Tasas de Interes y Equivalencia Entre Tasas

Matemtica financiera.Material recopilado por el Prof. Enrique Mateus Nieves

Doctorando en Educacin Matemtica.

4. TASAS DE INTERES Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS

OBJETIVOS

1. Distinguir y explicar las diferencias entre inters peridico, nominal y efectivo.

2. Comprender y explicar los conceptos de: perodo de capitalizacin, frecuencia de conversin, tasas

equivalentes.

3. Plantear y resolver ejercicios sobre tasas equivalentes.4. Plantear y resolver ejercicios de clculo de valor futuro, valor presente, tasa de inters y perodo.

5. Comprender y definir el concepto de tasas combinadas.

6. Comprender y explicar las tasas de cambios7. Plantear y resolver ejercicios relacionados con la devaluacin, revaluacin y la unidad de valor real

(UVR)

8. Aplicar las ecuaciones de valor en el inters compuesto.

4.1 INTRODUCCION

Existen diferentes modalidades en el cobro de intereses, por ejemplo se cobran por perodo anticipado; es

decir, intereses que se descuentan al inicio de cada perodo, y otros por perodo vencido, que son los que se

cobran al final de cada periodo. Por lo anterior, es comn escuchar expresiones como 20% nominal anual

capitalizable trimestralmente, 7% trimestral, 7% trimestral anticipado, 24% nominal trimestre anticipado y 25%

efectivo anual. Los intereses se clasifican en: Inters peridico (vencido y anticipado), inters nominal

(vencido y anticipado) e inters efectivo.

4.2 TASA DE INTERES PERIODICA

La tasa de inters peridica se simboliza como i, y se aplica siempre al final de cada periodo. Es aquella tasa

en la cual se indica dos elementos bsicos: La tasa y el periodo de aplicacin, mientras; no se indique lo

contrario se maneja como vencida, lo cual indica que tambin habr tasa de inters anticipada. Es una tasa

que puede ser incluida en las frmulas que se desarrollan en las matemticas financieras. Ejemplos: 2%

mensual, 4% bimestral, 6% trimestral, 18% semestral y 30% anual.



4.3 TASA DE INTERES NOMINAL

Es una tasa de inters de referencia y se denomina como r, por ser de referencia no mide el valor real de

dinero, por lo tanto, no puede ser incluido en las frmulas de las matemticas financieras. Es una tasa de

inters que necesita de tres elementos bsicos: La tasa, el periodo de referencia y el periodo de composicin.

El periodo de referencia mientras no se diga lo contrario, siempre ser el ao, y se dice que est implcito y

por tanto, no es necesario sealarlo. El periodo de composicin puede recibir el nombre de: periodo de

capitalizacin, periodo de liquidacin o periodo de conversin. El inters nominal, tambin puede ser

anticipado, pero en este caso el perodo de aplicacin se seala de manera anticipada. Como ejemplos de

inters nominales vencidos se pueden sealar: 4% bimestral compuesto mensualmente, 18% semestral

capitalizable trimestralmente, 28% anual liquidable cuatrimestralmente, 32% convertible mensualmente.

Se pueden mencionar como ejemplos de inters nominal anticipado los siguientes: 4% bimestral compuesto

mensualmente anticipado, 18% semestral capitalizable trimestralmente anticipado, 28% anual liquidable

cuatrimestralmente anticipado, 32% convertible mensualmente anticipado. En los ejemplos anteriores el

perodo de aplicacin de define o se seala de manera anticipada. Se puede plantear la siguiente relacin

entre la tasa de inters peridica y la tasa de inters nominal: mir (frmula 4.1); por lo tantom

rr

(frmula 4.2.) Dnde: i = tasa de inters peridico; r = tasa nominal; m= frecuencia de conversin= nmero deperodos o de sub-perodos que se encuentran en el periodo de referencia, que generalmente es el ao.

Simplemente se podra definir como el nmero de capitalizaciones dentro del periodo de referencia.

Ejemplo 4.1

Defina el valor de m e i en las siguientes tasas de intereses nominales: a) 28% convertible bimensualmente,b) 4% bimestral compuesto mensualmente, c) 24% anual compuesto bimestralmente, d) 12% semestral

compuesto trimestralmente, e) 32% anual compuesto cuatrimestralmente, f) 30% liquidable semestralmente, y

g) 36 % anual compuesto anualmente.

Solucin: Para resolver este tipo de ejercicios, es necesario asociar el perodo de capitalizacin con elperodo de referencia, y por lo cual, es conveniente preguntar Cuntos perodos de capitalizacin,

composicin, liquidacin conversin hay en el perodo de referencia?



a. r = 28% convertible bimensualmente. La pregunta sera: Cuntos perodos bimensuales hay enun perodo anual? La respuesta seria 24 perodos bimensuales hay en un ao, por lo tanto, m = 24.

Un perodo bimensual se refiere a dos veces en el mes. bimensual%,,m

ri 17124280

b. r = 4% bimestral CM. La pregunta sera: Cuntos perodos mensuales hay en un bimestre?. Larespuesta seria 2 meses hay en un bimestre, por lo tanto, m = 2.

mensual%,m

ri 22040

c. 24% anual Compuesto bimestralmente. La pregunta sera: Cuntos perodos bimestrales hay enun perodo anual? La respuesta seria 6 perodos bimestrales hay en un bimestre, por lo tanto, m = 6.

Un periodo bimestral corresponde a un perodo de 2 meses.

bimestral%,m

ri 46240

d. r = 12% semestral CT. La pregunta sera: Cuntos perodos trimestrales hay en un perodosemestral? La respuesta seria 2 trimestres hay en un semestre, por lo tanto, m = 2

trimestral%,m

ri 62120

e. r = 32% Compuesto cuatrimestralmente. La pregunta sera: Cuntos periodos cuatrimestrales hayen un perodo anual? La respuesta seria 3 cuatrimestres hay en un ao, por lo tanto, m = 3. Un

perodo cuatrimestral corresponde a un perodo de cuatro meses.

alcutrimestr%,,m

ri 67103320

f. r = 30% liquidable semestralmente. La pregunta sera: Cuntos perodos semestrales hay en unperodo anual? La respuesta seria 2 semestres hay en un ao, por lo tanto, m = 2.

l semestra%,m

ri 152300



g. r = 36% Anual Compuesto anualmente. La pregunta sera: Cuntos perodos anuales hay en unao? La respuesta seria 1 ao hay en un ao, por lo tanto, m = 1.

En el anterior clculo se puede apreciar que el inters nominal es igual al inters peridico o efectivo, por lo

cual se puede concluir, que solamente cuando el periodo de pago es igual al perodo de capitalizacin, el

inters nominal ser igual al inters efectivo.

4.4 TASA DE INTERES EFECTIVO. Se denomina i.

Es un inters peridico especial, debido a que un inters para un perodo especifico, es el inters efectivo

para ese perodo, por ejemplo: el inters del 3% mensual, es el inters peridico para el mes y al mismo

tiempo, es su inters efectivo. Lo que indica que para denotar el inters efectivo, slo se necesita indicar la

tasa y el periodo de aplicacin. El inters efectivo, mide el costo o la rentabilidad real del dinero.

La tasa de inters efectivo, se puede definir tambin, como la tasa de inters que en trminos anuales (en un

tiempo ms extenso), que es equivalente a una tasa de inters peridico (en un tiempo menos extenso). La

tasa de intereses efectivo, es aquella que al aplicarla una vez sobre un periodo de referencia, genera el

mismo ingreso total (valor futuro), que cuando se aplica una tasa de inters peridico m veces sobre el mismo

periodo de referencia.

Teniendo en cuenta que niF 1 , por lo tanto eiPF 11 y meiPF 12 ,por definicin 2FF 1; por lo cual se tiene me iPiP 11 , entonces me ii 11 ,obteniendo que 11 me ii(frmula 4.3) de la anterior expresin se desprende que 111 miei (frmula 4.4.)Teniendo en cuenta que ;

m

ri se obtendr: 11 mmrei (frmula 4.5), de la cual se puede deducirque mir me 11 1 (frmula 4.6.)



Ejemplo 4.2Cul es la tasa efectiva que una persona por un prstamo bancario que se pact al 20% de inters anual

convertible bimestralmente?

Solucin:

Aplicando en forma directa la frmula: ;m

rim

e 11

se tiene,

anual%,1,0333333,ie 74211162001 6

6

4.5 TASA DE INTERES ANTICIPADAEl inters anticipado es el que se cobra al inicio del periodo y se denomina por i, y se expresa mediante latasa y el periodo de aplicacin, ste ser de carcter anticipado. El inters anticipado, es el ms caro, debido

a que se cobra de manera inmediata, perdindose un costo de oportunidad, por no disponer de todo el dinero

que se recibe en prstamo. Ejemplo: 2% mensual anticipado, 4,2% bimestre anticipado, 7% trimestre

anticipado, 18% semestre anticipado, 28 anual anticipado.

Si una persona obtiene un prstamo de $ P hoy, de manera anticipada pagara de interese $ Pia, por lo cual,le entregaran $ P - $Pia, equivalente a $ P (1 i) y al final pagar a la institucin financiera $ P, para unperiodo se tendra:

Se sabe que ,niPF 1 entonces ,iiaPP 11 por consiguiente ,i1ia 11 por lo cual ise podra expresar en funcin de ia o viceversa.

ia

i 111 Donde

iai 1

11 (frmula 4.7)

i

ia 111 Donde

iia 1

11 por lo cuali

ia 11

(frmula 4.8)



Anteriormente, se manifest que tambin existe el inters nominal anticipado, el cual se

representara por r , a ste inters se le definen tres elementos bsicos: la tasa, el periodo dereferencia, y el periodo de composicin, el cual debe ser anticipado. El periodo de referencia

generalmente es el ao. Por similitud con las tasas de inters vencidos se tendr:

mir aa (Frmula 4.9), dondem

ri aa (frmula 4.10)

En la anterior frmula se tiene:

ao.unesegenralmentque,referenciadeperidoelenos, subperiddeoperidosdenmeroconversindefrecuenciam

anticipadoperidicointersianticipadonominalersintr

a

a

Se puede apreciar que el concepto de m, no vara si el inters nominal es vencido o anticipado.Como ejemplos de inters nominales anticipados se pueden sealar: 4% bimestral compuesto mes

anticipado, 18% semestral capitalizable trimestre anticipado, 28% anual liquidable cuatrimestre

anticipado, 32% convertible mes anticipado.

Ejemplo 4.5Defina el valor de m e i en las siguientes tasas de intereses nominales anticipados:a). 28% convertible bimensual anticipado, b) 4% bimestral mes anticipado, c) 24% anual compuesto

bimestral anticipado, d) 12% semestral trimestre anticipado, e) 32% anual cuatrimestre anticipado,

f) 30% anual semestre anticipado, y g) 36% anual compuesto anual anticipado.

Solucin:Para resolver este tipo de ejercicios, es necesario asociar el periodo de capitalizacin con el

periodo de referencia, y por lo cual, es conveniente preguntar Cuntos periodos de capitalizacin,

composicin o conversin hay en el periodo de referencia?

a) r = 28% anual bimensual anticipado.

La pregunta sera: Cuntos periodos bimensuales hay en un periodo anual?. La respuesta seria

24 periodos bimensuales hay en un ao, por lo tanto, m = 24. Un periodo bimensual se refiere a dosveces en el mes.



%,.m

ri aa 17124280 Bimensual anticipado

b) r = 4% bimestral MA.

La pregunta sera: Cuntos periodos mensuales hay en un periodo bimestral?. La respuesta seria

2 meses hay en un bimestre, por lo tanto, m = 2.

%.m

ri aa 22040 Mensual anticipado

c) r = 24% anual bimestre anticipado.

La pregunta sera: Cuntos periodos bimestrales hay en un periodo anual? La respuesta seria 6

bimestres hay en un ao, por lo tanto, m = 6. Un periodo bimestral corresponde a un periodo de 2meses.

%.m

ri aa 46240 Bimestre anticipado

d) r = 12% semestral TA.

La pregunta sera: Cuntos periodos trimestrales hay en un periodo semestral?. La respuesta

seria 2 trimestres hay en un semestre, por lo tanto, m = 2.

%.m

ri aa 62120 Trimestre anticipado

e) r = 32% anual Cuatrimestre anticipado.

La pregunta sera: Cuntos periodos cuatrimestrales hay en un periodo anual? La respuesta seria

3 cuatrimestres hay en un ao, por lo tanto, m = 3. Un periodo cuatrimestral corresponde a unperiodo de cuatro meses.

%,.m

ri aa 67103320 Cuatrimestre anticipado



f) r = 30% Anual Compuesto semestral anticipado.

La pregunta sera: Cuntos perodos semestrales hay en un perodo anual? La respuesta seria 2

semestres hay en un ao, por lo tanto, m = 2.

%.m

ri aa 153300 Semestral anticipado

g) r = 36% Anual Compuesto anual anticipado.

La pregunta sera: Cuntos perodos anuales hay en un ao?. La respuesta seria 1 ao hay en un

ao, por lo tanto, m = 1.

%.m

ri aa 361360 Anual anticipado

Cuando se trabaja con intereses anticipados, tambin es necesario encontrar el inters efectivo, por

tanto, si se sabe que:

;ii me 11 y teniendo en cuenta que ,iii

a

a

1 entonces: ,iii

m

a

ae 11

1

y

,

m

rm

r

i

m

a

a

e 11

1

por consiguiente ,

m

ri

m

ae 1

1

1

por lo cual ,

m

ri

m

a

e 11

1

De donde

se obtiene ,m

rim

ae 11

(frmula 4.11) , ,ii mae 11 (frmula 4.12).

De la misma manera se puede plantear que mea ir 11 (frmula 4.13). y ,ii mea 11 (frmula 4.14).

Bibliografia:

Este material ha sido tomado de la bibliografa anexa la cual puede consultar como ayuda a su

curso:



Jaramillo Betancur, Fernando. Matemtica Financiera y su uso para las decisiones en un entornointernacional. 1 Edicin. Universidad de Antioquia. 2005.

Jaramillo Vallejo, Felipe. Matemticas Financieras Bsicas Aplicadas. 1 Edicin. Alfaomega. 2004 Ramrez C. et all. (2009). Fundamentos de matemticas financieras. Centro de investigaciones. Universidad

Libre Cartagena.

Mora Zambrano, Armando. Matemticas Financieras. 2 Edicin. Alfaomega. 2007. Navarro, E & Nave, J. Fundamentos de Matemticas Financieras. 1 Edicin. A.Bosch. 2001. Portus Govinden, Lyncoyan. Matemticas Financieras. 4 Edicin. Mc Graw Hill. 2008. Riggs, James L & Otros. Ingeniera Econmica. 4 Edicin. Alfaomega. 2002 Ruz, Hctor Alfonso. Matemticas Financieras. 2 Edicin. Universidad Santo Toms. 1998 Snchez Vega, Jorge E. Manual de Matemticas financieras. 1 Edicin. Ecoe.1997

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