TAREA 2 DE ALGEBRA SUPERIOR II

ARACELI GUZMAN TRISTAN

(1) Demuestra que si a|b, entonces a| b, a|b y a| b.(2) Demuestra que si a divide a cualquier combinacion lineal bs + ct de b y c, entonces a|b

y a|c.(3) Demuestra que si a|1, entonces a = 1.(4) Demuestra que si a|b y b|a, entonces a = b.(5) Demuestra que si a|b y b 6= 0, entonces |a| |b|.(6) Usa induccion para probar que si a|b1, . . . , a|bn y r1, . . . , rn son enteros arbitrarios, en-

tonces a|(r1b1 + . . .+ rnbn).(7) Si n es impar, demuestra que n2 1 es divisible por 8.(8) Prueba que si a y d son enteros tales que d|a y |a| < d, entonces a = 0.(9) Prueba que cada entero positivo n puede representarse de manera unica como n =

i=0 ai3i, donde ai {0, 1,1}.

(10) Si a 6= 0, demuestra que MCD(a, 0) = |a|.(11) Demuestra que MCD(a, b) =MCD(|a|, |b|).(12) Sean a, b Z y d =MCD(a, b). Si a = da y b = db, demuestra que MCD(a, b) = 1(13) Sean a, b enteros primos relativos y c|a. Demuestra que b y c son primos relativos

tambien.(14) Demuestra que para todo r Z se tiene que MCD(a, b+ ar) =MCD(a, b).(15) Demuestra que para todo c 1, se tiene que MCD(ca, cb) = cMCD(a, b).(16) Demuestra que si m es combinacion lineal de a y b, entonces para todo r Z se tiene

que rm tambien es combinacion lineal de a y b.(17) Si d es combinacion lineal de a, b y b es combinacion lineal de a, c, demuestra que d es

combinacion lineal de a y c.(18) Si m es impar, demuestra que no es combinacion lineal de 198 y 290.(19) Si m = 3t+ 1 con t Z, demuestra que m no es combinacion lineal de 45 y 1251.(20) Usando el Algoritmo de Euclides, calcula los siguientes maximos comunes divisores:

MCD(2947,3997). MCD(329,1005).

(21) Expresa los MCD(a, b) del ejercicio anterior como combinacion lineal de los enteros a, bdados.

(22) Si d|a, d|bc y MCD(a, b) = 1, demuestra que d|c.(23) Si a, b son primos relativos, demuestra que para toda c Z se tiene que MCD(a, bc) =MCD(a, c).(24) Si MCD(a,m) = 1 =MCD(b,m), demuestra que MCD(ab,m) = 1.(25) Si MCD(a, b) = 1, a|c y b|c, demuestra que ab|c.(26) Prueba que n! + 1 y (n+ 1)! + 1 son primos relativos para todo entero positivo n.(27) Sean a, b y c enteros positivos. Prueba que MCD(ac, bc) =MCD(a, b) c.(28) Si p es primo y p|a1a2 an, demuestra por induccion sobre n que existe un ndice j

entre 1 y n tal que p|aj .(29) Si p es primo y p|an para n N, demuestra que p|a.(30) Da ejemplos donde las afirmaciones de los dos ejercicios anteriores sean falsas cuando p

no es primo.(31) Si m > 2 no es primo, demuestra que existe un primo p que divide a m y ademas p

m.

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(32) Usa el teorema fundamental de la Aritmetica para probar que si a, b Z se escribencomo:

a = pr11 pr22 prmm con ri 0.

b = ps11 ps22 psmm con si 0.

(donde tomamos todos los factores primos que aparecen en a y b y los ponemos en ambasfactorizaciones con exponente 0 si de hecho no aparecen en uno de ellos de tal forma quep0 = 1 por definicion), entonces:

MCD(a, b) = p11 p22 p

mm con i =mn{ri, si}.

mcm[a, b] = p11 p22 pmm con i =max{ri, si}.

(33) Demuestra que mcm[a, b] =mcm[a,b].(34) Si t > 0 demuestra que mcm[ta, tb] = tmcm[a, b].(35) Si p es un primo impar, observa que al dividirlo entre 4, deja residuo 1 o 3. Demuestra

que hay un numero infinito de primos de la forma 4n+ 3.(36) Demuestra que todo primo p > 3 es de la forma 6n+ 1 o 6n+ 5. Demuestra que hay un

numero infinito de primos de la forma p = 6n+ 5.(37) Sea n 2. Prueba que (n + 1)! + k es compuesto para k = 2, . . . , n + 1. Esto muestra

que existen intervalos arbitrariamente grandes de numeros compuestos.(38) Encuentra todas las soluciones de las ecuaciones diofantinas siguientes:

243x+ 198y = 9. 43x+ 64y = 1.

(39) Si a b mod(m) y d|m, d > 0, demuestra que a b mod(d).(40) Demuestra que si ax ay mod(m) y MCD(a,m) = 1, entonces x y mod(m).(41) Demuestra que si x y mod(m), entonces MCD(x,m) =MCD(y,m).(42) Demuestra la asociatividad y conmutatividad de la suma y del producto en Zm, ademas

de la distributividad.(43) Encuentra las unidades en Z6 y en Z8.(44) Si m 1 es fijo y [a], [b], [c] Zm son tales que [a][c] = [b][c] y ademas MCD(c,m) = 1,

demuestra que [a] = [b].(45) Encuentra todas las soluciones de las congruencias lineales:

16x 9 mod(35). 200x+ 135 0 mod(441).

(46) Resuelve los sistemas de congruencias: x 3 mod(7) y x 5 mod(9) x 5 mod(7) y x 2 mod(12) y x 8 mod(13)

(47) Sea x Z. Demuestra que 3|x si y solo si la suma de los dgitos de x es divisible entre 3.(48) Sea x Z. Demuestra que 9|x si y solo si la suma de los dgitos de x es divisible entre 9.(49) Sea x Z. Demuestra que x es par, si y solo si el dgito de unidades de x es par.(50) Sea x Z. Demuestra que 4|x si y solo si el entero formado por sus dgitos de decenas

y unidades es divisible entre 4.(51) Sean p1, p2, . . . , pr son los primos distintos que dividen a m. Demuestra la siguiente

formula para (m):

(m) = m(1 1p1 )(11p2

) (1 1pr ).

(52) Usa el teorema pequeno de Fermat para: Encontrar un numero 0 a < 73 tal que a 9794 mod(73). Resolver la congruencia x86 6 mod(29). Resolver la congruencia x39 8 mod(13).

(53) Calcula (p1)! mod(p) para algunos valores pequenos del primo p, encuentra un patron,haz una conjetura y demuestrala.

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(54) La congruencia 716605665 1 mod(1734251) es verdadera. Puede de esto conluirse queel numero 1734251 es compuesto?.

(55) La congruencia 12964026 1579 mod(64027) es verdadera. Puede de esto conluirse queel numero 64027 es compuesto?.

(56) Que puedes decir acerca de n si el valor de (n) es primo?.(57) Que puedes decir de n si (n) es el cuadrado de un primo?.(58) Encuentra todos los valores de n para los cuales (n) = n/2.(59) Sean b1 < b2 < < b(m) los enteros entre 1 y m que son primos relativos con m y sea

B = b1b2 b(m) su producto. Muestra que B 1 mod(m) o B 1 mod(m). Calcula B para algunos valores pequenos de m y trata de encontrar un patron de

cuando es +1 mod(m) y cuando es 1 mod(m).(60) Explica por que (m) siempre es par si m 3.(61) Describe todos los enteros para los cuales (m) no es divisible por 4.