Algebra Lineal I.M. en C. Jose Patricio Sanchez.

Tarea 3. Matrices.

1. Demostrar que E es una matriz elemental si y solo si Et lo es.

2. Sea A una matriz de m× n. Demostrar que si B puede obtenerse a partir de A mediante una operacionelemental con renglones ( o columnas), entonces Bt puede obtenerse a partir de At mediante la operacionelemental correspondiente con renglones (o columnas).

3. Encontrar el rango de las siguientes matrices: 1 1 00 1 11 1 0

,

1 1 02 1 11 1 1

,

(1 0 21 1 4

),

(1 2 12 4 2

)

1 2 3 1 11 4 0 1 20 2 −3 0 11 0 0 0 0

,

1 2 0 1 12 4 1 3 03 6 2 5 1−4 −8 1 −3 1

,

1 1 0 12 2 0 21 1 0 11 1 0 1

.

4. Para cada una de las siguientes matrices calcular el rango y la inversa, si esta existe.

(1 21 1

),

1 2 11 0 11 1 1

0 −2 41 1 −12 4 −5

,

1 2 1−1 1 21 0 1

,

1 0 1 11 1 −1 22 0 1 00 −1 1 −3

5. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales T , determinar si T es invertible y calcular T−1

si existe.

a) T : P2(R)→ P2(R) definida por T ( f ) = f ′′+2 f ′− f .

b) R : R3→ R3 definida por T (a1,a2,a3) = (a1 +2a2 +a3,−a1 +a2 +2a3, a1 +a3).

c) T : R3→ P2(R) definida por T (a1,a2,a3) = (a1 +a2 +a3)+(a1−a2 +a3) x+a1x2.

6. Sea A una matriz de m×n. Demostrar que si c es cualquier escalar no nulo, entonces rango (cA)=rango(A)

7. Sean T,U : V →W dos transformaciones lineales. Demostrar que

a) R(T +U)⊆ R(T )+R(U).

b) Si W es dimensionalmente finito, entonces rango(T +U)≤ rango(T )+ rango(U).

c) Deducir del inciso (b) que, para cualquier par de matrices A y B de m×n, rango(A+B)≤ rango(A)+rango(B).

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8. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, encontrar la dimension y una base parael conjunto solucion.

a) A = {x1 + x2− x3 = 0, 4x1 + x2−2x3 = 0}.b) B = {2x1 + x2− x3 = 0, x1− x2 + x3 = 0, x1 +2x2−2x3 = 0}.c) C = {x1 +2x2 = 0, x1− x2 = 0}.

9. Utiliza los resultados del ejercicio anterior para encontrar todas las soluciones de los siguientes sistemas.

a) A = {x1 + x2− x3 = 1, 4x1 + x2−2x3 = 3}.b) B = {2x1 + x2− x3 = 5, x1− x2 + x3 = 1, x1 +2x2−2x3 = 4}.c) C = {x1 +2x2 = 5, x1− x2 =−1}.

10. Sea A la matriz de coeficientes del sistema

x1 +2x2− x3 = 5

x1 + x2 + x3 = 1

2x1−2x2 + x3 = 4.

a) Demostrar que A es invertible.

b) Calcular A−1.

c) Utilizar A−1 para resolver el sistema.

11. Determina cual de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales tiene solucion.

a) A = {x1 + x2− x3 +2x4 = 2, x1 + x2 +2x3 = 1, 2x1 +2x2 + x3 +2x4 = 4}.b) B = {x1 + x2− x3 = 1, 2x1 + x2 +3x3 = 2}.c) C = {x1 +2x2 +3x3 = 1, x1 + x2− x3 = 0, x1 +2x2 + x3 = 3}.d) D = {x1 + x2 +3x3− x4 = 0, x1 + x2 + x3 + x=1, x1−2x2 + x3− x4 = 1, 4x1− x2 +8x3− x4 = 0}.

12. Suponga que la matriz aumentada del sistema AX = B se transforma en la matriz escalonada (A′ | B′)mediante una secuencia finita de operaciones elementales con renglones.

a) Demostrar que el rango(A′) 6= rango (A′ | B′) si y solo si (A′ | B′) contiene un renglon en donde elunico elemento no nulo queda ubicado en la ultima columna.

b) Deducir que AX = B tiene soluciones si y solo si (A′ | B′) no contiene ningun renglon en el cual elunico elemento no nulo esta ubicado en la ultima columna.

13. Para cada uno de los siguientes sistemas, aplicar el ejercicio anterior para determinar si el sistema tienesoluciones. Si existen soluciones, encontrarlas todas. Finalmente, encontrar una base para los sistemashomogeneos correspondientes.

a) A = {x1 +2x2− x3 + x4 = 2, 2x1 + x2 + x3− x4 = 3, x1 +2x2−3x3 +2x4 = 2}.b) B = {x1 + x2−3x3 + x4 =−2, x1 + x2 + x3− x4 = 2, x1 + x2− x3 = 0}.c) C = {x1 + x2−3x3 + x4 = 1, x1 + x2 + x3− x4 = 2, x1 + x2− x3 = 0}.

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