7172019 Tarea de teoriacutea de grupos

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ALGEBRA MODERNA I DIANA AVELLA ALAMINOS TAREA I

1 Determina en cada uno de los siguientes casos si el sistema descritoes grupo o no En caso negativo senala cual o cuales de los axiomasde grupo no se verifican En caso afirmativo demuestra que es grupo

(a) G = R minus1 a lowast b = a + b + ab

(b) G = Rlowast a lowast b = |a|b

(c) G = p

q isin Q | ( p q ) = 1 q impar a lowast b = a + b (la adicion usual)

2 Sea G un grupo con |G| = 2n Prueba que el numero de elementos deorden 2 es impar y entonces hay un elemento aparte de la identidadque es su propio inverso

3 Prueba que las siguientes 4 matrices forman un grupo multiplicativo

9830801 00 1

983081

983080minus1 00 1

983081

9830801 00 minus1

983081

983080minus1 00 minus1

983081

4 Muestra que para el ejemplo (1)(b) existe un neutro izquierdo y cadaelemen to tiene un inverso derecho iquestque puedes concluir con respecto

a la definicion debil de un grupo

5 (a) Prueba que si G es un grupo abeliano entonces para todas a b isinG y para todo entero n se tiene que (ab)n = anbn

(b) Si G es un grupo tal que (ab)2 = a2b2 para todas a b isin G pruebaque G debe ser abeliano

6 Sea G un grupo tal que todos sus subgrupos propios son cıclicos iquestes Gcıclico Demuestra o da un contraejemplo

7 Demuestra que todo grupo cıclico es abeliano iquestes la cierta la afirmacion

recıproca Demuestra o da un contraejemplo

8 Para los siguientes grupos G con X sube G determina lt X gt

(a) G = (Z +) y X = p q con ( p q ) = 1

(b) G = (Qlowast middot) y X = 1p| p primo

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9 Si los unicos subgrupos de G son G mismo y e prueba que entonces

G es un grupo finito de orden primo o el grupo trivial

10 Prueba que la union de dos subgrupos de un grupo G es subgrupo si ysolo si uno de los subgrupos esta contenido en el otro Da un ejemplode dos subgrupos cuya union no sea un subgrupo

11 Sean G = Gl(2Q) A =

9830800 minus11 0

983081 B =

983080 0 1minus1 1

983081 Muestra que A y

B tienen orden finito pero AB no

12 Sea (G lowast) un grupo tal que todo elemento de G es su propio inverso

Demuestra que G es abeliano13 Prueba que Sl(2R) le Gl(2R) y que Gl(2Q) le Gl(2R)

14 Sea G =lt a gt un grupo cıclico de orden n Prueba que G =lt ak gt siy solo si (k n) = 1

15 Encuentra todos los subgrupos de Z12 Z36 y Z8 y elabora el diagramareticular correspondiente en cada caso

16 Sea G un conjunto no vacıo con una operacion binaria asociativaPrueba que si x rarr ax es biyectiva para toda a isin G y x rarr xb es

inyectiva para alguna b isin G entonces G es un grupo

17 Sea G un conjunto no vacıo con una operacion binaria asociativaPrueba que G es un grupo si y s olo si para cualesquiera a b isin G lasecuaciones ax = b ya = b tienen soluciones en G

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9 Si los unicos subgrupos de G son G mismo y e prueba que entonces

G es un grupo finito de orden primo o el grupo trivial

10 Prueba que la union de dos subgrupos de un grupo G es subgrupo si ysolo si uno de los subgrupos esta contenido en el otro Da un ejemplode dos subgrupos cuya union no sea un subgrupo

11 Sean G = Gl(2Q) A =

9830800 minus11 0

983081 B =

983080 0 1minus1 1

983081 Muestra que A y

B tienen orden finito pero AB no

12 Sea (G lowast) un grupo tal que todo elemento de G es su propio inverso

Demuestra que G es abeliano13 Prueba que Sl(2R) le Gl(2R) y que Gl(2Q) le Gl(2R)

14 Sea G =lt a gt un grupo cıclico de orden n Prueba que G =lt ak gt siy solo si (k n) = 1

15 Encuentra todos los subgrupos de Z12 Z36 y Z8 y elabora el diagramareticular correspondiente en cada caso

16 Sea G un conjunto no vacıo con una operacion binaria asociativaPrueba que si x rarr ax es biyectiva para toda a isin G y x rarr xb es

inyectiva para alguna b isin G entonces G es un grupo

17 Sea G un conjunto no vacıo con una operacion binaria asociativaPrueba que G es un grupo si y s olo si para cualesquiera a b isin G lasecuaciones ax = b ya = b tienen soluciones en G

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