før Stiefel blei fødd!

Robert Record (ca. 1510–1558), frå Wales, gav i 1557 ut ei algebrabok: ”The Whetstone of Witte”. Her vert vårt moderne teikn for er lik innført. Han grunngav kvifor han innførte teik-net = på fylgjande måte: ”Bicause noe 2 thyngs can be more equalle.” I denne boka vart sym-bola + og – nytta for første gong i England.

Likskapsteiknet er enkelt, men i utgangs-punkt er det ikkje berre enkelt for borna. Nick-son skriv ([5], s. 101–102):

Det blir funne at borna si fortolkning av likskapsteiknet endrar seg og utviklar seg gradvis. Til å byrje med vert likskapsteik-net oppfatta som ein ”kommando” som indikerer at dei tala som er gjevne, må verta påverka, og først seinare knyter borna sam-band mellom kvantitetane sin ”likskap” på

begge sider av teiknet.

At borna diskuterte seg i mellom, synte seg å vera ein viktig del i utviklinga av forståinga av likskapsteiknet. Og læraren si evne til å høyre på elevane, og tilpasse dei varierande nivåa til kunnskapen deira, var viktig for å klargjera vanskane deira, og såleis hjelpa dei til å utvikla forståinga og meininga av funksjonen til likskapssym-bolet.

Christoffer Rudolf, frå Tyskland, gav i 1525 ut ei algebrabok. Her vert vårt moderne teikn for kvadratrot nytta for første gong. Det valet er kanskje gjort, fordi det liknar på ein liten r, for ”radix” (latin) rot.

Francois Viéte (1540–1603), frå Frankrike, var den mest kjende matematikaren i heim-landet sitt i si tid. Den viktigaste boka hans: ”Isagoge in artem analyticem” kom ut i 1591. I denne boka innførte han den praksisen å bruke vokal som teikn for ukjende storleikar og kon-sonantar som teikn for kjende storleikar. Viéte innførte skriveformene: A quadratum for A kva-drert og A cubum for A opphøgd i 3. potens.

Seinare forkorta andre desse skriveformene til: A quad og A cub, og seinare vart stenogra-fi en: Aq og Ac innført. Viéte nytta symbola + og –, men han hadde ikkje noko teikn for er lik, han skreiv: aequatur. Han har ikkje kjent boka til Robert Record, ovanfor, som i 1557 innførte teiknet = for er lik.

Døme på Viéte sin algbra:B5 in A quad – C plano 2 in A + A cub aequatur D solido, eller: B5 in Aq – C plano 2 in A + Ac aequatur D solido, dvs.:

5BA2 – 2AC + A3 = D.

Ovanfor ser me døme på forkorta algebra med restar av retorisk algebra, som vert forbetra undervegs. Og til sist har me symbolsk alge-bra.

I boka ”In artem” gjev Viète reglane for pro-


4/2007 tangenten44

dukt av potensar, og den ekvivalente omfor-minga av likningar på ein måte som minner om dei første sidene i Diofantos bokverk ”Arithme-tica”.

Thomas Harriot (1560–1621), frå England, vart rekna for å vera grunnleggjaren av den algebraiske skulen i dei engelsktalande landa. Om han vart det sagt: ”… the greatest math-ematician that Oxford has produced”. Han gjorde viktige arbeid med løysing av likningar. Han godtok negative røter og komplekse røter på ein slik måte at løysingane hans liknar på løy-singane frå våre dagar. Han oppdaga at dersom a, b og c er løysingane til ei tredjegradslikning, så har me:

(x – a) (x – b) (x – c) = 0.

Han nytta vokalar som symbol for ukjende, slik som Viéte. Han endra potensteikna som var innførte med utgangspunkt i Viéte sine nota-sjonar. Han skreiv aa for aq, aaa for ac, aaaa osv. (Men det vert sagt at det var Michael Stifel som først nytta denne skriveforma i 1549).

Thomas Harriot nytta eit opphøgt punkt som multiplikasjonsteikn, til dømes: 2·3 = 6.

William Oughtred (1574–1660), frå England, skreiv i 1631 ei bok som heitte ”Clavis mathe-maticae” ”Nøkkelen til matematikk”. I algebrabøkene sine la han stor vekt på å bruke symbol. Han innførde meir enn 150 symbol. Men berre 5 har blitt nytta opp til vår tid:

(×) for multiplikasjon, Oughtred publiserte teiknet i London i 1628, men det hadde dukka opp alt i 1618 i eit skrift, der me ikkje kjenner namnet på forfattaren.

Oughtred innførte ( : ) for ein proporsjon, til dømes: a : b = c : d, ( ~ ) for differansen mellom to storleikar, og ”sin” og ”cos” for sinus- og cosi-nusfunksjonane.

Me skal sjå på utvilkinga av symbol for potensar med naturlege tal som eksponentar. Nicole Oresme (ca. 1323–1382) nytta tal for å uttrykkje potensar. Nicolas Chuquet (ca. 1445–ca. 1500) nytta opphøgde tal i ”Le Tri-party en la Science des Nombres”. Men nota-

sjonane hans av til dømes 123 tydde eigentleg 12x 3. Pierre Hérigone (1580–1643) nytta i 1634 skriveforma: a, a2, a3, osv. for potensar i boka ”Cursus mathematicus”. I 1636 gav skot-ten James Hume ut ei redigert utgåve av Viéte sin algebra, der han skriv grunntalet og deret-ter eksponentane opphøgd. (eksponentane var skrivne som romartal, td: 2III), og dermed la han grunnen for vår moderne skrivemåte, som Descartes har fått æra for.

Rene Descartes (1596–1650), frå Frank-rike, gav i 1637 ut boka: ”La gèometrie”, som omhandlar algebraisk geometri. Han innførte den sedvanen me nyttar i dag ved å bruke dei første bokstavane i alfabetet til dei kjende stor-leikane og dei siste bokstavane i alfabetet til å representere dei ukjende

Descartes innførte dei notasjonane for poten-sar, som me nyttar i vår tid. Me fekk den kjende rekkja: x, xx, x 3, x 4,x 5, …

Men det må takast med at Descartes først nytta Viéte sine notasjonar; x, xx, xxx, xxxx, … Og det sette sine spor i at han skreiv: xx for x 2, rimlegvis fordi xx var like lett å skrive som x 2.

Me skjønar at dette er ei stor forbetring i høve til Diofantos, Viéte og Harriot sin sym-bolbruk ovanfor. Det gjekk altså berre 174 år frå Diofantos’ ”Arithmetica”, med forkorta algebra, blei omsett til latin, i 1463, til Descartes, i 1637, fullfører den symbolske algebraen, slik me kjen-ner den i dag.

Johann Rahn (1622–1676), frå Sveits, gav i 1659 ut algebraboka ”Teutsche Algbra”, der det angloamerikanske symbolet for divisjon ÷ vart brukt for første gong. Denne boka vart omsett til engelsk nokre år seinare. Dette divisjonsteik-net vert som kjend nytta på lommereknaren.

Seinare gransking har kome til at det kanskje er John Pell, som redigerte Rahns algebra, som fann opp dette teiknet. Og det høver i tilfelle bra at ein engelskmann innførte det angloame-rikanske symbolet for divisjon.

Teiknet : vart nytta i ein tekst, som vart prenta i London i 1633. Denne boka vart kalla ”Johnssons Aritmetikk”. Men Johnsson nytta


tangenten 4/2007 45

berre symbolet for å indikere brøk, td.: tre fjer-deler vart skrive 3:4. Han nytta ikkje symbolet for operasjonen divisjon.

C. W. Leibnitz (1646–1716), frå Tyskland, nytta teiknet : for både høve og divisjon i 1684 i boka ”Acta Eruditorum”.

Han skreiv boka: ”Characteristica generalis”. Her introduserte han ein universell matematikk, som til dømes G. Boole (1825–1864) arbeidde vidare med i den såkalla Boolske algebraen.

Tidlegare har me sagt at Oughtred inn-førte × som multiplikasjonsteikn. Leibnitz meinte at dette teiknet kunne forvekslast med x som symbol for den ukjende. Dette må også Oughtred ha tenkt på, fordi han nytta . som multiplikasjonsteikn i ein del samanhangar. Men det var Leibnitz som innførte . som mul-tiplikasjonsteikn. Som ein kuriositet kan me nemne at i folkeskulen i Noreg vart × nytta som multiplikasjonssymbol ca. 300 år etter at Leib-nitz drøfta dette problemet. Men for elevane i folkeskulen i Norge var dette ikkje noko pro-blem, for dei fekk ikkje lære om likningar.

ParentesarNicolo Tartaglia (ca. 1506–1557) nytta parente-sen ( ) i 1556 i boka ”General trattato di numeri e misure”. Men det vert og sagt at denne paren-tesen vart nytta så tidleg som i 1544.

Parentesen [ ] vart nytta av Rafael Bom-belli (1526–1573) i ei redigering av ”Algebra” ca. 1550.

Parentesen { } vart nytta av Francois Viéte (1540–1603) i boka ”Zetetica” i 1591.

Generelt om læring av symbol Læring av symbol i aritmetikk og algebra er viktig for borna. Nickson ([5], s. 102) skriv:

Dialog mellom born og born, og mellom born og lærar, er identifi serte som vitale aspekt for borna si læring av symbol. Saeny-Ludlow og Walgrave fann, i 1998, at borna sin dialog med kvarandre og med læraren, auka merksemda av det kognitive

arbeidet med å gjera dei konvensjonelle symbola meiningsfulle.

MacGregor og Price, ([5], s. 110), undersøkte om dei tre kognitive komponentane: (1) symbol, (2) syntaks og (3) tvitydighet, er knytt til suksess ved læring av algebraiske notasjonar.

Undersøkinga deira er basert på å identifi sere ei tilknyting mellom språkdugleik og matema-tiske framsteg. Dei refererer også til ei under-søking av White (1985) som indikerer at svake prestasjonar i skolematematikken er knytte til udugleik i språkleg framgang.

Ein test vart gjeven til 340 elevar i 8. og 9. klasse i Melbourne, og resultata synte at dei som skåra høgt på språktesten, skåra også høgt i algebra. Det synte seg at elevar som hadde feil med algebra, også hadde dårleg utvikla lingvis-tisk medvit.

Denne medvitne merksemda av språkstruk-turar og dugleik til å handsama desse struktu-rane, vil bli manifestert av djupare kognitive prosessar som òg er grunnlag for forståing av algebraiske notasjonar.

Eg vil takke Sigmund Myklevoll, Bergen, og Ole Einar Torkildsen, Volda, for råd og rettlei-ing i samband med utarbeidinga av denne artik-kelen.

Litteratur:[1] Eves, Howard: An introduction to the

history of mathematics, Saunders College Publishing, Fort Worth, Philadelphia, USA, 1990.

[2] Fjæra, Olav K: Litt frå matematikken si soge, Matematikkseksjonen, Bergen Lærar-høgskule, 1992.

[3] Holme, Audun; Matematikkens historie 1. Fra Babylon til mordet på Hypatia. Fagbok-forlaget, Bergen, 2001.

[4] Holme, Audun; Matematikkens historie 2. Fra de arabisk vise til Niels Henrik Abel. Fagbokforlaget, Bergen, 2004.

[5] Nickson, Marilyn: Teaching and Learning Mathematics. Continuum, London, New York, 2004.


4/2007 tangenten46

På jakt etter gode digitale hjelpemidler i mate-matikk ble jeg oppmerksom på nettstedet www.parabel.no. Jeg har brukt parAbel i Reform94fa-gene 1MX og 2MX de siste 3 årene. Jeg mener parAbel er noe det beste som er tilført mate-matikkopplæringen de senere år. Det egner seg godt til motivasjon, som ”lærebok”, variasjons-mulighet, som hjelp til å lære på egenhånd, til repetisjon og til å gjøre matematikk morsomt.

BakgrunnMed utgangspunkt i synkende realfagsinte-resse blant ungdom utviklet Heriot Watt Uni-versity i Edinburg, Scotland, et internettbasert undervisningsopplegg innen realfagene, Scho-lar program. Tidligere Høgskolen i Agder, nå Universitetet i Agder, samarbeider med Heriot Watt University og adopterte noen av ideene. Disse ble videreutviklet, modernisert og til-passet norske læreplaner og samfunnsforhold. Det ble spesielt lagt inn elementer for å moti-vere jenter. Prosjektet ble påbegynt i 2003 og er utviklet og oppdatert slik at kompetansemå-lene i Kunnskapsløftets læreplaner dekkes. Fra 2005 ble parAbel et nasjonalt prosjekt støttet av Kunnskapsdepartementet gjennom Utdan-

ningsdirektoratet. Programmet er gratis. Skoler som ønsker å benytte dette læringsverktøyet må ta kontakt med parAbel prosjektet for å få bru-kerkoder.

Hva er parAbel?parAbel er et nettbasert læringsverktøy i mate-matikk som kan komme i tillegg til den ordi-nære undervisningen. Det er selvinstruerende og gir mange muligheter for læring. parAbel er bygget opp som en lærebok med kapitler og underkapitler med teori, fi gurer og oppgaver. Man kan gå inn på et hvilket som helst emne og lese mer eller ”bla” fra side til side. I tillegg er det en grafi sk kalkulator, et oppslagsverk og lenker til andre matematiske nettsteder. parAbel har en møteplass og et diskusjonsforum slik at elevene kan samarbeide. Det fi nnes en matema-tisk verktøylinje slik at man kan skrive matema-tiske uttrykk. Mye av stoffet illustreres ved hjelp

Guro Mæhlum

parAbel – et nettbasert læringsverktøyErfaringer etter 3 års bruk

Guro Mæhlum, Bjertnes videregående [email protected]


tangenten 4/2007 47

av animasjoner, noe som er en stor styrke for forståelsen og innlæringen av stoffet.

parAbel er utviklet for matematikk Vg1T og 3MX. Det arbeides med å få fagene matematikk R1, R2 og fysikk 1 og 2 tilgjenglige i løpet av kort tid. Det jeg ønsker meg, er at programmet utvikles for matematikk Vg1P, Vg2P, S1 og S2.

Hva trenger man for å bruke parAbel?På de fl este PCer fungerer parAbel bra når man har lastet ned MathPlayer. Dette er viktig for å få lesbare matematiske uttrykk. Denne pro-gramvaren kan lastes ned gratis fra www.dessci.com/en/products/mathplayer/download.htm.

En del elever sliter med å få tilgang på hjem-mePCen. Dette løses enkelt ved å kjøre en kli-entsjekk på PCen. På forsiden av parAbel fi nner man et punkt for brukerstøtte; her fi nnes hjelp til å komme i gang, samt sjekk av PC.

Mine erfaringer med parAbelSom tidligere nevnt har jeg benyttet parAbel i Reform94fagene 1MX og 2MX. Skolen vår har tilgang til parAbel via læringsplattformen its-learning. Vi har lagt lenke til parAbel i hvert enkelt fag, noe som gir elevene tilgang på en enkel måte. Elevene har jobbet på egenhånd, hjemme og under veileding på skolen. Til gjen-nomgang av enkelte deler av læreplanen har prosjektor og whiteboard/lerret blitt brukt. Det å bruke parAbel sammen med whiteboard har gitt store muligheter til å presisere og utdype. Det beste hadde vært å ha en elektronisk tavle, men foreløpig er dette en drøm.

Noen eksempler:Fra 2MXEmne: Å forstå sammenhengen mellom forløpet til funksjoner og fortegnet til deres første- og annenderiverte.

Dette er en ”klikk og dra” oppgave hvor grafene i det grønne kvadratet skal plasseres riktig i for-hold til de i det oransje.

Fra Vg1T (og 2MX):Emne: derivasjon av potenser og den generelle regelen for dette.

Her vises prinsippet ved først å fl ytte eksponen-ten fra sin plass ned foran variabelen ved ani-masjon. Videre vises at 1 trekkes fra eksponen-ten og resultatet regnes ut. Hvis eleven trenger repetisjon, eller ikke så hva som skjedde, kan dette vises fl ere ganger.

Fra 2MX:Emne: det geometriske bildet av vektorer som piler i planet.

For å vise at to vektorer er like selv om de er plassert på forskjellige steder i koordinatsyste-met blir vektorene fl yttet slik at de til slutt ligger oppå hverandre. Animasjonen viser hele fl yt-tingen. Forståelsen blir helt annerledes enn når læreren tegner, pusser ut og tegner på nytt.

Fra Vg1T (og 2MX):Emne: den generelle defi nisjonen av sinus, cosi-nus og tangens


4/2007 tangenten48

Dette er side 2 av animasjonen som viser defi ni-sjonen av sinus, cosinus og tangens ved hjelp av enhetssirkelen. Både fi gur og tekst er animert og det brukes farger som for å illustrere sammen-henger. Her kan man velge å se alt lærestoffet med en gang eller trinnvis.

Teori, oppgavene og illustrasjonene fremstil-les variert. Det er utfyllingsoppgaver, klikk- og draoppgaver. I andre oppgaver må eleven gjøre valg og se konsekvensene umiddelbart. Elevene kan jobbe individuelt i eget tempo med det stof-fet de ønsker. Dette gir en utmerket mulighet for differensiering.

Jeg har ikke benyttet den grafi ske kalku-latoren. Dette fordi elevene foreløpig ikke har fått bruke annet enn en håndholdt lommereg-ner. I følge nettstedet er kalkulatoren forbedret denne sommeren. Når våre elever får mulighet til å bruke PC som hjelpemiddel til eksamen i matematikk, regner jeg med å lære opp elev-ene i SimReal kalkulatoren som er integrert i parAbel.

Konklusjon:Som digitalt læremiddel opplever jeg parAbel som det beste jeg har prøvet. Man kan nå alle kompetansemålene uten lærebok, det er selvin-struerende og det er en morsom måte å under-vise og lære matematikk på. For å gi elevene større utfordringer og mer kunnskap i emnene må man ha fl ere øvingsoppgaver. Disse fi nnes i lærebøkene, eller man kan lage dem selv.

Det geniale med parAbel er animasjonene som illustrerer stoffet slik at man lett kan se sammenhenger. Det forenkler innlæringen av fagstoffet, stoffet framstilles på forskjellige måter og mange av illustrasjonene er morsomme. Vi har ledd mye av enkelte animasjoner og elevene husker fagstoffet nettopp av den grunn.

Jeg anbefaler alle å ta en kikk på www.para-bel.no, se på animasjonene og alle mulighetene som fi nnes i læremiddelet.

Kjøp enkelt lisens til matemania! For 150,– får du tilgang til mate-mania for ungdomstrinnet i ett år.

Du har også alltid tilgang til matemania for mellomtrinnet.

www.matemania.no – et digitalt læremiddel i matematikk

Utviklet ved Høgskolen i Bergen for Caspar Forlag AS


tangenten 4/2007 49

Bernt Michael Holmboes minnepris går inn i sitt fjerde år. Tre ganger har vi løftet frem en matematikklærer i særklasse, og 10 andre lærere har fått hederlig omtale. Nå begynner en ny runde, og vi håper på mange gode kandidater å velge blant.

Holmboeprisen har nå etablert seg og er godt kjent i matematikkmiljøer. Vi har her hatt god hjelp fra fl ere hold. Abelfondet fi nan-sierer prisen og gjør dermed prisutdelingen mulig. Oslo katedralskole lager hvert år et fl ott og verdig arrangement. Kunnskapsministeren signerer diplomet og gir offi siell anerkjennelse til prisen. Abelprisvinneren overrekker prisen og gjør seremonien til en høytidelig begiven-het. Høgskolen i Oslo har bidratt ved våre påføl-gende faglige arrangementer. Tangenten har stilt spalteplass til rådighet til både markedsføring av prisen og presentasjon av vinnerne. LAMIS har bidratt til å løfte frem ”sine” prisvinnere, og forlagene bruker Holmboeprisen ved markeds-føring av sine forfattere.

Men ikke minst har prisvinnerne selv vært verdige ambassadører for prisen og gitt tyngde til den. De første vinnerne, Svein Hallvard Tor-kildsen, Grete Normann Tofteberg og Karl Erik

Bernt Michael Holmboes minnepris er en pris for matematikklærere i grunnskole og videregående skole. Den er oppkalt etter Niels Henrik Abels matematikklærer, som tidlig så Abels store talent og bidro sterkt til at det fi kk blomstre. Prisbeløpet er på 50 000 kr, og det blir delt mellom prisvinneren og skolen han eller hun arbeider ved. Prisen er fi nansiert av Abelfondet og blir delt ut av Norsk matematikkråd.

Per Manne

Holmboeprisen

Per Manne, Norges Handelshø[email protected]

Avtroppende leder for Norsk matematikkråd


4/2007 tangenten50

Sandvold, har alle blitt grundig presentert for Tangentens lesere, og bør også være kjente fra fl ere andre hold. De har vært aktive på mange ulike felt, og har gjennom fl ere år satt preg på arbeidet blant matematikklærere.

I vår fi kk seks lærere, i tillegg til prisvinne-ren, hederlig omtale. Det var Elisabeth Aksnes ved Bryne skule, Anne Berit Holme, Kari Lars-son og Berit Tvedt fra Bergen katedralskole, Ole Harald Johansen fra Hersleb skole og Hans Bie Lorentzen fra Berg videregående skole. Disse har fått et diplom, samt 1000 kr hver. Begrunn-elsene som ble gitt er å fi nne på våre nettsider holmboeprisen.no. Vi peker spesielt på at disse lærerne har markert seg på svært ulike arenaer, og de viser at det ikke fi ns noen fast mal som en prisvinner må passe i.

Når vi nå går ut og ber om nye nominasjoner til neste prisutdeling, så vil vi understreke at det ikke er for den utadrettede virksomheten som prisen har blitt tildelt. Holmboekomiteen legger stor vekt på arbeidet med elevene i klasserom-mene, og annen faglig virksomhet er mer et tegn på et sterkt engasjement for faget som får utløp gjennom ulike kanaler. Det er derfor viktig at dokumentasjonen ved nominasjonene er all-sidig, og at man også får et godt inntrykk av hvordan læreren arbeider i klassen og hva som er spesielt med hans eller hennes undervisning. Her kan uttalelser fra nåværende eller tidligere elever og foreldre være hjelpsomme.

Kandidater som har vært nominert tidligere kan gjerne nomineres på nytt, og vi har fremde-les den tidligere dokumentasjonen tilgjengelig. Vurder i så fall om denne kan suppleres, slik at komiteen får enda bedre innsyn i arbeidet til kandidatene. Holmboekomiteen har anled-ning til å kontakte referansepersoner og samle inn ytterlige materiale. Likevel er det dere som nominerer som har den beste kjennskapen til kandidaten, og som må ha hovedansvaret for å få frem denne kunnskapen.

Nominasjonsfristen har variert noe de første gangene. Denne gangen ønsker vi å motta for-slag innen mandag 14. januar 2008. Skjema og

mer opplysninger fi nner du på nettsidene holm-boeprisen.no.

Til slutt en personlig betraktning: jeg har nå fulgt Holmboeprisen på nært hold siden 2001, da Kari Hag ved NTNU og Nils Voje Johan-sen fra Universitetet i Oslo hver for seg foreslo å opprette en slik pris. Høsten 2003 kom til-budet fra Abelfondet om å fi nansiere prisen, og våren 2005 var vi klare for å dele ut prisen første gang. Det er svært mange som har vært med på arbeidet underveis, langt fl ere enn de jeg nevnte innledningsvis, og jeg har satt stor pris på å få arbeide med alle sammen. Hvis noen skal nevnes spesielt så må det være Anne Marie Astad fra Videnskapsakademiet, som har hovedansvaret for at prisseremonien har blitt så fl ott og velregissert, og som hele tiden har vært full av energi, pågangsmot og godt humør. Det har også vært utrolig spennende å få et slikt innblikk i hva som skjer med matematikkfaget i skolen. Det er derfor litt vemodig at denne artik-kelen i Tangenten blir min siste offi sielle befat-ning med prisen, i hvert fall i denne omgang, da andre personer nå tar over dette ansvaret i Norsk matematikkråd. Jeg ønsker dem lykke til med arbeidet videre, og vil rette en stor takk til alle som har vært med på å gjøre Holmboepri-sen til en realitet.


tangenten 4/2007 51

Når vi dukker ned i det faglige innholdet i boken Da matematikken ble til, fi nner vi godbiter som tidligere tiders regnemåter, måleenheter, Pyta-goras, ligninger og hemmelige koder.

Noen ganger har forfatteren vært litt knapp, som for eksempel der vi kan lese om ordene dusin og tylft. Kanskje det hadde vært naturlig å ta med at tylft ble mest brukt i forbindelse med tømmerstokker? Enkelte steder har jeg undret meg over gjentagelser som nesten gir inntrykk av manglende korrekturlesning. Normalen er imidlertid en stadig veksling i tid og sted – og alltid konsentrert om matematikken.

Hvis vi for eksempel ser mer konkret på hva Holme skriver om Pytagoreernes matematikk, så skriver han først biografi sk om Pytagoras selv. Dette er underholdende skrevet, vi leser for eksempel om hvordan Pytagoras var nær ved å bli solgt som slave i stedet for å fortsette studie-turen sin til Egypt. Mange biografi ske opplys-ninger omkring Pytagoras er usikre, noe Holme også bemerker i starten av kapitlet.

Forfatteren gir en historisk tilnærming til brøkregning sammen med begrepet kommen-

surable størrelser. Ut fra dette antyder Holme at det gylne snitt kan ha vært det første kjente irra-sjonale tallet – før kvadratroten av 2 ble kjent som irrasjonal! Så får det heller være at de tre og en halv sidene om polyedre kommer litt vel brått på, midt i passasjen om irrasjonale tall. Det er jo artig nok å lese om polyedre, 1700-tal-lets Leonhard Euler og hans formel selv om det ikke går frem hvordan pytagoreerne tenkte om emnet.

Dette er en bok som kan gi elever nye og alternative tanker i både tverrfaglige og i tra-disjonelt ikke-matematiske sammenhenger. Her kan elever få en forståelse av matematik-kens rolle innenfor kultur og samfunn, og de kan ha glede av mange konkrete og detaljerte eksempler.

Et tilfelle der en slik matematikkrolle kanskje blir særlig tydelig, fi nner vi i beskrivelsen av de matematiske sidene ved vannforsyningstunne-len på Samos: Her grov arbeiderne ut en cirka 1 km lang tunnel fra hver sin side av fjellet, drøyt 500 år før Kristus, og møtte hverandre med en imponerende nøyaktighet.

Forfatteren veksler i matematisk vanskelig-hetsgrad, noe som gjør det vanskelig å anslå «passende målgruppe». Noen deler av boken har stor interesse som ressursbok for lærere på mellomtrinnet, kanskje i noen tilfeller enda lenger ned, andre deler passer for interesserte

Audun Holme: Da matematikken ble til, Damm & Søn, 2007196 siderISBN: 978-82-04-10154-9Pris: 299,–


4/2007 tangenten52

elever i videregående skole – det gjelder for eksempel en del algebraiske bevis og resonne-ment. Kombinert med en og annen formulering om at noe er lett, gjør at jeg vi si det slik at selv om mange elever kan fi nne stimulerende stoff her, så bør ikke en hvilken som helst elev lese hvor som helst i denne boken på egen hånd.

I begynnelsen av boka forsøker forfatteren å gruble eller «fantasere» sammen med leseren over tidlige spor av matematisk innsikt i men-neskets historie – det blir en form for historie-fortelling med vekt på telling, tall og tallbegrep. Enkelte ganger kan historiefortellingen kanskje virke i overkant fantasifullt, men stort sett like-vel realistisk.

Boken gir inntrykk av å være skrevet fordi forfatteren syntes det var underholdende å skrive om de emnene som er tatt med, ikke først og fremst fordi han vil fylle et behov i skolen. Men for oss lærere kan en slik motivasjon fra forfatterens side – og den nevnte vekslingen i vanskegrad – være positivt. Noen ganger kan vi nærmest slappe av med å lese kjent stoff i en uformell og engasjert presentasjon, andre ganger serverer forfatteren en og annen oppgave – muligens innenfor mindre kjent stoff.

Dette er dessverre en bok som mangler stikk-ordregister, og det reduserer verdien betrakte-lig. Jeg mener forlaget burde ha ventet med å utgi boken til de hadde laget det, en bok som

dette både fortjener og krever et godt stikkords-register!

Mye av teksten faller inn under sjangeren «matematisk rekreasjon». Kanskje passer denne boken aller best for deg som er på jakt etter oppbyggelig lesestoff mens du samler krefter på sofaen. Men da passer den til gjengjeld godt, samtidig som det er stor sannsynlighet for at du får med deg inspirasjon og noen ideer til egen undervisning etter hvert som du leser.

Hans Jørgen Riddervold


Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 53

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringenRealfagbygget A4, NTNU7491 TrondheimTelefon: +47 73 55 11 42Faks: +47 73 55 11 [email protected]

Besøkssenteret i matematikk ved Høgskolen i VestfoldLisbet Karlsen

Et ønske om en samarbeidsarena for matematikkundervisningBesøkssenteret ved Høgskolen i Vestfold har kommet i stand fordi noen ildsjeler, både i ledelsen og i matematikkseksjonen, ønsket å skape et sted der studenter, lærere fra prak-sisfeltet og lærere fra høgskolen kunne møtes for å diskutere og utvikle god matematikk-undervisning. Vi ville ha et sted der elever kan komme og få noen artige og menings-fulle timer med matematikk. De første ideene dukket opp allerede i 2002, to år etter sto rommet klart og vi gjennomførte vårt første pilotprosjekt med elever våren 2005.

I løpet av de to siste årene har vi hatt mange elever på besøk. De kommer til et nokså vanlig undervisningsrom, som Besøkssenteret må dele med andre fag og med vanlig høgskole-undervisning, men som er innredet med fem arbeidsstasjoner, en verdensdel i hver stasjon. Vi møter alle elevene i midten av rommet der vi presenterer temaet læreren har ønsket for

besøket, og der vi som regel gjennomfører et lite rollespill for at elevene skal komme raskt inn i temaet. Etterpå deles elevene i fem grup-per som går til hver sin verdensdel for å utfor-ske temaet fra fem ulike vinklinger. Etter en god arbeidsøkt på en stasjon, samles alle elev-ene til en presentasjon av det de har funnet ut, og til en refl eksjonssamtale rundt det de har oppdaget eller lært. Vi legger vekt på utforskende aktiviteter som kan møte målene i LK06. Vi legger også vekt på at elevene ved hvert besøk skal få uttrykke seg både muntlig og skriftlig.

I den grad det er mulig, knytter vi aktivi-tetene til den verdensdelen elevene er i. Med de yngste barna kan det for eksempel være at de jobber med addisjon og subtraksjon knyt-tet til lekedyr som hører hjemme i disse lan-dene. Vi har for eldre elever opplegg om ulike tallsystemer som er lett å plassere i tilhørende verdensdel. Men det viktigste er at aktivite-tene gir mulighet for utforsking, for samtale og diskusjon, og gjerne for hypotesetenking og bevisførsel.

Vi ønsker at senteret skal være et levende senter som stadig er i utvikling. Derfor har det i prosjektarbeidet vært viktig å ha med representanter fra alle grupper som er opp-tatt av god matematikkundervisning; lærere fra praksisfeltet, høgskolelærere, og studen-ter. Vi har fått støtte til prosjektet fra mange


Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen54

instanser, fra Høgskolen i Vest-fold, fra Norges forskningsråd, fra Utdanningsdirektoratet gjennom Fylkesmannen i Vest-fold og ikke minst fra Nasjonalt

senter for matematikk i opplæringen.

Et eksempel fra geometriEt opplegg vi har brukt for elever på ungdoms-trinnet fokuserer på sammenhengen mellom lengde, areal og volum. På de ulike stasjonene har vi hatt følgende aktiviteter:• Bygget sylindere (i Oseania hvor vi har en

sylinderformet didgeridoo)• Brettet kuber (i Asia, hvor origami hører

hjemme)• Bygget esker (i Amerika – gaveesker)• Brette A4 kartonger (i Europa – A4-for-

matet kommer fra Tyskland)• Inngjerding for elefanter (i Afrika – kun

to dimensjoner)

På alle stasjoner har elevene gjettet på volum før de har målt. Videre har oppgaven vært å fi nne ut hvor stort volumet blir dersom alle sider halveres. Også her har de gjettet først. Det har vært spennende å følge elevene i arbei-det og se hvordan hypotesene endres under-veis. De fl este gjetter først at volumet halveres. Når de, for eksempel på eskestasjonen, klargjør arket for å klippe til så sidene blir halverte, endrer de ofte til at det nye volumet blir en fjerdedel fordi de ser fi re små kvadrater. Når esken begynner å ta form, endrer de fl este sin hypotese igjen før de heller ris i for å sjekke. I den felles refl eksjonen til slutt, er det tydelig for elevene å se sammenhengen på tavla, der alle gruppene har tegnet og skrevet matema-tiske sammenhenger, for eksempel

Viktig for elever i grunnskolen, studenter, lærere i praksisfeltet og lærere ved Høgskolen i VestfoldMålet er at studentene her skal ha en alternativ praksisarena, der de under veiledning fra høg-

skolens lærere får prøve ut teoriene de jobber med til vanlig. Det får de selvfølgelig også i vanlige praksisperioder, men der skjer så mye annet. Vi ønsket oss et sted der studentene i en kort periode kan konsentrere seg fullt og helt om matematikkundervisningen.

Videre er målet at lærere fra praksisfeltet skal kunne bruke senteret for å få inspirasjon til egen undervisning og for å delta i utvik-lingsarbeidet og diskusjonen rundt hva god matematikkundervisning er. Så langt har de aller fl este av lærerne som har vært på besøk med klassene sine, også deltatt i et større etter-utdanningsprogram ved høgskolen.

Dessuten er målet at Besøkssenteret skal være et sted der det er mulig å drive forsk-ning på matematikkundervisning. Vi er i år tre lærere fra matematikkseksjonen som har FOU-midler til dette.

KlassebesøkVi tar imot klasser på to måter, enten som et studentprosjekt der læreren kan ønske seg et hvilket som helst tema, eller ved at læreren bestiller et tema fra en samling ferdige opp-legg. I den siste kategorien er det lærer fra høgskolen som har ansvaret, med studenter som hjelpere. Uansett form har høgskole og praksisfelt god kontakt før besøket. Læreren som kommer skal kjenne senteret og hvordan vi driver, og temaet som velges skal ha tilknyt-ning til det elevene jobber med på skolen i den aktuelle perioden. Vi ønsker et samarbeid med praksisfeltet og ikke kun en happening.

Alle matematikkstudenter på allmenn-lærerutdanningen gjennomfører nå et prosjekt i senteret, både de på grunnutdanningen og de som tar videreutdanning. Et prosjekt innebæ-rer både planlegging, gjennomføring, evalu-ering og rapportskriving. I planleggingsfasen må studentene samarbeide med de aktuelle lærerne for at opplegget deres skal passe til de elevene som kommer. I gjennomføringsfasen er alltid to studentgrupper til stede. Den ene har ansvar for det som skjer, mens den andre



observerer. Dette gir lærerike samtaler i etter-kant.

Har vi lyktes så langt?Hvordan har vi så lyktes med våre mål så langt? Er det verdt å satse videre på dette pro-sjektet? Vi har gjennomført fl ere små under-søkelser underveis i arbeidet, både mot stu-denter, mot elever og mot lærere. Rapportene fra studenter som har gjennomført prosjekter med elever i senteret er omtrent entydig posi-tive. En del studenter uttrykker begeistring. Her får de kanskje se hvordan elever som vanligvis ikke sier så mye, blomstrer opp når de får praktiske oppgaver. Her får de kan-skje se hvordan teoretisk sterke elever sliter med å omsette det de kan i praksis. Og de får kjenne på kroppen hvilke utfordringer en utforskende, problemløsende tilnærming til matematikkundervisningen innebærer. De får også erfare utfordringene som følger med refl eksjonssamtaler med elever. Hvordan kan de få elevene til å oversette det de har funnet ut i de utforskende aktivitetene til et matema-tisk språk? Hvordan knytte det de har funnet ut til kompetansemålene i LK06?

Vi har spurt lærere hvilken betydning et slikt senter kan ha for dem. Svarene er ulike. Noen svarer at de her får støtte til den måten de selv driver undervisningen på. En del sier de får inspirasjon til å drive en mer elevaktiv undervisning, eller de får tips til oppgaver og aktiviteter knyttet til bestemte kompetanse-mål fra LK06. Mange synes det er nyttig å se enkelt materiell i bruk, ikke så mye til kon-kretisering, men i større grad til utforsking. Noen synes ikke de får så mye mer ut av det enn en artig matematikkdag med sine elever. Et par ganger har besøkene vært mislykket, fordi kommunikasjonen mellom de involverte parter ikke har vært god nok på forhånd, slik at opplegg har vært for lett for elevene.

En klar indikasjon på et vellykket besøk er blide og positive elever. Det ser vi nesten alltid. En del sier de har lært noe nytt. En del sier

de har blitt sikrere på et begrep eller en sammenheng. De aller fl este sier de har hatt en fi n dag, og at de gjerne kommer igjen. Elever fra 4. trinn – 10. trinn blir bedt om å skrive ned hva de vet om det aktuelle temaet når de kommer. Før de går hjem får de den samme oppgaven igjen. På disse ser vi tydelig om vi har lyktes med å nå fram til elevene eller ikke ved det aktuelle besøket.

Vi ønsker en kontinuerlig utviklingVed hvert besøk setter vi av tid til en refl ek-sjonssamtale med alle de voksne involverte. Hva fungerte bra? Hvorfor ble Kari så ivrig? Hva var det som fi kk Per til å engasjere seg mer enn vanlig? Hva fungerte ikke så bra? Hvilke grep bør vi prøve neste gang, i senteret eller ute i skolen, for at matematikkunder-visningen skal bli enda bedre?

Det er viktig å påpeke at det er et mål å få i gang en diskusjon om god matematik k-undervisning ved hvert besøk. Senteret skal være en treningsarena, en inspirasjonsarena og en forskningsarena, men utviklingsaspek-tet er også svært viktig.

Framtid?Fortsatt er vi i en prosjektfase, og vi er avhen-gig av prosjektmidler fra ulike instanser for å komme videre. Målet vårt er at vi i løpet av et års tid skal være over i drift. Vi jobber derfor intenst dette skoleåret med å se på ulike modeller som gjør det mulig å drive senteret også i framtida, uten prosjektmidler.

Dessuten ønsker vi å konsentrere forsknin-gen mot de utforskende aktivitetene og hvor-dan elever kan veiledes til å bygge bro mellom aktivitetene og den matematiske teorien.



Lærer elevene bedre ved bruk av stegark i

matematikk?Mona Røsseland og Ingvill Merete Stedøy-Johansen, Matematikksenteret

Mange skoler har begynt å arbeide etter såkalte stegarkmodeller i matematikk. Blant våre res-surslærere har det pågått en diskusjon angå-ende bruken av slike stegark. Matematikksen-teret mener det er viktig å diskutere både selve ideen med og bruken av slike stegark, og stiller spørsmål ved den faglige kvaliteten og didak-tiske verdien av dem. Vi ønsker derfor å drøfte noen av problemstillingene her.

Det fi nnes mange ulike varianter av ste-gark og mange bruker begrepet målark. Det kan virke som om disse to begrepene brukes om hverandre, og mange mener de beskriver samme sak. Andre igjen har gjort et skille mellom dem. Uansett er begge varianter bygget opp ut fra et prinsipp om å tolke og fi noppdele kompetansemålene i LK06 til mer spesifi kke målformuleringer for hvert trinn. Hvis vi skal sette et skille mellom stegark og målark, kan det være at stegark-modellen setter kompetan-semålene inn i nivåer eller steg. De følger da en ide om at elevene skal nå et kompetansenivå før de kan gå videre til neste nivå. Vi tolker målarkene som noe mindre rigide i forhold til dette med nivå, og at en da mener at kompe-tansemålene er noe som elevene skal nå i løpet av f.eks et årstrinn.

Det er veldig bra at det settes mer fokus på elevenes læringsmål. Evalueringer etter L97 viser at manglende faglig fokus på og sammen-heng i læringsarbeidet har vært et svakhetstegn i norsk matematikkundervisning. Det blir da også hevdet at nettopp dette er den viktigste

grunnen til Norges dårlige resultater i PISA og TIMSS (internasjonale komparative studier i barns matematikkunnskaper). Det viser seg at det er lite systematisk og oppsummert refl ek-sjon rundt hensikten med de ulike aktivitetene i matematikkundervisningen, og det brukes lite tid til avrunding og oppsummering med elevene etter at aktivitetene er gjennomført. (Klette, 2003).

Stegarkene og målarkene har til hensikt å tydeliggjøre målene, noe som vil være til hjelp både for lærer, elev og foreldrene. En av våre ressurspersoner skriver følgende:

”Elevene og foreldrene ble opptatt av målarkene. De fi kk en kopi som de hadde hjemme. Mange foreldre takket for målar-kene og syntes at dette gjorde det lettere for dem å engasjere seg i barnas skolear-beid.”

Ideelt sett vil også de konkrete målformule-ringene gjøre det lettere å kartlegge elevene, og ikke minst følge deres utvikling og dermed enklere gi tilpasset opplæring. Den store utfor-dringen er å lage målark som er i tråd med intensjonene i læreplanen. Det gjelder både i forhold til kompetansemålene og beskrivelsen av hvordan læring i matematikk samtidig skal bidra til utviklingen av de fem grunnleggende ferdighetene: lesing, muntlig, skriving, regning og digitale ferdigheter.

Gir stegark bedre tilpasset opplæring?Det er lett å forstå at mange rektorer har grepet disse stegarkene så begjærlig, for nå kan de til-synelatende på en enkel måte få bedre oversikt over hva elevene skal lære. Det ligger en for-ventning om at modellene kan gi god innsikt i hver enkelt elevs kompetanse. Men hvorfor er det da så mange matematikklærere som hen-vender seg til oss i fortvilelse over disse stegar-kene? Er det fordi de har erfart noen ulemper med disse modellene som kanskje ikke er så enkelt å se for en som ikke kjenne matema-



tikkfaget og målene med skolens matematikk-opplæring? Det er ikke opplagt at rektorene vet hva som ligger i begrepet ”kompetanse i mate-matikk” (Se Niss, M. 2002).

Vi skal her diskutere noen utfordringer med stegarkmodellene. Å lage en detaljert liste over hva elevene skal lære i matematikk er vanske-lig, for ikke å si umulig. Faren er stor for at en lager forenklede modeller for elevenes faglige utvikling. For eksempel legger de stegarkene vi har sett stor vekt på fakta og ferdigheter, mens de så å si ikke nevner mer overordnete kompetanser som evne til problemløsning og kommunikasjon. Grunnen til dette kan være at det er mye lettere å konkretisere fakta og ferdigheter, og det er lett å lage oppgaver for å teste dem. Slike faktaorienterte stegark vil kun dekke deler av læreplanen. De vil ikke ha i seg et utvidet kompetansebegrep.

Stegarkmodellene bygger på en ide om at elevene utvikler sin matematiske kompetanse i fastlagte trinn eller steg. Da forventer en at elevene tilegner seg lærestoffet i en bestemt progresjon, først steg en, og så kan de gå videre til steg to. Dette bygger igjen på et fagsyn som sier at matematiske begreper, ferdigheter og forståelse må læres i en helt bestemt rekke-følge, noe som heller ikke medfører riktighet. Tanken er at elevene arbeider med det lærestof-fet som til enhver tid samsvarer med det steget de befi nner seg på. Dette blir beskrevet som tilpasset undervisning. Fra forskning vet vi at barns kompetanse i matematikk IKKE utvikles i identiske trinn. De ulike elevene følger svært ulike utviklingsveier. I en gruppe vil det derfor kunne være svært få som utvikler sin mate-matikkompetanse i den rekkefølgen som ste-garkene foreskriver. Ved å knytte undervisnin-gen svært tett til stegark, vil en dermed kunne oppnå at undervisningen ikke er tilpasset de enkelte elevenes utvikling. Altså det motsatte av hovedintensjonen med stegarkene.

Arbeid med stegark medfører også en stor fare for at matematikkopplæringen blir indi-vidualisert til fordel for læring i fellesskapet.

Etter Norges dårlige resultat på de internasjonale testene vi refererte til ovenfor, ble det satt i gang omfattende forskning for å fi nne mulige årsaker. Det viser seg at matematikkundervisningen i Norge preges av at elevene sitter mye og arbeider alene med oppgaver, såkalt stilleregning. Mens undervisningen i land som gjør det godt i disse testene i langt større grad kan beskrives med at elevene diskuterer matematiske problemstillin-ger med hverandre, styrt av læreren, og hører på at lærer forklarer og styrer undervisnings-forløpet. Fordelen med den mer tradisjonelle klasseorganiseringen er at elevene kan lære av hverandre og at læreren får bedre anledning til å fungere som faglig leder, igangsetter og inspirator. I tråd med uttalelsene fra Haug (2006) som har sett på det meste som har vært gjort innen tilpasset opplæring i Norge, er det ingen grunn til å tro at det å bryte opp klasse-fellesskapet og la hver enkelt elev arbeide med individuelle oppgaver og lærestoff, automatisk gir tilpasset opplæring.

Forskning (Clark 1997) viser at god mate-matikkundervisning kan beskrives ved at lærerne gir en innledning til nytt fagstoff i samlet klasse/gruppe, og elevenes tidligere erfaringer hentes fram og fagstoffet knyttes til livet utenfor skolen. Læreren gir grundige forklaringer, som eventuelt utdypes ut fra elev-enes respons. Han bruker varierte uttrykksfor-mer for samme begrep og lar elevene utveksle erfaringer. Hver time og hver aktivitet blir oppsummert for å trekke fram og belyse de vesentlige matematiske poengene i det elevene har gjort. Alt dette er vanskelig eller umulig hvis elevene arbeider hver for seg eller i sepa-rate smågrupper.

Kan stegarkene hjelpe oss i arbeidet med å fi nne ut hvilken kompetanse elevene har, slik at vi kan veilede dem til å sette nye mål og gi tilpasset opplæring? En av våre ressurspersoner skriver følgende:



”… Men nå skal jeg altså bruke ”Jeg kan”-ark i undervisningen. Dette er satt opp som en vurde-ringsmåte vi må bruke. Elevene skal altså få disse arkene, og så

skal de fargelegge gule eller grønne trafi kk-lys ettersom de kan ulike ting delvis eller fullstendig. Rektor sier at vi skal se på disse stegarkene når vi lager mål i faget, for at elevene skal ”styres” mot grønt lys.”

Det er vanskelig å vurdere om en elev har nådd et mål eller ikke, siden det er mange faktorer som avgjør om en elev klarer å løse en oppgave. Vi vet at en del skoler har laget avkryssings-skjema for måloppnåelse, og at disse brukes blant annet i forbindelse med elevsamtaler. Det kan kanskje fungere fi nt, men vi har lyst til å beskrive en situasjon Mona opplevde i juni. Sønnen på niende trinn, skulle ha matema-tikktentamen, og hun skulle hjelpe han med forberedelsene. De gikk gjennom sjekklisten fra læreren og sønnen krysset svært velvillig av for ”Dette kan jeg” på alle målene. Han fi kk 3 på prøven!

Det er ikke alle delene av den matematiske kompetansen som kan måles like lett. Det er vanskelig å vurdere tankestrategier i problem-løsningsoppgaver, evnen til å se matematikk i praktiske situasjoner, evne til å omsette mer teoretisk matematikk til pratiske eksempler. Det kan også være vanskelig å fi nne ut om en elev virkelig har forstått eller om det bare er en teknisk ferdighet som er lært utenat, uten forståelse. For eksempel: En tredjeklassing mestrer oppstilte stykker med addisjon og sub-traksjon med tresifrete tall uten tieroverganger. Men det er ikke sikkert han har knekket koden for posisjonssystemet. Det er en sjanse for at han ser hver kolonne isolert (hvis tallene er skrevet opp under hverandre) og adderer eller subtraherer tallene fra 0 til 9.

Når vi bruker stegark og målark, har vi et ønske om å fi nne ut om målene er nådd. Det kan da bli fristende å lage mål som lett lar seg

teste. Dermed har vi med en gang redusert matematikkfaget til noe langt mindre omfat-tende enn det faktisk er. Faren er da at elev-ene oppnår dårligere og snevrere kompetanse i matematikk med stegark enn uten stegark, for de fl este vil legge undervisningen sin så tett opp til målene på stegarkene som mulig.

KonklusjonAlle matematikklærere må tolke målene i lære-planen og fi noppdele dem i ulike delmål. Dette må gjøres i lys av at målene er kompetansemål. Det må tas hensyn til at alle matematiske begrep og sammenhenger skal forstås, nødven-dige ferdigheter skal læres og automatiseres, de ulike begrepene og ferdighetene skal kunne anvendes på nye og ukjente problemstillinger. Elevene skal lære å kommunisere matematiske ideer skriftlig og muntlig, og de skal kunne resonnere og tenke matematisk.

Hvis steg-/målarkene kan brukes til å gi lærerne bedre innsikt i læringsmålene er det bra, så lenge målene er omfattende og i tråd med læreplanen Det er ikke mulig hvis målene er kortfattede og forenklede, slik de ofte er når de skal fungere som mål som skal kunne testes på skriftlige prøver. Det er meget uheldig, eller direkte læringshemmende, hvis målene plasseres i nivåer som man forventer at elevene skal følge. Derimot er det bra hvis lærerne får økt innsikt i elevenes kompetanse. Dette krever mange former for vurdering, skriftlig og muntlig, individuelt og i grupper, av ferdigheter og pro-blemløsning osv. En slik omfattende vurdering må inngå i undervisningen, ikke erstatte den.

KildehenvisningClarke, D.M (1997 The changing role of the

mathematics teacher. Journal for Research in Mathematics Education, 28 (3), 278–308.

Haug, P. (2006) Begynneropplæring og tilpassa undervisning –kva skjer i klasserommet? Caspar Forlag AS




Gode, gamle kenguruoppgaver fra tidligere årAnne-Gunn SvorkmoNorge deltok i Kengurukonkurransen for første gang i 2005. Sverige var noe tidligere ute enn oss og var med allerede fra 2000. På nett-sidene til NCM (Nationellt Centrum för Mate-matikutbildning) dvs. det svenske matema-tikksenteret, fi nnes kenguruoppgaver fra 2000 fram til 2004. Her er det mange fi ne oppgaver som for eksempel kan brukes som ukas nøtt, som samarbeidsoppgaver eller rett og slett for å trene til neste års konkurranse. Oppgavene på disse sidene må selvfølgelig oversettes før de kan brukes. Selv om oppgavene er delt inn i klassene Ecolier(4.–5. trinn) og Benjamin (6.–8. trinn), kan de brukes om hverandre. Flere av oppgavene fi nnes i begge oppgave-settene, men med ulik poenggiving. Merk at oppgave 1–6 i Ecolier er tre-poengsoppgaver, 7–12 er fi re-poengsoppgaver og oppgave 13-18 er fempoengsoppgaver. Det samme gjelder for Benjamin, men da gjelder inndelingene for oppgave 1–8, 9–16 og 17–24.

Under er et utvalg av oppgavene fra denne perioden. Fasit er ikke merket på oppgavene slik at det er mulig å kopiere siden.

Ecolier 2003 oppgave 15 Torbjørn liker å regne ut siffersummen på den digitale klokka si. Når klokka er 21.17 blir sif-fersummen 2 + 1 + 1 + 7 = 11. Hva er den største siffersummen han kan få?

A: 12 B: 19 C: 24 D: 25 E: 36

Benjamin 2003 oppgave 4 Om hver liten rute har areal lik 1 cm2, hvor stort areal har bokstaven ”N”?

A: 14 cm2 B: 16 cm2 C: 17 cm2 D: 18 cm2 E: 42 cm2

Benjamin 2002 oppgave 4Hvilke tall skal settes inn i rutene med spørs-målstegnene?



?

1317

6710

13

?

A: 2 og 14 B: 2 og 30 C: 3 og 221 D: 4 og 14 E: 4 og 30

Ecolier 2004 oppgave 10Vi vil at det skal være akkurat halvparten så mange svarte ruter som hvite. Hvor mange hvite ruter må vi fargelegge svart?

A: 2 B: 3 C: 7 D: 12 E: 19

Ecolier 2004 oppgave 16 Hvilket av regnestykkene under gir ikke samme svar som 671 – 389?

A: 771 – 489 B: 681 – 399 C: 669 – 391 D: 1871 – 1589 E: 600 – 318

Nytt for Kenguru 2008Nå kan også elever på 8. trinn delta i konkur-ransen. De vil delta i klassen Benjamin. Påmel-ding skjer via nettsidene til Matematikksente-ret. Det er mulig å melde seg på allerede nå og helt fram til konkurransen starter. Den inter-

nasjonale Kengurudagen er alltid den tredje torsdagen i mars. Til neste år er denne dagen sammenfallende med skjærtorsdag. Derfor blir første konkurransedag og oppstarten på Kenguru 2008 allerede 27. mars.

Mer opplysning om konkurransen fi nnes på Matematikksenteret sine nettsider: www.matematikksenteret.no. Gamle, gode kengu-ruoppgaver fra perioden 2000–2004 fi nnes på www.ncm.gu.se.

FasitEcolier 2003 oppgave 15: C dvs. 24Benjamin 2003 oppgave 4: D dvs. 18 cm2

Benjamin 2002 oppgave 4: B dvs. 2 og 30Ecolier 2004 oppgave 10: C dvs. 7Ecolier 2004 oppgave 16: C dvs. 699 – 391

Klette, K, (2003) Evaluering av Reform 97. Klasserommets praksisformer etter Reform 97 Unipub AS

Niss, M. (2002) Kompetencer og matematik-læring, Ideer og inspiration til udvikling av matematikundervisning i Danmark. Udda-nelsestyrelsens temahæfteserie nr 18, 2002



Landslaget for matematikk i skolen 61

LAMIS

Landslaget for matematikk i skolenv/Randi Håpnes

NTNU, Realfagbygget, A47491 Trondheim

[email protected] · www.lamis.noBankgiro: 7878 0500882 Organisasjonsnr: 980 401 103

Fra formålsparagrafen

Det overordnede målet for Lands laget for matematikk i skolen er å heve kvaliteten på matematikk undervisningen i grunnskolen, den videregå-ende skole og på universitet/høyskole.

Landslaget skal stimulere til kontakt og samarbeid mellom lærere på ulike utdannings nivåer og mellom lærere og andre som er opptatt av matematikk.

Organisasjonssekretær

Svein H. [email protected]+4773551125 / +4799560580

Styret for LAMIS

Fra barnetrinnetTrine Foss Pedersen, DrammenKari Haukås Lunde, BryneFra ungdomstrinnetGrete Tofteberg, VålerHugo Christensen, NotoddenFra videregående skoleJan Finnby, LillehammerSidsel Ødegård, Hundvåg (leder)Fra høyskole/universitetLisbeth Karlsen, VestfoldKristian Ranestad, Oslo

Medlemskontingent

Skole/institusjon 580,–Enkeltmedlem 330,–Husstandsmedlem 150,–Studenter 200,–Tangenten inngår i kontingen-ten. (Gjelder ikke husstands-medlemmer.)

080808Merk deg datoen og sett av tiden fram til og med 11.08.08. Da kan du delta på det 11. som-

merkurset LAMIS arrangerer. Tittelen er ”Abelske spirer”. Se nærmere omtale side xx


Landslaget for matematikk i skolen62

Lederen har ordet

Høsten er godt i gang, og mange av oss er nå ferdig med høstferien. Det har som vanlig vært en hektisk oppstart, og mye som skal på plass. Til glede for noen og forargelse for andre er de nasjonale prøver tilbake. De nasjonale prøver så dagens lys i 2005 og ble iverk-satt i stor skala. Evalueringen i etterkant viste at disse ikke fun-gerte tilfredstillende. og det ble dermed bestemt at disse skulle forbedres. Denne høsten er de tilbake i sin nye form, og prøves ut på 5. og 8. trinn. Det som gjør det annerledes denne gangen er at det nå skal være en test i de grunnleggende ferdigheter, ikke kun en prøve i matematikk. Resultatene skal heller ikke offentliggjøres på samme måte som før. Eleven og foresatte får tilbakemelding som før, de har også krav på å få vite hvordan resultatene blir fulgt opp i opp-læringen. Prøveresultatene på skolenivå vil bare være tilgjen-gelig for rektor og skoleeier. Bare resultater fra kommuner, fylker og hele landet vil offentlig-gjøres av Utdanningsdirektora-

tet. På denne måten vil vi unngå debatten som var rundt de for-rige nasjonale prøver, der ran-gering av skoler ble et aktuelt tema i dagspressen.

La oss håpe at de nasjonale prøver nå blir benyttet peda-gogisk. Den enkelte lærer og skole bør stille seg spørsmålet hvordan resultatene skal kunne brukes for å forbedre kvaliteten på opplæringen. Det er ikke godt nok å kartlegge kun for å kartlegge. Det er ikke nok å fast-slå hvordan situasjonen er, men resultatene må brukes aktivt av den enkelte lærer for å kunne igangsette de rette tiltakene for økt læring. Mye tid og penger er brukt på disse prøvene, så la oss håpe de nå fungerer som de skal og blir brukt på den måten de er tenkt.

For oss i den videregående skole er ikke temaet nasjonale prøver aktuelt i år, men vi har likevel nok av utfordringer. Mange elever stiller nå med egne bærbare PC-er klar til å innta klasserommet og på vg1 skal de få gratis skolebøker. Det har vært store problemer med

distribueringen, så frustrasjo-nen har vært, og er vel enda, stor. Vi må bare senke skuldrene og prøve å ikke la oss frustrere over de tingene vi ikke rår over selv. I forhold til PC bør vi stille oss de viktige spørsmålene når og hvordan skal vi bruke pc best mulig for å oppnå læring hos eleven. Her henviser jeg gjerne til C. Kirfel sin utmerkede leder i Tangenten 3/2007, der han tar opp mange av våre dagsaktu-elle dilemmaer. Denne diskusjo-nen regner jeg med vil rulle og gå også i tiden som kommer. Når det gjelder lærebøker som skulle ha kommet, men som likevel ikke gjør det, er det lite vi kan gjøre med. Vi får bare våge å løsrive oss fra bøkene og undervise etter læreplanen. Med den tilgangen vi har på nett og PC-er, samt alle krea-tive matematikksjeler ute i sko-lehverdagen, skulle det være mulig å klare å oppnå målene i læreplanen også uten bøker. For videre inspirasjon kan jeg jo selvsagt henvise alle til både LAMIS og Tangenten, der vi har




Vi har lagt nok et vellykket som-merkurs bak oss, og planleggin-gen av neste års sommerkurs er i full gang. Sommerkursene har beholdt samme mal gjen-nom alle år. Fellesforedrag og et variert utvalg av verksteder skal sørge for at det hver kursdag er noe å hente for alle. Det kan trygt sies å være spesielt når en ser på den bredt sammen-satte forsamlingen som møtes til kurs. Deltakertallet har arbei-det seg jevnt og trutt oppover og ligger på omkring 200.

En varm takk

La meg først få rette en varm takk til de mange lærerutdan-nerne som har bidradd til at sommerkursene til LAMIS helt fra starten av har holdt høy kvalitet og har fått ord på seg for å være både sosialt hygge-lige og faglig inspirerende. Selv betrakter jeg de mange lærer-utdannernes bidrag som helt avgjørende og de første årene hadde vi neppe overlevd uten denne betydelige innsatsen.

En ønsket utvikling?

Etter hvert har fl ere praktise-rende lærere fra ulike nivå i sko-

lesystemet satt et sterkere preg på sommerkursene. Opprettel-sen av Matematikksenteret og etableringen av et system med ressurspersoner har forster-ket denne utviklingen. Mange av verkstedholderne er enten ressurspersoner eller prakti-serende lærere som har sam-arbeidet med et høyskolemiljø og skaffet seg erfaringer de deler med andre gjennom et verksted. Fra en lærerutdanners synspunkt må det være en fryd å se en slik utvikling, og dere er mange som fortjener ros for at dere på denne måten fremstår som inspirerende og dyktige matematikere og didaktikere og slik indirekte bidrar til å holde liv i og videreutvikle både LAMIS og sommerkursene til LAMIS.

Men dere er savnet!

Noe har heldigvis skjedd med sammensetningen av kursdel-takere på de ti årene som er gått. Om jeg ikke husker helt feil, var det ca. 30 lærerutdan-nere og ca. 30 praktiserende lærere på det første sommer-kurset. Det ble et mål å endre denne balansen. LAMIS som-

merkurs skulle primært være for

praktiserende lærere i grunn- og

videregående skole. Kanskje

har vi lykkes litt for godt? I alle

fall er det en del deltakere som

de siste årene har spurt meg

hvor lærerutdannerne blir av.

Visst er en del av dere til stede.

Jeg talte snautt 20 på sommer-

kurset i år. Vi hadde gjerne sett

fl ere av dere der. Og mange av

dere har sikkert noe å bidra med

gjennom verksteder.

En inderlig oppfordring

Vi hører fra tid til annen om

utviklingsprosjekter der lærer-

utdannere i samarbeid med

praktiserende lærere gjennom-

fører undervisningsopplegg av

større og mindre omfang. Et av

verkstedene på sommerkurset

i 2006 presenterte et slikt opp-

legg. Lærerutdanneren Janne

Fauskanger og lærer Marta

Vassbø presenterte et opplegg

knyttet til begrepene areal og

omkrets. Denne type samarbeid

er interessant. Vi får presentert

et opplegg, og vi får belyst

både selve opplegget og erfa-

ringene fra gjennomføringen fra

to sider: læreren som står midt

i det praktiske, og lærerutdan-

Åpent brev til lærerutdannerneOrganisasjonssekretær Svein H. Torkildsen




Forfattere søkes –skriftserien gir deg muligheter!Organisasjonssekretær Svein H. Torkildsen

Den observante leser vil ha registrert at LAMIS er i gang med utgivelsen av en skriftse-rie. Dette er en kanal for å få publisert stoff som er for omfat-tende til en artikkel i Tangenten og for lite til å bli utgitt i bok-form. Innholdet skal være prøvd ut i praksis, inneholde begrun-nelser for valg og erfaringer fra gjennomføring. Til nå har vi to hefter i serien:– Erdal m. fl .: Å bruke tallinje –

undervisningsopplegg med perlesnor og tom tallinje for småskoletrinnet. Skrift nr. 1, 2006.

– Arabali m. fl .: Utvikling av geometrisk kompetanse gjennom verkstedarbeid. Skrift 2, 2007.

Vi ønsker naturligvis ikke å stoppe med dette. Kanskje er nettopp du den som står bak neste skrift i serien vår?

Lærerutdanneren som talentspeider?

Begge de to første heftene er skrevet av erfarne lærere som har tatt videreutdanning i mate-matikk for barnetrinnet ved høg-skolen i Oslo. I løpet av studiet

har studentene ut viklet et under-visningsopplegg som de har prøvd ut i praksis. Som vanlig er i slike studier, har studentene besvart en oppgave i tilknytning til opplegget. Denne besvarel-sen er utgangpunkt for det som er blitt et hefte som LAMIS utgir i sin skriftserie. Heftene innehol-der både begrunnelser for valg av aktiviteter, detaljerte beskri-velser av gjennomføringen og en vurdering av opplegget etter at det er gjennomført i praksis. Og det er også en god mal for innholdet i heftene vi ønsker å publisere.

Det fi ns sikkert mange slike besvarelser utarbeidet ved høyskoler og universitet som kan bli til et hefte som utgis i skriftserien til LAMIS. Og hvert år får nye studenter tilsvarende oppgaver å bryne seg på. Hvor-for ikke gjøre studenter som utmerker seg oppmerksom på muligheten for at det de skriver kan bli publisert? Kanskje det til og med kan være en ekstra motivasjon for å tilføre besva-relsen det lille ekstra som hever den opp til det nivået de to første heftene har. Vi utfordrer alle lærerutdannere til å være

våkne og oppfordre studenter til å sende inn manus for vurde-ring. Det er da en fjær i hatten for høyskoler eller universitet som klarer å dyrke fram så dyk-tige studenter.

Lønn for strevet

LAMIS betaler for rettighetene til å utgi stoffet med et engangs-beløp. Avhengig av blant annet omfang på manus kan det dreie seg om beløp i størrelsesorden 15-30 000 kroner. Selv om det er tilfredsstillelse god nok å ha levert en gjennomarbeid besva-relse, sier de færreste nei takk til en kontant belønning for det en har arbeidet med.

Læreren som vil dele med seg

Det er selvsagt ingen forutset-ning at du er student om du ønsker å bli forfatter i vår skrift-serie. Har du et godt og gjen-nomprøvd opplegg som du vil dele med andre, er det bare å sende inn manus til vurdering. I tillegg til en god beskrivelse av oppleggene med aktuelle kopi-originaler, bør manus inneholde en generell omtale av oppleg-gene med begrunnelser for de



valg som er foretatt. Vi forut-setter at det er snakk om opp-legg som er prøvd ut i praksis, og at det derfor også er noen erfaringer fra gjennomføringen som forfatteren vil dele med leserne.

En samling med kortere opplegg knyttet til ett faglig eller metodisk tema vil også være av interesse. Har du for eksempel knekket brøkkoden, opplegget som gir elevene et godt utgangspunkt for brøkreg-ningen, vil sikkert mange lærere bli svært så glade om de kunne få et skrift med det temaet. Har du noen eksempler på hvordan ulike deler av matematikken kan få en virkelighetstilknytning, kan nok det også bli et hefte i skrift-serien.

Så hva gjør du da?

Har du utkast til et manus, sender du det til organisasjons-sekretæren: [email protected]

Styret vil så fi nne en eller fl ere personer som leser gjen-nom manus og gir deg tilbake-melding på det du har levert. Kanskje er manuset ditt så

gjennomarbeidd at det bare er redaksjonelle tilpassinger som skal til før det kan gå i trykken. Kanskje blir du bedt om å gjøre noen endringer før manus kan bli antatt. Men du kan nok også oppleve at styret ikke synes ditt manus passer inn i skrift-serien.

Organisasjonssekretæren har det redaksjonelle ansvaret for godkjente manus og sørger for at det blir trykt og lagt ut for salg. Og da er det snart på vei en hyggelig utbetaling til deg!

neren som kan betrakte det hele

med litt mer distanse. Dette gir

grunnlag for en bredere og

grundigere drøfting av opplegg

og gjennomføring. Det må da

være fl ere som har tilsvarende

å bidra med?

Verkstedene våre er i stor

utstrekning basert på aktivitet.

I tråd med den vekten LK06

legger på kompetanser, bør vi

også på verkstedene i sterkere

grad vektlegge den didaktiske

refl eksjonen i etterkant av

aktivitetene. Her vil dere som

lærerutdannere har mye å til-

føre verkstedene våre om dere

opptrer som aktive verksted-

deltakere. Vi skal vel heller ikke

se helt bort fra at dere kan få

en og annen god ide som dere

kan utnytte i deres egen praksis

som lærerutdannere? Det ville

undre meg om ikke også en

lærerutdanner kan bli inspirert

av en dyktig lærer. På sommer-

kursene til LAMIS treffer dere

mange slike! Det jeg prøver å

si, er at dere rett og slett også

bør ha en egen interesse av å

delta på kursene.

Selv om det er en del av

arbeidet deres å holde kontakt med øvingslærere lokalt og veilede studenter i tilknytning til praksis, har dere sikkert noe å hente på å utvide bekjent-skapskretsen. Oppfordringen blir derfor enkel: La oss få møte riktig mange av dere 080808 i Sandnes. Og for all del, la oss få nyte godt av den kompetansen dere har.




Seminarer for lokallagsledereOrganisasjonssekretær Svein H. Torkildsen

LAMIS er etter hvert blitt en stor organisasjon med mer enn 4000 medlemmer. Aktiviteten er så stor at det er blitt behov for en organisasjonssekretær. Organi-sasjonen vår står naturlig nok overfor andre utfordringer enn de som var aktuelle da ryggra-den i LAMIS var en liten fl okk entusiaster som kjente hver-andre godt. Nå har vi mange forholdsvis nye medlemmer som gjør et solid arbeid på lokalplanet. Menge kaster seg ut i arbeidet uten særlig erfaring og drar i gang aktiviteter de selv fi nner interessante.

Organisasjonsbygging

Dette har mange steder blitt en styrke for LAMIS. Men samtidig lurer disse medlemmene på hva som foregår andre steder. Og hvem er disse andre? Medlem-mer av sentralstyret kan stille seg de samme spørsmålene, og med et overordnet ansvar for driften av organisasjonen er det en klar fordel at også styret har så god kontakt som mulig med det som skjer på lokalplanet. Et visst kjennskap til personene i lokallagstyrene

letter kommunikasjonen. Vi vet alle hvor mye lettere det er når en har ”et ansikt” å forholde seg til. Dette gjelder ikke minst organisasjonssekretæren som etter hvert har overtatt den regelmessige kontakten med lederne av lokallagene. Og spørsmålene kommer: Hva kan vi gjøre? Hvordan kan vi gjøre det? Kjenner du noen som er gode på juleverksted? Hvert spørsmål er et sunnhetstegn. En overordnet utfordring for styret ble da: Hva kan vi gjøre for å bygge organisasjonen slik at vi står best mulig rustet til å møte slike utfordinger. Internettsiden er ett bidrag, men de personlige relasjonene blir ikke godt nok ivaretatt på den måten.

Seminarer som verktøy

Fram til dette året har korte og intense møter for representanter fra lokallagene vært presset inn i tettpakkede sommerkursdager. Hvert lokallag har fått dekket utgifter til en representant på årsmøtet. Dette har på langt nær dekket behovet sentralstyret og (de fl este) lokallagsrepresentan-ten har kjent på.

Seint i vår inviterte styret til det første seminaret for sty-remedlemmer i lokallagene. Seminaret ble avviklet ei helg i begynnelsen av juni. Sundvol-den Hotell ved Tyrifjorden bød på utmerkede forhold for en type samling som dette. På tross av et ugunstig tidspunkt møtte ca. 30 representanter fra 14 lokallag sammen med styret og organisasjonssekre-tæren. Her ble det lagt opp til drøftinger om virksomheten til LAMIS, og styret fi kk en rekke innspill å arbeide videre med. Lokallagsrepresentantene fi kk en innføring i hvordan de kan redigere sin egen lokallagsside. Samtlige deltakere var enige om at dette var noe å bygge videre på, og anbefalingen til styret var at dette bør bli en årlig tradisjon. Men en må legge seminaret til et tidspunkt som er gunstigere for fl ere.

Mens dette nummer er inne i siste fase i produksjonsproses-sen er representanter for lokal-lagene igjen samlet til seminar. Denne gangen på Thon hotell Arena på Lillestrøm. Etter inn-spill fra deltakerne blir det



denne gangen gitt orienteringen om sentralgitte prøver. Et tema mange er opptatt av nå som de første eksamener etter LK06 snart står for døren. Det settes også av tid til arbeid med lokal-lagsidene på internett. Her kan de usikre få kyndig hjelp, og vi kan drøfte gode organiseringer av innholdet på sidene. Det bør være slik at disse er tilnærmet like i struktur, slik at det er lett for besøkende å orientere seg i innholdet.

Verdt pengene!

Det er naturligvis betydelige utgifter knyttet til et slikt arran-gement. En rekke mennesker skal fraktes til Lillestrøm, inn-kvarteres på hotell og få den mat og drikke denne entusias-tiske fl okken fortjener. Uten den innsatsen disse folkene legger for dagen, vil LAMIS svinne hen. Og styret vil at alle disse skal føle at de er verd kostnaden og vel så det. Vi har tro på verdien av å kjenne tilknytning til organi-sasjonen. Og seminarene bidrar i sterk grad til det.

Lokallag Nedre BuskerudInger-Lise Risøy ”Studietur” til Matematikksenteret i Trondheim

Lokallaget i Nedre Buskerud fi kk en e-post fra Mona Røsse-land i fjor med følgende fore-spørsel: Kan dere tenke dere å lage heftet for matematikkens dag 2008? Det var med blan-dede følelser vi diskuterte dette på styremøtet. Hadde vi kapasi-tet til å ta på oss et såpass stort oppdrag? Etter litt diskusjoner fram og tilbake, sa vi ja til det spennende og ærefulle oppdra-get. Vi var 7 i styret og valgte å fordele arbeidet mellom oss. Vi kikket på tidligere hefter, og

bestemte oss for hovedtemaer som vårt hefte skulle inneholde. Det var viktig at arbeidet ikke skulle slite oss ut, så emnene ble fordelt ut fra interesseom-råder. Frister ble laget, og vi var nøye med å overholde dem.

En morsom prosess

Arbeidet med heftet ble en morsom prosess med utprø-ving av opplegg underveis. Vi hadde mange gode faglige dis-kusjoner og refl eksjoner. Det var nødvendig med vurderinger av

Styret bærer preg av å ha en morsom og glederik dag.



oppleggene, og vi leste hveran-dres oppgaver for å sikre oss at andre forsto instruksjoner og oppgavetekst. Vi måtte også sikre oss at vi hadde nok stoff og oppgaver til hele heftet. Vi hadde satt oss en tidlig tidsfrist, og i juni 2007 kunne vi sende manuset til Svein Torkildsen til vurdering og korrekturlesing.

Lønn for strevet

Vi fi kk penger fra LAMIS for å lage heftet, men med sju med-lemmer i styret ble det ikke mye penger på hver. Vi undersøkte om pengene kunne brukes til studietur. Det fi kk vi klarsignal for, og dermed begynte vi å leke med tanken om å dra på studie-tur. Valget falt på Trondheim og Matematikksenteret. Vi satset på å få matematisk inspirasjon som kunne overføres til arbeids-plassen vår i ettertid. Alle sju fi kk fri fra arbeid en dag med lønn. I slutten av august i år dro hele styret til Trondheim. Vi fi kk en dag på matematikksenteret sammen med Svein. Heftet ble ferdig diskutert og redigert. Det viste seg at vi hadde et luksus-problem. Vi hadde alt for mye stoff. Etter en times drøfting med Svein var vi i boks, og heftet for 2008 var ferdig fra vår side. I ettertid har vår kasserer tatt på seg arbeidet med å over-

Lederen, Tine Foss Pedersen, måtte bare lage en fotball med JOVO-brikkene …

Hanne Kristensen og Randi Nysether utforsker Geomag.

sette elevarkene til nynorsk.

Tema matematikkrom

På senteret fi kk vi en fl ott og interessant gjennomgang av matematikkrommets innhold av Svein. Vi fi kk råd om hva som var lurt å ha på et matematikk-rom – basismateriell og annet materiell. Tiden var nå inne for undersøkelse av rommet. Vi åpnet skuffer, kikket, tok bildet, forsket og diskuterte opplegg. Vi måtte stadig bortom Svein for å spørre om ting – som for eksempel da vi fant runde ter-ninger! Hmmm….hva er defi ni-sjonen av en terning? Kan en terning være rund? Her måtte vi ty til Svein – og vi ble i hvert fall litt klokere.

Kunnskap og hygge

I løpet av helgen i Trondheim fi kk vi tid til både god mat og drikke, sosialt samvær med fl ere fra Matematikksenteret og shopping. Og shoppingen frydet selvfølgelig damene i styret. 6 av 7 medlemmer gir som en kan forstå sterke føringer på hva som må inn på program-met ved en slik anledning.

Det ble en skikkelig morsom og sosial tur med et fl ott faglig utbytte. Vi i styret ble bedre kjent, samtidig som vi også ble bedre kjent med fl ere av de ansatte på Matematikksenteret. Dette var en veldig fi n måte å bruke pengene vi fi kk for å lage heftet til Matematikkdagen 2008 på.



Matematisk modellering for videregående skoleLAMIS-kurs for lærere i Vestfold

Tor Andersen – Matematikksenteret

Fokus på matematisk model-lering i Kunnskapsløftet

Fredag 27.april 2007 deltok et førtitalls lærere i videregående skole i Vestfold på et dagskurs i matematisk modellering. Kurset fant sted på Horten videregå-ende skole og kursansvarlig var LAMIS. Svein H. Torkildsen og Tor Andersen sto for program og gjennomføring. Den store interessen for kurset gjenspei-ler tydelig den sentrale plas-sen matematisk modellering har i læreplanen i matematikk i Kunnskapsløftet. Kursansvar-lige brukte god tid til å diskutere intensjonene i læreplanen rundt teamet om matematisk model-lering.

Motivasjon for å arbeide med modeller

Men hva svarer vi når elevene spør: Er matematisk model-lering viktig? Kan matematisk modellering brukes til noe? Sjelden har vi vel fl ere og bedre svar å gi. For eksempel:

I Statoil-Hydro arbeider det matematikere som modelle-rer oljebrønner og seismiske

logger. Matematikere arbeider med teoretiske og numeriske modeller for naturvitenskape-lige fenomen, for eksempel innen modellering av bølger, fi s-kepopulasjoner og proteindata. Vi bruker matematiske modeller til å beskrive enzymer og til å klassifi sere ulike krefttyper. For-skere modellerer jordskjelv for å prøve å forutsi og for å se på virkningene av nye skjelv. Osea-nografer modellerer fenomener som skjer eller kan skje i havet. Tsunamimodellering er blitt en av de viktigste oppgavene de arbeider med. Kort sagt - det ligger matematiske forklarings-modeller bak alle naturvitenska-pelige fenomener og høytekno-logiske produkter.

Ikke bare på cat-walken

Men vi matematikklærere får som vanlig ikke drahjelp fra media. Snarere tvert i mot. Media er mer opptatt av rumpa til en eller annen idoldeltaker enn av en høyteknologisk industri som hungrer etter matematikere som kan modellere. I media blir det dessverre gitt inntrykk av det bare er modeller på

cat-walken som er etterspurt. Ikke rart at mange ungdommer trodde Abelåret var til ære for Morten Abel.

Erfaringsutveksling

Kursdeltakerne i Horten utgjorde en meget erfaren forsamling av matematikklærere i videregå-ende skole og hadde god forut-setning for å delta i en fruktbar erfaringsutveksling knyttet til temaet. Vi tenkte høyt og disku-terte blant annet formålet med matematisk modellering. Hva bør vektlegges under arbeid med matematisk modellering i matematikktimene? Hvordan skal vi organisere undervisnin-gen når vi arbeider med model-lering?

Hva må til?

Vi ble enige om at det ikke er tilstrekkelig at læreplaner og lærebøker tilrettelegger for undervisning av anvendelser og matematisk modellering. Det er helt avgjørende at intensjonene i læreplanen blir gjenspeilet til eksamen. Videre må lærer-nes kompetanse i matematisk modellering utvikles. Lærerne



må i tillegg lære hvordan de på best mulig måte kan vur-dere elevenes arbeid på dette området.

En myte ble avlivet

Medarbeider Svein H. Torkild-sen greide på en utmerket måte å avlive myten om at elevene må arbeide med noe som angår dem personlig for at det skal være motiverende. Problem-stillinger knyttet til bilimport, kommunale avgifter, tidevann, pumpehus og alkohol i blodet er i utgangspunktet fjerne eksem-pler for de fl este ungdommer. Men innenfor varierte kontek-ster kan en dyktig pedagog hjelpe elevene med å omdanne problemstillingene til sine egne. Forutsetningen er at elevene må ha anledning til å velge og samtidig få tid til å gå i dybden av problemstillingen. Læreren må være beredt til å fylle på med informasjon når eleven etterspør det.

Fra start til mål

Kursdeltakerne i Horten fi kk oppleve modelleringsproses-sen fra start til mål. Lærerne koste seg med Barbiedukker som hoppet i strikk og tok inni-mellom en slurp kaffe i oppga-ven om avkjøling av – nettopp kaffe. Begge disse eksemplene er hentet fra Rossing og Øren:

”Matematisk modellering – et idéhefte”, Skolelaboratoriet NTNU, 2006. Vi regner med at Vestfoldlærerne tok med seg den gode stemningen inn i egne klasser når elevene skulle gjennomføre tilsvarende stunt. Bruk av digitale verktøy gikk som en rød tråd gjennom hele den praktiske økten.

Kritikk

Modellkritikk står sentralt i arbeidet med en modell, og det er viktig å være seg bevisst om vi har for oss en deskriptiv eller en normativ modell. Deskriptive modeller beskriver et fenomen eller en situasjon. Her må vur-deringen gå på om modellen tar hensyn til alle viktige fak-torer som har innvirkning på fenomenet eller situasjonen. Normative modeller som for eksempel hvordan avisbudets lønn skal beregnes eller hvor-dan stortingsrepresentantene skal fordeles mellom partiene, er uttrykk for menneskelige vur-deringer. Her må vurderingen gå på om vi synes modellen er rettferdig eller om det er noen som er godt behandlet og andre dårligere behandlet.

Nye krav til undervisningen

Matematisk modellering stil-ler nye krav til undervisningen. Elevene må i stor grad være

den aktive og skapende part. De må analysere situasjonen og oversette den til det mate-matiske språket. De må gjøre beregninger med denne model-len, og de må vurdere og tolke resultatene de kommer fram til. Dette er krevende prosesser og det er viktig at problemene som stilles, har et realistisk innhold og at det skapes et arbeidsmiljø som bygger opp under denne arbeidsformen.

Gevinsten

Dersom vi lykkes, vil forhå-pentligvis modellering virke berikende for undervisningen i matematikk. Modellering kan bidra til å gjøre matematikk til et fag som kan brukes til å studere situasjoner fra verden omkring elevene - og dermed bli et fag som blir oppfattet som mer rele-vant. Men vi må ikke glemme myten som ble avlivet. Lykke til med matematisk modellering.

Interessant?

En kortversjon av kursoppleg-get er benyttet som tema på et medlemsmøte i lokallaget i Rogaland. Virker dette interes-sant for fl ere lokallag, kan en ta kontakt med organisasjonsse-kretæren for avtale om et kurs med dette temaet.



Sommerkurskomitéen 2008 har landet!

Sommerkurset 2008 skal som mange allerede vet arrangeres av Rogaland sitt lokallag. Tids-punkt er satt til 080808-110808. Vi har vært i fyr og fl amme og hatt visjoner som har berørt himmelen. Kurset skal avholdes i Sandnes (som er en by ja).

I 2008 åpner Vitenfabrikken – et populærvitenskapelig opp-levelsessenter for teknologi og realfag, med utstillingen ABELS SKISSEBOK (se egen artikkel side 72). Vi ser derfor en gyllen mulighet til at Rogaland avhol-der arrangementet nettopp dette året. Vitenfabrikken har sin representant i komiteen og vi vil samarbeide med dem. En del av arrangementene vil foregå i lokalene til Vitensenteret.

Da vi tok på oss å arrangere sommerkurset var det med tanke på at Rogaland har så mye. Vi har universitet, oljen og alle gründerne på Jæren. Det skulle være mange som ønsket å støtte oss. De har skrevet mye i media om hvor viktig matematikkfaget i skolen er for nettopp fremtidig rekrut-tering til oljenæringen og resten av næringslivet. Mange fi ne

ord, men når det kom til styk-ket var de ikke interessert i å støtte dette kurset for lærere. Så i søken etter sponsormidler har vi kommet oss lengre ned mot jorden.

Så fi kk vi besøk av organi-sasjonssekretær Svein H. Tor-kildsen. Han himlet nok litt med øynene da han kommenterte noen av ønskene våre og sa at vi ikke måtte lage oss mer arbeid enn nødvendig. Så pro-grammet ser i skrivende stund mer edruelig ut enn det vi først fabulerte om.

Hovedbasen vår blir Quality Hotel Residence i Sandnes. Det ligger sentralt plassert i forhold til jernbanen og det er i gåav-stand til vitenfabrikken. Hotel-let er et konferansehotell, har både mange og gode lokaler for både plenumsforedrag og verksteder. Vi har vel mer eller mindre booket hele hotellet for å kunne huse mange og ivrige sommerkursdeltagere.

Arbeidstittel på kurest er: ABELSKE SPIRER - matematikk fra universitet til barnehage.

Hva plenumsforedragene angår er det ønskelig å invi-

tere kapasiteter av nasjonal og internasjonal størrelse. Interes-sante og nytenkende vinklinger på plenumsforedragene er ofte med å bidra til at folk ønsker å delta på sommerkursene.

Komiteen har vært i kontakt med bidragsytere vi anser som sentrale og solide formidlere. Av de som har sagt ja til å komme så langt er Inge Brigt Aarbakke, Raymond Bjuland og Elin Rei-kerås.

Når det gjelder verkstedene har vi vært i kontakt med en del folk, både LAMIS-medlemmer og andre. Vi ønsker selvfølge-lig å gi et variert tilbud til alle gruppene av medlemsmassen. Skulle du sitte på et opplegg som kan være gull verdt for andre lærere, ja da må du ta kontakt med Kurt Klungland ([email protected]). Vi vil så vurdere om ditt opplegg passer inn i vår profi l.

For sommerkurskomiteen 2008, Kristin Hegdahl Jørgensen



Abels skissebok

Abels skissebok vil utforske sammenhenger mellom mate-matikk, vitenskap, teknologi og kunst. Prosjektet består av en interaktiv utstilling, formidlings-opplegg, arrangement i 2008, og forskjellige samarbeids-prosjekt. Barn og unge er vår hovedmålgruppe, og prosjektet utvikles i nært samarbeid med skoler og universitet så vel som kunstnere, forskere og nærings-livet.

Prosjektet er oppkalt etter matematikeren Niels Henrik Abel, Norges fremste viten-skapsmann noensinne. Du vil møte ham når du kommer inn i Vitenfabrikken og han vil følge deg gjennom utstillingen. Vin-neren av Abelprisen i 2008 vil åpne prosjektet.

Interaktiv utstilling – åpner i mai 2008

Hjørnesteinen i prosjektet er en interaktiv utstilling som presen-terer grunnleggende fenomen innen vitenskap, teknologi og matematikk – med et særskilt fokus på kunst. Kunst og viten-skap er komplementære red-skap i vår søken etter å forstå

verden, å forstå oss selv og samfunnet vi lever i. Utstillingen åpner 22. mai 2008.

I første etasje vil fokus være på selve menneskekroppen som material og redskap. Hva er sammenhengen mellom genene, hjernen og det å skape kunst?

I andre etasje fl yttes fokus mot den forlengelse av kroppen som må til for å skape kunst. Forlengelse i form av forskjel-lige materialer og redskap (tek-nologi).

Mål

Vårt hovedmål er å øke inter-essen for teknologi, vitenskap og matematikk som et redskap for sosial bevissthet og engasje-ment. Vi vil fremme en forstå-else for sammenhenger mellom matematikk, vitenskap, tekno-logi og kunst – i fortid, nåtid og framtid.

Jærmuseet avdeling Viten-fabrikken

Abels skissebok vil være åpningsutstillingen til Viten-fabrikken, et nytt vitensenter under oppføring i Sandnes.

tilgang på mange gode ideer. LAMIS arbeider videre med

sine satsningsområder. I den sammenheng følger sentral-styret opp suksessen fra juni, og arrangerer et nytt seminar for lokallagsstyrene i novem-ber. Det betyr at alle lokallagene inviteres til å stille med inntil fi re personer fra lokallagstyret, til en samling på Lillestrøm første helg i november. Sentralstyret ser nytten av samarbeid på tvers av lokallagene og ønsker å gjøre dette til en årlig tradisjon. Der vil vi diskutere temaer for lokallagsmøter, hva som skal til for å lykkes med lokallagsarbei-det. Vi håper og tror at dette vil komme til nytte og glede for alle dere medlemmer i lokallagene over hele landet.


Vitensenteret vil også ha et nytt og fullt utstyrt planetarium – Umoe planetariet. Vitenfabrik-ken er en ny avdeling av det regionale Jærmuseet.


Documents

tangenten 4 2007 - Caspar · 2020. 7. 17. · 4 4/2007 tangenten tenkepause kom det: ”Jo, de som hadde fem og tre ville få mest likevel.” Denne samtalen viser ikke så mye til