Tarea1:Fısica de plasmas 2019-2

Problema 1

Para la frecuencia de plasmas habıa 2 formulas que se podıan usar, la referida al sistema internacional:√ne2

mε0

y la del sistema cgs: √4πne2

m

La diferencia principal entre las 2 ecuaciones es que el valor de la carga del electron son diferentes: en SI e =1,602× 10−19 Coulombs y en cgs e = 4,803× 10−10 statscoulombs. Usando estos valores y en el de ε0 = 8,854× 10−12

junto con los valores dados del problema se calculaba la frecuencia de plasma.Otra cosa con la que se tenıa que tener cuidado es la conversion de valores de densidad entre unidades de cgs y

SI: 1cm3 = 1× 106 1

m3 por lo que: √n[cm−3] = 1000

√n[m]

Para la longitud de debye se tiene la formula λD =√

ε0kTene2

si kTe esta medido en eV entonces kTee es el mismo

valor numerico que antes pero en Voltios, es decir ya en el sistema internacional.Para obtener la longitud de onda, λ de una onda electromagnetica sinusoidal se usa la relacion λf = C con C la

velocidad de fase de la onda y f su frecuencia, en nuestro caso la velocidad de la luz. No confundir f con la frecuenciaangular,ω, estas se relacionan de la siguiente forma: 2πf = ω. De donde λ = 2π

ω CFinalmente, se pedıa calcular el parametro de plasma que es igual al numero de partıculas en una esfera de radio

igual a la longitud de Debye.

N = Vesferan =4

3πλ3Dn

A continuacion muestro las respuestas correctas de Jesus Valverde paras las longitudes de Debye y parametro deplasma y la de Jose Rodrıguez para la frecuencia de plasma.

1

2

Problema 2

El problema 2 era muy descriptivo en lo que se tenıa que hacer y a lo que se tenıa que llegar. Aquı les pongo lasolucion de Carlos Ruiz. Una posible correccion es que la ecuacion de movimiento de las especies no es sobre partıculas

individuales sino sobre elementos de volumen, por lo que es de la forma ρd~Vdt = ρq ~E con ρ y ρq las densidades de masa

y carga iguales a mn y qn respectivamente. La notacion de Einstein para denotar suma es solo sobre 2 ındices.

3

Problema 3

Solucion de Carlos Carrera. La forma que da para la deriva de curvatura solo es valido en el vacıo donde ∇× ~B

en general se debe usar la forma:VR =mv2‖qB2

~R× ~BR2 . Tambien explica que se producira una deriva mas por la separacion

de las cargas.

Problema 4

Solucion de Jose Rodrıguez. Todos usaron todo lo que se tenıa que usar: invarianza de µ y de la energıa en elpunto inicial y de retorno. Solo habıa que cuidar que los valores del campo y las velocidades si correspondieran a lospuntos correctos.

4

Problema 5

La funcion de distribucion dada tenıa un error y resultaba no estar normalizada. Los lımites de integracion paralas velocidades debıan ser sobre todos los posibles valores i.e. de −∞ a ∞. Jesus Valverde dio una posible funcionnormalizada y mostro una forma de obtener la integral definida

∫ +∞−∞ e−x

2dx.

La funcion a esbozar iba de R3 → R es decir vive en 4 dimensiones. Como es simetrica en las dos direccionesperpendiculares se puede ignorar una de ellas y trabajar solo con V x o con v⊥ =

√v2x + v2y . A continuacion graficas

en Mathematica de la funcion e−2V2x e−V

2z .

En la vista en perspectiva se aprecia que todos los cortes verticales paralelos a los ejes producen curvas Gaussia-nas. Comparando las distribuciones a Vx y Vz constantes, es decir la dependencia de la distribucion con Vz y Vx

5

Figura 1: vista en perspectiva Figura 2: vx=cte, distribucion en vz.

Figura 3: vz=cte, distribucion en vx.

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Figura 4: Superficies de nivel

respectivamente, se observa que las curvas son mas gordas en Vz que en Vx. Esto porque hay mayor temperatura enla direccion paralela. Finalmente las superficies de nivel son elipses anidadas con el eje mayor alineado con Vz. Lasdistribuciones normales normalizadas son de la forma:

f(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2

con µ el eje de simetrıa y σ la desviacion estandar o ancho de la distribucion. Por lo que en nuestro caso σ ∝ T .

6

Problema6

La simplificacion importante es que para el movimiento circular uniforme la velocidad es constante por lo quetambien lo es el factor de Lorentz,γ. Con fuerzas paralelas a la velocidad la segunda ley de Newton se vuelve mascomplicada. A continuacion la solucion de Carlos Carrera.

7