Tarea 1 de Topologia

Tarea 1 de Topologa

Diego Carvajal

29 de Abril 2015

1. Introduccion

En este trabajo se pide demostrar o encontrar un contraejemplo para ver si bajo unsubespacio, producto de espacios o espacio cociente de un espacios de separabilidad enparticular, se sigue cumpliendo esta separabilidad. Para eso en esta seccion definiremosestos espacios con los que trabajaremos, para as ser mas amigable con el lector.

Definicion 1: Un espacio topologico X es T0 si dados x e y puntos distintos del espa-cio, existe una vecindad V de x tal que y 6 V , o existe una vecindad W de y tal que x 6W .

Definicion 2: Un espacio topologico X es T1 si dados x e y puntos distintos del espa-cio, existe una vecindad V de x tal que y 6 V y existe una vecindad W de y tal que x 6W .

Definicion 3: Un espacio topologico X es un espacio de Hausdorff o T2, si paracada x y cada y en X, con x 6= y, existen V y W vecindades de x e y respectivamente, detal manera que V

W 6= .

Definicion 4: Un espacio topologico X es un espacio regular si para cada K sub-conjunto cerrado de X y cada x X \ K, existen conjuntos U y V abiertos en X, talesque K U , x V y U V 6= . Un espacio es T3 si es regular y T1Definicion 5: Un espacio topologico X es completamente regular si para cada conjuntoK cerrado en X y cada x X \ K, existe una funcion continua f definida de X en elintervalo [0, 1] de R, tal que f(K) = 0 y f(x) = 1. Un espacio topologico X es un espaciode Tychonoff o T 3

2si es completamente regular y T1.

Definicion 6: Un espacio topologico X es un espacio normal si dados F y K sub-conjuntos de X cerrados y disyuntos, existen subconjuntos abiertos U y V de X tales queF U , K V y U V 6= . Un espacio es T4 si es normal y T1.

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2. Tabla de Afirmaciones

T0 T1 T2 T3 T 32

T4 E.Regular E.Normal E.C.Regular

Subespacio Si Si Si Si Si No Si No Si

Producto de espacios Si Si Si Si Si No Si No Si

Espacio Cociente No No No No No No No No No

3. Demostracion

Espacio T0

1.1 Subespacio (Si)

Sea (X, X) un espacio topologico y sea Y X un subspacio con la topologa

Y = {A Y : A X}

Como X es T0, entonces para x, y X distintos, existe una vecindad V de x tal que y6 V . Ahora bien, tomando esos puntos en Y , nuestra vecindad para x sera V Y = VY ,donde los abiertos de la vecidad seran de la forma AY , entonces exitira una vecidad VYde x tal que y 6 VY donde x A Y VY .

1.2 Producto de espacios (Si)

Sea {Xi}iI una familia de espacios T0 y sean x e y puntos distintos del productoX =

iI Xi, existe j I tal que xj 6= yj . Puesto que Xj es un espacio T0, existe una

vecindad Oj de uno de los puntos, digamos de xj , en Xj , tal que yj 6 Oj . Entonces pi1j (Oj)es una vecindad de x que no contiene a y. De esta manera queda demostrado que X es unespacio T0.

1.3 Espacio Cociente (No)

Para esto, tomemos la siguiente relacion de equivalencia en R

xRy =

{x Qy I

que produce el espacio cociente RupslopeR = {x, y} donde x e y son las clases de equivalenciaQ y I respectivamente. Ahora bien, la unica topologa que produce este espacio es

R = {,RupslopeR}

La cual claramente no nos permite que nuestro espacio RupslopeR sea T0.

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Espacio T1

2.1 Subespacio (Si)

Sea (X, X) un espacio topologico y sea Y X un subspacio con la topologaY = {A Y : A X}

Como X es T1, entonces para x, y X distintos, existe una vecindad V de x tal que y 6V y una vecindad W de y tal que x 6 W . Ahora bien, tomando esos puntos en Y , nuestravecindad para x sera V Y = VY , donde los abiertos de la vecindad seran de la formaA Y , y nuestra vecindad para y sera W Y = WY , donde los abiertos de la vecindadseran de la forma B Y , con B abierto en X entonces exitira una vecindad VY de x talque y 6 VY donde x AY VY y exitira una vecindad WY de y tal que x 6 WY dondey B Y WY .




vecindad Aj y Bj de xj e yj respectivamente en Xj , tal que yj 6 Aj y xj 6 Bj . Entoncespi1j (Aj) es una vecindad de x que no contiene a y y pi

1j (Bj) una vecindad que no contiene

a x. De esta manera queda demostrado que X es un espacio T1.


Para esto tomemos el mismo contraejemplo del espacio cociente de T0. Como la topo-loga que forma es

R = {,RupslopeR}Esta no nos permite formar abiertos que tenga un punto y a otro no, en el espacio RupslopeR,entonces no nos permite que nuestro espacio sea T1.

Espacio T2

3.1 Subespacio (Si)

Sea (X, X) un espacio topologico y sea Y X un subspacio con la topologaY = {A Y : A X}

Como X es T2, entonces para x e y en X, con x 6= y, existen V y W vecindades de x ey respectivamente, de tal manera que V

W 6= . Ahora bien, tomando esos puntos en

Y , nuestra vecindad para x sera V Y = VY , donde los abiertos de la vecindad seran dela forma A Y , y nuestra vecindad para y sera W Y = WY , donde los abiertos de lavecindad seran de la forma B Y , con B abierto en X, luego como

(V Y ) (W Y ) V W = (V Y ) (W Y ) =

Entonces, Y es T2.

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vecindad Aj y Bj de xj e yj respectivamente, en Xj , tal que AjBj = . Entonces pi1j (Aj)y pi1j (Bj) disjuntos de x e y respectivamente . De esta manera queda demostrado que Xes un espacio T2.


Nuevamente podemos ocupar el mismo contrajemplo anterior, ya que no podemosformas abiertos disjuntos con la topologa R. Por lo tanto, el espacio cociente de unespacio T2 no es T2.

Espacio T3

4.1 Subespacio (Si)

Esta demostracion vale de manera similar para el espacio regular, la unica diferencia esque estamos suponiendo que este espacio tambien es T1. Entonces sea X T3 con la topoloaX , Y X, con la topologa y de 1.1, entonces sea un K un subconjunto cerrado deY , sabemos que lo podemos expresar como K = A Y , donde A es un cerrado en X.Tomemos un y Y que no esta en K, luego no puede estar en A, como X es regular,existen abiertos disjuntos U y V en X que contienen a K e {y} (Conjunto unipuntualcerrado, ya que X es T1) respectivamente , luego U Y y V Y son abiertos disjuntosen Y que contienen a K e {y}(Sigue siendo cerrado, ya que como vimos en 2.1, Y es T1)respectivamente. Por lo tanto, Y es T3.


Sea Xi T3 para cada i I = {1, 2, ...}. Tomemos cualquier x X =

iI Xi yconsideremos una vecindad basica pi1i1 (Ai1)pi1i2 (Ai2) ... pi1in (Ain) de x en X. Entoncesnuestros Aj seran vecindades de xj en Xj , para j = 1, ..., n y como cada Xj es regular,entonces contiene un cerrado Bj de xj en Xj . Pero entonces pi

1i1

(Bi1) pi1i2 (Bi2) ...pi1in (Bin) es cerrado de x en pi1i1 (Ai1) pi1i2 (Ai2) ... pi1in (Ain), esto nos muestra quees regular, y como vimos en 2.2, el producto de espacios T1 tambien es T1. Por lo tanto,es X es T3.


Bajo el mismo argumento de el contraejemplo pasado, no puedo encontrar abiertosdisjuntos que contengan a un cerrado del espacio cociente y un punto que no este en elcerrado pero si en el pescado cociente. ya que los unicos abiertos, son el vaco y el mismoespacio RupslopeR.

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Espacio T 32

5.1 Subespacio (Si)

Sea X un espacio T 32

e Y X con la topologa Y de 1.1. Tomemos un cerrado deY B = A Y , donde A es un cerrado en X. Ahora bien, tomemos un x Y \ B, luegox 6 B. Por otro lado, como X es T 3

2, hay una funcion f : X [0, 1] tal que f(A) = 0

y f(x) = 1. Ahora bien, nosotros podemos restringir nuestra funcion a Y y sabemos queA Y A, entonces f(A Y ) f(A) = 0. Por lo tanto, Y es completamente regular ycomo X es T1 nuestra funcion f es continua, entonces lleva cerrados en cerrados, ahorabien si tomamos {1} en [0, 1] que es cerrado, me lo lleva a x en X que sigue siendo cerrad,si restrinjo esto para cualquier x en Y , cada conjunto unipuntual sera cerrado, luego Y esT1. Por lo tanto, es T 3

2.


Sea Xi T 32

para cada i I = {1, 2, ...}. Sea x X = iI Xi y un C cerrado enX que no contiene a x. Podemos tomar como un abierto que no toca a C al conjuntopi1i1 (Ai1) pi1i2 (Ai2) ... pi1in (Ain), donde Ak son abiertos de Xij . Ahora bien, comoXi es completamente regular, habran j = 1, ..., n funciones fj : Xij [0, 1] tal quefj(Xij \ Uj) = 0 y fj(xij ) = 1. De estas funciones, necesitamos la mas fina por decirlode alguna manera, para que me sirva para cada espacio de la familia, entonces definimosg :

iI Xi [0, 1] como

g(y) = min{fj(yij ) : j = 1, ..., n}

.Ahora, notemos que el mnimo es algun fj , osea que g es una funcion continua tal queg(

iI Xi \C) = 0 y g(x) = 1. Luego

iI Xi es completamente regular y por 2.2

iI Xies T1. Por lo tanto,

iI Xi es T 3

2.


Como vimos en 2.2, no necesariamente el espacio cociente es T1, as que este espaciono necesariamente sera T 3

2.

Espacio T4

6.1 Subespacio (No)

Si tomamos un subconjunto del espacio metrico R2 (todo espacio metrico es normal),como el Plano de Moore definido como

= {(x, y) R2 : y 0}

donde sus abiertos de cada elemento de este plano son todos los discos abiertos (conla metrica definida por la norma 2) de centro en el elemento, a excepcion de loselementos que estan en el eje x, que cuyos abiertos seran {z} D donde z y D es

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un disco abierto que cuyo borde es tangente al eje x. Entonces si tomamos dos cerrados,que seran el complemento de estos discos D1 y D2, osea U = \ D1 y V = \ D2.Nunca podremos encontrar discos que cubran por completo a U y V . En otras palabras,un subespacio de R2 no es normal, a pesar que R2 lo sea. Otro ejemplo, puede ser el delplano radial formado por la topologa radial en R2.

6.2 Producto de espacios (No)

Sea R con la topologa para la cual las vecindades basicas de x son los intervalos de laforma [x, y) con y > x. Hemos dicho que R es un espacio normal y T1 ya que puedo separarpuntos con abiertos [x, y). Sin embargo, RR no es normal. Por lo tanto, el producto deespacios normales no siempre es un espacio normal, como no es normal no puede ser T4.


Ocupando el mismo contraejemplo de antes en 2.3, si no es T1, no puede ser T4.

Espacio Regular

7.1 Subespacio (Si)

Ver la demostracion 4.1.




Ver el contraejemplo de 4.3.

Espacio Normal

8.1 Subespacio (No)


8.2 Producto de espacios (No)



Ocupando el primer contraejemplo, sabemos que R al ser un espacio metrico con lametrica usual, es un espacio normal, ya que de mis intervalos cerrados [x, y] con otrodisjunto [z, w], puedo crear dos intervalos abiertos disjuntos que cubren a estos cerradosrespectivamente. Pero aplicando la misma relacion de equivalencia R, solo tendre unatopologa donde los abiertos seran el vaco y todo el espacio, osea que no puedo separarcerrados disjuntos con abiertos disjuntos.

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Espacio Completamente Regular

9.1 Subespacio (Si)





Suponiendo que X es completamente regular, entonces es un espacio regular, peroaplicando el contraejemplo de 1.3, entonces un espacio cociente no necesariamente esregular, entonces no necesariamente sera completamente regular. Por lo tanto, habra unarelacion de equivalencia que hara que mi espacio deje de ser regular.

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