Tarquin Tasas Simples y Compuestas

8/16/2019 Tarquin Tasas Simples y Compuestas

1/25


2/25

c a p í t u l o

capítulo enseña al lector a hacer cálculos de ingeniería económicautilizando y frecuencias de capitalización diferentes a 1 año. Elmaterial de este capítulo le ayuda a manejar asuntos financieros personalesque, con frecuencia, comprenden de tiempo mensuales, diarios ocontinuos.


3/25

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

intereses y de pago diferentes a un año.

Este capítulo ayudará al lector a:

para de efectiva

Interés efectivo . ---

continua

Definir el periodo de capitalización, la tasa deinterés nominal, tasa de interés efectiva y el periodo de pago.

Entender la fórmula para calcular las tasas de

interés efectivas.

Calcular la tasa de interés efectiva y encontrar cualquier factor para esta tasa.

Obtener y utilizar la fórmula de capitalizacióncontinua.

Hacer cálculos de equivalencia parade pago iguales al periodo de capitalización

más largos que éste.

Hacer cálculos de equivalencia parade pago más cortos que el periodo de capita-lización.

85


4/25

3 l Ingeniería económica

3.1 TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS

En el capítulo 1 se introdujeron los conceptos de tasas de interés simple y compuesto. Las

diferencias básicas entre las dos es que el interés compuesto incluye el interés sobre elinterés ganado durante el periodo anterior mientras que el interés simple no lo hace. Enesencia, las tasas de interés nominales y efectivas tienen la misma relación que entre síguardan el interés simple y el compuesto. La diferencia es que las tasas de interés efectivasse utilizan cuando el periodo de capitalización (o periodo de interés) es menor de un año.Por tanto, cuando una tasa de interés se expresa en de tiempo menores a un año,

y efectivas.El diccionario define la palabra nominal como “pretendida, llamada, ostensible o

real, genuina o efectiva. Como se analiza más adelante, las tasas de interés nominales debenconvertirse en tasas efectivas con el fin de reflejar, en forma precisa, consideraciones delvalor del tiempo. Antes de analizar las tasas efectivas, sin embargo, es preciso definir la tasade interés nominal, como la tasa de interés del periodo por el número de periodos. Enforma de ecuación,

r = tasa de interés del periodo X número de

Puede encontrarse una tasa de interés nominal para cualquier periodo de tiempo mayor que

el periodo originalmente establecido. Por ejemplo, una tasa de interés de un periodo que(es decir, 1.5% mensual X 3 meses); 9.0% por periodo semestral, 18% anual o 36% por 2años, etc. La tasa de interés nominal obviamente ignora el valor del dinero en el tiempo y lafrecuencia con la cual se capitaliza el interés. Cuando se considera el valor del dinero en eltiempo al calcular las tasas de interés a partir de las tasas de interés del periodo, la tasa sedenomina tasa de interés efectiva. De igual manera que fue válido para las tasas de interésnominales, las tasas efectivas pueden determinarse para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo establecido originalmente como se muestra en las próximas dos secciones deeste capítulo. Es importante reconocer que todas las fórmulas derivadas en el capítulo 2

estuvieron basadas en interés compuesto y, por consiguiente, en las ecuaciones sólo puedenser utilizadas las tasas de interés efectivas.Para que el análisis de las tasas de interés nominales y efectivas sea completo, es preciso

hacer un comentario sobre las diversas formas en las cuales pueden expresarse las tasas deinterés. Tres formas generales existen para expresar las tasas de interés como lo indican los

que es posible determinar una tasa de interés sobre algún periodo de tiempo designado sin

y que el periodo de capitalización (PC) es el mismo que la tasa de interés especificada.Para las expresiones de interés presentadas en la mitad de la tabla 3.1, prevalecen tres

condiciones: (1) se identifica el periodo de capitalización, (2) este periodo de capitalización


5/25

Tasas de interés nominales y efectivas y capitalización continua 87

Ì¿-¿- ¼» ·²¬»®7-

· = 12% anual

= 1% mensual

=

×²¬»®°®»¬¿½·²

= 12% efectivo anual,compuesto anualmente

i = 1% efectivo mensual,compuesto mensualmente

efectivo trimestral,compuesto trimestralmente

Ý±³»²¬¿®·±

Cuando no se especifica un periodo de capitalización, latasa de interés es una tasa

suponiendo que el periodode capitalización es igual al periodo de tiempo

i = 8% anual, compuesto

mensualmente = 4% trimestral, compuesto

mensualmente

= 14% anual.

= 8% nominal anual,

compuesto mensualmente = 4% nominal trimestral,

compuesto mensualmente

14% nominal anual.


semestralmente

= 10% efectivo anual,

i = 6% efectivo trimestral

= 1% efectivo mensual,

compuesto diariamente

compuesto semestralmente

i = 10% efectivo

i = 6% efectivo trimestral,compuesto trimestralmente

i = 1% efectivo mensual,compuesto diariamente

Cuando se especifica el periodo

si la tasa de0 efectiva,es nominal.

sin determinar interés es nominalse supone que éstaEl periodo de


2s como el

Si la tasa de se expresacomo una tasa efectiva,ces es una tasa efectiva. Si el

de capitalización no

está dado, se supone que este con el periodo establecido.

\

es más corto que el periodo de tiempo en el cual está expresado el interés, y (3) no sedesigna la tasa de interés como nominal o efectiva. En estos casos, se supone que la tasa deinterés es nominal y que el periodo de capitalización es igual al expresado. (En la siguientesección se mostrará la forma de obtener tasas de interés efectivas a partir de éstas).

Para el tercer grupo de expresiones de tasa de interés en la tabla 3.1, la palabra efectivo

sigue a la tasa de interés especificada y también se da el periodo de capitalización.Obviamente, estas tasas de interés son tasas efectivas durante los de tiempo

En forma similar, si la palabra nominal hubiera precedido a cualquiera de las expresiones deinterés, la tasa de interés sería una tasa nominal.

del libro, no se exagera la importancia que tienen el reconocer si una tasa de interés dada esnominal o efectiva. La tabla 3.2 contiene un listado de diversas expresiones de interés(columna 1) junto con sus interpretaciones (columnas 2 y 3).


6/25


Ahora que se ha introducido el concepto de tasa de interés nominal y efectiva, ademásde considerar el periodo de capitalización (que también se conoce como periodo de interés),será necesario también. tener en cuenta la frecuencia de los pagos o ingresos dentro delintervalo de tiempo del flujo de efectivo. Por simplicidad, la frecuencia de los pagos oingresos se conoce como el periodo de pago (PP). Es importante distinguir entre el periodode capitalización y el periodo de pago porque en muchos casos los dos no coinciden. Por

ejemplo, si una compañía depositó dinero mensualmente en una cuenta que paga una tasade interés nominal del 14% anual compuesto semestralmente, el periodo de pago sería 1mes mientras que el periodo de capitalización sería 6 meses, como se muestra en la figura

capitaliza el interés trimestralmente, el periodo de pago es de 1 año, mientras que el periodode capitalización es de 3 meses. En lo sucesivo, para resolver los problemas que involucren

bien sea series uniformes o cantidades de flujos de efectivo de gradiente uniforme, el primer paso será determinar la relación entre el periodo de capitalización y el periodo de pago


7/25

Tasas de interés nominales y efectivas y capitalización continua

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meses

I-

Figura 3.1 Diagrama de de efectivo para un periodo de pago

(PP) mensual un periodo de capitalización semestral (PC).

Para ilustrar la diferencia entre tasas de interés nominales y efectivas, se determina el valor futuro de $100 dentro de 1 año utilizando ambas tasas. Si un banco paga el 12% de interéscompuesto anualmente, el valor futuro de $100 utilizando una tasa de interés del 12% anual

= $112.00

Por otra parte, si el banco paga un interés que es compuesto semestralmente, el valor futurodebe incluir el interés sobre el interés ganado durante el primer periodo. Una tasa de interés

de 6 otro de La figura 3.2 es eldiagrama de flujo de efectivo para capitalización semestral para una tasa de interés nominal

los valores futuros de $100 después de 6 meses y después de 12 meses son:

Figura 3.2 Diagrama de de efectivo para de capitalización semestral.


8/25


= 0.06)’ = $106.00

= 0.06)’ = $112.36

donde 6% es la tasa de interés efectiva semestral. En este caso, el interés ganado en 1 año es$12.36 en lugar de $12.00. Por consiguiente, la tasa de interés efectiva anual es 12.36%. Laecuación para determinar la tasa de interés efectiva a partir de la tasa de interés nominal

puede generalizarse de la siguiente manera:

donde i tasa de interés efectiva por periodo:

= tasa de interés nominal por periodo

m = número de de capitalización

que el número de de capitalización aumenta, m se acerca a infinito, en cuyo caso laecuación representa la tasa de interés para capitalización continua. En la sección 3.4 se

presenta un análisis detallado de este tema.

CÁLCULO DE LAS TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS

Las tasas de interés efectivas pueden calcularse para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo de capitalización real, a través del uso de la ecuación Es decir, una tasade interés efectiva del 1% mensual, por ejemplo, puede convertirse en tasas efectivastrimestrales, semestrales, por de 1 año, 2 años, o por cualquier periodo más largoque 1 mes (el periodo de capitalización). Es importante recordar que en la ecuación lasunidades de tiempo en i y siempre deben ser las mismas. Por tanto, si se desea una tasa deinterés efectiva, i, por periodo semestral, entonces debe ser la tasa nominal por periodo

semestral. La m en la ecuación siempre es igual al número de veces que el interés

ilustra estas relaciones.

Una tarjeta de crédito nacional tiene una tasa de interés del 2% mensual sobre el saldo no pagado. Calcule la tasa efectiva por período semestral. Si la tasa de interés se expresa como 5% por

trimestre, encuentre las tasas efectivas por semestrales y anuales.


9/25


En esta parte del ejemplo, el periodo de capitalización es mensual. Dado que se desea obtener latasa de interés efectiva por periodo semestral, la en la ecuación debe ser la tasa nominal por

6 meses, 0

= 2% mensual X 6 meses por periodo semestralr = 2% mensual X 6 meses por periodo semestral

= 12% por periodo semestral= 12% por periodo semestral

La en la ecuación es igual a 6, puesto que el interés estaría compuesto 6 veces en un periodoLa m en la ecuación es igual a 6, puesto que el interés estaría compuesto 6 veces en un periodode 6 meses. Por tanto, la tasa efectiva semestral es:de 6 meses. Por tanto, la tasa efectiva semestral es:

por cada seis meses = por cada seis meses = - 1- 1

0.12620.1262 Para una tasa de interés del 5% por trimestre, el periodo de capitalización es trimestral. Por Para una tasa de interés del 5% por trimestre, el periodo de capitalización es trimestral. Por consiguiente, en un periodo semestral, m = 2 r = 10%. En consecuencia,consiguiente, en un periodo semestral, m = 2 r = 10%. En consecuencia,

por cada seis meses = por cada seis meses = - 1- 1

= 0.1025= 0.1025

La tasa de interés efectiva anual puede determinarse utilizando r = 20% y m = 4, de la siguienteLa tasa de interés efectiva anual puede determinarse utilizando r = 20% y m = 4, de la siguiente

manera:manera:

- 1- 1

0.21550.2155 (21.55%)(21.55%)

Observe que el término en la ecuación siempre es igual a la tasa de interés (efectiva) por Observe que el término en la ecuación siempre es igual a la tasa de interés (efectiva) por periodo de capitalización. En la parte éste fue 2% mensual, mientras que en la parte éste fue de periodo de capitalización. En la parte éste fue 2% mensual, mientras que en la parte éste fue de5% trimestral.5% trimestral.

La tabla 3.3 presenta la tasa de interés efectiva i para diversas tasas de interés nominalque utilizan la ecuación y de capitalización de 6 meses, 3 meses, 1 mes, 1semana y 1 día. La columna de capitalización continua se analiza en la siguiente sección.Observe que a medida que la tasa de interés aumenta, el efecto de una capitalización másfrecuente se hace más pronunciado. Cuando se utiliza la ecuación para encontrar unatasa de interés efectiva, la respuesta general es una tasa de interés que no es un númeroentero, como se ilustra en el ejemplo 3.1 y en la tabla 3.3. Cuando esto sucede, los valores

o mediante el uso directo de las ecuaciones desarrolladas en el capítulo 2. El ejemplo 3.2muestra estos cálculos.


10/25

çî 3 .

0.501 0.501

1.00 1.005

1.508 1.510 1.511 1.511 1.513

ì

10 10.250 10.381 10.506 10.516

11.303 11.462 ll 11.614 ll . 6 2 3

12.750

18.115 18.389 18.497 18.530

18.810 19.252 19.562 19.684 19.714 19.722

19 19.903

60.181


11/25


El fondo cooperativo de de una universidad ha divulgado que su tasa de interés sobre los préstamos es del mensual. Calcule la tasa de interés efectiva anual y utilice las tablas de factor de

interés para encontrar el factor correspondiente para = 8 anos.

Puesto que se desea una tasa de interés anual, r = = 0.12 y m = 12. Sustituya =0.1202 = 0.01 = 12 en la ecuación

i = (1

= 1.1268-1

= 0.1268 (12.68%)

Con el de encontrar el factor para i = 12.68% y = 8, es necesario interpolar entre i = 12% e = 14% utilizando las tablas de factor de interés.

bL0.4039

0.3506

c = (0.0533) = 0.0181

8) = 0.4039 0.0181 = 0.3858

Una forma más fácil y más precisa de encontrar el valor del factor es sustituir i = 12.68% y = 8 en la

relación de factor en la ecuación

8) =(1

Ejemplo adicional 3.6

A medida que el periodo de capitalización disminuye, el valor de m, ‘número de decapitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se capitaliza en formacontinua, m se acerca a infinito y la fórmula de tasa de interés efectiva en la ecuación

= =


12/25


A medida que m se acerca a infinito, el límite de la ecuación se encuentra utilizando = lo que hace m =

lim i = lim 1 + 1

i =

La ecuación se utiliza para calcular la tusa de interés efectiva continua. Al igual que enla ecuación los de tiempo en i y en r deben ser los mismos. Como ilustración,

para una tasa nominal anual del 15% anual (r = 15% anual), la tasa efectiva continua anuales:

= 1 = 0.16183 (16.183%)

Por conveniencia, la tabla 3.3 incluye la tasa continua para muchas tasas nominales calculadamediante la ecuación

tasa de interés del 18% anual compuesto en fo; continua, calcule la tasa deva anual mensual.

Si un exige un retorno efectivo de por lo menos 15% sobre su dinero, es la

tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar una capitalización continua?

La tasa de interés mensual, es = = 0,015 me De acuerdo con lala tasa efectiva mensual es:

i mensual 1

= 0.01511 (1.511%)

En similar, la tasa efectiva utilizando 0.18 anual es:

(b) En este problema, es preciso resolver la ecuación en el sentido contrario puesto que se tienei y se desea Por tanto, para 15% anual, debe resolverse para tornando el logaritmo natural.

1.15

(13.976%)


13/25


Por consiguiente, una tasa del 13.976% anual compuesto en forma continua generará una tasa deretorno efectiva anual del 15%.

La fórmula general para encontrar la tasa nominal cuando está dada la tasa efectiva continua es r = (1 +

CÁLCULOS PARA DE PAGO IGUALES

0 MAYORES QUE LOS DE CAPITALIZACIÓNCuando el periodo de capitalización de una inversión o préstamo no coincide con el periodode pago, se hace necesario manipular la tasa de interés el pago con el fin de determinar la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Recuerde que siel pago y los de capitalización no coinciden no es posible utilizar las tablas deinterés hasta hacer las correcciones apropiadas. En esta sección, se considera la situación enla cual el periodo de pago (por ejemplo, un año) es igual o mayor que el periodo decapitalización (por ejemplo, un mes). Dos condiciones pueden ocurrir:

1. Los flujos de efectivo requieren el uso de factores de pago único2. Los flujos de efectivo requieren el uso de series uniformes o factores de gradientes.

Ú¿½¬±®»- de pago único

En esencia, un número infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuandosolamente hay factores únicos involucrados. Esto se debe a que sólo hay dos requisitos quedeben ser satisfechos: (1) Debe utilizarse una tasa efectiva para i, y (2) las unidades endeben ser las mismas que en i. En notación estándar de factores, entonces, lasecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente manera:

P = i efectivo por periodo, número de periodos)F = i efectivo por periodo, número de periodos)

Por consiguiente, para una tasa de interés del 12% anual compuesto mensualmente, podríanutilizarse cualquiera de las i y los valores correspondientes de que aparecen en la tabla 3.4(lo mismo que muchos otros no mostrados) en las fórmulas de pago único. Por ejemplo, sise utiliza la tasa efectiva equivalente por mes para i (1 entonces el término debe estar

o entonces el término debe estar en trimestres (4).


14/25

9 6 3 l Ingeniería económica

1% mensual

3.03% trimestral

Meses

Trimestres

6.15% semestral semestrales

12.68% anual

26.97% cada 2 años de dos años

Si una mujer deposita $1000 ahora, $3000 dentro dey $1500 dentro de seis años una tas

dinero tendrá en su cuenta

años partir de la fecha del anterior de interés del 12% anual compuesto semestralmente,

de 10

El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la ra 3.3. Suponga que se ha decidido utilizar una

tasa de interés anual para resolver el problema. Dado que pueden ser utilizadas tasas de efectivas en las ecuaciones, el primer paso es encontrar la tasa efectiva anual. De acuerdo con latabla 3.3, para r = 12% y semestral, efectivo 12.36%; o mediante la ecuación

= 0 . 1 2 3 6 ( 1 2 . 36 % )

Diagrama de flujo de efectivo, 3.4.


15/25


debe estar expresado en años. Por tanto,

=

En forma alternativa, se puede utilizar la tasa efectiva del 6% por semestre y luego utilizarsemestrales para En este caso, el valor futuro es:

=

El segundo método es el más fácil de los dos porque pueden utilizarse las tablas de sininterpolación 0 sin las fórmulas para calcular factores.

Ú¿½¬±®»- ¼» -»®·» «²·º±®³» § ¹®¿¼·»²¬»-

Cuando el flujo de efectivo del problema indica el uso de uno o más de los factores de serieuniforme o de gradiente, debe determinarse la relación entre el periodo de capitalización,PC, y el periodo de pago, PP. La relación estará dada por uno de los tres casos siguientes:

Caso 1. El periodo de pago es igual al periodo de capitalización, PP = PC.

Caso 2. El periodo de pago es mayor que el periodo de capitalización, PP PC.

Caso 3. El periodo de pago es menor que el periodo de capitalización, PP PC.En esta sección se presenta el procedimiento para resolver problemas que pertenecen a unade las dos primeras categorías. Los problemas del caso 3 se analizan en la siguiente sección.El siguiente procedimiento se aplica siempre para el caso 1 o caso 2, donde PP = PC o

Ð¿-± ïò Cuente el número de pagos y utilice ese número como Por ejemplo, si sehacen pagos trimestralmente durante 5 años, es 20 trimestres.

Ð¿-± îò Encuentre la tasa de interés efectiva durante el mismo periodo de tiempo que n

en el paso 1. Por ejemplo, si n está expresado en trimestres, entonces debe hallarse latasa de interés efectiva por trimestre.

notación estándar de factores.

de flujo de efectivo (columna 1) y tasas de interés (columna 2). Observe en la columna 4que n siempre es igual al número de pagos e i es una tasa efectiva expresada en el mismo

periodo de tiempo que n.


16/25

çè 3 l Ingeniería económica

$500 semestralmente$500 semestralmente Encuentre dado AEncuentre dado A ==durante 5 añosdurante 5 años semestralmentesemestralmente

$75 mensualmente$75 mensualmente Encuentre dado AEncuentre F; dado A F = F =durante 3 añosdurante 3 años mensualmentemensualmente

$180 trimestralmente$180 trimestralmente 5% trimestral5% trimestral Encuentre dado AEncuentre dado A F = F =durante 15 añosdurante 15 años

Incremento de $25Incremento de $25 1% mensual1% mensual Encuentre dadoEncuentre dadomensualmente du-mensualmente du-rante 4 añosrante 4 años

$5000 trímestralmen-$5000 trímestralmen- 1% mensual1% mensual Encuentre A; dadoEncuentre A; dado A = A =te durante 6 añoste durante 6 años

su portafolio deinversiones después del último depósito si la tasa de interés es 20% compuesto trimestralmente?

Solución

El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura 34. Dado(trimestral) es más corto que el periodo de pago (semestral), éste es

paso es determinar que el número de pagos, es 14. El valor futuro es:

el periodo de capitalización de caso 2. El primer

= 14)

F - 3 20% anual

Figura 3.4 Diagrama de depósitos semestrales utilizados para determinar

ejemplo 3.5.


17/25


Ahora, puesto que está expresado en semestrales, se requiere una tasa de interés semestral.Es necesario utilizar la ecuación con r = 0.10 por cada periodo de 6 meses y = 2 trimestres por cada periodo semestral.

por cada seis meses 1 + - 1

= 0.1025

En forma alternativa, la tasa de interés efectiva semestral podría haber sido de la tabla 3.3utilizando el valor r del 10% con capitalización semestral para obtener 10.25%.

El valor i = 10.25% parece razonable, puesto que se espera que la tasa efectiva sea ligeramentemás alta que la tasa nominal del 10% por cada periodo de 6 meses. La tasa efectiva puede ser utilizadaahora para encontrar el valor futuro de los depósitos semestrales, donde Z(7) = 14 periodos.

Es importante observar que la tasa de interés efectiva por periodo de pago (6 meses} se utiliza para yque número total de períodos de pago se utiliza para

3 . 6 CÁLCULOS PARA DE PAGO MENORES QUE LOS DE CAPITALIZACIÓN

Ésta es la situación del caso 3 descrita anteriormente en la sección 3.5.2. Cuando el periodode pago es más corto que el periodo de capitalización (PP PC), el procedimiento paracalcular el valor futuro o el valor presente depende de las condiciones especificadas (o su- puestas) en relación con la capitalización entre los periodos. capitalización interperiódica,como se utiliza aquí, se refiere al manejo de los pagos efectuados entre los de capi-

talización. Tres casos son posibles:

No hay un interés pagado sobre el dinero depositado (o retirado) entre los decapitalización.

2. El dinero depositado (o retirado) entre los de capitalización gana un interéssimple.

Todas las transacciones entre los ganan un interés compuesto.

Solamente se considera aquí el caso número 1 (no hay interés en las transacciones entre los periodos), ya que la mayoría de las transacciones del mundo real se encuentran dentro de


18/25

1 0 0 3 l Ingeniería económica

$ 9 0

$45

0

9 l l

.

$200

$75$50

4$90

0

0 1 2 3 4 5 6 9

2 4

Figura 3.5 Diagrama de de efectivo para trimestrales de capitalización sinutilizar interés entre periodos.

esta categoría. Si no se paga interés sobre las transacciones entre los periodos, entonces seconsidera que cualquier cantidad de dinero depositado o retirado entre los de

de dicho periodo. Éste es el modo usual de operación de los bancos y de otras institucionescrediticias. Por tanto, si el periodo de capitalización fuera un trimestre, las transaccionesreales que aparecen en la figura serían tratadas como se muestra en la figura Paraencontrar el valor presente del flujo de efectivo representado por la figura la tasa deinterés anual nominal se divide por 4 (puesto que el interés es compuesto trimestralmente)y el valor apropiado se utiliza en el factor o Si, por ejemplo, la tasa de interés es12% compuesto trimestralmente para los flujos de efectivo de la figura 3.5,

P = -150 +

= $-317.73


19/25


EJEMPLOS ADICIONALES

La señora Jones colocar dinero en un certificado de que paga 18% anual compuesto diariamente. tasa efectiva recibirá ella

anualmente y semestralmente?

Al utilizar la ecuación con r = 0.18 y 365,

= 0.19716 (19‘716%)

depósito.Es decir, la señora Jones obtendrá un 19.716% efectivo sobre su

r 0.09 durante 6 meses m = 182 días:

\ por cada 6 meses 1 XX.- - 1

= (9.415%)

TASA DE INTERÉS SECCIONES 3.1 3.4 El señor Adams la señora James planean invertir James planean invertir $5000 durante 10 años a un 10% anual. Calcule el valor futuro para ambos individuos si señor $5000 durante 10 años a un 10% anual. Calcule el valor futuro para ambos individuos si señor Adams obtiene un compuesto anualmente y la señora James obtiene una capitalización con-tinua.

Señor Adams. Para una anual el valor futuro es:F = = $12,969F = = $12,969

James. Mediante la relación de capitalización continua, la ecuación encuentre primero lai efectiva anual.

El valor futuro es: = 0.10517 (10.517%)

F= = = $13,591

La capitalización continua representa un aumento de $622 o 4.8% en las ganancias. Sólo por comparación, observe que una corporación de ahorro y préstamo podría ofrecer capitalización diaria,lo cual produce una tasa efectiva de 10.516% (F = mientras que la capitalización continuadel ofrece un incremento ligeramente mayor, con 10.517%.


20/25

ïðî 3 l Ingeniería económica

interés del 10% anual, compare el valor presente para capitalización anual y capitalizacióninterés del 10% anual, compare el valor presente para capitalización anual y capitalizacióncontinua.continua.

Para capitalización anual,Para capitalización anual,

P = = = $12,289= = $12,289

Para capitalización continua,Para capitalización continua,

i anual = 0.10517 (10517%)i anual = 1 = 0.10517 (10517%)

P = P =

=== $ 12,021= $ 12,021

Como se esperaba, el valor presente para la capitalización continua es menor que aquél para laComo se esperaba, el valor presente para la capitalización continua es menor que aquél para lacapitalización anual, ya que las tasas de interés más altas requieren mayores descuentos de flujoscapitalización anual, ya que las tasas de interés más altas requieren mayores descuentos de flujosde efectivo futuros.de efectivo futuros.

de segunda por Ella planea obtener el dinero en préstamo de su fondo cooperativo de yrembolsarlo mensualmente durante un periodo de 4 años. Si la tasa de interés nominal es del 12%anual compuesto mensualmente, serán sus cuotas mensuales?

El periodo de capitalización es igual al periodo de pago (caso con una tasa mensual efectiva de =1% mensual y = = pagos. Por consiguiente, los pagos mensuales son:

A = = = $223.84

de segunda por $8500. Ella planea obtener el dinero en préstamo de su fondo cooperativo de yrembolsarlo mensualmente durante un periodo de 4 años. Si la tasa de interés nominal es 12% anualcompuesto mensualmente, determine sus cuotas mensuales utilizando una hoja de cálculo.


21/25


Fijar los valores de y de para meses; i = 0.12112 y = 48 pagos. Aplique entonces la función PMTa la hoja de cálculo Excel para determinar que A = $223.84. La figura 3.6 muestra en pantalla la

formulación de los datos para determinar la cantidad de pago mensual.

Precio

Dado que muchos problemas del mundo real involucran pagos y de capitalizaciónque no son iguales a 1 año, es necesario entender las tasas de interés nominales y efectivas(ecuación Si el periodo de capitalización se hace infinitamente pequeño, el interés secapitaliza de manera continua (ecuación Todas las fórmulas de ingeniería económica

tasas efectivas para resolver el problema (como cuando hay cantidades de pago únicoinvolucradas). En otros casos, sólo puede utilizarse una tasa efectiva (problemas de serieuniforme y de gradientes).

Para los problemas de serie uniforme y de gradientes, los de interés y de pago

se manipula la tasa de interés para obtener una tasa efectiva durante el periodo de pago.Cuando el periodo de es más largo

(los depósitos se mueven hacia el final y los retiros se el principio del periodo).- -


22/25

ïðì 3 l Ingeniería económica

PROBLEMAS

es la diferencia entre una tasa de interés nominal y una simple?

significa (a) periodo de interés y (b) periodo de pago?

es la tasa de interés nominal mensual para una tasa de interés de (a) 0.50%cada 2 días y (b) 0.1% diario? Suponga que el mes tiene 30 días.

Identifique las siguientes tasas de interés como nominales o efectivas. (a) = 1mensual, (b) = 3% trimestral compuesto trimestralmente, = 0.5% semanalcompuesto diariamente, 16% efectivo anual compuesto mensualmente.

Para los niveles de interés del problema 3.4, identifique el periodo de capitalización.

Complete la siguiente afirmación: Una tasa de interés del 4% mensual es una tasa decompuesto mensualmente, una tasa de compuesto

semanalmente y una tasa de compuesto diariamente.

Si el interés se capitaliza diariamente, es el valor de m en la ecuación si sedesea encontrar una tasa de interés efectiva (a) anual, (b) semanal, (c) diaria?

son las tasas de interés nominales y efectivas anuales para una tasa de interésde 0.015% diario?

tasa de interés efectiva mensual es equivalente a una tasa de interés semanal de Suponga que el mes es de 4 semanas.

tasa nominal mensual es equivalente a un 20% nominal anual compuestodiariamente? Suponga que hay 30.42 días en el mes y 365 días en el año.

tasa de interés efectiva trimestral es equivalente a un 12% nominal anualcompuesto mensualmente?

tasa de interés nominal mensual es equivalente a un 14% efectivo anualcompuesto (a) mensualmente, (b) diariamente? Suponga que se trata de un mes de

tasa de interés trimestral es equivalente a una tasa anual efectiva del 6% anual

compuesto trimestralmente? tasa nominal por 3 años es equivalente a una tasa mensual del

tasa de interés es mejor: 20% anual compuesto anualmente o 18% anualcompuesto cada hora? Suponga que se trata de un año de 8760 horas.

Determine el valor del factor durante 5 años si la tasa de interés es 1% mensualcompuesto diariamente. Suponga que se trata de un mes de 30 días.

tasa de interés nominal anual compuesto continuamente sería igual a 25% anualcompuesto por semestre?


23/25


qué frecuencia de capitalización se igualarían una tasa anual del 10.2% nominal yuna tasa anual nominal del 10% compuesto continuamente?

tasas nominales y efectivas mensuales son equivalentes a un 12% anual

compuesto continuamente?

interés es 13% anual compuesto en forma semestral 0 continua?

Como una táctica para atraer depositantes, un banco ha ofrecido a los clientes tasasde interés que aumentan con el tamaño del depósito. Por ejemplo, de $1000 hasta$9999 la tasa de interés ofrecida es del 8% anual. Por encima de $10,000, la tasa esdel 9% anual compuesto continuamente. Dado que sólo cuenta con $9000 paradepositar, una persona está pensando en obtener en préstamo $1000 de un fondo decrédito cooperativo de manera que tendrá $10,000 y será capaz de aprovechar la tasa

de interés más alta. es la tasa de interés efectiva anual máxima que podría pagar sobre los $1000 prestados que haría que su plan de endeudarse fuera al menostan atractivo como no hacerlo?

Una persona está contemplando la posibilidad de obtener en préstamo $200,000 paraempezar un negocio. El fondo cooperativo de crédito A le ha ofrecido prestarle eldinero a una tasa de interés del 14% anual compuesto continuamente. El fondo decrédito le ha ofrecido el dinero con la estipulación que lo rembolse mediante pagosmensuales de $5000 durante 5 años. cuál fondo de crédito deberá obtener eldinero en préstamo?

Una pequeña compañía de avisos obtuvo en préstamo $175,000 con un acuerdo derembolsar el préstamo en pagos mensuales. El primer pago debe efectuarse dentro de

tasa de interés es del 10% anual compuesto continuamente, tiempo pasaráantes de que la compañía rembolse por completo el préstamo?

dinero se podría obtener en préstamo si se promete hacer pagos trimestralesde $650 durante 7 años, si la tasa de interés es del 16% anual compuestocontinuamente?

Una mujer depositó $125 cada mes durante 10 años. Si recibió interés a una tasa del

8% anual compuesto continuamente, tenía inmediatamente después de suúltimo depósito?

Una lavandería está comprando un sistema de ozono para sus lavadoras y paratratamiento de aguas de desperdicio teñidas. El costo inicial del sistema de ozono es

interés es 16% anual compuesto trimestralmente y 12% anual compuestomensualmente?


24/25

C A P Í T U L O 3 l Ingeniería económica

las tarifas de aterrizaje de los aviones comerciales. Si el aeropuerto desea recuperar su inversión en 4 años, dinero deben generar las tarifas más altas cada

una tasa de interés del 8% anual compuesto semestralmente?

está planeando suavizar la superficie de la pista mediante el aplanamiento con láser a

reúne 216,000 espectadores por año, cuánto tendrá que aumentar el precio deltiquete promedio si la tasa de interés es del 1% mensual? Suponga que hay unadistribución uniforme de espectadores.

compuesto semanalmente? Suponga que se trata de un mes de 4 semanas.

Una pareja joven que está planeando su futuro está considerando la compra de unafranquicia para un negocio de pizza. La franquicia costará $35,000 y se pedirá a la pareja que adquiera ciertas provisiones del franquiciador. Si la utilidad promedio enuna pizza es de $1, pizzas tendrán que vender cada semana durante 5 años para pagar justo el costo de la franquicia, si la tasa de interés es - - -compuesto diariamente? Suponga que trata de un mes de 30 días y de un año de 52

Si el edificio y equipo en el problema 3.30 cuesta $220,000, pizzas debenvenderse diariamente para pagar la franquicia, el edificio y el equipo en 4 anos a unatasa de interés del 12% anual compuesto continuamente? Suponga que se trata de un

Una inversionista sagaz compra 200 acciones de capital a $23 cada acción. Si ellavende las acciones después de 7 meses a $26 cada una, tasa de retorno anualnominal y efectiva logrará?

dinero habría en la cuenta de una persona que depositó $1000 ahora y $100

cada mes y retiró $100 cada 2 meses durante 3 años Utilice una tasa de interés del6% anual sin intereses pagados entre los periodos.

$100 cada mes durante 5 años a una tasa de interés del 5% anual compuestotrimestralmente? Suponga que no hay intereses entre los de interés.

Una compañía de herramientas y troqueles espera tener que remplazar uno de sustomos en 5 años a un costo de $18,000. tendría que depositar la compañíacada mes para acumular $18,000 en 5 años, si la tasa de interés es del 6% anualcompuesto semestralmente? Suponga que no hay intereses entre los periodos.


25/25

Tasas de interés nominales y efectivas y capitalización continua ïðé

depósito mensual sería equivalente a un depósito de $600 cada 3 meses durante2 años si la tasa de interés es del 6% anua1 compuesto semestralmente? Suponga queno hay un interés entre sobre todos los depósitos.

depósitos mensuales de $75 tendría que hacer una persona para acumular $15,000 si la tasa de interés es del 6% anual compuesto semestralmente? Supongaque no se paga interés entre los periodos.

Documents

Tarquin Tasas Simples y Compuestas