Vectores

Algunas magnitudes físicas como el tiempo, la temperatura, la masa y otras

que se verán en el curso de Física las identificamos con un número y una

unidad sin preocuparnos por nada más. Otras sin embargo tienen

una direccionalidad que no pueden ser descriptas por un solo número. Por

ejemplo si quisiéramos establecer sin lugar a dudas la posición de una lámpara

en una habitación, necesitaríamos decir:

A qué altura del techo (o piso se encuentra)

A qué distancia de la puerta se encuentra

A qué distancia de la pared adyacente a la puerta se encuentra.

Es decir que necesitamos como mínimo tres números para determinar esa

posición

Otro ejemplo familiar es la velocidad, si decimos que un automóvil se mueve a

una velocidad de 100 km./h en la Ruta que une Bs. As. Con Mar del Plata no

basta decir solamente esto sino necesitamos saber si va o vuelve. Necesitamos

saber no solamente cuán rápido va sino también su dirección y hacia dónde.

Una cantidad física para la cual nos alcanza un número para determinarla la

llamamos escalar, mientras que a aquellas que se necesita más de un número

para identificarlas (no solamente cuánto sino también la dirección en el espacio

y hacia dónde va) las llamamos vectoriales. Podemos operar con escalares de

la manera que estamos acostumbrados a realizar las operaciones aritméticas,

sumar, multiplicar, dividir etc. Sin embargo, para combinar vectores se

necesita determinar un conjunto distinto de operaciones. Porque en realidad

podríamos pensar:- Bien! Para determinar un vector si necesitan tres números

entonces cada tres números tenemos un vector. No!!! Para que estos tres

números sean un vector deben estar asociados a un sistema de referencia (o

coordenadas), de manera tal que si giramos el sistema de coordenadas, estos

números se "retuercen" o se "mezclan" con leyes precisas que discutiremos

enseguida.

Vector Desplazamiento

Vamos a empezar por la cantidad vectorial más simple, el desplazamiento, que

no es más que el cambio de posición de un punto a otro (Atención este punto

puede ser un modelo que representa una partícula o un pequeño cuerpo que

se traslada). El desplazamiento es un vector porque no solamente basta decir a

qué distancia se movió sino en qué dirección. No es lo mismo salir de la puerta

de casa y moverse 2 cuadras hacia la derecha que hacia la izquierda. El

desplazamiento no es el mismo.

El desplazamiento a menudo lo representamos por una sola letra mayúscula

que aquí la mostraremos en negrita P, pero hay muchas otras maneras.

En la Fig. 1 mostramos que el desplazamiento para ir de A hasta B es una línea

recta que une estos puntos, empieza en A y termina en B dirigida hacia B.

Cuando el cuerpo se mueve de manera que vaya y vuelva al punto inicial, el

desplazamiento es cero. Es importante darse cuenta que el desplazamiento no

está relacionado con la distancia recorrida

Vamos a representar la magnitud de un vector (la longitud en el caso del

desplazamiento) por la misma letra del vector pero no en negrita o bien:

(Magnitud o módulo de P) = P = ï Pô

Por definición el módulo de P es un escalar (un número) y siempre es positivo.

Suponemos ahora que una partícula tiene un desplazamiento P, seguido por un

desplazamiento Q. El resultado es el mismo que si se hubiera considerado

partiendo del mismo punto inicial un único desplazamiento R como podemos

ver en la figura.

Lo que en símbolos podemos expresar R = P + Q, a este vector se lo

llama suma o resultante. Poner atención que aquí estamos sumando vectores y

no es la simple suma algebraica de sus módulos sino que debemos tomar en

cuenta sus direcciones. Podríamos preguntarnos si el desplazamiento es el

mismo si hubiéramos considerado primero el desplazamiento de Q y luego el

de P. ¿Cuál es la respuesta?.

Veamos.

Simbólicamente se puede expresar R = Q + P que resulta igual a P + Q, es

decir que la suma vectorial obedece la propiedad conmutativa. Por lo tanto la

resultante es la misma

La figura anterior sugiere una representación gráfica de la suma vectorial que

la conocemos por la regla del paralelogramo. Los vectores P yQ se llevan al

mismo punto, de la "cabeza’ de P se traza una recta paralela a Q y se hace lo

mismo desde la "cabeza’ de Q trazando una paralela a P. La intersección de

ambas conjuntamente con P y Q genera un paralelogramo y el vector

resultante R es la diagonal del mismo.

Cuando dos vectores son paralelos (o anti paralelos,) el vector resultante es la

suma (o resta) de las magnitudes de los vectores correspondientes.

Para sumar más de dos vectores, debemos primero encontrar el vector suma

de cualquier par de vectores y ese vector resultante sumarlo con el siguiente y

así sucesivamente. En la siguiente figura se muestra la suma de tres

vectores P. Q y S. Los vectores P y Q se suman primero dando como

resultado T y luego éste se suma con S para obtener la resultante R.

Es decir que R = (P + Q)+ S = T + S

Alternativamente R = P + (Q + S) = P + U.

Si bien nosotros en el ejemplo utilizamos la regla de suma considerándolos de

a pares, para encontrar la resultante, podríamos también sumarlos

directamente armando un polígono, llevando la "cola" de un vector a la cabeza

del otro, manteniendo siempre su dirección y sentido de manera tal que se

forme un polígono, que se cierra cuando la "cabeza" del último vector a ser

sumado se une con la "cola "del primero.

Tengan en cuenta que estas sumas se pueden realizar independientes del

sistema de coordenadas.

Una cantidad vectorial puede ser multiplicada por un escalar, en este caso el

vector resultante de tal multiplicación tiene la misma dirección que el vector

original. Por ejemplo, si queremos multiplicar el vector P por un número

cualquiera, digamos 2, el vector resultante tendrá el doble de la magnitud (o

módulo) pero la dirección es la misma.

También este escalar podría ser una magnitud física. La ecuación tan conocida

de

F = m a, al vector aceleración a se lo multiplica por un escalar m (que es un

número pero tiene unidades de masa) y el resultado es la fuerza Fcuya

dirección es la misma que la aceleración a.

Si el escalar es un número negativo el vector resultante tiene la misma

dirección pero sentidos opuestos y si por supuesto ese escalar es cero el

resultado es obvio.

También podemos pensar este tipo de producto como lo que podemos

llamar operación Chicle. Si el escalar es un número mayor o igual que 1 el

módulo del vector resultante es mayor (se estira), si el escalar está entre cero

y uno, el módulo es menor (se acorta), si es negativo invierte el sentido y si es

cero..... No hay más vector.

A partir del caso especial de multiplicación por –1, lo que obtenemos es un

vector de la misma magnitud y dirección que el original pero con sentido

contrario (-1)P = -P, lo que nos permite definir la resta entre vectores es decir:

P – Q = P + (-1) Q = R

Ejemplo 1

Representemos, a escala, la siguiente trayectoria de un móvil que partiendo de

un punto A viaja: 40[km] al S, luego 55[km] al E, 70[km] al N y finalmente

20[km] al SO. Determinemos la distancia recorrida y la magnitud y dirección

del desplazamiento en este movimiento.

Elegimos como sistema de referencia el punto inicial A y la dirección Sur –

Norte, y con una escala adecuada dibujamos los sucesivos desplazamientos. La

distancia recorrida a lo largo de la trayectoria, es: (40 55 70 20) [km]

185[km]

La magnitud del desplazamiento total en este movimiento es igual a la

magnitud del vector AF d G dibujado entre la posición inicial A y la final F. Su

valor es de 44[km], aproximadamente.

La dirección del desplazamiento la podemos expresar mediante el ángulo

formado por el correspondiente trazo dirigido y una dirección de referencia. En

este caso el ángulo formado por el vector AF d G y la dirección Sur-Norte es

aproximadamente 69°.

Fíjese que al representar la información sobre el movimiento, hemos indicado

no sólo las magnitudes de los sucesivos desplazamientos, sino también sus

direcciones, sin las cuales no podríamos determinar la trayectoria descrita por

el móvil. Similarmente, el desplazamiento resultante queda determinado sin

ambigüedad al indicar su magnitud y su dirección.

Ejemplo 2

Trayectoria es la línea determinada por las sucesivas posiciones del móvil en el

curso de su movimiento.

Espacio recorrido es el camino que realiza el móvil medido sobre la trayectoria.

Vector desplazamiento es el vector definido por la posición inicial, que será el

origen del vector, y la posición final, que será su extremo. Su símbolo es  .

Donde   es el vector desplazamiento.

Velocidad

La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el

desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. Se representa por   o  .

Sus dimensiones son [L]/[T].1 2 Su unidad en el Sistema Internacional de

Unidades es el metro por segundo (símbolo m/s).

En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse

la dirección del desplazamiento y el módulo, el cual se denomina celeridad o

rapidez.3

De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por

unidad de tiempo, la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por

unidad de tiempo.

Velocidad media[editar]

Se define como velocidad media, a dicha magnitud vectorial en un intervalo de

tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Δr) entre el tiempo (Δt)

empleado en efectuarlo:

(1)

Esta es la definición de la velocidad media entendida como vector (ya que es el

resultado de dividir un vector entre un escalar).

Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la trayectoria en un

intervalo de tiempo dado, tenemos lavelocidad media sobre la

trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad escalar. La expresión

anterior se escribe en la forma:

(2)

La velocidad media sobre la trayectoria también se suele denominar

«velocidad media numérica» aunque esta última forma de llamarla no está

exenta de ambigüedades.

El módulo de la velocidad media (entendida como vector), en general, es

diferente al valor de la velocidad media sobre la trayectoria. Solo serán iguales

si la trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno u otro sentido)

sin retroceder. Por ejemplo, si un objeto recorre una distancia de 10 metros en

un lapso de 3 segundos, el módulo de su velocidad media sobre la trayectoria

es:

Velocidad instantánea[editar]

La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria, corresponde a

la derivada del vector posición (R) respecto al tiempo.

Permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una

trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo

entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto

de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la

trayectoria.

En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al

tiempo:

donde   es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a

la trayectoria del cuerpo en cuestión y  es el vector posición, ya que en el

límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

Celeridad o rapidez[editar]

La celeridad o rapidez es la magnitud o el valor de la velocidad, ya sea

velocidad vectorial media, velocidad media sobre la trayectoria, o velocidad

instantánea (velocidad en un punto). El módulo del vector velocidad

instantánea y el valor numérico de la velocidad instantánea sobre la

trayectoria son iguales, mientras que la rapidez promedio no necesariamente

es igual a la magnitud de la velocidad promedio. La rapidez promedio (o

velocidad media sobre la trayectoria) y la velocidad media tienen la misma

magnitud cuando todo el movimiento se da en una dirección. En otros casos,

pueden diferir.

Velocidad relativa[editar]

Artículo principal: Velocidad relativa

El cálculo de velocidades relativas en mecánica clásica es aditivo y encaja con

la intuición común sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge

el método de la velocidad relativa. La velocidad relativa entre

dos observadores A y B es el valor de la velocidad de un observador medida

por el otro. Las velocidades relativas medias por A y B serán iguales en valor

absoluto pero de signo contrario. Denotaremos al valor la velocidad relativa de

un observador B respecto a otro observador A como  .

Dadas dos partículas A y B, cuyas velocidades medidas por un cierto

observador son   y  , la velocidad relativa de B con respecto a A se denota

como   y viene dada por:

Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como   

y viene dada por:

de modo que las velocidades relativas   y   tienen el mismo módulo

pero dirección contraria.

Velocidad angular[editar]

La velocidad angular no es propiamente una velocidad en el sentido

anteriormente definido sino una medida de la rapidez con la que ocurre un

movimiento de rotación. Aunque no es propiamente una velocidad una vez

conocida la velocidad de un punto de un sólido y la velocidad angular del sólido

se puede determinar la velocidad instantánea del resto de puntos del sólido.

Movimiento rectilíneo uniforme

El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) fue definido, por primera vez, por Galileo en los

siguientes términos: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aquél en el que los espacios

recorridos por un móvil en tiempos iguales, tómense como se tomen, resultan iguales entre sí",

o, dicho de otro modo, es un movimiento de velocidad v constante.

El MRU se caracteriza por:

a) Movimiento que se realiza en una sola dirección en el eje horizontal.

b) Velocidad constante; implica magnitud, sentido y dirección inalterables.

c) La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta

aceleración (aceleración = 0).

Concepto de rapidez y de velocidad

Muy fáciles de confundir, son usados  a menudo como equivalentes para

referirse a uno u otro.

Pero la rapidez (r) representa un valor numérico, una magnitud; por

ejemplo, 30 km/h.

En cambio la velocidad representa un vector que incluye un valor numérico

(30 Km/h) y que además posee un sentido y una dirección.

Cuando hablemos de rapidez habrá dos elementos muy importantes que

considerar: la distancia (d) y el tiempo (t), íntimamente relacionados.

Así:

Si dos móviles demoran el mismo tiempo en recorrer distancias distintas,

tiene mayor rapidez aquel que recorre la mayor de ellas.

Si dos móviles recorren la misma distancia en tiempos distintos, tiene mayor rapidez aquel que

lo hace en menor tiempo.

Significado físico de la rapidez

La rapidez se calcula o se expresa en relación a la distancia recorrida en cierta unidad de tiempo

y su fórmula general es la siguiente:

Rapidez

fantástica.

Donde

v =

rapidez         d

= distancia o

desplazamien

to    t =

tiempo

 

Usamos v para representar la rapidez, la cual es igual al cociente entre la distancia (d) recorrida

y el tiempo (t) empleado para hacerlo.

Como corolario, la distancia estará dada por la fórmula:

Según esta, la distancia recorrida por un móvil se obtiene de multiplicar su rapidez por el tiempo

empleado.

A su vez, si se quiere calcular el tiempo empleado en recorrer cierta distancia usamos

El tiempo está dado por el cociente entre la distancia recorrida y la rapidez con que se hace.

Ver: PSU: Física; Pregunta 04_2005(2)

En este

ejemplo, el

móvil recorre

8 metros cada

2 segundos y

se mantiene

constante.

 

Problemas o ejercicios sobre el movimiento rectilíneo uniforme:

Ejercicio 1

Un automóvil se desplaza con una rapidez de 30 m por segundo, con movimiento rectilíneo

uniforme. Calcule la distancia que recorrerá en 12 segundos.

Analicemos los datos que nos dan:

Apliquemos la fórmula conocida:

  y reemplacemos con los datos conocidos:

¿Qué hicimos? Para calcular la distancia (d), valor desconocido, multiplicamos la rapidez (v) por

el tiempo (t), simplificamos la unidad segundos y nos queda el resultado final en metros

recorridos en 12 segundos: 360 metros

Vectores y Escalares. Fisica. 

Suma Grafica y Analitica

En física debemos distinguir entre vectores y escalares.

Un vector es una cantidad orientada, tiene tanto magnitud como dirección.

La velocidad, la fuerza y el desplazamiento son vectores.

El tiempo, la temperatura y la energía son escalares: sólo tienen magnitud,

no tienen dirección asociada a ellas.

Los vectores se representan mediante flechas, en que la longitud de la flecha

se traza proporcionalmente a la magnitud del vector. Las letras que

representan vectores se escriben en negrita.

1.- Suma de Vectores. Método Gráfico 

Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética simple. Si dos

vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética,

pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo,

si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su

desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una

magnitud de 5 km y un ángulo   = 36.87º respecto del eje x positivo. Ver

figura

Vectorialmente, el desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores

V1 y V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 Esta es una ecuación vectorial.

La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y

transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es

la siguiente:

(1) Use una misma escala para las magnitudes. 

(2) Trace uno de los vectores, digamos V1 

(3) Trace el segundo vector, V2, colocando su cola en la punta del primer

vector, asegurándose que su dirección sea la correcta.

(4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde

la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

Este método se llama suma de vectores de cola a punta.

Notemos que V1 + V2 = V2 + V1, esto es, el orden no es importante.

Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores.

Suponga que deseamos sumar los vectores V1, V2, y V3 representados a

continuación:

Un segundo método para sumar dos vectores es el método del

paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este método se

trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo

usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal

que se traza desde el origen común.

 Resta de VectoresDado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con

la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

La diferencia de dos vectores A y B se define como

 A - B = A + (-B) 

De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.

3.- Multiplicación de un Vector por un EscalarSe puede multiplicar un vector V por un escalar c. Se define este producto de

tal manera que cV tenga la misma dirección que V y tenga la magnitud cV. Si

c es positivo, no afecta el sentido. Si c es negativo, el sentido es

exactamente opuesto a V.

Suma de Vectores. Método Analítico

• Suma de ComponentesLa suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud

suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.

Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la

suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original.

Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos

direcciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vectorV. Se trazan

perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el

eje x la componente vectorialVx y sobre el eje y la componente vectorial Vy.

Notemos que V = Vx + Vy de acuerdo al método del paralelógramo.

Las magnitudes de Vx y Vy, o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son números,

positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y

y.

Notar también que Vy = Vsen  y Vx = Vcos

• Suma de Vectores UnitariosFrecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de   

unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a

uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los

símbolos i, jy k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y

y z positivas, respectivamente.

Ahora V puede escribirse

V = Ax i + Ay j 

Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j con el vector

B = Bx i + By j escribimos

R = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j 

Las componentes de R (=A + B) son Rx = Ax + Bx y Ry = Ay + By

Problema IlustratorioEl siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este método

analítico.

Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste

del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.

Hacemos un diagrama:

Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura,

y usando   unitarios, tenemos:

R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se 

denota   y cuya dirección puede determinarse calculando el ángulo  .

A = 20 km j, (apunta hacia el Norte).

B debemos descomponerlo en componentes x e y (ó i y j )

B = -(35 km)sen60ºi + (35 km)cos60ºj = -30.3 kmi + 17.5 kmj

Luego,

R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j - 30.3i.

La magnitud se obtiene de

 2 = (37.5km)2 + (30.3km)2     = 48.2 km

La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo  . 

En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5, tg  =

30.3/37.5    = arctg(30.3/37.5) = 38.9º.

Para medir longitudes los instrumentos más usados son las reglas y

cintas, graduadas generalmente en decímetros, centímetros y

milímetros. Las reglas metálicas, madera, plásticas, con divisiones que

van desde el centímetro y milímetro son usadas para realizar

mediciones más precisas menores de un metro.

Cinta métrica.

El cronómetro y el reloj

Son utilizados para medir el tiempo, que es una variable muy

importante, cuando se realzan ciertas prácticas experimentales en el

laboratorio.

El cronómetro es de uso común en los centros de salud, en actividades

deportivas como la competencia cerrada.

Cuando necesitamos medir tiempos muy cortos, lo recomendable es

usar el cronómetro.   

Cronómetro.

LA INCERTIDUMBRE DE LOS RESULTADOS DE LA MEDICIÓN

Exactitud de las medidas

No existen las mediciones exactas. Siempre hay un grado de

incertidumbre ya que, invariablemente la misma medida tomada por

varios observadores, con diversos instrumentos de medición,

seguramente da valores distintos.-

Hay diversos factores de los que depende el resultado de la medición.

Veamos algunos:

a) La precisión del instrumento:

Ejemplo:

Si medimos una longitud de 14 mm con una regla graduada en cm,

el resultado será menos preciso que si usamos una regla graduada

en mm.-

b)La habilidad del observador:

Un observador inexperto podrá cometer más errores que un operador

entrenado.-

d)La dimensión de la cantidad a medir (grande o pequeña):

Cuanto mayor es la cantidad a medir con un mismo instrumento,

menor será la incidencia porcentual de los inevitables errores.

Ejemplo:

Un error de 1 gramo en una medición de 200 g representa el 5 %

pero, en una medición de 10 gramos, representa el 10 %.-

e) Las condiciones en que se realiza el trabajo de medición:

Si se mide en condiciones ambientales adversas (lluvia, viento, calor

excesivo, etc), se corre el riesgo de aumentar los errores.-

Las causas de la incertidumbre de los resultados de las mediciones

se clasifican en:

a) Causas Sistemáticas y b) Causas Accidentales

a) Causas Sistemáticas: tienen su origen en alguna imperfección del

instrumento o en fallas del observador o en defectos del método de

medición o en las condiciones ambientales.

Estas causas pueden y deben ser eliminadas ( o por lo menos

minimizadas)

b) Causas Accidentales : son aquellas completamente

incontrolables tales como pequeñas oscilaciones del terreno o del

edificio en el que se realiza la medición, cambios imperceptibles de

temperatura durante el procedimiento, etc. Estas causas son muy

difíciles de eliminar, pero deben ser tenidas en cuenta en aquellos casos

en los que se busca explicación a diferencias de mediciones hechas con

extremos cuidados.-

Para minimizar la influencia de los errores sistemáticos y

accidentales, se recurre a algunos artificios tales como repetir la

medición una determinada cantidad de veces con el mismo o con

distinto observador, cambiar el instrumento, medir en condiciones

ambientales distintas, etc.-

EL PROCESO DE MEDICIÓN

1)Las Escalas :

Cada instrumento tiene una escala, cuyo menor valor se denomina

“apreciación del instrumento”

Ejemplo:

Una regla cuya menor graduación es un centímetro, se dice que tiene

una apreciación

de 1 cm; un reloj cuya menor división son los segundos, tiene una

apreciación de 1 segundo, etc.-

El observador lee siempre hasta la mínima división del instrumento y

“estima a ojo” la fracción de la división menor.-

2) Interpretación de los resultados de las mediciones:

Una vez que se tienen los valores de varias de mediciones de la misma

magnitud, surge el problema de determinar cuál de todas las mediciones

es la correcta.-

El científico alemán Karl F. Gauss estudió detenidamente este problema

y enunció un postulado que dice:

Postulado de Gauss

El Valor más probable (X) de una magnitud es el promedio

aritmético de todas las mediciones realizadas en las mismas

condiciones

Es decir que X es el cociente entre la suma de todas las

mediciones y la cantidad de mediciones efectuadas.-

Valor más probable: X= Sumatoria de todos los valores de las

mediciones

Cantidad de mediciones

Ejemplo:

Supongamos que se han efectuado 3 mediciones de una magnitud con

los siguientes resultados:

1,83 ; 1,84 ;1,82 m

Valor más probable: X = 1,83+1,84+1,82= 1,83 m

3

Para que la medición sea confiable se deberá indicar, junto con el

resultado, cual es el valor del error que pudo haberse cometido, por lo

que será necesario definir qué son los Errores

ERRORES:

Se llama así a los apartamientos de cada medición (lectura) con

respecto al Valor más probable (X) y sirven para dar una idea de la

precisión conque se ha medido.

Se definen tres tipos de errores:

1) Error aparente (Ea)

2) Error relativo (Er)

3) Error porcentual (E%)

Veamos qué significa cada uno:

1) Error Aparente (Ea): Es la diferencia entre el valor de cada

lectura efectuada menos el Valor más probable X.-

Si llamamos x al valor de cada lectura , el Error aparente (Ea) de

cada lectura es:

Ea = x - X (1)

Ea es positivo si x es mayor que X y negativo en caso contrario. Si x =

X el error aparente Ea = 0

2) Error Relativo (Er) : Es el cociente entre el Error aparente (Ea)

de cada lectura y el Valor más probable X:

Error relativo (Er) = Ea / X

reemplazando Ea por la fórmula definida más arriba (1), resulta

Error relativo (Er) = (x - X) / X

Como puede verse, el Error relativo Er establece la relación entre el

apartamiento de cada medición x con respecto al Valor más probable X .

Ejemplo:

En el caso de las 3 mediciones que venimos desarrollando podemos

calcular el error relativo de cada lectura.

Por ejemplo, para la segunda lectura, x = 1,84 m (recordemos que X =

1,83 m) resulta:

Error relativo Er = (1,84 - 1,83) / 1,83 = 0,01/ 1,83 = + 0,005

Debe tenerse en cuenta que si hubiéramos cometido el mismo Error

aparente Ea = 0,01 en otra medición en la que el Valor más probable X

fuera menor, por ejemplo X = 0,40 m , el Error relativo resultaría

Er = 0,01/0,40 = + 0,025 (cinco veces

mayor que el anterior)

Se concluye que, para un mismo valor de Error aparente Ea , el Error

relativo Er es mayor cuanto menor es la magnitud X.-

En general podemos afirmar que, cuanto menor sea el Error relativo Er,

más confiable resulta la medición.-

3)Error Porcentual (E%): A veces es útil expresar el error relativo

(Er) en forma porcentual , para lo cual se calcula E % multiplicando Er x

cien, es decir

Error porcentual E% = Er x 100

Forma de expresar los resultados

El resultado de una medición se expresa con el Valor más probable X

junto con la incerteza ( x) con que se ha medido. Se expresa así

Medida = X + x (se lee equis mas

menos delta equis)

Ejemplo: Si se mide una longitud de 340 cm con una regla dividida en

cm, la apreciación del instrumento es de 1 cm, pero el operador puede

estimar a ojo hasta 0,5

cm. (incerteza x = 0,5 cm)

El valor de esta medición se expresará así:

340 cm + 0,5 cm (se lee trescientos cuarenta centímetros más menos

0,5 cm), o también

3,40 m + 0,005 m (tres coma cuarenta metros mas menos 0,005 m)

Si la regla está dividida en mm, la apreciación es de 1mm ó 0,1 cm, pero

el operador no podrá apreciar el medio milímetro, por lo que la medida

será:

L = 3400 mm + 1 mm ó L = 3,40 m +

0,001 m

Nota: La incerteza debe expresarse en la misma unidad que la medida

principal.

No se deben mezclar metros con cm o mm (Es incorrecto escribir L =

3,40 m + 1 mm)

Bibliografía

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http://www.profesorenlinea.cl/fisica/

Movimiento_rectilineo.html

http://www.jfinternational.com/mf/suma-vectores-

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http://www.educando.edu.do/articulos/estudiante/uso-

de-los-instrumentos-de-medidas-en-el-laboratorio/