UNIVERSIDADLOYOLA

Trabajo de investigacin

ESTUDIO DELPENDULO INVERTIDO

De Gumucio Vargas Carlos E.Cdigo: 7238-6Ingeniera de control.

La Paz Bolivia2014

ndice.

1. Introduccin al estudio del pndulo invertido.

1.1. Qu es el pndulo invertido?.1.2. Componentes de modelo a estudiar.

2. Modelado matemtico del pndulo.

2.1. Anlisis de las fuerzas y sistema de ecuaciones.2.2. Funcin de transferencia.2.3. Ecuacin de estado.2.4. Respuesta a lazo abierto.2.4.1. Solucin: Mediante funcin de transferencia.2.4.2. Solucin; Mediante espacios de estados.

1. Introduccin al estudio del pndulo invertido.

Un pndulo es uno sistema fsico que puede oscilar bajo la accin gravitatoria, es un sistema muy bsicos para experimentar los conceptos de periodo y gravedad. El anlisis de un pndulo invertido se realiza si a la masa se une una barra rgida en la parte superior, un sistema aparentemente inestable que es un ejemplo clsico para el control automtico.

1.1 Qu es el pndulo invertido?.Un pndulo invertido es unpnduloque tiene sucentro de masapor encima del punto de pivote. se implementa el punto de giro montado en un carro que puede moverse horizontalmente .Considerando que un pndulo normal es estable debido a que se encuentra colgando hacia abajo, un pndulo invertido es inherentemente inestable, y debe ser equilibrado activamente con el fin de permanecer en posicin vertical.El pndulo invertido es un problema clsico enla dinmicayla teora de controly se utiliza como punto de referencia para las estrategias de control de la prueba.1.2. Componentes de modelo a estudiar.El modelo en el cual desarrollaremos el estudio ser un ejemplo clsico del pndulo invertido, componindose de una carro que se desplaza en el plano horizontal, una barra rgida y una masa en la parte superior de la barra.El modelo se describe mediante la fig. (1).

2. Modelado matemtico del pnduloEl modelado matemtico del pndulo invertido se realiza estudiando las fuerzas que actan en el mismo como se muestra en el modelo de la fig. (1).

2.1. Anlisis de las fuerzas y sistema de ecuaciones.El modelo de la fig. (1). Debemos analizar el diagrama de cuerpo libre de ambos cuerpos, el carro por un lado y la barra del pndulo invertido por otro, supondremos una superficie sin rozamiento para el sistema y un ngulo de desplazamiento theta, el cual ser muy pequeo, debido a que el carro con una fuerza horizontal genera una inercia en el pndulo el cual reacciona estabilizndose perpendicularmente al plano de movimiento.Analizaremos las fuerzas q actan en cada cuerpo de manera independiente como se ven en la fig. (2), fig. (3)El anlisis a realizar ser nicamente en dos dimensiones, por las condiciones del problema deduciendo las ecuaciones fundamentales de movimiento plano en un cuerpo rgido por la primera y la segunda ley de newton.De la fig. (2), analizamos las fuerzas q actan en el carro nicamente en el plano horizontal, debido a que un anlisis de las fuerzas en el plano vertical no nos dara ninguna informacin til para este caso en particular.Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la direccin horizontal se obtiene la siguiente ecuacin de movimiento. a esta ecuacin denominaremos (1).Por otra parte sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del pndulo fig.(3), en la direccin horizontal, obtenemos la siguiente ecuacin definiendo N.Ecuacin (2).Si se sustituye (1) en (2) obtenemos:

Ecuacin (3).Del movimiento horizontal del carro, donde F es nuestra entrada, para posteriormente poder deducir la funcin de transferencia.Para obtener la segunda ecuacin de movimiento, es necesario sumar todas las fuerzas que actan en el pndulo. Desde el centroide todos los momentos que actan en el mismo. Ecuacin (4).La aplicacin de la primera ley de Newton es la que nos permite establecer esta ecuacin.El movimiento de inercia del pndulo en direccin horizontal puede deducirse por: Ecuacin (5).La inercia en direccin vertical del pndulo nos permite deducir la siguiente ecuacin. Ecuacin (6).Hallando la segunda derivada de las ecuaciones (5) y (6), obtenemos:Ecuaciones (7) y (8).Aplicando reglas trigonomtricas en fig. (3), y descomponiendo las fuerzas que actan en el pndulo y remplazando (7) y (8) obtenemos:

Ecuacin (9).De la ecuacin (4) remplazando en (9) obtenemos la segunda ecuacin de movimiento. Ecuacin (10)Suponemos un ngulo de theta pequeo por lo que lo theta = Pi + y remplazando en las ecuaciones de movimiento (3) y (10) obtenemos las ecuaciones de movimiento que describen el comportamiento en el espacio del pndulo invertido. Aplicando derivadas en los ngulos respectivos obtenemos que, por lo tanto, cos (theta) = -1, sin (theta) =-O, y (d (theta) / dt) ^ 2 = 0. Obteniendo asi las ecuaciones (11),(12).

Ecuaciones (11),(12)2.2. Funcin de transferencia.Cualquier sistema fsico (mecnico, elctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemticos a travs de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos. Esto es lo que permite la funcin de transferencia. Se trata de un modelo matemtico que a travs de un cociente q relaciona la respuesta de un sistema (salida) a una seal de entrada o excitacin. Por dedicin una funcin de transferencia se puede determinar segn la expresin:

Para poder determinar la funcin de transferencia del sistema se debe llevar las ecuaciones (11) y (12) al dominio de Laplace. Por lo tanto aplicando la transformada de laplace en las ecuaciones de movimiento obtenemos:

Ecuacin (14) y (15), ya en el dominio de laplace.

Como nuestra entrada es la fuerza F(s) y nuestra salida seria (s) debemos operar en (15) obteniendo el equivalente de X(s) y as poder remplazarlo en (14) para determinar la funcin de transferencia.

Ecuacion (15) acomodada para poder sustituirla en (14).

Ecuacion (16).Aplicando algebra ordenando y utilizando la sustitucin de (17) en (16) el modelo nos queda. La funcin de transferencia. Ecuacion (17)Q ser remplazada en (16).Y la funcin de transferencia es:

Nota.- Ing. Camacho lamentablemente el tiempo no le alcanzo para culminar con el algebra de la funcin de transferencia, posteriormente completare el documento

Un saludo cordial.

Carlos De Gumucio.Cod: 7238-6De Gumucio Carlos COD:7238-6