Lógica 2 (2013-2)Mtro. Cristian A. Gutiérrez

Ejercicios extrasNombre:_____________________________________________________________

Nuestro sistema de reglas de lógica proposicional es el siguiente.

Reglas de Introducción Reglas de Eliminación

⊃ α sup.....

β α⊃β

α⊃β α

β

∧ α β α∧β

α∧β

α α∧β

β

∨ α α∨β

α β∨α

α∨β α sup.

...γ

β sup....γ

γ

≡ [(α⊃β) ∧ (β⊃α)]α≡β

[(α∧β) ∨ (∼α∧∼β)]α≡β

α≡β [(α⊃β) ∧ (β⊃α)]

α≡β [(α∧β) ∨ (∼α∧∼β)]

∼ α sup....

⊥ ∼α

∼α sup....

⊥ α

⊥ α ∼α

⊥

⊥ α

NOTA: Recuerden que la única forma de introducir supuestos (que es lo mismo que hipótesis) es usando una regla que lo permita, de tal forma que no puedes probar cosas simplemente suponiéndolas, tienen que respetar la forma de la regla. Las reglas que requieren de introducir supuestos son la Introducción del Condicional (I⊃), la Eliminación de la Disyunción (E∨), la Introducción de la Negación (I~) y la Eliminación de la Negación (E~).NOTA 2: Esto son otros nombre usuales para algunas de nuestra reglas.Introducción del Condicional (I⊃): Prueba condicionada, Metateorema de la deducción.Eliminación del Condicional (E⊃): Modus Ponens o Modus Ponendo Ponens.Introducción de la Conjunción (I∧): Conjunción.Eliminación de la Conjunción (E∧): Simplificación.Introducción de la Disyunción (I∨): Adición.Eliminación de la Disyunción (E∨): Prueba por casos.Introducción de la Negación (I~) y Eliminación de la Negación (E~): Prueba por Reducción al Absurdo.

Demuestra que los siguientes argumentos son válidos utilizando nuestro sistema de deducción natural, recuerda que ya puedes usar todas las reglas que hayas demostrado.

1) 1. p ∧ q /∴~~(p ∧ ~~q)

2) 1. (~p ∨ q) ⊃ r/∴~~[~~(~p ∨ q) ⊃ ~~r ]

3) 1. ~~~p ≡ ~~q/∴~~(~p ≡ q)

4) 1. s ∧ [t ∧ (s ⊃ t)]/∴ ~~(s ⊃ t)

5) 1. ~~(r ∧ p)/∴ ~~p

6) 1. ~~[r ∧ ~~(~~t ≡ p)]/∴ (t ≡ ~~p)

7) 1. p2. q3. r/∴ (q ∧ p) ∧ (p ∧ r)

8) 1. p ∧ s 2. r ∧ t/∴ p ∧ t

9) 1. p ∧ ~~(s ∧ t)2. ~~(r ∧ q)/∴ r ∧ (p ∧ ~~t)

10) 1. r ⊃ t/∴ [p ∨ (r ⊃ t)] ∨ t

11) 1. p/∴ ~~p ∨ (p ≡ ~~p)

12) 1. p ∧ t 2. s ∧ ~~r/∴ (~~t ∧ r) ∨ ~p

13) 1. p ∨ ~q2. q ∨ ~r3. ~p/∴ ~r

14) 1. ~~(~p ∨ r) ∨ q2. ~q3. p/∴ r

15) 1. ~(s ∧ u) v (~s ∨ q)2. s3. u/∴ q

16) 1. ~(p ∨ ~q) ∨ ~~r2. p/∴ r

17) 1. ~(r ∧ ~t) v (p ∨ ~q)2. r ∧ q3. ~s ∧ ~t/∴ p

18) 1. q ∧ ~t2. ~q ∨ s/∴ (~t ∧ s) ∨ (~t ∧ s)

19) 1. [(r ∨ s) ∧ (~p ∨ ~q)] ∧ ~~(~s ∧ q)/∴ t ∨ (~p ∧ r)

20) 1. [~(p ∨ q) v (t ∧ r)] ∧ p /∴ (t ∨ ~s) ∧ r

21) 1. r ⊃ (p ⊃ ~q)2. r ⊃ p3. r/∴ ~q

22) 1. t ⊃ ~~(r ⊃ q)2. r 3. t/∴ q ∨ (t ∧ ~r)

23) 1. (p ⊃ r) ⊃ {r ⊃ [(p ⊃ r) ⊃ q]}2. p ⊃ r3. p/∴ q

24) 1. q ⊃ (r ⊃ ~p)2. p3. q/∴ ~r

25) 1. ~(q ⊃ r) ⊃ ~p2. p3. ~r/∴ ~q

26) 1. ~(h ⊃ ~q) ⊃ ~t2. t3. r ∧ q/∴ ~h ∧ t

27) 1. ~(q ⊃ r) ⊃ ~p2. p/∴ ~r ⊃ ~q

28) 1. ~(q ⊃ r) ⊃ (~p ⊃ r)/∴ ~(~r ⊃ p) ⊃ (~r ⊃ ~q)

29) 1. ~~(~q ⊃ r) ⊃ ~p2. p/∴ ~(~r ⊃ q)

30) 1. p ⊃ ~p2. ~p ⊃ q3. q ⊃ p/∴ p ⊃ p

31) 1. ~(r ∧ t) ⊃ ~p2. ~s ⊃ p/∴ ~(r ∧ t) ⊃ s

32) 1. m ⊃ ~p2. r ⊃ p3. ~m ⊃ w/∴ r ⊃ w

33) 1. (q ∧ ~r) ⊃ ~p2. ~p ⊃ q3. (q ∧ ~r) ∨ ~p/∴ ~p ∨ q

34) 1. ~r ⊃ q2. ~s ⊃ t3. ~r ∨ ~s4. q ⊃ ~p5. t ⊃ u/∴ u ∨ ~p

35) 1. t ⊃ r2. s ⊃ q3. ~r ∨ s/∴ ~t ∨ q

36) 1. (q ∧ ~r) ⊃ ~p2. ~q ⊃ p3. p ∨ ~p/∴ ~(q ∧ ~r) ∨ q

37) 1. q ⊃ p2. ~r ⊃ ~s3. ~p ∨ s/∴ r ∨ ~q

38) 1. r ⊃ p2. q ⊃ t3. ~p ∨ ~t4. m ⊃ r5. u ⊃ q/∴ ~u ∨ ~m

39) 1. (q ⊃ ~r) ⊃ ~p2. s ⊃ (r ⊃ ~q)3. s/∴ ~p

40) 1. (q ⊃ ~r) ⊃ ~p2. s ⊃ ~q3. s ∨ p/∴ ~(r ⊃ ~q) ∨ ~q

41) 1. q ⊃ ~t2. r ⊃ t3. r/∴ ~q

42) 1. r ⊃ ~p2. t ⊃ p3. ~t ⊃ ~r4. s ⊃ r5. s/∴ ~r

43) 1. ~(q ⊃ u) ⊃ (~r ⊃ ~p)2. s ⊃ ~(p ⊃ r)3. s4. ~u

/∴ ~q

44) 1. [ ( r ∨ q ) ∨ ( p ∨ t )] ∨ ( s ∨ m) /.: {r ∨ [( q ∨ p ) ∨ ( t ∨ s )]} ∨ m

45) 1. [q ∧ { p ∧ [ r ∧ ( t ∧ s )]}] ⊃ m /.: [{ [( q ∧ p ) ∧ r ] ∧ t } ∧ s ] ⊃ m

46) 1. p ∧ ( q ∨ r ) /.: ( r ∨ q ) ∧ p

47) 1. ( r ∨ s ) ∨ t /.: ( t ∨ s ) ∨ r

48) 1. [( s ∧ p ) ∨ ( s ∧ r )] ∧ q /.: [ s ∧ ( p ∨ r ) ] ∧ q

49) 1. [ ( q ∨ p ) ∧ ( q ∨ r )] ∧ ( q ∨ s ) /.: q ∨ [ ( p ∧ r ) ∧ s ]

50) 1. ( q ⊃ p ) ⊃ s /.: [( q ⊃ p ) ∨ ( q ⊃ p )] ⊃ ( s ∧ s )

51) 1. { [ r ⊃ ( s ≡ t )] ∨ ~ p } /.: {( r ∨ r ) ⊃ [ (s ∧ s) ≡ ( t ∨ t ) ] }∨ (~ p ∧ ~ p )

52) 1. { [( p ∨ r ) ∨ (~ s ∨ t )] ∨ ( r ∨ q ) } /. : ( r ∨ p ) ∨ [~ s ∨ ( q ∨ t )]

53) 1. ( s ∧ p ) ∧ [( t ∧ q ) ∧ r] /.: { [( p ∧ t ) ∧ ( s ∧ q )] ∧ ( s ∧ r ) } ∧ ( p ∧ r )

54) 1. r ⊃ (p ⊃ ~q)/∴~r ∨ ~ (p ∧ q)

55) 1. (t ∧ ~p) ⊃ ~(~r ∨ q)2. r ⊃ q/∴ (t ⊃ p)

56) 1. p ∧ r/∴ ~ (r ⊃ ~p)

57) 1. (p ≡ q) ⊃ (r ∧ ~p)2. (p ⊃ q) ∧ p/∴ ~p

58) 1. p ≡ ~p/∴ q

59) 1. ~r2. r ∨ q/∴ q ≡ ~r

60) 1. (q ∨ r) ⊃ (~p ∧ r)2. ~(~q ∧ ~r)/∴ ~(p ∨ ~r)

61) 1. ~(q ⊃ r) ∨ (~p ∧ r)/∴ ~[(~r ⊃ ~p) ∧ (p ∨ ~r)]

62) 1. p/∴ ~(p ∧ ~p)

63) 1. p ⊃ [q ⊃ (r ⊃ t)]/∴ r ⊃ [(q ∧ p) ⊃ t]

64) 1. (r ∧ t) ⊃ p/∴ r ⊃ (~p ⊃ ~t)

65) 1. r ⊃ [(~q ∧ r) ⊃ q]/∴ r ⊃ q

66) 1. q ⊃ (~r ⊃ ~p)/∴ r ∨ ~ (p ∧ q)

67) 1. ~ [~ (q ⊃ ~r) ∨ ~ (q ∨ r)]/∴ q ≡ ~r

68) 1. q ≡ ~t/∴ ~(q ∧ t)

69) 1. p ≡ ~p/∴ ~(r ∨ ~r)

70) 1. ~[(q ⊃ u) ⊃ ~(u ⊃ (u ⊃ q)] /∴ u ≡ q